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Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 105.05.06
Vorlesung 4:
Roter Faden:
Bisher: lineare BewegungenHeute: Kreisbewegung
Exp.: Märklin, Drehschemel, Präzession Rad
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 205.05.06
Kreisbewegung
Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotationdurch Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung.
Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischenKräfte and kinematische Größen →Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung fürRotation, die äquivalent zu F=dp/dt für lineare Bewegung ist)
Erwartung: Rotation erzeugt durch DrehmomentM=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p?
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 305.05.06
Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 405.05.06
Vektornotation
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 505.05.06
Vektor der Winkelgeschwindigkeit
Will man die Bewegungsebene beliebig angeben, ist es zweckmäßig,einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit als Normalvektor dieserEbene anzugeben, dessen Betrag ω=v/r ist. Da dieser Vektor senk-recht zu v und r steht, kann man ihn als Vektorprodukt schreiben:v=ω x r →ω=1/r2(r x v) (da r x v = r x (ω x r)= r2 ω)
ω
r v
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 605.05.06
Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung
Zentripetalkraft=ma=mω2r=mv2/r
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 705.05.06
Zum Mitnehmen
Zentripetalkraft=ma=mω2r=mv2/r
ω
r v
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 805.05.06
Zentripetalkraft am Äquator
Die Zentripetalkraft reduziert GewichtskraftWo ist Effekt am Größten?
Wieviel weniger wiegen Sie dort?
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 905.05.06
Zentripetalkraft bei gleichförmiger Kreisbewegung
Komponenten, d.h. Projektionender Kreisbewegung auf Achsen
sind sin und cos Funktionen!
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1005.05.06
Zum Mitnehmen aus KinematikKinematik=Beschreibung einer Bewegungdurch Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigungin Abhängigkeit der Zeit:x(t) v(t)= x(t)a(t)=v(t)=x(t)a=konstant; v=v0+at; x=x0+v0t+1/2at2
Jetzt:ϕ(t) ω(t)= ϕ(t)α(t)= ω(t)= ϕ(t)
α =konstant; ω = ω 0+ α t; ϕ = ϕ 0+ ω 0t+1/2 α t2
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1105.05.06
Dynamik
Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotationdurch Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung.
Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischenKräfte and kinematische Größen →Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung fürRotation, die äquivalent zu F=dp/dt für lineare Bewegung ist)
Erwartung: Rotation erzeugt durch DrehmomentM=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p?
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1205.05.06
Drehimpuls
ω=1/r2(r x v)
r v
Definiere Drehimpuls als L= r x p = r x mv =m (r x v)=mr2ω = J ω. J=mr2 heisst Massenträgheitsmoment .
In Worten: Drehimpuls = Trägheitsmoment x Winkel-geschwindigkeit, ähnlich wie p = m v.
Es gilt: dL/dt= d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt= v x mv + r x F = r x F = M
M oder (D) ist ein Vektor, der Drehmoment genanntwird. Es gilt: M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α
M=r x F
r F
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1305.05.06
Analogien
J=Σmi ri2 = Massenträgheitsmoment(eng.: mass moment of inertia)
L=Jω = Drehimpuls oder Drall(eng.: angular momentum)
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1405.05.06
DrehimpulserhaltungM=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α = mr2 dω/dt
In Worten: Das Drehmoment ist gleich der zeitlichenÄnderung des Drehimpulses.
L=mr2 ω ist der Betrag des Drehimpulses einesumlaufenden Massenpunktes (=J ω)
Satz von der Erhaltung des Drehimpulses:Beim Fehlen äußerer Drehmomente bleibt dieSumme der Drehimpulse eines abgeschlossenenSystems konstant.
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1505.05.06
Versuch DrehschemelTrägheitsmoment für einenspindeldürren Studenten:∑mi r2≅0.Gesamtträgheitsmomentdann J=2mra
2=2.2.0.8 =2.56 kgm2
Am Anfang: Drehimpuls L=JaωaNach Heranziehen der Kugeln: L=Jeωe.
Bei Drehimpulserhaltung:ωe=ωa (Ja/Je)=ωa(ra/re)2
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1605.05.06
Versuch Drehschemel
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1705.05.06
PräzessionsversuchBeobachtung: drehendes Radfällt nicht, sondern dreht sichin horizontaler Ebene.
Erklärung: Drehimpuls L hatTendenz sich Drehmoment Mparallel zu richten (wie Impulsp parallel F).
Gewichtskraft übt Drehmomentin horizontaler Richtung ausund M=mgD=dL/dt schiebtL in horizontale Richtung!
RD
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1805.05.06
PräzessionsfrequenzOhne Drehung: M=mg x D erzeugt Drehimpuls in horizontaler Richtung, wodurch das Rad sich nachunten bewegt. Die Änderung des Drehimpulsesbei einem drehenden Rad dL ändert Gesamtvektor Lnach Parallelogramm-Regel (und es gilt auch L willsich in Richtung von M bewegen).
dL
Ldϕ
Es gilt: M=dL/dtdL=LL=mR2 ωRad
dϕ Oder: M=Ldϕ/dt≡LωP
Oder: Präzessionsfrequenz=ωP=M/L=mgD/(mR2 ωRad)
=gD/(R2 ωRad)
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 1905.05.06
Pendel
α
αFr
l
Rücktreibende Kraft Fr=mg sin α≅mg α= mx= ml αLösung der Diff. Gleichung α=g/lα:
α=Asin(ωt), da α=Aω2 sin(ωt),oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) ,oder ω=√g/l.
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 2005.05.06
Pendel als Drehbewegung
ϕ
αFr
r
Drehmoment M = r x F = dL/dt=d(r x p)/dtOder -r x mg = d(r x mv)/dt =mr x dv/dtOder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r)Oder, da a x (b x c)= b (a.c) –c (a.b),gilt -r x g = ω r2-r (r. ω) = ω r2
(Scalarprodukt r. ω=0 da r⊥ ω (=α) Oder -lgsin ϕ =l2 ϕ(ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3/(3!)+… ≅ ϕ)Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ :ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω2 sin(ωt),oder Aω2 sin(ωt)=Ag/l sin(ωt) ,oder ω=√g/l =2π/T. Schwingungsdauer T=2π√(l/g)
F=mgg=(0,0,g)
√l
T Steigung 2π/√g
Methnode um g zu messen
Ausgewählte Kapitel der Physik, SS 06, Prof. W. de Boer 2105.05.06
Zum Mitnehmen
ω=1/r2(r x v)
r v
M=r x F
r F
Bewegungsgleichungen für Translation: ∑F=dp/dtRotation: ∑M=dL/dtDrehimpuls L=r x p =mr2ω=J ω
