Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.) … · ... b = 85 cm und h a ... 1 EA 10‘ S zeichnen in einen Quader mithilfe der Raumdiagonale ... nachbarn aus und geben die Lösungen

Pythagoras in ebenen Figuren und im RaumFertige Unterrichtsstunden zum Satz des Pythagoras

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.)

Mithilfe dieses Heftes trainieren Sie mit

Ihren Schülern folgende Kompetenzen:

Geeignet für die markierten

Klassenstufen und Schulformen:5 6 7 8 9 10

Hauptschule

✓ ✓

Realschule

✓ ✓

Differenzierende Schulformen

✓ ✓

Gymnasium

✓ ✓

ISBN 978-3-403-09262-9

www.klippert-medien.de

Mathematik› Stochastik

› Pythagoras

Sekundarstufe 9 / 10

Kopiervorlagen

› Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit kennenlernen und anwenden

› Mit Wahrscheinlichkeiten rechnen

› Zufallsversuche im Alltag entdecken

› Eigene Aufgaben zu vorgegebenen Situationen entwickeln

› Lösungsstrategien anwenden

› Probleme und Fragestellungen selbst formulieren

› Satz von Pythagoras in ebenen Figuren erkennen und anwenden

› Satz von Pythagoras im Alltag aufspüren und eigene Aufgaben erfinden

› Eigenes Können überprüfen

U. a. finden folgende Methoden Anwendung:

› Doppelkreis› Partnerarbeit

› Gruppenpuzzle› Spickzettel

› Lernkartei› Stationenrallye

› Kooperative Präsentation

Nach der Lernmethodik

von Dr. Heinz Klippert

Johanna Harnischfeger (Hg.)

Heiner Juen (Hg.)

9 783403 092

629

09262_Mathe_Stochastik - Pythagoras.indd 1

15.12.16 10:29

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.

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Klippert bei KlettZeitgemäß unterrichten

LS 04

Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen

1 EA/ GA

20‘ Je 5 verschiedene Aufgabenstellungen werden zunächst von den S in EA bearbeitet und anschließend in aufgaben-gleichen Expertengruppen verglichen.

M1.A1a) bis e)

– einen mathematischen Text lesen, ihn nachvollziehen und Informationen entnehmen

– Wichtiges hervorheben

– mathematisch argumentieren

– nachfragen

– mathematische Sachverhalte mündlich ausdrücken

– gezielt Fragen stellen

– Äußerungen von anderen bewerten

2 GA 30’ Die S bearbeiten die Aufgaben des Themenfelds. M1.A2

3 GA 30’ In der Mix-Gruppe erstellen die S ein Lernplakat über alle angegebenen Vierecke.

M1.A2, Plakatpapier Stifte, Kleber

4 PA 10’ S präsentieren ihre Ergebnisse in einem Museumsrund-gang und klären Fragen ihrer Mitschüler.

Erläuterungen zur Lernspirale

In dieser Lernspirale suchen die Schüler in verschie-denen Vierecken nach rechtwinkligen Dreiecken und wenden den Satz von Pythagoras in Vierecken an.

Zum Ablauf im Einzelnen:1. Arbeitsschritt: Jeder Schüler erhält per Los eines der Beispiele M1.A1a) bis e) und bearbeitet die ent-sprechende Aufgabe in EA. Im Schulheft wird dazu eine Zeichnung angefertigt. In Expertengruppen werden die Ergebnisse anschließend verglichen und man einigt sich auf eine gemeinsame Lösung.

2. Arbeitsschritt: In der Mix-Gruppe erklärt der je-weilige Experte mithilfe seiner angefertigten Zeich-nung sein Beispiel. Fragen werden geklärt.

3. Arbeitsschritt: Die Schüler jeder Mix-Gruppe erstellen ein möglichst übersichtliches Lernplakat über alle Vierecke.

4. Arbeitsschritt: In einem Museumsrundgang werden die einzelnen Plakate aller Gruppen prä-sentiert und anschließend auf ihre Tauglichkeit als übersichtliches Lernplakat bepunktet. Jeder Schü-ler erhält dazu 4 Punkte, die er vergeben kann. Pro Plakat darf ein Schüler maximal 2 seiner 4 Punkte vergeben.

LS 04 Pythagoras in ebenen Figuren

Notizen:

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04 PythagorasinebenenFiguren

A1

In den folgenden Aufgaben a) bis e) sollst du die Eigenschaften des jeweiligen Vierecks und seine Flächenformel zuerst gut wiederholen. Anschließend wird die Figur nach rechtwinkligen Dreiecken abgesucht. Folgende Fragen können dir dabei hilfreich sein:

In welchen rechtwinkligen Dreiecken sind zwei Seiten gegeben?

In welchen rechtwinkligen Dreiecken kommt die gesuchte Länge vor?

Welche Längen sind in diesen Dreiecken zu berechnen?

a) Parallelogramm:

Ein Parallelogramm ist durch die Seiten a = 140 cm, b = 85 cm und ha = 75 cm gegeben.

• Bestimme die Längen der Diagonalen.• Berechne die Höhe h

b auf die Seite b.

• Berechne den Flächeninhalt.• Welche Hilfslängen werden bei der Berechnung des Parallelogramms immer gebraucht? • Welche Überlegung benötigst du zur Berechnung der Höhe h

b?

Fertige eine Zeichnung in deinem Schulheft an, die deinen Mitschülern und Mitschülerinnen hilft, deine Überlegungen zum Parallelogramm zu verstehen.

b) Rhombus (Raute)

Ein Rhombus ist durch die Seitenlänge a = 37 cm und die Diagonalenlänge e (= _

AC ) = 70 cm gegeben.

• Bestimme die Länge der anderen Diagonale.• Berechne die Höhe h auf eine Seite.• Berechne den Flächeninhalt. Welche Formeln gibt es dafür? • Welche Hilfslängen werden bei der Berechnung der Raute immer gebraucht?• Welche Überlegung benötigst du zur Berechnung der Höhe h?

Fertige eine Zeichnung in deinem Schulheft an, die deinen Mitschülern und Mitschülerinnen hilft, deine Überlegungen zum Rhombus zu verstehen.

c) Trapez

Ein allgemeines Trapez ist durch folgende Bestimmungsstücke a = 50 mm, b = 26 mm, d = 30 mm, h = 24 mm gegeben.

• Bestimme die Längen der Diagonalen.• Berechne den Flächeninhalt.• Welche Hilfslängen werden bei der Berechnung des Trapezes immer gebraucht?

Fertige eine Zeichnung in deinem Schulheft an, die deinen Mitschülern und Mitschülerinnen hilft, deine Überlegungen zum Trapez zu verstehen.

Kurzundbündig:

Hyp2 = Kath12 + Kath

22

umgeformt Kath

12 = Hyp2 – Kath

22

Die inverse Rechnungsart zum Quadrieren positiver Zahlen ist das Wurzelzie-hen:

c2 = 25

c = +– Œ__

25

c = +5, weil es sich bei diesen Beispielen immer um Längen handelt.

Pythagoras

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LS 04.M1

d) Gleichschenkliges Trapez

Ein gleichschenkliges Trapez ist durch die Bestimmungsstücke a = 40 mm, b = d = 13 mm, h = 12 mm gege-ben.

• Bestimme die Längen der Diagonalen.• Berechne den Flächeninhalt.• Welche Hilfslängen werden bei der Berechnung des gleichschenkligen Trapezes immer gebraucht?

Fertige eine Zeichnung in deinem Schulheft an, die deinen Mitschülern und Mitschülerinnen hilft, deine Überlegungen zum Trapez zu verstehen.

e) Drachenviereck

Ein Drachenviereck ist durch die Größen a = b = 37 cm, c = d = 13 cm und e = 24 cm gegeben.

• Bestimme die Länge der Diagonalen f.• Berechne den Flächeninhalt.• Welche Hilfslängen werden bei der Berechnung des Drachenvierecks oft gebraucht?

Fertige eine Zeichnung in deinem Schulheft an, die deinen Mitschülern und Mitschülerinnen hilft, deine Überlegungen zum Drachenviereck zu verstehen.

A2

Schritt 1: Stelle in deiner Gruppe mithilfe der Zeichnung in deinem Schulheft das von dir bearbeitete Vier-eck aus A1 vor und erkläre die wichtigsten Schritte, die für deine Berechnungen notwendig waren.Schritt 2: Erstellt dann gemeinsam ein Lernplakat, das euch hilft, schnell und einfach die nötigen Überlegungen zur Berechnung aller angeführten Vierecke zu erkennen.Jeder aus eurer Gruppe muss das Plakat später erklären können.

Notizen/Skizzen:

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nLS 05

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1 GA 25‘ S erstellen zu einem vorgegebenen oder ausgewählten Foto ein Textbeispiel.

M1, Kartenspiel

– Erscheinungen aus der eigenen Erfahrungswelt in mathematische Aufgaben kleiden

– Verständlichkeit der Texte reflektieren

– Fragen selbst formulieren

– Lösungswege beschreiben und begründen

– Größenverhältnisse abschätzen

– Aufgabenstellungen kritisch beurteilen

2 EA/ GA

20’ S lösen die Textbeispiele und vergleichen in der Gruppe. Sie gestalten ein Gruppenergebnis (Text vorne, Lösung hinten auf einem weißen Blatt).

unlinierte weiße DIN- A4-Blätter

3 GA 10’ L nimmt die Beispiele mit und geht in der folgenden Stunde auf Fragen, Fehler und eventuelle Lücken ein.Nach Beheben der Fehler können die Aufgaben zu einer Sammlung kopiert werden – so entsteht Übungsmaterial für eine Lernkartei.


In dieser Lernspirale formulieren die Schüler anhand von Fotos geeignete Textaufgaben zum Lehrsatz von Pythagoras.

Zum Ablauf im Einzelnen:1. Arbeitsschritt: Die Schüler finden sich per Los zu Gruppen (je 3 – 4 Schüler) zusammen und suchen sich in der Gruppe eines der Fotos aus. Auch mit-gebrachte Fotos (vom Lehrer oder den Schülern) können verwendet werden. Wenn man sehr viele Fotos hat, kann man sie in Form einer Fotoassozi-ation auflegen und die Schüler auswählen lassen. Zum gewählten Bild wird jeweils ein Text erstellt und mögliche Fragestellungen im Zusammenhang mit Pythagoras werden überlegt. Dabei muss auch auf realistische Zahlenangaben und sprachliche Korrektheit geachtet werden.

2. Arbeitsschritt: In Einzelarbeit löst jeder Schü-ler das erstellte Textbeispiel. Anschließend wird in der Gruppe verglichen, verbessert und man einigt sich auf ein Ergebnis. Dieses Gruppenergebnis wird beim Lehrer abgegeben.

3. Arbeitsschritt: Der Lehrer nimmt die Aufgaben mit und korrigiert Fehler. In der nächsten Stunde bearbeitet die Gruppe die Fehler im Text bzw. in den Rechnungen. Als HA wird der Text auf ein DIN-A5-Blatt gedruckt oder geschrieben und die Lö-sungen dazu werden auf ein zweites DIN-A5-Blatt gut leserlich geschrieben. Daraus kann der Lehrer Übungsmaterial für die Klasse (Lernkarteibeispiele) kopieren.

LS 05 Überall Pythagoras?

Notizen:

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LS 05.M1

Wählt in der Gruppe eines der Bilder auf den folgenden Seiten aus und erstellt dazu eine Textaufgabe mit möglichst vielen unterschiedlichen Fragestellungen. Schreibt die von euch erfundene Textaufgabe auf ein Blatt und auf die Rückseite die vollständige Berechnung der Lösung. Selbstverständlich könnt ihr auch selbst mit einer Kamera Jagd auf Fotos machen, zu denen Textaufgaben zum pythagoreischen Lehrsatz erstellt werden können.

05 ÜberallPythagoras?

e) f)

c) d)

b)a)

g) h)

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1 EA 10‘ S zeichnen in einen Quader mithilfe der Raumdiagonale rechtwinklige Dreiecke ein und berechnen die Diago-nalenlänge.

M1.A1 a), b),

Loskärtchen mit

Beschriftungen A, B, C, D

– Problem zeichnerisch bearbeiten

– mathematische Sachverhalte schriftlich ausdrücken

– mit Variablen arbeiten und Formeln erstellen

– vertraute Modelle erstellen und zu Hilfe nehmen

– Resultate vergleichen

– Fragen klären

– Folien gestalten und präsentieren

– mit bekannten Formeln umgehen

– Zusammenhang zu komplexeren Fragestellungen herstellen

2 GA 15’ S vergleichen in Gruppen mit unterschiedlichen Ausgangs-eckpunkten das Ergebnis und erstellen eine Formel.

M1.A1 c), d)

3 PL 10’ Präsentation der Formeln und Vervollständigung auf dem Arbeitsblatt.

M1.A1d)

4 GA 30’ S basteln jeweils das Kantenmodell des ihnen zugeteilten Körpers und führen die Arbeitsaufträge zu M1.A2a) aus.

M1.A2a), Draht, Zange, Kartenspiel

5 GA 30’ S tauschen sich in Mix-Gruppen (jeweils drei S) aus und gestalten eine Folie mit allen drei Körpern.

M1.A2b), Folie,

Folienstifte

6 PL 10‘ S präsentieren die Folie im Plenum und klären auftre-tende Fragen.

Tageslicht- projektor

7 EA 10‘ S vervollständigen die Tabelle. M1.A2c)

8 EA/ PA

20‘ S bearbeiten die Aufgabe, tauschen sich mit dem Sitz-nachbarn aus und geben die Lösungen beim L ab.

M1.A3


In dieser Lernspirale beschäftigen sich die Schüler mit der räumlichen Anwendung des Satzes von Py-thagoras in Quader und Pyramide.

Zum Ablauf im Einzelnen:1. Arbeitsschritt: Die Schüler werden durch Los-karten (A, B, C, D) einem Eckpunkt des Quaders zu-gelost. Sie zeichnen von diesem Eckpunkt aus die Raumdiagonale des Quaders ein und führen die Aufträge M1.A1a) und b) aus.

2. Arbeitsschritt: In Vierergruppen (je 4 Schüler mit unterschiedlichen Eckpunkten) werden die Ergeb-nisse vorgestellt, die Frage M1.A1c) beantwortet und Formeln in M1.A1d) eingetragen.

3. Arbeitsschritt: Die Formeln werden der Klasse von einem zufällig ausgewählten Schüler präsentiert.

4. Arbeitsschritt: Die Schüler ziehen eine Karte und setzen sich in Vierergruppen (4 Damen, 4 Könige

usw.) zusammen. Sie basteln aus Draht gemein-sam jeweils das Kantenmodell eines der drei Kör-per (Zuteilung kann durch den Lehrer gesteuert werden) und bearbeiten gemeinsam M1.A2a).

5. Arbeitsschritt: In Mix-Gruppen (je 3 Schüler) stel-len die Schüler ihre Aufgabenstellungen vor, gehen auf Gemeinsamkeiten ein und gestalten eine Folie mit Zeichnungen und Formeln zu allen drei Körpern M1.A2b).

6. Arbeitsschritt: Eine zufällig ausgewählte Grup-pe stellt die Folie vor und beantwortet auftretende Fragen.

7. Arbeitsschritt: Jeder Schüler vervollständigt die Tabelle.

8. Arbeitsschritt: Jeder Schüler wendet Formeln im Oktaeder an und vergleicht mit dem Sitznachbarn. Die Lösung wird beim Lehrer abgegeben.

LS 06 Pythagoras im Raum

Notizen:

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LS 06.M1

A1

In folgendem Quader ABCDEFGH möchte man die Länge der Raumdiagonale bestimmen.Die Raumdiagonale d geht von der Ecke A (B, C, D) aus.a) Suche die zu dem dir zugelosten Eckpunkt gehörende Raumdiagonale und zeichne das entstehende

rechtwinklige Dreieck in die unten abgebildete Figur; male dabei die Hypotenuse rot und die beiden Katheten grün an.

b) Berechne jetzt die Länge der Raumdiagonalen d.

06 PythagorasimRaum

a = 7 cm

c = 5 cm

b = 4 cm

A B

D

E

H G

C

F

Eine Raumdiago-nale verbindet zwei Eckpunkte eines Körpers quer durch den Raum – hier z. B. von einem Eckpunkt „vorne links unten“ (A) der Grundfläche zum Eckpunkt „hinten rechts oben“ (G) der Deckfläche.

c) Wie viele Raumdiagonalen gibt es im Quader?

d) Gib jeweils eine Formel für die Raumdiagonale im Quader (mit den Seitenlängen a, b, c) und im Würfel (Seitenlänge a) an:

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A2

a) Baut aus Draht das Kantenmodell einer ... 1) Pyramide mit rechteckiger Grundfläche (a, b, s).2) quadratischen Pyramide (a, a, s).3) gleichseitigen, quadratischen Pyramide (a, a, a).

Ergänzt in „eurem“ Modell die Diagonalen der Grundfläche, die Körperhöhe h und die Höhen der Seitenflächen. Sucht alle vorkommenden rechtwinkligen Dreiecke in dem von euch hergestellten Modell und berechnet allgemein die Höhen der Seitenflächen h

a (bzw. h

b) und

die Körperhöhe h. Gebt dabei zwei verschiedene Wege der Berechnung an.

b) Vergleicht eure Ergebnisse nun in Dreiergruppen und fertigt zu jedem der drei Modelle eine Zeichnung auf einer Folie an.

c) Übertrage die Zeichnungen aus Aufgabe b) in folgende Tabelle und vervollständige sie.

Rechteckige Pyramide

ha =

ha =

hb =

hb =

h =

h =

Quadratische Pyramide

ha =

ha =

h =

h =

Gleichseitige Pyramide

ha =

ha =

h =

h =

A3

Aus einem Würfel (a = 8 cm) erhältst du ein regelmäßiges Oktaeder, wenn du die Mittelpunkte der einzelnen Würfelflächen miteinander verbindest.a) Zeichne so ein Oktaeder in dein Heft und berechne seine Kantenlänge s.b) Berechne die Oberfläche und das Volumen dieses Oktaeders.c) Wie viel Prozent des Würfelvolumens macht das Oktaedervolumen aus?

Erinneredich:

Das Volumen einer Pyramide berechnet man so:

Grundflächeninhalt · Höhe ______________ 3

Erinneredich:

Die Oberfläche der Pyramide setzt sich aus der Grundfläche und den Seitenflä-chen zusammen.

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LS 07


1 EA Jeder S bearbeitet eine Aufgabe aus der Lernkartei und überprüft seine Lösung.

M1, M2, M3, Aufgabenliste

(DIN-A3- Format)

– eigenverantwortliches Üben

– Blick auf das eigene Können

– verantwortliches Umgehen mit Fehlern

– auf Fragen antworten

– erklären können

– Übungspensum einteilen

– Routinen entwickeln

2 PA S besprechen Fehler und schließen Lücken. Liste

3 EA S wählt eine neue Aufgabe usw.


In dieser Lernspirale bilden die Schüler Routinen beim Lösen von Aufgaben mithilfe des Satzes von Pythagoras, indem sie selbstständig selbstge-wählte Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeits-graden durcharbeiten.

Zum Ablauf im Einzelnen:1. Arbeitsschritt: Der Lehrer gibt an, wie viele Aufgaben des jeweiligen Schwierigkeitsgrades mindestens zu bewältigen sind und verweist auf die Sinnhaftigkeit des individuellen Übens. Jeder Schüler nimmt eine Aufgabenkarte, schreibt die Aufgabenstellung in sein Schulheft, legt die Karte zurück und löst die Aufgabe in EA. Der Schüler kon-trolliert sein Ergebnis mit dem Lösungsblatt. Ist das Ergebnis richtig, kann er es in der Liste mit einem Häkchen und seinem Namen versehen. Damit stellt sich der Schüler als Experte für diese Aufgabe zur Verfügung.

2. Arbeitsschritt: Falls ein Schüler ein gewähltes Beispiel nicht eigenständig bearbeiten und lösen kann, kann er in der Liste einen Experten für diese Aufgabe ausfindig machen und gemeinsam mit ihm das Beispiel bearbeiten und es sich erklären lassen.Im ersten Durchgang wird der Lehrer als Experte noch stärker gefordert, dann sollte das Ganze zu-nehmend in die Eigenverantwortung der Schüler übergehen.

3. Arbeitsschritt: siehe 1.

Achtung: Es ist sinnvoll, dass jeder Schüler eine in-dividuelle Anzahl von Aufgaben bewältigt, je nach Können, Schnelligkeit, usw.

LS 07 Individuelles Üben mit der Lernkartei

Als Vorbereitung kopiert der L die kleine Sammlung (M2) von Aufgaben zum Satz von Pytha-goras in 3 Schwierigkeitsstu-fen auf Karton und schneidet Kärtchen zurecht. Es können weitere Aufgaben zur Lernkartei hinzuge-fügt werden. Die Lö-sungsblätter können separat ausliegen.

Außerdem muss in der Klasse eine Liste mit den Aufgaben-nummern aufge-hängt werden, damit sich jeder S bei einer von ihm gelösten Aufgabe eintragen kann.

Merkposten

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07 IndividuellesÜbenmitderLernkartei

Euer Lehrer stellt der Klasse eine Lernkartei über Pythagoras zur Verfügung. Dabei gibt es leichte, mittlere und schwierigere Aufgaben.

1) Wähle dir eine Aufgabe mit entsprechendem Schwierigkeitsgrad aus.2) Schreibe die Aufgabe in dein Schulheft.3) Löse die Aufgabe in Einzelarbeit.4) Vergleiche deine Lösung mit dem Lösungsblatt, das bei deinem Lehrer bzw. deiner Lehrerin auf dem

Tisch liegt.5) Bei richtiger Lösung hake das Beispiel in der Aufgabenliste, die in der Klasse hängt, ab und schreibe

deinen Namen dahinter (du musst dann in der Lage sein, dieses Beispiel gut erklären zu können).6) Wenn du Fragen hast, besprich Fehlerhaftes bzw. Lücken mit jenen Mitschülern und Mitschülerinnen,

die diese Aufgabe schon gelöst haben (siehe Aufgabenliste). 7) Auch der Lehrer bzw. die Lehrerin steht dir für Fragen zur Verfügung.

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LS 07.M2

Lernkartei (Teil 1)

a1Ein Drachen hängt an einer 45 m langen Schnur und wird bei starkem Wind 24 m weit abgetrieben, sodass die Schnur fast gerade gespannt ist. Wie hoch befindet sich der Dra-chen über dem Boden?

a2Herr Maier möchte für seinen Hobbyraum eine möglichst breite und 3 m lange Arbeitsplatte bestellen. Wie breit kann die Platte höchstens sein, wenn die Tür in den Raum 120 cm breit und 220 cm hoch ist?

a3Zu einer 1,4 m hohen Einfahrt eines Lagerraumes führt eine 5 m lange Rampe. In welcher Entfernung vom Lagerraum beginnt die Rampe?

a4Wie viele Meter Holzlatten benötigt man in etwa für den Rahmen und die Diagonalen eines 4,6 m breiten und 1,3 m hohen Gartentores?

b1Eine 3,2 km lange Seilbahn führt vom Ort Kirchberg (See-höhe 740 m) zur Ochsenwandspitze (Seehöhe 2120 m). Wie weit sind die Talstation und die Bergstation der Seilbahn auf einer Wanderkarte (Maßstab 1 : 25 000) voneinander entfernt?

b2Bei einem kleinen Gartenhaus (Breite 4,2 m) sind die Dach-balken 3 m lang und stehen 50 cm über die Seitenwand (Höhe 2,4 m) hinaus. Wie hoch ist das Gartenhaus am First?

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LS 07.M2

b3Bei der Pflanzung eines Baumes wird ein Pflock zur Befe-stigung benötigt. Der Pflock sollte ca. 20 cm tief in die Erde gesteckt werden und vom Stamm 40 cm weit entfernt sein, um die Wurzeln nicht zu beschädigen. Die Befestigung am Baum sollte etwa in einer Höhe von 120 cm erfolgen. Wie lang sollte der Pflock mindestens sein?

b4Das Getränk „Schlaufit“ ist in einer quaderförmigen Verpa-ckung (a = 8 cm, b = 3 cm, h = 10 cm) abgefüllt. In einer Ecke der Deckfläche ist ein Öffnung für den Trinkhalm vorgese-hen. Wie lang muss der Trinkhalm mindestens sein, damit er nicht in der Verpackung verschwinden kann?

c1Ein großer Sonnenschirm auf einer Terrasse ist 4 m lang und 3 m breit. Die waagrechten Streben zu den Eckpunkten liegen 50 cm unterhalb der Spitze. Wie lang sind die Streben von der Spitze bis zu einem Eckpunkt?

c2Ein Blumenbeet hat die Form eines Parallelogramms. Es ist 4 m lang und 3 m breit, der Abstand der längeren Par-allelseiten beträgt 2,5 m. Entlang der Diagonalen werden Bewässerungsrohre verlegt. Wie viele Meter Rohr werden in etwa benötigt?

c3Ein pyramidenförmiges Zelt mit quadratischer Grundfläche (a = 3 m) ist 2,5 m hoch. Wie lang sind die Stangen, welche an den Seitenkanten und an den Seitenhöhen verlaufen?

c4Neben einem Haus steht in 4,8 m Entfernung ein 9,5 m ho-her Baum. Der Hausbesitzer fragt sich nun, in welcher Höhe der Baum bei einem Sturm umknicken darf, damit dem Haus nichts passiert. Zu welchem Ergebnis kommst du?

Lernkartei (Teil 2)

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LS 07.M3

Lösungsblatt zur Lernkartei

Lösung zu a1:

h = ______

452 – 242 < 38

Der Drachen befindet sich ca. 38 m über dem Boden.

Lösung zu a2:

b = ________

1202 + 2202 < 250,6

Die Platte darf keinesfalls breiter als 250 cm sein.

Lösung zu a3:

e = ______

52 – 1,42 = 4,8

Die Rampe beginnt 4,8 m vor dem Lagerraum.

Lösung zu a4:

d = _______

4,62 + 1,32 < 4.8

2 · (4,8 + 4,6 + 1,3) = 21,4

Man benötigt etwa 21,4 m Holzlatten.

Lösung zu b1:

Horizontale Entfernung:

e = _________

32002 – 13802 < 2887

Entfernung auf der Wanderkarte: 2887 : 25 000 < 0,115 = 11,5

Die echte Entfernung beträgt 2887 m. Das entspricht einer Entfernung von ungefähr 11,5 cm auf der Wanderkarte.

Lösung zu b2:

Höhe der Dachschräge:

h = _______

2,52 – 2,12 < 1,36Die Höhe der Dachschräge beträgt 1,36 m.

Firsthöhe: 1,36 + 2,4 = 3,76Die Firsthöhe beträgt 3,76 m.

Lösung zu b3:

Länge vom Boden bis zur Baummitte:

_______

1202 + 402 < 126,5

Der Pflock sollte mindestens 146,5 m lang sein.

Lösung zu b4:

Raumdiagonale:

d = ________

82 + 32 + 102 < 13,2

Der Trinkhalm muss deutlich länger als 13,2 cm sein.

Lösung zu c1:

Diagonale (waagrechte Streben): d =

_____ 42 + 32 = 5; 5 : 2 = 2,5

Strebenlänge (schräge Streben):

_______ 2,52 + 0,52 < 2,55

Die waagerechten Streben sind 2,5 m lang. Die schrägen Stre-ben sind 2,55 m lang.

Lösung zu c2:

x = ______

32 – 2,52 < 1,66

d1 =

___________ (4 + 1,66)2 + 2,52 < 6,19

d2 =

___________ (4 – 1,66)2 + 2,52 < 3,42

Die Rohre müssen etwa 9,6 m lang sein.

Lösung zu c3:

d = _____

32 + 32 < 4,24

Stangenlängen:

s = ________

2,122 + 2,52 < 3,28

ha =

_______ 1,52 + 2,52 < 2,92

An den Seitenkanten sind die Stangen 3,28 m lang, an den Seitenhöhen 2,92 m.

Lösung zu c4:

x ist das obere Baumstück:

Gleichung: (9,5 – x)2 + 4,82 = x2

x < 6 m

Wenn der Baum abknickt, dann muss er in einer Höhe von mindestens 3,5 m abknicken, sonst trifft er das Haus.

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Lerneinheit 2: PythagorasLösungen

LS 04.M1

A1 a) Die Höhe ha bestimmt einen Abschnitt x = 40 cm auf der Seite a;

Diagonalen: __

AC = 195 cm; ___

BD = 125 cm Höhe h

b < 123,53 cm (Berechnung erfolgt mithilfe der Flächenformel)

b) f = 24 cm; h < 22,7 cm (Berechnung erfolgt mithilfe der Flächenformel), A = 840 cm2

c) Die Höhe h bestimmt zweimal zwei Abschnitte x und y auf der Seite a: einmal x1 = 18 mm, y

1 = 32

mm und einmal x2 = 10 mm und y

2 = 40 mm; Diagonalen:

__ AC < 46,6 mm;

___ BD = 40 mm; Seite c = 22

mm; Fläche A = 864 mm2

d) Die Höhe h bestimmt zwei gleich lange Abschnitte x1 und x

2 auf der Seite a: x

1 = x

2 = 5 mm;

Diagonalen: __

AC = ___

BD = 37 mm; Seite c = 30 mm; Fläche A = 420 mm2

e) Die Diagonale f bestimmt die Symmetrieachse und wird durch die Diagonale e in zwei Teile x und y zerlegt. x = 35 cm, y = 5 cm; Diagonale f = 40 cm; Fläche A = 480 cm2

LS 06.M1

A1 4 Raumdiagonalen mit d = ________

a2 + b2 + c2 < 9,5 cm

A3 Ein Oktaeder besteht aus zwei gleichseitigen Pyramiden. Die Höhe einer Pyramide entspricht der halben Würfelhöhe, also h = 4 cm. Der Abstand von einander gegenüberliegenden Spitzen entspricht genau einer Würfelseite. Damit gilt für die Kantenlänge s des Oktaeders: s =

_____ 42 + 42 < 5,66.

Die Kanten sind also etwa 5,66 cm lang.

Volumen: VWürfel

= 8 · 8 · 8 cm3 = 512 cm3; VOktaeder

= 2 · ( 1 _ 3 · 32 · 4) cm3 < 85,3 cm3.

Das entspricht einem Sechstel des Würfelvolumens bzw. etwa 16,6 % des Würfelvolumens.

LS 08.M1

A1 1. Schritt: c2 = a2 + b2

2. Schritt: a2 = h2 + q2 bzw. b2 = h2 + p2; h2 = a2 – q2 und h2 = b2 – p2

3. Schritt: 2h2 = a2 – q2 + b2 – p2 = a2 + b2 – q2 – p2 = c2 – q2 – p2

2h2 = (p+q)2 – q2 – p2 ; daraus folgt mithilfe der binomischen Formeln: 2pq = 2h2

und somit h2 = pq

A2 1. Schritt: c2 = a2 + b2

2. Schritt: a2 = h2 + q2 bzw. b2 = h2 + p2

3. Schritt: (p+q)2 = a2 + h2 + p2; daraus folgt mithilfe der binomischen Formeln: q2 + pq = a2

und damit gilt q (p+q) = qc = a2

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Autoren: Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.) Covergestaltung: fotosatz griesheim GmbH – Norbert Funk Umschlagfoto: Thomas Weccard Illustrationen: Steffen Jähde Satz: Joh. Walch GmbH & Co. KG, Augsburg

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S. 5: Geometrie im Alltag: Christa Juen-Kretschmer

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Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.) … · ... b = 85 cm und h a ... 1 EA 10‘ S zeichnen in einen Quader mithilfe der Raumdiagonale ... nachbarn aus und geben die Lösungen