Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. I

Die Brunn-Minlrowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel

in der euklidischen und nichteuklidischen Geometric. I1). Von ERHARD SCHMIDT in Berlin.

(Eingegangen am 2.4.1948.)

Inhaltsverzelchnis zu Tell I und Tell II*). Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

82 f 1. Adstellung und Diskussion der Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . 82 8 2. Die aenkrechte Projektion auf eine Ebene und der Abstand von ihr als

Koordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 f 3. Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 f 4. Rotationssymmetrische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 f 6. Die Rotationssymmetrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 f 6. Der EinfluB , der Rotationssymmetrisierung auf die extremen Distanzen

zwischen zwei Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 f 7. Die Ungleic ungen im eindimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . . 127

f 9. Die zweite Brunn -Minkowskiache Ungleichung fur Rotationspunktmengen im euklidischen und hyperbolischen h u m . . . . . . . . . . . . . . . 144

8 10. Allgemeiner Beweis der Ungleichungen delt Spiegeltheorems . . . . . . . 149 f 11. Allgemeiner Beweis der Brunn-Minkowskischen Ungleichungen . , . . ,. . 161 f 12. Allgemeiner Beweis der isoperimetrischen Ungleichungen . . . . . . . . 163 f 13. Zusammenhange zwischen der ersten Brunn-Minkowskischen, der isoperi-

metrischen und der ersten Ungleichung des Spiegeltheorems . . . . . . . 154

Kapitel 111. Die linearen Verseharlungen der Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . f 14. Die linearen Verscharfungen der ersten Ungleichung des Spiegeltheorems . . f 16. Die linearen Verscharfungen der ersten Brunn-Minkowskischen Ungleichung f 16. Die linearen Verscharfungen der isoperimetrischen .Ungleichung . . . . . . .

. 8 17. Herleitung einiger Hilfssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f 18. Teilweise Ersetzung der Rotationspunktmengen durch Vollkugelsegmente . f 19. Das Gleichheitszeichen in der isoperimetrischen Ungleichung fiir Rotations-

punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f 20. Das Gleichheitszeichen in der isoperimetrischen Ungleichung im allgemeinen

Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f 21. Eine untere Schranke fur den OberflachenuberschuB einer Punktmenge nach

MaBgabe ihrer Maximalabweichung von einer gegebenen. . . . . . . . . f 22. Ein zweiter Beweis des Spiegeltheorems fur den euklidischen Raum . . . .

Kapitel I. Orientierung iiber die Ergebnisse nnd Vorbereitang ihres Beweises . . . . .

Rapitel 11. Der Beweis der Ungleichungen

f 8. Die zweite 8 ngleichung des Spiegeltheorems fi i r Rotationspunktmengen . 129

Hapitel IV. Der Eintritt des Gleiehheitszeiehens in der isoperimetrisehen Ungleiehung

l ) Teil I1 dieser Arbeit wir'd in einem der nachsten Hefte dieser Zeitschrift erscheinen. 2, Teil I urnfaBt die Einleitung und die Kapitel I und 11, Teil I1 die Kapitel I11 und IV. Math. Nadir. 1948, B. 1, H. 2/3. 6

82 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 1 , l .

Einleitung.

In der vorliegenden Arbeit gelangt fur die euklidische, hyperholische und sphiirische Geometrie das, was dem Verfasser lange vorgeschwebt hat, zur Ver- wirklichung, indem die Brunn-Minkowskische iind die isoperinietrische Un- gleichung nebst der Feststellung der Kugel als der unter trivialer Einschrankung einzigen Punktmenge, welche die Gleichheit erreicht, auf einem Wege entwickelt und h’ergeleitet werden, der allen drei Geometrien gemein ist. Dabei begegnet unumganglich eine dritte Ungleichung von demselben Range, die sich gewisser- maBen a19 das Spiegelbild der Brunn-Minkowskischen einpragt .

Im Hinblick auf das gesteckte Ziel mul3te auf Vereinfachungen verzichtet werden, sofern sie nicht in allen drei Geonietrien gelten. Insbesondere ist es die spharische, deren abweichender topologischer Charakter unbeschadet der grol3en Linie den Gedankengang kompliziert. Daher 1aBt die Beschrankung auf den hyperbolischen und euklidischen Raum eine wesentlich einfachere und anschau- lichere Beweisfuhrung zii, wie das schon allein aus den dann in den nachstehenden Entwicklungen sich automatisch ergebenden weitreichenden Streichungen hervorgeht .

Die Darstellung der vorliegenden Arbeit setzt die Kenntnis anderer ein - schlagiger Literatur nicht voraus, insbesondere auch nicht die Einsichtnahme in fruhere Veroffentlichungen des Verfassers. Aus der hyperbolischen und spharischen Geometrie werden nur die Ltllgemein bekannten, elementaren Grund- begriffe sowie der Sinus- und Kosinussatz im Dreieck vorausgesetzt.

K a p i t e l I. Orientierung uber die Ergebnisse und Vorbereitung ihres Beweises.

8 1. Aufstellung und Diskussion der Unglcichungen. 1. Die Ausfiihrungen dieser Arbeit gelten, soweit eine’.ausdruckliche Ein-

schrankung nicht vorliegt, gleichzeitig fur den euklidischen, hyperbolischen und spharischen Raum von n Dimensionen. Dabei ist die Liingeneinheit stets so gewahlt, daB das KrunimungsmaB des hyperbolischen Raumes gleich - 1 urid das des sphiirischen gleich + 1 wird, also in letzterein ?c die Maxinialentfernung zwischen zwei Punkten angibt.

Dann wird fur n 2 1 der n-dimensionale spharische Raum durch die Ober- fliiche der Einheitskugel im (n + 1)-dimensionalen euklidischen Rauni dargestellt. Ihre stereopraphische Projektion auf den durch den unendlich fernen Punkt erganzten euklidischen Raum von n Dimensionen sol1 kurz als das stereographische Modell des spharischen Raumes bezeichnet werden .

Den hyperbolischen Raum denlte man sich durch das bekannte PoincarAsche, das Innere der Einheitskugel ausfiillende Modell realisiert, in welchem die Winkel die euklidischen bleiben, die Geraden und Ebenen der verschiedenen Dimensions- zahlen durch den ins Innere der Einheitskugel fallenden Teil der eu ihr ortho- gonalen Kreise und Kugeloberfliichen derselben Dimensionszahl daygestellt werden, und die Entfernung zweier Purikte proportional ist dein absoluten Betrage des Lognrithmus ihres in der Itomplesen Zahlenebene gemessenen

E. Schmid t, Brunn-Minkowekische Ungleichnng uew. in der nichteukl. Geom. I. $ 1 , E. 83

Doppelverhdtnisses zu dem Schnittpunktepaar des durch sie gehenden Ortho- gonalkreises mit der Oberflache der Einheitskugel. Dieses Modell sol1 fortan als das funktionentheoretische bezeichnet werden.

Das Integral wird in dieser Arbeit durchtveg im Lebesgueschen Sinn ver- standen.

Eine Punktmenge wird im hyperbolischen bzw. spharischen Raum als meB- bar definiert, wenn sie in den oben bezeichneten euklidischen Modellen durch eine meBbare Punktmenge repriisentiert wird. Das hyperbolische bzw. sphiirische RlaB der Punktmenge wird definiert durch das iiber ihren Repriisentanten in diesen Modellen erstreckte Lebesguesche Integral der MaBfunktion des Volumen- elements, d. h. des Faktors, der zum euklidischen Volumenelement hinzutreten muB, um das hyperbolische bzw. spharische auszumachen. Da die MaBfunktion positiv und stetig ist, so entsprechen insbesondere den Nullmengen, d. h. den Mengen vom Ma13 Null, des hyperbolischen und sphiirischen Raumes die Null- mengen in den euklidiwhen Modellen.

Vermoge dieser Definitionen iibertragen sich auch die bekannten Sktze, laut welchen die Komplementarmenge einer meBbaren Punktmenge, d. h. die Ge- samtheit der ihr nicht zugehorigen Punkte, sowie die Vereinigungsmenge und der Durchschnitt von endlich oder abzahlbar unendlich vielen mel3baren Punkt- mengen wieder meBbar sind, vom euklidischen auf den hyperbolischen und sphiirischen Raum. Ebenso auch die Siitze : m (%+B) = m (%) + m (8) , m(N -B)= m(%) - m ( % ) . Dabei bedeuten das Symbol m das Ma0 und 8( und b meBbare Punktmengen. In der ersten Gleichung $ind % und 123 als punktfremd vorausgesetzt iind bedeutet CU + b ihre Vereinigungsmenge ; in der zweiten Gleichung wird B als in % enthalten vorausgesetzt und bedeutet W -b die durch Herausnahme von b aus ?I hervorgehende Punktmenge, welche als Durchschnitt ron 9l mit der Komplementarmenge von B ebenfalls meBbar ist.

Endlich sind offene und abgeschlossene Punktmengen ebenso wie im euklidischen auch im hyperbolischen und spharischen Raum meBbar, denn sie werden in den obigen euklidischen Modellen durch offene und relativ zum Modell abgeschlossene Punktmengen dargestellt.

Das mit V(?I) zu bezeichnende Volumen einer Punktmenge % wird in dieser Arbeit durchweg durch ihr Ma13 definiert und gelangt nur als die im vorliegenden Problemkreis ubliche Begriffsbezeichnung zur Verwendung.

2. Es sei fur n 2 1 im n-dimensionalen euklidischen, hyperbolischen oder sphiirischen Raum St' eine beschrankte, abgeschlossene, nicht leere Punktmenge. Man bezeichne fur h > O , im spharischen R&um fur O<h<n, mit Rh ihren Parallelkiirper im Abstande h , d. h. die Punktmenge, welche definiert wird:

a) als die Gesanitheit derjenigen Punkte, welche von mindestens einem Punkte von S? um nicht mehr als h entfernt sind;

oder mit anderen Worten: b) als die Gesarntheit der Mittelpunkte der n-dimensionalen Vollkugeln vom

Radius h, die zu R nicht punktfremd sind; oder mit wieder anderen Worten :

c) als die Vereinigungsmenge aller n-dimensionalen Vollkugeln vom Radius h , deren Mittelpunkt 9 durchkuft.

6*

84 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 1,3,4.

Dabei wird unter der eindimensionalen Vollkugel vom Radius h mit dem Mittel- punkt M natiirlich die Gesamtheit der von M uni nicht niehr als h entfernten Punkte verstandeg d. h. also aie Strecke von der Lange 2h, deren Mittel- punkt M ist.

Obgleich es schon aus dem Wortlaut der Definition hervorgeht, so sei, urn Miherstandnissen vorzubeugen, nochmals betont, dal3 jortan die Verwendung aka Symbola $,, steta die Voraussetzung impliziert, dab h> 0 ist und im spharischen Raum auperdem noch h < n .

Aus der Definition ergibt sich unniittelhar, daB auch f$, beschriinkt und adgeschlossen ist, und daB ails R'< P -

(1) RL < Rh

folgt und aus h'< h

(2) @h' < f ih *

3. Als Gegenstuck zum Parallelkorper bietet sich die Punktmenge dar, welche

a) als die Gesamtheit derjenigen Punkte, welche von allen Punkten von R fur h>O, im spharisbhen Raum fur O < h < n , definiert wild:

urn nicht mehr als h entfernt Find; oder mit anderen worten:

b) a19 die Gesamtheit der Mittelpunkte der n-dimensionalen Vollkugeln vom Radius h , welche $ enthalten;

oder rnit wieder anderen Worten : c) als der Durchschnitt aller n-dimensionalen Vollkugeln vom Radius h ,

Diese Punkdmenge werde rnit Pch) bezeichet, ein Symbol, desspn Verwendung fortan alao ebenfalb impliziert, drip h > O ist und im sphiirischen Raum auperdem noch h < n .

Zunachst ist e(h) offenbar beschriinkt und wegen c) ttls Durchschnitt ab- geschlossener Punktmengen auch abgeschlossen. Ferner folgt aus 9' < R

deren Mittelpunkt P durchliiuft.

R(h) < ~ ' ( h ) (3) und aus h'< h (4) eFh') < fiW.

Man tezeichne die Radien der rnit R, fib und volumgleichen Voll- kugeln mit P , rh und r@).

Dann ergibt sich unmittelbar aus der Definition 3 b), da13 fur r > h leer ist. Aber ahch fur r < h kann f i ( h ) natiirlich leer sein, so z. B. wenn R aus zwei Punkten besteht, deren Entfernung 2 h uberschreitet.

4. Von zentraler Bedeutung ist der in der euklidischen Ceometrie unter dem Narnen des Brunn-Minkowskischen bekannte Sotz :

Unter de? im sphZrischen Raum erforderlichen Voraussetzung, dap @h nicht den Umamtmum erfiillt, gilt in allen drei Qeometrien

(5 1 Th 2 h -f T .

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 1,5. 85

Und zwar greift hier das Qleichheitszeichen nur dann Platz, wenn ft eine n-dimensionale Vollkugel ist, und mithin der Parallelkorper von der konzentrischen n-diniensionalen Vollkugel' niit dem um h groBeren Radius gebildet wird, wobei fur r = 0 erstere sich auf ihren Mittelpunkt reduziertl).

Der Beweis der Brunn-Minkomkischen Ungleichung wird in i j 11 gefiihrt, uahrend der Beweis dafur, daB das Gleichheitszeichen nur fur die Vollkugel gilt, ,in i j 13, 4 und i j 20 nachfolgt.

Der in .der spharischen Geometrie ausgeschlossene Fall, daB f th den Gesamt- raum erfullt, ist damit gleichbedeutend, daB & leer ist, wobei & die Kom- plementiirnienge von Q,, bedeutet. Letzteres ist, da a h Komplementarmenge einer abgesclilossenen Punktmenge offen ist, und dFs Volumen einer offenen Punktmenge d a m und nur dann verschwindet, wenn sie leer ist, damit gleichbedeutend, daB (6) v(&) = o wird, was wiederum damit gleichbedeutend ist, darj v(&) gleich dem Volumen des Gesaiiitraumes ist, d. h. daB (7) r h = n wird.

Die Giiltigkeit der Ungleichung (5) ist also in der spharischen Geometrie durch die geniachte Einschriinkung nur dann in' Frage gestellt, wenn rh = n wird: Daher gilt sie iiur dann nicht, wenn (8 ) r + h > n ist. In dieseni Full sowie in dem Falle (9) r + h = n mu13 endlich rh=n sein, da andernyalls das Eingreifen der Ungleichung ( 5 ) mit (8) bzw. (9) einen Widerspruch erzeugen wurde.

Ini F d l e (9) der sphiirischen Geonietrie besteht also in der Ungleichung (6) das Gleichheitszeichen, ohne zu fordern, daB R eine Vollkugel ist.

t. Ein bernerkenswertes Gegenstuck zuni Brunn-Minkowskischen bildet der folgende Sittz, der als das Spiegeltheorem zum Brunn-Minkowskischen Satze bezeichnet werden darf.

l) In der euklidischcn Geometrie gehort die Brunn-Minkowskische Ungleichung fur konvexc Korpcr zum klassischen Bestand, wahcend in der hyperbolischen und spharischen Gcomctrie eine entsprecliende Erkenntnis bisher fehlte. DaB die Brunn-Minkowskische Ungleichung und damit auch der iiber sie fiihrende Beweis der isoperimetrischen in der euklidischcn Geometrie auch ohne die Voraussetzung der Konvexitiit giiltig bleiben, ist,eine wichtige Entdeckung von LUSTERNIK, die er 1935 unter kurzer Vorzeichnung des Beweises veroffentlicht hat. Der erste vollstandig durchgefiihrte Beweis, der ohne Symmetrisierung bis zur Feststellung der Kugel als der unter geringen Einschrankungen einzigen Extremal- punktmenge fiihrt, findet sich in einer schonen Arbeit von A., DINOHAS; ein besonders einfacher Bewcis ist von A. DINGHAS geineinsam mit dem Verfasser gegeben worden.

Vgl. T,. LUSTERNIK, Die Rrunn-Minkowskische Ungleichung fur beliebige meEbare Punkt- mengen. C. R. Acad. Sci. URSS. 1935111, 66-58; A. DINQHAS, Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel ini n-dimensionalen Raum. S.-B. Akad. Wiss. Wien, math.-naturw. Kl. I I a 149 (1940). 3 9 9 4 3 2 ; ERHARD SCHMIDT und A. DINQHAS, Einfacher Beweis der isoperinietrischen Eigenschaft der Kugel im a-dimensionalen euklidischen Raum. Abh. PreuO. Akad. Wiss., math.-naturw. KI. 1943, Nr. 7.

86 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Georu. I. f 1,6.7,

Es ist, wenn nicht leer ist,

!lo) dh) 5 h - r . Und zwar greift auch hier das Gleichheitszeichen nur dann Platz, wenn $ eine n-dimensionale Vollkugel ist und mithin R(h) von der konzentrischen Vollkugel mit dem Radius h - r gebildet wird, wobei such hier Vollkugeln auftreten konnen, die sich suf ihren Mittelpunkt reduzieren.

Das Negativwerden der majorisierenden Seite dieser Ungleichung wird, wie aus dem letzten Absatz von 3 hervorgeht, durch die Voraussetzung ausgeschlossen, daB nicht leer ist.

10 gefuhrt, wiihrend der Beweis dafur, da8 das Gleichheitszeichen nur fur die Vollkugel gilt, in f 13, 4 und f 20 nachfolgt.

6. Fur zwei heliebige nicht leere Punktmengen '3 und 93 bezeichne D(?I, 'B) bzw. 6(%, 8) die obere bzw. untere Grenze der Entfernung zwischen je einem Puskte von PI und von %, also im Falle Per Beschriinktheit und Abgeschlo, wen- heit der beiden Punktmengen ihre Maximal- bzw. Minimaldistanz.

Unter dieser Bezeichnhngsweise zeigt sich der folgendo Satz als Konsequenz des Spiegeltheorems :

Es seien f P 1 und La zwi beschriinkte, abgeschlossene, nicht leere Punktmengen. Dann gilt unter der im sphiirischen Raum zusatzlichen Voraussetzung, 0218 (11) D ( 9 1 , 9,) < 7c

ist, die Ungleichung (12)

Der Beweis der Ungleichung des Spiegeltheorems wird in

r1-1- 7 2 r: D(919 9,). Und zwar wird das Gleichheitszeichen nur Ton einem Pam konzentrischer n-dimen- sionnler Vollkugeln erreicht, wobei auch Vollkugeln auftreten konnen, die Rich auf ihren Mittelpunkt reduzieren.

(13) D ( R , , 9,) = d . Dana folgt unmittelbar, da13 P2 <fiid) und mithin

Bemeis. Man setze

(14) r3 5 r id )

ist. Anderseits ist gemiiB (lo), da aid) nicht leer sein kann,

(15) r i d ) g d - r l .

Aus den letzten beiden Ungleichungen 1iiBt sich die zu beweisende Ungleichung (12) ablesen. Dabei fordert das Gleichheitszeichen in (12) auch desjenige in (14) und (15) und das letzte gemill3 dem Spiegeltheorem die Vollk~~gelgestalt von Ql und somit, wie durch Vertauschung der Indizes hervorgeht, auch diejenige von DaB endlich das Gleichheitszeichen in (13) nur dann eintritt, wenn diese beiden Vollkugeln konzentrisch sind, ist offenbar.

7. Ebenso wie der Satz 6 als Konsequenz des Spiegeltheorems hergeleitet worden ist, so folgt auch dieses aus den: Satze 6. Denn setzt man 9 fur Rl und R(h) fur ea, wobei 9'") voraussetzungsgen1iiB nicht leer ist, SO wird

(16) D ( Q , , 9,) = D ( 9 , a(")) = h ,

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. f 1,8,9. 87

und es ist daher gem@ (12) r + dh) _I h ,

wohei das Gleichheitszeichen fordert, daB R und Vollkugeln sind, was zu beweisen war.

die zweite Ungleichung des Spiegeltheorems bezeichnen.

koneentrische n-dimensionale

Wir wollen in der Folge die Ungleichungen (10) und (12) als die erste und

8. Man definiere wie iiblich den Durchmesser einer beschrhkten, nicht leeren Punktmenge durch die obere Grenze der Encfernung zwischen zwei Punkten von ihr, also im Falle der Abgeschlossenheit der Punktmenge durch das Maximum dieser Entfernung.

Bei Einfiihrung dieser Bezeichnung erhalt man aus dem Satz 6 durch Spezialisieriing den folgenden Satz :

Es sei .Q eine beschranlLte, abgeschlossene, nicht leere Punktmenge und d ihr Durchmesser. Dann ist unter der im spharischen Fall zusdtzlichen Voraussetzung, (lap d < n ist, (17) 2r I d , ioobei das Gleichheitszeichen nur fur die n-dimensionale Vollkugel gilt1).

(18) d =B(5?, R), iind die Behnuptung ergibt sich daher aus dem Satz 6 durch Identifizierung \-on R, mit Q2.

Beweis. Offenbar ist

9. Ebenso wie der Sntz 6 dem Spiegeltheorem an die Seite gestellt worden ist, so gehort zur Brunn-Minkowskischen Ungleichung die nachstehende Ab- wnndlunp, wobei hier wie fortan die Komplenientarmenge einer Punktmenge H mit c)L bezeichnet werden soll.

Es seien R, und R2 beschrankt und ahgeschlossen, Rl nicht leer und 9, < R2. Bann ist unter der im spharischen Raum zusatzlichen Voraussetzung, CEaP R2 nicht den Gesiimtraum erfiillt, oder mit anderen Worten: dub g2 nicht leer ist,

(19) wobei r1 und r2 \vie oben die Rndien der niit 9, und R2 volumgleichen Vollkugeln hezeichnen .

Dns Gleichheitszeichen tritt fur 6 ( & , K2) > 0 dann und nur dann ein, wenn Ql eine n-dimensionale Vollkuqel voni Radius rl ist, und Q2 aus der konzentrischen n-dimensionalen ,Vollkugel vom Radius r2 durch Hinzufugung einer Nullmenge, d. 11. einer Punktnienge vom Volumen Null, hervorgeht, die natiirlich auch leer sein kann.

-

- r2 - r1 r 6 (n, 2 RJ,

Bewej s. Jm sphiirischen Raum ist zunkchst

(20) s(a,, K2) < 7 c .

I) Dicfier Satz ist fur den euklidischen Raum bekannt. Er riihrt yon BIEBERBACH her. vgl. L. BIEBERBACH, Uber eine Extremnleigenschaft des Kreises. Jbcr. Deutsche Math.- Vercin. 21 (1935), 247-250. Vgl. auch den Bewcis bei W. BLASC'HKE, Kreis und Kugcl, Leipzig 1916, S. 122-123.

88 E.Schmidt, Brunn.Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 1,9.

Denn andernfalls miiBte, da Rl voraussetzungsgemall mindestens einen Punkt enthlilt, nur aus dessen Gegenpunkt bestehen, was, da s2 als Komplementiir- menge einer abgeschlossenen Punktmenge offen ist, unmogiglich ist.

Man setze (21) 6(R1, is2) = 6 .

1st dann 6 = 0 , so ist die Behauptung selbstverstiindlich. Es sei also 6 > 0 . Dann ist definitionsgemiill jeder Punkt., der von 9, um weniger als 6 entfernt ist, nicht in F2 enthalten und gehort mithin zu R2, und ds jeder Punkt, der von R, um genau 6 entfernt ist, Haufungspunkt von solchen Punkten ist, deren Entfernung von Rl kleiner als 6 ist, so sichert die Abgeschlossenheit von RZ, daB auch diejenigen Punkte zu R2 gehoren, deren Entfernung von Rl genau 6 ist. Somit ist also

(22) ( W a < R 2 und mithin t23) (rl)d 5 r 2 ~

wobei (rJa den Radius der mit (RJa volumgleichen Vollkugel bedeutet.

(24) (sf1)d nicht leer,

weil sonst wegen (22) a fortiori auch s2 leer sein miiBte - wider die Voraus- setzung.

GemiiB der Brunn-Mjnkowskischen Ungleichung ist daher in allen drei Geometrien, in der sphiirischen bei Beriicksichtigung von (24),

- Nun ist

(25) (rl)d 2 + 6 , woraus wegen (23) die zu beweisende Ungleichung (19) folgt.

Damit ist die Ungleichung (19) als Konsequenz der Brunn-Minkowskischen nachgewiesen.

Das Gleichheitszeichen in (19) fordert auch dasjenige? in (23) und (25), wiihrend letzteres bei Beriicksichtigung von (24) gemal3 dem Brunn-Min- kowskischen Satz die Punktmengenidentitiiten

(26)

(27 )

9, = Ro (T l ) , ( Q J a = RO(T1 + 6)

und die wegen des Gleichheitszeichens in (23) und (25) mit letzterer identische PunktmengenidentitBt (28) ( 9 l ) d = 9 0 (rl)

sicherstellt, wobei Ro(r1), Ro (rl + 6) , f$, (r2) konzentrische n-dimensionale Voll- kugeln mit den Radien r l , r l+6 , r, bedeuten. Aus (22) und (28) folgt

(29) Ro(r2) < 9 2 9

(30)

und da diese beiden Punktmengen volumgleich sind, so ergibt sich die Identit a t

9 2 = %(r2) + %, wobei CR eine Nullmenge ist.

E. Schmidt,Brunn-XnkomkischeUngleichungusw. indernichhukl. Geom.1. $l,lO,ll. 89

Gelten andemeits die Identitaten (26) und (30), so,greift in der Tat in (19) das Gleichheitszeichen Platz. Denn da V (%) = 0 ist, kann SU, keine konzentrische n-dimensionale Vollkugel enthalten, deren Radius den Wert r, iiberschreitet, und daher folgt unmittelbar aus der Definition des Smbols d ( II , @,) das Gleich- heitszeichen in (19).

Damit sind auch die an die Ungleichung (19) gekniipften, den Eintritt des Gleichheitszeichens regelnden Behauptungen bewiesen.

10. Ebenso wie die Ungleichung (19) als Kmequenz &r Brunn-Minhaki - echn fatgestellt worden iet, foQt auch letztere aua ersterer.

Beweis. Setzt man fur 9, und f?h fiir a2, so wird unter der im spharischen Fall zusiitelichen Voraussetzung, daI3 & nicht den Gesamtraum erfuut, d. h. daI3 & nicht leer ist, offenbar

(31) s(a,, R2) = s(a, = h, und die Ungleichung (19) ergibt (32) r h - r z h ,

womit die Behauptung bewiesen ist.

Minkowskische Ungleichung bezeichnet werden. Die Ungleichungen (5) und (19) sollen fortan als die erste und zweite Brunn-

Endlich ist noch zu bemerken, daI3 fiir 9, {‘e2 (33) s(n,, $2) = 0 wird, denn dann sind Rl und 5% nicht punktfremd.

11. Aus der ersten Brunn-Minkowskischen Ungleichung ergibt sich bekanntlich die isoperimetrische in folgender Weise :

Die mit 0 (a) zu bezeichnende*Oberfliiche der beschrankten, abgeschlossenen, nicht leeren und im sphiirischen Fall auch nicht den ganzen h u m ausfiillenden Punktmenge 9 wird in der Minkowskisch’en Definition durch den Gremwert

(34)

gegebenl). Man bezeichne fortan fur n 2 1 das Volumen der n-dimensionalen Vollkugel

vom Radius e mit I,,(Q), RO daB also dieses Symbol in allen drei Geometrien f i i r n > 1 eine verschiedene Funktion bedeutef ; ihre Ableitung bezeichne man mit I; (e ) .

Dann ist also (35) v(a) =In(r ) , v ( R h ) =In(rh)-

Nun wird im sphiirischen Fallrdurch die Voraussetzung, daB 9 nicht den ganzen Raum ausfullt, gesichert, daI3 r < n ist, und mithin h so klein gewahlt werden kttnn, daI3 auch r+h<n bleibt. Unter dieser fiir die sphiirische Geo- metrie erforderlichen , Einschrankung gilt gemiiB der an (8) gekniipften Pest-

1) Ebenso kannte nctturlich ctuch der Definition zugrunde gelegt werden; hier iet h h gewiihlt, weil die Gultigkeit der isoperimetriachen Ungleichung bei letztemr Definition ihre Gultigkeit bei ersterer a fortiori aicheretellt.

90 E. Schmidt, Brunn-Minkomskisohe Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. § 1 , l l .

stellunq in allen drei Geometrien auf Grund der ersten Brunn-Minkowskischen Ungleichung

(36) v(&) - v(a) - In ( rh) - In ( r ) In ( r + h) - I n ( r )

h r h -

h und folglich

(37) 0 (9) 2 1,: ( r ) .

Fiir die mit R volumgleiche Vollkugel Ro greift in dercBrunn-Minkowski- schen Ungleichung und mithin auch in (36) und folglich auch (37) das Gleich- heitszeichen Platz. Es gilt abo

(38) O(R0) = i ; ( r )

md s m i t die isoperimetrische Ungleichung I)]

(39) o(a) r O(R0).

Man bezeichne einen PunM Q als voluEfremd zu einer menbaren Punkt- menge a, wenn es e b c n-dimensionale Vollkugel von nicht verschwindendem Radius mit dem Mittelpunkt Q gibt, deren Durchschnitt mit 91 eine Nullmenge ist.

Bei Einfuhrung dieaer Bezeichnung gilt unter der Vora.ussetzung, dup 9 keinen coluwifremden Punkt enthalt, in der isoperimetrischen Ungleichung dau Gleichheits- zeichen nur fur die n-dimensionale .Vollkugel.

Der Beweis dieses Satzes wird in $ 20 gefiihrt.

l) DaD die Brunn-Minkowskische Definition der Oberflache unter sehr allgemeinen Vorauasetzungen mit der gewohnlichen iibereinstimmt, ist bekannt und trivial. Diese Voraus- setzungen sind jedenfalls allgemeiner als diejenigen, unter welchen es dem Verfasser bisher gelungen war, die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel auch fur die nichteuklidische Geometrie zu beweisen, wofiir bia dahin nur im Falle des spharischen Kreises Beweise vorhanden waren. Daher werden die betreffenden Arbeiten des Verfassers von der gegenwartigen nicht nur in der Methode, sondern auch im Resultat iiberholt.

Unter den altbekannten Beweisen fiir die isoperimetrische Eigenschaft des spharischen Kreises vgl. F. BERNSTEIN, Uber die isoperimetrische Eigenschaft des lCreises auf der Kugel- oberfliiche und in der Ebene. Math. Ann., Berlin 60 (1905), 117-136.

Fiir die isoperimetrische Eigenschaft des Kreises und der Kugel im Vergleich mit Ro- tationskorpern in der nichteuklidischen Geometrie siehe ER~ARD SCHMIDT, Uber die isoperimetrische Aufgabe im n-dimensionalen Raum konstanter negativer Krummung. I. Die isoperimetrischen Ungleichungen in der hyperbolischen Ebene und fur Rotationskorper im n-dimensionalen hyperbolischen Raum. Math. Z. 46 ( 1940), 204-230; ERH~RD SCHMIDT, Die isoperimetrischen Ungleichungen auf der gewohnlichen Kugel und fur Rotationskorper im n-dimensionalen Raum. Math. Z. 46 (1940), 743-794. Vgl. hierzu ferner die interessanten Bcweise bei G. BOL, Isoperimetrische Unglcichungen fur Bereiehe auf Flachen. Jber. Deutsche Math.-Verein. 51 (1941), 219-257 und A. DINGHAS, Zum isoperimetrischen Problem fur die nichteuklidischcn Geometrien. Math. Ann., Berlin 118 (1943), 636-656.

Fur die, allgemeine isoperimetrische Eigenschaft der Kugel siehe ERHARD SCHMIDT, Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im hyperbolischen und spharischen Raum jeder Dimensionszahl. Math. Z. 48 (1943), 1-109.

Von den friiheren Arbeiten des Verfaswrs iiber daa isoperimetrische Problem wird somit von der vorliegenden nur die Arbeit: Uber eine neue Methoqe zur Behandlung ciner Klasse isoperinietrischer Aufgaben im GroDen. Math. Z. 47 (1942); 489-642 nicht iiberholt, indem diem ein wesentlich allgemeineres isoperimetrisches Problem zur Losung fiihrt, das s ta t t der mehrgliedrigen Bewegungsgruppe der nichteuklidischen Geomet.rie nur eine eingliedrige Gruppe von Transformationen in sich zulaBt.

E. Schmidt, Brunn-Minlrowakische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 1, 1% 91

DaB dieser Satz bei Fortlassung der Voraussetzung, da13 L keinen volumfremden Punkt enthalt, nicht mehr gultig bleibt, zeigt in der Ebene etwa das Beispiel der Punktmenge, welche aus einem Vollkreis und einem Punkte auBer- halb desselben besteht, und fur n 2 3 das noch illust,rativere Beispiel der Ver- einigungsmenge einer n-dimensionalen Vollkugel mit einer konzentrischen (n - 2)-dimensionalen von groBerem Radius.

12. Es gelten fur die beschrankte, abgeschlossene, nicht leere Punktmenge R

Zunachst ist selbstverstandlich die nachstehenden Punktmengenrelationen.

(40) 9") < eb.

Ferner ist bekanntlich

(41) (Qh) l = Rb+2,

eine Identitat, welche so uhmittelbar der Definition entspringt, da13 der Beweis sich erubrigt.

Es i b t endlich (42) (Rh) (ht l ) = R(0.

Beweis. 1st M Mittelpunkt einer n-dimensionalen Vollkugel vom RtLdius 1 , welche R enthalt, so ist M auch Mittelpunkt einer n-dimensionalen Vollkugel vom Radius 1 + h , welche &, enthiilt, und umgekehrt. GemiiB der Definition 3 b) folgt hieraus die Behauptung.

1st auch 8' beschrankt, abgeschlossen und nicht leer, so ist die Relation

(43)' 8' < R'h"

offenbar gleichbedeutend mit der Ungleichung

(44)

und da diese in R und R' symmetrisch ist, so erweist sich jede der beiden Re- lationen

(45) F < R(") und L < F(h) nls Konsequenz der anderen. Insbesondere folgt also bei nicht leerem R@) aus

2' = Q(h) (46)

(47) R < F ( h ) ,

(48) R < (R(h))("

d. h. es gilt Lei nicht leereni jVb)

&Inn setze (49) (ef)(W = elf, ( e f r ) ( h ) = p'f . Dnnn ist zuniichst h u t (48)

(50) L < R t f .

92

Setzt man in (48) R' .fur SY ein, so ergibt sich

E. Schmidt, Brunn-Minkowskieche Ungleichung UBW. in der nichteukl. Geom. I. $1,18.

L' < ( SYt (h) ) (*) ,

d. h. also

(51) R' < W'. Anderseits folgt aus R' = &(*), und PI' = (PI)(*) wegen (50) gemiilj (3)

(52) R'"< L'

L' = L"' (53)

Es gelten also die reziproken Identitiiten

und damit wegen (51)

= F(h), R' = p l ( h ) . (54)

Die beiden Punktmengen R' und Q" oder gleichbedeutend und (f@)(h)

stehen also in der bemerkenswerten reziproken Beziehung, dalj jede aus den Mittelpunkten aller n-dimensionalen Vollkugeln vom Radius h besteht, welche die andere enthalten, und aus dem Durchschnitt aller n-dimensionalen Voll- kugeln vom . M i u s h, deren Mittelpunkt in der anderen enthalten ist. Wie hieraus hervorgeht, ist auch jede der beiden l'unktmengen niit dem Durchschnitt aller n-dimensionalen Vollkugeln vom Radius h identisch, in denen sie enthalten ist.

Endlich sind den Identitaten (42) und (41) die folgenden Relationen an die Seite xu stellen:

h'a gilt bei nicht leerem @*)

(55) (f@)(h+O > el, (f$U)l < f$htO.

'Beweis. Bei Vertauschung von-h und '1 erhiilt (42) die Gestalt (56) (g l ) (h+O = @A),

und hieraus folgt gemalj der Feststellung, dalj (47) durch (46) gesichert ist, die erste der beiden Relationen (55).

Setzt man in (56) 9(*) fur SY ein, so ergibt sich wegen (48) ((p(h))l)(h+O = ( R h ) ( h ) > 9,

und hieraus folgt wieder geman der Feststellung (46), (47) die zweite der beidei Relationen (55).

13. In der vorliegenden Arbeit wird zwar vom Begriff der Konvexitiit nirgends Gebrauch gemacht - ebgesehen voni letzten Paragraphen, in welchem ein zweiter, jedoch nur auf die euklidische Geometrie beschrankter Beweis des Spiegeltheorems Darstellung findet. Nichtsdestoweniger darf die folgende Be- merkung nicht unterdriickt bleiben.

Man bezeichnet in der hyperbolischen Geometrie ebenso wie in der euklidischen eine Punktmenge a18 konvex, wenn die Zugehorigkeit zweier Punkte auch diejenige der Strecke zwischen ihnen nach sich zieht, und in der sphiirischen, wehn die Zugehorigkeit zweier Punkte, welche kein Gegenpunktepaar bilden,


auch diejenige der kiirzeren der beiden sie verbindenden Strecken nach sich zieht.

Man stelle nun den n-dimensionalen hyperbolischen Raum durch das bekannte, das Innere der euklidischen Einheitskugel ausfiillende Kleinsche Modell dar. Da bei diesem die hyperbolischen Geraden und Ebenen der verschiedenen Dimensionszahlen durch den in das Innere der Einheitskugel fallenden Teil der euklidischen Geraelen und Ebenen der entsprechenden Dimensionszahl reprasentiert werden, so ergibt sich leicht, daB die konvexen Punktmengen des hyperbolischen Raumes durch die konvexen Punktmengen dieses euklidischen Modells dargestellt werden. Daher laBt sich die Theorie der konvexen Punktmengen des euklidischen Raumes weitgehend unverandert auf den hyperbolischen iibertragen .

Es sei M der Mittelpunkt der Einheitskugel im (n+ 1)-dimensionalen euklidischen Raum, deren Oberflache den n-dimensionalen spharischen Raum dar- stellt. Man ordne jeder Funktmenge auf derselben den Kegel zu, der aus den von M ausstrahlenden Halbgeraden besteht, welche durch die Punkte der Punkt- menge gehen. Dann ist die obige Definition der Konvexitat in1 spharischen Raum offenbar damit gleichbedeutend, daB der zugeordnete Kegel im (n + 1)-dimensionalen euklidischen Raum konvex ist. Daher 1aBt sich die Theorie der konvexen Punktmengen des euklidischen Raunies weitgehend und unmittelbar auch auf den spharischen iibertragen.

Wie dieses Modell zeigt, und iibrigens auch ohne seine Heranziehung ,sich als triviale Einsicht darbietet, ist in der spharischen Ebene ein Vollkreis dann und nur dann konvex, wenn sein Radius I nicht ubersteigt, und dasselbe gilt mithin auch im n-dimensionalen spharischen Raum fur die Vollkugel.

Der Mittelpunkt eines Vollkreises in der hyperbolischen Ebene kann durch eine hyperbolische Bewegung in den Mittelpunkt des das obige Kleinsche Modell bildenden euklidischen Einheitskreises versetzt werden. Aus Symmetriegriinden wird dann der hyperbolische Vollkreis durch einen euklidischen reprasentiert, und da ein solcher konvex ist, so ist gemaB der oben geniachten Feststellung auch der hyperbolische Vollkreis konvex, und dasselbe gilt mithin auch fiir' die n-dimensionale hyperbolische Vollkugel, eine Einsicht, die natiirlich auch ohne Heranziehung des Modells sich sehr leicht darbietet.

Da nun $Vh) gemaB der Definition 3 c) den Durchschnitt von Vollkugeln vom Radius h bildet, und der Durchschnitt einer beliebigen Menge konvexer Punkt- mengen, wie unniittelbar aus dem Begriff der Konvexitat hervorgeht, ehenfalls konvex ist, so ist die Punktmenge !iVh) im hyperbolischen, euklidischen und fur

h 5 - auch im spharischen Raum konvex. Insbesondere gilt das auch fur das

Paar der beiden Punktmengen $Vh) und ( R(h))(2), deren reziproke Beziehung' unter 12 hervorgehoben worden ist.

x 2

14. Wir ziehen den folgenden Fundamentalsatz aus der allgenieinen MaB-

Es sei im n-diniensionalen euklidischen Raum die mefibare Funktion F(P) * theorie heran :

fur jeden Punkt P definiert, und es sei ihr Integral iiber jede nieBbare Piinkt- menge von endlichem Ma0 endlich. Man bezeichne die n-dimensionale Vollkugel

94 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Unglcichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 1 , l S .

mit dem Mittelpunkt Q und dem Radius r mit 9,, ( Q , r ) . Dann gilt bis auf eine Punktmenge vom MaB Null fur jeden Punkt Q des Raumesl)

(57)

wobei d P das n-dimensionale euklidische Volumenelement bedeutet.. Sls unniittelbare Konsequenz dieses Theorems erweisen sich bekanntlich

die Satze: a) Es sei ini n-dimensionalen eulrlidischen Rauni (11 eine mel3bare Punktmenge

und s ihre KompTenientarpunktmenge. Man bezeichne wic iiblich den Durch- schnitt zweier Punktmengen 23 und %' mit 23%' und dementsprechend den Durchschnitt von ?I mit der Vollkugel 9,(Q, r ) niit ?If?,(&, r ) . Man setze

und bezeichne C(Q) und - G(Q) als die obere und untere Dichte der Punktmenge (11 im Punkte Q .

Dann gilt bis auf eine Punktlhenge vom Mape Null fur jeden Punkt des Raumes : wenn er zu (11 gehort,

(59) C(Q) = _C(Q) = 1 oder, uienn er nicht zu (11 gehort,

(60) G(Q) = _C(Q) = 0 .

Beweis. Man definiere die Funktion F(P) in den zu (11 gehorenden Punkten durch 1 und in den zu 5 gehorenden Punkten durch 0. Dann ist die Funktion meBbar und ihr lntegral iiber jede Punktmenge von endlichem Volumen endlich, niinilich gleich dem Volumen des Durchschnitts dieser Punktmenge rnit Y l . Insbesondere ist dnher

und es folgen niithin die zu beweisenden Behauptungen am (57).

unterhalb 1, so ist i h r Volumen Null.

die Gleichung (69) nicht gilt, so folgt die Behuuptung aus dem Satze a).

b) Bleibt die untere Diclbte einer mepbaren Punktmenge in jedem ihrer Punkte

Beweis. De die Punktmenge nur aus solchen Punkten besteht, in welchen

16. Es sei im n-dimensionalen euklidischen, hyperbolischen oder sphiirischen Raum R eine beschriinkte, abgeschlossene, nicht leere Punktmenge. Dann gilt der folgende

Hilfsscltz. Fur h > O , im spharischen Rnum fur O < h < n , bildet die Gesamt- heit derjenigen Pmkte, deren Maximaldistanr: bzw. Minimaldistanz von R gleich IL id, eine Nullmenge.

1) Siehe C. CARATII~ODORY, Vorlcsungen iibcr reelk Funktionen. Lripzig 1918, 3 446 Satz (3), s. 497.

E. Schmidt, Bkunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichtenkl. Geom. I. 8 1,15. 95

Be weis. Die beiden Punktmengen, deren Abgeschlossenheit durch die Stetig- keit der beiden Distanzen als Funktionen des Ortes sichergestellt wird, und von denen wir voraussetzen diirfen, daB sie nicht leer sind, mogen mit % bzw. '$3 bezeichnet werden. 1st P ein Punlrt von PI, so gibt es, da 9 abgeschlossen ist, in 9 einen Punkt Q , so daB ?@ = h ist. Da keinen Punkt enthalten kann, der um mehr als h von Q entfernt ist, so wird % von der n-dimensionalen Vollltugel, deren Mittelpunkt Q und deren Radius h ist, und auf deren Oberflache mithin P liegt, iiberdeckt.

1st anderseits P ein Punkt von '$3, so gibt es ebenfalls in 9 einen Punkt Q , so daB @= h ist. Da nunmehr aber '$3 keinen Punlrt enthalten kann, der um weniger als h von Q entfernt ist, so wird '$3 von dem AuBeren der n-dimensionalen Vollkugel mit dem Mittelpunkt Q und dem Radius h iiberdeckt, das noch durch Einbeziehung ihrer den Punkt P enthaltenden Oberflache abzuschlieBen ist.

Es besteht also sowohl fur % a19 auch fur '$3 der Sachverhalt, daB jeder zu- gehorige Punkt auf der Oberflache einer n-dimensionalen Vollkugel von nicht verschwindendem und im spharischen Fall unterhalb z bleibendem Radius liegt, deren durch Einbeziehung der Oberflache abgeschlossenes Innere oder &Bere die Punktmenge iiberdeckt.

Da eine n-dimensionale Vollkugel von nicht verschwindendem Radius des hyperbolischen Raumes im funktionentheoretischen Modell ebenfalls duroh eine solche dargestellt wird, so iibertrhgt sich in der hyperbolischen Geometrie der obige Sachverhalt auf den Reprasentanten von 91 bzw. '$3 in diesem euklidischen Modell.

Im stereographischen Modell des spharischen Raumes entsprechen ebenfitlls den spharischen Vollkugeln von nicht verschwindendem und unterhalb 76

bleibendem Radius die euklidischen von nicht verschwindendem Itadius, wobei jedoch die von einer Ebene begrenzten Halbrdume unter die Vollkugeln ein- zubeziehen sind. Mit dieser Erganzung iibertragt sich daher der oben fur % bzw. '$3 im spharischen Raum festgestellte Sachverhalt auch auf den Reprasentanten von ?I bzw. '$3 in diesem euklidischen Modell.

Nun ist im n-dimensionalen euklidischen Raum die obere ebenso wie die untere Dichte sowohl derjenigen Punktmenge, welche aus dem abgeschlossenen Innern, a1s auch derjenigen, welche ails dem abgeschlossenen AuBeren einer n-dimensionalen Vollkugel von nicht verschwindendem Radius besteht, in einem Punkte ihrer Oberfliiche offenbar gleich 3, und dasselbe gilt fur die obere ebenso wie die untere Dichte eines von einer Ebene begrenzten Hnlbraumes in einem Punkte der Begrenzungsebene. Es kann daher im euklidischen Fall die obere wie die untere Dichte von 91 bzw. *% in keinem Punkte von PI bzw. % den Wert 3 iiberschreiten, und dasselbe gilt im hyperbolischen und sphiirischen Fall fur den Repriisentanten von PI bzw. '$3 in den angegebenen euklidischen Modellen.

GenidB dem Satze 14 b) folgt hierails im euklidischen Fall unmittelbar die zu beweisende Behauptung, daB das Volumen von ?L bzw. 3 verschwindet. Im hyperbolischen und sphiirischen Fall folgt das zungchst nur fur den Re- priisentanten von ?I bzw. B in dem eultlidischen Modell, und sodann, da das Volumen von ?( bzw. '$3 sich durch ein Integral iiber den letzteren ergibt, auch fiir ?1 bzw. 3, was zu beweisen war.

96 E. Schmidt,Rrunn-MinkowskischeUngleichung usw.in der pichteukl. Geonk.1. f 1,16,17.

16. Aus dem im vorigen Abschnitt hergeleiteten Hilfssatz ergeben sich die nachstehenden beiden Siitze :

Man bezeichne die Gesamtheit derjenigen Punkte, deren Maximaldistanz bzw. Minimal'distanz von $? kleiner als h ist, mit $?(") und R h - . Dann gelten die Qleichungen

(62) v($?!(h-)) = v ( ~ @ ~ ) ) , v ( Q h - ) = v(Lh)- Beweis. Da e(h) aus @ h - ) bzw. Rh &us a(&) durch Hinzufugung der Gesamt-

heit derjenigen Punkte hervorgeht, deren Maximaldistanz bzw. Minimaldistanz von L gleich h ist, und das Volumen der letzteren Punlctmenge gemiil3 dem Hilfssatz verschwindet, so ergeben sich die behaupteten Gleichungen.

Der Rand von $?(h) ebewo wie von f th ist eine Nullmenge1). Beweis. In jedem Randpunkt von ft(h) bzw. ist die Maximaldistanz

bzw. Minimaldistanz von ft offenbar gleich h . Daher ist der Rand von L(h) bzw. in der Gesamtheit derjenigen Punkte enthalten, deren Maximaldistanz bzw. Minimaldistanz von L gleich h ist, und die Behauptung folgt mithin aus dem Hilfssatz 14a) a fortiori.

Da in jeder Umgebung eines Punktes, dessen Maximaldistanz von L gleich h ist, offenbar Punkte vorhanden sind, deren Maximaldistanz h uberschreitet, so ist jeder Punkt, dessen Maximaldistanz von L gleich h ist, auch ein Randpunkt von Lch). Daher fiillt der Rand von L(h) niit der Gesamtheit derjenigen Punkte zusammen, deren Maximaldistanz von L gleich h ist.

Das Entsprechende gilt aber nicht fiir den Rand von f t h , wie das folgenfle Beispiel zeigt. Es sei in der Ebene 9 eine Kreisperipherie vom Radius a . Dann wird Ra vom konzentrischen Vollkreis mit dem Radius 2a gebildet, und der Mittelpunkt hat die Minimaldistanz a von 9, ohne auf dem Rande von La zu liegen .

17. Man bezeichne im slphiirischen Raum die Gesamtheit der Gegenpunkte einer Punktmenge PI init 8,. Dann besteht offenbar die Identitiit

(63) (a), = (W. Daher liil3t sich diese Punktmenge einfacher mit E, bezeichnen.

Es seien nun P und P, Gegenpunkte. Dann erganzen sich die Entfernungen jedes Punktes von P und P, zu z . Daher ergiinzen sich auch die Minimaldistanz zwischen P und L rind die Maximaldistanz zwischen P, und 9 zu z.

aus der Gesamtheit derjenigen Punkte, deren Minimal- distanz von L grooer als h ist, und daher m,,, aus der Gesamtheit derjenigen

l) In der euklidischen Geometrie wird die Differenz zwischen dem Jordanschen lluBeren und inneren Inhalt einer Punktmenge durch den iiuDeren Inhalt ihrer Begrenzung gegeben, welcher, da die Begrenzung abgeschlossen ist, mit ihrem MtlDe iibereinstimmt. Das Ver-

mhwinden des MaDes der Begrenzung ist daher damit gleichbedeutend, daS die Punktmenge einen bestimmten Jordanschen Inhalt besitzt. Mithin ist der oben bewiesene Satz, daI3 der Rand von 9, eine Nullmenge bildet, in der euklidischen Geometrie in dem schon von A. DINGHAS 1. c. FuSnote 1 S. 86 herangezogenen Stltz von FELIX BEHREND enthalten, laut welchem jede Parallelpunktmenge einen bestimmten Jordanschen Inhalt besitzt. Vgl. I?ELIX BEFIREND, Bemerkungen zur Inhaltstheorie. Math. Ann., Berlin 111 (1936),

Nun hesteht

289-292.

E. Schmidt, Bcunn-Minkowskhche Ungleichung UEW. in der nichteukl. Geom. I. 8 1,17. 97

Punkte, deren Maximaldistanz von 9 kleiner als h' ist, wobei h'=n -- i~ gesetzt wird. Es gilt &her die bemerkemerte Punktmengenidentitt

- (64) R@'-) = (ah )* .

Wegen (62) folgt hieraus

(65) V(L(h')) = v(cah,*) = v(ca,,). Nun erganzen sich im sphiirischen Raum die Radien der mit einer abgeschlossenen Punktmenge und ihrer Komplementiirmenge volumgleichen Volllrugeln offenbar zu n . Daher ist der Radius der niit volumgleichen Vollkugel gleich n - r, , und es gilt gemup (65) die wichtige Gleichung

(66) d") + rh = n, wobei

(67 1 h + h' = n.

ist. Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich die Gleichung

(68) (h' - r ) - r(h') = rh - (?A + r ) .

Auf Grund dieser Identitat folgen, wie jetzt hergeleitet werden SOU, in der spharischen Geometrie der Brunn- Minkowskische Satz und a h Spiegeltheorein im gesamten Umfang ihrer unter 4 und ti formulierten Behaqtungen gegensedtig auseinander.

B e u e i s . Sieht nia,n \-on deni Falle ah, daB R den Gesamtraum erfiillt, in welcheni Falle beide Siitze ihren Inhalt verlieren, so gibt es niindestens einen Raumpunlrt P, . in welchem die Entfernung von st' ihr Maximuni erreicht,. Diese Maximalentfernunp sei A , und P , der Gegenpunkt von P . Man definiere ?I; durch die Gleichung

(69) h, + ?& = n.

Dann ist 0 <h, 5 ,z , 0 5 ?(, <n, und R ist in der VollliLigel mit. den] Mittelpunkt P , und deni Radius ?(, enthalten, aber in keiner kleineren. hi kann also auch unmittelbar alu dec kleinste Radius definiert n-erden, fur v.elchen es eine Voll- kugel giht, die R enthklt. Geniii13 der Definition 3 11) ist. daher St@) fur h < I / ; leer und fiir ?A 2 ?(, nicht leer. Anderseits enthalt $th fiir h <ho nicht den Punkt Y und erfiillt somit nicht den Gesanitraum, wiihrend fiir h 2 k, Rh offenbar den Gesamtrnuni erfiillt.

Der Brunn-RIinkowqkisclie Satz liii13t sich dither auch folgendermaBen formulieren: Fiir h<h, ist die rechte Seite von (68) nicht negativ und ver- schnindet nur, wenn R eine Vollkugel ist.

Nun ist, da Q,,. den Gesanitra.uiii ausfiillt, rho = n, und es uird dnher fiir h= ?L, die rechte Seite von (68) gleich n - (ho+ r ) = h; - r . Da ferner si' in einer Volllrugel 770111 Radius ?(, enthnlten ist, so ist ?I; - r 2 0 und verschwindet nur, wenn R rnit dieser T'ollkugel zusummenfiillt. Dnniit ist gezeigt, daB es nur eine triviale Ervreiteriing des Brunn-Rlinkowskischen Satzes bedeutet, wenn die obigen Behauptnngen iiber die rechte Seite von (68) statt a11 die T'oraussetzunp h <h, an die Voraussetziing h 5 h, gelmiipft werden.

Math. Knclir. 194d, B. 1. H. 2jY. 7

98 E. Schmidt, Brunn-Wowskiache Ungleichung uaw. in der nichteukl. Geom. I. 8 1.18.

Anderseits l&Bt sich das Spiegeltheorem folgendermaaen formulieren : Es ist fur h' 2 hh die linke Seite von (68) nicht negativ und verschwindet nur, wenn R eine Vollkugel ist.

Da nun die Bedingungsgleichungen h 5 h, und h' 2 hi wegen (67) und (69) gegenseitig auseinander folgen, so ist der zu ,fiihrende Beweis vermoge (68) erbracht. Dabei ist, wenn h, = n, hb = 0 ist, also 9 aus einem einkigen Punkt besteht, der Fall h= h,, h'= hi natiirlich gemal3 den Definitionen 2, 3 aus- geuchlossen.

18. W-ir ziehen nunmehr die nachstehenden Satze heran, welche im euklidischen Rauni als Fundamentalsi&ze der MaBtheorie bekannt sind und hier in ihrer trivialen Verallgenieinerung auf den hyperbolischen und spharischen Raum bewiesen werden sollen.

Es sei PI, fiir Y = 1 , 2 , . . , eine unendliche Folge meBbarer Punktmengen, deren jede in der folgenden eingeschachtelt ist, und ihre Vereinigungsmenge. Dann ist 91' mepbar, und es gilt, wenn. V ( W ) endlich ist,

lim V(%,,) = V(21'). r+m

Reweis. DaB '8 meBbar ist, ergibt sich aus den unter 1 gemachten Fest- stellungen. Es bezeichne nun F in1 hyperbolischen und spharischen Fall die MaB- funktion des Volumenelements bei den unter 1 genannten Modellen, wahrend im euklidischen Fall P gleich 1 zu setzen ist. Dann ist F eine positive stetige Funktion des Ortes. Es bezeichne ferner vv diejenige in '2" definierte Funktion, welche in PI, gleich 1 und in %' - 9, gleich 0 ist. Dann ist in 8'

O S ~ v I v v + l ~ 1 , 1imvv = I v-+m

(71)

(72)

ferner ist

(73) V(P1,) =[v,Fdz, T.'(PI') = k d z J

wobei d.c in1 hyperbolischen und spharischen Fall das Volumenelenient der genannten euklidischen Modelle, im euklidischen Fall natiirlich dag Volumen- element des Raumes selbst bedeutet. Aus (72) und (73) folgt bei Beriicksirhtigung der vorausgesetzten Endlichkeit des letzten Integrals gernaB dem Fundamental- satz uber die Vertnuschbarkeit des Limeszeichens mit dem Lebesgueschen Integralzeichen die zu heweisende G'leichung (70).

13s sei 91, fiir Y = I , 2 , . . . eine unendliche Folge menbarer Punktmengen, deren jede in der vorhergehenden eingeschachtelt ist, und PI" ihr Durchsrhnitt. Dann ist ?I" mepbar und, wenn V(11,) endlich ist,

und mithin

0 s V V F 5 F , 1i.m v,F = F ; v+m

0" er'

lim V(?I,) = V ( 9 Y ) . V + o O

Beweis. DaB PI" mel3bnr ist, folgt aus den unter 1 gemachten Feststellungen. Fiir die Polge ?I, - 91, gelten bei Beriicksichtigung der unter 1 gemachten Fest-

E. Schmidt, Brunn-Alinkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geoin. I. f I , 19. 99

stellungen die Voraussetzungen des vorigen Satzes, und da ihre Vereinigungs- menge ?I, -?I” ist, so folgt aus (70)

lini V(%, - ?I,) = V(?I, - ?I”),

lini (V(?I,) - V(?&)) = V(?&) - V(?I”), V + W

v + m

woraus sich die zu beweisende Gleichung (71) ergibt. Es sei fiir jeden Wert des offenen Intervitlls a<t<P eine nieljbarePunkt-

nienge PI ( t ) definiert, wobei a auch - 00 und /3 auch 4- a, bedeuten kann; ferner sei fur t“< t‘ PI( t” ) in % ( t ’ ) enthdten. Es bezeichne PI* die Vereinigunpmenge und P(** den Durchschnitt aller Pirnktniengen ?l(l). Dann sind ?(* uncl ?I** ehenfalls mepbar, und es g i l t , wenit V (‘?I*) eiidlich ist,

lini V ( ? I ( t ) ) == V(PL*) (75)

und, wenn V(?I ( t o ) ) jiir einen Wert to endich ,ist, ’

(76)

1-s

liin V(PI ( t ) ) = V(PI**). t-a

Beweis. Durchliiuft t , ( v = l , 2 , . . .) eine unendliche Folge von Werten des Parameters t , fur ‘welche a <tv < /3, t , 5 t v + l , 2, -+ p gilt, so ist die Vereini,&gs- nienge aller ?I(t,) mit PL* identisch, und es sind fur die Folge ?r(t,) die Voraus- setzungen des erstmen Satzes erfiillt. Mithin ist 91“ nieflbtir, und es gilt, wenn V(?I*) endlich ist, geniiiI3 (70)

lim V(BI(t,)) = V(?l*).

Dti das fur jede derartige Folge t, der Fall ist, so ergibt sich in bekannter Weise die zu heweisende Gleichung (75) .

Durchliiuft nnderseits t , (Y = 1 , 2 , . . .) eine unendliche Folge, fur welche a < t , < t o , t , 2 t , + * , t,-+ a gilt, so ist der Durchschnitt aller ?I ( t , ) niit ?I** identisch, und es sind fur die Folge ?I(t,) die Voraussetzungen des zweiten Satzes erfiillt. Mithin ist 3I** meBbar, und es gilt, da die Endlichkeit von V(P( ( t , ) ) wegen 1, < to durch die Voraussetzung der Endlichkeit von V(P1 ( to) ) gesichert ist, gem&B (74)

lim V(31 (I,)) = V(?I**).

Do das fiir jede dern.rtige Folge t , der Fa11 ist, PO folgt die allein noch z u be- ueisende C:leich 11 ng (76).

E:s ist noch hinznzufiigen, dali die in diesen Siitzen anfgetretene Voraus- setzung der Endlichkeit des Mdjes gewisser I’tinktniengen beini sphiirischen Rauni nntiirlich tds iiberfliissig in Fortfa11 koninit, da bei diesriii d:ls Gesaiiit- voliinien eridlich ist.

v-+m

v-+m

19. Fiir h’<h” ist STjL3 < QjL.., ltiihrend die T’creiIiigunFsnieiige aller I’unkt- niengen St/, fi ir h <h* offenbar ron s th*- gebildet wird. Geniiifl ( 7 5 ) ist daher

lini l’(Qh) = V(9, , , - ) , h-h’ h < h*

i*

100

woraus wegen (62)

(77)

folgt.

E. Schmidt, Bm-Minkowskieche Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 2,1.

lim V ( $ ? h ) = v(nh*) h+h+ h < A+

Anderseits wird der Durchschnitt aller Punktmengen @h fur h >h* von Rh+ gebildet. Denn zunachst ist fth* offenbar in diesem Durchschnitt enthalten. 1st anderseits P ein Punkt dieses Durchschnitts und SP seine Minimaldistanz von 9, so ist fur h > h* 8 p 5 h und mithin dP 5 h*, d. h. P ist in fth* enthalten. GemliB (76) folgt hieraus

lim V(f th) = v(&). h+h* h >h*

(78)

Ebenso ergibt sich der Grenzwert

lim V ( R h ) = V ( 8 ) .

Genau so wie die Grenzwerte (77) und (78) erhillt man die Grenzwerte h-0

(79)

lim V(Rch)) = V($?ch*)), lim V(R(h)) = V(R(”)). h+h* h *ha h< h+ h > h +

( 80)

Die Gleichungen (77), (78), (80), (79) drucken aus, dap die VoZumina won Rh und R(h) a h Funktionen von h stetig sind, wahrend dus Voluwhen von f t h fur h -+ 0 gegen dasjenige von ft konvergiert.

8 2. Die sonkrechte Projektion auf cine Ebene und der Abstand von ihr als Koordinaten.

1. Es sei fur n 2 2 im n-dimensionalen Raum E eine (n - 1)-dimensionale Ebene und P ein Punlrt. Den nach beiden Seiten von E mit entgegengesetztem Vorzeichen gemessel;en Abstand des Punktes P von E bezeichne man mit U .

72 7c iz Im spharischen Fall ist dann - - I u 5 -, wobei die beiden Werte f - nur 2 - 2 2 in den beiden Polen von E erreicht werden. Mit P‘ bezeichne man die senlrrechte Projektion des Punktes P auf E , d. h. den Schnittpunkt von E mit der durch P gehenden Senkrechten zu E , ini sphiirischen Fall denjenigen der beiden Schnitt- punkte dieser Senkrechten mit E , von welchem der Punkt P den Abstand u besitzt. Die Projektion P‘ ist nur dnnn nicht eindeutig bestimnit, wenn der Raum spharisch ist, und P in einen der beiden Pole von E fiillt. I n diesem Fall steht jede durch P gehende Gerade senlirecht auf E , und sol1 daher jeder Punkt von E als senkrechte Projektion von P auf E’ gelten. P ist dagegen durch P’ und u stets eindeutig bestinimt.

Man niache nun zunachst die Toraussetzung, da13 n= 2 , also E eine Gerade ist. Es seien P, und P, zwei Punkte niit den Bestimmungsstiicken Pi, U, und P i , u g .

Dann ergibt iin hyperbolischen Fall der Kosinussatz fur das Dreiecli P, Pi P, , dessen Winkel in den Punkten P,, P i . P? mit al, a;, a2 bezeichn- at werden

- niBgen, wegen P, Y; = I U, I

E. Schmidt, Brunn-Minkowekische Ungleichung UAW. in der nichteukl. Geom. I. $2,1. 101

Ferner erhiilt man, da das Dreieck P;PiP, in P.: rechtwinklig ist, wegen - p2p; = 1.21 ( 2 ) Go! PTP, = 001 001 u,,

(3) wobei von E liegen,

(4) a; + 8; =y, cos a; = sin p i ,

und wenn sie auf verschiedenen Seiten von E liegen,

(5) a; - B1 =y, cosai = - s i n & .

Es wird daher im ersteren Falle wegen (4) und (3)

(6) Ginlull GinP;P,cosa, = Ginlull GiirP;,sin/?; = Ginlu,] binIu,I.

Ebenso erhiilt man im letzteren Falle

(7 1 Gin I ul I Gin Pi P2 cos a; = - Gin I u1 I Gin I u2 I. Da die Vorzeichen von ul und u2 im ersteren Falle gleich, im letzteren verschieden sind, so hat man in beiden Fiillen

(8) Gin I u1 I GitI Pi P, cosa; = Gnu, Gnu, .

Die Einfiihrung dieser Gleichurig und der Gleichung (2) in (1) ergibt

(9)

(10) und wegen der Identitiit

(11 )

Gin 1 u2 I = Gin P;, sin 81, = 3 P, Pi Pg gesetzt ist. Nun ist, wenn P, und P, auf derselben Seite

n

t n

__

~

- - 601 P, P, = Eofu, Goju, 601 Pi Pi - Gin u1 Gin u2 ,

B o j P 7 * = &o/u, Eoju, (601rn - 1) + Qof(u, - ul )

Y 00fv - 1 = 2 Gin?- 2

Es liege nun der sphiirische Fall vor, und es sei a ie oben n = 3 , also E eine n Gerade. Po sei der Pol u = T von E . Dann ergibt der Kosinussatz fur das

Dreieck P, POP,, dessen Winkel in Po mit a,, bezeichnet werden ni6ge,

(13)

und wegen - - zc, , P, Po = - u2, a,, = P x

(14)

2

COY P~P, = cos P,P, cos P,P, -+ sin P,P, sin p2p0 cos a,,

n - 7c

O - 2

cos P, P, = cosu, cosu2 cos Pi Pi + sinu, sinu,, - -

(15) COSP,P? = C O S U , C O S U , ( C O S ~ ; - '1) + c ~ ~ ( u ~ - q ,

102 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. §2,2,8.

Dabei sol1 das Symbol A 2 stets die Entfernung der beiden Punkte A und B bedeuten, ist daher negativer Werte nicht fahig und kann in der sphiirischen Geometrie den Wert 7c nicht iiberschreiten.

Nun ist u2 - u1 - 1 - COS(U2 - u1) - 1 + COS(U2 + u1) - cosul cosu2 --

2 2 sin2 ~ - 2

u1+ u2 = cos2 ~ - cos u1 cos u2 , (17)

2 und die Einfuhrung dieser Identitiit in (16) ergibt

~ ~

P P u1+ u2 P; Pi sin2 2 = cos2 ~ - cos u1 cosu2 cos2 -

2 2 2 .

In der euklidischen Geometrie entspricht den Gleichungen (12) und (16) die Gleichung

(19) P,p,2 = P;i2 + (u2 - Ul)2.

Beriicksichtigt man, daB definitionsmiiBig PT, 2 0 und im spharischen Fall auch noch PT2 2 7c ist, so lassen sich die Gleichungen (12), ( 1 Q (19) nach P,P2 eindeutig auflosen und man erhiilt eine Formel von der Gestalt

(20) P,p, = @ b I , u2, p ; p ; ) ,

wobei @ eine in allen drei Geometrien verschiedene stetige Funktion ihrer drei Argumente ul, u2 und P;Pk bedeutet. Liegt dabei der sphiirische Fall vor, und

wird einer der beiden Abstiinde u,, u2 - etwa u1 - gleich f -, so wird P , ein

Pol von E , Pi bleibt unbestimmt, die Formeln (14), (16), (18) bleiben riihtig, indem der Faktor des Pi enthaltenden und dadurch unbestimmt werdenden Summanden verschwindet, und man erhalt

-

?G

2

7 c ' P, P, = @ f -, u2, p;) = I * y - 4 . - ( s

2. Es sei jetzt n 2 3. Die zur (n - 1)-dimensionalen Ebene E senltrechte zuieidimensionale Ebene, in welcher die drei Punkte P, , Pi und Pi liegen, enthalt auch die in Pi zu E senkrechte Gerade Pip,. Daher liegen alle vier Punkte P,, Pi, P,, PL in einer zweidiniensionalen Ebene, und es behalten mithin in der hyperbolischen Geometrie die Gleichung (12), in der sphiirischen die Gleichungen (16), (18) und in der euklidischen die Gleichung (19) ihre Giiltigkeit. Ebenso gilt auch die durch die Auflosung dieser Gleichungen erkliirte Formel

(22) P T 2 = @(ul, U?, p;) und die Gleichung (21).

3. Die oben eingefiihrte Funktion 0 ist definitionsmiil3ig in allen drei Geo- nietrien nebst ihrern dritten Argument Pi Pi negativer Werte nicht fiihig, wiihrend in1 sphiirischen Falle ihre beiden ersten Argumente zcl und u2 definitions-

~

.7 7c miiflig an das abgeschlossene Interval1 zwischen - und + 7- gebunden sind -

E. Schmidt, Brunn-MinkowskischeUngleichung usw. in der nichteukl. Geoin. I. 8 2,4,5. 103

und ihr drittes Argument an das abgeschlossene Interval1 zwischen 0 und z. Wie daher aus den Gleichungen (12)) (16), (19) hervorgeht, nimmt die Funktion @ bei festem u, und u2 mit wachsendem dritten Argument stetig zu - unter der alleinigen, nur in der sphkischen Geometrie nioglichen Ausnahme, daB PI oder Pz in einen der beiden Pole von E fiillt, oder mit anderen Worten, daB 'ul oder ug

einen der'Werte f- erreicht, in welchem Falle @ gemal3 (21) vom dritten

Argument unabhangig wird.

?t

2

4. Es sei nunniehr in d e n drei Geonietrien

und in der spharischen auBerdem noch

Dann ist, wie die Gleichungen (12), (16), (19) zeigen, in allen drei Geometrien

(25) @ > O

(26) @ <n.

und in der sphariiSchen, wie aus (18) hervorgeht,

Auf Grund der letzten beiden Ungleichungen ergibt die Ausfiilirung der Diffe- rentiation in den Gleichungen (12), (16), (19)) daB die partiellen Ableitungen der Funktion @ nach ihren drei Argumenten stetig bleiben und daB bei Beriick- sichtigung von (24)

wird. Diese Aussagen iiber die partiellen Ableitungen der Funktion @ Bind inithiri unter den Voraussetzungen (23)) (24) sichergestellt.

6. W e die Gleichungen (12), ( l6), (19) zeigen, bleibt in allen drei Geometrien

Ferner ist in der hyperbolischen nnd euklidischen - in ersterer wegen Qoru 2 1 - (29) P;P; 5 P T P , . ] I n der spharischen Geometrie dagegen gi l t diese Ungleichung naturlich nicht. An ihre Stelle tritt die Ungltichung

die jetzt .bewiesen uerden soll. Beweis. Zuniichst sei vorausgeschickt, daB, falls P, oder P, - e t u s P, -

ein Pol von E ist, die Behauptung zutrifft, wobei fur Pi in fjbereinstinimung mit der am Eingang von 1 gegebenen Definition in der Tat jeder Punkt von E gewiihlt werden ltann, da in diesem Falle die rechte Seite der Ungleichung identisch gleich z wird. Man darf daher annehmen, daB weder P, noch P, in einen Pol von ZC fiillt.

104 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung uaw. in der nichteukl. Geoin. I. § 2,6.

Es sei nunmehr P, der Punkt mit den Bestimmungsstucken u, = - ua, Pi= Pi. D a m ist, da P3 und PI dieselbe senkreohte Projektion auf E besitzen,

bei Berucksichtigung dessen , daB I u, I L l u2 I, I u31 definitionsmiiBig - nicht uberbchreiten,

pip,= IUi-'%I= I'%+Uzli und da

ist, so folgt

?c 2

-

pz, 5 PIP, + P7,

Anderseits ist gemiiB (16) wegen Pi= Pi

- P' P' P" PT; + sin2ua cos2 2 2 sin2- = sin2 u2 + cos2ua sin2 - - sin2 -

P;p; - 2 2 2 2

und mithin - - P 2 P 3 2 Pip;.

Aus der letzten Ungleichung in Verbindung mit (31) folgt die zu beweisende Behauptung.

6. LiiBt man in den unter 2 auch fur den n-dimensionalen Raum bewiesenen Gleichungen (12), (16), (19) Pa gegen P, konvergieren, so erhiilt man fur das Linienelement im hyperbolischen , sphlirischen und euklidischen Raum die Darstellungen

(32) d$ =.dU2 $ - & O I ~ U dd2, dS2 = dus + C O S ~ U ds''), ds2 = dU2 + dSfil

wobei ds' die senkrechte Projektion von d8 auf E bezeichnet. Die Formeln

bleiben auch in dem Ausnahmefall, daB der Raum sphiirisch ist, und u = f- 2 wird, gultig, indeni der Faktor des dann unbestimmt werdenden ds'2 verschwindet.

Fur das Volumen einer beschrankten , abgeschlossenen Punktmenge R ergeben sich aus diesen Darstellungen des Linienelements in der hyperbolischen, sphiirischen und euklidischen Geometrie die Formeln

?c

(33) V(R) =j-io/R-'ududPf, v(n) =J~os"-'ududPf, V ( 8 ) =JdudP ' , P sy *

wobei dP' das (n - 1)-dimensionale Volumenelement auf E bedeutet. Es bezeichne nun R(t) den Durchschnitt von $? mit der Abstandsflache U= t und

( t ) die senkrechte Projektion von R ( t ) auf E . Dahei erfullt also im spharischen

Fall fur t = f - , wenn ft ( t ) den Pol enthalt und mithin mit ihni zusamnienfallt,

p(t) die ganze Ebene E und ist andernfalls leer, Dann sind Q ( t ) und damit aucll 13 ( t ) beschriinkt und abgeschlossen. Daher ist auch das (n - 1)-diniensionale Volumen von Sp ( t ) in der Definition 5 1, 1 bestimmt und werde mit w (v (0) be-

x 2

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geoni. I. § 3 , l . 105

zeichnet. Aus (33) erhalt man jetzt in der hyperbolischen, spharischen und euklidischen Geometrie die Darstellungen

wobei cy das Minimum und /? das Maximum von u in L bezeichnet.

Geometrien Ebenso erhiilt man, wenn p(u) eine stetige Funktion bedeutet, in den drei

r A

(37)

I 6

wobei dP das n-dimensionale Volumenelement bedeutet.

8 3. Polarkoordinaten. 1. Es sei fiir m 2 2 im m-dimensionalen Raum 0 ein fester Punkt. Durch

eine lineare Transformation mit konstanten Koeffizienten in den m Koordinaten bewirke man, daB in den transformierten Koordinaten, die mit E l , EB, . . . ,Em bezeichnet werden mogen, das Linienelenient in 0 die Gestalt

erhiilt. Dann entspricht jeder von 0 ausgehenden Richtung ein System von Differentialauotienten

(2)

und zwar dergestalt, daB

(3)

( p = l , 2 , . . . , m ) , dE, as

wird, und daB der zwischen 0 und x gelegene Winkel p zwischen zwei Richtungen, die durch die Indizes 1 und 2 kenntlich gemacht werden mtigen, durch die Gleichune "

(4)

106

gegeben wird. Man setze nun

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 3,s.

und deute die ?I,, als rechtwinklige Koordinaten im m-dimensionalen euklidischen Raum. Dann werden, da wegen (3)

p=l

ist, die von 0 ausgehenden Richtungen durch die Punkte auf der Oberflache der m-dimensiorialen euklidischen Einheitskugel dargestellt, welche Oberflache kurz als Richtungskugel bezeichnet werden SOU. Dabei bleibt wegen (4) der Winkel zwischen zwei Richtungen gleich den1 auf der Richtungskugel gemessenen spharischen Abstand zwischen den Reprasentanten der beiden Richtungen auf ihr.

Die Systeme von Differentialquotienten (2), welche den von 0 ausstrahlenden Richtungen einer k-dimensionalen, durch 0 gehenden Ebene entsprechen, bilden eine vollstandige, nur durch die Gleichung (3) normierte lineare Mannigfaltigkeit vom Range k . Dasselbe gilt auch fur die Koordinaten derjenigen Punkte auf der Richtungskugel, welche einer k-dimensionalen, durch ihren Mittelpunkt gehenden Ebene angehoren. Daher wird die Gesamtheit der von 0 ausgehenden Pichtungen einer k-dimensionalen Ebene auf der Richtungslrugel durch den Schnitt dieser mit einer k-dimensionalen, durch den Mittelpunkt gehenden Ebene dargestellt, also fur k= 2 durch einen groBten Kreis. Es seien insbesondere h eine durch 0 gehendo Gerade und H' und H" die beiden Gegenpunkte, welche auf der Richtungskugel den von 0 ausgehenden Richtungen der beiden Halb- geraden entsprechen, in die h durch 0 zerlegt wird. Dann werden die von 0 ausstrahlenden Richtungen einer zweidimensionalen, von h begrenzten Halb- ebene auf der Richtungskugel durch einen groaten Halbkreis reprilsentiert, der von H' und H" begrenzt wird. Nun wird der Winkel zwischen zwei solchen von h begrenzten zweidimensionalen Halbebenen durch den Winkel definiert, welchen die beiden von 0 ausgehenden in ihnen enthaltenen Senkrechten zur Schnittgeraden bilden. Da der Winkel zwischen den beiden sich in den Punkten H' und H" schneidenden grooten Halblrreisen der Richtungskugel, welche die beiden Halbebenen reprgsentieren, durch die entsprechende Konstruktion definiert werden kann, so folgt, daB der Winkel zwischen zwei von 0 ausgehenden, von einer gemeinsamen Geraden begrenzten zweidimensionalen Halbebenen gleich den1 Winkel zwischen den beiden ihnen entsprechenden groBten Halb- kreisen der Richtungskugel ist.

Es gilt also fur die Winkel zwischen den von 0 ausgehenden Halbgeraden und zwischen je zwei zweidimensionalen Halbebenen, die von einer gemeinsamen durch 0 gehenden Geraden begrenzt werden, in allen drei Geometrien die spharisclie Trigononietrie.

2. Es seien A und B zwei verschiedene, ini spharischen Fall nicht ein Paar von Gegenpunkten bildende Punkte. Dann wird die Gerade A B in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie durch A , in der sphiirischen durch A

E. Schmidt, Brunn-Minkowskisrhe Ungleichung usw. in der nichteukl. Geoni. I. 0 3,2. 107

und seinen Gegenpunkt, in zwei Halbgeraden zerlegt. Diejenige ron ih'nen, nelche B enthiilt, soll als die Halbgerade A B bezeichnet werden.

Es sei P ein willkiirlicher Punkt. Man setze

(7) O P = e .

1st dann e > 0 und ini spharischen Fall auch noch e <n) so bezeichne man denjenigen Punkt der Richtungskugel, welcher der von 0 nach P weisenden Richtung der Halbgeraden O P entspricht, mit II. Dann ist also P durch die Koordinaten e und II eindeutig bestimmt, und umgekehrt. Wird aber e=0 oder im spharischen Fall auch e= 7c , so fallt P im ersteren Fall mit 0, im letzteren mit dem Gegenpunkt von 0 zusammen, wahrend als Koordinate 17 jeder Punkt der Richtungskugel gelten soll.

Es seien nun P , und P 2 zwei von 0 und im spharischen Fall auch vom Gegen- punkt von 0 verschiedene Punkte mit den Koordinaten el, II, und e,, n,. Man setze (8) Q P , O P , = y .

(9) p = n,n,, Dann wird, wie oben festgestellt,

__

- wobei Ill D2 den auf der Richtungskugel gemessenen spharischen Abstand zwischen U1 und 112 bedeutet.

(10)

Nun hat man im hyperbolischen Fall -

60fP1P2 = 6ofel Gofez - Ginel Gine2 COST

= Gof(e2 - el) + Gin el Biitez (1 - cosp)

und wegen (9) bei Beriicksichtigung der Identitat Q 2 (11)

Ebenso erhalt man in der spharischen Geonietrie

In der euklidischen Geonietrie 1ia.t ninn

Fiillt einer der beiden Punkte - etwa P, - mit 0 zusaminen, so wird el=O, P I P , = ez. 1st der Raum sphiirisch, und filllt einer der beiden Punkte - etwa P , - niit dem Gegenpunkt von 0 zusainmen, so mird el = n, P , P , = 7c - e,. In beiden Fillen bleiben also die Formeln (l l) , (12), (14) richtig, indem der Faktor des von 17, abhiingigen und daher unbestimmt werdenden Gliedes verschwindet ,

__

-

108 E. Schmidt, Brunn-Minkowskieche Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. fj 3,8.

LIiBt man in den Formeln ( l l ) , (12), (14) P, gegen PI konvergieren, so erhiilt man fur das Linienelement in der hyperbolischen, sphiirischen und euklidischen Geometrie die Darstellungen

(15) ds2 = dp2 + Gin2e da2, wobei da das dem Linienelement ds entsprechende Element auf der Richtungs- kugel bedeutet. Auch diese Formeln bleiben nach den gemachten Feststellungen an der Stelle e= 0 und im sphiirischen Fall auch noch an der Stelle e= i-t richtig, indem der Faktor des dann unbestimmt werdenden da2 verschwindet.

ds2 = de? + sin?@ da2, de2 = de2 f ezda2,

3. Fur das Volumen einer beschrankten, abgeschlossenen Punktmenge L ergeben sich aus den Darstellungen (15) des Linienelements in der hyperbolischen, spharischen und euklidischen Geometrie die Formeln

(16) V (9) =pn"-' ede dn, V (R) =I@m-' de dZ7,

wobei d17 das (m - 1)-dimensionale Volumenelement auf der Richtungskugel bedeutet.

Man bezeichne, wie unter $1,11, fur m 2 1 das Volumen der m-dimensionalen Vollkugel vom Radius r mit !m(r), so daB also dieses $ymbol in allen drei Geometrien fur m 2 2 eine verschiedene Funktion bedeutet, und setze

V (9) = sinm-' ede d17, s1' I P

Ferner bezeichne man das Gesamtvolumen des (m - 1)-dimensionalen sphiirischen Raumes oder niit anderen Worten die Oberfliiche der m-dimensionalen euklidischen Einheitskugel mit Sm-l. 1st dann L die m-dimensionale Vollkugel mit den1 Radius r und dem Mittelpunkt 0, so folgt aus (16), indem man zunachst nach I7 uber die Richtungskugel integriert, in der hyperbolischen, sphiirischen und euklidischen Geometrie

(19)

(20)

Bezeichnet &rn das Volumen der m-dimensionalen euklidischen Einheitskugel, so folgt aus der ersten Gleichung (20) fur r= 1

(21) S,-l = m&,.

Durch Einfiihrung dieser Gleichung in die vorstehenden Formeln erhalt man in den drei Geometrien die Derstellungen

( 2 2 ) Ihb(r) = m&m Giiim-lr, Ik(r . ) = mE,sinm-*r, IA(r) = m&,rm-l.

sionalen Kugel vom Radius r an.

0

rm Im ( r ) = S m - 1 - m ' I ; ( r ) = Sm-lrm-l.

GemaB $ 11 (38) geben diese Formeln auch die Qberflache der m-dimen-

E. Schmidt, Brunn-Minkowskieche Ungleichung usw. in der nichbukl. Geom. I. 54,1,2. 109

8 4. Ilotationssymmetrisehe Koordinaten. 1. Es sei fur n 2 2 im n-dimensionalen Raum g eine Gerade und u der Ab-

stand des willkiirlichen Punktes P von ihr. Dabei sei dieser Abstand u fur n 2 3 definitionsmiiBig negativer Werte nicht fiihig, wlihrend er im Sonderfall n = 2 auf beiden Seiten von g mit entgegengesetztee Voneichen zu versehen ist. Dann ist also im sphiirischen Fall fur n 2 3

Y Y

Es liege nun der Punkt P nicht auf 9 . Die zweidimensionale Ebene,. welche g und P enthiilt, werde mit r bezeichnet. In der spharischen Geometrie wird dann r durch die Oberfliiche der euklidischen Einheitskugel dargestellt, auf welcher g einen groaten Kreis bildet. Da jede Gerade, welche P mit einem Punkt von g verbindet, auf r verliiuft, so konnen wir uns bei der Fiillung der Senk- rechten von P auf g auf r beschranken. Wir erkennen dann, daB von P nur eine einzige Senkrechte auf g gefiillt werden kann, unter .der alleinigen, nur in der spharischen Geometrie moglichen Ausnahme, daB P in einen Pol von g fiillt. Abgesehen von diesem Ausnahmefall definiere man die senkrechte Projektion von P auf g in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie durch den Schnittpunkt der von P auf g gefiillten Senkrechten mit 9, im sphiirischen durch denjenigen der beiden Schnittpunkte dieser beiden Geraden, von dem der Punkt P die Entfernung u besitzt ; da die beiden Schnittpunkte Gegen- punkte bilden, hat dann P von dem anderen Schnittpunkt die Entfernung z - u . Fur n= 2 ist dabei u durch I u 1 zu ersetzen. Diese Projektion bezeichne man mit P'. In dem angegebenen Ausnahmefall dagegen wird jede P mit einem Punkt von g verbindende Gerade von g senktecht geschnitten - und zwar in der Entfernung 3 von P. I n diesem Fall sol1 daher jeder Punkt von g als senkrechte Projektion P' von P auf g gelten. Dabei gibt es im sphiirischen Raum auf jeder g enthaltenden zweidimensionalen Ebene zwei und nur zwei Pole zu 9 ; sie bilden ein Paar von Gegenpunkten.

Liegt endlich der Punkt P auf 9 , so wird seine senkrechte Projektion auf g naturlich durch den Punkt 'P selbst gegeben.

Wir sehen also, daB, abgesehen von dem auseinandergesetzten Ausnahmefall, die senkrechte Projektion P' des Punktes P auf die Gerade g eindeutig definiert ist.

2. Im Sonderfall n = 2 erliiilt man gemaB 5 2, 1, indem man dort g an die Stelle von E setzt, fur die Entfernung P, P, in den drei Geometrien die. Formeln 9 2 (12), (16), (19). Ebenso wird in diesem Falle der Flacheninhalt einer beschriinkten, abgeschlossenen Punktmenge 9 gemiiB § 2 (34), (35), (36) in den drei Geometrien gegeben durch die Formeln

-

a a

110 E.Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 4,8.

wobei u das Minimum und B das Maximum von u in B bedeutet, b(u) diejenige Punktmenge bezeichnet, welche hervorgeht, indem der Durchschnitt von B mit der Abstandskurve im Abstande u von g senkrecht auf g projiziert wird, und v (!$3 (u)) das eindimensionale Volumen von 8 (u) angibt. 1st insbesondere die Punktmenge 9 symmetrisch in bezug rtuf g und bezeichnet R die Maximaldistanz von dieser Symmetrieachse, so wird a= -R, /I= R, b ( u ) wird mit !@ (-u) identisch und mithin v(!@ (u)) = v(!@(-u)). Man erhiilt daher in den drei Geometrien die Formeln

R R

v(n) = 2JBO[U v(!$(u))du, v(e) = 2scosu v(p(u) )du , 0

v(n) = 2 v(q3(u))du. i (4) 0

3. Es sei iZ fur n 2 2 eine (n - 1)-dimensionale Ebene, welche g im Punkt 0 senkrecht schneidet, wobei im sphiirischen Fall der Gegenpunkt von 0 den zweiten Schnittpunkt bildet. 1st im sphiirischen Fall P ein Pol von g , so schneiden sich die Geraden P O und g senkrecht in 0, und erstere verliiuft daher auf E. Somit liegen auf jeder zu g senkrechten (n - 1)-dimensionalen Ebene alle Pole von g.

Es sei nun P ein beliebiger Punkt. Dann ist die durch P gehende Abstands- kurve zd g , wenn P auf g liegt, mit g identisch und verliiuft, wenn P nicht auf g liegt, in der unter 1 eingefuhrten zweidimensionalen Ebene r. Sie wird im sphiirischen Fall auf der eulrlidischen Einheitskugel, durch welche r dargestellt wird, durch denjenigen Parallelkreis zum groBten Kreis g gegeben, der durch P geht. Da die durch P gehende Abstandskurve zu g auf r verliiuft, so kann sie E nur auf der in 0 zu g senkrechten Schnittgeradyn von E mit r schneiden. Daher schneidet sie in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie E in einem und n u einem Punkte, der mit P* bezeichnet werden moge, und es wird dabei

wobei u fur n=2 durch IuI zu ersetzen ist. In der sphiirischen Geometrie wird die Schnittgerade von E mit r und

folglich auch E von der durch P gehenden Abstandskurve zu g in zwei Punkten geschnitten, deren Entfernungen von 0 sich zu II erganzen, und von denen der eine, der mit P* bezeichnet werden moge, die Entfernung u , fur n= 2 die Ent- fernung IuI, von 0 besitzt, so daB also fur diesen Punkt P* ebenfalls ( 5 ) gilt. Diese beiden Punkte fallen nur dann zusammen, wenn P ein Pol von g ist, in welchem Fall, wie oben gezeigt, P auf E liegt, und die Abstandskurve nur aus dem dann mit P* zusammenfallenden h n k t P besteht.

Der somit in allen drei Geometrien eindeutig definierte Punkt P* sol1 als die durch die Abstandskurven zu 9 bewirkte Projektion von P auf E bezeichnet werden.

Zusammenfassend ist festzustellen, daB der Punkt P durch die beiden Pro- jektionen P‘ und P* eindeutig bestimmt ist, und daB auch die Umkehrung eindeutig ist - unter der alleinigen, ‘nur in der sphiirischen Geometrie miiglichen Ausnahme, daB P in einen Pol von g fiillt, in welcheni Falle jeder Punkt von 9 als Projektion P‘ gilt, wahrend P*, wie eben festgestellt, rnit P zusammenfallt.

(5) op*= P’p= u,

E. Schmidt, Brunn-Minkow-ekische Ungleichung ubw. in der nichteukl. Geom. I. 8 4,4. 111

4. Es sei nunmehr n 2 3. P, und P, seien zwei Punkte, deren im vorigen Abschnitt erkliirte Bestimmungsstucke P*, P', u durch die Indizes 1 und 2 kenntlich gemacht sind. Dann ist also gemilB ( 5 )

_ _ _ _ ~ _ _ (6) O P T = P;P1=ul , op;= PLP,=%. Es mogen weder P, noch P, auf g liegen oder in der sphiirischen Geoaetrie in einen Pol von g fallen. Dann ist also u1 > 0, u2 > 0 , wiihrend in der sphiijschen

n n Geometrie gemiil3 (1) auch noch u1 < -, u\ < - ist. Man setze

2 2 (7) Q PTOP,*=a , O ~ a ~ n . Dann ist der Winkel zwischen den beiden zweidimensionalen, von g begrenzten Halbebenen, die durch P, und P, gehen, ebenfalls a. Da gemiiB den Feststellungen am Schlusse von 9 3, 1 fur die Winkel der von einem Punkt ausgehenden Halb- geraden und zweidimensionalen Halbebenen in allen drei Geometrien die spharische Trigonometrie gilt, so folgt fur die von den drei Halbgeraden Pi P, , P; P,, P; Pi gebildete Raumecke

(a) cosQP,P;P,=cosQP,P;PicosQP,PiP;I+sinQ: P,P;P;sinQ P,P;P~cosa

und wegen 0: P, Pi Pi =

(9) cosQP,P;P,= s inQP,P ;P icosa .

Nun gilt im hyperbolischen Fall fur das Dreieck P, P; P,

n

Mithin ist wegen (6) und (9)

(11) B o ~ P , P , = & o f u , Q o ~ P , ~ P ~ - G n u , GinP,sinQ P,P;P;COS~.

Da ferner das Dreieck P, Pi Pi in P; rechtwinklig ist, so hat nian bei Beriick- sichtigung von (6)

(12) Gin u, = Gin PZ = Gin ~2p; sin Q P,P; P; ,

(13) Qof P, P; = Qofu, 601 PT; . Die Einfuhrung der letzten beiden Gleichungen in (11) ergibt

(14) QofP,P,= LToju,Qoju,QofP;P; - Ginu, Ginu,cosa,

(15) %of PT,= Bof (u2-u1)+ Boju, Bofu, ( ( $ o f V L - l ) + Ginu, Gin ~ ~ ( 1 - cos a) und wegen der Identitat 4 2 (11)

~ -

-

- __

P X a u2 - u1 +&ofu,Bofu, Gin2- + GinC, Ginu,sin2- 2 2 2 2

(16) Gin2 = Gin2 ~

P P

Geht man in der spharischen Geometrie &n der Stelle der Gleichungen (lo), (12), (13) von den entsprechenden Formeln der sphilrischen Trigonornetrie &us, so fuhrt genau dieselbe Rechnung zu der Formel

a + sin u1 sin u, sin, - 2 ' + cos u1 cos u, sin2 - (17) sin2 = sin2 ~

P X P P u2 - u1 2 2 2

112 E. Schmidt, Brunn-Minkowskiache Ungleichung UBW. in'der nichteukl. Geom. I. 8 4 4 .

In der euklidischen Geometrie erhiilt man einfacher direkt

(18) P,Pd=mi2+ P x 2 = P ; 2 + ~ ~ + ~ ~ - 2 ~ , ~ , ~ o s a ,

Man fuhre nun in der (n - 1)-dimensionalen Ebene E gemiiB 5 3, 2 Polar- koordinaten mit dem Zentrum 0 ein und bezeichne den dem Punkt P* entsprechenden Punkt auf der (n - 1)-dimensionalen Richtungskugel mit n*. D&nn ist P durch P', l7* und u eindeutig bestimmt, und es sind bei Beruck- sichtigung der gemachten Voraussetzung, daB P nicht auf g liegt und im sphiiri-

schen Fall u <- ist, P', I7* und u auch durch P eindeutig bestimmt. Dabei

erhiilt man aus (16), (17), (19), da gemiiB 3 3 (9) a = IZ:n: wird, fur die drei Geometrien die Formeln

32

2 -

P X n;n," u2 - u1 + cos u1 cos u, sin2 - + sin u, sinu, sin? - (21) s i n 2 2 = sin,-

P P 2 2 2 2 '

Man lasse nun in diesen Formeln eine der beiden Koordinaten - etwa u1 - gegen Null konvergieren, wahrend u,, P i , PL, n:, festgehalten werden. Dann zeigt die Stetigkeit beider Seiten, daB die Formeln auch in den1 vorhin ausgeschlossenen Fall, daB P, oder P, oder beide Punkte auf g liegen, gultig bleiben. Dabei verschwindet im dritten Summanden auf der rechten Seite der Faktor des von der unbestimmt werdenden Entfernung ZI7I2: abhlngenden Ausdrucks. Ebenso bleiben, wenn im sphiirischen Fall u1 oder u2 den Wert 3 erreicht, wie aus der entsprechenden Stetigkeitsbetrachtung hervorgeht, die Formeln richtig, indem im zweiten Summanden auf der rechten Seite der Faktor des von der unbestimmt werdenden Entfernung abhiingenden Ausdrucks verschwindet.

LiiBt man in den Pormeln (20), (21), (22) P, gegen P , konverb' rieren, so ergeben sich fur das Linienelement in den drei Geometrien die Darstellungen

ds?= du?+ cos2udP''f sin?udu*', dsz= du?+&oj2udP'2+ Gin2u ds2 = dU2 +- dP'2 +- U?C,!U*~,

(23)

wobei dP' und do* die den1 Linienelement ds entsprechenden. Linienelemente auf der Geraden g und der (n - 1)-diniensionalen Richtungskugel bedeuten. Auch diese Formeln bleiben fur u = 0 richtig, indeni der Faktor des unbestimnit

werdenden do*, verschwindet ; ebenso bleiben sie im sphlrischen Fall fur u = -- 2 richtig, indeni der Faktor des dann unbestininit uerdenden dP'2 verschwindet.

?I

E. Schmidt, Brunn-Minkowskischo Ungleichung uaw. in der nichteukl. Geom. I. 4,6. 113

6. Fur das Volumen der beschrankten, abgeschlossenen Punktmenge 9 erhlilt man aus den Darstellungen (23) des Linienelements in den drei Geometrien die Formeln

V ( 9 ) =ssinn-2u cosu d u dP'dl7*, V ( 9 ) =lb inn-2u&olu d u d P ' d n * , 57 &

V ( 9 ) = d b - * d u d P ' d I l * , I (24)

wobei d n * das (n - 2)-dimensionale spharische Volumenelement auf der Rich- tungskugel bedeutet.

Man erhalt die Rotationen um die Achse 9 , d. h. diejexigen Bewegungen, bei welchen die Achse Punkt fur Punkt fest bleibt, indem man die Koordinaten u und P' festhdt und n* denjenigen Transformationen unterwirft, welche den euklidischen Drehungen der Richtungskugel um ihren Mittelpunkt entsprechen.

Es sei nun $? eine Rotationspunktmenge um die Achse 9 , d. h. eine Punkt- menge, welche bei allen Rotationen urn die Achse in sich ubergeht. Fuhrt man dann in den Formeln (24) die Integration zunachst nach l7* uber die Richtungs- kugel aus, so erhalt man, da gemaB 3 (21) die Oberflache der (n--)-dimensionalen Richtungskugel gleich (n - 1) &n-l ist, in den drei Geometrien die Darstellungen

(25) V ( e ) = (n - l ) & n - l ~ i n n - 2 u O o j u ( S d P ' ) d u

R

0 13 (U) R

= (n - 1)En-1jkin"-2uOoju c ( p ( U ) ) d u , 0

R n

R

= (n - 1 ) E n - 1 Jun -"( p (24)) d u . 0

Dabei bedeutet p(u) diejenige auf der Achse g gelegene, nur von u abhangende Punktmenge, welche hervorgeht, indem der Durchschnitt, den 9 mit einer Ab- standskurve im Abstande u von g bildet, senkrecht auf g projiziert wird, und a (p (u) ) das lineare Ma13 von !J3 (u) . Ferner bedeutet R den Maximdwert von u in St, oder niit anderen Worten die Maxinialdistanz der Punktmenge von der Achse, so daB also im sphiirisclien Fall

8

114 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 4,6,7.

&,-1=&,=2 wird, so zeigen die Gleichungen (4), daB die Formeln (25), (26), (27) auch fur n = 2 giiltig bleiben, wenn R in bezug auf die Achse symmetrisch ist.

2

Da fur n = 2

n 6. Es sei 0 < a < -, 0 < e, im sphiirischen Fall 0 <e <n. Man bezeichne

die Funktion, welche in dem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel a und der Hypotenuse e die Liinge der a gegenuberliegenden Kathete angibt, niit

(29) 9 a } ) so dal3 also dieses Symbol in allen drei Geometrien eine verschiedene Funktion bedeutet. Sie wild gegeben durch die Formeln

Gina(@, a ) = Ginesina, n

(30) (31) sina(e , a } = sinesina, O<a(e , a ) < g , (32) a { @ , a } = es ina .

Man definiere ferner in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie

(33) und in der sphiirisahen

a { @ , 0 ) = 0, a e , - = min(e, n - e ) . (34) I 3 Dann bleibt die Funktion a ( @ , a } in dem so erweiterten Bereich O < e , im sphiirischen Fall O<e<n, in beiden Argumenten stetig.

P

7. Es sei nun (35) a { @ , A } = a, wobei wie oben

.(36) 0 51 5 , 0 < e , im spharischen Fall 0 < e < n, sein SOU.

Man mache in den Integralen (25), (26), (67) die Substitution

n

(37) u = a ( @ , a ) .

Dabei entspricht dem Intervall 0 5 a 5 A das Intervall 0 5 u 5 R, und man erhalt in den drei Geometrien aus den Formeln (30), (31), (32)

du du du da da da

(38) Qo\u--Ginecosa, cosu-=sinpcosa, - = ecosa.

Daher ergeben sich in den drei Geometrien die Darstellungen

(39) ~ ( n ) = ( n - @inn-'g sinn-2acosa21(~(a{e,a}))(ECC, i (40) V ( 9 ) = (n- l)&n-l sinn-'e sinn-2acosav($(a{e, a ) ) ) d a , s 0

1

(41) V ( f i ) = = (n - l )&,- l~n- l ~sinn-2ncosav($(a(o,a)))~CC. i,

E.Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. $4,8. 115

Die Einfuhrung der Gleichungen 5 3 (22) verleiht diesen Formeln die fiir rtlle drei Geometrien invariante Gestalt

8. Es sei FJ die Vollkugel vom Radius e mit dem Mittelpunkt 0, wobei 0, wie am Eingang von 3, Schnittpunkt der Achse g mit der (n - 1)-dimensionalen Ebene E ist. Dann wird (43) V(RO) = I , (@) .

Bezeichnet RQ die Maximaldistanz der Vollkugel RO von der Rotationsachse g , so wird in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie

(44) RO= e . In der spharischen Geometrie gilt dagegen gemaB (28) diese Gleichung nur fiir

e l - , wahrend fur e > - 2 2 7c 7c

7c wird.

In der hyperbolischen und euklidischen Geometrie ist daher, wenn A = - 2 Vnd R = RO gesetzt wird, die Gleichung (35) wegen (33) und (44) erfiillt. GemaB (42) erhalt man mithin bei Einfiihrung von (43) in diesen beiden Geometrien die Formel

n - n

wobei entsprechend der fruheren Bezeichnungsweise '$0 (u) diejenige auf y gelegene Punktmenge bedeutet, welche von der senkrechten Projektion des Durchschnitts von RO mit einer Abstandskurve im Abstande u von der Achse g auf diese gebildet bvird, und w ( 9 0 (u)) ihr lineares MaB. Dieselbe Darstellung

ergibt sich auch in der sphiirischen Geometrie im Falle e 5 - . Im Falle e > - 2 2

erhalt man in der spharischen Geometrie zunachst gemill3 (26)

n z

x - 2

(46) V ( P ) = I , (@) = (n - l)&,~,Js~~-~ucosuw((P~(u))du 0

n-e

= (n - 1)E,-lSsinn-2ucosu w(vo(u))du + 0

8*

116 E. Schmidt, Bm-Minkonskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 4,s.

Es sei nun P ein Punkt, fur welchen n - e 5 u 5 - ist, und Po derjenige Pol

der Achse 9, welcher auf der von ihr begrenzten zweidimensionalen Halbebene

liegt, die den Punkt P enthlilt. Dann mird - - und P P - - - u

5 2 - (n - Q) = e - -. Wegen 5 Go -t P?, ergibt sich daher 07s Q, d. h. der Punkt P gehort der Vollkugel 9 0 an. Diese uberdeckt somit das ganze

Gebiet n - e 2 u 5 2 , oder mit anderen Worten, es wird fur diese Werte

von u die gesamte Achve g von der Punktmenge bO(u) uberdeckt und mithin

n 2

n n O - 2 O - 2

n n 2

n

(47) W(!pO(U)) = 2n . Man erhiilt daher

(48)

- 2

(n - 1)&fl-1~sinfl-2ucosu w(Po(u))du= 2n&n-1(1 - sinn-'@). n-Q

Da in der sphiirischen Geometrie bei der Substitution (37) dem Bereich

0 5 u 5 - gemiiB (34) der Bereich 0 5 u 5 n - e entspricht, so erhiilt man

bei dieser Substitution entsprechend (42)

(49) (n - ~ ) E , + ~ J sinfl-2ucosuv(bo(u))du

n 2

n;e

O n

Die Einfiihrung von (48) und (49) in (46) ergibt das Resultat n

+ 2nEf14(l - sinfl-1 el. Man kann die beiden fur die spharische' Geometrie hergeleiteten Darstellungen

(45) und (50), von denen die erste fur e 2 - , die zweite fur e > - Platz greift, formal folgendermal3en zusammenfassen :

Es gilt in der sphiirischen Georaetrie

n n 2 2

n - 2

(n - 1) & n-11:(e)/sinfl-20coso w(b0(a (e ,a ) ) )da +

+ 2 n n E n

(51) I , (@) =

17 (e) (1 - sin"-' Q) , wobei die Funktion q(x) definiert ist durch die Gleichungen

n 0 fur xs-,

1 fiir x>-.

2 n 2

(52) 17(4 =


9. Zum SchluB sol1 hier noch fur die sphirische Geometrie eine Abschgtzung

Es sei hergeleitet werden, von der in der Folge mehrfach Gebrauch gemacht wird:

.?c o < e , , O < @ , , O l a S - , (53) 2

(54) e l + e 2 < n . Bunn ist

(55 1 wobei das Gleichheitszeichen nur dann Platz greift, wenn a= - wird, und

gleichzeitig eine der beiden GroBen el, pa den Wert - erreicht oder iiberschreitet,

was wegen der Voraussetzung (54) nur fur eine von ihnen moglich ist. Beweis: 1st el = ea, so trifft die zu beweisende Ungleichung, weil die linke

Seite verschwindet, offenbar zu, und zwar unter AusschluB des Gleichheits- zeichens. Wir diirfen also el und e, als verschieden voraussetzen. Da ferner die Ungleichung nebst der Behauptung uber den Eintritt des Gleichheitszeichens sich bei Vertauschung der Indizes nicht andert, so diirfen wir ohne Beschrinkung der Allgemeinheit noch die Annahme hinzufiigen, daB

la{@,> a) -a(&?,, a) I I n - el - e 2 9 n 2 n

2

(56) e 2 > el

(57)

ist. Aus (53) und (54) folgt dann

0 < el < e2 < n - el und mithin (58) 0 < sinel <sine,.

Fur 0 < a <- ergibt sich hieraus auf Grund der n 2 ersten Relation (31)

(59) O<sina(e , ,a ) <sinu(e,, a)

und bei Berucksichtigung der zweiten Relation (31)

n (60) 0 < 4 e , , a ) i a ( e 2 , a ) < 3

und mithin (61) cosa{e,, a )>cosa(e , , a J > O . Nun erhalt man aus (31)

und mithin wegen (58) und (61)

?c Also ist fur 0 < a < - 2

(63)

118 E. Schmidt, Brunn-Minkowskisohe Ungleiohung UBW. in der nichteukl. Geom. 1. $4,9.

Hieraus folgt, da a { e 2 , 0 } = a ( e , , 0 ) = 0 ist, und a ( e , , a ) und a ( e l , a )

an der Stelle a = - stetig bleiben, fur 0 5 a <- 2 2 7d ?L

(64) 0 ~ a ( e 2 , a ) - o ( e , , a ) < a { e 2 , ~ } - a I e , , f ] -

Nun ist wegen (64) und (66)

(65) el < 2 x

und mithin gemiiB (34)

(66) a [ @ , , f] = el . ?L

Ebenso ist gemiiB (34) fiir e2 < 2

(67) 3 = e 2

?L und fur e2 2 5

a pa, - = n - e 2 . (68) { 3 7 t

Man erhSilt also fiir e2 < - 2

(69) a{@, , T] - a { el, ;} = e2 -el < - e 2 -

?L und fur e2 2 - 2

(70) a { e2, :} - a {el, :} = - e2 - el. ?L

Die Verbindung von (64) mit (69) und (70) ergibt fur 0 5 a 5 -, da wegen (60)

la(e,, a) - a ( e l , a)I = a(e, , a) - .{el , a) wird, im Falle e2 <- 2 die Ungle ichung

x 2

Ia{e%, a ) --a(el, .)I < n - el - e 2

n und im Falle e 2 - die Ungleichung 2

l a ( e ~ , a ) - a ( e 1 7 a ) l 2 n - e 1 - e 2 , x

wobei in letzterer Ungleichung das Gleichheitszeichen nur fur a 5 - 2 eintritt, was zu beweisen war.

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 6 , l . 119

K a p i t e l 11. Der Beweis der Ungleichungen.

Q 6. Die Rcltationssymmetrisierung. 1. Es sei R eine beschrlinkte, abgeschlossene, nicht leere Punktmenge im

n-dimensionalen Raum, wobei n 2 2 vorausgesetzt wird. Man bezeichne, wie in 9 2, mit E eine (n - 1)-dimensionale Ebene und mit u den nach beiden Seiten der Ebene mit entgegengesetztem Vorzeichen gemessenen Abstand von ihr. Man bezeichne ferner, wie in 5 2, mit 9(t) den Durchschnitt von 9 mit der Ab- standsflache u = t von El welche in der euklidischen Geometrie natiirlich mit einer Parallelebene von E identisch ist, mit $(t) die senkrechte Projektion von Q ( t ) auf E und mit v (p ( t ) ) das (n -1)-dimensionale Volumen von $ ( t ) . Dabei

J L darf daran erinnert werden, daB, wenn R( t ) im sphiirischen Fall fiir t = f -

2 aus dem entsprechenden Pol besteht, $ (t) die ganze Ebene ausfiillt, andernfalls leer ist.

Dann gilt der folgende Hilfssatz : Das (n - 1)-dimensionale Volumen v( !$ ( 1 ) ) ist als Punktion von t nach oben

Be weis. Wir erledigen zunachst den Sonderfall, daB der Raum sphiirisch

ist, und t= -, etwa t = - , wird. Enthalt dann R den Pol u = - nicht, 2 2 so gibt es wegen der Abgeschlossenheit von R ein q > 0, so daB fur - - q < t 5 -

2 2 R(t) und damit auch $ ( t ) leer und folglich v($(t ) ) konstant gleich Null, also a fortiori halbstetig ist. Enthiilt aber 9(t) den betreffenden Pol, so besteht $(t) aus der gesaniten Ebene E , woraus sich die Halbstetigkeit nach oben von

p(t) an der Stelle - als Selbstverstlndlichkeit ergibt.

Wir diirfen also den Sonderfall, da13 in der sphlrischen Geometrie t = - 2 wird, als erledigt ausschliel3en.

Jst nun $ ( t ) leer, so gibt es wegen der Abgeschlossenheit und Beschriinktheit von Q ein 77 > 0, so daW fur t -q <t*<t+q Q ( t * ) und damit auch $(t*) leer und folglich v($ (t*)) konstant gleich Null, also a fortiori halbstetig ist.

Wir durfen also auch noch voraussetzen, daB $ ( t ) nicht leer ist. Es bezeichne dann fur h> 0, im sphiirischen Fall fur 0 < h < n, ph ( t ) den

auf E definierten Parallelkorper im Abstande h von $(t). Dann ist zuniichst gemiiB 0 l (79 )

(1)

Es 1aBt sich also bei gegebenem t zu eineln gegebenen 6 > 0 ein h > 0, im spharischen Fall 0 < h < n , so bestimnien, daB

( 2 )

halbstetig.

n n n

n 2 n

n

7l 2

limv($h(t)) = V ( q 3 Z t ) ) . h +O

v (%I ( 0 ) 5 V ( V ( 0 ) + 6 wird. Die Gesamtheit derjenigen Punkte von El welche von $ ( t ) urn mindestens h entfernt sind, werde rnit ( t ) bezeichnet ; dann ist $h (t) abgeschlossen. Wir

A h

120 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 6,e.

schlieden nun zuniichst den natiirlich nur in der sphiirischen Geometrie mtiglichen Fall &us, daB !$h ( t ) leer ist. Diejenige Punktmenge auf der Abstandsfliiche u = 1 ,

deren seiikrechte Projektion auf E p h ( t ) ist, werde rnit LA(t) bezeichnet. Dann bildet im n-dimensionalen Raum RA ( t ) eine auf der Abstandsflache u= t aus- gebreitete, abgeschlossene, in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie unbeschrankte, in der sphiirischen voraussetzungsgemiifl nicht leere Punkt- menge, welche zu R punktfremd ist und mithin, da L beschrankt und abgeschlossen ist, eine Minimalentfernung d>O von L besitzt. Es sei nun

A

A A

A

(3) It* - t l < d .

Giibe es dann in L(t*) einen Punkt P*, dessen senkrechte Projektion P*' auf E in $h ( t ) enthalten ist, und bezeichnet 17 denjenigen Punkt der Abstandsflache u=t , dessen senkrechte Projektion auf E ebenfalls P*' ist, so hatten fl und P* dieselbe senkrechte Projektion auf E. Es wiire mithin nP*= I t * - t l und folglich np* <a, wiihrend P* in J?' und 17 in &, ( t ) enthalten ist - im Wider- spruch zur Definition von d. Daraus folgt, daB die Projektion !$ ( t * ) von R(t*) zu !&,(t) punktfremd und mithin in !$h( t ) enthalten ist, ein Ergebnis, das auch in dem vorhin ausgeschlossenen Fall, daB @ h ( t ) leer ist, fur jeden Wert von t* als Selbstverstiindlichkeit zutrifft. Daher ist

~-

A

A

(4) w(!$(t*)) 5 v ( ! $ h ( t ) )

und wegen (3)

(5)

Es gibt also bei gegebenem t zu gegebeneni 6 > 0 ein d > 0, so d d i (5) durch (3) gesichert ist, was zu beweisen war.

($*)I 5 , w ( ! $ ( 0 ) + 6 .

2. Es sei fur n 2 2 im n-dimensionalen Raum R eine beschrankte, abgeschlossene, nicht Ieere Punktmenge, E eine (n - 1)-dimensionale Ebene, 0 ein fester Punkt auf ihr und g die in dieseni .Punkte auf E errichtete Senkrechte, wobei dann im sphiirischen Fall der Gegenpunkt von 0 den zweiten Schnitt- punkt der Ebene mit g bildet.

Man erzeuge die Punktmenge $* nach der folgenden Vorschrift : Unter Bei- behaltung der unter 1 erkliirten Bezeichnungsweise bestehe auf jeder Abstands- fliiche u= t , welche mindestens einen Punkt von Q enthiilt, der mit $* ( t ) zu bezeichnende Durchschnitt mit Q* aus derjenigen Punktmenge, deren mit !$* ( 1 ) zu bezeichnende senkrechte Projektion auf E von der (n - 1)-dimensionalen Vollkugel iiiit dem Mittelpunkt 0 und dem Volumen v( !$ ( t ) ) gebildet wird. Dabei reduziert sich also, wenn bei nicht leerem $ ( t ) dieses Volunien verschwindet, die Pro- jektionsvollkugel auf ihren Mittelpunkt 0 und mithin f?* ( t ) auf den Schnitt- punkt der Abstandsfliiche u-t mit der Geraden 9 , im sphlrischen Fall auf denjenigen der beiden Schnittpunkte der Abstandsflache mit der Geraden, dessen senkrechte Projektion auf E der Punkt 0 ist, oder mit anderen Worten, der von 0 den Abstand t besitzt. Ebenso soll ini spharischen Fall, wenn ! $ ( t ) die ganze Ebeiie E ausfullt, d. h. also eine (n - 1)-dimensionale Vollkugel vom Radius 7t ist, dasselbe auch fur ! $ * ( t ) gelten. Bei leerem Q ( t ) soll dagegen 9*(t)

E. Schmidt, Rrunn-Minkowskische Ungleichung UEW. in der nichteukl. Geom. I. 8 6,8. 121

ebenfalls leer sein., Fur n= 2 ist die ( n - 1)-dimensionale Vollkugel, aus welcher @* ( t ) vorschriftsmaBig besteht, wie kauni mehr wiederholt zu werden braucht, naturlich eine Strecke. Insbesondere folgt also aus der Erzeugungsvorschrift,

daB im spharischen Fall fur t = f- fl entweder L ( t ) und L*(t) und damit auch

$3 ( t ) und '$* ( t ) leer sind, oder 9 ( t ) und R* ( t ) aus den1 betreffenden Pol bestehen, wahrend dann gemaB der Festsetzung 5 2 (1 Absatz 1) Q ( t ) sowohl als Q * ( t ) die ganze (n - 1)-dimensionale Ebene E erfullt.

Eine solche Konstruktion soll als Rotutionssymmetrisierung auf der Basis der im Punkte 0 zentrierten h'bene E bezeichnet werden. In der euklidischen Geometrie ist @*, wenn die Gerade g festgehalt,en wird, von der Wahl der zu ihr senkrechten Ebene E offenbar unabhangig. Die Konstruktion wird daher in der euklidischen Geonietrie nur als Rotations3ymmetrisierung aq der Geraden g bezeichnet. Ferner leuchtet ein, daB in allen drei Geometrien bei Verschiebung des Punktea 0 auf E die Punktmenge R* in eine kongruente ubergeht. Die Gestalt von L* ist daher nur von der Ebene E abhangig, in der euklidischen Geometrie sogar nur von ihrer Nornialenrichtung.

2

3. Die aus 9 durch eine Rotatiomsymmetrisier~ng erzeugte Punktmenge R* ist ebenfalls beschrankt, abgeschlossen und nicht leer.

Beweis. DaB R* beschrankt und nicht leer ist, bedarf keines Beweises. Es handelt sich .also lediglich um den Nachweis der Abgeschlossenheit von $*, der jetzt gefiihrt werden soll.

Das Volumen der m-dimensionalen Vollkugel vom Radius e,werde, wie unter 5 1, 11, mit I , ( @ ) bezeichnet. 1st dann e ( t ) der Radius der ( n - 1)-dimensionalen Vollkugel vom Volumen v ( @ ( t ) ) , so wird e ( t ) bestimmt durch die Gleichung

(6) 4 , - l ( e ( t ) ) = v ( Q ( t ) ) .

Es sei nun P , (v = 1 , 2 , . . .) eine unendliche, gegen den Punkt konvergierende Folge von Punkten, welche @* angehoren. Was wir zu beweisen haben, ist, daB dann auch der Punkt zu R* gehort. Die Abstande der Punkte P, und p von E seien u, und U. Dann hat man

(7) P , + P , (8) u, + u . Ware nun %(G) leer, so wiirde aus der Abgeschlossenheit und Beschranktheit von 9 auf Grund von (8) folgen, daB von einem gewissen v ab auch R(u,) leer sein miiBte. GemaB der Symmetrisierungsvorschrift miiBte fur diese Werte von Y auch die Punktmenge %*(u,) leer sein - im Widerspruch zur Voraussetzung, daB sie den Punkt P , enthalt. Also ist a(%) nicht leer. Nach der Symmetri- sierungsvorschrift ist daher auch Q*(U) nicht leer und besteht, wie oben festgestellt, mindestens aus dem Schnittpunkt der Abstandsflache u= U mit der Geraden g, im spharischen Fall aus demjenigen der beiden Schnittpunkte der Abstandsflache niit der Geraden, der den Abstand U von 0 besitzt. 1st insbe-

sondere im spharischen Fall U= & - , so bestehen R(U) und R* (U ) nur aus dem

Punkte r. Da somit in diesem Sonderfall die Behauptung, daB zu 9*. gehort,

76

2

122 E. Schmidt,Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 5,4.

zutrifft, so durfen wir ihn' beim Beweise als erledigt ausschliel3en. Daher durfen wir auch d'nnehmen, daJ3 durch Streichung endlich vieler P, bewirkt ist, daB keiner der Punkte P, ein Pol von E ist. Folglich sind die senkrechten Projekticmen der Punkte P, und li' auf E, die mit Pi und bezeichnet werden mogen, bestimnit, und man hat (9) Pi * F.

Nun ist gemiil3 dem Hilfssatz 1 die Funktion v('$(t)) nach oben halbstetig und mithin wegen (8)

G V ( P ( U , ) ) 5 v ( B ( U , ) , v+w

(10)

und hieraus folgt wegen (6) - lim e (u,) 5 e ( U ) .

v+w (11)

Anderseits sichert die Symmetrisierungsvorschrift die Ungleichung

(12) OP: 5 e(uv).

(13) OPL --t OF - - Da endlich wegen (9)

gilt, so folgt &us (13), (12), (11)

(14) oP' s e ( i i ) , Verschwindet hier die rechte Seite, so fiillt 2 mit 0 zusammen, und es fallt mithin in den Schnittpunkt der Abstandsflache u=U mit der Geraden g, im sphiirischen Fall in denjenigen der beiden Schnittpunkte der Abstandsflilche mit der Geraden, der von 0 den Abstand U besitzt. Dieser Schnittpunkt ist aber, wie oben fqtgestellt, jedenfalls in R* enthalten. Verschwindet aber die rechte Seite von (14) nicht, so folgt die Zugehorigkeit von zu P* vermoge (14) unmittelbar aus der Erzeugungsvorschrift von R*. Damit ist der zu fuhrende Beweis erbracht.

-

4. Da in den Integralen $ 2 (34), (35), (36), durch welche in den drei Geo- metrien das Volumen von R bestimmt wird, sowohl die Grenzen u und fi als auch die Funktion v($ (u)) bei der Symmetrisierung ungeandert bleiben, so bleibt auch das Volumen bei der Symmetrisierung invariant, d. h. es ist

(15) V(R*) = V(R) . Ebenso folgt auf Grund der Formeln 5 2 (37) fur jede stetige Funktion ~ ( u )

die Invarianz

(16) J Y W dP =sp'(u)dp, P* $?

wobei d P das n-dimensionale Volumenelement bedeutet . Endlich ist R* offenbar eine Rotatimpunktmenge um die Achse g , d. h. fur

n 2 3 eine Punktmenge, welche bei allen Rotationen um die Achse oder rnit anderen Worten bei allen Bewegungen, welche die Achse Punkt fur Punkt festlassen, in sich ubergeht, wahrend fur n= 2 jede in bezug auf die Achse sym- metrische Punktmenge als Rotatiompunktmenge gelten soll.

E. Schmidt, Rrunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. $6,1. 123

5. Auf Grund der Beschriinktheit und Abgeschlossenheit von R* gibt es in Q* Punkte, in welchen die Maximalentfernung von der Rotationsachse erreicht wird. Es bezeichne R* diese Masimalentfernung, Q1 einen Punkt, in welchem sie erreicht wird, u1 seinen Abstand von der (n - 1)-dimensionalen Ebene E und Q; seine senkrechte Projektion auf diese. Dann gehort also Q; zu p* (ul), und da diese Punktmenge aus einer (n - 1)-dimensionalen, auf E aus- gebreiteten Vollkugel besteht, deren Mittelpunkt 0 ist, so gehort auch die ganze Strecke OQ; zu p*(u,), wobei im spharischen Fall, wenn A und B keine Gegenpunkte sind, unter der Strecke A B die kleinere der beiden von -A und B begrenzten Strecken zu verstehen ist, und wenn sie Gegenpunkte sind, eine beliebige von ihnen begrenzte Halbgerade. Folglich gehort auf der Abstands- flache im Abstande u1 von E der ganze Kurvenbogen, dessen senkrechte Pro- jektion auf E von der Strecke OQ; gebildet wird, zu R*(u,) und mithin auch zu $*. Da dieser Kurvenbogen von einem Punkt der Achse zum Punkte Q1 fuhrt, dessen Entfernung von der Achse R* ist, so folgt aus der Stetigkeit des Burven- bogens, daB er in jeder R* nicht iiberschreitenden Entfernung von der Achse mindestens einen Punkt besitzt.

Damit ist bewiesen, daB R* in jeder die maximale nicht uberschreitenden Achsendistanz Punkte besitzt, und zwar wegen der Rotationssymmetrie auf jedem zweidimensionalen Meridianschnitt.

Der die Rotationsachse mit dem Punkte Q1 verbindende Kurvenbogen , der zum Beweise herangezogen wurde, verliiuft offenbar in der zweidimensionalen Meridianebene, welche durch Q1 und mithin auch durch Q; geht, und wird in dieser von demjenigen Stuck der Abstandskurve im Abstande u1 zur Geraden OQ; gebildet, welches der Strecke OQ; entspricht - ein Sachverhalt, der der Er- wahnung kaum bedurfte, um so mehr, als von ihm kein Gebrauch gemacht ~ r d .

Q 6. Der EinfluB der Rotationssymmetrisierung a d die extremen DistanFen zwischen zwei Punktmengen.

1. Es sei n 2 2. Wir machen die Voraussetzung, daI3 die unter 9 1 (12) fur zwei beschrankte, abgeschlossene, nicht leere Punktmengen Ql, 9, aufgestellte zweite Ungleichung des Spiegeltheorems

(1) ‘1 + ‘2% D { R I J R2)

im (n - 1)-dimensionalen Raum, im sphiirischen Fall unter der zusiitzlichen Voraussetzung D ( el, 9,) < T Z , giiltig ist.

Es seien nunmehr Rl und 9, zwei beschrankte, abgeschlossene, nicht leere Punktmengen im n-dimensionalen Raum. Die durch Rotationssymmetrisierung von el und 8, auf der Basis der im Punkte 0 zentrierten (n - 1)-dimensionalen Ebene E hervorgehenden Punktmengen seien 8: und R,*. Die Durchschnitte von 8, , R,, a:, 9; mit der Abstandsfliiche u=t von E mogen wie friiher mit R1 ( t ) , Rz ( t ) , R: ( t ) , 9; ( t ) bezeichnet werden und die senkrechten Projektionen dieser Durchschnitte auf E mit 8, ( t ) , !& ( t ) , !$: ( t ) , 9; ( t ) . Endlich seien el ( t ) und p , ( t ) die Radien der mit pl(t) und !$,(t) volumgleichen (n-1)-dimensionalen Vollkugeln. Dann ist nach der Symmetrisierungsvorschrift R: ( t ) und damit auch ‘$:(t) dann und nur dann nicht leer, wenn &(t) und damib auch

124 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in dcr nichteukl. Geom. I. 8 6,2.

Ql(t) nicht leer ist, und dasselbe gilt naturlich auch fur die mit den1 Index 2 gekennzeichneten Punktniengen.

Es seien nun f?:(a) und R:(b) und damit auch $:(a) und 5$:(b) nicht leer. Dann sind auch !&(a) und b2(b) nicht leer. Aus der Voraussetzung (1) folgt daher, im sphiirischen Fall unter der zusatzlichen Voraussetzung D I b l ( 4 , $z(b)I < n7 (3 el@) + e2(b) 5 D(b3,(a), '%(b) ) . Nun sind $: (a ) und $: ( b ) (n - 1)-dimensionale Vollkugeln mit dem Mittel- punkt 0 und den Radien ol(a) und e z ( b ) , wobei im spharischen Fall wegen (2) el(a) + e2(b) < n ist. Daher ist offenbar

(3).

(4)

D (S? (a ) , Sp: (Wl = el@) + e2(b).

~ ~ ' l p : ( a ) , b:(b)I5 D{b1(a), 5$2(b)) Y

Mithin hat man

welche Ungleichung auch in dem oben fur die spharische Geonietrie zunkchst ausgeschlossenen Fall, dal3 die rechte Seite gleich n wird, als Selbstverstandlich- keit gultig bleibt.

Nun nimmt die in 5 2 (20), (21), (22) eingefuhqte Funktion @, wie unter 5 2, 3 festgestellt, mit wachsendem letzten Argument nicht ab. Daraus folgt

( 5 )

(6) und mithin wegen (4)

(7) Daher gilt a fortiori

Da somit diese Ungleichung fur alle Wertepaare a , b gilt, fur welche keiner der beiden Schnitte R: (a), 9: (b) leer ist, so folgt

D(91 ( a ) , $2 ( b ) ) = @ ( a , b , D( $1 (4 , bz (6) I ) , ~{R:(.), e m 1 = @ ( a , b , D{$D: (4, $3) 1)

~ ( m 4 3 a m 5 D ( & ( a ) , fh(6) ) .

(8) ~ ( m . ) , m,15 D{%, % I .

(9) w@:, GI 5 D(R1, % I . 2. Es sei $ eine beschriinkte, abgeschlossene, nicht leere I'unktmenge und

die dann ebenfalls beschriinkte, abgeschlossene Punktmenge Q(*) auch nicht leer. Setzt man dann in (9) .Q und %'(A) an die Stelle von Rl und R2, so erhalt man, da (10) wird,

Daher ist, wie aus .der Definition von (a*)(") hervorgeht, (11) @(A))* < ($*)(A)

(12) V ( ( $ ' h ) ) * ) 5 V((FL*)(h').

Ir(R(*)) = V((R")*).

und mithin

Da das Volumen bei der Symmetrisierung invariant bleibt, so ist anderseits

E. Schmidt, Brunn-Minkowskischc Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. $6 ,8 .

Daher folgt uus (12)

125

(13) V(R(h)) 5 V((R*)'h').

Die Ungleichungen (9) und (13) sind zundchst nur unter der durch (1) ge- troffenen Voraussetzung hergeleitet worden, dab die zweite Ungleichung des Spiegel- theorems fur (n - 1) Dimensionen gilt. Da diese Ungleichung zusammen mit der ersten Ungleichung des Spiegeltheorems in Q 10 durch Induktim fur alle Dimen- sionszuhlen bewiesen werden wird, so stellen die Ungleichungen (9) und (13) all- gemeingiiltige Satze dar, deren Beweis allerdings erst in § 10 vollendet sein wird.

3. Es sei n 2 2. Wir machen die Voraussetzung, daB die unter Q 1 (19) aufgestellte zweite Brunn-Minkowskische Ungleichung

(14) r , - r 1 2 d { L 1 , 3 J

im (n - 1)-dimensionalen Raum giiltig ist. Dabei werden 9, und R2 als beschrankt und abgeschlossen, L, als nicht leer und in 9, enthalten und im spharischen Fall auch 3, als nicht leer vorausgesetzt.

Es seien nunmehr 9, und R, zwei denselben Voraussetzungen geniigende Punktmengen im n-dimensionalen Raum. Dann ist unter Beibehaltung der Schreibweise des vorigen Abschnitts auch R: < 8:. Die Durchschnitte der Komplementarmengen 3, und mit der Abstandsflache u= t von E bezeichne man mit a2(t) und !@ ( t ) und die senkrechten Projektionen dieser Durchschnitte auf E mit fp, ( t ) und Fz ( 1 ) . Dann sind 3, ( t ) und ( t ) die Komplementarmengen von p,( t ) und $ ; ( t ) auf E .

Da '$: ( t ) eine (n - 1)-dimensionale Vollkugel vom Radius e2( t ) ist, so fiillt p,* ( t ) dann und nur dann E aus, oder mit anderen Worten, ist ( t ) dann und nur dann leer, wenn der Raum spharisch ist, und e2( t ) = z wird. Die Gleichung e2( t ) = z ist im spharischen Fall damit gleichbedeutend, daB v ( p , ( t ) ) gleich dem Volumen des (n - 1)-dimensionalen sphiirischen Gesamtraumes ist, und da letzteres durch die Abgeschlossenheit von V2 ( t ) ausgeschlossen ist, wenn $, ( t ) nicht leer ist, so folgt, daB die Gleichung e2(t) = z im spharischen Fall dann und nur dann gilt, wenn $ , ( t ) leer ist. Damit ist gezeigt, daB der nur in der spharischen Geometrie mogliche Fall, daB c(t) leer ist, dann und nur dann eintritt, wenn auch ';P?(t) leer ist. Da nun 3, voraussetzungsgemaB nicht leer ist, so gibt es Werte von 1 , fur welche @ , ( t ) und damit auch $ z ( t ) nicht leer sind. Wie eben gezeigt, ist fur diese Werte dann auch E(t) und damit auch e(t) nicht leer. Daher ist auch

(b) nicht leer. Nach der Symmetrisierungsvorschrift ist dann auch 9, (a) und damit auch p l ( a ) nicht leer. Es werde nun pl(a) von '@,(b) iiberdeckt. Da im spharischen Fall dadurch, daB ( b ) nicht leer ist, wie oben gezeigt, sichergestellt wird, daB auch $?(b ) nicht leer ist, so gilt gemaB (14)

nicht leer. Es seien jetzt a: (a ) und ( b ) und damit auch $f (a) und

(15.) e 2 ~ - e l ( a ) ~ d { p 3 , ( a ) , $ 3 , ( 6 ) } .

126 E. Schmidt, Brunn-Minkowkische Ungleichung UBW. in der nichteukl. Geom. I. 8 6, 4.

Wenn dagegen !&(a) von '$,(b) nicht uberdeckt wird, und a fortiori, wenn &(b) leer ist, so wird selbstverstbdlich

(16) d s l ( 4 , Vz(b)}= 0 .

(17)

Irn ersten Falle ist el (a ) 5 e2(6), und es wird daher, da $: (a) und S,* ( b ) Icon- zentrische Vollkugeln rnit den Radien el(a) und e 2 ( b ) sind, offenbar

6 { q: (a), E ( b ) 1 = ez ( b ) - el (a)

d s l ( a ) , %@)} 5 &Lw, Z(b)}. und mithin wegen (15)

(18) Diese Ungleichung bleibt auch in dem zweiten Falle, wo '$3, ( a ) von pz ( b ) nicht iiberdeckt wird, bestehen, weil dann die linke Seite gemiiB (16) verschwindet.

Anderseits folgt daraus, daB die in 5 2 (20), (2l) , (22) eingefuhrte Funktion 0 stetig ist und mit wachsendem letzten Argument nicht abnimmt, wie oben

(19) s {e l (a ) ,~z ( (b ) }=0(n ,b ,6{ s l (a ) , V a ( b ) } ) ,

6 (3; (a ) 2 c ( b ) } = @(a, b , 6 { s: (a ) , @ (6)) ) , (20)

und hieraus ergibt sich wegen (18)

(21) & r ( a ) , m ) ) 2 ~ { R 1 ( 4 , Z Z ( b ) } .

Daher gilt a fortiori

(22) d Q : ( a ) , m)) r dR,, @A*. Da somit diese Ungleichung fur alle Wertepaare a , b gilt, fur welche weder 8: (a) noch ( b ) leer ist, so folgt bei Berucksichtigung dessen, daB, wie oben gezeigt,

(23)

an die Steue von 9, und e h an die Stelle von R2, wobei R als beschrankt, abgeschlossen und nicht leer und im spharischen Fall auch noch & als nicht leer vorauszusetzen ist, so erhiilt man, da,

auch im spharischen Fall nicht leer sein kann,

6 {a;, E} 2 6 { RFf, @,} . 4. setzt man in der letzten Ungleichung

(24) f3{Q,&}=h

(25) S{$*, (3p) 2 h . wird,

GemaS 5 1 (22) ist daher

und mithin (26) (a*), < (W*

(27 ) V ( @ * ) * ) 5 V((R\h)*). De das Volurnen bei der Rotationssymrnetrisiening invariant bleibt, so is+, anderseits (28) V ( ( e h ) * ) =v(nh). Daher folgt aus (27)

(29) V((R*)h ) I v(a,),

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. J 7,1. 127

welche Ungleichung auch in den1 voraussetzungsgemafi ausgeschlossenen Fall, dafi der Raum spharisch und !& leer ist, als Selbstverstandlichkeit richtig bleibt, da dann j$, den ganzen Raum ausfullt.

Aus der letzten Ungleichung ergibt sich, da

ist,

(30)

v(a*)= v(n)

und auf Grund der Minkowskischen Definition (31) o(a*) 5 O(P). Die Ungleichungen (23), (29), (31) sind zuniichst nur unter der durch (14) ge- troffenen Voraussetzung hergeleitet worden, dab die zweits Brunn-Minkowskische Ungleichung fur n -1 Dimensionen gilt. Da diese ‘Ungleichung zusammen mit der ersten Brunn- Minkow.skischen in 5 11 durch lnduktion fur alle Dimensionszahlen bewiesen werden wird, so stellen die Ungleichungen (23), (29), (31) allgemrin- gultige Xatze dar, deren Beweis allerdings erst in 5 11 vollendet sein wird.

8 7. Die Ungleiehungen im eindimensionalcn R a m . 1. Es sei im eindimensionitlen Raum R eine beschrlnkte, abgeschlossene,

nicht leere Punktmenge. Da die eindiniensionale Vollkugel vom Radius e mit einer Strecke von der

Lange 2 e identisch ist, so erhalt man fur die Radien r , rh und dh) der niit 9, R,, und Rf(”) volumgleichen Vollkugeln

(1) r = &v(f?), r h = &v(f?,), dh)= 4 V ( R c h ) ) . Die Komplementiirmenge von R besteht aus endlich oder abzahlbar unendlich

vielen offenen Intervallen i, (Y = 1 , 2 , . . .), deren jedes von zwei Punkten von R bcgrenzt wird, wozu in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie noch die beiden unendlichen Halbgeraden hinzukommen, welche sich an den ersten und letzten Punkt von 9’ anschliel3en. Die Lange des Intervalls i, sei J v . Der Inhalt des in das Interval1 i, hineinfallenden Teiles von f?h ist dann fur 2h 5 1, gleich 2 h und fur 2 h 2 1, gleich 1,. Er wird also durch den Ausdruck Min (A,, 2h) gegeben. Dagegen ist der Inhalt desjenigen Teiles von $?h, der in jede der beiden Halbgeraden fiillt, welche sich in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie an die beiden aufiersten Punkte von P anschlieBen, gleich h . Man erhalt daher in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie

( 2 ) v(nh)= v(a )+ 2 h + 2 m i n ( 1 , , 2 h ) und in der sphtirischen

(3)

(4) r / b Z r + h ,

V

v ( f ? h ) = V ( 9 ) + 2 min (A”, 2 h ) . V

Wegen (1) gilt somit in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie

wobei das Gleichheitszeichen nur dann Platz greift, wenn kein Interval1 i, vorhanden ist , d. h. wenn R eine Strecke oder mit anderen It’orten eine eindimensionale Voll- kugel ist.

128 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. Q 7,2,8.

2. Im eindimensionalen sphiirischen Raum, der durch die Peripherie des Einheitskreises dargestellt wird, gibt es, wenn !i?h nicht den GesamtrLum ausfiillt, wegen (3) mindestens einen Wert von v, fur welchen 2h<A, wird. Man erhiilt daher gemiiB (3)

( 5 ) V(Rh) = V(R) + 2 h + Z’ Min ( A v , 2 h ) ,

wobei die Summe 2’ uber die iibrigen Intervalle zu erstrecken ist. Mithin ist V

V

(6) 7 h 2 7 + h ,

wobei das Gleichheitszeichen nur dand eintritt, wenn auBer dent herausgehobenen kein weiteres Interval1 vorhanden ist, d. h. wenn Q eine eindimensionale Vo11- kugel ist, was zu beweisen war.

Damit ist in allen drei Qeometrien fur den eindimenaionakn Raurn die erste Brunn-iViinkoulskische Ungleichung nebst ihrer den Eintritt des Qhichheits- zeichens regelnden Erganzung bewiesen, woraus gem$ 9 1 , 9 auch die zweite Brunn- Minkowskische Ungleichung nebst der entsprechenden Erganzung folgt.

3. Die unter $ 1, 11 definierte Minkowskische Oberhache einer beschriinkten, abgeschlossenen, nicht leeren Punktnienge R bleibt auch im eindimensionalen Rnum sinnvoll und ergibt fiir die Oberfliiche eine reine Zahl.

1st die Anzahl der Komplementiirintervalle i, endlich und gleich m, so folgt aus ( 2 ) und (3), wenn 2 h kleiner als das kleinste von ihnen wird, in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie

und in der sphiirischen

Mithin erhalt man in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie

(7) und in der spharischen (8) O(W) = 2 m .

1st aber die Anzahl der Komplementiirinterralle unendlich, so erhalt man, indem man sich auf den in den m ersten Intervallen gelegenen Teil von Rh beschriinkt und 2 h kleiner wiihlt als das kleinste von ihnen, in allen drei Geometrien

O(R) = 2 + 2 m

und mithin

und da das fur jedes m gilt, O(R) 2 2 m ,

(9) O(R) = 00.

Wie aus (7), (8), (9) hervorgeht, gilt inallen dreiGeometrien - in der sphiirischen, wenn R nicht den Gesamtraum erfiillt - im eindimensionalen Raum die isoperinietrische Un.gleichung (10) O ( Q ) 2 2 .

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 5 8 , l . 129

Dabei greift due Qleichheitszeichen nur dann Plutz, wenn in der hyperbolischen Geometrie m = 0, in der sphiirischen m = 1 wird, d. h. wenn R eine eindimensionale Vollkugel ist.

4. Durch das Ergebnis des Abschnitts 2 ist gemiil3 der am Schlusse von $ 1, 17 durchgefuhrten Feststellung im sphiirischen Raum auch die erste Un- gleichung des Spiegeltheorems 1 (10) nebst ihrer den Eintritt des Gleichheits- zeichens regelnden ErgiCnzung sichergestellt.

Man wiihle im eindimensionalen hyperbolischen und euklidischen Reum als Koordinate u den na,ch beiden Seiten eines festen Punktes mit'entgegengesetztem Vorzeichen gemessenen Abstand von ihni. Die Koordinaten der beiden iiuBersten Punkte von R seien a und b 2 a . Dann ist fur alle Punkte von 9(*)

u s a f h , c c z b - h .

Wenn R(*) nicht leer ist, mu13 dader

b - h a + h und mithin 2h 2 b - a

sein, und man erhalt

Da (11) ist, so folgt

(12)

(13) r(*) 5 h - r. Dabei fordert das Gleichheitszeichen in den letzten beiden gleichbedeutenden Ungleichungen auch dasjenige in (ll), und letzteres gilt, da R abgeschlossen ist, nur dann, wenn $? mit der von a und b begrenzten Strecke identisch ist. I n diesem Fall wird a(*) von der konzentrischen Strecke von der Llinge 2h - (b -a) gebildet und das Gleichheitszeichen in den Ungleichungen (ll), (12) in der Tat erreicht.

Wir sehen also, daB in der eindimensionalen hyperbolischen und euklidischen Geometrie unter der Voraussetzung, daB R(*) nicht leer ist, die Ungleichung (13), d. h. die erste Ungleichung des Spiegeltheorems, gilt, wobei das Gleichheits- zeichen dann und nur dann eintritt, wenn R eine eindimensionale Volllrugel ist. Dabei wird dann R(*) von der konzentrischen Vollkugel vom Radius h - r gebildet, und jede dieser beiden Vollkugeln kann sich auch auf ihren Mittelpunlrt reduzieren.

Damit ist in allen drei Qeometrien filr den eindimensionalen Raum die erste Ungleichung des Spiegeltheorems nebst der den Eintritt des Gleichheitszeichens regelnden Erganzung bewiesen, woraus sich gemaP 5 1, 6 auch die zweite Un- gleichung des Spiegeltheorems nebst der entsprechendenErganzung als Konsequenz ergibt .

V ( Q ( * ) ) 5 (a + h) - (6 - h) 5 2h - (b - a ) .

V ( 9 ) 5 b - a

V(R(*)) 5 2h - V ( Q ) J

Q 8. Die zweite Ungleichung des Spiegeltheorems fur Rotationspunktmengon. 1. Es sei fur n 2 2 im n-dimensionalen Raum 9l eine beliebige Rotations-

punktmenge um die Achse g . Dabei sol1 fur n=2 gemflB der unter § 5, 4 vereinbarten Definition jede Punktmenge, fur welche die Gerade g eine Symmetrie- achse bildet, als Rotationspunktmenge uni die Ache g gelten.

Math. Nadir. 1948, B. 1, H. 2/3. 9

130 E. ScEmidt, Bxunn-Minkowski~che Ungleichung usw. in der nichteukl. &om. I. 8 8,1.

Es sei P , ein beliebiger Punkt und mZ der Durchschnitt von mit der zweidimensionalen, durch P, gehenden Meridianebene, wobei €iir n= 2 die Meridian- eberie natiirlich mit dem Gesamtraum zusammenfiillt und %’ mit ‘21 identisch wird. D a m ist zunachst g eine Symmetrieachse von %R.

Es gi l t nun (1) D ( P , , % ) = D(P, , rm), (1’) 6 {P,, N} = 6 {PI, rm).

Beweis. Die Rehauptung bedarf fur n=2 keines Beweises. Es sei also n 2 3. In dem rotationssymmetrischen Koordinatensystem, wie es in $ 4 erklart

worden ist, entspricht allen Punkten jeder der beiden Halbebenen, in welche die Meridianebene durch die Achse zerlegt wird, auf der (n - 1)-dimensionalen Rich- tungskugel ein und dcrselbe Punkt, und diese beiden Punkte, welche rnit n‘ und n” bezeichnet werden niogen, sind Gegenpunkte, d. h. es ist I/’n‘’= z. Der Punkt P, liege auf der n’ entsprechenden Meridianhalbebene, und die Koordinaten von P, seien ul , Pi und IZ’. Es sei nun P, ein beliebiger Punkt von 81 mit den Koordinaten u2 , Ph, Il:. Dann gibt es wegen der Rotations- symmetrie von % in ?I auch einen Punkt &, rnit den Koordinaten u,, Ph, I l l

und einen Punkt L, mit den Koordinaten u,, P; , n”, und es wird genial3 den Formeln Q 4 ( 2 0 ) , ( 2 1 ) , ( 2 2 ) , da, Ill“’= z ist,

~.

PTQ, 5 PYP, 5 PTL,. Da Q, und L, in W liegen, so folgt

6 {P, , rn) 5 p,p, 5 D ( P , , W), und da diese Ungleichungen fur jeden Punkt P, von ?[ gelten, so ist

E 6{P, , m} 5 6 (Pl, P I ) , DP,, rm} 2 D ( P , , ~ O .

6 ( P I , rm) L 6 ( P , , 8 ) , D ( P , , !JJ ) I D ( P , , 81 ) I

Nun ist s132 in ?I enthalten und mithin

und aus der Verbindung der letzten Ungleichungen ergeben sich (1) und (l’), was zu beweisen war.

EY sei )ml eine Punlrtmenge in einer festen zweidiniensionalen Meridianebene und s332 der Durchschnitt dieser Meridianebene niit 2l. Dann ist, da (1) und (1‘) fur jeden Punkt P, von YJ, gelten,

( 2 ) D{rm,,?l) = D(Sln,, rn), (2 ‘ ) 6 (Sin,, el} = 6 (D,, rn) *

Es seien endlich PIl und N, zwei ltotationspunktmengen uni eine genieinsame Achse g und %Ill und YJl, die Durchschnitte von 91, und PI, mit einer festen zweidimensionalen Meridianebene. Dann ist gemaB ( 2 ) und (2’)

(3) D(\3JL,,?I,) = D(%, Y J M , (3‘) 6 (rm, ,912) = 6 (%I,, ’%I,).

Eb sei nun P, ein Punkt von 9ll und P, eiri Punkt von PI,. Dann liil3t sich P , durch eine Rotation um die Achse g in eirien Punkt Q1 iiberfiihre11, der in YX, liegt. h b e i geht P, in einen Punkt Q, uber, der in 91, bleibt.

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. $8,2 . 131

und wegen (3) - P , P Z S D { ~ l , %I.

Da die letzte Ungleichung fur jedes Punktepaar P, von 2fl und P, von a, gilt, so folgt

D{alJa2}z D(rml, mz) .

Da anderseits YJl, in 21, und %I, in a, enthalten ist, so ist

D { f l , , m z 1 ~ D { % l J a z l J und die Verbindung der beiden letzten Ungleichungen ergibt. das Resultat

(4) D { ~ I , J 8 r 2 ) = D { ~ 1 , mz} *

Genau so erhalt man aus

p,p,= &1&z 2 6 {QI, 2 d { m i ~ indem man in allen anschlieoenden Relationen D durch 6 ersetzt und die Zeichen > und < vertauscht, das Resultat

(4') 6 {a,, 8,) = 6{rnm,, Dz} ' 2. Es seien fur n 2 2 im n-dimensionalen Raum 9, und 9, zwei beschrhkte,

abgeschlossene, nicht leere Rotationspunktmengen mit der gemeinsamen Achse g und YJI, und %, ihre Durchschnitte mit einer festen zweidimensionalen Meridian- ebene. Dann sind die Punktmengen YJt, und !JJ& ebenfalls beschrankt, abgeschlossen und nicht leer und jede in bezug auf die Achse symmetrisch, und es ist gemaI3 (4) ( 5 ) D{$,,R,}=D{%, % I .

Man versehe innerhalb der Meridianebene den Abstand u von der Achse auf beiden Seiten von ihr mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. Dann ist also im spharischen Fall

7d 7c -<us-. 2 = 2

Man bezeichne mit 'Dl(u) und m,(u) die Durchschnitte von %X, und %Jl, mit der Abstandskurve im Abstande u von der Achse, mit $,(u) und $,(u) die senkrechten Projektionen von m,(u) und !JJ,(u) auf die Achse und mit v($,(u)) und v(!&(u)) die linearen MaBe von P1(u) und $,(u). Wegen der Symmetrie von !PI, und %!I, sind dann (u) und $, (u) mit $, ( - u) und '$3, ( - u) identisch, und es ist niithin

(7) q$l ( -u) ) = v($3,(u)), v('$32(-u,) = V($,(U)).

Man bezeichne mit R, und R, die Meximaldistanzen der Punktmengen el und Qz von der Achse g oder, was dasselbe bedeutet, die Maxinialdistanzen der Meridianschnitte Ir37, und Ir37, von der Achse. Dsnn ist also im sphiirischen Fall

9*

132 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. $8 , a. Fur die Entfernung zweier Punkte P , und P, der Meridianebene ergibt sich, indem man in $ 2, 1 g an die Stelle von E setzt, gemiiB $ 2 (20)

(9) wobei Pi und Pi die senkrechten Projektionen von P, und P, a d g bedeuten.

Da 9Jl, und %I2 beschrankt und abgeschlossen sind, so gibt es in allen drei Geometrien in 9Jll mindestens einen Punkt P , , fur welchen u, = - R, wird, und in 9X2 mindestens einen Punkt P , , fur welchen u2 = R, wird. GemiiB $ 2 (28) ist dann PTP, 2 R, + R,.

p,p, = @ @ I , u,, P Z ) ,

Mithin ist in allen drei Geometrien

(10) R ,+R,dD(9J l , ,%} .

3. Die beiden in der festen Meridianebene gelegenen Vollkreise mit den von Null verschiedenen Radien el und e,, deren Mittelpunkt 0 auf der Achse g liegt, mogen mit %I: und %I: bezeichnet werden, und die beiden Vollkugeln, welche aus ihnen durch Rotation um die Achse hervorgehen, mit R: und R:. Es seien ferner entsprechend der Bezeichnungsweise des vorigen Abschnitts %I: (u) und 9Jli(u) die Durchschnitte von 9Jl: und mit der Abstandskurve im Abstande u von 9, $y(u) und p:(u) ihre senkrechten Projektionen auf die Achse und v(Qy(u)) und v (Q: (u ) ) deren linearen Mane. Dann sind die Pynktmengen $:(u), pi(,) mit den Punktmengen !@( -u), $:( -u) identisch, und es ist daher

(11) v ( $ : ( - - ) ) = v(bPW) (Y = 1 , 2 ) . Man mache ferner im sphiirischen Fall die Voraussetzung

(12) el + e, < 7c und mithin el < x, ez < 7c.

Dann ist offenbar in allen drei Geometrien

(13) wJ%, = el + e z -

(14) a, = a(@,, a } (v = 19.21,

72 Man setze nun fur 0 5 LY 5 - 2

wobei die Funktionen auf der rechten Seite unter $ 4 (29) erklart sind. Dann ist in allen drei Geometrien

(15) 0 5 a, 5 @” (Y = 1, 2) .

Ferner gilt in der sphtischen gemii3 $ 4 (31), (34) auch noch x

a <- ( v = 1 , 2 ) , v - 2 (16)

wobei das Gleichheitszeichen nur dann eintritt, wenn

wird. Man bezeichne in allen drei Geometrien rnit

(18) (0, ; ) I

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. &om. I. 133 n 7d

das von 0 und - begrenzte abgeschlossene Interval], wobei jedoch der Wert - 2 2 dem Intervall dann und nur dann nicht zuzuzahlen ist, wenn die Geometrie spharisch ist, und fur einen der beiden Indizes v

8,3.

(19) e v 2 - 2

wird, was wegen (12) nur fur einen moglich ist. Man mache jetzt die Voraussetzung, daB

n a in (0, -)’ (20) 2

enthalten ist. Dann gelten zunachst in a.llen drei Geometrien die Ungleichungen (15) und ferner in der spharischen noch die Ungleichungen

?c a”<- ( v = 1 , 2 ) . (21) 2

Wie aus den Ungleichungen (15) hervorgeht, sind in allen drei Geometrien die Durchschnitte %:( fa,), %;( f a z ) und damit auch ihre Projektionen S:(u,) , $:(az) nicht leer, und es besteht wegen (21) im spharischen Fall keiner der Durchschnitte 93: (fa,) &us einem der beiden in der Meridianebene gelegenen Pole von 9 .

Eine von 0 ausgehende Halbgerade, welche in 0 mit der Achse g den Winkel u bildet und in der Halbebene u 2 0 verliiuft, schneidet die Peripherie des Kreises %; in einem Punkte, in welchem u= a, wird. Die von 0 in der entgegengesetzten Richtung ausgehende Halbgerade schneidet die Peripherie des Kreises %: in einem Punkte, in welchem u = - a, wird. Da die Entfernung dieser beiden Punkte el + ez ist, wlihrend der erstere in %:(a,) und der letztere in ’@( -al) liegt, so ergibt sich bei Berucksichtigung von (13)

(22) B{m?(-al), %:(az)) = el + ez. Aus (9) folgt, da, wie unter Q 2, 3 festgestellt, die Funktion Q, mit wachsendem

dritten Argument nicht abnimmt,

(23) Bei Berucksichtigung der Identitat der Punktmengen $: ( -al) und py (al) erhalt man somit

~(W(-.,), ‘m!(az)) = @(-%,%, w4%(-%), b3a2))).

(24)

(25)

(26)

@ ( - a l , a z , D ( % ( q , %?(az))) = el + ez.

D(%(al), %(az)} 5 la, -all + el + e2.

la, -all < n -e l - e2 ;

Aus dieser Ungleichung folgt in der spharischen Geometrie auf Grund von 5 2 (30)

Nun ist wegen der Voraussetzung (12) gemiiB der Ungleichung Q 4 (55)

denn das Gleichheitszeichen in der herangezogenen Ungleichung wird durch die Voraussetzung (20) des laufenden Paragraphen ausgeschlossen. Mithin ist in der sphiirischen Geometrie die Ungleichung

(27 ) w4%), Y:(az)) < sichergestellt .

134 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung UBW. in der nichteukl. Geom. I. ij 8,4.

Da die Punktmengen Q:(a,) Strecken mit dem Mittelpunkt 0 sind, die sich auch auf diesen Punkt reduzieren konnen, so ist anderseits offenbar in allen drei Geometrien - und zwar in der spharischen erst auf Grund der soeben bewiesenen Ungleichung (27) -

(28) wm%)) + iM%?(a2)) = ~ { Q : ( a , ) , P W } .

@(-a1, a2,8v(Q%,)) + 3~(5.$%2))) = el + e2.

Durch Einfuhrung dieser Gleichung in (24) erhiilt man schlieI3lich noch die Gleichung

(29)

folgenden Voraussetzungen geniigen : 4. Die unter 1 und 2 erorterten Meridianschnitte !Dll und 'D, mogen den

Es sei (30) & > O , R ,>O und ferner fur 1.1 5 R, bzw. 1.1 5 R, (31) !I&(.) bzw. YJ?,(u) nicht leer.

Endlich gelte im sphgrischen Fall

(32) D{%, rn2) < n- Die beiden im vorigen Abschnitt eingefiihrten Radien el und e, und der

n Winkel 1, 0 5 1 5 - , mogen nunmehr den Gleichungen 2 (33)

(34)

geniigen. Dabei sol1 die Frage, ob und wie el, e, und 1 sich diesen Bedingungen entsprechend bestimmen lassen, in den Abschnitten 6 und 7 gekliirt werden.

Im sphiirischen Fall ist durch die letzte Gleichung wegen (32) auch die im vorigen Abschnitt unter (12) als Voraussetzung benotigte Ungleichung

sichergestellt. el + e2 < It

Man bezeichne in allen drei Geometrien mit

It (35) (0 ,J ) '

n fur A < - - das von 0 und 1 begrenzte abgeschlossene Intervall und fiir 1 = 2 das unter (18) definierte Intervall ( 0 , ->'. Das erstere ist also stets im letzteren enthalten.

Es liege nun a im Interval1 (0,1)', also a fortiori auch im Intervall

n 2

It (0 ,

(36) O I a , r ; R , , 0 5 a 2 5 R 2 .

GemiiB (31) sind daher 'BI(-ul) und %,(a2) und mithin auch Ql(-a1) und Q2(a2) nicht leer. D'abei besteht im spharischen Fall wegen (21) weder m1(-al) noch n2(u,) aus einem der beiden in der Meridianebene gelegenen Pole von 9 .

}'. Dann folgt aus den Definitionsgleichungen (14) wegen (33)

E. Schmidt, Brunn-Afinkowakische Ungleichung uaw. in der nichteukl. Geom. I. f 8,4. 135

Da die Funktion @ mit wachsendem dritten Argument nicht abnimmt, so folgt entsprechend (23)

(37) D ( m l ( - u l ) J m2(a2) }= @(-‘1>u2>D($1(-u1) , bZ(%)})

und mithin bei Beriicksichtigung der Identitat der Punktmengen Pl ( -a,) und $,(a,) a fortiori (38) @ ( - ‘ ~ J u ~ ~ B ( b ~ ( u l ) ~ %(%))) sD{ml, mz}’

In der spharischen Geometrie ist daher gemaB Q 2 (30) entsprechend (25)

(39) B { $ l ( ‘ l ) 7 $2(‘Z)} 5 1 % + D(mlJ m2)*

Wegen (34) und (26) ist mithin in der spharischen Geometrie die der Ungleichung (27) entsprechende Ungleichung

(40) D ( $,(a,) > Sz(%)} < n sichergestellt .

Anderseits ist gemBB der im vorigen Paragraphen fur den eindimensionalen Raum bewiesenen zweiten Ungleichung des Spiegeltheorems § 1 (12) in allen drei Geometrien - und zwar in der spharischen erst auf Grund der soeben bewiesenen Ungleichung (40) -

(41) Bv(b,(a,)) 3- 4v(bz@2)) 5 D(%@l), %z(%)}.

a, <T> a2 (3

Da in der spharischen Geometrie gemiil3 (21) 7.c n

bleibt, so ist gemaB § 2, 3 sichergestellt, daB nicht nur in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie, sondern such in der spharischen die Funktion 0, wenn ihre beiden ersten Argumente die Werte -al und u2 besitzen, mit wachsendem dritten Argument zunimmt. Daher ergibt der Vergleich von (38) und (24) wegen (34)

(42) D { $ l ( a l ) S $ Z ( % ) } 5 D { b?(’l)J $:(%))‘,

und hieraus folgt wegen (41) und (28) die entscheidende Abechiitzung

(43) 4$1(a1)) + “(Pz(a2)) 5 “($:(a,)) + v ( % @ z ) ) ,

welche somit fur alle in1 Interval1 (0,A)’ enthaltenen Werte von a bewiesen ist.

Alle in dieseni Abschnitt aufgestellten Gleichungen und Ungleichungen und insbesondere die letzte Ungleichung (43) bleiben nebst ihrer Herleitung a fortiori gultig, wenn die Voraussetzung (34) und die im spharischen Fall hinzutretende Voraussetzung (32) durch die Voraussetzung

(44) el + ez 2 D ( ml mzl ersetzt wird, zu welcher dann im spharischen Fall die unter (12) eingefiihrte Vorausse tzung

hinzuzufiigen ist. (45) el + ez <

136 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung UBW. in der nichteukl. &om. I. 8 8,5.

6. Aus der Darstellung $ 4 (42) ergibt sich a

und mithin wegen der Ungleichung (43) des laufenden Paragraphen 1

Anderseits erhiilt man aus der Dystellung $ 4 (46) in d& hyperbolischen und

(48)

und

(49)

euklidischen Geometrie n 2 -

aus der Darstellung 5 4 (61) in der sphiirischen

Dabei ist gemiil3 $ 4 (52) die Funktion q(x) definiert durch die Gleichungen n

0 fur x z - , 2

1 fur x>- n 1 2

(50) 17 (4 =

und mithin wegen (12) von den beiden Faktoren 11 (el) und 17 (en) hochstens einer von Null verschieden.

Der Vergleich von (48) und (49) mit (47) twgibt das folgende Resultat: Es i8t in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie

und i n der epharkchen

Wie aus der letzten Ungleichung hervorgeht, bleibt die Ungleichung (51) auch in der sphiirischen Geometrie a fortiori gultig. Diese Ungleichung birgt, wie unter 10 gezeigt werden wird, als leicht herzuleitende Konsequenz die zweite Ungleichung des Spiegeltheorems.

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. J 8,6,7. 137

Wie aus der SchluBbemerkung des vorigen Abschnitts hervorgeht, bleiben die U,ngleichungen (51), (52) gultig, wenn die Voraussetzungen (34), (32) durch die Voraussetzungen (44),. (45) ersetzt werden.

6. I n der hyperbolischen und euklidischen Qeometrie lassen sich, wie jetzt be- wiescn werden soll, el, e2 und 1 auf eine und nur eine Weise so bestimmen, dap die Qleichungen (33), (34) erfiillt werden.

Beweis: Da R, und R, als gegeben zu betrachten sind, so werden durch die Gleichungen (33) el und ez als eindeutige Funktionen von 1 bestimmt, welche mit fallendem 1 stetig wachsen, und zwar uber alle Grenzen. Dasselbe

gilt daher auch fur el + e,. Da fur 1 = - el + e, = R, + R, wird und gemaB 2 (10) R, + R, 5 D { 'Dll 'D,} ist, so folgt, daI3 1 und damit auch el und e2 sich auf eine und nur eine Weise so bestimmen lassen, daB neben den Gleichungen (33) auch noch die Gleichung'(34) gilt, was zu beweisen war.

n

7. In der sphiirischen Geometrie sind die beiden Fiille

(53) zu unterscheiden.

Im Falle A) hssen sich el, Q, und 1 wie in der hyperbolischen und euklidischen Qeometrie,auf eine u?zd nur eine Weise den Qleichungen (33) und (34) entsp-rechend bestimmen, wiihrend im Falle B) dime Qleichungen unvereinbar sind.

Beweis. Da die Behauptungen und die Alternativen A) und B), an welche sie gekniipft sind, bei Vertauschung der Indizes ungeiindert bleiben, so diirfen wir ohne Beschrankung der Allgemeinheit voraussetzen, daB

A) D{'D, , 'D,} 5 n - 14 - R,Il B) D('D1, ' D 2 ) > n - IR, - R,I

(54) R, I R, n

ist. Da R, und R, laut (8) definitionsgemiiB - nicht uberschreiten konnen und

gemiiB der Voraussetzung (30) beidt von Null verschieden sind, so ist zunachst

(55) O < R I S R , 5 2 , O < s i n R , ~ s i n R , .

2

n

Das Gleichungspaar (33) erhiilt in der sphiirischen Geometrie die Gestalt

(56) Aus (55) folgt daher (57) 0 < sin el 5 sin e, . Ware nun e 2 -, so wiirde aus der letzten Ungleichung e, 2 7c - el folgen,

was wegen (32) im Widerspruch zu (34) steht. Daher muB

sin el sin 1 = sin R, , sin e, sin1 = sin R, .

n 1 - 2

sein.

mit dem Gleichungspaar Das Gleichungspaar (56) ist bei Beriicksichtigung von (55) gleichbedeutend

(59) sin R, sin R, sin e2 sin 1 = sin R, , sin el = ~ sin Q, .

138

Durch die erste dieser beiden Gleichungen wird e, an das Intervall

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 8,7.

(60) R2 S e2 5 n - R2 gebunden. Durch die zweite wird bei Berucksichtigung von (55) und (58) el als eine im Intervall (60) eindeutig definierte Funktion von e, festgelegt.

Wir schlieBen zuniichst den Fall iz (61) R'=Z

n aus, in welchem sich das Intervall (60) auf den Punkt - reduziert. 2 Man erhalt

sin R, a cose, -- 44 - - __ de, sinR, c o s ~ , '

wobei wegen (58) cose, > 0 ist. Wegen e, < iz - el ist ferner cose, >cos(n -el) und mithin cose, > -cosel. Aus den letzten Ungleichungen folgt

sinR, COSQ, sin R, ___- > - - _ - - - l . sin R, ,case, sin R,

Daher hat man

(63)

(64)

de1 - > - 1 , de2

Da, wie die zweite Gleichung (59) zeigt, sowohl fur e, = R, als auch fur Q,= n - R, el= R, wird, so erhiilt man

(65 )

(66) fur e, = iz - R,: el + e 2 = - 32.4- R,,

fur e2= R,: el + e 2 = 8, + R29

wobei wegen (55) n - R, + R, = iz - I R, - R, 1 ist. GemiiB (64) nimmt el+ e, als Funktion von Q, im Intervall R, 5 ez 5 iz - R, mit wachsendem e2 stetig zu, und zwar gemiil3 (65), (66) vom Werte R, + R, bis zum Werte iz - I R, - R, I . Da nun gemaB (10) D { %V1, m,} 2 R,+ R, ist, so folgt, daB im Fall A) ez und damit auch el und 1 sich auf eine und nur eine Weise den Gleichungen (33) entsprechend 80 bestimmen lassen, daB der Gleichung (34) Geniige geschieht, wiihrend im Falle B) das unmoglich ist.

jib In dem bisher ausgeschlossenen Fall R - - wird ,- 2

(67 1 R, + R, = ?C - Re + R, = iz - I R, - RII. Da anderseits gemiiB (10)

(68) D { 11321, mz) 2 Ri + Rz

E.Schmidt, Brunn-Minkowakische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 8,s. 139

ist, so folgt, dsB in diesem Fall die Alternative A) dann und nur dann Plstz greift, wenn

(69) D { m l J m2} = R1 + R2 7c

ist. Nun wird, wie aus der zweiten Gleichung (56) hervorgeht, fi ir R - - 2 - 2

und die Einfuhrung dieses Wertes in die erste ergibt bei Berucksichtigung von (58)

(71) el = 4. Die Gleichungen (33) und (34) sind also, wie aus (70) und (71) folgt, dann und nur dann vereinbar, wenn (69) gilt, und mithin dann und nur dann, wenn die Alternative A) eintritt, und zwar sind dann gemill3 (70), (71) el , e2 und il eindeutig bestimmt. Die Behauptung gilt also auch in dem zunachst ausgeschlossenen

Fall R z = y . 7c

Damit ist der zu fuhrende Beweis erbracht.

8. Um in der sphiirischen Geometrie den Fall (53) B) auf den Fall (53) A)

Man wlihle wie im vorigen Abschnitt die Indizes so, da13 zuriickzufiihren, verfahre man folgendermaBen :

(72) R, 5 $2 wird. Dann kann der Ungleichung (53) B) die Gestalt

(73) R 2 > R l $ - n - D D ( m 1 J m 2 }

gegeben werden. Man setze

(74) Ri = R, + ~t - D{YIIn,, mz}. Dann gilt

n 0 < R1< 8; < R2 5 -. (75) 2

Es sei nun derjenige Teil von m2, fiir welchen IuI 5 R;, und derjenige Teil, fur welchen IuI 2 RL ausflllt. Dann sind die Punktmengen und YJl; ebenfalls beschrankt, abgeschlossen und nicht leer und jede in bezug auf die Achse g symmetrisch. Die durch Rotation von YII; und m;' urn die Achse g erzeugten Rotationspunktmengec mogen mit 9; und 9;' bezeichnet werden. GemliB der iiber m2 gemachten Voraussetzung (31) ist YJli(u) fur IuI 5 Ri nicht leer, wobei m;(u) den Durchschnitt von YJt; mit der Abstandskurve im Abstande u von g bezeichnet. Daher ist Rh auch die Maximaldistanz der Punkt- menge 'B; von g . Ferner ist

(76) D{ml, m;} 5 D(mlJ ms}

un$ mithin wegen (32)

(77) D(rm,, !&} < Z.

Das Paar der Meridianschnitte YXl, '$3; genugt mithin den dem Abschnitt 4 zugrundegelegten Voraussetzungen (30), (31), (32).

140 E. Schmidt,, Brunn-Minkowskische Ungleichung UBW. in der nichteukl. Geom. I. 3 8,9.

Die den Gleichungen (33) entsprechenden Gleichungen lauten fur das Paar m,, m; (78) a h , A) = R,, a{eL,A} = %. Setzt ma,n daher

n e l = R l , & = n - R h , A = - , (79) 2

so werden die Gleichungen (78) befriedigt, wahrend wegen (74)

(80) wird, und mithin wegen (76) und (32) die Ungleichungen

(81)

el + e; = LJ { W l , m21

72 > el + e; 2 L J ( r n 1 ,

gesichert sind. den Glei-

chungen (33) und den Ungleichungen (44), (45) fur %Ill, tm, entsprechen, so gilt gemaB der SchluBbemerkung des Abschnitts 6 fur die Punktmengen el und 9; und die Radien el und & die Ungleichung (52), wobei wegen (79) und (75) q(el) = 0, q(&) = 1 wird. Man hat also

Da die Gleichungen (78) und die Ungleichungen (81) fur %Ill,

Es bezeichne m:(~) den Durchschnitt von m: mit der Abstandskurve im Abstand u von g und !&'(u) die senkrechte Projektion von 9Jl:(u) auf g. Dann sind W:(u) und p:(u) fur IuI < R; leer. GemiiB § 4 (26) ist nun

(83) v(R:) = (n - 1) En-1Jsinn-2u cosu v( ' ;~: (u) ) du,

und da fur I u ] < RL v(b:(u)) = 0 wird, wiihrend durchweg v(y:(u)) 5 2n bleibt, so erhiilt man

(84) V($l:) 5 2nt,-l](n - 1) s i r P 2 u cosudu

R,

0

R.

R: = 2nE,-,(sinn-' R, - sinn-lR;).

Wegen e; = n - Ri ergibt sich daher (85) V(R:) 5 2n (1 - sinn-l e6). Addiert man die letzte Ungleichung nach Division durch In (e;) zur Ungleichung (82), so erhiilt man, da

(86) ist,

WQ;) + w:, = V(92)

9. Man schreibe in der Ungleichung (87) statt wieder e, und beruck- sichtige, daB dann die Gleichung (80) die Gestalt

(88) el + e2 = LJW1, m2)

E. Schmidt, Brunn-Minkowskiache Ungleichung UBW. in der nichteukl. Geom. I. 0 8,s. 141

erhiilt. Dann lassen sich die durch die Voraussetzungen (30), (31), (32) gesicherten, in den Ungleichungen (51) und (87) ausgedriickten Ergebnisse in nachstehender Weise zushmmenfassen :

Es mogen die Meridianschnitte '9.2, und '93, der beschrankten, abgeechhsenen Rotatimpunktmengen mit gemeinsamer Achse 9, und RZ den Voraussetzungen (30), (31), (32) geniigen. Dann lmsen sich in alkn drei Geometrien zwei Radien el > 0 und ez > 0 so feshetzen, dap (89 ) ist, und die Ungleichung

el + ez = OIlJnl, mz}

gilt.

(91) ist, auch in der spharischen el und eZ schon lediglic'h dadurch eindeutig bestimmt, daB sie neben der Gleichung (89) noch den Gleichungen

Dabei sind in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie und, falls.

Dlml, %z) 5 76 - 1 % - RlI

(92) a { e l , L ) = R,, a { e z , L } = R, n

fur einen im abgeschlossenen Intervall zwischen 0 und - verfiigbaren Wert von L geniigen.

(93)

(94) el = 4 , e 2 = D{%, mz} - R,

2

Dagegen ist in der sphiirischen Geometrie, falls.

D{%, mz} > n - 1 % - R,I ist, wenn die Indizes so gewiihlt sind, daB R, 2 R, wird,

zu setzen. Dabei folgt, da I R, - R,I = R, -.R, wird, aus dem Vergleich der iweiten Gleichung (94) mit (93)

(95) e.2 n - Rz und mithin wegen R <--

p - 2 7d

Wie aus (92), (94), (96) hervorgeht, gilt also in allen Fiillen

(97) el e R,, ez 2 3 2 .

1st in der sphiirischen Geometrie

fi{Bm,, mz) = 7d - 1 % - RlI,

O(m1, mz) = Rl + (n - 9 2 1 ,

also bei der vereinbarten Indexwahl

n so werden die Gleichungen (89) und (92) fiir 1 = - durch (94) befriedigt. Die

Gleichungen (94) gelten daher in Erweiterung der Voraussetzung (93) fiir 2

(98) D03321, mz) 2 7z - IR, - 8 1 1 .

142 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Unglcichung usw. in der nichteukl. Geom. I. J 8,lO.

10. Man setze zur Abkiirzung

(99) D&, 9,) = 1 .

(99') D{Dm,, D2}= I

(100) 12 R,+ R,.

(101) l<n.

el > 0, e2 > 0 gleichbedeutend mit der Ungleichung

Dann ist gemal3 (1) rtuch

und ,gemtill (10)

Ferner ist in der spharischen Geometrie gemiiB' der Voraussetzung (32)

Die Ungleichung (90) in Verbindung mit der Gleichung (89) ist wegen

welche wiederum in der gleichbedeutenden Gestalt

gesohrieben werden kann, wobei rl und r, wie friiher die Radien der mit $1 und R1 volumgleichen Vollkugeln bedeuten, und wegen (89.) und (99') el < 2 ist.

Man definiere nun die Funktion H ( t ) fur 0 < 15 I durch die Gleichung

Man erhtilt .

Ih(1 - 1)

1; (1) GemiiB Q 3 (22) ergeben sioh in den drei Geometrien fiir

(W

die ,Formeln

d I i (1 - t ) Mithin erhalt mbn fur - dt ( ) die Formeln

Gin2 t (107) - -+I)-(?) I 2 - t " - 2 .

t2

Daher bleibt in allen drei Geometrien fur 0 < t < I

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung UBW. in der nichteukl. Geom. I. 5 8,lO. 143

Mithin ist fur 0 < t < rl dH(t) >

(109) at

Dabei ist, da wegen (99) 9, in jeder Vollkugel vom Radius 1 enthalten ist, deren Uttelpunkt 9, angehort,

Wie aus (109) und (110) hervorgeht, nimmt die Funktion H ( t ) , falls rl > 0 ist, ihr Maximum an der Stelle t = rl und nur an dieser Stelle an, und man erbiilt fur den Maximalwert

(112) H(rl) = I,(Z - r l ) . Es ist also fur rl > 0

(111) r1 5 1.

(113) H ( t ) 5 In (1 - rl) 9

wobei das Gleichheitszeichen nur f i i r t = rl erreicht wird. Im Sonderfall T , = 0 wird

und nimmt wegen (110) .mit fallendem 1 zu. Da, wie aus den Formeln 5 3 (22) hervorgeht ,

ist, so folgt fur rl = 0

(116) lim R ( t ) = I; ( I ) . t - A

Es ist also fur rl = 0, 0 < t I (117) a ( t ) < I , (1) -

Da die Ungleichung (103) bei Einfuhrung von (104) die Gestalt

erhiilt, so folgt aus (113) die gemiil3 (117) auch bei verschwindendem rl gultig bleibende Ungleichung

Hieraus ergib t sich

(119)

und bei Berucltsichtigung von (99)

I,, (r2) s I , (1 - rJ*

r, 5 1 - r,

(120) r l + r , s ~ { % , % ) .

Damit ist in allen drei Geometrien die zweite Ungleichung des Spiegelthearema fur ein Yaar beschrankter, abgachlossener Rotutionspunktmengen mil gemeiwanzer Achse unter den Vorausselzungen (30), (31), (32) bewiesen.

144 E. Schmidt,Brunn-MinkowskischeUngleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. $9 , i , 2,8.

Q 9. Die zweite Bmn-Minkowskische Ungleiehung fur Ilotationspunktmengen im euklidischen und hyperbolischen Raum.

1. Es seien fur n 2 2 im n-dimensionalen hyperbolischen oder euklidis'chen Raum Q, und R, zwei beschrankte, abgeschlossene, nicht leere Rotationspunkt- mengen um die gemeinsame Achse g und R, < R,. Es seien !Ill, und m, ihre Durchschnitte mit einer feste; zweidimensionalen Meridianebene, also YR, < m,. Man bezeichne wie fruher mit g2 die Komplementarmenge von 9, im n-dimensionalen Raum und rnit &, die Komplementarmenge von W, in der zweidimensionalen Meridianebene. Dann sind @, und a, offen und unbeschrankt. Ferner ist auch 5, eine Rotationspunktmenge um die Achse g und a, ihr Durchschnitt mit der Meridianebene. Daher ist gemiiB 5 8 (4')

(1) s{Rl,a,} = s{nn, , B,}. Man bezeichne innerhalb der Meridianebene den auf beiden Seiten der Achse g

mit entgegengesetztem Vorzeichen versehenen Abstand von der Achse mit u . Fur die Entfernung zweier Punkte P, und P, der Meridianebene erhalt man dann wie unter 5 8 (9) - (2) p,p, = @ (u,, up, p; p;) 3

wobei u1 und u, die Abstande der Punkte von der Ache g bedeuten und Pi und PL ihre senkrechten Projektionen auf dieselbe.

Entsprechend der Bezeichnungsweise in 5 8 mogen in der Meridianebene '911 (u), '912 (u) , @,(u) die Durchsbhnitte von m,, m,, a2 mit der Abstands- kurve im Abstande u von der Achse g bezeiqhnen, j& (u) , ';P,(u), @,(u) die senkrechten Projektionen dieser Durchschnitte auf die Achse und v(@, (u)) , v($, (u)) die linearen MaBe von !$,(u) und @,(u).

Dann bildet $,(u) offenbar die Komplementarmenge von p2(u) auf der Achse g .

2. Man setze zur Abkiirzung

(3)

(4) 6 > 0 .

6 {ml, $3,) = 6 und mache die Voraussetzung

Dann folgt aus 5 1 (22): Gehort der Punkt P zu m,, so gehiirt der ganze Vollkreis mit dem Mittelpunkt P und dem Radius 6 zu m,.

Die Maximalentfernungen der Punktmengen 8, und von der Achse g seien R, und R,. Dann gibt es, da beschrankt und abgeschlossen ist, in m1 mindestens einen Punkt.P im Abstande R, von der Achse, und da gemaB der eben gemachten Feststellung der ganze Vollkreis mit dem Mittelpunkt P und dem Radius 6 in %P8 enthalten ist, so folgt (5) R, - R l z 6 .

3. Es sei 0 ein fester Punkt auf der Achse 9. Man bezeichne mit und 9Jlg die beiden in der Meridianebene gelegenen Vollkreise mit dem Mittelpunkt 0 und den Radien el und Po, wobei

(.6) 0 < el < ez

E. Schmidt, Briinn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. f 9,8. 145

sei. Man bezeichne ferner in der Meridianebene mit die Komplementiirmenge von %TI:, mit %TI! (u) , %TI: (u) , z: (u) die Durchschnitte von my, %TI!& @ mit der Abstandskurve im Abstande u von g , mit ‘$y (u) , Sp: (u) , (u) die senkrechten Projektionen dieser Durchschnitte auf g und mit v ( @ y ( u ) ) , u(’$:(u)) die linearen MaBe von py(u) und !$:(u). Dann bildet E(u) die Komplementiirmenge von p:(u) auf der Geraden g.

Ferner ist offenbar

(7) 8 {my, El = e a - e l . x

Man setze wie unter 0 8 (14) fur 0 2 a 5 - 2

(8) a,= a(e1, a) , a2 = a(e2, a } ,

wobei die Funktionen auf der rechten Seite unter $ 4 (29) erkliirt sind. Dann ist

(9) osals@l, osa21@8

und wegen (6)

(10) a2 -a, 2 0 .

Eine von 0 ausgehende Halbgerade, welche in 0 mit der Achse g den Winkel a,

0 5 a 5 - , bildet und in der Halbebene u 2 0 verliiuft, schneidet die Peripherie

des Kreises %y in einem Punkte, in welchem u = a, wird, und die Peripherie des Kreises %TI: in einem Punkte, in welchem u = a, wird. Da somit der erstere Schnittpunkt in Yl: (al) enthalten ist, wiihrend der letztere einen Begrenzungs- punkt von %@!(a2) bildet, und die Entfefnung dieser beiden Punkte gleich e2 - e l ist, so folgt zuniichst

72

2

(11) a{%:(al), @(a2) ) 5 e2 - e l .

6 {%:(al), @(a,)} 2 6 by, -@I,

6 bwl) I @(a,)) = e 2 - el *

6 {%!(%)I @(a,)> = @(a,, a29 6 {!$%l), E(4)

Anderseits ist definitionsmaflig

(12)

(13)

(14) und folglich

(15) Da hierdurch gemaB 5 2 (28) sichergestellt ist, da13 la, -all 5 e2 -el bleibt, so ergibt sich wegen (10)

(16)

Die Punktmengen ‘$:(a,) und !$:(a2) bilden auf der Geraden g zwei Strecken mit dem gemeinsamen Mittelpunkt 0, die sich auch auf diesen Punkt reduzieren kiinnen. D s ferner die Strecke !$!(a,) in der Strecke !$:(a2) enthalten ist, und

und es ergibt sich mithin aus (7) und (11)

Nun ist wegen (2)

@ (%,a , , 6 {!$%A E(d) = e 2 - el.

0 5 a2 - a , 5 e.2 -el .

Math. Nachr. 1948, B . 1 , H. 2/3. 10

146 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung uaw. in der nichteukl. Geom. I. Q 9,4.

!$:(a,) die Komplementiirmenge von '$~(a,) auf der Geraden g bildet, so wird offenbar

(17)

-

6{!$%1), @(%)I = t WE(a2)) - 8 Clma1)).

4. Der Meridianschnitt D, moge den folgenden Voraussetzungen geniigen : Es sei

(18) R,> 0 und fur IuI 5 R, (19) m1(u) nicht leer.

Man setze (20) RI,= R , f 6 ,

wobei 6 wie im Abschnitt 2 durch (3) definiert ist ; ferner setze man

(21) el = R,, ez = R<;. Dann ist

(22)

(23)

e2 - el = 6

0 5 a2 - a, 5 6 . und gemiiB (16)

Es seien &' ein Punkt auf der Achse g und Q1 und Q2 diejenigen Punkte auf den beiden Abstandskurven in den Abstiinden a, und a2 von der Achse, deren senkrechte Projektion auf diese von &' gebildet wjId. Dann ist

(24) &,Qz = a2 - a1 und mithin wegen (23)

(25) Q1&2 5 6 . Es sei nun &' in 9, (al) enthalten. Dann ist auch &, in m, (a,) und mithin in

Im, enthalten. GemiiB der am Eingange des Abschnitts 2 gemachten Fest- stellung wird daher durch (25) sichergestellt, daB Q2 in m, und mithin in Yllz(az) enthalten ist. Folglich ist &' als senkrechte Projektion von Qz auf g auch in !$$(aa) enthalten, und da das fur jeden Punkt &' gilt, der in !&(a,) enthalten ist, so ist

(26) rPl(,l) < 92(a2)*

Nun erhiilt man auf Grund von (2), da gemaB (19) !JJ,(a,) und mithin auch !$,(a,) wegen (9) und (21) nicht leer ist,

(27 ) { ('I), m, ('2)) = @ ('1, '2 J ' { > $2 (%)I) ' Da definitionsmiiBig

(28) ist, so ergibt sich

(29)

6 { Dl (all, rm, (4 2 6 { m1, @2} = 6

@ (% az,' { $1 (a,) , ma2)) ) 2 6 * Anderseits ist gemiiB der unter 7,2 (SchluBabsatz) fur den eindimensionalen

l tauni bewiesenen zweiten Urunn-MinkowPkischen Ungleichung wegen (26)

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung UBW. in der nichteukl. Geom. I. f 9,6. 147

bei Beriicksichtigung dessen, da13 voraussetzungsgemll3 der Raum. nicht sphiirisch ist , (30) 3v(b2(a2)) - 4 v(%(al)) Zd{%(%)J

Da gemiil3 (22) e, - el = 6 ist, so stimmen die rechten Seiten von (29) und (15) miteinander iiberein, wlhrend die Funktion @ gemll3 5 2, 3 in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie bei festem ersten und zweiten Argument mit wachsendem dritten stetig zunimmt. Daher ergibt der Vergleich von (29) und (15)

(31) %(%?)I 2 s($?(al)J %?(%))' Aus dieser Ungleichung folgt wegen (17) und (30) die enlscheidende Absch&tzung

(32) 3 v(!Pz(a2)) - 3 v(vl(aJ)) r 4 v(8%,)) - 3 @($;(a,)) *

Diese Abschiitzung entspricht der Abschatzung 0 8 (43).

5. Man bezeichne mit YX; denjenigen Teil von YX, , fiir welchen 1 uI 5 RL ist, wobei Ri durch (20) definiert ist. Dann ist auch YX; beschrlnkt, abgeschlossen, in bezug auf die Achse g symmetrisch und enthiilt YXl. Man bezeichne ferner mit 9; die durch Rotation von '9.R; urn die Achse g erzeugte Punktmenge und in der Meridianebene mit Bli(u) den Durchschnitt von fi rnit der Abstands- kurve im Abstande u von g, mit !&(u) die senkrechte Projektion von Bl;(u) auf g und rnit v ($; (u)) ihr lineares Ma13. Dann sind YX; (u) und !& (u) fur I u I 5 RL mit '9.R2(u) und '$,(u) identisch. Wegen (9) und (21) ist daher insbesondere aucb

(33) '$3; (az) mit ?&(az) identisch.

Nun ist gemiil3 (21) el = R,, e, = Ri und mithin

(34) R 1 = el, J R i = e Z J p} * 7c

Man erhiilt daher gemiil3 0 4 (35), (42), indem man I = - setzt, 2 n

und bei Beriicksichtigung von (33) I 5? -

Anderseits folgt aus 5 4 (45) I -

10*

148 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Ceom. I. f 9,6.

Aus den letzten beiden Ungleichungen erhalt man auf Grund der Abschiitzung (32) bei Beriicksichtigung dessen, daI3

(39) v(&) 2 v($), el = 4, e2 = Ri = R, + 6 ist,

(40)

Diese Ungleichung entspricht der Ungleichung 5 8 (90).

6. Die Ungleichung (40) ist gleichbedeutend mit der Ungleichung

welche wiederum in der' gleichbedeutenden Gestalt

geschrieben werden kann, wobei rl und r2 wie friiher die Radien der mit Q1 und 92 volumgleichen Vollkugeln bedeuten. Die Ungleichungen (41), (42) entsprechen den Ungleichungen 5 8 (102), (103).

Man definiere nun die Funktion G ( t ) fur t > 0 durch die Gleichung

(43)

Dann erhiilt man

(44)

Nun ergibt sich aus den Formeln 5 3 (22) in der hyperbolischen Geometrie

(45)

und in der euklidisohen

Daher bleibt in beiden Geometrien fur t > 0

(47)

Mithin ist fur 0 < t < r,

(48) und fur t > rl

(49)

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Unglcichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 8 10,1. 149

Daher nimmt die Funktion Q(t) , falls rl > 0 ist, ihr Minimum an der Stelle t = r, und nur an dieser Stelle an, und man erhiilt fiir den Minimalwert

(50) QPl) = + T I ) '

(51) Q ( t ) 2 In (8 + rJ >

Es ist also fur rl > 0

wobei das Gleichheitszeichen nur fur t = rl erreicht wird. Im Sonderfall rl = 0 wird

In ( t ) Q(t) = I,@ + t ) - I:, (6 + t ) - 1; ( t )

und nimmt wegen (49) mit fallendem t ab. Da gemiiB 5 8 (115)

(53)

ist, so folgt fur rl = 0

(54)

(55) Q ( t ) > z (6) *

(56) I n ( T Z ) 2 Q(4) erhiilt, so folgt &us (51) die gemiiB (55) auch bei verschwindendem rl gultig bleibende Ungleichung

(57) Also ist

(58) und es gilt mithin wegen (1) und (3)

(59)

lim Q ( t ) = I f l ( 6 ) . t -0

Es ist also fur rl = 0, t > 0

Da die Ungleichung (42) bei Einfuhrung von (43) die Gestalt

Ifl (rz) r I n (6 + r1) *

r2 r r1 + 6 ,

r2 - rl 2 8 (%32) * Damit ist die zweite Brunn-Minkowskische Unglei'chung fur ein Paar be-

schrankter, abgadlossener, nicht leerer Rotationspunktmengen mit gemeinsamer Achse, deren erste in der zweiten entluclten ist, in der hyperbolischen und euklidischen Qeometrie unter den Voraussetzungen (18), (19) bewimen.

$j 10. Allgomoiner Beweis dcr Ungleichungcn des Spiogelthoorems. 1. Es seien 9, und eZ zwei beschrlnkte, abgeschlossene, nicht leere Punkt-

mengen und im spharischen Falle

(1) D(21, $2) < 7 z -

Da $, in jeder Vollkugel vom Radius D (Q, , a,} enthalten ist, deren Mittelpunkt $z angehort, so folgt

(2) r1 5 D (91, Qz) >

wobei das Gleichheitszeichen nur dann eintritt, wenn fiZ aus einem einzigen Punkt-besteht, und 9, die Vollkugel mit dem Radius D($I'l, P2} um diesen Punkt als Mittelpunkt bildet.

150 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. 5 10,2.

Aus dieser Feststellung ergibt sich fur den Fall T, = 0 als triviale Konsequenz die zweite Ungleichung des Spiegeltheorems nebst der Erganzung, daB in dieser das Gleichheitbzeichen dann und nur dann eintritt, wenn R, eine Vollkugel ist, und $, sich auf deren Mittelpunkt'reduziert.

2. Wir wollen jetzt die zweite Ungleichung des Spiegeltheorems durch In-. duktion beweisen und setzen demgemiiB voraus, daB n 2 2 sei, und daI3 die Ungleichung 'Im (n -1)-dimensionalen Raum gelte. Es seien nunmehr R1 und R, zwei beschriinkte, abgeschlossene, nicht leere

Punktmengen im n-dimensionalen Raum und im sphgrischen Fall

(3) LD(RIJ 9,) < Da, falls T, oder T, verschwindet, die! Gultigkeit der zweiten Ungleichung des Spiegeltheorems unter 1 sichergestellt ist, so setzen wir voraus, daI3

(4) T I > 0, > 0 ist.

Die &us R1 und R2 durch Rotationssymmetrisierung auf der Basis einer in einem festen Punkt zentrierten (n - 1)-dimensionalen Ebene hervorgehenden Rotationspunktmengen mit gemeinsamer Achse seien 33: und 8:. Dann sind 9: und .Q: gemiiB Q 6 , 3 ebenfalls beschriinkt, abgeschlossen und nicht leer, und da bei der Rotationssymmetrisierung das Volumen invariant bleibt, so ist

(5 ) T: = 'r;, T: = T,,

wobei T: und T: die Radien der mit 9; und 9: volumgleichen Vollkugeln bedeuten.

Die Maximaldistanzen der Punktmengen a: und 9; von ihrer gemeinsamen Rotationsachse seien R: und R:. Verschwfinde nun eine von ihnen - etwa RT -, so konnte 9: nur aus Punkten der Rotationsachse besteben, und es muBte daher auch T: verschwinden - im Widerspruch zu (4) und (5 ) . Daher ist

(6) R : > 0 , R:>O,.

Es mogen YJl; und YJl: die Durchschnitte von 9: und 9; mit einer festen zweidimensionalen Meridianebene bezeichnen und in dieser 9Jl: (u) und !TI,* (u) die Durchschnitte von und YJlt mit der Abstandskurve in dem mit Vor- zeichen versehenen Abstande u von der Achse g. Dann ist gemfiB Q 5 , b fur 1uIS R: bzw. IuIsg (7) YJl:(u) bzw. YJl:(u) nicht leer.

Nunmehr wird von der Voraussetzung des Induktionsschlusses, laut welcher im (n -1)-dimensionalen Raum die zweite Ungleichung des Spiegeltheorems gultig ist, Gebrauch gemacht, indem auf Grund dieser Ungleichung gemaB 0 6 (9) geschlossen wird, daB

(8) D(8:J R:} 5 D(R1, Re} bleibt. Da gemfilj Q 8 ( 5 )

D(f i : , fi:) = D(YJl:, YJlz}

E. Schmidt, Brunn-MinkowskischeUngleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. $11, 1, 2. 151

und im sphflrischen Fall gemaB der Voraussetzung (3) des laufenden Para- graphen D{Rl, $?,} < n: ist, so wird durch (8) zunflchst sichergestellt, daB im spharischen Fall (9) D(YJI:, '!I$) < n: bleibt.

(32), und es gilt folglich gemaB

(10)

GemiiB (6), (7), (9) geniigen 9: und fi: den Voraussetzungen 9 8 (30), (31), 8 (120)

r: + rg 5 D{R?, Rz}. GemiiB ( 5 ) und (8) ergibt sich hieraus

r,+r,lD(R,,Rz),

d. h. die zweite Ungleichung des Spiegeltheorems. Damit ist die Giiltigkeit dieser Ungleichung im n-dimensionalen Raum als

Konsequenz der Voraussetzung ihrer Giiltigkeit fur n - 1 Dimensionen nachgewiesen. Da sie endlich, wie am Schlusse von o 7,4 festgestellt, im eindimensionalen Raum gilt, so ist die zweite Ungleichung des Spiegeltheorems allgemein bewiesen.

Gemiip Q 1, 7 ist damit auch die erste Ungleichung des Spiegeltheorems 5 1 (10) allgemein bewiesen.

8 11. L411gemciner Bcweis der Brunn-Minkowskischen Ungleichungen. 1. Es seien 9, und Rz zwei beschrankte, abgeschlossene, nicht leere Punkt-

mengen, fi, < 9, und im spharischen Fall auch %z nicht leer. Dann ist zunachst ini sphiirischen Fall gemaB Q 1 (20) 6 (g1, @,) < 7c. Es sei ferner in allen drei Geometrien

(1) S ( f t , , ~ , ) > 0.

1st dann P ein Punkt von el, so gehort gemaB 1 (22) die ganze Vollkugel mit dem Mittelpunkt P und den1 Radius S (a,, sz) zu Rz. Daraus folgt

(2) T 2 2 9 32) J

wobei das Gleichheitszeichen nur dann eintritt, wenn R, aus einem einzigen Punkte besteht, und R, die Vollkugel mit dem Radius 6 (a,, 3,) um diesen Pun kt als Mittelpunkt bildet.

Aus dieser Feststellung ergibt sich fur den Fall r, = 0 als triviale Konsequenz die zweite Brunn-Minkowskische Ungleichung nebst der Erganzung, daB in dieser dss Gleichheitszeichen dann und nur dann eintritt, wenn 9, eine Voll- kugel ist, und Q1 sich auf deren Mittelpunkt reduziert.

2 . I n der spharischen Geornetrie ergibt sich gemap 5 1, 17 die erste und damit auch die zweite Brunn- Minkowskische Ungleichung aus den Ungleichungen des Xpiegeltheorems, die im vorigen Paragraphen allgemein bewiesen worden sind. Wir haben somit die Brunn-Minkowskischen Ungleichungen nur fur die hyperbolische und euklidische Geometrie zu beweisen, was im nachsten Ab- schnitt durchgefuhrt werden wird.

152 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichungusw.in der nichteukl. Geom.1. $11,8,4.

3. Um in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie die zweite Brunn- Minkowskische Ungleichung durch Induktion zu beweisen, setzen wir voraus, daB n 2 2 sei, und daB die Ungleichung fur n - 1 Dimensionen gelte.

Es seien nunmehr 9, und 9 3 zwei beschriinkte, abgeschlo$sene, nicht leere Punktmengen im n-dimensionalen Raum, 9, < Ra und

(3) s(n1, @a}> 0. Da, falls rl verschwindet, die Gultigkeit der zweiten Brunn-Minkowskischen

Ungleichung udter 1 bewiesen ist, so setzen wir voraus, daB

(4) 9.1 > 0 ist .

Die aus R, und R, durch eine Rotationssymmetrisierung hervorgehenden Punktmengen seien 8: und $I:. Dabei bleibt a: < 8:. Indem wir die Bezeich- nungsweise von 5 10, .II beibehalten, bleibt

(5) r: = r,, r,* = r,. Ferner folgt wie in $10 &us (4) und (6)

(6) R: > 0, und es ist gemiiB $ 6 , 6 fiir 1.1 5 R: (7) Yll:(u) nicht leer.

folglich gemiiB fi 9 (69)

(8)

Laut (6) und (7) geniigt 9: den Voraussetzungen 5 9 (18), (19), und es gilt

r: - r: r 6 {$I;, @} . Nun wird von der Voraussetzung des Induktionsschlusses, laut welcher im

(n - 1)-dimensionalen Raum die zweite Brunn-Minkowskische Ungleichung giiltig ist, Gebrauch gemacht, indem aus ihr gemiiB 5 6 (23) geschlossen wird, daB im n-dimensionalen Raum

(9) { $ J z} 2 { R1, SZ} ist. Aus (8) und (9) folgt wegen (5)

d. h. die zweite Brunn-Minkowskische Ungleichung. Damit ist die Giiltigkeit dieser Ungleichung im n-dimensionalen Raum ais

Konsequenz ihrer Giiltigkeit fur n -1 Dimensionen nachgewiesen. Da sie endlich gemiiB $ 7, 1 im eindimensionalen Raum gilt, so ist der fur die hyperbolische und euklidische Geometrie noch zu fuhrende allgemeine Beweis der zweiten Brunn- Minkowskischen Ungleichung erbracht.

Da voraussetzungsgemiLB 9, < und mithin rl 5 r, ist, so bleibt die Un- gleichung auch in dem durch die Voraussetzung (3) zunachst ausgeschlossenen Fall, daB 6 { R1, 3,) verschwindet, in - wenn auch nichtssagender - Geltung.

4. Mit dem im Abschnitt 2 fur die sphlirische und im Abschnitt 3 fur die hyperbolische und euklidische Geometrie durchgefuhrten Beweis der zweiten Brunn- Minkowskischen Ungleichung ist gemaP $ 1, 10 auch die erste Brunn-Min- kowskische Ungleichung 5 1 (5 ) fiir alle drei Geometrien allgemein bewiesen.

r, - r 1 2 6 { 9 1 , % L

E. Schmidt, Brunn-Minkowskieche Ungleichung usw. inder nichteukl. Geom. I. $12,1. 153

§ 12. Allgemeiner Beweia der isoperimetriaehen Unglciehungen. 1. Mit dem im vorigen Paragraphen durchgefiihrten Beweise der ersten

Brunn-Minkowskischen ist gemaB 5 1, 11 auch die isoperimetrische Un- gleichung 0 1 (37), (39) bewiesen. Nunmehr sollen ihr zwei verwandte Un- gleichungen an die Seite gestellt werden.

Unter der in der sphiirischen Geometrie zusiitzlichen Voraussetzung, daB 3 nicht leer ist, ist auch der Rand von $, der mit 3 bezeichnet werden moge, in allen drei Geometrien beschriinkt, abgeschlossen und nicht leer. Man bezeichne fiir h > 0 , im sphiirischen Fall fiir 0 < h < 7c , mit &, die Gesamtheit derjenigen inneren Punkte von 9, welche vom Rande um mindestens h entfernt sindl). Dann ist auch 9 - h beschriinkt und abgeschlossen, und es gilt offenbar, wenn 9 - h nicht leer ist,

(1) GeniiiB der im vorigen Paragraphen bewiesenen zweiten Brunn-Minkowskischen Ungleichung ist daher

(2) wobei r - h den Radius der mit 9-h volumgleichen Vollkugel bedeutet.

6 {R-* ,a} = h .

T - r - h 2 h ,

Da die Ungleichung auch in der Gestalt

(3) v ( 9 - h ) 5 Ifi (r - h, geschrieben werden kann , so ist

(4)

Unter der Voraussetzung, daB 9 iiberhaupt innere Punkte besitzt, gibt es nun ein h, > 0, so daB $?-h fur h 5 h, nicht leer ist, und mithin die Ungleichung (4) in &aft tritt.

Man definiere die mit O,($) zu bezeichnende innere Minkowskische Ober- fliiche einer beschriinkten, abgeschlossenen Punktmenge 9 , die iiberhaupt innere Punkte besitzt, durch den Grenzwert

Dann folgt aus (4)

(6) Es gilt also die isoperimetrische Ungleichung auch fur die innere Minkowskische 0 berilache .

Da endlich der Rand 8 von 9 in der Punktmenge (9 - 9 - h ) enthalten h t , so folgt aus (5) noch, daB, wenn das n-dimensionale Volumen des Randes nicht verschwindet ,

wird.

oi ($1 r I:, ( r ) . .

(7 ) Oi(R) = 03

l ) Vgl. zu diesem Begriff ERHARD SCH~KZDT, tfber die Darstellung der Lehre vom Inhalt in der Integralrechnung. Math. Z. 1% (1922), 5.307, und die fruchtbare Heranziehung des Begriffs durch G. BOL, Beweis einer Vermutung von H. MINKOWSKI. Abh. math. $em. Hansischc Univ. 15 (1942), 37-66.

154 E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. § 13, l .

2. Man definiere die mittlere Minkowskische Oberfliiche von R , die mit 0, (R) bezeichnet werden moge, durch den Grenzwert

wobei Rh entsprechend der friiheren Bezeichnungsweise die zum Rande 8 im Abstande h erzeugte Parallelpunktnienge bedeutet. Dann besteht offenbar die Punktmengengleichung

(9) 8?h = ( e h - 8) + (.Q - e - h ) f Rand ( 9 - h ) .

Da der Rand von 9 - h nur aus Punkten besteht, die von !TI genau die Entfernung h besitzen, so ist gemill3 $ 1,16 sein n-dimensionales Volumen gleich Null. Daher erhiilt man aus (9)

Mithin folgt

(11)

(12)

0, (9) 2 !z O(Q) + 4 oi (R)

Om (Q) 2 1; ( r ) *

und wegen (6) in Verbindung mit der isoperimetrischen Ungleichung 5 1 (37)

Die isopeerinzetrische Ungleichng gilt also auch fur die mittlere Minkowskische Oberfliiche.

Endlich folgt aus (11) und (7) noch, daB, wenn das n-dimensionale Volumen des Randes nicht verschwindet, auch

(13) Om@) = 00

wird. Q 13. Zusanimenhlnge zwischen der ersten Brunn-Minkowskischen,

der isoperimetrischen und der ersten Ungleichung des Spiegeltheorems. 1. Es sei R eine beschrankie, abgeschlossene, nicht leere und im sphiirischen

Fall auch nicht den Gesamtraum ausfiillende Punktmenge. Es bezeichne in allen drei Geometrien hi den kleinsten Radius, fiir welchen es eine Vollkugel gibt, die 9 enthalt. Dann ist gem&B der Definition J 1, 3 b) fur h < hi leer und fur h 2 hh nicht leer. Man definiere im spharischen Raum h, durch die Gleichung (1) h , + h A = n .

Dann ist, wie unter $ 1, 17 gezeigt, O<h, l ;n , 0 5 hk<n, und es erfullt f th

fur h<h, nicht den Gesamtraum, wohl aber fur h 2 h,.

(2 ) Dann ist gLmiil3 $ 1 (41) (3) ( f b , ) h , - h , = Qh1

und da .$&,, und a fortiori e h , im sphiirischen Fall wegen ( 2 ) nicht den Gesamt- mum ausfiillen, so ist gemiifi der ersten Brunn-Minkowskischen Ungleichung

Es sei nun 0 < h, < h,, im sphiirischen Fall 0 < h, < h, < h,.

(4) rh, 2 $. rhl 2 rhs + (h, - hl)

E. Schmidt, Brunn-MinkowskischeUngleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. f 13,2,8.

und mithin

155

(5) 0 5 rhl - (r f h,) 2 rh, - (r f ha) In der hyperbolischen und euklidischen Geometrie nimmt also die fur h > 0 definierte, gemap $ 1, 19 stetige und laut der Brunn-Minkowskischen Ungleichung nicht negative Punktion ?j, - (r+h) mit wachsendem h nicht ab; in der sph&&schen Geometrie ist sie fur 0 < h < n stetig definiert und bleibt fur h 5 h, nicht negativ und mit wachsendem h nirgends abnehmend, zviihrend sie fur h 2 h,, da dann rh = n bleibt, mil wachsendem h abnimmt und mithin das Maximum n - ( r + A,) auf- weist, wobei fur h, = n R aus einem einzigen Punkt besteht, und die Funktion identisch verschwindet.

2. Es sei

(6) Dann ist gemiiB § 1 (55), wenn R(hl) nicht leer ist, oder gleichbedeutend, wenn h, 2 hh ist,

Da nun R voraussetzungsgemiiil3 nicht leer ist, so kann im sphiirischen Fall R(hs)

nicht mit dem Gesamtraum zusammenfallen und mithin wegen (7) auch nicht ( R(hl))h,-h,. Durch Anwendung der Brunn-Minkowskischen Ungleichung auf letztere Punktmenge erhlilt man daher aus ( 7 )

0 < h, < h, , im sphiirischen Fall 0 < h, < h, < n.

( 7 ) (R(h1))*;-h1 < 9(**).

(8) 2 + (h, - h,).

Wegen h, 2 hh ist ferner h, > hi , und es gilt daher gFrniiB der ersten Ungleichung des Spiegeltheorems (9) 5 h, - T .

Mithin bestehen fur

hh 5 h, < h,, im spharischen Fall fur hh 5 h, < h, < n , die Ungleichungen

(10) (h, - r ) - ~ ( ~ 1 ) 2 (h, - r ) - r(*s) 2 0.

Die Punktion (h’ - r ) - r(*’), welche in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie fur h’ > 0 , in der sph&ischen fur 0 < h’ < n dejiniert, gemap 5 1, 19 stetig und laut dem Spiegeltheorem fur h’ 2 hh nicht negativ ist, nimmt ako in allen drei Geometrien fur h‘ 2 hi mit wachsendem h’ nirgenda zu, wahrend sie fur h’ 5 h; wegen dh’) = 0 mil wachsendem h‘ wachst. Ihr Maximum ht daher h; - r , wobei fur h; = 0 R &us einem einzigen Punkt besteht, und die Funktion identisch verschwindet.

3. Es sei

(11) 0 < h , 0 < h’ und im spharischen Fall h + h‘ < n.

Dann ist gemail3 $ 1 (42) (12) (e,$h+*’) = fp‘), und hieraus folgt, wenn R(h‘) nicht leer ist, d. h. fur

(13) h’ 2 h i ,

156 E. Schmidt, Brunn-MinkowskischeUngleichungusw. in der nichteukl. Gcom. I. $13,4,5.

bei Anwendung der ersten Ungleichung des Spiegeltheorems auf die linke Seite von (12)

(14) Ferner folgt im sphiirischen Fall aus der letzten Ungleichung (11) wegen (13) und (1) (15) und es ist daher gemiiB der ersten Brunn-Minkowslrischen Ungleichung

rh + dh') 5 h + h'.

h < n - h' 5 n - hh = h,, also h < h,,

(16) Th 2 T + h . Wie aus (14) und (16) hervorgeht, gilt daher fur

(17) h' 2 hh in Reriicksichtigung des letzten Satzes des Abschnitts 2 unter der im sphiirischen Fall zusiitzlichen Voraussetzung (18) h + h ' < n :

(19) 0 5 rh - (r + h ) 5 (h' - r ) - dh') 5 h; - r .

Dabei nimmt gem@3 (5) und (10) in der mittleren Ungleichung mit wachsendem h die linke Seite nicht ab und mit wachsendem h' die rechte nicht zu. Man erhiilt daher in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie die interessanten Un- gleichungen

(20) OQh-(r+h) dlim(rh-(r+h)) s l im((h ' - r ) -~(~ ' ) ) 5(h'-r)-r(h')<hk-r. -

In der sphiirischen Geometrie bleiben endlich gemiiB 5 1 (68) die Ungleichun- gen (19) auch in dem durch die Voraussetzung (18) zuniichst ausgeschlossenen Grenzfall, drtB h + h' = n wird, in Giiltigkeit - und zwar unter Eintritt des Gleichheitszeichens in der mittleren Ungleichung.

4. Aus 'den :vorstehenden Ungleichungen ergeben sich die folgenden S&tze : Es gette fur einen Wert von h in der ersten Brunn-Minkowskischen Un-

gleichung das G'leichheitszeichen, wobei in der sphiirischen G'eometrie noch vorauszusetzen ist, dap $h nicht den Gesamtraum ausfullt, oder, was dasselbe bedeutet, dab h < h, ist. D a m gilt es gemiip (5) auch fur jeden kleineren Wert von h und mithin gemiip 5 1 (36), (37), (39) auch in der isoperimetrischen Ungleichung.

Gilt in der ersten Ungleichung des.Spiegeltheorema fur einen Wert von h', fur zvelchen 2'") nicht leer oder gleichbedeutend h' 2 hi ist, das Qleichheitszeichen, so gilt es gem@ (10) auch fur jeden gr6peren Wert von h'.

Gemiip (19) gilt es dann ferner noch in der ersten Brunn-Minkowskischen Ungleichung, und zwar in der h yperbolischen und euklidischen Geometrie fur jeden Fert von h und in der sphiirischen fur h 5 n - h'. Endlich gilt es daher g e d p dem ersten Satz auch in der isoperimetrischen Ungleichung.

h+m h'+m

5. Es moge nun 2 einen nach der Definition 5 f, 11 volumfremden Punkt P enthalten. Dann gibt es ein e > 0, so daB die Gesamtheit derjenigen Punkte von 9, deren Entfernung von P lrleiner als e ist, eine Nullmenge bildet. Man

1) Die beiden Grenzwerte fur h -+ cc und h' + 00 sind in der euklidischen Geometrie gleich, vermutlich auch in der hyperbolischen.

E. Schmidt, Brunn-Minkowskische Ungleichung usw. in der nichteukl. Geom. I. $13,6. 157

bezeichne die Gesamtheit derjenigen Punkte von 9, deren Entfernung von P mindestens e ist, mit R’. Dann ist auch $’ abgeschlossen, und man hat

Es ist also (21)

(22) r’= r ,

V ( 9 ) = Y(q3) + V ( F ) = V ( F ) .

wobei r’ den Radius der mit $3’’ volumgleichen Vollkugel bezeichnet. Ferner

sind $?; und die Vollkugel mit dem Mittelpunkt P und dem Radius h fiir 0 < h < 2 2 punktfremd und beide in $?h enthalten. Daraus folgt

(23) V ( e h ) > v(!%) und mithin

wobei ri den Radius der mit 9; volumgleichen Vollkugel bezeichnet.

sphiirischen Fall nicht den Gesamtraum ausfiillt,

(25 ) und mithin wegen (22) und (24)

(26) r h > r + h . Da somit in der ersten Brunn-Minkowskischen Ungleichung das Gleichheits-

zeichen fur O < h < - ausgeschlossen ist, so ist es gemiiB dem ersten Satz des

Abschnitts 4 in der hyperbolischen und euklidischen Geometrie fur alle Werte von h ausgeschlossen und in der sphiirischen fur alle Werte, bei welchen $h nicht den Gesamtraum erfiillt. GemiiB dem letzten Satz des Abschnitts 4 kann daher auch in der ersten Ungleichung des Spiegeltheorems das Gleich- heitszeichen fiir keinen Wert von h eintreten.

In Verbindung mit den Feststellungen des Abschnitts 4 ergibt sich hieraus der folgende Satz:

Greift fur einen Wert von h, fur welchen im sphiirischen Fall $h nicht den Gesamtraum erfullt, in der ersten Brunn-Minkowskischen Ungleichung oder fiir einen Wert von h , fur welchen 9(h) nicht leer ist, in der ersten Ungleichung des Spiegeltheorems das Gleichheitszeichen Platz, so gilt es auch in der isoperimetrischen, und $2 enthiilt keinen volumfremden Punkt.

Somit ist fur die unter 8 1, 4 und 5 ausgesprochenen Behuuptungen, laut welchen bei nicht mit dent Gesamtraum identischem f th in der ersten Brunn-Minkowski- schen Ungleichung und ebelzso bei nicht Eeerem $Fh) in der ersten Ungleichung des Spiegeltheorems das Gleichheitszeichen nur fur die Vollkugel gilt, der Beweis ge- leistet, sobald er dafur erbracht ist, da/3 das Gleichheitszeichen in der iaoperimetrischen Ungleichung unter der Voraussetzung, da/3 R keinen volumfremden Punkt enthalt, nur von der Vollkugel erreicht wird.

Damit sind bis auf diesen Beweis, der das Ziel des vierten Kapitels bildet, alle in 8 1 aufgestellten und diskutierten Satze bewiesen.

(24) rh >

Nun ist gemiil3 der ersten Brunn-Minkowskischen Ungleichung, da 9; im

ri 2 r’ + h

e 2

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Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. I