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Bäume, Farne, Blumenkohl

Fraktale mit und ohne Computer

R.Deissler

Pädagogische Hochschule Freiburg

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Was können Sie tun?

Aktivitäten ohne Computer

Aktivitäten mit dem Computer

Copylab - Fraktale mit dem Photokopierer

Lindenmayer-Systeme

Mandelbrotmenge und Juliamengen

Drachenkurven

Am großen Sierpinski-Tetraeder mitbauen

Nagellack-Fraktal herstellen

Sierpinski Dreieck malen

Drachenkurven falten und zusammenstecken

Erklärungen zu Fraktalen ansehen

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Fraktale Geometrie

"Fraktale Geometrie wird Sie alles anders sehen lassen.

Es ist gefährlich, weiter zu lesen.

Sie riskieren den Verlust Ihrer kindlichen Sichtweise von Wolken,Wäldern,Galaxien, Blättern, Federn, Blumen, Felsen, Bergen, Wasserströmen, Teppichen, Backsteinen und vielem anderen.

Nie wieder wird Ihr Verständnis dieser Dinge ganz das selbe sein."

Michael Barnsley im Vorwort zu seinem Buch Fractals Everywhere

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Viele geometrische Formen in der Natur sind nicht glatt und einfach wie gerade Linien, Rechtecke, Kreise oder Ellipsen sondern sie sind rauh, zerklüftet, vielfach verzweigt. Solche Figuren sind Fraktale. Die Fraktale Geometrie beschäftigt sich mit der Untersuchung solcher Formen.

Beispiele:

Fraktale

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Man sucht nach Mitteln, solche Formen mit dem Computer zu erzeugen

Weitere Beispiele

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Unterscheiden sich zwei Figuren nur in der Größe, aber nicht in ihrer Form, dann nennt man diese Figuren ähnlich.

Man erhält aus einer Figur eine dazu ähnliche durch Verkleinerung oder Vergrößerung, wie bei einem Photokopierer.

Die Figuren dürfen natürlich auch noch gespiegelt, gedreht und verschoben werden.

Beispiel: Zwei ähnliche Löwen

Ähnliche Figuren

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Man nennt eine Figur selbstähnlich, wenn man innerhalb der Figur verkleinerte Kopien der ganzen Figur finden kann.

Ein Beispiel ist das sogenannte Sierpinski-Dreieck, ein ziemlich löchriges Objekt.

Das Sierpinski-Dreieck entsteht, wenn man aus einem massiven Dreieck immer wieder in der Mitte ein Dreieck herausnimmt, und diesen Prozess mit den übrig bleibenden Teildreiecken unendlich lange fortsetzt .

Selbstähnliche Figuren

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Das ganze Sierpinski-Dreieck ist sogar zusammengesetzt aus drei verkleinerten Kopien des gesamten Dreiecks. Die drei Kopien sind hier mit verschiedenen Farben markiert.

Ist das der Fall, dann spricht man von Selbstähnlichkeit im strengen Sinn.

Selbstähnlichkeit im strengen Sinn

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Wenn man innerhalb einer Figur zwar verkleinerte Kopien der ganzen Figur finden kann, sich aber die ganze Figur nicht vollständig aus solchen Kopien zusammensetzen läßt, dann wollen wir von einer selbstähnlichen Figur im weiteren Sinn sprechen.

Ein Beispiel dafür ist ein zweifach verzweigter Baum:

Selbstähnlichkeit im weiteren Sinn

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Verkleinerte Kopie des Baumes

Verkleinerte Kopie des Baumes

Kopie blau gefärbt ...

Kopie rot gefärbt ...

..und hier hingeklebt

..und hier hingeklebt

Der gesamte Baum besteht aus zwei kleineren Kopien des ganzen Baumes zusammen mit dem Stamm, in dem sich keine Kopien des ganzen Baumes finden lassen.

Die folgende Abbildung soll das verdeutlichen.

Entstehung des Baumes

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Viele fraktale Formen in der Natur sind näherungsweise selbstähnlich, wie die zuvor gezeigten Bilder nahe legen.

Wollen Sie die Bilder aus der Natur nochmal ansehen?

Können Sie unter den gezeigten natürlichen Formen diejenigen finden, die selbstähnlich sind?

Sie können einiges zunächst ohne Computer ausprobieren und danach mit dem Computer weiter experimentieren.

Hier können Sie selbstähnliche Fraktale herstellen. Der Computer ist dabei ein nützliches Mittel. Ohne Computer geht das nicht so leicht.

Ein einfaches Computerprogramm zum Erzeugen von selbstähnlichen Fraktalen ist COPYLAB. Es arbeitet wie ein Photokopierer mit vielen Verkleinerungslinsen. COPYLAB wird noch im einzelnen beschrieben.

Selbstähnlichkeit und Fraktale

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Das Sierpinski-Dreieck Dreieck ist das Paradebeispiel für ein selbstähnliches Fraktal. Es findet sich mittlerweile auch in vielen Schulbüchern.

Es läßt sich auf viele Arten einfach erzeugen. Daher finden Sie dazu Material:

• Sierpinski-Dreieck malen - das Sierpinski-Dreieck entsteht auf dem Papier nach einfachen Regeln zum Rechnen oder Zeichnen (Pascal-Dreieck )

• Sierpinski-Tetraeder bauen - das Sierpinski-Tetraeder wird aus vielen kleinen Tetraedern zusammengesetzt.

Der „große Bruder“ des Sierpinski-Dreieck im Raum ist das Sierpinski-Tetraeder. Es ist etwas mühsam, ein großes Sierpinski-Tetraeder herzustellen, daher müssen viele Leute mithelfen. Sie finden dazu hier Bastelmaterial:

Was Sie tun können - ohne Computer

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Wenn man einen Papierstreifen in der gleichen Weise immer wieder faltet und dann in geeigneter Weise wieder auffaltet, erhält man eine grobe Annäherung an eine fraktale Drachenkurve. Stabiler geht das noch, wenn man die Drachenkurve aus Trinkhalmen und Fkiesenkreuzen zusammensteckt.

• Drachenkurve falten und zusammenstecken - Annäherung an das Drachenfraktal (Heighway-Drache)

Viele Fraktale bilden sich durch Selbstorganisationsprozesse. Sie können das mit einem ganz einfachen Experiment ausprobieren.

• Nagellack-Fraktal herstellen - aus einem Tropfen Nagellack entsteht ein dendritisches Fraktal auf einem Kunststoffplättchen zum mitnehmen.

Was Sie tun können - ohne Computer

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Sie können mit dem Computerprogramm COPYLAB experimentieren. Es arbeitet wie ein Photokopierer mit vielen Verkleinerungslinsen. Sie können sich das Programm vorführen lassen oder direkt damit experimentieren.

• COPYLAB - Fraktale mit dem Photokopierer

Statt Drachenkurven selbst zu falten oder zusammen zu stecken können Sie diese auch von einem Programm zeigen lassen.

• Drachenkurven

Was Sie tun können - mit dem Computer

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Obwohl Pflanzen sehr komplexe Formen aufweisen, wachsen sie nach einfachen Prinzipien. Eine Theorie dazu wurde von dem Biologen A.Lindenmayer entwickelt. Sie beschreibt das Pflanzenwachstum durch wenige formale Regeln. Sie können mit einem Computerprogramm solche Regeln eingeben und die Pflanzen wachsen lassen (nicht ganz einfach).

• Lindenmayer-Systeme

Sehr schöne fraktale Bilder aus dem Umfeld der „Chaostheorie“ lassen sich mit einigen weiteren Programmen erzeugen. Die zugehörige Theorie ist nicht einfach zu verstehen. Es muß auf die vielfältige Literatur verwiesen werden. Die Bedienung der Programme ist aber einfach, die Bilder faszinierend.

• Mandelbrotmenge und Juliamengen

Was Sie tun können - mit dem Computer

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Aktivitäten ohne Computer

Am großen Sierpinski-Tetraeder mitbauen

Nagellack-Fraktal herstellen

Sierpinski Dreieck malen

Drachenkurven falten und zusammenstecken

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Sierpinski-Tetraeder bauen

Wir beginnen mit einem kleinen Tetraeder, ... ... kleben

vier davon zusammen, ...

...kleben davon wieder vier zusammen usw. ...

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Dazu müssen viele Hände mitkleben!

... und so soll es dann aussehen.

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Bauanleitung

• Schneiden Sie vier solche Netze aus. Schneiden Sie auch die kleinen Kreise aus.

• Knicken Sie an den eingezeichneten Linien und kleben Sie die Seitenflächen an den aneinanderstoßenden Kanten mit einem Stück Klebestreifen zusammen. Sie erhalten vier kleine Tetraeder.

• Verbinden Sie die vier kleinen Tetraeder mit Klebestreifen von ca. 6 cm zu einem Sierpinski-Tetraeder 1.Stufe, indem Sie als Hilfe beim Kleben einen Schaschlik-Spieß durch die Löcher in den kleinen Tetraedern stecken.

• Vier solche Tetraeder 1.Stufe geben einen Tetraeder 2.Stufe usw.

Sie finden die Bauanleitung auf dem Basteltisch.

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Drachenkurven falten

Wenn‘s nicht mehr weiter geht, öffnen Sie die Faltungen wieder .......

Ganz einfach. Sie nehmen einen Papierstreifen und falten ihn in der Mitte zusammen, immer wieder und wieder, solange das geht, immer in der gleichen Richtung, z.B. nach rechts.

Sie sitzen in einer Konferenz und langweilen sich. Sie müssen die Finger beschäftigen.

Falten Sie doch eine Drachenkurve, statt Büroklammern ohne Sinn und Zweck zu verbiegen!

Zum Beispiel so!

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Drachenkurven falten

.....aber nicht ganz, sondern nur bis zu einem rechten Winkel.

Nach 4 Faltungen haben Sie eine Drachenkurve der Stufe 4 erzeugt.

Drachenkurven der Stufen 1 bis 5 Drachenkurve der Stufe 4

Um eine sehr hohe Stufe von Drachenkurven zu erreichen, kann man die Kurve aus Trinkhalmen und Fliesenkreuzen zusammenstecken.

Versuchen Sie es! Man muß auf die Faltrichtung achten!

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Drachenkurven aus dem Computer

Ein Pfeil (wegen der Durchlaufrichtung der Drachenkurve) wird immer wieder verkleinert kopiert.

Daher lassen sich Drachenkurven leicht mit dem Programm COPYLAB erzeugen.

Drachenkurven der Stufen 0 bis 3 ....

Drachenkurven sind selbstähnlich, da mit jeder Faltung eine Kopie der vorangehenden Stufe hergestellt wird.

.... Und weiter ....

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Drachenkurven aus dem Computer 2

.... bis Stufe 14.

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Nagellack-Fraktal herstellen • Geben Sie einen kleinen Tropfen Nagellack auf ein

Glas- oder Kunstoffplättchen.

Mit Butter oder Margarine geht das genauso – ist aber nicht besonders gut haltbar!

• Legen Sie ein zweites Plättchen darauf und drücken die Plättchen vorsichtig zusammen, so daß sich der Nagellack zu einem gleichmäßigen Kreis formt.

• Halten Sie das untere Plättchen fest und heben obere Plättchen ab - möglichst senkrecht zur Berührungsfläche.

Sie erhalten ein mehrfach verzweigtes Gebilde (Dendrit).

Sie können solche Figuren häufig sehen: Schlagen Sie mit der Klinge eines Messers flach auf die Butter und heben Sie das Messer wieder ab.

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Sierpinski-Dreieck malen 1

Schreiben Sie im Dreieck in eine Zelle jeweils die Summe der beiden darüber stehenden Zahlen. Die Randzellen enthalten schon alle eine 1.

Die erste Zahl die Sie eintragen müssen ist offensichtlich eine 2 in der dritten Zeile.

• Färben Sie alle Zellen mit ungeraden Zahlen mit einem Stift.

• Müssen Sie dazu alle Zahlen wirklich ausrechnen?

Sie finden das Blatt auf dem Basteltisch.

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Sierpinski-Dreieck malen 2 Regeln zum FärbenEin Wabenmuster wird zeilenweise angemalt. Die erste

Zeile ist schon vorgegeben. Sie sollen die restlichen Zeilen anmalen.

Die „Regeln zum Färben“ schreiben vor, wie das geht. Für eine Zelle legen die zwei Zellen darüber die Farbe fest (Schwarz oder Weiß).

Wenn Sie die obere Zeile im vorangehenden Beispiel schon fertig haben, dann ergeben die Regeln für die nächste Zeile:

Sie finden das Blatt zum Färben auf dem Basteltisch.

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Aktivitäten mit dem Computer

Copylab - Fraktale mit dem Photokopierer

Lindenmayer-Systeme

Mandelbrotmenge und Juliamengen

Drachenkurven

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Copylab vorführen lassen

Copylab vorführen lassen

Sie können sich eine Demonstration von Copylab vorführen lassen.

• Mit der Leertaste stoppen und starten Sie die Demonstration.

• Mit der ESC-Taste stoppen Sie die Demonstration und können von da an das Programm selbst steuern.

• Schließen Sie nach Ende der Demonstration alle Fenster, die noch geöffnet sein sollten.

• Mit der Taste Alt-X beenden Sie das Programm, wenn Sie es selbst bedient haben.

Diaschau zu Copylab vorführen lassen (einfacher)

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Mit Copylab selbst experimentieren

Mit Copylab selbst experimentieren

Sie können mit Copylab selbst experimentieren. Dazu wird das Programm in einem eigenen Fenster gestartet.

• Der voreingestellte Kopierer erzeugt das Sierpinski-Dreieck. Sie können andere Kopierer laden oder die Linsendaten des Kopierers verändern.

• Mit dem Menüpunkt Kopieren wird der Kopiervorgang gestartet

• Mit der Taste Alt-x wird das Programm beendet.

Beschreibung von Copylab als Acrobat-File lesen

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Drachenkurven am Computer

Drachenkurven

Hier können Sie ein einfaches Programm nur zum Zeichnen von Drachenkurven starten.

Sie simulieren damit den Faltvorgang eines Papierstreifens, nach rechts oder links. Sie können den Winkel einstellen, mit dem die Streifen wieder geöffnet werden.

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Lindenmayer-Systeme

Aristid Lindenmayer, ein Biologe, hat vor 30 Jahren ein System zur Beschreibung von Pflanzenwachstum erfunden, mit dem Sie hier experimentieren können (Computerprogramm L-Sys).

Lindenmayer-Systeme werden heute auch in der Computergraphik benutzt, um Pflanzenbilder für computeranimierte Filme (wie z.B. “Antz”) herzustellen.

Lindenmayer-Systeme (L-Systeme) sind eine Art “Grammatik für Pflanzen”.

Entwicklung eines Baumes . Entwicklung eines Grases.

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Lindenmayer-Systeme

F zeichne eine Linie einer gewissen festgelegten Länge l (z.B. 1 cm) in der aktuellen Richtung

f bewege Dich auf einer Linie einer gewissen festgelegten Länge l ohne zu zeichnen

+,- drehe Dich um einen festen Winkel im positiven (negativen) Sinn[ merke Dir die augenblickliche Position und Richtung (auf einem Zettel,

oben auf einem Stapel von Zetteln)] gehe zurück zur letzten gemerkten Position und Richtung (die auf dem

obersten Zettel des Stapels stehen, wirf diesen Zettel danach weg)

Zwei Beispiele: Man zeichnet mit l=1cm und =60° die Figuren, die durch folgende Terme beschrieben werden.

Man vereinbart zuerst einfache Regeln zum Zeichnen von Strukturen:

• FF + F-FF- - FF - F + FF • FF[+F] F [ - F] F [+ F] [ - F]

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Lindenmayer-Systeme Regeln zur Gewinnung solcher Zeichenanweisungen (Grammatik für Terme zum Zeichnen von Pflanzen)

Formales Regelsystem dazu: = 60°, F = 1 cm

Startterm: WK W: WachstumszoneK: Knospe

Regeln: W FWK [+WK] [ - WK]

Pflanzenwachstum wird z.B. durch folgende Entwicklungsschritte beschrieben:

Wachstumszone

Knospe

Verholzung

Wachstumszone

1.Schritt 2.SchrittStartfigur

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Lindenmayer-Systeme Verwendung des Regelsystems:

Man startet mit dem „Startterm“ und ersetzt in jedem Schritt immer wieder alle vorkommenden Zeichen gemäß den Regeln.

Um eine Pflanze zu zeichnen, läßt man alle Zeichen weg, die nicht in den Regeln zum Zeichnen von Termen auftauchen (also alles außer F, f, +, -, [, ] ) .

Lindenmayer-Systeme (L-Sys)

Lautet eine Regel W FW dann ersetzt man überall W durch FW.

So erhält man immer längere Terme (Folgen von Zeichne), die dem Entwicklungsstadium der Pflanze entsprechen.

Mit dem Programm L-Sys kann man Regeln für Pflanzen eingeben und die Pflanzen zeichnen lassen.

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Mandelbrot und Julia

Programme zur Mandelbrotmenge, zu Juliamengen und zu anderem Chaos (wunderbar, aber ohne weitere Erklärungen). Nach Beenden gegebenenfalls Fenster schließen!

FractInt

Chaos (Autodesk)

Fraktale Duffner

Bilderschau zu den Programmen. Zeigt, was Sie dort erleben können.