Mathe Sicher Können - Förderbausteine...im Rahmen von `Mathe sicher können´, einer Initiative der Deutsche Telekom Stiftung. 9783060048991 Inhalt_S001-003.indd 1 23.01.14 10:43

Für Schülerinnen und Schüler

Förderbausteinezur Sicherung mathematischer BasiskompetenzenDamit du in Mathematik immer gut mitkommen kannst, brauchst du eine sichere Basis.

Dieses Förderheft hilft dir dabei, diese wichtigen Themen besser zu verstehen. Das klappt besonders gut, wenn ihr über eure Ideen und Lösungswege sprecht.

Mit den Förderbausteinen könnt ihr die folgenden Grundlagen noch einmal erarbeiten und üben:

• Brüche und Prozente verstehen • Gleichwertigkeit von Brüchen verstehen• Brüche und Prozente ordnen • Mit Brüchen rechnen• Stellenwerte von Dezimalzahlen verstehen• Dezimalzahlen ordnen und vergleichen• Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen• Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen• Dezimalzahlen und Brüche ineinander umwandeln

Brüche, Prozente, Dezimalzahlen

zur Sicherung mathematischer Basiskompetenzen

ISBN 978-3-06-004899-1

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Auszug "B2 - Gleichwertigkeit verstehen" aus:

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Mathe sicher können

Diagnose- und Förderkonzept zur Sicherung mathematischer Basiskompetenzen

Förderbausteine Brüche, Prozente und Dezimalzahlen

Herausgegeben von Susanne Prediger Christoph Selter Stephan Hußmann Marcus Nührenbörger

Entwickelt und Erprobt von Stephan Hußmann Birte Pöhler Susanne Prediger Andrea Schink Lara Sprenger

Erarbeitet an der Technischen Universität Dortmund im Rahmen von `Mathe sicher können´, einer Initiative der Deutsche Telekom Stiftung.

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Herausgeber: Susanne Prediger, Christoph Selter, Stephan Hußmann, Marcus NührenbörgerAutorinnen und Autoren: Stephan Hußmann, Birte Pöhler, Susanne Prediger, Andrea Schink, Lara Sprenger

Redaktion: Corinna Mosandl, Birte Pöhler, Lara SprengerIllustration der Figuren: Andrea Schink Alle sonstigen Bildrechte für Illustrationen und technische Figuren liegen bei den Herausgebern.

Umschlaggestaltung: Corinna Babylon

Unter der folgenden Adresse befinden sich multimediale Zusatzangebote:www.mathe-sicher-koennen.de/Material

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1. Auflage, 1. Druck 2014

© 2014 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin

Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschutzt.Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages.Hinweis zu den §§ 46, 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile durfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt oder sonst öffentlich zugänglich gemacht werden.Dies gilt auch fur Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

Druck: H. Heenemann, Berlin

ISBN 978-3-06-004899-1

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Inhaltsverzeichnis der Förderbausteine

Förderbausteine zum Bruchverständnis B1 Brüche und Prozente verstehen

B1 A Ich kann Anteile von einem Ganzen bestimmen und darstellen 4

B1 B Ich kann Prozente bestimmen und darstellen 10

B1 C Ich kann Anteile von Mengen bestimmen und darstellen 14

B2 Gleichwertigkeit verstehen

B2 A Ich kann gleichwertige Anteile in Bildern und Situationen finden 19

B2 B Ich kann gleichwertige Brüche durch Erweitern und Kürzen finden 23

B2 C Ich kann Brüche und Prozente ineinander umwandeln 28

Förderbausteine zum Rechnen mit Brüchen B3 Brüche und Prozente ordnen

B3 A Ich kann Brüche gleichnamig machen 33

B3 B Ich kann Brüche und Prozente vergleichen und der Größe nach ordnen 37

B4 Mit Brüchen rechnen

B4 A Ich kann Addition und Subtraktion von Brüchen verstehen 43

Förderbausteine zum Dezimalverständnis D1 Stellenwerte von Dezimalzahlen verstehen

D1 A Ich kann Stellenwerte von Dezimalzahlen verstehen 49

D2 Dezimalzahlen ordnen und vergleichen

D2 A Ich kann zu Dezimalzahlen Nachbarzahlen angeben und in Schritten zählen 57

D2 B Ich kann Dezimalzahlen vergleichen und der Größe nach ordnen 62

Förderbausteine zum Rechnen mit Dezimalzahlen D3 Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen

D3 A Ich kann am Zahlenstrahl und schriftlich addieren und subtrahieren 65

D4 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen

D4 A Ich kann Dezimalzahlen mit Zehnerzahlen multiplizieren und dividieren 72

D4 B Ich kann Dezimalzahlen mit natürlichen Zahlen multiplizieren und dividieren 76

Förderbausteine zum Zusammenhang von Dezimalzahlen und Brüchen DB Ich kann einfache Dezimalzahlen und Brüche ineinander umwandeln

81

2

6

1827

=9 3

=

0,3 < 0,5

8,7 • 10 8,7 : 10

3 • 0,6 1,8 : 3

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Dieses Dokument enthält folgenden Auszug:

BausteinB2AIchkanngleichwertigeAnteileinBildernundSituationenfinden

19

26

1 GleichgroßeAnteileinBruchstreifenfinden1.1 AnteileinDownloadbalkenvergleichen

a)

KenanundLeoniewollenbeideeinenFilmherunterladen.WelcherComputerhatimMomentmehrGBgeladen?WelcherComputerhatdengrößerenAnteilgeladen,istalsoschonweiter?

b)

DukannstdieAnteileauchmit Bruchstreifenvergleichen:ÜbertragedieAnteileindieBruchstreifenundliesdieAnteileab.WelchenAnteilhatLeonie,welchenAnteilhatKenanbereitsgeladen?

c) DiebeidenAnteilesindnichtgleichwertig,alsonichtgleichgroß.

WelcheAnteilewärengleichgroß?1.2 GleichgroßeAnteileablesenundeinzeichnen

FindemitdenBruchstreifendreigleichgroßeAnteile,dieunterschiedlichheißen.

26

0 10 1

Kenan

KopierenKopierenvon"Action"nach"Filme"Abbrechen7,0GBvon10,0GB

xKopierenKopierenvon"Action"nach"Filme"

Abbrechen4,0GBvon5,0GBx

20


26

2 GleichgroßeAnteilemitundohneStreifenfinden2.1 MusterinderStreifentafelfindenundnutzen

MitBruchstreifenkannmanverschiedeneAnteilemiteinandervergleichen.

VieleStreifensindinderStreifentafel,diemanimmerwiederbenutzenkann.

a) UntersuchedieStreifentafel. WelcheStreifensinddortangeordnetundwie? Wofindestdu , , , ,…?

b) WiesiehtmaninderStreifentafel,ob genausogroßistwie ? c) FindemöglichstvieleAnteileinderStreifentafel,diegenausogroßsindwie

(1) (2) (3)

Schreibeauf: Tipp:Achtedarauf,dassduauchAnteilemitkleinerenNennernsuchst.

d) Suchegleichwertige,alsogleichgroßeAnteileinderStreifentafelzu

(1) , , (2) , , , , (3) , , , ,

e) NennteuchgegenseitigeinenAnteilausderStreifentafel undfindetdazugleichgroßeAnteile.Wechselteuchab.


21

26

2.2 Vergröbernundverfeinern

ZeichnediesenAusschnittderStreifentafelab.Vergröbere ,indemdueinengleichgroßenAnteilim4er‐Streifeneinzeichnest.

Verfeinere ,indemdudenAnteilindenfeineren16er‐Streifenüberträgst.

2.3 GleichgroßeAnteileablesenundeinzeichnen

a) Zeichne ein.WelcherAnteilistgenausogroßwie ?

Finde ingröberenundfeinerenStreifenderStreifentafelundübertragesie.

Wohastduvergröbert,woverfeinert?

b) ManfindetdurchVerfeinerndes6er‐StreifensnichtsoleichteineAnzahlvonNeunteln,diezusammengenausogroßistwie . Warum?VonwelchemStreifenkannstdudieNeuntelunddieSechstelverfeinern?

c) Findewieina)gleichgroßeAnteilezu inderStreifentafel.

ÜbertragedieAnteilein20cmlangeStreifen.WasfälltdirbeiderEinteilungderStreifenauf?

VergröbernderEinteilungVerfeinernderEinteilung

4er-Streifen8er-Streifen16er-Streifen

0 10 10 1

18 28 38 48 58 68 78416 816 1216

22


26

2.4 WenndieStreifentafelnichtreicht

a) Zeichneeinen20cmlangenStreifenundtragedenAnteil ein.

WiemusstdudenStreifenverfeinern,damitdudenAnteil guteintragenkannst?ZeichneihnineinemneuenStreifen.

b) WiemusstdudenStreifenausa)verfeinern,damitdu guteintragenkannst?

c) StellteuchgegenseitigAufgabenzumAnteilmitBruchstreifen:GebteinenAnteilvorundfindetgleichgroßeAnteile.Wechselteuchab.

2.5 GleichgroßeAnteileinSituationenfinden

DerSchokoriegelistimmergleichgroß,aberandersgeschnitten.

DieKinderbekommenallegleichvielvomSchokoriegel,alsodenselbenAnteil.ErgänzedieTabelleundüberprüfemitderStreifentafel.Wasfälltdirauf?

Kind SovieleStückehatderSchokoriegel

Teil,deneinKindbekommt

Anteil,deneinKindbekommt

Tara 12 4

Maurice 6

Rico 3

Dilara 9

Jonas 15

Sarah 8

2.6 AnteileundTeilevergleichen

a) ImBruchpuzzlepasstdasgrüne Stückindasschwarze Stück zweimalhinein.

DasschwarzeStückisteinSiebtel,dasgrüneisteinVierzehntel,alsosind .

DasgelbeStückpasstdreimalinzweiorangeneStücke.

DasorangeneStückisteinAchtel.

Wasistdasgelbe?

Wiekannstdudann andersschreiben?

b) FindemitdemPuzzleweitereAnteile,diemanandersschreibenkann.

BausteinB2BIchkanngleichwertigeBrüchedurchErweiternundKürzenfinden

23

1 GleichwertigeAnteileimKopffinden1.1 DieStreifentafelnutzen

a) Markiere inderStreifentafelundfindeweitereAnteile,diegenausogroßsind:

WelcheAnteilefindestdu,wenndudenStreifenfür vergröberst?WelcheAnteilefindestdu,wenndudenStreifenverfeinerst?WaspassiertbeimVergröbernundVerfeinernmitdenStreifen?

b) Findewieina)gleichgroßeAnteilezu .

WarumfindestdufürdiesenAnteilkeinengröberenStreifen?

1.2 GleichgroßeAnteiledurchVerfeinernimKopffinden

a)

Stelldir markiertim4er‐Streifenvor.

StelldirjetztdieMarkierungfür imfeineren12er‐Streifenvor. WievieleStückesinddamitaufdem12er‐Streifenmarkiert? WievieleZwölftelsindalsogenausogroßwie ?

KontrollieremitderStreifentafel. b) Stelldirjetzt vor.WievieleStückesindjetztaufdem12er‐Streifenmarkiert?

WievieleZwölftelsindalsogenausogroßwie ?KontrollieremitderStreifentafel.

c) Vergleichea)undb):Wasbleibtgleich,wasändertsich?

d) Stelldirfür dengleichgroßenAnteilim12er‐StreifenimKopfvor.KontrollieremitderStreifentafel.

e) Stelldirfür , , , , jeweilsdengleichgroßenAnteilim10er‐undim15er‐

Streifenvor.Wasstellstdufest?KontrollieremitderStreifentafel.

f) EinePersonsagteinenAnteil,dieanderenennteinendazupassendenfeinerenStreifenundeinengleichgroßenAnteil.KontrolliertimmermitderStreifentafel.

Und was mache ich, wenn ich keine Streifentafel habe?

Emily

24


1.3 GleichgroßeAnteiledurchVergröbernimKopffinden

a) GleichwertigeAnteilefindetmanauchbeimVergröbern,wenn

manalsoeinenBruchstreifenmitgröbererEinteilungsucht:Erkläre,wiesomansoeinengleichwertigenAnteilfindenkann.

b) Stelldirauchfür dengleichgroßenAnteilim4er‐StreifenimKopfvor. c) StelldirauchhierdieAnteileimKopfvorunderkläre:

(1)Warumist sogroßwie ?

Ist auchsogroßwie ?(2)Warumist sogroßwie ?

Ist auchsogroßwie ?(3)64telkannmannichtmehrinderStreifentafelsehen.Sind sogroßwie ?

1.4 EinteilungenverfeinernundvergröbernimKopf

a) ErgänzeerstohneStreifentafelso,dassdieAnteilegleichgroßsind.

SchreibedannalsBrüche.ÜberprüfeanderStreifentafel. Anstatt4von8sind12vonStückenimStreifenmarkiert.

Anstatt6von24sindvon8StückenimStreifenmarkiert.

Wasfälltdirauf? b) Lösewieina):

Anstattvon15sind1vonStückenimStreifenmarkiert.Wiegehstduvor?FindestdumehrereLösungen?

Rico

Wie viel im gröberen Streifen?


25

2 GleichwertigeBrüchedurchErweiternundKürzenfinden2.1 Brücheerweitern

EmilyhateinengleichwertigenBruchzu mitBruchstreifenunddurcheineRechnunggefunden.DieRechnungnenntmanErweitern.

WashatdieRechnungmitdemBildzutun? WaspassiertbeimVerfeinernimBildmitTeilundGanzem? WaspassiertbeimErweiterninEmilysRechnungmitZählerundNenner? Wosiehtmandie7imBild?

2.2 ZahlenzumErweiternfinden

a) Wiewurdehiererweitertoderverfeinert?ErkläredieAufgabenander

StreifentafelodermiteinemeigenenBild.Wasfälltdirauf?

12 3

6 6

12 45 2025

13 39 1236

34 9

12 23 2842

12 612

13 1236

23 1421

2842

b) SchreibteuchgegenseitigzweigleichwertigeBrücheaufundfindetheraus,mit

welcherZahlerweitertwurde.ErklärtdieErweiterunganderStreifentafel.2.3 ErweiternundMultiplizieren

VergleichedieBilderundRechnungen.ErkläreLeonie,warumErweiternundMalnehmennichtdasselbeist.

Erweitern und Malnehmen ist doch dasselbe?

Emily

Leonie

26


2.4 Brüchekürzen

a) EmilyhateinengleichwertigenBruchzu mitBruchstreifenund

durcheineRechnunggefunden.DieRechnungnenntmanKürzen.

WashatdieRechnungmitdemBildzutun? WaspassiertbeimVergröbernimBildmitTeilundGanzem? WaspassiertbeimKürzeninEmilysRechnungmitZählerundNenner? Wosiehtmandie8imBild?

b)

5156

Wiekannman inFünftelumwandeln?ErgänzedieRechnung.

ZeichnezudieserRechnungeinBildoderzeigesieinderStreifentafel.

Wiekannman inDrittelumwandeln?

2.5 WiemandierichtigenZahlenzumKürzenfindet

LeonieundKenanwollendenBruch kürzen.

Sieüberlegen,wiemanZahlenfindet,mitdenenmankürzenkann.

3, 6, 9, 12, 15 18, 21, ... 54, 57 ...

4, 8, 12, 16, 20, 24 ...

5, 10, 15, 20, 25 ...

6, 12, 18, 24 ...

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, ...

WarumhatLeonieinder4er‐Reihenachder24aufgehört?DurchwelcheZahlenkannLeoniekürzen?WiesiehtdergekürzteBruchaus?LösedieAufgabenwieLeonieoderKenanoderganzanders: , , , VergleichteureRechenwege.

Ich suche nach einer Zahl, in deren Reihe der Zähler und der Nenner vorkommen. Mit dieser Zahl kann ich dann kürzen, denn sie teilt Zähler und Nenner.

Ich suche nach einer Zahl durch die ich Zähler und Nenner teilen kann. Dann teile ich so oft, bis ich keine Zahl mehr zum Teilen finde.

3er‐Reihe

Emily

Leonie Kenan

4er‐Reihe

5er‐Reihe

6er‐Reihe

7er‐Reihe


27

2.6 ErweiternundKürzenüben

a) ErweiteredieBrüche.Wasfälltdirauf?ErkläremitderStreifentafel.

b) Erweitereoderkürze.GibdieZahlan,mitderdugekürztodererweiterthast.WiekommstduvomerstenzumletztenBruchineinemSchritt?

c) EinePersonnennteinenBruchundeineZahl,mitderZählerundNenner

erweitertwerdensollen,dieanderelöstdieAufgabe.Wechselteuchab.2.7 MitErweiternundKürzenexperimentieren

a) ErweiterejedenBruchnacheinandermit2,4und6: , , .Wasstellstdufest? b) GibdreiBrüchean,diemanmit4kürzenkann.

GibdreiBrüchean,diemanmit4und3kürzenkann. GibdreiBrüchean,diemanmit4abernichtmit8kürzenkann.

c) GibteseinenBruch,denmanmit10abernichtmit2und5kürzenkann?Warum(nicht)?

d) WelcheZahlenkönnenindenKästchenstehen?SuchemöglichstvieleLösungen.

=

=

=

2.8 Falschverfeinert

JonashateinengleichwertigenBruchzu mitdemNenner9gesucht.

ErkläremitderSteifentafel,warumJonasRechenwegfalschist.WiemussJonasrichtigverfeinern?

Jonas

811 =88

58 =1111

37 =33

23 =77

3 20 4 20 36 45

, denn von 6 bis 9 ist 3. Und 4 + 3 = 7.

1827 = 9 3= 6080 = = 28 = 14 2= 37 = 21 63= 1225 = = 9 = 77 154=15 3 7 48 144 63

28

BausteinB2CIchkannBrücheundProzenteineinanderumwandeln

1 BrücheinHundertstelbrücheumwandeln 1.1 HundertstelbrücheinderStreifentafelfinden

EmilywilldenBruch inProzentumwandeln.

Sieweiß,dassProzenteHundertstelbrüchesindundsuchtdeshalbim100er‐StreifenderStreifentafel.HiersiehstdueinenAusschnittderStreifentafel:

a) Beschreibe,wasEmilymacht.

Wiekannman alsHundertstelschreiben?WievielProzentistdas?

WelcheAnteilesindgenausogroß?FindegleichwertigeAnteile,alsogleichgroßeAnteilezu inderStreifentafel.

b) FindewieEmilygleichwertigeBrüchemitNenner100mitderStreifentafel.

WelcheMusterkannstduerkennen?(1) , , , , (2) , ,

c) StellteuchgegenseitigUmwandlungsaufgabenzwischenHundertstelnundanderenAnteilen.EinePersonnennteinenBruch. DieanderePersonverfeinertdenBruchzuerstinHundertstel. DannverfeinertodervergröbertsieihninanderegleichwertigeAnteile.Wechselteuchab.KontrolliertmitderStreifentafel.

Emily


29

1.2 BrüchemitNenner100durchErweiternfinden

JonaswilldenAnteil alsBruchmitNenner100schreiben.Ermachtdasso:

a) BeschreibeJonas´Rechenweg. b) WandledieAnteilewieJonasinBrüchemitdemNenner100um.

Wasfälltdirauf?(1) , , , , , , , , , (2) ,

1.3 Anteile,fürdiemankeinenBruchmitNenner100findet

a) Kenanwundertsich:

HilfKenan:Erkläre,warumman nichtalsBruchmitNenner100angebenkann.(1)ErkläremitderStreifentafel.(2)ErkläremitJonas´Rechenweg.

b) FindeweitereAnteile,diemannichtalsBrüchemitNenner100schreibenkann. c) SarahhateineEntdeckunggemacht:

ÜberprüfeSarahsEntdeckung:Wiekannman ineinenBruchmitNenner100umwandeln?Wasisthierandersalsina)?ÜberprüfemitderStreifentafel.

d) TauschteureAnteilezub) aus:

SindBrüchedabei,diemanwieSarahdochalsBrüchemitNenner100schreibenkann?ÜberprüftmitderStreifentafel.

Komisch: kann man ja gar nicht einfach mit 100 im Nenner schreiben?

Woran liegt das?

Aber28kann man als Bruch mit Nenner 100 schreiben.

Kenan

Sarah

Jonas

30


2 BrücheundProzenteumwandeln2.1 Prozente–BrüchemitimmerdemselbenNenner100

MauriceschreibtBrüchealsProzente,damitersiegutvergleichenkann.

a) Schreibe und jeweilsalsProzent.Beschreibe,wiedudabeivorgehst.Wiekannstdununentscheiden,obdieBrüchegleichgroßsind?

b) ZeichnebeideBrücheausa) ungefährimProzentstreifenein:

c) SchreibealsProzentzahl.WelcheristdergrößteBruch?

Schreibeauf,mitwelcherZahldudenZählerunddenNennererweiterthast.

(1) 100 %(2)

100 %

(3) %(4)16

%

d) Jetztumgekehrt.WandledieProzenteinBrücheum:50%,55%,64%

Beschreibe,wiedudabeivorgehst.2.2 Kann80%zuzweiBrüchengleichzeitiggehören?

KenanundLeoniehabenbeide80%ineinenBruchumgewandelt.

ÜberprüfeKenansundLeoniesLösungdurcheineRechnungundmitderStreifentafel.ErkläredasErgebnis.

0% 100%

Leonie

Aber 80 % kann doch nicht gleichzeitig und sein?

Maurice

Tara

Kenan


31

2.3 BrücheundProzenteinBildernbestimmen

a) WelcheAnteileundProzentepassenzuwelchenBildern?FallsBrücheübrigbleiben:ZeichneeinpassendesRechteck‐Bild.FallsBilderübrigbleiben:FindepassendeProzenteundBrüche.

25% 50% 80% 40% 5%60%

b) EinePersonzeichnetAnteil‐Bilderwieina),dieandereordnetProzenteundBrüchezu.Wechselteuchab.

c) MerkedirfüreinigeBrücheihreProzentschreibweise.Schreibedafür

dieBrücheandenProzentstreifen.SchreibeauchdiepassendenProzentedazu.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

2.4 Waspassiert,wenn…?

a) GibmehrereBrüchefürdiebeidenProzentean.

Wasstellstdufest,wenndudieBrüchefür20%und40%vergleichst? 20% 40%==… b) Gibjeweils dieProzentzahlenan.VergleichedieAufgabendereinzelnenSpalten

undihreErgebnisse.Wasistgleich,wasistunterschiedlich?

60100

%10100

%20100

%

15100

%1025

%525

%

0% 100%% %%% % %

(1)

(2)

(3)(5)

(1)

(4)

(2) (3)

32


2.5 WaspassiertmitderProzentzahlbeimErweitern?

HatLeonieRecht?WiemussmandenZählerunddenNennervon verändern,damitdieProzentzahlviermalsogroßist?Wiegehstduvor?ÜberprüfedeinErgebnismitderStreifentafel.

2.6 MehrereLösungen

a) WelcheZahlenkönnenhierstehen?SchreibeverschiedeneLösungenauf.

(1)=20%

(2) =%

(3) %

b) StellteuchgegenseitigähnlicheAufgaben.EinePersondenktsicheineAufgabemitLückenaus,dieanderefindetpassendeZahlen.Wechselteuchab.

2.7 Prozentegesucht

Finde

dreiProzente,dieduineinenBruchmitNenner20vergröbernkannst. dreiProzente,dieduineinenBruchmitNenner5vergröbernkannst.

2.8 PaarefindenmitProzentenundBrüchen

Spielt„Paarefinden“:

FindetPaaremitjeweilseinemBruchundeinerProzentangabeodereinemBild.ErfindetselbstnocheigeneKartenundspieltmitihnen.Vorsicht!EskönnenKartenübrigbleiben.

Leonie

Wenn ich den Zähler und den Nenner von mit 4 multipliziere, dann wird die Prozentzahl viermal so groß.

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