Grundpraktikum Physik III und IV · Versuche durchzuführen aus den Gebieten Elektrik, Optik, Atom- und Kernphysik sowie einige komplexere Versuche aus der Thermodynamik und Akustik

MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄT

HALLE-WITTENBERG

INSTITUT FÜR PHYSIK

GRUNDPRAKTIKUM

Grundpraktikum Physik

III und IV

FÜR DIE STUDIENGÄNGE

PHYSIK, MEDIZINISCHE PHYSIK

UND PHYSIK LEHRAMT

15. AUFLAGE (2016)

PlatzhalterVorwort

Das Physikalische Grundpraktikum für Physik- und Medizinphysik-Bachelor erstreckt sich überdas 1. bis 4. Fachsemester des Regelstudiums. Grundpraktikum III und IV sind Bestandteil desModuls Experimentelle Physik B (3. und 4. Fachsemester).

Der regelmäßige und erfolgreiche Besuch des Praktikums ist entsprechend der Studien-ordnungen Bedingung für den erfolgreichen Abschluss des Moduls.

Nachdem im Grundpraktikum II 10 Versuche zur Mechanik und Wärmelehre durchgeführtwurden, sind in den beiden folgenden Semestern (Grundpraktikum III und IV) jeweils 10Versuche durchzuführen aus den Gebieten Elektrik, Optik, Atom- und Kernphysik sowie einigekomplexere Versuche aus der Thermodynamik und Akustik.

Studierende der Physik-Lehramt besuchen eine eigene Praktikumsveranstaltung, die sich überdas 3. und 4. Fachsemester des Regelstudiums erstreckt und zum Modul ExperimentalphysikLA-B gehört. Sie führen im 4. Semester 10 ausgewählte Versuche aus dem gesamtenvorliegenden Heft durch.

In den Grenzen der organisatorischen Möglichkeiten können gute Student(inn)en dievorhandenen Versuche abwandeln und ergänzen. Vereinzelt finden sich dazu Vorschläge in denVersuchsanleitungen. Es ist auch möglich, nach Absprache mit dem Betreuer bzw. mit demPraktikumsleiter eigene Experimente zu konzipieren und durchzuführen oder Versuche zutauschen. Eine Übersicht zu allen vorhandenen Versuchen befindet sich auf der Praktikums-homepage.

Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergInstitut für PhysikPhysikalisches Grundpraktikum

http://www.physik.uni-halle.de/praktika/gp

Herausgeber:Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergInstitut für Physik, GrundpraktikumTel.: 0345 55-25551, -25550Fax.: 0345 55-27300Mail: [email protected]

Autoren:A. Christ, K.-H. Felgner, H. Grätz, K.-V.Jenderka, A. Klemenz, J. Leschhorn, P.Reinshaus, M. Stölzer

Praktikumsleiter: Dr. Mathias Stölzer

15. Auflage Halle, September 2016

PlatzhalterInhaltsverzeichnis

ALLGEMEINE EINFÜHRUNG

Laborordnung für das Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Hinweise zum Ablauf des Praktikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Richtlinien für die Protokollführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Fehlerrechnung und Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

VERSUCHE IM GRUNDPRAKTIKUM IIIM 19 Ultraschall Abbildungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11M 22 Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15W 24 Stirling-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18W 25 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23W 27 Donnanpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27E 4 Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32E8 Leitfähigkeit von Elektrolyten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35E15 Erdmagnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38E 19 Millikan-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41E 28 Fadenstrahlrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46E 31 Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48E 36 Meißner-Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53E 37 Transistor-Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57E 39 EKG (Messwerterfassung mit dem Computer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60O 10 Polarimeter und Refraktometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

VERSUCHE IM GRUNDPRAKTIKUM IVM25 Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69E 21 Franck-Hertz-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73O 4 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77O 5 Prismen-Spektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86O 6 Gitterspektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89O 11 Polarisationsmikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92O 14 Fotozelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98O 16 Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101O 20 Spektralphotometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104O 22 Röntgenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110O 25 Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116O 26 Diffusion (optisch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118O 27 Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

ANHANG

Kurzanleitung zum Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Hinweise zur Bedienung des Messwerterfassungssystems CASSY . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Einige Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Einführung Laborordnung für das Praktikum

1

Laborordnung für das Praktikum

Allgemeines Verhalten

1 Die Praktikanten haben sich in denPraktikumsräumen so zu verhalten, dassPersonen nicht gefährdet sowie Einrichtun-gen, Geräte und Versuchsaufbauten nichtbeschädigt werden.

2 Die von den betreuenden Assistenten,vom Praktikumspersonal sowie die in denVersuchsanleitungen gegebenen Hinweise zurHandhabung der Geräte und Versuchsanord-nungen sind unbedingt zu beachten.

3 Auftretende Störungen und Unregel-mäßigkeiten bei der Durchführung der Versu-che, Beschädigungen und Funktionsstörungenan Geräten und Einrichtungen sowie Unfällesind sofort zu melden. Es ist nicht zulässig,Geräte selbst zu reparieren!

4 Für grob fahrlässig verursachte Schädenan Geräten und Arbeitsmaterialien können diePraktikanten zur Verantwortung gezogenwerden.

5 Den Praktikanten steht jeweils nur dieam Arbeitsplatz befindliche Ausrüstung zurVerfügung. Es ist nicht gestattet, Geräte vonfremden Arbeitsplätzen zu benutzen.

6 Zur Auswertung von Messergebnissenkann jeder freie Computer genutzt werden.Dazu haben sich die Praktikanten mit derVersuchsbezeichnung anzumelden und beiBeendigung der Arbeit wieder abzumelden.

7 Nach Beendigung des Versuches ist derArbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu verlas-sen.

8 Essen und Trinken ist in den Prakti-kumsräumen nicht erlaubt. Rauchen ist imgesamten Gebäude untersagt.

9 Die Benutzung von Handys ist in denPraktikumsräumen untersagt!

10 Das Praktikum beginnt pünktlich zu derim Stundenplan angegebenen Zeit. Mehr als15 Minuten nach Praktikumsbeginn könnenkeine Versuche mehr begonnen werden.

11 Für einen erfolgreichen Abschlussmüssen Sie alle Praktikumstermine wahr-nehmen. In sehr dringenden Fällen sowie beiKrankheit können mit dem Praktikumsperso-nal Ersatztermine vereinbart werden.

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen

12 Der Auf- und Abbau elektrischer Schal-tungen hat stets im spannungslosen Zustandzu erfolgen (Stromversorgungsgeräte aus,Batterien und Steckernetzteile nicht an-geschlossen). Die Schaltungen sollen über-sichtlich aufgebaut werden.

13 Bei elektrischen Messgeräten ist auf dierichtige Polung, auf die Einstellung desrichtigen Messbereiches und die Verwendungder richtigen Messeingänge zu achten. (Über-lastungsgefahr!)

14 Elektrische Schaltungen müssen vor derInbetriebnahme vom zuständigen Betreuerüberprüft werden!

15 Unter Spannung stehende Anlagenmüssen ständig überwacht werden.

16 Spannungsführende Teile dürfen nichtberührt werden. Gefährliche Spannungen(> 42 V) sind in der Regel durch Schutzvor-richtungen vor Berührung gesichert. Es istuntersagt, solche Schutzvorrichtungen außerBetrieb zu setzen!

17 Bei Unfällen ist die Spannung sofortabzuschalten (Notausschalter: gelb-rote Tast-schalter in jedem Raum). Der Unfall mussunverzüglich gemeldet werden.

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

2

Arbeiten mit Chemikalien

18 Bei der Arbeit mit Chemikalien ist aufSauberkeit zu achten. Verwenden Sie Trichterzum Umfüllen und Fließpapierunterlagenbeim Abwiegen von Chemikalien!

19 Mit dem Versuchszubehör ausgegebeneArbeitsschutzmittel (z. B. Schutzbrille)müssen getragen werden!

20 Bei Unfällen oder bei Verschüttengefährlicher Substanzen (z. B. Quecksilber)muss sofort ein Betreuer verständigt werden!Es sind keine eigenständigen Beseitigungs-versuche zu unternehmen!

21 Alle Chemikalien befinden sich inGefäßen mit eindeutiger Kennzeichnung desInhaltes. Dies ist besonders zu beachten,wenn Chemikalien nach der Verwendung indie Aufbewahrungsgefäße zurückgegossenwerden müssen.

22 Nach Beendigung des Versuches sindalle verwendeten Gefäße (außer Vorrats-gefäßen) sorgfältig auszuspülen.

Arbeiten mit radioaktiven Präparaten

23 Im Praktikum wird ausschließlich mitumschlossenen Präparaten unterhalb derFreigrenze laut Strahlenschutzverordnung

gearbeitet. Die Strahlenbelastung währendeines Versuches ist 100...1000 mal geringerals bei einer Röntgenaufnahme.

24 Vermeiden Sie trotzdem jede unnötigeBestrahlung. Abstand ist der beste Strahlen-schutz! Halten Sie radioaktive Präparate nichtunnötig in der Hand. Halten Sie während derMessung einen Abstand von 0,5 m zumPräparat ein.

Brandschutz

25 Bunsenbrenner und elektrische Heizge-räte sind so aufzustellen, dass sich keinebenachbarten Gegenstände entzünden kön-nen. Offene Flammen und eingeschalteteHeizgeräte müssen ständig beaufsichtigtwerden!

26 Vorsicht beim Umgang mit brennbarenFlüssigkeiten (z. B. Ethanol)! Sie sind vonoffenen Flammen fernzuhalten.

27 Wird ein Brand bemerkt, so ist diessofort zu melden und es sind nach Möglich-keit Löschmaßnahmen einzuleiten.

28 Jeder Praktikant hat sich über die Lageund Funktionsweise der Handfeuerlöschersowie über die vorhandenen Fluchtwege zuinformieren.

Hinweise zum Ablauf des Praktikums

1 Vorbereitung

Das Versuchsthema ist der Praktikums-Homepage im Internet oder dem Aushang imPraktikum (nur am vorherigen Praktikumstag)zu entnehmen.

Zu Hause werden die physikalischen Grund-lagen zum Versuch studiert (Literaturangabenam Ende jeder Versuchsanleitung) und dasProtokoll vorbereitet (siehe auch „Richtlinienfür die Protokollführung“).

2 Versuchsausgabe

Das benötigte Zubehör wird an der Ausgabegegen Hinterlegung eines Studentenaus-weises pro Versuchsgruppe abgeholt.

3 Kontrolle der Versuchsvorbereitung

Vor Versuchsbeginn kontrolliert der zu-ständige Betreuer die Protokollvorbereitungund führt ein kurzes mündliches Antestatdurch. Bei ungenügender Vorbereitung darf

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

3

der Versuch nicht durchgeführt werden undmuss zu einem späteren Termin innerhalb derVorlesungszeit des laufenden Semestersnachgeholt werden. Hierzu ist ein Termin zuvereinbaren!

4 Versuchsdurchführung

Die Versuche werden in der Regel in Zweier-gruppen durchgeführt, notfalls allein. JederStudent führt ein eigenes Protokoll. DerAblauf gliedert sich wie folgt:

- Selbständiger Aufbau des Versuchs

- Prüfung elektrischer Schaltungen vorInbetriebnahme vom Betreuer

- Durchführung der Messungen und Proto-kollführung (siehe nächstes Kapitel).

- Kontrolle der Messwerte und Kurzunter-schrift des Betreuers.

5 Versuchsauswertung

Die Versuchsauswertung wird, wenn mög-lich, noch während der Praktikumszeit durch-geführt bzw. begonnen. Sie ist bis zumnächsten Praktikumstermin fertigzustellen.Hinweise zur Auswertung geben die „Richt-linien zur Protokollführung“.Es werden Taschenrechner, Lineal, evtl.Kurvenlineal und Millimeterpapier benötigt.Computer können eingesetzt werden undstehen im Praktikum zur Verfügung. Milli-meterpapier und zu manchen Versuchenerforderliche Spezialpapiere können imPraktikum erworben werden.

6 Abschluss des Versuchs

Die Bestätigung der erfolgreichen Versuchs-durchführung erfolgt nach Kontrolle derAuswertung durch die Eintragung von Note,Datum und Langunterschrift des zuständigenBetreuers in das Protokoll, in der Regel zumnächsten Praktikumstermin. Der Betreuer

kann einmal eine Nachbesserung der Aus-wertung verlangen.Ist der Versuch nicht spätestens am über-nächsten Praktikumstag abgeschlossen, soverschlechtert sich die Bewertung um eineNote für jede weitere angefangene Woche.

7 Fehlversuche

Zum Nachholen versäumter oder nicht be-standener Versuche werden jedem Studieren-den zwei zusätzliche Praktikumsterminegarantiert. (ein “Nachhol-Termin” für alle amSemesterende, weitere Termine nach Mög-lichkeit im laufenden Semester) In jedem Fallmüssen Sie den Termin an der Versuchsaus-gabe vereinbaren, damit sichergestellt ist,dass der Arbeitsplatz frei ist! Zu einemPraktikumstermin kann jeweils nur einVersuch durchgeführt werden.

8 Leistungskontrollen

Das Bestehen eines kurzen Antestates zuBeginn des Praktikums (siehe oben) ist Vor-aussetzung für die Zulassung zum Versuch.

Zu jedem Versuch wird während der Prakti-kumszeit ein benotetes mündliches Testatdurchgeführt, ohne Wiederholmöglichkeit.Für jeden Versuch wird eine Gesamtnotezwischen 1 und 5 gebildet, wobei die Testat-note sowie die Einschätzung der Versuchs-durchführung, der Protokollführung und derAuswertung berücksichtigt werden. Die Note5 bedeutet “nicht bestanden”.

9 Abschluss des Praktikums

Aus den Gesamtnoten der Versuche wird eineAbschlussnote für das Praktikum gebildet.Das Praktikum gilt als erfolgreich absolviert,wenn die geforderte Anzahl Versuche (imNormalfall 3 im 1.Semester und 10 im 2.-4.Semester) bestanden wurden.

Einführung Richtlinien für die Protokollführung

4

Richtlinien für die Protokollführung

Allgemeines

1 Jeder Student führt während des Versu-ches und unmittelbar ein Protokoll. DasProtokoll enthält - die Versuchsvorbereitung,- das Messprotokoll (alle Messwerte und

Beobachtungen in chronologischer Reihen-folge),

- die Auswertung.

2 Das Protokoll wird handschriftlich mitnicht löschbarem Stift geführt. Bleistift ist nurfür Diagramme und Skizzen zulässig. Fehl-messungen werden mit Angabe des Grundesdurchgestrichen und dürfen nicht unlesbargemacht werden. Fehler sind Teil der Arbeit,das Ausradieren oder Löschen von Messdatenist schlechter wissenschaftlicher Stil!

3 Alle Protokolle des Praktikums sind ineinem gebundenen Heft der Größe A4 oder ineinem Schnellhefter zu führen und zu jederVeranstaltung mitzubringen.

4 Lose Blätter (auch Computerausdrucke)sind mit Name und Datum zu beschriften undin das Protokoll einzufügen.

Vorbereitung zu Hause

5 Jedes Protokoll muss enthalten: - Datum, - Versuchsbezeichnung und Aufgaben-

stellung (wörtlich), - kurze Beschreibung des Versuches mit

wichtigen Grundlagen, geplanter Durch-führung (z. B. Schaltskizze) und vorgese-hener Auswertung einschließlich der dafürbenötigten Formeln,

- vorbereitete Urlisten (Tabellen) für dieAufnahme der Messdaten und, soweitsinnvoll, der aus diesen zu berechnendenDaten.

Dieser Teil des Protokolls ist Bestandteil derVersuchsvorbereitung und wird vor Ver-suchsbeginn vom Betreuer kontrolliert.

Protokollführung während des Versuches

6 Es werden alle Versuchsgeräte registriert(Versuchsaufbau).

7 Das Protokoll soll übersichtlich und gutlesbar sein, z.B durch eine klare Gliederungmit Zwischenüberschriften (“Messwerte zuAufgabe 1” oder ähnlich).

8 Alle physikalischen Größen sind voll-ständig mit Zahlenwert und Einheit anzuge-ben. Tabellen müssen eine Überschrift oderLegende besitzen, die Spalten sind mit physi-kalischer Größe und Einheit zu beschriften.

9 Es werden grundsätzlich alle Messdatenvor jeglicher rechnerischer Aufbereitungprotokolliert (Urlisten).

10 Das Messprotokoll ist dann vollständig,wenn nur mit seiner Hilfe auch eine Person,die den Versuch nicht selbst durchgeführt hat,die vollständige Auswertung des Versuchesvornehmen kann!

11 Das Messprotokoll muss vom Betreuermit Datum und Kurzunterschrift abgezeichnetwerden.

Zur Auswertung

12 Alle Rechnungen müssen anhand derFormeln und der Messdaten im Protokollnachvollziehbar sein. Das erreicht man ameinfachsten durch übersichtliche Tabellen.

13 Diagramme werden auf Millimeterpapiermit Lineal bzw. Kurvenlineal gezeichnet odermit dem Computer erstellt. Es sind geeigneteübersichtliche Maßstäbe zu wählen und dieAchsen sind mit Größe und Einheit zu be-schriften. Meist ist eine Legende erforderlich.

14 Zu jedem Versuch gehört eine Fehler-diskussion, in der Regel mit Fehlerrechnung.

15 Die Versuchsergebnisse werden ineinem verbalen Ergebnissatz zusammenge-fasst, eingeschätzt (z. B. bezüglich ihrer

Einführung Fehlerrechnung und Statistik

5

Messgenauigkeit) und, wenn möglich, mitLiteraturwerten verglichen.

16 Das komplette Protokoll wird in derRegel (siehe oben) am nächsten Praktik-umstag dem verantwortlichen Betreuer

vorgelegt, von diesem durchgesehen undbewertet. Durch die Gesamtnote und dieLangunterschrift mit Datum wird der erfolg-reiche Versuchsabschluss bescheinigt.

Fehlerrechnung und Statistik

Jede Messung einer physikalischen Größe istmit mehr oder weniger großen „Messfehlern”behaftet. Misst man eine Größe mehrmals, soweichen die Ergebnisse im Allgemeinensowohl voneinander als auch vom zu be-stimmenden „wahren Wert“ ab. Ziel derAuswertung einer Messung ist das Ermittelndes besten Schätzwertes für den wahren Wert(das Messergebnis) und für die Größe derAbweichung vom wahren Wert (die Messun-sicherheit). Beide Informationen zusammenbilden das „vollständiges Messergebnis”.

1 Begriffsbestimmungen

Messgröße:Die zu messende physikalische Größe, z.B. Spannung U, Strom I, Masse m

Messwert:Der gemessene Wert einschließlich Ein-heit, z. B. U = 230 V, I = 2 A, m = 2 kg

Messergebnis:Das aus mehreren Messwerten berechneteErgebnis, z. B. P = U A I = 230 V A 2 A = 460 W

Messabweichung:Differenz zwischen einem Messwert oderMessergebnis und dem wahren Wert.Man unterscheidet zufällige und systema-tische Messabweichungen. Die Mess-abweichung ist im Allgemeinen unbe-kannt, weil der wahre Wert unbekannt ist.

Zufällige (statistische) Messabweichungen:Sie treten unregelmäßig auf; sie schwan-ken in der Größe und im Vorzeichen.

Hervorgerufen werden sie z. B. durchnicht beeinflussbare unsystematischeÄnderungen der Versuchs- und Umge-bungsbedingungen sowie durch Unvoll-kommenheiten beim subjektiven Erfassenvon Messwerten. Durch mehrfachesMessen und Bildung des arithmetischemMittelwertes kann der Einfluss zufälligerMessabweichungen minimiert werden.

Systematische Messabweichungen:Sie beeinflussen bei gleichen Versuchs-bedingungen die Messung in der gleichenWeise. Hervorgerufen werden sie z. B.durch Unvollkommenheiten der Mess-geräte, der Maßverkörperungen und derMessverfahren sowie durch systematischeÄnderungen der Versuchsbedingungen.Sie können sich aus einem bekannten undeinem unbekannten Anteil zusammenset-zen. Das Messergebnis ist um bekanntesystematische Messabweichungen zukorrigieren.

ToleranzMaximale Messabweichung. Wird meistvom Hersteller eines Messgerätes in derBedienungsanleitung angegeben. Be-zeichnet man die Toleranz eines Mess-wertes x mit t(x), so liegt der wahre Wertmit Gewissheit im Intervall x ± t(x).

(Mess)unsicherheit u:Sie kennzeichnet die Streuung der Werte,die der Messgröße vernünftigerweisezugeordnet werden können. Die Unsi-cherheit u(x) des Messwertes oder Mess-


6

s

x x

n

ii

n

=

−

−=

∑ ( ).

2

1

1

(2)

.x

ssn

= (3)

ergebnisses x kann als Schätzung derMessabweichung angesehen werden. Derwahre Wert liegt mit relativ großer Wahr-scheinlichkeit im Intervall x ± u(x). Die Messunsicherheit wird entwederm.H. statistischer Methoden aus denMesswerten ermittelt (Methode A) oder,wenn dies nicht möglich ist, auf derGrundlage aller vorliegenden Informatio-nen zu den Messgeräten und Messverfah-ren geschätzt (Methode B).Beispiel (für den Messwert l = 1,254 m):u(l) = 0,005 m (absolute Unsicherheit),u(l)/l = 0,4% (relative Unsicherheit)

Vollständiges MessergebnisMessergebnis mit Messunsicherheit. DieUnsicherheit wird mit 1...2 Stellen ange-geben. Mögliche Schreibweisen sind:l = 1,254 m ± 5 mml = (1,254 ± 0,005) ml = 1,254(5) ml = 1,254 m und u(l)/l = 0,4 %

2 Ermittlung von Messunsicherheiten

Zur Abschätzung der Genauigkeit von Mes-sungen dienen verschiedene Informations-quellen, z.B. die Messwertstatistik (üMe-thode A), Herstellerangaben und Zertifikatezu den verwendeten Messgeräten, odereinfache Schätzung. Damit die auf verschie-denen Wegen ermittelten Unsicherheitenquantitativ vergleichbar sind, sollen siegrundsätzlich immer die Bedeutung einerStandardabweichung haben. Um das zubetonen, nennt man sie auch Standardun-sicherheiten.

2.1 Ermittlungsmethode A

Wird eine Messgröße x n mal gemessen, sostreuen die einzelnen Messwerte xi (i = 1 ... n)aufgrund der zufälligen Messabweichungenum einen Erwartungswert μ. Die Verteilungder Messwerte ist meist näherungsweise eineNormalverteilung (Abb.1). Der beste Schätz-wert für μ ist dann der arithmetische Mittel-

wert

Ein Maß für die Streuung der Messwerte istdie Standardabweichung σ. Der aus denMesswerten berechnete beste Schätzwert fürσ ist die experimentelle Standardabweichung

Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68 %der Messwerte im Intervall μ ± σ, d. h. dieWahrscheinlichkeit, einen Messwert indiesem Intervall anzutreffen, beträgt 68 %.Für das Intervall μ ± 2σ beträgt diese Wahr-scheinlichkeit etwa 95 %.

Wenn zufällige Messunsicherheiten dominie-ren (d.h. systematische Unsicherheitsanteilevernachlässigt werden können), ist die Unsi-cherheit eines Einzelmesswertes u(x) = s.Der Mittelwert aus n Einzelmesswerten istxgenauer als ein einzelner Messwert. Mankann sich vorstellen, viele Messreihen derMessgröße x vom selben Umfang n auf-zunehmen. Die Mittelwerte aller dieserMessreihen werden sich etwas voneinanderunterscheiden. Sie sind ebenfalls normal-verteilt, das Maß für ihre Streuung ist dieStandardabweichung des Mittelwertes:

1

1 .n

ii

x xn =

= ∑ (1)

µ

f(x)

x

σ σ

Abb. 1: Normalverteilung mit dem Mittelwertμ und der Standardabweichung σ


7

( )

2

1

( ).

( 1)

n

ii

x

x x

u x sn n

=

−

= =⋅ −

∑ (4)

Ist das Messergebnis ein Mittelwert einerxMessreihe mit ausreichend vielen (n $ 10)Messwerten xi und können dabei die systema-tischen Unsicherheitsanteile gegenüber denzufälligen vernachlässigt werden, so ist dieMessunsicherheit:

Weitere Beispiele, wie Messunsicherheitenm.H. statistischer Methoden als Standard-abweichungen berechnet werden, finden sichin Abschnitt 3 (Regression).

2.2 Ermittlungsmethode B

Wenn die Berechnung einer Standardabwei-chung nicht möglich ist (z.B. weil systemati-sche Unsicherheiten immer in gleicher Weisewirken oder weil nur ein Messwert vorhandenist), wird die Standardunsicherheit auf derBasis aller vorliegenden Informationengeschätzt.

2.2.1 Toleranzangaben zu MessgerätenIn Bedienungsanleitungen von Messgerätenfindet man Angaben zu Messtoleranzen odergarantierten Messgenauigkeiten (Beispiele:1,5 % vom Messbereich; 0,5 % vom Mess-wert + 3 Digit). Auf manchen Geräten ist die„Genauigkeitsklasse” angegeben. Das ist diemaximale Messabweichung in % vom End-wert des Messbereichs bzw. vom Wert derMaßverkörperung.Bezeichnet man die Toleranz eines Mess-wertes x mit t(x), so ergibt sich daraus seineStandardunsicherheit entsprechend

Erklärung: Einzige Information ist die Garan-tie, dass die Messabweichung nicht größer istals t(x). Daher ordnet man der Messgröße xeine Gleichverteilung der Breite 2t zu. Deren

Standardabweichung ist .3t

2.2.2 Unsicherheit von ZählrohrmessungenZählt man zufällige Ereignisse in einemZeitintervall (z.B. bei Messung mit einemGeigerzähler) und werden N Ereignissegezählt, so ist die Messunsicherheit (ohneBerücksichtigung systematischer Einflüsse)

.( )u N N=Erklärung: siehe Versuch O16

2.2.3 Schätzung der MessunsicherheitBei sehr einfachen Messgeräten liegen oftkeine Angaben zur Messgenauigkeit vor.Dann ist die Standardunsicherheit (nicht diemaximale Messabweichung!) zu schätzen. Siesetzt sich zusammen aus der Ungenauigkeitdes Messgerätes selbst und der Ungenauigkeitbeim Ablesen des Wertes.- Ablesen von Skalen (Lineal, Thermo-

meter,...): u(x) . 0,5 Skalenteile- Längenmessungen mit einem Messschieber

(Noniusablesung): u(l) = 1 Skalenteil desNonius

- Messung eines Zeitintervalls mit einerHandstoppuhr: u(t) . 0,1 s

2.3 Die Unsicherheit von Messergebnissen(„Fehlerfortpflanzung”)

Es sei y = f(x1, x2, ..., xn) ein Messergebnis,das aus den Messwerten x1, x2, ..., xn mit denUnsicherheiten u1, u2, ..., un zu berechnen ist.Wie groß ist dann die Unsicherheit u(y) desMessergebnisses?

2.3.1 Maximale UnsicherheitEine kleine Änderung Δxi des Messwertes xi

würde im Messergebnis etwa die Änderung

hervorrufen; bezeichneti ii

yy x

x∂

∆ = ∆∂ i

yx

∂

∂

dabei die partielle Ableitung der Funktiony = f(x1, x2, ..., xn) nach xi. Wenn man alsovoraussetzt, dass die Unsicherheiten derMesswerte im Vergleich zu den Messwertenselbst klein sind, ergibt sich durch Additionder Auswirkungen aller Messunsicherheitenauf das Ergebnis die Maximale Unsicherheitdes Messergebnisses:

( ) ( ) 3 .u x t x= (5)


8

( )y f x a b x= = + ⋅ (12)

2

2

1

( ) .n

c iii

yu y u

x∂∂=

=

∑ (7)

2 2 2 21 1 2 2( ) .cu y c u c u= + (9)

Gl.(6) kann in einfachen Fällen (wenigeMesswerte) zur groben Abschätzung derUnsicherheit des Ergebnisses dienen.

2.3.2 UnsicherheitsfortpflanzungsgesetzIm Allgemeinen werden sich die einzelnenUnsicherheitskomponenten nicht immeraddieren, sie können sie sich auch teilweisegegenseitig kompensieren. Die exakte ma-thematische Behandlung dieses Problemsnach C. F. GAUß ergibt das Unsicherheitsfort-pflanzungsgesetz

uc(y) heißt kombinierte Messunsicherheit.Gl.(7) setzt voraus, dass die Messgrößen xi

voneinander statistisch unabhängig sind. Dasist im Grundpraktikum in der Regel der Fall.Daher ist die Messunsicherheit des Ergeb-nisses in den meisten Fällen nach (7), (8) oder(9) zu berechnen.

2.3.3 Besonders einfache FälleOft besitzt die Gleichung y = f(x1, x2, ..., xn)eine sehr einfache Struktur. In bestimmtenFällen lässt sich der Rechenaufwand zurBestimmung von uc(y) nach (7) deutlichverringern. Im eigenen Interesse sollte jederdavon Gebrauch machen.

Fall 1: 1 1 2 2y c x c x= + (8)

(c1, c2 Konstanten) Durch Einsetzen in (7) ergibt sich

Fall 2: 1 2n my c x x= ⋅ ⋅ (10)

(c reelle und n, m ganzzahlige Konstanten)Einsetzen von (9) in (7) ergibt eine einfacheGleichung für die relative kombinierte Unsi-cherheit des Ergebnisses:

Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewe-gung s = a/2 @ t2 ; Weg s und Zeit t werdengemessen mit einer relativen Messunsi-cherheit von jeweils 1 %, die Beschleunigunga ist zu berechnen:

( ) ( )

1 2

2

2 22

2 22

2 2

( ) ( ) ( )2

1% 2 1% 2,3%

c

sa s tt

u a u s u ta s t

−= ⋅ = ⋅ ⋅

= +

= + ⋅ ≈

3 Anpassung einer Funktion an eineMessreihe (Regression)

3.1 Lineare Regression

Häufig besteht zwischen verschiedenen Mess-größen x und y ein linearer Zusammenhang

oder es wird ein solcher vermutet.

Beispiel: Bei der thermischen Ausdehnung von Metal-len gilt für die Länge l = l0 + α@l0@ΔT, α istder lineare thermische Ausdehnungskoeffi-zient, l0 die Länge bei der Temperaturdiffe-renz ΔT=0 (siehe Versuch W1).

Die eigentliche Messaufgabe besteht in derBestimmung der (konstanten) Parameter aund b in Gl. (12). Grundsätzlich könnten aund b durch Messung von zwei Wertepaaren(x, y) bestimmt werden. Meist wird jedocheine ganze Messreihe mit n Wertepaaren(xi, yi) (i = 1 ... n) aufgenommen, um zunächstden linearen Zusammenhang nachzuweisen,ehe a und b ermittelt werden.Werden die Messwerte grafisch dargestellt, sostreuen die Messpunkte wegen der unver-meidlichen statistischen Messabweichungenum eine ausgleichende Gerade. Die Aufgabe

11 1

( )n

n in ii

y y yu y u u u

x x x=

∂ ∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂∑⋯ (6)2 2

2 21 2

1 2

( )cu y u un m

y x x

= +

(11)


9

[ ]

2

1

2

1

( , )

( ) min .

n

ii

n

i ii

F a b y

y a bx

=

=

= ∆

= − + →

∑

∑(13)

( )

( )

ax y x x y

n x x

ny b x

i i i i i

i i

i i

=−

−

= −

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

∑ ∑

2

22

1(14a)

( )b

n x y x y

n x x

i i i i

i i

=−

−

∑ ∑ ∑∑ ∑2

2 (14b)

( )s

y

n

x

n x xa

i i

i i

2

2 2

222

=− −

∑ ∑∑ ∑

∆(15a)

( )s

y

n

n

n x xb

i

i i

2

2

222

=− −

∑∑ ∑

∆. (15b)

besteht nun darin, die Gerade zu finden, die„am besten“ zu den Messpunkten „passt”(siehe Abb.2). Hierfür gibt es ein auf C. F.GAUß zurückgehendes mathematisches Ver-fahren, welches man als lineare Regression,Ausgleichsrechnung, Geradenanpassung oderauch (englisch) linear curve fit bezeichnet.

Der Abstand eines Messpunktes von derGeraden in y-Richtung ist Δyi = yi - f(xi) =yi - (a+bxi). Nach der GAUßschen Methodeder kleinsten Quadrate (bei der vereinfachendangenommen wird, dass nur die yi fehlerbe-hafted sind) ist für die am besten angepassteGerade die Summe der Abstandsquadrateminimal:

Diese Summe ist eine Funktion der Parametera und b; zur Lösung des Problems sind alsodie partiellen Ableitungen MF/Ma = 0 undMF/Mb = 0 zu setzen. Dies führt zu demErgebnis

wobei alle Summen von i = 1 bis n gehen.Die durch (12) und (14) bestimmte Geradeheißt Regressionsgerade oder Ausgleichs-gerade.Als Messunsicherheiten der Parameter a undb werden die entsprechenden Standardabwei-chungen verwendet (siehe 2.1), sofern diesystematischen Messabweichungen gegen-über den zufälligen vernachlässigbar sind: u(a) = sa und u(b) = sb mit

3.2 Regression mit anderen Funktionen

Grundsätzlich kann die GAUßsche Methodeder kleinsten Quadrate (13) nicht nur auf einelineare Funktion (12), sondern auf beliebigeFunktionen mit mehreren Parametern ange-wendet werden. Im Allgemeinen ist diesesProblem jedoch nicht mehr analytisch lösbar,sondern muss mit Hilfe numerischer Metho-den iterativ gelöst werden. Die im Praktikumeingesetzten Computerprogramme Origin undCassyLab bieten diese Möglichkeit. (Stich-worte: non-linear curve fit bzw. Freie An-passung)Einige Funktionen können durch Transfor-mation bequem in eine lineare Funktionüberführt werden. In solchen Fällen kann dielineare Regression mit der transformiertenFunktion durchgeführt werden.

Beispiel (aus Versuch O16):Beim Durchgang radioaktiver Strahlungdurch Materie der Dicke d gilt für die Intensi-tät der Strahlung: I = I0@e

-μd . Der „Schwä-chungskoeffizient” μ soll aus mehrerenMesswerten für I und d bestimmt werden.

o u

o u

y yb

x x

−=

−

xo

xu

yu

yo

∆∆∆∆yi

x

y

0

y = a + b·x

a

Abb. 2: Lineare Regresion


10

( ) und ( ) ,y u y u y y± (16)

Logarithmiert man die Gleichung, ergibt sichln I = ln I0 - μ@d . Setzt man ln I = y undd = x und vergleicht mit (12), sieht man, dassa = ln I0 und b = !μ. Der Schwächungs-koeffizient μ kann also durch lineare Regres-sion mit den Wertepaaren (lnI, d) bestimmtwerden. Alternativ wählt man für die graphi-sche Darstellung I = f(d) Millimeterpapier mitlogarithmischer Teilung für I und normaler(linearer) Einteilung für d, dann ergibt sichebenfalls eine Gerade.

3.3 Praktische Hinweise

Die Formeln (14) und (15) muss man sichnicht einprägen, dafür gibt es Software. Es istausreichend, das Regressionsverfahren grund-sätzlich und die Bedeutung der Parameter a,b, sa und sb zu kennen. Lineare Regression lässt sich auch mit vielenTaschenrechnern durchführen (lesen Sie inder Bedienungsanleitung nach). Die Standard-abweichungen sa und sb werden in der Regelnur von Computerprogrammen berechnet. In Programmen und in der Literatur werdendie Begriffe Regression, Ausgleichsrech-nung, Anpassung und Fit (englisch) synonymverwendet.

Wenn keine geeigneten Rechenhilfsmittel zurVerfügung stehen, nimmt man die Anpassunggrafisch (mit Bleistift auf Millimeterpapier)vor, wie in Abb.2 gezeigt. Dabei wird dieRegressionsgerade mit einem durchsichtigenLineal „nach Augenmaß“ eingezeichnet, aund b werden abgelesen und ihre Unsicher-heiten geschätzt.

4 Angabe von Messergebnissen im Prak-tikum

Es ist immer das vollständige Messergebnismit absoluter und relativer Unsicherheit(sofern bekannt) anzugeben:

wobei die Messunsicherheit nur ein oder zweizählende (signifikante) Ziffern haben darf.Entsprechend ist die Zahl der Ziffern für dasMessergebnis y zu wählen.

Beispiele:

y = (531 ± 2) mm; u(y)/y = 0,4 %

U = (20,00 ± 0,15) V; u(U)/U = 0,12 %

R = 2,145 kΩ ± 0,043 kΩ; u(R)/R = 2,0 %

Grundpraktikum III M 19 Ultraschall-Abbildungsverfahren

11

λ =cf (1)

cE

L =−

+ −ρν

ν ν1

1 1 2( )( )(2)

y y x= ⋅ − ⋅0 e µ . (3)

1 Aufgabenstellung

1.1 Bestimmung der Schallgeschwindigkeitund der Wellenlänge von Longitudinalwellenin Polyethylen (PE), Berechnung des Elastizi-tätsmoduls von Polyethylen.

1.2 Bestimmung der Dämpfung der Schall-wellen in Polyethylen für zwei verschiedeneFrequenzen.

1.3 Bestimmung der Anzahl und Lage vonBohrlöchern in einem PE-Körper, Anferti-gung einer Lageskizze.

2 Grundlagen

Steht ein mechanischer Schwinger in Kontaktzu einem anderen Medium, so findet durchdie Kopplung zu diesem eine Energieüber-tragung statt, die sich als mechanische bzw.elastische Welle (Schallwelle) ausbreitet. Diein dem Medium entstehenden periodischenDruck- bzw. Dichteänderungen breiten sichmit einer Phasengeschwindigkeit (der Schall-geschwindigkeit) c aus. Die Wellenlänge λ imMedium wird nach

durch die Frequenz f der Schallquelle und dievon Stoffeigenschaften abhängige Aus-breitungsgeschwindigkeit c bestimmt. Diemechanischen Wellen treten in gasförmigenund flüssigen Stoffen infolge fehlenderScherelastizität stets als Longitudinalwellenauf, während in festen Körpern außer Longi-tudinalwellen auch Transversalwellen sowieVerkopplungen zwischen beiden (z.B. Ober-flächenwellen, Rayleighwellen) auftretenkönnen. In unendlich ausgedehnten, homogenen,isotropen Festkörpern ergibt sich die Schall-geschwindigkeit cL für Longitudinalwellenaus den mechanischen Eigenschaften des

Ausbreitungsmediums nach:

(E: Elastizitätsmodul, ν: POISSONscher Quer-kontraktionskoeffizient; ρ: Massendichte).

Durch inelastische Prozesse wird die Schall-welle im Medium gedämpft (absorbiert). Fürdie Abhängigkeit der Schwingungsamplitudey von der Ausbreitungsrichtung x gilt dasSchwächungsgesetz

Dabei ist y0 die Amplitude bei x = 0 und μ derSchwächungskoeffizient (auch Absorptions-koeffizient). Die Dämpfung kann in dermedizinischen Ultraschalldiagnostik zurUnterscheidung verschiedener Gewebeartendienen.

In der Akustik werden Frequenzen unterhalbdes menschlichen Hörbereichs (ca. 16 Hz -16 kHz) als Infraschall und oberhalb diesesBereiches als Ultraschall bezeichnet.In der Medizin wird die Ultraschallwirkungbei Frequenzen bis ca. 1 MHz therapeutisch(Physiotherapie, Chirurgie) oder technisch-präparativ (z.B. Zahnsteinentfernung, Ein-bringen von Zahnfüllstoffen, Härtung vonKlebstoffen) genutzt. Der für diagnostischeZwecke (Sonographie) nutzbare Frequenz-bereich reicht von etwa 1 MHz bis 15 MHz,für spezielle Zwecke wie Ultraschallmikro-skopie bis 250 MHz. Den angewendetenVerfahren liegen im allgemeinen das Impuls-Echo-Verfahren oder die Doppler-Frequenz-verschiebung durch bewegte Strukturenzugrunde.Ultraschallwellen werden mit Hilfe desinversen piezoelektrischen Effektes erzeugt.Eine Scheibe aus piezoelektrischer Keramik -der Ultraschallwandler oder Transducer -wird elektrisch zu Schwingungen angeregt.

Ultraschall-Abbildungsverfahren M 19


12

Abb.1: Reflexion von Ultraschall an einerGrenzfläche zwischen zwei Stoffen unter-schiedlicher Schallimpedanz

Z c= ⋅ρ . (4)

RII

Z ZZ Z

R= =−

+

0

1 2

1 2

2

(5)

I I ID R= −0 . (6)

Abb.2: Entstehung von A- und B-Bild

cl

t=

2(7)

Sie schwingt mit ihrer Resonanzfrequenz fr

und verursacht so eine sich im umgebendenMedium ausbreitende Schallwelle.Bei den Impuls-Echo-Verfahren A-Bild, B-Bild und TM (die Bezeichnungen kommenvon den engl. Begriffen Amplitude, Bright-ness und Time Motion) wird der Ultraschall-wandler durch einen elektrischen Spannungs-impuls zu einer kurzzeitigen mechanischenDickenschwingung und zum Aussenden einesUltraschallimpulses angeregt (reziprokerpiezoelektrischer Effekt). Aus dem angekop-pelten Medium auf denselben Wandlerauftreffende Ultraschallwellen bewirkengeringe Deformationen des Wandlers, die indem piezoelektrischen Material in elektrischeSpannungen umgewandelt werden (direkterpiezoelektrischer Effekt).Ein und derselbe Wandler kann deshalbsowohl als Sender als auch als Empfängergenutzt werden.

Unter akustischer Impedanz (Schallkenn-impedanz, akustischer Widerstand) Z verstehtman das Produkt aus den MaterialkennzahlenMassendichte ρ und Schallgeschwindigkeit c:

Änderungen oder Sprünge der akustischenImpedanz (z.B. an Organgrenzflächen beimedizinischen Ultraschalluntersuchungen)längs der Ausbreitungsrichtung führen zueiner teilweisen Reflexion der Schallwelleund damit gleichzeitig zu einer Schwächung

in Ausbreitungsrichtung (siehe Abb. 1). Fürden senkrechten Einfall einer Schallwelle aufeine Fläche gilt:

(R = Reflexionsgrad; I0, IR = einfallende undreflektierte Intensität; Z1, Z2 = akustischeImpedanzen).Der durch die Fläche hindurchgehende AnteilID berechnet sich nach

Beim A-Bild-Verfahren wird die Amplitudeder vom Schallwandler gesendeten sowie derempfangenen und verstärkten akustischenImpulse auf dem Monitor in Abhängigkeitvon der Zeit dargestellt. Die Echos vonStrukturgrenzen im Medium, an denen sichdie akustische Impedanz ändert, erscheinenim Bild als Zacken (Abb.2). Der zeitlicheAbstand zwischen Sendeimpuls und Emp-fangsecho entspricht der doppelten Laufzeit tdes akustischen Impulses zwischen Wandlerund reflektierender Struktur. Bei bekannterSchallgeschwindigkeit c kann damit nach

die Entfernung l zwischen beiden gemessenwerden.

Beim B-Bild- oder Schnittbildverfahren wirddie Amplitude des eindimensionalen A-Bild-


13

Abb.3: Zum lateralen Auflösungsvermögen[nach: Krestl, Bildgebende Systeme für diemedizinische Diagnostik]

Verfahrens in Grauwerte (Brightness) einerzweidimensionalen Hell-Dunkel-Darstellungumgesetzt. Durch Bewegung des Schallwand-lers (siehe Abb.2) erhält man ein Schnittbild.Moderne Schallwandler für B-Bild-Gerätesind sogenannte Multielementwandler. Siebestehen aus einer Zeile von vielen einzelnenWandlerelementen. Eine Bewegung desSchallkopfes ist nicht mehr erforderlich, siewird ersetzt durch die elektronische Ans-teuerung der einzelnen Wandlerelemente.

Die Qualität des Ultraschallbildes wird durchdas Auflösungsvermögen charakterisiert.Darunter versteht man den Kehrwert deskleinstmöglichen Abstandes zweier reflektie-render Strukturen, die bei der Wiedergabegerade noch als getrennte Punkte dargestelltwerden können. Man unterscheidet das axiale(in Ausbreitungsrichtung) und das lateraleAuflösungsvermögen (quer zur Ausbreitungs-richtung), siehe Abb.3.Während das axiale Auflösungsvermögen vorallem durch die Dauer des Schallimpulsesbestimmt wird, hängt das laterale Auflö-sungsvermögen stark von der Schallfeld-geometrie ab. So sind die Querabmessungendes Schallfeldes in einer bestimmten Entfer-nung vom Wandler minimal (Fokussierung),danach wird der Schallstrahl mit zunehmen-dem Abstand breiter und die Auflösungschlechter. Die Impulsdauer, der Querschnittdes Schallfeldes und der Abstand des Fokus-bereiches vom Wandler werden mit wachsen-der Frequenz geringer. Daher werden mithöherer Ultraschallfrequenz sowohl die axialeals auch die laterale Auflösung besser. Jedochwächst mit zunehmender Frequenz auch die

Dämpfung der Ultraschallwellen, und damitwird der abbildbare Bereich (Eindringtiefe)kleiner.Die Interpretation eines Ultraschall-B-Bildeswird durch verschiedene Effekte erschwert:- Schallschatten entstehen hinter stark re-

flektierenden Strukturen. Objekte hinterder Struktur bleiben unsichtbar.

- Mehrfachbilder können durch Mehrfach-reflexion des Schalls zwischen einer starkreflektierenden Struktur und der Oberflä-che auftreten.

- Abbildungsfehler (Lagefehler) könnendurch Brechung der Schallwellen an Struk-turen mit unterschiedlicher Schallge-schwindigkeit entstehen.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Ultraschallgerät - Computer- 2 Schallköpfe (1 MHz; 2 MHz)- PE-Körper mit Fehlstellen- Messschieber

3.1 Das Ultraschallgerät ermöglicht ein A-Bild sowie (durch manuelle Bewegung desSchallkopfes) ein einfaches B-Bild. DieDarstellung erfolgt auf dem Computerbild-schirm.Zum Messen von Zeiten (bzw. Abständen) imA-Bild dienen zwei farbige Marker, die mitder Maus verschoben werden können. DieMessung der Amplitude erfolgt mit demMaus-Cursor.Regler an der Frontplatte des Ultraschall-gerätes dienen der Einstellung der Leistungder ausgesandten Ultraschallpulse (TRANS-

MITTER), der Verstärkung des empfangenenEchosignals (RECEIVER) sowie der laufzeit-abhängigen Verstärkung (TGC = Time GainControl). Weitere Hinweise zur Bedienung und Funk-tionsweise sind der am Platz ausliegendenBedienungsanleitung zu entnehmen.


14

µ =−

⋅1

2 2 1

1

2( ) ln .x x

yy

(8)


Der verwendete Schallkopf ist an der BuchsePROBE / REFLECTION anzuschließen, Kipp-schalter auf REFLEC. Die Ankopplung derSchallwandler an den PE-Körper erfolgt mitWasser. (Es ist nur ein dünner Wasserfilmerforderlich!)

4.1 Für die Bestimmung der Schallge-schwindigkeit sind mit einem Messschieberdie Dicke l des PE-Körpers und auf der Zeit-skala bei aufgesetztem Schallkopf die Zeit tbis zum Maximum des Rückwandechos zubestimmen.

4.2 Zur Bestimmung der Dämpfung ist fürjeden der beiden Schallköpfe die Größe desRückwandechos für zwei verschiedeneDicken des PE-Körpers (in Längs- undQuerrichtung) zu messen. Dabei muss dieTGC so eingestellt werden, dass die Ver-stärkung für beide Rückwandechos gleichgroß ist.

4.3 Der PE-Körper ist mit beiden Schall-köpfen auf Fehlstellen zu untersuchen.Um die Messungen zu erleichtern, wird zuerstdie Schallgeschwindigkeit berechnet (siehe5.1) und im Menüpunkt 'Einstellungen'eingegeben. Danach wird die x-Achse (durchKlick auf den Button 'Tiefe') von Laufzeit aufAbstand umgestellt. Kontrollieren Sie, ob dieTiefe des Rückwandechos gleich der gemes-senen Dicke des PE-Körpers ist!

Ein Schallkopf wird über die seitlichenFlächen des PE-Körpers geführt. Am Gerätsind dabei die Einstellungen für TGC, Lei-stung und Verstärkung nach folgenden Ge-sichtspunkten zu variieren:

- Das gewünschte Echo darf nicht vomInitialecho überdeckt werden.

- Die mit zunehmender Eindringtiefe verbun-dene Schwächung muss ausgeglichenwerden.

- Das Echosignal darf nicht übersteuert sein,damit eine genaue Lokalisation auf demSchirm möglich ist.

Wenn Reflexe von Bohrlöchern gefunden undalle Einstellungen optimiert sind, schalten Sieum in den B-Bild-Modus. Mit dem B-Bildgewinnt man schnell einen Überblick über dieLage der Löcher. Stellen Sie die ungefähre Größe des Körperssowie Anfangs- und Endwert der Farbskalerichtig ein, drücken Sie den Start/Stop-Buttonund führen Sie den Schallkopf langsam undgleichmäßig über den PE-Körper. Die Mes-sung muss mit dem Start/Stop-Button been-det werden. Eventuell müssen Sie für eingutes Bild ein wenig üben und alle Einstel-lungen weiter verbessern.Das B-Bild kann ausgedruckt werden.

Bitte drucken Sie für jede Frequenz undpro Student nur einmal!

Die genaue Messung der Lage der Bohrlöchermuss im A-Bild erfolgen. Für alle Löchersind die Abstände von der Oberfläche zubestimmen. Die zweite Koordinate jedesLoches wird ermittelt, indem man die Mes-sung nach Drehen des PE-Körpers um 90o

wiederholt. Mit Hilfe des höherfrequentenSchallkopfes (besseres Auflösungsvermögen)ist nachzuprüfen, ob die gefundenen Fehl-stellen möglicherweise zusätzlich strukturiertsind.

5 Auswertung

5.1 Die Schallgeschwindigkeit ist nachGleichung (7) zu berechnen. Die Berechnungder Wellenlänge λ erfolgt für beide Wandlerüber die Gleichung (1). Der Elastizitätsmodulist nach Gleichung (2) zu errechnen.(ν = 0,45; ρ = 0,932 g cm-3)

5.2 Aus Gl. (3) ergibt sich für zwei ver-schiedene Dicken x1 und x2:

Aus den gemessenen Amplituden y1 und y2

sind mit Gl. (8) die Schwächungskoeffizien-ten für die Frequenzen der beiden Schallköpfezu berechnen.

Grundpraktikum III M 22 Dopplereffekt

15

1 1 2 2sin( ) , sin( )y a t y a tω ω= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (1)

y y y

a t t

= +

= ⋅−

⋅

⋅

+⋅

1 2

1 2 1 22 2 2cos sinω ω ω ω (2)

f f fS = −1 2 (3)

TfS

S

=1

. (4)

5.3 Es ist auf Millimeterpapier im Maßstab1 : 1 ein Schnitt des PE-Körpers mit Ein-zeichnung der Fehlstellen (Bohrungen)darzustellen.Das B-Bild ist auf Artefakte (Schallschatten,Mehrfachbilder) zu untersuchen.

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a. 2006

Fercher, A.F.: Medizinische Physik, Springer,1992

Millner, R.: Wissensspeicher Ultraschall-technik, Leipzig: Fachbuchverlag 1987

7 Kontrollfragen

7.1 Welche physikalische Größe ist auf derSkale des Ultraschallgerätes dargestellt?

7.2 Warum ist eine Ankopplung von Ultra-schallwandlern mittels Wasser oder Gelnotwendig?

7.3 Welche Wellenlänge hat eine Ultra-schallwelle in Polyethylen bei einer Frequenzvon a) 1 MHz b) 2 MHz ?

1 Aufgabenstellung

1.1 Es ist eine akustische Schwebung herzu-stellen und zu vermessen.

1.2 Die Geschwindigkeit einer bewegtenSchallquelle ist mit Hilfe des Dopplereffekteszu bestimmen.

1.3 Wellenlänge und Schallgeschwindigkeitsowie die Geschwindigkeit einer bewegtenSchallquelle sind aus der Überlagerung derSchallfelder einer beweglichen und einerfeststehenden Schallquelle zu bestimmen.

2 Physikalische Grundlagen

2.1 Werden zwei harmonische Schwingungeny1 und y2 mit den Kreisfrequenzenω1 = 2π@f1 und ω2 = 2π@f2 überlagert, soentsteht eine Schwebung y:

Sind f1 und f2 die Frequenzen der Einzel-schwingungen, so ist

die Schwebungsfrequenz und

die Schwebungsdauer.Wenn die Frequenzen f1 und f2 im hörbarenBereich (20 Hz # f # 15000 Hz) liegen undfS < 20 Hz ist, dann wird die akustischeSchwebung vom menschlichen Ohr als einTon mit regelmäßigen Intensitäts- bzw. Laut-stärke-Schwankungen wahrgenommen.Ist die Schwebungsfrequenz deutlich größerals 20 Hz, so sind die beiden Töne f1 und f2

getrennt zu hören.

Abb.1: Schwebung nach Gl. (2)

Dopplereffekt M 22


16

f fv c

' / .= ⋅−0

11 (5)

f f v c' ( / ) .= ⋅ +0 1 (6)

a a a r r n

a a a r rn

= + − = ⋅

= − − =+

⋅

1 2 1 2

1 2 1 2

2 12

für

für

λ

λ(7)

2.2 Bewegt sich eine Schallquelle, die einenTon mit der Frequenz f0 aussendet, mit derGeschwindigkeit v > 0 auf einen ruhendenBeobachter zu (bzw. mit der Geschwindigkeitv < 0 vom ruhendem Beobachter weg), sohört der Beobachter einen Ton mit der ver-änderten Frequenz f' (Doppler-Effekt):

Dabei ist c die Schallgeschwindigkeit.

Befindet sich die Schallquelle in Ruhe undbewegt sich der Beobachter mit der Ge-schwindigkeit v > 0 auf die Quelle zu bzw.mit v < 0 von der Quelle fort, so ist dieveränderte Frequenz f'

Aus den Gleichungen (5) und (6) folgt, dassbei der Annährung der zu hörende Ton f'höher ist als die Tonhöhe f0 der ausgesandtenSchallwelle, bei Entfernen ist der gehörte Tontiefer (f' < f0).

2.3 Senden zwei Schallquellen einen Tonderselben Frequenz f0 aus, so interferierenbeide Schallfelder miteinander. Die miteinem Mikrofon gemessene Amplitude a istabhängig von der Differenz der Abständer1 und r2 zwischen Mikrofon und Schall-quelle 1 bzw. Mikrofon und Schallquelle 2:

(a1 und a2 sind die Amplituden der beidenSchallquellen allein, λ die Wellenlänge und neine ganze Zahl.)Ist eine Schallquelle feststehend und diezweite wird auf das Mikrofon zu bzw. vonihm weg bewegt, so registriert man Maximaim Abstand Δr = n@λ. Bewegt sich die zweiteSchallquelle mit der Geschwindigkeit v, soregistriert man eine Schwebung aus derFrequenz f0 und der entsprechend Gleichung(5) Doppler-verschobenen Frequenz f'.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- NF-Generator für 2 Frequenzen- 2 Lautsprecher- Speicheroszilloskop (siehe Anhang)- Zählgerät (Frequenzmesser)- Ultraschallgenerator 40 kHz- 2 Ultraschallwandler- Messmikrofon- Stoppuhr- 2 m lange Schiene mit Längenskale- elektrisch angetriebener Messwagen- Verbindungsleitungen- BNC-T-Stück- Verbinder BNC/Banane- Stativmaterial- eventuell: eigener Fotoapparat

3.1 Der NF-Generator erzeugt zwei Wechsel-spannungen mit verschiedenen, regelbarenFrequenzen f1 und f2 (etwa 200 Hz ... 1 kHz),die jeweils an einem Leistungsausgang fürden Anschluss von Lautsprechern und aneinem BNC-Ausgang für den Anschluss desFrequenzmessers oder eines Oszilloskop zurVerfügung stehen. Zur Aufnahme des Mess-signals dient ein Spezialmikrofon. Das Zähl-gerät misst die Anzahl der Schwingungen ineiner Sekunde und speichert bis zu 1000Messwerte. Das Oszilloskop dient zur Kon-trolle des Messsignals. Zur Dokumentationder Messergebnisse kann das Oszilloskopbildmit dem eigenen Foto oder Handy fotografiertwerden.

3.2 Zur Bestimmung der Geschwindigkeit vdes Messwagens mit Hilfe des Doppler-Effektes wird Ultraschall verwendet. EinUltraschallwandler, der von dem 40 kHz-Generator angesteuert wird, wird auf denMesswagen gestellt. Um die mechanischeBeeinflussung des Wagens durch die Zulei-tung weitgehend zu vermeiden, ist diese überein Stativ von oben herab zu führen. DasMessmikrofon wird am Ende der 2 m langenSchiene aufgestellt.

3.3 Für die Bestimmung von Wellenlängeund Schallgeschwindigkeit wird der zweite


17

Ultraschallwandler ortsfest aufgestellt undparallel zum ersten am selben Generatorbetrieben.


4.0 Machen Sie sich zuerst mit der Funk-tionsweise und Bedienung von Digitalzähler,NF-Generator und Oszilloskop vertraut.Lesen Sie zur Vorbereitung die „Kurzanlei-tung zum Oszilloskop” im Anhang.

4.1 Zur Erzeugung der akustischen Schwe-bung sind die beiden Lautsprecher an denNF-Generator anzuschließen. Das Mess-mikrofon wird an den Zähler (Eingang B) undm. H. des BNC-T-Stückes gleichzeitig an denOszillographen angeschossen. Es wird durchDrücken der Taste eingeschaltet (Nach ca. 40min schaltet es sich automatisch aus.).Am Generator wird eine Frequenz f1 von etwa400 Hz eingestellt. Lautstärke, Verstärkungdes Mikrofons und Triggerschwelle desZählers sind so einzustellen, dass die Fre-quenz problemlos gemessen werden kann.Das gemessene Signal wird auf dem Oszillo-skop kontrolliert, es ist darauf zu achten, dassdas Mikrofon nicht übersteuert wird (zuerkennen an der verzerrten Sinuskurve). Nun ist f2 zu verändern, bis eine deutlichhörbare und mit der Stoppuhr messbareSchwebung entsteht. Die SchwebungsdauerTS (mit der Stoppuhr) sowie die beidenFrequenzen f1 und f2 (mit dem Zählgerät) sindmehrmals zu messen.

4.2 Zur Bestimmung der Geschwindigkeit vder bewegten Schallquelle wird einUltraschallwandler auf den Messwagengestellt und mit dem Ausgang des 40kHz-Generators verbunden. Das Mikrofon wirdam Ende der Schiene positioniert. Die Gene-ratorfrequenz (sie kann etwas variiert werden)wird so eingestellt, dass das Messsignalmaximal wird. Verstärkung des Mikrofonsund Triggerschwelle des Zählers werden soeingestellt, dass die Frequenz in den ver-schiedenen Abständen der Schallquelle vom

Mikrofon sicher messbar ist. Die Grund-frequenz f0 und die Frequenz f' bei maximalerGeschwindigkeit sind bei Fahrt in beideRichtungen jeweils 5 mal zu bestimmen.

4.3 Zur Messung der Wellenlänge wird derzweite Ultraschallwandler parallel zum erstenan den Generator angeschlossen. Das Signalwird auf dem Oszilloskop beobachtet. DieSchallquellen sind so aufzustellen, dass ihregemessenen Intensitäten am Mikrofon annä-hernd gleich groß sind. Die Frequenz f0 undAnzahl der Maxima bei Verschiebung desMesswagens um eine größere Wegstrecke(mind. 30 cm) ist zu messen.Die Geschwindigkeit des Messwagens wirdnun ermittelt, indem eine Schwebung aus denFrequenzen der bewegten und der feststehen-den Ultraschallquelle vermessen wird. Dazuwird der Oszillograph in den Digitalmodegeschaltet (Taste STORE ON) und die Zeitbasisauf einen geeigneten Wert (etwa 20 ms/cm)eingestellt. Für die eigentliche Messung (nachJustierung des Signals) ist die BetriebsartSINGLE zu verwenden; die Messung wird vonHand ausgelöst, wenn der Messwagen etwaseine maximale Geschwindigkeit erreicht hat.Am Oszillograph wird die SchwebungsdauerTS bestimmt (Tip: Dauer mehrerer Schwebun-gen messen, Cursor verwenden). Die Mes-sung ist je 5 mal für die Fahrt in beide Rich-tungen durchzuführen.

5 Auswertung

5.1 Die Schwebungsdauer TS wird nach denGleichungen (3) und (4) anhand der gemesse-nen Werte für die Frequenzen f1 und f2

berechnet und mit den direkt gemessenenWerten verglichen.

5.2 Die Geschwindigkeiten sind nach (5) zuberechnen, für beide Fahrtrichtungen sind dieMittelwerte anzugeben. Bei der Berechnungwird die in 5.3 ermittelte Schallgeschwindig-keit verwendet.

5.3 Die Wellenlänge λ und die Schall-geschwindigkeit c sind zu berechnen, c ist mit

Grundpraktikum III W 24 Stirling-Prozess

18

Abb.1: Ideale Stirlingmaschine. A: Arbeitskolben, V, R: Verdrängerkolbenund Regenerator, 1...4: siehe Abb.2

Literaturwerten zu vergleichen. Aus denSchwebungsdauern sind m. H. der Glei-chungen (3-5) die Geschwindigkeiten zuberechnen, für beide Fahrtrichtungen sind dieMittelwerte anzugeben.

6 Literatur

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a., 2010

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1 Mechanik, Akustik,Wärme. de Gruyter, Berlin u.a., 2008

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Schall?

7.2 Wie kommt eine Schwebung zustande?

7.3 Was bedeutet Interferenz von Wellen?

7.4 Leiten Sie die Gln. (5) und (6) her!

1 Aufgabenstellung

1.1 Der STIRLINGmotor ist als Kältemaschi-ne zu betreiben; die umgesetzten Energienund die Leistungszahl sind zu ermitteln.

1.2 Der STIRLINGmotor ist als Heißluftmotorzu betreiben; die umgesetzten Energien undder Wirkungsgrad sind zu bestimmen.


Der 1816 von ROBERT STIRLING erfundeneHeißluftmotor konnte sich wegen technischerProbleme nicht gegen die Dampfmaschinedurchsetzen. Grundsätzlich erlaubt er höhereWirkungsgrade als diese, da das Arbeits-medium Luft (im Gegensatz zum Dampf) imMotor verbleibt; es wird nur Wärme zu-geführt und abgegeben. Heute besitzt derStirlingmotor technische Bedeutung alsKältemaschine zur Heliumverflüssigung undbei der Energieversorgung durch Blockheiz-kraftwerke mit Kraft-Wärme-Kopplung.Die physikalischen Grundlagen periodischarbeitender thermodynamischer Maschinenwerden mit Hilfe von Kreisprozessen be-schrieben. Dabei wird nach einer Reihe vonZustandsänderungen in einem Arbeitszyklus

wieder der Ausgangszustand erreicht.Abb.1 verdeutlicht den idealen STIRLING-Prozess und Abb.2 zeigt das zugehörige pV-Diagramm. Der Kreisprozess besteht auszwei isothermen und zwei isochoren Teil-prozessen, als Arbeitsgas dient Luft.Ein Luftvolumen wird durch den beweglichenArbeitskolben A in einem Zylinder einge-schlossen. Außerdem befindet sich im Zylin-der der ebenfalls bewegliche Verdrängerkol-

STIRLING -Prozess W 24


19

p V n R T⋅ = ⋅ ⋅ . (2)

( )Q W n R T V V1 1 1 2= = ⋅ ⋅ ⋅ ln .1(4)

d d dQ U W= + . (1)

( )Q W n R T V V2 2 2= = ⋅ ⋅ ⋅ ln .1 2(5)

d d

d

W p V

W p VV

V

=

= ∫1

2

.(3)

W p V W W Q Q= = − = −∫ d 1 2 1 2 . (6)

ben V, der jedoch zur Wand nicht abdichtet,so dass die Luft an ihm vorbei strömen kann.Die rechte Seite wird geheizt (TemperaturT1), die linke Seite gekühlt (T2). Der Ver-drängerkolben schiebt die Luft zwischen denbeiden Temperaturniveaus hin und her. Dabeiübernimmt er gleichzeitig die Funktion desRegenerators R. Der kühlt die vorbei strö-mende heiße Luft (T1÷T2), speichert ihreEnergie und gibt sie an die zurückströmendekalte Luft wieder ab (T2÷T1).Ein Zyklus besteht aus folgenden Schritten:

1÷2 Isotherme Expansion. Arbeits- undVerdrängerkolben bewegen sich nachlinks, die Luft mit der Temperatur T1

expandiert. Dabei wird ihr die WärmeQ1 zugeführt und sie verrichtet dieAusdehnungsarbeit W1.

2÷3 Isochore Abkühlung. Der Verdränger-kolben bewegt sich nach rechts, dieLuft strömt in den Bereich mit derTemperatur T2 und gibt dabei Wärme anden Regenerator ab.

3÷4 Isotherme Kompression. Der Arbeits-kolben bewegt sich nach rechts, die Luftmit der Temperatur T2 wird verdichtet.Dabei muss der Kolben die Kompres-sionsarbeit W2 verrichten und die Wär-me Q2 wird nach außen abgegeben.

4÷1 Isochore Erwärmung. Der Verdränger-kolben bewegt sich nach links, die Luftströmt in den Bereich mit der Tempera-tur T1 und nimmt dabei Wärme vomRegenerator auf.

Die Berechnung der umgesetzten Energienerfolgt nach dem 1. Hauptsatz der Thermody-namik (Energieerhaltungssatz)

Dabei ist dQ eine dem System zugeführteWärmemenge, dU die Änderung der innerenEnergie des Systems und dW eine abge-gebene Arbeit.Luft kann als ideales Gas betrachtet werden,somit ist

R = 8,3143 Ws mol-1 K-1 ist die molare Gas-konstante und n die Stoffmenge in mol.Die Arbeit W errechnet sich aus

Beim isothermen Prozess 1÷2 ist dT = 0und damit dU = 0. Aus (1) wird dQ1 = dW1

und mit (2) und (3) ergibt sich

Beim isothermen Prozess 3÷4 ist wiederdT = 0, so dass

Q2 und damit W2 sind negativ, weil V1 < V2 .Das bedeutet, dass die Arbeit W2 zugeführtwerden muss, sich in Wärme (Q2) umwandeltund vom System abgegeben wird.Bei den beiden isochoren Prozessen 2÷3 und4÷1 wird die selbe Wärmemenge an denRegenerator abgegeben bzw. von diesemaufgenommen, sie brauchen deshalb in derEnergiebilanz nicht berücksichtigt werden.Die in einem vollständigen Kreisprozessabgegebene Arbeit ist

Mit (4) und (5) ergibt sichAbb.2: p-V-Diagramm zu Abb.1


20

ε = =−

Q

W

TT T

2 2

1 2

, (10)

′ = =−

εQW

TT T

1 1

1 2

. (11)

Abb.3: Stirling-Motor

η = =−W

Q

Q Q

Q1

1 2

1

(8)

( ) ( )W n R T T V V= ⋅ ⋅ − ⋅1 2 ln .2 1(7)

η =−T TT

1 2

1

. (9)

Eine Maschine, welche einem Reservoir mitder Temperatur T1 die Wärmeenergie Q1

entnimmt, die Wärmeenergie Q2 an einzweites Reservoir mit der Temperatur T2 <T1

abgibt und dabei die Arbeit W verrichtet,nennt man Wärmekraftmaschine.Der Wirkungsgrad η einer Wärmekraft-maschine ist definiert als der Quotient ausNutzarbeit und zugeführter Wärme. Für denStirling-Prozess ergibt sich

und mit Hilfe von (4) und (7)

Der maximale Wirkungsgrad ist also stetskleiner als Eins!

Durchläuft man den Kreisprozess in Abb.2 inumgekehrter Richtung (1÷4÷3÷2÷1), soerhält man das physikalische Prinzip derWärmepumpe. Q1, Q2 und W kehren ihreVorzeichen um. Mit Hilfe der aufgewendetenArbeit W wird dem kälteren Reservoir dieWärmemenge Q2 entzogen und dem wärme-ren Reservoir die Wärme Q1 zugeführt. Wennder Nutzen in der Abkühlung des erstenReservoirs besteht, spricht man von einerKältemaschine.Bei Wärmepumpen bzw. Kältemaschinenvermeidet man den Begriff Wirkungsgradund spricht statt dessen lieber von der Lei-stungszahl ε, da diese in der Regel größer alsEins ist.

Die Leistungszahl des idealen STIRLING-Prozesses als Kältemaschine ist

die Leistungszahl des idealen STIRLING-Prozesses als Wärmepumpe ist

Es gibt verschiedene Bauformen von Stirling-motoren. Arbeits- und Verdrängerkolbenkönnen in einem oder in getrennten Zylindernlaufen, der Regenerator muss nicht mit demVerdränger identisch sein.Bei einer realen STIRLING-Maschine wird derin Abb.2 und 3 beschriebene Kreisprozess nurnäherungsweise durchlaufen. Arbeits- undVerdrängerkolben sind durch um 90° versetz-te Pleuel mit einer rotierenden Welle verbun-den (vergleiche Abb.3). Wenn sich ein Kol-ben gerade schnell bewegt, ist der andere nurnäherungsweise in Ruhe.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Stirlingmotor mit Sensoreinheit, Motor/

Generator-Einheit, Drehmomentenmesserund Spiritusbrenner

- Temperaturmessgerät mit 2 Thermoele-menten

- SensorCassy mit pV-Box, PC, SoftwareCassyLab

- Stromversorgungsgerät- Verbraucherwiderstand (500 Ω, regelbar)- 2 Vielfachmesser- Verbindungsleitungen

3.1 Der STIRLING-Motor (Abb.3) besitzteinen Arbeitskolben A und einen Verdränger-kolben V, der die Luft zwischen dem Bereichmit der Temperatur T1 und dem Bereich mit


21

WPv

MMM= = ⋅ 2π . (12)

WU I

vE =⋅

(13)

der Temperatur T2 hin- und herschiebt. BeideKolben werden durch eine gemeinsameDrehachse geführt, auf der eine (in Abb.3nicht gezeigte) Riemenscheibe befestigt ist,die gleichzeitig als Schwungrad dient. Wie inAbb.1 übt der Verdrängerkolben V auch dieFunktion des Regenerators aus.

Die Wärmeenergie liefert der Spiritusbrenner.(Heizwert von Spiritus: 27 MJ/kg)

Mit Hilfe der Thermoelemente werden dieTemperaturen T1 und T2 und die Temperatur-differenz ΔT = T1 - T2 gemessen.

Mit Hilfe der Sensoreinheit und dem Cassy-System werden Druck p und Volumen Vgemessen. Dabei werden diese Größen fol-gendermaßen auf die mit dem Cassy gemes-sene Spannung abgebildet:

Cassy Kanal A: 0 V =̂ Vmin = 32 cm3

ΔU /ΔV = 50 mV/cm3

(Vmax = 44,2 cm3 )

Cassy Kanal B: 0 V =̂ äußerer Luftdruck p0

ΔU /Δp = 2mV/mbar

Das Display auf der Sensoreinheit zeigt beilangsamer Drehung den Wert des Winkelzäh-lers und bei schneller Drehung die Drehzahl νan. Für eine korrekte Volumenmessung mussder Winkelzähler im Minimum des Volumensmit dem Taster auf Null gestellt werden.

Mit Hilfe des Drehmomentmessers (Prony-scher Zaum) lässt sich der Stirlingmotor miteinem Drehmoment M belasten. Die vomStirlingmotor abgegebene mechanischeLeistung ist PM = M @ 2 π @ v.Da die umgesetzten Energien Q und ArbeitenW im Kreisprozess sich jeweils auf einen Zy-klus des Kreisprozesses beziehen, soll auchdie vom Stirlingmotor abgegebene mechan-ische Arbeit WM pro Zyklus angegebenwerden:

Mit Hilfe des Generators der Motor/Generator-Einheit und eines Verbraucher-widerstandes kann die vom Stirlingmotor

abgegebene mechanische Energie in elektri-sche Energie umgewandelt werden. Dieelektrische Leistung ist PE = U@ I, die Energiepro Zyklus:

U ist die vom Generator erzeugte Spannung,I der durch den Verbraucher fließende Strom.

Wird der Stirlingmotor als Kältemaschinebzw. Wärmepumpe betrieben, so dient dieMotor/Generator-Einheit als elektrischerAntriebsmotor. Für dessen Energie proZyklus gilt ebenfalls Gleichung (13).


4.1 Zuerst wird der Stirlingmotor als Kälte-maschine verwendet. Der Elektromotor wirdan die Gleichspannungsquelle angeschlossen,Strom und Spannung werden mit den beidenVielfachmesser gemessen. Beachten Sie dieam Motor angegebene maximale Betriebs-spannung!Nach dem Einschalten des SensorCassysmuss die Volumenmessung kalibriert werden.Dazu wird der Arbeitskolben des Stirling-motors in den tiefsten Punkt gebracht und derTaster auf der Sensoreinheit gedrückt. Cassy-Lab ist so einzurichten, dass das pV-Dia-gramm für etwa einen Zyklus dargestelltwird. Mit der Einstellung “wiederholendeMessung” in den Messparametern erreichtman eine Oszilloskop-Darstellung. Bei einer konstanten Drehzahl zwischen 500und 700 min-1 soll der Motor einige Minutenlaufen, bis sich eine konstante Temperaturdif-ferenz T2!T1 einstellt. Dann wird ein pV-Diagramm aufgezeichnet. Außerdem werden protokolliert: Die Dreh-zahl v, die Temperaturen T1 und T2, SpannungU und Strom I des Elektromotors sowie derLuftdruck p0.

4.2 Der Stirlingmotor wird als Heißluft-motor betrieben. Die Heizleistung des Spiri-tusbrenners soll aus dem Brennstoffverbrauchpro Zeit bestimmt werden. Hierzu ist die


22

Masse des Brenners vor dem Anzünden undnach dem Auslöschen zu ermitteln und diegesamte Brenndauer zu stoppen.Stellen Sie den Spiritusbrenner unter denGlaskolben des Stirlingmotors und werfenSie den Motor an, wenn die Temperatur-differenz ca. 100 K erreicht hat. Nach weni-gen Minuten, wenn die Temperaturen und dieDrehzahl annähernd stabil sind, können dieMessungen beginnen.

4.2.1 Elektrische Messung:Schließen Sie den Verbraucherwiderstandsowie Strom- und Spannungsmesser an denAusgang des Generators an.Stellen Sie mit Hilfe des Widerstands eineDrehzahl von etwa 500 min-1 ein. Bei dieserDrehzahl ist ein pV-Diagramm aufzuzeich-nen. Außerdem werden gemessen:Strom I und Spannung U am Verbraucher,Drehzahl v, die Temperaturen T1 und T2.

4.2.2 Mechanische Messung:Die Motor/Generator-Einheit wird abgebaut;der Drehmomentemesser und die Skaleaufgesetzt und die Belastung so gewählt, dassdie Drehzahl wieder etwa 500 min-1 ist. DieDrehzahl, die Temperaturen und das pV-Diagramm sollen sich von den Messungen zu4.2.1 nicht wesentlich unterscheiden.Zeichnen Sie noch einmal ein pV-Diagrammauf und messen Sie das Drehmoment M, dieDrehzahl v und die Temperaturen T1 und T2.

4.3 Zusatzaufgabe (fakultativ):In einer Messreihe soll die Abhängigkeit derLeistung des Stirlingmotors von der Drehzahlbestimmt werden. Die Messung der abge-gebenen Leistung kann entweder elektrisch(wie in 4.2.1) oder mechanisch (wie in 4.2.2)erfolgen. Variieren Sie mit Hilfe des Ver-braucherwiderstandes bzw. durch Verände-rung der Reibung des Drehmomentmessersdie Drehzahl vom Maximum bis zum klein-sten Wert, bei dem der Motor noch gleich-mäßig läuft, und messen Sie jeweils U und Ibzw. M sowie die Drehzahl ν und die Tempe-raturen T1 und T2. Die Messung muss zügigerfolgen, damit die Temperaturen annäherndkonstant bleiben.

5 Auswertung

Eine Abschätzung für die Stoffmenge n derLuft im Stirlingmotor erhält man aus (2),wenn man für die Zustandsgrößen die arith-metischen Mittelwerte Vm, Tm und pm einsetzt:

Vm = 38 cm³, Tm = (T1 + T2) / 2,

pm = (pmax + pmin) / 2.

Alle grafischen Auswertungen und die nume-rische Integration können mit den Programm

CassyLab erfolgen. +p dV wird mit demMenüpunkt Integral-Peakfläche berechnet.

5.1 (Kältemaschine): Berechnen Sie dieStoffmenge n und zeichnen Sie in das pV-Diagramm zusätzlich die p(V)-Kurven desidealen Stirlingprozesses mit den Temperatu-ren T1 und T2 ein. Diskutieren Sie die Unter-schiede zwischen dem idealen und demrealen Prozess.Berechnen Sie die folgenden Energien proArbeitszyklus und die zugehörigen Leistun-gen (durch Multiplikation mit der Drehzahl),und stellen Sie die Ergebnisse übersichtlich ineiner Tabelle dar:

- Die aufgewendete elektrische Energie WE

nach (13),

- die im idealen Stirling-Prozess aufgewen-dete Energie W nach (7),

- die im realen Prozess aufgewendete Ener-gie W* durch numerische Integration impV-Diagramm nach (6),

- die im idealen Prozess auf der kalten Seiteabgeführte Wärme Q2 nach (5),

- die realen Prozess abgeführte Wärme Q2*

durch numerische Integration im pV-Dia-gramm nach (3).

Berechnen Sie die ideale Leistungszahl εi derStirling-Kältemaschine nach (10), die realethermodynamische Leistungszahl εr = Q2

*/W*

und die Leistungszahl unter Berücksichtigungder aufgewendeten elektrischen EnergieεE = Q2

*/WE. Vergleichen und diskutieren Siedie Ergebnisse.

5.2 (Heißluftmotor): Bestimmen Sie diemittlere Heizleistung PH des Spiritusbrenners

Grundpraktikum III W 25 Diffusion

23

aus Brenndauer und Masseverlust. BerechnenSie die Stoffmenge n und zeichnen Sie in einsder pV-Diagramme zusätzlich die p(V)-Kurven des idealen Stirlingprozesses mit denTemperaturen T1 und T2 ein. Diskutieren Siedie Unterschiede zwischen dem idealen unddem realen Prozess.Berechnen Sie die folgenden Energien proArbeitszyklus und die zugehörigen Leistun-gen (durch Multiplikation mit der Drehzahl),und stellen Sie die Ergebnisse übersichtlich ineiner Tabelle dar:

- Die Heizenergie WH des Spiritusbrenners,

- die dem idealen Stirling-Prozess zugeführ-te Wärme Q1 nach (4),

- die dem realen Prozess zugeführte WärmeQ1

* durch numerische Integration im pV-Diagramm nach (3),

- die vom idealen Stirling-Prozess ver-richtete Arbeit W nach (7),

- die dem realen Prozess verrichtete ArbeitW* durch numerische Integration im pV-Diagramm nach (6),

- die verrichtete mechanische Arbeit WM

nach (12) und

- die elektrische Arbeit WE nach (13).

Berechnen Sie den Wirkungsgrad ηi desidealen Stirling-Prozesses nach (9), denrealen thermodynamischen Wirkungsgrad

ηth = W*/Q1*, den Brenner-Wirkungsgrad

ηB = Q1*/WH , den mechanischen Wirkungs-

grad ηM = WM/WH und den elektrischenWirkungsgrad ηE = WE/WH .Vergleichen und diskutieren Sie die Ergeb-nisse.

5.3 Stellen Sie die Leistung des Stirling-motors in Abhängigkeit von der Drehzahlgrafisch dar.

6 Literatur


http://www.wikipedia.de (mit vielen weiter-führende Links)

7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie den (idealen) STIRLING-Prozess im Unterschied zu dem bekanntenCARNOT-Prozess.

7.2 Welche Unterschiede bestehen zwischeneinem idealen und einem realen thermodyna-mischen Kreisprozess?

7.3 Welche Anwendungen gibt es für eineStirlingmaschine?

1 Aufgabenstellung

Der Diffusionskoeffizient eines unbekanntenSalzes in Wasser soll bestimmt werden.Hierfür ist

1.1 die elektrische Leitfähigkeit zweier Salz-lösungen in Abhängigkeit von der Konzen-tration zu messen (Erstellung von Kalibrier-kurven),

1.2 die Apparatekonstante der Diffusions-

zelle zu bestimmen durch Messung derDiffusion eines bekanntes Salzes (KCl),

1.3 der gesuchte Diffusionskoeffizient zubestimmen durch Wiederholung der Messungzu 1.2 mit dem unbekannten Salz.

2 Grundlagen

Diffusion ist eine Form des Massetransportsin Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen, der

Diffusion W 25


24

Abb.1: Messkammer und Konzentrations-profil

J D Acx

= − ⋅ ⋅

d

d. (1)

( )dd

cx

c c

sI II

= −−

. (2)

dd

cx

csI= − (3)

cJ tVII =

⋅. (4)

durch die mikroskopische, ungeordneteBewegung der Teilchen (Brownsche Bewe-gung) hervorgerufen wird und so gerichtetist, dass sich ein lokales räumliches Konzen-trationsgefälle (Konzentrationsgradient)ausgleicht. Sie besitzt große Bedeutung in derzellulären und organismischen Physiologie.In einem einphasigen System bei konstanterTemperatur und dem Fehlen äußerer Kräftesorgt die Diffusion für eine gleichmäßigeKonzentration der Komponenten der Phaseim gesamten System.Diffusion durch eine semipermeable Wand(permeabel für das Lösungsmittel, nicht aberfür gelöste Stoffe) führt zur Osmose.Um den eindimensionalen Diffusionsvorgangquantitativ zu beschreiben, wird der Diffu-sionsfluss (auch Teilchenstrom) J definiert alsdie Stoffmenge, die netto pro Zeiteinheit inpositive x-Richtung durch eine senkrecht zudieser Richtung angeordnete Fläche A hin-durchtritt. Die Einheit des Diffusionsflussesist mol/s. Bezieht man den Diffusionsflussauf die Fläche A, so spricht man von demspezifischen Diffusionsfluss oder der Diffu-sionsstromdichte Φ = J/A.Der Diffusionsfluss ist im isothermen Fallproportional zur betrachteten Querschnittsflä-che A und zum Konzentrationsgradientendc/dx (1. FICKsches Gesetz):

Dabei ist D der Diffusionskoeffizient (Ein-heit: m2 s-1), eine Materialkennzahl für dieBeweglichkeit der Teilchen in der Phase. Dasnegative Vorzeichen in (1) gibt an, dass derTeilchenfluss in Richtung abnehmenderKonzentration verläuft. Der Diffusions-koeffizient ist abhängig von der Temperatur,der Konzentration der Komponente und vonder Art und Konzentration anderer Kompo-nenten. Er nimmt mit steigender Temperatur(häufig exponentiell) zu.Als einfache Anwendung des 1. FICKschenGesetzes soll die stationäre Diffusion zwi-schen zwei Lösungsräumen untersucht wer-den, die durch eine feinporige Wand der

Dicke s getrennt sind (Abb.1). Wenn jederder beiden Lösungsräume gut durchmischtwird (z.B. durch einen Rührer), kann man injedem der beiden Räume eine ortsunabhängi-ge Konzentration annehmen. Das gesamteKonzentrationsgefälle erstreckt sich dannüber die feinporige Trennwand, in dieser ist

Da bei der experimentellen Realisierung diebeiden Lösungsräume relativ groß sind unddie Bedingung cI o cII während der gesamtenMesszeit erfüllt ist, vereinfacht sich (2) zu

und der Diffusionsfluss J wird entsprechendGl. (1) zeitlich konstant.Die Konzentration cII ergibt sich bei kon-stantem Zustrom von Ionen in denLösungsraum II mit dem Volumen V zu

Fasst man die gerätespezifischen Größen zueiner Apparatekonstanten


25

Abb.2: Messanordnung zur Bestimmung desLeitwertes der Lösung

β =⋅

A

V s (5)

c t c D tII I( ) = ⋅ ⋅ ⋅β (6)

d

dII

I

c

tc D= ⋅ ⋅β . (7)

zusammen, so ergibt sich aus (4) mit (1), (3)und (5) ein linearer Anstieg der Konzen-tration cII im Lösungsraum II in Abhängigkeitvon der Zeit

mit dem Anstieg

Misst man cII in Abhängigkeit von der Zeit t,so kann also aus dem Anstieg der Messkurvebei bekannter Apparatekonstante β undKonzentration cI der Diffusionskoeffizient Dbestimmt werden. Die Apparatekonstantekann durch die Messung mit einer Substanzmit bekanntem Diffusionskoeffizientenbestimmt werden.

Im 1. FICKschen Gesetz (Gleichung (1)) stehtder Gradient der Stoffmengenkonzentration(Molarität, Einheit mol/l). Da in (6) und (7)die Konzentration auf beiden Seiten derGleichung steht, kann sie dort durch dieMassenkonzentration (Einheit g/l) ersetztwerden. Damit ist es für die Bestimmung desDiffusionskoeffizienten nicht notwendig, dieMolmasse des gelösten Salzes zu kennen. ImWeiteren werden deshalb für alle Konzen-trationsangaben Massenkonzentrationen in g/lverwendet.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Einzelmesskammer- Doppelmesskammer- 2 Röhrchen (4 ml) für Stammlösungen- Leitfähigkeits-Messsonde mit Stativ- Generator 1 V, 130 Hz- Anschluss-Box mit Umschalter und Mess-

widerstand- Digitalmultimeter- Doppelmagnetrührer mit 2 Rührstäbchen- Pipette 100 μl, Pipettenspitzen

- Mikrospatel, Pinzette- Stoppuhr- Laborwaagen 0,0001 g und 0,1 g- Messzylinder 250 ml

3.1 Die Ionenkonzentration der beidenSalzlösungen (Substanz A: KCl, Substanz B:unbekanntes Salz) wird mit Hilfe Messungelektrischen Leitwertes bestimmt.Die Einzelmesskammer besitzt die gleichenMaße wie ein Teil der Doppelmesskammerund dient zur Kalibrierung der Konzen-trationsmessung, d. h., zur experimentellenBestimmung des Zusammenhangs zwischenLeitwert und Konzentration.Die poröse Wand der Doppelmesskammerwird durch ein Zellulosenitrat-Filter mit0,2 μm Porengröße gebildet. Abb.2 zeigt die Anordnung zur Messung derLeitwert-Konzentrationsabhängigkeit derLösung. In die Messkammer wird eineLeitfähigkeits-Messsonde, die aus zweiElektroden besteht, eingetaucht.Mit Hilfe eines Voltmeters kann über einenMesswiderstand (R=100Ω; in die Anschluss-box eingebaut) der zwischen den Elektrodenfließende Strom I bestimmt werden. Dieserergibt sich aus der zu messenden SpannungUi nach dem Ohmschen Gesetz.Mit Hilfe eines Umschalters kann mit demselben Voltmeter auch die Generatorspan-nung Uz bestimmt werden. Aus diesen beidenSpannungsmessungen und dem bekanntenWert des Messwiderstandes lässt sich der zurjeweiligen Konzentration gehörende elektri-


26

G cI

U UU

U U Rz i

i

z i

( ) .=−

=−

⋅1

(8)

sche Leitwert der Lösung G(c) berechnen:


Bereiten Sie schon vor Beginn des Prakti-kums die Tabellen für die Aufnahme derMesswerte vor und berechnen Sie dieKonzentrationen der Messlösungen in g/lin den einzelnen Schritten!

Für das Versuchsergebnis sind Sauberkeit derArbeitsgeräte und Reinheit der Lösungen vongroßer Bedeutung. Nach jedem Benutzen sinddeshalb die Messkammern zu reinigen!Zum Einwiegen der Substanzen stehenWaagen der Genauigkeit 0,1 mg zur Verfü-gung. Am einfachsten ist es, die Substanzendirekt in die (trockenen!) Glasröhrcheneinzuwiegen. Die Wassermenge von 220 mlkann wahlweise mit einer Waage (0,1 gGenauigkeit) oder mit einem Messzylinderabgemessen werden.Achten Sie darauf, dass die Magnetrührerimmer funktionieren!

4.1 Messung der Kalibrierkurven:Sowohl für die KCl-Lösung als auch für dieLösung des unbekannten Salzes wird derLeitwert in Abhängigkeit von der Salzkon-zentration im Konzentrationsbereich von(0…0,5) g/l gemessen. Dazu sind von beiden Stoffen jeweils 3 mleiner Stammlösung der Konzentration 220 g/lherzustellen (Salz in ca. 2,5 ml deionisiertemWasser auflösen, dann mit der Pipette auf3 ml auffüllen). Die Einzelmesskammer ist mit 220 ml deio-nisiertem Wasser zu füllen. In 5 Schrittenwerden jeweils 100 μl der KCl-Stammlösungzur Messlösung hinzugegeben. Nach demKonzentrationsausgleich sind jeweils Ui undUz zu messen. Diese Prozedur ist mit demunbekannten Salz zu wiederholen.

Es ist empfehlenswert, die Auswertung zudiesem Teilversuch sofort durchzuführen

(siehe 5.1), damit die Kalibrierkurven bereitswährend der Durchführung von 4.2 und 4.3zur Verfügung stehen.

4.2 Bestimmung der Apparatekonstante β:Beide Teile der Doppelmesskammer sind mitje 220 ml deionisiertem Wasser zu füllen.Zum Zeitpunkt t = 0 wird durch Zugabe vonKCl in Kammer I eine Konzentration von 10g/l eingestellt. Der Leitwert in Kammer II ist15 min lang alle 3 min zu messen. Die Pausenzwischen den Messungen sollten Sie nutzenum den Leitwert sofort zu berechnen undanhand der Kalibrierkurve die Konzentrationzu bestimmen (siehe 5.2).

4.3 Messung des Diffusionskoeffizientender Substanz B:Die Messung erfolgt analog zu Punkt 4.2. Fürdas Salz mit dem unbekannten Diffusions-koeffizienten wird eine Ausgangskonzen-tration in Kammer I von 20 g/l eingestellt.

5 Auswertung

5.1 Aus den gemessenen Spannungen Ui

und Uz ist der Leitwert der Lösungen nachGl. (8) zu berechnen. Für beide Salze ist derLeitwert in Abhängigkeit von der Konzen-tration graphisch darzustellen.

5.2 Aus den gemessenen Spannungen Ui

und Uz ist nach Gl. (8) der Leitwert derLösung im Kammer II zu berechnen. MitHilfe der in 5.1 erstellten Kalibrierkurvensind aus den Leitwerten die Konzentrationenzu ermitteln. Die KCl-Konzentration inKammer II ist in Abhängigkeit von der Zeitgraphisch darzustellen. Mittels linearerRegression wird der Anstieg der Kurvebestimmt und aus diesem gemäß Gl. (7) dieApparatekonstante β berechnet.

Der Diffusionskoeffizient von KCl beträgtD0 = 1,996 @ 10-9 m² s-1

5.3 Die Konzentration des unbekanntenSalzes in Kammer II ist wie in 5.2 zu er-mitteln und in Abhängigkeit von der Zeitgraphisch darzustellen. Mittels linearer

Grundpraktikum III W 27 Donnanpotential

27

Abb.1: Messzelle. SM: semipermeableMembran, E: Elektroden

Regression wird der Anstieg der Kurvebestimmt und aus diesem gemäß Gl. (7) derDiffusionskoeffizient D berechnet. Dabei istdie mit KCl ermittelte Apparatekonstante βaus 5.2 einzusetzen.

6 Literatur

Adam, G., Läuger, P., Stark, G., Physika-lische Chemie und Biophysik, SpringerBerlin, 1995

7 Kontrollfragen

7.1 Welcher Zusammenhang besteht zwi-schen der Diffusion und der Wärmeleitung?

7.2 Warum erfolgt die Messung des Leit-wertes der Lösungen mit niederfrequentemWechselstrom?

7.3 Von welchen Größen hängt der Diffu-sionskoeffizient ab?

1 Aufgabenstellung

Die Ladung zM eines Makromoleküls (Ei-albumin) soll mit Hilfe der Messung desDonnanpotentials in Abhängigkeit von derKonzentration des Makromoleküls bestimmtwerden.

2 Grundlagen

An biologischen Membranen (vor allem anZellwänden, aber auch an künstlichen Mem-branen) können transmembrane elektrischePotentiale nachgewiesen werden. Das sindelektrische Spannungen zwischen beidenSeiten der Membran bzw. zwischen Intra-und Extrazellulärraum, die in der Biophysikals Membranpotentiale bezeichnet werden.Das Auftreten sowie die Größe dieser Poten-tiale sind ein Teil der aktiven oder passivenWechselwirkung der Zelle mit ihrer Umge-bung. Membranpotentiale entstehen zunächstpassiv durch unterschiedliche Ionenkonzen-trationen (z.B. von K+- oder Na+-Ionen) imExtra- und Intrazellularraum. Sie könnendurch aktive Funktionen der Zellmembranwie das Öffnen und Schließen von ionen-spezifischen Kanälen oder durch Ionenpum-pen stark beeinflusst werden.

Passiv entstehende Potentiale an einer Zell-membran werden durch transmembraneDiffusion folgendermaßen verursacht:

Gleichgewichtspotential (NERNST-Potential):Zwischen zwei Lösungsräumen I und II(Abb.1), die eine Salzlösung aus einwertigenKat- und Anionen enthalten, befinde sich einesemipermeable Membran SM.cI

A und cIIA bezeichnen die Konzentrationen

der Anionen A, cIK und cII

K die der KationenK in den Lösungsräumen I und II. Das gelösteSalz habe beidseits der Membran eine unter-schiedliche Konzentration und sei vollständigdissoziiert. Es gelte cI

K > cIIK.

Die Membran sei durchlässig für die Katio-nen und undurchlässig für die Anionen.

Donnanpotential W 27


28

c cE

kTIK

IIK: :=

−1 e

∆(1)

∆ ∆E z e= ⋅ ⋅ ϕ . (2)

∆ ϕ = ⋅k Tz e

c

cln .I

K

KII

(3)

Abb.2: Entstehung des DONNAN-Gleichgewichts. a) Gleichgewicht permeabler einwertigerKationen und Anionen, b) Zugabe von Makromolekülen, c) DONNAN-Gleichgewicht

Durch den Konzentrationsunterschied diffun-dieren Kationen aus dem Lösungsraum I inden Raum II, die Anionen können dagegendie Membran nicht durchdringen. Der Diffu-sionsstrom von I nach II ist also auch miteinem Transport von positiven Ladungenverbunden. Dadurch baut sich ein elektrischesPotential zwischen beiden Lösungsräumenauf, das einem Konzentrationsausgleichentgegenwirkt.Im entstandenen Gleichgewicht verhalten sichdie Teilchendichten oder Konzentrationengemäß der (Boltzmann-) Verteilung derkinetischen Energien thermischer Ionenbewe-gungen:

mit

Dabei bedeutenΔE: elektrische Arbeit, die verrichtet werden

muss, um ein Kation von Lösungsraum Iin Lösungsraum II zu transportieren,

k = 1,381@10-23 Ws/K: Boltzmann-Konstante,T: absolute Temperatur,z: Ladungszahl des Ions,e = 1,602 @10-19 C: Elementarladung,Δφ: Potentialdifferenz, entspricht der gemes-

senen Spannung.

Durch Einsetzen und Umstellen folgt aus (1)und (2) die Nernstsche Gleichung:

Für T = 20°C = 293 K ergibt sich

.∆ ϕ = ⋅ = ⋅

25 58mVln

mVlg

zcc z

cc

I

II

I

II

Beispiel: Das Ruhepotential biologischerZellen ist im Wesentlichen ein K+-Diffusions-potential (Ausnahme: Nervenzellen). Esbeträgt -89 mV bei KaliumkonzentrationencI

K = 5 mM intrazellulär und cIIK = 140 mM

extrazellulär. (Die Einheit der Molarität ist mol/l oder M;es gilt 1 mol/l = 1 M, 10-3 mol/l = 1 mM.)

Zum Aufbau des NERNST-Potentials Δφmüssen nur relativ wenige Ionen durch dieMembran diffundieren, die Konzentrationenändern sich dabei nicht wesentlich.

Donnanpotential:Werden die Lösungsräume I und II durch eineMembran getrennt, die vollständig permeabelfür die Kationen und Anionen ist, dann trittinfolge Diffusion ein vollständiger Konzen-trationsausgleich ein (Abb.2a). Im Gleich-gewicht entsteht dann gemäß NernstscherGleichung (3) kein transmembranes Potential,d. h. Δφ = 0.Gibt man im Lösungsraum I Makromolekülein der Konzentration cM hinzu, die in hoch-molekulare, impermeable Anionen mit derLadung zM und kleine, permeable Kationen


29

c c cLIA

IIA+ = 2 . (8)

rD

ekT= e .

∆ϕ (6)

rz c

cD =−

+M M

L

.2 1 (9)∆ ϕ = =

kTe

c

ckTe

c

cln ln .I

K

IIK

IIA

IA (4)

c

c

c

crD

IK

IIK

IIA

IA= = (5)

c z c c

c c

IA

M M IK

IIA

IIK

( )

.

+ − ⋅ =

=(7)

dissoziieren (Abb.2b), so entsteht ein Kon-zentrationsgradient der Kationen, da nuncI

K > cIIK ist.

Durch den Diffusionsstrom der Kationenentsteht ein Membranpotential, das wiederumeine Rückwirkung auf die Konzentrationsver-teilung der permeablen Anionen hat, mit derFolge, dass auch permeable Anionen aus demLösungsraum I in den Lösungsraum II diffun-dieren. Dabei bleibt die Neutralität in beidenLösungsräumen erhalten. Das Diffusions-gleichgewicht (Abb.2c) wird erreicht, wenndas Nernstpotential der permeablen Anionengleich dem der Kationen ist. Nach (3) ergibtsich für einwertige Ionen (d. h. z = +1 fürKationen und z = !1 für Anionen):

Im Gleichgewicht bleibt also ein bestimmtesMembranpotential erhalten, das als Donnan-Potential bezeichnet wird (erstmals unter-sucht von DONNAN 1911). Anders als beim reinen Nernst-Potential stelltsich das Donnan-Gleichgewicht erst nachbeträchtlichen Konzentrationsverschiebungender permeablen Ionen in beiden Lösungs-räumen ein. Zusätzlich muss neben demIonentransport auch der Wassertransportdurch die Membran verschwinden. Dies istnur möglich, wenn der Lösungsraum mit derProteinlösung unter einem (hydrostatischen)Überdruck steht, der als kolloidosmotischerDruck bezeichnet wird.

Aus Gl. (4) ist ersichtlich, dass im Donnan-Gleichgewicht

gilt, wobei rD als Donnan-Koeffizient be-zeichnet wird. Mittels (4) und (5) kann der DONNAN-Koeffi-zient aus dem (messbaren) MembranpotentialΔφ berechnet werden:

Abgesehen von einer elektrischen Doppel-schicht unmittelbar an der Membran bleibtnach Einstellung des DONNAN-Gleichgewich-tes in beiden Lösungsräumen die elektrischeNeutralität erhalten (siehe auch Abb.2c):

Bezeichnet man die Anfangskonzentrationdes permeablen Salzes mit cL (in Abb.2a istcI

K = cIA = cII

K = cIIA = cL) und sind beide

Lösungsräume gleich groß, so ist immer

Aus (5), (7) und (8) ergibt sich

Der Donnan-Koeffizient ist also einerseitsvon der Ladung und der Konzentration desimpermeablen Makromoleküls, andererseitsaber auch von der Konzentration der perme-ablen Ionen abhängig. Sofern die Ladung zM

der Makromoleküle bzw. ihr Dissoziations-grad als konstant angenommen werdenkönnen, d.h. bei nicht zu großer Konzen-tration cM, ergibt sich nach (9) eine lineareAbhängigkeit des Donnan-Koeffizienten voncM.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Doppelmesskammer mit semipermeabler

Membran (Dialysemembran)- 2 Referenzelektroden, Stativ dafür- Voltmeter- 2 Röhrchen (4 ml) für Stammlösungen- Pipette 200 μl, Pipettenspitzen- Doppelmagnetrührer, 2 Rührstäbchen- Mikrospatel aus Metall, Plasikspatel- Laborwaagen 0,0001 g und 0,1 g- Messzylinder 250 ml


30

Abb.3: Messzelle zur Bestimmung des Don-nanpotentials. 1: Membran, 2: Elektroden,3: Lösungsräume I und II 4: Magnetrührer,5: Rührwerk

3.1 Das Donnanpotential wird in einer durcheine semipermeable Membran in zwei Hälf-ten getrennten Messzelle gemessen (Abb.3).Die dort gezeigte Polarität ergibt sich, wenndie impermeablen Anionen wie in Abb.2 inden Lösungsraum I gegeben werden. Um das Potential durch den Messvorgangnicht zu beeinflussen, werden Referenzelek-troden benutzt.

3.2 Referenzelektroden: In der Elektro-chemie ist es üblich, Elektrodenpotentiale aufdie Normal-Wasserstoffelektrode zu bezie-hen. Diese ist jedoch kompliziert zu handha-ben und für die Messung von Potentialdiffe-renzen in Elektrolytlösungen wenig geeignet.Statt dessen werden Referenzelektrodenbenutzt, deren Potential besonders konstantund unabhängig von der Zusammensetzungder Lösung ist, in die sie eintauchen. Im Versuch werden entweder Ag/AgCl-Elektroden oder Hg/Hg2Cl2- (Kalomel-)Elek-troden eingesetzt. Sie bestehen aus einem mitgesättigter KCl-Lösung gefüllten Glasröhr-chen (Abb.4). In der Lösung befindet sich daseigentliche Referenzelement, welches Ag undfestes, schwer lösliches AgCl (bzw. Hg undHg2Cl2) enthält und über einen Silberdraht(bzw. Platindraht) mit der Zuleitung verbun-den ist. Das Potential der Ag-Elektrode wirddurch die sehr kleine Konzentration der inLösung gehenden Ag+-Ionen bestimmt. Über

das konstante Löslichkeitsprodukt cAg+@cCl! istdie Ag+-Konzentration mit der sehr großenCl!-Konzentration verknüpft und ist daherbesonders stabil. Entsprechendes gilt für dieKalomel-Elektrode.Unten am Elektrodengefäß befindet sich einporöses keramisches Diaphragma, überwelches die Elektrode mit der umgebendenLösung in elektrischem Kontakt steht.


Bereiten Sie schon vor Beginn des Prakti-kums die Tabellen für die Aufnahme derMesswerte vor und berechnen Sie dieSalzkonzentration cL und die Konzen-tration des Eialbumins cM in mmol/l in deneinzelnen Schritten!

4.1 Herstellung der Stammlösungen:Die sehr kleinen Substanzmengen sind direktin den trockenen Glasröhrchen einzuwiegen.

0,4 g Eialbumin (Molmasse: 45 000 g/mol)ist in ca. 3 ml deionisiertem Wasser (DI-Wasser) zu lösen. Um starke Schaumbildungzu vermeiden, sollten Sie nicht schüttelnsondern das Albumin vorsichtig mit demPlastikspatel verrühren. Nach Klärung derLösung ist zu 4 ml zu ergänzen.

4 ml einer 0,2 M KCl-Lösung sind herzu-stellen durch Einwiegen des Salzes, Auflösenund Auffüllen mit DI-Wasser auf 4 ml.

Abb.4:

Referenzelektrode


31

4.2 Messung des Donnanpotentials:In die Messkammer ist die semipermeableMembran einzusetzten. Die Membran darfnicht austrocknen, wenn sie einmal feucht ist.Das führt zu ihrer Zerstörung!Die Messkammern werden jeweils mit ca.125 ml Di-Wasser gefüllt und die mit demVoltmeter verbundenen Referenzelektrodennach Abspülen mit DI-Wasser in die beidenKammern getaucht. Es ist darauf zu achten,dass sich die Elektroden immer nur für kurzeZeit außerhalb der Flüssigkeiten befinden, dasie sonst austrocknen. Die Elektroden müssenimmer aufrecht stehen!

Die Magnetrührer werden eingeschaltet, je200 μl der 0,2 M KCl-Lösung werden demInhalt beider Kammern beigefügt und dassich einstellende Potential zwischen denKammern (der Leerwert) wird gemessen. Beachten Sie dabei, dass das Potential immererst abgelesen wird, nachdem sich ein statio-närer Zustand eingestellt hat. Geben Sie allegemessenen Spannungen in mV an.Ohne Zugabe von Eialbumin ist das Donnan-potial Null; die gemessene Spannung entstehtdurch unterschiedliche Potentiale der verwen-deten (nicht idealen) Referenzelektroden. DerLeerwert wird später zur Korrektur derMessergebnisse verwendet.

Nun werden 200 μl der Eialbuminlösung indie linke Kammer gegeben und das ent-stehende Donnanpotential wird gemessen.Durch schrittweise Erhöhung der Eialbumin-konzentration (Zugabe von jeweils 200 μl,Gesamtvolumen 2 ml) wird die Konzen-trationsabhängigkeit des Donnanpotentialsregistriert. Die Temperatur der Lösungen ist zu messen.

5 Auswertung

Die Ladung des Makromoleküls zM sollmittels (9) ermittelt werden. Dazu wirdFolgendes berechnet:

S bereits bei der häuslichen Vorbereitungdie Salzkonzentration cL und die Konzen-tration des Eialbumins cM in mmol/l

S die durch Subtraktion des Leerwerteskorrigierten Potentiale in mV

S die Donnan-Koeffizienten rD mittels Glei-chung (6).

rD ist graphisch als Funktion von cM dar-zustellen. Für kleine cM ist diese Funktionentsprechend Gleichung (9) eine Gerade mitdem Anstieg !zM /2cL . Dieser Anstieg ist ausder Graphischen Darstellung zu ermitteln undmit seiner Hilfe ist zM zu berechnen.

6 Literatur

Adam, G.; Läuger, P.; Stark, G.: Physika-lische Chemie und Biophysik, Springer-Verlag Berlin, 1988

Fercher, A.F., Medizinische Physik, Springer,1992

7 Kontrollfragen

7.1 Was verstehen Sie unter einer semiper-meablen Membran?

7.2 Nennen Sie Beispiele für osmotischeVorgänge in der Natur!

7.3 Welche Voraussetzungen müssen zurEntstehung eines Donnanpotentials gegebensein?

Grundpraktikum III E 4 Magnetfeld

32

( )0 0rB H M Hµ µ µ= ⋅ + = ⋅ ⋅ (1)

Abb.1: Hysteresekurve

1 Aufgabenstellung

1.1 Für einen magnetischen Eisenkreis mitLuftspalt ist die Hysteresekurve aufzuneh-men.

1.2 Die Magnetflussdichte und die magneti-sche Feldstärke im Eisen sind zu bestimmen.

1.3 Die remanente Flussdichte, die Koerzi-tivfeldstärke, die maximale relative Permea-bilität und die relative Permeabilität in derSättigung sind zu ermitteln.


Für Stoffe, die sich in einem magnetischenFeld befinden, schreibt man:

Es bedeuten:B die Magnetflussdichte, SI-Einheit Vs/m2

= T (Tesla)M die Magnetisierung (des Stoffes) undH die magnetische Feldstärke, SI-Einheit A/mμ0 = 1,257@10-6 Vs/Am die magnetische Feld-konstante,μr die relative Permeabilität.

Für nicht ferromagnetische Stoffe ist dieMagnetisierung klein und proportional zurmagnetischen Feldstärke; die relative Permea-bilität μr ist eine Materialkonstante. Beiferromagnetischen Stoffen ist die Magnetisie-

rung sehr groß und keine eindeutige Funktionder Feldstärke H, sie hängt vielmehr von derVorbehandlung des Stoffes ab. Es kann eineremanente (zurückbleibende) Magnetisierungbei H = 0 existieren (siehe Abb.1). Unterdiesen Umständen wird die SchreibweiseB=µr@µ0@H in (1) unsinnig. Für viele tech-nische Anwendungen ist es trotzdem sinnvoll,eine relative Permeabilität anzugeben, welchedann differentiell definiert wird:

und sowohl von H als auch von der „Vor-geschichte” abhängt.Abb.1 gibt den Zusammenhang zwischen Bund H (die Hysteresekurve) für ein typischesFerromagnetikum wieder, welches zunächstim Punkt 0 unmagnetisiert sein soll. Von 0bis P1 wächst die Magnetflussdichte mit derFeldstärke, bis bei P1 eine Sättigung erreichtist (Neukurve). Wird nun H wieder ver-kleinert, so ergibt sich der Verlauf P1 - P2 - P3 - P4. Bei H = 0 (P2) bleibt der Stoff magnetisch, erbesitzt das remanente Feld BR. Die remanenteMagnetisierung kann durch die Koerzitivfeld-stärke HC (HC < 0) kompensiert werden; in P3

ist B = 0. Wird von P4 aus die Feldstärkevergrößert, so ergibt sich die Kurve P4 - P5 -

Achtung: Verwechslungsgefahr!In der deutschsprachigen Tradition werdenB als magnetische Flussdichte (auchmagnetische Induktion) und H als magne-tische Feldstärke bezeichnet.Dagegen heißt im englischen Sprachraum(und manchmal auch in neueren deutschenLehrbüchern) meist B magnetisches Feld-stärke! H wird dann H-Feld oder magneti-sche Erregung genannt.

0r

dB

dHµ µ⋅ = (2)

Magnetfeld E 4


33

Abb.2: magnetischer Eisenkreis mit Luftspalt

Abb.3: Versuchsaufbau

L L Fe FeH s H s N I⋅ + ⋅ = ⋅ (3)

.L FeB B B= = (4)

0

.LFe

Fe Fe

s BN IH

s s µ

⋅⋅= −

⋅(5)

P6 - P1.

Wir betrachten nun einen magnetischenEisenkreis mit einem Luftspalt wie in Abb.2.Nach dem AMPÉREschen Gesetz gilt für dieFeldstärken HL im Luftspalt und HFe imEisenkern

und die Flussdichte ist überall gleich:

(N = Windungszahl, sFe = mittlere Länge imEisen, sL = Länge des Luftspaltes)Mit BL = µ0 @ HL ergibt sich daraus die Feld-stärke im Eisen zu

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Eisenkern mit Spule, N = 5455 Windungen- Permanentmagnet- Motor mit Induktionsspule- Messschieber

- Teslameter mit Hallsonde- Stromversorgungsgerät- 2 Digitalmultimeter- Umschalter (Polwender)- Verbindungsleitungen

3.1 Die Schaltung für den Versuchsaufbauzeigt die Abb.3. Das Stromversorgungsgerätliefert die Spannungen U = 0...40 V für dieMagnetspule und UM = 18 V für den Betriebdes Motors. Die Stromstärke I, die das Mag-netfeld in der Spule erzeugt, kann mit demSpannungsregler am Stromversorgungsgeräteingestellt werden. Die Richtung des Stromeslässt sich durch den Schalter S (Polwender)umkehren.Die Magnetflussdichte B wird im Luftspalt Lgemessen mit Hilfe der Induktionsspule IS,die durch den Motor M in Rotation versetztwird. Die in IS induzierte Spannung Uind istproportional zu B. Zur Kalibrierung dieserMesseinrichtung wird ein Permanentmagnetverwendet. Die Induktion B' des Permanent-magneten wird mit Hilfe der Hallsonde desTeslameters bestimmt.


4.1 Bestimmen Sie sFe und sL mit demMessschieber und bauen Sie die Schaltungnach Abbildung 3 auf.Zur Kalibrierung der Induktionsmessein-richtung wird der Polschuh entfernt undPermanentmagnet so an den unteren Schenkeldes Eisenkerns Fe angebracht, dass dieInduktionsspule IS frei in dem entstandenen


34

,ind

ind

UB B

U′= ⋅

′(6)

Luftspalt rotieren kann. Die MotorspannungUM = 18 V wird eingeschaltet, die induzierteSpannung U'ind gemessen.Danach wird die Induktionsspule aus demLuftspalt entfernt und die magnetische Induk-tion B' im Spalt mit der Hallsonde bestimmt.Anschließend wird der Polschuh wiedermontiert und der Motor mit Induktionsspulein den Luftspalt geschoben.Zur Aufnahme der Hysterese-Kurve musszunächst ein definierter Anfangszustand desEisenkerns (I = 0; Kurve ) erreichtP P5 6−

werden. Dies geschieht, indem man denStrom I langsam von 0 bis zum Maximum(500...600 mA) vergrößert, danach langsamwieder auf 0 bringt, die Stromrichtung um-kehrt (Umschalter S) und die ganze Prozedurmit negativem Strom wiederholt.Danach kann die Aufnahme der Hysterese-Kurve beginnen. Dazu wird die Stromrich-tung wieder umgepolt, die Stromstärke von 0bis zum Maximum in 50 mA-Schritteneingestellt und die jeweilige induzierte Span-nung Uind gemessen (Kurve P5 !P6 !P1). In dergleichen Weise wird der Kurvenverlauf P1

!P2 !P3 !P4 sowie P4 !P5 ermittelt. BeimEinstellen der Stromstärke darf diese (außeram Maximum) nur vergrößert oder nurverringert werden.Beachten Sie, dass bei der MagnetflussdichteB im Verlauf der Messreihe Vorzeichen-wechsel auftreten (siehe Abb.1), die jedoch inder Messgröße Uind (Effektivwert) nichtsichtbar werden. Sie müssen Uind nach jedemNulldurchgang ein geändertes Vorzeichenzuordnen.

5 Auswertung

5.1 Stellen Sie die Messgrößen grafisch dar:Uind (mit Vorzeichen) als Funktion von I.

5.2 Berechnen Sie die Flussdichte B nach

und die Feldstärke im Eisen HFe nach Glei-chung (5) und zeichnen Sie die Hysterese-Kurve B(H).

5.3 Aus der Hysterese-Kurve sind die Rema-nente Flussdichte BR und die Koerzitivfeld-stärke HC zu ermitteln. Aus dem Anstieg derHysteresekurve sind entsprechend (2) dierelativen Permeabilitäten µ r im Maximum(Punkte P3 und P6) sowie in der Sättigung(Punkte P1 und P4) zu ermitteln.

6 Literatur

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a. 2010

Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2,Springer Verlag 2013

7 Kontrollfragen

7.1 Was versteht man unter Dia-, Para- undFerromagnetismus?

7.2 Wie ist die Induktion einer Spannung inder Spule IS (Abb.3) zu erklären?

7.3 Was ist eine Hallsonde?

Grundpraktikum III E 8 Leitfähigkeit von Elektrolyten

35

Abb.1: WHEATSTONE-Brückenschaltung

RlA

= ⋅ρ , (3)

CC

RR

x

1

3

4

= . (2)

RR

RRX

1 3

4= . (1)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Zellenkonstante Κ einer elektrolyti-schen Zelle ist zu bestimmen.

1.2 KCl -Lösungen verschiedener Konzen-tration sind herzustellen und ihre elektrischeLeitfähigkeit σ ist zu bestimmen.

1.3 Die Äquivalentleitfähigkeit Λ der Lösun-gen ist zu berechnen.

2 Grundlagen

2.1 Für eine genaue Widerstandsmessungund für die Bestimmung von kleinen Wider-ständen werden häufig Brückenschaltungenverwendet. Die Grundschaltung jeder Mess-brücke ist die Wheatstone-Brücke (Abb.1). Zwischen den Punkten A und B sowie zwi-schen C und D liegt die Spannung U an.Ohne Galvanometer zwischen den Mess-punkten E und F wird das Potential in diesenPunkten durch die Verhältnisse R1 : RX sowieR3 : R4 bestimmt (Spannungsteiler zwischenA und B sowie zwischen C und D).Besteht zwischen E und F kein Potential-unterschied, so sagt man, Brücke ist abgegli-chen. Über das Galvanometer (ein hoch-empfindliches Amperemeter) wird dann keinStrom fließen. In diesem Fall muss die fol-gende Bedingung erfüllt sein:

Wenn zwischen E und F ein Potentialunter-schied besteht, so fließt über das Galvano-meter ein Strom. Das Prinzip der Brücken-messung besteht darin, durch Änderung derbekannten Widerstände R1, R3 und R4 denabgeglichenen Zustand der Brücke zu finden.Die Größe des unbekannten Widerstandes RX

lässt sich dann nach (1) berechnen.

Soll eine Messbrücke mit Wechselstrombetrieben werden, so ist eine mögliche Pha-senverschiebung zwischen Strom und Span-nung zu berücksichtigen. Für den Brücken-abgleich müssen in diesem Fall Betrag undPhase der Spannung zwischen E und F abge-glichen werden. Zu diesem Zweck wird dieeinfache Wheatstone-Schaltung durch zusätz-liche Kapazitäten ergänzt, siehe Versuchs-schaltung Abb.2.Da die elektrolytische Zelle neben demWiderstand Rx auch eine Kapazität Cx besitzt,müssen für den Abgleich der Brücke zweiBedingungen erfüllt sein: der Amplituden-abgleich (1) und der Phasenabgleich

(1) und (2) gelten gleichzeitig, wenn dieBrücke vollständig abgeglichen ist.Die Brückenschaltung in Abb.2 wird alsWien-Brücke bezeichnet. Sie kann nach Gl.(2) auch zur Messung von Kapazitäten einge-setzt werden.

2.2 Der elektrische Widerstand eines Leitersmit der Länge l und dem Querschnitt A ist

er wird neben den geometrischen Größen lund A durch eine Materialkonstante, denspezifischen elektrischen Widerstand ρ,

Leitfähigkeit von Elektrolyten E 8


36

Abb.2: Schaltung zur Leitfähigkeitsmessungin Elektrolyten (Wienbrücke).

GAl

= ⋅σ , (4)

GR K

= = ⋅1 1

σ . (5)

Λ =σcq

(6)

cz nV

m zM Vq =

⋅=

⋅⋅

(7)

σ =KRx

. (8)

bestimmt. Der Kehrwert des elektrischenWiderstandes G = 1/R heißt elektrischerLeitwert, seine SI-Einheit ist das Siemens:[G] = 1/Ω = S. Analog zu (3) schreibt man

σ = 1/ρ heißt spezifische elektrische Leit-fähigkeit und hat die Einheit [σ] = S/m. DieAngabe eines Leitwertes ist insbesondere beielektrisch leitenden Flüssigkeiten üblich.

Elektrolyte sind elektrisch leitende Flüssig-keiten, bei denen der Ladungstransport durchIonen erfolgt.Eine elektrolytische Zelle, die mit einemElektrolyten gefüllt ist, hat den elektrischenWiderstand R. Für den elektrischen LeitwertG der Zelle schreibt man

In dieser Gleichung wurden gegenüber Gl. (4)die Größen A und l zur Zellkonstanten Kzusammengefasst. Ihre Einheit ist ”Κ› =1/m.Die Zellkonstante K wird nur vom Aufbau(Größe und Form) der elektrolytischen Zellebestimmt, während die elektrische Leitfähig-keit σ nur von der Art des gelösten Stoffes,seiner Konzentration und von der Temperaturabhängt. Die Leitfähigkeit von Elektrolyten steigt mitder Temperatur (wegen der thermischenBewegung der Teilchen) und mit der Ionen-konzentration an. In stark verdünnten Salzlö-sungen ist die elektrische Leitfähigkeit zurKonzentration proportional.

Die Äquivalentleitfähigkeit Λ ist

wobei cq die Äquivalentkonzentration (Nor-malität eines Elektrolyten) ist:

Dabei bedeuten: m = Masse, V = Volumen,

M = Molmasse in g/mol, n = m/M = Stoff-menge (Anzahl der Mole), z = Wertigkeit(Ladungszahl). Die SI-Einheit von Λ istS m2/mol, die von cq ist mol/m3, meist wirdjedoch mol/l verwendet.Die Äquivalentleitfähigkeit hängt im All-gemeinen sowohl vom Dissoziationsgrad alsauch von der Konzentration ab. Durch elek-trostatische Wechselwirkung behindern sichdie wandernden Ionen gegenseitig. Dahernimmt die Äquivalentleitfähigkeit mit zuneh-mender Konzentration ab. Bei starker Ver-dünnung (÷ große Abstände zwischen denIonen) ist die Wechselwirkung vernachlässig-bar, die Äquivalentleitfähigkeit vollständigdissoziierter Elektrolyte wird dann von derKonzentration unabhängig.

Zur Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit σ wird der Widerstand Rx der elektrolyti-schen Zelle gemessen. Aus (5) ergibt sich

Die Zellkonstante Κ kann durch Messungeines Elektrolyten bekannter Leitfähigkeit(hier gesättigte NaCl-Lösung) ermitteltwerden.Die Leitfähigkeit von Elektrolyten mussgrundsätzlich mit Wechselstrom gemessenwerden, damit das Messergebnis nicht durchdie Elektrodenpolarisation verfälscht wird.Die Widerstände Rx der gefüllten elektrolyti-schen Zelle werden deshalb mit Hilfe einerWechselstrombrücke (Abb.2) ermittelt.


37

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- elektrolytische Zelle mit Halterung- Generator 1 kHz- Vielfachmesser- Kurbelwiderstand (0,1 % + 0,05 Ω)- Kapazitätsdekaden- 2 Festwiderstände 100 Ω (0,2 %)- Thermometer- Flasche mit NaCl-Lösung- Flasche mit KCl- 3 Messzylinder 100 ml, 25 ml, 10 ml- Becherglas, Trichter, Spatel, Glasstab

3.1 Als Spannungsquelle dient ein Wechsel-spannungs-Generator mit der festen Frequenz1 kHz und einer Spannung von Ueff = 2 V.Für die Widerstände R3 und R4 werden zweigleiche Festwiderstände mit je 100 Ω und fürden Widerstand R1 ein Kurbelwiderstandverwendet. Die Kapazität C1 kann zwischen0,1 nF und 10 µF variiert werden. Zur An-zeige des Brückenstromes dient ein empfind-licher Vielfachmesser mit veränderlichenMessbereichen.


Die Brückenschaltung ist nach Abb.2 auf-zubauen.

4.1 Bestimmung der Zellkonstante: Dieelektrolytische Zelle wird mit der gesättigtenNaCl-Lösung gefüllt, die Temperatur T derLösung ist zu messen. Am Vielfachmesserwird zunächst ein unempfindlicher Mess-bereich (z.B. 100 mA) eingestellt; Generatorund Vielfachmesser sind einzuschalten. Nunwerden der Widerstand R1 und die KapazitätC1 abwechselnd verändert, bis der Brücken-strom ein Minimum erreicht, wobei dieMessbereiche am Vielfachmesser immerempfindlicher geschaltet werden. Wenn dieBrücke abgeglichen ist, sollte der Brücken-strom kleiner als 2 μA sein. Der dazugehörigeWiderstand R1 = Rx (folgt aus (1), wennR3 = R4) ist abzulesen und zu protokollieren.

Achtung! Nach jeder Widerstandsmessungmuss am Vielfachmesser wieder ein un-empfindlicher Messbereich eingestelltwerden, damit beim Wechsel der Elek-trolyte keine Überlastung des Messgerätesauftritt.

4.2 Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit von KCl-Lösungen der Konzentration1N; 0,5N; 0,2N; 0,1N; 0,05N und 0,02N:Zunächst werden 100 ml KCl-Lösung mit derÄquivalentkonzentration cq = 1 mol/l (1Noder 1-normale Lösung) hergestellt. DieMolmasse von KCl beträgt 74,55 g/mol. Dieerforderliche Menge KCl ist abzuwiegen undim Messzylinder in etwa 90 ml deionisiertemWasser aufzulösen (Rühren mit Glasstab).Danach wird die Lösung mit deionisiertemWasser auf 100 ml aufgefüllt.Die elektrolytische Zelle ist mit dieser Lö-sung zu füllen, der dazugehörige Widerstandwird wie oben beschrieben gemessen. DieTemperatur der Lösung wird gemessen.Anschließend wird die 1N KCl-Lösung zurweiteren Verwendung in einem Becherglasaufbewahrt; die Reste können nach Abschlussdes Versuches entsorgt werden.Je 100 ml KCl-Lösung der Konzentration0,5N; 0,2N; 0,1N; 0,05N und 0,02N werdendurch Verdünnung eines Teils der 1N KCl-Lösung hergestellt. Der Widerstand und dieTemperatur dieser Lösungen in der elek-trolytischen Zelle werden gemessen. An-schließend sind die Lösungen zu verwerfen.Alle gemessenen Werte sind übersichtlichtabellarisch zu erfassen.

Hinweis:Es muss sauber gearbeitet werden. Die elek-trolytische Zelle und die Elektroden sind beijedem Umfüllen sorgfältig zu spülen.Die gesättigte NaCl-Lösung wird nach derMessung in die Vorratsflasche zurückgegos-sen.

5 Auswertung

5.1 Die Zellenkonstante K ist mittels (8) zuberechnen. Die elektrische Leitfähigkeit σ der

Grundpraktikum III E 15 Erdmagnetfeld

38

Abb.1: Magnetfeld der Erde

gesättigten NaCl-Lösung ist anhand dergemessenen Temperatur T einer Tabelle zuentnehmen.

5.2 Die elektrischen Leitfähigkeiten σ derKCl-Lösungen werden nach Gl. (8), dieÄquivalentleitfähigkeiten Λ nach (6) be-rechnet.Die Leitfähigkeit und die Äquivalentleitfähig-keit sind in Abhängigkeit von der Äquivalen-konzentration (Normalität) der KCl-Lösunggrafisch darzustellen und zu diskutieren.

Hinweis zur Fehlerrechnung:Die Messunsicherheit muss für jede Konzen-tration getrennt berechnet werden. Um dieKonzentrationsabhängigkeit der Äquivalent-leitfähigkeit von den Messunsicherheitenunterscheiden zu können, sollen letztere alsFehlerbalken zu jedem Punkt in die Grafikeingezeichnet werden.

6 Literatur

Wedler, G. und Freund, H-J.: Lehrbuch derPhysikalischen Chemie. Wiley-VCH, 2012


7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie das Prinzip der Wider-standsmessung mit einer Brückenschaltung!

7.2 Was versteht man unter Amplitude undPhase eines Wechselstromes?

7.3 Wie wird die Äquivalentleitfähigkeitdefiniert, und welche Eigenschaft des gelös-ten Salzes wird hierüber charakterisiert?

1 Aufgabenstellung

Mit Hilfe historischer Messinstrumente(Erdinduktor, ballistisches Galvanometer)sind die Horizontalkomponente Bh und dieVertikalkomponente Bv des Erdmagnetfeldessowie der Winkel der Inklination α zu be-stimmen. Die Messungen sind mit Hilfemoderner computergestützter Messtechnik zuverifizieren.


Die Erde besitzt ein Magnetfeld, dessen Polenicht exakt mit den geographischen Polenzusammenfallen (Abb. 1). Die Abweichungeines magnetischen Meridians vom ent-sprechenden geographischen Meridian heißtDeklination. Der Deklinationswinkel (auchKompass-Missweisung), der sich mit der Zeitgeringfügig ändert, kann bis zu 180° betra-

gen. Er liegt in Mitteleuropa nahe 0° undbeträgt in Halle etwa 2,5° östlich. Die Feldlinien des Erdmagnetfeldes verlaufennur in der Nähe des Äquators parallel zurErdoberfläche, d. h. horizontal, während siesonst unter einem spitzen Winkel - dem

Erdmagnetfeld E 15


39

tan .α =B

Bv

h

(1)

U t N A Bd =∫ 2 (2)

( )

( )

U t R R I t

R R Q

i G

i G

d d= +

= +

∫∫(3)

a k Q= ⋅ . (4)

Abb.2: Erdinduktor, schematisch

Inklinationswinkel α - gegen die Horizontalegeneigt sind (Abb. 1).Die magnetische Induktion der Erdfeldesbesitzt also im Allgemeinen eine Horizontal-komponente Bh und eine VertikalkomponenteBv. Der Inklinationswinkel ergibt sich aus

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Erdinduktor (N = 100 Windungen)- Kompass- Bandmaß- Spiegelgalvanometer mit ballistischer

Einrichtung- Dekadenwiderstände 1Ω und 10 Ω- 2 Stative mit Fernrohr und Skale- Blei-Akku (ca. 2 V)- Kondensator (ca. 23 μF)- Umschalter- Vielfachmesser- Sensor-Cassy mit Verstärker-Box- Computer- Verbindungsleitungen

3.1 Zur Messung des Erdmagnetfeldes wirdein Erdinduktor nach W. E. Weber (1804-1891) verwendet. Er besteht aus einer Spule,die wahlweise um eine vertikale oder um einehorizontale Achse um 180° gedreht werdenkann (Abb. 2). Bei einer solchen Drehung imErdmagnetfeld ändert sich der magnetischeFluss durch die Spule, so dass ein Span-

nungsstoß IU dt induziert wird. Aus demInduktionsgesetz folgt

(N: Windungszahl der Spule, A: Querschnitts-fläche), wobei B die Komponente der magne-tischen Flussdichte parallel zur Spulenachseist.

3.2 Fließt durch ein Galvanometer keinkonstanter Strom sondern nur ein kurzerStromimpuls I@Δt, so erhält die Drehspuledadurch einen Drehimpuls und vollführtinfolge ihrer Trägheit und der rücktreibendenFederkraft gedämpfte Schwingungen. Wenndie Dauer des Impulses deutlich kleiner als ¼Periode einer Schwingung ist, so wird dererste Ausschlag (Differenz zwischen Ruhela-ge und erstem Umkehrpunkt der Schwin-gung) unabhängig von der Dauer proportionalzur transportierten Ladung Q = I@Δt. Hierfürgeeignete Galvanometer (mit großer Schwin-gungsdauer) heißen ballistische oder Stoßgal-vanometer; sie wurden früher zur Messungvon Strom- und Spannungsstößen verwendet.Es gilt

(Ri: Innenwiderstand des Erdinduktors, RG:Innenwiderstand des Galvanometers). Dererste Galvanometerausschlag ist

Für reproduzierbare und schnelle Messungenwird die Dämpfung des Galvanometers soeingestellt, dass gerade der aperiodischeGrenzfall erreicht wird. Dies wird normaler-weise durch Reihen- oder Parallelschaltungeines zusätzlichen Widerstandes RD zumGalvanometer erreicht. Das hier verwendeteGalvanometer besitzt zwei getrennte Spulen-wicklungen (ca. 5 Ω und 100 Ω). Das hat denVorteil, dass die Dämpfung durch die für dieMessung nicht benötigte Wicklung erfolgenkann und für die Messung so die maximale


40

Abb.4: Schaltung zur Kalibrierung desGalvanometers

′ = ⋅ ′ = ⋅ ⋅a k Q k C U . (5)

BR R CU

N Aaa

i G=+

′

( ).2

(6)

Abb.3: Schaltung zur Messung des Span-nungsstoßes

Empfindlichkeit zur Verfügung steht. DieMessanordnung zeigt Abb. 3.

3.3 Die Kalibrierung des ballistischenGalvanometers erfolgt durch Messung derbekannten Ladung eines Kondensators mitHilfe der Schaltung nach Abb. 4. Der Galva-nometerausschlag ist

Aus den Gleichungen (2-5) ergibt sich:

3.4 Mit dem Sensor-Cassy wird die imErdinduktor induzierte Spannung direkt inAbhängigkeit von der Zeit gemessen. DerSpannungsstoß (3) ergibt sich daraus durchIntegration.


Die historischen Instrumente sind wertvol-le Unikate. Gehen Sie sorgsam damit um!Das Galvanometer ist nach Ende derMessungen wieder zu arretieren!

4.1 Die Schaltung nach Abb.3 ist aufzubau-en. Für die Messung der Induktionsspannungwird die 5Ω-Wicklung des Galvanometers

verwendet, der Dämpfungswiderstand RD

(Dekadenwiderstände ) ist an die 100Ω-Wicklung anzuschließen.Der Erdinduktor wird mit Hilfe des Kompas-ses so ausgerichtet, dass die horizontal ge-stellte Drehachse in Nord-Süd-Richtungzeigt. Die Arretierung des Galvanometerswird gelöst, das Ablesefernrohr und diebeleuchtete Skale werden so justiert, dass imGalvanometerspiegel etwa die Mitte derSkale scharf zu sehen ist. Günstig sind Ab-stände von etwa 0,4 m und 2 m zwischenFernrohr und Spiegel bzw. Spiegel und Skale.

Nun wird der Galvanometerausschlag aV fürdie Vertikalkomponente bestimmt, indemman die Spule um die horizontale Drehachsezügig von Anschlag zu Anschlag um 180°dreht. Die Messung ist mehrfach zu wie-derholen, wobei der Dämpfungswiderstandschrittweise verstellt wird, bis der aperiodi-sche Grenzfall erreicht ist. Am besten gehtman dabei vom Schwingungsfall (RD groß)aus und verringert RD langsam, bis die An-zeige gerade nicht mehr über die Ruhelagehinaus schwingt. Im abgeglichenen Zustandist aV mindestens dreimal zu messen.Anschließend wird die Spulenachse senkrechtgestellt und der Ausschlag für die Horizontal-komponente wird ebenfalls mindestensdreimal gemessen.Zur Bestimmung der ballistischen Empfind-lichkeit ist die Schaltung nach Abb.4 auf-zubauen. Mit Hilfe des Schalters wird derKondensator erst geladen und dann über dasGalvanometer entladen. Da in dieser Schal-tung die Galvanometerdämpfung durch dieInduktionsspule entfällt, muss der aperio-dischen Grenzfall mit Hilfe des Dämpfungs-widerstandes RD neu eingestellt werden. Injustiertem Zustand ist der Ausschlag a'mindestens dreimal zu bestimmen. Notieren Sie die exakte Kapazität des Kon-densators. Bestimmen Sie die Spannung desAkkus und die Summe der Widerstände Ri +RG mit dem Vielfachmesser. Für die Be-rechnung der mittleren Querschnittsfläche Ader Induktionsspule sind deren Innen- undAußendurchmesser di und da zu messen.

Grundpraktikum III E 19 Millikan-Versuch

41

( )A d d d di i a a= + +π12

2 2 . (7)

4.2 Die im Erdinduktor induzierte Spannungbei Drehung der Spule um die vertikale undhorizontale Achse ist mit Hilfe des Sensor-Cassy in Abhängigkeit von der Zeit zu mes-sen. Hierzu wird das Programm CassyLabgestartet, der mit der Verstärker-Box be-stückte Eingang aktiviert sowie Messbereichund Messintervall geeignet eingestellt. AlleMessungen werden wenigstens zweimal

durchgeführt. Der Spannungsstoß IU dt istdurch Integration („Peakfläche“) in CassyLabzu ermitteln

5 Auswertung

Die Horizontalkomponente Bh und die Verti-kalkomponente Bv der magnetischen Indukti-on der Erdfeldes sind nach den Gleichungen(6) bzw. (2) zu berechnen. Der mittlereQuerschnitt der Induktionsspule ergibt sichaus di und da zu

Der Inklinationswinkel ist zu berechnen. Die mit den beiden Verfahren ermitteltenWerte sind zu vergleichen und eventuelleAbweichungen sind zu diskutieren. Referenzwerte finden sich z.B. im Internet.

Richtung und Größe des Erdmagnetfeldeskönnen in Gebäuden mit Eisenteilen undelektrischen Leitungen beträchtlich von denungestörten Werten abweichen.

6 Literatur

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.2. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft


http://www.gfz-potsdam.de/de/sektion/erdmagnetfeld/

Wikipedia: üErdmagnetfeld

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Variationsbreite der Tröpfchenra-dien und Ladungen ist zu untersuchen.

1.2 Die elektrische Ladung von mindestens40 geeigneten Öltröpfchen ist zu bestimmen.Aus den Ergebnissen ist die Elementarladungzu ermitteln.


Die Größe der Elementarladung e wurde 1910erstmals präzise von ROBERT ANDREWS

MILLIKAN mit der nach ihm benanntenÖltröpfchenmethode bestimmt. Unter ande-rem für diese Arbeit erhielt MILLIKAN 1923den Nobelpreis.

2.1 Befindet sich ein geladenes Öltröpfchen(Radius r, Masse m, Ladung q) zwischen denPlatten eines Kondensators in einem vertikalgerichteten elektrischen Feld, so wirkenfolgende Kräfte: die Schwerkraft und dieAuftriebskraft (die zusammengefasst werdenkönnen), die Reibungskraft und die elektri-sche Kraft.

Der Einheitsvektor zeige nach oben in�k

Richtung der vertikalen Koordinatenachse.Dann ist die vektorielle Summe aus Schwer-kraft und Auftrieb

Dabei ist g die Fallbeschleunigung, ρ und ρL

sind die Dichten von Öl und Luft.

( )34 .3G A LÖlF F r g kπ ρ ρ+ = − − ⋅

�� (1)

Millikan-Versuch E 19


42

Die Reibungskraft ist nach Stokes gleich

wobei im Versuch η die Viskosität der Luftist und die Geschwindigkeit des Öltröpf-v

�

chens. Abhängig von der elektrischen Kraftkann nach oben oder nach unten gerichtetv

�

sein.

Die durch das elektrische Feld auf dieE�

Ladung q ausgeübte Kraft ist

wobei die Ladung q positiv oder negativ seinkann.Die Sink- bzw. Steig-Geschwindigkeit einesgeladenen Öltröpfchens im Kondensatorergibt sich aus der Bedingung

Da neben der Ladung q auch der Tröpf-chenradius r unbekannt ist, sind für dieErmittlung der Ladung zwei unabhängigeMessungen an einem Tröpfchen nötig.

Im Folgenden bedeuten v = und qE =v�

EF�

die (positiven) Beträge der Vektoren.

2.2 Bei der Sink-Steig-Methode ergebensich Radius und Ladung eines ausgewähltenTröpfchens aus zwei gemessenen konstantenGeschwindigkeiten dieses Tröpfchens: einerSinkgeschwindigkeit v1 ohne elektrischesFeld und einer Steiggeschwindigkeit v2 beinach oben gerichteter elektrischer Kraft. Entsprechend der Abb.1 gilt für das Kräfte-gleichgewicht beim vertikalen Sinken und

Steigen des Tröpfchens:

Aus (5) ergibt sich für den Tröpfchenradius

Aus (5) und (6) folgt für die elektrischeLadung

wobei das elektrische Feld E gemäß E = U / daus der Spannung U und dem Plattenabstandd berechnet wird.

Zwei alternative Methoden zur Bestimmungvon r und q verwenden(i) die Messung einer Sink- und einer Steig-geschwindigkeit bei gleichgroßen elektri-schen Feldern entgegengesetzter Polarität und(ii) die Messung der Sinkgeschwindigkeitohne Feld und die Messung der Feldstärkebzw. Spannung, bei der die GeschwindigkeitNull wird (Schwebemethode).

2.3 CUNNINGHAM-Korrektur:In der 1911 in The Physical Review erschie-nen Originalarbeit (Kopie im Praktikum) hatMILLIKAN bereits berücksichtigt, dass dieViskosität im STOKES’schen Reibungsgesetznur dann vom Tröpfchenradius unabhängigist, wenn dieser sehr groß ist verglichen mitder mittleren freien Weglänge λ der Gasmole-küle: r o λ. Diese Bedingung ist jedoch beiden auftretenden Tröpfchenradien in derGrößenordnung von 1 µm nicht ausreichendgut erfüllt. Nach einer von CUNNINGHAM

1910 angegebenen Beziehung ist näherungs-weise

Eine genaue Berechnung des Tröpfchenradius

6 ,RF r vπ η= −� �

(2)

,EF q E= ⋅� �

(3)

0 .G A R EF F F F+ + + =� � � �

(4)

Abb.1: Feldkraft (gestrichelt), Reibungskraft(punktiert) und um den Auftrieb verminderteSchwerkraft für ein sinkendes und steigendesÖltröpfchen im Plattenkondensator.

31

4 ( ) 6 03 LÖlr g rvπ ρ ρ πη− − + = (5)

32

4 ( ) 6 03 LÖlqE r g rvπ ρ ρ πη− − − = (6)

( )19

.2 LÖl

vr

g

η

ρ ρ=

−(7)

( )1 26,

r v vq

E

π η += (8)

0( ) .1 0,86

rr

ηη

λ=

+ ⋅(9)


43

mit Gleichung (7) ist bei Radien in derGrößenordnung von λ nicht möglich, da dieViskosität selbst von dem zu bestimmendenRadius abhängt. Speziell für die Bewegungvon Öltröpfchen in Luft ist λ zwar klein, abernicht sehr klein im Vergleich zu den Tröpf-chenradien. Näherungsweise kann r dann mitη0 (für r o λ) bestimmt werden. Dann wird ηnach (9) ermittelt und die Berechnung desTröpfchenradius mit (7) wird mit der kor-rigierten Viskosität wiederholt.

2.4 Im Versuch wird die Vertikalbewegungder Tröpfchen durch deren zufällige Brown-sche Bewegung (siehe Abb.2) überlagert. Nach EINSTEIN nimmt der mittlere vertikaleAbstand σz eines Tröpfchens vom Anfangs-ort entsprechend

mit der Quadratwurzel der Zeit zu. Hierbei ist

der Diffusionskoeffizient der Tröpfchen, k istdie Boltzmann-Konstante und T die Tempera-tur in Kelvin.Die Messung der Sink- und Steiggeschwin-digkeit ist wegen der Brownschen Bewegung(und weiterer Fehlerquellen) nur mit einerdeutlichen statistischen Unsicherheit u(v)möglich. Wird v aus der für eine vorgegebeneStrecke z benötigte Zeit t ermittelt, so ist

Die Unsicherheit von v1 bzw. (v1+v2) in (7)und (8) bewirkt eine relativ große Streuungder berechneten Ladungen. Eine genaueBestimmung der Elementarladung ist nurmöglich mittels statistischer Auswertung der

Messdaten von vielen Tröpfchen. Dabeimüssen für die Messung möglichst solcheTröpfchen ausgewählt werden, die nur weni-ge Elementarladungen e tragen. Bei zu großenTröpfchenladungen wird die statistischeUnsicherheit der Ladung us(q) > e und es istnicht mehr möglich, einem Tröpfchen einebestimmte Ladungszahl zuzuordnen.Aus (10-12) ist außerdem ersichtlich, dass dieStreuung der Messwerte durch die BrownscheBewegung geringer wird mit größerer Mess-strecke z (σz ~ t1/2, z ~ t) und mit größeremTröpfchenradius (σz ~ r!1/2, v1 ~ r2).

3. Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Millikan-Gerät mit Plattenkondensator,

Messmikroskop und Zerstäuber- Millikan-Betriebsgerät- Sensor-Cassy, 2 Timer-Boxen, Cassy-

Display- Polwender- Verbindungsleitungen

3.1 Das Objektiv des Messmikroskops ver-größert 2-fach, die Okularmessplatte besitztein quadratisches Raster mit der Rastereinheit0,5 mm. Eine Strecke von 1 mm entsprichtdaher 4 Rastereinheiten (Genauigkeit 0,5%).Der Abstand zwischen den Kondensator-platten beträgt (6 ± 0,05) mm.Mit Hilfe der am Versuchsplatz ausliegendenGebrauchsanleitung werden Plattenkondensa-tor und Beleuchtungseinrichtung an das Milli-kan-Betriebsgerät angeschlossen. ZwischenKondensator und Betriebsgerät wird derPolwender geschaltet. Mit den beiden Kanälen des Cassys werdendie Zeiten bei eingeschalteter und bei ausge-schalteter Spannung U gemessen. Hierzu istder Zeitmessausgang 1 des Betriebsgerätesmit Eingang E und z der Timer-Box auf InputB des Sensor-Cassys zu verbinden. DerZeitmessausgang 2 wird ebenso mit derTimer-Box auf Input A verbunden. An denbeiden Anzeigen des Cassy-Displays ist die

2z D tσ = (10)

6k T

Drπ η

= (11)

( ).zu v

v z

σ> (12)

Abb.2:

Brownsche Bewegungeines Tröpfchens in derZeit t, beginnend beiz = 0.


44

Messgröße „s ΔE” (Zeitdifferenz in s anTimer E) einzustellen.Der Ölzerstäuber soll so weit gefüllt sein,dass das gebogene Kapillarrohr ca. 2 mm imÖl steht. Die Aussprühöffnung des Zer-stäubers muss sich vor den beiden Bohrungenin der Kunstglasabdeckung des Kondensatorsbefinden. Unter diesen Umständen genügenpro Messung wenige Pumpvorgänge, umÖltröpfchen in den Kondensator zu stäuben.Beim Zerstäuben wird ein Teil der Öltröpf-chen elektrisch aufgeladen.

4. Versuchsdurchführung

Einzelne Öltröpfchen werden beobachtet.Durch Ein- und Ausschalten oder Variierendes elektrischen Feldes (eventuell umpolen!)lassen sich die Tröpfchen so dirigieren, dasssie im Gesichtsfeld bleiben. Dabei ist zubeachten, dass die scheinbare Bewegungs-richtung durch das Mikroskop umgekehrtwird.

4.1 Um ein „Gefühl” für die Auswahl ge-eigneter Tröpfchen zu bekommen, soll zu-nächst die Variationsbreite ihrer Größe undihrer Ladung untersucht werden. Dafür wähltman eine kleinere Messstrecke von z.B. z =1 mm. In Origin oder Excel ist ein Arbeits-blatt vorzubereiten, mit dem die Radien unddie Ladungen aus den Messwerten sofortberechnet werden können. Ohne elektrisches Feld werden je ein bis zweibesonderes langsame (d.h. kleine) und be-sonders schnelle (d.h. große) Tröpfchenausgewählt. Deren Fallzeit t1 ohne Feld undSteigzeit t2 mit elektrischem Feld ist zumessen. Die Spannung wird dabei so einge-stellt, dass sich leicht messbare Zeiten(10 s # t2 # 30 s) ergeben. Anschließend suchtman unter ähnlich großen Tröpfchen je einbis zwei solche aus, die sich im elektrischenFeld besonders langsam (schwach geladen)und besonders schnell (stark geladen) bewe-gen und misst ebenfalls t1 und t2.Radius und Ladung der Tröpfchen sind sofort

zu berechnen (siehe 5.).

4.2 Führen Sie die Messungen wie in 4.1beschrieben an etwa 40 Öltröpfchen durch. Jemehr Messungen ausgewertet werden können,desto genauer wird das Ergebnis! Wählen Siefür die Messungen nur Tröpfchen aus, beidenen Sie eine kleine Ladung vermuten. DieMessstrecke z sollte möglichst > 1 mm sein.Die Sink- und die Steigzeit, die Messstreckeund die Kondensatorspannung ist zu proto-kollieren.

5. Auswertung

Für die Berechnungen sind folgende bei 25°Celsius gültigen Werte zu verwenden:

ρÖl = 0,871 g cm-3 ρL = 1,2*10-3 g cm-3

η0 = 1,83*10-5 Pa s λ = 0,068 µm

Die Sink- und Steiggeschwindigkeitenv1 = z /t1 und v2 = z /t2 werden berechnet. Mit(7) und den angegebenen Daten werdenNäherungswerte r0 der Tröpfchenradienermittelt. Für jeden Tröpfchenradius wirdgemäß (9) die Viskosität η in erster Näherungberechnet (die Verwendung von η0 stellt dienullte Näherung dar). In erster Näherungwerden dann mit (7) und (8) die Radien r unddie elektrischen Ladungen q der Öltröpfchenberechnet.

5.1 Die maximalen und minimalen beobach-teten Tröpfchenradien und -ladungen sindanzugeben. Die Verhältnisse σz /z sind m.H.von (10) zu berechnen und zu diskutieren.

5.2 Die Ergebnisse werden in einem Histo-gramm dargestellt, das die Anzahl der Tröpf-chen pro Ladungsintervall angibt. Die Klas-senbreite ist so zu wählen, dass eine Häufungin der Nähe von Vielfachen der Elementarla-dung sichtbar wird (siehe auch Versuch M17,Statistische Auswertung).Ordnen Sie, soweit möglich, mit Hilfe desHistogramms jedem Tröpfchen eine ganzeAnzahl n von (vermuteten) Elementarladun-gen zu und bestimmen Sie die Größe der


45

Elementarladung als Mittelwert aller Quotien-ten q/n.

Fakultativ: Versuchsdurchführung undAuswertung mit CassyLab

Alternativ zur Verfahrensweise in dieserVersuchsanleitung können alle Messungen zu4.2 auch mit der Software CassyLab2 durch-geführt werden. Die Messwerterfassung undAuswertung geschieht dann weitgehendautomatisch in CassyLab2, was erheblich Zeitspart. Dies wird im Praktikum nur bei ent-sprechender Vorbereitung gestattet.

Zur Vorbereitung installieren Sie das Pro-gramm (download von www.ld-didactic.de)auf dem eigenen Computer und studieren dasVersuchsbeispiel “Millikan-Versuch” in derOnline-Hilfe. Bereiten Sie Ihr Protokollentsprechend der Versuchsanleitung in derCassyLab-Hilfe vor. Beachten Sie den Unter-schied der dort angegebenen Cunningham-Korrektur zu Gleichung (9). Verändern oderergänzen Sie die vorgefertigte Auswerte-prozedur so, dass aus Ihren Messwerten eineigenes Ergebnis für die Elementarladungberechnet wird.

6. Literatur

Bergmann, Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik, Bd. 2, Verlag Walter de Gruy-ter, Berlin 2004

Hänsel, Neumann: Physik (Elektrizität, Optik,Raum und Zeit), Spektrum Verlag, Heidel-berg 1993

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-kum. Springer 2014

Die Originalarbeiten von Einstein, Cunning-ham und Millikan stehen in Stud.IP bereit.

7 Kontrollfragen

7.1 Wie lauten die Beziehungen für r und qbei Anwendung der Schwebemethode?

7.2 Wie ist die Viskosität definiert und wiehängt sie bei Gasen und Flüssigkeiten qualita-tiv von der Temperatur ab?

7.3 In einem modifiziertem Millikan- Expe-riment wurde 1977 an der Stanford Uni-versität von Fairbank und Mitarbeitern ver-sucht, positive und negative e/3- und 2e/3-Ladungen nachzuweisen. Wie ist der Versuchausgegangen, und was war das Motiv fürdiesen Versuch?

Grundpraktikum III E 28 Fadenstrahlrohr

46

mv eU

22⋅ = (1)

F e v B= ⋅ ⋅ (2)

mvr e v B

2

= ⋅ ⋅ . (3)

em

Ur B

=⋅

22 2 . (4)

B N IR

RA

= ⋅ ⋅ ⋅

+

µ0

2

22

3 2

4

.(5)

BN IR

=⋅ ⋅8

1250µ

. (6)

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Ladung e/m des Elektrons istmit Hilfe des Fadenstrahlrohres zu bestim-men.


Unter der spezifischen Ladung eines Elek-trons versteht man das Verhältnis der Ladunge des Elektrons (Elementarladung) zu seinerMasse m. Dieses Verhältnis e/m kann aus derAblenkung von Elektronenstrahlen im mag-netischen Feld bestimmt werden. Da sich dieElementarladung mit Hilfe des MILLIKAN-Versuches messen lässt, kann somit dieMasse des Elektrons bestimmt werden.Im Fadenstrahlrohr geht von der Kathodedurch Glühemission ein Elektronenstrahl(Fadenstrahl) aus. Die Elektronen werden ineinem elektrischen Feld zwischen Kathodeund Anode beschleunigt, so dass sie nachdem Durchgang durch ein Loch in der Anodedie Geschwindigkeit v haben. Aus demEnergieerhaltungssatz folgt:

wobei U die an die Anode angelegte Span-nung ist. Ist die Bewegungsrichtung derElektronen senkrecht zur Richtung eineshomogenen Magnetfeldes, das von einemHELMHOLTZ-Spulenpaar erzeugt wird, sowerden die Elektronen durch die LORENZkraft

auf eine Kreisbahn mit dem Radius r abge-lenkt. B ist die magnetische Induktion desFeldes. Die LORENZkraft steht senkrecht zurBewegungsrichtung, so dass zwischen ihr undder Zentrifugalkraft Gleichgewicht besteht:

Aus den Gleichungen (1) und (3) folgt

Unter einem HELMHOLTZ-Spulenpaar ver-steht man eine Anordnung von zwei kurzendünnen Spulen, deren Abstand etwa gleichihrem Radius ist. Im Inneren ist das Magnet-feld weitgehend homogen. Die Induktion inder Mitte zwischen den Spulen beträgt

Dabei bedeuten: μ0 = 4π @10-7 Vs/Am diemagnetische Feldkonstante (Induktionskon-stante), N die Windungszahl der Spulen, I derStrom durch die Spulen, R der mittlere Radi-us der Spulen und A der mittlere Abstandzwischen den beiden Spulen.Für A = R wird aus (5)

Die Bahn der Elektronen ist im Fadenstrahl-rohr sichtbar, weil die Röhre eine kleineMenge Neon enthält (ca. 1,3 Pa). Die Elek-tronen stoßen mit den Gasatomen zusammenund regen diese zur Lichtaussendung an.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Fadenstrahlrohr mit Sockel- HELMHOLTZ-Spulenpaar (Windungszahl

N = 124, Drahtstärke d = 1,5 mm, mittlererSpulenradius R . 148 mm, mittlerer Ab-stand A . 150 mm)

- Röhren-Stromversorgungsgerät- Stromversorgungsgerät für HELMHOLTZ-

Spulen (30 V, 5 A)- 2 Vielfachmessgeräte

Fadenstrahlrohr E 28

Grundpraktikum III E 28 Fadenstrahlrohr

47

Abb. 1: Elektrische Beschaltung des Faden-strahlrohres. 1: Heizung, 2: Wehneltzylinder,3: Kathode, 4: Anode

- Sicherheits-Messleitungen- Messleitungen- Teslameter mit Hallsonde

3.1 Zwischen den beiden HELMHOLTZ-Spulen befindet sich das Fadenstrahlrohr, dasauf ein Gehäuse mit Fassung aufgesteckt ist.Das Elektrodensystem des Fadenstrahlrohres(siehe Abb.1) besteht aus einer indirektbeheizten Oxidkathode, einem Wehnelt-zylinder zur Abschirmung und Strahlfokus-sierung und einer mit einem Loch versehenenAnode. Über dem Elektrodensystem befindensich in Abständen von jeweils 20 mm Mar-kierungen zur genauen Einstellung des Kreis-durchmessers des Elektronenstrahles. Heizspannung (+6…11V), Wehneltspannung(0…-30V) und Anodenspannung (0…+500V)für das Fadenstrahlrohr werden entsprechendAbb.1 dem Röhren-Stromversorgungsgerätentnommen. Die Helmholzspulen werden mit0…5 A Gleichstrom betrieben. Die Hallsondedient zur Messung der Stärke und Homogeni-tät des Magnetfeldes.


Das Fadenstrahlrohr ist teuer, gehen Sievorsichtig damit um! Die Beschleunigunsspannung (max. 500 V,50 mA) ist berührungsgefährlich! Für alleAnschlüsse an das Röhren-Stromversor-gungsgerät sind daher Sicherheitsleitungenzu verwenden!

4.1 In einem Vorversuch sollen zunächst dieStärke des Magnetfeldes in Abhängigkeitvom Strom und seine Homogenität gemessenwerden.Die beiden Magnetspulen werden in Reihe andas Netzgerät 30V/5A angeschlossen. AchtenSie auf gleiche Stromrichtung in den Spulen!Zur Strommessung wird ein Vielfachmesserverwendet, da dieser genauer ist als dieAnzeige des Netzgerätes.Messen Sie mit Hilfe der Hallsonde dasMagnetfeld in der Mitte zwischen den Helm-holtzspulen in Abhängigkeit vom Strom fürI = 0…5 A (etwa 10 Messpunkte). DerSensorchip muss dabei genau senkrecht zumMagnetfeld gerichtet sein (nach Augenmaß).Klemmen Sie ein Lineal senkrecht in derMitte zwischen den Spulen fest und messenSie bei I = 3 A das Magnetfeld im Bereichvon etwa 12 cm unter bis 12 cm über derMitte der Spulenanordnung alle 2 cm.Bestimmen Sie außerdem den Abstand A undden Durchmesser 2R beider Helmholtzspulenan wenigstens drei verschiedenen Stellen.(Gl.(5) gilt für Spulen mit vernachlässig-barem Querschnitt, es ist also von Mitte bisMitte der Wicklungen zu messen!).

4.2 Das Fadenstrahlrohr wird zwischen dieMagnetspulen gestellt und entsprechendAbb.1 angeschlossen. Wenn das ältere Fadenstrahlrohr (Sockel aus Metall,nicht aus weißem Kunststoff) verwendet wird, dannmuss aus Sicherheitsgründen zusätzlich der grün-gelbeErdungsanschluss mit dem Schutzleiteranschluss am5A-Stromversorgungsgerät verbunden werden.

Anodenspannung, Spulenstrom und Heiz-spannung sind so einzurichten, dass einkreisförmiger Elektronenstrahl sichtbar wird,

Grundpraktikum III E 31 Wechselstromkreis

48

B K I= ⋅ . (7)

U U t= ⋅ɵ cos .ω (1)

( )I I t= +ɵ cos .ω ϕ (2)

der mit Hilfe der Wehneltspannung fokussiertwird. (Der Heizstrom wird durch eine Siche-rung abgeschaltet, wenn der auf dem Röhren-sockel notierte Schwellwert überschrittenwird.)Für die Beschleunigungsspannungen U =150 V, 200, 300 V und 400 V sind jeweils dieKreisdurchmesser 2r = 40 mm, 60 mm,80 mm und 100 mm einzustellen und derzugehörige Magnetstrom ist zu messen.

5 Auswertung

5.1 Aus Gleichung (4) bzw. (5) folgt

Die Konstante K ist aus den gemessenenWerten für R und A zu berechnen.Die Magnetflussdichte B ist in Abhängigkeitvom Strom I grafisch darzustellen. Bestim-men Sie K als Anstieg der Kurve und ver-gleichen Sie diesen Wert mit dem aus derSpulengeometrie berechneten Wert.Zeichnen Sie die Ortsabhängigkeit des Mag-netfeldes in radialer Richtung, indem Sie dieGröße B(x)/B(x=0) in Prozent grafisch dar-stellen.

5.2 Für alle Messungen ist die Magnetfluss-dichte B aus dem Spulenstrom zu berechnenund e/m nach Gl. (4) zu bestimmen. Als Ergebnis ist der Mittelwert aus allenEinzelmessungen anzugeben. Diskutieren Siesystematische Fehler in der Messanordnungund führen Sie eine Fehlerrechnung durch!

6 Literatur



7 Kontrollfragen

7.1 Welche Kräfte üben elektrische undmagnetische Felder auf die Elektronen aus?

7.2 Wie berechnet man das Magnetfeld einerRingspule?

7.3 Was passiert, wenn man den Restgas-druck in der Röhre ändert?

1 Aufgabenstellung

1.1 Bestimmung von Phasenverschiebungenzwischen Strom und Spannung im Wechsel-stromkreis

1.2 Aufbau und Untersuchung einer Siebket-te


In einem Wechselstromkreis (Abb.1) befindesich eine Spannungsquelle mit der Wechsel-spannung U:

Ist im Stromkreis ein Bauelement mit demWechselstromwiderstand Z (z.B. ein Konden-sator oder eine Spule oder ein Widerstand), sofließt ein Wechselstrom I:

Es bedeuten: Î und Û die Scheitelwerte(Amplituden) von Strom und Spannung, t dieZeit; φ eine möglicherweise auftretendePhasenverschiebung zwischen Strom undSpannung, ω = 2π f die Kreisfrequenz und f

Wechselstromkreis E 31


49

ɵ , ɵ .I I U Ueff eff= ⋅ = ⋅2 2 (3)

ɵ

ɵ

UI

U

IX

eff

effC= = (8)

X LL = ⋅ω . (14)

P U I U Ieff eff= =12ɵ ɵ cos cos .ϕ ϕ (4)

XCC =

⋅1

ω. (9) U U UR L

2 2 2= + . (15)

Q C U I Q t= ⋅ =, .d d (5)

U L I t= ⋅ d d . (10)

( )I U C t

U C t

= −

= +

ɵ sin

ɵ cos .

ω ω

ω ω π 2(6)

( )U I L t= − +ɵ sin .ω ω ϕ (11)

ɵ ɵ , .I U C C= =ω ϕ π 2 (7)

ɵ ɵ , .U I L L= = −ω ϕ π 2 (12)

ɵ

ɵ

UI

U

IX

eff

effL= = (13)

Abb. 1: Wechselstromkreis

die Frequenz.Die im Wechselstromkreis (Abb.1) einge-zeichneten Messinstrumente zeigen i. A. dieEffektivwerte von Strom Ieff und SpannungUeff an. Die Effektivwerte sind quadratischeMittelwerte von I bzw. U, und es gilt:

Der Mittelwert der Leistung P im Wechsel-stromkreis ist:

Ist das passive Bauelement im Stromkreis einKondensator mit der Kapazität C, so ist

Aus (1) und (5) ergibt sich:

Der Vergleich der Gleichungen (6) und (2)liefert:

Zwischen dem Strom und der angelegtenSpannung besteht also eine Phasenverschie-bung von π/2 = 90°, und zwar eilt der Stromder Spannung voraus. Der Quotient

ist der Wechselstromwiderstand (kapazitiverBlindwiderstand) eines Kondensators. Aus(7) und (8) folgt:

Ist das passive Bauelement im Stromkreis(Abb.1) eine Spule mit der Induktivität L (derohmsche Widerstand der Spule werde ver-nachlässigt), so ist:

Aus (1), (2) und (10) ergibt sich:

Aus dem Vergleich der Gleichungen (1) und(11) folgt:

Zwischen dem Strom und der angelegtenSpannung besteht also eine Phasenverschie-bung von -π/2 = -90°, es eilt die Spannungdem Strom voraus. Der Quotient

ist der Wechselstromwiderstand (induktiverBlindwiderstand) einer Spule.Nach (12) und (13) ist

Befindet sich in einem Wechselstromkreiseine Reihenschaltung von Spule (L) undWiderstand (R) , so besteht aufgrund der obengenannten Phasenverschiebung φL folgendeBeziehung zwischen den Effektivwerten(bzw. Scheitelwerten) der angelegten Span-nung (Gesamtspannung) U, der Spannung UL

an der Spule und dem Spannungsabfall UR amWiderstand:

Diese Beziehung ist in Abb.2 als Zeigerdia-gramm dargestellt. Der Phasenwinkel φ fürdie Reihenschaltung in Abb.2 gibt die Pha-senverschiebung zwischen der angelegtenSpannung U (Gesamtspannung) und demStrom I an, da in einem ohmschen Wider-stand R Strom und Spannung in Phase sind(φR = 0).


50

cos , tan .ϕ ϕω

= =UU

LR

R (18)

Abb. 4: Zeigerdiagramm zu Gleichung (19)

sin .ϕ =YY

1

2

(22)

ZU

Ieff

eff

= . (16)

Abb. 5: Zeigerdiagramm zu Gleichung (20)Z R X L

2 2 2= + , (17)

U U UR C2 2 2= + (19)

Abb. 6: Lissajous-Figur zweier phasenver-schobener Wechselspannungen


Z R XC2 2 2= + (20)

1cos , tan .RU

U C Rϕ ϕ

ω= = (21)


Entsprechend den Definitionen (8) und (13)für die Wechselstromwiderstände von Kon-densatoren und Spule gilt für den gesamt-widerstand (Scheinwiderstand) Z der Reihen-schaltung :

Für die Beziehung zwischen den Wechsel-stromwiderständen ergibt sich dann:

Abb.3 zeigt das dazugehörige Zeigerdia-gramm.

Aus den Abbildungen (2) und (3) folgen dieGleichungen:

Befindet sich im Wechselstromkreis eineReihenschaltung von Kondensator C undWiderstand R, so ergibt sich analog zu denvorhergehenden Betrachtungen:

Die Abbildungen (4) und (5) enthalten dieentsprechenden Zeigerdiagramme.

Mit Hilfe der Gleichungen (18) und (21)können also Phasenverschiebungen φ zwi-schen dem Strom I und der angelegten Span-nung U berechnet werden.Eine andere Möglichkeit zur Bestimmungvon Phasenverschiebungen zwischen zweiSchwingungen gleicher Frequenz besteht inder senkrechten Überlagerung dieser beidenSchwingungen (Lissajous-Figuren). DasÜberlagerungsbild der beliebigen Phasenwin-kel ergibt Ellipsen mit verschiedenen Schräg-lagen (Abb.6). Der Phasenwinkel φ errechnetsich aus:


51

Abb. 8: Schaltung der Siebkette

Abb. 7: Schaltung zur Bestimmung derPhasenverschiebung

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Generator 1 kHz- Oszilloskop (siehe Anhang)- 2 Spannungsmesser- Schalttafel für Siebkette- verschiedene Bauelemente- Verbindungsleitungen

3.1 Für die Messung wird eine Schaltungnach der Abb.7 verwendet. Der Winkel φ derPhasenverschiebung zwischen der Gesamt-spannung U und dem Strom I soll nach vierverschiedenen Verfahren bestimmt werden:

3.1.1 aus der Messung der angelegten Ge-samtspannung U und der WechselspannungUR am Widerstand R, die dem Strom I pro-portional ist,

3.1.2 aus der Darstellung der beiden Wechsel-spannungen auf dem Oszilloskop,

3.1.3 aus der senkrechten Überlagerung derbeiden Schwingungen (Lissajous-Figuren),

3.1.4 aus den Daten der Bauelemente (Be-rechnung nach den Gl. (18) und (19)).

3.2 Als Anwendung der Wirkung der Bau-elemente L und C im Wechselstromkreis wirdeine Siebkette nach Abbildung 8 aufgebaut.


Lesen Sie zur Vorbereitung die „Kurzanlei-tung zum Oszilloskop” im Anhang.

4.1 Die Schaltung nach Abbildung 7 istaufzubauen. Als Spannungsquelle dient derGenerator mit einer Ausgangsspannung vonUeff = 5 V und einer Frequenz von 1 kHz. FürR wird ein Widerstand von 1 kΩ eingesetzt,für X werden als Bauelemente nacheinanderein Widerstand von 2 kΩ, ein Kondensatormit C = 0,1 μF und eine Drosselspule mit L =0,1 H eingebaut.

4.1.1 Die Effektivwerte der angelegten Ge-samtspannung U und der WechselspannungUR am Widerstand R sind für die drei Bau-elemente zu messen.

4.1.2 Die Spannungsmesser werden aus derSchaltung entfernt. Die Buchse A wird mitdem Eingang CH I und die Buchse B mitdem Eingang CH II des Oszilloskops verbun-den; die Masse-Buchsen (z) sind ebenfalls zuverbinden. Auf dem Oszilloskop werden dieangelegte Wechselspannung U und dieWechselspannung am Widerstand R, die demStrom I proportional ist, gleichzeitig dar-gestellt, so dass die Phasenverschiebung φzwischen der Gesamtspannung U und demStrom I abgelesen werden kann. Dieses wirdfür alle drei Bauelemente X durchgeführt.

4.1.3 Die Schaltung von 4.1.2. wird beibehal-ten. Das Oszilloskop ist so einzurichten, dasseine der beiden Wechselspannungen an denY-Platten und die andere an den X-Plattenanliegt. Die Abschnitte Y1 und Y2 der Ellipsenauf dem Bildschirm (vergl. Abb.6) sind für


52

die Bauelemente C und L zu vermessen.

4.2 Für die Siebkette (Abb.8) werden folgen-de Bauelemente verwendet: Gleichrichter, Verbraucherwiderstand RV = 10kΩ,Ladekondensator CL = 0,1 μF,Siebkondensator CS = 4 μF und Drosselspule L = 10 H. Als Spannungsquelle dient der Generator miteiner Ausgangsspannung von Ueff = 5 V undeiner Frequenz von 1 kHz. Der Spannungs-verlauf am Verbraucherwiderstand RV wirdauf dem Bildschirm des Oszilloskops sichtbargemacht, dabei sollte die Eingangskopplungauf DC stehen.Zunächst ist RV einzubauen; die Buchsen fürden Gleichrichter und für die Drosselspulesind kurzzuschließen; die Spannung istanzulegen. Dann werden nacheinander derGleichrichter, der Ladekondensator CL, derSiebkondensator CS und die Drosselspule L indie Siebkette eingebaut. Die Schirmbildernach dem jeweiligen Einbau dieser Bau-elemente sind zu skizzieren.

5 Auswertung

5.1.1 Für die Bauelemente C und L wird derPhasenwinkel φ anhand der Messwerte von Uund UR nach den Gleichungen (18) und (21)berechnet.

5.1.2 Für alle drei Bauelemente wird derPhasenwinkel φ anhand der jeweiligen Dar-stellung der beiden Wechselspannungen aufdem Bildschirm ermittelt. Dabei kann derPhasenwinkel aus der Verschiebung der

beiden Kurven zueinander im Vergleich zurLänge einer ganzen Schwingung (= 360°)bestimmt werden.

5.1.3 Für die Bauelemente C und L wird derPhasenwinkel φ anhand der Messwerte vonY1 und Y2 nach der Gleichung (22) berechnet.

5.1.4 Der Phasenwinkel φ wird anhand derDaten der Bauelemente C, L, und R sowie derFrequenz f nach den Gleichungen (18) und(21) errechnet. Alle ermittelten Werte für diePhasenverschiebungen sind in einer Tabellezusammenzufassen.

5.2 Die Skizzen der Schirmbilder für dieWirkung der einzelnen Bauelemente in derSiebkette sind zu beschreiben.

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.2 Elektromagnetismus. deGruyter, Berlin u.a. 2008


7 Kontrollfragen

7.1 Wie ist der Effektivwert definiert undwarum ist diese Definition sinnvoll?

7.2 Erläutern Sie die komplexe und dieZeigerdarstellung von Wechselstromgrößen!

7.3 Wie ist ein Oszilloskop aufgebaut? Waskann man damit alles messen?

Grundpraktikum III E 36 Meißner-Generator

53

ω0

1=

⋅L C. (5)

I Q C U= − = − ⋅ɺ ɺ , (1)

U L I= ⋅ ɺ . (2)

ɺɺULC

U+ =1

0 (3)

U t U t( ) cos( )= ⋅ +0 0ω ϕ (4)

I I I

IU U

R

I C U

G

P

1 2 3

1

2

0+ + =

=−

= ⋅ ɺ

(6)

Abb. 2: Realer Schwingkreis mit Generator Gzur Anregung erzwungener Schwingungen

Abb. 1: idealer L-C-Parallelschwingkreis

U I R L IS= + ⋅3 3ɺ . (7)

1 Aufgabenstellung

1.1 Dämpfung und Eigenfrequenz einesParallelschwingkreises sind zu bestimmen,die Resonanzkurve ist aufzunehmen.

1.2 Ein MEIßNER-Generator ist aufzubauenund seine Eigenfrequenz zu ermitteln.


2.1 Wird einem elektrischen Schwingkreis,bestehend aus einem Kondensator mit derKapazität C und einer Spule mit der Indukti-vität L (Abb.1), kurzzeitig elektrische Energiezugeführt, so treten im Schwingkreis elektri-sche Schwingungen auf.

Die elektrische Energie fließt ständig zwischen Spule und Kondensator hin und her.Nach dem Maschensatz ist die Spannung Uan Spule und Kondensator zu jedem Zeit-punkt gleich groß. Der Entladestrom desKondensators ist

der Spannungsabfall an der Spule ist

Differenziert man (1) und setzt in (2) ein, soerhält man die Differentialgleichung

für die ungedämpfte Schwingung

mit der Eigen(kreis-)frequenz

Infolge unvermeidlicher Energieverlustedurch Abstrahlung und ohmsche Widerständenimmt in der Praxis die Amplitude derSchwingung ab - sie wird gedämpft.Bei nicht zu hohen Frequenzen muss manlediglich ohmsche Verluste berücksichtigenund erhält die Ersatzschaltung eines realen(RLC-) Schwingkreises in Abb.2.Dabei werden die Leitungswiderstände imSchwingkreis und der Innenwiderstand derSpule zum Serienwiderstand RS zusammenge-fasst; der Parallelwiderstand RP wird durchden Isolationswiderstand des Kondensatorsund (bei dieser Art der Anregung hauptsäch-lich) durch den Innenwiderstand des Genera-tors gebildet.Mit den in Abb.2 gekennzeichneten Richtun-gen der Spannung und der Teilströme gilt

und

Im Weiteren wird zur Vereinfachung nur derFall RS = 0 betrachtet, dies ist für die Ver-suchsanordnung näherungsweise zutreffend.

Meißner-Generator E 36


54

( )

202 cos

Re i t

U U U K t

K e ω

δ ω ω+ + = ⋅

= ⋅

ɺɺ ɺ

(9)

ω0

1=

LC, (10)

δ =1

2R CP

(11)

U t A ei t( ) .( )= ⋅ +ω ϕ (15)

U U e tt= ⋅ ⋅ ′

′ = −

−

0

02 2

δ ω

ω ω δ

cos(13)

( ) ( )A

K=

− +

=−

ω ω δω

ϕδω

ω ω

20

2 2 2

20

2

2

2arctan .

(16)

( )Λ = =+ln U U Tn n 1 δ (14)

T

Un+1

Un

t

U

Abb. 3: gedämpfte Schwingung nach Gl. (13)

( )A

U f R C

f f f

p=

⋅

− +

0

2 20

2 2 2 24 4

( ).

π δ(17)

0 sin .GU U tω= ⋅ (8)

Die Generatorspannung habe die Form

Durch Umstellen von (6) nach I3, differenzie-ren und Einsetzen in (7) und kommt man zuder bekannten Differentialgleichung fürerzwungene, gedämpfte Schwingungen

mit der Eigenfrequenz

der Dämpfung

und KR C

UP

=ω

0 . (12)

(Die komplexe Schreibweise eiωt vereinfachtdie Lösung von (9), physikalische Bedeutunghat dabei nur der Realteil cosωt.)

Die Lösung der inhomogenen Differential-gleichung (9) ist die Summe aus allgemeinender Lösung der homogenen Differentialglei-chung (d. h. für K=0) und einer partikulärenLösung der inhomogenen Gleichung.Die Lösung der homogenen Gleichung fürden hier nur interessierenden Fall ω > δ istdie gedämpfte Schwingung

Sie beschreibt die Eigenschwingung desSchwingkreises, die nach einer einmaligenAnregung mit der Zeitkonstante 1/δ abklingt(siehe Abb.3). Aus dem Verhältnis zweierMaxima kann man experimentell leicht daslogarithmische Dekrement

und damit die Dämpfung bestimmen.Die gesuchte partikuläre Lösung, die “statio-näre Lösung” für δt o1 findet man mit dem

Ansatz

Durch Einsetzen in (9) und unter Beachtung,dass A und K reelle Größen sind, erhält man

Ersetzt man noch die Kreisfrequenz durch dieim Alltag gebräuchlichere Frequenz, so erhältman für die Amplitude der am Schwingkreismessbaren Wechselspannung:

Ist die Frequenz der erregenden Wechsel-spannung gleich der Eigenfrequenz desSchwingkreises (f = f0 ), so tritt Resonanz auf,d. h., die angeregte Schwingung erfolgt mitmaximaler Amplitude.

2.2. Ersetzt man in einem Verstärker (sieheVersuch E37) den Arbeitswiderstand durcheinen Schwingkreis, so erhält man einenMEIßNER-Generator (Abb.5). Im Schwing-kreis entsteht eine ungedämpfte Schwingung,wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind:

- Der Verstärker muss mitgekoppelt sein,d.h., ein Teil der Wechselspannung desSchwingkreises (ca.1 %) wird induktivausgekoppelt und phasenrichtig dem Ver-


55

k V⋅ ≥ 1 (18)

stärkereingang zugeführt. Diese Mitkopplungerfolgt mit Hilfe der zweiten Spule desSchwingkreises (Transformator).

- Die Mitkopplungsbedingung

muss erfüllt sein.

Dabei ist V der Verstärkungsfaktor und k derMitkopplungsfaktor, der angibt, wievielProzent der Ausgangsspannung rückgekop-pelt werden.Ist k @V > 1 , so entsteht eine verzerrte Sinus-schwingung; für k@ V = 1 ist die Schwingungunverzerrt. Um dies zu erreichen, müssen k und/oder Vverringert werden. Die Verstärkung V lässtsich durch eine Gegenkopplung des Ver-stärkers verkleinern, was mit einem Wider-stand Re in der Emitterleitung realisiertwerden kann.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Rastersteckplatte 30 cm × 20 cm- Steckelemente: Schwingkreis, Transistor,

Kondensator, 4 Widerstände, 2 Brücken- Stromversorgungsgerät- Oszilloskop (siehe Anhang)- Funktionsgenerator HM8130- Verbindungsleitungen

3.1 Der Schwingkreis wird entsprechendAbb.4 auf der Rastersteckplatte aufgebaut.Die Daten der Bauelemente sind:L = 10 mH, C = 100 nF, R = 2,2 kΩ

3.2 Der MEIßNER-Generator (Abb.5) wirdaus den Steckelementen auf der Rastersteck-platte aufgebaut.


Lesen Sie zur Vorbereitung die „Kurzanlei-tung zum Oszilloskop” im Anhang.

4.1 Für die Messungen zu Aufgabe 1 wirddie Schaltung nach der Abb.4 aufgebaut. Um die gedämpfte Schwingung entsprechendGl.(13) bzw. Abb.3 sichtbar zu machen, wirdder Schwingkreis mit einer Rechteckspan-nung angeregt, deren Periode groß ist imVergleich zur Abklingzeit der Eigenschwin-gung. Günstig sind 100…150 Hz und 3 V(Spitze-Spitze). Am Oszilloskop sind diePeriode der Eigenschwingungen und dieHöhe von vier aufeinander folgenden Maxi-ma zu messen.Zur Aufnahme der Resonanzkurve wird dieSignalform Sinus eingestellt. Die Frequenzwird am Funktionsgenerator zwischen 1 kHzund 10 kHz variiert bei einer Generator-spannung von 3 V (Peak-Peak). Die Ampli-tuden der Wechselspannung am Schwingkreiswerden mit dem Oszilloskop bestimmt. DieMessung kann durch einfaches Ablesen, mitHilfe des Messcursors oder mit der automati-schen Peak-Peak-Messung des Oszilloskopserfolgen (letztere kann bei verrauschtemSignal zu große Messwerte liefern).

Zusatzaufgabe (freiwillig): Bei der Aufnahmeder Resonanzkurve ist auch die Phasenver-schiebung φ zu messen. Dafür wird zusätzlichzu Abb.4 die Generatorspannung an den

Abb. 4: Schaltplan des Schwingkreises

Abb. 5: Meißner-Generator


56

zweiten Kanal des Oszilloskops gelegt.

4.2 Der Meißner-Generator ist entsprechendder Schaltung nach Abb.5 aufzubauen. DieBetriebsspannung (UB = +5V) wird zwischenOszillator und Masse (2) angelegt.Die Anschlüsse der Koppelspule (Trans-formator im Schwingkreis) sind mit demEingang des Verstärkers zu verbinden. Wirddabei keine Schwingung auf dem Bildschirmdes Oszillographen festgestellt, so müssen dieAnschlüsse an der Koppelspule vertauschtwerden. Die Gegenkopplung (Widerstand Re)ist so einzustellen, dass die Schwingungkeine Verzerrung aufweist.

Die Frequenz des Meißner-Generators wirddurch Frequenzvergleich mit Hilfe vonLissajous-Figuren ermittelt.Bei der senkrechten Überlagerung von zweiSchwingungen entsteht eine Lissajous-Figur;stimmen die beiden Frequenzen überein, soist die Figur eine still stehende Ellipse oderGerade, je nach der Phasendifferenz derbeiden Schwingungen.Zur Messung wird die Spannung des Funk-tionsgenerators (3 V) an den X-Eingang desOszilloskops gelegt und die Betriebsart X-Yeingestellt. Am Funktionsgenerator sucht mandie Frequenz, bei der sich eine Ellipse ein-stellt. Diese ist dann gleich der Frequenz desMeißner-Generators.

5 Auswertung

5.1 Eigenfrequenz ω0 und Dämpfungskon-stante δ sind aus den Daten der Bauelementezu berechnen.Aus den an der freien, gedämpften Schwin-gung gemessenen Schwingungsdauern undden Amplituden der Maxima sind die Eigen-frequenz ω0, das logarithmische Dekrement(Mittelwert aus drei Messungen) und Dämp-fungskonstante δ zu berechnen.

Die am Schwingkreis gemessene AmplitudeA der Wechselspannung (gegebenenfalls auchdie Phasenverschiebung) wird in Abhängig-keit von der Frequenz graphisch dargestellt(Resonanzkurve). Durch nichtlineare Regression mit Gl. (17)sind Eigenfrequenz und Dämpfung zu er-mitteln. Dabei muss neben ω0 und δ derTerm A0 = U0 /(RPC) als dritter Parametermit angepasst werden.Alle Ergebnisse sind zu vergleichen undzudiskutieren. Bei der Interpretation derPhasenverschiebung muss beachtet werden,dass Gl. (16) φ bezüglich cosωt angibt, abernach (8) die Generatorspannung UG ~ sinωtist.

5.2 Die gemessene Frequenz des Meißner-Generators ist ebenfalls mit der Eigenfre-quenz des Schwingkreises zu vergleichen.

6 Literatur



Demtröder, W.: Experimentalphysik 2: Elek-trizität und Optik. Springer-Spektrum, 2013

7 Kontrollfragen

7.1 Wie verhalten sich R, L und C imWechselstromkreis?

7.2 Welche Eigenschaften haben elektri-scher Parallel- und Reihenschwingkreis?

7.3 Erklären Sie die Funktionsweise eineseinfachen Verstärkers und

7.4 eines Oszilloskops.

Grundpraktikum III E 37 Transistor-Verstärker

57

VUU

A

E

=∆

∆. (1)

Abb. 1: Elementarer Verstärker

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Übertragungskennlinie eines ele-mentaren Transistorverstärkers ist aufzuneh-men und die Spannungsverstärkung imArbeitspunkt zu berechnen.

1.2 Die Spannungsverstärkung der Grund-schaltung ist in Abhängigkeit von der Fre-quenz zu bestimmen.

1.3 Das Verhalten des Verstärkers beifalschen Arbeitspunkteinstellungen und beiÜbersteuerung ist zu untersuchen.


Jeder elektronische Verstärker besteht auseinem elementaren Verstärker und, je nachAnwendung, aus weiteren zusätzlichen Bau-elementen für die Einstellung des Arbeits-punktes, für die Stabilisierung, für die Gegen-kopplung oder zur Ein- und Auskopplung derSignale.Der elementare Verstärker (Abb.1) bestehtaus einer elektrischen Quelle (Batterie oderNetzteil mit der Betriebsspannung UB) undeinem Spannungsteiler, der sich aus einemkonstanten Widerstand RA (Arbeits- oderLastwiderstand und einem elektrisch steuer-baren Widerstand (Transistor) zusammen-setzt. Der Transistor wird durch die SpannungUE am Eingang E des Verstärkers gesteuert.

Die Spannung UA am Ausgang A des Ver-stärkers ist Teil der Betriebsspannung UB; dieAusgangsleistung des Verstärkers ist Teil derLeistung der elektrischen Quelle.Die Abhängigkeit der Ausgangsspannung UA

von der Eingangsspannung UE (bei konstanterBetriebsspannung) wird durch die Über-tragungskennlinie des elementaren Tran-sistorverstärker (Abb.2) dargestellt. Im steilabfallenden Teil dieser Kennlinie wird derArbeitspunkt des Verstärkers festgelegt. Nurin der Umgebung dieses Arbeitspunktes isteine optimale Spannungsverstärkung mög-lich. Kleine Änderungen der Eingangsspan-nung bewirken große Änderungen der Aus-gangsspannung. Die Spannungsverstärkung Vist definiert als

Die Spannungsverstärkung lässt sich aus demAnstieg der Tangente im Arbeitspunkt er-mitteln.

Der elementare Transistorverstärker kann zueiner R-C-gekoppelten Grundschaltung(Abb.3) erweitert werden. Mit Hilfe einesSpannungsteilers wird eine konstante Gleich-spannung von (0,7 ± 0,1)V an den Eingangdes Verstärkers gelegt, damit der Verstärkerimmer im Arbeitspunkt arbeitet. Der Arbeits-punkt ist dann richtig eingestellt, wenn dieAusgangsspannung ca. 50 % der Betriebs-spannung beträgt.

Abb. 2: Übertragungskennlinie

Transistor-Verstärker E 37


58

Abb. 3: Schaltung des Verstärkers

Abb. 4: Frequenzgang eines Verstärkers (f-Achse logarithmisch geteilt)

Zur Grundschaltung gehört noch ein Ein-gangskondensator, der verhindert, dassGleichströme in den Verstärker fließen, dieden Arbeitspunkt verschieben würden.Der Eingangskondensator und die Wider-stände des Spannungsteilers zusammen mitdem Widerstand Re in der Emitterleitung desTransistors bilden einen sogenannten RC-Hochpass, der hohe Frequenzen hindurchlässtund tiefe Frequenzen sperrt. Die Grenz-schichtkapazitäten des Transistors und derArbeitswiderstand RA des Verstärkers wirkenwie ein Tiefpass. Wechselspannungen ver-schiedener Frequenzen werden deshalbunterschiedlich verstärkt.Die Darstellung der Verstärkung V in Abhän-gigkeit von der Frequenz f (Abb.4) nennt manden Frequenzgang. Die Abszisse (Frequenz-Achse) ist dabei logarithmisch geteilt.Als Grenzfrequenzen (untere Grenzfrequenzfu, obere Grenzfrequenz fo) werden die Fre-quenzen bezeichnet, bei denen die Ver-stärkung V auf den Wert Vmax /%2& gesunkenist 1. Als Bandbreite wird die Differenz( fo - fu ) definiert.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Tafel mit aufgebautem Verstärker- Stromversorgungsgerät (stabilisiert)- Oszilloskop (siehe Anhang)- Funktionsgenerator HM8130

- 2 Digitalmultimeter- Verbindungsleitungen, BNC-T-Stück

3.1 Der Verstärker entsprechend Abb.3 ist aufeiner Tafel fest aufgebaut.Bei der Aufnahme der Übertragungskennliniewerden die Eingangsspannung UE und dieAusgangsspannung UA (Gleichspannungen)mit den Digitalmultimetern gemessen.

3.2 Bei der Bestimmung der Spannungsver-stärkung der Grundschaltung wird die Ein-gangswechselspannung vom Funktions-generator geliefert. Eingangs- und Ausgangs-spannung werden mit dem Oszilloskopgemessen. Achtung: Der Funktionsgenerator zeigt dieAmplitude des unbelasteten Ausgangs an; beiAnschluss einer Last ist die Ausgangsspan-nung kleiner als der angezeigte Wert.


4.0 Lesen Sie die Kurzanleitung zum Oszil-loskop im Anhang. Beachten Sie bei allenMessungen mit verschiedenen Geräten dieUnterschiede zwischen Spitze-Spitze-Span-nung USS, Maximalwert Û, sowie Effektiv-wert Ueff einer Wechselspannung!

4.1 Zur Aufnahme der Übertragungskenn-linie wird die Betriebsspannung (UB = +10 V)wie folgt angelegt (Abb.2): Plus-Pol derSpannungsquelle an entsprechende Buchsedes Verstärkers (+10 V), Minus-Pol derSpannungsquelle an Massebuchse (z).

1 In der Literatur steht oft, V ist 3 dBkleiner als Vmax, da 20@lg(1/%2&) . -3 dB.


59

Der Widerstand Re ist auf Null zu stellen(Linksanschlag). Die Vielfachmesser für dieSpannungsmessungen sind einzubauen.Nun wird die Eingangsspannung UE mit demSpannungsteiler von 0 Volt bis zum Maxi-malwert variiert und die dazugehörigenAusgangsspannungen UA werden gemessen(mindestens 10 Messpunkte).

4.2. Zur Bestimmung der Spannungsver-stärkung V der Grundschaltung in Abhängig-keit von der Frequenz einer Wechselspan-nung wird zunächst der Arbeitspunkt desVerstärkers eingestellt. (UA = 5 V).Die beiden Vielfachmesser werden aus derSchaltung entfernt, der Funktionsgenerator anden Eingang E und das Oszilloskop an denAusgang A des Verstärkers angeschlossen.Mit Hilfe des BNC-T-Stücks wird der Gene-ratorausgang zusätzlich mit dem 2. Kanal desOszilloskops verbunden. Zur Messung von Eingangs- und Ausgangs-spannung ist ist das Oszilloskop in die Be-triebsart DUAL zu schalten mit UE als Trigger-quelle.Am Generator wird zunächst eine Frequenzvon f = 1 kHz eingestellt. Die Amplitude ist soeinzustellen, dass UE = 40 mV (Spitze-Spitze-Wert USS) ist.Die Ausgangswechselspannung UA (USS) istnun mit dem Oszilloskop zu messen. Die Messung ist bei den folgenden Frequen-zen zu wiederholen, wobei jedesmal UE =40 mV eingestellt werden muss:30 Hz; 100 Hz; 300 Hz; 1 kHz; 3 kHz;10 kHz; 30 kHz; 100 kHz; 300 kHz; 1 MHz;3 MHz; 10 MHz.

4.3 Die Schaltung aus 4.2. wird beibehalten,die Frequenz auf 10 kHz eingestellt. DieEingangskopplung des Oszilloskops sollte aufDC geschaltet sein.

4.3.1 Bei richtiger Arbeitspunkteinstellungwird die Eingangsspannung UE auf USS =400 mV erhöht und die so entstandene Über-steuerung skizziert.

4.3.2 Bei einer Eingangsspannung von USS =40 mV wird der Arbeitspunkt des Verstärkers

mit Hilfe des Eingangs-Spannungsteilers aufder Kennlinie nach oben und nach untenverschoben. Die so entstandenen nichtlinea-ren Verzerrungen werden skizziert.

4.3.3 Bei richtiger Arbeitspunkteinstellung isteine Eingangsspannung von USS = 200 mVzu wählen. Das Bild auf dem Oszilloskop istso einzustellen, dass eine Schwingung denBildschirm voll ausfüllt. Durch Veränderungdes Widerstandes Re kann der Einfluss derGegenkopplung auf das Verhalten des Ver-stärkers untersucht werden.

5 Auswertung

5.1 Die Übertragungskennlinie ist grafischdarzustellen. Die Spannungsverstärkung Vwird aus dem Anstieg im Arbeitspunkt (beiUA = 5 V) nach Gl. (1) bestimmt.

5.2 Die Spannungsverstärkung V der Grund-schaltung errechnet sich nach V = UA /UE.Die Verstärkung V ist in Abhängigkeit vonder Frequenz f graphisch darzustellen, wobeidie Abszisse (Frequenzachse ) logarithmischgeteilt wird (vergl. Abb.3) Die untere und dieobere Grenzfrequenz fu und fo sowie dieBandbreite sind zu bestimmen.

5.3 Diskutieren Sie die skizzierten Span-nungsverläufe aus den Untersuchungen in4.3.

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a., 2006

7 Kontrollfragen

7.1 Wie funktioniert ein Oszilloskop?

7.2 Wie ist ein (Bipolar-)Transistor aufge-baut?

7.3 Erläutern Sie die Begriffe Verstärkung,Übertragungskennlinie, Grenzfrequenz!

7.4 Was sind Maximalwert (Spitzenwert)und Effektivwert einer Wechselspannung?

Grundpraktikum III E 39 Messwerterfassung mit dem Computer (EKG)

60

Abb. 1: EKG-Ableitungen nach Einthoven

Abb. 2: Bestimmung der Lage der elektri-schen Herzachse im EINTHOVEN-Dreieck

1 Aufgabenstellung

1.1 Mit Hilfe des CASSY-Messwerterfas-sungssystems ist ein 3-Kanal-EKG auf-zunehmen. Aus den Messkurven sind dieGröße der R-Zacken-Potentiale, die Puls-frequenz und die Lage der elektrischenHerzachse zu bestimmen.

1.2 Der Einfluss eines großen Kontaktwider-standes auf das EKG-Signal ist zu untersu-chen.

2 Grundlagen

Die rhythmische Kontraktion des Herz-muskels wird stimuliert durch eine elektrischeErregung der Herzzellen, die am Sinus-Knoten beginnt und sich in charakteristischerWeise über das gesamte Herz ausbreitet. DieAktionspotentiale (etwa 70 mV) aller Zellenergeben in Summe ein elektrisches Dipolfelddes Herzens. Dieses Feld breitet sich auch imgesamten Organismus aus, wobei es durch dieelektrische Leitfähigkeit geschwächt wird.Auf der Hautoberfläche können deshalb dieelektrischen Vorgänge bei der Reizausbrei-tung im Herzen gemessen werden. Dabeiwerden eine Reihe Elektroden in normierterArt und Weise an den Armen und Beinensowie auf dem Brustkorb angebracht. Dieelektrischen Spannungen auf der Körperober-fläche liegen im Millivoltbereich und können,entsprechend verstärkt, gemessen und aufeinem Monitor oder mit Hilfe eines Schrei-bers oder Druckers dargestellt werden.

Bei den drei bipolaren Ableitungen nachEINTHOVEN (Abb.1) werden die folgendenPotentiale gemessen:

Abl. I zwischen linkem und rechtem Arm

Abl. II zw. linkem Bein und rechtem Arm

Abl. III zw. linkem Bein und linkem Arm.

Im so genannten EINTHOVEN-Dreieck (Abb.2)lässt sich aus den drei Potentialen U1, U2 undU3 der Dipolvektor den Herzens (genauer: dieProjektion des Dipolvektors auf die Frontal-ebene) konstruieren. Der Dipolvektor variiertim Rhythmus des Herzschlages, seine Lageim Moment des größten Potentials (R-Zacken-Potential) wird als elektrische Herz-achse bezeichnet. Sie stimmt bei normalerErregungsausbreitung etwa mit der anato-mischen Längsachse des Herzens überein.

Messwerterfassung mit dem Computer (EKG) E 39


61

f RG =12 . (1)

Neben der Kurvenform im EKG ist die Lageder Herzachse bzw. der zeitliche Verlauf desDipolvektors (Vektor-EKG) von diagnosti-scher Bedeutung.

Messen mit dem Computer:Moderne medizinische Diagnosegeräte (z. B.EKG, EEG, Ultraschall-A-Bild, Audiometer)werden heute oft auf der Basis handelsübli-cher Computer gebaut. Das hat sowohlpraktische Gründe (vielseitige Einsetzbarkeit,einfache Vernetzung mit anderen Geräten,mit der elektronischen Patientenkartei etc.)als auch ökonomische Gründe. Der Computer(bzw. die Software) übernimmt die Aus-wertung und die graphische Darstellung derMessergebnisse sowie ihre Archivierung.Lediglich die eigentliche Messwerterfassung,Signalverstärkung und die Umwandlung desanalogen Messsignals in digitale Daten (A/D-Wandlung) muss noch mit Hilfe speziellerHardware erfolgen.Die Genauigkeit der Messung wird dabeidurch die sogenannte Auflösung oder Wand-lerbreite des A/D-Wandlers begrenzt. Bei-spielsweise bedeutet eine Auflösung von 12Bit, dass der Wandler 212 = 4096 verschiedenedigitale Werte messen kann. Die kleinstenoch messbare Änderung des Messsignals(1 Digit) beträgt also 1/4096 des Messbe-reichs. Meist ist die Messunsicherheit digita-ler Messgeräte jedoch deutlich größer als 1Digit.Ein zeitabhängiges Messsignal (z. B. einEKG-Signal) wird einfach in schneller Folgeimmer wieder gemessen („abgetastet“). DieAnzahl der Messungen pro Sekunde bezeich-net man als Messrate oder Abtastrate R (engl.:sampling rate), die Einheit ist 1 Hz. Beispiel:Bei einem Zeitintervall Δt von 10 ms zwi-schen zwei Messungen beträgt die MessrateR = 1/Δt = 100 Hz. Technisch sind heuteMessraten bis etwa 1 GHz möglich.Die Messrate bestimmt die Zeitauflösung derMessung bzw. die maximal messbare Fre-quenz fG (“Grenzfrequenz”); es gilt

Nach dem Fouriertheorem kann jedes beliebi-ge, nichtharmonische (d.h. nicht sinusförmi-ge) periodische Signal als eine Summeharmonischer (sinusförmiger) Teilschwingun-gen aufgefasst werden kann, deren Frequen-zen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenzdes periodischen Signals sind. Im EKG-Signal entspricht die Grundfrequenz derHerzfrequenz. Die Zerlegung eines Signals inseine Frequenzanteile (d.h. in einzelne Sinus-schwingungen) nennt man Fourier-Analyse,der mathematische Algorithmus dafür heißtFFT (von Fast Fourier Transformation). ImErgebnis erhält man eine grafische Dar-stellung der Signalamplitude in Abhängigkeitvon der Frequenz, das Frequenzspektrum.

Informieren Sie sich über die BegriffeFourier-Analyse, FFT und SHANNONschesAbtasttheorem im Kapitel Grundlagen zuVersuch M25!

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:Cassy-EKG/EMG3 Widerstände 10 MΩ; 4,7 MΩ; 100 kΩComputer mit CASSYLab-Software4 KlammerelektrodenElektrodenspray

3.1 Es sind zwei Versionen des EKG-Gerä-tes im Einsatz: Ein Sensor-CASSY mitaufgesteckter EKG/EMG-Box, Steckernetz-teil und serieller Verbindung zum PC, sowieeine (kleinere) EKG/EMG-Box mit USB-Anschluss an den PC. Der Widerstand dient zur Simulation einesschlechten elektrischen Kontaktes zwischenHaut und EKG-Elektrode.Das Elektrodenspray wirkt desinfizierend underhöht die elektrische Leitfähigkeit desHautkontaktes.


Starten Sie am Computer das ProgrammCassyLab2 - die vorgefundene Gerätekonfi-


62

guration wird angezeigt (beim seriellen Cassymuss das Netzteil angeschlossen sein). Akti-vieren Sie die EKG/EMG-Box, indem Sie mitder Maus auf das Bild der Box klicken.Machen Sie sich zuerst mit der Bedienungdes Programms vertraut. Benutzen Sie hierzudie Kurzanleitung im Anhang und die Online-Hilfe . Folgende Tätigkeiten müssen Siebeherrschen:

- Einstellung von Messbereich und -Intervall

- Start und Stopp einer Messung

- Vergrößern/Alles anzeigen (Zoom)

- Skalieren des Diagramms

- Einfügen von Text in das Diagramm

- Anzeigen der Messpunkte

- Messen von Differenzen (Spannung, Zeit)

- Speichern und Drucken der Messung

4.1 Zur Ableitung des EKG-Signals nachEINTHOVEN (Abb.1) werden die Metallflä-chen der Elektrodenklammern mit Elek-trodenspray besprüht und an den Innenseitender Handgelenke und oberhalb der Knöchelbefestigt. Die Elektrodenkabel werden wiefolgt angeschlossen: rot - rechter Arm, gelb -linker Arm, grün - linke Wade, schwarz -rechte Wade.Die Versuchsperson muss in ruhiger, ent-spannter Lage sitzen, die Unterarme auflie-gend, damit die EKG-Potentiale nicht durchandere Muskel-Aktionspotentiale verfälschtwerden.Die Voreinstellungen der Messparameterwerden unverändert beibehalten (Mess-intervall: 10 ms, Messbereiche: ±1 mV). DasEKG wird etwa 10...20 s lang aufgezeichnetund danach abgespeichert. Falls die Kurvensehr unregelmäßig sind, werden die Ursachenhierfür beseitigt und die Messung wiederholt.Alle Versuchsbedingungen sind zu protokol-lieren!Das EKG soll an jedem Studenten gemessenwerden; die Auswertung führt jeder an sei-nem EKG durch.

4.2 Die folgenden Messungen sollen mit

einer größeren Abtastrate von 500 Hz durch-geführt werden (Messintervall: 2 ms). DasEKG-Gerät kann bei schnellen Messungen(Intervall <10 ms) nur einen Kanal aufzeich-nen - daher müssen die EKG-Ableitungen U11

und U13 in den Einstellungen zuerstdeaktiviert werden, ehe das Intervall geändertwerden kann. Es wird nur Ableitung II ge-messen.Zeichnen Sie ein EKG 10 Sekunden lang auf.Führen Sie eine Fourier-Analyse des EKG-Signals durch, indem Sie Einstellungen -

Rechner - FFT - Neu anklicken. Ändern Siedie Skalierung der Koordinatenachsen desEKGs und des Frequenzspektrums so, dassdie Messkurven den größten Teil des Dia-gramms einnehmen und speichern Sie dasMessergebnis ab.

Tipp: Die Diagramme kann man mit derMaus ziehen und so anordnen, dass beidegleichzeitig zu sehen sind.

Zur Simulation eines schlechten elektrischenKontaktes zwischen EKG-Elektrode undHaut bauen Sie den 10 MΩ-Widerstand in dieZuleitung zum rechten Arm (rot) ein. Zeich-nen Sie unter ansonsten unveränderten Bedin-gungen ein weiteres EKG und dessen Fre-quenzspektrum auf und speichern Sie es ab.Das Resultat der Messung ist von den Kon-taktwiderständen und von den elektromagne-tischen Störfeldern im Raum abhängig. NachRücksprache mit dem Betreuer sind eventuellweitere Messungen erforderlich, wobei dasStörsignal durch einen zusätzlichen Wider-stand von 100 kΩ an der rechten Wade(schwarzer Druckknopf) vergrößert oderdurch Tausch des 10 MΩ Widerstandes gegen4,7 MΩ verringert werden kann.

5 Auswertung

Wenn die Auswertung nicht im Praktikumerfolgen kann, drucken Sie alle benötigtenEKGs und Frequenzspektren nach Rück-sprache mit dem Betreuer aus, damit dievollständige Auswertung zu Hause möglich

Grundpraktikum III O 10 Polarimeter und Refraktometer

63

ist. Alternativ können Sie CassyLab2 von derWebsite des Herstellers LD Didactic down-loaden, auf dem eigenen Rechner installierenund die im Praktikum erzeugten Dateiendamit auswerten.

5.1 Die Messung des R-Zacken-Potentialsder drei Ableitungen und der Pulsfrequenzsoll mit CassyLab durchgeführt werden.Benutzen Sie hierfür die Zoom-Funktion;hilfreich sind außerdem die Funktionen„Koordinaten anzeigen“, „Differenz messen“und „Werte anzeigen“. Für die drei Ableitungen UI, UII und UIII wirddie Höhe von jeweils 5 verschiedenen R-Zacken abgelesen und daraus der Mittelwertberechnet.Die Pulsfrequenz f (in min-1) wird aus dermittleren Zeit zwischen zwei R-Zackenermittelt. Dafür sind aus 10 aufeinander

folgenden Pulsschlägen der Mittelwert undTdie Standardabweichung sT zu berechnen.Welche Bedeutung hat die Standardabwei-chung in diesem Zusammenhang?Für die Bestimmung der Lage der elektri-schen Herzachse werden die Ableitungen Iund II verwendet. Erfassen Sie etwa fünfzeitgleiche Wertepaare (UI, UII) vom Beginnbis zum Ende einer R-Zacke. Die Wertepaarewerden im EINTHOVEN-Dreieck (Spezial-papier, im Praktikum erhältlich) auf denAbleitungslinien I und II abgetragen, derSchnittpunkt im Dreiecksgitter wird markiert.Die so entstandenen Punkte werden der Reihenach durch eine Linie verbunden. Diese Liniezeigt den Verlauf der Frontalprojektion desDipolvektors. Die Verbindung vom Null-punkt zum maximalen Ausschlag definiertden elektrischen Herzvektor.

5.2 Vergleichen Sie die EKGs und die zu-gehörigen Frequenzspektren mit und ohneKontaktwiderstand:Zoomen Sie so weit in die EKG-Kurve, dassnur etwa ein Pulsschlag auf dem gesamtenBildschirm dargestellt wird. Betrachten Siedas gesamte Frequenzspektrum (0...250 Hz).

Beschreiben Sie die Veränderungen im EKG,die durch den Kontaktwiderstand hervor-gerufen werden.Wahrscheinlich ist das EKG von einer höher-frequenten Störspannung überlagert. Be-stimmen Sie die Frequenz dieser Störspan-nung aus der Periodendauer im EKG-Signal(wenn eine Periode erkennbar ist) und durchdirektes Ablesen im Frequenzspektrum. Waskönnte die Quelle dieser Störspannung sein?

Zusätzliche Experimentiermöglichkeiten:S Zeichnen Sie EKGs mit verschiedenen

Messintervallen (5 ms, 10 ms, 20 ms,50 ms) auf. Welchen Einfluss hat dasMessintervall (bzw. die Messrate) auf dasMessergebnis?

S Messen Sie die Größe und des Muskel-Aktionspotentials am Unterarm. FolgenSie dazu der Anleitung in der Online-Hilfezu CASSYLab (EMG-Versuchsbeispiel).

6 Literaturangaben

Kamke, W.; Walcher, W.: Physik für Medizi-ner, B.G. Teubner, Stuttgart 1994

Harten, U.: Physik für Mediziner. SpringerVerlag 2011

http://neurop.ruhr-uni-bochum.de/Praktikum/

7 Kontrollfragen

7.1 Was verstehen Sie unter Messrate undAuflösung bei digitalen Messungen?

7.2 Welche Messrate ist bei der Computer-gestützten Messung eines EKGs mindestenserforderlich?

7.3 Warum werden beim EKG besondershochohmige Spannungsmessgeräte einge-setzt?

7.4 Was verstehen Sie unter Fourier-Analyseund Fourier-Synthese?


64

ncc

= 0 . (2)

ϕ = ⋅ ⋅k l c . (1)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Konzentration einer wässrigenZuckerlösung (Saccharose) ist mit demPolarimeter zu bestimmen.

1.2.1 Das Refraktometers ist mit Hilfe einesGlasstandards zu justieren.

1.2.2 Die Brechzahl von Glycerol-Wasser-Gemischen ist in Abhängigkeit von derKonzentration mit dem Refraktometer zubestimmen.

1.2.3 Von einem vorgegebenen Glycerol-Wasser-Gemisch ist die Konzentration zuermitteln.

2 Grundlagen

2.1 Aus normalem, unpolarisiertem Lichterzeugt man linear polarisiertes Licht durchReflexion an einem durchsichtigen Stoffunter dem BREWSTERschen Winkel, durchDoppelbrechung (NICOLsches Prisma, sieheLiteraturangaben) oder mit Hilfe von Polari-sationsfiltern auf der Basis dichroitischerFolien.Unter Dichroismus versteht man die Eigen-schaft mancher doppelbrechender Stoffe,einen der beiden senkrecht zueinander linearpolarisierten Teilstrahlen zusätzlich stark zuabsorbieren, während der andere fast un-geschwächt hindurchgeht. Dichroismus lässtsich künstlich erzeugen in Polymerfilmen,deren Makromoleküle parallel ausgerichtetsind (Formdoppelbrechung, siehe VersuchO4). Damit lassen sich preiswerte Polarisa-tionsfilter herstellen, die einen Polarisations-grad von über 99% aufweisen.

Optisch aktive Substanzen sind Stoffe, diebeim Durchgang von linear polarisiertemLicht dessen Schwingungsrichtung drehen.

Diese optische Aktivität kann hervorgerufenwerden durch asymmetrische Molekülstruktu-ren (z.B. bei asymmetrischen Kohlenstoff-atomen) oder durch die schraubenförmigeAnordnung von Gitterbausteinen. MancheSubstanzen, von denen zueinander spiegel-bildliche Isomere existieren (chirale Verbin-dungen), gibt es in einer rechtsdrehenden (+)und einer linksdrehenden (!) Variante.Beispiele sind die verschiedenen Zucker undMilchsäure.Bei Lösungen von optisch aktiven Substanzenhängt der Drehwinkel von der Art des Stoffes,von der Dicke der durchstrahlten Schicht(Länge l des Polarimeterrohrs), von derKonzentration c und von der Wellenlänge λab. Diese Wellenlängenabhängigkeit nenntman Rotationsdispersion. Blaues Licht wirdstärker gedreht als rotes.Für den Drehwinkel φ gilt:

Die Materialgröße k heißt spezifische Dre-hung oder spezifisches Drehvermögen, siehängt von der Wellenlänge ab.

2.2 Die Brechzahl n eines Stoffes ist de-finiert als das Verhältnis der Lichtgeschwin-digkeit im Vakuum c0 zur Lichtgeschwindig-keit c im Stoff:

Sie ist abhängig vom Material und von derWellenlänge λ des Lichtes (Dispersion). Ineiner Lösung ist die Brechzahl von der Kon-zentration (d. h. vom Mischungsverhältnis)abhängig. Die Messung der Brechzahl eignetsich deshalb in manchen Fällen für genaueund einfach durchführbare Konzentrations-messungen. Anwendungen sind z. B. dieBestimmung des Gesamteiweißgehaltes imBlutserum in der Medizin oder die Bestim-

Polarimeter und Refraktometer O 10


65

Abb. 1: Strahlengang der Brechung für n2>n1 . links: allgemeiner Fall, rechts:streifender Lichteinfall

n n1 2⋅ = ⋅sin sin .α β (3)

sin .βGr

nn

= 1

2

(4)

Abb. 2: Strahlengang am Abbe-Refraktometer

mung des Zuckergehaltes im Traubensaft inder Winzerei.

Beim Übergang des Lichtes von einemoptisch dünneren Medium mit der Brechzahln1 zu einem optisch dichteren Medium mitder Brechzahl n2 (n2 > n1) werden die Licht-strahlen zum Einfallslot hin gebrochen(Abb.1). Bezeichnet man den Einfallswinkelmit α und den Brechungswinkel mit β, solautet das Brechungsgesetz:

Für den größtmöglichen Einfallswinkelα = 90° (streifender Lichteinfall) ergibt sichein maximaler Brechungswinkel βGr.

Den Strahlengang in Abb.1 kann man auchumkehren: vom optisch dichteren Medium(n2) zum optisch dünneren Medium (n1),Einfallswinkel β, Ausfallswinkel α. Fürβ > βGr wird kein Licht in das optisch dünnereMedium gebrochen, denn das Brechungs-gesetz (3) kann nicht erfüllt werden. Stattdessen wird das Licht an der Grenzflächevollständig reflektiert. βGr heißt deshalbGrenzwinkel der Totalreflexion. Aus dem Brechungsgesetz ergibt sich:

Bei bekannter Brechzahl n2 (Messprisma desRefraktometers) kann somit durch die Mes-sung des Grenzwinkels βGr die Brechzahl n1

des anderen Mediums (der Messflüssigkeit)bestimmt werden.

Zur Messung des Grenzwinkels beleuchtetman die Grenzfläche durch eine Mattscheibemit rauer Oberfläche (siehe Abb.2). DieLichtstrahlen treffen dann unter allen mögli-chen Einfallswinkeln zwischen 0E und 90Eauf die Grenzfläche. Somit können alleBrechungswinkel zwischen 0E und βGr auf-treten. Wenn man durch ein Fernrohr unterdem Winkel βGr auf die Grenzfläche blickt,sieht man eine Hell-Dunkel-Grenze; dieselässt sich leicht ausmessen.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Polarimeter mit Natrium-Spektralleuchte- Polarimeterrohr (Länge 200 mm)- Flasche mit Zuckerlösung- Refraktometer nach ABBE

- 2 Büretten mit Glycerol 83 Vol.% und aquadest.

- diverse Glasgeräte- Fläschchen mit Glycerol-Wasser-Gemisch

unbekannter Konzentration- Kalibrierkörper- Fläschchen mit Zimtöl

3.1 Das Polarimeter besteht aus einer mono-chromatischen Lichtquelle (Na-D-Licht,λ = 589,3 nm), einem Polarimeterrohr, einemPolarisator und einem drehbaren Analysatormit Winkelmesseinrichtung. Stehen die Schwingungsrichtungen (Durch-lassrichtungen) von Polarisator und Analysa-tor senkrecht zueinander (gekreuzt), so ist dasGesichtsfeld im Polarimeter dunkel.Bringt man dann zwischen Polarisator undAnalysator das Polarimeterrohr mit derLösung des optisch aktiven Stoffes (Zuckerlö-


66

Abb. 3: Dreigeteiltes Gesichtsfeld im Polari-meter

sung), so wird das Gesichtsfeld aufgehellt, dadie Schwingungsrichtung des linear polari-sierten Lichtes um den Winkel φ gedrehtwurde. Dreht man den Analysator um diesenWinkel φ nach, so ist das Gesichtsfeld wiederdunkel. Auf diese Weise lässt sich der Dreh-winkel φ messen.Da die Einstellung des Gesichtsfeldes aufmaximale Dunkelheit oder Helligkeit ohneVergleich sehr ungenau ist, benutzt man imPolarimeter ein dreigeteiltes Gesichtsfeld(siehe Abb.3). Dazu besteht der Polarisatoraus zwei um 10E gegeneinander versetztenPolarisationsfolien (Halbschattenpolari-meter). Während des Messvorganges wird derDrehwinkel des Analysators so eingestellt,dass sich die drei Teile des Gesichtsfeldsnicht unterscheiden (gleiche Resthelligkeit)und die Trennlinien nahezu verschwinden.Bei einer geringen Drehung in eine Richtungmuss der mittlere Teil heller und bei geringerDrehung in die entgegengesetzte Richtungdunkler als die äußeren Teile werden.Zur genauen Ablesung des Winkels für denUmschlagpunkt ist die Winkelmesseinrich-tung am Analysator mit einem Nonius ausge-stattet, mit dessen Hilfe der Winkel auf 0,05Egenau abgelesen werden kann.

3.2 Mit dem vorliegenden Refraktometernach ABBE wird die Brechzahl nD (bei Na-D-Licht, 589 nm) unter Verwendung von natür-lichem (weißem) Licht bestimmt. Die beiFlüssigkeiten recht starke Dispersion wirddabei durch ein AMICI-Prismenpaar kompen-siert, welches für Na-D-Licht geradsichtig ist.Andere Refraktometer arbeiten mit mono-chromatischem Licht (früher Natriumdampf-

lampe, heute spezielle LEDs). Das Gerätbesteht im wesentlichen aus

- einem Beleuchtungsprisma mit einer rauenOberfläche,

- einem Messprisma, dessen Brechzahl n2

größer sein muss als die Brechzahl n1 derMessflüssigkeit,

- einem schwenkbaren Fernrohr mit Winkel-messeinrichtung, wobei auf der gemäßGleichung (4) kalibrierten Skale Brechzah-len abgelesen werden können,

- einer Einrichtung zur Kompensation bzw.zum Messen der Dispersion.

Der Grenzwinkel der Totalreflexion βGr er-scheint im Fernrohr als Grenzlinie zwischendem hellen und dem dunklen Bereich desSehfeldes.Eine einfache Prüfung der Justierung derRefraktometers kann mit destilliertem Wassererfolgen, dessen Brechzahl ist nD = 1,3330 bei20°C bzw. nD = 1,3325 bei 25°C.Zur exakten Justierung des Refraktometersdient ein Justierkörper aus Glas mit genaubekannter Brechzahl. Zur Messung mussdieses an das Messprisma angekoppelt wer-den mit Hilfe einer Flüssigkeit, deren Brech-zahl höher als die des Kalibrierkörpers ist(Bromnaphtalin, n = 1,66 oder Zimtöl,n = 1,58).


4.1 Zu Beginn wird die Na-Spektralleuchteeingeschaltet; nach ca. 5 min erreicht dieLampe ihre maximale Helligkeit.Durch Verdrehen des Okularringes wird dasGesichtsfeld scharfgestellt. Die Nullstellungdes Polarimeters wird bestimmt, indem manohne Polarimeterrohr die Einstellung desGesichtsfeldes wie in 3.1 beschrieben vor-nimmt (Umschlagpunkt einstellen) und dendazugehörigen Winkel φ0 abliest. Die Mes-sung ist 5 mal zu wiederholen.Das Polarimeterrohr soll möglichst blasenfrei


67

ϕ ϕ ϕ= −m 0 . (5)

mit Zuckerlösung gefüllt werden. Dazu hältman das Rohr senkrecht und füllt es voll-ständig. Das Glasfenster (ohne Schraubkap-pe) wird seitlich über die Öffnung geschobenund überflüssige Lösung mit Zellstoff ent-fernt. Danach wird das Rohr (nicht zu fest)zugeschraubt und in das Polarimeter einge-legt. Eine verbleibende kleine Blase kann indie Verdickung des Polarimeterrohres ge-bracht werden. Nach dem erneuten Scharfstellen des Ge-sichtsfeldes wird der Analysator nachgedrehtund wieder der Umschlagpunkt eingestellt.Der zugehörige Winkel φm ist abzulesen.Auch diese Messungen werden 5 mal durch-geführt.Der Drehwinkel φ ergibt sich dann als Diffe-renz der Mittelwerte von φm und φ0:

Nach den Messungen wird die verwendeteZuckerlösung in die Flasche zurückgefülltund das Polarimeterrohr mit Wasser ausge-spült; das Rohr ist offen zu lassen.

4.2 Das Refraktometer wird so hingestellt,dass sich die beiden Prismen auf der rechtenSeite befinden. Die Lichteintrittsöffnung derSkalenbeleuchtung (links oben) muss aufge-klappt sein.Die Prismen werden auseinander geklappt,das Beleuchtungsprisma mit der rauen Ober-fläche (unten) wird etwa waagerecht einge-richtet. Nun bringt man einen Tropfen derMessflüssigkeit auf das Beleuchtungsprisma,danach wird das Beleuchtungsprisma auf dasMessprisma geklappt und der Riegel ge-schlossen (ohne Kraftaufwand!). Durch Verdrehen der Okulare wird die Skaleim Ablesemikroskop (links) und das Faden-kreuz im Fernrohr (rechts) scharfgestellt.Wenn nötig, kann die Skalenbeleuchtungdurch Einstellen der spiegelnden Klappe(links oben) verbessert werden. Durch Aus-richten des Beleuchtungsspiegels erhält manein helleres Bild im Fernrohr (rechts). Nun wird die Grenzlinie zwischen Hell- undDunkelfeld im Fernrohr aufgesucht. Ein evtl.

vorhandener Farbsaum wird durch Verstellender AMICI-Prismen (kleiner Rändelknopfrechts) beseitigt. Die Hell-Dunkel-Gernzewird mit Hilfe des großen Rändelknopfes(links) auf die Mitte des Fadenkreuzes einge-stellt und die dazugehörige Brechzahl wirdabgelesen.

Zur Prüfung der Justierung des Refrakto-meters wird nach sorgfältigem Säubern einkleines Tröpfchen Zimtöl auf das Messprismagebracht, der Kalibrierkörper mit seinergroßen polierten Fläche darauf gelegt undleicht angedrückt, so dass es fest auf demMessprisma haftet. Zur Verbesserung derBeleuchtung kann man das Beleuchtungs-prisma mit einer Hand ganz nach obenschwenken und festhalten.Die Brechzahl des Justierkörpers ist zumessen und mit dem eingravierten Wert zuvergleichen. Falls eine deutliche Abweichungfestgestellt wird, muss nach Absprache mitdem Betreuer das Refraktometer neu justiertwerden.

Es werden die Brechzahlen für folgendeFlüssigkeiten gemessen:

- aqua dest.,

- Glycerol 83 Vol.%,

- 5 Glycerol-Wasser-Gemische: 4:1, 4:2, 4:4, 4:8, 4:16 und

- ein Glycerol-Wasser-Gemisch unbekannterKonzentration.

Für das Gemisch 4:1 nimmt man 4 ml Glyce-rol 83 vol% und 1 ml aqua dest., die weiterenGemische werden durch Verdünnung mitWasser hergestellt.Jede Brechzahl ist 5 mal zu messen (jeweilsNeueinstellung mit großem Rändelknopf).Bei Wechsel der Messflüssigkeit und amEnde sind die Prismen sorgfältig zu reinigen.

4.3 Die Brechzahl des Glycerol-WasserGemisches unbekannter Zusammensetzungist ebenfalls fünf mal zu messen.


68

5 Auswertung

5.1 Die Konzentration c (in g/l) der Zucker-lösung wird nach den Gleichungen (1) und(5) berechnet.Das spezifisches Drehvermögen von Sac-charose (C12H22O11) beträgt bei λ = 589,3 nmk = 66,456 grad ml dm-1 g-1. Die Länge desPolarimeterrohres ist (200,0 ± 0,2) mm.

5.2 Aus den Mischungsverhältnissen werdendie Volumenkonzentrationen (reines Glycerolin Wasser) berechnet. Anschließend sind dieBrechzahlen in Abhängigkeit von der Volu-menkonzentration grafisch darzustellen.

Mit Hilfe des Diagramms wird die Konzen-tration des unbekannten Glycerol-Wasser-Gemisches bestimmt. Die Konzentration istin Vol.% Glycerol anzugeben.

6 Literatur

Grimsehl, E.: Lehrbuch der Physik. Bd 3,B.G. Teubner, Leipzig 1978


7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Licht?

7.2 Wie kann linear polarisiertes Lichterzeugt werden?

7.3 Was ist Brechung, wann tritt Totalrefle-xion auf?

7.4 Welche störenden Effekte kann Disper-sion im Refraktometer hervorrufen?

Grundpraktikum IV M 25 Fourier-Analyse

69

[ ]y ta

a n t b n tn nn

( ) cos( ) sin( )= + +=

∞

∑0

12

ω ω (1)

( )

( )

cos ,

sin

x

xi

i x i x

i x i x

= +

= −

−

−

1212

e e

e e(3)

a T y t n t t

bT

y t n t t

n

T

n

T

=

=

∫

∫

2

2

0

0

( ) cos( )

( ) sin( ) .

ω

ω

d

d

(2)

y t c enin t

n

( ) == −∞

∞

∑ ω (4)

( )

( )c

a ib n

a ib n

cT

y t e t

n

n n

n n

nin t

T

=− >

+ <

=

− −

−∫

1212

0

0

1

0

;

;

( ) .ω d

(5)

r a babn n n n

n

n

= + =

2 2 , arctanϕ (6)

y tr

r n tn nn

( ) sin( ) .= + +=

∞

∑0

12

ω ϕ (7)

1 Aufgabenstellung

1.1 Mit Hilfe des Computer-Programms‘Origin’ sind zwei Messsignale zu simulie-ren: eine Schwebung (Überlagerung zweierharmonischer Schwingungen) und ein sym-metrisches Rechtecksignal.

1.2 Es ist eine Fourier-Analyse der beidenSignale sowie des mittels FFT-Tiefpassgefilterten Rechtecksignals durchzuführen.

1.3 Der Klang zweier gleichzeitig schwin-gender Stimmgabeln ist zu messen, dieFrequenzen sind durch Fourier-Analyse zubestimmen.

1.4 Mindestens drei verschiedene Geräu-sche, die durch Singen oder durch Instrumen-te erzeugt werden, sind zu messen und mittelsFourier-Analyse zu untersuchen.


2.1 Die Fourier-Analyse ist ein fundamenta-les Hilfsmittel in den verschiedensten natur-wissenschaftlichen Gebieten. Jede periodi-sche Funktion mit der (größten oder Grund-)Periode T = 2π/ω lässt sich in eine Fourier-Reihe entwickeln:

mit den Fourier-Koeffizienten

Mit Hilfe der Identitäten

lässt sich (1) umformen in die Exponential-form

mit den komplexen Fourierkoeffizienten

Man beachte, dass hier n von -4 bis +4 läuft;jedoch sind die Realteile und die Beträge derImaginärteile für positive und für negative ngleich.Die an heißen reelle oder gerade (wegen dergeraden Kosinusfunktion), die bn imaginäreoder ungerade Fourierkoeffizienten.

Eine alternative Darstellung der Fourier-Reihe ist m. H. von Sinusfunktionen mitunterschiedlichen Phasen φ möglich: Mit denAmplituden rn und Phasen φn

wird aus (1)

Die Darstellung der Fourierkoeffizienten inAbhängigkeit von der Frequenz f=nω/2πnennt man (Frequenz-) Spektrum; die Spek-tren der an, bn, rn und φn heißen auch Kosinus-

Fourier-Analyse M 25


70

ωπ

=2tM

. (11)

RT

=1

∆(8)

T t N TM= = ⋅ ∆ . (10)

cN

y en kin k T

k

N

= ⋅ −

=

−

∑1

0

1ω ∆ . (9)

f Rmax .=12

(12)

∆ ftM

=1

. (13)

spektrum, Sinusspektrum, Amplitudenspek-trum und Phasenspektrum.

2.2 Diskrete Fourier-Transformation:In der messtechnischen Praxis liegt dieFunktion y(t) meist nicht als kontinuierliche(d.h. mathematische) Funktion, sondern alseine Reihe von N zeitlich äquidistantenMesspunkten, als so genanntes Abtastsignalyk = y(k@ΔT) (k = 0…N-1) vor. ΔT ist derAbstand zwischen zwei Messpunkten,

bezeichnet man als Abtastfrequenz oderAbtastrate.Bei der Berechnung der Fourierkoeffizientenaus Abtastsignalen wird das Integral (5) durchein Summation ersetzt:

Die größte (oder Grund-) Periode T wirdhierbei mit der Gesamtdauer des MesssignalstM (Messzeit) identifiziert, d. h.

Daraus ergibt sich die Grundfrequenz

Gleichung (9) definiert die diskrete Fourier-transformation yk ÷ cn . Die Darstellung derMessdaten yk = y(k@ΔT) nennt man auchDarstellung im Zeitbereich, die der trans-formierten Daten cn = c(n@Δf) (mit Δf=ω/2π)Darstellung im Frequenzbereich. Oft werdenan Stelle der komplexen cn nur die Am-plituden rn (siehe(5) und (6)) dargestellt. Die Berechnung des Amplitudenspektrumsaus einem Messsignal nennt man harmo-nische Analyse. Es ist auch der umgekehrteWeg möglich, d.h. die Berechnung desursprünglichen Signals aus dem Frequenz-spektrum m.H. der inversen diskreten Fou-riertransformation. Dieses wird auch alsharmonische Synthese bezeichnet. Mit Hilfeder Schritte (i) harmonische Analyse, (ii)

Begrenzung des Spektrums, (iii) harmonischeSynthese, lassen sich digitale Filter (Tiefpass,Hochpass, Bandpass) konstruieren.

Für die praktische Anwendung der diskretenFourier-Transformation sind folgende Be-trachtungen wichtig:Zur Berechnung eines Fourierpolynoms vomGrad m (d. h. mit 2m+1 linear unabhängigenKoeffizienten) muss man N = 2m+1 Abtast-werte kennen. Hieraus folgt unmittelbar dasSHANNONsche Abtasttheorem, das besagt,dass die Abtastfrequenz größer sein muss alsdas Zweifache der höchsten im Signal enthal-tenen Frequenz. Umgekehrt gilt für diehöchste im Spektrum enthaltene Frequenz:

Der Abstand zwischen zwei Punkten imFrequenzstektrum, d. h. die Genauigkeit, mitder eine Frequenz bestimmt werden kann, istnach (11)

2.3 FFT:Abtastsignale stellen in der Regel großeDatenmengen (103…106 Messpunkte) dar.Der Rechenaufwand für eine Fourieranalysenach Gl. (9) ist ~N 2, da N Gleichungen mit NTermen zu lösen sind. Damit ist die Be-rechnung einer Fourieranalyse großer Mess-reihen selbst für moderne Computer sehraufwendig. Unter der Bezeichnung FFT (fastfourier transformation) sind spezielle Algo-rithmen entwickelt worden, bei denen derRechenaufwand nur ~N@logN ist. Dafür ist esjedoch erforderlich, dass die Anzahl derAbtastwerte eine Potenz von 2 ist: N = 2ν. Die Implementierung der FFT in einemComputerprogramm ist für den Anwendermeist eine “black box”, d.h. der genaueAlgorithmus ist nicht bekannt. Liegen N = 2ν

Abtastwerte vor und ist die Messzeit N@ΔTein ganzzahliges Vielfaches der Perioden2π/ω aller im Signal vorhandenen Frequen-zen, so ist das Ergebnis exakt. Im Allgemei-nen ist das jedoch nicht der Fall, das Ergebnis


71

y ta für t T

a für t T( )

mod ,

, mod=

+ ≤ <

− ≤ <

0 0 5

0 5 1(14)

y ta

t t

t

( ) sin( ) sin( )

sin( ) ...

= ⋅ +

+ +

4 13

3

15

5

0 0

0

πω ω

ω

(15)

der FFT kann deshalb vom tatsächlichenFrequenzspektrum abweichen. Diese Abwei-chungen (z.B. Peakverbreiterung im Fre-quenzspektrum) können durch Vergrößerungder Abtastrate und der Messzeit sowie durchverschiedene mathematische “Tricks” (z.B.Fensterfunktionen, geeignete Ergänzung zuN = 2ν; siehe Literatur) minimiert werden.

2.4 Schwebung:Werden zwei harmonische Schwingungen y1

und y2 mit den (nicht sehr verschiedenen)Kreisfrequenzen ω1 = 2 π f1 und ω2 = 2 π f2

überlagert, so entsteht eine Schwebung (siehehierzu Versuch M22, Abschnitt 2.1).Mit Hilfe einer Fourier-Analyse können diebeiden Frequenzen f1 und f2 bestimmt werden.

2.5 Das symmetrischen Rechtecksignal derForm

(t mod T bedeutet der Rest von t/T) ist eineungerade Funktion, da y(t) = -y(-t). DieEntwicklung in eine Fourierreihe enthältfolglich nur Sinusfunktionen:

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Computer mit Software Origin und Cassy-

Lab- 2 gleiche Stimmgabeln auf Resonanzkasten- 1 Klemmreiter zum Verstimmen einer

Stimmgabel- Monochord (mit je 1 Stahlsaite und 1

Perlonsaite bespannt) - Geigenbogen- eventuell mitgebrachte Musikinstrumente,

Pfeifen o. Ä.- 1 Messmikrofon- 1 SensorCassy

3.1 und 3.2: Die Berechnung simulierterMesssignale und deren Analyse erfolgen mitdem Programm Origin.

3.3 und 3.4: Als Sensor zur Messung ver-schiedener Geräusche dient das batterie-betriebene Messmikrofon in der Betriebsart~. Es wird an einen Spannungseingang desSensorCassy angeschlossen. Aufzeichnungund Auswertung der Signale erfolgen mitdem Programm CassyLab.


4.1. Im Origin-Worksheet werden je zweiSekunden einer Schwebung y = y1 + y2 ent-sprechend Gl.(1-2) in M22 und eines Recht-ecksignals entsprechend Gl.(14) mittels 'SetColumn Values' berechnet. Die Datensätze(ein gemeinsamer Zeit-Datensatz und zweifür die beiden Signale) sollen aus jeweils1024 Werten bestehen. Für die Schwebungsind die beiden Frequenzen f1 und f2 geeignetzu wählen, so dass das Signal ähnlich wieAbb.1 zu Versuch M22 aussieht (etwa f1 =20 ... 50 Hz, f2 .1,1@f1). Das Rechtecksignalsoll eine Frequenz von 1 Hz haben.

4.2 Die Fourier-Analyse erfolgt mittels'FFT...' im Menü 'Analysis'. Damit der vomProgramm verwendete Formalismus mit derDarstellung in 2.2 übereinstimmt, müssenfolgende Eigenschaften der FFT eingestelltsein: Windowing Methode = Rechteck,TAmplitude normieren, TErgebnis ver-schieben, Faktor expon. Phase = +1.

Für den FFT-Tiefpass wählen Sie 'FFT Filter'im Analysis-Menü für die Grafik. Es soll eineGrenzfrequenz von 10 Hz verwendet werden.

4.3 Die Tonhöhe einer der Stimmgabelnwird durch den Klemmreiter so verändert,dass eine deutlich hörbare Schwebung ent-steht. Das Messmikrofon wird vor der Öff-nung beider Resonanzkästen positioniert unddurch den Taster eingeschaltet (es schaltetsich nach ca. 30 min automatisch ab). Damitder Mikrofonverstärker linear arbeitet (und


72

nicht selbst Oberwellen erzeugt), sollte ermaximal ±1 V ausgesteuert werden. In Cassy-Lab sind Messbereich, Intervall und Messzeitgeeignet zu wählen. Beachten Sie Gl. (12)und (13)! Maximal können 16 000 Messwerteerfasst und verarbeitet werden.

Die Auswertung der Messreihe mittelsFourier-Analyse ist sofort durchzuführen,eventuell muss die Messung mit veränderterSchwebungsfrequenz wiederholt werden.

4.4 Die mit verschiedenen Mitteln erzeugtenTöne werden wie unter 4.3 aufgezeichnet undanalysiert. Stehen keine Instrumente zurVerfügung, so kann man z.B. verschiedeneVokale mit konstanter Lautstärke und Tonhö-he ins Mikrofon singen.

Weitere Experimentiermöglichkeiten:

Der Anzahl der untersuchten Geräusche istkeine Grenze gesetzt. Versuchen Sie Konso-nanten und Zischen!

Die FFT-Filterung in Origin kann man mitdem gleichen Ergebnis auch manuell durch-führen. Dazu sind drei Schritte erforderlich:(i) FFT des Signals, (ii) Bearbeitung desSpektrums (für einen 10 Hz-Tiefpass werdeneinfach alle Koeffizienten für f >10 Hz Nullgesetzt), (iii) inverse FFT. Beachten Siehierbei die Hinweise 'Performing a BackwardFFT' in der Hilfe zu Origin.

Führen Sie in Origin eine FFT und anschlie-ßend eine inverse FFT mit Signalen durch,die nicht in einer Anzahl von 2ν Abtastwertenvorliegen, und beobachten Sie, wie Originmit solchen Messreihen umgeht.

Analysieren Sie ein harmonisches Signal,dessen Grundperiode nicht ganzzahlig in derMesszeit enthalten ist und setzen Sie eineHanning-Funktion zur Verringerung desLeckeffektes (Peakverbreiterung) ein.

5 Auswertung

5.1 Die beiden Signale sind grafisch dar-zustellen.

5.2 Das gefilterte Rechteck-Signal istgemeinsam mit dem Ausgangssignal dar-zustellen. Das Kosinus- und das Sinusspektrum (Realund Imaginärteil der komplexen Koeffizien-ten) aller drei Signale ist jeweils in einerGrafik darzustellen. Die Ergebnisse sind zubewerten.Die FFT von N Abtastwerten liefert 2@NKoeffizienten, von denen jedoch nur die ersteHälfte (bis N/2) physikalisch relevant ist. Diezweite Hälfte wird üblicherweise entspre-chend (4) als Spektrum für negative Frequen-zen interpretiert und wird nicht mit grafischdargestellt. (Für die Ausführung einer in-versen FFT sind jedoch beide Anteile er-forderlich.) Dies muss bei der Darstellungvon Real- und Imaginärteil der Fourierkoeffi-zienten berücksichtigt werden

5.3 Aus dem Amplitudenspektrum sind dieSchwingungsfrequenzen beider Stimmgabelneinschließlich der Messunsicherheiten zuermitteln.

5.4 Die charakteristischen Eigenschaften derFourierspektren der verschiedenen Geräuschesind zu diskutieren.

6 Literatur


Bartsch, H.J.: Taschenbuch mathematischerFormeln. Fachbuchverlag Leipzig, 2001

Brigham, E.O.: FFT, Schnelle-Fourier-Trans-formation. R Oldenbourg, München 1989

7 Kontrollfragen

7.1 in welcher Beziehung stehen die ver-schiedenen Arten von Fourierkoeffizientenmiteinander?

7.2 Welchen Einfluss haben die Messpara-meter (Parameter der Signalabtastung) auf diebei der Fourieranalyse erzielbare Frequenz-genauigkeit und die obere Grenzfrequenz?

Grundpraktikum IV E 21 FRANCK-HERTZ-Versuch

73

E h f hc

Ph = ⋅ = ⋅λ

(1)

7.3 Welche Fehler und Einschränkungen gibt es bei der Fourieranalyse mittels FFT?

1 Aufgabenstellung

Die I-U Kennlinien einer Quecksilber-Franck-Hertz-Röhre sind bei zwei verschiede-nen Temperaturen aufzunehmen. Aus denKennlinien sind die Anregungsenergien desHg-Atoms zu ermitteln.


Mit Hilfe des nach JAMES FRANCK undGUSTAV LUDWIG HERTZ (1925-1927 Profes-sor für Experimentalphysik an der UniversitätHalle) benannten Versuches kann die Exis-tenz diskreter stationärer Energiezustände derElektronen in den Atomen gezeigt werden.Dies war eine wesentliche experimentelleStütze für die Bohrsche Atomtheorie von1913. Wegen der fundamentalen Bedeutungihrer Experimente aus den Jahren 1911 bis1914 für die Entwicklung der Quantentheorieerhielten die beiden Autoren 1925 den Nobel-preis für Physik.In einem schweren Atom wie Quecksilbersind die meisten Elektronen durch die elek-trostatische Anziehung des Atomkerns starkgebunden. Es ist deshalb eine hohe Energienötig, um sie aus diesen Zuständen herauszu-bringen. Die äußersten Elektronen hingegenwerden durch die inneren teilweise von derAnziehung durch den Kern abgeschirmt.Folglich ist ihre Bindungsenergie wesentlichkleiner. Die entsprechenden Zustände nenntman optische Niveaus, weil bei Übergängenzwischen ihnen Licht emittiert bzw. absor-biert wird.Die kleinste Anregungsenergie des Hg-Atomsbeträgt ΔE1 = 4,89 eV; hierbei geht einElektron vom Grundzustand 61S0 in denersten angeregten Zustand 63P1 über (sieheAbb.3). Nach einer mittleren Lebensdauer

von 10-8 s geht das Hg-Atom vom angeregtenZustand in den Grundzustand zurück, wobeiein Lichtquant der Energie

(h: Planck-Konstante, f: Frequenz, c: Licht-geschw., λ: Wellenlänge) ausgesandt wird.Mit EPh = ΔE1 ergibt sich die Wellenlängeder emittierten Strahlung λ = 253,65 nm. J. FRANCK und G. HERTZ entdeckten, dassElektronen bei inelastischen Stößen mit Hg-Atomen ihre kinetische Energie nur in dis-kreten Portionen der Größe ΔE1 übertragenkönnen. Dieselbe Energie fanden sie in dervon den Atomen emittierten Strahlung.

Abb.1 zeigt die Quecksilber-Franck-Hertz-Röhre und ihre elektrische Beschaltung. DieRöhre wurde bei der Fertigung mit Queck-silber beschickt und evakuiert. Während desVersuches wird sie geheizt, um einen aus-reichenden Hg-Dampfdruck zu erzeugen.Aus der indirekt geheizten Kathode K tretenElektronen aus und werden von der Saug-spannung U1 aus dem Raumladungsgebiet vorder Kathode abgesaugt. Die Temperatur derKathode (durch den Heizstrom beeinflussbar)

Abb. 1: Quecksilber- Franck-Hertz-Röhre mitSchaltplan des Versuches

Franck-Hertz-Versuch E 21


74

0 50 100 150 200 25010

-3

10-2

10-1

100

101

102

p in

m

bar

T in °C

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

λe in

m

300 350 400 450 500

T in K

Abb. 2: Hg-Damfdruck und mittlere freieWeglänge der Elektronen in Hg

λσe n

=⋅1

, (2)

np

kT= (3)

λπe

kT

r p= 2 (4)

und die Spannung U1 bestimmen die Anzahlder Elektronen, die in den Raum zwischendem Raumladungsgitter g1 und dem Be-schleunigungsgitter g2 gelangen. Mit Hilfeder Beschleunigungsspannung U2 werden dieElektronen zwischen g1 und g2 beschleunigt.Die Gegenspannung U3 lässt nur solcheElektronen zur Auffangelektrode A gelangen,deren kinetische Energie Ekin > e@U3 ist.Wird die Beschleunigungsspannung vonU2 = 0 an erhöht, so steigt der Strom zunächstwie bei einer klassischen Tetrode an. Dannerreicht der Auffängerstrom jedoch einMaximum und nimmt bei weiterer Steigerungvon U2 sogar wieder ab. Nach dem Durch-laufen eines Minimums stiegt der Stromerneut an und das beschriebene Verhaltenwiederholt sich, d.h. es werden mehrereMaxima und Minima beobachtet.In der Quecksilberdampfatmosphäre kommtes zu elastischen bzw. unelastischen Stößenzwischen den Elektronen und den Hg-Ato-men. Da die Masse eines Quecksilberatoms370 000 mal so groß ist wie die eines Elek-trons, behalten die Elektronen bei einemelastischen Zusammenstoß nahezu ihregesamte Energie. Solange die kinetischeEnergie Ekin der Elektronen unterhalb derAnregungsenergie der Hg-Atome liegt,erfolgen nur elastische Stöße. Mit zunehmen-der Beschleunigungsspannung U2 erhöht sichdie kinetische Energie der Elektronen underreicht im ersten Maximum des Stromes fürdie schnellsten Elektronen (infolge der ther-mischen Emission sind die Elektronen nichtmonoenergetisch) den Wert der Anregungs-energie der Hg-Atome aus dem Grundzustandin den ersten angeregten Zustand )E1. DieElektronen verlieren die kinetische EnergieEkin = )E1, d.h. die Stöße werden unelastisch.Mit weiter zunehmender Beschleunigungs-spannung gilt das für immer mehr Elektronen.Damit sinkt der Auffängerstrom IA underreicht schließlich ein Minimum. WeitereExtrema treten auf, wenn die kinetischeEnergie Ekin der Elektronen ein Vielfaches derAnregungsenergie )E1 erreicht.Die Kennlinie der FRANCK-HERTZ-Röhre

wird hauptsächlich durch die Häufigkeit derStöße zwischen Elektronen und Hg-Atomenbestimmt. Nach der kinetischen Gastheorie istdie mittlere freie Weglänge der Elektronen

wobei man für die Dichte n der Hg-Atomeden Dampfdruck p entsprechend

und für den Wirkungsquerschnitt σ nähe-rungsweise die Querschnittsfläche der Atomeπ@r2 einsetzen kann:

Die Dampfdrücke und Atomradien sindtabelliert. Es ergibt sich die in Abb.2 dar-gestellte Temperaturabhängigkeit.Oberhalb 100°C wird die mittlere freieWeglänge klein gegen den Elektrodenabstandder Röhre (g1-g2 .10 mm). Oberhalb 175°Cwird sie so klein, dass die Elektronen durchdie große Anzahl elastischer Stöße einennicht mehr vernachlässigbaren Energieverlusterleiden.Wird die Franck-Hertz-Röhre in der bisherbeschriebenen Weise bei Temperaturen um


75

Abb. 3: Vereinfachtes Termschema von Hg

175°C betrieben, dann ist die Wahrschein-lichkeit für inelastische Stöße so groß, dasspraktisch keine Elektronen mit wesentlichgrößeren Energien als 4,9 eV auftreten. Umauch höhere Anregungen beobachten zukönnen, muss der Versuch so verändertwerden, dass die Wahrscheinlichkeit für dasAuftreten von 4,9eV-Stößen nicht mehrwesentlich größer ist als die Wahrscheinlich-keit für Stöße mit höheren Energien. Mit der vorliegenden Franck-Hertz-Röhrekann das erreicht werden, indem man dieBeschleunigungsspannung U2 zwischenKathode und Gitter g1 anlegt, g1 und g2

kurzschließt und die Temperatur auf wenigerals 150°C absenkt. Damit kommt die mittlerefreier Weglänge fast in die Größenordnungder Beschleunigungsstrecke (dem Elektroden-abstand K-g1 <1 mm) und zwischen g1 und g2

ist ein großer feldfreier Raum, in dem in-elastische Stöße mit verschiedenen Anre-gungsenergien bis hin zur Ionisation bei10,44 eV stattfinden können.Das Termschema in Abb.3 zeigt die imFranck-Hertz-Versuch beobachtbaren und diewichtigsten optischen Übergänge.

Die Ionisierung äußert sich im Experimentdurch einen starken Stromanstieg und einesichtbar bläulich leuchtende Gasentladung.Durch die Widerstände in den Leitungen zug1 und g2 (Abb.1) wird der Strom auf un-schädliche Werte begrenzt.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Franck-Hertz-Betriebsgerät- Quecksilber-Franck-Hertz-Röhre- Röhrenanschlussbox- Rohrofen- Ni-CrNi- Thermoelement- Messverstärker- Sensor-Cassy- Computer mit CassyLab Software- Digitalmultimeter- Verbindungsleitungen

3.1 Die Franck-Hertz-Röhre (Abb.1) befin-det im Ofen und soll dort möglichst nichtbewegt werden. In der Ausgabe kann einedefekte Röhre gleicher Bauart als Anschau-ungsobjekt ausgeliehen werden. Der Abstandzwischen Kathode und g1 ist ca. 0,6 mm, derzwischen g1 und g2 beträgt etwa 10 mm. Zur elektrischen Abschirmung und für einegleichmäßige Umgebungstemperatur ist dieRöhre im Ofen von einem Kupferzylinderumgeben, in dem auch das Thermoelementzur Temperaturmessung steckt. Über einVerbindungskabel mit DIN-Stecker ist sie mitder Röhrenanschlussbox verbunden. Diebeiden 5kΩ-Schutzwiderstände sind in dieseBox eingebaut. Das Franck-Hertz-Betriebsgerät liefert allefür den Versuch benötigten Spannungen undsteuert die Heizung des Rohrofens mit Hilfeeines PID-Reglers. Dadurch wird die einge-stellte Temperatur in etwa 15 min erreichtund dann konstant gehalten.Das Digitalmultimeter dient zur Messung desHeizstromes der indirekt beheizten Kathodeentsprechend Abb.1.Der sehr kleine Auffängerstrom IA (einigenA) wird mit Hilfe des Messverstärkers ineine zum Strom proportionale Spannung UA


76

von 0...10 V umgesetzt. Der Masseanschlussdes Messverstärkers ist intern mit demSchutzleiter verbunden (Erdung).Der PC mit der Software CassyLab dient alsXY-Schreiber und zur Versuchsauswertung.Mit Kanal A des SensorCassy wird dieBeschleunigungsspannung U2 und mit KanalB die zum Auffängerstrom IA proportionaleSpannung UA am Verstärkerausgang gemes-sen. In der Regel ist der Messbereich 10!9Ageeignet (UA=1V entspricht IA=1nA).Die Bedienung des Betriebsgerätes und derSoftware werden vom zuständigen Assi-stenten erläutert. Eine Kurzanleitung zuCassyLab befindet sich im Anhang.


Kontrollieren Sie, ob Rohrofen und Tempera-turfühler am Franck-Hertz-Betriebsgerätangeschlossen sind und vervollständigen Siedie Schaltung gemäß Abb.1. Zum Schutz des hochempfindlichen Mess-kreises vor elektrischen Störfeldern liegt derMassepunkt auf Erdpotential (Erdung imMessverstärker), die Leitungen bis zur Röhreund die Röhrenanschlussbox sind abge-schirmt (Faradayscher Käfig), die Abschir-mung ist mit Masse verbunden. Zusätzlichmuss das Massekabel des Kupferzylinders imOfen mit Masse verbunden werden.Auf dem Aufkleber neben dem Ofen sind fürdie individuelle Franck-Hertz-Röhre geeig-nete Werte für Temperatur und Kathoden-heizstrom angegeben. Dies sind Richtwerte,sie können später verändert werden.Die Solltemperatur von etwa 175°C ist amBetriebsgerät einzustellen: 1× SET drücken,dann mit Δ L Solltemperatur anzeigen undändern. (Mit 2× SET wird die Alarmtempera-tur verstellt, die keine Bedeutung hat.)Um eine bei niedrigen Hg-Dampfdrückenmögliche Glimmentladung in der Röhre zuvermeiden, müssen bei Temperaturen unter140 °C die Spannungen U1, U2 und U3 Nullsein. Das Programm CassyLab ist so einzurichten,dass in der Standard-Darstellung alle Mess-

werte in Abhängigkeit von der Zeit und ineiner zweiten Darstellung der AuffängerstromIA in nA in Abhängigkeit von der Beschleuni-gungsspannung U2 dargestellt wird. Nach dem Erreichen der Solltemperaturwerden die geeigneten Parameter für dieAufnahme der IA-U2-Kennlinie gesucht. Dazustellt man die Beschleunigungsspannung U2

auf Maximum und vergrößert dann dieSaugspannung U1 von Null beginnend soweit, bis ein Strom von 5...10 nA fließt.Wenn der Auffängerstrom zu klein bleibt,kann die Heizspannung UH bis auf 7 V ver-größert und/oder die Temperatur um 5…10 Kverringert werden.Die Aufnahme der IA-U2-Kennlinie erfolgtteilautomatisch: Durch Drücken des U2-Reglers im Zustand U2=0 startet das Betriebs-gerät eine Rampe, wobei U2 in etwa 17 s von0 bis 30 V vergrößert wird. In CassyLabmüssen neben dem Messbereich noch Mess-zeit und -Intervall geeignet eingestellt wer-den. Dann startet man gleichzeitig mit derRampe eine automatische Messreihe. Fallsgroße Störspannungen (Netzbrummen) auf-treten, kann man diese meist durch eineMittelwertbildung über 20 ms weitgehendeliminieren. Wenn alles funktioniert, variieren Sie U1 undU3 systematisch. Ändern Sie zuerst nur U1

und belassen Sie die Bremsspannung aufU3 = 0 V. Danach lassen Sie U1 konstant undändern U3. Überlegen Sie, welcher Einflussvon der Saugspannung U1 bzw. der Brems-spannung U3 auf die IA-U2-Kennlinie zuerwarten ist. Optimieren Sie die Werte für U1

und U3, so dass möglichst viele Maxima undMinima auswertbar sind. Protokollieren SieIhre Vorgehensweise und die Resultate.

Für die Beobachtung höherer Anregungen desQuecksilbers ist eine Ofentemperatur vonetwa 145°C und ein kleinerer Heizstrom(siehe Aufkleber) einzustellen. U1, U2 und U3

werden auf Null geregelt, das Betriebsgerätmuss eingeschaltet bleiben. Die Schaltung istwie oben beschrieben zu ändern: U1 nichtangeschlossen, U2 an Gitter 1 anschließen,Gitter 1 und 2 verbinden.

Grundpraktikum IV O 4 Mikroskop

77

Die Spannung U2 ist vorsichtig bis auf 30 Vzu erhöhen, dabei ist der Auffängerstrom IA

zu beobachten. IA kann mittels UH und U3

beeinflusst werden. Je größer IA, desto „saube-rer” ist in der Regel das Messsignal (größererSignal-Rausch-Abstand). Variieren Sie U3,um möglichst deutlich ausgeprägte Maximazu erhalten. Zum Schutz der Röhre soll IA

niemals >50nA werden!Messen Sie mindestens eine IA-U2-Kennliniemit möglichst vielen ausgeprägten Anre-gungsstufen und wenig Störungen.

5 Auswertung

Die IA-U2-Kennlinien sind grafisch darzustel-len. Im 1. Teilversuch sind die Energien derMaxima und der Minima auszumessen. Ausden Differenzen aufeinander folgender Mini-ma bzw. Maxima ist die Anregungsenergie∆E1 zu bestimmen und mit dem Literaturwertzu vergleichen. Im 2. Teilversuch sind zunächst die Energienaller Maxima bzw. Schultern in der Kennlinieauszumessen. Finden Sie dann gleichbleiben-de Differenzen zwischen den sich in ähnlicherForm mehrfach wiederholen Strukturen in derKennlinie. Versuchen Sie, diese Differenzenmit den aus dem Termschema (Abb.3) be-kannten Anregungsenergien zu identifizieren.Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse!

6 Literatur

J. Franck und G. Hertz: Über die Erregungder Quecksilberresonanzlinie 253,6 nm durchElektronenstösse. Verhandlungen der Deut-schen Physikalischen Gesellschaft 11(1914)512-517


E.W. Schpolski: Atomphysik. Teil II, 7.Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissen-schaften, Berlin 1972, Seite 248

7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie das Franck-Hertz-Experi-ment und seine historische Bedeutung.

7.2 Welchen Einfluss hat eine kleine Tem-peraturänderung auf den Auffängerstrom?

7.3 Wie erklärt die kinetische GastheorieDruck, Stoßhäufigkeit und mittlere freieWeglänge?

7.4 Wie groß ist der relative Energieverlustbeim elastischen zentralen Stoß eines Elek-trons mit einem (ruhenden) Hg-Atom, wennsich ihre Massen wie 1 : 366 000 verhalten?

1 Aufgabenstellung

1.1 Einstellung des Mikroskops und derKÖHLERschen Beleuchtungseinrichtung.

1.2 Kalibrierung eines Okularmikrometersdurch Bestimmung des Abbildungsmaßstabesfür mehrere Objektive.

1.3 Justierung der Phasenkontrasteinrich-tung.

1.4 Beobachtung biologischer Präparate mitverschiedenen Verfahren und Ausmessungvon Strukturen.

2 Grundlagen

2.1 Aufbau des Mikroskops:Das optische System eines Lichtmikroskopsbesteht aus dem Objektiv und Okular. Um

Mikroskop O 4


78

V =′

≈′tan

tan.

β

β

β

β(1)

V V VOb Ok= ⋅ . (2)

das Prinzip der Bildentstehung besser erken-nen zu können, werden die Linsensysteme (eswerden zur Bildfehlerkorrektur jeweilsmehrere Linsen benötigt) zu je einer dünnenKonvexlinse zusammengefasst.Ein Gegenstand G zwischen einfacher unddoppelter Brennweite des Objektives wird alsumgekehrtes, vergrößertes und reelles Zwi-schenbild B außerhalb der doppelten Brenn-weite des Objektives abgebildet, Abb.1. DasOkular wird als Lupe eingesetzt. Das reelleZwischenbild, das sich innerhalb der ein-fachen Brennweite des Okulars befindet, wirddadurch dem akkommodierten Auge alsdivergentes Strahlenbündel angeboten.Eine rückwärtige Verlängerung der Strahlenzeigt, in welcher Größe und Entfernung dasAuge etwa das virtuelle Bild erkennt. Eineeinfache Bildkonstruktion nach der geometri-schen Optik kann jeweils mit Hilfe zweierausgezeichneter Strahlen (Parallelstrahl,Brennpunktstrahl, Mittelpunktstrahl; sieheAbb.1) eines Bildpunktes gefunden werden.

Für ein Mikroskopieren mit entspanntem(d. h. nicht akkommodiertem) Auge soll dasvirtuelle Bild in großer Entfernung (“imUnendlichen”) entstehen. Abweichend vonAbb.1 fällt dann das reelle Zwischenbild indie Brennebene des Okulars; der Sehwinkelβ' bleibt gleich.In modernen Mikroskopen mit “Unendlichop-

tik” (ICS, infinity corrected system) bildet dasObjektiv allein den Gegenstand nicht in derZwischenbildebene sondern im Unendlichenab, d. h. der Gegenstand befindet sich in derBrennebene des Objektivs. Erst durch einezusätzliche Tubuslinse (zwischen Objektivund Okular) entsteht das reelle Zwischenbildin der Brennebene des Okulars. Das ermög-licht u. A. den problemlosen Einbau vonZubehör (z. B. für Fluoreszenz- und Polarisa-tionsmikroskopie), da die Tubuslänge varia-bel ist.

Als Vergrößerung V bezeichnet man dasVerhältnis der scheinbaren Größe einesObjektes mit optischem Instrument zurscheinbaren Größe ohne Instrument in derdeutlichen Sehweite (auch Bezugssehweite,25 cm Entfernung vom Auge). Sie ergibt sichaus den Sehwinkeln β' und β mit und ohneoptisches Instrument zu:

Beim Mikroskop setzt sich die Gesamtver-größerung aus der Objektivvergrößerung VOb

und Okularvergrößerung VOk zusammen:

Will man die Größe eines Objektes im Mi-kroskop messen, dann bringt man an dieStelle des reellen Zwischenbildes einen

Abb. 1: Strahlengang des Mikroskops


79

Abb. 2: Wellenoptische Erklärung der Ab-bildung am Mikroskop

BG

VOb= (3)

d Amin .=λ

2(5)

dn A

=⋅

=λ

αλ

sin . (4)

Maßstab („Okularmessplatte” oder „Okular-mikrometer“). Dieser ist dann gemeinsam mitdem Bild scharf zu sehen und dient als Grö-ßenvergleich. Für exakte Messungen mussalso der Abbildungsmaßstab des Objektives,d.h. das Verhältnis von Bildgröße B zuGegenstandsgröße G

genau bekannt sein. Er steht in der Regel aufdem Objektiv, jedoch kann sich der tatsäch-liche Wert vom aufgedruckten aufgrund vonFertigungstoleranzen etwas unterscheiden.Der Abbildungsmaßstab wird bestimmt,indem man ein Objekt definierter Größe(„Objektmikrometer”) mit dem Okularmikro-meter vergleicht.

2.2 Auflösungsvermögen:Die Bildentstehung im Mikroskop kannvollständig nur mit Hilfe der Wellennatur desLichtes verstanden werden. Das einfallendeLicht wird an den Strukturen des Objekts Ggebeugt (Abb.2). Das Objektiv O vereinigtgebeugte und ungebeugte Wellen in derBildebene B, wo durch Interferenz das reelleZwischenbild entsteht. Zur Verdeutlichungbetrachtet man als Modellobjekt G einBeugungsgitter, bei dem nur ein charakteristi-scher Abstand (die Gitterkonstante) auftritt.Ein heller (bzw. dunkler) Punkt entsteht imreellen Zwischenbild B nur, wenn durch

Interferenz des ungebeugten Anteils mit dengebeugten Strahlen eine Verstärkung (bzw.Auslöschung) eintritt.Nach der Theorie des Auflösungsvermögensvon ABBE wird ein Bilddetail nur dannaufgelöst wird, wenn neben dem ungebeugtenLicht wenigstens das Beugungsmaximumerster Ordnung in das Objektiv fällt und zurBildentstehung beiträgt. Daraus ergibt sichder kleinste Abstand d zweier Objektpunkte,die noch getrennt abgebildet werden können:

Dabei ist λ die Wellenlänge des Lichtes undA = n@ sinα die numerische Apertur desObjektives (mit dem halben Öffnungswinkelα des Objektives und dem Brechungsindex ndes Mediums zwischen Objekt und Objektiv).Ein Objektdetail wird um so objektähnlicherabgebildet, je mehr Beugungsmaxima im Bildinterferieren. Den Kehrwert von d bezeichnetman als Auflösungsvermögen. Die numeri-sche Apertur ist neben der Vergrößerung aufdem Objektiv angegeben.Die Wellenlänge λ ist durch den sichtbarenBereich des Spektrums bestimmt (Mittelwert550 nm). Eine Steigerung des Auflösungsver-mögens kann durch Verwendung von Öl-immersionssystemen erzielt werden. Dabeiwird das Medium Luft (n . 1) zwischenObjekt und Objektiv durch ein Immersionsöl(n .1,5) ersetzt; dafür sind spezielle Objekti-ve erforderlich. Außerdem ergibt sich eineSteigerung des Auflösungsvermögens, wenndas Objekt nicht mit parallelem Licht (wie beider Herleitung von Gl. (4) vorausgesetzt),sondern aus verschiedenen Richtungenbeleuchtet wird. Wenn die Beleuchtungs-apertur (Sinus des halben Öffnungswinkelsdes Beleuchtungskegels) gleich der numeri-schen Apertur des Objektivs ist, ergibt sichein Grenzwert von

Dieser Wert gilt auch für die Mikroskopievon selbstleuchtenden Objekten (Fluores-zenzmikroskopie) und im Dunkelfeld.


80

Abb. 3: KÖHLERsches Beleuchtungsverfahren

2.3 Förderliche Vergrößerung: Ein Auge mitnormaler Sehschärfe kann zwei Punkte nochgetrennt wahrnehmen, wenn sie unter einemWinkel von zwei Bogenminuten erscheinen.In der deutlichen Sehweite von 25 cm ent-spricht das einem Abstand von 0,15 mm.Wird die Vergrößerung des Mikroskops sogewählt, dass die kleinsten trennbaren Ob-jektabstände d (durch das Auflösungsver-mögen des Mikroskops gegeben) im virtuel-len Bild unter einem Winkel von zwei Bogen-minuten erscheinen, dann bezeichnet mandiese Vergrößerung als förderliche Ver-größerung VM . Als Faustregel gilt: VM =(500…1000)@A . Vergrößerungen über diesenBetrag hinaus bezeichnet man als „leereVergrößerung“, denn man erhält keine neuenInformationen von dem Objekt.

2.4 Köhlersche Beleuchtung:Beim Beleuchtungsverfahren nach KÖHLER

wird der Lichtkegel der Beleuchtung demÖffnungskegel des Objektivs angepasst.Dadurch wird das Auflösungsvermögens desObjektives vollständig ausgenutzt und über-flüssiges Licht, das als Streulicht den Kon-trast vermindert, wird vermieden.Abb.3 zeigt den prinzipiellen Aufbau derBeleuchtungsanordnung. Sie besteht ausLichtquelle, Kollektorlinse und Leuchtfeld-blende, die sich in der Mikroskopierleuchtebefinden, sowie Aperturblende und Konden-sorlinse, die unterhalb des Mikroskoptischesangebracht sind.Der Kollektor bildet die Lichtquelle (Glüh-wendel) in die Ebene der Aperturblende ab.

Der Kondensor bildet die Leuchtfeldblende,die sich unmittelbar neben dem Kollektorbefindet, in die Objektebene ab. Die Apertur-blende liegt in der vorderen Brennebene desKondensors. Dadurch werden alle von einemPunkt der Lichtquelle ausgehenden Strahlenzu Parallelstrahlen. Je kleiner die Apertur-blende eingestellt wird, um so kleiner ist derÖffnungswinkel des Strahlenbündels (dieBeleuchtungsapertur).Durch diese Anordnung können sowohl dieGröße des ausgeleuchteten Feldes (mit derLeuchtfeldblende) als auch die Größe derBeleuchtungsapertur (mit der Aperturblende)unabhängig voneinander verändert werden.Die Aperturblende verändert außerdem dieBildhelligkeit.

2.5 Verfahren zur Kontraststeigerung:Viele biologische Präparate, vor allem Gewe-beschnitte, zeigen im einfachen Durchlicht-mikroskop wenig Kontrast, so dass man trotzausreichender Vergrößerung und Auflösungkaum etwas erkennen kann. Oft werdenPräparate deshalb mit verschiedenen Metho-den eingefärbt. Dies ist jedoch zeitaufwendig,außerdem lassen sich lebende Präparate kaumfärben und das Objekt wird durch die Fär-bung selbst verändert. Mit speziellen opti-schen Vorrichtungen am Mikroskop lässt sichder Kontrast ebenfalls steigern; es könnensogar Strukturen sichtbar gemacht werden,die im „normalen“ (Hellfeld-)Mikroskop un-sichtbar sind. Für Medizin und Biologie vonBedeutung sind die Dunkelfeldmikroskopie,die Phasenkontrastmikroskopie, die Polarisa-


81

Abb. 4: Amplitudengitter (oben) und Phasengitter (unten)

tionsmikroskopie und die Fluoreszenzmikro-skopie. Alle außer dem letzten Verfahrenkönnen im Praktikum erprobt werden.

2.5.1 Dunkelfeld: Das bisher beschriebeneMikroskopierverfahren heißt Hellfeld, da dasGesichtsfeld ohne Präparat hell ausgeleuchtetist. Sorgt man durch eine Zentralblende in derMitte der Aperturblende (Abb.3) dafür, dasskein Licht auf direktem Wege in den Strah-lengang des Mikroskops gelangen kann, sobleibt das Gesichtsfeld ohne Präparat dunkel.Das Licht trifft nur aus solchen Winkeln aufdas Präparat, die größer sind als die Objekti-vapertur. Zur Abbildung trägt dann nur dasam Objekt gebeugte Licht bei.In diesem „Dunkelfeldkontrast“ erscheinenvöllig lichtdurchlässige und völlig licht-undurchlässige Bereiche des Objektes ingleicher Weise dunkel, die Kanten vonObjektstrukturen leuchten dagegen hell auf.Besonders gut zu erkennen sind kleinstePartikel, die das Licht nach allen Seitenstreuen.

2.5.2 Phasenkontrast: Mikroskopische Präpa-rate unterscheidet man in Amplitudenobjekteund Phasenobjekte. Amplitudenobjektebesitzen unterschiedliche Lichtdurchlässig-keiten, was zu einem Hell-Dunkel-Kontrastführt. Phasenobjekte dagegen besitzen überall(etwa) gleiche Lichtdurchlässigkeit, aberverschiedene Brechzahlen. Im durchgehendenLicht treten Gang- bzw. Phasenunterschiedeauf (siehe (6) und (7)), die das Auge nichtwahrzunehmen kann. Typische Phasenobjektesind ungefärbte Gewebeschnitte.Zur wellenoptischenen Beschreibung derBildentstehung im Mikroskop betrachtet manBeugungsgitter als einfache Modellobjekte.Bei einem Amplitudengitter (siehe Abb.4)haben die Gitteröffnungen und -stege unter-

schiedliche Lichtdurchlässigkeiten, so dassdas im Zwischenbild Helligkeitsunterschiedevorliegen, die das Auge wahrnimmt. BeimPhasengitter haben die Gitterelemente gleicheLichtdurchlässigkeiten, aber verschiedeneBrechzahlen. Obwohl auch beim Phasengitterdurch Interferenz ein reelles Zwischenbildentsteht, treten dabei aber keine Helligkeits-unterschiede auf, d.h. es gibt keinen Bild-kontrast. Die mathematisch exakte wellenoptischeBeschreibung der Bildentstehung zeigt, dassbei einem Amplitudengitter das gebeugteLicht im reellen Zwischenbild gegenüber demungebeugten um 180° (λ/2) phasenverschobenist, bei einem Phasengitter dagegen um 90°(λ/4). Beim Phasenkontrastverfahren nachZERNIKE (Nobelpreis 1953) wird durch einenTrick die Phasendifferenz zwischen gebeug-tem und ungebeugtem Licht um 90° ver-größert - dadurch wird aus dem Phasenkon-trast ein Amplitudenkontrast, d.h. Phasen-objekte werden sichtbar.An die Stelle der Aperturblende (siehe Abb.3)wird eine Ringblende in den Strahlenganggebracht, hierdurch wird das Präparat miteinem Strahlenbündel in Form eines Kegel-mantels beleuchtet. Die ungebeugten Strahlendurchlaufen in der hinteren Brennebene desObjektives eine Ringfläche. An dieser Stellebefindet sich im Objektiv ein λ/4-Phasenring,der die Phase der ungebeugten Strahlengegenüber dem überwiegendem Anteil dergebeugten Strahlen um -90° verschiebt.Eine weitere Kontraststeigerung erzielt mandurch eine Schwächung des ungebeugtenLichtes durch den leicht grau getönten Pha-senring. (Nur deshalb kann man ihn sehen;siehe Abschnitt 4.3.)

2.5.3 Polarisationskontrast:Schickt man natürliches Licht durch einPolarisationsfilter (den Polarisator P), soerhält man linear polarisiertes Licht (sieheVersuch O 10).Lässt man dieses Licht auf ein zweites Polari-sationsfilter (den Analysator A) fallen, sowird es nur dann ungehindert hindurchgelassen, wenn die Durchlassrichtung des


82

( )δ = ⋅ −d n n1 2(6)

( )ϕδλ λ

= = ⋅ −2 2 1 2π πd

n n . (7)

Abb. 5: Durch P linear polarisiertes Licht Lwird an einer doppelbrechenden Platte in L1

und L2 zerlegt. Durch den gekreuzten Ana-lysator A gelangen die Anteile L1' und L2'.

Analysators parallel zu der des Polarisatorsist. Ist die Durchlassrichtung des Analysatorsdagegen um 90° gedreht („gekreuzte Stel-lung“ von P und A), so wird das Licht voll-ständig ausgelöscht.Für den qualitativen Polarisationskontrast istein Mikroskop mit einem Polarisator in derBeleuchtungseinrichtung und eine Analysatoroberhalb des Objektivs ausgerüstet. Beidebefinden sich in gekreuzter Stellung, so dassdas Gesichtsfeld ohne Präparat dunkel bleibt.Wenn aber Strukturen im Präparat die Polari-sationsrichtung des Lichtes verändern, dannwird dieses Licht im Analysator nicht mehrausgelöscht, und die Strukturen erscheinenhell oder in charakteristischen Interferenz-farben.Ein „Polarisationsmikroskop“ (Versuch O11) besitztdarüber hinaus Einrichtungen zum Messen von

Winkeln einen drehbaren Probentisch.

Die Polarisationsrichtung kann durch zweiphysikalische Effekte beeinflusst werden:(i) Optischer Aktivität ist die Eigenschaftbestimmter asymmetrisch aufgebaute Kristal-le oder organischer Stoffe mit asymmetri-schem Kohlenstoffatom (z.B. Zucker), beimDurchgang von linear polarisiertem Lichtdessen Schwingungsrichtung zu drehen.Siehe hierzu Versuch O10.(ii) Doppelbrechung ist eine Eigenschaftoptisch anisotroper Stoffe. Diese besitzen fürverschiedene Schwingungsrichtungen desLichtes unterschiedliche Brechzahlen. Da-durch werden unpolarisierte Lichtstrahlen inzwei zueinander senkrecht linear polarisierteTeilbündel aufgespalten. Ursachen für die Doppelbrechung sind asym-metrische Kristallgitter (z.B. bei Kalkspat),mechanische Spannung („Spannungsdoppel-brechung“) oder ein submikroskopisch aniso-troper Aufbau („Formdoppelbrechung“).Letzteres tritt häufig bei biologischen Mate-rialien auf, die eine geschichtete- oder Faser-struktur besitzen(z.B. Muskelfasern, Nerven-fasern, Kollagenfasern).Abb.5 zeigt die Schwingungsrichtungen desLichtes, wenn eine dünne doppelbrechendePlatte der Dicke d zwischen gekreuzte Polari-

satoren (P und A) gebracht wird. Hinter demPolarisator P hat das Licht die Schwingungs-richtung L. Beim Durchgang durch die Plattewird es in zwei Strahlen aufgespalten, diesenkrecht zueinander polarisiert sind(Schwingungsrichtungen L1 und L2). Auf-grund der für beide Strahlen unterschiedli-chen Brechzahlen n1 und n2 besteht zwischenihnen nach Austritt aus der Platte ein Gang-unterschied

bzw. eine Phasendifferenz von

Die Phasenverschiebung hängt also von derDicke der Platte und von der Wellenlänge λdes Lichtes ab.Die beiden Teilstrahlen können zunächstnicht miteinander interferieren, da sie senk-recht zueinander polarisiert sind. (BeideTeilstrahlen zusammen nennt man auchzirkular bzw. elliptisch polarisiert.)Der Analysator lässt von den beiden Strahlenjeweils die Anteile L1' und L2' hindurch. Dadiese jetzt in gleicher Richtung polarisiertsind, interferieren sie miteinander.Das Resultat hängt vom Gangunterschied δab. Für δ = λ, 2λ, 3λ, ... verstärken sich beideAnteile und für δ = 1/2 λ,

3/2 λ, 5/2 λ, ... löschen

sie sich aus. Im Spektrum des einfallenden


83

weißen Lichtes werden sich folglich be-stimmte Farben auslöschen und andereverstärken. Gemäß der Physiologie des Augesentstehen charakteristische Mischfarben. Beisehr kleinen Gangunterschieden δ n λ ent-stehen keine Interferenzfarben.Schwach doppelbrechende Strukturen wiez.B. Kollagenfasern führen also im Polarisa-tionskontrast zu einer Aufhellung und könnendadurch identifiziert werden. Stark doppel-brechende Strukturen wie manche Kristalleoder Knochen erscheinen farbig.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Mikroskop „Axiostar“ mit Phasenkontrast-

einrichtung, Okularmikrometer und Analy-sator eingebaut

- Hilfsmikroskop- Polarisationsfilter- Objektmikrometer- Objektträger- Deckgläser- Präparate: Blutausstrich, Schnitt einer

Maus oder Kaninchenzunge, Hautschnitt,Sehne, Knochenschnitt, Diatomeen

3.1 Beim Mikroskop Axiostar befindet sichdie Lampe hinter einer Streuscheibe im Mik-roskopfuß, sie muss nicht justiert werden. Am Kondensor befindet sich ein Blendenre-volver mit den Ringblenden Ph1, Ph2 undPh3 für den Phasenkontrast sowie den Stel-lungen H für Hellfeld und DF für Dunkelfeld.Die mit Ph gekennzeichneten Objektive sindfür Phasenkontrast geeignet.Im Tubus des Mikroskops ist der Analysatorfür den Polarisationskontrast fest eingebautDas Polarisator wird bei Bedarf in die Vertie-fung über der Leuchtfeldblende gelegt.

3.2 Das Objektmikrometer für die Be-stimmung des Abbildungsmaßstabes ist 1 mmgroß mit 0,01 mm Teilung, das Okularmikro-meter 10 mm mit 0,1 mm Teilung.

3.3 Diatomeen sind einzellige Kieselalgen,die in mehr als 12.000 Arten praktisch überallvorkommen. Sie weisen in ihrer Schalenkon-struktion winzige Feinststrukturen von hoher

Regelmäßigkeit auf und dienen deshalb alsTestobjekte für das Auflösungsvermögen vonMikroskopobjektiven.


Hinweis:Um Schäden an den Objekten und Objektivenzu vermeiden, führt man das Objektiv unterseitlicher Sicht dicht über das Präparat.Anschließend erfolgt die Scharfstellungdurch Vergrößerung des Abstandes.

4.1 Alle Einstellung werden zuerst mit demObjektiv 10× durchgeführt. Der Kondensorist zunächst ganz nach oben zu stellen, derRevolver muss sich in der Stellung H (Hell-feld) befinden und die Aperturblende (Hebelam Kondensorrevolver) soll etwa halb geöff-net sein.

1. Fokussieren des Okularmikrometers:Stellen Sie mit dem Beleuchtungsstärkereglerdie Helligkeit geeignet ein. Falls ein Präparatauf dem Objekttisch liegt, defokussieren Siees, so dass es nicht zu sehen ist. Stellen Siedurch Verdrehen der Augenlinse das Okular-mikrometer scharf; versuchen Sie dabeientspannt in die Ferne zu blicken. Das zweiteOkular ist etwa so einzustellen wie das erste.(Wenn keine Okularmessplatte verwendetwird entfällt dieser Schritt, statt dessen sinddie Augenlinsen etwa in Mittelstellung zubringen.)

2. Legen Sie ein kontrastreiches Präparat (ambesten den Blutausstrich) auf den Objekttisch.Blicken Sie mit einem Auge in das Okularmit der Messplatte und fokussieren Sie aufdas Objekt. Blicken Sie nun mit dem anderenAuge in das andere Okular und stellen Sie,falls erforderlich, die Bildschärfe durchVerdrehen der Augenlinse nach.

3. Schließen Sie die Leuchtfeldblende soweit, dass sie im Sehfeld (zunächst unscharf)erscheint. Stellen sie dann den Kondensor soein, dass die Leuchtfeldblende scharf in derBildebene abgebildet wird. Mit Hilfe derbeiden Stellschrauben am Kondensor wird


84

das Bild der Leuchtfeldblende zentriert.Danach öffnen Sie die Leuchtfeldblende soweit, dass sie gerade aus dem Bildfeld ver-schwindet.

4. Entfernen Sie ein Okular. Im Tubus siehtman nun das Bild der Aperturblende in derhinteren Brennebene des Objektivs. (Dasergibt sich aus Abb.3: Strahlen, die voneinem Punkt der Aperturblende ausgehen,sind im Objekt parallel und werden folglichin der hinteren Brennebene des Objektivsvereinigt.) Schließen Sie nun die Apertur-blende so weit, bis ihr Rand gerade sichtbarwird. Jetzt ist die Beleuchtungsapertur gleichder Objektivapertur. Eine weitere Verringerung der Beleuchtungs-apertur kann - objektabhängig - erforderlichsein, um einen ausreichenden Kontrast zuerzielen. Ein zu großer Durchmesser derAperturblende führt zu überschüssigem Licht,das nicht zur Abbildung beiträgt, jedoch alsStreulicht den Kontrast vermindert. Ein zukleiner Durchmesser vermindert das Auflö-sungsvermögen. In den meisten Fällen erzieltman einen Kompromiss zwischen maxima-lem Auflösungsvermögen und maximalemKontrast durch folgende Faustregel:Die Beleuchtungsapertur soll etwa 2/3 der

Objektivapertur betragen.

Die Einstellung der Beleuchtung nach demKÖHLERschen Prinzip ist damit für diesesObjektiv gewährleistet. Die Zentrierung des Kondensors und dieEinstellung von Leuchtfeld- und Apertur-blende müssen nach jedem Objektivwechselwiederholt werden. Meist reicht es auch aus,den Kondensor nur für das stärkste Objektivzu zentrieren, für alle anderen Objektivestimmt die Zentrierung dann ungefähr.Die Bildhelligkeit sollte grundsätzlich nichtmit Hilfe der Aperturblende sondern mit demRegler (über dem Schalter) oder mit Hilfevon Graufiltern eingestellt werden.

4.2 Zur Bestimmung der Abbildungsmaßstä-be der Objektive wird das Objektmikrometerauf den Objekttisch gelegt und das Mikro-skop darauf scharf gestellt. Bei richtiger

Einstellung ist keine Parallaxe (Verschiebungzwischen Okular- und Objektmikrometer beiÄnderung des Blickwinkels) mehr zu sehen.Beim Vergleich der beiden Skalen wird einemöglichst große Gegenstandsgröße G auf derObjektmikrometerskale gewählt; die da-zugehörige Bildgröße B ist auf der Okularmi-krometerskale abzulesen. Diese Messungensind für alle vier vorhandenen Objektivedurchzuführen.

4.3 Ein Phasenkontrastobjektiv wird in denStrahlengang eingeschwenkt; das Okularmi-krometer durch das Hilfsmikroskop ersetztund dieses auf das Phasenplättchen scharfeingestellt. Das Hilfsmikroskop verändert denStrahlengang im Mikroskop so, dass man indie hintere Brennebene des Objektivs sieht.Am Blendenrevolver ist die zum Objektivpassende Ringblende (Ph1 bzw. Ph2) auszu-wählen, die Aperturblende muss dabei vollgeöffnet sein. Kontrollieren Sie, ob beimEinrasten des Blendenrevolvers das Phasen-plättchen die Ringblende vollständig über-deckt. Gegebenenfalls ist die Blende nachRücksprache mit dem Betreuer zu justieren(Justierschlüssel erforderlich). Diese Kontrolle ist für alle drei Phasenkon-trastobjektive durchzuführen. Setzt mandanach wieder das Okular anstelle des Hilfs-mikroskops ein, ist das Phasenkontrastmikro-skop arbeitsfähig.

4.4 Bei der mikroskopischen Untersuchungvon Präparaten beginnt man grundsätzlich mitder schwächsten Vergrößerung. Ist ein Objektgefunden und fokussiert, werden bis zurerforderlichen Vergrößerung schrittweisestärkere Objektive eingesetzt.

Um die verschiedenen Kontrastierungs-verfahren kennenzulernen, werden folgendeUntersuchungen vorgeschlagen (der Betreuerlegt fest, welche durchzuführen sind):

Vergessen Sie dabei nicht, alle Beobach-tungen zu protokollieren!

1. Der Blutausstrich ist im Hellfeld zu be-trachten. In der stärksten Vergrößerung wer-den die Durchmesser von 10 Erythrozyten be-


85

stimmt. Dabei sollten einzelne, flach liegendeErythrozyten ausgewählt werden. Es werden die Bildgrößen in Skalenteilen(Skt.) gemessen. Später werden daraus mitHilfe des Abbildungsmaßstabes die Objekt-größen berechnet.

2. Im Diatomeen-Präparat sind an mindestenszwei Objekten die Größen der Feinstrukturenunter Verwendung des Objektivs mit derstärksten Vergrößerung zu messen bzw. zuschätzen. Suchen Sie die kleinsten nocherkennbaren Strukturen und schätzen Sie ausderen Größe das Auflösungsvermögen desObjektivs. Beobachten (und protokollieren)Sie, wie sich die Änderung der Beleuchtungs-apertur auf Kontrast und Auflösungsver-mögen auswirkt. Betrachten Sie das Präparatauch im Dunkelfeld. (siehe Hinweis unter 5.)

3. Am Phasenkontrast-Präparat (junge Mausoder Kaninchen-Geschmacksknospen, ge-kennzeichnet mit PHAKO) ist mit und ohnePhasenkontrast zu untersuchen, welcheStrukturdetails erkennbar sind. (z.B. be-stimmte Organe, Zellen, Zellkerne)

4. Der gefärbte Schnitt einer Sehne ist imHellfeld und mit Polarisationskontrast zubetrachten. Dazu wird das Polarisationsfilterauf die Leuchtfeldblende gelegt und sogedreht, dass das Gesichtsfeld ohne Präparatbei maximaler Beleuchtungsstärke dunkel ist.Die Aperturblende muss dazu etwas ge-schlossen werden. Die Doppelbrechung imSehnengewebe wird durch Kollagen hervor-gerufen.

5. Der gefärbte Knochenschnitt ist im Hell-feld, Dunkelfeld und Polarisationskontrast zuuntersuchen. Für Dunkelfeldkontrast ist maximale Be-leuchtung erforderlich, die Aperturblendemuss vollständig geöffnet sein. Falls dasGesichtsfeld (mit Präparat) ungleichmäßigund/oder farbig ausgeleuchtet erscheint, mussder Kondensor etwas verstellt werden. (Dierichtige Zentrierung des Kondensors undEinstellung der Leuchtfeldblende entspr. 4.1wird immer vorausgesetzt.)

6. Ein Haar wird mit einem Tropfen Wasserauf einen Objektträger gelegt und mit einemDeckglas abgedeckt. (Ein Deckglas derStandarddicke 0,17 mm ist erforderlich beientsprechend korrigierten Objektiven, die mit/0.17 gekennzeichnet sind.)Der Durchmesser des Haares ist an 10 ver-schiedenen Stellen zu bestimmen.

5 Auswertung

5.2 Die Abbildungsmaßstäbe der Objektivewerden nach Gl. (3) berechnet und mit denAngaben auf den Objektiven verglichen.

5.4 Aus den 10 Einzelmessungen der Ery-throzyten und des Haares sind Mittelwert undStandardabweichung und daraus m.H. desAbbildungsmaßstabes nach Gl. (3) die Grö-ßen in μm zu berechnen. Welche Bedeutunghat hier die Standardabweichung?Aus der numerischen Apertur des verwende-ten Objektivs ist nach (4) und nach (5) dastheoretische Auflösungsvermögen zu be-rechnen und mit dem am Diatomeen-Präparatabgeschätzten Wert zu vergleichen.

6 Literaturangaben

Gerlach, D.: Das.Lichtmikroskop, GeorgThieme Verlag, 1985


7 Kontrollfragen

7.1 Wodurch werden die Vergrößerung unddas Auflösungsvermögen eines Mikroskopsbestimmt?

7.2 Was versteht man unter einer förderli-chen Vergrößerung, und wie groß ist sie beieinem Objektiv mit Ölimmersion (n@sin α =1,3 ; λ=500nm)?

7.3 Wozu dienen Leuchtfeld- und Apertur-blende?

7.4 Welche Kontrastierungsverfahren gibt esund wofür setzt man sie ein?

Grundpraktikum IV O 5 Prismen-Spektrometer

86

0 .c

nc

= (1)

2ε β= ⋅ (3)

1 2 1 2, ,α α α β β β= = = = (2)

min 2 .δ α ε= ⋅ − (4)

sinsin

n αβ

= (5)

minsin2 .

sin2

n

δ ε

ε

+

= (6)

1 Aufgabenstellung

1.1. Justierung eines Prismenspektrometers,

1.2 Bestimmung der Brechzahl des Prismasfür die gelbe He-Linie

1.3 Aufnahme der Dispersionskurve desPrismenspektrometers

1.4 Bestimmung der Wellenlängen dersichtbaren Spektrallinien von Quecksilber

1.5 spektrale Charakterisierung verschiede-ner Lichtquellen (H2- und Ne-Geißlerröhre,Energiesparlampe, LED etc., es könneneigene Lichtquellen mitgebracht werden)


Die Brechzahl n eines Stoffes ist das Verhält-nis der Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuumzur Lichtgeschwindigkeit c in diesem Stoff:

Sie hängt von der Art des Stoffes und von derWellenlänge λ ab (Dispersion). Blaues Lichtwird stärker gebrochen als rotes, so dassweißes Licht bei der Brechung in seineSpektralfarben zerlegt wird.Beim Durchgang durch ein Prisma (Abb.1)wird ein Lichtstrahl zweimal gebrochen.Dabei bezeichnen g den brechenden Winkeldes Prismas, α1 und α2 den Einfalls- bzw.Ausfallswinkel, β1 und β2 die Brechungs-

winkel und δ den Ablenkwinkel.Durchläuft der Lichtstrahl das Prisma symme-trisch, so ist

und

Der Ablenkwinkel δ nimmt für diesen sym-metrischen Strahlenverlauf ein Minimum an.Aus den Gleichungen (2) bis (4) und aus demBrechungsgesetz

folgt die FRAUNHOFERsche Formel

Mit Hilfe der Messung des brechendenWinkels g des Prismas und des Winkels δ fürdas Minimum der Ablenkung können Brech-zahlen mit großer Genauigkeit bestimmtwerden.Abb.2 zeigt den prinzipiellen Strahlengang ineinem Prismenspektrometer.Der von der Lichtquelle beleuchtete Spaltmuss sich in der Brennebene der Kollimator-linse befinden, damit paralleles Licht denKollimator verlässt. Am Prisma wird dasLicht verschiedener Wellenlänge unter-schiedlich stark gebrochen. Mit dem Fernrohr

Abb. 1: Strahlengang am Prisma Abb. 2: Prinzip des Prismenspektrometers

Prismen-Spektrometer O 5


87

.A λλ

=∆

(7)

d ,d

nA bλλ λ

= = ⋅∆

(8)

können die farbigen Bilder des Spaltes (dieSpektrallinien) beobachtet und die Ablenk-winkel gemessen werden.Die graphische Darstellung des Ablenkwin-kels in Abhängigkeit von der Wellenlängeergibt die Dispersionskurve.Die Leistungsfähigkeit eines Spektralappara-tes wird durch sein Auflösungsvermögen Acharakterisiert:

Dabei ist Δλ die kleinste Wellenlängendiffe-renz, die mit dem Spektralapparat nochgetrennt wahrgenommen werden kann. Fürein vollständig ausgeleuchtetes Prisma gilt

wobei b die Basisbreite des Prismas ist.Die Größe dn/dλ nennt man Materialdisper-sion.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Prismenspektrometer mit 60°-Flintprisma,

Kantenlänge ca. 32 mmPrisma 1: ε = 59,87° ± 0,04°Prisma 2: ε = 60,16° ± 0,04°

- Halter mit He-, Ne- und H2-Geißlerröhre- Hochspannungsquelle 5 kV- Quecksilber-Lampe mit Vorschaltdrossel- Handlampe mit Trafo - diverse Lichtquellen mit Halter, Streuschei-

be und Stromversorgung- Verbindungsleitungen

3.1 Zur genauen Messung der Ablenkwinkelwird ein Goniometer verwendet. Es bestehtim wesentlichen aus einem drehbaren Objekt-tisch, einem Kollimator mit einstellbaremSpalt und Kollimatorlinse, einem Fernrohrmit Fadenkreuz sowie einem drehbarenTeilkreis zur Winkelmessung. Zur Erzeugungeines Linien-Spektrums wird das Lichtverschiedener Geißlerröhren benutzt, die mit

der Hochspannungsquelle betrieben werden,sowie eine Quecksilberdampflampe.


Machen Sie sich zuerst mit der Bedienungdes Goniometers vertraut.

4.1. Justierung des Prismenspektrometers:Nehmen Sie das Prisma vom Drehtisch undrichten Sie das Fernrohr so ein, dass es nachäußerem Augenschein etwa mit dem Kollima-tor auf einer gemeinsamen Achse durch dieMitte des Drehtisches liegt. Kollimator undFernrohr müssen fest in ihren Halterungensitzen. Schrauben und Kontermuttern dürfennur mit der Hand und nicht zu fest angezogenwerden.Das Spaltrohr muss bis zum Anschlag in denKollimator hineingeschoben sein.Der Spalt wird mit der He-Röhre beleuchtet.Durch Verschieben der Augenlinse wirdzunächst am Fernrohr das Fadenkreuz scharfeingestellt, danach wird das Fernrohr auf denSpalt fokussiert. Der Spalt ist parallel zum Fadenkreuz auszu-richten. Wenn nötig, können die Spaltlängeund die Höhe im Sehfeld mit dem Schieberam Spalt bzw. den Stellschrauben unterKollimator und Fernrohr verstellt werden. Esist eine optimale Spaltbreite einzustellen:möglichst klein, aber Spalt und Fadenkreuznoch gut sichtbar.Danach wird das Fadenkreuz auf die Mittedes Spaltes justiert, die Winkelskale wirdexakt auf Null gestellt und fixiert.Nun wird das Prisma wieder aufgesetzt unddas He-Spektrum aufgesucht.

4.2 Beim Drehen des Objekttisches mit demPrisma wandert das Spektrum und kehrt beimErreichen einer bestimmten Stelle um, ob-wohl in die gleiche Richtung weiter gedrehtwurde (Minimum der Ablenkung). DieserUmkehrpunkt wird für die gelbe Linie einge-stellt, das Fadenkreuz des Fernrohres auf dieLinie gebracht und der dazugehörige Winkelδ abgelesen.


88

Für die folgenden Versuchsteile darf dieJustierung des Spektrometers nicht mehrverändert werden! (Sie ist notfalls zu wie-derholen, wobei darauf geachtet werdenmuss, dass die gelbe He-Linie wieder unterexakt dem selben Winkel erscheint.)

4.3 Für die Einstellung aus 4.2 (symmetri-scher Strahlengang für die gelbe He-Linie) istdie Dispersionskurve aufzunehmen. Dazuwird das Fadenkreuz nacheinander mit allensichtbaren Linien des Helium-Spektrums zurDeckung gebracht und die dazugehörigenWinkeleinstellungen werden abgelesen. Beider Protokollierung sind die Farben derSpektrallinien mit anzugeben.

4.4 Zur Bestimmung der Wellenlängen dersichtbaren Spektrallinien von Hg wird dieQuecksilber-Lampe vor den Spalt gestellt.Die Messung der Ablenkwinkel erfolgt in dergleichen Weise wie bei 4.3. Beachten Sie,dass in der Farbe gelb-orange zwei sehr dichtbenachbarte Linien vorliegen!

Blicken Sie niemals direkt in die Hg-Lam-pe, der starke UV-Anteil des Lichtes kanndie Augen schädigen!

4.5 Nach Absprache mit dem Betreuer sindmindestens drei weitere Lichtquellen zuuntersuchen. Dabei sollen die hellsten Spek-trallinien bzw. die Grenzen der spektralenBereiche ausgemessen werden, in denen Lichtemittiert wird. Im Protokoll sind auch dervisuelle Farbeindruck und alle verfügbarenHerstellerangaben zu den Lichtquellen zunotieren.Die Ne-Geißlerröhre eignet sich gut zurAbschätzung des praktischen Auflösungsver-mögens. Suchen Sie ein Linienpaar, bei demSie gerade noch erkennen können, dass essich um zwei Linien handelt, und messenbzw. schätzen Sie die Winkeldifferenz.Es können auch eigene Lichtquellen (z.B.LED-Taschenlampen, Fluoreszenzlampen,Laserpointer) untersucht werden. Bei starkenund kleinflächigen Lichtquellen (Laser undmanche LED's) muss zwischen Lichtquelleund Spalt die Streuscheibe eingebaut werden.

5 Auswertung

5.2 Die Brechzahl für die gelbe He-Linie istnach Gl. (6) zu berechnen.

5.3 Die Dispersionskurve, d. h. der Ablenk-winkel in Abhängigkeit von der Wellenlänge,ist mit Hilfe von Tabelle 1 graphisch dar-zustellen. Das mittlere Auflösungsvermögen des Pris-menspektrometers und die kleinste auflösbareWellenlängendifferenz Δλ sind nach Gl. (8)

abzuschätzen, wobei dd

rot violett

rot violett

n nnλ λ λ

−≈

−

gesetzt wird. Die Brechzahlen für eine roteund eine violette Spektrallinie können nach(6) ermittelt werden; die geringe Abweichungvom symmetrischen Strahlengang ist fürdiesen Zweck vernachlässigbar.

5.4 Aus den Ablenkwinkeln für die Spek-trallinien von Quecksilber sind die dazuge-hörigen Wellenlängen anhand der Disper-sionskurve aus 5.3 zu ermitteln (Werte inDispersionskurve einzeichnen!). Die Abwei-chungen von den Literaturwerten sind unterBerücksichtigung des in 5.3 abgeschätztenAuflösungsvermögens und der Unsicherheitder Winkelmessung zu diskutieren

5.5 Die Spektralbereiche, in denen dieuntersuchten Quellen Licht emittieren, sindmit dem visuellen Eindruck und den Herstel-lerangaben zu vergleichen. Das aus derkleinsten sichtbaren Winkeldifferenz zweiereng benachbarter Spektrallinien ermitteltepraktische Auflösungsvermögen ist mit demtheoretischen Wert aus 5.3 zu vergleichen.

6 Literatur


Grundpraktikum IV O 6 Gitterspektrometer

89

Abb.1: Zur Berechnung des Gangunterschie-des gebeugter Lichtstrahlen an einem Gitter

δ ϕ= ⋅b sin . (1)

7 Kontrollfragen

7.1 Wie ist ein Prismenspektrometer aufge-baut?

7.2 Wie erklärt sich dessen Auflösungsver-mögen?

7.3 Was ist und wie entsteht Licht?

Tabelle 1: Wellenlängen der Helium-Spek-trallinien

Farbe λ / nmrelative Intensität

rot 706,5 20

rot 667,8 60

gelb 587,6 100

grün 504,8 30

grün 501,6 60

blaugrün 492,2 35

blau 471,3 30

violett 447,1 60

violett 438,8 20

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Gitterspektrometer ist zu justieren.

1.2 Die Wellenlängen der Spektrallinien vonHelium sind zu bestimmen.


Die Beugung ist einer der Effekte, die dieWellennatur des Lichtes belegen. Sie kannmit Hilfe des HUYGENS-FRESNELschenPrinzips beschrieben werden, wonach jederPunkt einer Wellenfront als Ausgangspunkteiner Elementarwelle (Kugelwelle) aufgefasstwird. Die sichtbare Wellenerscheinungentsteht dann durch Überlagerung (Interfe-renz) dieser Elementarwellen. Trifft eineebene Lichtwelle auf ein Hindernis, so kannsich danach die ebene Wellenfront nicht mehrvollständig formieren, weil diejenigen Ele-mentarwellen fehlen, die auf die lichtun-durchlässigen Bereiche getroffen sind; esentstehen Beugungserscheinungen. Abb.1 zeigt dies für ein optisches Gitter

(Transmissionsgitter). In ihr bedeuten: a =Spaltbreite, b = Abstand der Spalte (Gitter-konstante), φ = Beugungswinkel.Es wird vereinfachend angenommen, dassjeder Spalt Ausgangspunkt nur einer Elemen-tarwelle ist.Der Gangunterschied zwischen den Elemen-tarwellen zweier benachbarter Spalte ist

In der Überlagerung der Elementarwellentreten bei Beobachtung aus großer Entfernung

Gitterspektrometer O 6


90

Abb. 2: Prinzip des Gitterspektrometers

δ λ= ⋅ =k k( ; ; ; ...) .0 1 2 (2)

δλ

= + ⋅( )2 1 2k (3)

sin .ϕλ

k

kb

=⋅

(4)

λϕ

=⋅b

kksin

. (5)

A =λλ∆

. (6)

A N k= ⋅ . (7)(FRAUNHOFERsche Beobachtungsweise) In-tensitätsmaxima (Beugungsmaxima; kon-struktive Interferenz) in den Richtungen φk

auf, für die der Gangunterschied ein ganz-zahliges Vielfaches der Wellenlänge ist:

Intensitätsminima entstehen in den Richtun-gen, in denen der Gangunterschied

beträgt. Hierbei ist k eine Laufzahl, dieBeugungsordnung. Das ungebeugt durch dasGitter gehende Licht bezeichnet man auch alsnullte Beugungsordnung (k = 0).Aus (1) und (2) folgt für die Beugungsmaxi-ma:

Diese Maxima sind umso intensiver undschärfer, je mehr Elementarwellen an dieserStelle konstruktiv interferieren, d.h., je größerdie Zahl der Gitterspalte ist.Aus Gleichung (4) geht hervor, dass die Lageder Beugungsmaxima von der Wellenlängeabhängt (Dispersion). Rotes Licht wirdstärker gebeugt als blaues, so dass weißesLicht in seine Spektralfarben zerlegt werdenkann.Mit Hilfe der Beugungswinkel φk könnenWellenlängen des Lichtes bestimmt werden:

Die Leistungsfähigkeit eines Spektralappara-tes wird durch sein Auflösungsvermögencharakterisiert:

Dabei ist Δλ die kleinste Wellenlängendiffe-renz, die mit dem Spektralapparat nochgetrennt wahrgenommen werden kann. Ist Ndie Anzahl der Gitterspalte (d.h. nach obigerBetrachtung der Elementarwellen), die zurInterferenz beitragen, so ist

Das theoretische Auflösungsvermögen einesGitters ist folglich proportional zur Beu-gungsordnung und zur Anzahl N der ausge-leuchteten Gitterspalte.

Abb.2 zeigt den prinzipiellen Aufbau einesGitterspektrometers. Der von der Lichtquellebeleuchtete Spalt muss sich in der Brenn-ebene der Kollimatorlinse befinden, damitparalleles Licht das Spaltrohr verlässt und aufdas Gitter trift. Die parallelen (d.h. scheinbaraus dem Unendlichen kommenden) gebeug-ten Lichtstrahlen werden mit einem Fernrohrbeobachtet oder auch mit einer Sammellinse(Projektiv) auf einem Schirm, einer Fotoplat-te oder einer CCD-Zeile abgebildet.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Einkreis-Reflex-Goniometer mit Trafo- Gitter im Diarahmen, ca. 140 Str./mm (die

exakte Gitterkonst. steht auf dem Gitter)- Helium-Lampe mit Vorschaltgerät- Hilfsspiegel

3.1 Zur Messung der Beugungswinke φ wirdein Einkreis-Reflex-Goniometer ERG 3verwendet. Es besteht im wesentlichen auseinem Kollimator mit einstellbarem Spalt undKollimatorlinse, einem drehbaren Tisch mitdem Gitter und einem schwenkbaren Fernrohrmit einer Winkelmesseinrichtung, die esgestattet, Winkel mit einer Genauigkeit von0,5 ' (Bogenminuten) zu messen.Als Lichtquelle dient eine Helium-Lampe, dieüber ein Vorschaltgerät betrieben wird.4 Versuchsdurchführung


91

ϕϕ ϕ

k =′ − ′rechts links .2

(8)

Machen Sie sich zuerst mit der Bedienungdes Goniometers vertraut. Notieren Sie dieGitterkonstante, die auf dem Gitter steht.

4.1 Justierung des Gitterspektrometers:Ziel der Justierung ist es, das Gitter senkrechtzum Strahlengang auszurichten und mitparallelem Licht zu beleuchten, sowie denSpalt und das Fadenkreuz im Fernrohr scharfzu sehen.

Fernrohr: Revolvereinstellung , Schiebernach rechts. Durch Verschieben des Okularswird das Fadenkreuz scharfgestellt. Danachwird das Fernrohr mittels Autokollimationauf unendlich fokussiert. Hierzu wird dasFernrohr senkrecht auf den Spiegel in derGitterhalterung gerichtet und das Fadenkreuzmit Hilfe des GAUSSschen Okulars beleuch-tet. Das Licht trifft auf den Spiegel und wirdvon diesem reflektiert, so dass im Fernrohrdas hell beleuchtete Fadenkreuz und seinschwarzes Spiegelbild beobachtet werdenkönnen. Das Spiegelbild ist genau dannscharf, wenn das Fernrohr auf unendlicheingestellt ist.

Kollimator: Zur Justierung des Kollimatorswerden Fernrohrachse und Kollimatorachsezur Übereinstimmung gebracht, indem derSpalt beleuchtet und scharf sowie symme-trisch zum Fadenkreuz abgebildet wird(Spiegel entfernen!). Die Scharfstellungerfolgt jetzt durch Verschieben des Spalt-rohres (nicht am Fernrohr!). Es ist eineoptimale Spaltbreite einzustellen: möglichstklein, aber Spalt und Fadenkreuz noch gutsichtbar.Das Fernrohr wird arretiert.

Gitter: Um das Gitter senkrecht zur gemein-samen Achse von Fernrohr und Kollimatorauszurichten, wird durch Drehung des Gitter-tisches das Spiegelbild des beleuchtetenFadenkreuzes mir dem Fadenkreuz selbst zurDeckung gebracht. Da das Gitter zu wenigLicht reflektiert, ist der Spiegel an seinerStelle zu verwenden. Falls erforderlich, mussdie Neigung des Tisches mit Hilfe der dreiStellschrauben justiert werden.

Der Tisch wird arretiert, die Beleuchtung desGAUSSschen Okulars ausgeschaltet und dasFernrohr entarretiert.

4.2 Zur Messung der Beugungswinkel φk

wird das Fadenkreuz des Fernrohrs nach-einander mit den He-Spektrallinien zurDeckung gebracht und die dazugehörigenWinkelstellungen φ' werden abgelesen.Es werden alle sichtbaren Spektrallinien(mindestens 6) jeweils in der ersten, zweitenund dritten Beugungsordnung vermessen, undzwar sowohl links als auch rechts bezogenauf die nullte Beugungsordnung. Die Beu-gungswinkel ergeben sich dann aus:

5 Auswertung

Die Beugungswinkel φk werden nach Glei-chung (8) und daraus die Wellenlängen mitHilfe von Gleichung (5) berechnet.Die Wellenlänge der Spektrallinien als Funk-tion der Beugungswinkel ist für alle dreiBeugungsordnungen gemeinsam in einemDiagramm grafisch darzustellen.Die Ergebnisse sind mit den Literaturwertenzu vergleichen. Wurden alle Messungen exaktdurchgeführt, dann sollten die Abweichungennicht viel größer als die abgeschätzte Messun-sicherheit sein.

6 Literatur

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, SpringerBerlin, 2010

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-kum. Springer, 2014

Bergmann, L., Schaefer, C., Lehrbuch derExperimentalphysik, Bd. 3, de Gruyter, 2004

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Interferenzerscheinungen treten

Grundpraktikum IV O 11 Polarisationsmikroskop

92

am Gitter auf?

7.2 Wie funktioniert ein Gitterspektrometer?

7.3 Wie erklärt sich dessen Auflösungsver-

mögen?

7.4 Was ist und wie entsteht Licht?

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Okularmikrometer ist für die Mes-sung von Aperturwinkeln im indirektenStrahlengang zu kalibrieren.

1.2 Es ist zu untersuchen, ob die vorliegen-den Kristalle optisch einachsig oder optischzweiachsig sind und ob sie optisch aktiv sind.

1.3 Für die optisch zweiachsigen Kristallesind die Achsenwinkel zu bestimmen.


2.1 Zu den Themen Aufbau eines Mikrosko-pes, wellenoptische Erklärung der Abbildungund KÖHLERsche Beleuchtung: siehe Grund-lagen zum Versuch O 4.Ein Polarisationsmikroskop dient zur Unter-suchung optisch aktiver oder doppelbrechen-der Präparate (z.B. mineralogische Untersu-chungen). Zusätzlich zum normalen Mikro-skop ist es ausgerüstet mit einem Polarisator(Polarisationsfilter unterhalb des Kondensors)zur Beleuchtung des Präparates mit linearpolarisiertem Licht, einem Analysator ge-nannten zweiten Polarisator im Tubus, derdrehbar und mit einer genauen Winkelskaleversehen ist, sowie mit einem drehbarenObjekttisch.

2.2 Doppelbrechung: Viele Stoffe sind anisotrop, d.h. sie besitzenin unterschiedlichen Richtungen verschiedenephysikalische Eigenschaften.Optisch anisotrope Stoffe besitzen für ver-schiedene Schwingungsrichtungen des Lich-

tes unterschiedliche Brechzahlen. Sie habendie Eigenschaft, die durchgehenden Licht-strahlen durch Brechung in zwei zueinandersenkrecht linear polarisierte Teilbündelaufzuspalten, die sich mit verschiedenenLichtgeschwindigkeiten fortpflanzen. Manspricht dann von Doppelbrechung.Die Ursachen dafür sind asymmetrischeKristallgitter (z.B. bei Kalkspat), mecha-nische Spannung („Spannungsdoppelbre-chung“) oder ein submikroskopisch aniso-troper Aufbau („Formdoppelbrechung“,häufig bei biologischen Materialien mitSchicht- oder Faserstruktur).Als optische Achsen bezeichnet man dieRichtungen in optisch anisotropen Kristallen,in denen keine Doppelbrechung beobachtetwird. Man unterscheidet optisch einachsigeund optisch zweiachsige Kristalle.Die Doppelbrechung in einem optisch ein-achsigen Kristall kann leicht mit Hilfe desHUYGENSschen Prinzips verstanden werden(siehe Abb.1). Die Ausbreitungsrichtung istdabei die Normale zur Einhüllenden derWellenfronten. Das einfallende Licht kannvektoriell zerlegt werden in einen Anteil mitder Schwingungsrichtung (Richtung deselektrischen Feldstärkevektors) senkrecht zuder durch optische Achse und Einfallsrich-tung gebildeten Ebene (in Abb.1 senkrechtzur Papierebene) und einen Anteil, der indieser Ebene schwingt. Jede Ebene durch dieoptische Achse heißt Hauptschnitt; die Auf-teilung erfolgt also in die Schwingungs-richtungen senkrecht und parallel zum Haupt-schnitt .Bei dem ersten Anteil (ordentlicher Strahl,

Polarisationsmikroskop O 11


93

sinsin

αβo

o

cc

n= = =ABOC

0 (1)

Abb. 1: Doppelbrechung. a: ordentlicherStrahl, b: außerordentlicher Strahl

sinsin .

αβ ′

= = =ao

ao

cu n

ABOE

0 (2)

Abb.1a) hängt der Brechungsindex no nichtvon der Richtung ab; die Phasenfronten derElementarwellen sind daher Kugeln . Es giltdas Brechungsgesetz

(c0: Vakuum-Lichtgeschwindigkeit, c: Licht-geschwindigkeit des ordentlichen Strahls)Der zweite Anteil (außerordentlicher Strahl,Abb.1b) kann aufgespalten werden in eineparallel und eine senkrecht zur optischenAchse schwingende Komponente. Die beidenKomponenten haben unterschiedliche Pha-sengeschwindigkeiten. Die Wellenfronten derElementarwellen sind deshalb Ellipsoide; der

Brechungsindex nao hängt von der Strahl-richtung ab.

Aus Abb.1b geht außerdem hervor, dass fürden außerordentlichen Strahl die Ausbrei-tungsrichtung des Lichtes (Normale zurWellenfront OE) nicht mit der StrahlrichtungOD zusammenfällt. Man muss deshalbzwischen der Strahlgeschwindigkeit v und derNormalengeschwindigkeit u unterscheiden.Die Lichtgeschwindigkeiten c0 : v : u verhal-ten sich wie die Strecken A&B& : O&D& : O&E&. Brechungswinkel und Brechzahl müssen aufdie Normalengeschwindigkeit bezogenwerden. Aus Abb.1b ergibt sich

Es ist zu beachten, dass der beobachteteBrechungswinkel des Strahls βao vom Norma-lenwinkel β'ao in (2) abweicht. Die Brechzahl nao für den außerordentlichenStrahl schwankt zwischen dem Wert no inRichtung der optischen Achse und einemWert ne senkrecht zur optischen Achse. Istne < no , so spricht man von negativ optischeinachsigen Kristallen (wie in Abb.1), beine > no von positiv einachsigen Kristallen(die Ellipse in Abb.1 wird vom Kreis einge-schlossen). no und ne heißen auch Haupt-brechzahlen.Bei optisch zweiachsige Kristallen wird einauftreffender Lichtstrahl in zwei verschiede-ne außerordentliche Strahlen aufgespalten,die ebenfalls senkrecht zueinander linearpolarisiert sind (es gibt es keinen ordentlichenStrahl). Es existieren zwei Richtungen (opti-sche Achsen), in denen keine Aufspaltungerfolgt. Diese beiden optischen Achsenschließen miteinander den spitzen Winkel 2V(Achsenwinkel) ein.Die Brechzahlen sind ähnlich wie bei optischeinachsigen Kristallen richtungsabhängig. Esgibt drei Hauptbrechzahlen: nα , nβ und nγ(siehe Tabelle 1).

2.3 Doppelbrechende Platte zwischengekreuztem Polarisator und Analysator:Beim senkrechten Durchgang durch einedoppelbrechende Platte der Dicke d wird dasLicht in zwei senkrecht zueinander polarisier-


94

( )δ = ⋅ −d n n1 2(3)

( )Φ = = ⋅ −2 2 1 2π πδλ λ

dn n . (4)

Abb.2: Schwingungsrichtungen des Lichtesdurch eine doppelbrechenden Platte zwischengekreuzten Polarisatoren

te Strahlen aufgespalten. Zwischen ihnenbesteht nach Austritt aus der Platte ein Gang-unterschied

bzw. eine Phasendifferenz von

Die Phasenverschiebung hängt also von der -durchstrahlten Dicke d und von der Wellen-länge λ des Lichtes ab.Die beiden Teilstrahlen können zunächstnicht miteinander interferieren, da sie senk-recht zueinander polarisiert sind.Bringt man die doppelbrechende Plattejedoch zwischen gekreuzte Polarisatoren, sointerferieren die beiden Teilstrahlen hinterdem Analysator, was sich in von der Phasen-differenz Φ abhängigen Farberscheinungenäußert. Dies ist mit Hilfe der Abb.2 folgen-dermaßen zu erklären:Das durch den Polarisator mit der Durchlass-richtung P linear polarisierte Licht L spaltetsich entsprechend der Winkellage n derdoppelbrechenden Platte in die beiden senk-recht zueinander polarisierten Teilstrahlen L1

und L2 auf. Entsprechend (3) erfahren dieseWellenanteile zueinander einen Gangunter-schied. Von den Teilstrahlen L1 und L2 fälltnun jeweils der Anteil L1' bzw. L2' durch denAnalysator der Durchlassrichtung A. Diese

beiden Teile besitzen nun wieder gleicheSchwingungsrichtung und kommen zurInterferenz. Das Resultat hängt vom Gangunterschied ab.Für δ = λ, 2λ, 3λ, ... verstärken sich beideAnteile und für δ = 1/2 λ,

3/2 λ, 5/2 λ, ... löschen

sie sich aus. Im Spektrum des einfallendenweißen Lichtes werden sich folglich be-stimmte Farben auslöschen und andereverstärken. Gemäß der Physiologie des Augesentstehen Mischfarben, die bei niedrigerOrdnung (δ . λ) sehr intensiv, bei höhererOrdnung dagegen verwaschen erscheinen.Eine maximale Farbhelligkeit erzielt man inder so genannten Diagonalstellung der dop-pelbrechenden Platte für φ = 45° (bzw. φ =135, 225, 315°). Es kommt zu keiner Auf-hellung bei Normalstellung für φ = 0° (bzw.n = 90, 180, 270°). Durch Drehen des Präpa-rates im Strahlengang kann folglich die Lageder doppelbrechenden Achsen und aus derInterferenzfarbe in Diagonalstellung derGangunterschied bestimmt werden.

Beleuchtet man eine ausreichend dickedoppelbrechende Platte, die senkrecht zuroptischen Achse geschnitten ist, mit kon-vergentem Licht (weit geöffnete Apertur-blende, siehe O4 Abb.3), so erfährt das diePlatte senkrecht durchsetzende Licht keineDoppelbrechung; bei schrägen Strahlenbün-deln tritt jedoch Doppelbrechung auf. DerGangunterschied wird um so größer, je größerder Winkel der Strahlen zur optischen Achseist. Dies führt zu charakteristischen ringför-migen Interferenzerscheinungen in der hinte-ren Brennebene des Objektivs, die man durchEntfernen eines Okulars (oder noch besserdurch ein Hilfsmikroskop oder eine BER-TRAND-+Linse vergrößert) beobachten kann.Diese Beobachtungsart heißt auch indirekteoder konoskopische Beobachtung.Für optisch einachsige Kristalle erhält manein Bild entsprechend Abb.3. Das Bild ändertsich nicht, wenn der Kristall auf dem Objekt-tisch gedreht wird. Die Bildmitte ist dunkel(kein Gangunterschied). Ist der Kristallzusätzlich optisch aktiv, so ist die Bildmitte


95

sinsin

.VE

n=β

(5)

Abb. 3: Interferenzbild optisch einachsigerKristalle

Abb. 4: Interferenzbilder optisch zweiachsi-ger Kristalle

Abb. 5: Achsenwinkel im Kristall und in Luft

sin .E k s= ⋅ (6)

aufgehellt.Bei optisch zweiachsigen Kristallen, diesenkrecht zur Winkelhalbierenden des Achs-winkels (2V) geschnitten sind, erhält man beiDurchstrahlung mit konvergentem Lichtzwischen gekreuzten Polarisatoren Bilderentsprechend Abb.4, je nach Drehung desKristalls auf dem Objekttisch. Die Hyperbel-scheitel in Abb. 4 entsprechen den Durch-stoßpunkten der optischen Achsen, so dassaus dem Abstand 2s dieser Scheitel derWinkel zwischen den Achsen ermitteltwerden kann. Dabei ist der Achswinkel 2V imKristall vom scheinbaren, an Luft gemesse-nen Winkel 2E zu unterscheiden (sieheAbb.5). Es ist

Die Zentraldistanz (Abstand vom Bildmittel-punkt) eines Punktes im Interferenzbild s istproportional zum Sinus des Winkels, den diezugehörige Richtung in Luft mit der Mikro-skopachse einschließt; es gilt

Mit Hilfe eines Messokulars kann s gemessenwerden. Durch Ermittlung der Proportionali-tätskonstante k für eine Objektiv-Okular-Kombination ist es somit möglich, sin Edamit den Achswinkel 2V zu bestimmen.k kann mit Hilfe eines Vergleichspräparatesmit bekanntem Achswinkel oder genauer mitHilfe eines Apertometers bestimmt werden.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Mikroskop "JENALAB-pol" mit Polarisa-

tionseinrichtung und Messokular- Apertometer nach ABBE

- Mikroskopierleuchte mit Stativ- verschiedene Kristallpräparate

3.1 Beim Mikroskop JENALAB-pol wird einegleichmäßige Feldausleuchtung und eineangemessene Ausleuchtung der Objektivaper-tur durch eine vereinfachte KÖHLERscheBeleuchtung gewährleistet. Lampe, Kollektorund Kondensor sind fest eingestellt, so dasseine Justierung der Beleuchtungseinrichtungnicht erforderlich ist. Beim Arbeiten mit demObjektiv 2,5× muss für die richtige Aus-leuchtung die Großfeldlinse (unter demKondensor) eingeschwenkt sein. Der Polarisator befindet sich in einem Schie-ber unterhalb des Kondensors und kann durcheinen Hebel gedreht werden. Beim Mikrosko-pieren sollte der Hebel in der zum Körperzeigenden Raststellung eingerastet sein. DieWinkelstellung des Analysators ist an einemNonius mit einer Genauigkeit von 0,1°ablesbar.

3.2 Ein Apertometer dient zur Messung derObjektivapertur. Es beleuchtet die Objekt-ebene aus definierten, einstellbaren Winkeln


96

zur optischen Achse. An der Winkelskale istdie Beleuchtungsapertur aufgetragen. Imindirekten Strahlengang (bei eingeschalteterBARTRAND-Linse) kann die Lage der Licht-quelle in der Objektivaustrittspupille be-obachtet und somit die Objektivaperturgemessen werden.


4.0 Vorbereitung des Mikroskops:Vor der Betrachtung eines Präparates ist dasOkularmikrometer scharf zu stellen. SchaltenSie dazu die Beleuchtungseinrichtung imMikroskopfuß ein und leuchten Sie dasGesichtsfeld (mit einem beliebigen Objektivund ohne Präparat) gleichmäßig aus. BlickenSie durch das mit der Messplatte ausgerüsteteOkular und stellen Sie durch Verdrehen derAugenlinse das Okularmikrometer scharf.Versuchen Sie dabei, entspannt in die Fernezu blicken.Für die Messungen mit dem Apertometermuss der Präparatetisch vorübergehend tiefergelegt werden, da das Apertometer sonstnicht unter das Objektiv passt.Stellen Sie zunächst den Tisch mit demMikroskoptrieb ganz nach unten und schwen-ken Sie das Objektiv 50× in den Strahlen-gang. Lockern Sie vorsichtig die Rändel-schraube an der Schwalbenschwanzführungdes Präparatetisches (dabei hält man mit deranderen Hand den Tisch fest), schieben Sieden Tisch soweit nach unten, dass das Aper-tometer zwischen Tisch und Objektiv passtund schrauben Sie den Tisch wieder fest.Im Anschluss an die Messungen zu 4.1 mussder Tisch wieder in die normale Positiongebracht werden. Dazu schraubt man denMikroskoptrieb ganz nach oben. Dann lockertman den Tisch vorsichtig an der Rändel-schraube, schiebt ihn bis etwa 0.5 mm unterdas stärkste Objektiv nach oben und befestigtihn wieder.

4.1 Das Apertometer wird auf den Präpara-tetisch gelegt und das Objektiv 2,5× auf dieMitte des metallisierten Bereichs fokus-

siert. Die Rundung des Glaskörpers zeigtdabei nach links. Die externe Mikroskopier-leuchte wird horizontal ausgerichtet, so dasssie die weiße Lichteintrittsöffnung der Aper-tometers beleuchtet. Die Lichteintrittsöffnungsollte sich zunächst in der Apertur 0 befinden.Nun wird das zu vermessende Objektiv 50×eingeschwenkt und die BERTRAND-Linse inden Strahlengang gebracht (Knopf rechts amTubus ziehen). Im Okular sollte jetzt daskleine Messkreuz des Apertometers zu sehensein.Die Position des Kreuzes auf dem Okularmi-krometer ist in Abhängigkeit von der einge-stellten Apertur zu messen. Variieren Siedazu die Apertur von 0 bis 0,8 in Schrittenvon 0,2 nach beiden Seiten.

4.2 Das zu untersuchende Präparat wird aufden Objekttisch gelegt und das Mikroskop Szunächst mit einem schwächer vergrößern-dem Objektiv, dann mit dem Objektiv50×/0,80 S scharf auf die Kristalloberflächeeingestellt.Der Polarisator ist in den Strahlengang zuschieben und der Analysator senkrecht zudiesem einzustellen (Auslöschung ohnePräparat). Die BERTRAND-Linse wird in denStrahlengang gebracht, so dass die Interfe-renzerscheinungen in der hinteren Brenn-ebene des Objektivs und die Aperturblendesind scharf zu sehen sind. Die Aperturblendeist so weit zu öffnen, dass sie das Bild nichtmehr begrenzt. Die Großfeldlinse ist ausge-schwenkt.Auf diese Weise werden alle vorliegendenKristallpräparate untersucht. Es ist fest-zustellen, ob es sich um ein- oder zwei-achsige Kristalle handelt. Im ersten Fall ist zuuntersuchen, ob die Kristalle auch optischaktiv sind, im letzteren Fall ist der Schei-telabstand 2s zu messen. Um den Scheitelabstand zu messen, wirddurch Drehen des Objekttisches das Interfe-renzbild entsprechend Abb.4b eingestellt. DerAbstand 2s (in Skt.) zwischen den Hyperbel-scheiteln ist auf der Skale des Okularmikro-meters abzulesen.


97

5 Auswertung

5.1 Die eingestellte Apertur ist in Abhängig-keit von der Position des Apertometerkreuzes(in Skt.) grafisch darzustellen, wobei dieApertur nach einer Seite positiv, nach deranderen Seite negativ gezählt wird. ErmittelnSie den Kalibrierfaktor k nach (6) als Anstiegder Messkurve!

5.2 In einer Tabelle wird zusammengestellt,ob die untersuchten Kristalle optisch ein-achsig oder zweiachsig sowie optisch aktivsind. Für die optisch zweiachsigen Kristallewerden die Achsenwinkel 2V nach Gl. (5)und (6) aus dem Scheitelabstand 2s berech-net.Die Werte der Brechzahlen nβ sind der Tabel-le 1 zu entnehmen.

Zusätzliche Experimentiermöglichkeiten:

Beobachtung schwach doppelbrechender Prä-parate (verschiedene Gesteins-Dünnschliffe,Zahn-Dünnschliff) im direkten Strahlengang.Der Gangunterschiedes δ zwischen ordentli-chem und außerordentlichem Strahl kann ausder Interferenzfarbe im direkten Mikroskop-bild mit Hilfe einer Farbtabelle ermitteltwerden. Um die sehr kleinen Gangunter-schiede messen zu können, wird eine zusätz-liche doppelbrechende Platte (λ-Kompensa-tor, δ = 562 nm) in den Strahlengang ge-bracht. Der Versuch (O11 für Mediziner) istausführlich im Heft “Physikpraktikum fürMedizin- und Zahnmedizinstudenten” (bis 9.Auflage 2002) beschrieben.

Tabelle 1: Haupbrechzahlen optisch zwei-achsiger Kristalle

Name nα nβ nγ

Aragonit 1,53 1,68 1,69

Baryt 1,64 1,64 1,65

Beryll 1,59 1,58

Biotit 1,56 1,59 1,59

Cerussit 1,80 2,08 2,08

Muskovit 1,54 1,59 1,60

Sanidin 1,52 1,525 1,526

Topas 1,63 1,63 1,64

Turmalin 1,64 1,62

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.3 Optik. de Gruyter, Berlinu.a., 2004

H. Beyer: Handbuch der Mikroskopie, VerlagTechnik, Berlin (1973)

7 Kontrollfragen

7.1 Wie ist ein Polarisationsmikroskopaufgebaut und welche Untersuchungen sinddamit möglich?

7.2 Was versteht man unter Doppelbrechungund optischer Aktivität?

Grundpraktikum IV O 14 Fotozelle

98

( )Ue

h A= −1

ν (4)

E h= ⋅ ν (1)

hmv

A⋅ = +ν2

2. (2)

mve U

2

2= ⋅ . (3)

1 Aufgabenstellung

Das Plancksche Wirkungsquantum ist mitHilfe des Fotoeffektes nach der Gegenspan-nungsmethode zu bestimmen.


Eine Vakuum-Fotozelle besteht aus einergroßflächigen Alkalimetall-Kathode undeinem gegenüberliegenden Anodenring ineinem evakuiertem Glaskolben. Fällt Lichtauf die Kathoden so vermag dieses aus derMetalloberfläche Elektronen abzulösen(“äußerer lichtelektrischer Effekt”, kurz:Fotoeffekt). Diese werden durch eine vonaußen angelegte Spannung von der Anodeabgesaugt und im äußeren Kreis als Foto-strom nachgewiesen (siehe Versuchsanord-nung Abb.2). Der Effekt wurde bereits 1888von HALLWACHS entdeckt. LENARD fand1902 experimentell, dass die Energie deraustretenden Elektronen nicht von der Licht-intensität sondern nur von der Wellenlängedes Lichtes abhängt, was mit den Vorstel-lungen der klassischen Physik nicht vereinbarist. EINSTEIN konnte 1905 (Nobelpreis 1921)diesen Effekt mit Hilfe der damals revolutio-nären Annahme der Quantelung des Lichteszwanglos erklären:Die Energie eines Lichtquants der Frequenz νist

mit dem PLANCKschem Wirkungsquantumh = 6,623@10-34 Ws2. Treffen Lichtquanten aufdie Metalloberfläche auf, so geben sie ihreEnergie an die Elektronen ab. Ein Teil derEnergie wird benötigt, um die Elektronen ausdem Atomverband herauszulösen und aus derMetalloberfläche austreten zu lassen (Aus-trittsarbeit A). Die Restenergie dient derBeschleunigung der Elektronen. Es folgt die

EINSTEINsche Gleichung

In der Fotozelle ist somit ein Strom nach-weisbar, auch wenn keine Spannung angelegtwurde, da ein Teil der Elektronen auf dieAnode trifft. Zur Bestimmung der kinetischenEnergie wird eine Gegenspannung U ange-legt. Die beim Abbremsen der Elektronenverrichtete Arbeit ist e@U. Wird der Fotostromgerade unterdrückt, dann gilt

Damit ergibt sich aus Gl. (2) eine Möglichkeitzur Bestimmung des Planckschen Wirkungs-quantums, indem man die Fotozelle mitmonochromatischem Licht bekannter Fre-quenz ν beleuchtet. Probleme bereitet in derPraxis die schlechte Reproduzierbarkeit derAustrittsarbeit A, die nicht nur von der Artdes Metalls sondern auch von der Ober-flächenbeschaffenheit (z.B. Oxydbelegung)abhängt. Die Bestimmung von A kann manumgehen, indem man die Gegenspannung Ufür Licht verschiedener Frequenzen ν be-stimmt und h entsprechend

aus dem Anstieg der Funktion U(ν) berech-net.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Kalium-Fotozelle in Gehäuse auf optischer

Bank- Quecksilber-Hochdrucklampe mit Vor-

schaltgerät auf optoscher Bank- 3 Sammenlinsen L1 (f=40mm), L2 (f=140

mm), L3 (f=100mm)

Fotozelle O 14


99

Abb. 1: Optischer Aufbau des Versuches

Abb. 2: Elektrische Schaltung zur Bestim-mung der Gegenspannung

- 2 Spalte (Diahalter mit Blenden)- Reflexionsgitter, ca. 680 Linien pro mm- Strom-Messverstärker- 2 Digitalmultimeter- Akkumulator (2 V)- Potentiometer 1 kΩ - Verbindungsleitungen

3.1 Die Fotozelle wird mit Hilfe einesGittermonochromators mit dem Licht ein-zelner Spektrallinien der Hg-Lampe beleuch-tet (Abb.1). Der Monochromator besteht ausEintrittsspalt Sp1, drehbarem Gitter G,Austrittsspalt Sp2 und der Linse L2. Diesebildet den Eintrittsspalt scharf auf den Aus-trittsspalt ab. L1 dient als Kondensor undsorgt für maximale und gleichmäßige Aus-leuchtung des Spaltes Sp1. L3 fokussiert dasLicht auf die Fotozelle.Über dem Austrittsspalt ist ein Streifenweißes Papier angebracht. Durch Fluoreszenzkann man auf dem Papier auch einen Teil derultravioletten Spektrallinien der Hg-Lampeerkennen.Das lichtdichte Gehäuse der Fotozelle mitTubus und Blende gewährleistet, dass dasLicht nur auf einen kleinen Bereich in derMitte der metallisierten Fläche fallen kann. Abb.2 zeigt die elektrische Schaltung zurMessung der Gegenspannung. Der Fotostrom(Größenordnung 10-9A) wird mit Hilfe desempfindlichen Messverstärkers gemessen.Der Messverstärker liefert eine dem Stromproportionale Spannung (1 V entspricht demStrom am Bereichsumschalter), die mit einemMultimeter angezeigt wird.


Das Gitter darf nicht berührt werden! Esist durch einem Deckel geschützt, der nurwährend der Messung abgenommen wer-den darf.Die Hg-Hochdrucklampe darf nur überdas Vorschaltgerät (Drossel 0,5 A) betrie-ben werden! Vermeiden Sie den direktenBlick in das Licht der Hg-Lampe.Die Fotozelle darf keinem hellen Lichtausgesetzt werden. Gehäuse nur im abge-dunkelten Raum öffnen! Fotozelle nur mitsauberen trockenen Fingern berühren!

Die Schaltung ist nach Abb.2 aufzubauen.Die automatische Messbereichsumschaltungder Multimeter sollte ausgeschaltet werden.

Zur Justierung des optischen Aufbaus kanndas Gehäuse der Fotozelle vorübergehendgeöffnet werden. Schalten Sie die Hg-Lampeam Vorschaltgerät ein. Justieren Sie denoptischen Aufbau (Spaltbreiten, Stellung derLinsen, Winkel zwischen den beiden opti-schen Bänken), so dass ein monochromati-scher Lichtfleck etwa in die Mitte der Foto-kathode fällt. Für ein gutes Messsignal solltedie Lichtintensität so groß wie möglich sein.Prüfen Sie die Größe des Fotostromes ohneGegenspannung im Licht der verschiedenenSpektrallinien. Optimal ist I > 1 nA. Unter0,01 nA ist keine erfolgreiche Messung mehrmöglich.Die Kaliumschicht der Fotozelle ist nichthomogen, die Austrittsarbeit kann vom Ort


100

( )I U U~ 0

2− (5)

abhängen. Zur Vermeidung systematischerFehler sollte bei jeder Wellenlänge die glei-che Stelle beleuchtet werden. Der Anschluss-draht der Kathode und der Anodenring dürfennicht beleuchtet werden.Durch Drehung des Gitters und Verschiebender Linse L2 können Sie das Spektrum derHg-Lampe auch an die Wand und auf einBlatt weißes Papier projizieren. BeobachtenSie den Unterschied!

Mindestens für die fünf starken bis sehrstarken Spektrallinien (siehe Tabelle 1) ist derFotostrom in Abhängigkeit von der Gegen-spannung zu messen. Bei großen Gegen-spannungen kann der Strom negative Werteannehmen. Die Kennlinien sollen von U = 0bis etwa 0,5 V über dem Wert U0 der Gegen-spannung aufgenommen werden, bei demI = 0 ist. Protokollieren Sie auch U0.

5 Auswertung

Die Kennlinien I(U) sind grafisch darzustel-len und zu diskutieren. Warum kann I beigroßen Gegenspannungen negativ werden?

Die Spannung U0, bei der I = 0 wird, ist inAbhängigkeit von der Frequenz ν grafischdarzustellen. Aus dem Anstieg ist nach (4)das Plancksche Wirkungsquantum zu be-stimmen.

Mit Hilfe von Überlegungen zur Geschwin-digkeitsverteilung der Fotoelektronen lässtsich zeigen, dass für den Fotostrom nähe-rungsweise gilt

(siehe Artikel von Morton und Abraham).Hieraus ergibt sich eine genauere Möglichkeitder Bestimmung von h aus den Messdaten:

Stellen Sie für alle Messreihen (für I > 0)Iin Abhängigkeit von U dar und bestimmenSie den Schnittpunkt der Kurven mit derAbszisse durch lineare Regression. Die sogewonnenen Werte für U0 sind wieder gegendie Frequenz ν aufzutragen und aus dem

Anstieg ist das Plancksche Wirkungsquantumzu bestimmen.

Tabelle 1: Hg-Spektrallinien

λ / nm Farbe Intensität

579,1 gelb-orange stark

577,0 gelb-orange stark

546,1 grün sehr stark

491,6 blaugrün schwach

435,8 blau sehr stark

404,7 violett stark

365,0 ultraviolett sehr stark

334,1 ultraviolett

6 Literatur

W. Walcher: Praktikum der Physik. B.G.Teubner Stuttgart 1989

A. Einstein: Über einen die Erzeugung undVerwandlung des Lichtes betreffenden heu-ristischen Gesichtspunkt. Ann. d. Phys. 17,132 (1905)

N. Morton, J. Abraham: Planck's Constantand the Photoelectric Effect. Phys. Educ. 21(1986) p.377

J. Strnad: Die Austrittsarbeit beim Photo-effekt. PdN-Ph 11/1980 p.343

7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie die historische Bedeutungdieses Versuchs.

7.2 Wie ist A in (4) zu interpretieren? (sieheArtikel von J.Strnad)

7.3 Wie ist ein Gittermonochromator aufge-baut?

Grundpraktikum IV O 16 Radioaktivität

101

d dN N tλ= − ⋅ ⋅ (2)

0( ) e tN t N λ− ⋅= ⋅ (3)

d .dNAt

= (1)

I I IP L= − , (4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Abhängigkeit der Strahlungsintensi-tät vom Abstand zur Strahlenquelle ist zuermitteln.

1.2 Der Schwächungskoeffizient und dieHalbwertsdicke von Blei für die Gamma-strahlung von Co-60 sind zu bestimmen.

1.3 Die Häufigkeitsverteilung der Zähl-rohrimpulse (Zählstatistik) ist zu untersuchen.


Unter Radioaktivität versteht man die Eigen-schaft bestimmter Atomkerne, sich infolgeungünstiger Proton-Neutron-Verhältnissespontan in andere Atomkerne oder Atomker-ne anderen Energieinhalts unter Emissioncharakteristischer radioaktiver Strahlungumzuwandeln. Sie kommt natürlich vor, kannaber auch künstlich erzeugt werden (durchBeschuss stabiler Atomkerne). Abhängig vonder Art der Umwandlung entsteht dabei: α-Strahlung (Heliumkerne, bestehend aus 2Protonen und zwei Neutronen),β!-Strahlung (Elektronen),β+-Strahlung (Positronen),γ-Strahlung (elektromagnetische Wellen miteiner Quantenenergie über 100 keV),Neutronen und (selten) Protonen.γ-Strahlung entsteht als Folge von Kernre-aktionen, bei denen der Kern in einen ange-regten Zustand gelangt ist. Aus diesem kehrter durch Aussendung von γ-Strahlung wiederin den Grundzustand zurück.

2.1 In einem radioaktiven Präparat ist dieZahl der sich pro Zeiteinheit umwandelndenAtomkerne proportional zur Zahl der vorhan-denen Kerne. Die (mittlere) Anzahl derKernumwandlungen pro Sekunde nennt manAktivität A:

die Einheit heißt Becquerel (1 Bq = 1 s-1). Daalle Atomkerne mit der gleichen Wahrschein-lichkeit zerfallen folgt, dass während desfolgenden Zeitintervalls dt die Zahl derradioaktiven Kerne um

(λ - Zerfallskonstante) abnehmen wird. Fürdie Anzahl N gilt daher das Zerfallsgesetz

mit N0 der Zahl der radioaktiven Atomkernezur Zeit t = 0.

Wenn ein γ-Quant (oder auch ein α- oder β-Teilchen) von einem Strahlungsdetektor wiedem Geiger-Müller-Zählrohr registriert wird,löst es in diesem einen Stromimpuls aus; dieImpulse werden gezählt. Die pro Zeiteinheitregistrierte Impulsanzahl N heißt Impulsrate I,sie ist proportional zur Strahlungsintensität.Außerdem hängt sie von den Eigenschaftendes Zählrohres und unter Umständen auchvon der Energie der Strahlung ab.Die von einem radioaktiven Präparat erzeugteImpulsrate ergibt sich aus der Differenz derImpulsraten, die mit und ohne Präparatgemessen werden:

wobei IP die Messrate und IL den Leerwert(Nulleffektrate) bezeichnet. Der Nulleffektwird durch kosmische und Umgebungs-strahlung sowie durch Detektorstörimpulsebewirkt.

2.2 Beim Durchgang durch Materie wird dieIntensität der Gamma-Strahlung (gemessenals Impulsrate I) in Abhängigkeit von derDicke x des durchstrahlten Stoffes verringert(Schwächungsgesetz):

Radioaktivität O 16


102

I I x= ⋅

−µ⋅

0 e . (5)

( )P nNn p pN

n N n( ) =

−

−

1 (8)

d1 2

2/

ln.=

µ(7)

e( )

!

n µµP n

n

−

= (9)

( ) .n u n nσ = ≈ (10)

2( )21( )

2e

n µµP n

µπ

−−

= (11)

µ µ µ µ µ= + + +S Ph C P . (6)

I0 ist die Intensität der einfallenden und I dieIntensität der austretenden Strahlung. μ heißtSchwächungskoeffizient und hängt vom Stoffund von der Energie der Gamma-Quanten ab.Für die Schwächung sind neben der elasti-schen Streuung (μS) drei Absorptionseffektewesentlich: Der Photoeffekt (μPh), die une-lastische Streuung (Comptoneffekt, μC) undder Paarbildung (μP):

Der Einfluss dieser einzelnen Effekte auf denSchwächungskoeffizienten ist energieabhän-gig, wobei die elastische Streuung und derPhotoeffekt bei niedrigen und der Paar-bildungseffekt bei den höchsten Energiendominieren.Unter der Halbwertsdicke d1/2 eines Stoffesversteht man die Schichtdicke, nach der dieIntensität der Strahlung auf die Hälfte abge-sunken ist. Aus der Gleichung (5) folgt damit

2.3 Der radioaktive Zerfall eines Kerns istein Quantenprozess. Die Vorhersage einesgenauen Zeitpunktes für ein Zerfallsereignisist grundsätzlich nicht möglich, lediglich dieWahrscheinlichkeit des Zerfalls in einemgewissen Zeitraum ist bekannt. Die Anzahlder mit einem Zählrohr pro Zeiteinheit ge-messenen Impulse ist deshalb aus grundle-genden physikalischen Gründen (und nichtetwa wegen der Messunsicherheit der Geräte)eine Zufallszahl. Dies merkt man besondersbei kleinen Impulsraten bzw. kurzen Mess-zeiten.Ist N die Anzahl der radioaktiven Kerne undp die Wahrscheinlichkeit für den Zerfall einesKerns, so ist die Wahrscheinlichkeit für dasAuftreten von n Zerfällen

mit dem Mittelwert µ = N @ p (auch Erwar-tungswert genannt). Für N÷4 und p÷0, was

hier in sehr guter Näherung gegeben ist, gehtdie Binomialverteilung (8) über in einePOISSONverteilung

mit dem Mittelwert µ . (Beachten Sie, dassdieses µ nicht identisch ist mit dem Schwä-chungskoeffizient µ in Abschnitt 2.2!)Die Poissonverteilung hat die wichtige Eigen-schaft, dass ihre Varianz σ2 gleich demMittelwert ist. Misst man eine Anzahl n vonzufälligen Ereignissen in einer Zeiteinheit, soist n . µ . Aus diesem Grund gilt für dieStandardabweichung des Messergebnisses nimmer

Die Statistische Messunsicherheit ist etwa

gleich der Wurzel aus dem Messwert.

Für große n kann außerdem die POISSON-verteilung durch eine GAUßverteilung

angenähert werden.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Radioaktives Präparat Co-60 (γ-Strahler

1,17 MeV und 1,33 MeV; A = 74 kBq 2010;t1/2 = 5,27 a)

- Geiger-Müller-Zählrohr- Digitalzähler- PC mit Software “Digitalzähler”- verschieden dicke Absorberplatten aus Blei

3.1 Co-60 ist ein γ-Strahler, der früher in derMedizin für die Telekobalttherapie verwendetwurde. Co-60 entsteht durch Neutronen-Einfang aus Co-59 und hat eine Halbwertszeitvon 5,27 Jahren. Das radioaktive Präparatbefindet sich in einer Bohrung in einemAcrylglasblock, der auf einem beweglichenSchlitten befestigt ist.


103

Zur Messung der Strahlungsintensität (Im-pulsrate) dient ein selbstlöschendes Geiger-Müller-Zählrohr. Das Zählrohr besitzt einGlimmerfenster, wodurch es außer für γ- auchfür β-Strahlung empfindlich ist. Die Impulsewerden von einem elektronischen Zählerregistriert, der gleichzeitig die Betriebs-spannung für das Zählrohr liefert. Präparat und Zählrohr sind so auf einerSchiene angeordnet, dass die zu messendeStrahlung vom Präparat durch eine Öffnungim Acrylglasblock auf das Fenster des Zähl-rohres trifft. In den Strahlengang könnenAbsorberplatten gestellt werden. Der Abstandzwischen Präparat und Zählrohr ergibt sichaus dem an der Schiene abgelesenem Abstandzwischen den grauen Schlitten + 10 mm.


Die Co-60 - Quelle ist ein umschlossenesPräparat mit einer Aktivität unterhalb derFreigrenze laut Strahlenschutzverordnung.Die Strahlenbelastung (effektive Dosis) beider Durchführung des Versuches liegt in derGrößenordnung von 1 µSv, das entspricht0,1% der Dosis bei einer medizinischenRöntgenaufnahme.

4.1 Für das Zählrohr ist eine Betriebs-spannung von 480 V einzustellen. Die Mess-zeit beträgt 60 s. Alle Messungen werdenjeweils fünf mal durchgeführt.Zu Beginn ist der Nulleffekt IL durch Mes-sung ohne radioaktives Präparat zu bestim-men.

Zur Ermittlung der Abhängigkeit der Impuls-rate vom Abstand r wird das Präparat in denAbständen 40; 50; 70; 100; 140; 190 und 250mm zum Zählrohr positioniert und die zu-gehörigen Impulsraten werden bestimmt.

4.2 Zur Bestimmung des Schwächungs-koeffizienten μ für Blei wird das Präparat ineinem Abstand von 70 mm vom Zählrohrpositioniert und zwischen ihnen die Absor-berhalterung eingesetzt. Bleiplatten ver-schiedener Dicken x werden in den Strahlen-gang gebracht und die dazugehörigen Impuls-raten gemessen. Die Messungen sind für x =1; 2; 5; 10; 20; 30 mm je fünfmal durch-zuführen. Die Messung für x = 0 wurdebereits in 4.1 durchgeführt.

Zusatzaufgabe: Platzieren Sie die 1 mm dickeBleiplatte einmal dicht vor dem Zählrohr undeinmal dicht vor dem Präparat. DiskutierenSie den Unterschied in den Messergebnissen!

4.3 Die Messung der Häufigkeitsverteilungder Impulsrate kann weitgehend unbeauf-sichtigt z.B. während des Testatgesprächesoder während der Auswertung anderer Ver-suchsteile am PC erfolgen.Die Software zum Digitalzähler gleicht demProgramm CassyLab; Bedienhinweise hierzubefinden sich im Anhang.Das Präparat wird in 12 cm Abstand vomZählrohr platziert, der Digitalzähler aufRatenmessung mit einer Torzeit von 1 sgestellt und das Programm “Digitalzähler”gestartet. Die Messung wird entweder amZählgerät oder im Programm gestartet undmindestens 10 Minuten lang aufgezeichnet.Eine zweite Messreihe ist mit einem Präpara-teabstand von 5 cm aufzunehmen.

5 Auswertung

Aus den jeweils fünf Einzelmessungen in 4.1und 4.2 wird der Mittelwert gebildet. AlleWerte für die Impulsraten werden durchAbzug des Nulleffektes korrigiert.

5.1 Zur Bestimmung des AbstandsgesetzesI = I(r) werden die Impulsraten in Abhängig-

Strahlenschutz

Entsprechend der Strahlenschutzver-ordnung ist jede Bestrahlung, auch un-terhalb der zulässigen Grenzwerte, zuminimieren. Abstand ist der beste Strah-lenschutz! Deshalb: Halten Sie das Präpa-rat nicht unnötig in der Hand. Halten Siebeim Experimentieren einen Abstand vonetwa 0,5 m zum Präparat ein.

Grundpraktikum IV O 20 Spektralphotometer

104

ln ln

lg lg lg .

I I x

I I x

= − ⋅

= − ⋅ ⋅

0

0

µ

µ

oder

e

keit vom Abstand r doppelt logarithmischdargestellt. Aus dem Anstieg ist der Exponentdes Abstandsgesetzes zu bestimmen. Verglei-chen Sie diesen mit dem theoretischen Wert!

5.2 Zur Bestimmung des Schwächungs-koeffizienten μ für Blei werden die Impuls-raten in Abhängigkeit von den Absorberdi-cken x graphisch dargestellt. Es ist einehalblogarithmische Darstellung zu wählen(Zählrate logarithmisch als Ordinate, Dickelinear als Abszisse). Alternativ kann ln(I)berechnet und linear dargestellt werden.Aus (5) erhält man durch Logarithmieren:

Der Schwächungskoeffizient μ ergibt sichfolglich aus dem Anstieg der Kurve. Die Halbwertsdicke von Blei ist nach Gl. (7)zu berechnen.

5.3 Für beide Messreihen sind jeweilsMittelwert und Standardabweichung σ zunberechnen. Die Häufigkeitsverteilungen derMesswerte der Impulsrate (Histogramme)sind graphisch als Balkendiagramme dar-zustellen. An die Histogramme ist einePoisson- und eine Normalverteilung an-zupassen und als Kurven in die Diagramme

einzuzeichnen.Diese Aufgaben lassen sich am einfachstenim Programm “Digitalzähler” lösen, suchenSie hierzu im Kontextmenü der Histogramm-darstellung den Menüpunkt “Anpassung”.Die Ergebnisse sind zu diskutieren und die

Vorhersage ist zu prüfen.σ = n

6 Literaturangaben


Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a., 2010

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist der Unterschied zwischenRöntgen- und γ-Strahlung?

7.2 Was versteht man unter den Begriffen„Halbwertsdicke“ und „Halbwertszeit“?

7.3 Nach welchem Gesetz nimmt die Strah-lungsintensität mit der Entfernung ab?

7.4 Wie groß ist die Messunsicherheit beider Messung von Impulsraten?

1 Aufgabenstellung

Bringen Sie bitte zum Versuch ein frischesgrünes Blatt mit.

1.1 Das Spektrum der Leuchtstofflampen imRaum soll untersucht werden, die darinauftretenden Hg-Spektrallinien sind zu identi-fizieren. Selbst mitgebrachte LED-Lampen,Laserpointer etc. können untersucht werden.

1.2 Ein alkoholischer Chlorophyllextrakt istherzustellen, seine Extinktion im Spektral-

bereich 400…800 nm bei verschiedenen Kon-zentrationen ist zu messen. Aus den Mess-kurven sind die Konzentrationen von Chloro-phyll a und Chlorophyll b sowie das Verhält-nis beider Konzentrationen zu ermitteln.

2 Grundlagen

2.1 Beim Durchgang durch Materie wirdLicht durch Absorption und durch Streuung(Brechung und Reflexion an kleinen Teil-

Spektralphotometer O 20


105

I I e d= −

0µ , (2)

I I e n c d= − ⋅ ⋅0

ε . (4)

lg lg lg

.

1 1 11 2 1 2

1 2

T T T T

E E Eges

⋅= +

= +

(9)

TII

=0

. (1)

EII

c dn n= = ⋅ ⋅ln 0 ε . (5)

EII

c d= = ⋅ ⋅lg .0 ε (6)

ET

= lg .1

(7)

µ ε= ⋅n c . (3)

TII

T Tges = = ⋅2

01 2 . (8)

chen) geschwächt. An Grenzflächen wird dasLicht partiell reflektiert. Alle drei Prozessesind abhängig von der Wellenlänge.Das Verhältnis der durch eine Probe hin-durchgehenden Lichtintensität I zu einfallen-der Intensität I0 wird als Transmissionsgradoder kurz Transmission T bezeichnet:

Die Abnahme der Intensität in Abhängigkeitvon der durchstrahlten Materialdicke d wirdmathematisch beschrieben durch

wobei μ als Schwächungskoeffizient bezeich-net wird; siehe auch Versuch O16, Gl.(5).Wird in einer Lösung das Licht vom gelöstenStoff absorbiert, so ist μ proportional zudessen Konzentration c:

εn heißt (natürlicher) Extinktionskoeffizientund hängt von der Substanz und von derWellenlänge ab. Aus (2) und (3) ergibt sich das LAMBERT-BEERsche Gesetz

Als natürliche Extinktion En bezeichnet man

Die Konzentration einer Lösung ist propor-tional zur Extinktion und lässt sich somitbequem durch Messung der Extinktionbestimmen.

In der Praxis verwendet man nicht den natür-lichen, sondern mit dem dekadischen Loga-rithmus; das Wort dekadisch lässt man dabeimeist weg. Die Beziehung für die (deka-dische) Extinktion E lautet:

Der (dekadische) Extinktionskoeffizient ist ε = εn / ln 10 = 0,4343 @ εn .

Durch Vergleich von (1) und (6) findet mandie wichtige Gleichung

Wir betrachten nun den Fall, dass das Lichterst durch eine Lösung des Stoffes 1 unddanach durch eine Lösung des Stoffes 2geschwächt werde. Die eingestrahlte Intensi-tät sei I0, die Intensität nach der 1. Lösung I1

und nach der 2. Lösung I2. Dann ist nach (1)die Transmission der 1. Lösung T1 = I1/I0, dieder 2. Lösung T2 = I2/I1 und die Trans-mission der gesamten Anordnung

Für die Extinktionen gilt nach (7):

Diese Betrachtung gilt auch, wenn sich diebeiden Stoffe gemeinsam in einer Lösungbefinden (sofern sie sich nicht gegenseitigbeeinflussen). Zusammengefasst gilt deshalbfolgender Satz:

Wird Licht durch mehrere verschiedeneProzesse geschwächt, so multiplizieren sichdie Transmissionen und addieren sich dieExtinktionen der Einzelprozesse.

Im wissenschaftlichen Alltag wird die Extink-tion (englisch: absorbance) oft fälschlichAbsorption genannt. Dies sollte man imInteresse einer eindeutigen Sprache vermei-den. Der Begriff Absorption ist nicht sogenau definiert und bezeichnet manchmal denTeil der Extinktion ohne Streuung undmanchmal die Größe 1! T (Absorptionsgrad).

2.2 Ein Spektralphotometer ist ein Gerät,welches die Lichtintensität, die Transmissionoder die Extinktion in Abhängigkeit von derWellenlänge misst. Ein (optisches) Spektro-meter misst das Lichtspektrum, d. h. dieLichtintensität in Abhängigkeit von derWellenlänge. Beide Begriffe werden auch


106

δ ϕ= ⋅b sin . (10)

sin .kbλϕ ⋅= (11)

synonym verwendet, jedoch steht beimSpektralphotometer die genaue Messung vonI, T bzw. E (für Konzentrationsmessungen immedizinisch-chemischen Labor) im Vorder-grund, beim Spektrometer dagegen mehr diegenaue Messung der Wellenlänge λ. Es gibt zwei Anwendungsfälle: Die Untersu-chung der spektralen Zusammensetzung desLichtes einer Quelle (Emissionsspektrum)und die Untersuchung der Absorption vonLicht durch einen Stoff (Absorptionsspek-trum). Im zweiten Fall benötigt man zusätz-lich eine Lichtquelle mit kontinuierlichemSpektrum (z.B. eine Glühlampe); die zuuntersuchende Substanz befindet sich in einerKüvette zwischen Lichtquelle und Spek-trometer.Die spektrale Zerlegung des Lichts geschiehtin modernen Geräten durch ein Beugungs-gitter. Die Beugung kann mit Hilfe desHUYGENS-FRESNELschen Prinzips beschrie-ben werden, wonach jeder Punkt einer Wel-lenfront als Ausgangspunkt einer Elementar-welle (Kugelwelle) aufgefasst wird. Diesichtbare Wellenerscheinung entsteht danndurch Überlagerung (Interferenz) dieserElementarwellen. Trifft eine ebene Lichtwelleauf Transmissionsgitter (Abb.1), so kann sichdanach die ebene Wellenfront nicht mehrvollständig formieren, weil diejenigen Ele-mentarwellen fehlen, die auf die lichtun-durchlässigen Bereiche getroffen sind. Esentstehen Beugungserscheinungen.Wir betrachten entsprechend Abb.1 das umeinen bestimmten Winkel φ gebeugte Licht.

Der Abstand zwischen zwei Öffnungen imGitter - die Gitterkonstante - sei b. Dann istder Gangunterschied zwischen den Elemen-tarwellen zweier benachbarter Spalte

In der Überlagerung der Elementarwellentreten bei Beobachtung aus großer EntfernungIntensitätsmaxima (konstruktive Interferenz)in den Richtungen φ auf, für die der Gang-unterschied ein ganzzahliges Vielfaches einerWellenlänge ist: δ = k @ λ (k = 0, 1, 2, ...).Intensitätsminima (destruktive Interferenz)entstehen in den Richtungen, in denen derGangunterschied δ = (2k + 1) @ λ/2 beträgt.Die Zahl k heißt Beugungsordnung. Dasungebeugt durch das Gitter gehende Lichtbezeichnet man auch als nullte Beugungs-ordnung (k = 0). Für die Beugungsmaximafolgt somit aus (10):

Die Lage der Beugungsmaxima (der Winkelφ bzw. der Ort auf einem Beobachtungs-schirm) hängt von der Wellenlänge λ ab.Rotes Licht wird stärker gebeugt als blaues,so dass weißes Licht in seine Spektralfarbenzerlegt werden kann. Bei bekannter Ordnungk kann mit (11) die Wellenlänge λ des Lichtesdurch Messung der Beugungswinkel φ be-stimmt werden. In vielen praktischen Fällen,so auch bei dem verwendeten Spektrometer,ist k = 1.

2.3 Die photometrische Bestimmung desChlorophyllgehaltes in Biomasse ist eineStandardmethode in der Biologie. Dafür istunter anderem die vollständige und schonen-de Extraktion des Chlorophylls erforderlich,was im Rahmen des Physikpraktikums nichtmöglich ist. Hier liegt der Schwerpunkt aufder spektroskopischen Methode. Es soll dieKonzentration in einem selbst hergestelltenChlorophyll-Rohextrakt gemessen werden.Dieser enthält hauptsächlich Chlorophyll a(Chl.a) und Chlorophyll b (Chl.b), derenExtinktionsspektren bekannt sind (Abb.2).In Ethanol liegt das Extinktionsmaximum

Abb. 1: Berechnung des Gangunterschiedesgebeugter Lichtstrahlen an einem Gitter


107

400 500 600 7000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Chlorophyll b

Extinktion

Wellenlänge λ / nm

Chlorophyll a

Abb. 2: Extinktion von Chlorophyll a undChlorophyll b

E c d c d

E c d c d

a a b b

a a b b

649 649 649

665 665 665

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

ε ε

ε ε

, ,

, ,

(12)

von Chl.a bei 665 nm und das von Chl.b bei649 nm. Die Extinktion der Rohextraktlösungist entsprechend Gl. (9) die Summe aus denAnteilen beider Chlorophylle. Misst man dieExtinktion in den beiden Maxima, so kannmit Hilfe der Gleichungen

und den vier Extinktionskoeffizienten fürChl.a und Chl.b bei 649 nm und 665 nm dieKonzentration von Chl.a und Chl.b berechnetwerden.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Spektrometer Red Tide USB650 mit ange-

bauter Lichtquelle und KüvettenhalterWellenlängengenauigkeit: ± 1 nmoptische Linienbreite (FWHM): 2 nm

- schwarzer Lichtblocker- Acrylglas-Prisma zur Beleuchtung durch

externe Lichtquellen von oben- 2 Küvetten (d = 10 mm)- Computer mit Software SpectraSuite- Reibeschale, Pistill, Quarzsand- Ethanol 99% mit 1% MEK vergällt- kleines Becherglas- 4 Probenröhrchen 4 ml- Filterpapier- Pasteurpipetten- Mikroliterpipette 750 μl

3.1 Abb.3 zeigt den optischen Aufbau desSpektrometers. Die nicht mit abgebildeteLichtquelle-Küvettenhalter-Einheit ist mitdem Spektrometer fest verbunden. Das Lichtwird durch eine Glühlampe und eine blaueLED erzeugt und gelangt nach Durchstrah-lung der Küvette in den Eintrittsspalt 1 desSpektrometers. Dieser befindet sich in derBrennebene des Kollimatorspiegels 2, der einparalleles Lichtbündel auf das Reflexionsgitter 3 schickt. Ein weiterer Hohlspiegel 4bildet die Beugungsbilder des Eintrittsspaltesauf den CCD-Sensor 5 ab.

3.2 Bedienung der Software SpectraSuite:Nach Programmstart ist die laufende Mes-sung (Scan) sofort aktiv. Die obere Toolbarenthält folgende wichtige Steuerelemente:„Integrationszeit” regelt die Empfindlichkeitdes CCD-Sensors. Sie wird so eingestellt,dass bei Beleuchtung die Maxima im Spek-trum gerade noch nicht abgeschnitten werden.Bei kleiner Integrationszeit ist die Messungsehr schnell (bis 100 Scans pro Sekunde), zurVerringerung des Rauschens sollte daher derMittelwert aus 10...20 Scans angezeigt wer-den. Zusätzlich kann das Spektrum übermehrere Messpunkte geglättet werden (dasGlättungsintervall wird als „Boxcar” bezeich-net). Wenn scharfe Spektrallinien beobachtetwerden sollen, ist die Glättung auszuschalten(Boxcarbreite = 0). „Lamp Enable” schaltetdie Lichtquelle ein.Das gemessene Spektrum ist zunächst nicht

Abb. 3: Aufbau des Spektrometers. 1 Ein-trittsspalt und Filter, 2 Kollimatorspiegel, 3Gitter, 4 Abbildungsspiegel, 5 CCD-Sensor


108

normiert. Die angezeigte Größe S(λ) wirdaußer von der Intensität des Lichtes auchnoch von den wellenlängenabhängigen Eigen-schaften aller Gerätekomponenten (Lampen-spektrum, Reflexionsvermögen des Gittersund der Spiegel, Filter-Absorption, Reflexionund Absorption durch die Küvette, Sensor-kennlinie) bestimmt. Der CCD-Sensor misstauch ohne Licht ein von Null verschiedenesSignal (Dunkelspektrum).Die Toolbar im Spektrumgraph enthält nebenmehreren Buttons zum Zoomen und Ver-schieben die Buttons zum Speicherndes Dunkelspektrums D(λ) und des Referenz-spektrums R(λ). Die Buttons zeigen folgende Spektren an:

- unkorrigierter Scan S(λ)

- Dunkelspektrum subtrahiert: S(λ) !D(λ)- Extinktion (Absorbance) E = lg(1/T)

- Transmission (13)( ) ( )( ) ( )

S DT

R Dλ λ

λ λ

−=

−

Links-Klick in das Diagramm zeigt einenCursor zum genauen Ablesen der Wellenlän-ge an. Der Button verwandelt das aktuelleSpektrum in ein „Overlay” (statische Kurve)und startet eine neue Messkurve. Auf dieseWeise erhält man mehrere Spektren in einemGraph. speichert nur die aktuelle Mess-kurve, druckt alle Kurven aus. Will mandie Daten exportieren oder mit nach Hausenehmen, so bedient man sich der beidenCopy-Buttons . Der erste kopiert dieDaten aller Kurven zum Einfügen in Origin,Excel oder eine Textdatei, der zweite kopiertdie Grafik in die Zwischenablage. Von dortkann man sie z.B. im Programm IrfanVieweinfügen und speichern oder drucken.


Starten Sie das Programm SpectraSuite undmachen Sie sich mit der Bedienung vertraut,indem Sie einfach alles ausprobieren.

4.1 Untersuchung von Lichtquellen:Der unkorrigierte Scan (S) ist anzuzeigen, die

interne Lichtquelle muss ausgeschaltet sein,ebenso die Kurvenglättung (Boxcarbreite 0).Der angezeigte Spektralbereich ist auf400...750 nm einzugrenzen.Stecken Sie das Acrylglas-Prisma so in denKüvettenhalter, dass das von oben kommendeLicht durch Totalreflexion an der schrägenFläche in den Eintrittsspalt des Spektrometersgelangt. Wenn das Spektrometer unter einerLeuchtstofflampe steht, muss jetzt das Lam-penspektrum zu sehen sein. Stellen SieIntegrationszeit und Mittelwertbildung ge-eignet ein.Das Spektrum enthält jetzt noch einen sensor-abhängigen Untergrund, der auch etwas vonder Integrationszeit abhängt. Daher sollte diefolgende Untergrundkorrektur immer nacheiner größeren Veränderung der Integrations-zeit durchgeführt werden:Ersetzen Sie das Acrylglas-Prisma durch denLichtblocker, speichern Sie ein Dunkelspek-trum, stellen Sie die Anzeige auf Scan minusDunkelspektrum und setzen Sie wieder dasAcrylglas-Prisma bzw. die Küvette ein.

Das Leuchtstofflampen-Spektrum ist zu do-kumentieren (ausdrucken, speichern, expor-tieren in Origin, Excel oder IrfanView nacheigenem Ermessen). Die Auswertung (Be-stimmung der Wellenlängen der Spektralli-nien, siehe 5.1) kann sofort durchgeführtwerden.

4.2 Messung der Chlorophyllkonzentration

Hinweise zum Umgang mit den Küvetten:- Die Oberflächen im optischen Strahlengang

müssen klar sein; zerkratzte Küvetten bitteentsorgen, in der Ausgabe gibt es neue

- Küvetten nur oben und seitlich anfassen,nicht an den optischen Flächen

- nasse Außenflächen vorsichtig trocknen- Küvetten nur bis zur Hälfte füllen (1 ml)- Küvette so in die Halterung stecken, dass

der Pfeil zur Lichtquelle zeigt

Zur Herstellung des Chlorophyll-Rohextrak-tes werden etwa 0,3 g Blattmasse in derReibeschale mit etwas Quarzsand und einigenml Ethanol zerrieben. Dabei werden die


109

( )

( )

c E E

c E E

a

b

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅

13 53 5 20

22 43 7 07

665 649

649 665

, ,

, ,

mg / l

mg / l(14)

Zellen aufgebrochen und das Clorophyll gehtin Lösung. Fügen Sie anschließend weiteresEthanol hinzu, insgesamt etwa 10 ml. FaltenSie ein Rundfilter zu einer Tüte und filtrierenSie den Extrakt damit in das Becherglas. Schalten Sie die Lichtquelle des Spektro-meters ein. Sie soll bis zum Versuchsendenicht ausgeschaltet werden, da ihre Licht-intensität erst nach einigen Minuten Ein-schaltdauer stabil ist. Stellen Sie die In-tegrationszeit so ein, dass der Scan (S) beileerem Küvettenhalter den Anzeigebereichvoll ausschöpft, die Maxima aber nichtabgeschnitten werden. Weitere Einstellungen:Mittelwert über 20 Scans, Boxcarbreite 3,Zoom x-Achse 400...800 nm.Speichern Sie ein Dunkelspektrum (mit demLichtblocker). Bringen Sie eine mit reinem Lösungsmittel(Ethanol) gefüllte Küvette in den Probenraumund speichern Sie ein Referenzspektrum. Ab jetzt können die Messgrößen Trans-mission (T) und Extinktion (A) verwendetwerden. Die nach (13) berechnete Trans-mission beträgt im gesamten Spektrum genau100 %, die Extinktion ist überall Null.Füllen Sie 1 ml der Lösung in eine Küvetteund prüfen Sie die Transmission im Mini-mum bei 665 nm. Falls T<2 % ist, verdünnenSie die Lösung im Becherglas schrittweisemit jeweils einigen ml Ethanol und über-prüfen T erneut. (Wenn die Transmission zugering ist, wird die Messung sehr ungenau.)Zeichnen Sie ein Extinktionsspektrum aufund wiederholen Sie diese Messung mit dendrei Verdünnungen 75 %, 50 % und 25 %.Alle vier Spektren sollen im selben Dia-gramm angezeigt werden (aktuelle Messungin Overlay umwandeln und neue Messungdurchführen).Die Verdünnungen der Ausgangslösung mitEthanol (3:1, 2:2 und 1:3) werden mit Hilfeder auf 750 μl eingestellte Pipette hergestelltund in den Probenröhrchen aufbewahrt. DieKüvette ist nach jedem Schritt mit wenigEthanol zu spülen und zu trocknen.

Nachdem der Betreuer die Messergebnisseakzeptiert hat, können die Clorophyllösungen

im Ausguss entsorgt werden. Alle benutztenGefäße sind mit wenig Ethanol zu spülen undabzutupfen!

5 Auswertung

5.1 Bestimmen Sie die Wellenlängen derwenigen scharfen Spektrallinien Spektrumder Leuchtstofflampe. Das geht am einfachs-ten mit dem Messcursor im Programm Spec-traSuite. Identifizieren Sie die Hg-Liniendurch Vergleich mit den Werten in der aus-liegenden Tabelle.Diskutieren Sie das Spektrum: Wie ist seineForm zu erklären? Warum werden Farben imLicht von Leuchtstofflampen nicht so gutwidergegeben wie im Sonnenlicht?

5.2 Stellen Sie die Wellenlängen der vierdeutlich erkennbaren Maxima in den Spek-tren fest und ordnen Sie diese den beidenFarbstoffen Chl.a und Chl.b zu.Die Extinktion in allen vier Maxima ist inAbhängigkeit von der Konzentration grafischdarzustellen und an Hand von Gleichung (6)zu diskutieren.

Löst man das Gleichungssystem (12) nachden Konzentrationen ca und cb auf, so erhältman

(Zahlenangaben nach R. J. Ritchie 2006).Bestimmen Sie für alle Verdünnungen ausden Spektren die Extinktion bei den Wellen-längen 649 nm und 665 nm. Berechnen Siemit Gl. (14) die Konzentrationen von Chloro-phyll a und Chlorophyll b sowie das Verhält-nis beider Konzentrationen.

6 Literatur

Bergmann, L., Schaefer, C., Lehrbuch derExperimentalphysik, Bd. 3, de Gruyter, 2004

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-

Grundpraktikum IV O 22 Röntgenverfahren

110

E e Um

v Em

vePh

e= ⋅ = = +2 212

22 (1)

E h f hc

Ph = ⋅ = ⋅λ

. (2)

kum. Springer, 2014

R. J. Ritchie, Photosynth. Res. (2006) 89 pp27-41

7 Kontrollfragen

7.1 Wie ist die spektrale Zerlegung des

Lichts an einem Gitter zu erklären?

7.2 Wie kann man mit einem Photometerdie Konzentration eines gelösten Stoffes ineiner Lösung unabhängig von weiterengelösten Stoffen bestimmen?

7.3 Wie groß ist die Transmission bei einerExtinktion von E = 0, E = 1 und E = 2?

1 Aufgabenstellung

1.1 Messung von Röntgenemissionsspektreneiner Molybdän-Anode mit Hilfe eines LiF-Kristalls und Bestimmung der maximalenQuantenenergie der Röntgenstrahlung inAbhängigkeit von der Anodenspannung.

1.2 Bestimmung der Ionendosisleistung derRöntgenröhre.

1.3 Messung der K-Absorptionskanten inden Transmissionsspektren von Zr, Nb, Mo,Ag und In und Bestimmung der Rydberg-Konstante.


2.1 Als Röntgenstrahlen werden Photoneneiner Wellenlänge zwischen 0,01 nm und10 nm bezeichnet. Sie entstehen beim Be-schuss einer Anode mit Elektronen, derenEnergie 10 keV überschreitet. Beim Aufprallentstehen neben ca. 98% Wärme zwei Artenvon Röntgenstrahlung:Bremsstrahlung: Die auftreffenden Elek-tronen werden im Kernfeld des Anodenmate-rials abgebremst. Die Differenz zwischen denkinetischen Energien des Elektrons vor undnach der Wechselwirkung wird in Röntgen-strahlung der Frequenz f umgesetzt (Gl. 2).Mit E der kinetischen Energie der Elektronenbeim Aufprall auf die Anode nach der Be-

schleunigung im elektrischen Feld ergibt sichfolgende Energiebilanz:

mit:e = 1,602 @10-19 C: ElementarladungU: Anodenspannungme: Elektronenmassev1: Geschwindigkeit des Elektrons vor dem

Aufprallv2: Geschwindigkeit des Elektrons nach dem

AufprallEph: Photonenenergie (Energie eines Rönt-

genstrahlungsquants).

Die Energie eines Strahlungsquants ist

h = 6,625 @10-34 Ws2: PLANCKsche Konstantec = 2,998 @108 ms-1: Vakuumlichtgeschwin-

digkeitf: Frequenzλ: Wellenlänge

Die Energie wird in diesem Zusammenhangmeist in eV (Elektronenvolt) angegeben. 1 eVist die kinetische Energie, die eine Elementar-ladung e bei der Beschleunigung durch eineSpannung von 1 V erhält. Die Energie inJoule erhält man folglich, indem man denWert in eV mit e multipliziert.

Röntgenverfahren O 22


111

Abb. 1: Typisches Röntgenspektrum be-stehend aus Bremsstrahlung und charakte-ristischen Linien des Anodenmaterials Abb. 2: BRAGG-Reflexion

E e U h f hc

Ph max maxmin

, .= ⋅ = ⋅ =λ

(3)

λ

λ

α

β

K

K

=−

=−

hcE E

hcE E

L K

M K

(4)

Die Bremsstrahlung hat ein kontinuierlichesSpektrum mit kurzwelliger Kante (sieheAbb.1). Letztere kommt dadurch zustande,dass die Elektronen beim Aufprall höchstensihre gesamte kinetische Energie in Röntgen-strahlung umsetzen können (vollständigeAbbremsung, v2 = 0). Die Röntgenstrahlunghat dann eine maximale Energie, die Wellen-länge wird minimal:

Charakteristische Strahlung: Beim Aufprallkönnen Anodenatome ionisiert werden. Wenndadurch eine Leerstelle auf der dem Kern amnächsten liegenden K-Schale entsteht, so wirddiese durch Elektronen der L- bzw. M-Schalesofort wieder besetzt und die Energiediffe-renz in Form von Röntgenstrahlung abge-geben. Die Photonen (Energiequanten), diewährend dieser Elektronensprünge frei wer-den, bezeichnet man als Kα- bzw. Kβ-Photo-nen. Ihre Wellenlängen berechnen sich aus:

EL - EK : Differenz der Elektronenenergiender L- und K-Schale,

EM - EK : Differenz der Elektronenenergiender M- und K-Schale.

Da diese Energiedifferenz charakteristisch fürjedes Material ist, wird die Strahlung „cha-rakteristische Strahlung“ genannt. Sie hat einLinienspektrum, welches die Bremsstrahlungüberlagert (siehe Abb.1).

Röntgenbeugung:Die Wellenlänge von Röntgenstrahlen kannmit Hilfe der Beugung an einem Kristallgitterbei bekanntem Netzebenenabstand bestimmtwerden (Röntgen-Spektralanalyse). Umge-kehrt werden mit Röntgenstrahlung bekannterWellenlänge Atomabstände in Kristallgitterngemessen. (BRAGG-Verfahren).Gemäß dem Huygensschen Prinzip kannjedes Atom des von der Röntgenstrahlunggetroffenen Kristalls als Ausgangspunkt einerElementarwelle betrachtet werden. DieKristallatome lassen sich in einer Vielzahlvon hintereinander liegenden, zur Oberfläche(Spaltfläche) des Kristalls parallelen Ebenen,zusammenfassen. Man nennt diese EbenenNetzebenen. Im einfachsten Fall lässt sich dieBeugung (Diffraktion) von Röntgenstrahlenauf die Reflexion an Netzebenen eines Kris-tallgitters zurückführen. Jede Netzebene wirktauf die einfallende Röntgenstrahlung wie einpartieller Spiegel, d. h. ein (sehr kleiner) Teildes auf die Ebene treffenden Röntgenstrah-lenbündels wird reflektiert.Abb.2 zeigt die grundlegenden Vorgänge beidiesem als BRAGG-Reflexion bezeichnetenVorgang: Die an den Netzebenen A und Breflektierten Strahlen 1 und 2 interferierenmiteinander. Konstruktive Interferenz (einsog. „Reflex“) tritt nur auf, wenn der Gang-unterschied der beiden Wellen gleich einemganzen Vielfachen der Wellenlänge ist:


112

EhcdPh = 2

1sin .

β(6)

Abb. 3: Messung der Ionendosisleistung miteiner Ionisationskammer

2d k⋅ = ⋅sin β λ (5)

H w D= ⋅ (9)

jQ

m tIm

C= =∆

∆ ∆(10)

JQm

=∆

∆. (7)

DEm

=∆∆

, (8)

mit k = 1, 2, … Dabei ist k die Beugungsordnung und d derNetzebenenabstand (d = 0,201 nm für denLiF-Kristall). Für die erste Beugungsordnung(k = 1) ergibt sich mit Gl. (2):

Durch Drehen des Kristalls wird der Einfalls-winkel der Röntgenstrahlung und damit auchder Phasenunterschied der interferierendenStrahlen verändert, so dass die Bedingung derkonstruktiven Interferenz (5) für jeweilsandere Wellenlängen des Primärstrahls erfülltwird (vergl. Abb.2). Gleichzeitig mit derRotation des Kristalls muss der Strahlungs-empfänger (Zählrohr) unter dem doppeltenBragg-Winkel β mitgeführt werden, so dassimmer die Reflexionsbedingung Zählrohr-winkel = 2×Kristallwinkel erfüllt ist. Damitkann das Spektrum einer Röntgenquellebestimmt werden.

2.2 Als Dosimetrie bezeichnet man dieMessung der Wirkung, die ionisierendeStrahlung (Röntgen und radioaktive Strah-lung) beim Durchgang durch Materie her-vorruft. Diese Wirkung kann entweder überdie Menge der in der Materie erzeugten Ionenoder über die von der Materie absorbierteEnergie gemessen werden.Die Ionendosis J ist definiert als Quotientaus der in einem Volumenelement erzeugtenLadung der Ionen eines Vorzeichens ΔQ undder Masse des durchstrahlten Volumen-

elementes Δm:

Die Einheit der Ionendosis ist As/kg oderC/kg (die alte Einheit 1 Röntgen = 2,58 @10!4

C/kg darf nicht mehr verwendet werden).

Die Energiedosis D ist der Quotient aus derim Volumenelement absorbierten Energieund der Masse des durchstrahlten Volumen-elementes Δm:

ihre Einheit ist das Gray (1 Gy = 1 J/kg).Die biologische Wirkung ionisierenderStrahlung wird durch die Äquivalentdosis

angegeben (biologisch bewertete Energiedo-sis). Die Einheit ist das Sievert (1 Sv =1 J/kg). w heißt Strahlungswichtungsfaktor;w = 1 für Röntgen-, Gamma- und Beta-strahlung und w = 20 für Alphastrahlung.Die wirksame Intensität der Röntgenstrahlungist die Dosis pro Zeit, die als Ionendosislei-stung j (Einheit A/kg), Energiedosisleistungd (Einheit Gy/s) bzw. Äquivalentdosislei-stung h (Einheit Sv/s) bezeichnet wird. Die Ionendosisleistung wird in einem mitLuft gefüllten Kondensator (“Ionisations-kammer”) entsprechend Abb.3 gemessen. Anden Kondensator wird eine Spannung ange-legt, die so groß ist (etwa 100...300 V), dassalle erzeugten Ionen zu den Kondensator-platten gelangen. Dann ergibt sich die Ionen-dosisleistung

aus der Stromstärke IC und der durchstrahltenLuftmasse m. Mit Hilfe der bekannten mitt-leren Ionisationsenergie der Luftmolekülekann die Ionendosis in die Äquivalentdosisumgerechnet werden; es gilt (für Luft ):


113

Erklärung zur Strahlensicherheit:

Das Röntgengerät ist so aufgebaut, dassRöntgenstrahlung nur bei geschlossenenTüren von Röhren- und Experimentier-raum erzeugt wird. Dabei werden dieGrenzwerte der gemäß der Röntgenver-ordnung außerhalb des Gehäuses zulässi-gen Strahlung mit mehrfacher Sicherheitunterschritten.Das Röntgengerät ist gemäß der "Ver-ordnung über den Schutz vor Schädendurch Röntgenstrahlen" (Röntgenverord-nung-RöV) vom 8.1.1987 bauartlichzugelassen (Zulassungskennzeichen NW807/97 Rö).

( )1λ

σK

K= ⋅ −R Z . (14)

( )E h c R ZK K= ⋅ ⋅ ⋅ − σ2

, (15)

TII

=0

(12)

λKK

=⋅h c

E (13)

H J

h j

= ⋅

= ⋅

32 5

32 5

,

, .

SvAs kg

oder

SvAs kg

-1

-1

(11)

2.3 MOSELEYsches GesetzDie Absorption von Röntgen-Quanten beimDurchgang durch Materie beruht hauptsäch-lich auf der Ionisation von Atomen, die einElektron aus einer inneren Elektronenschale,z.B. der K-Schale, abgeben. Dies setzt vor-aus, dass die Quantenenergie (2) größer alsdie Bindungsenergie EK der Schale ist. DieTransmission

(I0: Intensität vor, I: Intensität hinter demAbschwächer) des Materials nimmt daher inAbhängigkeit von der Wellenlänge bei

sprunghaft zu. Die sprunghafte Änderungwird als Absorptionskante (hier: K-Absorp-tionskante) bezeichnet. Der englische Physi-ker Henry MOSELEY leitete 1913 aus derMessung von K-Absorptionskanten fürverschiedene Elemente das nach ihm benann-te Gesetz ab:

Dabei bedeutenR: die Rydberg-KonstanteZ: Ordnungszahl des AbsorbersσK: Abschirmkoeffizient der K-Schale

Aus (13) und (14) ergibt sich für die Bin-dungsenergie der K-Schale

was mit den Vorhersagen des BOHRschenAtommodells übereinstimmt, wenn man diepartielle Abschirmung der Kernladung be-rücksichtigt.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Röntgengerät mit Goniometer incl. LiF-

Kristall (d = 0,201 nm), Zählrohr und Im-pulsratenmesser

- PC mit Programm “Röntgengerät”- Plattenkondensator mit Röntgenblende für

Ionendosismessung- Spannungsquelle 0...450 V, Ri = 5 MΩ- Strom-Messverstärker- Vielfachmesser- Verbindungsleitungen- Halter mit Absorberfolien aus Zr, Nb, Mo,

Ag und In

3.1 Das Röntgengerät (siehe Abb.4) besitztein strahlenabschirmendes Gehäuse, das ausdrei getrennten Kammern besteht. Die größte(rechte) Kammer ist der Experimentierraum,der das Goniometer (für Röntgenbeugungs-untersuchungen) oder den Plattenkondensatoroder die zu durchleuchtenden Präparate ent-hält. In der mittleren Kammer befindet sichdie Röntgenröhre. Die linke Kammer enthältdie mikroprozessorgesteuerte Elektronik mitden Bedien- und Anzeigelementen.Die Schiebetüren und Sichtfenster des Gerä-tes bestehen aus Bleiglas (Vorsicht, kratz-empfindlich!).


114

Abb. 4: Röntgengerät mit Goniometer.

a Netzanschlussfeld (Seite), b Bedienfeld, c Anschlussfeld, d Röhrenraum mit Mo-Röhre, e Experimentierraum mit Goniometer, f Leuchtschirm, g Leerkanal, h Verriegelungstaster

3.2 Die Hochspannungsquelle besitzt einensehr großen Innenwiderstand (Ri = 5 MΩ)und ist deshalb berührungsungefährlich. ZurStrommessung dient der Messverstärker miteinem Vielfachmesser als Anzeigegerät.

3.3 Die Absorberfolien können auf das inden Experimentierraum ragende Kollimator-rohr gesteckt werden.


Die in die Kristallhalter fest eingebautenKristalle sind sehr empfindlich. Bitteberühren Sie diese nicht!

4.1 Zur Aufnahme der Röntgenspektren inBRAGG-Anordnung sind folgende Betriebs-parameter einzustellen:Anodenstrom: I = 1,0 mAHochspannung: U = 20…35 kVMesszeit: Δt = 5 sSchrittweite: Δβ = 0,1°

Anfangswinkel: βmin = 4,0°Endwinkel: βmax = 12,0°

Starten Sie das Computerprogramm „Rönt-gengerät“. Die Spektren werden im automatischen Scan-Modus mit 2:1-Kopplung von Zählrohr- undKristallbewegung (“COUPLED”) aufgenom-men und auf dem Computerbildschirmdargestellt. Man beginnt am besten mit der maximalenBeschleunigungsspannung von 35 kV. DurchDrücken des Knopfes “SCAN” wird dieAufzeichnung eines Spektrums gestartet.Weitere Spektren sind jeweils bei einer Hoch-spannung von 30 kV, 25 kV und 20 kVaufzunehmen. Alle Spektren werden in dieselbe Grafik geschrieben.

4.2 Für die Messung der Ionendosisleistungwird das Röntgengerät mit eingebautemPlattenkondensator benutzt. VervollständigenSie die Schaltung gemäß Abb.3! Es wird derMessbereich 10!9A verwendet (1 V amVerstärkerausgang entspricht I = 1 nA) und


115

00

0

,T p

m VT p

ρ ρ ρ= ⋅ = ⋅ (16)

eine Spannung U $ 200 V.Messen Sie den Ionenstrom IC bei der maxi-malen Beschleunigungsspannung von 35 kVund den Anodenströmen 1,0 mA; 0,8 mA;0,6 mA; 0,4 mA und 0,2 mA.Notieren Sie den Luftdruck p und die Tem-peratur T im Röntgengerät.

4.3 Messung der K-Absorptionskanten:Die Messungen werden mit den gleichenEinstellungen wie unter 4.1 durchgeführt; esist die maximal möglichen Energie (U =35 kV, I = 1 mA) einzustellen.Zuerst ist ein Leerspektrum (ohne Absorber)aufzunehmen. Danach werden in die selbeDarstellung nacheinander Spektren miteingebauter Zr, Nb, Mo, Ag und In-Absorber-folie gemessen. Das Programm Röntgengerätberechnet automatisch die Transmission,indem es entsprechend (12) alle nachfolgen-den Spektren durch das erste (das Leerspek-trum) dividiert.

5 Auswertung

5.1 Die Wellenlängen und die Quanten-energien der charakteristischen Linien Kβ undKα der Molybdänanode sind nach Gleichung(5) bzw. (6) zu bestimmen, dabei gilt k = 1.Die Quantenenergien sind in keV anzugeben.Für jede verwendete Anodenspannung U wirddie maximale Quantenenergie (in keV) nach(6) aus dem zur jeweiligen kurzwelligenKante gehörenden Winkel β berechnet. Ineiner Tabelle sind diese Energien mit der denElektronen im elektrischen Feld zugeführtenEnergie E = eAU zu vergleichen. Im Rahmen der Fehlerbetrachtung ist dasWellenlängen-Auflösungsvermögen desRöntgengerätes abzuschätzen.

5.2 Die Ionendosisleistung j ist nach (10)aus dem Ionenstrom IC und der Masse m desdurchstrahlten Luftvolumens V zu berechnenund in Abhängigkeit vom Anodenstromgrafisch darzustellen.Die Luftmasse ergibt sich aus

mit V = 125 cm3, ρ0 = 1,293 kg/m3, T0 = 273 K und p0 = 1013 hPa.

Die maximale Äquivalentdosisleistung h imRöntgengerät (bei I = 1 mA) ist mit Hilfe vonGl. (11) zu berechnen und in der Einheit Sv/hanzugeben. Vergleichen Sie Ihr Messergebnismit der Dosis der natürlichen Strahlung undmit der tödlichen Dosis!

5.3 Zur Darstellung der Messdaten in Ab-hängigkeit von der Wellenlänge λ sind in den

„Einstellungen“ ( oder F5) die Daten desLiF-Kristalls einzutragen.Die Wellenlängen λK an den steilsten Stellender K-Kanten sind aus der Grafik zu be-stimmen; es kann dazu auch der Menüpunkt„K-Kanten einzeichnen“ im ProgrammRöntgengerät benutzt werden.

Entsprechend Gl. (14) ist in Abhän-1 λK

gigkeit von der Ordnungszahl der Absorberdarzustellen. Durch lineare Regression sinddie Rydberg-Konstante und der Abschirmko-effizient σK zu bestimmen. Für diese Aufgabekann auch die Darstellung „Moseley“ imProgramm Röntgengerät benutzt werden.

6 Literatur


Ibach/Lüth: Festkörperphysik. Springerverlag,Berlin, 2002

7 Kontrollfragen

7.1 Wie ist das Spektrum einer Röntgenröh-re zu erklären, welchen Einfluss haben dieBetriebsparameter U und I ?

7.2 Wie wird die biologische Wirkungionisierender Strahlung gemessen?

7.3 Welche Röntgenverfahren zur Material-untersuchung kennen Sie?

7.4 Erklären Sie das MOSELEY-Gesetz!

Grundpraktikum IV O 25 Lichtgeschwindigkeit

116

Abb. 1: Versuchsanordnung (Erklärung im Text)

1 1 1f b a f

= ++

(1)

1 Aufgabenstellung

Die Lichtgeschwindigkeit ist mit Hilfe einerDrehspiegelmethode bestimmen.

2 Grundlagen

Der französische Mediziner Leon Foucaulthat 1862 mit Hilfe der nach ihm benanntenDrehspiegelmethode die Größe der Licht-geschwindigkeit bestimmt. Er erhielt einenWert von 298 000 km/s. Mit einer abgewan-delten Drehspiegelmethode, die einen Licht-weg von 70 km ermöglichte, erhielt Michel-son1927 (299 796 ± 4) km/s. Beide Versuchs-anordnungen sind z.B. in [1] beschrieben.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- optische Grundplatte- Grüner Festkörperlaser (0,2 mW /1,0 mW

mit/ohne Shutter)- Blende 0,5 / 0,7 / 1,0 / 1,4 mm für Laser- Planspiegel, justierbar- teildurchlässiger Spiegel- transparenter Schirm mit Skale, Lupe

- große Sammellinse, f = (4,8 ± 0,2) m- Motor (ca. 28.000 min-1) mit Drehspiegel - regelbare Stromversorgung für den Motor- digitalerDrehzahlmesser- 2 Bandmaße 25 m und 3

Der Versuchsaufbau ist in Abb.1 dargestelltund ähnelt dem von Foucault. An Stelle desfrüher üblichen, von einer Kohlebogenlampebeleuchteten Spaltes, wird ein Laser verwen-det, der eine nahezu punktförmige Lichtquellemit sehr kleinem Strahl-Öffnungswinkeldarstellt. Statt des von Foucault eingesetztenHohlspiegels wird eine Kombination ausSammellinse und Planspiegel verwendet.Die Lichtquelle, der Laser L, steht im Ab-stand a vom Drehspiegel S1, der sich imBrennpunkt der Linse L1 befindet. Diesebildet die Lichtquelle in die Ebene des End-spiegels S2 im Abstand b von L1 ab. Dasreflektierte Bild der Lichtquelle wird umge-kehrt durch L1 und S1 wieder in die Lichtaus-trittsöffnung des Lasers abgebildet. DieAbstände a und b müssen dabei das Ab-bildungsgesetz

erfüllen.

Lichtgeschwindigkeit O 25

Grundpraktikum IV O 25 Lichtgeschwindigkeit

117

∆ s f b= +2( ) (2)

∆ ∆α π ν= ⋅2 t . (3)

∆ ∆x a= ⋅2 α . (4)

cst

f b ax

= =+∆

∆ ∆

8π ν ( ). (5)

( )cx

f a f= +8

2π ν

∆. (6)

Wenn sich der Drehspiegel S1 dreht, über-quert das Bild des Lasers den Spiegel S2. Dasich S1 im Brennpunkt von L1 befindet,verläuft der Hauptstrahl dabei zwischen L1

und S2 parallel und wird unabhängig vomDrehwinkel immer in L zurück reflektiert,solange der Primärstrahl im Öffnungswinkelder Linse L1 liegt. Um das zurück reflektierte Bild der Licht-quelle beobachten zu können, befindet sichder teildurchlässige Spiegel S3 im Strahlen-gang. Dieser reflektiert das Bild auf denSchirm S. Unter der Voraussetzung, dass dieAbstände S3-L und S3-S gleich sind, entstehtauf dem Schirm ein scharfes Bild der Licht-quelle.

Bei hohen Drehzahlen ν dreht sich der Spie-gel S2 in der Zeit Δt, die das Licht für denWeg

vom Drehspiegel S1 bis zu S2 und zurückbenötigt, um einen messbaren Winkel

Dadurch verschiebt sich das Bild der Licht-quelle auf dem Schirm S um die Strecke

Es gilt also

Mit (1) ergibt sich daraus

Eine genaue Messung erfordert also mög-lichst hohe Drehzahlen, eine große Brenn-weite f und einen großen Abstand a. Bei demVersuchsaufbau nach Abb.1 ist a . b + f , sodass Laser und Endspiegel auf einem Tischaufgebaut werden können. Daraus ergibt sich

undb f≈ ≈2 6 8, m

.a f≈ + ≈( ) ,1 2 11 6m


Sicherheitshinweise:Der Laser hat die Klasse 2 (Leistung####1mW, sichtbares Licht). Blicken Sie niein den direkten oder reflektierten Strahl!

Der Versuch muss von zwei Personen durch-geführt werden. Der Drehspiegel ist an der Wand befestigtund kann in Höhe und Neigung verstelltwerden. Die Sammellinse wird auf einenTisch gestellt. Alle übrigen optischen Kom-ponenten werden zusammen auf der Grund-platte aufgebaut.Der Strahlengang soll möglichst genau in derhorizontalen Ebene verlaufen. Prüfen Siezuerst die Höhe von Laser und Drehspiegelüber den Fußboden mit dem Bandmaß.Schalten Sie vor Beginn der Justage denDrehspiegel einmal ein. Prüfen Sie den Motorauf vibrationsfreien Lauf und testen Sie dieDrehzahlmessung.Stellen Sie sicher, dass während des Ver-suchsaufbaus der Strahlabschwächer amLaser geschlossen ist.

Aufbau und Justage erfolgen zweckmäßig infolgenden Schritten:- Laser (ohne Blende) exakt auf die Mitte des

Drehspiegels richten.- Neigung des Drehspiegels so einstellen,

dass das Licht wieder genau in die Höhedes Lasers reflektiert wird. (Linse ist nochnicht im Strahlengang). Das reflektierteLicht auf die Mitte des Endspiegels richten

- Linse L1 in den Strahlengang bringen undso ausrichten, dass der Strahl durch dieMitte der Linse geht und die Mitte desEndspiegels trifft.

- Kontrollieren, ob auf dem Spiegel einscharfer Fokus entsteht. Falls nicht: Fokussuchen (am besten mit einem schwarzenSchirm), alle Abstände neu vermessen,Justierung wiederholen.

- Endspiegel so justieren, dass der Laserstrahlexakt in den Drehspiegel und über diesen inden Laser zurück reflektiert wird.

- Strahlteiler S3 und Schirm S in den Strah-lengang bringen. Der Strahlteiler soll den

Grundpraktikum IV O 26 Diffusion (optisch)

118

Primärstrahl gegen die Wand reflektieren undden vom Drehspiegel kommenden Strahlgegen den transparenten Schirm, der von derRückseite betrachtet wird. Auf diese Weiseist ausgeschlossen, dass der Beobachter direktin den Laserstrahl blicken kann.- Blende (1 mm oder 0,7 mm) unmittelbar

vor den Laser stellen. Endspiegel nach-justieren und eventuell den Ort des Strahl-teilers verändern, um einen möglichstkleinen und hellen Fokus auf dem Schirmzu erhalten.

- Verdrehen Sie den Drehspiegel langsamvon Hand, prüfen Sie ob dabei der Strahldabei durch die Mitte von Linse und End-spiegel wandert und ob das Bild auf demSchirm stabil bleibt.

- Prüfen Sie das Bild auf dem Schirm auchbei geöffnetem Strahlabschwächer amLaser.

Bei rotierendem Drehspiegel ist das Bildrecht lichtschwach, eventuell muss der Strahl-abschwächer geöffnet werden. Die Frequenzdes Drehspiegels wird mit Hilfe des Stell-trafos in Schritten von etwa 5000 min!1 ersterhöht und dann schrittweise wieder bis aufNull verringert. Dabei ist die Position x desBildes auf dem Schirm in Abhängigkeit vonder Drehzahl abzulesen.Alle Abstände des Versuchsaufbaus solltenam Ende noch einmal exakt nachgemessenwerden.

Auswertung

Die Position x des Bildes auf dem Schirm istin Abhängigkeit von der Drehzahl ν grafischdarzustellen, der Anstieg der Geraden Δx/Δνist zu bestimmen. Bei der Berechnung der Lichtgeschwindigkeitaus dem Anstieg müssen alle Abweichungenzwischen dem idealen und dem tatsächlichenVersuchsaufbau berücksichtigt werden. DieRechnung erfolgt nach Gl. (5), da die Voraus-setzung für Gl. (6), die Abbildungsgleichung(1), in der Regel nicht exakt erfüllt ist. Aufdiese Weise muss auch die Brennweite f nichtso genau bekannt sein, da lediglich der ein-facher messbare Abstand (f+b) eingeht. Beachten Sie auch, dass unter Umständen dieAbstände S3-L und S3-S in nicht mehr gleichgroß sind, wie anfangs gefordert. In (5) mussdann an Stelle des Abstandes a die Länge desLichtweges S1-S3-S eingesetzt werden.Die Auswirkung der verbleibenden Unsi-cherheiten auf das Ergebnis sind in derFehlerrechnung zu ermitteln und zu diskutie-ren.

6. Literatur

[1] Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. 3

[2] http://www.ld-didactic.de/literatur/hb/d/p5/p5611_d.pdf

1 Aufgabenstellung

Der Diffusionskoeffizient von NaCl in Was-ser ist mit Hilfe der ortsabhängigen Messungdes Brechzahlgradienten mit einer Laser-methode zu bestimmen.

Lesen Sie zur Vorbereitung die Literatur [1]und lösen Sie die dort gestellten Aufgaben!


2.1 Diffusion (eindimensionaler Fall): Ent-sprechend dem 1. FICKschen Gesetz ver-ursacht ein Konzentrationsgradient in x-Richtung dc/dx einen Teilchenstrom J inentgegengesetzter Richtung durch eine dazusenkrechte Fläche A:

Diffusion (optisch) O 26


119

J D Acx

= − ⋅ ⋅dd

. (1)

dd

dd

ct A

Jx

= −1

. (2)

∂∂

∂∂

ct

Dc

x=

2

2 , (3)

rn

n r= d d . (11)

ddd dϕ =

1n

nr

s (12)

c x t K u g x u t u

g x u tDt

x uD t

( , ) ( ) ( , )

( , )( )

= −

− =

−∞

∞

∫

−−

d

mit e14

2

4

π

(4)

K xx

c x( ) =

<

≥

0 0

00

(5)

c x tc

Dtu

x uDt( , ) .

( )

=−

−∞

∫0 4

04

2

πe d (6)

∂∂ π

cx

c

Dtt

xDt

=

−0 4

4

2

e , (7)

σ = 2Dt . (8)

n c const= ⋅ + =λ µ λ µ( , .) (9)

∂∂

λ∂∂

nx

cxt t

= ⋅

. (10)

D ist der Diffusionskoeffizient.In einem Volumenelement A@dx ist die Ver-größerung der Konzentration im Zeitintervalldt mit einer Verringerung des Teilchen-stromes längs des Weges dx verbunden:

Setzt man (1) ein, so erhält man die Diffu-sionsgleichung (2. FICKsches Gesetz)

welche die raum-zeitliche Entwicklung einervorgegeben Konzentrationsverteilung c(x, t)beschreibt.

In einem unendlich ausgedehnten Medium(!4 < x < 4) sei die Anfangskonzentrations-verteilung c(x, t=0) = K(x) bekannt. Dann istnach [1] die Lösung der partiellen Differenti-algleichung (3) das Faltungsintegral

Ist, wie in der Versuchsanordnung, K(x) eineSprungfunktion

so vereinfacht sich (4) zu

Hieraus berechnet man (siehe [1]) den Kon-zentrationsgradient zum Zeitpunkt t zu

d. h. der Konzentrationsgradient zu einem

beliebigen Zeitpunkt ist eine Gaußkurve mitdem Flächeninhalt unter der Kurve c0 und derStandardabweichung

Dies ermöglicht im vorliegenden Experimentauf elegante Weise eine Bestimmung derDiffusionskonstante D.

2.2 Lichtbrechung in inhomogenen Medien:In einer Salzlösung hängt die Brechzahl n inguter Näherung linear von der Konzentrationab:

Daraus folgt für den Brechzahlgradienten:

Ein Lichtstrahl in einem optisch inhomoge-nen Medium mit ortsabhängiger Brechzahlbeschreibt nach [2] eine Kurve mit demKrümmungsradius

Auf einer Wegstrecke ds wird er dabei wegends = r@dφ um den Winkel

abgelenkt. Ist der Lichtstrahl senkrecht zumKonzentrationsgradienten gerichtet (dn/dr =dn/dx), so wird also nach (10) und (12) inRichtung dieses Gradienten abgelenkt.

3. Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Abbe-Refraktometer- Halbleiterlaser rot, 1 mW, fokussierbar - Glasstab Ø 6 mm (Zylinderlinse) mit Halter- Küvette 100×100×10 mm- Hubtisch- NaCl-Lösung 2 mol/l- kleiner Trichter mit Schlauch Ø ca. 1 mm- Pipette


120

Abb. 1: Messanordnung

x Ya b

ay

a ba

x

cx

Z Y b scx

→ =+

=+

→ = +dd

ddλ

(15)

sinsin

.′

=ϕϕ

1n

(13)

ϕ = ⋅ddnx

s . (14)

- Schirm mit Millimeterpapier- Bandmaß- Stoppuhr- Thermometer- evtl. Digitalkamera (selbst mitbringen!)

3.1 Die Messanordnung zeigt Abb.1. Siebesteht aus einem Halbleiterlaser, dessenStrahl durch einen Glasstab, der als Zylinder-linse wirkt, und durch die Küvette auf einenSchirm trifft. Die Abstände a und b von derBrennlinie der Zylinderlinse (etwa an derOberfläche des Glasstabes) bis zur Mitte derKüvette bzw. von der Küvettenmitte bis zumSchirm sind groß verglichen mit der Dicke sder Küvette.In der Küvette befindet sich Salzlösung, dievon Wasser überschichtet ist, so dass invertikaler (x-) Richtung Diffusion stattfindet.Um den Konzentrationsgradient als Funktiondes Ortes x bestimmen zu können, wird derLaserstrahl mit Hilfe der schräg gestelltenZylinderlinse aufgefächert, so dass er in derKüvette und (bei leerer Küvette) auf demSchirm eine schräge Linie mit einem Anstiegvon 45° beschreibt. Für alle Punkte dieserLinie ist dann y = x bzw. Y = Z.Durch den Gradienten der Salzkonzentrationwird der Laserstrahl auf dem Weg durch die

Küvette entsprechend Gl. (12) nach untenabgelenkt. Beim Verlassen der Küvette wirder außerdem vom Lot weg gebrochen: Be-zeichnet man den Ablenkwinkel durch denKonzentrationsgradienten (innerhalb derKüvette) mit φ' und den Brechungswinkel(außerhalb der Küvette) mit φ, so gilt

Unter den Bedingungen des Experiments(Laserstrahl senkrecht zum Konzentrations-gradienten, φ sehr klein) ergibt sich dergesamte Ablenkwinkel φ aus (12) und (13) zu

Hierdurch beschreibt der aufgefächerte Laser-strahl auf dem Schirm die in Abb.1 gezeigteKurve, die durch Überlagerung der schrägenLinie mit einer Gaußkurve entsprechend derGln. (10) und (7) entsteht.

Auf dem Schirm werden die Koordinaten Yund Z gemessen. Die interessierenden Größenx und dc/dx transformieren sich folgenderma-ßen in diese Messgrößen:


121

( )

xa

a bY

cx bs

Z Y

=+

= −

,

.dd

1λ

(16)

Die erste Gleichung ergibt sich unmittelbaraus Abb.1 wegen der Neigung von 45°. Diezweite Gleichung folgt aus Abb.1 mit Hilfevon (14) und (10).

4. Versuchsdurchführung

4.1 Bestimmen Sie die Brechzahlen nH2O undnNaCl mit Hilfe des Abbe-Refraktometers.Siehe hierzu Versuch O10.

4.2 Der Versuch ist entsprechend Abb.1aufzubauen. a soll etwa 20 cm und b etwa140 cm betragen. Die Küvette wird auf denHubtisch gestellt und zu etwa 1/3 mit Wassergefüllt. Als Schirm wird ein Blatt Millimeter-papier an der Wand befestigt.Der Laser wird in größtmöglicher Entfernungvon der Küvette aufgestellt und auf einenPunkt einige cm hinter der Küvette fokussiert,damit der Strahldurchmesser sowohl in derKüvette als auch auf dem Schirm ausreichendklein ist. Er wird zunächst ohne Glasstab sojustiert, dass der Strahl den Meniskus derLösung etwa in der Mitte der Küvette trifft.Das vom Meniskus vertikal gebrochene Lichtdient dazu, das Millimeterpapier exakt senk-recht auszurichten. Dann wird der Glasstab inden Strahlengang gebracht und so justiert,dass auf dem Schirm eine möglichst exakt um45° geneigte Linie entsteht.Messen Sie nun die Abstände a und b.Mit Hilfe des kleinen Trichters, dessenSchlauch bis etwa 1 mm über den Boden derKüvette reichen sollte, wird das Wasserlangsam und unter Vermeidung von Er-schütterungen mit NaCl-Lösung unterschich-tet. Dabei dürfen keine Luftblasen einge-schlossen werden, sonst kann die Salzlösungnicht fließen. Am besten füllt man Trichterund Schlauch zuerst vollständig mit Wasser,wartet bis fast alles Wasser abgeflossen istund träufelt dann mit der Pipette Salzlösungnach.Mit Beginn der Unterschichtung ist dieStoppuhr zu starten. Die Lösung wird bisetwa 1/3 Küvettenhöhe eingefüllt. Mit Hilfedes Hubtisches wird dann die Grenze zwi-

schen Wasser und Lösung in die Höhe desLaserstrahls gebracht.Unmittelbar danach kann die erste Kurveaufgezeichnet werden. Dazu wird die Kurvemöglichst schnell mit einem Stift auf demSchirm nachgezeichnet. Die Zeit wird in demMoment notiert, wenn der tiefste Punktmarkiert wird.Insgesamt sind mindestens fünf Kurvenaufzuzeichnen, wobei man möglichst ver-schiedene Farben verwendet. Die Zeitabstän-de zwischen den Messungen sollen anfangs 3Minuten betragen, später 4…5 Minuten.

Alternativ können die Kurven auch mit einerDigitalkamera aufgezeichnet werden. Dabeiist die Kamera möglichst nahe an der opti-schen Achse zu positionieren, um den Fehlerdurch Bildverzerrung zu minimieren.

Nach Abschluss der Messungen ist die Tem-peratur der Lösung in der Küvette zu be-stimmen.

5. Auswertung

5.1 Aus den Brechzahlen nH2O und nNaCl vonWasser und NaCl-Lösung sind der Mittelwertn und der Proportionalitätsfaktor λ nach Gl.(9) zu berechnen.

5.2 Zur Auswertung der Messkurven zeich-net man auf dem Millimeterpapier ein YZ-Koordinatensystem entsprechend Abb.1 undließt in Abständen von 5 mm auf der Y-Achse für alle Kurven (Y, Z)-Wertepaare ab.Aufnahmen mit der Digitalkamera könnenalternativ auch mit Hilfe des Applets “Digiti-zer” in Origin ausgewertet werden. Eventuellmüssen die Bilder vorher mit einem Bild-bearbeitungsprogramm entzerrt werden(Perspektivenkorrektur).Aus den Messpunkten (Y, Z) sind entspre-chend (15) der Ort x und der Konzentrations-gradient dc/dx folgendermaßen zu berechnen:

Grundpraktikum IV O 27 Interferometer

122

f xC

x x

( )( )

=−

−

2

02

22

π σσe (17)

dc/dx ist für jede Messzeit t als Funktion vonx grafisch darzustellen. Durch nichtlineareRegression ist an die Kurven eine Gauß-funktion

mit den Parametern C, σ und x0 anzupassen.Dabei sollten sich entsprechend Gl. (7) füralle Kurven x0 . 0 und C . c0 ergeben unddie Standardabweichung σ entsprechendGleichung (8) von der Zeit t abhängen.

In einer weiteren Grafik ist σ2 in Abhängig-keit von t darzustellen und durch lineare

Regression die Diffusionskonstante D zuermitteln.

Vergleichen Sie das Ergebnis mit Literatur-werten und diskutieren Sie Fehlerquellen.

6. Literatur

[1] W. Seifert, M. Stölzer: Die Laplace-Transformation und ihre Anwendungzur Lösung von Differentialgleichungen

[2] in Bergmann/Schäfer Bd. III: Die Strah-lenbrechung in der Atmosphäre.

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Michelson-Interferometer ist auseinzelnen optischen Komponenten aufzubau-en und zu justieren.

1.2 Der Brechungsindex von Luft und CO2

ist zu bestimmen.

1.3 Die Magnetostriktion (Längenänderungals Funktion der Magnetfeldstärke) von Eisenund Nickel ist zu untersuchen.


2.1 Michelson-InterferometerDie Interferometer-Anordnung nach Michel-son ist durch das Experiment von MICHELSON

und MORLEY bekannt, die damit 1887 ver-suchten, Unterschiede in der Lichtgeschwin-digkeit senkrecht und parallel zur Bewe-gungsrichtung der Erde durch den hypo-thetischen Äther zu messen - mit dem be-kannten Ergebnis.In der heutigen Messtechnik wird dasMichelson-Interferometer eingesetzt, um

kleinste Längenänderungen von Materialienoder kleinste Brechzahländerungen in trans-parenten Medien aufgrund verschiedenerphysikalischer Effekte zu messen. WeitereEinsatzgebiete sind die Charakterisierung derPlanität optischer Oberflächen und die Detek-tion von Gravitationswellen.Treffen zwei Wellen gleicher Polarisationund gleicher Frequenz ω mit unterschiedli-chen Amplituden a und Phasen φ an einemOrt zusammen, so überlagern sie sich zu

Die resultierende Welle wird beschriebendurch

Die messbare Größe der Welle ist nicht dieAmplitude, sondern die Intensität I ~ A2. FürA1 = A2 = A0 ergibt sich aus (2)

( ) ( )1 1 2 2sin sin .y A t A tω ϕ ω ϕ= − + − (1)

( )2 2 2

1 2 1 2

1 2

sin

2 cos

y A t

A A A A A

ω ϕ

δ

δ ϕ ϕ

= −

= + +

= −

(2)

( )2 2 20 02 1 cos 4 cos .

2I A A δδ+ =∼ (3)

Interferometer O 27


123

Der Aufbau eines Michelson-Interferometersist in Abb.1 skizziert. Das von der Strah-lungsquelle Q kommende Licht am Strahl-teiler ST in zwei senkrecht zueinander orien-tierte Strahlen aufgeteilt. Der Strahlteiler isteine einseitig zu 50% verspiegelte Glasplatte.Das durch ST nach rechts hindurchtretendeLicht wird am Spiegel S1 reflektiert und trifftnach nochmaliger Reflexion an ST auf denBeobachtungsschirm B. Das an ST nachunten reflektierte Licht von Q wird am Spie-gel S2 reflektiert und trifft nach Durchgangdurch ST ebenfalls auf B, wo beide Strahlenmiteinander interferieren. Für die Justagemuss mindestens einer der beiden Spiegelverschiebbar und einer kippbar sein.Um die in B entstehenden Interferenzmusterzu verstehen, betrachte man die linearisierteDarstellung des Strahlengangs in Abb.1, beider lediglich die Richtungsänderung derTeilstrahlen bei Reflexion an ST „weggelas-sen” wurde. Q’1 und Q’2 sind die virtuellenLichtquellen durch Reflexion von Q an S1

und S2. Man beachte, dass im Gegensatz zurSkizze die Wegdifferenz Δl sehr klein istverglichen mit der gesamten Strahllänge

. Die interferierenden Teil-2l ′ ′= ≈1

Q B Q B

strahlen können dann als parallel angesehenwerden und der Gangunterschied d ergibt sichzu

und der Phasenunterschied ist

Der zusätzliche Gangunterschied von λ/2entsteht, weil nur bei Reflexion am optischdichteren Medium ein Phasenspung von πauftritt.Der Gangunterschied ist bei exakt parallelenSpiegeln rotationssymmetrisch, man siehtInterferenzringe mit dem Radius r. Die Größeder Interferenzringe hängt vom UnterschiedΔl in den Längen der beiden Interferometer-arme ab. Wird ein Spiegel aus der parallelenStellung verkippt, so geht das Ringmuster inein Streifenmuster über. Ändert sich dieLänge eines Interferometerarmes um Δl, soverschiebt sich das Interferenzmuster um

Ringe bzw. Streifen.Nahezu perfekte Interferenzringe setzenvoraus, dass hochwertige Spiegel und Strahl-teiler verwendet werden, bei denen die Ab-weichung von der Planität deutlich kleiner alsλ/2 sind.

2.2 Brechungsindex von GasenDer Brechungsindex bzw. die Brechzahl neines Mediums ist definiert als Quotient derVakuumlichtgeschwindigkeit c0 zur Licht-geschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) cim Medium. Eine Lichtwelle regt die Mole-küle des Mediums zu Dipolschwingungen an,die wiederum Licht aussenden, das zum

Abb. 1: Michelson-Interferometer. Prinzipieller Aufbau (links) und linearisierte Darstellung(rechts) zur Herleitung des Gangunterschiedes

2

2 22 cos 2

2 2ld l l

l rλ λα= ∆ − = ∆ −

+(4)

2 .dπδλ

= ⋅ (5)

2 lz

λ

∆= (6)


124

elektromagnetischen Feld der eingestrahltenWelle beiträgt (mit diesem interferiert).Stärke und Phasenlage der angeregtenSchwingungen hängen von der Lage derLichtfrequenz zur Frequenz der Eigenschwin-gungen (Anregungen) der Moleküle ab. DieBrechzahl hängt daher grundsätzlich von derMoleküldichte N (Anzahl pro Volumen), vonder Art der Moleküle (genauer: von ihrerfrequenzabhängigen Polarisierbarkeit) undvon der Wellenlänge des Lichts ab. Da alleMoleküle Anregungen im UV-Bereich besit-zen, nimmt die Brechzahl im Bereich dessichtbaren Lichts mit abnehmender Wellen-länge zu („normale Dispersion”).Bei nicht zu großen Drücken (n . 1) und beikonstanter molekularer Polarisierbarkeit istdie Differenz (n !1) proportional zur Teil-chendichte:

(NA : Avogadrokonstante, ρ: Dichte und M:Molmasse des Gases) Für ideale Gase folgt:

wobei n0, p0 und T0 die Brechzahl, den Druckund die Temperatur bei Normalbedingungen(273 K; 101,3 kPa) bezeichnen. Für konstanteTemperatur ist n eine lineare Funktion desDruckes und für p = 0 ist n = 1. Damit ergibtsich aus (8):

2.3 Magnetostriktion nennt man die elasti-sche Deformation ferromagnetischer Materia-lien infolge ihrer Magnetisierung durch einäußeres Magnetfeld H. Innerhalb der Domä-nen (Weisssche Bezirke) wird das Kristall-gitter in Richtung der Domänenmagnetisie-rung verformt, außerdem richten sich dieDomänen im Magnetfeld aus. Da die Verfor-mung proportional zur Magnetisierung ist,tritt bei hohen Feldstärken (bei vollständigerMagnetisierung) eine Sättigung ein.Ein homogenes Magnetfeld erzeugt eine

Längenänderung in Feldrichtung. Ein Drahtwird durch ein zirkulares Magnetfeld, wel-ches ein starker Strom durch den Drahterzeugt, tordiert. Die relativen Längenände-rungen sind von der Größenordnung 10-6 inEisen bis 10-3 in hochmagnetostriktivenMaterialien. Der magnetostriktive Effektverursacht das „Netzbrummen” in Trans-formatoren. Er wird (neben dem piezoelektri-schen Effekt) zur Erzeugung von Ultraschalleingesetzt und spielt eine Rolle in verschiede-nen industriellen Sensoren sowie in Warensi-cherungsetiketten.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte (siehe Abb.2)- Optische Grundplatte 590 × 430 mm- HeNe-Laser 0,2/1 mW mit/ohne Strahl-

abschwächer, λ = 632,8 nm, Laserklasse 2- Linse L +20 mm in x-y-Justierhalterung- 4 Oberflächenspiegel S1...S4 (1/8 λ) in

Justierhalterung- Strahlteiler ST 50/50 (1/10 λ, vergütet) in

Halterung, Neigung justierbar- Küvette K, Länge (40 ± 0,1) mm- Beobachtungsschirm B (Wand)- Membranpumpe, Enddruck 5 mbar- Ventilblock mit 2 Nadelventilen (Vakuum,

Gaseinlass) und Druckmesser 0...1,6 bar- Luftballon mit CO2

- Magnetspule SP mit Halterung für optischeGrundplatte, 1200 Windungen, 4,2 Ω

- Probestäbe aus Fe und Ni für die Messungder Magnetostriktion

- Stromversorgungsgerät 30 V 5 A, Ampere-meter, Kabel

Blicken Sie nicht direkt in den Laserstrahl!Schalten Sie den Laser aus, wenn er nichtbenötigt wird.Die Oberflächen der Spiegel und Strahl-teiler dürfen nicht berührt werden. Spre-chen oder blasen Sie nicht gegen dieseOberflächen!

1 ANn N

Mρ

− =∼ (7)

0

0 0

1 ,1

Tpnn p T

− =−

(8)

00

0

1 .p Tnn

p T∆= + ⋅∆

(9)


125

3.1 Abb. 2 zeigt den Aufbau der Michelson-Interferometers auf der optischen Grund-platte. Die einzelnen Komponenten werdendurch Magnetfüße gehalten und sind beliebigpositionierbar. Ein 5cm-Raster auf der Grund-platte erleichtert die Anordnung. Der SpiegelS3 befindet sich am Ende eines Probestabesaus Nickel oder Eisen, der durch die Magnet-spule verläuft. Diese Anordnung wird inAufgabe 3 zur Untersuchung der Magneto-striktion des Probestabes benutzt.

3.2 Zur Messung der Brechzahl von Gasendurchläuft einer der beiden Teilstrahlen desInterferometers axial eine evakuierbareKüvette der Länge s. Die optische Weglängedurch die Küvette ist dann n(p)@s. Ändertsich der Druck in der Küvette um Δp, soändert sich der Gangunterschied d zwischenden Teilstrahlen des Interferometers um einenkleinen Wert Δd = 2 @s @Δn. Dies äußert sichin einer Verschiebung des Interferenzmustersum z = Δd/λ Streifen. Somit ist

3.3 Die Spule zur Erzeugung des Magnet-feldes hat folgende Abessungen:innerer Durchmesser di = 16 mmäußerer Durchmesser da = 49 mm

Länge l = 55 mmWindungszahl N = 1200

Die Magnetfeldstärke im Zentrum einerZylinderspule ist

Man kann näherungsweise davon ausgehen,dass das Feld über die gesamte Länge derSpule den durch (11) bestimmten Wert hatund außerhalb der Spule Null ist.


4.1 Als Hilfsmittel zum Aufbau der Interfe-rometers nach Abb.2 eignet sich sehr gut einrechtwinkliges Zeichendreieck, mit dem dersenkrechte Abstand zwischen Laserstrahl undGrundplatte gemessen werden kann.Entfernen Sie zu Beginn alle Komponentenaußer dem Laser und dem Spiegel S1 aus demStrahlengang. Richten Sie den Strahl auf dieMitte von S1. Benutzen Sie die Feinjustie-rung von S1, um den Strahl exakt parallel zurLinie 1 der Grundplatte auszurichten. Danachplatzieren Sie schrittweise S2, S3, ST und S4,wobei nach jedem Schritt der Laserstrahl so

exakt wie möglich parallel zueiner Linie auf der Grundplatteausgerichtet wird.Die Abstände zwischen demStrahlteiler und den Spiegeln S3und S4 sollen etwa gleich sein.Wenn Sie sorgfältig gearbeitethaben, trifft ein Teil der von S3und S4 reflektierten Strahlenwieder auf die Lichtaustrittsöff-nung des Lasers, der andere Teilüberlagert sich auf dem Schirm,wobei man aber die Interferenzjetzt noch kaum sieht.Nun wird die Linse L so in denStrahlengang gebracht, dass derStrahlteiler vollständig und etwagleichmäßig ausgeleuchtet wird.Auf dem Schirm sollten jetztkonzentrische Interferenzringe zuAbb. 2: Versuchsaufbau

2 .d z s nλ∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ ∆ (10)

2 2.N IH

d l

⋅=+

(11)


126

sehen sein, deren Zentrum wahrscheinlichnoch außerhalb des ausgeleuchteten Berei-ches liegt. Durch äußerst vorsichtiges Justie-ren der Neigung von S4 bringt man dasZentrum etwa in die Mitte.

4.2 Stellen Sie die Küvette in den Strahlen-gang und korrigieren Sie die Einstellung vonS4, so dass das Zentrum der Ringe wieder zusehen ist. Vakuumpumpe und Ventilblockstehen zur Vermeidung von Vibrationen aufeinem anderem Tisch und werden über einenflexiblen Siliconschlauch an die Küvetteangeschlossen. Der zweite Schlauch an derKüvette wird mit einer Schlauchklemmeverschlossen. Die Ventile schließen ohnegroßen Kraftaufwand dicht - bitte nichtsehr fest zudrehen!Es soll die Brechzahl von Luft und CO2

gemessen werden. Für die CO2-Messung istder Luftballon am Belüftungsventil anzu-schließen. Beim Wechsel des Gases müssenSchlauch und Küvette ausreichend gespültwerden (2...3 mal evakuieren und füllen). Beider Messung geht man wie folgt vor:Küvette füllen und Anfangsdruck ablesen.Küvette langsam bis zum Enddruck evakuie-ren und dabei die von außen nach innenlaufenden Interferenzringe zählen. Enddruckablesen. Vakuumventil schließen, Belüftungs-ventil vorsichtig öffnen und die nach außenlaufenden Ringe zählen, während das Gaslangsam in die Küvette strömt. Die Messungist mehrmals durchzuführen, bis nach etwasÜbung beim Evakuieren und Belüften gleichviele Ringe gezählt werden.Die Raumtemperatur ist zu protokollieren.

4.3 Schließen Sie Spule und Amperemeter andas Stromversorgungsgerät an. Die Magnetspule darf maximal 1 min bei5 A betrieben werden. Achten Sie darauf,dass sie sich nicht zu stark erwärmt!Zum Wechsel der Probestäbe lösen Sie dieKlemmschraube und schrauben Sie den Stabvorsichtig vom Spiegel ab, ohne dessenOberfläche zu berühren!.Um die Verschiebung des Interferenzmustersum 1/2 oder sogar 1/4 Ringabstand noch

messen bzw. schätzen zu können, beobachtetman besser nicht das Ringzentrum, sonderneine Stelle auf dem Umfang des 2. oder 3.Ringes. Achten Sie bei der Messung auch aufdas Vorzeichen der Magnetostriktion! Messen Sie für beide Probestäbe die Ver-schiebung des Interferenzmusters um z Ringeals Funktion des Spulenstromes I zwischen 0und 5 A. Die Messung der sehr kleinenLängenänderung wird durch mögliche Er-schütterungen des Gebäudes und durchthermische Drift (Erwärmung der Spule!)erschwert. Sie sollte zügig durchgeführt undmehrfach wiederholt werden, um sichere undreproduzierbare Ergebnisse zu erhalten.

5 Auswertung

5.2 Aus der Anzahl der Interferenzringe z istΔn nach Gleichung (10) zu berechnen. DieBrechzahlen der Gase bei Normalbedingun-gen sind nach Gleichung (9) zu berechnen,dabei ist Δp die Differenz zwischen Anfangs-und Enddruck. Vergleichen Sie die Ergebnisse im Rahmender Fehlerbetrachtung mit Literaturwerten!

5.3 Berechnen Sie aus der Verschiebung desInterferenzmusters nach (6) die Längenän-derung Δl und die relative LängenänderungΔl/l des Stabes. Für l ist die Länge der Spuleeinzusetzen, da die Längenänderung nicht imganzen Stab sondern nur im Magnetfeldstattfindet. Berechnen Sie aus dem gemesse-nen Strom nach (11) die Magnetfeldstärke H,wobei für den Spulendurchmesser (di+da)/2einzusetzen ist. Stellen Sie die relative Län-genänderung Δl/l als Funktion der Magnet-feldstärke grafisch dar.

6 Literatur

Eugene Hecht: Optik. OldenbourgverlagMünchen, 2009

Wolfgang Schenk, Friedrich Kremer: Physi-kalisches Praktikum. Springer 2014

Anhang Kurzanleitung zum Oszilloskop

127

Abb.1: Aufbau einer Kathodenstrahlröhre

Kurzanleitung zum Oszilloskop

Das Oszilloskop ist ein außerordentlich vielseitiges und universell anwendbares Messgerät. DieMöglichkeit der Darstellung und Messung des zeitlichen Verlaufs elektrischer Signale machtdas Oszilloskop zu einem der wichtigsten Messinstrumente für Physiker und Elektroniker. Manunterscheidet zwischen dem klassischen, analogen Oszilloskop, welches auf der BrownschenRöhre (Kathodenstrahlröhre, CRT) basiert, und dem digitalen oder Speicheroszilloskop. Das imPraktikum eingesetzte Analog-/Digital-Oszilloskop HM507 vereint beide Gerätetypen.

Grundprinzip des analogen OszilloskopsIn der Kathodenstrahlröhre (Abb.1) werden von einer Glühkathode Elektronen emittiert und indem elektrischen Feld zwischen Kathode und Anode beschleunigt. Mit Hilfe des gegen dieKathode negativen Wehneltzylinders kann die Intensität des Elektronenstrahls gesteuert werden(Helligkeitsregler INT.). Weitere Elektroden dienen zur Fokussierung des Strahls (SchärfereglerFOC.). Die Elektronen fliegen durch die Anode hindurch, passieren das dahinter befindlicheAblenksystem und treffen auf den Schirm, wo sie eine fluoreszierende Schicht zum Leuchtenanregen. Das Ablenksystem besteht aus einem horizontalen und einem vertikalen Plattenpaar (Xund Y). Beim Anlegen einer Spannung entsteht zwischen den Platten ein elektrisches Feld, dasden Elektronenstrahl aus seiner Bahn ablenkt. Der Ablenkwinkel ist proportional zur angelegtenSpannung.

Um Spannungsmessungen über weite Spannungsbereiche (mV, V) durchführen zu können, wirdjedes Plattenpaar durch regelbare Messverstärker angesteuert, so dass die Ablenkempfindlich-keit definiert eingestellt werden kann.Zur Darstellung von zeitlichen Abläufen U(t) wird an die X-Platten eine sogenannte

Sägezahnspannung (engl. sweep voltage, Abb.2)angelegt, die während einer bestimmten Zeit t(Anstiegszeit) linear anwächst und so den Strahl inx-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit über denBildschirm führt. Anschließend fällt die Spannungauf Null und der Strahl kehrt in die Ausgangs-position zurück. An den Y-Platten liegt das Mess-signal U(t). Während der Anstiegszeit zeichnet derElektronenstrahl das Bild der Funktion U(t) auf denSchirm. Dieses Bild wird mit jeder Periode derSägezahnspannung neu gezeichnet. Die Anstiegszeitlässt sich in weiten Bereichen (ns ... s) regeln, um

Abb.2: Sägezahnspannung für Horizon-talablenkung, Periodendauer TS


128

verschieden schnelle Signale darstellen zu können.Um stehende Bilder von periodisch ablaufenden Signalen zu erhalten, muss die Frequenz derSägezahnspannung in einem ganzzahligen Verhältnis zur Signalfrequenz stehen. Für dieseSynchronisation ist der Trigger verantwortlich. Er startet einen Sägezahnimpuls immer dann,wenn die Signalspannung eine bestimmte Größe erreicht hat.

Standard-Oszilloskope besitzen zwei identische Y-Kanäle (Y1/Y2 oder CH I/CH II von engl.Channel), d.h. sie können zwei Signale gleichzeitig im selben Zeitmaßstab darstellen. DieKanäle können einzeln oder beide (DUAL) als Funktion der Zeit, oder Kanal 1 als Funktion vonKanal 2 (XY-Mode) betrachtet werden. Hat man ein unbekanntes Oszilloskop vor sich, so kann man in der Regel vier Gruppen vonBedienelementen für Y1, Y2, Zeitmaßstab und Trigger unterscheiden. Die Y-Verstärkung(VOLTS/DIV) für jeden Kanal und der Zeitmaßstab (TIME/DIV) können sowohl in kalibriertenStufen (CAL, zum Messen von Spannungen und Zeiten) als auch stufenlos (VAR) verstelltwerden. DIV steht für eine Rastereinheit auf dem Bildschirm (division, engl. für Skalenteil). An den Y-Eingängen gibt es Schalter für die Eingangskopplung (AC/DC/GND). In Stellung AC istder Eingang über einen Kondensator mit den Verstärker verbunden, es wird nur Wechsel-spannung gemessen. In Stellung DC ist der Eingang direkt mit dem Verstärker verbunden, eswird Gleich- und Wechselspannung gemessen. Bei GND ist der Eingang vom Verstärkergetrennt, es wird Null gemessen. Für den Trigger kann man die Signalquelle (CHI, CHII, extern), die Triggerspannung (LEVEL), dieSignalflanke (/, \) und verschiedene Modi zur Triggerung komplexer Signale einstellen.

Das DigitaloszilloskopEin digitales Speicheroszilloskop ahmt Funktionsweise und Bedienung des analogenOszilloskops mit Hilfe digitaler Technik nach. Es besteht aus einer digitalen Messeinrichtungzum sehr schnellen (105...1010 Messungen pro Sekunde) Abtasten und Speichern vonSpannungssignalen und Software zur Verarbeitung und Anzeige. Es gibt Stand-Allone-Geräteund solche für den Anschluss an einen Computer. Die Abtastrate wird meist in der Einheit S(engl.: Sample) angezeigt, z.B. 2 MS (Mega Sample) für 2 @106 s!1.

Bedienung des Oszilloskops HM507Abb.3 zeigt die Frontseite des Oszilloskops. Wegen der Funktionsfülle sind die meisten Tastenmehrfach belegt. Ein langer Strich bedeutet: Taste lange drücken. Zwei kurze Striche bedeuten:2 Tasten gleichzeitig drücken. Ein heller Piepton zeigt an, dass die Taste im aktuellen Moduskeine Funktion hat oder dass bei einem Regler das Ende des Einstellbereichs erreicht ist.Folgende Besonderheiten und Möglichkeiten sollte man bei der Arbeit mit dem HM507 imPraktikum kennen:

Alle wichtigen Einstellungen werden auf dem Monitor angezeigt:- obere Zeile: Zeitablenkkoeffizient, Triggerquelle, Triggermode, Messwert- untere Zeile: Y1- und Y2-Ablenkkoeffizient und Eingangskopplung, Betriebsart.- Markierungen der Triggerschwelle (linker Bildrand) und bei Y=0 (Bildmitte)

Grundeinstellung, AUTOSET:Zur Grundeinstellung des Oszilloskops, bzw. um überhaupt erst einmal ein Signal zu sehen,muss man nur Kanal und Eingangskopplung wählen und dann die Taste AUTOSET betätigen. BeiBedarf kann Bildhelligkeit und Schärfe mit dem Regler INT/FOC eingestellt werden.Achtung! AC/DC/GND lang drücken (de)aktiviert die Multiplikation ×10 für Messungen miteinem Tastkopf 1:10. Im Praktikum wird kein Tastkopf verwendet, das Tastkopfsymbol vor Y1bzw. Y2 darf nicht angezeigt werden!


129

Ab

b.3

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M50

7


130

Benutzung verschiedener Triggermodi:Standard ist die von AUTOSET aktivierte automatische Triggerung AT, bei der auch ohneSignalflanken (z.B. bei einer Gleichspannung) ein Bild angezeigt wird. Die Automatikverhindert auch, dass das Triggerlevel auf einen Wert eingestellt werden kann, der das Triggernunmöglich macht. Die Normaltriggerung NM (ohne diese Automatik) ist im Praktikum nichtsinnvoll. Wenn das Bild zittert, helfen unter Umständen die Triggermodi LF oder HF (triggernauf niedrige bzw. hohe Frequenzen). Der normale Modus ist AC, bei DC ist die Triggerquellegalvanisch an den Triggereingang gekoppelt, die Modi TvL und TvF sind für Fernsehsignale, ~triggert auf die Netzfrequenz. Doppelbilder können eventuell durch Vergrößerung der hold-off-Zeit mit dem Regler DEL./TR.POS. (nur im Analogbetrieb) beseitigt werden.

Digitalbetrieb:Der Digitalmodus wird mit der Taste STOR.ON ein- bzw. ausgeschaltet. Im Digitalbetrieb wirdunter dem Zeitablenkkoeffizienten zusätzlich die Samplingrate angezeigt. Es werden 2048Messpunkte gespeichert; mit der Taste X.MAG. kann das Bild 10-fach gedehnt werden, umEinzelheiten zu erkennen. Der Digitalmodus sollte bei langsamen Signalen eingesetzt werden,um Bildflimmern zu vermeiden. Nur im Digitalmodus besteht die Möglichkeit des Pre- bzw.Posttriggerns (das Triggerereignis liegt nicht am Anfang der dargestellten Signalkurve, sondernfrüher oder später). Die Triggerposition wird mit dem Regler DEL/TR.POS eingestellt.Die Einzelereigniserfassung (aktivieren mit SINGLE, starten mit RESET) ist nur im Digitalmodussinnvoll anwendbar (z.B. bei Versuch M22).

Messung von Spannung, Zeit und Frequenz mit und ohne Cursor:Unter dem Monitor befinden sich Tasten zur Bedienung des Cursors und die Taste MEASURE.Ohne Cursor wird damit das Menü AUTO MEASURE aufgerufen, mit dem verschiedeneSpannungen, die Frequenz und die Periodendauer von einfachen periodischen Signalengemessen werden können. Die Messwerte werden auf dem Monitor angezeigt. Bei komplexenoder verrauschten Signalen funktioniert das eventuell nicht richtig, dann empfiehlt sich dieVerwendung des Cursors.Ist der Cursor eingeschaltet, so ruft die Taste MEASURE das Menü CURSOR MEASURE auf, in demman die Messgröße für die cursorunterstützte Messung auswählen kann. Die beiden Cursorssind auf dem Monitor mit I und II bezeichnet und werden mit den Reglern Y-POS/CURS.I undY-POS/CURS.II (erst nach drücken der Taste CURSOR POS) bedient.

Anhang Hinweise zur Bedienung von CASSY

131

Hinweise zur Bedienung des computergesteuerten Mess-werterfassungssystems CASSY

Allgemeines

Cassy-S, ein für die Lehre in Schulen und Universitäten konzipiertes universelles Messwert-Erfassungssystem, besteht aus verschiedenen Geräten mit serieller oder USB-Schnittstelle sowieder Windows-Software CASSY Lab 2. Im Praktikum kommen zum Einsatz:

• Sensor-Cassy ist ein zweikanaliges Messgerät für Strom und Spannung mit einer Auflösungvon 12 bit (1:4096) und einer maximalen Messrate von 100 kHz (105 Messwerte proSekunde). Mit Hilfe von Zubehör (aufzusteckende „Sensorboxen“ und verschiedeneSensoren) können damit fast alle denkbaren physikalischen Größen gemessen werden.

• Pocket-Cassy (nur mit Computer verwendbar) und Mobile-Cassy (ohne Computer einsetzbar)besitzen die gleiche Funktionalität, jedoch nur einen Messkanal, messen nur 104 bzw. 5Werte pro Sekunde und benötigen kein Netzteil (Stromversorgung über USB).

• Power-Cassy ist ein Leistungs-Funktionsgenerator, also eine computersteuerbare Strom- oderSpannungsquelle, die bei einer Abtastrate von 100 kHz maximal 10V / 1A liefert.

• Cassy-Display ist ein großformatiges Anzeigegerät. Es zeigt in Verbindung mit Sensor-Cassy(ohne Computer) gleichzeitig zwei Messwerte mit Einheit an.

Die Software CASSY Lab 2 steuert die Messung, stellt die Messergebnisse grafisch dar undbietet viele Möglichkeiten zur mathematischen Auswertung. Die Bedienung ist relativ einfachund erfordert nur wenige Grundkenntnisse. Die Software ist beim Hersteller unterhttp://www.ld-didactic.de frei verfügbar und kann daher auch zuhause zur Auswertung vomMessungen aus dem Praktikum verwendet werden.

Quick Start: Einschalten und Konfigurieren des Systems

Stellen Sie sicher, dass alle benötigten Cassy-Module zusammengesteckt, mit dem PCverbunden und mit Strom versorgt sind. Starten Sie nun das Programm “CASSY Lab 2". DasFenster CASSYs wird präsentiert und zeigt die vorgefundene Gerätekonfiguration.

Um eine Messung durchzuführen, muss der entsprechen-

de Eingang oder Ausgang ââââ angeklickt werden. Es er-scheint das Fenster Einstellungen (siehe nächste Seite).Im oberen Teil dieses Fensters bietet eine BaumstrukturZugriff auf alle Bereiche der Software: Unter CASSYs

sind alle Einstellungen zu den verwendeten Messgerätenzu finden, unter Rechner können aus den Messgrößenneue physikalische Größen berechnet werden, unterDarstellungen können die Messwerttabellen und Dia-gramme angepasst werden sowie neue Diagrammeangelegt werden.Im unteren Teil des Fensters stehen die Einstellungendes in der Baumstruktur markierten Knotens (hier wirdz.B. der Messbereich einer Messgröße eingestellt) unddie Messparameter.


132

Vor Aufnahme einer Messreihe sollte man hierden richtigen Messbereich einstellen und sinnvolleMessparameter auswählen: Aufnahme: automatisch bedeutet, dass der Com-puter mehrere Messpunkte nacheinander aufzeich-net. TTTT Neue Messreihe anhängen bewirkt, dass ineiner Grafik mehrere Messreihen (Messkurven)dargestellt werden können. Die wichtigste Größe,die hier auf einen sinnvollen Wert eingestelltwerden muss, ist das Mess-Intervall. Bei 10 μsentstehen pro Sekunde 100.000 Messwerte! AusIntervall und Messzeit ergibt sich die Anzahl derEinzelmessungen. Wenn bei Messzeit kein Werteingetragen ist, wird die Messreihe so langefortgesetzt, bis sie manuell gestoppt wird.Die Aufnahme einer Messreihe kann nun mit F9

oder durch Klick auf den Start/Stopp-Buttonbegonnen werden.

Grundlegende Bedienelemente

ãããã Buttonleiste mit Buttons für die Anzeigeinstrumente aller gemessenen und berechnetenGrößen

ääää Anzeigeinstrument. Rechts-Klick: Messgröße und Messbereich einstellen

åååå Umschalten zwischen mehreren Darstellungen. Durch Ziehen mit der Maus freieAnordnung auf dem Bildschirm.

ææææ Messwerte-Tabelle kann editiert werden. Rechts-Klick: Messwerte und Messreihenlöschen

çççç Im Diagramm werden Punkte und Kurvenbereiche mit der Maus markiert. Rechts-Klick:Diagramm-Menü


133

èèèè Skala der Diagrammachsen mit Maus verschieben, mit Rechts-Klick ändern

éééé Umschalten zwischen verschiedenen y-Achsen

êêêê Trennlinie verschieben

F4 Neue Messung (aktuelle Messung löschen)

F3 Gespeicherte Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) laden

F2 Aktuelle Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) speichern

Diagramm oder Tabelle ausdrucken

F9 Eine Messreihe starten oder beenden (Einzelmessung bei manueller Aufnahme)

F5 Cassy-Module anzeigen (wie bei Programmstart)

F5 (2× drücken) Einstellungen bzw. Messparameter anzeigen

F6 Inhalt der Statuszeile (z. B. das Ergebnis einer Rechnung) groß darstellen

F7 Alle Anzeigeinstrumente ein/aus schalten

Das Anzeigeinstrument UA1 ein/aus schalten, Rechts-Klick: Einstellungen

Tipps und Tricks zu CASSY Lab 2

• Die Messparameter lassen sich am schnellsten durch Rechts-Klick auf den Start/Stopp-Button anzeigen, die Einstellung des Messbereiches durch Rechts-Klick auf dasentsprechende Messinstrument

• Mit Alt+T fügen Sie Text in das Diagramm ein, dabei ist immer das Ergebnis der letztenAuswertung voreingestellt. Machen Sie viel von dieser Möglichkeit Gebrauch!

• Skalierung der Achsen: Rechts-Klick auf eine Achse.

• Die Zoom-Funktion wird mit Alt+Z aufgerufen, Alt+A zeigt wieder alles an.

• Unter Einstellungen - Rechner - Formel kann eine neue physikalische Größe erzeugt werden,die aus Messgrößen berechnet oder manuell in die Wertetabelle eingetragen werden kann.Auf diese Weise kann z. B. aus Strom I(t) und Spannung U(t) der Widerstand R(t) alsFunktion der Zeit berechnet werden.

• Weitere Diagramme zur Darstellung gemessener und berechneter Größen werden unterEinstellungen - Darstellungen angelegt. Beispiel: Erzeugen Sie eine neue Darstellung mitdem Namen “Kennlinie”, dem gemessenen Strom auf der x-Achse und dem berechnetenWiderstand auf der y-Achse

• Die Auswertefunktionen (z. B. Mittelwertbildung, Regressionsanalyse, Integration) sindausführlich in der Hilfe zum Programm dokumentiert. Jede mathematische Auswertungbezieht sich immer auf einen Kurvenbereich, der mit der Maus markiert werden muss.

• Das Programm ist frei verfügbar (s.o.), Sie können Ihre Messergebnisse aus dem Praktikum(*.labx Dateien) auch am eigenen PC zuhause oder im Computerpool auswerten. Messwertekönnen als *.txt Dateien exportiert werden (Datei speichern und Dateityp Textexportauswählen) und mit anderen Programmen (Origin, Excel, ...) importiert werden.

Anhang Naturkonstanten

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Einige Naturkonstanten

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,997 924 58 @ 108 m/s. 300 000 km/s

Gravitationskonstante γ = 6,674 1(3) @ 10!11 N m2 kg!2

Fallbeschleunigung im Grundpraktikum g = 9,812 03(2) m/s2

Elementarladung e0 = 1,602 176 62(1) @ 10!19 C

Elektronenruhemasse me = 9,109 383 6(1) @ 10!31 kg

Atomare Masseneinheit u = 1,660 539 04(2) @ 10!27 kg

elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854 187 817 @ 10!12 A s V!1 m!1

(Dielektrizitätskonstante des Vakuums)

magnetische Feldkonstante μ0 = 4 π @ 10!7 V s A!1 m!1

(Permeabilität des Vakuums) . 1,256 637 ... @ 10!6 V s A!1 m!1

Planck-Konstante h = 6,626 070 04(8) @ 10!34 J s(Planckschen Wirkungsquantum) = 4,135 667 66(3) @ 10!15 eV s

Avogadro-Konstante NA = 6,022 140 86(8) @ 1023 mol!1

Boltzmann-Konstante k = 1,380 648 5(8) @ 10!23 J/K

molare Gaskonstante R = 8,314 460(5) J mol!1 K!1

Faraday-Konstante F = 9,648 533 29(6) @ 104 C/mol

Quelle und weitere Daten: http://physics.nist.gov/cuu/

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Grundpraktikum Physik III und IV · Versuche durchzuführen aus den Gebieten Elektrik, Optik, Atom- und Kernphysik sowie einige komplexere Versuche aus der Thermodynamik und Akustik