25

Satz ( von Schwarz ) : 1st fe Ck ( U,

R"

),

UER"

,

daun gilt for jede Permutation it :

2;

,

- ' ' Jin f - Jr , ;^)

. - - Jilin )f.

Bewcisi ( for k=2.

K > 2 durch lndnktiou ) 0 . B. d. A.

mi - 1 .

Definiere Fct ,s ) : - [ fl x. + t, xzts ) - f( x. + t

,xD - ( fkrxzts ) - flx

, ,× . )) ]/Lt . s )

( t ,s ) c- ( c. e)2

.

Dann isthfgno hjgno

Flt 's ) : 2,22ft ).

andhsiao lizo this ) : 2. 2 flx ) .

Mittelwvtsatz fir flt ) :-[flxntt , xzts ) - flenttix . ) ] /s liefut

F Oe C- E. { ) : f 't -0 ) = [fLt) - flo ) ]/t : Fctis ).

D. L.Flt's ) : [ d. f ( x. +0

, x. + s ) -d.flx.to , xz ) ]/s = : Ms )

Analog liefvt der Miltelwvtsatt fir sns Tls ) ein se C- e. e) ,so dassFlt.s ) = dzd

, f- ( x. to, xz + s ) .

Aus Symmetriegrunden J ( 0'

,5

' ) e C- e. et : Flt,s ) : 2. 2. f ( x. + o'

, x. + s' ) .

Da Zizf und 22 ,f shtrg bei x Sind und fir e → 0 ( G. 5) → 0 & ( 0 '

is' )→O

,

gilt : ( 2,2,

f) ( ×. ,x .

) . (2. 2f) ( ×. .x . ) .

A

Satz : ( Taylor approximation ) Sei UER"

often, fe CP

"

( UIR ) und a. × EU,

so dass

die Uerbindnugsgeradl"

[ an ]"

zw . a & x ebeu falls in U liegt . Dann

existent ein { E [ a. × ], so dass

fc ⇒ = ( Eg.

IT.

f" "

(a) C x . at"

) +

, I , , ,f

" " "llllx . al

" '

,w.be ;

⇐pflx , a)" Taylor polyuom

"= : Rp ( x. a) Restyled

dv Orduungp von f in a

f' "

(a) ski . f" "

(a) ( s ) . . . ( s ) - Fil.. '¥g

,

tiutdi ,fl a) sin ' ' .si,

.

26

Beweis : Betrachte F :[ on ]→1R,

Flt ) :-. flatts ),

Si=x - a.

Dann ist Fco ) : f ( a ) ,F ( ^ ) = f ( x ) und FE ( P "

( [ on ] , R ) ,d. h

.

wir kouneu die Taylor formel ours dim ein dimensional n vvwenden,

s .d.

P Fusco ) n

th ) = -2 + F" " "

Lt ) fir geeignehs tE[ 0,7 ] .

K :O k ! ( ptn ) !

Fact ) erhalteu wir unit Hilfe do keltewegel :

F"

Lt ) = §; 2. flatts ) s;

Fm .lt) = §y,

did , Flatts )s;s ,

* '

Lt ) = Pa " ftp.ndi.tdipflatts ) si,

- Sip

= f4 " ( atts ) sp

Mit } ÷ atib folgt die Aussage . D

korollw : ( Restgliedabschatzung )

Far das Restyled in vorangeheudm Sate gilt :

Rpl x. a) = O( Hx . AHP" ) for x→a

,d. h

.

IRPL x. a) /

limsup ,+ ,< •

.

x→aAx - all '

( duh.

does Restgliedgeht for x→a wenigsteus so Schnell wie Hx . AHP"

gegeuNwk

. )

Ben. : Gilt lediglioh fe CPLU

, R ),

dam Laisst sick analog zeigen ,dass

Rpl x. a) = o( Hx - AHP ) , d. h. him IRPLX .

a) I

s→o Hx . ayp=°

- ( siehe Konigsberg )

27

Beweis : Zp ( x. a) / -

( pin, ,/ f

" " "C 1) ( × . a)

P "

/

Hf" + "

( 1111pm

E 11 x - all wobei

Iptn ) !.

" f. "

" ' " it

many f" "

" "

ftp.lsj?.jls" " " ) ...

weyn Besowoinkthit do Abbitung . Dies haigt stekgron { ab

.

Dawit ist c ( x ) : -

sup Hflp" '( { ) H < a mouton fallend fir x→a

.

{ C- [ ai × ]

C ( x )

Wegen lrplxia ) I e( pm , ,

H ← a "P"

folgt die Behanptwng .

D

Def .: 1st UER

"

often und f. U→R,

dann hiipt f in U" reek analytrsch

"

,

wenn es zu jedem at U eine Umgebuug Vgibt ,so dass KXEV gilt :

him Tpflx . a) = flx )

.

p - soo

Bem . : Die Region in R"

, in der die Taylorreihe gegen fkonvvgivt ,

mnp Weder ein Quader hook line Kugel Sein.

2. B . ist

A

( n . x. . xz )"

= [ ( tntxz )"

Taylorreihe um ( 0,0 ),

welohegenan

" =°

far 1 x. + xz It 7 konvvgivt .

Def . : Sei fed ( UER"

,R )

,

xeu.

Die nxn Matrix

H :-. Hfk ) : - ( 2,2 ; fkl ) heipt Hesse Matrix von fbeix .

i. j= 1. . in

Ben . : ° Tayloreutwicklung bis Zur zweiteu Orduung liefrt :

flxts ) = flx ) + ¥,

2 :flx)s ;+ E¥.

,¥

,

2; § fklb ;D ;

+ R,

( x. s )

. f ( x ) + < Dflx ).

s > + Z e s,

H s > + R,

( x. s )

° fed gwautrvt wauh dem Sat von Schwarz,

class H=H'

.

28

Erinnerung : Eine sym .

Matrix H . HTE R" "

und die znyehorigeQuadratrsche Form QC u ) : - iv. Qv > heipen

° posilvu defrnit"

H > 0"

⇐ > tfvc . R "\o : Qlv ) > 0

⇐ 's die Eigenwrte d;

von H vtiken

t;

> 0 tietn , ... ,n }° positrv semidefinit "

HTO"

# V. v ER"

: Qlv ) 70

⇐ > ×:

70 fi

° analog definivt Sind negatrv ( semi ) deficit .

° defhit is positrvodvnegatiudefrnit° indefrnit : : nicht defrnit

Lemma : Sei f : R "7U→ R part .eu diff .bar

.Weun fbei xo ein to kales Extremum

aunimmt,

daun gilt Pflx .) :O .

Ben .: °

"lohabs Extremum

"

bei xo bedentet,

dass es line Umgebuug V von

xo gibt in dir f bei xo ein Min. Max . aunimmt

.

° Winn Pflxo ) . -0,

daun heipt xo statiouarer Puukt ( synonym :

kritrscher Punkt ) von f .

Beweis : glt ) : " flxotte ;) hat bei t :O ein to kales Extremum.

Also ist

0 = ojlo ) = < Pflxo ),

ei >. A