32 Permeabilitätskonstante

Wir stellen einfache atomistische Modelle des Paramagnetismus (permanente ma-

gnetische Dipolmomente) und des Diamagnetismus (induzierte magnetische Dipol-

momente) vor. Dabei wird jeweils die Größenordnung der magnetischen Suszep-

tibilität abgeschätzt. Wir beschränken uns auf die statische makroskopische Per-

meabilität, also auf die Permeabilitätskonstante. Der Ferromagnetismus wird kurz

diskutiert.

In einfachen Fällen ist das induzierte magnetische Dipolmoment μ eines Atoms

oder Moleküls proportional zum wirksamen Feld, also μ = αmB; der Koeffizient

αm ist die magnetische Polarisierbarkeit. Nach (29.11) ist die Magnetisierung M

gleich dem Dipolmoment pro Volumen. Mit der Dichte n0 der Atome erhalten wir

daher

M = n0 μ = n0 αmB (32.1)

Die magnetische Suszeptibilität χm wird durch

M = χmH (32.2)

definiert. Hierin setzen wirH = B − 4πM ein und lösen nachM auf:

M = χm

1+ 4πχmB ≈ χmB (|χm| � 1) (32.3)

Für den Para- und Diamagnetismus gilt, wie hier vorausgesetzt, |χm| � 1. Mit

M = χmB haben wir die zu P = χeE analoge Form erreicht. Der Vergleich von

(32.1) und (32.3) ergibt

χm = n0 αm (|χm| � 1) (32.4)

Aus B = H + 4πM = μH und (32.2) erhalten wir

μ = 1+ 4πχm (32.5)

In (29.17) haben wir eine makroskopische Permeabilitätsfunktion der Form μ(r, ω)

zugelassen. Wir beschränken uns hier aber auf den homogenen und statischen Fall,

also auf die Permeabilitätskonstante1.

1Im Folgenden verwendenwir den Buchstabenμmit Indizes, die klarstellen, ob die Permeabilität

(μpara, μdia) oder Komponenten des magnetischen Dipolmoments μ (etwa μz) gemeint sind.

296

T. Fließbach, Elektrodynamik, DOI 10.1007/978-3-8274-3036-6_33© Springer-Verlag Berlin Heidelbcrg 2012

Kapitel 32 Permeabilitätskonstante 297

Je nach Vorzeichen der Suszeptibilität bezeichnen wir einen Stoff als parama-

gnetisch oder als diamagnetisch:

paramagnetisch: χm > 0

diamagnetisch: χm < 0(32.6)

Paramagnetismus entsteht durch die Ausrichtung vorhandener magnetischer Mo-

mente (Spin und/oder Bahndrehimpuls von Elektronen). Paramagnetismus tritt nur

auf, wenn die Atome ungepaarte Elektronen haben. Diamagnetismus entsteht durch

atomare Ströme, die durch das angelegte Magnetfeld induziert werden. Diamagne-

tismus tritt in allen Atomen auf.

In ferromagnetischen Materialien kommt es zu wesentlich stärkeren Magneti-

sierungen als beim Dia- oder Paramagnetismus. Sofern die lineare Relation M =χmH überhaupt anwendbar ist, ist χm � 1 möglich.

Paramagnetismus

Aufgrund ihres Spins und ihres Bahndrehimpulses können die Elektronen in Ato-

men oder Molekülen permanente magnetische Momente |μ| = const. haben. Wir

nehmen an, dass die einzelnen Dipole sich unabhängig voneinander einstellen. Das

in Materie wirksame Magnetfeld B versucht, die Dipole auszurichten, die Tempe-

raturbewegung wirkt auf eine Gleichverteilung über alle Richtungen hin. Ähnlich

wie bei Paraelektrika (Kapitel 31) ergibt sich daraus eine temperaturabhängige Ma-

gnetisierung in Richtung des angelegten Felds, also χpara > 0.

Wesentlich für paramagnetisches Verhalten ist, dass die Wechselwirkung zwi-

schen den magnetischen Dipolen keine entscheidende Rolle spielt; in dem vorge-

stellten Modell wird sie völlig vernachlässigt. Im ferromagnetischen Fall führt ge-

rade diese Wechselwirkung zur spontanen Magnetisierung.

In (15.19) haben wir folgenden Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls L

und magnetischem Moment μ geladener Teilchen hergestellt:

μ = g q

2mcL (32.7)

Der Drehimpuls L ist der Spin oder Bahndrehimpuls des Teilchens. Da das magne-

tische Moment umgekehrt proportional zur Masse ist, sehen wir von den magneti-

schen Momenten der Nukleonen im Atomkern ab und betrachten nur Elektronen.

Der Einfachheit halber stellen wir uns im Folgenden ein Atom mit abgeschlossenen

Schalen und einem zusätzlichen Elektron vor. Abgeschlossene Elektronenschalen

haben den Gesamtdrehimpuls null. Das Elektron hat einen Spin h̄/2; hierfür ist der

gyromagnetische Faktor g = 2. Das beitragende Elektron habe Bahndrehimpuls

null; andernfalls ergibt sich aus der Koppelung von Spin und Bahndrehimpuls ein

komplizierterer Ausdruck für den g-Faktor.

298 Teil VI Elektrodynamik in Materie

Die Energie des Dipols im äußeren Feld ist durch (15.28) gegeben,W = −μ·B.Der Mittelwert des magnetischen Moments in Richtung des Magnetfelds B = B ezergibt sich wie in (31.31) – (31.36):

μz = μ · ez =|μ|2B3kBT

(32.8)

Daraus folgt die statische Polarisierbarkeit

αpara(0) =|μ|23kBT

∼ e2 h̄2

12m 2e c

2

1

kBT(32.9)

Im letzten Ausdruck haben wir |μ| ∼ eh̄/2mec eingesetzt; dies ist die nach

(32.7) zu erwartende Größenordnung für Elektronen. Für eine numerische Abschät-

zung der Suszeptibilität setzen wir n0 ∼ 0.1Å−3 (Festkörperdichte), e2/(1Å) =14.4 eV, h̄c/e2 = 137, mec2 = 5 · 105 eV und kBT = eV/40 ein:

χpara = n0 αpara(0) ∼0.1

12

e2

Å

(h̄c

Å

)2 (1

me c2

)240

eV≈ 7 · 10−5 (32.10)

Hieraus folgt die Permeabilitätskonstante

μpara − 1 = 4πχpara ∼ 10−3 (32.11)

Diamagnetismus

Schaltet man im Bereich einer Leiterschleife ein Magnetfeld ein, so wird in der

Schleife eine Spannung erzeugt (Faradaysches Induktionsgesetz). Diese Spannung

ist so gerichtet, dass der von ihr hervorgerufene Strom das angelegte Magnetfeld

schwächt (Lenzsche Regel). Damit ist die Magnetisierung M dem B-Feld entge-

gengesetzt und die Suszeptibilität ist negativ, χdia < 0.

Zur quantitativen Abschätzung des Diamagnetismus betrachten wir die klassi-

sche Bewegungsgleichung eines Teilchens mit der Massem und der Ladung q. Auf

das Teilchen wirke ein elektrostatisches Feld E = −gradΦ und ein äußeres Ma-

gnetfeld B :

m v̇ = −q gradΦ + q

cv × B (in IS) (32.12)

Diese Bewegungsgleichung bezieht sich auf ein Inertialsystem (IS). Wir betrachten

nun dieselbe Bewegung in einem Koordinatensystem KS′, das relativ zu IS mit derFrequenz ω rotiert. In KS′ treten zusätzlich die Coriolis- und die Zentrifugalkraft(O(ω2)) auf (Kapitel 6 in [1]):

m v̇′ = − q gradΦ + q

cv′ × B + 2m v′ × ω + O(ω2) (32.13)

Kapitel 32 Permeabilitätskonstante 299

Wir setzen ω gleich der Larmorfrequenz

ωL = −q

2mcB (32.14)

Dann kompensiert die Corioliskraft gerade die magnetische Kraft:

m v̇′ = − q gradΦ + O(ω 2L)

(in KS′) (32.15)

In der Regel sind B und damit ωL so klein, dass der Term O(ω 2L ) der Zentrifugal-

kraft vernachlässigt werden kann. Damit erhalten wir in KS′ die ungestörte Bewe-gung, also die Bewegung ohne Magnetfeld. Nun rotiert KS′ gegenüber IS mit ωL.Die Bewegung in IS ist daher eine mit ωL rotierende ungestörte Bewegung. Das

Magnetfeld führt also zu einer Präzession mit der Drehfrequenz ωL ‖ −qB. Damit

wird ein Kreisstrom induziert, der ein Magnetfeld erzeugt (siehe etwa Abbildung

15.1), das dem ursprünglichen Magnetfeld entgegengesetzt ist. Diese Aussage ist

unabhängig vom Vorzeichen der Ladung.

Wir wenden dieses Modell nun auf ein Elektron (Masse m = me, Ladung

q = −e) in einem Atom an. Das Elektron habe im Mittel den Abstand eines Bohr-schen Radius aB von der Magnetfeldachse, die durch den Atomkern geht (klassisch

könnte man eine Kreisbahn mit diesem Radius betrachten, wobei die Bahnebene

senkrecht zum Magnetfeld steht). Dann ergibt die Larmorpräzession den zusätzli-

chen DrehimpulsL = mea2B ωL. Wir setzen LL = mea

2B ωL, q = −e und g = 1 in

(32.7) ein, und multiplizieren das Ergebnis mit der Anzahl Z der (pro Atom) beitra-

genden Elektronen. Daraus erhalten wir das induzierte magnetische Moment einesAtomes

μ = Zq

2mcLL =

−Ze2mec

mea2B ωL = −

Ze2a 2B

4mec2B = αdiaB (32.16)

Für die numerische Abschätzung setzen wir n0 ∼ 0.1Å−3 (Festkörperdichte), aB =0.53Å, e2/(1Å) = 14.4 eV, me c2 = 5 · 105 eV und Z = 10 ein:

χdia = n0 αdia = − n0Ze2a 2B

4mec2∼ − 0.1Z

4

e2

Å

(aB

Å

)21

mec2≈ −2 · 10−6 (32.17)

Die Permeabilitätskonstante ist dann

μdia − 1 = 4πχdia ∼ −3 · 10−5 (32.18)

Die Werte (32.11) und (32.18) geben die typische Größenordnung für Flüssigkeiten

und Festkörper an. Für Gase ist die Dichte n0 und damit auch die Suszeptibilität χmetwa um einen Faktor 104 kleiner.

Wenn es ungepaarte Elektronen gibt, überwiegen die paramagnetischen Effekte;

denn aus (32.10) und (32.17) folgt |χpara| � |χdia|. In diesem Fall ist der Stoff

effektiv paramagnetisch. Wenn es keine ungepaarten Elektronen gibt, ist der Stoff

diamagnetisch.

300 Teil VI Elektrodynamik in Materie

Ferromagnetismus

Der Ferromagnetismus tritt in speziellen Materialien auf, zum Beispiel in Eisen,

Kobalt, Nickel und einer Reihe von Legierungen. In einem Ferromagneten erfolgtunterhalb einer kritischen Temperatur Tc eine Ausrichtung der Spins der ungepaar-

ten Elektronen. Dadurch ergibt sich ohne äußeres Magnetfeld, also „spontan“, eine

MagnetisierungMs.

Der Grund für dieses Verhalten ist die Wechselwirkung zwischen den Spins

benachbarter Elektronen. Diese Wechselwirkung kann in der Form W = −I si · sjgeschrieben werden (Heisenbergmodell). Die Ursache dieser Wechselwirkung ist

das Austauschintegral der Coulombwechselwirkung der beiden Elektronen.

Weit oberhalb der Temperatur Tc ist das Material paramagnetisch. Bei Annähe-

rung an Tc verhält sich die Suszeptibilität wie

χferro =const.

T − Tc(T > Tc) (32.19)

Dieses Curie-Weiss-Gesetz wird in [4], Kapitel 36, abgeleitet.Für T < Tc ist die globale Magnetisierung eines Ferromagneten zunächst null,

weil sich einzelne (Weisssche) Bezirke ausbilden, in denen die spontane Magneti-

sierung Ms jeweils in andere Richtungen zeigt. Durch ein angelegtes Magnetfeld

kann die Magnetisierung dieser Bereiche ausgerichtet werden. Für nicht zu große

Felder ergibt sich eine globale MagnetisierungM = χferroH mit

χferro � 1 (T < Tc) (32.20)

Die Proportionalität zwischenM und H gilt aber nur sehr eingeschränkt. So ergibt

sich für starke Felder durch Ausrichtung aller Bezirke eine Sättigungsmagnetisie-

rung. Außerdem ist die Ausrichtung der einzelnen Bezirke von der Vorgeschichte

der Probe abhängig (Hysterese).

Kapitel 32 Permeabilitätskonstante 301

Aufgaben

32.1 Vektorpotenzial aus externer Stromdichte und Magnetisierung

In einem magnetischen Medium sind die Stromdichte j ext(r) und die Magnetisie-

rungM(r) gegeben. Zeigen Sie, dass das Vektorpotenzial

A(r) = Aext(r)+Aind(r) =1

c

∫d3r ′

j ext(r′)

|r − r ′| +∫d3r ′

M(r ′)× (r − r ′)|r − r ′|3

(32.21)

die makroskopische Maxwellgleichung rotH = rot (B − 4πM) = 4πj ext/c löst.

32.2 Homogen magnetisierte Kugel

Bestimmen Sie das magnetische FeldB einer homogen polarisierten Kugel (Radius

R, j ext = 0). Skizzieren Sie den Feldverlauf, und berechnen Sie die induzierte

Stromdichte. Verwenden Sie (32.21).

32.3 Magnetisierung durch äußeres Feld

Eine Kugel (Radius R, Permeabilität μ) befindet sich in einem äußeren homogenen

Magnetfeld B0. Das Feld bewirkt eine homogene Magnetisierung M0 der Kugel.

Bestimmen SieM0 aus B0 und μ. Gehen Sie dazu von

H = B − 4πM = B/μ

aus. Skizzieren Sie die Feldlinien für den Fall μ > 1. Welche Stärke hat dasH -Feld

im Inneren der Kugel für μ� 1?

32.4 Hochpermeable Kugelschale im äußeren Feld

�

��

R1 R2

z

B0

.........................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .........................................

.........................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Eine Kugelschale (Radien R1 und R2) mit der

Permeabilität μ befindet sich im äußeren ho-

mogenen Magnetfeld B0 = B0 ez. In den ein-

zelnen Bereichen kann man H = −gradΨ mit

einem magnetischen Potenzial

Ψ (r, θ) =∞∑l=0

(al r

l + bl

rl+1)Pl(cos θ)

ansetzen. Begründen Sie diesen Ansatz, und be-

stimmen Sie die Koeffizienten al und bl . Disku-

tieren Sie den Grenzfall μ� 1.