natürliche Zahlen
ganze zahlen
Brüche
rationale Zahlen
Potenzen
Zehnerpotenz-schreibweise
Wurzeln
irrationale Zahlen
reelle Zahlen
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
Die Zahlen 0;1; Z 3;4, ... werden als natürliche
Zahlen bezeichnet. Für die Menge der natürlichenZahlen schreibt man [',1 = {O;1;2;3; ---}-
Die Zahlen ...-3; -2; -1;0;1;2i3; ... werden als
ganze Zahlen bezeichnet. Zu ieder Zahl gibt es eine
Gegenzahl. Für die Menge der ganzen Zahlen schreibt
man Z = t..; -2; -1;0;1i 2; ...].
Gebrochene Zahlen können als Brüche oder DezimaF
brüche geschrieben werden' feden Bruch kann man in
einen Dezimalbruch umwandeln und umgekehrt.Der Wert eines Bruches ändert sich durch Küzen und
Erweitern nicht.
Wenn man alle positiven und negativen Bruchzahlen
einschließlich der Null zusammen nimmt, erhält man
die rationalen Zahlen Q.
Produkte aus gleichen Faktoren kann man mithilfevon Potenzen schreiben:a'a'...'a = an
n Faktoren
Sehr große Zahlen und Zahlen nahe bei Null schreibt
man oft als Produkt aus einer Dezimalzahl und einer
Zehnerpotenz (einer Potenz mit der Basis 10).
Die Quadratwuzel einer positiven Zahl b ist die
oositive Zahl a, die mit sich selbst multipliziert die
2ahl b ergibt: a2 = b, also: V5 = a
Die dritte Wuzel einer Zahl b ist die Zahl a, {erendritte Potenz die Zahl b ergibu a3 = b, also: ',lb = a
Es gibt auf der Zahlengeraden tunkte, denen keine
rationale Zahl zugeordnet werden kann. Diese kön-
nen nicht als Bruch geschrieben werden. Fs handelt
sich um nicht abbrechende und nicht periodische
Dezimalbrüche. Sie werden als irrationale Zahlen
bezeichnet und vervollständigen' die Zahlengerade-
Rationale Zahlen und irrationale Zahlen bilden zu-
sammen die reellen ählen lR. Zu iedem Punkt auf der
Zahlengeraden gehört eine reelle Zahl und zu iederreellen Zahl gehört ein bestimmter Punkt.
012345677r5
-4-3-2-101234
1.3
|= o,tst 0,1=t12322464
-2fr -0,5 'i '21
5-5.5=53
Beim Addieren und Multiplizieren können die Sum-
manden und Faktoren vertauscht werden:
3+§=§+aa.b=b'aJn Summen mit drei oder mehr Summanden und in
Produkten mit drei oder mehr Faktoren dürfen be-
liebig Klammern gesetzt oder weggelassen werden.
a + b +c = (3 + b) a g = 3 + (b+c)a .b .c = (a .b) .c = a .(b'c)
Das Distributivgesetz erlaubt das Ausklammern und
Ausmultiplizieren in Rechenausdrücken.
a.(b+c)=3[+aca'(b-c)=ab-ac
50OOOO0O = 5'1070,000023 =23-10-6
./u=s,'lo,+g = o,lv27=3't/qo« = o,+
^/7 =:,Atqzls ...n = 3X41592 ...
3,2+2,8=2,9+3,22x .7,5 = 7,5 ' 2x
11,3 + 2,7 + 1,8 = (11,3 + ),7) + 1,8
= 11,3 + (2,7 + 1,8)
2'2,3 '11 = (2'2,3) '11 = 2' (2,3 '11)
6a(2a +4b) = 6a' 2a + 6a' 4b = 12a2 + 24ab
4a(3b - 2a) = 4a' 3b - 4a' 2a = 12ab - 8a2
Beim Rechnen gelten für die verschiedenen Rechenarten unterschiedliche Rechengesetze. wenn man diese Rechengesetze
geschickt anwendet, können sie einem das Rechnen erleichtern'
20 lnhaltsbezogeneKompetenzen
Klammern zuerst,Punktrechnungvor Strichrechnung
binomische Formeln
Rechnen mitPotenzen undWurzeln
ln Rechenausdrücken müssen Klammern zuerst be-rechnet werden. Dann folgen die funkt- und danndie Strichrechenarten. Die Anwendung der Rechen-gesetze erleichtert häufig das Rechnen.
Es gelten die drei binomischen Formeln:(a+b)2 =a2+Zab+b2(a-b)2=62-2s§+§2(a+b)(a-b)=s2-62Für das Rechnen mit Potenzen gilt:an. am = an+man:am = an-m mit a * 0
(an)m = 3 n'm
,n.gn=(a.b)nFür das Rechnen mit Wurzeln gilt entsprechend:Vä./5 = \6 -E für a, b
= o
./Er{6 =.'616 für a>o,b>o,/7. b = /F. Vb = a -y'u" tur a, b
= o
((6,5 - 21,5) :(-5» - 1,s . 8= ((-15):(-5» - 1,5.8= 3 -1,5-8= 3-12=-9
a2.a3=as2s.22=22=4
13213 = 3s =r*24 .34 = Q.i4 = 6a =1296
Prozent
Prozentsatz,Prozentwert undGrundwert
Prozentrechnung
Zinseszins
Zins
Brüche mit dem Nenner 100 werden auch als Prozentbezeichnet. p% ist also eine andere Schreibweise
D'rur 1oo'
ln der Prozentrechnung bezeichnet man die Be-zugsgröße bzw. das Ganze als den Grundwert G.
Den Anteil, mit dem man sich beschäftigt, nennt manProzentwert W und der daraus resultierende Bruchteilheißt ProzentsaE p.
Der Zusammenhang zwischen Prozentwert, Gr:und-wert und Prozentsatz wird beschrieben durch ilieFormelW=G.p% bzw. w=G.*Diese Formel kann nach jeder Variablen umgefomttwerden, wodurch iede gesuchte Größe aus denbeiden anderen Größen berechnet werden kann.
Wenn man ein Kapitat K für ein fahr zu einem Zins-satz von p% anlegt, erhält man für dieses nach Ab-lauf des lahres p% von G als fahreszins ZZ- K. p%Wenn man das Guthaben nur für t Tage zu einem
Jahreszinssatz von p% anlegt, erhält man nur fider Jahreszinsen.Zt = K' puÄ'*..Für Monate gilt das Entsprechende:Z. - K' p%'E
Wenn man die gewonnenen Zinsen am lahresendedem Guthaben hinzufügt, erbringen diese imkommenden Jahr auch Zinsen. Man nennt sieZinseszinsen.
ffi=zsu"62,50/o = 0,625
Von 200 Schülern kommen 125 mit dem Bus.Das sind 62,50/o.
Die 200 Schüler bilden den Grundwert,125 den Prozentwert.62,50/o sind der Prozentsatz.
640/o der 25 Teilnehmer kamen ins Ziel.pYo=640/o;G=25,W=?w=25.0,64=1616 Teilnehmer kamen ins Ziel.
Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatzvon 3,25o/o angelegt.z=2000€.0,0325=35€Das Geld wird nach 2 Monaten abgehoben:z, = 2000€ .0,0325.1= rc,Alg
lnhaltsbezogeneKompetenzen 21
Zur Berechnung von Flächeninhalt (A), Umfang (u), Volumen (V)
und Oberfläche (O) von Flächen und Körpern sollten alle Größen-
angaben zunächst auf die gleiche Maßeinheit gebracht werden.
Kreis
Kreisbogen
Kreisausschnitt
zusammengesetzteFlächen
Viereck
Für den Umfang des Dreiecks ABC gilt: u = 3 + § + c
Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit der
Grundseite a und der Höhe h, gilt: A =:+
Für den Umfang des Rechtecks ABCD gilt:u = 2a + 2b bztx. für das Quadrat: u = 4a,da alle Seiten gleich lang sind.Für den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD gilt:A = a. b bzw. für das Quadrat: A = a2.
Für den Umfang des Parallelogramms ABCD gilt:u = 2a + 2b bnu. für die Raute u = 4a, da alle Seitengleich lang sind.Für den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD mitder Grundseite g und der Höhe h gilt: A = g' h
Für den Umfang des Trapezes ABC gilt:g=s+§+6+dFür den Flächeninhalt des Trapezes ABCD gilt:A= +'h"
Für den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesserd bzw. dem Radius r gllt: u = n'd = 2'n'rFür den Flächeninhalt des Kreises gilt A= n'l
Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel agilt für die Länge des Kreisbogens b:b = 2nr 's5oos = flr'#Bei einem Kreisausschnitt mit Mittelpunktswinkel sgilt für den Flächeninhalt des Kreisausschnittes A:
A=flr2.r*-=T
Der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen be-rechnet sich aus der Summe der Einzelflächen.Der Umfang wird durch die Summe der Länge derEinzelstrecken ermittelt, die die Gesamtfläche be-
grenzen.
nicht geradlinig Den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flä-
begrenzte Flächen chen kann man schätzen, indem man sie mit einemGitter unterlegt und die Gitterflächen abzählt.Eine zweite Möglichkeit besteht darin, die Fläche miteiner passenden Fläche (wie Rechteck oder Paralle-logramm) zu hinterlegen.
26 lnhaltsbezogeneKompetenzen
Zylinder
Prisma
Kegel
Pyramide
Kugel
zusammengesetzteKörper
Für das Volumen des Quaders gilt: V = a 'b . cFür die Oberfläche des Quaders gilt:0 = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc+ ac)
Filr das Volumen des Zylinders mit Grundkreis k undHöhe h gilt: Y = Ak. h = TIr2. hFür die Oberfläche des Zylinders mit Grundfläche G,
Mantelfläche M und Höhe h gilt:O=2G +M=2nr2+2nr.hFüY das Volumen des Prismas mit Grundfläche G undHöhe h gilt: V = G.hfiii die Oberfläche des Prismas mit Grundfläche G
und Mantelfläche M gilu O = 2G + M
Für das Volumen des Kegels mit Radius r und Höhe hgilt: V={nr2.hFür die Oberfläche des Kegels mit Radius r undMantellinie s gilt: 0 = TIr2 + rlrs
Für das Volumen der foramide mit Grundfläche G undHöhehgilt: V=lG.hFür die quadratische hyramide mit Seitenlänge a gilt:V = Ja2. trFür die Oberfläche der quadratischen Pyramide mitSeitenlänge a und der Höhe h, einer Seitenflächeeilt:ö=a'*a*Für das Volumen der Kugel mit Radius r gilt:V=fn13Für die Obedläche der Kugel mit Radius r gilt:O*4nlDas Volumen zusammengesetzter und ausgehöhlterKörper berechnet man aus der Summe oder der Diffä-renz der Einzelkörper.Die Oberfläche solcher Körper besteht aus derSumme aller Einzelflächen.
Efr'A@
c
a
trigonometrischeBeziehungen
AhnlichkeitundzentrischeStreckung
ln einem rechtwinkligen Dreieck gilt:. Gesenkathete von q
stnu = -:HveoG;re
cosq, = ArffiH"Gerenkathete vm q
tancr = --i-AnGrnere von d
ln beliebigen Dreiecken gelten der Sinussatza sinc a sing 6 sinBb=sinß;Z=rinV;Z=sinf
ii:tä:irmxl"i+'w4*ru6z= 1!1gz-2ac.cosp l' nrln4 "tkt*lc2= a2+b2-2ab. cosy )Werden Flächen und Körper um den StrecHaktor, m Länge der BildstHkek=;=ffi gestreckt,gilt:
ähnliche Streckenlängen: fi = fi; a2 = k. a.1
X=*,Az = kz'&
V=*, ,,= k3'Vr
ähnliche Flächen:
ähnliche Volumina:
lnhaltsbezogeneKompetenzen 27
Koordinatensystem Das Koordinatensystem untefteilt die Ebene in vier
Quadranten und macht die eindeutige Bestimmung
Winkel
der Lage eines Punktes möglich.Man schreibt: P(xly).
Ein Winkel wird von zwei Schenkeln mit gemeinsa-men Scheitelpunkt S eingeschlossen. Die Größe einesWinkels s wird in Grad (kuz: ") angegeben.Es gibt spitze (a . 90"), rcchte (q = 90"), stumpfe(90"< q . 180") gestreckte (q = 180'), überstumpfe(180'< s < 3601 und volle (q = 360") Winkel.
Scheitelwinkel sind gleich groß.Nebenwinkel ergänzen sich zu 180".Stufenwinkel sind gleich groß.Wechselwinkel sind gleich groß.
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn man sledurch eine geeignete Achse (Symmetrieachse) inzwei spiegelbildliche:Teile zerlegen kann. Sie istpunktsymmetrisch, wenn man sie durch eine halbeDrehung um den Symmetriepunkt in sich selbstüberführen kann.
Zwei Figuren sind dann ähnlich, wenn sie in den ent-sprechenden Seitenverhältnissen und Winkeln über-einstimmen.
Werden zwei Strahlen mit Anfangspunkt Z von zweiparallelen Geraden in den Punkten A und B bzw. lYund B'geschnitten, so sind die Dreiecke ZAB undZAB'ähnlich. Es gelten die beiden Strahlensätze:
1. Strahlensatr,'#=#,
2. Strahlensatz, {$ = #
Winkelsätze
Symmetrien mffiilhntictrkeit
Strahlensätze
Dreiecke
Dreieckekonstruieren- kongruenteDreiecke
Besondere Linienim Dreieck
Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180'(u + p + y =180"). Man unterscheidet Dreiecke nachihren Winkeln und nach ihren Seiten. So klassifiziertman die Dreiecke in rechtwinklige, spitzwinklige undstumpfwinklige und in gleichseitigg gleichschenkligeund allgemeine Dreiecke.
Zwei Dreiecke sind kongruent oder deckungsgleich,wenn sie übereinstimmen in- drei Seiten (SSS).
- einer Seite und den zwei anliegenden Winkeln(wsvv).
- zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel(sws).
- zwei Seiten und dem Winkel, der der größerenSeite gegenüberl iegt (SSW).
Solche Dreiecke können durch die jeweiligen Vorga-ben eindeutig konstruiert werden.
Auf der Winkelhalbierenden liegen die Punkte, dievon den Schenkeln des Winkels den gleichen Abstandhaben. Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecksschneiden sich im lnkreismittelpunkt.Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Streckehat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten.Die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks schneidensich im Umkreismittelpunkt. Der Schnittpunktder Seitenhalbierenden bildet den Schwerpunktdes Dreiecks, die Höhen schneiden sich imHöhenschnittpunkt.
2a\a
32 lnhaltsbezogeneKompetenzen
Satz des Pythagoras
Vierecke
Vielecke
Kreis
Satz des Thales
ln einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkelbei C gilt: a2 + b2 = c2. Gilt bei einem Dreieck az + b2= c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 360"(a + B + y + ö = 360"). Es gibt achsensymmetrischeVierecke (Drachen, symmetrisches Trapez), dreh-symmetrische Vierecke (Parallelogramm) und solche,die beides sind (Raute, Rechteck, Quadrat). Ein Vier-eck ohne Symmetrien heißt allgemeines Viereck
Man unterscheidet zwischen unregelmäßigen undregelmäßigen Vielecken. lm regelmäßigen Vielecksind alle Seiten gleich lang und alle lnnenwinkelgleich groß. Der Mittelpunktswinkel eines n-Ecks hatdie Größe ö =360:n und der lnnenwinkel a =180 - ö.Die Winkelsumme in einem n-Eck beträgt(n - 2).180'.
Alle Punkte des Kreises haben vom Mittelpunktdieselbe Entfernung. Diese bezeichnet man alsRadius r. Der Durchmesser d ist doppelt so langwie der Radius. Ein von zwei Punkten begrenztesStück des Kreises heißt Kreisbogen. Ein von zweiRadien begrenztes Stück der Kreisfläche heißtKreisausschnitt.
Liegt der Punkt C des Dreiecks ABC auf demHalbkreis über der Strecke AB, so ist y ein rechterWinkel. Hat ein Dreieck einen rechten Winkel bei C
dann lie6 C auf dem Halbkreis über der Strecke fb.
Würfel und Quader Ein Quader hat sechs rechteckige Flächen.
Prisma
Pyramide
Zylinder
Kegel
Schrägbilderund Netze
Gegenüberliegende Rechtecke sind gleich groß. Jevier Kanten sind parallel und gleich lang. Der Quaderhat acht Ecken, sechs Flächen und zwölf Kanten.Ein Würfel ist ein besonderer Quader: er besteht aussechs Quadraten.
Ein Prisma wird begrenzt durch Grund- undDeckfläche und den Mantel. Der Mantel bestehtaus Rechtecken; die Grund- und Deckfläche sindkongruent und bestimmen den Namen des prismas.
Ein über seiner Grundfläche spitz zulaufender Körperheißt foramide. Er ist begrenzt durch die Grundflächeund dem aus Dreiecken zusammengesetzten Mantel.Die Manteldreiecke treffen sich in der Spitze.Die Grundfläche bestimmt den Namen der pyramide.
Ein Zylinder wird begrenzt durch den Grundkreis, denDeckkreis und das zum Mantel aufgerollte Rechteck.
Der Kegel besteht aus einem Grundkreis und einemaufgerollten Kreisausschnitt als Mantel.
Körper kann man in Form von Schrägbildern, Netzenund Modellen darstellen. lm Schrägbild blejben alleKanten und Winkel unverändert, die parallel zurZeichenebene liegen. Senkrecht zu ihr laufende Linienwerden unter einem 45'-Winkel und auf die Hälfteverküat gezeichnet. Aus Netzen lassen sich Körperherstellen.
Eine Kugel ist ein Körperi der sich nicht aus ebenenFlächenstücken zusammensetzen lässt.
Quader
Zylinder
ffiru
Kugel Kugel
lnhaltsbezogene Kompetenzen 33
Dreisatz
umgekehrterDreisatz
'rzoo ( 120!
.1700 ( 170;
Wenn zum Zweifachen; Dreifachen; Vierfachen ."einer Eingabegröße das Zweifache; Dreifache; Vier-
fache ... der Ausgabegröße gehöG kann man
gesuchte Werte der Ausgabegröße mit dem Dreisatz
bestimmen.Man schließt zuerst durch Division auf die Einheit und
dann durch Multiplikation auf das Vielfache.
Wenn zu einem Drittel; zur Hälfte; zum Zweifachen;
zum Dreifachen, ... einer Eingabegröße das
Dreifache; Doppelte; die Hälfte; ein Drittel; ... der
Ausgabegröße gehört, kann man gesuchte Werte
der Ausgabegröße mit dem umgekehrten Dreisatz
bestimmen. Der Division der Eingabegröße entspricht
die Multiplikation der Ausgabegröße und umgekehrt'
12OO t Öl kosten 600€. Wie viel kosten '1700 t?
Heizölmenge in I Preis in €
,) :1200
,,) .rzoo
1700t Heizöl kosten 850€.
Eine Radtour ist mit 7 Etappen zu je 60kmgeplant. Die Gruppe hat aber nur 5 Tage Zeit.
Anzahl derTage Strecke in km I
Die Tagesstrecke muss 84km betragen.
600
0,5
850
50
420 )'t84 ),s
,11's( 5
lineare Gleichungen Man nennt Gleichungen wie y = mx + b lineare
Gleichungen.
proportionaleZuordnungen
antiproportionaleZuordnungen
lineare Gleichungenmit zwei Variablen
lineareGleichungssYsteme(LGS)
mit zwei Variablen
lösen von LGS
Bei einer proportionalen Zuordnung x - y sind die
Quotienten zugeordneter Größen gleich.
lit dieser Quotient 2.8.2, so lässt sich der y-Wert mitder Gleichung ,! = 2'x berechnen.
Der Graph liegt auf einer Geraden'
Bei einer antiproportionalen Zuordnung x * y sind
die Produkte zugeordneter Größen gleich.
lst dieses Produkt z.B. 4, so lässt sich der y-Weft mit
derGleichung y = f berechnen.Der Graph lieg auf einer HYPerbel.
Der Graph liegt auf einer Geraden.
Für lineare Gleichungen wie -2x + Y = 2 mit den
VariablenxundYgilt:1. lede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar.
2. Es gibt unendlich viele Lösungen.
3. Die grafische Darstellung der Lösungen ist eine
Gerade.
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden
ein lineares Gleichungssystem (LGS).
Eine gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen
heißt Lösung des LGS. Ein LGS hat entweder genau
eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
Gleichsetzu n gsverf ahrenMan löst beide Gleichungen des LGS nach derselben
Variablen auf. Durch Gleichsetzen derTerme erhält
man eine Gleichung mit einer Variablen.
AdditionsverfahrenMan formt beide Gleichungen so um, dass beim
Addieren beider Gleichungen eine Variable wegfällt.
EinsetzungsverfahrenMan löst eine Gleichung nach einer Variablen auf
und setzt diesen Wert der Variablen in die andere
Gleichung ein.
(1 | 4) ist Lösung der Gleichung,
dennz.1+2=4
123 4(-2 | -2) ist Lösung der Gleichung,
der.nz'(-2) + 2= -2
(1) x-2y =2;y=!x-1(2) x+y=§' y=-x+5
Gleichsetzungsverfähren:
]x-1=-x+51*= 6
x=4Additionsverfahren:(1) 3x+5y=10(2) 4x-5y=4(1) + (2):7x=14
x=2y=0,8r-=(210,8»
Einsetzen ergibt:
y=-\+l=lr-=(411»
- Graph der Zuordnung Y = 2x + 2
38 lnhaltsbezogeneKomPetenzen
Funktion
QuadratischeFunktion
Sinus- undKosinusfunktion
Exponential-funktionen
Eine Zuordnung die ledem x-Wert jeweils nur eineny-Wert zuordnet, heißt Funktion.Die Gleichung Y = ax + b, mit der sich dieFunktionswerte y berechnen lassen, heißtFunktionsgleichung einer linearen Funktion.
Funktionen, die eine Funktionsgleichung in der Formy = ax2 + bx + c haben, heißen quadratischeFunktionen.Der dazugehörige Graph heißt Parabel.lhren kleinsten bzw. größten Wert nimmt einequadratische Funktion im Scheitelpunkt an.Die Parabel der Funktion y = 0,5(x - 2)2 + 3 istgegenüber der Parabel der Funktion y = 0,5x2 um 2nach rechts und um 3 nach oben verschoben.
Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktionkann in der Scheitelform y = 2- (x + 3)2 + 4 oderin der Normalform y= 2x2 +12x + 22 dargestelltwerden.
Die Funktionen sin und cos werden so für alle Winkels definiert:Jeder Winkel u mit der positiven x-Achse als erstemSchenkel bestimmt mit seinem zweiten Schenkeleinen Punkt Po auf dem Einheitskreis. Man legt fest:Die x-Koordinate des Punktes Po ist cos(s).Die y-Koordinate des Punktes Po ist sin(a).
FunktionenderForm x-ax für a>0 und a+1nennt man Exponentialfunktionen.Sie sind für alle reellen Zahlen x definier!, ihreFunktionswerte sind stets positiv.Alle Graphen gehen durch den Punkt (0 l1).
Lineares Wachstum Nimmt die erste Größe um I zu, so wächst die zweiteGröße ieweils um den gleichen festen Wert.
Lineares Wachstum mit Wachstumsrate 4:
+\
Exponentielles Wachstum mitWachstumsfaktor 1,5:
ExponentiellesWachstum
Nimmt die erste Größe um 1 zu, so wächst die zweiteGröße jeweils um einen festen Faktor.
+1,,1\
+1/',\
+1,t;\
+1
+1/';\
+1-r-;\
\L,r
lnhaltsbezogeneKompetenzen 39
Die Ergebnisse einer statistischen Erhebung können
in einer Liste notiert werden, der sogenannten Urliste'
Sie ist in der Regel ungeordnet.
Eine Liste, in der die Ergebnisse der Größe nach
sortiert sind, heißt Rangliste.
Gibt man zu jedem möglichen Wert der Liste an, wie
oft er vorkommt, so erhält man eine Häufigkeitsliste.
ln einer 10. Klasse mit 25 Schülerinnen und
Schülern wird ermittelt, wie viele Bücher(außer für den Unterricht) jeder im letzten
lahr gelesen hat.Urliste: 0; 3; 1;
0; 0; 4;1;3; 5;
Rangliste: 0; 0;
3;3; 4; 4; 4;5;
Häufigkeitsliste:
3;17; 5; 6;9; 4;1; 4;3;12; 3; 6i 8;1;30; 1; 1; 1; 1; 2; 3; 3; 3;
5; 6; 6; 8; 9;12;17Rangliste
Häufigkeitsliste
Häufigkeiten
Diagramme
Kennwerte (1)
Bücher absoluteHäufigkeit
relativeHäufigkeit
relativeHäufigkeit
in o/o
0 3 012 12o/o
1 4 0,16 160/o
2 1 0,04 4o/o
3 6 0,24 24o/o
4 3 0x2 12o/o
5 2 0,08 8o/o
6 2 0,08 8o/o
8 1 0,04 4o/o
9 1 0,04 4o/o
12 1 0,04 4o/o
17 1 0,04 4o/o
Die Anzahl, mit der ein bestimmter Wert vorkommt,
heißt absolute Häufigkeit des wertes.Der Anteil, den die absolute Häufigkeit an der Ge-
samtzahl der erhobenen Daten hat, heißt relative
Häufigkeit' - . . absoruteHäufigkeitrelative Häufigkeit = - *ffit
"ht
Mit Diagrammen kann man die edassten Werte
veranschaulichen.ln Säulendiagrammen kann man die absoluten
Häufigkeiten der Werte der zugrunde liegenden Liste
ablesen.Kreis- oder Streifendiagramme machen deutlich,
welchen Anteil ein Wert der zugründe liegenden
Häufigkeitsliste am Ganzen hat'
Der kleinste Wert einer Rangliste heißt Minimum, der
größte Maximum. Die Differenz von Maximum und
Minimum heißt SPannweite.Die Spannweite ist ein Maß dafür; wie weit die Werte
der Erhebung auseinander liegen, gelegentlich sorgt
aber ein Ausreißer für eine große Spannweite.
Die Summe aller Werte dividien durch die Anzahl der
Werte heißt Mittelwert oder arithmetisches Mittel.Der Mittelwert ist ein Durchschnittswert.
Sechs Schüler lasen im letzten lahr 3 Bücher.
Die absolute Häufigkeit des Wertes ,,3 Bücher"
ist also 6.
Die relative Häufigkeit dieses Wertes
beträgt fi = o,z+ -- 24o/o.
0 Bücher sind das Minimum.17 Bücher sind das Maximum.
17 Bücher - 0 Bücher = 17 Bücher
Die Spannweite beträgt 17 Bücher.
(3. 0 + 4 .1 +1' 2+ 6'3 +3' 4 +2' 5 + 2' 6
+ 1 . 8 + 1 - g + 1. 12 + 1' 17) : 25 =ff =+rclm Durchschnitt wurden rund 4 Bücher
gelesen.
44 lnhaltsbezogeneKomPetenzen
Kennwerte (2) Der Wert in der Mitte einer Rangliste heißt Zentral-wert oder Median. Hat die Rangliste eine ungeradeAnzahl von Werten, so ist der mittlere Wert derZentralwert. Hat die Rangliste eine gerade Anzahlvon Werten, so bildet man den Mittelwert der beidenWerte in der Mitte.Mindestens die Hälfte aller Werte liegt unterhalb desZentralwertet mindestens die Hälfte oberhalb.Tritt ein Ergebnis häufiger auf als alle anderenErgebnisse der Erhebung, so ist dieser Wert derhäufigste Wert oder Modalwert."Der Modalwert ist ein guter Ersatz für den Mittel-wert in Erhebungen, für die ein Mittelwert nichtsinnvoll bestimmt werden kann. (Wenn z. B. nachder Lieblingsfarbe gefragt wird: Der Mittelwert vonFarben ist nicht sinnvoll anzugeben.)
Da die Liste 25 Werte enthält, liegt derMedian an der 13. Stelle.Das entspricht 3 Büchern:13 Schüler haben3 Bücher oder weniger gelesen, und13 Schüler haben 3 Bücher oder mehr gelesen.
Der Modalwert ist hier derselbe wie derZentralweft:3 Bücher wurden am häufigsten gelesen.
Ergebnis
möglicheErgebnisse
günstigeErgebnisse
Ereignis
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Baumdiagramm
ffadregel
Bei einem Zufallsversuch werden die möglichenAusgänge als Ergebnisse bezeichnet.
Alle n Ergebnisse, die bei einem Zufallsversuchauftauchen können, heißen mögliche Ergebnisse.
Alle m Ergebnisse, die zum betrachteten Ereignisführen, heißen günstige Ergebnisse.
Mehrere Ergebnisse kann man zu einem Ereigniszusammenfassen.
Sind alle n möglichen Ergebnisse einesZufallsversuchs gleich wahrscheinlich, so sprichtman von einem Laplace-Versuch und berechnetdie Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch dieFormel p = d.Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit mgünstigen Ergebnissen ist dann p(E) = *.Besteht ein Zufallsversuch aus mehreren Teilversu-chen, so spricht man von einem mehrstufigenZufallsversuch. Ein Baumdiagramm veranschaulichtdie möglichen mehrstufigen Ergebnisse. Mithilfe desBaumdiagramms lässt sich die Wahrscheinlichkeitjedes mehrstufigen Ergebnisses bestlmmen.
Die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigenErgebnisses ist gleich dem Produkt aus allenWahrscheinlichkeiten entlang des ffades, der imBaumdiagramm zu diesem mehrstufigen Ergebnisführt.
Mehrstufige Ergebnisse können wieder zu Ereignissenzusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeitdes Ereignisses ist dann die Summe der zugehörigenErgebniswahrscheinlichkeiten.
Der Münzwurf mit zwei Münzen stellt einenZufallsversuch dar.
Es gibt vier mögliche Ergebnisse: (WW), (WZ),(ZW), (U), wobei Z für Zahl, W für Wappensteht.Für das Ereignis,,mindestens ein Wappenwerfen" gibt es die drei günstigen Ergebnisse(WW), (Wz) und (ZW).
Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich undhat die Wahrscheinlichkeftlo = 25o1o.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
,,mindestens ein Wappen werfen"beträ5 1,, =75Yo.
E1 -E2
E3-
E4
E5
E
E7-
E8
E^
Summen-regel
Summenregel
lnhaltsbezogeneKompetenzen 45