Mathematik-Vorkurs

www.kip.uni-heidelberg.de/user /hausmann

Dort sind alle Lehrveranstaltungen aufgeführt

=> Übungsblätter

Einteilung Übungsgruppen für Studierende der

Medizin/Zahnmedizin

5.3. – 11.3. entweder 13:15h - 15:00h oder 15:15h – 17:00h

Gruppen und Räume

http://www.kip.uni-heidelberg.de/user/hausmann/index.php/MatheVor

Einteilung Studierende der Biologie:

Philosophenweg 12, R056, R059

Mittwoch + Freitag

2 Gruppen 13:15h

Hörsaal

INF 308

Philosophenweg 12

1. Tag

von Tera bis pico

Stoffmengen

Sphärenvolumen 2D 3D

Sphärenrand 2D 3D

Geometrische Körper: Volumen, Oberfläche etc.

Gleichungen auflösen

Potenzen

xⁿ log √ e ln

1. Tag und 2. Tag

sin x, cos x, tan x, cot x

Vektor

Betrag, Fläche

Produkte : ∙ x

Funktionen

Graphische Darstellung

2. Tag

Graphische Darstellung in Netzpapiere

Ableitungen und Herleitung

Kombinatorische Überlegungen

∑ ∏ n! n!/(n-k)!k!

3. Tag und 4. Tag

Pascal Δ mit Herleitung

Verteilungen (Binomial, Gauß, Poisson)

Mittelwerte μ

Median

(Standardabweichung, Varianz)

Fehlerfortpflanzung

Reihenentwicklungen

4.Tag

Integral

Gradmaß, Bogenmaß

Kreiswinkelelement, Raumwinkelelement

Statistische Analyse von Kollektiven

Tests: Falsch positiv, falsch negativ, Spezifität, Sensitivität, Prävalenz, positiver prädiktiver Wert

YouTube Film

http://youtu.be/UIKGV2cTgqA

E Exa gr. exa: über alles / gr. εξάκις, hexákis =

sechsmal (103)6 = 1018

P Peta gr. petanynnein: alles umfassen / gr.

πεντάκις, pentákis = fünfmal (103)5 = 1015

T Tera gr. τέρας, téras = Ungeheuer / τετράκις, tetrákis = viermal

(103)4 = 1012

G Giga gr. γίγας, gígas = Riese (103)3 = 109

M Mega gr. μέγα, méga = groß (103)2 = 106

k Kilo gr. χίλιοι, chílioi = tausend (103)1 = 103

h Hekto gr. εκατόν, hekatón = hundert 102

da Deka gr. δέκα, déka = zehn 101

--- --- --- 100

d Dezi lat. decimus = zehnter 10−1

c Zenti lat. centesimus = hundertster 10−2

m Milli lat. millesimus = tausendster (10−3)1 = 10−3

μ Mikro gr. μικρός, mikrós = klein (10−3)2 = 10−6

n Nano gr. νάνος, nános und ital. nano = Zwerg (10−3)3 = 10−9

p Piko ital. piccolo = klein (10−3)4 = 10−12

f Femto skand. femton/femten = fünfzehn (10−3)5 = 10−15

a Atto skand. arton/atten = achtzehn (10−3)6 = 10−18

Zeichen Name2

(altgr. Schreibung)

Altgr.

Transkription

Altgr.

Aussprache

Α, α Alpha (ἄλφα) a [a], [aː]

Β, β Beta (βῆτα) b [b]

Γ, γ Gamma (γάμμα) g [g]

Δ, δ Delta (δέλτα) d [d]

Ε, ε Epsilon (ἔ ψιλόν) e [e]

Ζ, ζ Zeta (ζῆτα) z [zd], [dz]

Η, η Eta (ἦτα) ē [ɛː]

Θ, θ Theta (θῆτα) th [tʰ]

Ι, ι Iota (ἰῶτα) i [i], [iː]

Κ, κ Kappa (κάππα) k [k]

Λ, λ Lambda (λάμβδα) l [l]

Μ, μ My (μῦ) m [m]

Ν, ν Ny (νῦ) n [n]

Ξ, ξ Xi (ξῖ) x [ks]

Ο, ο Omikron (ὄ μικρόν) o [o]

Π, π Pi (πῖ) p [p]

Ρ, ρ Rho (ῥῶ) r(h) [r], [rʰ]

Σ, σ Sigma (σῖγμα) s [s], [z]

Τ, τ Tau (ταῦ) t [t]

Υ, υ Ypsilon (ὔ ψιλόν) y

bei αυ, ευ, ου: u [y], [yː]

Φ, φ Phi (φῖ) ph [pʰ]

Χ, χ Chi (χῖ) ch [kʰ]

Ψ, ψ Psi (ψῖ) ps [ps]

Ω, ω Omega (ὦ μέγα) ō [ɔː]

Zum Üben und Spielen

(para..)

(epi..)

(ana..)

(kata..)

(meta..)

(dia…)

Vektoren

Periodische Funktionen

//upload.wikimedia.org/wikipedia/de/e/ef/Galtonbrett_allgemein.PNG

Binomialverteilung

Beispiel: Mitte = Fach 4 in der 8 Reihe => 70/256

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit W dafür, dass ein Ereignis A („Kugel fällt

nach links“ oder „Kugel fällt nach rechts“) bei n voneinander unabhängigen

Versuchen genau k-mal eintritt, wenn p die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten

von A und (1-p) die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten ist.

Von Schlurcher - Eigenes Werk (Mathematica), CC BY 3.0,

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7712683

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für

n=20 ; p=0.1(blau), p=0.5 (grün) und p=0.8 (rot)

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Kumulative Verteilungsfunktion

Poisson-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung

für λ = 1 (blau), λ = 5 (grün) und λ = 10 (rot)

Die Poisson-Verteilung wird deshalb manchmal als die Verteilung der seltenen Ereignisse

bezeichnet. Die Symmetrie zwischen Erfolg und Misserfolg mit jeweils anzugebenden

Wahrscheinlichkeiten ist hier verloren gegangen.

= Mittelwert der Ereignisse

in einem betrachteten Intervall

(hier arithmetrisches Mittel)

Poisson-Verteilung

Die drei poissonschen Annahmen lauten:

Innerhalb des Intervalls [w, w + Δw] gibt es höchstens ein Ereignis und

beliebig viele Momente, in denen nichts geschieht (Seltenheit).

Die Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis im Intervall zu finden, ist proportional

zur Länge des Intervalls Δw .

Das Eintreten eines Ereignisses im Intervall Δw wird nicht beeinflusst von

Ereignissen, die in der Vorgeschichte stattgefunden haben

(Geschichtslosigkeit).

Beispiel für Poisson-Verteilung

Die Blitzhäufigkeit in Deutschland beträgt

10 Einschläge pro km² = 0,1 Einschläge pro ha und Jahr.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Parzelle von 1 ha zu n Blitzeinschlägen

in einem Jahr kommt?

λ = 0,1 Einschläge pro Hektar und Jahr.

P0,1(k = 0) (kein Einschlag im betrachteten Jahr): 90%

P0,1(k = 1) (ein Einschlag im betrachteten Jahr): 9%

P0,1(k = 2) (zwei Einschläge im betrachteten Jahr): 0,5%

P0,1(k = 3) (drei Einschläge im betrachteten Jahr): 0,02%

Statistisch ist es nicht verwunderlich, wenn ein Blitz innerhalb von 200 Jahren zweimal am

gleichen Ort einschlägt, wobei es außerordentlich unwahrscheinlich ist, den Ort

voraussagen zu können .

Gauß Verteilung

Gauß Verteilung

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Messwert

G(x

)

2

2

x x

21

G x e2

2

221

G x e 0.241972

01G x e 0.3989

2

= 1:

Modus Ausprägung mit höchster Häufigkeit

Median Sofern sortiert sind:

Arithmetisches Mittel

Geometrisches Mittel

Harmonisches Mittel

Quadratisches Mittel

Kubisches Mittel

Verwendung von logarithmischen

Papieren

1 Dekade

KEIN NULLPUNKT !

//upload.wikimedia.org/wikipedia/de/7/78/LogPapierXBeispiel.PNG

//upload.wikimedia.org/wikipedia/de/0/03/LogPapierXYBeispiel.PNG

Fehlerfortpflanzung:

Wie beeinflusst der Messfehler ein abgeleitetes Ergebnis?

x x

F(x)

F(x)

x x

F(x)

F(x)

x x

F(x)

F(x)

dF x

F x xdx

Raumwinkel

dθ

θ

θ

Hinterfrage die Statistik und

traue keiner Statistik,

die Du nicht verstanden hast!

Wiley. Interscience 2008

Statistik medizinischer Tests

Richtig positiv: Der Patient ist krank, und der Test hat

dies richtig angezeigt.

Falsch negativ: Der Patient ist krank, aber der Test hat

ihn fälschlicherweise als gesund eingestuft.

Falsch positiv: Der Patient ist gesund, aber der Test hat

ihn fälschlicherweise als krank eingestuft.

Richtig negativ: Der Patient ist gesund, und der Test hat

dies richtig angezeigt.

Person ist krank

(rp+fn)

Person ist gesund

(fp+rn)

Test positiv

(rp+fp) richtig positiv (rp) falsch positiv (fp)

Test negativ

(fn+rn) falsch negativ (fn) richtig negativ (rn)

Prävalenz(ratio) = Anzahl der zum Untersuchungszeitpunkt

Kranken / Anzahl der "betrachteten" Individuen

Inzidenz(rate) = Anzahl der neu Erkrankten / (betrachtete

Zeitspanne * Anzahl der "betrachteten" Individuen)

Inzidenz wird häufig angegeben als Anzahl der

Neuerkrankungen pro Jahr pro 100.000 Einwohner

Die Sensitivität (auch Richtig-Positiv-Rate, Empfindlichkeit

oder Trefferquote; englisch sensitivity, true positive rate, recall oder hit

rate) gibt den Anteil der korrekt als positiv klassifizierten Objekte an

der Gesamtheit der tatsächlich positiven Objekte an. Beispielsweise

entspricht Sensitivität bei einer medizinischen Diagnose dem Anteil

an tatsächlich Kranken, bei denen die Krankheit auch erkannt wurde.

Entsprechend gibt die Falsch-Negativ-Rate (englisch false negative

rate oder miss rate) den Anteil der fälschlich als negativ klassifizierten

Objekte an, die in Wirklichkeit positiv sind, also im Beispiel die

tatsächlich Kranken, die aber als gesund diagnostiziert werden.

Sensitivität = rp / (rp + fn)

Falsch-negativ-Rate = fn / (rp + fn)

Die Spezifität (auch Richtig-Negativ-Rate oder

Kennzeichnende Eigenschaft; englisch: specificity, true negative rate

oder correct rejection rate) gibt den Anteil der korrekt als negativ

klassifizierten Objekte an der Gesamtheit der in Wirklichkeit

negative Objekte an. Beispielsweise gibt die Spezifität bei einer

medizinischen Diagnose den Anteil der Gesunden an, bei denen

auch festgestellt wurde, dass keine Krankheit vorliegt.

Entsprechend gibt die Falsch-Positiv-Rate (auch Ausfallrate;

englisch fallout oder false positive rate) den Anteil der fälschlich als

positiv klassifizierten Objekte an, die in Wirklichkeit negativ sind.

Im Beispiel würde dann ein tatsächlich Gesunder zu Unrecht als

krank diagnostiziert.

Spezifität = rn / (rn + fp)

Falsch-positiv-Rate = fp / (rn + fp)

Als positive Vorhersagewert (auch Relevanz, Wirksamkeit,

Genauigkeit, positiver prädiktiver Wert; englisch: precision oder

positive predictive value; Abkürzung: PPV) gibt den Anteil der korrekt

als positiv erkannten Ergebnisse an der Gesamtheit der als positiv

erkannten Ergebnisse an (erste Zeile der Wahrheitsmatrix).

Beispielsweise gibt der positive Vorhersagewert einer

medizinischen Diagnose an, wie viele Personen, bei denen die

Krankheit festgestellt wurde, auch tatsächlich krank sind.

PPW = rp / rp + fp

Entsprechend gibt der negative Vorhersagewert (auch

Segreganz oder Trennfähigkeit; englisch: negative predictive value;

Abkürzung: NPV) den Anteil der korrekt als negativ erkannten

Ergebnisse an der Gesamtheit der als negativ erkannten

Ergebnisse an (zweite Zeile der Wahrheitsmatrix). Im Beispiele

entspricht das dem Anteil der tatsächlich gesunden Personen, bei

denen die Krankheit nicht festgestellt wurde.

Segreganz = rn / rn + fn

Die Falschklassifikationsrate (auch Größe des

Klassifikationsfehlers) gibt den Anteil der aller Objekte an, die

falsch klassifiziert werden. Der restliche Anteil entspricht der

Korrektklassifikationsrate (auch Vertrauenswahrscheinlichkeit).

Im Beispiel der Diagnose wäre die Falschklassifikationsrate der Anteil

an falsch positiven und falsch negativen Diagnosen an der

Gesamtzahl der Diagnosen, die Korrektklassifikationsrate hingegen

der Anteil der richtig positiven und richtig negativen Diagnosen.

Die Korrektklassifikationsrate entspricht der geschätzten

Wahrscheinlichkeit

.

und die Falschklassifikationsrate der geschätzten Wahrscheinlichkeit

.

Die Korrekt- und die Falschklassifikationsrate addieren sich

entsprechend zu 1 oder 100 %.

Das Ziel eines HIV-Tests sollte die möglichst sichere Erkennung eines Infizierten sein. Aber

welche Konsequenzen ein falsch positiver Test haben kann, zeigt das Beispiel eines Menschen,

der sich auf HIV testen lässt und dann aufgrund eines falsch-positiven Ergebnisses Suizid

begeht.

HIV positiv HIV negativ

HIV-Test

positiv 66 933 82 000 148 933

HIV-Test

negativ 67 ca. 82 Mio

Summe 82 Mio

Zwar würden von 67.000 tatsächlich Erkrankten lediglich 67 HIV-Infizierte fälschlicherweise

nicht erkannt, aber ca. 82.000 Personen würden fälschlicherweise als HIV-positiv

diagnostiziert. Von 148.933 positiven Ergebnissen wären etwa 55 % falsch positiv, also mehr

als die Hälfte der Getesteten. Somit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der positiv

getestet wurde, auch wirklich HIV-positiv ist, bei nur 45 %. Anders formuliert, der positive

Vorhersagewert beträgt 45 %. Dieser, angesichts der sehr geringen Fehlerrate von 0,1 %,

niedrige Wert liegt darin begründet, dass HIV nur bei etwa 0,08 % der Bundesbürger auftritt.

Bei einer angenommenen Genauigkeit von 99,9 % des kombinierten HIV-Tests sowohl für

positive als auch negative Ergebnisse (Sensitivität und Spezifität = 0,999) und der aktuellen

Verbreitung von HIV (Stand 2009) in der deutschen Bevölkerung (82.000.000 Einwohner,

davon 67.000 HIV-positiv) wäre ein allgemeiner HIV-Test verheerend.