Kapitel 6 Variablenauswahl und Missspezifikation

Kapitel 6

Variablenauswahl und Missspezifikation

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (6)

2

Einkommen und Konsum: Zuwachsraten

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

PYR_D4

PC

R_D

4

PCR_D4 vs. PYR_D4

PCR_D4: Privater Konsum, real, ZuwachsratePYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real, Zuwachsrate1970:1-2003:4Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis


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Konsumfunktion mit Trend

Dependent Variable: PCR_D4Method: Least SquaresDate: 02/06/05 Time: 18:06Sample(adjusted): 1971:1 2003:4Included observations: 132 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.018102 0.001932 9.371381 0.0000PYR_D4 0.658909 0.044736 14.72892 0.0000TREND -0.0902010.019479 -4.6305970.0000

R-squared 0.700178 Mean dependent var 0.024451Adjusted R-squared 0.695529 S.D. dependent var 0.014821S.E. of regression 0.008178 Akaike info criterion -6.752286Sum squared resid 0.008627 Schwarz criterion -6.686768Log likelihood 448.6509 F-statistic 150.6275Durbin-Watson stat 0.564318 Prob(F-statistic) 0.000000


4


AWM-DatenbasisC: Privater Konsum, Zuwachsraten (PCR)Y: Verfügbares Einkommen der Haushalte, Zuwachsraten (PYR)

Erweiterung des Modells um Trend Tt = t/1000

C = + Y + T + u

liefert

2ˆ 0.011 0.718 , 0.648C Y R

2ˆ 0.018 0.659 0.090 , 0.696C Y T R


5

Konsumfunktion mit Trend, Forts.

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

75 80 85 90 95 00

Residual Actual Fitted


6

Vergleich der Schätzer für

OLS-Schätzer für von C = + Y + u

OLS-Schätzer für von C = + Y + T + u

bcy.t und bcy stimmen nur überein, wenn ryt=0

2

cycy

y

sb

s

2

. 2 2 2 21cy t ct ty cy ct ty

cy ty t yt yt

s s s s b b bb

s s s r


7

Der allgemeine Fall

OLS-Schätzer für von Y = + X2 + u bzw.

von Y = + X2 + X3 + u

zeigt, wie by2 zu korrigieren ist, wenn X3 im Modell enthalten

Unkorrelierte oder orthogonale Regressoren (r23=0, b23=0): by2.3=by2

Beliebige, nicht orthogonale Regressoren: by2.3 kann größer oder kleiner als by2 sein

2 3 322.3 2

231y y

y

b b bb

r


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Multiple Regression

Vergleich der ModelleY = X + u (A)Y = X + Z + v (B)

OLS-Schätzer b für aus (A):

OLS-Schätzer für aus (B) kann auf zwei Arten geschrieben werden:

mit Mz = I-Z(Z‘Z)-1Z‘

1( ' ) 'b X X X y

1

1

ˆ ˆ( ' ) '( ) (1)

ˆ ( ' ) ' (2)z z

X X X y Z

X M X X M y


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Interpretation des Schätzers

Darstellung (1) zeigt Korrektur von b für Berücksichtigung von Z Darstellung (2): mit den Residuen

können wir schreiben

Den Schätzer erhalten wir also auch durch OLS-Anpassung von

,z zy M y X M X

1ˆ ( ' ) 'X X X y

y X


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Interpretation von , Forts.

gibt den Effekt einer Änderung der Regressoren aus X an, nachdem der Effekt der Regressoren aus Z berücksichtigt wurde

Partielle Regressionskoeffizienten: Z enthalte alle Regressoren außer die Variable X (gilt für jedes X);

repräsentiert den Effekt von X auf Y, nachdem die Information aus X über Y, die in den Zi enthalten ist, bereits berücksichtigt wurde

mit kommt nur mehr die nicht schon in den Zi enthaltene Information zum Tragen; wir nennen die Regressionskoeffizienten einer multiplen Regression auch partielle Regressionskoeffizienten

1ˆ ( ' ) 'b x x x y


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Residuen von C = + T + u:

Analog:

Regression von Konsum-Residuen auf Einkommens-Residuen:

Vergleiche:

(0.0277 0.1234 )Y Y T (0.0364 0.1715 )C C T

0.6589C Y

ˆ 0.0181 0.6589 0.0902C Y T


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Frisch-Waugh-Theorem

Werden alle Regressoren hinsichtlich einer Variablen durch OLS-Anpassung adjustiert und in der Regression die Regressoren durch die so erhaltenen Residuen ersetzt, so ergeben sich die gleichen Schätzer wie im Modell, das die nicht-adjustierten Variablen und zusätzlich die adjustierende Variable enthält.

Beispiel: Behandlung eines Trends Elimination des Trends aus abhängiger Variabler und aus

Regressoren; Modellierung mit adjustierten Variablen Berücksichtigung eines Trends im Modellgibt die gleichen Schätzer


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Zwei Fälle von Missspezifikation

1. Ein relevanter Regressor bleibt im Modell unberücksichtigt

2. Ein nicht relevanter Regressor wird in das Modell aufgenommen

Untersuchung mittels der Modelle (A) und (B):

Fall 1: Modell (B) ist korrekt, wir spezifizieren fälschlich Modell (A); welche Eigenschaften hat der Schätzer b?

Fall 2: Modell (A) ist korrekt, wir spezifizieren fälschlich Modell (B); welche Eigenschaften hat der Schätzer ?


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Eigenschaften von b und

B = (X‘X)-1X‘y ist bester, erwartungstreuer Schätzer für aus Modell (A)

Var(b) = 2(X‘X)-1

Gilt Modell (B), so ergibt sich

Man kann zeigen

2 1

ˆ

ˆ ( ' )z

E

Var X M X

ˆ 0Var Var b


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Eigenschaften von b im Fall (1)

Relevante Regressoren nicht berücksichtigt

b ist verzerrt:

Das Vorzeichen des Bias ist schwer abzuschätzen

Die Varianz der Störgrößen wird überschätzt

1( )E b X X X Z

2 1( )Var b X X

2 2ˆ 0( )

xZ M ZE

n k g


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Das Modell lässt den Regressor T unberücksichtigt:

Bias des Vektors der Schätzer (a, b)':

(X‘X)-1X‘t

Wir erhalten für b:

und

ˆ 0.0157 0.6589 0.0902C Y T ˆ 0.011 0.718C Y

2

yt

y

sE b

s

2 2

0.00021ˆ ( 0.00902) 0.0583

0.00028yt yt

y y

s sBias b

s s


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Eigenschaften von im Fall (2)

Nicht relevante Regressoren werden berücksichtigt

ist unverzerrt

Zu große Varianzen

keine effizienten Schätzer

ˆE

2 1 2 1ˆ ( ) ( )zVar X M X X X Var b


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Tests für H0: = 0

Entscheidung zwischen [X: nx(k-g), Z: nxg]Y = X + u

und Y = X + Z + v

H0: = 0 bedeutet, dass kein Regressor aus Z relevant ist

H1: ≠ 0 bedeutet, dass mindestens ein Regressor aus Z relevant ist

Wenn g =1: t -Test Wenn g >1:

F-Test Varianten des F-Tests


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F-Test

Asymptotische Verteilung von

N[, 2(Z‘MxZ)-1]

gilt exakt, wenn v ~ N(0,2I)

Die Teststatistik F des F-Tests ist unter H0: = 0 verteilt nach

F(g, n-k)

Vergleiche F-Statistik (5.4.4) mit

ˆ ˆ( )ˆ ˆxZ M Z n k

Fv v g

2

2

ˆ( )

1 1tt

tt

Y Y n k ESS n kF

e k RSS k


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F-Statistik: Schreibweisen

e: Residuen aus Y = X + u:

Wegen ergibt sich

bzw. die Ungleichung Die Summe der quadrierten Residuen kann durch Hinzufügen von

erklärenden Variablen nicht größer werden.

mit SR=e‘e und analog S; der Index R steht für „restringiert“ (= 0)

ˆ ˆx xe M y v M Z ˆ 0X v ˆ ˆ ˆ ˆ' xe e v v Z M Z

ˆ ˆ'e e v v

ˆ ˆ

ˆ ˆRS Se e v v n k n k

Fv v g S g


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F-Statistik: Berechnung

In drei Schritten:

1. Anpassen des kurzen Modells Y = X + u an die Regressoren aus X, Berechnen der Residuen e

2. Anpassen des weiteren Modells Y = X + Z + v an die Variablen aus X und Z, Berechnen der Residuen

3. Berechnen vonˆ ˆ

ˆ ˆRS Se e v v n k n k

Fv v g S g

v


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Konsumfunktion, Forts.

Drei Schritte:

1. Anpassen des kurzen Modells Y = X + u an die Regressoren aus X, e‘e = 0.010061

2. Anpassen des weiteren Modells Y = X + Z + v an die Variablen aus X und Z, = 0.008627

3. Berechnen von

p-Wert: 0.000009

t-Statistik für Trendvariable: -4.6306; ergibt quadriert: 21.44

ˆ ˆ 0.01061 0.008627 132 321.44

ˆ ˆ 0.008627 1

e e v v n kF

v v g

ˆ ˆv v


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Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010708 0.001169 9.156915 0.0000PYR_D4 0.717628 0.046151 15.54963 0.0000



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Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.018102 0.001932 9.371381 0.0000PYR_D4 0.658909 0.044736 14.72892 0.0000TREND -0.0902010.019479 -4.6305970.0000


(-4.630597)2 = 21.4424


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F-Test: Variante

Teststatistik

mit Bestimmtheitsmaß Re2 aus der Regression der Residuen e auf

Regressoren aus X und Z

Die Teststatistik gF ist unter H0: = 0 näherungsweise nach der Chi-Quadrat-Verteilung mit g Freiheitsgraden verteilt

2ˆ ˆ ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ e

e e v v e e v vgF n k n nR

v v v v

2 2 ( )egF nR g


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Ramsey‘s RESET-Test

RESET: Regression Equation Specification Error

Zum Überprüfen der funktionalen Form der Regressoren

Testet H0: = 0 für Y = X + Z + v mit

Zutreffen von H0 bedeutet, dass die funktionale Form (Linearität) der Regressoren korrekt ist

Tests: t-Test, wenn g = 1 F-Test asymptotischer Chi-Quadrat-Test (Teststatistik gF)

2 3ˆ ˆ( , ,...)t t tz Y Y


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Spezifikation C = a + bY + u liefert

Überprüfen durch Erweitern:

mit Standardfehler 3.976 für den Koeffizienten von Ĉ; t -Test gibt p-Wert von 0.437

Kein Hinweis auf Fehler in der funktionalen Form

ˆ 0.011 0.718C Y

2ˆ ˆ0.011 0.826 3.100C Y C


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Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010918 0.001202 9.084925 0.0000PYR_D4 0.826382 0.146943 5.623812 0.0000PCR_D4F^2 -3.1001323.976149 -0.7796820.4370


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