Mathematikwettbewerb Känguru e.V. XXIV. Mathematik ... · XXIV. Mathematik-Wettstreit 2018 f ur Sch uler und Studenten Prof. Dr. Th. Risse Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemuhungen

Hochschule BremenFachbereich E-Technik & Informatik

Mathematikwettbewerb Kanguru e.V.XXIV. Mathematik-Wettstreit 2018

fur Schuler und Studenten

Prof. Dr. Th. Risse

Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemuhungen umdie Mathematik-Ausbildung sind Schuler und Studierende(nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sicham Mathematik-Wettbewerb Kanguru des Kanguru Ver-eins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie anderein www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaßmachen und so der Vorbereitung und dem Training dienen.

c© 2017 [email protected] Anderung: 16. August 2018 Version 0.1

http://www.mathe-kaenguru.de



http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs

mailto:[email protected]

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1. Einfuhrung

Bei Kangourou 2018 handelt es sich um einen jahrlichen Mathematik-Wettbewerb des Kanguru Vereins e.V., Berlin, den es fur unterschiedli-che Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind fur Schuler der11.–13. Klassen und fur Studierende gedacht. Dieses Dokument mitmeinen Losungen (ohne Gewahr ) ist Bestandteil meiner Bemuhun-gen, Studierende (in spe) fur Mathematik zu begeistern.

Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie dochmal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, Zahlentheorie, Kryp-tographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus, alleunter http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.

Viel Erfolg!



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2. Aufgaben mit Losungen

Der Quiz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschwerenund 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverstand-lich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalbStunden losen.

Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten.

Selbstverstandlich sind alle Losungsstrategien erlaubt: Naturlich dur-fen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschlußbeantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken!

Aufgabe

1. Mathematik ist(a) fun (b) cool (c) out (d) in (e)

voll krass

Auf die Platze – fertig – los!

Abschnitt 2: Aufgaben mit Losungen 4

Aufgabe

1. Wenn der 3.Marz ein Samstag ist, dann ist in demselben Jahr der27. Marz ein

(a) Mo (b) Di (c) Mi (d) Do (e) Fr

2. Welche der folgenden Rechnungen liefert das großte Ergebnis?

(a) 20·1815·3 (b) 15·18

20·3 (c) 18·315·20 (d) 20·15

18·3 (e) 20·315·18

3. Fur einen Brunch hat Herr Schneider 7 Eier hart gekocht. Mitseinem Eierschneider zerschneidet Herr Schneider einige davon in5 Teile. Wie viele Stuck Ei – ganze Eier und Eierteile – konntendas insgesamt sein?

(a) 17 (b) 20 (c) 21 (d) 23 (e) 25

4. Beim Abschließen der Wohnungstur merkt Moni-ka, dass sie ihre Brille nicht auf hat. Sie durch-sucht ihre Wohnung und eilt dabei durch jede Turgenau einmal, bevor sie schließlich ihre Brille fin-det. In welchem Raum lag Monikas Brille?

Känguru 2018 — Klassenstufen 11 bis 13 1

Klassenstufen 11 bis 13

Donnerstag, 15. März 2018 Arbeitszeit: 75 Minuten

1. Von den jeweils 5 Antworten ist genau eine richtig.2. Jede Teilnehmerin und jeder Teilnehmer bekommt zu Beginn 30 Punkte. Bei einer richtigen Antwort

werden die vorgesehenen 3, 4 oder 5 Punkte hinzuaddiert. Wird keine Antwort gegeben, gibt es 0 Punkte.Bei einer falschen Antwort wird ein Viertel der vorgesehenen Punkte abgezogen, also 0,75 Punkte, 1 Punktbzw. 1,25 Punkte. Die höchste zu erreichende Punktzahl ist 150, die niedrigste 0.

3. Taschenrechner und andere elektronische Hilfsmittel sind nicht zugelassen.

3-Punkte-Aufgaben

A1 Wenn der 3. März ein Samstag ist, dann ist in demselben Jahr der 27. März ein

(A) Montag. (B) Dienstag. (C) Mittwoch. (D) Donnerstag. (E) Freitag.

A2 Welche der folgenden Rechnungen liefert das größte Ergebnis?

(A)20 · 1815 · 3 (B)

18 · 1520 · 3 (C)

18 · 320 · 15 (D)

20 · 1518 · 3 (E)

20 · 318 · 15

A3 Für einen Brunch hat Herr Schneider 7 Eier hart gekocht. Mit seinem Eierschneider zerschneidetHerr Schneider einige davon in 5 Teile. Wie viele Stück Ei – ganze Eier und Eierteile – könnten dasinsgesamt sein?

(A) 17 (B) 20 (C) 21 (D) 23 (E) 25

1

2

34 5

A4 Beim Abschließen der Wohnungstür merkt Monika, dass sie ihre Brille nichtauf hat. Sie durchsucht ihre Wohnung und eilt dabei durch jede Tür genau einmal,bevor sie schließlich ihre Brille findet. In welchem Raum lag Monikas Brille?

(A) Raum 1 (B) Raum 2 (C) Raum 3 (D) Raum 4 (E) Raum 5

A5 Welche der folgenden Zahlen liegt am nächsten am Ergebnis der Rechnung 0,435 ·· 0,0821 ?

(A) 0,2 (B) 0,5 (C) 5 (D) 20 (E) 50

A6 Eine Kreisfläche wird in zwei Teile zerlegt, deren Flächeninhalte sich wie 2 ·· 7 verhalten. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Punkt der Kreisfläche zum größeren der beidenTeile gehört?

(A)7

9(B)

5

6(C)3

5(D)

5

9(E)

4

7

A7 Vier kongruente Rauten und zwei kongruente Quadrate wurden zu einem regelmäßigenAchteck zusammengelegt. Wie groß ist der kleinere Innenwinkel der Rauten?

(A) 30◦ (B) 35◦ (C) 36◦ (D) 40◦ (E) 45◦


(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5

5. Welche der folgenden Zahlen liegt am nachsten am Ergebnis derRechnung 0,435 : 0,0821 ?

(a) 0,2 (b) 0,5 (c) 5 (d) 20 (e) 50

6. Eine Kreisflache wird in zwei Teile zerlegt, deren Flacheninhaltesich wie 2 : 7 verhalten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dassein zufallig gewahlter Punkt der Kreisflache zum großeren derbeiden Teile gehort?

(a) 7/9 (b) 5/6 (c) 3/5 (d) 5/9 (e) 4/7

7. Vier kongruente Rauten und zwei kongru-ente Quadrate wurden zu einem regelmaßi-gen Achteck zusammengelegt. Wie groß istder kleinere Innenwinkel der Rauten?


Klassenstufen 11 bis 13

Donnerstag, 15. März 2018 Arbeitszeit: 75 Minuten

1. Von den jeweils 5 Antworten ist genau eine richtig.2. Jede Teilnehmerin und jeder Teilnehmer bekommt zu Beginn 30 Punkte. Bei einer richtigen Antwort

werden die vorgesehenen 3, 4 oder 5 Punkte hinzuaddiert. Wird keine Antwort gegeben, gibt es 0 Punkte.Bei einer falschen Antwort wird ein Viertel der vorgesehenen Punkte abgezogen, also 0,75 Punkte, 1 Punktbzw. 1,25 Punkte. Die höchste zu erreichende Punktzahl ist 150, die niedrigste 0.

3. Taschenrechner und andere elektronische Hilfsmittel sind nicht zugelassen.

3-Punkte-Aufgaben

A1 Wenn der 3. März ein Samstag ist, dann ist in demselben Jahr der 27. März ein

(A) Montag. (B) Dienstag. (C) Mittwoch. (D) Donnerstag. (E) Freitag.

A2 Welche der folgenden Rechnungen liefert das größte Ergebnis?

(A)20 · 1815 · 3 (B)

18 · 1520 · 3 (C)

18 · 320 · 15 (D)

20 · 1518 · 3 (E)

20 · 318 · 15

A3 Für einen Brunch hat Herr Schneider 7 Eier hart gekocht. Mit seinem Eierschneider zerschneidetHerr Schneider einige davon in 5 Teile. Wie viele Stück Ei – ganze Eier und Eierteile – könnten dasinsgesamt sein?

(A) 17 (B) 20 (C) 21 (D) 23 (E) 25

1

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34 5

A4 Beim Abschließen der Wohnungstür merkt Monika, dass sie ihre Brille nichtauf hat. Sie durchsucht ihre Wohnung und eilt dabei durch jede Tür genau einmal,bevor sie schließlich ihre Brille findet. In welchem Raum lag Monikas Brille?

(A) Raum 1 (B) Raum 2 (C) Raum 3 (D) Raum 4 (E) Raum 5

A5 Welche der folgenden Zahlen liegt am nächsten am Ergebnis der Rechnung 0,435 ·· 0,0821 ?

(A) 0,2 (B) 0,5 (C) 5 (D) 20 (E) 50

A6 Eine Kreisfläche wird in zwei Teile zerlegt, deren Flächeninhalte sich wie 2 ·· 7 verhalten. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Punkt der Kreisfläche zum größeren der beidenTeile gehört?

(A)7

9(B)

5

6(C)3

5(D)

5

9(E)

4

7

A7 Vier kongruente Rauten und zwei kongruente Quadrate wurden zu einem regelmäßigenAchteck zusammengelegt. Wie groß ist der kleinere Innenwinkel der Rauten?

(A) 30◦ (B) 35◦ (C) 36◦ (D) 40◦ (E) 45◦

(a) um 30o (b) um 35o (c) um 36o (d) um 40o (e) um 45o

8. Dachse werden in zwei Gattungen unterteilt: Meles und Arctonyx.


Die Gattung Arctonyx kommt ausschließlich in Ost- und Sudo-stasien vor. Welche der folgenden Aussagen ist folglich richtig?

(a) Alle Dachse leben in Asien.

(b) In Asien kommt nur die Gattung Arctonyx vor.

(c) Die Gattung Meles kommt in Amerika vor.

(d) Die Gattung Meles kommt nur in Afrika vor.

(e) Die Gattung Arctonyx kommt nicht in Australien vor.

9. Wie viele Moglichkeiten gibt es, die Zahl 1001 als Summe vonzwei Primzahlen zu schreiben?

(a) keine (b) eine (c) drei (d) funf (e) acht

10. Karoline befullt unter einem laufendenWasserhahn eine leere Blumenvase bis zumRand mit Wasser.

t

h = h(t)

Der Graph zeigt, wie sich die Wasserhohe h in der Vase mit derZeit t beim Befullen verandert. Welche Form konnte die Vasehaben, die Karoline gerade befullt hat?


(a)

2 Känguru 2018 — Klassenstufen 11 bis 13

A8 Dachse werden in zwei Gattungen unterteilt: Meles und Arctonyx. Die Gattung Arctonyx kommtausschließlich in Ost- und Südostasien vor. Welche der folgenden Aussagen ist folglich richtig?

(A) Alle Dachse leben in Asien. (B) InAsien kommtnur dieGattungArctonyx vor.

(C) Die Gattung Meles kommt in Amerika vor. (D) Die Gattung Meles kommt nur in Afrika vor.

(E) Die Gattung Arctonyx kommt nicht in Australien vor.

A9 Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Zahl 1001 als Summe von zwei Primzahlen zu schreiben?

(A) keine (B) eine (C) drei (D) fünf (E) acht

h

t

A10 Karoline befüllt unter einem laufenden Wasserhahn eine leere Blumenvasebis zum Rand mit Wasser. Der Graph zeigt, wie sich die Wasserhöhe h inder Vase mit der Zeit t beim Befüllen verändert. Welche Form könnte dieVase haben, die Karoline gerade befüllt hat?

(A) (B) (C) (D) (E)

4-Punkte-Aufgaben

B1 Kostas schaut sich im Laden zwei Smartphones an, auf die es gerade Rabatt gibt. Das erste kostet90% und das zweite 85% des jeweiligen ursprünglichen Preises. Bei beiden Smartphones würdeKostas im Vergleich zum jeweiligen ursprünglichen Preis denselben Geldbetrag sparen. Wenn daserste Smartphone ursprünglich p Euro kostete, wie viel kostete dann das zweite ursprünglich?

(A)2

3p Euro (B)

3

2p Euro (C)

17

18p Euro (D)

18

17p Euro (E) p Euro

B2∣∣√17− 5

∣∣+∣∣√17 + 5

∣∣ =

(A) 10 (B) 2 ·√17 (C)√34 + 10 (D) 2 ·√17 + 10 (E) 0

B3 Die Seitenmittelpunkte eines Würfels sind die Ecken eines Oktaeders (s. Abb.).Welches Volumen hat dieses Oktaeder, wenn die Seitenlänge des Würfels 1 beträgt?

(A)1

3(B)1

4(C)1

5(D)1

6(E)

1

8

B4 Für den Balkon hat Marion Pflanzen gekauft: 3 verschiedenfarbige Stiefmütterchen und 6 verschieden-farbige Primeln. In eine große Schale will sie 2 Stiefmütterchen und 4 Primeln pflanzen. Wie vieleMöglichkeiten hat sie, diese aus den gekauften Pflanzen auszuwählen?

(A) 24 (B) 30 (C) 45 (D) 60 (E) 96

1

xB5 An die Ecken des dreiseitigen Prismas in der Abbildung sollen die Zahlen von 1 bis 6so geschrieben werden, dass die Summen der vier Zahlen an den Eckpunktenjeder rechteckigen Seitenfläche gleich sind. Eine Ecke ist bereits mit 1 beschriftet.Für welche Zahl steht dann x?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

(b)








h

t


(A) (B) (C) (D) (E)

4-Punkte-Aufgaben


(A)2

3p Euro (B)

3

2p Euro (C)

17

18p Euro (D)

18

17p Euro (E) p Euro

B2∣∣√17− 5

∣∣+∣∣√17 + 5

∣∣ =

(A) 10 (B) 2 ·√17 (C)√34 + 10 (D) 2 ·√17 + 10 (E) 0


(A)1

3(B)1

4(C)1

5(D)1

6(E)

1

8


(A) 24 (B) 30 (C) 45 (D) 60 (E) 96

1


(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

(c)








h

t


(A) (B) (C) (D) (E)

4-Punkte-Aufgaben


(A)2

3p Euro (B)

3

2p Euro (C)

17

18p Euro (D)

18

17p Euro (E) p Euro

B2∣∣√17− 5

∣∣+∣∣√17 + 5

∣∣ =

(A) 10 (B) 2 ·√17 (C)√34 + 10 (D) 2 ·√17 + 10 (E) 0


(A)1

3(B)1

4(C)1

5(D)1

6(E)

1

8


(A) 24 (B) 30 (C) 45 (D) 60 (E) 96

1


(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

(d)








h

t


(A) (B) (C) (D) (E)

4-Punkte-Aufgaben


(A)2

3p Euro (B)

3

2p Euro (C)

17

18p Euro (D)

18

17p Euro (E) p Euro

B2∣∣√17− 5

∣∣+∣∣√17 + 5

∣∣ =

(A) 10 (B) 2 ·√17 (C)√34 + 10 (D) 2 ·√17 + 10 (E) 0


(A)1

3(B)1

4(C)1

5(D)1

6(E)

1

8


(A) 24 (B) 30 (C) 45 (D) 60 (E) 96

1


(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

(e)








h

t


(A) (B) (C) (D) (E)

4-Punkte-Aufgaben


(A)2

3p Euro (B)

3

2p Euro (C)

17

18p Euro (D)

18

17p Euro (E) p Euro

B2∣∣√17− 5

∣∣+∣∣√17 + 5

∣∣ =

(A) 10 (B) 2 ·√17 (C)√34 + 10 (D) 2 ·√17 + 10 (E) 0


(A)1

3(B)1

4(C)1

5(D)1

6(E)

1

8


(A) 24 (B) 30 (C) 45 (D) 60 (E) 96

1


(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

11. Kostas schaut sich im Laden zwei Smartphones an, auf die es ge-rade Rabatt gibt. Das erste kostet 90% und das zweite 85% desjeweiligen ursprunglichen Preises. Bei beiden Smartphones wurdeKostas im Vergleich zum jeweiligen ursprunglichen Preis densel-ben Geldbetrag sparen. Wenn das erste Smartphone ursprunglichp Euro kostete, wie viel kostete dann das zweite ursprunglich?

(a) 23p e (b) 3

2p e (c) 1718p e (d) 18

17p e (e) p e

12. |√

17− 5|+ |√

17 + 5| =(a) 10 (b) 2

√17 (c)

√34+10 (d) 2

√17+10 (e) 0

13. Die Seitenmittelpunkte eines Wurfels sinddie Ecken eines Oktaeders (s. Abb.). Wel-ches Volumen hat dieses Oktaeder, wenndie Seitenlange des Wurfels 1 betragt?








h

t


(A) (B) (C) (D) (E)

4-Punkte-Aufgaben


(A)2

3p Euro (B)

3

2p Euro (C)

17

18p Euro (D)

18

17p Euro (E) p Euro

B2∣∣√17− 5

∣∣+∣∣√17 + 5

∣∣ =

(A) 10 (B) 2 ·√17 (C)√34 + 10 (D) 2 ·√17 + 10 (E) 0


(A)1

3(B)1

4(C)1

5(D)1

6(E)

1

8


(A) 24 (B) 30 (C) 45 (D) 60 (E) 96

1


(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6


(a) 13 (b) 1

4 (c) 15 (d) 1

6 (e) 18

14. Fur den Balkon hat Marion Pflanzen gekauft: 3 verschiedenfar-bige Stiefmutterchen und 6 verschiedenfarbige Primeln. In einegroße Schale will sie 2 Stiefmutterchen und 4 Primeln pflanzen.Wie viele Moglichkeiten hat sie, diese aus den gekauften Pflanzenauszuwahlen?

(a) 24 (b) 30 (c) 45 (d) 60 (e) 96

15. An die Ecken des dreiseitigen Prismas in derAbbildung sollen die Zahlen von 1 bis 6 sogeschrieben werden, dass die Summen der vierZahlen an den Eckpunkten jeder rechteckigenSeitenflache gleich sind. Eine Ecke ist bereitsmit 1 beschriftet. Fur welche Zahl steht dannx?

1

x

(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6


16. Die Seitenflachen eines Quaders haben dieFlacheninhalte A, B und C (s. Abb). WelchesVolumen hat dieser Quader?


A

BC

B6 Die Seitenflächen eines Quaders haben die Flächeninhalte A, B und C (s. Abb).Welches Volumen hat dieser Quader?

(A) ABC (B)√ABC (C) 3

√ABC

(D)√AB +BC + CA (E)

√A3 +B3 + C3

30◦

40◦

α

B7 Zwei Rechtecke berühren eine Gerade wie abgebildet (Abb. nicht maßstabsgerecht).Wie groß ist α?

(A) 70◦ (B) 90◦ (C) 105◦ (D) 110◦ (E) 120◦

B8 Welche der folgenden Zahlen ist kein Teiler von 182017 + 182018 ?

(A) 8 (B) 18 (C) 28 (D) 38 (E) 48

B9 Vor dem Radball-Finale RSV Kette – RBC Speiche wurden fünf Voraussagen getroffen:

1. Das Spiel geht nicht Unentschieden aus. 4. Es fallen insgesamt 3 Tore.2. Dem RSV Kette gelingt mindestens ein Tor. 5. Der RSV Kette gewinnt.3. Der RSV Kette verliert nicht.

Nach dem Spiel stellte sich heraus, dass genau drei der Voraussagen wahr sind. Wie ging das Spiel aus?

(A) 3 – 0 (B) 2 – 1 (C) 1 – 1 (D) 0 – 3 (E) 1 – 2

B10 Die Eckpunkte eines Dreiecks haben die Koordinaten (a | b), (c | d) und (e | f ). Die Mittelpunkte seinerSeiten haben die Koordinaten (−2 | 1), (2 | −1) und (3 | 2). Welchen Wert hat a+ b+ c + d + e + f ?

(A) 2 (B) 2,5 (C) 3 (D) 5 (E) 10

5-Punkte-Aufgaben

3

3

3

3♥

♥

♥

♥♥♥ ♥

4

4

4

4

♠

♠

♠

♠

♠♠

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5 5

5 5

♥♥

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6 6

6 6

♣♣

♣♣

♣ ♣♣ ♣

♣ ♣

7

7

7

7

♦

♦

♦

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♦♦♦♦

♦♦♦

C1 Von den fünf abgebildeten Spielkarten nimmt Paula drei Karten undDominic die beiden anderen. Jeder multipliziert die Werte seiner Karten.Die Summe der beiden Ergebnisse ist eine Primzahl. Was ist die Summeder drei Werte von Paulas Karten?

(A) 12 (B) 13 (C) 15 (D) 17 (E) 18

C2 Weißnix und Machtnix sollen im Scherzamt das Formular A besorgen. Die Formulare A, B, C, Dund E gibt es jeweils an genau einem der folgenden fünf Schalter.

Schalter 1

Hier gibt esFormular B.

Schalter 2

Hier gibt esFormularC oder E.

Schalter 3

Hier gibt esFormular D.

Schalter 4

Hier gibt esFormularA, C oder E.

Schalter 5

Hier gibt esFormular A.

Weißnix ist ratlos, als er die Schilder an den Schaltern liest. Machtnix erinnert sich, was der Pförtnergesagt hat: Genau eine Aussage auf den Schildern ist falsch, die vier anderen Aussagen sind wahr.An welchem Schalter gibt es das Formular A?

(A) Schalter 1 (B) Schalter 2 (C) Schalter 3 (D) Schalter 4 (E) Schalter 5

(a) ABC (b)√ABC (c) 3

√ABC (d)

√AB +BC + CA

(e)√A3 +B3 + C3

17. Zwei Rechtecke beruhren eine Geradewie abgebildet (Abb. nicht maßstabsge-recht). Wie groß ist α?

30o 40o

α

(a) 70o (b) 90o (c) 105o (d) 110o (e) 120o

18. Welche der folgenden Zahlen ist kein Teiler von 182017 + 182018 ?

(a) 8 (b) 18 (c) 28 (d) 38 (e) 48

19. Vor dem Radball-Finale RSV Kette RBC Speiche wurden funfVoraussagen getroffen:


1. Das Spiel geht nicht Unentschieden aus.2. Dem RSV Kette gelingt mindestens ein Tor.3. Der RSV Kette verliert nicht.4. Es fallen insgesamt 3 Tore.5. Der RSV Kette gewinnt.

Nach dem Spiel stellte sich heraus, dass genau drei der Voraussa-gen wahr sind. Wie ging das Spiel aus?

(a) 3:0 (b) 2:1 (c) 1:1 (d) 0:3 (e) 1:2

20. Die Eckpunkte eines Dreiecks haben die Koordinaten (a, b), (c, d)und (e, f). Die Mittelpunkte seiner Seiten haben die Koordinaten(−2, 1), (2,−1) und (3, 2). Welchen Wert hat a+b+c+d+e+f ?

(a) 2 (b) 2,5 (c) 3 (d) 5 (e) 10

21. Von den funf abgebildeten Spielkartennimmt Paula drei Karten und Dominicdie beiden anderen. Jeder multipliziertdie Werte seiner Karten. Die Summeder beiden Ergebnisse ist eine Primzahl.


A

BC

B6 Die Seitenflächen eines Quaders haben die Flächeninhalte A, B und C (s. Abb).Welches Volumen hat dieser Quader?

(A) ABC (B)√ABC (C) 3

√ABC

(D)√AB +BC + CA (E)

√A3 +B3 + C3

30◦

40◦

α

B7 Zwei Rechtecke berühren eine Gerade wie abgebildet (Abb. nicht maßstabsgerecht).Wie groß ist α?

(A) 70◦ (B) 90◦ (C) 105◦ (D) 110◦ (E) 120◦

B8 Welche der folgenden Zahlen ist kein Teiler von 182017 + 182018 ?

(A) 8 (B) 18 (C) 28 (D) 38 (E) 48

B9 Vor dem Radball-Finale RSV Kette – RBC Speiche wurden fünf Voraussagen getroffen:

1. Das Spiel geht nicht Unentschieden aus. 4. Es fallen insgesamt 3 Tore.2. Dem RSV Kette gelingt mindestens ein Tor. 5. Der RSV Kette gewinnt.3. Der RSV Kette verliert nicht.

Nach dem Spiel stellte sich heraus, dass genau drei der Voraussagen wahr sind. Wie ging das Spiel aus?

(A) 3 – 0 (B) 2 – 1 (C) 1 – 1 (D) 0 – 3 (E) 1 – 2

B10 Die Eckpunkte eines Dreiecks haben die Koordinaten (a | b), (c | d) und (e | f ). Die Mittelpunkte seinerSeiten haben die Koordinaten (−2 | 1), (2 | −1) und (3 | 2). Welchen Wert hat a+ b+ c + d + e + f ?

(A) 2 (B) 2,5 (C) 3 (D) 5 (E) 10

5-Punkte-Aufgaben

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C1 Von den fünf abgebildeten Spielkarten nimmt Paula drei Karten undDominic die beiden anderen. Jeder multipliziert die Werte seiner Karten.Die Summe der beiden Ergebnisse ist eine Primzahl. Was ist die Summeder drei Werte von Paulas Karten?

(A) 12 (B) 13 (C) 15 (D) 17 (E) 18

C2 Weißnix und Machtnix sollen im Scherzamt das Formular A besorgen. Die Formulare A, B, C, Dund E gibt es jeweils an genau einem der folgenden fünf Schalter.

Schalter 1

Hier gibt esFormular B.

Schalter 2

Hier gibt esFormularC oder E.

Schalter 3

Hier gibt esFormular D.

Schalter 4

Hier gibt esFormularA, C oder E.

Schalter 5

Hier gibt esFormular A.

Weißnix ist ratlos, als er die Schilder an den Schaltern liest. Machtnix erinnert sich, was der Pförtnergesagt hat: Genau eine Aussage auf den Schildern ist falsch, die vier anderen Aussagen sind wahr.An welchem Schalter gibt es das Formular A?

(A) Schalter 1 (B) Schalter 2 (C) Schalter 3 (D) Schalter 4 (E) Schalter 5


Was ist die Summe der drei Werte von Paulas Karten?

(a) 12 (b) 13 (c) 15 (d) 17 (e) 18

22. Weißnix und Machtnix sollen im Scherzamt das Formular A be-sorgen. Die Formulare A, B, C, D und E gibt es jeweils an genaueinem der folgenden funf Schalter.Schalter 1: Hier gibt es Formular B.Schalter 2: Hier gibt es Formular C oder E.Schalter 3: Hier gibt es Formular D.Schalter 4: Hier gibt es Formular A, C oder E.Schalter 5: Hier gibt es Formular A.Weißnix ist ratlos, als er die Schilder an den Schaltern liest. Macht-nix erinnert sich, was der Pfortner gesagt hat: Genau eine Aussageauf den Schildern ist falsch, die vier anderen Aussagen sind wahr.An welchem Schalter gibt es das Formular A?

(a) Nr.1 (b) Nr.2 (c) Nr.3 (d) Nr.4 (e) Nr.5

23. Die quadratische Gleichung x2 − x− 2018 = 0 hat zwei verschie-dene Losungen x1 und x2. Welchen Wert hat x21 + x2 ?


(a) 2016 (b) 2017 (c) 2018 (d) 2019 (e) 2020

24. Aus gestreiftem Papier wurde ein regelmaßigesFunfeck ausgeschnitten. Nun wird es in jedemSchritt um 21o gegen den Uhrzeigersinn um sei-nen Mittelpunkt gedreht. Die Abbildung rechtszeigt das Funfeck nach dem ersten Schritt. Inwelcher Position liegt das Funfeck, wenn es daserste Mal wieder in das Loch passt?

(a) (b) (c) (d) (e)

25. Fur die Funktion g gilt g(1) = 12 sowie g(x+y) = g(x)·g(y) fur alle

ganzen Zahlen x und y. Welchen Wert hat g(0)+g(1)+g(2)+g(3)?

(a) 158 (b) 3

2 (c) 74 (d) 13

16 (e) 52


26. Ein Billardspieler trainiert an einemTisch mit einer 2,50m×1,30m großenSpielflache. Er legt eine Kugel in A andie vordere Bande 2,25m von Loch Bentfernt.

B

DF

A

C

E

G

Die Kugel trifft in C die rechte Bande 90 cm von B entfernt undkommt wie beabsichtigt nach 2 Reflektionen an der linken Bandezum Stehen. Wie weit ist die Kugel nun von der Mitte der linkenBande entfernt?

(a) 2 cm (b) 5 cm (c) 9 cm (d) 10 cm (e) 12 cm

27. Der Graph der quadratischen Funktion f(x) = x2 +px+q schnei-det die x- und die y-Achse in drei verschiedenen Punkten. DerKreis, der durch diese drei Schnittpunkte verlauft, schneidet denGraphen von f in einem weiteren Punkt. Welche Koordinaten hatdieser Punkt?

(a) (− qp ,

q2

p2 ) (b) (p, q) (c) (−p, q) (d) (0,−q) (e) (1, p+q+1)

28. Wie viele reelle Losungen hat die Gleichung ||4x − 3| − 2| = 1 ?


(a) zwei (b) drei (c) vier (d) funf (e) sechs

29. Bei einem Jagdhund-Wettbewerb fur Langhaardackel und Rau-haardackel treten 40% mehr Langhaardackel als Rauhaardackelan. Die zwei Dackel fur die erste Prufung werden jetzt ausge-lost. Die Wahrscheinlichkeit dafur, dass ein Langhaardackel ge-gen einen Rauhaardackel antritt, betragt 50%. Wie viele Dackelnehmen insgesamt am Wettbewerb teil?

(a) 24 (b) 30 (c) 36 (d) 38 (e) 48

30. Archimedes hat 15! = 1 · 2 · 3 · . . . · 15 ausgerechnet und dasErgebnis aufgeschrieben. Leider lassen sich die zweite und zehnteZiffer nicht mehr lesen: 1�0767436�000. Welche beiden Ziffernsind das?

(a) 2 und 0 (b) 4 und 8 (c) 7 und 4 (d) 9 und 2 (e) 3 und 8

15

Losungen der Aufgaben

Losung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paarHinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern auchleihweise zur Verfugung stellen:

• Albrecht Beutelspacher: Mathematik fur die Westentasche; Piper Ver-lag 2001 120 S. 9.90 e und viele weitere Titel

• P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhauser 1985ISBN 3-7643-1359-5

• Udo Hebisch: Bucher uber Mathematik – umfangreiche (link) list;www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html

• John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Con-sequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9

• Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Korpern; Spek-trum derWissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archiv/5232

Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Doku-menten, s.a. www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs.

zuruck zur Aufgabe

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html

http://www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archiv/5232


Losungen der Aufgaben 16

Losung zu Aufgabe: Wenn der 3. Marz ein Samstag ist, dann istder 24. Marz wieder Samstag, der 25.3. Sonntag, der 26.3. Montagund der 27. Marz Dienstag, also Antwort (b). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe:

Der Bruch 20·1815·3 hat den großten Zahler und den kleinsten Nenner,

also Antwort (a). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Sei x die Anzahl der in funf Stucke zerteiltenEier.

Dann bekommt Herr Schneider 5x+(7−x) = 4x+7 ∈ {11, 15, 19, 23, 27, . . .}Eier oder Eierteile, also Antwort (d). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Wenn Monika der Reihe nach die Raume 1,5, 4, 1, 2, 4, 3, 2 besucht, geht sie durch jede Tur genau einmal undfindet ihre Brille im Raum 2, also Antwort (b). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe:

Es gilt 0,4350,0821 ≈

43582 ≈ 5, also Antwort (c). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Die Flachen verhalten sich wie 2 : 7. Also ist diegroßere 7

2+7 = 79 der Gesamtflache. Damit ist die Wahrscheinlichkeit,

daß ein zufallig gewahlter Punkt der Kreisflache zum großeren derbeiden Teile gehort, gerade 7

9 , also Antwort (a). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Das regelmaßige Achteck setzt sich aus achtkongruenten Dreiecken mit gemeinsamer Ecke im Mittelpunkt undspitzem Winkel 1

8360o = 72o zusammen. Damit stoßen die Seiten desregelmaßigen Achtecks mit einem Winkel von 135o zusammen. Einerdieser Winkel – z.B. der Winkel links oben – wird in der Konstruktionhier durch den spitzen Winkel α der Raute und den rechten Winkeldes Quadrates gebildet. Es gilt α+90o = 135o, was α = 45o impliziert,also Antwort (e). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Arctonyx kommt ausschließlich in Ost- undSudostasien und daher sicher nicht in Australien vor, also Antwort(e). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Sei 1001 = p+ q, wobei p und q prim sind.

Angenommen p 6= 2 6= q, dann ware p + q gerade und damit auchihre Summe im Widerspruch zu p + q = 1001. Also muß mindest einSummand gleich 2 sein, sagen wir p = 2. Dann gilt q = 999, was sichernicht prim ist, also Antwort (b). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Mit fortschreitender Zeit t verlangsamt sichdie Anderung/der Zuwachs der Wasserhohe h = h(t). Das Gefaß mußsich also nach oben offnen, also Antwort (d). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Das erste Smartphone kostete ursprunglich pEuro, jetzt 0.9p Euro, so daß Kostas 0.1p Euro sparen wurde.

Das zweite Smartphone koste ursprunglich q Euro, jetzt 0.85q Euro,so daß Kostas 0.15q Euro sparen wurde. Die jeweiligen Ersparnissesind identisch, d.h. 15

100q = 10100p, was q = 10

15p = 23p impliziert, also

Antwort (a). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Man erinnert sich: |a− b| ist der Abstand vona zu b. Schauen wir uns die Situation auf dem Zahlenstrahl an:

x−5 0 +5

√17

Die beiden Abstande summieren sich zur gesamten Lange von -5 bis+5 auf dem Zahlenstrahl, also Antwort (a). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Der Wurfel hat eine Kantenlange von 1 LE.








h

t


(A) (B) (C) (D) (E)

4-Punkte-Aufgaben


(A)2

3p Euro (B)

3

2p Euro (C)

17

18p Euro (D)

18

17p Euro (E) p Euro

B2∣∣√17− 5

∣∣+∣∣√17 + 5

∣∣ =

(A) 10 (B) 2 ·√17 (C)√34 + 10 (D) 2 ·√17 + 10 (E) 0


(A)1

3(B)1

4(C)1

5(D)1

6(E)

1

8


(A) 24 (B) 30 (C) 45 (D) 60 (E) 96

1


(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

Damit hat der Oktaeder eine Hohe von 1 LE, eine quadratische Grund-flache mit Diagonalen der Lange 1 LE, also mit Seiten der Lange12

√2 LE und damit ein Volumen, das demjenigen von zwei kongruen-

ten Pyramiden entspricht: |Oktaeder| = 2|Pyramide| = 2 13

(√22

)2 12 =

16 VE, also Antwort (d). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Es gibt 3 verschiedenfarbige Stiefmutterchenund 6 verschiedenfarbige Primeln.

Marion hat(32

)= 3 Moglichkeiten, zwei der drei verschiedenfarbige

Stiefmutterchen und(64

)= 15 Moglichkeiten, vier der sechs verschie-

denfarbige Primeln auszuwahlen, insgesamt 3 ·15 = 45 Moglichkeiten,also Antwort (c). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Zunacht gilt 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6·72 = 21.

Wenn man die Zahlen Seitenweise addiert, addiert man jede zweimal.Die Summe der Zahln einer jeden rechteckigen Seite ist also 2·21

3 = 14.

1

6

2

3

4

5

erfullt die vorgegebenen Bedingungen. Die Losung ist eindeutig, alsoAntwort (e). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Bei geeigneter Bezeichnung der Kanten desQuaders gilt A = ab, B = bc und C = ca.

Dann gilt√ABC =

√abbcca =

√a2b2c2 = abc, was genau dem Volu-

men des Quaders entspricht, also Antwort (b). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Seien die Winkel im kleinen Dreieck an derGeraden β, γ und δ.

30o 40o

α

Aus 40o + 90o + β = 180o folgt β = 50o.Aus 30o + 90o + γ = 180o folgt γ = 60o.

Zusammen ergibt sich der dritte Winkel zu δ = 70o.

Damit gilt im kleinen, durch die beiden Rechtecke gebildeten Viereckδ + 90o + 90o + α = 360o, was α = 110o impliziert, also Antwort(d). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Sei x = 182017 + 182018 = 182017(1 + 18) =19 · 182017 = 2n3m19 fur m,n ∈ N mit m,n > 2017.

Nun gilt 8|x, 18|x, 38 = 2·19|x und 48 = 24 ·3|x, wahrend 28 = 4·7 - xweil eben 7 - x, also Antwort (c). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Die folgende Tabelle zeigt, welche Aussagenzutreffen (+) bzw. nicht zutreffen (–).

Ausgang 1. 2. 3. 4. 5. insgesamta) 3:0 + + + + + –b) 2:1 + + + + + –c) 1:1 – + + + – –d) 0:3 + – – – – –e) 1:2 + + – + – +

also Antwort (e). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Wenn (3, 2) die Mitte zwischen (a, b) und e, f)ist, dann gilt

a+ e = 2 · 3 und b+ f = 2 · 2Wenn weiter (−2, 1) die Mitte zwischen (a, b) und c, d) ist, dann gilt

a+ c = 2 · (−2) undb+ d = 2 · 1Wenn endlich (2,−1) die Mitte zwischen (c, d) und (e, f) ist, dann gilt

c+ e = 2 · 2 und d+ f = 2 · (−1)

Addition dieser sechs Gleichungen liefert 2(a + b + c + d + e + f) =2(3 + 2− 2 + 1 + 2− 1) oder eben a+ b+ c+ d+ e+ f = 3 + 2 = 5,also Antwort (d). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Paula habe die Kartenwerte k1, k2, k3 und Do-minic die Werte k4, k5 mit ki ∈ {3, 4, 5, 6, 7}.Es gilt k = k1k2k3 + k4k5 ist prim. Das geht nur, wenn nicht 3 und 6sowie 4 und 6 auf beide Hande verteilt sind. Ware namlich beispiels-weise 3 und 6 auf beide Hande verteilt, etwa k1 = 3 und k4 = 6, sofolgt k = 3k2k3 + 6k5 mit 3|k.

Also hat Paula 3, 4 und 6; Dominic dagegen hat 5 und 7 – und ja,k = 3·4·6+5·7 = 72+35 = 107 ist prim. Die Summe der Kartenwertevon Paulas Karten ist dann 3 + 4 + 6 = 13, also Antwort (b).

zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Die folgende Tabelle zeigt, welche Annahmezu einem Widerspruch ( ) zu welcher Aussage fuhren.

Annahme 1. 2. 3. 4. 5. insgesamta) A in Nr.1 b) A in Nr.2 c) A in Nr.3 d) A in Nr.4 +e) A in Nr.5

also Antwort (d). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Zunachst gilt x2−x−2018 = (x−x1)(x−x2) =x2 − (x1 + x2)x + x1x2. Koeffizientenvergleich liefert x1 + x2 = 1.Naturlich gilt x21 − x1 − 2018 = 0 und daher x21 = x1 + 2018.

Es ergibt sich also x21 + x2 = x1 + 2018 + x2 = 1 + 2018 = 2019, alsoAntwort (d). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Das regulare Funfeck setzt sich aus funf kon-gruenten, gleichschenkligen Dreiecken mit spitzem Winkel 1

5360o =72o zusammen.

Damit das Funfeck wieder in das Loch paßt, muß fur die Anzahl n derDrehungen um 21o eben 8 ·9 = 72|21n = 3 ·7n oder 24|7n, also n = 24gelten. Dann ist 24 · 21o = 504o = 360o + 144o = 360o + 2 · 72o. Damitwird das Funfeck effektiv zweimal um 72o gedreht, also Antwort (a).

zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Aus g(1) = 12 und der Funktionalgleichung fur

g folgt zunachst g(1) = g(1 + 0) = g(1) · g(0) und daher g(0) = 1.Weiter gilt g(2) = g(1 + 1) = 1

4 und g(3) = g(1 + 2) = g(1) · g(2) =12

14 = 1

8 . Zusammen ergibt sich g(0) + g(1) + g(2) + g(3) = 1 + 12 +

14 + 1

8 = 158 , also Antwort (a). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Die beiden rechtwinkligen Dreiecke ∆(ABC)und ∆(CDE) sind wegen ∠(ABC) = ∠(CDE) ahnlich.

B

DF

A

C

E

G

Also gilt |AB||BC| = 225

90 = |DE||CD| = |DE|

40 , was |DE| = 49225 = 100 impli-

ziert. Weiter sind auch die beiden rechtwinkligen Dreiecke ∆(CDE)

und ∆(EFG) wegen ∠(CED) = ∠(FEG) ahnlich. Also gilt |CD||DE| =

40100 = |FG|

|EF | = |FG|150 , was |FG| = 3

240 = 60 impliziert. Der Punkt G ist

daher 5 cm von der Seitenmitte entfernt, also Antwort (b).zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achseist (0, q). Die beiden Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind

(x1, 0) und x2, 0) mit x1,2 = −p2 ±

12

√p2 − 4q. Sie liegen symme-

trisch zu x = −p2 , der Symmetrie-Achse der Parabel. Der Mittel-

punkt des Kreises durch diese drei Schnittpunkte liegt auch auf dieserSymmetrie-Achse. Also muß der vierte Schnittpunkt des Kreises mitder Parabel symmetrisch zu (0, q) bei (−p, q) liegen, also Antwort(c). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Sei y = 4x − 3. Aus ||y| − 2| = 1 folgt y = ±3oder y = ±1.

Die Gleichung y = 4x − 3 = ±3 oder eben 4x = 6 bzw. 4x = 0 hatnur eine reelle Losung x = ln 6

ln 4 . Die Gleichung y = 4x − 3 = ±1oder eben 4x = 4 bzw. 4x = 2 hat zwei reelle Losungen x = 1 bzw.x = 1

2 . Insgesamt gibt es somit drei reelle Losungen, also Antwort(b). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Sei L die Anzahl der Langhaardackel und Rdiejenige der Rauhaardackel. Es treten 40% mehr Langhaardackel alsRauhaardackel an: L = 1.4R = 14

10R = 75R, was L+R = 7+5

5 R = 125 R

und damit 6|(L+R) impliziert. Damit sind die Falle (b) und (d)

ausgeschlossen und es gibt nur die drei Moglichkeiten R ∈ {10, 15, 20}.P (Langhaardackel tritt gegen Rauhaardackel an) = 2 L

L+RR

L+R−1 = 12

impliziert 100L = 144R− 60 und es gilt

• R = 10 ⇒ L = 14 und L+R = 24, aber 100L = 1400 6= 1440− 60.

• R = 15 ⇒ L = 21 und L+R = 36 sowie 100L = 2100 = 2160− 60.

• R = 20 ⇒ L = 28 und L+R = 48, aber 100L = 2800 6= 2880− 60.

also Antwort (c). zuruck zur Aufgabe


Losung zu Aufgabe: Sei x die zweite und y die zehnte Ziffer in 15!und sei z = 1x0767436y000.

(a) x = 2 und y = 0 ist auszuschließen, weil in der Primfaktorzerle-gung von 15! nur 53 vorkommt, y = 0 aber 54 notwendig macht.

(b) x = 4 und y = 8 ist auszuschließen, weil dann die QuersummeQ(z) = 34 + 12 = 46 betruge und 3 - 15! implizierte.

(c) x = 7 und 4 = 0 ist auszuschließen, weil dann 11 - z wegen deralternierenden Quersumme 11 - −17.

(d) x = 9 und 4 = 2 ist auszuschließen, weil dann 11 - z wegen deralternierenden Quersumme 11 - −17.

Bleibt also nur Antwort (e). zuruck zur Aufgabe

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