2. Mathematische Grundlagen

Erforderliche mathematische Hilfsmittel:

Summen und Produkte

Exponential- und Logarithmusfunktionen

21

2.1 Endliche Summen und Produkte

Betrachte n reelle Zahlen a1, a2, . . . , an R. Die Summe derZahlen notiert man wie folgt:

a1 + a2 + . . . + an =n

i=1ai =

iIai

Bezeichnungen:

i heit Summationsindex

I = {1, . . . , n} heit Indexmenge

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Bemerkungen:

Die Indexmenge I darf eine beliebige Menge ganzer Zahlensein (I Z), z.B. I = {4,3,2,1,0,1,2,3}. Fur dieSumme gilt dann:

iIai =

3

i=4ai = a4 + a3 + a2 + a1 + a0 + a1 + a2 + a3

Die Indexmenge I kann auch leer sein, d.h. I = {}. Fur dieSumme definiert man dann

iIai = 0.

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Fragen:

Warum ist das Summenzeichen wichtig?

Wie kann man formal mit Summen rechnen?

Antworten:

Das Summenzeichen vereinfacht die Schreibweise in der ge-samten Statistik

Es gibt Rechenregeln fur Summen, die allesamt formal be-wiesen werden mussen(Aufgabe der Mathematik)

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Rechenregeln fur endliche Summen: [I]

Dazu seien a1, . . . , an sowie b1, . . . , bn reelle Zahlen

Mit den beliebigen reellen Zahlen , gilt:n

i=1( ai + bi) =

n

i=1 ai +

n

i=1 bi

= n

i=1ai +

n

i=1bi

Falls a1 = a2 = . . . = an a, so folgt:n

i=1ai =

n

i=1a = n a

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Rechenregeln fur endliche Summen: [II]

Fur jedes (ganzzahlige) m mit 0 m n gilt:n

i=1ai =

m

i=1ai +

n

i=m+1ai

Fur jedes ganzzahlige m gilt:n

i=1ai =

n+m

i=1+maim

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Spezielle endliche Summen: [I]

n

i=1i = 1 + . . . + n =

n (n + 1)2

n

i=1i2 =

n (n + 1) (2n + 1)6

n

i=1i3 =

n2 (n + 1)2

4

27

Spezielle endliche Summen: [II]

Es seien a1, b R, ai = a1 + (i 1) b fur i = 2, . . . , n. Dannheit a1, a2, . . . , an endliche arithmetische Folge 1. Ordnungund es gilt:

n

i=1ai =

n2 (2a1 + (n 1) b)

Es seien a1, q R, ai = a1 qi1 fur i = 2, . . . , n. Dann heita1, a2, . . . , an endliche geometrische Folge und es gilt fur q 6=1:

n

i=1ai = a1

qn 1q 1

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Doppelsummen: [I]

Es sei

a11 a12 a1ma21 a22 a2m... ... . . . ...

an1 an2 anm

eine Matrix (Tabelle) reeller Zahlen

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Doppelsummen: [II]

Die Summe uber alle diese Zahlen notiert man als Doppel-summe:

n

i=1

m

j=1aij = a11 + a12 + . . . + a1m

+ a21 + a22 + . . . + a2m...

+ an1 + an2 + . . . + anm

Es gilt:n

i=1

m

j=1aij =

m

j=1

n

i=1aij

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Weiteres Beispiel fur eine Doppelsumme:

n

i=1

n

j=iaij = a11 + . . . + . . . + . . . + a1n

+ a22 + . . . + . . . + a2n

+ a33 + . . . + a3n

...

+ ann

(Der Laufbereich des 2. Index hangt vom 1. Index ab)

31

Endliche Produkte

Betrachte n reelle Zahlen a1, a2, . . . , an R. Mit der IndexmengeI = {1,2, . . . , n} notiert man das Produkt der Zahlen wie folgt:

a1 a2 . . . an =n

i=1ai =

iIai

Bemerkung:

Die Indexmenge I kann wiederum leer sein, d.h. I = {}. Furdas Produkt definiert man dann

iI ai = 1

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Rechenregeln fur endliche Produkte:

Es seien a1, . . . , an sowie b1, . . . , bn reelle Zahlen

Mit den beliebigen reellen Zahlen , gilt:n

i=1 ai bi = n n

n

i=1ai

n

i=1bi

Falls a1 = a2 = . . . = an a, so folgt:n

i=1ai =

n

i=1a = an

33

2.2 Exponentialfunktion und Logarithmus

Zwei wichtige mathematische Funktionen:

Naturliche Exponentialfunktion

Naturlicher Logarithmus

Hier:

Mathematische Definition und Eigenschaften

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Anwendung in der gesamten Wirtschaftstheorie, z.B.

in der Wachstumstheorie (VWL)

in Mikro- und Makromodellen (VWL)

im gesamten Finance-Bereich (BWL)

im Operations-Research (BWL)

in der Statistik / Okonometrie

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Definition der Exponentialfunktion: [I]

Betrachte die unendliche Reihe

k=0

xk

k!= 1 + x +

x2

2+

x3

6+

x4

24+

(k! bezeichnet das Produkt der ersten k ganzen Zahlen, alsok! = 1 2 . . . k)

Man kann zeigen, dass die Summe fur jedes x R gegen eineendliche Zahl konvergiert

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Definition der Exponentialfunktion: [II]

Fur jedes x R definiert man

exp(x) =

k=0

xk

k!

Die Funktion exp : R R heit naturliche Exponentialfunk-tion

37

Graph der naturlichen Exponentialfunktion

38

0

5

10

15

20

25

-2 -1 0 1 2 3

x

exp(

x)

Eigenschaften der Exponentialfunktion: [I]

Es gilt:

exp(0) = 1exp(1) = e 2.71828 (Eulersche Zahl)

Fur alle x R gilt:

exp(x) > 0

Fur alle x R gilt:

exp(x) d exp(x)

d x= exp(x)

(Ableitung ist gleich der Funktion selbst)

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Eigenschaften der Exponentialfunktion: [II]

Die Funktion exp ist streng monoton wachsend

Fur beliebige x, y R gilt die Beziehung:

exp(x + y) = exp(x) exp(y)

(Funktionalgleichung)

Fur alle x R gilt

exp(x) = limn

(

1 +xn

)n

(Aquivalente Darstellung zur Summendefinition)

40

Jetzt:

Die exp-Funktion besitzt eine eindeutig bestimmte Umkehrfunk-tion

Diese Umkehrfunktion ist definiert auf (0,)

Definition des naturlichen Logarithmus

Die Umkehrfunktion der naturlichen Exponentialfunktion

exp : R (0,)heit naturlicher Logarithmus und wird bezeichnet mit

ln : (0,) R

41

Graph des naturlichen Logarithmus

42

-6

-4

-2

0

2

4

0 2 4 6 8 10

x

ln(x

)

Eigenschaften des naturlichen Logarithmus:

Die Funktion ln ist streng monoton wachsend

Fur x > 0 gilt:

ln(x) =d ln(x)

d x=

1x

Fur beliebige x, y > 0 gilt die Beziehung

ln(x y) = ln(x) + ln(y)

(Funktionalgleichung)

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Weitere Definitionen und Eigenschaften: [I]

Die allgemeine Potenz ist fur alle x > 0, y R definiert durch

xy = exp(y ln(x))

Insbesondere ist fur x R

ex = exp(x)

Es sei a > 0 und a 6= 1. Der allgemeine Logarithmus vonx > 0 zur Basis a ist definiert durch

y = loga(x) x = ay

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Weitere Definitionen und Eigenschaften: [II]

Es gelten die folgenden Beziehungen:

ln(x) = loge(x)

ln(x) = loga(x) ln(a)

loga(x) =ln(x)ln(a)

Es sei f : R (0,) eine differenzierbare Funktion. Furjedes x R heit die Ableitung

(ln(f(x)) =d ln(f(x))

d x=

f (x)f(x)

die logarithmische Ableitung von f an der Stelle x(auch: stetige Wachstumsrate)

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