Johanna Harnischfeger (Hrsg.), Heiner Juen (Hrsg.) Lineare ... · Der Lehrer errechnet eine Summe von 53,40 €. Leider sind in der Klassenkasse nur noch 45 €. Deshalb entscheiden

Lineare Gleichungen lösenFertige Stunden zu linearen Gleichungssystemen

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Johanna Harnischfeger (Hrsg.), Heiner Juen (Hrsg.)

› Aus Texten Gleichungen herleiten und lösen

› Lineare Gleichungen bezüglich einer Grundmenge lösen

› Lineares Gleichungssystem anhand eines Textes aufstellen

und lösen

› Rechnerische Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungs-

systemen beschreiben

› Lineare Terme gleichsetzen

› Schnittpunkt zweier linearer Funktionen bestimmen

› Schnittpunktbestimmung auf Sachsituationen anwenden

› Alltagsprobleme in mathematische Strukturen übersetzen

› Aus Texten, Tabellen und grafischen Darstellungen

Informationen gewinnen

› Komplexe Fragestellungen aufteilen und im Team bearbeiten

› Lösungswege anschaulich und nachvollziehbar darstellen

› Selbst vorgegebene Probleme mathematisch bearbeiten

Mithilfe dieses Heftes trainieren Sie mit

Ihren Schülern folgende Kompetenzen:

Nach der Lernmethodik

von Dr. Heinz Klippert

Geeignet für die markierten

Klassenstufen und Schulformen:5 6 7 8 9 10

Hauptschule

✓ ✓

Realschule

✓ ✓

Differenzierende Schulformen

✓ ✓

Gymnasium

✓ ✓

ISBN 978-3-403-09114-1

www.klippert-medien.de

Mathematik› Lineare Gleichungssysteme

› Modellierungsaufgaben

Sekundarstufe 9 / 10

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1 4 1

09114_Mathe_Gleichungssysteme_SEK_KV.indd 1

25.06.14 13:49

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.

© Klippert-Medien – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth

Lineare Gleichungssysteme

Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS04

ErsteErfahrungenmitlinearenGleichungssystemen

ErläuterungenzurLernspirale

In dieser Lernspirale formulieren die S Fragen zum Text, lösen sie versuchsweise und stellen dann das lineare Gleichungssystem auf.

ZumAblaufimEinzelnen1. Arbeitsschritt: Durch Abzählen werden die Auf-gaben den S zugeteilt. Jeder S „schaut durch dieMathebrille“ und überlegt sich in EA Fragen zu sei-ner Aufgabe.2.Arbeitsschritt: S mit gleichen Aufgabennummernbilden jeweils eine Gruppe. Sie besprechen die Fra-

gen, einigen sich auf eine Frage und versuchen, die zugehörige Aufgabe zu lösen. Auf einem Plakat stel-len sie ihre Aufgabe und deren Lösung dar.3.Arbeitsschritt: Die S präsentieren ihre Ergebnisseim Museumsrundgang.4. Arbeitsschritt: Der L erläutert, was man untereinem Linearen Gleichungssystem versteht.5. Arbeitsschritt: Gemeinsam stellen die S für alleAufgaben die Gleichungssysteme auf und übertra-gen sie in die jeweiligen Rahmen.

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 EA 5’ Die S betrachten ihre zugeteilte Aufgabe und formulieren eine sinnvolle Frage

M1.A1 bis A6 – mathematisch argumentieren– mathematisch kommunizieren– präsentieren– Äußerungen anderer verste-

hen und überprüfen– im Modell arbeiten

2 GA 30’ Die S werden in Zufallsgruppen eingeteilt und bearbeiten ihre Aufgabe; sie fertigen ein Plakat für die Präsentation an

Plakate, Stifte

3 PL 20 Die S präsentieren ihre Ergebnisse in einem Museumsrund-gang

Pinwände

4 LV 5’ Die S verstehen den Begriff „Lineares Gleichungssystem“

5 PL 10’ Gemeinsam stellen die S für alle Aufgaben die Gleichungs-systeme auf und übertragen sie auf das Arbeitsblatt

M1.A1 bis A6

LösungshinweisefürM1.A1bisA6

A1T-ShirtundOhrringe3t + 3o = 57t + 2o = 26(t= 12; o = 7)

A2ZweiSortenMünzen3g + 6k = 72 3g + 3k = 66(g = 20; k = 2)

A3ZweiSortenBalkonblumen9p + 6m = 34,506p + 4m = 23(p = 2,50; m = 2)

A4PferdeundSpatzenp + s = 284p + 2s = 72(p = 8; s = 20)

A5FröscheundKäferf + k = 154f + 6k = 80(f = 5; k = 10)

A6ColaundWasser6c + 4w = 112c + 2w = 4(c = 1,50 , w = 0,50)

HinweiszuA2:Vielleicht kommen die S ja sogar auf die geschicktere Lösung: 3g + 6k = 72

3k = 6

Notizen:

Merkposten

Es empfiehlt sich, für die „Münzgruppe“ die Münzen hinzulegen: 10 ct, 20 ct 5 ct, 2 ct, 1 ct.

Zu Schritt 4: Für den Museums-rundgang erhalten die S in den Gruppen aus Schritt 2 eine neue Gruppenzuordnung z. B. in Form vonfarbigen Klebepunk-ten. Bei unterschied-licher Gruppengrößeberechnet sich dieAnzahl der Farbennach der kleinstenSchüleranzahl derbestehendenGruppen.

1


Lineare Gleichungssysteme LS04.M1

04 LineareGleichungssysteme

ArbeitshinweisfürdieAufgabenA1bisA6:Die Lösungen zu den folgenden Aufgaben sind nicht ganz einfach zu finden. Lies „deine“ Aufgabe durch und formuliere eine „mathematische“ Frage. Einigt euch in eurer Gruppe auf eine Fragestellung und versucht, die Lösung zu finden. Stellt die Gleichungen auf, die für eure Fragestellungen sinnvoll sind. Formuliert einen Antwortsatz!

A1 T-ShirtundOhrringe

Es ist Sommer. Annika schaut in ihren Kleiderschrank und stellt fest, dass sie nur unmoderne T-Shirts hat. Sie ruft jetzt ihre Freundin Julia an und verabredet sich mit ihr zum Shoppen. In einer kleinen Boutique findet sie etwas Passendes und kauft gleich drei T-Shirts. Zu jedem T-Shirt findet sie die passenden Ohrringe und nimmt sie auch noch mit. Zusammen muss sie 57 Euro bezahlen. Julia entscheidet sich für ein T-Shirt und zwei paar Ohrringe. Sie bezahlt 26 Euro. Alle Ohrringeund alle T-Shirts haben denselben Preis.

A2 ZweiSortenMünzen

Emma sitzt in ihrem Zimmer und hat Langeweile. Da sie gerade Geburtstag hatte, möchte sie jetzt mal ihre Ersparnisse zählen. Beim Ausschütten ihres Sparschweins fällt ihr auf, dass sie schon sehr viele Münzen hat. Jetzt stapelt sie alle gleichen Münzen aufeinander. Dabei stellt sie fest, dass drei goldene Münzen von einer Sorte und sechs kupferne Münzen von einer Sorte zusammen einen Betrag von 72 Cent ergeben. Ihr Bruder möchte jetzt auch gerne mitspielen. Deshalb gibt sie ihm drei kupferne Münzen ab und hat nur noch 66 Cent.

A3 ZweiSortenBalkonblumen

Eva möchte ihren Balkon schön bepflanzen. Die Eisheiligen sind gerade vorbei und der Bepflanzung steht nichts mehr im Wege. Sie geht in ein Gartencenter und freut sich über die Blütenpracht. Dort lässt sie sich von Herrn Müller beraten. Sie entscheidet sich letztendlich für 9 Petunien und 6 fleißige Lieschen. Zusammen müsste sie 34,50 Euro bezahlen. Sie möchte aber unbedingt auch Küchen kräuter pflanzen. Deshalb bringt sie 3 Petunien und 2 fleißige Lieschen, bevor sie an der Kasse ist, zurück. Jetzt bezahlt sie nur noch 23 Euro. Die Küchenkräuter kauft sie woanders.

Gleichungssystem:

Gleichungssystem:

Gleichungssystem:

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Lineare GleichungssystemeLS04.M1

A4 PferdeundSpatzen

Auf einer Pferdewiese in Nauen tummeln sich Pferde der unter-schiedlichsten Arten. Sie fressen besonders gerne Hafer, einige aber am liebsten braune Bananen. Eine Schar von Spatzen flattert fröhlich umher. Immer wieder fliegen sie zwischen die Beine der Pferde und versuchen, einige Haferkörner zu ergattern. Insgesamt ist es ein lebhaftes Treiben von 28 Tieren (Pferde und Spatzen). Zählt man alle Beine der Tiere so kommt man auf die Zahl 72.

A5 FröscheundKäfer

Rasmus hat ein Terrarium zum Geburtstag bekommen. Es ist aus 0,8 cm dickem Glas und soll die Wohnung für seine Frösche und Käfer werden. An der Rückwand des Terrariums hat er ein schönes Urwaldbild angebracht und acht verschiedene Sorten Grünpflan-zen eingepflanzt. Jetzt haben es seine 15 Tiere gemütlich und können sich auch verstecken. In seinem Terrarium herrscht ein reges Treiben. Immerhin krabbeln in dem Glaskasten insgesamt 80 Beine herum. Hoffentlich werden seine Käfer nicht gefressen! Rasmus hat auch daran gedacht. Diese Käfer schmecken den Fröschen nicht.

A6 ColaundWasser

Patrick plant mit seinen Klassenkameraden eine Party. Er überlegt mit seinem Freund Lars, welche und wie viele Getränke sie kaufen müssen. Die Mädchen trinken gern Wasser. Allerdings schmecken Cola und Orangenlimonade auch ganz gut. Sie entscheiden sich letztendlich für Cola und Wasser. Sie fahren zu einem Getränke-markt und kaufen 6 Flaschen Cola und 4 Flaschen Wasser. An der Kasse bezahlen sie 11 Euro. Zuhause angekommen klingelt das Telefon und Patrick lädt 4 Leute zusätzlich ein. Lars fährt schnell los und kauft noch 2 Flaschen Cola und 2 Flaschen Wasser ein. Er bezahlt jetzt 4 Euro.

Gleichungssystem:

Gleichungssystem:

Gleichungssystem:

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LS05

Lösungsskizzen:M2: y = 10x + 10; y = 12x; S (5 | 60); ( x: Anzahl der Hefte; y: Gesamtpreis)M4: 6x + 2y = 6,10; 3x + 4y = 6,35; x = 0,65; y = 1,10; (x: Roggenbrötchen; y: Schokocroissant)M6: 48 = 2a + 2b; a = b + 6; a = 15; b = 9; (a: lange Seite; b: kurze Seite)M8: y = 1,50x + 300; y = 1,10 + 302 ; x = 5; y = 307,50; (y: Gesamthöhe; x: Kosten pro Maschinenteil)M9.A2undA3a) Einsetzungsverfahren: x = 5; y = 2; b) grafisches Verfahren (oder Gleichsetzungsverfahren): x = –1; y = 1,5; c) Additionsverfahren: x = 4; y = 5; d) Gleichsetzungsverfahren: x = 2 ; y = 670

LösungsverfahrenfürLGSerarbeiten


In dieser Lernspirale lernen die S ein oder mehrere Lösungsverfahren für LGS kennen und setzen sich damit auseinander.

ZumAblaufimEinzelnen1. Arbeitsschritt: Jeder S setzt sich in Einzelarbeitmit seinem jeweiligen Lösungsverfahren (insge-samt bis zu 4 verschiedene) auseinander und ver-sucht, die vorgegebenen Schritte nachzuvollziehen.2. Arbeitsschritt:S mit gleichen Lösungsverfahrenbilden jeweils eine Gruppe. Sie besprechen dieSchrittfolgen ihres Lösungsverfahrens, formulierensie mit eigenen Worten und übertragen ihr Ergeb-nis auf das Arbeitsblatt (vgl. Randspalte). Wird nurein Lösungsverfahren besprochen, so arbeiten die Sin Vierer- oder Fünfergruppen.3. Arbeitsschritt: Ein S aus jeder Gruppe holt sichbeim Lehrer eine Aufgabe für das von seiner Gruppebehandelte Verfahren. Die Aufgabe wird gemein-

sam gelöst und eigenständig kontrolliert. Treten beim Lösen der Aufgabe Schwierigkeiten auf, nut-zen die S das entsprechende Informationsblatt.4.Arbeitsschritt: Es werden Expertengruppen gebil-det (in jeder Gruppe muss jedes behandelte Verfah-ren mindestens einmal vertreten sein). Die zu bear-beitenden Aufgaben werden den jeweiligen Ver- fahren zugeordnet. Der Experte begründet, warumsein Verfahren zu dieser Aufgabe passt und erklärtsein Lösungsverfahren. S bearbeiten A2.5. Arbeitsschritt: In den Expertengruppen werdenalle Aufgaben gelöst. S kontrollieren ihre Ergeb-nisse selbstständig. Der L lost jeder Gruppe ein Ver-fahren zu, sodass jedes Verfahren mindestens ein-mal vertreten ist. Die S bereiten für dieses Verfahrenmithilfe einer Folie eine Präsentation vor.6. Arbeitsschritt: Jedes behandelte Verfahren wirdeinmal präsentiert. Die anderen S ergänzen gege-benenfalls.


1 EA 10’ Die S vollziehen die Arbeitsschritte des jeweiligen (oder eines) Lösungsverfahrens nach

M1, M3, M5, M7

– mathematische Argumentationnachvollziehen

– Fachsprache verwenden– Lösungswege beschreiben und

begründen– Überlegungen verständlich

darstellen und präsentieren

2 GA1 20’ Die S erklären sich gegenseitig die Arbeitsschritte ihres Lösungsverfahrens, formulieren die Schritte und schreiben sie auf das Arbeitsblatt

M9.A1

3 GA1 10’ Die S lösen eine Aufgabe zu ihrem Verfahren (vgl. Randspalte) M2, M4, M6, M8, M9.A1b

4 GA2 30’ Die S erkennen am Aufgabentyp ihr Verfahren und erklären es den anderen und ergänzen auf ihrem Arbeitsblatt

M9.A2

5 GA2 40’ Die S lösen alle Aufgaben aus Schritt 4 und bereiten ein zugelostes Verfahren für die Präsentation vor

M9.A3, Folien oder Plakate

6 PL 10’ Jedes Verfahren wird von einem S vorgestellt M9.A3, Folien oder Plakate

Merkposten

M1, M3, M5 und M7 jeweils so oft kopieren, dass insgesamt die Klassenstärke erreicht wird.

Die Vorlagen müssen beim Kopieren auf DIN-A4-Größe vergrößert werden.

Auf dem Arbeitsblatt ist nur Platz für die Verbalisierung eines einzigen Verfahrens!

ZuSchritt3–5:Wird nur ein Verfah-ren besprochen, entfallen die Schritte 4 und 5. Die Präsen-tation wird dann in Arbeitsschritt 3 vorbereitet.

4


Lineare GleichungssystemeLS05.M1–M4

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Lineare Gleichungssysteme LS05.M5–M8

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6


Lineare GleichungssystemeLS05.M9

05 Lösungsverfahren

A1

a) UnserVerfahren:Das

Schrittedes verfahrens

1.

b) UnsereAufgabezum verfahren:

Löst die Aufgabe mit „eurem“ Verfahren.

Erinnere dich! Gleichungen mit einer Variablen löst du, indem du sie nach der Variablen umstellst. In einem linearen Gleichungssystem (LGS) hast du aber mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen!

Ziel ist es, aus diesen Gleichungen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen zu machen. Dafür gibt es mehrere Verfahren.

Das sind die vier Verfahren:

Grafisches Lösungsverfahren;

Additions- verfahren;

Einsetzungs- verfahren;

Gleichsetzungs-verfahren

7



A2

Entscheidet in der Gruppe, mit welchem der vier Lösungsverfahren ihr das entsprechende Gleichungssystem am günstigsten lösen könnt. Tragt das Verfahren jeweils in den Rahmen hinter dem Linearen Gleichungssystem ein!

a) I 3x + 2y = 19II y = x – 3

b) I y = 3/2 x + 3II y = – ½ x + 1

c) I 4x – 3y = 1II 5x + 6y = 50

d) I y = 145x + 380II y = 200x + 270

A3

Löst nun die 4 Gleichungssysteme aus A2 mit dem Verfahren, das ihr jeweils gewählt habt.

a) b)

d)c)

–11,5

2 2

4 5

5670

Lösungen:

8




LS06

Vor-undNachteiledereinzelnenVerfahren


In dieser Lernspirale diskutieren die S die Vor- und Nachteile der einzelnen Lösungsverfahren.

ZumAblaufimEinzelnen1. Arbeitsschritt: In EA überlegt sich jeder S zujedem der 4 Lösungsverfahren die Vor- und Nach-teile der Anwendungen.2. Arbeitsschritt: Jedem S wird eines der im Unter-richt behandelten Verfahren zugelost, sodassZufallsgruppen entstehen. Jede Gruppe muss ausmindestens 4 S bestehen. Die S erarbeiten gemein-sam die Vor- und Nachteile ihres Verfahrens undbereiten Argumente für eine Podiumsdiskussionvor. Per Los wird bestimmt, wer die Gruppe in derDiskussion vertritt.

3.Arbeitsschritt:Die Podiumsdiskussion wird durch -geführt. Die übrigen Gruppenmitglieder bekommenein anderes als ihr eigenes Verfahren zugelost.Während der Diskussion schreiben sie die genann-ten Argumente zu ihrem neu zugelosten Verfahrenauf.4. Arbeitsschritt: Alle S mit dem gleichen Beobach-tungsauftrag finden sich zusammen und tauschensich über ihre Mitschriften aus.5. Arbeitsschritt:Die S gehen in die ursprünglichenGruppen zurück und bearbeiten die Tabelle zu denVor- und Nachteilen der einzelnen Lösungsverfah-ren auf dem Arbeitsblatt.


1 EA 10’ S überlegen sich Argumente für die Vor- und Nachteile der einzelnen Verfahren

Papier – Argumentationen entwickeln– Prinzipien der Problemlösung

erkennen– Plausibilität überprüfen– Überlegungen verständlich

präsentieren– Fachsprache adressaten -

gerecht verwenden

2 GA1 30’ In der Gruppe werden die Vorteile des zugelosten Verfahrens erarbeitet und eine Podiumsdiskussion vorbereitet

3 PL 20’ In einer Podiumsdiskussion werden die Verfahren verglichen; die S beobachten die Podiumsdiskussion und notieren sich die Argumente

Papier

4 GA2 5’ Themengleiche Gruppen vergleichen ihre Notizen

5 GA1 30’ In den alten Gruppen erstellen die S eine Tabelle mit den Vor- und Nachteilen der einzelnen Verfahren

M1.A1

LösungsansätzezuM1.A1

GrafischesVerfahren: Vorteil: Übersichtlich, Verlauf ist schnell zu überschauenNachteil: Ungenau, Maßstab der Zeichnung muss vorher erkannt und festgelegt werden

Additionsverfahren:Vorteil: Sind die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen mit gegensätzlichem Vorzeichen versehen und gleich groß, kann die Lösung sehr schnell berechnet werdenNachteil: Man kann sich leicht verrechnen

Einsetzungsverfahren:Vorteil: Hat eine Variable den Koeffizienten 1, kann sie leicht in die andere Gleichung eingesetzt werdenNachteil: Bei komplizierten Koeffizienten können Brüche auftreten

Gleichsetzungsverfahren:Vorteil: Hat eine Variable in beiden Gleichungen den gleichen Koeffizienten, kann man die Gleichungen nach diesem Vielfachen auflösen und die beiden anderen Seiten der neu entstandenen Gleichungen gleichsetzenNachteil: siehe Einsetzungsverfahren (außerdem kann man auch das Additionsverfahren verwenden, indem man eine Gleichung mit (–1) multipliziert)

9



06 Vor-/NachteilederLösungsverfahren

A1

Überlegt euch noch einmal gemeinsam, was bei den einzelnen Verfahren jeweils wichtig ist.

grafischesLösen Additions-verfahren

Einsetzungs-verfahren

Gleichsetzungs-verfahren

Wie müssen die beiden Gleichungen aussehen?

I y = II y =

Wie kommt man zur Lösung?

Graphen zeichnen, Schnittpunkt- koordinaten ablesen.

Hier trägst du die Vor- und Nachteile der einzelnen Lösungsverfahren ein:

GrafischesLösungsverfahren

Vorteile Nachteile

Additionsverfahren

Vorteile Nachteile

Einsetzungsverfahren

Vorteile Nachteile

Gleichsetzungsverfahren

Vorteile Nachteile

10

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Autoren: Johanna Harnischfeger (Hrsg.), Heiner Juen (Hrsg.), Hildegard Gonzalez-Casin, Grit Gottschalk, Heike Hofmann, Sigrid Hohmeyer, Christa Juen-Kretschmer, Marion Rieder, Christine Strehle, Kerstin Wachtendorf Illustrationen: Steffen Jähde Umschlagfoto: Thomas Weccard

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Dieser Download ist ein Auszug aus dem OriginaltitelMathematik/Lineare Gleichungssysteme/ Modellierungsaufgaben

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Johanna Harnischfeger (Hrsg.), Heiner Juen (Hrsg.) Lineare ... · Der Lehrer errechnet eine Summe von 53,40 €. Leider sind in der Klassenkasse nur noch 45 €. Deshalb entscheiden