1
4 3D-Kinematik
2
Vektoren
Zur Charakterisierung der Bewegung eines Körpers benötigt man auch die Information über die Richtung der Bewegung
3
Richtung der BewegungVektoren
4
Geschwindigkeits-Feld
Jedem Punkt im Raum
wird ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
),,,(v),,,(v),,,(v
t)z,y,v(x,
z
y
x
tzyxtzyxtzyxt)z,y,(x,
5
Vektoren
4 blocks west
10
blo
cks
sou
th
10.7
7 blo
cks
Ziel
Start
)²Blocks 4()²Blocks 10(Blocks 77.10 +=
Abstand Start-Ziel
6
Skalare und vektorielle Größen
Skalare: Physikalische Größen ohne RichtungsabhängigkeitTemperatur, Druck, Energie, Masse, Zeit
Vektoren: Physikalische Größen mit RichtungsabhängigkeitTranslation, Geschwindigkeit, Beschleunigung
→
a→
b
→
c
Vektorsumme
→→→
+= bac→→→→
+=+ abba Kommutativgesetz
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→→→→→→
cbacba
Assoziativgesetz
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=−=
→→→→→
babac
Vektorsubstraktion
7
Vektoraddition graphisch
Vektoren können in beliebiger Reihenfolge zusammengesetzt werden
8
Vektoraddition graphisch
Vektoren können in beliebiger Reihenfolge zusammengesetzt werden
ar
br
barr
+
br
ab rr+
abba rrrr+=+
Kommutativgesetz
ar
9
Vektoraddition graphisch
arbr
cr
barr
+
( ) cba rrr++
arbr
cr
cb vr+
( )cba rrr++( ) ( )cbacba rrrrrr
++=++Assoziativgesetz
10
Vektorsubstraktiongraphisch
ArB
rAr
B-r
Ar
B-r
B-ACrrr
=
Br
( )B-AB-ACvrvrr
+==
Ar
A-r
11
Vektorkomponentenanalytisch
Ar
α
xA
yA
22
yx
AAAA
AAA
yx +==
+=r
rrr
αAcosAx =
αAsinAx =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x
y
AA
tan 1-α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+=
+=+=+=+=
−
x
y1
22
yyy
xxx
CC
tan
CCC
BsinAsinBACBcosAcosBAC
γ
βαβα
yxAr
α
xC
yC
xA
Br
yA
yB
xBβ
γ
Betrag des Vektors
Cr
analog Vektorsubstraktion
Betrag des Vektors A
x-Komponente
y-Komponente
12
Einheitsvektoren
x
y
z
xeryer
zer
Einheitsvektoren sind Vektoren die in eine bestimmte Richtung zeigen und die Länge EINS haben
Vektor setzt sich zusammen aus Längenangabe und Richtung
zyx
zzyyxx
zzyyxx
ezeyexr
ebebebb
eaeaeaa
rrrr
rrrr
rrrr
++=
++=
++=
( ) ( ) Nord Richtungin km 13 WestRichtungin km 12gerechnet aus Zentrum vomZiel ⋅+⋅=
rr
x
y
1,1,1 === zyx eee rrr
13
Translation
( ) ( )( ) ( ) ( )
zyx
zyx
zyxzyx
ezeyexr
ezzeyyexxr
ezeyexezeyexrrrr
rrrr
rrrr
rrrrrrr
rrr
Δ+Δ+Δ=Δ
−+−+−=Δ
++−++=Δ−=Δ
121212
111222
12
rrΔ
2rr
1rr
O
P1
P2
14
Geschwindigkeitsvektor
zyx
zyx
avg
etze
tye
tx
tezeyex
tr
rrrr
rrrr
rr
ΔΔ
+ΔΔ
+ΔΔ
=
Δ
Δ+Δ+Δ=
Δ
Δ=
avg
avg
v
v
v
Mittlere Geschwindigkeit
Momentane Geschwindigkeit
( )
zyx
zyx
edtdze
dtdye
dtdx
ezeyexdtd
rdtd
rrrr
rrrr
rr
++=
++=
=
v
v
v
Die Richtung des Vektors der momentanen Geschwindigkeit ist
die Tangente am Ort des Teilchens
15
Beschleunigungvektor
ttaavg Δ
Δ=
Δ−
=vvv 12rrr
r
Mittlere Beschleunigung
( )
zzyyxx
zzyyxx
zz
yy
xx
zzyyxx
dtda
dtda
dtda
eaeaeaa
edt
dedt
de
dtda
eeedtda
dtda
v ,v ,v
vvv
vvv
v
===
++=
++=
++=
=
rrrr
rrrr
rrrr
rr
Momentane Beschleunigung
Die Richtung des Vektors der momentanen Beschleunigung zeigt nicht in Richtung der
Bahn, sondern die Richtung der resultierenden Beschleunigung
16
Die Tour des MistkäfersParastizopus armaticeps
Auch Ameisen können zählen -und zwar nicht nur bis drei. In einem Experiment stellte sich
heraus, dass Wüstenameisen sich anhand ihrer Schrittzahl
orientieren. Forscher fanden das heraus, indem sie den Tieren die Beine verlängerten oder kürzten. 20. Juni 2006
17
Unterschiedliche Sichtweisen
Situation „Auf dem Wagen“Beobachter auf dem Wagen
wirft Ball nur in die Höhe
Situation „Auf dem Erdboden“Person außerhalb beobachtet, dass sich der Ball nicht nur nach oben,
sondern auch zur Seite bewegt
Wer hat recht?...oder hat einer unrecht?
18
Superpositionsprinzip
0.0s0.1s
0.2s
0.3s
0.4s
0.5s
vx
vy
Geschwindigkeits-Komponenten
Bewegungen endlang senkrechter Richtungen sind unabhängig voneinander
Schwerkraft wirkt nur entlang der vertikalen Achse
19
Skateboarder
Geschwindigkeitskomponente in Geradeausrichtung bleibt
erhalten!
20
Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?
Luftreibung wird hier vernachlässigt
x0xx
x0
vvvv==
+= txxHorizontale Bewegung ax=0
°=Θ 75
m 125=xxv
yv
0xv
0yv
Anwendung des Superpositionsprinzips
m/s 70v0 =r
0vr
21
Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?
Vertikale Bewegung des Körpers ay=-g=-9.81 m/s²
20y0 2
1v gttyy −+=°=Θ 75
m 125=x
tgt
ytyy2vv
2vv y0y0
0yy0
0
−++=
++=
tyy y0 v+=
2vv
v yy0y
+=mittlere
Geschwindigkeit
m/s 70v0 =r
Ergebnis aus 1d-Kinematik
at+= y0y vvmomentaneGeschwindigkeit
Höhe der Flugbahn als Funktion der Zeit
22
Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?
Vertikale Bewegung ay=-g=-9.81 m/s²
)(2vv 020y
2y yyg −−=
°=Θ 75
m 125=x
( )yy0
0
yy00
vv2
2vv
+−
=
⇓
++=
yyt
tyy
gt−= 0yy vv
( )yy0
0y0y vv
2vv+−
−=yyg
( )( ) ( )( )0
2y0
2y
0yy0y0y
2vv
2vv vv
yyg
yyg
−−=−
−−=+−m/s 70v0 =
r
Geschwindigkeit des Körpers als Funktion der Höhe
23
Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?
gy
gy
yyg
2v
2v0
)(2vv
20y
20y
020y
2y
=
−=
−−=
( )( ) m/s 6.67sin75m/s 70v0y =°=
Θ= sinvv 00y
( )( ) m 232.9
m/s² 9.812m/s 67.6
2gv 22
y0 ===y
Scheitelpunkt hängt nur von der vertikalen Komponente der Geschwindigkeit ab
Höchster Punkt der Flugbahn: vy =0
m/s 70v0 =r
m 125=x
0yv °=Θ 75Θ
0v
24
Waagerechter Wurf
Horizontale Bewegung
txx 0x0 vVertikale Bewegung
=− Θ= cosvv 00x
( ) t cosvx-x 00 Θ= ( ) ²21 sinvy-y 00 gtt −Θ=
²21vy-y 0y0 gtt −=
vr
Θ= cos vv 00x
Θ= sin vv 00yΘ
x
y
Analyse nach den Komponenten des Geschwindigkeitsvektors
25
Care Paket
sm260v 380 =A
gty −=v
380vA
380vA
yv
sm298v
sm147-
sm260v
vvv22
2y
2x
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
Θ
hkm530
sm147v
s 15sm9.810v
vv
y
2y
0y
−≈−=
−=
−= gtFallzeit 15 s
vertikale Geschwindigkeit
horizontale Geschwindigkeit
Aufschlaggeschwindigkeit
ohne Reibung
26
Wurfweitegesucht: Gleichung unabhängig von Flugdauer
Horizontale Bewegung
Vertikale Bewegung
txx 0x0 v=− Θ= cosvv 00x
( ) t cosvx-x 00 Θ=
( ) ²21 sinvy-y 00 gtt −Θ=
²21vy-y 0y0 gtt −=
( )( )
² cosv2
1 tany 20
xgxΘ
−Θ=
Zeit durch Ort und Geschwindigkeit ersetzen
Θ=
cosvx-x
0
0t
2
0 cosv21
cossiny ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Θ
−ΘΘ
=xgx
00ensystemsKoordinant des WahlFreie
00 == ,yx
Flughöhe als Funktion der x-Koordinate
2
0
0
0
000 cosv2
1 cosv
sinvy-y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Θ
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Θ
Θ=x-xgx-x
suche zeitunabhängige Gleichung
00 vv ≡r Θ= cos vv 00x
Θ= sin vv 00y
27
Wurfparabel
( )( )
² cosv2
1 tany 20
xgxΘ
−Θ=
allgemeine Form der Gleichung
Abschusswinkel Θ konstantGravitationsbeschleunigung g konstant
Anfangsgeschwindigkeit v0 konstant
2yf(x) bxax −==Bahnkurve ist Parabel!
a b
( )( )
² cosv2
1 tany 20
xgxΘ
−Θ=
28
Froschsprung
29
Maximale WeiteBedingung für den Aufschlagort y(xmax)=0
( ) t cosvx 0max Θ=
( )2
0
max
0
max0 cosv2
1cosv
sinv0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Θ
−Θ
Θ=xgx
zeitunabhängige Gleichung erzeugen
Θ=
cosv0
maxmax
xt
( ) 2maxmax0 2
1 sinv0 gtt −Θ=
Θ=ΘΘ 2 sincossin2
ΘΘ=⇒ΘΘ
Θ= cossin2v
cosv21
cossin0
20
max220
max
gxxg -
Trigonometrie
ΘΘ= cossinv2 20
max gx
Θ= 2sinv20
max gx
maximal wenn sin2Θ=1, d.h. Θ=45°
gilt nur, wenn y(x=0)=y(x=xmax)
Würfe mit einem Abschusswinkel von 45 Grad gehen stets am weistesten
30
Aristoteles:a) gerade ansteigende Linieb) gekrümmtes Kurvenstückc) senkrechter Fall
Vorstellung gültig bis ins 16. Jahrhundert
Ursache der BewegungEine lebendige Kraft (vis viva) treibt den Körper an, die dann erlischt, sodass der Körper in einer Kurve zu Boden fällt.
Rivius 1547
Paradigmenwechsel bei Galilei:Annahme idealisierter Bedingungen, d.h. Vernachlässigung des Luftwiderstandes
31
Stroboskopaufnahme eines aufprallenden Balls
E.J. Marey Balle Balle rebondissante, étude de trajectoire (1886)
Zeit
Zeit
Die Antwort auf diese Frage gibt erst die Thermodynamik (Entropie)
Warum kann man hier die Zeitrichtung nicht umdrehen?
32
Home Run
33
Home Run
34
Wurfweite
Vulkan Arenal
Costa Rica
Letzter Ausbruch 1968
Der Arenal auf Costa Rica ist einer der weltweit aktivsten Vulkane. Regelmäßig fließt Lava an den Hängen zu Tal und immer wieder wirft er
glühende Gesteinsbrocken mit bis zu 7,5 m Durchmesser 300 Meter in den Himmel.
35
Wurfweiteberechnet mit Vektoren
Anfangsbedingungen
Bewegung in der x-y Ebene
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛==
0
0 ,
0vv
0)(tv ,0
0)0( 0
0
gahtr y
xrrr
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+=
0
²21v
v
)( 0
0
gtth
t
tr y
xr
²21v)(
v)(v)(
0
00
gtthty
txtttx
y
xx
−+=
=⇒=
Einzelne Komponenten
0v x
0v y
x
y
h
vr
2
000 v2
1v
v)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
xxy
xgxhxy ²v2
1vv
)( 2x00
0 xgxhxyx
y −+=
Θ
Winkel taucht nicht mehr auf, da hier Behandlung mit den
Vektorkomponenten
z
Wurfhöhe als Funktion der Entfernung vom Abschußort
0)( =tz
nach t aufgelöst
36
Wurfweiteberechnet mit Vektoren
0v x
0v y
x
y
h
vr
²v2
1vv
)( 2x00
0 xgxhxyx
y −+=
0)( =tydxd
das haben wir schon mal berechnet
Scheitelpunkt charakterisiert durch
Θ=
ΘΘ=
=⇒−=
2sin2gv
sinvcosv
vvvv
v0
20
00
002x00
0
Scheitel
Scheitel
yxScheitelScheitel
x
y
x
gx
gxxg
Θxgxy
dxd
xgdxdx
dxdh
dxdxy
dxd
x
y
x
y
2v2
1vv
0)(0
²v2
1vv
)(
2x00
0
2x00
0
−+==
−+=
37
Wurfweiteberechnet mit Vektoren
0v x
0v y
x
y
h
vr
²v2
1vv
)( 2x00
0 xgxhxyx
y −+=Wurfweite
0)( =xy
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Θ++=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±−=
=−−
−+=
22s
20
max
2x0
2
0x000max
2x0
max0x02
max
2max2
x00
0
singx
v211
v2vvgvv
0v2v2v
v21
vv
0
hxx
gh
gx
ghx
gx
xgxh
s
yyx
y
x
y
aacbbx
cbxax
24²
²
−±−=
⇓
=++
Θ== 2sin2gvvv 2
000
gx yx
Scheitel
Scheitelpunkt
Θ
38
Let`s Jump at 66 mph
70
sm30
3600sh
km1000m
milekm1.609
hmiles66
hmiles66 =⋅=
15 m
!!! Fahrbahn ist flach !!!
0.5s
sm30
15mvx
===xt ( ) m 1.2s 0.5
s²m9.81
21²
21 2 −=−=−= gty
Resultat: Bus kracht in die Fahrbahn
39
Let`s Jump at 66 mph
Bus verlässt die Straße mit einem Winkel von 20°(Ursache unbekannt)°= 20α
Flugbahn annähernd parallel zur Fahrbahn (nicht das, was wir gelernt haben)
Landung knapp hinter Baulücke
( ) 59m202sin
s²m9.81
sm30
2sinv
2
max
20
max
=°⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
Θ=
x
gx
zu weit und damit zuviel des guten
°=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Θ − 7.4
vsin
21
20
1 gxoptOptimaler Winkel
40
Sportvergnügen auf dem Mond
Θ= 2sinv20
maxErdeg
x
Θ= 2sinv20
maxMondg
x1:6: ≈MondErde gg
41
Newtons Gedankenspiel
Annahme bislangxmax<< Erdradius
- maximale Weite wird stark vergrößert - Erde dreht sich unter dem Projektil weg - Vektor g ändert seine Richtung - Orbit bei genügend hoher Geschwindigkeit- unendliche Fallszeit
Newtons OriginalzeichnungEs wird Zeit, dass wir uns auch um Kräfte kümmern
gr
gr
gr
42
Kernig!
43
Kernig!Abhängigkeit vom Winkel +/- 0.5°
( )( )
²cosv2
tany(x) 20
xgxΘ
−Θ=
Wurfhöhe
°=Θ 65.21mit fer Lattentref
16 m
2.44 m
m/s 20vindigkeit Ballgeschw Typische 0 =
2,00
2,08
2,16
2,24
2,32
2,40
2,48
2,56
2,64
2,72
2,80
2,88
14 15 16 17 18 19
Flugweite (m)
Flug
höhe
(m)
°=Θ 15,21
°=Θ 15.20
°=Θ 65,21
16 m
2.44 m
16 m
44
Kernig!Abhängigkeit vom Winkel +/- 0.5°
( )( )
²cosv2
tany(x) 20
xgxΘ
−Θ=
Wurfhöhe
°=Θ 65.20mit fer Lattentref
16 m
2.44 m
m/s 20vindigkeit Ballgeschw Typische 0 =
2,00
2,08
2,16
2,24
2,32
2,40
2,48
2,56
2,64
2,72
2,80
2,88
14 15 16 17 18 19
Flugweite (m)
Flug
höhe
(m)
TorlatteGanz schön schwierig die
Latte überhaupt zu treffen!
°=Θ 15,21
°=Θ 15.20
°=Θ 65,21
Fussball
45
Kernig!
46
Zusammenfassung
Eine physikalische Größe, bei der nur die Größenordnung (Betrag) wichtig ist wird durch einen Skalarbeschrieben (Temperatur). Sie sind gekennzeichnet durch eine Zahl und eine Einheit, z:B. 22 °C.
Ein physikalische Größe, bei der sowohl die Größenordnung (Betrag) als auch die Richtung angegeben werden muss, wird durch einen Vektor beschrieben, z.B. 300 m Nordost.
Θ=
Θ=
sinv v
cosvv
y
xFür Vektoren gelten die Regeln
der Vektoralgebra. Vektoren können addiert werden, indem man die Komponenten entlang der gewählten Achsen addiert.
Wurfbewegungen: Bewegungen von Körpern in der Nähe der Erdoberfläche können als zwei unabhängig voneinander ablaufende Bewegungen beschrieben
werden (Superpositionsprinzip). Die horizontale Komponente entspricht einer konstanten Geschwindigkeit, während die vertikale Komponente gekennzeichnet ist durch eine konstante Beschleunigung g, die durch die Gravitation verursacht
wird. Bei der Analyse wird der Luftwiderstand vernachlässigt.
Einheitsvektoren haben die Länge 1 und zeigen in Richtung der positiven Achsen (x, y, z) eines rechtshändigen Koordinatensystems. Ein Vektor kann damit durch seine Vektorkomponenten und seine Skalarkomponenten beschrieben werden.
zzyyxx eaeaeaa rrrr++=
x
y2y
2x v
vtan ,vvv =Θ+=
vr
gr
47
Superpositionsprinzip
0.0s0.1s
0.2s
0.3s
0.4s
0.5s
vx
vyunabhängige
Geschwindigkeits-Komponenten
( )tΘ= cosvx-x 00
( ) ²21 sinvy-y 00 gtt −Θ=
( )²
cosv2 tany(x) 2
0
xgxhΘ
−Θ+=
Θ= 2sinv20
max gx
gerader Wurfgerader Wurf
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