ANNALEN D E R PHYSIK ~~~~ _ _ _ _ _ ~

5. FOLGiE B A N D 23 H E F T 1 M A 1 1 9 3 5

Der EhjZzcfl eines Nagnetfeldes azcf Warmeleitulng und Reibumy in pararnaylnet$schern Gasem

Voln H. v. Laue (Mit 2 Figuren)

Eingehende Messungen von Senf t l eben und P ie t zne r l ) haben eine Verminderung der Warmeleitfahigkeit bei 0, und NO, sowie bei Gemischen dieser paramagnetischen mit diamagnetischen Gasen im Magnetfeld ergeben, welche bei Feldstarke von 12000 oder 13000 Orsted bis zu rund des Normalbetrages gehen kann. E n g e l h a r d t , Sack , sowie T r a u t z und Frosche12) haben daraufhin die Beeinflussung der inneren Reibung untersucht; sie finden bei der- selben Feldstarke xnderungen von 4/i,000. Eber die Ursache ist zurzeit nichts bekannt; sie mug wohl darin liegen, daB das Magnetfeld beim StoB zwischen zwei Molekeln die Ubertragung von Impuls und Energie beeinflufit. Konnen wir auch diesen wesentlichsten Punkt nicht auf- klaren, so gestatten doch die Symmetriebetrachtungen in Teil I Aussagen iiber die $bhangigkeit der Warmeleitung von der Rich- tung des Feldes gegenuber dem Temperaturgefalle, sowie ent- sprechende Richtungsaussagen fur die Reibung. Macht man ferner die Annahme, daB die mittlere freie Weglange im Nagnetfeld ab- hangig wird von der Flugrichtung, namlich von deren Winkel 9 gegen die Feldrichtung, so erklirt Teil I1 und I11 durch fjber- tragung der gastheoretischen Betrachtungen uber Warmeleitung und innere Reibung zwanglos das auffallende Ergebnis der Messungen, daB die innere Reibung eine andere Abhangigkeit vom Magnetfeld, Dichte und Temperatur zu zeigen scheint, als die Warmeleitung. Weicht namlich die mittlere freie Weglange il im Magnetfeld von ihrem normalen Wert A, nach dem Gesetz (1) ii = ii,+f(cos a),

1) H. Senft leben, Phys. Ztschr. 31. S.822 u. 961. 1930; 38 S. 550. 1931; 33. S. 826. 1932; Ztschr. f. Phys. 74. S. 757. 1932; H. Senftleben u. J. Pietzner, Ann. d. Phys. [5] 16. 9. 907. 1933; Phys. Ztschr. 34. S. 834. 1933; 36. S. 986. 1934.

2) H. Engelhardt u. H. Sack, Phys.Ztschr. 33. S. 724. 1932; H. S a c k , Leipziger Vortrage 1933, S. 25; Helvetica Physica Acta 7. S. 639. 1935; M. Trautz u. E. Frtischel, Phys. Ztschr. 33. S. 947. 1933; Ann. d. Phys. 22. S. 223. 1936.

Annalen der Physik. 8. Folge. 23. 1

2 Annakn deer Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

entwickelt man ferner ~ ( C O S 8) nach den Kugelfunktionen des Argu- ments cos 8, so gehen in die Berechnung der %Tameleitung andere Koeffizienten dieser Entwicklung ein , als bei der inneren Reibung. Es ist aber durchaus plausibel, daB verschiedene Koeffizienten von den genannten GroBen in verschiedener Weise abhangen.

I. Symmetriebetrechtungen Ein Gas im homogenen Magnetfelde ist kein isotroper Korper

mehr, sondern besitzt hinsichtlich aller Eigenschaften , die das Ma- gnetfeld uberhaupt beeinflufit) dessen (geringere) Symmetrie : Eine Spiegelungsebene senkrecht zum Felde und eine ihm parallele Drehachse. Zulassig ist jeder beliebige Drehwinkel , also auch ein Drehwinkel von 60°. Letzterer ware allein zulassig bei einem Kri- stall, der eine sechszahlige Symmetrieachse und eine dazu senk- rechte Spiegelungsebene besitzt. Der Tensor Kik zweiten Grades, welcher bei der Warmeleitung den linearen Zusammenhang zwischen dem Warmestrom %3 und dem Gradienten der Temperatur T ver- mittelt, besitzt keinenfalls mehr unabhangige Komponenten, als bei einem solchen Kristall, d. h. sofern wir in die Feldrichtung die 2,-Achse legen, sind

die einzigen nichtverschwindenden Komponenten l). Die Unter- suchung der Transformationseigenschaften fur andere Drehwinkel zeigt leicht, dab sich dabei weitere Einschrankungen nicht ergeben.

Die antisymmetrischen Komponenten K,, = - K,, sind nun fur die gebrauchlichen Versuchsanordnungen, bei denen das Gas zwischen Wanden von gegebener Temperatur einen stationaren Warmestrom leitet, bedeutungslos.

K,,, K,, = K,, 9 Kl, = - K,,

Denn aus der Gleichung

und der Bedingung des stationaren Zustandes, div 553 = 0, folgt als Differentialgleichung der Warmeleitung:

(3)

und die antisymmetrischen Komponenten fallen bei der Summation ersichtlich fort. Man beobachtet bei den vorliegenden Versuchen das Verhaltnis der zu grad T parallelen Komponente Bll der Stromung zu I grad T 1, d. h.

- %I

I grad TI KI, = -*

~

1) Vgl. etwa W. Vo ig t , Lehrbuch der Kristallphysik, Leipzig und Berlin 1910, S. 312.

M. v. Law. Der EinfluUp eines Magnetfeldes usw. 3

Dafiir ergibt sich aber aus (2):

(4) Kll = 2 i, k

sofern man unter den Pi die Richtungskosinus des Temperatur- anstiegs versteht. Macht man hier von den obigen Symmetrie- aussagen Gebrauch, und versteht man unter ac den Winkel zwischen dem Anstieg und der magnetischen Feldstarke, so vereinfacht sich (4) zu der Formel:

(5) Wir mir Herr S e n f t l e b e n brieflich mitteilt, paBt diese Formel gut zu seinen und P i e t zne r s Richtungsmessungenl).

Die antisymmetrischen Komponenten K,, = - K,, bewirken, daB 233 eine zur Feldrichtung (x,-Richtung) und zu grad T senk- rechte Komponente erhalt. Am anschaulichsten macht man sich dies im AnschluB an bekannte nberlegungen der Kristallphysik an der Anordnung klar, welche Senf t l eben zu seinen ersten Messungen benutzt hat. Ein dem Mngnet- felde paralleler Heizdraht bildet dabei die A c h e eines zylindri- schen GlasgefaiBes, welches das Gas enthalt. Die Temperatur- niveauflachen sind nach der Differentialgleichung (3), die sich hier zu

Kli = K,, sin2 ct + K,, cos2 ac = K,, + (Kll - I&) sin2 ac.

vereinfacht , koaxiale Zylinder- flachen. Der Warmestrom aber steht, obwohl zur Feldrichtung senkrecht, nicht senkrecht auf diesen Flachen; vielmehr bildet er mit der Flachennormalen einen

Fig. 1

sind die Stromlinien logarith- Winkel arc tg 5. Infolgedessen K* 1

mische Spiralen (Fig. l), der Stroni 233 hat iiberall eine rotatorische Komponente. Umkehr der Feldrichtung bedeutet Umkehr des Dreh- sinns des axialen Feldvektors. Dann muB sich auch der Drehsinn dieses Stromes umkehren, d. h. K,, mu8 sein Vorzeichen wechseln.

1) H. Senft leben u. J. Pietzner, Phys. Ztschr. 36. S. 986. 1934. 1*

4 Annabn deer Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

DaB das Magnetfeld bei elektrisch neutralen Molekeln eine solche Komponente des Warmestroms hervorruft , ist wohl aus- geschlossen. Obwohl Versuche dariiber bisher nicht vorliegen, mochten wir daher glauben, daB K,, = - K,, = 0 ist. Zu demselben Ergebnis fiihrt die in Teil I1 einzufuhrende Annahme iiber die Richtungsabhangigkeit der freien Weglange.

Aber auch, wenn die antisymmetrischen Tensorkomponenten fortfallen, haben Warmestrom und Temperaturgradient im allgemeinen nicht dieselbe Richtung. Vielmehr ist, wie bekannt, die zum Gra- dienten senkrechte Komponente des Warmestroms von dem schon oben eingefuhrten Winkel u nach der Formel abhangig:

(5 a) Diese Komponente von 23 liegt jedoch stets in der durch grad T und die Feldsfarke bestimmten Ebene.

Die innere Reibung ist im allgemeinen zu kennzeichnen durch einen Tensor vierten Ranges, der die Tensoren Ti, der Spannung und elm der Deformation gemaB den Gleichungen verknupft l):

= lKll - Ka31 /grad TI cosa s ina .

Wegen der Symmetrie der Tensoren Ti , und el,,, d a d man in qi k l ,,, die beiden ersten Indizes untereinander vertauschen, des- gleichen die beiden letzten, ohne daB qiKl,,, den Wert andert. Man darf aber auch das erste Indexpaar mit dem zweiten vertauschen: qiklm = tilmik. Denn die erzeugte Reibungswarme ist als quadrati- sche Form der Deformationsgeschwindigkeiten gegeben:

i k l m

und mu8 sich gleichzeitig als

berechnen .lassen. Der Tensor qiklm verhalt sich insofern ganz wie der Tensor der Elastizitatskonstanten. Er darf nach dem oben uber die Symmetrie des Gases im Magnetfeld Gesagten hochstens dieselben unabhangigen Koeffizienten haben, wie jener bei einem Kristall mit

1) Dabei bedeutet ein positives TI, einen Druck; aus dem Verruckungs- vektor 8 berechnet sich die Deformation nach der Formel

M . v. Lam. Der E’influb eines Magnetfeldes usw. 5

einer sechszahligen A c h e und einer dazu senkrechten Spiegelungs- ebene. Die Tabelle auf S. 586 im Voigtschen Lehrbuch (a. a. 0.) zeigt folglich, daB nur die 9 Komponenten

1733339 171111 = “Izaza, 171133 = 7722337 c 1711229 17~323 = 173131, 171212 = 771111 - %122 von Null verschieden und nur 5 voneinander unabhangig sind. Indem man das Achsenkreuz um einen beliebigen Winkel um die 2,-Achse dreht, uberzeugt man sich, daB dabei keine weiteren Ein- schrankungen hinzukommen.

I n Widerspruch zu unserer Feststellung gleichartiger Natur des Reibungs- und des Elastizitatstensors steht scheinbar die Tatsache, daB der isotrope feste Korper 2 Elastizitatskonstanten , jedoch nur eine Reibungskonstante besitzt. Das liegt aber allein an der zu-

(7)

satzlichen Bedingung, daB die Diagonalsumme Tii der von der 2 i

Reibung herriihrenden Spannungen Null sein muB l); also kommen zu den sonstigen Einschrankungen stets noch die (im allgemeinen) 6 Bedingungen hinzu

1) In der Darstellung der kinetischen Gastheorie, welche G. K i r c h h o f f in seiner Theorie der Warme (Leipzig 1894) gibt, treten auf S. 115 in der Tat zuniichst 2 Reibungskonstanten auf. Die Herabsetzung dieser Zahl auf eins geschieht auf S. 193 im Anschlu6 an M a x w e l l vermijge einer Gleichung

!I ( F + ;;et+-P) = 3 p ,

in welcher p die Gasdichte 59, q, die quadratischen Mittelwerte der Molekiilgeschwindigkeiten 5 , 7 , i; relativ z w Gasmasee und p den Druck bedeuten. Letzterer sol1 dabei durch die Beziehung

mit der Temperatur T und dem Molekulargewicht M verbunden sein. K i r c h - h o f f stellt diese Gleichung als eine Definition hin, welche die bekannte fur eiu ruhendes, im Gleichgewicht befindliches Gas geltende Druckformel auf (ungleichfijrmig) bewegte Base erweitert. Mir scheint hier im Gegensatz dazu eine physikalische Hypothese vorzuliegen des Inhaltes, daB ein mit der Gas- masse bewegtes Thermometer den Mittelwert der drei jetzt nicht mehr genau gleichen Gro6en p , $, 1;% anzeigt.

In der Hydrodynamik der reibenden Fliissigkeiten wird die Bedingung

- -

Tit = 0 stets von vornherein eingefuhrt. 2

6 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

Dies gilt auch fur das Gas im Nagnetfeld. ihre Zahl auf 2 zuruck, narnlich auf die Forderungen:

Nach (7) geht freilich

11111 + 41122 + 11133 =

11133 + 12233 + 43339 =

9

'

Es bleiben unabhangig nur 3 Komponenten, etwa

'hi1 7 '%323, 771a12-

Bus ihnen berechnen sich die anderen, die unter (7) angefuhrt sind, folgenderma6en:

11122 = 11111 - Vizia7 71133 = - 2171111 + q i m ,

13333 = 441111 - 271212 - (9) { Bei Versuchen iiber die Gasreibung im Magnetfeld wird man

also stets uberlegen mussen, welche der drei Reibungskonstanten man mi&. Stromt das Gas in einer zum Magnetfeld parallelen Kapillaren, so kommt vor allem q2323 = q1313 dafiir in Retraclit; denn die Stromung hat in der Hauptsache die Richtung x3 und ihre Starke Bndert sich mit x1 und x2. Steht hingegen das Magnet- feld senkrecht zur Kapillaren, so diirfte hauptsachlich eine Art Mittelwert von qlZl2 und T , J ~ ~ ~ ~ in die Messung eingehen. Das sind Unterschiede, welcbe man bisher nicht beachtet hat. Freilich wird die genaue Diskussion solcher Versuche durch das Fehlen einer folgerichtigen Theorie fur die Stromung eines Gases durch eine Kapillare erschwert ; soviel mir bekannt , ist diese Theorie bisher nur fur inkompressible Fliissigkeiten mathematisch befriedigend durchge f iihrt.

Bei Fortfall des Magnetfeldes wird x3 gleichwertig mit z1 und x2; folglich, indem wir den auf diesen Fall bezuglichen Reibungs- tensor als qfk I ~ bezeichnen:

Setzen wir ferner

0 0 0 0 13333 = 171111 ' 41122 = 11133

0 4 (10) %ill = 3 k7 so folgt aus (9):

und die G1. (6) gehen uber in die gebrauchlichen Formeln fur eine reibende Flussigkeit

T1, = - 2k (+ - usw. a e98 Ta3 - 2k-

at

M . u. Laue. Der Einflufl eines Magnetfeldes usw. 7

11. Kinetische Theorie der Wiirmeleitung

Wir wollen nun mittels der angelrundigten Annahme, daB die mittlere freie Weglange im Magnetfeld von der Flugrichtung ab- hangig ist, die Abanderung der Warmeleitung durch das Feld untersuchen. Unter der freien Weglange verstehen wir dabei die Strecke , welche ein Molekul zuriicklegt, ohne Bewegungsrichtung, Geschwindigkeit und innere Energie abzuandern. Sobald sich an einer dieser GroBen etwas andert, sprechen wir von einem StoB. Wir setzen, wie schon in der Einleitung gesagt,

(12) a = am + f (COS fy),

wobei 8 den Winkel zwischen E’eldstarke und Flugrichtung be- deutet, und A,,, den Wert fur verschwindende Feldstkke angibt.

Wegen der Symmetrie des magnetischen Feldes mu6 f fur jede Richtung und ihre Gegenrichtung den gleichen

(13) und es gilt fur jede ungerade game Zahl n

(14) J’j COSn a d f i = o (n = i , 3 , 5

f (cos 8) = f (- cos 8);

rert haben; also

*) *

Entwickelt man also f nach den Kugelfunktionen P, (cos a), so fallen alle ungeraden Summanden fort:

Do

Wir knupfen an die Form der Theorie fur Warmeleitung und innere Reibung an, welche Sommerfeld’) gegeben hat. Es sei G eine den Molekiilen anhaftende Eigenschaft (Masse , kinetische Energie, BewegungsgroBe . . .) und 8 der Transport dieser &%Be pro Flachen- und Zeiteinheit, d. h. 8 da d t derjenige Betrag von G, welcher in der Zeit d t durch das Flachenelement d a hindurch wandert. In seiner G1. (3c) findet Sommerfe ld dafur die Transport- gleichung :

m n

(16) - a = S a i l s i n o cos 0 aeYarp J? e - f v s c i v . 0 0 0 0

In ihr sind I, 0, cp die von d a aus gemessenen Polarkoordinaten desjenigen Punktes, von dem aus 1 Molekul ohne StoB mit einem anderen nach a s gelangt; der Polabstand 0 ist von dem auf d a

1) A. Sommerfeld, Vortrtige uber die kinetische Theorie der Materie und der Elektrizittit, Leipaig und Berlin 1914. 8. 125 u. f.

8 Aiinalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

errichteten Lot aus gemessenl). v ist der Betrag der Geschwin- digkeit eines solchen Molekiils und die Funktion F , welche im allgemeinen vom Ort jenes Punktes, sowie von den Geschwindig- keitskomponenten 1, 7 , 5 abhangt, gibt die Geschwindigkeitsverteilung an jenem Orte, in dem Sinne, daB

die Zahl der Molekeln in dem genannten Koordinaten- und Ge- schwindigkeitsbereiche darstellt. Naturlich ist auch G im all- gemeinen Funktion derselben 6 Veranderlichen.

Unsere Verallgemeinerung dieser Betrachtungen besteht nun darin, daB jetzt auch die mittlere freie Weglange A , welche bei Sommerfe ld gegeniiber allen Integrationen nach 0 und eine Konstante darstellt , richtungsabhangig wird. Da nach der Ein- leitung das Magnetfeld nur geringen Einflufi ausiibt, wird f klein sein gegen Am und wir konnen in (16)

F . a x . a y . a x . ag . a 7 . a5

setzen. Der durch (16) bestimmte Wert (8 besteht dann aus 2 Summanden. Der erste berechnet sich genau wie bei Sommer- fe ld , nur da6 uberall il durch 2, zu ersetzen ist. Uns interessiert der zweite, richtungsabhangige Summand:

Wir haben dabei sin O d OdSp durch den korperlichen Winkel d 5! ersetzt; die Richtungsintegration ist uber alle Richtungen auszufiihren.

In sinngemager fjbertragung der alteren fjberlegung nehmen wir nun an, die Grofie

sei mit dem 01% veranderlich und ihr Qefalle habe die Richtung des Lotes auf d n . Dann setzen wir in (18)

(20) Y = Yo + 2 C 0 8 0 (g)o. Im Faktor von Yo tritt, da G bei der Berechnung der Warmeleitung die Energie eines Molekiils, also eine von der Richtung unabhangige GroBe ist, das Richtungsintegral auf:

s f c o s 6aa. -___

1) @ miBt den Transport in der Richtung 0 = a.

M . v. Lam. Der Einflup e k e s Mapetfeldes usw. 9

Es ist Null; denn fur jede Richtung und Gegenrichtung hat f nach (13) denselben, cos 0 hingegen entgegengesetzte Werte. Im

Faktor von (g), findet sich das Rich-

tungsin tegral

(21) Sf cOSa @ a 2. a L9 Tim dies auszuwerten, betrachten wir das spharische Dreieck, dessen Ecken die Richtungen des Lotes x auf do, die magnetische Feldst‘arke H und die Flug- richtung L bilden (Fig. 2). Der Kosinus- satz sagt aus:

(22) cos 0 = cos /3 cos Q + sin

Setzt man ferner

so geht wegen

N

Fig. 2 sin 9. cos y .

a 0 = sinlyaaat ,o ,

y c o s z qja.4’1 = n 0

das Integral (21) uber in:

Sf cos2 OdS!

Nun ist

10 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

Also

3 1 4 n 3 1 c2) sin2 p] - = - [; c2 - co + 3 co ( -

Aus (18) folgt somit:

Dabei haben wir in Riicksicht auf Teil I p durch a ersetzt, weil dort a! den Winkel zwischen Feldstarke und Temperaturgradient bedeutete, wahrend bei dieser Rechnung p dieselbe Bedeutung hatte.

Man erkennt an (24) erstens, daB die Richtungsabhlingigkeit, die sich (5) ausspricht, auch bei dieser kinetischen Betrachtung heraus- kommt, zweitens, daB nur die beiden ersten Koeffizienten der Beihe (15) dabei auftreten. Wir bemerken dies schon an dieser Stelle, weil die Rechnung bis hier von allen in der kinetischen Theorie der Warmeleitung unvermeidlichen und bekanntlich keineswegs harm- losen Vernachlassigungen frei ist.

Aus diesem Grunde verschieben wir auch die Auswertung des Integrals in (24) und wenden uns nunmehr dem Falle zu, daB das Temperaturgefalle zu dem betrachteten Flachenstucke d o parallel liegt; ohne das Magnetfeld kame dabei der Warme- strom 0 heraus. Hier haben wir noch die beiden Falle zu unter- scheiden, daB das Gefalle in der Ebene liegt, die durch X und H (Fig. 2) bestimmt ist, und daB es zu ihr senkrecht liegt. Im ersten Falle haben wir an die Stelle der G1. (20) zu setzen:

(25) Y = Yo + 1 sin@ cos y im zweiten Falle

(Wir denken uns das Koordinatensystem x , 'y , z fest mit do ver- bunden, und zwar so, daB x dessen Lot darstellt, y in der Ebene liegt, welche durch die Feldrichtung und die x-Richtung bestimmt ist). Setzt man einen dieser Werte in (18) ein, so fallt der Faktor von Yo wie oben fort. Es tritt, wenn man (25a) benutzt, als Faktor

von (g)o auf das Integral

J j cos o sin o sin y a f i ,

M . v. Laue. Der Einflup eines Magnetfeldes usw. 11

welches man nach dem Sinussatz der spharischen Trigonometrie (Fig. 2)

(26) sin 0 sin rp = sin 8 sin q umformt in: rfj cos 0 sin2 9. sin y a q, a ,?

0 0 222 22

Die Integration nach y ergibt 0. In diesem Falle ist der Winkel zwischen Temperaturgef'alle und Feldstkke ein rechter. Da dieser Winkel in Teil I mit a bezeichnet ist, ergibt auch Gl. (5a), daB keine zu grad T senkrechte, aber in der Ebene durch grad T und die Feldrichtung liegende Komponente BL auftritt. Hingegen miiBten etwaige antisymmetrische Komponenten des Wiirmeleitungs- tensors hier eine zu grad T und zum Felde senkrechte Komponente, also einen endlichen Betrag @* ergeben. DaB die kinetische Theorie dies nicht ergibt, beweist, daB nach ihr die antisymmetrischen Komponenten K,, = - K12 Null sind.

Machen wir in (18) von G1. (25) Gebrauch, so finden wir als

Faktor von ( ~ ;r)O das Richtungsintegral:

J j c o s OsinOcos = jcosOsinOsingpcotg?.ia5!. S Nach der spharischen Trigonometrie ist (vgl. Fig. 2)

cotg v = q (sin B cotg 6 - cos p cos yl.

Danach, sowie nach (22) und (26) wird 3% 2n [ ~j cos o sin o cos y a = ~ ~ j ( c o s cos a+ sin p sin 19. cos q)

(sin a cos 3 - cos p sin 9. cos q) sin 9 dt? d y

cos2t9sin6d9.- 1 S;s in3 ,yat9.)

0 0

(27) { = 2 m c o s ~ s i n p I ( 0 J f 0

[vgl. (22a) und (22b)l. Wenn wir nun noch, um den hier berechneten, zum Temperatur-

gefalle senkrechten Warmetransport 4von dem in (24) berechneten, ihm parallelen Strom zu unterscheiden, hier statt a* das Zeichen GL

12 Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

setzen, und zugleich statt p den Winkel a = 5 - /3 einfuhren, welcher bei der jetzigen Betrachtung zwischen dem Temperatur- gradienten und der Feldstarke liegt, so finden wir:

2

Die G1. (5 a) und (28) geben dieselbe Richtungsabhangigkeit der zum Gef alle senkrechten Stromkomponente. Zum Vergleich von (24) und (28) ist weiter zu beachten, da5 in den Integralen in ihnen der Unterschied der Bezeichnuiigen 13 Y I d s und d Y / a y ein rein au,uBer- licher ist; daher riihrend, daB wir die Richtungen x, y, z nach dem Flachenstiick d o orientiert haben. Tatsiichlich ist in (24) x, in (28) y die Richtung des Temperaturgefalles , die beiden Integrale haben folglich genan die gleiche Bedeutung. Nun mu6 nach (5a) der Faktor von cos a sin a derselbe sein, wie der von sina a in (5). In der Tat ist der Faktor von cosa sin pc in (28) derselbe, wie der von s in2a in (24). Die kinetische Theorie ergibt also unter unserer Annahme fiir den Warmeleitungstensor alle in Teil I aus Symmetrie- betrachtungen gefundenen Ziige.

zuwerten. Es bleibt nun das in (24) und (28) auftretende Integral

Wir integrieren zunachst nach 1 und setzen nach aus- (19):

Das erste Integral rechts ist Null; es bleibt

a x ' T i g a l = ___ a (PG)

0

so da6 es sich nur noch um das Integral M

handelt. Bei dessen Auswertung jedoch treten die alten, uniiber- wundenen Schwierigkeiten jeder kinetischen Theorie der Warme- leitung wieder auf. Mangels besserer Methodcn bleibt nichts iibrig, als fur die Verteilungsfunktion F den Ansatz

M . v. Laue. Der Einflup eines Magnetfeldes usw. 13

zu machen, obwohl dieser der Tatsache des Temperaturgefalles nicht Rechnung tragtl) (n bedeutet die Zahl der Molekeln in der Raumeinheit, m die Masse eines Molekels). Fur G aber setzen wir, urn auch die inneren Freiheitsgrade des Molekiils zu beriicksichtigen, deren Zahl y sei:

G = -mv2 + y k T . 1 (31) 2 SchlieBlich setzen wir

Die elementare, wenngleich etwas umstandliche Durchrechnunq ergibt :

m

Abgesehen von den ohnehin nicht einwandfreien Zahlenfaktoren kann man dies Ergebnis schon aus Dimensionsbetrachtungen gewinnen.

Dieser Wert ist also‘ in (24) und (28) fur die Integrale ein- zufuhren. Indem man in (24) durch /grad TI dividiert, erhalt man fur die durch das Magnetfeld bewirkte Xnderung des longitudinalen W armeleitungskoeffizienten

(33) dKl l =2kn(=)”’( 1 + %) (+ c2 - co + 3 (co - *cq) sin”).

%Tie die Koeffizienten co und cz von Feldstiirke, Gasdichte, Tempe- ratur abhangen, kann nur eine Theorie des StoBes ergeben. Wichtig scheint aber die Feststellung, daB nur die beiden ersten dieser Koeffizienten fur die Warmeleitung in Betracht kommen.

111. Vereuch au einer kinetischen Theorie der Reibung

Wir versuchen auf ahnlichem Wege, also von der in (12) aus- gesprochenen Annahme uber die h d e r u n g der freien Weglange durch das Magnetfeld ausgehend, zu einer Berechnung der inneren Reibung, und zwar des Koeffizienten q1313, zu gelangen. Wir be- nutzen wiederum neben dem raumfesten Koordinatensystem zl, z2, z,, dessen dritte Achse in die Feldrichtung fallt, das mit d o fest ver-

1) Ein anderes Bedenken la& sich dagegen erheben, daB wir schon in (24) und (28) die Koeffizienten C, der Reihenentwicklung (15) als von der Ge- schwindigkeit w unabhiingig betrachtet und dementsprechend vor das Integral- zeichen gesetzt haben. Da aber die Genauigkeit der Auswertung von (29) nur eine beschrankte ist, kann man sich durch die Auffassung helfen, daB fur c, und c, dort Mittelwerte, die iiber alle Molekelgeschwindigkeiten zu bilden sind, zu setzen sind. Die Tatsache, daB die hoheren Koeffizienten der genannten Reihe dort nicht vorkommen, bleibt hierdurch unberuhrt.

14 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 23. 1935

bundene System x, y, z. Und zwar setzen wir fest, da8 x mit x3, y mit x1 und x mit xz zusammenfallt. Zudem sol1 die niakro- skopische Stromung des Gases die Geschwindigkeit u in der x,-Bich- tung haben und mit x3 veranderlich sein. Wir fragen, welchen Betrag des Impulses in der 2,-Richtung die Molekularbewegung durch d 6 befordert. Auf diese Art muB die Rechnung den Koeffi- zienten der Gleichung ergeben:

(vgl. die Symmetriebetrachtungen von Teil I). Wir schliefien uns auch hier an die erwahnte Betrachtung

Sommerfe lds an und gehen von der von ibm ubernommenen 01. (16) aus. Die Absonderung der durch das Magnetfeld hervorgerufenen Anderung an q13,3 von dem ohne das Feld gultigen Werte geschieht genau wie in Teil I1 und fiihrt zur 01. (18). Nun aber rnussen wir fur G den Impuls eines Molekiils in der xl- oder y-Richtung setzen:

(34) G = mu sin O cos y . Ferner setzen wir fur die Verteilungsfunktion F jetzt I).:

obwohl dieser Wert nur bei einer raumlich konstanten Str6mung u zutreffen kann. Indem wir unter F, die in (30) gegebene Funktion verstehen, begnugen wir uns mit der Naherung: (35) E'=Fm(i++) . nav zc

Setzen wir schliefilich:

(36) v, = v sin 0 cos y , u = uo + 1cosO - 9 (::h

so geht (18) uber in:

Die Summanden, welche nicht 13 u la 5 als Faktor haben, konnten wir hier unterdrucken; denn wie die Berechnung der Richtungs- integrale zeigt und auBerdem selbstverstandlicb ist, sind sie Null.

1) v1 ist die xl-Komponente von v.

M . v. Law. Der Einflub eines Magnetfeldes usw. 15

Nach der obigen Festsetzung fallen das Lot, x und die Feldrichtung z3 zusammen, somit sind die Winkel 8 und Q identisch. Das Richtungs- integral in (37) laBt sich somit leicht auswerten; es ist gleich:

YS; cos2 sin2 79. cos2 y . sin 7 9 . a ,? a y = u o

n

Driickt man hier cosz 9. und C O S ~ 17 durch die Kugelfunktionen Po, P2 und P4 aus, so ergibt sich fur dasselbe Integral der Wert

Bei den Reibungskoeffizienten kommt es danach nicht nur, wie bei der Warmeleitung auf die Koeffizienten c,, und c2 an, sondern auch noch auf c4.

Leider muB man im ubrigen den Wert dieser Rechnung an- zweifeln. Man kann namlich dieselbe Komponente q1313 auch so berechnen, daB u die Richtung x9 hat und mit x, veranderlich ist, und daB man nach der fjbertragung der s,-Komponente des Tm- pulses durch ein zu x, senkrechtes E'lachenstuck fragt. Und dabei ergibt sich ein anderes Richtungsintegral, obwohl auch dieses yon den Koeffizienten c,,, 4, c4 abhangt. Diese Unstimmigkeit hangt sicher mit der Ungenauigkeit aller Berechnungen der inneren Rei- bung zusammen, insbesondere mit der ungerechtfertigten Benutzung der G1. (34a). Man macht sich leicht klar, daB jede Verbesserung an dieser Stelle neue Richtungsabhangigkeiten einfuhren mug, so daB dann im Ergebnis noch hohere Koeffizienten der Entwick- lung (15) zu erwarten sind. Eine Durchfuhrung solcher Betrach- tungen setzte aber eine ganz grundlegende Vervollkommnung der Theorie der inneren Reibung voraus.

Wir kommen somit zu dem schon in der Einleitung angekun- digten Ergebnis, da6 Warmeleitung und Reibung von verschiedenen Koeffizienten der genannten Reihe abhangen, daB daher kein einfacher Zusammenhang zwischen der magnetischen Beeinflussung beider Erscheinungen zu erwarten ist.

B e r l in - Z e h l en d o r f, Albertinenstr. 17.

(Eingegangen 20. Miirz 1935)