Elliptische Kurven mit Primzahlführer

Math. Nachr. 80,253-278 (1977)

Elliptische Kurven mit Primzrshlfiihrer

Von REINHARD B~LLING in Berlin

(Eingegrlngen am 5.11.1976)

Das Ziel der folgenden Ausfuhrungen besteht in der Berichtigung und Fort- fuhrung einiger Resultate der Arbeit [13] von €3. SETZER (gleichzeitig ergeben sich einige Ergsnzungen zur Table 1 in [7]; Naheres folgt am Ende des zweiten Abschnittes). So wird fiir jede Primzahl pS401 entschieden, ob eine uber Q definierte elliptische Kurve CR mit dem Fuhrer f(d) = p existiert (vgl. die Tabelle am SchluS; Q - Korper der rationalen Zahlen). Die Betrachtung des Fuhrers elliptischer Kurven ist insbesondere im Hinblick auf die schone Vermutung von A. WEE von Interesse, derzufolge jede iiber Q definierte elliptische Kurve mit dem Fuhrer N durch Modulfunktionen fur r , ( N ) parametrisiert werden kann

I'&V), wie ublich, die Gruppe der ganzzahligen Matrizen ti) mit ad-bc=l

und c z 0 (mod N ) . Ein Vergleich unserer Ergebnisse mit [7] (Table 5) ergibt (in

den gemeinsamen FBllen ( N s 300)) die Richtigkeit der WEILschen Verniutung fur alle p , die nicht als Fuhrer auftreten konnen.

Die Bestimmung der elliptischen Kurven d mit einem gegebenen Prinizahl- fuhrer p gestaltet sich wie in [13] folgendermaklen. Es ist bekannt, daB f(d)=2 und f (A)=3 nicht eintritt ([lo], [ll], [12] , s. auch [S]).

( 1

Wir setzen im weiteren stets p + 2 ; 3 voraus.

Es sind zwei Fiille zu unterscheiden.

Lemma A. Es sei p =!= 17. d besitze wenigslens einen Q-rationalen Punkt der (genauen) Ordnung 2 und habe den Fiiihrer f(A)=p. Dann ist p =m2+ 64 far eine ganze ratwnale Zahl m. Umgekehrt gibt es zu jeder Primzahl dieser Form bis auf Isomorphic genau zwei t2-isogene) Kurven mit f (A) = p .

Beweise hierfur finden sich in [9] und [13]. Wir werden uns hier daher dem verbleibenden Fall zuwenden, gehen also ini

weiteren von folgender Voraussetzung aus :

A besitze keinen Q-rationalen Punkt der (genauen) Ordnung 2 und habe den Fuhrer f (A) = p . ( V )

254 Bolling, Elliptische Kurven rnit Primzahlfuhrer

Dann ist der 2-Teilungskorper &(A2) eine galoissche Erweiterung von Q mit ,der Galoisgruppe G3, die fur alle von 2 und p verschiedenea Primzahlen unverzweigt ist (wegen der guten Reduktion fur diese Primzahlen; z. B. [S]). Es gibt daher nur endlich viele mogliche 2-Teilungskorper. Nun hat man alle Kurven zu betrachten, die eine dieser eadlich vielen Erweiterungen als 2-Teilungskorper be- sitzen. Das liefert Kurven A(u, v), wobei (u, v) ganzzahlige Losungen einer diophantischen Gleichung

(*I f ( U , V) = f25p8

fur eine gewisse kubischeForrn f sind (der Exponent e hiingt nur von &(Aq) ab). Jede Losung (u, w ) von (*) bestimmt zuniichst eine Kurve A(u, w), die fur alle von 2 und p verschiedenen Primzahlen gute Reduktion und fur p keine gute Reduktion besitzt. Man hat also noch diejenigen Losungen auszusondern, fur die d(u, v ) keine gute Reduktion modulo 2 oder additive Reduktion modulo p besitzt. Was ubrigbleibt (falls etwas iibrigbleibt) sind die gesuchten Kurven.

1. Die Kurven A@, w)

Sei d eine uber Q definierte elliptische Kurve mit dern Fuhrer f ( A ) = p , p + 2, 3. Da Q die Klassenzahl 1 hat, besitzt d ein globales mininiales (affines) Modell

(1.1)

aiCZ (=Ring der ganzen rationalen Zahlen). Dieses Modell beeitzt die Diskrimi- nante +pr mit einem Exponenten r t 1. Daher existiert ein Modell

y2 + aixy + c(~y =x3 + aqx2 + a p + or0

(1.2) y2 = x3 +a$$+ a@ +a,,

fur d, das fur alle Primzahlen q + 2 minimal ist und die Diskriminante A = f 2r1pr besitzt .

Dann i H t Das Polynom p ( x ) = ~ 3 + a ~ z 2 + a ~ x + a , habe die Diskriminante

A=24D0,.

Sei K=Q(E) rnit cp(5)=0 einer der drei konjugierten Teilkorper rnit der Diskrinii- nante disc ( K ) des 2-Teilungskorpers von d und P=&(1/%) die einzige ill &(A,) enthaltene quctdratische Erweiterung von Q mit der Diskriminante disc (F). Dann gilt

disc ( K ) =disc ( F ) f 2 ,

also

(1.3)

Wcgen der multiplikativen Reduktion von d modulo p h a t die l’rimzahl p wonigstens zwei versohietlene Primdivisoren in K und es folgt leicht (z. B. [ I 31),

d = 24fJ(index E ) ? disc ( F ) .

Bolling, Elliptische Kurven init Primzahlfuhrer 255

daB

(1.4) (P)=Ps', @*S 9

gilt. Hiernach folgt p J disc (F) und daher disc (P)= -+p oder *4p, also F = = d ) ( I c j ) rnit E = 41. Weiterhin ist damit die abelsche Erweiterung &(&)IF fiir alle nicht uber 2 liegenden Primdivisoren von F unverzweigt. Eine solche kann nach der Klassenkorpertheorie nur exiatieren, wenn die Klassenzahl von F durch 3 teilbar ist oder die Primzahl 2 in F trlige ist. Das ergibt die folgenden Bedin- gungen .

Lemma 1. Far d sei (U) erfult . Sei p=s(mod 4), E = +. 1 . Dann gelten die Implikai ion en

disc ( K ) = E ~ und 3 1 h(ep) oder

oder P=Q(VG) * disc(K)=4Ep und 3 Ih(Ep) I disc ( K ) = 4 ~ p und p=5&(mod 8)

F = Q ( f T ) 3 disc ( K ) = - 4 ~ p und 3 I h ( - ~ p ) ,

h(d)=KlassenzahE volz &(y'd) (5. die Tabellen in [3]).

Fur die unten angefuhrte Tabelle halten wir noch fest :

Lemma B. Sei 37h(p) h( - p ) und p= $1 (mod 8). D a m gibt es keine Kurvc A, die ( V ) erffi l l t .

Sei I , w,, w! eine beliebige im weiteren fixierte Ganzheitsbasis von K . Da die Ersetzung von x durch X + W , ~ € 2 , an den Minimalitiititseigenschaften des Modells (1 .S) nichts andert, kann ohne Beschrinkung der Allgemeinheit

t=uw*+vw:!

&(a, v): y'=&; u, v)

fur gewisse u, ~ € 2 angenommen werden. Die zugehorige elliptische Kurve sei mit

(1.5)

bezeichnet, worin 9 das Minimalpolynom fur 5 ist. Sei

f(u, v) =index (ziw, +vm2) . Das definiert uns eine kubische Form (in [4] nls Indexfom bezeichnet). Wegen (1.3) folgt aus Lemma 1

(1.6) f(u, v ) = 3-2epa, ( sE2 , SZO)

init e = 3 oder e = 4 . Wir wollen dieser Gleichung eine andere Gestalt geben. Sei

=an +aio, + ao?

rnit ai, aE2, also a=index (o,). Dann ist f (u , v ) = a nornig,Q (u-@u-'v)

256 Bblliag, ElIiptische Kurven mit Primzahlfiihrer

mit @=s+a i+mt , s= ( m i ) . Das ergibt sich beispielsweise $us den entsprechenden Formeln in [13]. Hiernach wird aus (1.6) die Gleichung

(1.7) ( a = index (mi) = index (6)).

besitzt .

norm,,g (au -6v) = f 2ea2p8

Wir berucksichtigen nun, da13 A(u, v) multiplikative Redukt.ion tnodulo p

Sei o,=pi(mod p ) , q&(modq), (i= i , 2) fur gewisse p:, p,”EZ. Dann folgt y ( x ; u, w ) = ( x - - @ ’ ) (x-@”)2 (modp)

(in Z [ x ] ) mit e’, e”EZ und

(1.8) e’-up;+v,u;(modp), p “ ~ ~ p 7 +vpy(modp) . Daher ist die Reduktion von A(u, w ) wegen der Minimalitat des Modells genau dam multiplikativ, wenn

(1.9)

gilt.

IVir nehrnen daher ohne Bescliriinlrung der Allgemeinheit pla an.

‘11 (pi -pi’) * -v ( p ; - G (mod P)

Insbesondere kann nicht gleichzeitig p I index (wl) und p I index (cu.) gelten.

Lemma 2. Sei pTa = index (LO,). Il’enn A(u, v) minimal far p is!, d a m gilt

a.9~ -6v + O( mod q) .

Be w e i s. Wir haben

~ ‘ ( x ; 1, O)=(x-pi) (z-,uEd;’)* (modp)

und also -p;-Zp;’(modp).

W’eiter folgt aus der Definition von al

p:, -pi. (1.10) p;+p;’-aat+a -;--7, (modp) .

Kehmen wir an, es wiire PI --PI

n?4=:6v (mod q) , also

auz (ai --pi -py) v (mod p ) , was rnit (1.10) eineh Widerspruch zu (1.9) ergibt. Damit ist das Leinrne bewiesen.

Fur die zur Ganzheitsbasis i , cof, o2 gehorende Indexform gebrauchen wir die Abkurzung

f (x, y) = ax3 + bx*y + m y * + dyJ = (a, 6 , c, d ) . In obereinstimmung init obiger Bezeichnungsweise ist wieder a= index (q).

Balling, Elliptieche Kurven mit Primzahlfiihrer 257

Zuntichst bemerken wir

Lemma 3. Fur den Exponenten e am (1.7) gilt

3 , wenn ad=bc(mod 2 ) e = { 4 sonst

e = 3 -disc (K)=O (mod2).

Beweis. Aus Lemma 1 und (1.3) liest man ab

Die Diskriminante der kubischen Form (a, b, c, d) ist nun gerade disc (K) ([4], 9 15, Teop. 1’1. Damit ist das Lemma bewiesen.

Lemma 4. Sei &(a, v) nicht minimal fur 2 . Wenn u=v=O (mod 2 ) gilt, so mu@ e i n w der folgenden Falle eintreten

u = b = c = d = l (mod2) ,

a r 1, b=c=d=O (mod 2 ) ,

a r b ~ c ~ 0 , d~ 1 (mod 2 ) ,

worin (a, b, c, d) e k e Indexform des im 2-Teilungskorper von A@, a) enthaltenen kubischen Korpers ist.

Be w e i a. Wir haben

rp(2-; 71, v)=23+az(zc1 v) x?ta4(u, v) X+U6(1C, w ) . Unsere Annahme uber &(u, v) ist gleichbedeutend mit der Losbarkeit der Kon- gruenzen

(1.11) a&?(, v) + 3ri -r;=O (mod 4) ac,(u, v) + 2rla2(u, w) + 3ri - 2r2r,=0 (mod 16) a,>(?(, w) +r,a,(u, w) +r?a2(w, u ) +r;-r:=O (mod 64)

fur gewisse r I , r2, r3<Z mit r3=0 (mod 4), wie man leicht den allgemeinen Formeln der Reduktion entnimmt ([la], f 2). Wir beriicksichtigen nun u=v=O (mod 2). Wegen a2(zc, v)ra,(u, v)=O (mod 2) folgt r l r O (mod 2) und (1.11) mu13 auch fur r,=O losbar sein. Hiernach haben wir a2(u, v ) = q (mod 4) und damit

( 1 . 1 2 )

Setzen wir u = 2u0, v = 2v01 so folgt aus (1.12) nach kurzer Rechnung

(1.13) ( a c + b ) s r n + ( e t 1 ) P l a v n t ( b d + c ) v , ~ O (mod2) .

Weiter folgt aus (1.6)

( 1.14)

und auflerdem

(1.15)

Es konirnen also nur die drei Mogliohkeiten (ao, VO)= (1, 1); (0, 1); (1, 0) (mod 2) in Betracht, die wir jetzt der Reihe nach behandeln. Zuvor halten wir noch feat,

a 4 ( ~ ~ , v)+a2(u, v ) k O (mod 16) .

duo t (b + c ) tiova t d w , ~ (mod 2 )

(un, v,) + (0,O) (mod 2) .

17 Math. Nachr. Bd. 80

258 Bolling, Elliptische Kurven mit Primzahlfuhrer

daB aus Lemma 3

(1.16) ad=bc+e+ 1 (mod 2 )

folgt. Der FaZE (ao, vo)= (1, I ) (mod 2) . Aus (1.14) und (1.16) folgt durch Elimination von d

ub+ac+bc=a+ue+e+l (mod 2 ) .

Elimination von d in (1.13) mittels (1.14) ergibt

ab+ac+bcrc+be+e+l (mod 2 ) .

Also ist

c=u+ue+be (mod 2 ) ,

d=b+ae+be+e (mod 2 ) .

Aus (1.16) folgt dann weiter

be+e+l=0 (mod 2 ) .

Damit ergibt sich e=3 und also b=O (mod 2) und schlieI3lich C E O (mod 2 ) und d=a+ 1 (mod 2) .

Der Full (uo, v o ) z (0 , 1 ) (mod 2). Aus (1.14) und (1.13) folgt d=e (mod 2 ) und c=be (mod 2). Aus (1.16) ergibt

sich damit

ae=be+e+l (mod2) und so wieder e=3 mit a=b=c (mod 2) .

Der FaZZ (u", v0)= (1 , 0) (mod 2). Es ergibt sich in analoger Weise a= 1 (mod 2) uhd b r c = d (mod 2). Damit ist

Fiir die Belange der Tabelle (8. unten) halten wir noch folgendes feut.

Lemma C. Sei (a, b, c , d ) Indexform eines kubischen Korpers K m i t a d r b + c r 1 (mod 2). Aus XgQ(A2) folgt 2 I /(A).

Zum Beweis benierken wiry daD ohne Beschrgnkung der Allgemeinheit &=&(a, w) fiir gewisse u, ~ € 2 angenommen werden kann. Die (1.6) entsprechende Gleichung

(1.17)

liefert U E V E O (mod 4), wobei 2'( disc ( K ) und d Diskrjminante eines globalen minimalen Modelis von A ist. Dainit ist dss Lemma bewiesen.

In einigen Fhllen kann aus der Indexform unmittelbltr die Existenz einer Kurve init einem gewissen Fuhrer abgelesen werden.

Lemma D. Sei ( 1 , b, c , d ) Indexform eines kubischen KBrpers K mit 4 I] disc (R), in dew die PrimzahZ 3 nickt wild verzweigt ist. 1st wenigstens eine der Bedingungen

das Lemma bewiesen.

- - __ - -. .

f(u, v ) = rt24 ldisc (K)-lA

b=0 (mod 2 ) und C E O (mod 4)

Bolling, Elliptische Kurven mit Primzahlfiihrer 259

oder b= 1 (mod 2) und c= - 1 (mod 4)

erfiillt, so existiert eine &er Q definierte elliptische Kurve d mit K&&(dZ2) and dem Fiihrer

f(4= n P' n Pa Plldi@c(m *21&gC(K)

P+2

(11 gibt die genaue Primzah2lJotenz an, die in der betreffenden Zahl aufgeht). B e w e i s. Der Indexform ordnen wir die beiden Kurven

A+: y2=x3+2bx2+4cx+8d, dz- : y2= x3 - 2bx2 + 4cx - 88

zu ((es ist d+=d(2, 0 ) , A-=dz( - 2 , 0)). Die angegebenen Modelle haben die Diskrimihante 210 disc ( K ) . Wir zeigen zuniichst, daS wenigstens eines nicht minimal fur 2 ist.

Der FaEl b r O (mod 2), C E O (mod 4). Aus 4 1) disc (K) folgt zuniichst d = 2 (mod 4). Dann ist r1 =r2=0, r3=4 eine

Losung von (1.11) fur &=A+ resp. A=A- je nachdem, ob d=2 (mod 8) resp. d= -2 (mod 8) gilt.

Der Fall b r 1 (mod 2), CE - 1 (mod 4). Aus 4 1 ) disc ( K ) folgt zunachst b d r 1 (mod 4). Also gilt b + c + d = 1 (mod 4).

Dann ist ri=2, r2=0 , r3=4 eine Losung von (1.11) fur &=A+ resp. d=d- je nachdem, ob b + c + d = l (mod 8) resp. b+c+d=5 (mod 8) gilt.

Wir konnen also in jedem Fall ein Modell UZ finden, das die Diskriminante 2 - 2 disc ( K ) besitzt. Insbesondere gilt 2ff(A).

Betra.chten wir nun das Reduktionsverhalten von de niodulo p fur Priiiizahleii p * 3. Dazu gehen wir von einem Modell d (gleich A+ oder A-)

y'=p(x)

aus, wobei p(28)=0 niit index ($)=I gilt. Wir beweisen die folgende Bemerkung: d besitzt multiplikative Reduktion modulo p o ( p ) ==pq2, .p + q (Primdivisorew

zerlegting in K ) . Bemeis. (3): Aus der Multiplikativjtiit der Reduktion folgt dis Existenz

vori wenigstens zwei verschiedenen Primdivisoren von K , die p teilen. Der Rest folgt am p 1 disc (K). (e ) : Wegen p t index (2) zerfiillt y(z) in der Form

~ ( x ) s ( x - K ) ( Y - B ) ~ ( I T I O ~ P )

iiiit a, BeZ, K + B (mod p ) und folglic*li ist die Reduktion multiplikativ. SchlieBlich haben wir noch ( p rt; 2)

p ' j disc ( K ) o ( p ) = 992, p + q (in R) . FTier:Lus ergibt Hivh zusiiiiiiiien mi t der Bernerkurig die Beliauptung des

Leminw. 1;'

260 Rolling, Elliptiwhe Kurven rnit Primzahlfuhrer

2. Die Tabelle

Am Ende dieses Abschnittes wird eihe Tabelle angegeben, aus der fur jede Primzahl p 5 401 die Existenz bzw. Nichtexistenz einer uber Q defi'nierten elliptischen Kurve d mit dem Fuhrer / (A) = p hervorgeht. Darunter sind auch die in [13] offen gebliebenen FIlle behandelt. Einige in [13] untersuchte FBlle werden ebenfalls noch einmal betrachtet, da die dort a'ngegebenen Argumente nicht zutreffen (Naheres am Ende dieses Abschnittes).

Iin weiteren wird der folgende wohlbekannte Sachverhalt ohne ausdruckliche ErwBhnung haufig verwendet, so daB wir ihn hier boch einmal angeben wollen: sei 6 ein ganzes primitives Element fur K und rZ{ index (6). Dann folgt aus

z+y8+z62=0 (mod 2")

fur gewisRe x, y, zEZ, n - natiirliche Zahl,

xry=z-O (mod 2%).

In den FBllen, wo dieser SchluB nicht anwendbar ist (2.7, 2.8, 2.11), sind die entsprechenden Modifikationen der jeweiligen Behandlung sofort zu ersehen.

Es empfiehlt sich, folgende Bezeichbungsweise einzufuhren. Fur einen ganzen endlichen Divisor a und ganze Elemente A, A ' E K schreiben wir

A'ZA (mod a) , fdls ein zu a primes gEZ mit VSgA (mod a) existiert ( g i s t naturlich wieder Aquivalenzrelation).

2.1. Der Fall p=29

Sei f(d(u, v)) = 29. Aus Lemma 1 findet man die moglichen disc (Ii) und aus [l], [4] 5 30, 3 31 ergibt sich ein einziger moglicher 2-Teilungskorper mit einer Indexform

(1 , 1 , 0 , 2 )

fur K . AUS (1.6) folgt u=v (mod 2 ) . Der Fall u=srO (mod 2) kommt hach Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall U E V G 1 (mod 2). Es werden einige Angaben zur Arithmetik

in K benotigt. Wir hsben

( 2 ) = P 2 d Y

(PI = P V , P = (n) mit

&=(1+8), q2=(6), n = 3 + 2 @ ,

83+62+2=0,

Bolling, Elliptische Kurven mit Primmhltahrer 261

wie nian durch Rechnung bestatigt. Grundeinheit ist [l], [4] 8 64

&=-1+8+8.L'

(in [l] init 2+6 ah primitives Element angegeben). Dam bekoinmt (1.7) unter Beriicksichtigung von Lemma 2 die Gestalt

(2.1.1) u - ~ v = (1 + 6 ) 3 (3+26y8

fur ein gewisses mEZ. Behauptung : m= 0 (mod 2). Das folgt aus

(1 +a)% 1 +6 (mod 2) , E (1 +8)3= 1 +82 (mod 2) , $_= 1 (mod 2),

IVir lirtben E ~ Z (mod 4). Aus (2.1.1) folgt dann

( 2 . 1 2 )

mit ACZ, J . z O (mod 2). Beriicksichtigen wir

I ~ - - ~ v ~ E ' (1 $6-262) (mod 4)

E ~ E 1 (mod 4 ) ,

so folgt sowohl fur A= 0 (mod 4) als auch fur k 2 (mod 4)

E' (1 +8)3E 1 +6+ 282 (mod 4) ,

q.e.d.

was im Widerspruch zu (2.1.2) steht. Aus f(A)=29 folgt daher, daB d wenigstens einen Q-rationalen Punkt der

(genauen) Ordnung 2 besitzt. Damit kann nach Lemma A f(A)=29 nicht ein- t ret en.

2.2. Der Fall p=59

Sei f(&(a, w))=59. Aus Lemma 1 findet man die moglichen disc (K) und aus [l], [4] Q 31 ergibt sich ein einziger moglicher 2;Teilungskorper init einer Index- form

(1 ,0 ,2 , 1)

fur h'. Aus (1.6) folgt u=v (mod2). Der Fall a=v=O (mod 2) kommt nach Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall u=o= 1 (mod 2 ) . Es werden einige Angaben zur Arithmetik

in K benotigt. Wir haben

(2) = Pscls ( P ) = P q * , P = ( 4

mit Q?=(1+6), ~=16-38+88*, 6"28+1=0,

262 Bolling, Elliptische Knrven mit Primzahlfiihrer

wie man durch Rechnung bestiitigt (q2 - Primdivisor zweiten Grades). Grund- einheit ist [l], [4] § 64

& =6

(in [l] mit 1 +6 als primitives Element fur K angegeben). Dann bekommt (1.7) unter Berucksichtigung von Lemma 2 die Gestalt

(2.2.1) u - 6 ~ = *P (1 +6)4 fur gewisse mEZ.

Behaqtung : m + s- 0 (mod 3). Das folgt aus

( I +6)4= 1 +6 (mod 2) , &=n (mod 2 ) ,

&3= 1 (mod 2), q.e.d.

Behauptung : u -6v Z E~~ (1 +6)4 (mod 8) ist unlosbar , dr u, v, ,I < Z . Nach kurzer Rechlnung findet man nlimlich fur 3, z 0

e3' (1 +6)4 E (4 + 212) 82+ * 19 + 8 (mod 8)

(* steht fur ganze rationale Zahl). Aber

4+2i1*=0 (mod 8)

q. e. d. ist fur 1EZ unlosbar,

sichtigt. Und wieder folgt nach Lemma A, dal3 /(A) =59 nicht eintreten kann. Damit ist aber auch (2.2.1) unlosbar, wenn man noch ngc (mod 8) beruck-

2.3. Der Fall p=107

Sei f(A(u, v ) ) = 107. Aus Lemma 1 findet man die moglichen disc (K) und aus [l], [4] 9 31 ergibt sich ein einziger moglicher 2-Teilungskorper mit einer Index- form

4 , l ) fiir K. Aus (1.6) folgt u=v (mod 2).

Der Fall u=w=O (mod 2) kommt nach Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall u=v=l (mod2). Es werden einige Angaben zur Arithmetik


(2)=P2Q2

( P ) = P Q 2 , ;P=(n) mit

@2=(1+tsF), ~ = 3 + 2 8 2 ,

6 3 + 2 t ~ + ~ + 1 = 0 ,

Balling, Elliptische Kurven niit Primzahlfiihrer 263

wie man durch Rechnung bestiitigt (q2 - Primdivisor eweiten Grades). Grund- einheit ist [l], [4] $ 64

€=t?

(in [I] fur 1 +6 als primitives Element angegeben). Dann bekommt (1.7) unter Beriicksichtigung von Lemma 2 die Gestalt.

(2.3.1) u-&= fP (1+6)'(3+26')'

fur ein gewisses m €2. Behauptung: m=O (mod 3). Aus (3.3.1) folgt

1 (1 +6) (mod 2) , was zusammen mit

6 3 r 1 (mod 2)

die Behauptung ergibt. Weit.er ergibt eine kurze Rechnung fur jZ Z O

E~~ (1 +6)4 (3+26*)8gi'(2 ( t+s )?+2)6 '+*6+* (mod 8 )

(* steht fur ganze rationale Zahl). Aber

2 (1+s)24-2=0 (mod 8)

ist fur A, sEZ unlosbar.

f(.4) = 107 nicht eintreten kann. Damit ist aber auch (2.3.1) unlosber. Wieder folgt nach Lemma A, daB

2.4. Der Fdlp=167

Sei f(d(u, v)) = 157. Aus Lemma 1 findet man die mogliclien disc (K) und aus [I], [4] $ 30, 5 31 ergibt sich ein einziger moglicher 2-Teilungsko1pr mit einer Indexform

(5, -6, 5, -2) fur K (fur unsere Zwecke leicht umgestellt).

Aus (1.6)folgt u(l+v)=O(mod2). Der Fall u=v= 1 (mod 2) fuhrt nach (1.6) auf 2u=O (mod 8) und damit zum

Der Fall u-v=O (mod 2) kommt nach Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall u10, v = 1 (mod 2). Es werden einige Angaben zur Arithmetik

Widerspruch.


(2) = P d (5 1 = P535q5 (P) =m2, P = (4

264

init

Bolling, Elliptische Kurven mit Primzahlfiihrer

p,=(114+96+862), n = 1 7 + 6 + 6 ’ ,

6J+138-16=0,

(29.) = P i , (2 +a) = p,q> 9

wie man durch Rechnuhg bestatigt (q5 - Primdivisor zweiten Gritdes). Grund- einheit ist [ 11

1 - (-31 +316-382) 5

1 1 5

dort nii t - (3+28-6’) als primitives Element fur K angegeben . Dann folgt

aus (1.7) unter Beriicksichtigung von Lemma 2 die Losbarkeit der Kongruenz

(2.4.1) 5u-2w-6v Z ( 2 + 6 ) 3 ~ ~ n ~ (mod 4)

init einem gewissen ~ E Z . Behauptung: m+s-O (mod 2). Das folgt aus

E = Z (mod 2 ) ,

~ 2 = 1 (mod 2) , 6 ~ d P (mod 2),

Wir brauchen nun nur den Fall m=s=O (mod 2) zu betrachten, da

E ? = z ~ (mod 4 ) ,

E Z Z 1 (mod 4)

gilt. Fur diesen Fall ergibt sich aber dns Gewiinschte aus

und E ~ E 1 (mod 4)

( 2 + 8 ) 3 ~2g((B+&)3g8+2Pj)2 (mod 4 ) .

Aus der bewiesenen Unlosbarkeit von (2.4.1) folgt nach Lemma f (A) = 157 nicht eintreten kann.

q.e.d.

A, daf!,

2.5. Der Fall p=211

Sei f(d(u, v))=211. Aus Lemma 1 findet man die moglichen disc ( K ) und aus [l], [4] $31 ergibt sich ein einziger moglicher 2-Teilungskorper mit einer Indexform

(1,0, --2,3) fur K. Aus (1.6) folgt u=v (mod 3).

Balling, Elliptisrhe Kurven mit Primzahlfuhrer 265

Der Fall u=v=O (mod 2) kommt nach Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall u=v= 1 (mod 2). Es werden einige Angaben zur Arithmebik

in R benotigt. Wir habeh

niit

&$=(1+8), n=8-382,

63-26+3=0 ,

wie man durch Rechnung best,%tigt (q? - Primdivisor zweiten Grades). Grund- einheit ist [l], [4] 8 64

& = 2 + 8 .

Dann bekommt (1.7) unter Beriicksichtigung von Lemma 2 die Gestalt

(2.5.1) u-&= rt(2+6)m ( 1 +6)2 (8-362)'

fur ein gewisses mE2. Behauptung: m+2sm1 (mod 3). Das folgt wegen

lt=G (mod 2)

Behauptung: m ~ 0 (mod 2). Setzt man m + 29 = 31 + 1,1~2, so ergibt sich nach einiger Rechnung

unmittelbrtr durch Betrachtung von (2.5.1) modulo 2.

(2+6)~ .28~(4+4j22)82+$g+~ (mod 8)

(* steht fur ganze rationale Zahl). Daher folgt tius der Losbarkeit von (2.5.1) 1 (mod 2) und damit die Behauptung. Behaqtung: m s 2 (mod 4). Man uberzeugt sich zunlchst davon, dal3

(3) = P343

mit t ! k O (mod p 3 ) , @k - 1 (mod q3) (q3 - Primdivisor zweiten Grades) gilt. Aus der Losbarkeit von (2.5.1) folgt die Losbarkeit von

16'-&'= ( - 1 +8)% (1 +8)2 (mod 3)

fur gewisse u', ~ ' € 2 . Hieraus liest man U ' E ( - 1)"O (mod p 3 ) ab. Wir nehmen an, dnB m = 0 (mod 4) gilt. Wegen

(1 - 8 ) h ~ - 1 (mod q3)

folgt m

( - l)m-W= ( - 1)' (-8) (mod q3) , was den gewiinschten Widerspruch ergibt, q.e.d.

266 Balling, Elliptische Kurven rnit F'rimzahlfiihrer

Daher gilt r n ~ 4 s - 2 (mod 12). Man uberzeugt sich leicht davon, da13

(2 + 6 ) i k 1 (mod 16)

gilt. Also zieht die Losbarkeit von (2.5.1) die Losbarkeit von

u -6wr (2 + 6 ) 4 8 - 2 ( 1 + 6 ) 2 (8-362)' (mod 16)

nach sich. Nach einiger Rechnung erh5lt man hieraus u - 6 w ~ 862+ +6+ * (mod 16)

fiir alle sEZ (* steht fiir ganze rationale Zahl).

f(d) = 2 1 1 nicht eintreten kann. Aus der bewiesenen Unlosbarkejt von (2.5.1) folgt nach Lemma A, da13

2.6. Der Fall p=223

Sei f(d(zc, v))=223. Aus Lemma 1 findet man disc (K)=2'.223. Hierzu gibt es nach [4] § 30 nur einen moglichen 2-Teilungskorper mit einer Indexform

(1 , -1, -8, 10)

fiir K. Aus (1.6) folgt u=v (mod 2). Der Fall u=v=O (mod 2) kommt nach Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall u=v=l (mod 2). Es werden einige Angaben zur Arithmetik


(2) =.Pd Y

(PI = m 2 Y .p = (4 mit

&=(1-6), Z= -29+4&2,

63-62-88+10=0,

wie man durch Rechnung bestlitigt. Die Grundeinheiten sind [2]

- 1 l f 5 6 f 3 6 2 ,

Q= -77+326+2W2.

Dann folgt aus (1.7) unter Berucksichtigung von Lemma 2 die Kongruenz (2.6.1)

fur gewisse my ncZ. Das ist aber nicht moglich. Denn wir haben

u -8wG (1 -@)3 e;"&;ng (mod 4)

N

~ ~ ~ z d - 1 (mod 4)

und weiterhin e : ~ - 1 (mod 2qi) .

BbIIing, Elliptische Kurven mit Primzahlfiihrer 267

Daher ergibt sich

p - @ ) 3 & q - @ ) 3= 1 -6f292 (mod 4) fiir m=O (mod 2)

Aus der damit bewiesenen Nichtexistenz von Losungen fiir (2.6.1) folgt nach

( 1 - ~ ) 3 & f ~ - l + @ 2 ( m o d 4 ) fur m r l (mod2).

Lemma A schliel3lich) dal3 / (A ) =223 nicht eintreten kann.

2.7. Der Fall p=227

Sei f(cR(.u, v))=227. Aus Lemma 1 findet man disc ( K ) = -22.227. Hierzu gibt es nach [i], [4] 8 31 nur einen einzigen moglichen 2-Teilungskorper mit einer Index form

(a, 0, -2, 3 )

fur K . Aus (1.6) folgt u = v = O (mod 2) und v ~ 2 (mod 4). Es werden einige An- gaben zur Arithmetik in K benotigt. Wir haben

(2)=p% p2=(e)

(PI = PS2, .p = (4

+= -16+36+3iq n=11-~+2262, 2 6 3 - ~ + 1 2 = 0 , niit

wie man durch Rechnung bestatigt. Grundeinheit ist [l] E= -23+126+7@'?.

(dort mit 3+6 als primitives Element fur K angegeben). Bezeichnen wir die nach der Division durch 2 &us u , o entstehenden Quo-

tienten der Einfachheit halber wieder mit denwlben Buchstaben, 80 folgt aus (1.7) unter Beriicksichtigung von Lemma 2 die Losbarkeit der Kongruenz

(2.7.1) 2ufPS.%em~? (mod p:) , denn es gilt

xZi (mod p i ) . SchlieBlioh erhalten wir

P@k6+92 (mod 8:) ,

2u=@ (mod @;)

den gewiinschten Widerspruch Uefert.

was uns mit

Hieraus folgt nach Lemma A, dal3 f(A) = 227 nicht eintreten kann.

268 Rolling, Elliptische Kurven mit Primzahlfuhrer

2.8. Der Fall =241

Sei f (d(u, v))=341. Aus Lemma 1 findet man disc (K)= -22.243. Hierzu gibt es nach [l], [4] 0 31 nur eihen einzigeh moglichen 2-Teilungskorper init einer Indexform

(2, 0, - 1, 3) fur K. Aus (1.6) folgt U E V (mod 2).

Der Fall u=v=O (mod 2) kommt nach Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall u=v= 1 (mod 2). Es werden einige Angaben zur Arithinetik

in K befiotigt. Wir haben 2 (2) =Pa923 4 2 = (e) >

(P) = 4q2, P = (4

e=2-6+-62, n=7+5@+62,

6”226+12=0,

mit 1

2

wie man durch Rechnung bestatigt. Uberdies Grundeinheit ist [I]

E = -41 -36+5??2

(dort mit 3+6 als primitives Element fur K ) . Setzen wir

E=e (2-6) 9

so ist &2+36+262 (mod 4p2q2) .

halten wir noch (2-6)=piq2 fest.

Unter Beriicksichtigung von Lemma 2 folgt aub: (1.7) die Losbarkeit der Kon- gruenz

(2.8.1) 2u-29.v ZernEnp (mod 4p9q2) . Behauphng : m + SE 0 (mod 2). Das folgt aus

Z = E (mod 4@2q2) , c 2 k 5 (mod 2p2q2) , e552+6+62 (mod 2p2qa) .

Dann erhalten wir den gewiinachten Widerspruch BUS

&= 1 (mod 4p2q2) , P ~ E E - 2 +6 + 2r92 (mod 4;p2q2) .

Hieraus folgt nach Lemma A, da13 f(d) =241 nicht eintreten kann.

Bolling, Elliptische Kurven mit Primznhlfiihrer 2611

2.9. Der Fall p=251

Sei f(Jl(u, w)) = 251. Aus Lemma 1 findet man disc ( K ) = - 22.251. Hiemu gibt es nach [l] nur einen einzigen moglichen 2-Teilungskorper mit einer Index- fonn

(1 ,0 , 2, 6) fur K . Aus (1.6) folgt u=v-O (mod 2 ) . Da unser Model1 nicht minimal fur 2 ist, erhalten wir aus (1.11)

v r 2 (mod 4)

( u = 2 (mod 4) ist sowieso klar). Es werden einige Angaben zur Arithmetik in K benotigt. Wir haben

( 2 ) = P i

(P) =m3, .p = (4 init

~=59-216+146*,

63+26+6=0 ,

wie man durch Rechnung besttitigt. Grundeinheit ist [ 11

E = 7 + 158 + 782

(dort mit 2 + 6 als primitives Element fur K angegeben). entstehenden Quo-

t ienten der Einfachheit halber wieder mit denselben Buchstaben, SO folgt RUS

(1 -7) unt.er Beriicksichtigung von Lemma 2

Bezeiclinen wir die nach der Division durch 2 aus u,

(2.9.1) 7 1 - @ w = +ErnX6 . Behaqtung : m + s= 0 (mod 2 ) . U7ir haben tz'n (mod 3). Der Rest ergibt sich aus E*= 1 (mod 3) (die Prim-

q.e.d. Wir beriicksichtigen nun E Z ~ 1 (mod pi). Das ergibt zusammen mit

zahl 3 ist in K voll zerlegt),

4 $ = ~ k 1 +W (mod p z ) ivegen (2.9.1) die Losbnrkeit der Kohgruehz

1 + ~ Z E ' ~ (mod $I:)

fur ein gewisses 2 ~ 2 . Aus EG= 1 (mod p i ) folgt damit der gewunschte i4'idersprucIi und aus Lemma A schliefllich, da8 f(A) =251 nicht eintreten kann.

270 Bolling, Elliptisclie Kurven mit Primzahlfiihrer

2.10. Der Fall p=283

Sei f(A(u, v))=283. AusLemma 1 findet man die moglichen disc ( K ) und aus 31) ergibt sich ein einziger moglicher 2-Teilungskorper mit einer [l] (vgl, [4]

Indexform

fiir K . Aus (1.6) folgt U E V (moQ 2). (1,0, 4, 1)

Der Fall u r v ~ 0 (mod 2) kommt nach Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall UGVE 1 (mod 2). Ea werden einige Angaben zur Arithmetik


(2) = 43292

(p)=Ps2, @=(4

n=3-4@ , mit

63+46+1=0 , wie man durch Rechnung bestiitigt (q2 - Primdivisor zweiten Grades). aberdies halten wir

(1+6)=@; feat. Grundeinheit ist [l], [4] 8 64

&=9. Unter Beriicksichtigung von Lemma 2 folgt aus (1.7) die Kohgruenz

(2.10.1)

Wegen

u - 9 ~ ~ 8 ~ (1 +26+6’) (mod 4) .

6 3 El (mod 4)

folgt fur mrl (mod 3) resp. m=2 (mod 3) fur die rechte Seite von (2.10.1) -1+6+262(mod4) resp. 2--6+62 (mod4).

Aus der bewiesehen Unlosbarkeit voh (2.10.1) folgt damit hach Lemma A, daR f(d) =283 nicht eintreten kann.


Sei f(Jl(u, v)) = 293. AUS Lemma 1 findet rimn die miiglichen disc ( K ) und t t u ~

[l], [4] 5 30, Q 31 ergibt sich ein einziger moglicher 3-Teilungskorper niit einer Index form

(a, -4 ,5 , 1)

fur K . Aus (1.6) folgt u-v (mod 2).

Bolling, Elliptische Kurven init Primzahlfiibrer 27 1

Der Fall z i = ZI= 0 (mod 2) kommt nach Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall u= W E 1 (mod 2). Es werden einige Angaben zur Arithmetik

in K benot.igt.. Wir haben

( 2 ) = P d ;Pz=(e) 9

(PI = 9q29 P = (4 mit

1 a=- 62, . 2

63-4@+106+4=0,

Z= 197 -74t?+ 1762,

wie man durch Rechnung beatiitigt. Grundeinheit ist [l] ~=5+13#-4&2

(dort mit 1+6 als primitives Element fur K angegeben). Unter Berucksichtigung von Lemma 2 folgt aus (1.7)

Behauptwng: mrO (mod 2). Das folgt aus

(2.11.1) 2u-6v= +&V@W.

s%e3=8~3 (mod 26) , z Zis* (mod 28) , &~3Zi2+8+62 (mod 2 4 ,

Behuuptung: m=O (mod 4). Dazu beriicksichtigen wir

q.e.d.

&4= 1 (mod 8) $3 1 (mod 8 ) .

(211.2)

Xehmen wir m E 2 (mod 4) an, so wird em8e3z8= ~2ilEe3n' (mod 86) . .

Das liefert fur s s 0 (mod 2) resp. s= 1 (mod 2) fur die rechte Seite der Kon- gruenx 2-8+4& (mod 88) resp. -6+38+4& (mod SS). Das kann aber nicht auftreten.

Die Priinzahl 17 ist in K voll zerlegt Behauptutq: m=4 (mod 16) wid s ~ 3 oder s=6 (mod 8).

( I 7 ) =P1iqlT~l7 *

Aus der Zerlegung des Minimalpolynoms x~-44x?+lOx-t-4=(~-6) ( 2 - 7 ) ( I L - 8 ) (mod 17)

(die Anordnung der Faktoren entspreche der Anordnung der Primdivisoren) gewinnt, man lei& dss folgende Resultat,. Die Kongmenz

2 u - & ~ ~ ' V ~ 3 3 t ~ (mod 17)

272 Balling, Elliptisohe Kurven mit Primzahlfuhrer

ist genau dann mit u, wEZ losbar, wenn

(2.11.3) P+Rr2Q (mod 17)

gilt, wobei P, Q, R ganze rationale Zahlen mit

E ~ ~ Q ~ ~ C ' E P (mod pi7), = Q (mod qii), = R (mod rli) sind. Aus (2.11.3) folgt nun

6710m98+8711m48~2.7715rn+8 (mod 17) . . Die einzigen Losungen mit m=O (mod 4) sihd die in der Behauptung angegebenen. Mah hat beispielsweise die Kongruefizen

indqrlOs-3 (mod 16)

ihd (q+1)=3m+4s+2 (mod 16)

fur qcZ zu losen ((ind - Index zur Basis 3 modulo 17, REqP (mod 17))) . q. e. d. Aus (2.112) folgt weiter

e1G=_n8= 1 (mod 32) . Nach einiger Rechnung ergibt sich

6 ~ 3 . ~ 4 ~ 2 ~ ZlO + 78 + 16@ (mod 326)

fur s ~ 3 und s=6 (mod 8). Damit ist die Unlosbarkeit von (2.11.1) bewiesen und nach Lemma A folgt schlieBlioh, daB f(A) = 293 nicht eint'reten ksnn.

2.12. Der Fall p = 349

Sei f (A(u , u ) ) = 349. Aus Lemma 1 findet man disc ( K ) = 22.349. Hierzu gibt es einen einzigen moglichen 2-Teilungskorper mit einer Indexform

( 1 9 % -66, -2)

fur K . Bemerkung. Der Autor hat K mit dem in [4] 0 28 beschriebenefi Verfalwen

gefunden. Die Eindeutigkeit von K folgt iibrigens schon aus O<disc (K)<20000 ([3], Bemerkung zur Tabelle 9). Der vorliegende Fall ist etwas miihsarner als dio iibrigen .

Aus (1.6) folgt u=wz0 (mod2). Da unser &lodell nicht minimal fur 2 ist, erhalten wir aus (1.1 1)

(2.12.1) 0-2 (mod 4) '

(u=2 (mod 4) ist sowieso klar). Es werden einigc Angaben zur Arithmetik in K benotigt. Wir haben

(2) =pit >

(PI = PQ2, P = (4

Balling, EUiptische Kurven mit Primzahlfuhrer 273

x = -3+56+6?, 63+26'-6G-2=0,

wie man durch Rechnung bestatigt. Die Grundeinheiten sind ~ i = -7+28+6' ,

&?= -9+6+6*. Bemerkung. Diese Einheiten sind nach dem in [5] beschriebenen Verfahren gefunden worden.

Zum Nachweis, daB die gegebenen Einheiten Grundeinheiten sind, l&Bt sich dm Theorem in [5] in unserem Fall nicht anwenden. Durch eine leichte Modifikation des dort angefiihrten Beweises erhalt man ohne Schwierigkeiten das Gewiinschte. Die notigen Sohritte mien hier kurz skizziert.

Fur irgendein E E K sei 1

S(t ) = 2 { ( E - E ' ) 2 + ( 5 " -e")Z+(E" - 0 2 ) ,

wobei h', t" die zu G$ konjugierten Elemente seien. Man hat #(q) =a, &&z) -64. Es wird folgendes gezeigt. Sei eEK Einheit. Dann gilt

#(e)-=92*&=fl , -I-q, f ~ . Danach verfahrt man wie beim Beweis des Theorems in [5]. Es bleibt dann nur noch iibrig, die FaIle

(q-Einheit) auszuschlieBen. Das ist im Fall (i) durch Betrachtungen modulo 2 und im Fall (ii) durch Betrachtungen modulo 9 moglich.

Bezeichnen wir die nach der Division durch 2 &us u,v entstandenen Quo- tienten der Einfachheit halber wieder mit denselben Burhstaben, so folgt aus (1.7) unter Beriicksichtigung von Lemma 2

(i) kqz, (ii) ei&2,= kq3

(5.12.2) u-@v= +&y&;d fur gewisse m, n@.

Behauptung: 2 m + n + ~ 3 (mod 4). Das folgt au8

d r l (mod2) , E?=X (mod 2 ) , el=$ (mod 2)

(man beachte (2.12.1)). Behauptztng: m= 1 (mod 2) und m=s+ 1 oder m r s + 2 (mod4). Den Nachweis fuhren wir in der Art, wie er bereits im FaU 2.11. auftrat.

Die Primzahl 5 ist in K voll zerlegt. Dann erhiilt man wie im Fa11 2.11., &I3 die Kongruenz

genau dann fur u, v€Z losbar ist, wenn u -Ow= E?&' (mod 5)

2m38+*~3n+8+2.3mtn (mod 5)

gilt, Hiernus wird nun leicht die Behauptung erhalten. 18 Yath. Nachr. Bd. 80

274 Bolling, Elliptische Kurven mit Primzahlfiihrer

Damit bleiben nur die vier Moglichkeiten

(m, n, + ( I , 1, O ) , (1 , 2, 31, (3 ,0 , 11, (3 ,3,2) (modulo 4)

E ~ E ~ = 1-6-262 (mod 8) , ci&% E$T= 3 +6+ 262 (mod 8) , &$'= 1 + 36 - 2tP (mod 8) .

iibrig. \Vir haben

Nun ist aber fur jedes ganze Element 6 EK mit

~=cO+cl6f262 (mod 8)

fnU=(2+4i1+2 (12+1)c0+21cl)62+*6+* (mods)

fur jedes IEZ (* steht fur ganze rationale Zahl), wie eine kurze Rechhung ergibt. Wegen

E: = n8 (mod 8) , E: = 7c4 (mod 8)

folgt aus (2.12.2)

2+42+2 ( i 1 2 f l ) c0+23Lc1=O (mod 8) . Diese Kohgruenz ist aber fiir co= 1 (mod 2 ) , ci= 1 (mod 4) fiir kein IEZ erfiillt. Da in den verbliebenen Fiillen co, ci entsprechencle Werte haben, kann (2.12.2) nicht bestehen. Nach Lemma A folgt schlieBlich, dal3 /(A) = 349 niclit eintreten kann .


Sei f(d(u, v))=397. Aus Lemma 1 findet man disc ( K ) = f22.397. Es gibt keifi K mit disc (K)=22.397, was man beispielsweise mit dem in [4] $28 beschriebenen Verfahren einsieht. Fur den verbleibehden Fall gibt es nach [l] einen einzigen moglichen 2-Teilungskorper mit einer Indexform

(1,0, -11 , 16)

fur R. Aus (1.6) folgt u (1 + v ) r 0 (mod 2). Der Fall urw=l (mod 2) fuhrt nach (1.6) auf 2 u ~ O (mod 8) und damit

Zuni Widerspruch. Der Fall uzw=O (mod 2) konirnt nnch Lemma 4 nicht in Betracht. Bleibt der Fall u ~ 0 , V E 1 (mod 2). Es werden einige Angnben zur Arithmetik

in K benotigt. Wir huben

P ) = P 2 q ; 9

(P) = P P , P = (4

Bolling, Elliptische Kurven mit Primzahlfiihrer 275

mit p,=(2-9), Z= -165+128+1462, 63-11$3+16=0,

wie man durch Rechnung bestiitigt. Grundeinheit ist [l]

&=-199-dlf@

(dort mit 4+6 als primitives Element fur K angegeben). Dann folgt aus (1.7) untm Berucksichtigung von Lemma 2 die Kongruenz

JU -6uZ(2 - 8 ) 3 emn' (mod 4)

fur ein gewisses med. Behuuptung. msO (mod 2). Das folgt aus

&k 1 (mod 2 ) , &=82 (mod 2) , q.e.d.

Sei rn = 2mo. D a m haben wjr wegen ~ 2 % (mod 4) l e Kongruenz

u-8vZ'(2-8)3nn (mod4)

fiir eiri gewisses A(2. Aus ZE 1 (mod 2qi) folgt aber sogleich n 1 (2-6)3=(2-6)3&+282 (mod4)

und dmnit der erwunschte Widerspruch. Nach Lemma A ergibt sich schliefilich, daB / (A) = 397 nicht eintreten kann.

Damit sei die Diskussion der speziellen Fiille abgeschlossen. Wir beenden diese Ausfiihrungen mit den in [ 131 anzubringenden Korrekturen sowie einigen Be- merkungen.

( i ) Der Kachweis fur die Nichtexistenz von f (A)=p fur p=29, 157, 223, 241 ist nicht korrekt. Dort wird erhalten, da13 die 2-Teilungskorper &(&) nicht K enthalten konnen, wobei K die einzige kubische Erweiterung mit disc ( K ) = = -22 * 29, -22 - 157, 2' 223, -22 * 241 ist. DaB ist nicht der Fall, wie die folgenden Beispiele zeigen :

. ... .. . - - . - ~ - - _- .. . .- .... .

P a1 a3 a2 a4 a6 i d ; &,4 -_______ -.. .... .

29 1 0 - 2 1 - 2 j -29.72 1 &(-1,3) 157 1 0 4 7 6 j -157.32 i &(-2,-1)

241 1 1 0 -10 28 -31 -241.11' j d(-4 ,3) 223 1 0 6 8 1 ; 223- 52 1 d z ( 5 , 3 )

d = Diskriminante der elliptischen Kurve

y~+a,xy+a~~=x3faax2tu~x+uG. Die zu clieser Kurve isoinorphe Kurve &(u, v) (Definition eiehe (1.5)) ist also kein ininimales Model1 fur 2.

( i i ) Die 'lyerte P in dcr Tsbelle I 1131 fiir p=251, 257, 269 sind nkht korrekt und naeli Leinma 3 durch die entsprechenden Werte zu ersetzen. 1 a*

276 Bolling, EUiptische Kurven mit Primzahlfuhrer

Es sei erwiihnt, dad3 es neben dem fur p=307 in der genannten Tabelle angegebenen Korper K mit der Indexform (1 ,0 ,4 , 6) noch genau drei weitere gibt:

Indexform I disc (K)

(iii) In [13] ist die Gleichung f ( A ) = p fur Prinizahlen p mit ~ ~ 2 5 0 behandelt. Die dort offen gebliebenen FSille ( p =59, 107, 227) und nicht erwahnten Falle (p=173, 181, 211) sind hier diskutiert. Gleichzeitig sind damit einige Lucken in [7] (Bemerkungen zur Table 1, p. 77) geschlossen.

+ = es gibt eine uber Q definierte elliptische Kurve mit dem Fuhrer p ; - =es gibt keine uber Q definierte elliptische Kurve mit dem Fuhrer p ; A, B, C, D =Lemma A, Lemma B, Lemma C, Lemma D; d = Diskriminante der elliptischen Kurve

y2 + alxy + a3y = 2 3 + a2x2+ a4x + CIG

Es werden folgende Abkurzungen verwendet :

(die hierzu isomorphe Kurve &(u, w) und d werden nur in den Fallen angegeben, wo die Existenz durch Angabe einer Losung (u, w) der diophant,ischen Gleichung (1.6j eingeaehen wird).

TABELLE

p 1 Existenz I Beweis I Indexform I at a3 a2 a, a, 1 A

Bolling, Elliptische Kurven mit Primzahlfuhrer 277

Fortsetzung der Tabelle

P 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 105 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 28 1 283 293 307 307 31 1 313 317 33 1 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 40 1

Exiatenz Beweis

A , B Fall 2.3. A( -7,3)

A A , B

D A, B

d( -1 ,3 ) A, B, PI § 30

A, B Fall 2.4.

D A, B

D A, By PI § 30

A , B A , B

A(4, -2) A, C

Fall 2.6. Fall 2.6. Fall 2.7.

A, B, 141 8 30

D A

A, c Fall 2.8. Fall 2.9.

A, A , B

D A, B

LR(4, - 1) A, B

Fall 2.10. Fall 2.11.

D D

A, B A, B

A, B, PI § 30 A(19-3)

A , B D

Fall 2.12. A

4 4 , - 1) A, C

D A, C A, B

D Fall 2.13.

A. B

Indexform

(1, - 1 , - 7, - 3) (191,491)

(l,O,-11,12) (1,4,7,1)

(1,iY 1,4)

(1,-1,-9, 11)

(1, - 1, -9, -5)

1 0 -7

1 0 -5

0 1

1 0

1 0

1 0

-6

3

0

3

7 -2

4 -1

7 6

4 1

-5 4

-19 1f

A

- 109

- 139

197

- 217

- 331

359

278 Bolling, Elliptische Kurven mit Primzahlfuhrer

(Die Indexformen sind [l], [a] $30, $31 entnommen bzw.nach [4] $ 1 7 , $ 2 8 berechnet worden. Die angegebene Tabelle ist uaabhangig von Table 1 in [7] ermittelt worden und stimmt mit jener in den gemeinsamen Flllen iiberein.)

Zusatz bei der Korrektur

K. KRAMER (New York) schickte mir kurzlich (Miirz 1977) ein Preprint seiner gemeinsam mit A. BRUMER (New York) verfal3ten und bisher noch unveroffent- lichten Arbeit ,,The rahk of elliptic curves", auf die der Leser in Erganzung zur unten angegebenen Literatur aufmerksam gemacht sei. Bis auf insgesamt 8 Ausnahmefalle, darunter auch die hier behandelten p = 21 1 ; 397, wird darin (auf andere Weise) fur jede Primzahl p c 1 000 entschieden, ob sie als Fuhrer von elliptischen Kurven uber Q auftritt. Insbesondere sind dabei arithmetische Eigen-

schaften der kubischen Korper &( i6) von Bedeutung (z. B. ihrer Klassenzahlen). Mit dem in der vorliegenden Arbejt beschriebenen Verfahren lassen sich auch die restlichen dort offenen Fllle erledigm, worauf ich an anderer Stelle noch zuruck- kommen werde.

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Akademie der Whsenach/ten der DDR Zentralinstitut fur Mathematik und Meehnik DDR - 108 Berlin, iWohremtr@e 39

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Elliptische Kurven mit Primzahlführer