mit 167 Beispielen und 37 Aufgaben
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Löhr, Hans loser: Beispiele und Aufgaben zur Laplace-Transforma­ tion: mit 167 Beispielen u. 37 Aufgaben/Hans Josef Löhr. - Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1979.
Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1979
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Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig
ISBN 978-3-663-00111-9 ISBN 978-3-663-00110-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-00110-2
Vorwort
Die Anwendung der Laplace-Transformation in den Naturwissenschaften und der Technik gewinnt ständig an Bedeutung. Dies führt zwangsläufig dazu, daß diese Methode in die Stoffpläne für Mathematik der meisten Fachrichtungen an Technischen Hochschulen und Fachhochschulen aufgenommen werden wird. Im Hinblick auf ihre Verwendung in anderen Fächern, erscheint es sinnvoll, mit dem Studium möglichst früh zu beginnen, spätestens jedoch im dritten Semester. Dies wiederum bedingt, daß nur Kenntnisse vorausgesetzt werden können, die im ersten und zweiten Semester vermittelt wurden. Unter diesem Gesichtspunkt ist dieses Arbeits- und übungsbuch entstanden. Es soll dem Studenten vom dritten Semester aufwärts ermöglichen, so weit in die Theorie und Praxis der Laplace-Transformation vorzudringen, daß er gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Differentialgleichungssysteme, wie sie bei der Behandlung von Schwingungsproblemen auftreten, selbständig lösen kann. Darüberhinaus soll der Stu­ dent in die Lage versetzt werden, mit fortschreitender Kenntnis in der Mathematik, weiter­ führende Werke über die Theorie der Laplace-Transformation zu lesen. Das Buch ist folgendermaßen aufgebaut:
Im ersten Kapitel werden in zahlreichen Beispielen Funktionen in den Bildraum transfor­ miert, um den Leser mit dem Umgang mit Laplace -Transformierten vertraut zu machen.
Im zweiten Kapitel werden die Eigenschaften der Laplace-Transformation untersucht.
Im dritten Kapitel wird die Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichun­ gen benutzt.
Im vierten Kapitel steht die Anwendung auf technische Probleme im Vordergrund.
Alle Beispiele im Text sind ausflihrlich durchgerechnet. Am Schluß jeden Kapitels sind Aufgaben gestellt, deren Lösungen im Anhang angegeben werden, so daß der Leser über­ prüfen kann, ob er den Inhalt des Kapitels verstanden hat. Für die Bezeichnung der Formeln wurde folgender Weg gewählt: Teilergebnisse und Ergeb­ nisse werden pro Beispiel mit fortlaufenden kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, wenn auf sie nur in der gleichen Aufgabe Bezug genommen wird. Wichtige Formeln und Sätze, auf die immer wieder zurückgegriffen wird, werden kapitelweise durchnummeriert, wobei die erste Ziffer auf das Kapitel hinweist, die zweite Ziffer die Ordnungszahl pro Kapitel anzeigt. So bedeutet zum Beispiel 2.6 die sechste wichtige Formel in Kapitel 2. Zur besseren Übersicht wurden bei den Beispielen folgende Symbole verwendet: T Anfang des Beispiels, - Ende des Beispiels. Folgt der Lösung ein Zusatz, ist das Lösungsende (Ergebnis) mit einem Punkt. gekennzeichnet.
An dieser Stelle möchte ich Herrn Professor Dr. G. Lorenzen meinen herzlichsten Dank aussprechen. Er hat mir viele wertvolle Anregungen gegeben und war mir bei der Durch­ rechnung der Beispiele behilflich.
Pu/heim, im Frühjahr 1979 Hans loset Löhr
III
Inhaltsverzeichnis
1.1 Definition der Laplace-Transformierten ...................... . 1.2 Methode der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Die Laplace-Transformierte einiger Funktionen .................. 4 1.4 Die Laplace-Transformierte periodischer Funktionen. . . . . . . . . . . . . .. 13 1.5 Die Treppenfunktion, die Einheitssprungfunktion und die Stoßfunktion .. 20
1.5.1 Die Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 1.5.2 Die Einheitssprungfunktion ........................... 22 1.5.3 Die Stoßfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
1.6 Die Klasse der transformierbaren Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 1.7 Tabelle der Laplace-Transformierten ......................... 33 1.8 Aufgaben zu Kapitell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation ......................... 35
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11
Satz über Linearkombinationen ............................ . Ähnlichkeitssatz ...................................... . Erster Verschiebungssatz ................................ . Zweiter Verschiebungssatz ............................... . Dämpfungssatz ....................................... . Differentiationssatz .................................... . Integrationssatz ...................................... . Faltungssatz ........................................ . Asymptotisches Verhalten der Originalfunktion ................. . Zusammenfassung der Sätze dieses Kapitels .................... . Aufgaben zu Kapitel 2 .................................. .
35 36 39 43 49 50 57 60 77 81 82
3 Gewöhnliche Differentialgleichungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84
3.2 Partialbruchzerlegung ................................... 90 3.2.1 Partialbruchzerlegung: Einfache Wurzeln. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92 3.2.2 Partialbruchzerlegung: Mehrfache Wurzeln ................. 104
IV
3.4 Integro-Differentialgleichungen............................. 124 3.5 Aufgaben zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 127
4 Einige Anwendungen der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 129
4.1 Elektrische Kreise und Beispiele aus der Mechanik ................ 129 4.1.1 Aufstellen der Differentialgleichungen .................... 129 4.1.2 Einige typische Beispiele ............................. 130 4.1.3 Beispiele aus der Mechanik: Durchbiegung von Balken. . . . . . . . .. 140
4.2 Systeme von gekoppelten Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . .. 145 4.2.1 Aufstellen von Differentialgleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . .. 145 4.2.2 Numerische Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153 4.2.3 Elektrische Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160
4.3 Aufgaben zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 176
Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 180
Übersicht
Es wird die Definition der Laplace-Transformierten einer Funktion gegeben, ohne auf die genau­ eren Voraussetzungen einzugehen. Besser wäre zu sagen: Es wird eine Arbeitsvorschrift gegeben, wie die Laplace-Transformierte einer gegebenen Funktion gebildet wird. Dann werden die übli­ chen Bezeichnungen für die Laplace-Transformierte aufgelistet. Die eigentliche Arbeit beginnt mit den Beispielen. Hier werden eine ganze Reihe bekannter Funk­ tionen transformiert. Der Leser möge alle Beispiele sorgfältig durchrechnen, um ein gewisses Ver­ trauen und die nötige Sicherheit zu gewinnen, die bei den Anwendungen unerläßlich ist. Zum Schluß des Kapitels werden einige dem Anfänger weniger bekannte Funktionen eingeftihrt, die aber ftir die Theorie und Anwendung von großem Nutzen sind. Am Schluß des Kapitels sind die in diesem Buch benutzten Laplace-Transformierten in einer Tabelle zusammengestellt und durch Tl, T2 , T3, usw. gekennzeichnet.
1.1 Definition der Laplace-Transformierten
Gegeben sei eine Funktion
Unter dieser Voraussetzung soll
o
die Laplace-Transformierte der Funktion f(t) heißen. 1)
(1.1)
f(t) nennt man die Original[unktion oder Ober funktion. Die Menge der Funktionen (f(tn nennt man den Originalraum oder Oberbereich. F (s) nennt man die Bildfunktion oder die Laplace-Transformierte von f(t). Die Menge der Funktionen {F (sn nennt man den Bildraum oder Unterbereich. Wir werden die Originalfunktionen immer mit kleinen Buchstaben bezeichnen: f(t), x (t) usw., während wir für die Bildfunktionen ausschließlich große Buchstaben verwenden wer­ den: F (s), X (s) usw.
1) Auf die Bedingungen, unter denen eine Funktion f(t) transformierbar ist, kommen wir am Ende dieses Kapitels (Abschnitt 1.6) zurück.
Wenn wir beim Übergang in den Bildraum noch die Originalfunktion im Auge behalten wollen, schreiben wir für F(s): 1:, {f(t)}. Die Rücktransformierte f(t) bezeichnen wir ent­ sprechend mit 1:,-1 {F (s)} 2).
1.2 Methode der partiellen Integration 00
Weil bei der Berechnung von Integralen der Form: S f(t) e- st dt häufig die Methode der
o partiellen Integration benutzt wird, soll hier das Wesen der Methode in Erinnerung gerufen werden. Wir gehen aus von der Produktregel der Differentialrechnung:
d(u(t) v(t)) du(t) dv(t) dt = ~v(t) +u(t)~.
Durch einfaches Umstellen erhalten wir:
du(t) d dv(t) ---cttv(t) = dt (u(t) v(t))-u(t)~.
D· I t t· d GI· h I·!" t ·tdU(t)_·(t) und dv(t)_.(). le n egra Ion er elc ung leier ml (it = u (It = v t .
SÜ(t)V(t)dt= S:t(U(t)v(t))dt-SU(t)V(t)dt. (a)
Nach der Definition des unbestimmten Integrals bedeutet ff(t) dt = cf> (t), daß $ = f(t) ist. Im ersten Term der Gleichung (a) ist der Integrand ~ (u (t) v (t)) gerade die Ableitung von (u(t) v (t)). Also ist:
S :t (u (t) v (t)) dt = u (t) v(t).
Damit erhalten wir aus Gleichung (a) die Formel der partiellen Integration:
S ü ( t) v ( t) d t = u ( t) v ( t) - S u ( t)V ( t) d t. (b)
Wesentlich ist bei der Anwendung dieser Formel, ü (t) und v(t) so zu wählen, daß das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (b) eine einfachere Form annimmt als das ursprüngliche Integral; sei es, daß es ein Grundintegral ist; sei es, daß es durch weitere Be­ handlung in ein Grundintegral überfUhrt werden kann.
2) In der Literatur sind für den Übergang von der Originalfunktion zur Bildfunktion folgende Bezeich­ nungen üblich:
f (t) 0_ F (s) oder f (t) 0= ° F (s).
Für den umgekehrten Übergang schreibt man entsprechend:
F (s) 0-. f (t) oder F (s). = ° f (t) °
2
I. Wir suchen die Funktion
f(t) = ft sin(t) dt,
d.h. wir suchen die Funktion f(t), deren Ableitung f(t) = t sin(t) ist. Wir setzen sin(t) = ü und t = v. Dann ist u = - cos(t) und v = 1. Setzen wir diese Ausdrücke in Gleichung (b) ein, erhalten wir:
Jt sin(t) dt = - cos(t) t -.1- cos(t) I dt
oder: ft sin (t) dt = - t cos(t) +J cos (t) dt.
Das Integral auf der rechten Seite ist ein Grundintegral. Damit erhalten wir das Ergebnis:
Jt sin(t) dt = - t cos(t) + sin(t) + C.
Hätten wir sin(t) = v und t = ü gesetzt, so wäre mit v = cos(t) und u = t das Ergebnis der partiellen Integration:
I, t2 rt2 l sin(t) dt = "2 sin(t) -.1 2" cos(t) dt.
Das Integral auf der rechten Seite ist komplizierter als das ursprüngliche Integral. Die Rech­ nung ist zwar richtig, aber sinnlos!
2. Wir suchen die Lösung des Integrals: ft 2 sin (t) dt. Wir setzen: v = t2 und ü = sin(t). Dann wird: v = 2t und u = - cos(t). Mit Gleichung (b) erhalten wir:
Se sin (t) dt = e (- cos (t)) - S 2t (- I) cos (t) dt
= - t2 cos (t) + 2 J t cos (t) dt.
Das Integral auf der rechten Seite ist zwar noch kein Grundintegral, aber es hat eine einfa­ chere Gestalt als das ursprüngliche. Wir berechnen dieses Integral mit Gleichung (b). Wir setzen: v = t und ü = cos (t). Dann wird: v = I und u = sin(t). Damit erhalten wir mit Gleichung (b):
2 Jt cos(t) dt = 2t sin(t) - 2Jsin(t) dt = 2t sin(t) + 2 cos(t) + C.
3
Mit diesem Ergebnis können wir nun unser ursprüngliches Integral lösen:
je sin(t)dt = - t2 cos(t) + 2t sin(t) + 2 cos(t) + C.
1.3 Die Laplace-Transformierte einiger Funktionen
Beispiele
~ 1-1 Es sei: f(t) = { ~ ftir t ~ 0 ftir t < O.
Berechnen Sie F (s).
F(s) = ff(t)e-stdt= fle-stdt=-ie-st I =-i(e-OO-eO)I)
000
~ 1-2 Es sei f(t) = t. Berechnen Sie f, {t} .
Lösung 00
o
00 00
o 0
Der ausintegrierte Teil verschwindet wegen lim t e- st = O. Für das verbliebene Integral er- t .... 00
gibt sich nach Beispiel 1-1 der Wert ~.
I) Wir benutzen das Zeichen 00 als Abkürzung für den Grenzwert !im. So bedeutet stets: A t-+ oo
f f(t)e-stdt= !im ff(t)e-stdt und e-oo=!im e- st . A-+~ t-+~
o 0
2) Wie die Berechnung des Integrals zeigt, scheint es überflüssig zu sein, den Verlauf der Funktion für t < 0 zu kennen. Später jedoch wird sich zeigen, daß es zweckmäßig ist, die Funktionen, die trans­ formiert werden sollen, für t < 0 gleich Null zu setzen.
4
Wir erhalten:
T 1-3 f(t) = e sei die überfunktion. Berechnen Sie die Unterfunktion F (s).
Lösung 00
o
00 00
F (s) = -} e e- st I + ~ S t e- st dt.
o 0
00
•
• T 1-4 Stellen Sie eine Rekursionsformel für die Laplace-Transformierte L (in} auf (n EIN)
und berechnen Sie durch wiederholte Anwendung der gewonnenen Formel L {tn}.
Lösung 00 00 00
L {tn} = J tn e- st dt = -} tn e- st I + ~ S tn - I e- st dt.
000
Der ausintegrierte Teil verschwindet an der oberen Grenze wegen lim tn e- st = O. Ebenso t ---> 00
ist dieser Ausdruck an der unteren Grenze für n = 1, 2, 3, .... Null. (Man kann dies bei­ spielsweise mit Hilfe der l'Hospitalschen Regel beweisen.) Das Integral ist aber nach Defini­ tion(l.1): LUn - I }.
Wir erhalten also die Rekursionsformel:
Nochmaliges Anwenden der Rekursionsformel auf L {tn - I} ergibt:
n [(n - 1) ] n (n - 1) L{tn}=s -s-L{tn - 2 } = 2 L{tn - 2 }.
s
5
Durch n-maliges Anwenden der Rekursionsformel erhalten wir schließlich:
n(n-1)(n-2) ......... (n-n+1) 0 n' n' .t{tn} = .t{t}=~.t{l}=-· .•
sn sn sn + 1
Lösung 00 00
F (s) = Set e- st dt = S e-(s - 1) t dt = - _1_ e-(s - 1) t s-1
o ·0
00
o
Der Grenzwert existiert nur ftir s> 1 und ist dann Null 1 ). Unter dieser Einschränkung erhalten wir:
1 F(s) =.t {et } =­
s - 1 (s> 1).
~ 1-6 Es sei f(t) = e3t und Re (s) > a. Berechnen Sie .t {e3t}.
Lösung 00 00
Lösung
00 00
o o
00 00
o o
00
o
00
o
I) Im allgemeinen ist s eine komplexe Zahl: s = ß + jw. Der Grenzwert existiert dann für ß = Re (s) > 1 und ist Null.
6
00 00
o 0
Der erste Term konvergiert nur für Re (s) > w, der zweite Term nur fur Re (s) > - w. Die Laplace-Transformierte1:. {sinh (wt)} existiert also nur fur Re (s) > Iwl. Unter dieser Einschränkung erhalten wir:
1:. {sinh(wt)} = 2(S~W) 2(S~W) (s+w)-(s-w)
2(s-w)(s+w)
00 00 00
F(s) = JSinh(wt)e-stdtP"l-I)~COSh(wt)e-st I_(~S) J cosh(wt) e- st dt
o o o 00 00 00
p:!. ~ cosh(wt) e- st I + ~2 sinh(wt) e- st I + ~2 J sinh(wt) e- st dt.
000
Das Integral auf der rechten Seite ist F (s). Indem wir die Grenzen einsetzen und beachten, daß die ausintegrierten Teile nur fur Re(s) > Iwl konvergieren, erhalten wir:
1 S2 F(s) = - w +2 F(s).
w
s -w
s 1:. {cosh(wt)} = -2--2; Re(s) > Iwl.
s -w
Lösung 00 00
00
1:. {sin(t)}= J sin(t) e- st dtP"l--cos(t) e- st -s J cos(t) e- st dt =
o o o
I) Die Buchstaben p.l. über dem Gleichheitszeichen bedeuten, daß die Methode der partiellen Integra­ tion angewendet wird.
7
000
.c {sin (t)} = 1 - S2 .c {sin (t)}.
Daraus erhalten wir:
.c {sin(t)} = +. s + 1 •
T 1-9 Berechnen Sie F (s) = .c {sin (wt)} mit Hilfe der Eulerschen Formel.
Lösung eiwt - e-jwt . C1
Wir wenden die Eulersche Formel an: sin (wt) = 2' ; j = y - 1 , D ' J ann Ist:
00 00
F (s) = f sin(wt) e- st dt = ~ f (e jwt - e- jwt ) e- st dt
o o
00 00
o 0
00 00
- 2j(s - jw) + 2j(s + jw) o
I 1 1 = 2j(s -jw) - 2j(s + jw)"
o
Durch ganz analoge Rechnung erhält man (s, Aufgabe 1.b»:
s .c {cos(wt)} = -2--2'
Lösung 00 00
o o
•
•
Dieses Integral hat die gleiche Form wie f {sin (wt)} , wenn wir s durch (s + a) ersetzen. Benutzen wir das Ergebnis von Beispiel 1-9, so finden wir ohne weitere Rechnung:
f{e-atSin(wt)}=( f 2' s + a + w •
Wir kommen auf diesen wichtigen Zusammenhang zwischen den Ergebnissen der Beispiele 1-9 und 1-10 im zweiten Kapitel zuriick und werden diesen Sachverhalt in einem allge­ meinen Satz formulieren (Satz 2.5). Durch ähnliche Überlegungen erhalten wir unter Benutzung von
_ s . -at _ S + a f {cos(wt)} - -2--2' f {e cos(wt)} - ( )2 2'
S +w s+a +w • .1-11 Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses des Beispiels 1-2 die Laplace-Transformierte
von f(t) = te-at.
00 00
f {te-at} = S te-at e- st dt = S te-(s + a)t dt.
o
o
o
erhalten wir durch die gleichen Überlegungen wie in Beispiel 1-10:
(> {t -at} _ 1 J.., e -(-)2' s+a •
Zusatz: Wir wollen hier noch ein anderes Verfahren anwenden, das schon wegen seiner Eleganz verdient, erwähnt zu werden. Wir betrachten in e- at auch a als Variable. Differenzieren wir e- at nach a, so erhalten wir:
aaa e- at = - te-at 1).
Wir erhalten damit: 00 00
o o
1) Bei der Differentiation einer Funktion mit mehreren Variabeln (hier a und t) nach einer Veränder· lichen, schreibt man a statt d, um anzudeuten, daß die übrigen Variablen (hier t) wie Konstanten behandelt werden.
9
00
.c {t e -at} = - ~ S e - at e - st d t = - ~ .c {e - at} . aa aa o
Wegen.c fe-at} = s! a und ~ (_1_) = --=-L wird· oa s + a (s + a)2 .
(> { -at} __ 1_ J..- te - ( )2. s+a •
~ 1-12 Berechnen Sie wie in Beispiel (I -1 1) F (s) = .c {tn eat } nach dem zweiten angege­ benen Verfahren.
Lösung
Mit diesem Ausdruck erhalten wir:
~ 1-13 Berechnen Sie ähnlich wie in den Beispielen 1-11 und 1-12.c {t sin(t)} unter
Benutzung von .c {sin(t)} = -21 . s + 1
Lösung 00 00 00
.c{tsin(t)}= S tSin(t)e-stdt=.f sin(t)(te-st)dt= .f sin(t)(-I)(;se- st ) dt.
o o o
00
.c {t sin(t)} = - :s .f sin(t) e- st dt = - :s C2 ~ 1)· o
Hier durften wir wieder d statt a verwenden, weil das Integral eine Funktion nur von s ist. Damit erhalten wir
.c {t sin ( t)} = ( 2 2s . ) 2 .
S + 1 •
10
In dem folgenden Beispiel soll versucht werden, das Ergebnis zu verallgemeinern.
~ 1-14 Es sei f(t) eine beliebige Funktion, deren Bildfunktion F(s) bekannt ist. Berechnen Sie.f {t f(t)}.
Lösung 00 00
.f {tf(t)} = S t f(t) e- st dt = S f(t) (te- st ) dt
o o 00 00
d d .f {t f(t)} = - ds.f {f(t)} = - ds F(s). •
Eine weitere Verallgemeinerung wollen wir in Beispiel 1-15 formulieren und beweisen.
~ 1-15 Es sei f(t) eine beliebige Funktion, deren Bildfunktion F (s) ist. Beweisen Sie:
(n EIN). (a)
Beweis 00 00
Lösung
Wir wenden Gleichung (a) in Beispiel 1-15 an und erhalten mit .f {sinh(t)} = _1_: s2 - 1
.f {t2 sinh(t)} = (- 1)2 d2 2 (-2-1_).
ds s - 1
11
und
(3s2 + 1) .f{esinh(t)}=2(2 )3' s -1
T 1-17 Berechnen Sie direkt aus Definition (1.1) die Laplace-Transforrnierte von f(t) = sin2 (wt).
Lösung ~ ~ ~
•
S sin2 (wt) e-st I S F(s)= sin2(wt)e- st dt P=l-- s +~ 2sin(wt)cos(wt)e-stdt.
o 0 0
Wegen 2 sin(wt) cos(wt) = sin(2wt) ist
F (s) = ~ S sin(2wt) e- st dt pJ.- ~ sin(2wt) e- st I + 2~2 S cos(2wt) e- st dt
000
~ ~
p.1. 2w 2 (2 ) st I 4w3 S ( ) st d = - 7 cos wt e- -7 sin 2wt e- t
o 0
~
2w2 4w2 W S 2w 2 4w2 = -- - - sin(2wt) e- st dt = --- F(s).
S3 S2 S S3 S2
o
2w 2 4w 2
F(s) = 7-7 F(s).
Daraus erhalten wir:
• T 1-18 Berechnen Sie .f {cos2 (wt)} unter Benutzung des Ergebnisses des Beispiels 1-17.
Lösung
F (s) = S cos2 (wt) e- st dt = S {l - sin2 (wt)) e- st dt =
o o
00 00
o o
Unter Benutzung der Ergebnisse der Beispiele 1-1 und 1-17 erhalten wir:
s2+4w2-2w2
S(S2 + 4w2 )
S2 + 2w2
s(s2+4w2)'
Lösung 00 00 00
00 00
e- st e-(s+ a)t a -- + s + a = ----= --- s s s+a s(s+a)'
0 0
In den nächsten Beispielen behandeln wir eine sehr wichtige Gruppe von Funktionen, die periodischen Funktionen. Diese Funktionen sind durch folgende Eigenschaft charakterisiert:
f(t) = f(t +T).
Das bedeutet: Wird das Argument t um einen bestimmten Betrag T (genannt Periode) ver­ größert, so ist der Funktionswert der gleiche. Es ist sofort einzusehen, daß dann auch gilt: f(t+nT)=f(t) (nEIN)'). Die bekanntesten periodischen Funktionen sind sin (2:; t) und cos (2:; t ) . Ihre Periode ist T. Setzt man nämlich t, = t + nT, so erhält man:
sin (~ t,) = sin (~1T (t + nT)) = sin (~1T t + 21Tn) = sin (~ t ) bzw.
( 21T) (21T ) (21T ) (21T ) cos Tt, =cos\T(t+nT) =cos Tt+21Tn =cos Tt .
') In der Theorie der Laplace-Transformation muß eine Einschränkung gemacht werden, die den strengen Begriff der eben definierten periodischen Funktionen zerstört! Aus der Definition einer periodischen Funktion folgt, daß sie von - 00 bis + 00 periodisch ist. Wir hingegen halten an der Forderung fest, daß alle betrachteten Funktionen ftir t < 0 gleich Null sind. Wir können also nur in diesem eingeschränkten Sinn von periodischen Funktionen sprechen.
13
o T
Beispiele
~ 1-20 Entwickeln Sie eine Formel rur die Laplace-Transformierte einer beliebigen periodi­ schen Funktion f(t) = f(t + nT). Hinweis: Integrieren Sie stückweise über je eine Periode und substituieren Sie t = T + vT.
Lösung 00
o
Um die Eigenschaft der Periodizität ausnützen zu können, integrieren wir stückweise über die Perioden und summieren:
T 2T 3T
F (s) = J f(t) e- st dt + S f(t) e- st dt + S f(t) e- st dt + ...
o T 2T
Für die Grenzen erhalten wir:
t = (v + 1) T ~ T = t - vT = (v + 1) T - vT = T
t = vT ~ T = t - vT = vT - vT = 0
Eingesetzt in Gleichung (a) ergibt das:
00 T
v= 0 0
(a)
Wegen der Periodizität gilt aber: f(r + vT) = f(r) und wir erhalten:
00 T 00 T
F (s) = L \ f(r) e-S(T + vT) dr = L e- vsT \ f(r) e- ST dr.
v=oo v=O 0 Das Integral ist nun frei vom Summationsindex v, so daß wir es vor das Summationszeichen ziehen können:
T 00
F (s) = S f(r) e- ST dr L e- vsT . o v = 0
(b)
Wir betrachten jetzt noch die Summe: Mit e- vsT = [e~sTt = qV; (q = e- sT) erhalten wir:
00 00
L (e-sT)V = L qV = 1 + q + q2 + ..... v=O v=O
Die Summe ist eine unendliche geometrische Reihe, die fiir Iql < 1 bzw. Re (sT) > 0 den 1 1 Grenzwert -1 - = ---T hat. -q l-e- S
Setzen wir dies in Gleichung (b) ein, so erhalten wir:
T
F(s)=o T 1 - e- s • (1.2)
"1-21 Berechnen Sie mit Hilfe von Gleichung (1.2) die Laplace-Transformierte L {sin (t)} und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis des Beispiels 1-8.
Lösung sin(t) hat die Periode T = 21T. Setzen wir also in Gleichung (1.2) T = 21T und f(r) = sin(r), so erhalten wir:
21T
F(s)=O 2 1 - e- 7TS
Wir berechnen das Integral durch partielle Integration:
21T 21T 21T
1= J sin(r) e-sTdrP""L-isin(r) e- ST I +i S cos(r)e-STdr=
000
(a)
15
211' 211'
pJ. _1 cos(r) e- ST I _1 S sin(r) e- ST dr = _1 (e- 2 11'S -1) _lI. ~ ~ ~ ~
o 0
1 - e- 2 11's 1=---:-­
S2
S2 + 1 .
1 F (s) = S2 + 1
in Übereinstimmung mit dem Ergebnis von Beispiel 1-8.
T 1-22 Berechnen Sie .f {f(t)} fur:
1 0 tUr t<o
f(t) = A tUr O~t<a o tUr a~t<2a usw.
AI----,
40
•
Bild 1.2
Wegen 1 - e- 2as = 1 - (e- as)2 = (1- e- aS) (1 + e- aS) erhalten wir:
F(s) - A s (1 + e- aS) •
16
b) Berechnen Sie t {f(t)}.
Lösung
a) Die Funktion sin (2:; t) ist positiv fiir 0< t < t, T < t < l T usw.
Die Funktion sin (2:; t) ist negativ ftir t< t < T, l T < t < 2T usw.
Daraus folgt:
ftir ~ < t < T usw.
Bild 1.3
o
T/2 T/2 T/2
I = S sin (:; t) e- st dt Pol- - i sin (2; t) e- st + i: J cos (:; t)
o o o
T/2 T/2
e- st I -(i:Y S sin C; t) e- st dt
o 0
17
I = ~ (1 + e-(T/2) S) _ (21T)2 I. Ts2 Ts
Wir erhalten:
T S2 + U;y . I in Gleichung (a) eingesetzt ergibt:
211" T 1 + e-(T/2) S
! {f(t)} = --=-(-2 -)2 1 -Ts . S2.+'; - e
Wegen 1 - e-Ts = 1 - (e-(T/2) S)2 = (1 + e- (T/2) S) (l - e-(T/2) S) erhalten wir:
! {f(t)} = ()2 S2 + 211"
1 - e-(T/2) S • •
T 1-24 a) Berechnen Sie direkt aus der allgemeinen Periodizitätsbedingung f (t + T) = f (t) die Periode von f(t) = Isin(wt)1. b) Berechnen Sie mit Hilfe von Gleichung (1.2) die Laplace-Transformierte der Funktion f(t) = Isin(wt)1.
Lösung
a) Wegen f(t +T) = f(t) muß gelten: Isin{w(t+T)}1 = Isin(wt)1. Wir wenden auf der linken Seite das 1. Additionstheorem an und erhalten:
Isin(wt)· cos(wT) + cos(wt)· sin(wT)1 = Isin (wt)l. (a)
Wenn diese Gleichung für alle Werte von t erfüllt sein soll, müssen die Koeffizienten von sin(wt) und cos(wt) auf beiden Seiten übereinstimmen. Auf der rechten Seite fehlt cos (wt), der Koeffizient ist also Null. Daraus ergibt sich:
sin(wT) = O.
Daraus folgt sofort:
sind erfüllt für wT = n1T (n = 0, 1,2, ... )
18
oder T = n1l" w'
Da T > 0 sein muß (sonst wäre die Funktion konstant), ergibt sich der kleinste Wert von T für n = I.
Daraus folgt:
o
(a)
Das Absolutzeichen unter dem Integral konnte weggelassen werden, weil sin (wt) im Inte­ grationsbereich nicht negativ wird. Wir können uns die Berechnung des Integrals in Gleichung (a) ersparen, wenn wir es mit dem Integral (a) des Beispiels 1-23 vergleichen:
T/2 f sin {(2;) t} e- st dt.
o
T/2 rr/w
J sin { C;) t } e- st dt = J sin (wt) e- st dt.
o 0
Wir können also das Ergebnis dem Beispiel 1-23 entnehmen, indem wir dort ~ durch w ersetzen.
1 + e-(rr/w) s I =w------,---­
S2 + w 2
Setzen wir diesen Ausdruck in Gleichung (a) ein, so erhalten wir:
. w l+e-(rr/w)s E [/sm(wt)/} = -2--2 (I ) . s + W 1 - e- rr w s
Man kann dem Ergebnis noch eine andere Form geben, indem man den letzten Bruch mit e(rrs/2w) erweitert. Wir erhalten dann:
. w e(rrs/2w) +e-(rrs/2w) w ('Ir) L [/sm(wt)l} = -2--2 ( /2) _( /2 ) = -2--2 coth -2 s , s + w e rrs w - e rrs w S + W W
wegen
19
T 1-25 Die periodische Funktion f(t) habe nach Bild 1.4 den Graph:
Berechnen Sie .f {f(t)}.
Lösung Die Periode T der Funktion ist a. Die analytische Form der ersten Periode ist: f(t) = ~t. Damit erhalten wir nach Gleichung (1.2):
a
o
Bild 1.4
I = S t e- st dt = - :s S e- st dt = - :s ( - e: st I ) = :s (e- a : - 1 )
o 0 0
Eingesetzt in Gleichung (a) ergibt das:
Erweitern wir Zähler und Nenner noch mit eas , so erhalten wir:
b eas - 1 -as F(s)=i s2(eaS _l)' •
Die Zahl der Beispiele ließe sich beliebig vermehren, doch würde dies nur auf eine Integra· tionsaufgabe herauslaufen. Es bleibe dem Leser überlassen, sich weitere periodische Funk- tionen auszudenken, die er in den Bildraum transformieren möge. _
1.5 Die Treppenfunktion, die Einheitssprungfunktion und die Stoßfunktion
1.5.1 Die Treppenfunktion [t]
Die Treppenfunktion ist folgendermaßen definiert:
[tl = 1 ! fur t~1 fur l<t~2 fur 2 < t ~ 3 usw.
20
Beispiel
~ 1-26 a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion [t]. b) Berechnen Sie .t {[ t)}.
Lösung a)
123
b) .t{[t)} = J Oe-stdt+ S 1 e-stdt+ S 2e- st dt+ ...
o 2
123
Bild 1.5
= i (_e- 2S +e- s -2e- 3s +2e- 2s -3e- 4s +3e- 3s + ... )
00
Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist eine unendliche geometrische Reihe I qV mit q=e- s . v=l
00
Die Reihe konvergiert für Iql < 1 oder Re (s) > O. Der Grenzwert ist: I qV = 1 ~ q = ~s v=l
1 - e- S
Wir erweitern Zähler und Nenner noch mit eS und erhalten:
.t {[ t]} = s (eS - 1) •
21
1.5.2 Die Einheitssprungfunktion u (t)
Wir kennen diese Funktion bereits, denn wir haben sie schon in Beispiel 1-1 behandelt:
f(t) = { ~ tUr
Bild 1.6
u (tl
2 3
Wegen der Bedeutung der Funktion wollen wir ihr einen eigenen Namen Einheitssprung­ funktion und ein eigenes Funktionszeichen u(t) geben (u für englisch: unit = Einheit).
In der Technik kann man durch u (t) das plötzliche Einschalten einer Batterie oder das plötzliche Einsetzen einer konstanten Kraft beschreiben. Die tUr uns hier wichtigste Verwendung von u (t) besteht darin, daß eine beliebige Funk­ tion f1 (t) durch Multiplikation mit u(t) die Eigenschaft erhält, tUr alle t < 0 den Wert Null anzunehmen:
{ f1 (t) f(t) = f1 (t) u(t) = 0
tUr
tUr
t~O
t <0.
Der Leser möge z.B. die Funktion f1 (t) = et und die Funktion f(t) = u(t) et zeichnen, um sich den Sachverhalt klarzumachen.
Eine sinngemäße Erweiterung der Einheitssprungfunktion ist die verschobene Einheits­ sprungfunktion u (t -a) mit a> O. Sie ist eine Sprungfunktion wie u (t) mit dem Unter­ schied, daß der Sprung nicht bei t = 0, sondern rechts davon bei t = a erfolgt. Man macht sich das am besten klar, wenn man t - a = r setzt. Es ist dann: u (t - a) = u (r). u (r) hat den Sprung an der Stelle r = O. Für r = 0 ist aber t = a. Es ist also:
u(t-a) = { ~ tUr t < a
tUr t ~ a.
Wir wollen den Graph von u (t - a) aufzeichnen, um uns das Bild einzuprägen:
u (t - Cl)
22
Wir werden von nun an, wo es notwendig erscheint, den Nullbereich der Funktion durch die Faktoren u (t) bzw. u (t - a) deutlich kennzeichnen. Wo dagegen Verwirrung ausge­ schlossen ist, werden wir die Schreibweise wie bisher beibehalten: Schreiben wir zum Bei­ spiel f(t) = sin(t), so bedeutet das f(t) = u(t) sin(t). Die Laplace-Transformierte von u (t) kennen wir bereits. Wir haben sie in Beispiel 1-1 be­ rechnet:
1 ! {u(t)} = s.
Lösung
a ~ ~
! {u (t - a)} = S 0 e- st dt + S 1 e- st dt = - i e- st I = e: sa .
o a a
•
~ 1-28 a) Stellen Sie die Treppenfunktion [tl (s. Abschnitt 1.5.1) mit Hilfe von u(t - a) dar.
b) Berechnen Sie mit Hilfe dieser Darstellung unter Benutzung des Ergebnisses von Beispiel 1-27 die Laplace-Transformierte von [t].
Lösung
(e-VS) (e-S)V b) Wegen! {u(t - v)} = -s- = -s-' ist
! {[tl} = !{( i: u(t - v) )} = f ! {u(t - V)}I) = i ~ ee-S)V v=l v=l v=l
Das Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis von Beispiel 1-26 überein.
I) Wir benutzen hier die allgemeine Eigenschaft der Laplace-Transformation:
t {a f(t) +b g(t)} = at {f(t)} + b t{g(t)}
a, b beliebige Konstanten
•
f(t) = I ~ für für für
a<b
b) Stellen Sie f(t) mit Hilfe der verschobenen Einheitssprungfunktion dar. c) Berechnen Sie t {f(t)}.
Lösung a)
c) Wir wählen zwei Wege.
1. Weg: direkt aus der Definition (1.1)
a b 00 b
t {f(t)} = So e- st dt + S h e- st dt + S 0 e- st dt = he-I) e: st I o a b a
e- as _ e- bs = h· s
2. Weg: Wir verwenden das Ergebnis des Beispiels 1-27.
t {f(t)} = t {h(u(t-a)-u(t-b))}
•
24
T 1-30 Gegeben sei eine Funktion f l (t) = U (t) f(t). a) Wie lautet die Gleichung der Funktion f2 (t), die aus f l (t) entsteht, wenn diese um die Zahl a> 0 nach rechts verschoben wird? b) Man mache sich den Unterschied zwischen f l (t) und f2 (t) zeichnerisch klar.
Lösung
a) f2 (t) = f l (t - a) = u (t - a) f (t - a).
b)
a)f(t)=t2; b)fl (t)=u(t)t2; c)f2(t)=u(t)(t-1)2;
d) f3 (t) = u(t- 1)(t- 1)2; e) f4 (t) = u(t-l) t2; f) fs(t) = u(t-l)(t- 1)2 -u(t-3)(t-l)2
= (u(t -1) - u(t - 3))(t _1)2.
•
f) •
26
1.5.3 Die Stoß funktion 0 (t)
In der Technik spielt die Stoßfunktion oder Impulsfunktion oder Diracsche Deltafunktion o (t) eine bedeutende Rolle. Wir werden gleich sehen, daß 0 (t) keine Funktion im übli­ chen Sinne ist. Man nennt sie deshalb eine Pseudofunktion. o (t) ist folgendermaßen definiert:
o(t) = lim 1. {u(t)-u(t-e)} e-->oe
= { ~ für alle t '* 0
für t=O.
Bild (1.11) zeigt die Funktion ~ {u (t) - u (t - e)} fur e = ~ .
4 I
o ~4 Bild 1.11
(a)
Aus der Definition erkennt man, daß 0 (t) in der Tat keine Funktion ist: In der Analysis schließt man alle Stellen, an denen der Funktionswert alle Grenzen übersteigt, aus dem Definitionsbereich aus, während bei 0 (t) gerade die Stelle t = 0, an der der Funktionswert unendlich ist, die entscheidende Rolle spielt. Praktisch bedeutet 0 (t) eine kurze, starke Erregung zur Zeit t = 0, z.B. einen Hammer­ schlag auf ein mechanisches System oder einen Blitzschlag in ein elektrisches System. Wir werden, wie es in den Ingenieurwissenschaften üblich ist, mit der Stoßfunktion rechnen, als wäre sie eine Funktion. Wir müssen aber das Ergebnis dieser Rechnung jeweils kritisch überprüfen und dürfen uns nicht wundem, wenn das Ergebnis ungewöhnliche Eigenschaften aufweist. Eine weitere für manche Zwecke nützliche Definition ist folgende:
d o (t) = dt u(t). (b)
27
Beispiele
~ 1-32 Man zeige anband des Graphen von u(t), daß die Definition (b) mit der Definition (a)
übereinstimmt.
Lösung
u(l)
o
• . u(t+~t)-u(t) . 1-1 u(t) = hm = hm - = O.
At -+ 0 ~t At -+ 0 ~t
Entsprechend gilt flir t< 0
• . u(t+~t)-u(t) . 0-0 u(t) = hm = hm -- = O.
At .... 0 ~t At-+O ~t
B . t O' t Au 1 - 0 1 d .. l' Au el = IS At = ~ = At; amlt 1st 1m At = 00 At -+ 0
Es ist also:
<5 (t) = { 00
T 1-33 Beweisen Sie mit Hilfe der Definition (a):
00
- 00
Lösung
00 €
f 1 1 f E E (u(t)-U(t-E)) dt = E dt = E = 1.
-00 o
Bild 1.12
•
•
28
~ 1-34 Berechnen Sie .f {ö (t)} mit Hilfe der Definition (a), indem Sie zuerst
.f {~( u (t) - u (t - e»} berechnen und dann zum Grenzwert e -+ 0 übergehen.
Lösung
.f{~(u(t)-u(t-e»} E E
= .1 f 1 e- st dt = .1 (-1) .1 e- st I = .1 1 - e- SE
e e s Se' o 0
Für e = 0 ist der Ausdruck 1 _;-0 = ~ unbestimmt. Wir wenden die l'Hospitalsche Regel an und erhalten:
1 - -SE ..Q.. Cl - e- SE ) -SE
I· e I' dE I' sei 1m -S-e- = 1m d = 1m -s - = . E-+O E-+O s-E E-+O
dE
Es ist also .f {ö (t)} = 1. • Die Anomalie der Stoß funktion zeigt sich auch an ihrer Bildfunktion. Betrachten wir die bisher berechneten Bildfunktionen, so haben sie alle ein übereinstimmendes Merkmal: Für Re (s) -+ 00 gehen die Bildfunktionen gegen Null.!) Dagegen ist .f {ö (t)} = 1 ftir alle Werte von s. • Eine sinngemäße Erweiterung der Stoßfunktion ist die verschobene Stoßfunktion: Der Stoß soll nicht zur Zeit t = 0, sondern zu einer späteren Zeit t = a erfolgen. Wir definieren dem­ gemäß:
ö(t-a)=!im ~(u(t-a)-u(t-a-e» (a') E -+ 0
oder:
d ö(t-a) = dt u(t-a). (b')
~ 1-35 Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von ö (t - a). Hinweis: Gehen Sie von der Definition (1.1) aus und substituieren Sie t - a = 7.
Lösung 00
a
Wir substituieren t - a = 7 und erhalten mit den neuen Grenzen 0 und 00
00 00
.f {ö (t - a)} = S ö (7) e-S(T + a) d7 = e- as J Ö (7) e- ST d7
o o
• !) Wir werden in Abschnitt 1.6 beweisen, daß diese Eigenschaft der Bildfunktionen unter sehr allge­
meinen Voraussetzungen gilt.
-00
00
-00
Lösung 00 00
a) • du(t) f J f(t) ---cIt dt = f(t) du (t).
-00 -00
Nun ist:
für t * 0
für t = 0
00 00
-00 -00
du(t-a) = { ~ für
u(t
• Eine räumlich ausgedehnte physikalische Größe <I> wie z.B. die Masse m eines Körpers, die elektrische Ladung Q oder die Kraft F auf einen Körper, wird mathematisch durch das Volumintegral<l> = jf(x, y, z) dV beschrieben. f(x, y, z) wird die Dichtefunktion der physikalischen Größe genannt. Im Falle einer eindimensionalen Ausdehnung gilt entspre­ chend:
<I> = Sf(X) dx.
Für die mathematische Behandlung vieler Probleme ist es wünschenswert, eine physikali­ sche Größe, die nur in einem Punkt von Null verschieden ist (Massenpunkt, Punktladung, Kraft, die nur auf einen Punkt des Körpers wirkt), mit Hilfe einer Dichtefunktion f(x) als Integral darzustellen.
30
Im nächsten Beispiel soll diese Darstellung mit Hilfe der Stoß funktion gewonnen werden.
{ 1Jo für ~ 1-37 a) Stellen Sie die Funktion 1J (x) = 0 für
mit Hilfe der Stoßfunktion 0 (x - a) dar und geben Sie die zugehörige Dichtefunk­ tion fex) an. Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis des Beispiels 1-36 b.
b) Transformieren sie die Dichtefunktion fex) in den Bildraum.
Lösung
a) Wie aus dem Beispiel 1-36 b) sofort ersichtlich ist, läßt sich 1J (x) mit Hilfe der Stoß­ funktion folgendennaßen darstellen:
00 00
-00 -00
Die Dichtefunktion ist damit:
fex) = 1Joo (x - a).
b) Wegen 1: {o (x - a)} = e- as (s. Beispiel 1-35) ist 1: (fex)} = 1Jo e- as . •
1.6 Die Klasse der transformierbaren Funktionen
Wir wollen am Schluß dieses Kapitels an die Definition (1.1) der Laplace-Transfonnierten anknüpfen und die Bedingungen angeben, unter denen das Integral
00
1: (f( t)} = f f( t) e- st dt existiert.
o
Die Bedingungen sind:
1. f( t) ist stückweise stetig, d. h. sie darf in jedem Intervall a ~ t ~ b nur endlich viele Un­ stetigkeiten (Sprünge) aufweisen. 1)
2. If(t)1 ~ M· eat , wobei Mund a endliche Konstanten sind.
1) Hätten wir die Stetigkeit von f(t) gefordert, so wären sehr wichtige Funktionen, z.B. die Rechteck­ funktionen, nicht in die Klasse der transformierbaren Funktionen gefallen. Die Bedingung 1. garan­ tiert, daß die Funktionen über einen endlichen Bereich integrabel sind.
31
Beispiele
.1-38 Zeigen Sie, daß wegen der Bedingungen 1. und 2. das Integral
00
o
Lösung
S f(t) e- st dt ~ S If(t)1 e- st dt.
o o
Ersetzen wir If(t)1 durch M eat , so besteht die Ungleichung um so mehr:
A A A A
S f( t) e- st dt ~ S M eat e- st dt = M J e-(s - a) t dt = :_Ma e-(s - a) t I o 0 0 0
= ~ (1 - - (s - a) A) S - a e .
Die Ungleichung gilt für jedes A> o. Gehen wir zur Grenze A -+ 00 über, so erhalten wir:
00
o
(a)
• T 1-39 Zeigen Sie, daß die Bildfunktion F (s) einer Funktion f(t), die den Bedingungen 1.
und 2. gehorcht, fiir Re(s) -+ 00 gegen Null strebt.
Lösung
Wir greifen auf das Ergebnis des Beispiels 1-38 zurück und haben zu zeigen, daß fiir jedes €>O gilt:
I s ~ al < €, wenn Re (s) nur groß genug gewählt wird. Da aber Mund a feste Zahlen sind,
so kann ein solches s immer gefunden werden. Dann haben wir aber mit der Ungleichung (a) des Beispiels 1-38: F (s) = .e {f(t)} < € fiir genügend großes Re (s) und damit: lim F (s) = O. •
Re(s) --+ 00
u (t -- a) e- as
Re (5) > 0 Tl ---s
6 (t) 1 T3
u (t) t n n! sn + 1
Re (5) > 0 T5
u (t) sin (wl) w
T7 s2 + w 2
s2 + w 1
u (t) 5inh (wl) w Re (5) > Iwl T9 s2- w 2
u (t) cash (wt) 5 Re (5) > Iwl TlO 52 - w 2
u (t) tn eat n' (5 - a)n + 1
Re (5) > a Tll
u (I) sin (wt) e-at w Re (5) > - a Tl2 (5 + a)2 + w 2
u (I) cos (wl) c- at 5 + a Re (5) > - a Tl3 (s+a)2+ w 2
u (I) sin 2 (wt) 2w 2 Tl4
S (52 + 4w 2 )
Tl5 5 (52 + 4w 2)
U (I) (1 - c- at ) a Re (s) > 0 Tl6 S (5 + a)
u (I) [11 I Re (5) > 0 Tl7
s(eS -1)
h (u (I - a) - u (I - b» ~ (e-as _ c- bs) Tl8
u (I) Isin (wl)l 52 ~ w2 coth (2: s) Tl9
u (I) ! 11 sin ( ~ I) 1 + sin ( t" I ) l ~ I TlO 2 + (~r l-e-(T/2)s
5 T
A TlI 0 rur a';I~2a llSW.
5 (I + e- as)
~I a Tl2 rur O~I<a usw. s2(cas -l)
u (I) (I f (I» _E- F(s) ds
Tl3
dsn
33
1 Berechnen Sie mit Hilfe der Definition (1.1) die Laplace-Transformierten folgender Funktionen:
a) f(t) = cosh(wt)
b) f(t) = cos(wt)
d) f(t) = 4t
e) f(t) = sin(wt +4» t) f(t) = sin(wt + nI2).
2 Berechnen Sie mit Hilfe von Gleichung (a) in Beispiel 1-15 die Bildfunktionen:
a) L {e sin(wt)}
b) .f {t2 cos(wt)}
d) .f {t(2 sin(3t) - 2 cos(3t»}.
3 Berechnen Sie .f {cos2 (t)} mit Hilfe der Gleichung (1.2) in Beispiel 1-20.
4 a) Stellen Sie die Funktion f(t) = 2" für v ~ t < v + 1, v = 0, 1,2, ... mit Hilfe
5
{ sin (nt) Es sei f(t) = 0
Berechnen Sie .f {f (t)} .
für O~t~1
6 a) Berechnen Sie die Bildfunktion F (s) der Funktion:
34
00
f(t) = L r"u(t-av) rEIR\{O} und a>O. ,,= 0
b) Skizzieren Sie die Funktion f(t) für r = - I und berechnen Sie mit der Lösung von a) ihre Bildfunktion. Vergleichen Sie das Ergebnis mit Beispiel 1-22.
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation
Übersicht
In diesem Kapitel werden die wichtigsten Eigenschaften der Laplace-Transformation in Sätze ge­ faßt. Es wird dabei versucht, die Beweise so zu zergliedern, daß sie ganz oder teilweise in Beispiele gefaßt werden können. In Fällen, in denen das nicht möglich war, wird der Beweis im Text ange­ deutet. Zu jedem Satz werden Beispiele gerechnet, in denen die Anwendung der Sätze geübt wird. Dabei werden wir sehen, daß wir teilweise schon Spezialfälle der Sätze im ersten Kapitel kennengelernt haben. Am Schluß des Kapitels werden die Sätze noch einmal übersichtlich zusammengefaßt, damit man sie sich besser einprägen kann. Der Leser möge nicht ungeduldig werden, daß er auch noch nicht in diesem Kapitel die praktische Bedeutung der Laplace-Transformation erkennen kann. Die Früchte seiner Mühen wird er im dritten und vierten Kapitel ernten.
2.1 Satz über Linearkombinationen
Es seien f(t) und g(t) zwei Funktionen, dann nennt man h(t) = a f(t) + b g(t) eine Linearkombination der Funktionen f(t) und g(t). a und b sind beliebige Konstanten.
Wir fragen: Kann man .t {h(t)} berechnen, wenn .t {f(t)} und .t {g(t)} bekannt sind, und welche Form hat dann.t {h(t)}? Wir haben die Beantwortung der Frage schon in Kapitel 1 vorweggenommen (s. Beispiel 1-28), Anmerkung). Hier wollen wir diese Eigenschaft wegen ihrer Wichtigkeit noch ein­ mal als Satz formulieren und den einfachen Beweis dem Leser überlassen.
Satz
Ist F(s) =.t {f(t)} und C(s) =.t {g(t)} und ist h(t) = a f(t) + b g(t), wobei a und b beliebige Konstanten sind, so ist
H(s) =.t {h(t)} = a.t {f(t)} + b.t {g(t)}.
Man nennt eine Transformation mit dieser Eigenschaft eine lineare Trans­ formation.
(2.1 )
35
Beispiele
~ 2-1 Beweisen Sie mit Hilfe der Definition (1.1) den Satz (2.1).
Lösung Wir wenden den bekannten Satz der Differentialrechnung an, daß
J{a fex) + b g(x)} dx = a Jf(X) dx + b J g(x) dx ist.
Dann ergibt sich aus Definition (1.1): 00
! {h(t)} =! {a f(t) + b g(t)} = f {a f(t) + b g(t)} e- st dt
o
00 00
= a J f(t) e- st dt + b J g(t) e- st dt = a! {f(t)} + b! {g(t)}
o 0
= aF(s)+bG(s)1). _
T 2-2 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.1) sowie T7 und T8 ! {a sin(wt) + b cos(wt)}.
Lösung Nach Satz (2.1) ist:
! {a sin (wt) + b cos (wt)} = a! {sin (wt)} + b ! {cos(wt)}.
Nun ist nach T7 bzw. T8:
! {sin(wt)} = ~ und s + w
S +w
. aw bs aw + bs ! {a sm (wt) + b cos(wt)} = -2--2 + -2--2 = -2--2·
s+w s+w s+w
2.2 Ähnlichkeitssatz
- Wir stellen uns die Frage: Wie ändert sich die Laplace·Transformierte einer Funktion f(t), wenn die Veränderliche t durch at mit a> 0 ersetzt wird? Oder anders ausgedrückt: Kann man! {[(at)} berechnen, wenn! {f(t)} bekannt ist und wie sieht dann! {[(at)} aus? Wie man am Ergebnis des Beispiels 2-3 erkennt, wird die Funktion selbst flir a> 1 ge· staucht, flir a< 1 gedehnt. Man nennt eine solche Transformation ;fhnlichkeitstrans[ormation.
1) Wir haben diesen wichtigen Statz schon im ersten Kapitel benutzt und werden ihn auch im folgen­ den sehr oft anwenden, ohne jedoch ausdrücklich auf ihn zu verweisen. Der Leser möge darauf achten, wie häufig er Satz (2.1) benutzt.
36
Beispiele
a) f(t)= u(t)sin(t);
b) f1 (2t) = u (t) sin (2t)I);
c) f 2 (4 t ) = u (t) sin (4 t ) 1 ) .
Lösung
37
Wir formulieren den Ähnlichkeitssatz. Den Beweis können wir wieder, da er keine Schwie· rigkeit bietet, als Beispiel dem Leser überlassen.
A"hn!ichkeitssa(Z
Es sei F (s) = .f {f( t)} die Bildfunktion von f( t); dann ist die Bildfunktion der ähnlichen Funktion f(at) mit a> 0 gleich
.f {f(at)} = ~F (i) . (2.2)
Beispiel
~ 2-4 Beweisen Sie Satz (2.2), indem Sie 7 = at substituieren. Hinweis: Gehen Sie von der Definition (1.1) aus.
Lösung
o
Wir setzen 7 = at. Bei dieser Substitution ändern sich die Grenzen des Integrals in Glei­
chung (a) nicht. Dagegen wird wegen d7 = a dt dt = ~ dr.
Eingesetzt in Gleichung (a) erhalten wir:
00
(a)
Die folgenden Beispiele sind Anwendungen des Ähnlichkeitssatzes, deren Ergebnisse wir schon aus Kapitel 1 kennen. Sie dienen lediglich der Veranschaulichung des Ähnlichkeits­ satzes (2.2).
Beispiele
~ 2-5 Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes (2.2) .f {sin(wt)}, wenn
.f {sin(t)} = + ist. s + 1
Lösung
Dieses Ergebnis kennen wir schon aus Beispiel 1-9. • 38
~ 2-6 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.2) i {cos (wt)}, wenn
s F(s) = i {cos(t)} = S2 + 1 ist.
Lösung
1 (. s ) 1 s/w s i {cos(wt)} = w F W = w (/)2 = -2--2' sw +1 s +w
~ 2-7 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.2) i {eat }, wenn
1 F(s)=i{et}=s_1 ist.
Lösung
~ 2-8 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.2)
i {~(lsin(21T/T)tl-Sin(21T/T)t)}, wenn
i {-21 (lsin(t)l-sin(tn) _1_ 1 ist. S2 + 1 (I - e- 1TS )
Lösung W· 21T d 1 T Ir setzen a = T 0 er a 2rr .
Dann ist:
(21T/T) S2 + (21T/T)2 l_e-(T/2)s'
2.3 Erster Verschiebungssatz
•
•
•
Ersetzt man in einer Funktion f(t) die Variable t durch t - a (a > 0), so verschiebt sich die zugehörige Kurve um den Betrag a nach rechts, wie wir uns schon in Abschnitt 1.5.2 überlegt haben. Wir fragen: Wie läßt sich i {f(t - a)} darstellen, wenn i {f(t)} bekannt ist? Ehe wir den Verschiebungssatz formulieren und beweisen, wiederholen wir noch einmal, daß wir statt f( t) besser u (t) f( t) schreiben, um zu betonen, daß die zu transformierende
39
Funktion Null ftir t < 0 ist. Diese Bedingung kommt hier nun zum Tragen. Verschieben wir nämlich u(t) f(t) um den Betrag a nach rechts, so erhalten wir u(t - a) f(t - a) (s. Bei­ spiel 1-30. Diese ist Null ftir t < a. Nach diesen Überlegungen können wir die oben gestellte Frage beantworten und den ersten Verschiebungssatz formulieren. Den Beweis überlassen wir wieder dem Leser als Beispiel.
Erster Verschiebungssotz
Es sei u(t - a) f(t - a) die aus u(t) f(t) durch Verschiebung um den Betrag a entstandene Funktion. Dann gilt:
.e{f(t-a)}=e-aSF(s) mit F(s)=.e{f(t)}.
Beispiele
~ 2-9 Beweisen Sie den ersten Verschiebungssatz durch die Substitution t - a = r.
Lösung
00
o
(2.3)
(a)
Substituieren wir r = t - a, so werden die neuen Grenzen fur t = 0 r = - a und ftir t = 00
r = 00. Außerdem ist dt = dr. Setzen wir das in Gleichung (a) ein, so erhalten wir:
00
.e [f(t - a)} = f u(r) f(r) e-S (T + a) dr
-a
o 00
= e- sa f u (r) f(r) e- ST dr + e- sa f u (r) f(r) e- ST dr.
-a o
Wegen u (r) = 0 ftir r< 0 ist das erste Teilintegral Null. Mit u (r) = 1 ftir r ~ 0 erhalten wir dann:
00
.e [f(t - a)} = e- as f f(r) e- ST dT = e- as F (s).
o • ~ 2-10 Berechnen Sie die Laplace-Transfonnierte von f(t - a) = u(t - a) (t - a)2
a) mit Hilfe von Satz (2.3); b) direkt aus der Definition (l.l).
Hinweis: Denken Sie daran, daß u (t - a) (t - a)2 = 0 ftir t < a ist.
40
Lösung
a) Nach T5 ist .f {t2} = ~. Nach Satz (2.3) ist dann:
b) Nach Definition (1.1) ist die Bildfunktion F (s) von u (t - a) f(t - a) gleich:
00
o
Beachten wir, daß u (t - a) = 0 ftir t < a, so wird:
00 00
a a
00 00
00
a
00
pJ. 2 (t ) - st I + 2 S -st dt _ 2 -st I _ 2 e- as --- -ae - e ---e --- S2 S2 S3 S3 .
a a a • T 2-11 Berechnen Sie die Laplace-Transfonnierte F(s) der Funktion f(t) = u(t) (t - a)2.
Lösung
00 00
o o
Mit Hilfe unserer Tabelle finden wir:
F ( ) - 2 2 1 2 1 _ =..2 _---=2:.::a"-:;s ,....+.cc.a 2-,S_2 S --- a-+a --- S3 S2 S S3
2. Weg: Wir gehen wieder von der Definition (1.1) aus, doch jetzt unterteilen wir das Inte­ gral in folgender Weise:
00 a 00
F (s) = S (t - a)2 e- st dt = S (t - a)2 e- st dt + S (t - a)2 e- st dt = 11 + 12,
o o a
2 e- as 12 = -3-·
S
a a a
11 = S (t - a)2 e- st dt P='o - {(t - a)2 e- st I + ~ S (t - a) e- st dt
o o o
a a a
p.J. a2 2 ( ) -st I 2 S -st dt _ a2 2a 2 -st I - --- t-a e +- e ------e s S2 S2 S S2 S3
o 0 0
s S2 S3 S3 S3 S3
Wir addieren 11 und 12 und erhalten:
F ( ) - I I _ a2 S2 - 2as + 2 S-1+2- 3 .
S
T 2-12 Berechnen Sie die Bildfunktion F (s) der Funktion, die aus der Funktion
• f(t) = u (t) sin (t) durch Verschieben um die Zahl1T nach rechts hervorgegangen ist.
Lösung
f(t-1T) = u(t-1T)sin(t-1T).
Wenden wir auf diese Funktion den Satz (2.3) an, so erhalten wir:
.c {f(t-1T)} = e- 1TS .c {sin(t)}.
Nach T7 ist .c {sin(t)} = -21 . s + 1
Eingesetzt in Gleichung (a) ergibt dies:
e- 1TS
(a)
T 2-13 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.3) die Bildfunktion der Treppenfunktion [tl.
42
Hinweis: Benutzen Sie die Darstellung der Treppenfunktion, die Sie in Beispiel 1-28a gewonnen haben.
Lösung
[tl = L u(t-v) und v = 1
Nun ist nach Satz (2.3)
L {u (t - v)} = e - vs L {u (t)} = e - vs i . Eingesetzt in Gleichung (a) ergibt dies:
00 00
L {[t]} = i L e- vs = i L (e-sy. v=l v=l
Die Summe ist eine unendliche geometrische Reihe mit dem Grenzwert ~ . 1 - e- S
Das Ergebnis lautet also:
L {[t]} = s(1- e- S) s(es-1)
in übereinstimmung mit dem Ergebnis der Beispiele 1-26 bund 1-28 b. •
T 2-14 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.3)
L{f(t)} = L{h(u(t-a)-u(t-b))} (a<b).
Lösung
L {f(t)} = h( e- as L {u (t)} - e- bs L {u (t)})
= h L {u(t)} (e- aS - e- bs).
Wegen L {u (t)} = t (Tl) erhalten wir:
L {f(t)} = % (e- aS - e- bs).
Vergleichen Sie das Ergebnis mit Beispiel 1-29.
2.4 Zweiter Verschiebungssatz
(a)
Im zweiten Verschiebungssatz liegen die umgekehrten Verhältnisse vor wie im ersten Ver­ schiebungssatz. Wurde dort die Kurve der Funktion nach rechts verschoben, so verschieben wir die Kurve nun nach links:
u(t)f(t)-+u(t)f(t+a) mit a>ü.
43
./
0 Q -Q 0
Bild 2.16 a Bild 2.16 b
Die Aufgabe, die wir uns stellen, ist die gleiche wie bei den vorhergehenden Sätzen: ! {f(t)} sei als bekannt vorausgesetzt. Wir fragen: Ist es möglich, ! {u (t) f(t + a)} aus ! {f(t)} zu berechnen und wie sieht dann die Transformierte aus?
Zweiter Verschiebungssatz
Es sei! {f(t)} die Laplace-Transformierte von u (t) f(t). Dann ist die Laplace-Transformierte von u(t) f(t + a):
Beispiele
a
o
y 2-15 Beweisen Sie Satz 2.4, indem Sie von Definition (1.1) ausgehen.
00 00 a
Hinweis: Substituieren Sie: 7 = t + a und beachten Sie: S = S -S·
Lösung
! {u (t) f(t + a)} = S f(t + a) e- st dt.
o
a 0 0
Dann ist: dt = d7 und die untere Grenze 7 = a, die obere Grenze 7 = 00.
44
(2.4)
Wir erhalten damit: 00 00
! {u (t) f(t + a)} = S f(r) e- s (T - a) dr = esa S f(r) e- ST dr
a a
00 a
= eas ( S f(r) e- ST dT - S f(r) e- ST dT)
o o
a 1)
• o
~ 2-16 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.4) und der Tabelle:
Lösung
Wir kennen die Lösung bereits, denn sin ( t + I) = cos (t). Nach T8 ist:
! { sin ( t + ~) } = ! {cos (t)} = S 2 : 1"
Trotzdem ist es lehrreich, das Beispiel mit Hilfe von Satz (2.4) zu berechnen, weil wir sehen werden, daß es wesentlich ist, die Funktion f( t + a) flir t < 0 gleich Null zu setzen. Nach Satz (2.4) ist:
tr/2
! { sin (t + ~)} = e(tr/2) S (! {sin(t)} - S sin(t) e- st dt) .
o
tr/2
S + 1 o
Setzen wir das Ergebnis in Gleichung (a) ein, so erhalten wir:
{ } [ 1 1 - (tr/2) S ] ! sin (t + ~) = e(tr/2) S __ _ - s e = _s_. 2 S2 + 1 S2 + 1 S2 + 1
(a)
•
1) Wir haben in der letzten Zeile die Integrationsvariable wieder mit t bezeichnet. Wir erinnern daran, daß dies erlaubt ist, weil das bestimmte Integral nur von seinen Grenzen abhängt.
45
T 2-17 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.4) die Laplace-Transformierte der verschobenen Einheitssprungfunktion u(t + a) für a > O. Diskutieren Sie das Ergebnis.
Lösung
a a
.l:{u(t+a)} =eas (.l:{u(t)}- Su(t) e- st dt) =eas (~- Se-stdt)
o o
a
= eas (1. + 1. e - st I ) = eas (1. + 1. e -as _1.) = eas e -as = 1. s s s s s s s'
o
Es ist also .l: {u (t) + a)} = .l: {u (t)}. • Dieses Ergebnis ist nicht überraschend, wenn wir uns anhand einer Skizze klarmachen, daß u(t + a) u(t) = u(t) ist:
,---11--------- I u(t + Q)·u(t) I I I I Bild 2.17
-Q o t
T 2-18 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.4) und Tl7 .l:{1+[t]}.
Lösung
•
Die Funktion ist die um die Zahl a = 1 nach links verschobene Treppenfunktion [tl (Ver­ gleichen Sie Beispiel 1-26). Es ist also 1 + [t] = [t + 1].
Wenden wir Satz (2.4) an und beachten, daß nach Tl7 .l: {[t]} = _-1-1- ist, so erhalten . s (eS - )
WIr: 1
.l:{I+[t])}=.l:{[t+l]}=es ( 1 -SOe-stdt) sees -1)
o
Erweitern wir Zähler und Nenner mit e- s, so erhalten wir:
.l:{1+[t]}= 1 s(l-e- S) •
46
T 2-19 a) Bestimmen Sie F (s) = .L (f(t)} , wenn f(t) der Differenzengleichung genügt:
f(t+1)=f(t)+1 ftir t>I, I f( t) = 0 ftir 0< t ~ 1.
b) Bestimmen Sie r 1 {F (s)} = f(t) mit Hilfe der Tabelle.
Lösung a) Wir transformieren die Differenzengleichung in den Bildraum und erhalten:
.L {f(t + I)} =.L {f(t)} +.L {I}.
Auf die linke Seite wenden wir Satz (2.4) an, wobei wir beachten, daß f( t) aufgrund der Definition von f(t) ftir t< 1 gleich Null ist, so daß der Integralteil in Satz (2.4) verschwin­ det. Wir erhalten dann:
eS.L {f(t)} = .L {f(t)} + +. Aus dieser Bestimmungsgleichung fur .L {f(t)} berechnen wir:
F (s) = .L (f(t)} = 1 s (eS - 1)
b) Schauen wir nun in der Tabelle unter Tl7 nach, so sehen wir, daß zu F (s) = __ 1_ s(eS-1)
die Originalfunktion r 1 {F (s)} = f(t) = [tl gehört. Wie wir uns leicht anhand einer Skizze überzeugen können, erftillt die Treppenfunktion [t] die gegebene Differenzenglei-
chung. -
In dem folgenden Beispiel kommen wir noch einmal auf den ersten Verschiebungssatz (2.3) zurück, um mit seiner Hilfe eine ähnliche Differenzengleichung wie in Beispiel 2-19 zu lösen. Wir wollen an diesem Beispiellemen, daß blindes Anwenden einer Regel zu falschen Ergebnissen fUhren kann. Die meisten Fehler, die gemacht werden, beruhen darauf, daß die Originalfunktionen in der Theorie der Laplace-Transformation für t < 0 gleich Null sind, was bei verschobenen Funktionen leicht übersehen wird.
T 2-20 Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz (2.3) die Funktion f(t), die die Differenzenglei­ chung f(t) = f(t - 1) + 1 erftillt. Es soll außerdem gelten: f(t) = 0 ftir 0< t ~ 1.
Lösung
Wie schon angedeutet, wollen wir einen falschen Weg einschlagen, um aus dem Fehler zu lernen. Wir transformieren formal die Differenzengleichung in den Bildraum und erhalten:
.L {f(t)} = .L {f(t - l)} +.L {l}.
Wir wenden auf .L {f( t - 1)} Satz (2.3) an und erhalten mit .L {I} = + : .L {f(t)} = e- s .L {f(t)} + +.
47
L {f(t)} - 1 s(1-e- S)
Die zugehörige Originalfunktion ist:
f(t) = [tl + 1,
wie man Beispiel 2-18 entnehmen kann. Dieses Ergebnis ist falsch, weil es nicht die Forderung erfiillt, daß fur 0< t ~ 1 f(t) = 0 ist; denn f(t) = [tl + 1 = 0 + 1 = 1 fiir 0< t ~ 1. Worin liegt nun der Fehler, den wir gemacht haben? Entsprechend unserer Forderung und der Eigenschaft der Originalfunktion ist f(t) = 0 und f( t - 1) = 0 fur t ~ 1, d.h. f( t) = f( t - 1) (= 0) fiir t ~ 1, so daß die Differenzengleichung f(t) = f(t -1) + 1 für t ~ 1 nicht erfiillbar ist. Wir sind aufgrund dieser überlegungen gezwungen, die ursprüngliche Differenzengleichung in folgender Weise umzuschreiben:
f(t) = f(t -1) fiir t ~ 1 }
f(t) = f(t-1) + 1 fiir t> 1 .
Mit Hilfe der verschobenen Sprungfunktion können wir beide Gleichungen zusammen­ fassen:
u (t - 1) f( t) = u (t - 1) f(t - 1) + u (t - 1).
Transformieren wir nun diese der Theorie der Laplace-Transformation angepaßte Glei­ chung in den Bildraum, so erhalten wir:
-S
oder:
L{f(t)} = 1 sees -1)
Die Rücktransformation gelingt nach T 17. Es ist:
f(t) = [tl.
2.5 Dämpfungssatz
In der Praxis kommt es häufig vor, daß eine Funktion f(t) mit einem Faktor e- at multi­ pliziert ist. Man nennt eine solche Funktion gedämpft und den Faktor e- at Dämpfungs­ faktori). Wir fragen: Wie läßt sich.f fe-at f(t)} berechnen, wenn .f {f(t)} bekannt ist? Die Antwort auf diese Frage gibt der
Dämpfungssotz
Es sei F(s) =.f {f(t)} die Laplace-Transformierte einer Funktion f(t). Dann ist die Laplace-Transformierte der Funktion f l (t) = e- at f(t) gleich
.f {fl (t)} =.f fe-at f(t)} = F (s + a).
Beispiele
Lösung
Es ist
00 00
.f fe-at f(t)} = Se-at f(t) e- st dt = S f(t) e-(s + alt dt.
o o
Schreiben wir fur einen Augenblick s + a = 0, so ist:
00 00
S f(t) e- (s + a) t dt = f f(t) e- at dt = F (0).
o o
Schreiben wir nun wieder s + a statt 0, so erhalten wir:
.f fe-at f(t)} = F(s + a). • .. 2-22 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.5) und T5 die Laplace-Transformierte von
f(t) = te-at.
(2.5)
(a)
I) Es wird nicht vorausgesetzt, daß a > 0 ist, obgleich nur in diesem Fall das Wort Dämpfung gerecht­ fertigt ist. Für a < 0 wäre das Wort Verstärkung angebracht.
49
Nach Satz (2.5) schreiben wir in Gleichung (a) s + a statt s und erhalten das Ergebnis:
.r. {t -at} _ 1 e - (s + a)2·
Vergleichen Sie Beispiel (1-11). • • 2-23 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.5) und T8 .r. {e- at cos (wt)}.
Lösung
Nach T8 ist.r. {cos(wt)} = -2 S 2. (a) s + w
Nach Satz (2.5) haben wir in Gleichung (a) s + a statt a zu schreiben. Wir erhalten dann:
-at _ s+a .r. {e cos(wt)} - ( )2 2·
S + a + w
• 2-24 Berechnen Sie .r. {e-2t sin (3t)} mit Hilfe von Satz (2.5) und der Tabelle.
Lösung
Ersetzen wir wieder s durch s + a, so erhalten wir:
.r. {e- 2t sin(3t)} = 3 (S+2)2+9
• 2-25 Berechnen Sie .r. {e2t cos(3t)}.
Lösung
3
2.6 Differentiationssatz
•
•
•
Der nun folgende Satz ist für den Anwender der wichtigste, weil er bei der Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation die entscheidende Rolle spielt, wie wir in den folgenden Kapiteln sehen werden. Wir stellen uns die Frage: In welchem Zusammenhang steht die Bildfunktion F (s) = .r. {f(t)} einer Funktion f( t) mit der Bildfunktion ihrer nten Ableitung f(n) (t)? Die Antwort darauf gibt der Differentiiltionssatz, den wir nun formulieren wollen:
50
Die Funktion f( t) besitze eine nte Ableitung ftir jedes t > 0, und es existiere die Bild­ funktion .f (f(n) (t)} dieser nten Ableitung. Dann hat diese die folgendeForm:
.f {f(n) (t)} = sn F (s) - sn - 1 f(O) - Sn - 2 [(0) - ... - sf(n - 2) (0) - f(n - 1) (0). (2.6)
Den Beweis dieses Satzes fUhrt man ohne Schwierigkeiten mit Hilfe der vollständigen In­ duktion. Wir wollen hier, da es in der Praxis auf die Bildfunktionen der ersten drei Ableitungen an­ kommt, diese einzeln berechnen. Das Bildungsgesetz ftir die höheren Ableitungen läßt sich dann leicht erkennen.
Beispiele
b) .f (f(t)} = s2.f (f(t)} - sf(O) - [(0);
c) .f (f(t)} = S3 .f (f(t)} - s2f(0) - s[(O) - [(0).
Lösung
00 00 00
.f ([(t)} = S [(t) e- st dt pJ. f(t) e- st I + s S f(t) e- st dt.
o o o
Der ausintegrierte Teil ist ftir die obere Grenze Null, ftir die untere Grenze f(O) e- so = f(O).
Damit erhalten wir das Ergebnis:
.f (f(t)} = - f(O) + s.f (f(t)} = sF (s) - f(O).
b) Der Beweis entspricht der Lösung a):
00 00 00
.f ([(t)} = S [(t) e- st dt pJ. [(t) e- st I + s S [(t) e- st dt.
o o o
Der ausintegrierte Teil ist an der oberen Grenze Null, ftir die untere Grenze gilt: [(0) e- so = [(0). Damit erhalten wir:
.f ([(t)} = - [(0) + s.f {f(t)}.
Setzen wir ftir .f {[(t)} das Ergebnis von a) ein, so erhalten wir:
.f ({(t)} = - [(0) + s(sF (s) - f(O)) = S2 F (s) - sf(O) - [(0).
51
Mit dem Ergebnis von b) erhalten wir:
f, (f( t)} = - ["(0) + S (S2 F (s) - sf(O) - [(0»
= S3 F (s) - S2 f(O) - st(O) - ["(0). • Die entscheidend wichtige Eigenschaft der Bildfunktion einer Ableitung liegt darin, daß der Differentiation im Originalraum, im Bildraum eine Multiplikation einer Potenz von s mit dem Bild F (s) der Originalfunktion f(t) e.ntspricht. Daß noch ein Polynom in s hinzu­ kommt, wird sich als weiterer großer Vorteil bei der Lösung von Differentialgleichungen erweisen. -
~ 2-27 a) Transformieren Sie folgende Gleichung (Differentialgleichung) in den Bildraum:
["(t) + f(t) = 0
und lösen Sie die entstehende algebraische Gleichung nach F (s) = f, [f( t)} auf. b) Suchen Sie mit Hilfe der Tabelle die Original funktion f(t).
Lösung
f, O:(t)} + f, [f(t)} = O.
Nach Satz (2.6) ist:
f, [["(t)} = S2 F (s) - sf(O) - t(O).
Setzen wir diesen Ausdruck in Gleichung (a) ein, so erhalten wir:
S2 F (s) - sf(O) - t(O) + F (s) = O.
Aus dieser Bestimmungsgleichung für F (s) erhalten wir:
sf(O) + t(O) s· 1 F(s) = = f(O)-+f(O)-.
S2 + 1 S2 + 1 S2 + 1
b) Die Rücktransformation von Gleichung (b) ergibt:
r 1 [F (s)} = f(t) = f(O) r 1 { ~ } + t(O) r 1 { -2-1- }. s+1 s+1
Nach T8 bzw. T7 ist:
52
r 1 {~} = sin(t). s + 1
(a)
(b)
Damit erhalten wir die Originalfunktion:
f(t) = f(O) cos(t) + t(O) sin(t).
Man überzeugt sich leicht, daß f(t) die Gleichung [(t) + f(t) = 0 erfullt. Es ist:
t(t) = - f(O) sin(t) + t(O) cos(t);
[(t) = - f(O) cos(t) - t(O) sin(t) = - f(t).
•
Setzen wir [(t) = - f(t) in die Gleichung [(t) + f(t) = 0 ein, so erhalten wir die Identität:
- f(t) + f(t) = O. • T 2-28 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.6) die Laplace-Transformierte von f(t) = t
unter der Annahme, daß .f {I} = } als bekannt vorausgesetzt wird.
Hinweis: Benutzen Sie t(t) = l.
Lösung
Nach Satz (2.6) ist:
.f {f(t)} = .f {I} = i = si {f(t)} - f(O) = s.f {tl - f(O).
Wegen f(O) = 0 folgt sofort:
1 s.f{t}=s
oder: .f {tl = ~. • T 2-29 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.6) die Bildfunktion F (s) der Funktion f(t) = tn
(n E IN), wenn .f {1} = } ist.
Lösung
t(t)=ntn - 1
. .
f(n - 1) (t) = n (n - 1) (n - 2) ... 2· 1 e f(n) (t) = n(n -1) (n - 2) ...... 2·1 tO
Wir wenden Satz (2.6) auf f(n) (t) an und erhalten:
.f {f(n) (t)} = .f {n!} = n! .f {I} = ~!
t(O) = 0
r(O) = 0
f(n) (0) = n!
= sn .f {f(t)} - sn - 1 f(O) - Sn - 2 t(O) - ... - f(n - 1) (0).
53
und daraus:
f' { n} _ n! .L t - ----:;-1' Sn •
T 2-30 Ein Student sollte mit Hilfe von Satz (2.6) die Bildfunktion der Funktion f(t - a) = t - a berechnen. Er schlug folgenden Lösungsweg ein:
.f {t(t - a)} = s.f {f(t - a)} - f(O).
Durch Umstellen der Gleichung erhielt er:
.f {f(t - a)} + f(O) .f{f(t-a)}= s .
. d Er berechnete f(t-a) = (ti(t-a) = 1
und mitTl .f {t(t - a)} = .f {l} = +. Für f(O) erhielt er:
f(O) = 0 - a = - a.
(1/s) - a 1 - as .f{t-a}= =--s S2
Das Ergebnis ist falsch. Korrigieren Sie die Fehler.
Lösung
(a)
Wir machen uns eine Skizze der Funktion f(t - a) = t - a unter Beachtung, daß f(t - a) = 0 für t < a ist (s. Bild 2.18)
Bild 2.18 o Q t
54
Wir verfolgen den Lösungsweg des Studenten. Bis Gleichung (a) ist alles richtig, denn Glei­ chung (a) ist nur eine Umstellung des Differentiationssatzes (2.6). Er macht den ersten Fehler bei der Berechnung von t(t - a): Wie aus der Skizze ersicht­ lich, ist die Ableitung
. { 1 f(t - a) = 0 für für
t> a } = u (t - a). t<a
Deren Bildfunktion ist nach T2:
e- as .f {u(t-a)} = -s-.
Den zweiten Fehler macht er bei der Berechnung von f(O). f(O) bedeutet: f(t - a) an der Stelle t = a. Daraus folgt, daß f(O) = 0 ist. Setzen wir diese Ergebnisse in Gleichung (a) ein, so erhalten wir:
e- as -s--O e- as
.f{t-a}=-S-=-2· s •
T 2-31 Leiten Sie den Differentiationssatz für eine verschobene Original funktion t (t - a) ab, indem Sie
a) von der Definition (1.1) ausgehen; b) den ersten Verschiebungssatz (2.3) und dann den Differentiationssatz (2.6) an­ wenden.
Lösung
a) Weil t(t - a) = 0 für t < a ist, ist die untere Grenze des Integrals a. Mit Definition (1.1) erhalten wir:
00
a
00 00
.f {t(t - a)} = S t(r) e- (T + a) s dr = e- as S t(r) e- ST dr
o 0
00 00
po}· e- as [f(r) e- ST I + s S f(r) e- ST drJ
o 0
55
b) Wir wenden Satz (2.3) an und erhalten:
.f {f(t - an = e- 3S .f {f(t)} = e- 3S (s.f {f(t)} - f(O)) .
.f {f(t - a)} = s e- as .f {f(t)} - e- as f(O). • 'f 2-32 Berechnen Sie die Laplace-Transforrnierte von f( t) = e3t mit Hilfe von Satz (2.6).
Lösung
Es ist f(t) = a e3t und f(O) = 1. Wenden wir Satz (2.6) an, so erhalten wir:
.f, {f(t)} = a.f {e3t } = s.f {e3t}-1.
Diese Bestimmungsgleichung für .f {e3t } lösen wir nach .f {e3t } auf und erhalten:
• 'f 2-33 Berechnen Sie die Bildfunktion F (s) von f(t) = sinh(wt) mit Hilfe des Satzes (2.6).
Hinweis: Beachten Sie, daß d2 2 (sinh(t)) = sinh(t) ist.
dt
Lösung
Es ist f(t) = w 2 f(t). Gehen wir zur Laplace-Transformierten dieser Differentialgleichung über und wenden Satz (2.6) an, so erhalten wir:
s2.f {f(t)} - s f(O) - f(O) = w2.f {f(t)}
oder
S -w
Wegen sinh(O) = 0 = f(O) und w cosh(O) = w = f(O) erhalten wir:
w .f {f(tn = -2--2.
s -w • 'f 2-34 Berechnen Sie die Bildfunktion F (s) von f(t) = sin (wt) mit Hilfe von Satz (2.6).
Lösung Wir gehen den gleichen Weg wie in den Beispielen 2-32 und 2-33. Es ist [(t) = - w 2 f(t). Die Anfangsbedingungen sind: f(O) = 0 und r(O) = w. Wenden wir Satz (2.6) an, so erhalten wir:
s2.f {f(tn - w = - w2 .f {f(t)} oder
w .f {f(t)} = -2--2.
56
{ t flir O~t~l " 2-35 Es sei f(t) = 0 flir t> I
a) Berechnen Sie 1: {f(t)}; b) Berechnen Sie 1: {f(t)}; c) Ist Satz (2.6) anwendbar? Erklären Sie!
Lösung
1 1 1
o o o
1
= _ e- S _1 e- st I = _ e- S _ e- S + 1
s S2 S S2 S2'
1: {f(t)} = 1 - s e- S - e- S
S2
o
.' {I rur 0 < t < 1 b) Es 1st: f(t) = 0 rur t> I
Anwendung von Definition (I.I) ergibt:
1 1
1: {f(t)} = S I e- st dt = _{e- st 1= I-se- S •
o o
c) Satz (2.6) ist nicht anwendbar, weil f(t) an der Stelle t = I nicht existiert. Wir überzeugen uns davon, indem wir die Ergebnisse von a) und b) in Satz (2.6) einsetzen. Wir erhalten:
. I-e- s I-se-s-e-s 1: {f(t)} = -s - = s 1: {f(t)} = S 2
S
oder:
Daraus folgt: 0 = - s e- s. Dieses Ergebnis ist offensichtlich falsch. •
2.7 Integrationssatz
Wir kommen nun zu einer Eigenschaft der Laplace-Transformation, die eng mit dem Du­ ferationssatz (2.6) zusammenhängt.
57
t
Wir fragen: Wie läßt sich l { S f ( r) d r } darstellen, wenn l (f ( t)} bekannt ist.
_00
IntegrotionSSllI'Z t
Es existi~re l (f(t)} , dann existiert auch l { S f(r) dr } und es gilt: _00
t 0
l {S f(r)dr} =i(l(f(t)}+c{>(O» mit c{>(O) = f f(t)dt. (2.7) _00 _00
Wir wollen den Satz unter etwas abgeschwächten Bedingungen in Beispiel 2-36 beweisen.
Beispiele t
.. 2-36 Es sei cp(t) = u(t) S f(r)dr, wobei wir f(t) als stetig voraussetzen.
-00
Beweisen Sie
t 0
l (cp(t)} = l { S f(r) dr } = i (l (f(t)) + cp(O» mit cp(O) = S f(t) dt.
-00 -00
Lösung
Während wir den Satz (2.7) unter der Voraussetzung formuliert haben, daß l (f(t)} existiert, woraus nicht folgt, daß f(t) stetig sein muß, fordern wir hier, daß f(t) stetig ist. Dann wissen wir nämlich nach einem bekannten Satz aus der Integralrechnung, daß cp(t) differenzierbar ist: ~ (t) = f(t). Nun ist nach Satz (2.6):
l (~(t)} = s l (cp(t)} - cp(O)
oder:
t
-00
58
o
In der Praxis ist sehr oft <p (0) = S f( t) dt = 0, da in vielen technischen Anwendungen
f(t) = 0 rur t<O ist. _00
Dann nimmt Satz (2.7) die Form an:
t
o
" 2-37 Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der Funktion: t
<p (t) = S cos (r) dr mit Hilfe von Satz (2.7a) und T8.
o Lösung
•
.c {<p(t)} =.c{ J COS(r)dr} = 1.c {cos(t)} = 1 S2: 1 = S2 ~ 1" • o t t
Das Ergebnis war zu erwarten, denn S cos(r) dr = sin(r) I = sin (t). Nach T7 ist:
.c {sin (t)} = -2 1 . 0 0 s + 1 •
" 2-38 a) Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.7a) und T7: t
.c { S Sin(r)dr}.
o
b) Berechnen Sie zuerst das Integral und bilden Sie anschließend mit Hilfe der Tabelle die Laplace-Transformierte.
Lösung t
a) .c { r sin ( r) dr} = 1..c {sin ( t)} = 1. -2 1 . .J s s s + 1 o
t t
o 0
1 s .c {I - cos ( t)} = .c {l} -.c {cos ( t)} = - - -2- S S + 1
S2 + 1 - S2 S(S2+1) ="8 s2+1·
Beide Ergebnisse stimmen überein. • 59
t
T 2-39 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.7) und T6: f, { SeT dr }.
-00
Lösung
II+s-1 s s-l s-l· t •
T 2-40 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.7) und TS: f, { S e2T dr } . Bestätigen Sie das Ergebnis wie in Beispiel 2-38. -1
Lösung
t t 0
f, { S e2T dr} = Hf, {e2t} + S e2T dr ) = { C ~ 2 + ~ e2T I ) -1 - 1 -1
= ~ (2 + s- 2 - e- 2(s- 2))= s - e- 2(s- 2) 2s s-2 2s(s-2) .
t
Wir bestätigen das Ergebnis, indem wir zuerst das Integral S e2T dr ausrechnen und dann die Bildfunktion bilden. _ 1
t
S e2T dr = ~e2t -~e-2. -1
f, { -21 (e2t - e- 2)} =.!. f, {e2t } _.!. e- 2 f, {l} = .!. _1 __ .!. e- 2 .!. 2 2 2s-2 2 s
s-e- 2(s-2)
•
Im ersten Abschnitt dieses Kapitels haben wir die Frage gestellt: "Wie sieht die Laplace­ Transformierte der Summe zweier Funktionen aus, wenn die Bildfunktionen der einzelnen Funktionen bekannt sind?" Die Beantwortung dieser Frage erwies sich als sehr einfach und führte zum Satz (2.1).
60
Es liegt nun die Frage nahe, wie die Laplace-Transformierte eines Produkts zweier Funk­ tionen f1 (t) f2 (t) zu bilden sei, wenn die Bildfunktionen I {fl (t)} und I {f2 (t)} bekannt sind. Die Antwort auf diese Frage ist möglich. Doch benötigt man dazu das Hilfsmittel Funktio­ nentheorie. Wir müssen deshalb auf die Formulierung und den Beweis des sogenannten komplexen Faltungssatzes verzichten. Glücklicherweise sind wir im Rahmen dieses Buches nicht auf ihn angewiesen. Dagegen wird sehr häufig folgende Situation eintreten: Beim Übergang vom Originalraum zum Bildraum entsteht eine Bildfunktion F (s), die das Produkt zweier Bildfunktionen F 1 (s) und F 2 (s) ist. Es sei also F (s) = F 1 (s) F 2 (s). Es stellt sich dann die Frage: Kann man f(t) = I-I {F (s)} bilden, wenn f1 (t) = I-I {F 1 (s)} und f2 (t) = r 1 {F2 (s)} bekannt sind? Die Antwort auf diese Frage gibt der Faltungssatz:
Faltungssatz
Es sei F (s) das Produkt zweier Bildfunktionen F 1 (s) und F2 (s):
F (s) = F 1 (s) F2 (s).
Die F 1 (s) bzw. F2 (s) entsprechenden Original funktionen seien f1 (t) bzw. f2 (t). Dann ist:
t
f(t) = r l {F I (s) F 2 (s)} == S fl (r) fdt - r) dr.
o
(2.8)
Das Integral in Satz (2.8) hat wegen seiner Bedeutung in vielen Gebieten der Technik und Naturwissenschaften einen eigenen Namen erhalten. Man nennt
t
f(t) == S fl (r) f2 (t - r) dr das Faltungsintegral oder das Faltungsprodukt der Funktionen
o f l (t) und f2 (t) und bezeichnet es symbolisch mit fl (t) * f2 (t) (sprich: f1 (t) Stern f2 (t))I).
Mit dieser symbolischen Schreibweise können wir den Faltungssatz folgendermaßen aus­ drücken:
f(t) == r l {F 1 (s) F2 (s)} == f l (t) * f2 (t)
oder:
61
Bevor wir eine geometrische Deutung des Faltungsintegrals (kurz Faltung genannt) geben und den Faltungssatz beweisen, wollen wir uns mit der Anwendung von Satz (2.8) vertraut machen.
Beispiele
~ 2-41 Es seien F 1 (s) = } und F 2 (s) = } zwei Bildfunktionen. Berechnen Sie mit Hilfe
von Tl und Satz (2.8) die Originalfunktion f( t) des Produktes F (s) = F 1 (s) F 2 (s).
Lösung
Nach Tl ist f1 (t) = f2 (t) = 1 Wenden wir Satz (2.8) an, so erhalten wir wegen f1 (t) = 1 und f2 (t -7) = 1
t
f(t)=I*I= SI.ld7=t.
o - ~ 2-42 Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz (2.8) die Originalfunktion f(t) = r 1 {F (s)} von
1 1 F(s) = s-a s-b·
Lösung
Wir schreiben F 1 (s) = s!a und F2 (s) = S!b·
Nach T6 ist dann:
und damit ist:
t t t
S f1 (7) f2 (t - 7) d7 = J ear eb (t - r) d7 = ebt J e(a - b) r d7
o 0 0
a-b a-b a-b o
Das Ergebnis lautet also:
f(t)=r1 {-b-._1 }=f.-1 {_I} *f.-1 {_I }=eat_ebt s a s-b s-a s-b a-b _
62
T 2-43 Berechnen Sie mit Hilfe des Faltungssatzes (2.8) die Original funktion
f(t) = r l {2 ; 2} . s (s + w )
Lösung
EsseiF 1 (s)=-2w 2 und F2(s)=~. s + w s
Die zugehörigen Originalfunktionen sind f l (t) = sin(wt) und f2 (t) = t. Damit erhalten wir: t
f(t) = S sin (wr) (t - r) dr.
o
t t t
o o o t
= ~- -.L sin(wr) I = ~_ sin(wt). w w2 w w2
o • Wir wollen nun die angekündigte geometrische Deutung des Faltungsintegrals geben. Wir betrachten dazu den zweiten Faktor des Integranden f2 (t - r): Es sei f2 (r) eine Funktion, die als Original funktion rur r< 0 verschwindet (s. Bild 2.19a). Dann ist f2 (r - t) bei konstantem t die um diese Zahl t nach rechts verschobene Funktion f2 (r) (s. Bild 2.l9b). Die Vorzeichenänderung des Arguments (r - t -+ - (r - t) = t - r) bedeutet die Spiegelung der Funktion an der in t errichteten Senkrechten auf der r-Achse (s. Bild 2.l9c).
f)T -tl
Bild 2.19 a Bild 2.19b Bild 2.19c
Multipliziert man die Funktion f2 (t - r) mit f l (r), so ist dieses Produkt f l (r) f2 (t - r) nur im Intervall 0 ~ r ~ t von Null verschieden (Es sei daran erinnert, daß f l (r) als Ori­ ginalfunktion rur r< 0 verschwindet). Diese Eigenschaft ist rur den Beweis des Faltungs­ satzes wichtig.
63
Die Bezeichnung Faltung findet ihre Deutung so: Falten wir die 7-Achse in der Mitte zwischen 0 und t, so liegt der Punkt t -71 auf 71 (s. Bild 2.20).
.. Bild 2.20 o t -Tj t T
Nach dieser Vorbereitung kommen wir zum Beweis des Faltungssatzes: Es sei:
t
o
00 t
t=Or=O
00 00
= ,C {f1 (t)} ,C {f2 (t)} = S f1 (7) e- sr d7 S f2 (t) e- st dt = F 1 (s) F2 (s).
o o
Zu diesem Zweck formen wir das Doppelintegral um: Wie wir bei der geometrischen Deutung der Faltung gesehen haben, ist der Integrand f1 (7) f2 (t - 7) = 0 rur 7> t. Wir können deshalb die obere Grenze des inneren Integrals bis unendlich erstrecken. Dann wird:
00 00
,C {f(t)} = S S f1 (7) f2 (t -7) dre- st dt.
t=Or=O
Wir vertauschen nun die beiden Integrale, ohne zu untersuchen, unter welchen Bedingungen dies erlaubt ist:
00 00
,C {f(t)} = S f1 (7) S f2 (t -7) e- st dtdT. (a)
r=O t=o
64
00
Auf das innere Integral S f2 (t - r) e- st dt = X {f2 (t - r)} wenden wir den ersten Verschie­
t = 0
00
X {f2 (t - r)} = e- ST S f2 (t) e- st dt.
t = 0
00 00
X U(t)} = S. f, (r) e- ST S f2 (t) e- st dt dr.
T=O t=o
Das innere Integral ist von r unabhängig und kann deshalb aus dem äußeren Integral her­ ausgezogen werden.
Damit e.rhalten wir:
t
X { S f, (r) f2 (t - r) dr = X U, (t) * f2 (t)} = F, (s) F2 (s),
o
d.h. Zur Funktion F, (s) F 2 (s) im Bildraum gehört f, (t) * f2 (t) im Originalraum oder kürzer:
Um die für die Anwendung des Faltungssatzes notwendige Sicherheit zu erlangen, wollen wir noch einige Übungsbeispiele.rechnen, ehe wir die wichtigsten Eigenschaften der Faltung aufzeigen.
Beispiel
• 2-44 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.8) und T7
f(t) = X-I {(S2 ~~2)2}.
65
Lösung
Wir setzen F 1 (s) == F2 (s) == -2w 2' S +w
Dann ist nach T7 f1 (r) == sin (wr) und f2 (t - r) = sin (w (t - r)). Setzen wir diese Funktionen in den Faltungsatz (2.8) ein, so erhalten wir:
t
o
(a)
Zur Berechnung des Integrals formen wir den Integranden mittels des Additionstheorems sin (a - ß) = sin (a) cos (ß) - sin (ß) cos (a) um und erhalten:
t
o
t t
= sin(wt) S sin (wr) cos(wr) dr - cos(wt) S sin2 (wr) dr.
o o
sin(wr) cos(wr) == ~sin(2wr) und sin2 (wr) == ~(1-cos(2wr)),
so erhalten wir zwei Integrale, die wir sofort lösen können:
t t
sin(wt) S cos(wt) S f(t) == -2- sin (2wr) dr - 2 (1 - cos(2wr)) dr
o o
t t
(W2wr) ) I == -2- (- 1) 2w - 2
o o
sin(wt) sin(wt) cos(2wt) cos(wt) sin(2wt) t cos(wt) --'--- - + - ---
4w 4w 4w 2
66
und schließlich:
sin (wt) - wt cos(wt) f(t) = 2w •
Da Integranden wie in Gleichung (a), die Produkte von sin(a), cos(a), sin(ß), cos(ß) sind, recht häufig vorkommen werden und in der Mathematik überhaupt eine große Rolle spielen, wollen wir an dieser Stelle noch einen anderen Weg einschlagen, Integrale dieser Art zu lösen. Wir wandeln dazu die Produkte der trigonometrischen Funktionen mittels der Additions­ theoreme in Summen um, die sich sofort integrieren lassen. Wir schreiben die Additionstheoreme auf:
sin(a + ß) = sin(a) cos(ß) + sin(ß) cos(a)
sin(a-ß) = sin(a) cos(ß)-sin(ß) cos(a)
cos(a-ß) = cos(a) cos(ß)+sin(a) sin(ß).
Addition bzw. Subtraktion von Gleichungen (b) und (c) ergibt:
sin (a) cos (ß) = ~ (sin (a + ß) + sin (a - ß», bzw.
cos(a) sin(ß) =~(sin(a+ß)-sin(a-ß».
bzw.
1 cos (a) cos (ß) = '2 (cos (a + ß) + cos (a - ß»,
sin(a) sin(ß) = ~(cos(a-ß)-cos(a +ß».
T 2-45 Berechnen Sie das Integral des Beispiels 2-44. t
f(t) = J sin(wT) sin(wt - WT) dT mit Hilfe von Formel IV.
o
Lösung
Dann ist:
(b)
(c)
(d)
(e)
II
III
IV
67
sin (WT) sin (wt - WT) = ~ (COS(2WT - wt) - cos(wt)).
Setzen wir diesen Ausdruck in das Integral ein und bedenken, daß nur über T integriert wird, so erhalten wir:
t t
o 0
t t
= .! . ---L sin (2WT - wt) I-.! cos (wt) T 1 2 2w 2
o 0
= 4~(sin(wt)-sin(-wt))-~tcos(wt).
W 2w
f(t) =.cI { ws } (S2 + ( 2)2 .
Lösung
w s F 1 (s) = -2--2 und F2 (s) = -2--2'
S +w S +w
Mit Hilfe der Tabelle finden wir:
f i (t) = .cl {F I (s)} = sin(wt) und f2 (t) = .c- I {F2 (sn = cos(wt).
Mit Hilfe von Satz (2.8) erhalten wir:
t
sin (a) cos (ß) = ~ (sin (a + ß) + sin (a - ß»).
68
•
Wir setzen: Q = W7 und ß = wt - W7 und erhalten wegen Q + ß = wt und Q - ß =
2W7 - wt:
sin (W7) COS (wt - W7) = 4 (sin (wt) + sin (2W7 - wt)).
Dann ist: t t
o 0
t t
= 4 t sin(wt) - 4~ (cos(wt) - cos(- wt)).
Wegen cos(- wt) = cos(wt) verschwindet der zweite Term und wir erhalten:
f(t) = 4 t sin(wt).
•
• 2-47 Berechnen Sie das Integral S sinh(w7) cosh(w(t -7)) d7 mit Hilfe des Faltungs- satzes (2.8), wenn 0
.E i 4 t Sinh(wt)} (S2 ~~2)2 ist.
Lösung Wir setzen:
F(S)=(2 WS 2)2= F1(s) F2(s) mit FI(s)=~ und F2(S)=~. s -w S -w s -w
Die Originalfunktionen von F 1 (s) bzw. F2 (s) finden wir in unserer Tabelle unter T9 und TIO:
f l (t) = sinh(wt) und f2 (t) = cosh(wt).
Nun ist einerseits nach Satz (2.8) die Originalfunktion von F (s) gleich
t
f(t) = f l (t) * f2 (t) = S sinh(w7) cosh(w(t -7)) d7;
o
andererseits ist f(t) = r l {F (s)} = t t sinh (wt) wegen
.E{f(t)} =.E {4tsinh(wt)} (S2~:2)2 = F(s).
69
o
Lösung t
Nach der Definition der Faltung ist f(t) * 0 (t) = S f(r) 0 (t - r) M.
o
•
Wegen 0 (t - r) = 0 für alle r * t können wir das Integral von - 00 bis + 00 erstrecken. Mit dem Ergebnis des Beispiels 1-36b erhalten wir:
f1 (t) = f(t) * 0 (t) = f(t).
T 2-49 Beweisen Sie mit Hilfe des Faltungssatzes (2.8) den Integrationssatz (2.7 a). t
Hinweis: Aus der Definition des Faltungsintegrals folgt S f(r) dr = f(t) * 1.
Lösung Es ist:
o
t
•
• Auch im nächsten Beispiel werden wir sehen, daß man mit Hilfe des Faltungssatzes wich­ tige Eigenschaften von Funktionen erkennen kann, ohne die Funktionen explizit angeben zu müssen.
T 2-50 Bringen Sie mit Hilfe von Satz (2.8) und TS eine beliebige Funktion f l (t) in die
Form eines Doppelintegrals, wenn die Bildfunktion ! [f1 (t)} = F (s) ~ ist.
Lösung
Nach Voraussetzung ist f1 (t) = r l I F (s)~) .
70
fl(t)=rl{F(s)}*r l {~}.
Schreiben wir noch r l {F (s)} = f(t), so erhalten wir:
t
o
Wir integrieren partiell, indem wir f(r) = ü (r) und t - r = v(r) setzen: T
Dann erhalten wir wegen u (r) = S f(A) dA und v (r) = - 1:
o
T t T
fl(t) = (t-r) S f(A) dA I - S (-1) S f(A)dA dr.
o T=O T=O "A=O
Der ausintegrierte Teil ist Null; denn an der oberen Grenze r = t erhalten wir:
t t
o 0
o
o
Also ist: T
fl(t)= S Sf(A)dAdr.
T=O"A=O
'f 2-51 Berechnen Sie mit dem Ergebnis des Beispiels 2-50 und der Tabelle:
f l (t) = r l { w 1 } S2 + w2 ~ . Lösung
NachT7ist: f(t)=r l L2~w2l =sin(wt).
In die Gleichung (a) des Beispiels 2-50 eingesetzt erhalten wir:
t T
o 0
T T f sin(wA) dA = -w1 cos(wA) I = ~ (1- cos(wr».
o 0
Setzen wir das Ergebnis in Gleichung (a) ein und integrieren, so erhalten wir:
oder
t
. t 1 f1 (t) = W - 2 sin(wt).
w
(r - ~ sin (wr») I = ~ o
• Wegen der Bedeutung des Faltprodukts oder Faltungsintegrals oder einfach der Faltung wollen wir das bisher Erarbeitete noch einmal in übersichtlicher Form zusammenstellen.
1. Das Faltprodukt f( t) ist eine Integraloperation zwischen zwei Funktionen f l (t) und f2 (t):
t
f(t) = S f l (r) f 2 (t - r) dr.
o
2. Bei der Transformation in den Bildraum erweist sich das Bild des Faltprodukts als ech­ tes Produkt der beiden Bildfunktionen von fl (t) und f2 (t);
F (s) == t {f(t)} = t {fl (t)} t {f2 (t)} == F 1 (s) F 2 (s).
Um diese Eigenschaft hervorzuheben, bezeichnen wir symbolisch die Faltung als Pro­ dukt höherer Ordnung l ) und schreiben:
f(t) = f1 (t) * f2 (t). • Bei der uns geläufigen Zahlenalgebra gehorcht die Multiplikation den zwei Grundgesetzen:
a) dem Kommutativgesetz: b) dem Assoziativgesetz :
ab = b a; a(bc)=(ab)c=abc.
Wir wollen im folgenden nachweisen, daß diese Gesetze auch flir das Faltprodukt gelten.
I) Ganz so neu ist uns die Bildung von Produkten höherer Ordnung nicht: Denken wir in der Vektor­ algebra an das Skalarprodukt oder an das Vektorprodukt und in der Matrizenrechnung an das Matrizenprodukt.
72
a) Kommutativgesetz
Daß das Faltprodukt dem Kommutativgesetz gehorcht, ist selbstverständlich; denn wir haben beim Beweis des Faltungssatzes keine speziellen Voraussetzungen für f1 (t) bzw. f2 (t) gemacht. Trotzdem wollen wir in dem folgenden Beispiel direkt zeigen, daß das Kommutativgesetz gilt.
Beispiele
~ 2-52 Beweisen Sie mittels der Substitution t - T = u, daß für das Faltprodukt das Kom­ mutativgesetz gilt:
Beweis t
Nach Definition ist f1 (t) * f2 (t) = J f1 (T) f2 (t - T) dT.
o Wir substituieren t - T = u. Dann ist dT = - du. Die neuen Grenzen sind: T = t -+ u = 0 und T = 0 -+ u = t. Wir erhalten damit:
o t
f1 (t) * f2 (t) = - J f1 (t - u) f2 (u) du = J