Modellierung, Regelung und Simulationeines piezohydraulischen Aktuators

zum Einsatz in nockenwellenlosen Verbrennungsmotoren

Benedikt Haushaus@leuphana.de

2016

Gesetzt in LATEX

Abstract Es wird ein neuartiger Hybridaktuator vorgestellt, bestehendaus einem Piezoaktuator, einer hydraulischen Wegübersetzung, einem 4/3-Wege-Servoventil und schließlich einem oder mehreren Hydraulikzylindern.Vorteile dieser Architektur gegenüber elektromechanischen oder elektrohy-draulischen Aktuatoren sind i.A. höhere Schaltfrequenzen und höhere Prä-zision. Diese Eigenschaften sind nützlich für den Einsatz in nockenwellenlo-sen Verbrennungsmotoren, genauer zum Öffnen und Schließen der Einlass-und Auslassventile, wofür große, sich sehr schnell ändernde Kräfte nötig sind.Der Aktuator wird, in Subsysteme aufgeteilt, modelliert (gemischt linear undnichtlinear). Es werden Vorsteuerungen für alle Subsysteme entworfen unddiverse Regelungsstrategien in Simulationen erprobt.

Inhaltsverzeichnis0 Vorwort und Problemstellung 1

1 Einleitung 61.1 Vollvariable Ventilsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Prinzip des entwickelten VVS-Aktuators . . . . . . . . . . . . 101.3 Prüfstand und verwendete Technik . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Leistungsersparnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Literatur 14

3 Modellierung des Aktuators 153.1 Sollwertgenerierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Nichtlineares Modell des Hydraulikzylinders . . . . . . . . . . 173.3 Wegübersetzung beim Aufbau mit einem Piezo . . . . . . . . 223.4 Wegübersetzung beim Aufbau mit zwei Piezos . . . . . . . . . 23

4 Regelung und Simulationen 284.1 Vorsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.1 Flache Vorsteuerung des Hydraulikzylinders . . . . . . 294.1.2 Vorsteuerung der Wegübersetzung (ein Piezo) . . . . . 314.1.3 Leckagekompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.4 Vorsteuerung der Wegübersetzung (zwei Piezos) . . . 37

4.2 Feedbacklinearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3 Kalmanfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Sliding Mode Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5 Hysteresekompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6 Vergleich der Regelungen 4.2 und 4.4 . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Ausblick 67

6 Literaturverzeichnis 68

7 Anhang 707.1 Parameter und physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . 707.2 Quelltexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.2.1 Abbildung 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.2.2 Abbildung 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2.3 Systemmodell in Kapitel 4.1.4 . . . . . . . . . . . . . . 757.2.4 EKF in Kapitel 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2.5 KF in Kapitel 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.2.6 Abbildungen in Kapitel 4 (beispielhaft für alle Plots) . 86

0 Vorwort und ProblemstellungDie vorliegende Masterarbeit entstand im Rahmen meiner Tätigkeit (seit2014) als Studentische Hilfskraft an der Leuphana Universität Lüneburg imBMBF-geförderten motortechnischen Forschungsprojekt „Vollvariable Ventil-steuerung eines Verbrennungsmotors“ (Projektnummer 17N2111). Das Pro-jekt wurde 2009 von dem Doktoranden Nils Werner [1] und den BetreuernProf. Dr.-Ing. H. Harndorf (Universität Rostock) und Prof. Dr.-Ing. U. Be-cker (Ostfalia Hochschule für angewandte Wissenschaften) ins Leben gerufenund maßgeblich von Prof. Dr.-Ing. P. Mercorelli (Leuphana Universität Lüne-burg) betreut. Mitgearbeitet haben außerdem zahlreiche Techniker, Ingenieu-re, studentische Hilfskräfte und wissenschaftliche Mitarbeiter, zeitweise bis zu15 Personen. Am Standort Wolfsburg der Ostfalia existiert ein Prüfstand, aufdem der gesamte Aktuator, wie er hier beschrieben wird, aufgebaut ist. Die-ses Kooperationsprojekt zwischen der Universität Rostock, der Ostfalia,der Universität Lüneburg sowie der Nelson Mandela Metropolitan Univer-sity in Port Elizabeth, Südafrika lief offiziell 2014 aus, Nils Werner erhieltden Doktorgrad mit summa cum laude im Jahr 2015 und wurde inzwischenals Professor an die Fachhochschule Flensburg berufen. Die verbliebene Ar-beitsgruppe für den Bereich Regelungstechnik, nun bestehend aus dem 2015neu dazugestoßenen Prof. Dr.-Ing. H. Aschemann der Universität Rostock,Prof. Dr.-Ing. P. Mercorelli, Prof. Dr.-Ing. N. Werner und mir selbst, er-forscht jedoch weiterhin Ansätze und Methoden zur Modellierung, Regelungund Simulation im Kontext des entwickelten Aktuators. Der Fokus liegt nunganz auf dem piezohydraulischen System – weitgehend losgelöst von den elek-tronischen und motortechnischen Aspekten, die Hauptthema der Promotionwaren. Im Laufe der letzten zwei Jahre (und natürlich davor, jedoch ohnemeine Mitwirkung) sind zahlreiche internationale peer-reviewed Publikatio-nen entstanden, in denen wir Meilensteine und Teilergebnisse unserer Arbeitbereits veröffentlicht haben. Diese werden in der Doktorarbeit zitiert. In die-ser Masterarbeit wird es genau so sein, auf unsere Papers wird in den Kapi-telüberschriften verwiesen. Natürlich gibt es auch einige neue Resultate, diebislang noch unveröffentlicht sind bzw. erst vor kurzem bei Konferenzen undZeitschriften zum Peer-Review eingereicht wurden und hier im Mittelpunktstehen sollen, dies ist insbesondere das nichtlineare Modell des Hydraulikzy-linders sowie die dazugehörige Feedbacklinearisierung, flache Vorsteuerung,Extended Kalman Filter und Sliding Mode Regelung.Das Ziel meiner Mitarbeit im Projekt war und ist, mathematische Modellezur Systembeschreibung aufzustellen, qualitativ zu validieren und als Simu-lation zu implementieren, sowie geeignete Regelungsverfahren zu finden undals Simulation zu implementieren, die das Tracking einer Solltrajektorie er-möglichen. In der vorliegenden Masterarbeit sollen insbesondere auch dieoben erwähnten neuen Ergebnisse meiner (noch andauernden) Mitarbeit imForschungsprojekt dokumentiert werden.

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1 Einleitung [1]Verbrennungsmotoren, ob Otto- oder Dieselmotoren, verwenden bis heute fürdie Steuerung der Einlass- und Auslassventile eine Nockenwelle. Abbildung

Kipphebel Nockenwelle

Feder

Abbildung 5: Ventilsteuerung herkömmlicher Verbrennungsmotoren. Quelle: Ostfalia,Fakultät Fahrzeugtechnik, IFA, N. Werner.

5 zeigt beispielhaft die traditionelle Kipphebeltechnik mit Rückstellfedern,aber auch andere Techniken sind üblich. Die mechanischen unveränderlichenKonturen der Nockenwelle geben dabei die Trajektorie des zu steuerndenVentils vor. Diese Trajektorie ist vorab auf ein bestimmtes Szenario bezüg-lich Last und Drehzahl optimiert, dem sogenannten „sweet spot“, vorgegebensowohl durch Anforderungen als auch durch Eigenschaften des Motors. Teileder Kostenfunktion sind dabei die Motoreffizienz, Abgaszusammensetzung(z.B. beim Atkinsonzyklus oder bei überlappenden Einlass- und Auslassven-tilkurven) und erzielte mechanische Leistung bzw. Leistungsdichten. Ändernsich jedoch die Parameter Last und Drehzahl, verlässt man den optimalenBereich – ein Kompromiss, der bislang notwendig war und bis heute ein-gegangen wird. Mit einer echten vollvariablen Ventilsteuerung kann man dieVentiltrajektorie so anpassen, dass man sich stets im optimalen Bereich befin-det. Weiterhin lässt sich so die mechanische Verlustleistung des Ventiltriebsstark reduzieren. Ein 62,5 kW Zweizylinder-Ottomotor aus einem BMW Mo-torrad zum Beispiel weist bei 2000 RPM akzeptable 0,5 kW, bei 8000 RPMaber schon 6 kW Reibleistung allein am Ventiltrieb auf ([1]), was immerhinca. 10 % der Gesamtleistung des Motors ausmacht. Bei Motoren mit mehrZylindern, aber ähnlicher Leistung, wie in kleinen PKWs üblich, ist der Ver-lustanteil noch höher (dafür natürlich auch die Drehzahl geringer).

6

1.1 Vollvariable VentilsteuerungViele kommerzielle, teilweise sogar serienmäßig verfügbare Ansätze realisie-ren Variabilität einzelner Parameter. Vollvariabilität beinhaltet jedoch dieMöglichkeit, mindestens die in Abbildung 6 dargestellten Parameter im lau-fenden Betrieb frei ändern zu können, eigentlich aber sogar die Ventiltra-jektorie völlig frei bestimmen zu können (bis zu einer gewissen maximalenFrequenz, vgl. Kapitel 3.1). Der Grund dafür, dass bis heute Nockenwellen

Abbildung 6: Parameter einer Vollvariablen Ventilsteuerung. Quelle: Ostfalia, FakultätFahrzeugtechnik, IFA, N. Werner.

verbaut werden (selbst in angeblich vollvariablen Ventiltrieben), ist, dass eineechte, nockenwellenlose Vollvariable Ventilsteuerung (VVS) über Aktuatorenfür jeden einzelnen Zylinder technisch und wirtschaftlich sehr anspruchsvollist. Eine kleine Überschlagsrechnung soll dies verdeutlichen ([2]). Bei einerDrehzahl von 6000 RPM müssen die 8-12 mm Ventilhub in ca. 4 ms ab-gefahren werden, was eine Beschleunigung von über 2700 m

s2 erfordert und,zum Abbremsen und Schließen des Ventils, sogar über 6000 m

s2 , wie Abbil-dung 7 entnommen werden kann. Beim Öffnen des Auslassventils müssenaußerdem hohe Drücke im Zylinder, verursacht durch die expandierten Ab-gase, überwunden werden (Größenordnung: 10-100 bar und einige hundertNewton, je nach Ventilfläche). Die Schließphase ist weitaus anspruchsvol-ler als die Öffnungsphase, denn das Ventil darf nicht mit hoher Geschwin-digkeit in den Ventilsitz „krachen“, dies würde eine zu starke mechanischeBelastung bedeuten und die Lebensdauer stark verkürzen sowie eine ver-meidbare Geräuschbelastung darstellen. Nach [1] ist daher eine maximaleSchließgeschwindigkeit von 0,1 bis 0,5 m

s (je nach Autor) einzuhalten. Einsogenanntes „soft landing“ wird aber selbst mit aktuellen nockenwellenlosenHigh-End-Ventilsteuerungssystemen, wie in Abbildung 9 dargestellt, nichterreicht. Wenn eine Ventilsolltrajektorie in Form einer Gaußschen Glocken-kurve getrackt werden kann, ist ein soft landing jedoch garantiert. In Abbil-dung 10 sind beispielhaft drei Variationsparameter dargestellt, die bei dieserKurvenform zur Anwendung kommen. Für Trajektorie 1 beträgt der Hub 10mm, das Timing -300°KW (Grad Kurbelwinkel) und die Öffnung 65°, bei

7

Trajektorie 2 sind es 7,5 mm, -200°KW und 100°. Details sind Kapitel 3.1 zuentnehmen. In Abbildung 8 ist unter anderem eine Überlappung der Einlass-und Auslassventilkurven zu sehen. Sie bewirkt, dass im zu verbrennendenKraftstoff-Luft-Gemisch noch ein gewisser Anteil Abgase enthalten ist, waseine sauberere Verbrennung ermöglicht und den Abgasnachbehandlungsauf-wand (Partikelfilterung etc.) reduzieren kann.

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Sollbeschleunigung 6000 RPM

Abbildung 7: Beschleunigung des Ventils bei 6000 RPM

Auslass-

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Abbildung 8: Variabilität der Ventilkurve. Quelle: Ostfalia, Fakultät Fahrzeugtechnik,IFA, N. Werner.

8

Abbildung 9: Ventilkurven der elektropneumatischen Ventilsteuerung „Freevalve G6Rail“ von Koenigsegg (2016). Quelle: https://youtu.be/H2mTriy9oQM

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10 Trajektorie 1Trajektorie 2Geschwindigkeit 1Geschwindigkeit 2

Abbildung 10: Variationsparameter mit dem aktuellen Trajektoriengenerierungsalgo-rithmus: Timing, Öffnung und Hub bei 2000 RPM

9

1.2 Prinzip des entwickelten VVS-AktuatorsDer piezo-servo-hydraulische Aktuator, der in diesem Forschungsprojekt ent-wickelt wurde, besteht aus einem Piezoaktuator, einer hydraulischen Weg-übersetzung, einem 4/3-Wege-Servoventil und einem doppeltwirkenden Hy-draulikzylinder. Abbildung 11 zeigt, wie ein Verbrennungsmotor mit den be-

Abbildung 11: 3D Mock-Up eines Motors mit Ventilaktuatoren. Quelle: Ostfalia, Fakul-tät Fahrzeugtechnik, IFA, M. Hochheuser.

schriebenen Aktuatoren aussehen könnte. Nicht dargestellt sind hier das Hy-draulikaggregat und die nötigen Schläuche. Die metallenen Keulen sind diePiezoaktuatoren, verbunden sind diese mit den hydraulischen Wegüberset-zungen, die wiederum mit den Servoventilen (die vier eckigen Körper aufden Zylindern) verbunden sind. Dieser Aufbau ist natürlich längst nicht sokompakt, wie es nach diversen Optimierungen im Rahmen von Entwicklungs-arbeiten möglich wäre, besonders bei den Piezoaktuatoren und den Wegüber-setzungen gibt es großes Miniaturisierungspotential.

1.3 Prüfstand und verwendete TechnikDie Abbildungen 1 bis 4, 12 und 13 zeigen den entwickelten Aktuator imDetail sowie im Einsatz auf dem Prüfstand. Dieser besteht, neben dem auf-gebauten Aktuator, aus einem PC mit Matlab und Simulink, einer dSPACEBox zur Signalverarbeitung und Regelung (enthält einen Quadcore x86 Pro-zessor von AMD sowie zwei Xilinx FPGAs, was natürlich stark überdimen-sioniert ist für einen fertigen Aktuator, für Forschungszwecke aber nötig ist),diverser Verstärkerelektronik für die Piezoaktuatoren des Herstellers PI, ei-nem Hydraulikaggregat und viel Messtechnik. Details können [1] entnommenwerden. Sehr komfortabel für die Forschung und Entwicklung von Regelungs-strategien ist die Anbindung von Simulink an die FPGA- und CPU-basierte

10

Regelungshardware. Das Simulinkmodell wird automatisch übersetzt und ge-flasht und kann sofort online getestet werden.

Abbildung 12: Prüfstand von vorne. Rechts ist die ganze Steuerelektronik, mittig undlinks unten das Hydraulikaggregat mit Tank, links der aufgebaute Aktua-tor in einer Plexiglasbox (Arbeitssicherheit). Quelle: Ostfalia, FakultätFahrzeugtechnik, IFA, N. Werner.

11

Abbildung 13: Aufbau mit zwei Piezos. Quelle: [1]

1.4 LeistungsersparnisIn Abbildung 14 ist zu sehen, dass die Nockenwelle des im Projekt untersuch-ten BMW Motorradmotors (2 Zylinder) eine beachtliche Verlustleistung inForm von Reibung aufweist, wie in der Einleitung erwähnt. Im Vergleich dazubeträgt die hydraulische Leistung des piezohydraulischen Aktuators bei 8000RPM pro Auslassventil (also mit komprimierten Abgasen im Zylinder) maxi-mal 2 · 10−4 m3

s × 6 · 106 Pa = 1, 2 kW und pro Einlassventil maximal 2 · 10−4

m3

s × 5 · 106 Pa = 1 kW. Dies sind Maximal- und keine Durchschnittswerteder Leistung. Rechnet man, überschlagsweise und pessimistisch, dennoch mitdiesen, kommt man pro Zylinder auf 2, 2 kW und bei zwei Zylindern auf 4, 4kW, also auf immerhin gut ein Viertel weniger Leistung im Vergleich zur No-ckenwelle. Berücksichtigt man die Leistungsaufnahme der Piezoaktuatoren,die bislang zumindest für 8000 RPM nicht genau erfasst wurde, verschlech-tert sich die Ersparnis nur minimal – das Hydraulikaggregat verrichtet wievorgesehen den Großteil der Arbeit und das Servoventil dient, im übertra-genen Sinne, als besserer Schalter. Letztendlich kann, zumindest bei hohenDrehzahlen, von einer Leistungsersparnis (allein bezüglich der Nockenwelle)von mindestens 10% sicher ausgegangen werden, mit weiteren Optimierun-gen (schließlich ist dieses Projekt erst in der Forschungsphase) auch mehr.Der effizientere Betrieb des Verbrennungsmotors kommt noch dazu. Diesesgroße Energiesparpotential ist die technische Hauptmotivation des Projekts.

12

Abbildung 14: Reibleistung der Nockenwelle im betrachteten BMW Motorradmotor.Quelle: [1]

13

2 LiteraturIn [3] wird ein linearisiertes Modell für den Hydraulikzylinder angegeben,das eine gute Näherung darstellt und in den Publikationen vor [4] verwen-det wurde, so auch in [5, 6, 7, 8, 9, 2]. Letztere Veröffentlichungen sind allein [1] aufgegangen. In [4, 10], die später entstanden, wird das nichtlinea-re Modell für den Hydraulikzylinder genutzt, das aus [11] stammt und inKapitel 3.2 ausführlich beschrieben ist. In [5] wird ein lineares Modell desAktuators angegeben, unter anderem auch für den Piezoaktuator selbst. (Inneueren Publikationen wird dieses nicht mehr verwendet; es wird angenom-men, dass zwischen Eingangsspannung und Verschiebung ein statischer Fak-tor 𝐷𝑥 = 180nm

V gilt, was durch den in der mitgelieferten Verstärkerbox inte-grierten Regler sichergestellt wird.) In [5] wird außerdem eine Vorsteuerungfür das Subsystem Wegübersetzung genutzt, die im wesentlichen der in Kapi-tel 4.1.2 entspricht. In [8] ist diese näher beschrieben. [5] nutzt weiterhin eineSliding Mode Regelung, die aufgrund des weggelassenen Switching-Anteils ei-nem adaptiven PI-Regler entspricht. Die Reglerverstärkung wird (online undständig neu) so berechnet, dass sich die resultierende Resonanzfrequenz desgeregelten Systems der Motordrehzahl angleicht, einen Ansatz den die Auto-ren Resonanzregler nennen. So könnten Resonanzeffekte aus Vibrationenzum Energiesparen ausgenutzt werden. Dass daraus gutes Tracking resul-tiert, konnte für diesen Fall in Simulationen gezeigt werden. [6] beschäftigtsich mit modellprädiktiver Regelung (Model Predictive Control, MPC) desAktuators. Dort kam allerdings noch ein statisches Modell der Wegüberset-zung zum Einsatz (Position des Piezokolbens proportional zur Position desServoventilkolbens). In [7] wird eine MPC mit dynamischem Modell für dieWegübersetzung (lineares System 4. Ordnung) betrachtet. In [9] wird dieserRegelungsansatz auf den neuen Aufbau mit zwei Piezoaktuatoren portiert.[2] beschäftigt sich mit einem Kompensationsalgorithmus, der Druckverlustein der Wegübersetzung ausgleicht (näheres in Kapitel 4.1.3).

14

3 Modellierung des Aktuators [1]Zum Entwurf von Regelungsstrategien und Durchführen von Simulationenbedarf es eines mathematischen Modells des physikalischen Systems sowieeines Ansatzes zur Sollwertgenerierung. Das Modell besteht aus zwei Sub-systemen, die als entkoppelt angenommen werden:

• Piezoaktuator(en) und Wegübersetzung (ugs. „mechanisches System“)– Eingangsgröße: Spannung im Eingang der Piezoaktuatoren– Ausgangsgröße: Position des Servoventilkolbens

• Servoventil und Hydraulikzylinder (ugs. „hydraulisches System“)– Eingangsgröße: Position des Servoventilkolbens– Ausgangsgröße: Position des Einlass-/Auslassventils

Rückwirkungen vom zweiten Subsystem auf das erste werden derzeit als ver-nachlässigbar angenommen.

3.1 SollwertgenerierungDie Sollkurve wird als Gaußsche Glockenkurve generiert. Dies bringt einigeVorteile mit sich, die später erläutert werden sollen. Grundlage der Generie-rung ist eine Exponentialfunktion:

𝑦(𝑡) = 𝐻 · 𝑒−( 𝑚𝑡+𝑎𝑏 )2

(1)

Im Exponenten findet sich ein Geradenausdruck 𝑚𝑡 + 𝑎. Dies ist eine peri-odische Funktion der Zeit 𝑡 (in Sekunden), deren Funktionswert wiederholtvon -360° bis 360° läuft (weshalb 𝑎 den fixen Wert -360° hat). Diese Wertekommen vom Kurbelwinkel (Stellung der Kurbelwelle) bei Viertaktmotoren,wo ein Arbeitstakt 720° entspricht. 𝑚 bezeichnet die Steigung, die sich als𝑚 = 𝑛· 360∘

60 = 𝑛·6∘ ergibt, wobei 𝑛 die Motordrehzahl ist (in RPM, daher derFaktor 60 im Nenner). 𝑏 ist die „Öffnung“ der Kurve in Grad und ist propor-tional zur Halbwertsbreite der Glockenkurve (mit einem Faktor 1

2√

ln 2) undist eine Kenngröße für die Öffnungsdauer. 𝐻 ist der Hub in m. Hauptvor-teil dieser Kurvenform ist, dass die Ableitungen nicht numerisch berechnetwerden müssen, sondern sich direkt symbolisch ergeben:

��(𝑡) = −2𝑚𝑚𝑡 + 𝑎

𝑏2 · 𝐻 · 𝑒−( 𝑚𝑡+𝑎𝑏 )2⏟ ⏞

𝑦(𝑡)

(2)

Diese Eigenschaft wird beim Entwurf der Vorsteuerung ausgenutzt. EineFFT-Analyse (Quelltext im Anhang) ist in Abbildung 15 dargestellt. Siezeigt, dass im äußersten Fall (8000 RPM) näherungsweise keine Frequenzenüber 500 Hz im Sollsignal auftreten.

15

Abbildung 15: Sollsignal und dessen Fourieranalyse bei 8000 RPM

16

3.2 Nichtlineares Modell des Hydraulikzylinders [11, 4]Das Ventil des Verbrennungsmotors wird über einen doppeltwirkenden Hy-draulikzylinder bewegt, wie er in Abbildung 16 dargestellt ist. Die Bewe-

Abbildung 16: Hydraulischer Teil des Aktuators zur Ventilbewegung

gungsgleichung dieser bewegten Masse 𝑀𝑣 lautet:

𝑀𝑣𝑦(𝑡) + 𝑏𝑣��(𝑡) = Δ𝑝(𝑡)𝑆 − 𝑑(𝑡) . (3)

Dabei ist 𝑦(𝑡) die Ventilposition, 𝑏𝑣 ein geschwindigkeitsproportionaler Dämp-fungskoeffizient, Δ𝑝(𝑡) die Druckdifferenz der beiden Kammern des Hydrau-likzylinders (𝑝𝐴(𝑡) − 𝑝𝐵(𝑡)), 𝑆 die wirksame Querschnittsfläche und 𝑑(𝑡) einebeliebige Störung, stellvertretend für jegliche Modellunsicherheiten. Wird dasHydrauliköl als kompressibel angenommen, ergeben sich aus dem Kontinui-tätsgesetz (Volumenstromgleichgewicht) folgende Differentialgleichungen fürden Druck in den beiden Kammern (siehe [11]):

��𝐴(𝑡) = 𝐸��𝑙

𝑉𝐴,0 + 𝑆𝑦(𝑡)(𝑄𝐴(𝑡) − 𝑆��(𝑡) + 𝐶𝐿𝑖(𝑝𝐴(𝑡) − 𝑝𝐵(𝑡)) (4)

��𝐵(𝑡) = 𝐸��𝑙

𝑉𝐵,0 − 𝑆𝑦(𝑡)(𝑄𝐵(𝑡) + 𝑆��(𝑡) − 𝐶𝐿𝑖(𝑝𝐴(𝑡) − 𝑝𝐵(𝑡)), (5)

dabei bezeichnen 𝑉𝐴,0 und 𝑉𝐵,0 das Anfangsvolumen der Kammern bei 𝑦 = 0(was hier als „Ventil geschlossen“ festgelegt wird), 𝐸��𝑙 ist der Kompressions-modul (eigentlich druckabhängig, hier aber als konstant angenommen), 𝐶𝐿𝑖

17

ist ein Leckagefaktor zwischen den Kammern und 𝑄𝐴,𝐵(𝑡) sind die Volumen-ströme in die Kammern A und B (negatives Vorzeichen: aus der Kammerheraus). Die Volumenströme sind nun die manipulierbaren Einflussgrößen aufdas System (3)-(5). Da die Bewegungsrichtung des Ventils direkt mit der Stel-lung des Servoventilkolbens 𝑥2 (im Prinzip ein 4/3-Wege-Servoventil, sieheAbbildung 17) zusammenhängt, ist es möglich, Ausdrücke für die Volumen-ströne in Abhängigkeit davon zu formulieren. Dazu führt man die Heaviside-Funktion H(𝑥) ein:

H(𝑥) ={

1 𝑓��𝑟 𝑥 > 00 𝑓��𝑟 𝑥 ≤ 0 , (6)

es ergeben sich folgende Gleichungen:

𝑄𝐴 = 𝑐𝑥2H(𝑥2)√

𝑝0 − 𝑝𝐴 − 𝑐(−𝑥2)H(−𝑥2)√

𝑝𝐴 − 𝑝𝑇 (7)

𝑄𝐵 = 𝑐(−𝑥2)H(−𝑥2)√

𝑝0 − 𝑝𝐵 − 𝑐(𝑥2)H(𝑥2)√

𝑝𝐵 − 𝑝𝑇 , (8)

wobei 𝑄𝐴, 𝑄𝐵, 𝑝𝐴, 𝑝𝐵 und 𝑥2 natürlich zeitabhängige Größen sind (was imFolgenden auch wieder so geschrieben wird). 𝑝0 ist der konstante Systemdruck(Hydraulikpumpe) und 𝑝𝑇 der konstante Tankdruck.

𝑐 = 𝛼𝐷𝑛𝑏

√2

𝜌𝑜𝑖𝑙(9)

ist ein Faktor, der abhängt von der Öldichte 𝜌𝑜𝑖𝑙, der Anzahl 𝑛 der Öffnungenim Servoventil sowie deren Breite 𝑏 und dem Blendenbeiwert 𝛼𝐷 (für Detailssiehe [1]). Wenn 𝑥2 > 0 ist, ergeben sich die Volumenströme z.B. als

𝑄𝐴(𝑡) = 𝑐𝑥2(𝑡)√

𝑝0 − 𝑝𝐴(𝑡) und (10)

𝑄𝐵(𝑡) = −𝑐𝑥2(𝑡)√

𝑝𝐵(𝑡) − 𝑝𝑇 . (11)

Das Modell des Subsystems Hydraulikzylinder ist nun komplett, es handeltsich um ein nichtlineares SISO-System – siehe auch Abbildung 18. Die Ein-gangsgröße ist die Servoventilkolbenposition 𝑥2(𝑡), die aufgrund der treiben-den Druckdifferenz zwischen 𝑝0 und 𝑝𝑇 Volumenströme in die Kammern Aund B des Hydraulikzylinders bewirkt (7),(8). Dort baut sich eine Druckdif-ferenz 𝑝𝐴 −𝑝𝐵 (Simulation: aus der numerischen Lösung von (5)) auf, die dieBewegung des Ventils (3) verursacht. Die Ventilposition ist die Ausgangsgrö-ße. In der Zustandsraumbeschreibung sieht das Modell wie folgt aus (siehe[11]): z = f(z, u) mit den Zuständen z =

[𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑧4

]Tund den Eingän-

gen u =[𝑢1 𝑢2

]T, definiert als 𝑧1 = 𝑦(𝑡), 𝑧2 = ��(𝑡), 𝑧3 = 𝑝𝐴(𝑡), 𝑧4 = 𝑝𝐵(𝑡)

18

Abbildung 17: Servoventil

19

und 𝑢1 = 𝑥2(𝑡), 𝑢2 = 𝑑(𝑡). Ausgang ist 𝑧1 = 𝑦(𝑡). Das Feld f(z, u) ist⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑧2

1𝑀𝑣

((𝑧3 − 𝑧4)𝑆 − 𝑧2𝑏𝑣 − 𝑢2)𝐸��𝑙

𝑉𝐴,0+𝑧1𝑆 (𝑐𝑢1H(𝑢1)√

𝑝0 − 𝑧3 + 𝑐𝑢1H(−𝑢1)√

𝑧3 − 𝑝𝑇 − 𝑧2𝑆 + 𝐶𝐿𝑖(𝑧3 − 𝑧4))𝐸��𝑙

𝑉𝐵,0−𝑧1𝑆 (−𝑐𝑢1H(−𝑢1)√

𝑝0 − 𝑧4 − 𝑐𝑢1H(𝑢1)√

𝑧4 − 𝑝𝑇 + 𝑧2𝑆 − 𝐶𝐿𝑖(𝑧3 − 𝑧4))

⎤⎥⎥⎥⎥⎦(12)

Dies ist das Modell, das für die Simulation und Erprobung der Regelungs-strategien „Sliding Mode Control + flache Vorsteuerung“ und „Feedbackli-nearisierung” genutzt wird. Um das physikalische Verhalten des echten, aufdem Prüfstand aufgebauten Systems korrekt widerzuspiegeln, sind zusätzlichnoch folgende Diskontinuitäten implementiert:

• Der letzte Integrator (in Abbildung 18 ganz rechts) ist nach unten ge-sättigt, beim Wert 0, da die Ventilposition nach Definition nicht negativsein kann (Ventilsitz)

• Der vorletzte Integrator (der zweite von rechts) wird auf 0 zurückge-setzt, wenn dieser Ausdruck wahr ist: (𝑦(𝑡) = 0∧𝑦(𝑡−𝑇𝑠) > 0)∨(𝑦(𝑡) =0 ∧ ((Δ𝐹 (𝑡 − 𝑇𝑠) − 𝑑(𝑡 − 𝑇𝑠) − 𝑏𝑣��(𝑡 − 𝑇𝑠)) < 0) ∨ 𝑥2(𝑡) < 0). Hinter-grund ist, dass ohne dieses forcierte Zurücksetzen des Integrators dieVentilgeschwindigkeit (z.B. durch die Störung 𝑑(𝑡)) in der Simulationmanchmal negativ ist, während das Ventil schon geschlossen ist. Diesist physikalisch ausgeschlossen.

20

Abb

ildun

g18

:Blo

ckdi

agra

mm

des

kom

plet

ten

nich

tline

aren

Vent

ilmod

ells

3.3 Wegübersetzung beim Aufbau mit einem Piezo [8]

Abbildung 19: Aufbau mit einem Piezo

Wie in Abbildung 19 zu sehen ist, wird das Öl in der hydraulischen Weg-übersetzung als kompressibel und somit als elastisch angenommen. Der Kom-pressionsmodul hängt vom Druck und (vernachlässigbar) von der Tempera-tur ab und kann Datenblättern, Kennfeldern oder einschlägiger Literaturentnommen werden. Hier wird er der Einfachheit halber als konstant ange-nommen. Aus diesem berechnet sich wie folgt eine „Ersatzfederkonstante“,die die Elastizität des Öls aufgrund seiner Kompressibilität beschreibt [1]:

𝐾𝐹 𝐿 = 𝑆2 𝐸𝑜𝑙

𝑉0(13)

Dabei ist 𝐾𝐹 𝐿 die Federkonstante, 𝑆 die Oberfläche des Zylinders/Kolbens,𝐸𝑜𝑙 der Kompressionsmodul des Hydrauliköls und 𝑉0 das Ölvolumen. Wirddie Ölkammer aus Abbildung 19 in zwei Abschnitte gleichen Volumens mitunterschiedlichen Kolbenflächen eingeteilt, ergeben sich also zwei verschie-dene Federkonstanten 𝐾𝐹 𝐿1 und 𝐾𝐹 𝐿2. Die Kraftübertragung ist nach [4]bei diesem Aufbau abhängig vom Anteil der jeweiligen Kolbenfläche an derwirksamen Gesamtfläche. Zur Vereinfachung der Notation werden dafür zweiSymbole eingeführt:

𝐴𝐹 1 = 𝐴1𝐴1 + 𝐴2

𝐴𝐹 2 = 𝐴2𝐴1 + 𝐴2

(14)

Dabei ist 𝐴1 in der Mitte von Abbildung 19 die links dargestellte, größereFläche und 𝐴2 die kleinere. Damit sind die Bewegungsgleichungen der dreiPunktmassen:

𝑚𝑃 ·��1(𝑡) = 𝑉𝑧(𝑡)𝐷𝑥𝐾𝑥 −𝑥1(𝑡) ·(𝐾 +𝐾𝑥 +𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1)−��1(𝑡) ·𝐷+𝑥𝑐(𝑡) ·𝐾𝐹 𝐿1(15)

22

𝑚��𝑙 · ��𝑐(𝑡) = 𝑥1(𝑡) ·𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1 −𝑥𝑐(𝑡) ·(𝐾𝐹 𝐿1 +𝐾𝐹 𝐿2)+𝑥2(𝑡) ·𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿2 (16)

𝑚𝑉 𝑆 · ��2(𝑡) = 𝑥𝑐(𝑡) · 𝐾𝐹 𝐿2 − 𝑥2(𝑡) · (𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿2 + 𝐾𝑉 𝑆) − ��2(𝑡) · 𝐷𝑉 𝑆 (17)

Wie man in (15) sieht, ist anstatt einer Dynamik für den Piezoaktuator schonder in Kapitel 2 erwähnte Steady-State-Zusammenhang 𝑥𝑝(𝑡) = 𝑉𝑧(𝑡)𝐷𝑥 ein-gesetzt worden, wobei 𝐷𝑥 auch piezoelektrische Ladungskonstante genanntwird (allerdings hier bereits multipliziert mit der Anzahl der Piezokristalle)und die Ausdehnung pro angelegter Spannung quantifiziert. Es ergibt sich𝐹𝑧(𝑡) = 𝑉𝑧(𝑡)𝐷𝑥𝐾𝑥. Die Differentialgleichungen (15) - (17) bilden das Zu-standsraummodell:

x6(𝑡) = A6x6(𝑡) + B6𝑉𝑧(𝑡), y6(𝑡) = C6x6(𝑡) (18)

x6(𝑡) =[𝑥1(𝑡) ��1(𝑡) 𝑥𝑐(𝑡) ��𝑐(𝑡) 𝑥2(𝑡) ��2(𝑡)

]𝑇(19)

A6 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0 0 0 0−𝐾+𝐾𝑥+𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1

𝑚𝑃− 𝐷

𝑚𝑃

𝐾𝐹 𝐿1𝑚𝑃

0 0 00 0 0 1 0 0

𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1𝑚��𝑙

0 −𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2𝑚��𝑙

0 𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿2𝑚��𝑙

00 0 0 0 0 10 0 𝐾𝐹 𝐿2

𝑚𝑉 𝑆0 −𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿2+𝐾𝑉 𝑆

𝑚𝑉 𝑆− 𝐷𝑉 𝑆

𝑚𝑉 𝑆

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(20)

B6 =[0 𝐷𝑥𝐾𝑥

𝑚𝑃0 0 0 0

]𝑇, C6 =

[0 0 0 0 1 0

](21)

Dies ist das Modell, das zur Simulation und Erprobung auf dem Prüfstand derRegelungsstrategien „Hysteresekompensation“ und „Leckagekompensation“genutzt wird.

3.4 Wegübersetzung beim Aufbau mit zwei Piezos [9]Mit dem gegebenen Aufbau mit nur einem Piezo kann nur schwer eine Solltra-jektorie getrackt werden, da mit dem Piezoaktuator nur in Ausdehnungsrich-tung nennenswert Kraft ausgeübt werden kann, für die Rückstellung bedarfes einer Feder. Wie in den folgenden Kapiteln ersichtlich wird, ist Trackingmit diesem Aufbau grundsätzlich möglich, wenn die Drehzahl relativ niedrigist (2000-3500 RPM), ein Feedbackregler existiert und die in der Wegüberset-zungsvorsteuerung verwendeten Modellparameter sehr genau mit den echten

23

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4

Am

plitu

de (

dB)

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

AD3

, BD3

, CD3

A2, B

2, C

2

Frequenz (Hz)

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4

Pha

se (

deg)

-180

-135

-90

-45

0

AD3

, BD3

, CD3

A2, B

2, C

2

Frequenz (Hz)

Abbildung 20: Bodediagramm der Modelle der Wegübersetzungen mit einem (blau) undzwei (rot) Piezos nach Ordnungsreduktion (siehe Kapitel 4.1) und Zu-standserweiterung (60)

24

physikalischen Parametern übereinstimmen (was in Simulationen gegebenist). Letzteres ist in der Praxis besonders schwierig, da sich diese oft än-dern, etwa wenn der Prüfstand umgebaut wird, eine defekte Dichtung ersetztwird oder ähnliches. (Eine Online Systemidentifikation hilft hier natürlich,in dieser Entwicklungsphase des Aktuators befindet sich das Forschungspro-jekt aber längst noch nicht.) Um die „Steuerbarkeit“ (im intuitiven Sinne,höchstwahrscheinlich aber auch im regelungstechnischen Sinne) zu erhöhen,wurde deshalb ein anderer Ansatz verwendet, indem statt der Rückstellfe-der ein zweiter Piezoaktuator verbaut wird. So kann in beide Richtungeneine unmittelbar beeinflussbare Kraft ausgeübt werden. Ein Vergleich imFrequenzbereich wird in Abbildung 20 angestellt. Wie dort an den höherenFrequenzen zu sehen ist, ist der erweiterte Aufbau schneller und erleichtertdas Tracking bei höheren Drehzahlen. Bei 300 Hz beispielsweise weist derAufbau mit nur einem Piezo schon die dreifache Dämpfung (ca. 5 dB Un-terschied) auf. Das mechanische Modell ist in Abbildung 21 zu sehen, dieDifferentialgleichungen der jetzt fünf Punktmassen lauten:

Abbildung 21: Aufbau mit zwei Piezos

𝑚𝑃 1 · ��11(𝑡) = 𝑉𝑧1 · 𝐷𝑥 · 𝐾𝑥1 − 𝑥11(𝑡) · (𝐾𝑥1 + 𝐾1 + 𝐴𝐹 1 · 𝐾𝐹 𝐿11)− ��11(𝑡) · 𝐷1 + 𝑥𝑐1(𝑡) · 𝐾𝐹 𝐿11 (22)

𝑚��𝑙 · ��𝑐1(𝑡) = 𝑥11(𝑡) · 𝐴𝐹 1 · 𝐾𝐹 𝐿11 + 𝑥2(𝑡) · 𝐴𝐹 2 · 𝐾𝐹 𝐿12

− 𝑥𝑐1(𝑡) · (𝐾𝐹 𝐿11 + 𝐾𝐹 𝐿12) (23)

𝑚𝑉 𝑆 · ��2(𝑡) = 𝑥𝑐1(𝑡) · 𝐾𝐹 𝐿12 + 𝑥𝑐2(𝑡) · 𝐾𝐹 𝐿21 − ��2(𝑡) · (𝐷𝑉 𝑆1 + 𝐷𝑉 𝑆2)− 𝑥2(𝑡) · (𝐴𝐹 2 · 𝐾𝐹 𝐿12 + 𝐾𝑉 𝑆1 + 𝐾𝑉 𝑆2 + 𝐴𝐹 2 · 𝐾𝐹 𝐿21) (24)

𝑚��𝑙 · ��𝑐2(𝑡) = 𝑥2(𝑡) · 𝐴𝐹 2 · 𝐾𝐹 𝐿21 + 𝑥21(𝑡) · 𝐴𝐹 1 · 𝐾𝐹 𝐿22

− 𝑥𝑐2(𝑡) · (𝐾𝐹 𝐿21 + 𝐾𝐹 𝐿22) (25)

25

𝑚𝑃 2 · ��21(𝑡) = −𝑉𝑧2 · 𝐷𝑥 · 𝐾𝑥2 + 𝑥𝑐2(𝑡) · 𝐾𝐹 𝐿22−𝑥21(𝑡) · (𝐴𝐹 1 · 𝐾𝐹 𝐿22 + 𝐾2 + 𝐾𝑥2) − ��21(𝑡) · 𝐷2 (26)

Damit ergibt sich in Zustandsraumbeschreibung das folgende LTI-Systemzehnter Ordnung. Die Systemmatrix ist so sperrig, dass sie zur besseren Les-barkeit partitioniert wurde.

x =[𝑥11, ��11, 𝑥𝑐1, ��𝑐1, 𝑥2, ��2, 𝑥𝑐2, ��𝑐2, 𝑥21, ��21,

]𝑇, (27)

x(𝑡) = Ax(𝑡) + B[𝑉𝑧1(𝑡)𝑉𝑧2(𝑡)

], 𝑦(𝑡) = Cx(t), A =

[A11 A12A21 A22

]. (28)

Die Submatrix A11 ist:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0 0 0−𝐾𝑥1+𝐾1+𝐴𝐹 1·𝐾𝐹 𝐿11

𝑚𝑃 1− 𝐷1

𝑚𝑃 1𝐾𝐹 𝐿11𝑚𝑃 1

0 00 0 0 1 0

𝐴𝐹 1·𝐾𝐹 𝐿22𝑚��𝑙

0 −𝐾𝐹 𝐿21+𝐾𝐹 𝐿22𝑚��𝑙

0 𝐴𝐹 2·𝐾𝐹 𝐿12𝑚��𝑙

0 0 0 0 00 0 𝐾𝐹 𝐿12

𝑚𝑉 𝑆0 −𝐴𝐹 2·(𝐾𝐹 𝐿12+𝐾𝐹 𝐿21)+𝐾𝑉 𝑆1+𝐾𝑉 𝑆2

𝑚𝑉 𝑆

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(29)

A12 = 04×5 ist eine Nullmatrix und

A21 =

⎡⎢⎢⎢⎣0 0 0 0 00 0 0 0 𝐴𝐹 2·𝐾𝐹 𝐿21

𝑚��𝑙

0 0 0 0 00 0 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎦ , (30)

A22 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 0 0−𝐷𝑉 𝑆1+𝐷𝑉 𝑆2

𝑚𝑉 𝑆

𝐾𝐹 𝐿21𝑚𝑉 𝑆

0 0 00 0 1 0 00 −𝐾𝐹 𝐿21+𝐾𝐹 𝐿22

𝑚��𝑙0 𝐴𝐹 1·𝐾𝐹 𝐿22

𝑚��𝑙0

0 0 0 0 10 𝐾𝐹 𝐿22

𝑚𝑃 20 −𝐾𝑥2+𝐾2+𝐴𝐹 1·𝐾𝐹 𝐿22

𝑚𝑃 2− 𝐷2

𝑚𝑃 2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦.

(31)

26

Die Eingabematrix ist offensichtlich

B =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 0𝐷𝑥𝐾𝑥1

𝑚𝑃 10

0 00 00 00 00 00 00 00 −𝐷𝑥𝐾𝑥2

𝑚𝑃 2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(32)

und die Ausgangsmatrix (weil 𝑥2(𝑡) die Ausgangsgröße ist)

C =[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

]. (33)

27

4 Regelung und Simulationen [1]Für die Regelungsstrategien wird stets die (angenommene) Eigenschaft aus-genutzt, dass die beiden Subsysteme entkoppelt sind, so dass sie unabhängigvoneinander geregelt werden können. Die Wegübersetzung wird in jedem Fallin einem inneren Kreis gesteuert, mittels einer Vorsteuerung (inverse Dy-namik, auf unterschiedliche Arten realisiert, Kapitel 4.1.2 und 4.1.4). DieRegelung erfolgt dann kaskadiert über den äußeren Kreis. Die erprobtenAnsätze sind:

• Feedbacklinearisierung des Hydraulikzylinders, kaskadiertes ExtendedKalmanfilter und ein PI-Zustandsregler, Kapitel 4.2 und 4.3

• Flache Vorsteuerung des Hydraulikzylinders und Sliding Mode Rege-lung, Kapitel 4.1.1 und 4.4

• Adaptive Vorsteuerung der Wegübersetzung, Kapitel 4.1.3• Heuristische Totzeit-/Hysteresekompensation, Kapitel 4.5

Die Implementierung der beiden ersten Ansätze (bislang nur Simulationen)beruhen auf dem neueren Aufbau mit zwei Piezoaktuatoren. Die anderenbeiden, älteren Algorithmen beziehen sich auf die Variante mit einem Piezo,wurden dafür aber schon erfolgreich auf dem Prüfstand erprobt.

4.1 VorsteuerungUnter „Steuerung“ versteht man im deutschen Regelungstechnikjargon An-sätze, bei denen keine rückgekoppelten (also gemessenen oder geschätzten)Signale verwendet werden, sondern lediglich Sollsignale und a-priori-Wissenüber die Regelstrecke. Bei einer „Vorsteuerung“ wird dieses Wissen so ange-wandt, dass die Hintereinanderschaltung aus Vorsteuerung und (Teil-)Streckeeine Übertragungsfunktion 1 ergibt (bzw. im nichtlinearen Fall, dass das Ein-gangssignal direkt am Ausgang anliegt). Dies kann natürlich nur näherungs-weise erfolgen und nur, wenn man in Kauf nimmt, der Strecke einige (schnelle)Pole oder, allgemein, sehr kleine Verzögerungen und Verzerrungen hinzuzu-fügen. Dies hat zur Konsequenz, dass Vorsteuerungen nur unterhalb einer ge-wissen maximalen Schaltfrequenz zufriedenstellend funktionieren, was aberdurch Einschränkung der erlaubten Referenzsignale kein Problem darstellt.Problematischer sind im Allgemeinen Modellunsicherheiten, die, wennman die Regelung aus der Simulation in die reale Welt überträgt, bewir-ken, dass die Kürzung der Dynamik nicht mehr führungsgenau ist. Durch dieRegelung im äußeren Kreis kann dieser Effekt (im englischen auch creep effectgenannt, angelehnt an den Begriff des zeit/-temperaturabhängigen Kriechensbei Werkstoffen) aber kompensiert werden, so dass Modellunsicherheiten fürdas Subsystem Wegübersetzung nicht weiter betrachtet werden müssen. Diesist auch der Grund dafür, dass im Projekt bislang noch keine genaue Identi-fikation der Systemparameter stattgefunden hat – es geht auch ohne.

28

4.1.1 Flache Vorsteuerung des Hydraulikzylinders [4]

Das Konzept der Flachheit (flatness) eines Systems, eine Erweiterung desSteuerbarkeitsbegriffs linearer Systeme auf nichtlineare Systeme, wurde inden letzten zehn Jahren in vielen Publikationen für Regelungszwecke ge-nutzt. Besonders, wenn Systemausgangs-Solltrajektorien getrackt werden sol-len (vgl. [12]), bietet sich dieses simple Konzept an und vereinfacht denEntwurf von sowohl Vorsteuerungen als auch Regelungen. Gerade für soft-landing-Probleme sind flache (flatness-basierte) Vorsteuerungen gut geeig-net, da sich das Stellsignal für den Eingang direkt aus dem gewünschtenAusgangssignal ergibt (z.B. in [13] und [14]). Ein dynamisches System istdann flach, wenn einige Voraussetzungen erfüllt sind, auf die hier nicht wei-ter eingegangen werden soll (für Details siehe [4] oder Wikipedia → Flach-heit). Hier sei nur angemerkt, dass das System (12) durch die Anwesen-heit der Hamiltonfunktion des Eingangs in der Dynamik nicht vollständigflach ist, wie sich auch im weiteren Verlauf des Vorsteuerungsentwurfs zeigenwird. Aufgrund von Näherungen kann das Konzept dennoch genutzt werden.Die für uns wichtigste Voraussetzung für Flachheit ist, dass die Eingängesich als Funktion der Ausgänge (und deren Ableitungen) ausdrücken las-sen: u = u(y, y, . . . , y(𝑛)). Diese Eigenschaft wird direkt ausgenutzt. Indemfür die Argumente einfach die gewünschten Ausgangssignale eingesetzt wer-den, ergibt sich eine Gleichung für das Eingangssignal. Für die Entwicklungeiner flachen Vorsteuerung des Hydraulikzylinders wird zuerst aus der gege-benen Solltrajektorie des Ventils (siehe Kapitel 3.1) sowie deren Ableitungenein Signal Δ𝑝𝑑(𝑡) (die Druckdifferenz 𝑝𝐴(𝑡) − 𝑝𝐵(𝑡)) berechnet, das dem ge-wünschten Verlauf entspricht. Dies geschieht anhand der Systemgleichung(3):

Δ𝑝𝑑(𝑡) = 1𝑆

(𝑀𝑣𝑦𝑑(𝑡) + 𝑏𝑣��𝑑(𝑡)) (34)

Als nächstes muss dieses Signal übersetzt werden in eine gewünschte Ser-voventilkolbenposition 𝑥2𝑑(𝑡). Um nicht die Differentialgleichungen für dieDrücke 𝑝𝐴 und 𝑝𝐵 lösen zu müssen, wird eine Modellordnungsreduktion vor-genommen.

Dazu wird das Hydrauliköl als inkompressibel (��∙ = 0) angenommen. Die-se Annahme ist mathematisch bedenklich, da sie eigentlich impliziert, dassΔ𝑝(𝑡) = 𝑝𝐴(𝑡) − 𝑝𝐵(𝑡) stets konstant ist, was eine veränderliche Ventilbewe-gung ausschließt. Es wird sich aber im Folgenden zeigen, dass sie trotzdemzielführend ist. Als Rechtfertigung könnte man anführen, dass die Dynamikder Ölkompressibilität so schnell ist, dass ��∙ bei Änderungen von 𝑥2 erst nacheinem sehr kurzen Transient quasi null ist, aber eben nicht ständig konstantnull. Es ergeben sich durch diese Näherung die Volumenströme aus (5) zu

𝑄𝐴(𝑡) = 𝑆��(𝑡) und 𝑄𝐵(𝑡) = −𝑆��(𝑡) = −𝑄𝐴(𝑡). (35)

29

Aus den Gleichungen (35), (10), (11) und Δ𝑝(𝑡) = 𝑝𝐴(𝑡) − 𝑝𝐵(𝑡) folgt, unterder Annahme 𝑥2(𝑡) > 0, Δ𝑝(𝑡) als

Δ𝑝(𝑡) = 𝑝0 − 𝑝𝑇 − 2(

𝑆��(𝑡)𝑐𝑥2(𝑡)

)2(36)

und für 𝑥2(𝑡) < 0

Δ𝑝(𝑡) = −𝑝0 + 𝑝𝑇 + 2(

𝑆��(𝑡)𝑐𝑥2(𝑡)

)2. (37)

Wie man sieht, hängt Δ𝑝 für 𝑥2 = 0 direkt vom Vorzeichen von 𝑥2 ab:

Δ𝑝(𝑡) = sign(𝑥2(𝑡))(

𝑝0 − 𝑝𝑇 − 2(

𝑆��(𝑡)𝑐𝑥2(𝑡)

)2)(38)

Für 𝑥2(𝑡) = 0 ergibt sich durch die in (35) vorgenommene Näherung aller-dings eine Singularität in (38), die sich in der Simulation als Pol zweiterOrdnung (der sich durch die Vorzeichenabhängigkeit von 𝑥2(𝑡) jedoch wieein Pol erster Ordnung verhält) manifestieren würde. Dies müsste manuellabgefangen werden, z.B. indem der Δ𝑝(𝑡)-Wert festgehalten wird, solange𝑥2(𝑡) ≈ 0 ist. Jedoch wird dieses vereinfachte Modell nicht zur Simulationverwendet, sondern zur Herleitung der flachen Vorsteuerung – deshalb mussdies nicht weiter betrachtet werden. Die Invertierung von (38) ergibt

𝑥2𝑑(𝑡) = ��𝑑(𝑡)𝑆𝑐√

12 (−Δ𝑝𝑑(𝑡)sign(𝑥2𝑑(𝑡)) + 𝑝0 − 𝑝𝑇 )

. (39)

Die Besonderheit ist nun, dass 𝑥2𝑑(𝑡) nicht auf einer Seite der Gleichungisoliert werden kann – was eigentlich die Eigenschaft der Flachheit verletzt.Die Anwesenheit von sign(𝑥2𝑑(𝑡)) auf der rechten Seite stellt gewisserma-ßen einen Zirkelschluss dar. Da man im Vorsteuerungsentwurf prinzipiell al-les tun darf, was zielführend ist, wird in der Implementierung das Signalsign(𝑥2𝑑(𝑡)) um eine Samplingdauer 𝑇𝑆 = 50 𝜇s verzögert und durch ei-ne stetige, annähernde Funktion 2

𝜋 tan−1(106𝑥2𝑑(𝑡 − 𝑇𝑆)) ersetzt. Da dieseVerzögerung verglichen mit den maximal auftretenden Schaltfrequenzen desAktuators (bzw. der entsprechenden Periodendauer) sehr klein ist, ist die Nä-herung zielführend und funktioniert zufriedenstellend. Die Näherung in Formder „smoothen” tan−1-Funktion hat den Vorteil, dass die Rückkopplung keinChattering mehr verursacht (davon gibt es durch die Sliding Mode Regelungschon genug) – eine Eigenschaft, die in der Forschungscommunity der mo-dernen Regelungstechnik sehr gern ausgenutzt wird bei der Annäherung vonunstetigen Funktionen.

30

4.1.2 Vorsteuerung der Wegübersetzung (ein Piezo) [8]

Das Subsystem „Wegübersetzung“ hat als Eingangsgröße die Spannung fürden Piezoaktuator 𝑉𝑧(𝑡), Ausgangsgröße ist die Position des Servoventilkol-bens 𝑥2(𝑡). Eine Inversion des Zustandsraummodells ermöglicht es, aus ei-ner gegebenen Sollposition des Servoventilkolbens (siehe Kapitel 4.1.1) dienötige Eingangsspannung für den Piezoaktuator zu berechnen. Das Modell(18), ein System sechster Ordnung, ist dafür noch zu komplex – schließlichmüssten für die Inversion alle sechs Zustände bekannt sein. Um eine Mo-dellordnungsreduktion auf die vier Zustände, die zu 𝑚𝑃 und 𝑚𝑉 𝑆 gehören,durchzuführen, wird angenommen, dass die Masse des Öls vernachlässigbarklein ist (𝑚��𝑙 ≈ 0). Damit wird Gleichung (16) durch den Steady-State-Zusammenhang

𝑥𝑐(𝑡) = 𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1 · 𝑥1(𝑡) + 𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿2 · 𝑥2(𝑡)𝐾𝐹 𝐿1 + 𝐾𝐹 𝐿2

(40)

ersetzt und das Modell vereinfacht sich nach einigen Berechnungen [8] zu

x4(𝑡) = A4x4(𝑡) + B4𝑉𝑧(𝑡), y4(𝑡) = C4x4(𝑡) (41)

x4(𝑡) =[𝑥1(𝑡) ��1(𝑡) 𝑥2(𝑡) ��2(𝑡)

]𝑇(42)

A4 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0 0𝐴𝐹 1𝐾2

𝐹 𝐿1𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

−𝐾−𝐾𝑥−𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1

𝑚𝑃− 𝐷

𝑚𝑃

𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿1𝐾𝐹 𝐿2(𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2)𝑚𝑃

00 0 0 1

𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1𝐾𝐹 𝐿2(𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2)𝑚𝑉 𝑆

0𝐴𝐹 2𝐾2

𝐹 𝐿2𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

−𝐾𝑉 𝑆−𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿2

𝑚𝑉 𝑆− 𝐷𝑉 𝑆

𝑚𝑉 𝑆

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(43)

B4 =[0 𝐷𝑥𝐾𝑥

𝑚𝑃 𝐾0 0

]𝑇, C4 =

[0 0 1 0

](44)

Das Bodediagramm (Abbildung 22) zeigt, dass für den Entwurf der Vor-steuerung sogar ein noch gröberes, simpleres Modell ausreicht, nämlich eineszweiter Ordnung. Die Rechtfertigung dafür ist, dass das Spannungssignalin der Praxis selbst bei 8000 RPM (von Rauschen durch die Vorsteuerun-gen abgesehen) nie Frequenzkomponenten größer als einige hundert Hertzenthält. Dafür wird angenommen, dass die Dynamik der Masse 𝑚𝑃 (des Pie-zokolbens) viel schneller ist als die der Masse 𝑚𝑉 𝑆 (des Servoventilkolbens)und somit ��1(𝑡) und ��1(𝑡), vom kurzen Transient abgesehen, meistens nä-herungsweise null sind, wodurch der Zustand 𝑥1(𝑡) wie oben durch seinenSteady-State-Zusammenhang ersetzt wird:

𝑥1(𝑡) =𝑉𝑧(𝑡)𝐷𝑥𝐾𝑥 + 𝑥2(𝑡) · 𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿1·𝐾𝐹 𝐿2

𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

𝐾 + 𝐾𝑥 + 𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1 − 𝐴𝐹 1𝐾2𝐹 𝐿1

𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

(45)

31

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4

Am

plitu

de (

dB)

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

A6, B

6, C

6

A4, B

4, C

4

A2, B

2, C

2

Frequenz (Hz)

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4

Pha

se (

deg)

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

A6, B

6, C

6

A4, B

4, C

4

A2, B

2, C

2

Frequenz (Hz)

Abbildung 22: Bodediagramm des Modells der Wegübersetzung mit einem Piezo unddessen Approximationen vierter und zweiter Ordnung. Im dargestelltenFrequenzbereich ist die Approximation vierter Ordnung so gut, dass dieLinien genau über denen des Ursprungsmodells sechster Ordnung liegen.

32

Die Bewegungsgleichung der Masse 𝑚𝑉 𝑆 ist nun

𝑚𝑉 𝑆 · ��2(𝑡) = 𝑥2(𝑡) ·(

𝐴𝐹 2𝐾2𝐹 𝐿2

𝐾𝐹 𝐿1 + 𝐾𝐹 𝐿2− 𝐾𝑉 𝑆 − 𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿2

+𝐴𝐹 1𝐴𝐹 2

(𝐾𝐹 𝐿1·𝐾𝐹 𝐿2𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

)2

𝐾 + 𝐾𝑥 + 𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1 − 𝐴𝐹 1𝐾2𝐹 𝐿1

𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

)− ��2(𝑡) · 𝐷𝑉 𝑆

+ 𝑉𝑧(𝑡) ·𝐷𝑥 · 𝐾𝑥 · 𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1·𝐾𝐹 𝐿2

𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

𝐾 + 𝐾𝑥 + 𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1 − 𝐴𝐹 1𝐾2𝐹 𝐿1

𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

, (46)

was zu diesem Zustandsraummodell führt:

x2(𝑡) = A2x2(𝑡)+B2𝑉𝑧(𝑡), y2(𝑡) = C2x2(𝑡), x2(𝑡) =[𝑥2(𝑡) ��2(𝑡)

]𝑇(47)

A2 =[

0 1𝐴221 − 𝐷𝑉 𝑆

𝑚𝑉 𝑆

], B2 =

⎡⎢⎢⎣0

𝐷𝑥·𝐾𝑥· 𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1·𝐾𝐹 𝐿2𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2(

𝐾+𝐾𝑥+𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1−𝐴𝐹 1𝐾2

𝐹 𝐿1𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

)·𝑚𝑉 𝑆

⎤⎥⎥⎦ , (48)

𝐴221 =(

𝐴𝐹 2𝐾2𝐹 𝐿2

𝐾𝐹 𝐿1 + 𝐾𝐹 𝐿2− 𝐾𝑉 𝑆 − 𝐴𝐹 2𝐾𝐹 𝐿2

+𝐴𝐹 1𝐴𝐹 2

(𝐾𝐹 𝐿1·𝐾𝐹 𝐿2𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

)2

𝐾 + 𝐾𝑥 + 𝐴𝐹 1𝐾𝐹 𝐿1 − 𝐴𝐹 1𝐾2𝐹 𝐿1

𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

)· 1

𝑚𝑉 𝑆. (49)

Für die Invertierung des Systems gibt es nun viele Möglichkeiten. In die-ser Masterarbeit sollen beispielhaft zwei vorgestellt werden. Ein sehr übli-ches Verfahren ist die Invertierung mithilfe einer Diskretisierung, z.B. mitdem Euler-vorwärts-Verfahren (auch explizites Euler-Verfahren oder euler-sches Polygonzugverfahren):

x2(𝑡) ≈ x2(𝑛) − x2(𝑛 − 1)𝑇𝑠

= A2x2(𝑛 − 1) + B2𝑉𝑧(𝑛 − 1) (50)

Anmerkung: Beim ebenfalls gebräuchlichen Euler-rückwärts-Verfahren (auchimplizites Euler-Verfahren) wäre der Ansatz

x2(𝑛) − x2(𝑛 − 1)𝑇𝑠

= A2x2(𝑛) + B2𝑉𝑧(𝑛). (51)

Dieser wäre im vorliegenden Fall genau so zielführend, hier soll aber mit (50)weitergerechnet werden.

33

Nach einigen Umformungen ergibt sich:

𝑇𝑠B2𝑉𝑧(𝑛 − 1) = x2(𝑛) − (I + A2𝑇𝑠)x2(𝑛 − 1) (52)

Das Ziel ist, 𝑉𝑧(𝑛 − 1) allein auf einer Seite stehen zu haben. Da B2 nichtquadratisch ist, hilft eine einfache Invertierung hier nicht weiter. Stattdessenmultipliziert man von links mit (B𝑇

2 B2)−1B𝑇2 𝑇 −1

𝑠 und erhält:

(B𝑇2 B2)−1B𝑇

2 𝑇 −1𝑠 𝑇𝑠B2𝑉𝑧(𝑛−1) = (B𝑇

2 B2)−1B𝑇2 𝑇 −1

𝑠 x2(𝑛)−(I+A2𝑇𝑠)x2(𝑛−1)(53)

Da B𝑇2 B2 ein Skalar ungleich null ist, ist es immer invertierbar und

(B𝑇2 B2)−1B𝑇

2 𝑇 −1𝑠 𝑇𝑠B2 = 1. (54)

Wenn die Samplingzeit 𝑇𝑆 klein genug ist (im Vergleich mit den physikali-schen Zeitkonstanten dieses Teilsystems – auf dem Prüfstand sind es 50 𝜇sbzw. 500 ns, das ist also gegeben), ist die notwendige Näherung 𝑉𝑧(𝑛) ≈𝑉𝑧(𝑛 − 1) gerechtfertigt:

𝑉𝑧(𝑛) = 𝑝𝑖𝑛𝑣(B2)𝑇 −1𝑆 (x2(𝑛) − (I + A2𝑇𝑆)x2(𝑛 − 1)) . (55)

Dabei ist 𝑝𝑖𝑛𝑣 die Pseudoinverse: 𝑝𝑖𝑛𝑣(B2) = (B𝑇2 B2)−1B𝑇

2 . Gleichung (55)ist so direkt implementierbar. Leider muss dabei ��2 (das zweite Element vonx2) numerisch durch Ableiten von 𝑥2 gebildet werden, was trotz Filterungfür ein verrauschtes Spannungs-Sollsignal sorgt. Dies ist in der Praxis jedochoft unproblematisch, da jede Antriebs-/Verstärkerelektronik (im Grunde ge-nommen jedes physikalische System) selbst ein tiefpassfilterndes Verhaltenaufweist.

4.1.3 Leckagekompensation [2]

Damit die hydraulische Wegübersetzung richtig funktioniert, ist ein (im Mit-tel) konstanter Druck in der Ölkammer erforderlich. Die Dichtungen aufSeiten des Piezokolbens und des Servoventilkolbens versiegeln die Kammerselbstverständlich nicht perfekt. Bei höheren Frequenzen sinkt der Druckin der Wegübersetzung relativ schnell ab, was sich in erster Linie auf denÜbersetzungsfaktor auswirkt. Der Prüfstand muss dann abgeschaltet undder Druck mit der Hydraulikpumpe wieder korrekt eingestellt werden. Inder Modellierung/Vorsteuerung wurde die Druckabhängigkeit des Elastizi-tätsmoduls vernachlässigt. Dass der Übersetzungsfaktor bei fallendem Drucksinkt, liegt an dieser Abhängigkeit. Die Näherung ist notwendig, weil derDruck nicht dauerhaft gemessen wird. Diese beiden Umstände machen esnotwendig, die im letzten Kapitel entworfene Vorsteuerung adaptiv zu ge-stalten, um im Falle eines sinkenden realen Übersetzungsfaktors reagieren zukönnen, indem die Amplitude des Eingangsspannungssignals vergrößert wird.Zu diesem Zweck werden in dem der Vorsteuerung zugrundeliegenden Modell

34

(48) und (49) Stellen identifiziert (hier fett hervorgehoben), an denen sich einveränderter Übersetzungsfaktor auswirkt. (Es gibt noch andere als die hiermarkierten Änderungen, die zu einem gleichwertigen Ergebnis führen.)

A2 =[

0 1𝐴221 − 𝐷𝑉 𝑆

𝑚𝑉 𝑆

], B2 =

⎡⎢⎢⎣0

𝐷𝑥·𝐾𝑥· AF1𝐾𝐹 𝐿1·𝐾𝐹 𝐿2𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2(

𝐾+𝐾𝑥+AF1𝐾𝐹 𝐿1−AF1𝐾2

𝐹 𝐿1𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

)·𝑚𝑉 𝑆

⎤⎥⎥⎦ , (56)

𝐴221 =(

AF2𝐾2𝐹 𝐿2

𝐾𝐹 𝐿1 + 𝐾𝐹 𝐿2− 𝐾𝑉 𝑆 − AF2𝐾𝐹 𝐿2

+AF1AF2

(𝐾𝐹 𝐿1·𝐾𝐹 𝐿2𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

)2

𝐾 + 𝐾𝑥 + AF1𝐾𝐹 𝐿1 − AF1𝐾2𝐹 𝐿1

𝐾𝐹 𝐿1+𝐾𝐹 𝐿2

)· 1

𝑚𝑉 𝑆. (57)

Nun wird ein Faktor 𝐹 = 𝐴1𝐴2

eingeführt, der den Übersetzungsfaktor zwi-schen Piezokolben- und Servoventilkolbenposition (Nennwert 100) repräsen-tiert und in o.g. Modellgleichungen 𝐴𝐹 1 ersetzt durch 𝐹

𝐹 +1 sowie 𝐴𝐹 2 durch1

𝐹 +1 . Im laufenden Betrieb wird nun sowohl die Piezokolbenposition 𝑥1 alsauch Servoventilkolbenposition 𝑥2 gemessen und daraus ein Korrekturfaktorerrechnet

𝐹𝑛𝑒𝑢 = 2𝐹 − 𝑚𝑎𝑥(𝑥2) − 𝑚𝑖𝑛(𝑥2)𝑚𝑎𝑥(𝑥1) − 𝑚𝑖𝑛(𝑥1) . (58)

Dieser wird anstelle von 𝐹 in der Vorsteuerung verwendet, die genau soentwickelt wird wie im vorigen Kapitel - nur eben auf Basis des adaptivenModells (56) und (57).

35

Abbildung 23: Demonstration der Leckagekompensation mit Messungen vom Prüf-stand bei 8000 RPM. Ursprünglich erstellt für [2], daher die englischeBeschriftung.

4.1.4 Vorsteuerung der Wegübersetzung (zwei Piezos) [9, 4]

Abbildung 24: Hankel-Singulärwerte des Systems zehnter Ordnung (28)

Das System (28) ist für eine Invertierung noch zu komplex. Da schonim vorigen Kapitel gezeigt wurde, wie die Ordnungsreduktion funktioniert(Ableitungen der zu eliminierenden Zustände nullsetzen und Dynamik durchSteady-State-Zusammenhang ersetzen), wird für das kompliziertere Modellmit zwei Piezos die Funktion modred aus Matlab genutzt. Bei dieser über-gibt man das System (in Form der Matrizen A, B, C und D – letztere isthier null) und eine Liste der zu eliminierenden Zustände. Um zu sehen, wieviele Zustände man vernachlässigen kann, bietet sich eine Untersuchung derHankel-Singulärwerte an (siehe auch [15]). Diese drücken aus, wie sehr dieDynamik der einzelnen Zustände zur Gesamtdynamik beitragen. Ein mit demMatlab-Befehl hsvd generierter Plot ist in Abbildung 24 zu sehen. Da bei derBerechnung das System balanciert wird (eine Transformation im Zustands-raum), ist die Zuordnung der Zustände nicht ersichtlich. Eine Untersuchungder Transformationsmatrizen wurde nicht vorgenommen, da aus diesem Dia-gramm nur eine wichtige Information verwendet wird, nämlich die, dass zwei

37

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4

Am

plitu

de (

dB)

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

A11

, B11

, C11

AD3

, BD3

, CD3

Frequenz (Hz)

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4

Pha

se (

deg)

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

A11

, B11

, C11

AD3

, BD3

, CD3

Frequenz (Hz)

Abbildung 25: Bodediagramm des Modells der Wegübersetzung mit zwei Piezos nachZustandserweiterung (60) und dessen Approximation zweiter (bzw. drit-ter) Ordnung.

38

Zustände ausreichen, um das System für die Inversion anzunähern (wie sichin Abbildung 25 bestätigt). Der Quelltext für die eigentliche Ordnungsre-duktion ist dem Anhang zu entnehmen. Das resultierende System zweiterOrdnung sieht wie folgt aus:

x𝐷2(𝑡) = A𝐷2x𝐷2(𝑡)+B𝐷2

[𝑉𝑧1(𝑡)𝑉𝑧2(𝑡)

], y𝐷2(𝑡) = C𝐷2x𝐷2(𝑡), x𝐷2(𝑡) =

[𝑥2(𝑡)��2(𝑡)

](59)

Als nächstes wird der Ansatz eingeführt, dass für den „gespiegelten“ Aufbaumit zwei Piezos auch gespiegelte Eingangssignale verwendet werden, also gilt:

𝑉𝑧 = 12(𝑉𝑧1(𝑡) + 𝑉𝑧2(𝑡)) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (60)

Der Mittelwert der Eingangsspannungen 𝑉𝑧 muss bei diesem Ansatz vomNutzer vorgegeben werden. Da er konstant ist, kann er problemlos im Rah-men einer Zustandserweiterung in die Systembeschreibung mit aufgenommenwerden. Das hat den Vorteil, dass man nun statt eines MIMO-Systems mitzwei Eingängen und einem Ausgang, das in der Form nicht ohne weiteressinnvoll zu invertieren ist, ein SISO-System betrachten kann. Dazu mussB𝐷2, eine 2 × 2 Matrix, in zwei Spalten partitioniert werden:

B𝐷2 =[B𝐷2,1 B𝐷2,2

](61)

Das erweiterte System ist dann:

x𝐷3(𝑡) = A𝐷3x𝐷3(𝑡) + B𝐷3𝑉𝑧1(𝑡), y𝐷3(𝑡) = C𝐷3x𝐷3(𝑡) (62)

mit

x𝐷3(𝑡) =[x𝐷2(𝑡)

𝑉𝑧

], A𝐷3 =

[A𝐷2 2B𝐷2,2

01×3

], B𝐷3 =

[2B𝐷2,1

0

], C𝐷3 =

⎡⎢⎣100

⎤⎥⎦𝑇

(63)Dabei müsste der Anfangswert für den Zustand 𝑉𝑧, der diesen Wert aufgrundder Nullzeile in A𝐷3 behält, in einer (eigentlich nicht nötigen) Softwareimple-mentierung natürlich berücksichtigt werden. Die Inversion wird nun ebenfallsmithilfe von Matlab durchgeführt, nämlich mit den Befehlen ss2tf zur Um-wandlung in eine Übertragungsfunktion

𝐺𝐷3(𝑠) = 𝑏1𝑠

𝑎3𝑠3 + 𝑎2𝑠2 + 𝑎1𝑠(64)

und inv zum Invertieren derselben

𝐺−1𝐷3(𝑠) = 𝑎3𝑠3 + 𝑎2𝑠2 + 𝑎1𝑠

𝑏1𝑠. (65)

39

Eine Diskretisierung, wie im vorigen Kapitel, wird diesmal nicht durchge-führt. Es resultiert eine Übertragungsfunktion mit Zählergrad 3 und Nenner-grad 1, also ein nichtkausales System. Ein solches ist in der Realität nichtimplementierbar, deshalb werden zwei künstliche, schnelle Pole 1

10−9𝑠+1 hin-zugefügt um die Kausalität und Implementierbarkeit wiederherzustellen:

𝐺𝐷3−𝑉 𝑜𝑟𝑠𝑡𝑒𝑢𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔(𝑠) = 𝑎3𝑠2 + 𝑎2𝑠 + 𝑎1𝑏1(10−9𝑠 + 1)2 . (66)

4.2 Feedbacklinearisierung [16, 11, 10]Wenn man ein nichtlineares System (hier: das Subsystem 𝑥2(𝑡) → 𝑦(𝑡)) mitden bekannten Verfahren zur Regelung linearer Systeme regeln möchte, kanndas System feedback-linearisiert werden. Dabei wird die Eingangsgröße so ge-wählt, dass sich die nichtlinearen Terme rauskürzen und ein lineares Systemüberbleibt, wie in Abbildung 33 dargestellt. Die innere, nichtlineare Dynamikwird dabei versteckt. Aus diesem Grund funktioniert der Ansatz nur, wenndie innere Dynamik stabil ist. Man spricht dann auch von der Nulldynamik(zero dynamics): Es muss ein Eingangssignal existieren, das das Ausgangsi-gnal (des versteckten Teilsystems, also die Kraft, s.u.) auf null hält. Für denpiezo-hydraulischen Aktuator ist das aus physikalischer Sicht offensichtlichgegeben, denn wenn sich der Servoventilkolben in Mittelstellung befindet,gibt es keine Bewegung des Ventils (siehe auch Abbildung 17). Diese Tech-nik wurde im wesentlichen von Alberto Isidori entwickelt und untersucht, dieformalen Stabilitätsbedingungen können in [17] nachgelesen werden. Zur For-mulierung des linearisierenden Stellgesetztes ermittelt man das nichtlineareSubsystem, nämlich die Zeilen drei und vier in Gleichung (12), die Differenti-algleichungen für 𝑝𝐴(𝑡) und 𝑝𝐵(𝑡). Diese Zustände wirken dann als Eingang inden rein linearen Differentialgleichungen in der ersten und zweiten Zeile. AlsAusgang des nichtlinearen Subsystems wird also Δ𝐹 (𝑡) = (𝑝𝐴(𝑡) − 𝑝𝐵(𝑡))𝑆festgelegt. Das Vorgehen ist nun, dass man die Ausgangsgleichung solangenach der Zeit ableitet (und Differentialgleichungen einsetzt), bis die Ein-gangsgröße (𝑥2(𝑡)) auftaucht. Die Anzahl der nötigen Ableitungen heißt re-lative degree und entspricht der Anzahl der Integratoren im resultierendenlinearen System. Im betrachteten Fall muss die Ausgangsgleichung nur einmal abgeleitet werden:

Δ�� (𝑡) = (��𝐴(𝑡) − ��𝐵(𝑡))𝑆 (67)

und schon taucht, nach Einsetzen von ��𝐴(𝑡) und ��𝐵(𝑡), der Eingang 𝑥2(𝑡)auf. Das Signal Δ�� (𝑡) wird nun umbenannt zu 𝑣(𝑡) - das neue, virtuelleEingangssignal des resultierenden linearen Systems, siehe auch Abbildung33. Um ein Stellsignal 𝑥2(𝑡) zu ermitteln, wird dieses umbenannt zu 𝑥2𝑑(𝑡)

40

Abbildung 26: LQI+P-Regler, auch PI-Zustandsregler genannt.

und die Gleichung danach umgestellt:

𝑥2𝑑 =

(𝑣 +

(𝐸��𝐿

𝑉𝐴,0+𝑦(𝑡)𝑆 + 𝐸��𝐿𝑉𝐵,0−𝑦(𝑡)𝑆

) (��(𝑡)𝑆2 − 𝑆𝐶𝐿𝑖(𝑝𝐴(𝑡) − 𝑝𝐵(𝑡))

)) 1𝐸��𝐿𝑆𝑐(√

𝑝0−𝑝𝐴(𝑡)𝑉𝐴,0+𝑦(𝑡)𝑆 +

√𝑝𝐵(𝑡)−𝑝𝑇

𝑉𝐵,0−𝑦(𝑡)𝑆

)H(𝑥2𝑑) +

(√𝑝𝐴(𝑡)−𝑝𝑇

𝑉𝐴,0+𝑦(𝑡)𝑆 +√

𝑝0−𝑝𝐵(𝑡)𝑉𝐵,0−𝑦(𝑡)𝑆

)H(−𝑥2𝑑)

(68)𝑥2𝑑 und 𝑣 sind natürlich auch zeitabhängig. Wie bei der flachen Vorsteue-rung muss das Signal H(±𝑥2𝑑) um eine Samplingdauer verzögert werden, umzurückgeführt zu werden. Alle mit (𝑡) gekennzeichneten Größen sind Rück-kopplungen aus dem realen System (daher der Name Feedbacklinearisierung)und müssen entweder gemessen oder geschätzt werden. Die beste Lösungist die Verwendung eines Kalmanfilters, da verrauschte Messsignale über dieRückkopplung durch die Feedbacklinearisierung schnell Instabilitäten im Sys-tem hervorrufen können.

Geregelt wird das linearisierte System, das sich beschreiben lässt als

x(𝑡) =

⎡⎢⎣𝑦(𝑡)��(𝑡)𝐹 (𝑡)

⎤⎥⎦ , x(𝑡) = A𝑙x(𝑡) + B𝑙𝑣(𝑡) + B𝑑𝑑(𝑡), y(𝑡) = C𝑙x(𝑡) mit (69)

A𝑙 =

⎡⎢⎣0 1 00 − 𝑏𝑣

𝑀𝑣

1𝑀𝑣

0 0 0

⎤⎥⎦ , B𝑙 =

⎡⎢⎣001

⎤⎥⎦ , B𝑑 =

⎡⎢⎣ 0− 1

𝑀𝑣

0

⎤⎥⎦ , C𝑙 =[1 0 0

](70)

mit einem LQI-Zustandsregler (siehe Abbildungen 26 und 27 sowie [18]) dervon einem zusätzlichen P-Anteil unterstützt wird. Diese Kombination istauch als PI-Zustandsregler bekannt. Die Parameter 𝐾𝑙𝑞𝑖 =

[𝐾𝑥 𝐾𝐼

]werden

mit dem Matlab-Befehl

41

lqi(ss(Al,bl,cl,dl),Ql,rl)bestimmt, mit den Parametern

Q𝑙 =

⎡⎢⎢⎢⎣107 0 0 00 1010 0 00 0 106 00 0 0 107

⎤⎥⎥⎥⎦ , 𝑟𝑙 = 10−6, 𝑃 = 1012 . (71)

𝑟𝑙 ist ein Parameter, der im minimierten Gütefunktional

𝐽(𝑢) =∫ ∞

0(x𝑇 Q𝑙x + 𝑢2𝑟𝑙)𝑑𝑡 (72)

den Eingang begrenzt (große Eingangssignale bestraft), während Q𝑙 die Zu-stände gewichtet und begrenzt (bzw. Abweichungen bestraft). Dabei ist dervergleichsweise große Wert an der Stelle, die mit dem Zustand Ventilge-schwindigkeit zusammenhängt, besonders wichtig. Dieser Zustand ist nämlichder erste, auf den sich die Störung 𝑑(𝑡) auswirkt, wie in Abbildung 33 gut zusehen ist, so dass eine hohe Gewichtung des Ventilgeschwindigkeitsfehlers diebeste Reglerperformance bewirkt. Der vierte Wert steht für die Gewichtungdes Zustands

∫(𝑦𝑑(𝑡)−𝑦(𝑡))𝑑𝑡, also den kumulierten Ventilpositionsfehler, der

den I-Anteil dieses Reglers darstellt. Dieser Zustand ist der einzige, bei demdie Solltrajektorie einfließt. Der LQI-Regler allein sollte damit theoretischschon optimales Tracking bewirken. In der Praxis ist das hier jedoch nichtder Fall, dazu wäre eine viel größere Gewichtung des I-Anteils in Q𝑙 nötig,was in Simulationen Instabilitäten hervorrief. Aus diesem Grund wird zu-sätzlich der große P-Anteil dazugeschaltet. Die Größenordnung 1012, iterativin Simulationen bestimmt, erklärt sich intuitiv so, dass aus einem Ventil-positionsfehler im Mikrometerbereich ein Signal 𝑣(𝑡) erzeugt werden muss,das mehrere hundert Kilonewton pro Sekunde groß ist. So sorgt der P-Anteilfür das Tracking, während der LQI-Regulator für Stabilisierung sorgt (diesich als unverzichtbar herausstellte). Die rückgeführten Zustände 𝑦(𝑡), ��(𝑡)und 𝐹 (𝑡) werden, genau wie die rückgeführten Signale der Feedbacklinea-risierung, mit dem kaskadierten Extended Kalmanfilter aus dem folgendenKapitel geschätzt. Simulationsergebnisse für ein Auslassventil (worst case –Einlassventile sind aufgrund des fehlenden Abgasdrucks leichter zu regeln)sind, mit Beschreibung, in den Abbildungen 28 bis 32 dargestellt.

42

Abbildung 27: Implementierung des LQI-P-Reglers in Simulink.

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ven

tilpo

sitio

n in

m

#10 -3

0

2

4

6

8

10Referenzsimuliertgeschätzt

Abbildung 28: Simulationsergebnisse der Regelungsstrategie „Feedbacklinearisierungund Kaskadiertes Extended Kalmanfilter“: Ventilposition. Die simulier-ten Werte sind mit weißem, mittelwertfreiem Rauschen mit einer Varianzvon 10−9 m2 beaufschlagt.

43

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ven

tilge

schw

indi

gkei

t in

m/s

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Referenzsimuliertgeschätzt

Abbildung 29: Simulationsergebnisse der Regelungsstrategie „Feedbacklinearisierungund Kaskadiertes Extended Kalmanfilter“: Ventilgeschwindigkeit.

Zeit in s 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16

Ven

tilpo

sitio

n in

m, K

raft

in 5

0 kN

#10 -3

0

2

4

6

8

10 Ventilposition SollwertSkalierte Kraft d(t)

Abbildung 30: Simulationsergebnisse der Regelungsstrategie „Feedbacklinearisierungund kaskadiertes Extended Kalmanfilter“: Modellierte störende Kraft,skaliert. Entspricht dem Abgasdruck im Zylinder. Das Maximum ist bei500 N, das Minimum bei 50 N. Das wichtigste ist, dass sie beim Öffnendes Ventils exponentiell abfällt. Zwischen den Öffnungsphasen steigt siein der Realität natürlich deutlich ruckartiger an, das muss aber nichtmodelliert werden, da die modellierte Ventilposition nach unten bei 0 inSättigung geht.

44

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ser

voko

lben

posi

tion

in m

#10 -4

-1

0

1

Referenzsimuliert

Abbildung 31: Simulationsergebnisse der Regelungsstrategie „Feedbacklinearisierungund kaskadiertes Extended Kalmanfilter“: Servoventilkolbenposition.Dass die Signale genau übereinanderliegen liegt daran, dass die Inversionin der Vorsteuerung hinreichend gut ist und dass hier keine Modellunsi-cherheiten simuliert wurden.

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ein

gang

sspa

nnun

g in

V

385

390

395

400

405

410

415V

z1

Vz2

Mittelwert

Abbildung 32: Simulationsergebnisse der Regelungsstrategie „Feedbacklinearisierungund kaskadiertes Extended Kalmanfilter“: Eingangsspannung. Hier starkgefiltert dargestellt.

45

Abb

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sche

nsw

ert.

4.3 Kalmanfilter [18, 10]Beim Kalmanfilter (KF) handelt es sich um einen Satz mathematischer Glei-chungen, die, z.B. in Mikrocontrollern, auf abgetastete Messsignale angewen-det werden. Mit einem Filter im herkömmlichen Sinne ist das zeitdiskreteKalmanfilter insofern vergleichbar, als dass – einige Eigenschaften vorausge-setzt – Störungen im Signal reduziert werden. Allerdings fließt in die Schät-zung auch das vorhandene a-priori-Wissen über das System ein, was das Kal-manfilter zu einem sehr mächtigen Werkzeug der modernen Signalverarbei-tung macht. Die Unsicherheit des gemessenen Signals wird bei der Schätzungidealerweise reduziert oder bleibt schlimmstenfalls gleich, größer wird sie je-doch nie, da es sich um einen optimalen Minimum-Varianz-Schätzer handelt.Diese Aussage trifft allerdings nur zu, wenn folgende Voraussetzungen erfülltsind:

• Lineares, im Eingang und Ausgang stochastisch gestörtes System• Prozess- und Messrauschen sind weiß und mittelwertfrei• Prozess- und Messrauschen sind miteinander unkorreliert

Da hier die Zustände des nichtlinearen Subsystems „Hydraulikzylinder“ ge-schätzt werden müssen, sind die Vorraussetzungen eigentlich nicht erfüllt.In Form des sogenannten Extended Kalmanfilters (EKF) existiert aber eineWeiterentwicklung, die für nichtlineare Systeme gedacht ist und auf einerschrittweisen Linearisierung mithilfe der Jacobi-Matrix des Systems basiert.Da nur ein Teil des Subsystems nichtlinear ist (nämlich die Druckdynamik),wird ein kaskadiertes Kalmanfilter verwendet, bestehend aus einem EKF undeinem KF, wie in Abbildung 34 dargestellt. Es ist theoretisch auch möglich,mit nur einem einzigen EKF alle Zustände zu schätzen, dieser Weg wurdejedoch aus folgenden Gründen nicht eingeschlagen:

• Die Aufteilung in zwei „kleinere“ Kalmanfilter ist weniger rechenaufwän-dig. Ein einziges „großes“ EKF mit 4×4 Matrizen würde pro Durchlaufca. 500 Additionen (inkl. Subtraktionen) und ca. 1000 Multiplikationen(inkl. Divisionen) benötigen (manuelle Zählung), während das imple-mentierte „kleinere“ EKF mit 3 × 3 Matrizen nur jeweils die Hälfte anOperationen braucht. (Das lineare Kalmanfilter ist mit ca. 35 Additio-nen und ca. 50 Multiplikationen von der Rechenlast her vernachlässig-bar.) Eine detailliertere Untersuchung des Rechenaufwands findet sichin [10].

• Die Hardwareimplementierung erfolgt (automatisiert) in einem FPGA(siehe auch Kapitel 1.3). Wie in Abbildung 34 verdeutlicht ist, kann mitder Auslagerung der Schätzung der Zustände des linearen Systemteilsdie Rechenlast parallelisiert werden, indem eine größere „FPGA-Fläche“genutzt wird.

• Die (Software-)Implementierung eines „großen“ EKF wurde mehrmalsversucht, scheiterte jedoch an unbekannten Fehlerursachen.

47

Die Quelltexte der als „Matlab Function“ implementierten Blöcke finden sichim Anhang. Aus diesen wird automatisch einbettbarer C-Code generiert, derwiederum in VHDL übersetzt wird, woraus dann die Gatterkonfiguration fürdas FPGA bestimmt und geflasht wird.

Abbildung 34: Kaskadiertes Kalmanfilter, wie es in Matlab/Simulink implementiert ist.1𝑧 ist eine Verzögerung um einen Simulationsschritt, um einen algebrai-schen Zirkelschluss zu vermeiden. 𝑦 und 𝑦′, vom KF geschätzt, werdenneben der Feedbacklinearisierung auch für die PI-Zustandsregelung deslinearisierten Systems weiterverwendet. Das EKF dient zur Schätzung derinneren, durch die Linearisierung „versteckten“ Zustände 𝑝𝐴 und 𝑝𝐵, dieebenfalls für die Feedbacklinearisierung benötigt werden. Im EKF wird 𝑦neben 𝑥2 als weitere Eingangsgröße betrachtet und der vom KF geschätz-te Wert 𝑦′ als Messung.

Der lineare SISO-Teil des Subsystems (12) mit 𝑧1 = 𝑦(𝑡), 𝑧2 = ��(𝑡) und𝑢 = Δ𝐹 (𝑡) = (𝑝𝐴(𝑡) − 𝑝𝐵(𝑡))𝑆 und bei Vernachlässigung der Störungen 𝑑(𝑡)ist

z𝐿(𝑡) = A𝐿z𝐿(𝑡) + B𝐿𝑢(𝑡), 𝑦(𝑡) = C𝐿z𝐿(𝑡) (73)

mit den Matrizen

A𝐿 =[0 10 − 𝑏𝑣

𝑀𝑣

], B𝐿 =

[01

𝑀𝑣

], C𝑇

𝐿 =[10

]. (74)

48

Diskretisierung mit dem Euler-vorwärts-Verfahren (vgl. Kapitel 4.1.2, A𝑑,𝐿 =I2×2 +A𝐿𝑇𝑠 und B𝑑,𝐿 = B𝐿𝑇𝑠) ergibt dann schon die a-priori-Schätzung derZustände

z−𝐿 (𝑘 + 1) = A𝑑,𝐿z+

𝐿 (𝑘) + B𝑑,𝐿𝑢(𝑘) mit (75)

A𝑑,𝐿 =[1 𝑇𝑠

0 1 − 𝑇𝑠𝑏𝑣𝑀𝑣

], B𝑑,𝐿 =

[0𝑇𝑠𝑀𝑣

]. (76)

Damit kann nun die Kovarianzmatrix des Schätzfehlers a-priori-geschätztwerden:

P−𝐿,𝑘+1 = A𝑑,𝐿P+

𝐿,𝑘A𝑇𝑑,𝐿 + Q𝐿 (77)

Woraus sich die Kalmanverstärkung ergibt:

K𝐿,𝑘+1 =P−

𝐿,𝑘+1C𝑇𝐿

C𝐿P−𝐿,𝑘+1C𝑇

𝐿 + R𝐿(78)

Natürlich muss für diese kompakte Schreibweise der Nenner ein Skalar sein,was hier der Fall ist, weil es nur einen Ausgang gibt. Mit der Kalmanver-stärkung und einem neuen Messwert 𝑦𝑚 können nun die Zustände und dieKovarianz des Schätzfehlers a-posteriori-geschätzt werden:

z+𝐿 (𝑘 + 1) = z−

𝐿 (𝑘 + 1) + K𝐿,𝑘+1(𝑦𝑚 − C𝐿z−

𝐿 (𝑘 + 1))

(79)

P+𝐿,𝑘+1 = (I2×2 − K𝐿,𝑘+1C𝐿) P−

𝐿,𝑘+1. (80)Wie in Abbildung 34 zu sehen ist, wird die Schätzung der Ventilgeschwindig-keit anstelle eines Messwerts in der a-posteriori-Schätzung im EKF verwen-det.

Der nichtlineare Teil des Subsystems (12), z𝑁𝐿(𝑡) = f𝑁𝐿(z𝑁𝐿, u), ist, bei Ver-nachlässigung der Störungen 𝑑(𝑡) und mit 𝑧1 = ��(𝑡), 𝑧2 = 𝑝𝐴(𝑡), 𝑧3 = 𝑝𝐵(𝑡),𝑢1 = 𝑦(𝑡) und 𝑢2 = 𝑥2(𝑡):⎡⎢⎢⎣

1𝑀𝑣

((𝑧2 − 𝑧3)𝑆 − 𝑧1𝑏𝑣)𝐸��𝑙

𝑉𝐴,0+𝑢1𝑆 (𝑐𝑢2H(𝑢2)√

𝑝0 − 𝑧2 + 𝑐𝑢2H(−𝑢2)√

𝑧2 − 𝑝𝑇 − 𝑧1𝑆 + 𝐶𝐿𝑖(𝑧2 − 𝑧3))𝐸��𝑙

𝑉𝐵,0−𝑢1𝑆 (−𝑐𝑢2H(−𝑢2)√

𝑝0 − 𝑧3 − 𝑐𝑢2H(𝑢2)√

𝑧3 − 𝑝𝑇 + 𝑧1𝑆 − 𝐶𝐿𝑖(𝑧2 − 𝑧3))

⎤⎥⎥⎦(81)

Die Besonderheit ist hier die Betrachtung der vom KF geschätzten Subsys-temausgangsgröße 𝑦 als Eingang 𝑢1. Der zeitkontinuierliche Vektor f𝑁𝐿 wirdstatt mit dem Euler-vorwärts-Verfahren mit dem dreistufigen Runge-Kutta-Verfahren [19] diskretisiert (dies stellte sich als notwendig heraus, um einenfunktionierenden EKF zu erhalten) und es wird ein a-priori-Schätzwert be-rechnet:

z−𝑁𝐿(𝑘 + 1) = z+

𝑁𝐿(𝑘) + 𝑇𝑠

(16 f𝑁𝐿,𝐴 + 4

6 f𝑁𝐿,𝐵 + 16 f𝑁𝐿,𝐶

)(82)

49

mitf𝑁𝐿,𝐴 = f𝑁𝐿(z+

𝑁𝐿(𝑘), u(𝑘)) (83)

f𝑁𝐿,𝐵 = f𝑁𝐿(z+𝑁𝐿(𝑘) + 𝑇𝑠

2 f𝑁𝐿,𝐴, u(𝑘)) (84)

f𝑁𝐿,𝐶 = f𝑁𝐿(z+𝑁𝐿(𝑘) − 𝑇𝑠f𝑁𝐿,𝐴 + 2𝑇𝑠f𝑁𝐿,𝐵, u(𝑘)) (85)

Dann wird die (noch zeitkontinuierliche) Jacobi-Matrix berechnet:

Jf𝑁𝐿(z𝑁𝐿, u) =

⎡⎢⎣𝜕𝑓𝑁𝐿1

𝜕𝑧1𝜕𝑓𝑁𝐿1

𝜕𝑧2𝜕𝑓𝑁𝐿1

𝜕𝑧3𝜕𝑓𝑁𝐿2

𝜕𝑧1𝜕𝑓𝑁𝐿2

𝜕𝑧2𝜕𝑓𝑁𝐿2

𝜕𝑧3𝜕𝑓𝑁𝐿3

𝜕𝑧1𝜕𝑓𝑁𝐿3

𝜕𝑧2𝜕𝑓𝑁𝐿3

𝜕𝑧3

⎤⎥⎦ (86)

Es ergibt sich Jf𝑁𝐿als⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

− 𝑏𝑣𝑀𝑣

𝑆𝑀𝑣

− 𝑆𝑀𝑣

− 𝐸��𝑙𝑆𝑉𝐴,0+𝑢1𝑆

𝐸��𝑙𝑉𝐴,0+𝑢1𝑆

(𝐶𝐿𝑖 −

12 𝑐H(𝑢2)𝑢2√

𝑝0−𝑧2+

12 𝑐H(−𝑢2)𝑢2√

𝑧2−𝑝𝑇

)− 𝐸��𝑙𝐶𝐿𝑖

𝑉𝐴,0+𝑢1𝑆

𝐸��𝑙𝑆𝑉𝐵,0−𝑢1𝑆 − 𝐸��𝑙𝐶𝐿𝑖

𝑉𝐵,0−𝑢1𝑆𝐸��𝑙

𝑉𝐵,0−𝑢1𝑆

(𝐶𝐿𝑖 +

12 𝑐H(−𝑢2)𝑢2√

𝑝0−𝑧3−

12 𝑐H(𝑢2)𝑢2√

𝑧3−𝑝𝑇

)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(87)

Diese Matrix wird nun ebenfalls mit dem dreistufigen Runge-Kutta-Verfahrendiskretisiert und es werden die a-priori-Schätzwerte z−

𝑁𝐿(𝑘 + 1) für z𝑁𝐿 ein-gesetzt:

Jf𝑁𝐿,𝑘+1 = I3×3 + 𝑇𝑠

(16J𝐴 + 4

6J𝐵 + 16J𝐶

)(88)

mitJ𝐴 = Jf𝑁𝐿

(z−𝑁𝐿(𝑘 + 1), u(𝑘)) (89)

J𝐵 = Jf𝑁𝐿(z−

𝑁𝐿(𝑘 + 1) + 𝑇𝑠

2 J𝐴, u(𝑘)) (90)

J𝐶 = Jf𝑁𝐿(z−

𝑁𝐿(𝑘 + 1) − 𝑇𝑠J𝐴 + 2𝑇𝑠J𝐵, u(𝑘)) (91)

Nun kann die a-priori-Schätzung der Kovarianzmatrix des Schätzfehlers vor-genommen werden:

P−𝑁𝐿,𝑘+1 = Jf𝑁𝐿,𝑘+1P+

𝑁𝐿,𝑘J𝑇f𝑁𝐿,𝑘+1 + Q𝑁𝐿 (92)

Dabei ist P+𝑁𝐿,𝑘 entweder eine Matrix mit vom Nutzer festzulegenden An-

fangswerten (wenn es der erste Durchlauf ist) oder aber mit den a-posteriori-Schätzwerten der Kovarianzmatrix des Schätzfehlers aus dem letzten Durch-lauf (siehe unten). Q𝑁𝐿 ist eine ebenfalls vom Nutzer festzulegende Ma-trix, die auf der Diagonale die Unsicherheiten der Systemzustände enthält

50

Abbildung 35: Prinzip des Kalmanfilters. Bei A wird die a-priori-Schätzung der Zuständeberechnet, im linearen Fall mit dem Systemmodell in diskreter Zustands-raumbeschreibung und den a-posteriori-Schätzwerten aus dem letztenDurchlauf (bzw. Anfangswerten) der Zustände. Im allgemeinen nichtli-nearen Fall (EKF) mit zeitkontinuierlichem Systemmodell als Vektorfeldf(x, u) ist dafür erst noch eine Diskretisierung nötig. Bei B wird die Ko-varianzmatrix des Schätzfehlers a-priori geschätzt, nämlich aus der Sys-tembeschreibung (linear: diskretes Zustandsraummodell, nichtlinear: dis-kretisierte Jacobi-Matrix) , den a-posteriori-Schätzwerten aus dem letz-ten Durchlauf (bzw. Anfangswerten) und der SystemunsicherheitsmatrixQ. Bei C wird aus der a-priori-Kovarianzmatrix, der Messmatrix undder Messunsicherheitsmatrix R die Kalmanverstärkung berechnet undschließlich, bei D, die gesuchte a-posteriori-Schätzung der Zustände undderen Kovarianzen. Über z+

0 stellt man die vermuteten Anfangswerte derZustände ein und über P+

0 , wie sicher man sich dieser Angabe ist (größer= unsicherer). Beim EKF hängt es von den Anfangswerten ab, ob dasKalmanfilter überhaupt konvergiert. In Q stellt man ein, wie sehr mandem Modell vertraut und in R, wie sehr der Messung; auch hier gilt: grö-ßer = unsicherer. Dabei ist vor allem das Verhältnis der „Größen“ von Qund R ausschlaggebend, numerisch aber auch die „Größe“ der einzelnenMatrizen.

51

(quantifiziert das Prozessrauschen). Die restlichen Elemente stellen eventuel-le Wechselwirkungen dar, sind hier aber null. Die Werte in Q𝑁𝐿 stellen eineder fünf wichtigen „Stellschrauben“ des EKF dar, die anderen sind die Ma-trix R𝑁𝐿 (hier: nur ein Skalar, weil nur eine Größe gemessen wird, nämlichdie Ventilposition), die für die Messunsicherheit steht und die Anfangswertefür z+

𝑁𝐿 und P+𝑁𝐿 sowie die Abtastzeit 𝑇𝑠. Nun kann die Kalmanverstärkung

berechnet werden:

K𝑁𝐿,𝑘+1 =P−

𝑁𝐿,𝑘+1C𝑇𝑁𝐿

C𝑁𝐿P−𝑁𝐿,𝑘+1C𝑇

𝑁𝐿 + R𝑁𝐿(93)

Dabei muss im Nenner natürlich wieder ein Skalar stehen. C𝑁𝐿 ist, wie beimKF, eine Messmatrix die den Zustand angibt, der „gemessen“ (hier: vom KFgeschätzt) wird, also die Ventilgeschwindigkeit:

C𝑁𝐿 =[1 0 0

]. (94)

Mit der Kalmanverstärkung und einem neuen „Messwert“ ��𝑠𝑖 kann danndie a-posteriori-Schätzung der Zustände und der Kovarianz des Schätzfehlersberechnet werden:

z+𝑁𝐿(𝑘 + 1) = z−

𝑁𝐿(𝑘 + 1) + K𝑁𝐿,𝑘+1(��𝑠𝑖 − C𝑁𝐿z−

𝑁𝐿(𝑘 + 1))

(95)

P+𝑁𝐿,𝑘+1 = (𝐼3×3 − K𝑁𝐿,𝑘+1C𝑁𝐿) P−

𝑁𝐿,𝑘+1 (96)

Und damit schließt sich der Kreis (Abbildung 35). Die interessante Größe,sozusagen der Ausgang des Kalmanfilters, sind die a-posteriori-geschätztenZustände z+

𝑁𝐿(𝑘 + 1).

4.4 Sliding Mode Control [4, 20]Bei der Sliding Mode Regelung, im deutschen auch Gleitzustandsregelunggenannt, wird ähnlich wie bei der Feedbacklinearisierung ein Stellgesetz inAbhängigkeit der echten Systemzustände ermittelt, das gewisse Forderungenerfüllt, die in Form mathematischer Gleichungen vorgegeben werden. Andersals bei der Feedbacklinearisierung werden hier aber auch Modellunsicherhei-ten berücksichtigt.

„Die Idee für dieses Verfahren besteht darin, dass durch eine ge-schickte Umschaltstrategie der Stellgröße

• jede Trajektorie im Zustandsraum auf eine Ebene zuläuft, dieim weiteren Verlauf nicht mehr verlassen wird und

• sich die Trajektorie einer Ruhelage im Ursprung nähert.

52

Während dieser Zeit wird zwischen zwei Stellgesetzen in schnellerAbfolge hin- und hergeschaltet, damit die Trajektorie in unmittel-barer Nähe der Ebene bleibt. Diese Bewegung der Trajektorie wirdSliding Mode genannt.“– C. Bohn, entnommen aus [20], eigene Formatierung

Die Sliding-Ebene ist eine Linearkombination der Ableitungen des Ausgangs-fehlers (bis hoch zur (n-1)-ten Ableitung bei einem System, in dem der Aus-gang maximal n mal abgeleitet in den Differentialgleichungen vorkommt):

𝑠(𝑡) = ��𝑒(𝑡) + 𝑘𝑒𝑥𝑒(𝑡) (97)

dabei ist 𝑥𝑒(𝑡) = 𝑦𝑑(𝑡)−𝑦(𝑡) der Fehler der Ventilposition, ��𝑒(𝑡) = ��𝑑(𝑡)−��(𝑡)der Fehler der Ventilgeschwindigkeit und 𝑘𝑒 ∈ R ein positiver, konstanter Ge-wichtungsfaktor. (Hier wird also angenommen, dass die Ventilgeschwindigkeitdirekt messbar ist. Auf dem Prüfstand ist das derzeit nicht der Fall, aber dieVentilgeschwindigkeit kann auch ohne direkte Messung sehr gut mit einemKalmanfilter abgeschätzt werden, vgl. Kapitel 4.3.) Damit die Trajektorieauf der Sliding-Ebene bleibt, muss deren zeitliche Ableitung

��(𝑡) = ��𝑒(𝑡) + 𝑘𝑒��𝑒(𝑡) (98)

null bleiben (erste Bedingung im obigen Zitat). Würde man ��(𝑡) = 0 nachEinsetzen der Systemdynamik (3) für 𝑦(𝑡) nach 𝐹 (𝑡) auflösen, hätte manbereits ein sog. äquivalentes Stellgesetz, das garantiert den Fehler minimiert.Dies gilt allerdings nur, wenn die Systemdynamik genau bekannt ist undes keine Modellierungsunsicherheiten gibt (𝑑(𝑡) = 0). Eine solche Annahmewäre in der Realität nicht haltbar, daher muss es zusätzlich eine Umgebungum die Sliding-Ebene geben, in der Trajektorien zu dieser konvergieren. Dafürwird eine quadratische Lyapunovfunktion definiert als

𝑉 (𝑡) = 12𝑠2(𝑡) (99)

für die dann gelten muss (für asymptotische Stabilität, zweite Bedingung ausdem Zitat)

�� (𝑡) < 0. (100)

Die Ableitung ist

�� (𝑡) = 𝑠(𝑡)��(𝑡) = 𝑠(𝑡)(𝑦𝑑(𝑡) − 𝑦(𝑡) + 𝑘𝑒��𝑑(𝑡) − 𝑘𝑒��(𝑡)

). (101)

Einsetzen von 𝑦(𝑡) wie oben beschrieben liefert nun

�� (𝑡) = 𝑠(𝑡)(𝑦𝑑(𝑡) − 𝐹 (𝑡)

𝑀𝑣+ 𝑏𝑣��(𝑡)

𝑀𝑣− 𝑑(𝑡)

𝑀𝑣+ 𝑘𝑒��𝑑(𝑡) − 𝑘𝑒��(𝑡)

). (102)

53

Das Stellgesetz Δ𝐹 (𝑡) kann nun so gewählt werden:

Δ𝐹 (𝑡) = 𝑀𝑣

(𝑦𝑑(𝑡) + 𝑏𝑣��(𝑡)

𝑀𝑣+ 𝑘𝑒��𝑑(𝑡) − 𝑘𝑒��(𝑡) + 𝜆𝑠(𝑡) + 𝛽sign(𝑠(𝑡))

), (103)

wobei 𝜆 und 𝛽 reelle, positive Konstanten sind. 𝜆 kann, in Analogie zur klas-sischen Regelungstechnik, als unterstützender P-Anteil interpretiert werden.Dieser ist im Allgemeinen nicht notwendig, verhilft in diesem Fall aber zuguten Ergebnissen mit weniger „Switchen“ des Stellgesetztes als ohne die-sen Anteil. Dieses Stellgesetz Δ𝐹 (𝑡) = Δ𝑝(𝑡)𝑆 wird nun mithilfe der flachenVorsteuerung aus Kapitel 4.1.1 in eine gewünschte Servokolbenposition 𝑥2𝑑(𝑡)übersetzt, aus der wiederum mit der anderen Vorsteuerung aus Kapitel 4.1.2(ein Piezo) oder 4.1.4 (zwei Piezos) die passende Eingangsspannung berech-net wird. Eingesetzt in (102) ergibt sich

�� (𝑡) = 𝑠(𝑡)(

− 𝑑(𝑡)𝑀𝑣

−𝜆𝑠(𝑡)−𝛽sign(𝑠(𝑡)))

< 𝑠(𝑡)(

− 𝑑(𝑡)𝑀𝑣

−𝛽sign(𝑠(𝑡)))

(104)

womit sich, beispielhaft anhand von 𝛽, die folgende Beschränkung formulie-ren lässt

�� (𝑡) < −𝑑(𝑡)𝑀𝑣

𝑠(𝑡) − 𝛽|𝑠(𝑡)|. (105)

Somit ist �� (𝑡) < 0 (also asymptotische Stabilität) gewährleistet, solange gilt

𝛽 > max𝑑(𝑡)𝑀𝑣

. (106)

Diese Ungleichung kann gut zur Abschätzung des nötigen 𝛽 genutzt werden,vorausgesetzt, die maximal auftretenden Werte von 𝑑(𝑡) sind bekannt. 𝛽 mussdann in Simulationen als unproblematisch bestätigt werden, weil Chattering(zu starkes „Switchen“) zu numerischen Problemen in der Reglerhardwareführen kann. Außerdem ist mit solchen unnötigen Oszillationen natürlich einerhöhter Energieverbrauch verbunden. In Abbildung 36 ist zu sehen, dass mitSliding Mode Regelung ein sehr gutes Tracking erreicht wird. In der Simulati-on wurde der Ausgang mit additivem weißem Rauschen mit einer Varianz von10−9 beaufschlagt, weshalb das blaue Signal das rote vollständig verdeckt; sieliegen aber hinreichend genau übereinander. Abbildung 37 zeigt, dass auchdie erreichte Ventilgeschwindigkeit sehr gut mit dem Sollwert übereinstimmt.Die Asymmetrie der Servokolbenpositionskurve, in Abbildung 38 dargestellt,sowie der Piezo-Eingangsspannung (das Stellsignal), in Abbildung 39 (beidestark gefiltert) zu sehen, rührt von dem Verlauf der simulierten Störung 𝑑(𝑡)her, die in Abbildung 41 zu sehen ist (gleich wie in Abbildung 30). Dieseist am Anfang eines Zyklus viel größer (500 N maximal) als später (50 Nminimal). Durch die Bedingung (106), dem Maximalwert der Störung von500 N und der Masse des Ventils ergibt sich, dass 𝛽 > 8000 sein muss. Fürdie im Folgenden beschriebenen Simulationsergebnisse wurden die Reglerpa-rameter 𝛽 = 10000, 𝜆 = 1800 und 𝑘𝑒 = 1000 in vielen Iterationen von unten

54

angenähert – je größer, desto größer auch das Chattering. Im Verlauf der Vo-lumenströme in die Kammern des Hydraulikzylinders (siehe Abbildung 40)ist interessanterweise kein Einfluss der Störung auszumachen. Abbildung 18zeigt schließlich, dass 𝑥2(𝑡), 𝑝𝐴(𝑡) und 𝑝𝐵(𝑡) – alles von der Störkraft beein-flusste Größen – auf 𝑄𝐴 und 𝑄𝐵 einwirken. Das zeigt, dass das linearisierteVentilmodell in [3], das im Projekt für frühere Publikationen verwendet wur-de, tatsächlich selbst bei Anwesenheit von Störungen eine gute Näherungdarstellt. Der Autor von [3] geht davon aus, dass zwischen dem Volumen-strom in eine der Kammern und der Ventilgeschwindigkeit Proportionalitätherrscht. Das Problem von Sliding Mode Regelungen ist, dass das Stellsignalsehr viele Sprünge enthält, die mitunter sehr groß sind. In den Abbildungen42 und 43 sind die Eingangsspannungen und die Servokolbenposition un-gefiltert dargestellt – für die vorigen Abbildungen mussten sie mit 1

10−3𝑠+1(Servokolbenposition) bzw. 1

(10−3𝑠+1)3 (Spannung) gefiltert werden.

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ven

tilpo

sitio

n in

m

#10 -3

0

2

4

6

8

10 SollwertIstwert

Abbildung 36: Ventilposition

55

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ven

tilge

schw

indi

gkei

t in

m/s

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2SollwertIstwert

Abbildung 37: Ventilgeschwindigkeit

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ser

voko

lben

posi

tion

in m

#10 -4

-1

0

1

von Regler/VorsteuerungIstwert

Abbildung 38: Servoventilkolbenposition

56

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ein

gang

sspa

nnun

g in

V

385

390

395

400

405

410

415V

z1

Vz2

mean

Abbildung 39: Eingangsspannung

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Vol

umen

stro

m in

m

3/s

#10 -4

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Q

A

QB

Abbildung 40: Volumenstrom Hydraulikzylinder

57

Zeit in s 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16

Ven

tilpo

sitio

n in

m, K

raft

in 5

0 kN

#10 -3

0

2

4

6

8

10 Ventilposition SollwertSkalierte Kraft d(t)

Abbildung 41: Störung 𝑑(𝑡)

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ein

gang

sspa

nnun

g in

V

#10 7

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8V

z1

Vz2

mean

Abbildung 42: Eingangsspannung ungefiltert

58

Zeit in s 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1

Ser

voko

lben

posi

tion

in m

#10 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3von Regler/VorsteuerungIstwert

Abbildung 43: Servoventilkolbenposition ungefiltert

4.5 Hysteresekompensation [21]Durch die bislang nicht modellierte Haftreibung an den Dichtungen der hy-draulischen Wegübersetzung (und sicherlich noch andere Effekte) kommt es,periodische Eingangssignale vorausgesetzt, zu Hystereseeffekten, die sich inPrüfstandmessungen als Totzeit manifestieren, und zwar an der Schnittstellezwischen Piezokolben und Servoventilkolben. Dargestellt ist dies in Abbil-dung 44. Um den Effekt genauer zu untersuchen, wurde als Eingangsspan-nung ein Dreiecksignal genutzt, was bei der Untersuchung von Hystereseef-fekten ein übliches Vorgehen ist. Das Ergebnis ist in Abbildungen 45 und 46dargestellt. Um diesen Totzeiteffekt zu kompensieren, kann ein heuristischesVerfahren (siehe Abbildung 47) genutzt werden, da sich die Wunschtrajekto-rie periodisch wiederholt. Es basiert auf einer Online-Zeitmessung zwischendem Erreichen vorgegebener Werte der (gut geregelten bzw. vorgesteuer-ten) Ventilposition und dem zugehörigen Sollwert. Die Solltrajektorie, diein die Vorsteuerung eingespeist wird, wird dann einfach um die berechneteZeit vorgezogen. Um diesen Ansatz, der am Prüfstand gut funktioniert (sie-he Abbildung 48), auch in Simulationen testen zu können, wird zusätzlich zuden modellierten physikalischen Zusammenhängen eine 3 ms Zeitverzögerung(entspricht, bei 3500 RPM, 63°KW) auf 𝑥2-Niveau (Servoventilkolbenposi-tion) eingefügt. Qualitativ zeigt der Verlauf von Servoventilkolbenposition,Ventilgeschwindigkeit und Ventilposition dann das gleiche Verhalten wie aufdem Prüfstand (siehe Abbildung 49), eine weitergehende Hysteresemodellie-rung bzw. Identifikation wurde jedoch nicht durchgeführt. Aktuell wird aneiner besseren Art geforscht, die resultierende Zeitverzögerung zu bestimmen.

59

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0

1

2

3

4

5

x 10−3

Time (sec.)

Va

lve

po

sitio

n (

m)

Measured result in the case of 3500 rpm

Desired valve position

Obtained valve position

Uncompensated cycle

Abbildung 44: Gemessene Ventilposition bei Verwendung einer Vorsteuerung, mit Zeit-verzögerung durch Hystereseeffekt. Quelle: Nils Werner. Ursprünglicherstellt für ein Journalpaper, das als Erweiterung von [21] eingereichtwerden soll, daher die englische Beschriftung dieser und der folgendenAbbildungen.

60

Time (sec.)

0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3

Pie

zo-

and s

erv

o p

isto

n p

ositio

n; pre

ssure

in o

il cham

ber

Desired piezo piston position

Obtained piezo piston position

Obtained servo piston position

Obtained pressure in the conicchamber

τ4

τ3

τ5

τ2

τ1

Abbildung 45: Reaktion des Subsystems Wegübersetzung auf eine dreieckige Eingangs-spannung über den ganzen Eingangsspannungsbereich. Genutzt wird beiSollwertvorgabe nur ein Bruchteil davon, in der Mitte dieses Bereichs.Durch den in der kommerziellen Verstärkerelektronik integrierten Reglerist das Tracking der Piezokolbenposition sehr gut (𝜏1,2). Im Abschnitt𝜏1 ist sehr gut zu sehen, wie der Druck in der Ölkammer durch dendrückenden Piezokolben schon ansteigt, der Servoventilkolben sich abernoch nicht bewegt. Erst in 𝜏2 tut er das, mehr oder weniger linear. In 𝜏3erreicht der Piezokolben eine Sättigung (dieser Bereich wird im Betriebmit Solltrajektorienvorgabe aber nie erreicht). 𝜏4 zeigt den gleichen Effektin wie 𝜏1 in umgekehrter Richtung: Der Druck sinkt steil ab, der Servo-ventilkolben reagiert zeitverzögert. Die Zeitverzögerung ist hier deutlichkleiner. Dieser Unterschied ist beim Betrieb mit Solltrajektorienvorgabenicht so ausgeprägt; die Zeitverzögerung am Anfang des Zyklus ist nurminimal größer, wenn die Drehzahl sich nicht ändert (siehe Abbildungen44,48). Quelle: Paolo Mercorelli.

61

2000 4000 6000 8000 1000000−2

0

2

4

6

8

10x 10

−3

Input voltage of the servo piezo amplifier (mV) (Amplifier input range [0 10V]; Amplifier factor equal to 100)

Se

rvo

pis

ton

po

sitio

n (

m)

Measured hysteresis loop

Abbildung 46: Hystereseverhalten bei dreieckiger Piezospannung (Überlagerung derMesswerte über einen längeren Zeitraum). Quelle: Nils Werner.

62

Abbildung 47: Regelungsstruktur (für den Aufbau mit einem Piezo) und Phasenkom-pensationsalgorithmus im Detail.

63

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

1

2

3

4

5

x 10−3

Time (sec.)

Va

lve

po

sitio

n (

m)

Measured result in the case of 3500 rpm

Desired valve position

Obtained valve positionUncompensated cycle

Abbildung 48: Phasenkompensation im Einsatz auf dem Prüfstand. Der erste Zykluswird zur Messung verwendet. Quelle: Nils Werner.

64

time in s 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

valv

e po

sitio

n in

m

#10 -3

-2

0

2

4

6

8

10

12corrected "desired"simulateddesired

time in s 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

valv

e ve

loci

ty in

m/s

-3

-2

-1

0

1

2

3corrected "desired"simulateddesired

time in s 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

cran

k an

gle

corr

ectio

n in

deg

ree

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Abbildung 49: Phasenkompensation in der Simulation mit einer Totzeit von 3 ms. Ur-sprünglich erstellt für [21].

65

4.6 Vergleich der Regelungen 4.2 und 4.4Ansatz 1 besteht aus der Feedbacklinearisierung, dem kaskadierten ExtendedKalmanfilter und dem PI-Zustandsregler; Ansatz 2 aus der flachen Vorsteue-rung und dem Sliding Mode Regler. Durch die Anwesenheit des Schätzersgewinnt Ansatz 1 an Robustheit (gegen Modellunsicherheiten), ohne dabeiein Eingangssignal zu generieren, das extrem stark chattert. Letzteres istbei der Sliding Mode Regelung unter Umständen ein Problem, weil durchdie vermeidbare Hin- und Herbewegung ein erhöhter Energieverbrauch re-sultiert. Im Gegenzug ist Sliding Mode Regelung im Allgemeinen, und auchin diesem Fall, ein wahres Robustheitswunder, das selbst unrealistisch großeStörungen (in Simulationen) und Modellunsicherheiten bewältigt. Ansatz 1kann dies nicht oder nur sehr eingeschränkt leisten. (Für die Robustheit ei-ner Sliding Mode Regelung kommt es natürlich auf eine möglichst genaueMessung der Zustände an, die zur Fehlerberechnung (𝑠(𝑡)) genutzt werden.Selbstverständlich kann auch hierfür ein Kalmanfilter genutzt werden.) DerTrackingfehler ist mit beiden Ansätzen vernachlässigbar klein. Ein weiteresinteressantes Vergleichskriterium wäre der dazu nötige Energieverbrauch. ImFalle der Sliding Mode Regelung ist dieser in Simulationen nur sehr schwerzu bestimmen, weil dazu die gesamte Verstärkerelektronik modelliert und si-muliert werden müsste – deren Filtercharakteristik ist schließlich ausschlag-gebend dafür, welcher Anteil des stark chatternden Signals überhaupt einenEinfluss hat. Erste Versuche, über Integration der Leistung über die Simula-tionszeit die Energie zu bestimmen, lieferten aufgrund des Chatterings enormhohe Werte, die wenig Aussagekraft besitzen. Ziemlich sicher ist nur die Aus-sage, dass Ansatz 1 sparsamer ist.

66

5 AusblickIn der Zukunft soll an der Wegübersetzung weitergearbeitet werden. Diesehat derzeit einen Verstärkungsfaktor von 100 (Nennwert), was angesichts desmöglichen Wertebereichs der Piezoaktuatoren – und wie wenig davon derzeitgenutzt wird (max. 50 V Amplitude um den Mittelwert 400 V bei möglichen0-1000 V) – unnötig viel ist. Ein kleinerer Übersetzungsfaktor und höhe-re Eingangsspannungsamplituden werden die Steuerbarkeit stark verbessern,wodurch eventuell einer der beiden Piezos eingespart werden könnte. Aufjeden Fall könnten aber kleinere Piezoaktuatoren eingesetzt werden. Dasaktuell zur Forschung verwendete und entsprechend überdimensionierte Mo-dell P.235.K018 der Firma PI kann im verwendeten Arbeitsbereich 10-30 kNDruckkraft aufbringen, auch hiervon wird nur ein Bruchteil genutzt (je nachAufbau 10-30%).Weiterhin soll, wie am Ende von Kapitel 4.5 erwähnt, derdoch eher heuristische Algorithmus zur Bestimmung der haftreibungsverur-sachten Totzeit/Hysterese (Abbildung 47) ersetzt werden durch einen EKF,der die Zeitverzögerung schätzt. Als Modell für ein solches angenommenesTotzeitelement kann die Taylorentwicklung von 𝐺(𝑠) = 𝑒−𝑇𝑡𝑜𝑡𝑠 (der Über-tragungsfunktion des Totzeitelements) nach einer bestimmten Anzahl Termeabgebrochen werden, das resultierende kausale lineare System diskretisiertund 𝑇𝑡𝑜𝑡 als variabel angenommen werden. Eine Verfeinerung ist möglich, in-dem 𝑠, 𝑠2, usw. in der Taylor-Approximation für 𝐺(𝑠) ersetzt werden durch𝑠𝛼, 𝑠𝛼+1, 𝑠𝛼+2 usw., mit 𝛼 ∈ ℜ. Zur diskreten Approximation dieser nicht-ganzzahligen Ableitung 𝐷𝛼, was an sich ein sehr spannendes Forschungsge-biet ist, könnte diese Formel aus [22] genutzt werden:

𝐷𝛼𝑥(𝑡) ≈ 1𝑇 𝛼

𝑠

𝑛∑𝑘=0

(−1)𝑘

(𝛼

𝑘

)𝑥(𝑡 − 𝑘𝑇𝑠) (107)

Diese Reihe wird wiederum nach 𝑛 Termen abgebrochen und 𝛼 als weiterer,zu schätzender Zustand (neben 𝑇𝑡𝑜𝑡) in die nichtlineare Systembeschreibungfür den EKF aufgenommen.

Die Chancen, dass ein VVS-System wie das hier beschriebene bald breitserienmäßig eingesetzt wird, schätzt der Autor als eher gering ein. Grund da-für sind Materialkosten und die regelungstechnisch sehr anspruchsvolle Um-setzung, schlussendlich also immer die Kosten. Selbst angesichts des hohenTreibstoffsparpotentials überwiegt dieser Nachteil derzeit deutlich.Der Elek-tromobilität wird zwar schon seit Jahrzehnten bescheinigt, dass sie sehr baldalle Verbrennungsmotoren verdrängt und ersetzt, aber inzwischen geht esdoch sehr deutlich in diese Richtung. Am geplanten Verbot in Norwegen istdies deutlich zu sehen. Daher ist es fraglich, wie lange Verbrennungsmotorennoch wirtschaftlich sinnvoll weiter optimiert werden können. Nichtsdestotrotzist die Weiterarbeit am piezo-hydraulischen Aktuator sinnvoll, Verbrennungs-motoren sind schließlich nicht der einzige denkbare Anwendungsfall.

67

6 Literaturverzeichnis[1] Werner, N.: Entwicklung einer servohydraulischen vollvariablen Ven-

tilpositionsregelung mit Piezoaktuator für einen Verbrennungsmotor.Doktorarbeit, Fakultät für Maschinenbau und Schiffstechnik der Uni-versität Rostock, 2015.

[2] Mercorelli, P., B. Haus und N. Werner: Pressure Fault Recogni-tion and Compensation with an Adaptive Feed-Forward Regulator in aControlled Hybrid Actuator within Engine Applications. In: Proc. 9thIFAC Symposium on Fault Detection, Supervision and Safety for Tech-nical Processes, Seiten 925–930, Paris, Frankreich, 2015.

[3] Murrenhoff, H.: Servohydraulik. Shaker Verlag, Aachen, Deutsch-land, 2002.

[4] Haus, B., H. Aschemann, P. Mercorelli und N. Werner: Non-linear Modelling and Sliding Mode Control of a Piezo-Hydraulic ValveSystem. In: Proc. 21st International Conference on Methods and Modelsin Automation and Robotics, Międzyzdroje, Polen, 2016. Zur Publikati-on akzeptiert.

[5] Haus, B., P. Mercorelli und N. Werner: A Robust Adaptive Self-tuning Sliding Mode Control for a Hybrid Actuator in Camless InternalCombustion Engines. In: Azar, Ahmad Taher und Quanmin Zhu(Herausgeber): Advances and Applications in Sliding Mode Control sys-tems, Band 576 der Reihe Studies in Computational Intelligence, Seiten107–136. Springer International Publishing, 2015.

[6] Mercorelli, P., B. Haus und N. Werner: A Model Predictive Con-trol for an Aggregate Actuator with a Self-tuning Initial Condition Proce-dure in Combustion Engines. In: Wade, Corrine (Herausgeber): ModelPredictive Control: Theory, Practices and Future Challenges, Mechani-cal Engineering Theory and Applications, Seiten 41–59. Nova SciencePublishers Inc., Hauppauge, New York, USA, 2015.

[7] Haus, B., P. Mercorelli und N. Werner: A Piezo Servo HydraulicActuator for Use in Camless Combustion Engines and its Control withMPC. In: Proc. 2nd International Conference on Control, Decision andInformation Technologies, Seiten 471–476, Metz, Frankreich, 2014.

[8] Haus, B., P. Mercorelli und N. Werner: Modelling of a Ser-vo Piezo Mechanical Hydraulic Actuator and its Feed-Forward Control.In: Proc. 6th International Conference on Modelling, Identification andControl, Seiten 117–122, Melbourne, Australien, 2014.

[9] Haus, B., P. Mercorelli und N. Werner: Mirrored Piezo ServoHydraulic Actuators for Use in Camless Combustion Engines and itsControl with Mirrored Inputs and MPC. In: Proc. 14th European ControlConference, Seiten 1680–1686, Linz, Österreich, 2015.

68

[10] Haus, B., H. Aschemann und P. Mercorelli: Tracking Control of aPiezo-Hydraulic Actuator Using Input-Output Linearization and a Cas-caded Extended Kalman Filter Structure. Journal of The Franklin Insti-tute, 2017. Eingereicht.

[11] Jelali, M. und A. Kroll: Hydraulic Servo-systems. Modelling, Iden-tification and Control. Springer-Verlag London, 2003.

[12] Faiz, N., S. Agrawal und R. Murray: Trajectory planning of dif-ferentially flat systems with dynamics and inequalities. J. Guidance,Control, and Dynamics, 24(2):219–227, 2002.

[13] Chladny, R.R. und C. R. Koch: Flatness-Based Tracking of an Elec-tromechanical VVT Actuator with Disturbance Observer Feed-ForwardCompensation. IEEE Transactions on Control Systems Technology,16(4):652–663, 2008.

[14] Chung, S.K., C.R. Koch und A.F. Lynch: Flatness-based feedbackcontrol of an automotive solenoid valve. IEEE Transactions on ControlSystems Technology, 15(2):394–401, 2007.

[15] Gawronski, W. und J.-N. Juang: Model reduction in limited time andfrequency intervals. International Journal of Systems Science, 21(2):349–376, 1990.

[16] Andersen, T., M. Hansen, H. Pedersen und F. Conrad: FeedbackLinearisation applied on a Hydraulic Servo System. In: Proc. 6th JF-PS International Symposium on Fluid Power, Seiten 167–172, Tsukuba,Japan, 2005.

[17] Isidori, A.: Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag London, 3.Auflage, 1995.

[18] Bohn, C.: Regelungstechnik III. Optimale und Robuste Regelung. TUClausthal, 2011.

[19] Munz, C.-D. und T. Westermann: Numerische Behandlung gewöhn-licher und partieller Differenzialgleichungen. Springer-Verlag Heidel-berg, 2006.

[20] Bohn, C.: Nichtlineare Regelungssysteme. TU Clausthal, 2009.[21] Haus, B., P. Mercorelli und N. Werner: Hysteresis Compensation

in a Piezo-Hydraulic Actuator using Heuristic Phase Correction of Peri-odic Trajectories. In: Proc. 42nd Annual Conference of IEEE IndustrialElectronics Society, Florenz, Italien, 2016. Zur Publikation akzeptiert.

[22] Machado, J. A. Tenreiro: Analysis and design of fractional-orderdigital control systems. Systems Analysis Modelling Simulation, 27(2-3):107–122, 1997.

69

7 Anhang7.1 Parameter und physikalische Größen

Symbol Wert Beschreibung𝑦 variabel Position des zu regelnden Ventils𝐻 10 mm Max. Hub des Ventils𝑛 variabel Drehzahl des Verbrennungsmotors (RPM)𝑚 𝑛 · 6 Steigung der Rampe zur Sollwertgenerierung𝑎 -360° „Geradenstützpunkt“ der Rampe𝑏 65° „Öffnungswinkel“ der Gaußkurve𝑝0 100 bar = 107 Pa Rel. Systemdruck (Hydraulikaggregat)𝑝𝑇 1 bar = 105 Pa Rel. Tankdruck (Hydraulikaggregat)𝑝𝐴 𝑝𝑇 < 𝑝𝐴 < 𝑝0 Rel. Druck in Kammer A (Hydraulikzylinder)𝑝𝐵 𝑝𝑇 < 𝑝𝐵 < 𝑝0 Rel. Druck in Kammer B (Hydraulikzylinder)𝑀𝑣 62,5 g Bewegte Masse des Ventils𝑏𝑣 0,1 kg

s Dämpfungskonstante (Hydraulikzylinder)𝑆 0,754 cm2 Aktive Fläche des Kolbens (Hydraulikzylinder)𝑉0 1,131 cm3 Volumen des Hydraulikzylinders

𝑉𝐴,0 0,113 cm3 Volumen in Kammer A bei 𝑦 = 0𝑉𝐵,0 1,018 cm3 Volumen in Kammer B bei 𝑦 = 0𝐸��𝑙 1,883 GPa Kompressionsmodul der Hydraulikflüssigkeit𝑄𝐴 variabel Volumenstrom in Kammer A (m3

s )𝑄𝐵 variabel Volumenstrom in Kammer B (m3

s )𝐶𝐿𝑖 aktuell 0 Leckagefaktor zwischen A und B (Servoventil)𝑥2 variabel Servoventilkolbenposition (m)𝑐 486,33 ·10−6

√m3

kg Hydraulischer Parameter (Servoventil)𝐴𝐹 1 0,9901 Flächenverhältnis (Piezokolben)𝐴𝐹 2 0,0099 Flächenverhältnis (Servoventilkolben)𝑚𝑃 70,8 g Masse des Piezokolbens𝐹𝑧 variabel Antriebskraft Piezo𝐷𝑥 180 nm

V Anzahl Piezoelemente mal Ladungskonstante𝐾𝑥 166,67 MN

m Steifigkeit Piezoaktuator𝐾 140 kN

m Federsteifigkeit Piezoaktuatorfeder𝐷 1000 kg

s Dämpfungskonstante Piezoaktuator𝐾𝐹 𝐿1 4,88 GN

m Federsteifigkeit Flüssigkeitsfeder 1𝐾𝐹 𝐿2 488 kN

m Federsteifigkeit Flüssigkeitsfeder 2𝑉𝑧 variabel Eingangsspannung Piezoaktuator𝑥1 variabel Position des Piezokolbens𝑥𝑐 variabel Position der Punktmasse in der Ölkammer

𝑚��𝑙 vernachlässigbar Masse des Öls in der Wegübersetzung

70

Symbol Wert Beschreibung𝑚𝑉 𝑆 28,1 g Masse des Servoventilkolbens𝐾𝑉 𝑆 3100 N

m Federkonstante der Rückstellfeder𝐷𝑉 𝑆 16,8 kg

s Dämpfungskonstante des Servoventils𝑚𝑃 1,𝑚𝑃 2 70,8 g Masse der Piezokolben (Aufbau mit zwei Piezos)

𝐾𝑥1,𝐾𝑥2 166,67 MNm

Steifigkeit der Piezoaktuatoren (Aufbau mitzwei Piezos)

𝐾1,𝐾2 140 kNm

Federsteifigkeit der Piezoaktuatorfedern (Auf-bau mit zwei Piezos)

𝐾𝑉 𝑆1,𝐾𝑉 𝑆2 3100 Nm

Federkonstanten der Rückstellfeder (Aufbau mitzwei Piezos)

𝐷𝑉 𝑆1,𝐷𝑉 𝑆2 16,8 kgs

Dämpfungskonstante des Servoventils (Aufbaumit zwei Piezos)

𝐾𝐹 𝐿11,𝐾𝐹 𝐿22 4,88 GNm

Federsteifigkeit Flüssigkeitsfeder 1 (Aufbau mitzwei Piezos)

𝐾𝐹 𝐿12,𝐾𝐹 𝐿21 488 kNm

Federsteifigkeit Flüssigkeitsfeder 2 (Aufbau mitzwei Piezos)

𝐷1,𝐷2 1000 kgs

Dämpfungskonstanten der Piezoaktuatorn (Auf-bau mit zwei Piezos)

𝑥11,𝑥21 variabel Position der Piezokolben (Aufbau mit zwei Pie-zos)

𝑥𝑐1,𝑥𝑐2 variabel Position der Punktmassen in den Ölkammern(Aufbau mit zwei Piezos)

𝑇𝑠 500 nsSamplingzeit/Simulationsschrittweite für dieRegelungsstrategie „Feedbacklinearisierung,Kalmanfilter & LQI+P“

𝑇𝑠 50 𝜇s Samplingzeit/Simulationsschrittweite für ande-re Regelungsstrategien

71

7.2 Quelltexte7.2.1 Abbildung 15

1 close all;2 n =8000; % RPM3 N =1000; % Anzahl Perioden fuer die FFT. Je mehr ,

desto hoeher die Frequenzaufloesung4 m=n*6; % Steigung5 a= -360; % Phasenversatz6 b=65; % Oeffnung der Kurve7 Fs = 1e4; % Samplingfrequenz 10 kHz8 T = 1/Fs; % Samplingzeit 100 us9 L1 = 720/(m*T); % Anzahl Werte fuer erste Periode

10 teins = linspace (0 ,720/m,L1); % Zeitvektor fuererste Periode

11 y= repmat (0.01* exp (-((m*teins+a)/b).^2) ,1,N); %Signal N mal wiederholen

12 L = N*L1; % Anzahl Werte insgesamt13 t= linspace (0,N*720/m,L); % Passender Zeitvektot fuer

Gesamtsignal y14 Y = fft(y)/L; % normalisierte FFT15 Y(Y<1e -8)=NaN; % Schwellwert fuer Anzeige : Alles was

kleiner ist , ist NaN16 Yplot =2* abs(Y(1:L/2)); % Einseitige FFT plotten ,

Absolutwerte17 f = linspace (0,Fs/2,L/2); % Entsprechende

Frequenzwerte18 %f(~ isnan(Yplot)) % Frequenzen1920 figure1 = figure ('Position ' ,[320 50 1250 500]);21 axes1 = axes('Parent ',figure1 ,'FontSize ' ,14);22 box(axes1 ,'on ');23 grid(axes1 ,'on ');24 hold(axes1 ,'all ');25 stem(f(1: end /5) ,Yplot (1: end /5) ,'LineWidth ' ,2)26 str = {'Frequenzen ','bei 8000 RPM ','und b=65 Grad:

',strcat ( num2str (f(~ isnan(Yplot)) '),' Hz ')};27 annotation ('textbox ' ,[0.7 0.8 0.1 0.1],' String ',str

,' FitBoxToText ','on ',' BackgroundColor ','white ','FontSize ' ,14);

28 xlabel (' Frequenz in Hz ',' Interpreter ','none ','FontSize ' ,14);

29 ylabel (' Amplitude in m','FontSize ' ,14);

72

30 title ('');31 orient landscape32 set(gcf ,' PaperPositionMode ','auto ')33 print(' Bilder /fft.pdf ','-dpdf ')34 system (' pdfcrop --margins 1 Bilder /fft.pdf Bilder /

fft.pdf ');3536 figure2 = figure ('Position ' ,[320 50 1250 500]);37 axes2 = axes('Parent ',figure2 ,'FontSize ' ,14);38 box(axes2 ,'on ');39 grid(axes2 ,'on ');40 hold(axes2 ,'all ');41 plot(t(1: end /200) ,y(1: end /200) ,'Parent ',axes2 ,'

LineWidth ' ,2);42 xlabel ('Zeit in s',' Interpreter ','none ','FontSize

' ,14);43 ylabel (' Amplitude in m','FontSize ' ,14);44 title ('');45 orient landscape46 set(gcf ,' PaperPositionMode ','auto ')47 print(' Bilder / soll8000 .pdf ','-dpdf ')48 system (' pdfcrop --margins 1 Bilder / soll8000 .pdf

Bilder / soll8000 .pdf ');

7.2.2 Abbildung 22

1 A_6 =[0 1 0 0 0 0;2 -((K+Kx+AF1*KFL1)/mPK) -(Dp1/mPK) KFL1/mPK 0 0

0;3 0 0 0 1 0 0;4 AF1*KFL1/mOil 0 -(KFL1+KFL2)/mOil 0 AF2*KFL2/

mOil 0;5 0 0 0 0 0 1;6 0 0 KFL2/mSK 0 -(AF2*KFL2+KSK)/mSK -DSK/mSK ];7 B_6 =[0; Dx*Kx/mPK ;0; 0; 0; 0];8 C_6 =[0 0 0 0 1 0];9 A_4 =[0 1 0 0;

10 (( AF1*KFL1 ^2) /( KFL1+KFL2)-K-Kx -AF1*KFL1)/mPK -Dp1/mPK (AF2*KFL1*KFL2)/(( KFL1+KFL2)*mPK) 0;

11 0 0 0 1;12 (AF1*KFL1*KFL2)/(( KFL1+KFL2)*mSK) 0 (( AF2*KFL2

^2) /( KFL1+KFL2)-KSK -AF2*KFL2)/mSK -DSK/mSK ];13 B_4 =[0; Dx*Kx/mPK ;0; 0];14 C_4 =[0 0 1 0];

73

15 A_2 =[0 1;16 (AF2*KFL2 ^2/( KFL1+KFL2)-KSK -AF2*KFL2+AF1*AF2 *(

KFL1*KFL2 /( KFL1+KFL2))^2/(K+Kx+AF1*KFL1 -AF1*KFL1 ^2/( KFL1+KFL2)))*1/ mSK -DSK/mSK ];

17 B_2 =[0; (Dx*Kx*AF1*KFL1*KFL2 /( KFL1+KFL2))/((K+Kx+AF1*KFL1 -AF1*KFL1 ^2/( KFL1+KFL2))*mSK)];

18 C_2 =[1 0];1920 close all;2122 figure1 = figure ('Position ' ,[320 50 1250 500]);23 axes1 = axes('Parent ',figure1 ,'FontSize ' ,14);24 box(axes1 ,'on ');25 grid(axes1 ,'on ');26 hold(axes1 ,'all ');27 opts= bodeoptions ;28 opts. FreqUnits = 'Hz ';29 opts.Title. String ='';30 opts.Grid='on ';31 opts. YLabel . String ={' Amplitude ','Phase '};32 opts. PhaseVisible ='off ';33 opts. XLabel . String ='Frequenz ';34 opts. YLabel . FontSize =14;35 opts. XLabel . FontSize =14;36 opts. TickLabel . FontSize =14;37 plot1= bodeplot (ss(A_6 ,B_6 ,C_6 ,0) ,'g',ss(A_4 ,B_4 ,C_4

,0) ,'b',ss(A_2 ,B_2 ,C_2 ,0) ,'r ' ,{1e0 ,1e5},opts);38 l1= legend ({'A_6 , B_6 , C_6 ','A_4 , B_4 , C_4 ','A_2 , B_2

, C_2 '},' Location ','west ');39 l1= legend ({'A_6 , B_6 , C_6 ','A_4 , B_4 , C_4 ','A_2 , B_2

, C_2 '},' Location ','west '); % workaround fuer bugin R2014b und R2015a

40 set(l1 ,'string ',{'A_6 , B_6 , C_6 ','A_4 , B_4 , C_4 ','A_2 , B_2 , C_2 '}); % workaround fuer bug in R2014b

und R2015a41 set(l1 ,'string ',{'A_6 , B_6 , C_6 ','A_4 , B_4 , C_4 ','

A_2 , B_2 , C_2 '}); % workaround fuer bug in R2014bund R2015a

42 orient landscape43 set(gcf ,' PaperPositionMode ','auto ')44 print(' Bilder /bodeA.pdf ','-dpdf ')45 system (' pdfcrop --margins 1 Bilder /bodeA.pdf Bilder /

bodeA.pdf ');46

74

47 figure1 = figure ('Position ' ,[320 50 1250 500]);48 axes1 = axes('Parent ',figure1 ,'FontSize ' ,14);49 box(axes1 ,'on ');50 grid(axes1 ,'on ');51 hold(axes1 ,'all ');52 opts= bodeoptions ;53 opts. FreqUnits = 'Hz ';54 opts.Title. String ='';55 opts.Grid='on ';56 opts. YLabel . String ={' Amplitude ','Phase '};57 opts. PhaseVisible ='on ';58 opts. MagVisible ='off ';59 opts. XLabel . String ='Frequenz ';60 opts. YLabel . FontSize =14;61 opts. XLabel . FontSize =14;62 opts. TickLabel . FontSize =14;63 plot1= bodeplot (ss(A_6 ,B_6 ,C_6 ,0) ,'g',ss(A_4 ,B_4 ,C_4

,0) ,'b',ss(A_2 ,B_2 ,C_2 ,0) ,'r' ,{1e0 ,1e5},opts);64 l1= legend ({'A_6 , B_6 , C_6 ','A_4 , B_4 , C_4 ','A_2 , B_2

, C_2 '},' Location ','west ');65 set(l1 ,'string ',{'A_6 , B_6 , C_6 ','A_4 , B_4 , C_4 ','

A_2 , B_2 , C_2 '}); % workaround fuer bug in R2014bund R2015a

66 orient landscape67 set(gcf ,' PaperPositionMode ','auto ')68 print(' Bilder /bodeP.pdf ','-dpdf ')69 system (' pdfcrop --margins 1 Bilder /bodeP.pdf Bilder /

bodeP.pdf ');7071 close all;

7.2.3 Systemmodell in Kapitel 4.1.4

1 Adoppelpiezo =[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0;2 -Kb1/mPK1 -Dp1/mPK1 KFL11/mPK1 0 0 0 0 0 0 0;3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0;4 AF1*KFL11/mOel 0 -(KFL11+KFL12)/mOel 0 AF2*KFL12/

mOel 0 0 0 0 0;5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;6 0 0 KFL12/mSK 0 -KM/mSK -(DSK1+DSK2)/mSK KFL21/mSK 0

0 0;7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;8 0 0 0 0 AF2*KFL21/mOel 0 -(KFL21+KFL22)/mOel 0 AF1*

KFL22/mOel 0;

75

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1;10 0 0 0 0 0 0 KFL22/mPK2 0 -Kb2/mPK2 -Dp2/mPK2 ];1112 Bdoppelpiezo =[0 0 ;13 (Dx1*Kx1/mPK1) 0;14 0 0;15 0 0;16 0 0;17 0 0;18 0 0;19 0 0;20 0 0;21 0 -(Dx2*Kx2/mPK2)];2223 Cdoppelpiezo =[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0];2425 Ddoppelpiezo =[0 0];2627 % Zustandserweiterung mit Spannungsmittelwert fuer

MIMO zu SISO28 Adoppelpiezo11 =[ Adoppelpiezo ,2* Bdoppelpiezo (: ,2) ;[0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]];29 Bdoppelpiezo11 =[2* Bdoppelpiezo (: ,1) ;0];30 Cdoppelpiezo11 =[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0];31 Ddoppelpiezo11 =0;3233 % Ordnungsreduktion34 Doppelpiezo2Auto = modred (ss( Adoppelpiezo , Bdoppelpiezo

, Cdoppelpiezo , Ddoppelpiezo ) ,[1 2 3 4 7 8 9 10]);35 [ ADoppelpiezo2Auto , BDoppelpiezo2Auto ,

CDoppelpiezo2Auto , DDoppelpiezo2Auto ]= ssdata (Doppelpiezo2Auto );

3637 % Zustandserweiterung mit Spannungsmittelwert fuer

MIMO zu SISO38 ADoppelpiezo3Auto =[ ADoppelpiezo2Auto ,2*

BDoppelpiezo2Auto (: ,2) ;[0 0 0]];39 BDoppelpiezo3Auto =[2* BDoppelpiezo2Auto (: ,1) ;0];40 CDoppelpiezo3Auto =[1 0 0];41 DDoppelpiezo3Auto =0;4243 % Invertierung44 [ Doppelpiezo3Num , Doppelpiezo3Den ]= ss2tf(

ADoppelpiezo3Auto , BDoppelpiezo3Auto ,

76

CDoppelpiezo3Auto , DDoppelpiezo3Auto );45 Doppelpiezo3inv =inv(tf( Doppelpiezo3Num ,

Doppelpiezo3Den ));46 % Doppelpiezo3inv hat Zaehlergrad 3 und Nennergrad

1, also brauchen wir47 % noch zwei schnelle Pole , um die Kausalitaet

wiederherzustellen48 Doppelpiezo3invKausal = Doppelpiezo3inv *tf (1 ,[1e-9 1])

^2;49 [ Doppelpiezo3KausalNum , Doppelpiezo3KausalDen ]= tfdata

( Doppelpiezo3invKausal ,'v ');5051 % Bode Plot52 close all;53 figure1 = figure ('Position ' ,[320 50 1250 500]);54 axes1 = axes('Parent ',figure1 ,'FontSize ' ,14);55 box(axes1 ,'on ');56 grid(axes1 ,'on ');57 hold(axes1 ,'all ');58 opts= bodeoptions ;59 opts. FreqUnits = 'Hz ';60 opts. Title. String ='';61 opts.Grid='on ';62 opts. YLabel . String ={' Amplitude ','Phase '};63 opts. PhaseVisible ='off ';64 opts. XLabel . String ='Frequenz ';65 opts. YLabel . FontSize =14;66 opts. XLabel . FontSize =14;67 opts. TickLabel . FontSize =14;68 plot1= bodeplot (ss( Adoppelpiezo11 , Bdoppelpiezo11 ,

Cdoppelpiezo11 ,0) ,'b',ss( ADoppelpiezo3Auto ,BDoppelpiezo3Auto , CDoppelpiezo3Auto ,0) ,'r' ,{1e0 ,1e5},opts);

69 l1= legend ({'A_ {11} , B_ {11} , C_{11}','A_{D3}, B_{D3},C_{D3}'},' Location ','west ');

70 l1= legend ({'A_ {11} , B_ {11} , C_{11}','A_{D3}, B_{D3},C_{D3}'},' Location ','west '); % workaround fuer

bug in R2014b und R2015a71 set(l1 ,'string ',{'A_ {11} , B_ {11} , C_{11}','A_{D3},

B_{D3}, C_{D3} '}); % workaround fuer bug inR2014b und R2015a

72 set(l1 ,'string ',{'A_ {11} , B_ {11} , C_{11}','A_{D3},B_{D3}, C_{D3} '}); % workaround fuer bug inR2014b und R2015a

77

73 orient landscape74 set(gcf ,' PaperPositionMode ','auto ')75 print(' Bilder / bodeA2 .pdf ','-dpdf ')76 system (' pdfcrop --margins 1 Bilder / bodeA2 .pdf Bilder

/ bodeA2 .pdf ');77 figure1 = figure ('Position ' ,[320 50 1250 500]);78 axes1 = axes('Parent ',figure1 ,'FontSize ' ,14);79 box(axes1 ,'on ');80 grid(axes1 ,'on ');81 hold(axes1 ,'all ');82 opts= bodeoptions ;83 opts. FreqUnits = 'Hz ';84 opts.Title. String ='';85 opts.Grid='on ';86 opts. YLabel . String ={' Amplitude ','Phase '};87 opts. PhaseVisible ='on ';88 opts. MagVisible ='off ';89 opts. XLabel . String ='Frequenz ';90 opts. YLabel . FontSize =14;91 opts. XLabel . FontSize =14;92 opts. TickLabel . FontSize =14;93 plot1= bodeplot (ss( Adoppelpiezo11 , Bdoppelpiezo11 ,

Cdoppelpiezo11 ,0) ,'b',ss( ADoppelpiezo3Auto ,BDoppelpiezo3Auto , CDoppelpiezo3Auto ,0) ,'r ' ,{1e0 ,1e5},opts);

94 l1= legend ({'A_ {11} , B_ {11} , C_{11}','A_{D3}, B_{D3},C_{D3}'},' Location ','west ');

95 set(l1 ,'string ',{'A_ {11} , B_ {11} , C_{11}','A_{D3},B_{D3}, C_{D3} '}); % workaround fuer bug inR2014b und R2015a

96 orient landscape97 set(gcf ,' PaperPositionMode ','auto ')98 print(' Bilder / bodeP2 .pdf ','-dpdf ')99 system (' pdfcrop --margins 1 Bilder / bodeP2 .pdf Bilder

/ bodeP2 .pdf ');100101 figure1 = figure ('Position ' ,[320 50 1250 500]);102 axes1 = axes('Parent ',figure1 ,'FontSize ' ,14);103 box(axes1 ,'on ');104 grid(axes1 ,'on ');105 hold(axes1 ,'all ');106 opts= bodeoptions ;107 opts. FreqUnits = 'Hz ';108 opts.Title. String ='';

78

109 opts.Grid='on ';110 opts. YLabel . String ={' Amplitude ','Phase '};111 opts. PhaseVisible ='off ';112 opts. XLabel . String ='Frequenz ';113 opts. YLabel . FontSize =14;114 opts. XLabel . FontSize =14;115 opts. TickLabel . FontSize =14;116 plot1= bodeplot (ss( ADoppelpiezo3Auto ,

BDoppelpiezo3Auto , CDoppelpiezo3Auto ,0) ,'r',ss(A_2,B_2 ,C_2 ,0) ,'b' ,{1e0 ,1e5},opts);

117 l1= legend ({'A_{D3}, B_{D3}, C_{D3}','A_{2}, B_{2},C_{2}'},' Location ','west ');

118 l1= legend ({'A_{D3}, B_{D3}, C_{D3}','A_{2}, B_{2},C_{2}'},' Location ','west '); % workaround fuer bug

in R2014b und R2015a119 set(l1 ,'string ',{'A_{D3}, B_{D3}, C_{D3}','A_{2}, B_

{2}, C_ {2} '}); % workaround fuer bug in R2014bund R2015a

120 set(l1 ,'string ',{'A_{D3}, B_{D3}, C_{D3}','A_{2}, B_{2}, C_ {2} '}); % workaround fuer bug in R2014bund R2015a

121 orient landscape122 set(gcf ,' PaperPositionMode ','auto ')123 print(' Bilder / bodeA3 .pdf ','-dpdf ')124 system (' pdfcrop --margins 1 Bilder / bodeA3 .pdf Bilder

/ bodeA3 .pdf ');125126 figure1 = figure ('Position ' ,[320 50 1250 500]);127 axes1 = axes('Parent ',figure1 ,'FontSize ' ,14);128 box(axes1 ,'on ');129 grid(axes1 ,'on ');130 hold(axes1 ,'all ');131 opts= bodeoptions ;132 opts. FreqUnits = 'Hz ';133 opts.Title. String ='';134 opts.Grid='on ';135 opts. YLabel . String ={' Amplitude ','Phase '};136 opts. PhaseVisible ='on ';137 opts. MagVisible ='off ';138 opts. XLabel . String ='Frequenz ';139 opts. YLabel . FontSize =14;140 opts. XLabel . FontSize =14;141 opts. TickLabel . FontSize =14;142 plot1= bodeplot (ss( ADoppelpiezo3Auto ,

79

BDoppelpiezo3Auto , CDoppelpiezo3Auto ,0) ,'r',ss(A_2,B_2 ,C_2 ,0) ,'b ' ,{1e0 ,1e5},opts);

143 l1= legend ({'A_{D3}, B_{D3}, C_{D3}','A_{2}, B_{2},C_{2}'},' Location ','west ');

144 set(l1 ,'string ',{'A_{D3}, B_{D3}, C_{D3}','A_{2}, B_{2}, C_ {2} '}); % workaround fuer bug in R2014bund R2015a

145 orient landscape146 set(gcf ,' PaperPositionMode ','auto ')147 print(' Bilder / bodeP3 .pdf ','-dpdf ')148 system (' pdfcrop --margins 1 Bilder / bodeP3 .pdf Bilder

/ bodeP3 .pdf ');149 close all;

7.2.4 EKF in Kapitel 4.3

1 function out = fcn(in)23 % Speichervariablen , die zwischen Funktionsaufrufen

erhalten bleiben .4 % Von denen abgesehen ist die Funktion wirkungsfrei .5 persistent zalt Palt;678 % Konstanten muessen hier definiert werden9 p0 =100 e5;

10 pt=1e5;11 S=pi *0.011^2/4 - pi *0.005^2/4;12 V=15e -3*S;13 E =(((21645.59 -18609.82) /300) *(22) +18609.82) *1e5;14 b1 =0.005*2* sqrt (2/845.6) ;15 bv =0.1;16 mEV =0.0625;17 CLi =0;18 Ts=5e -7;19 I=eye (3);20 h=[1 0 0]; % Messmatrix : Es wird der erste Zustand ,

die Ventilgeschwindigkeit , als Messwert benutzt21 Rw =1; % Kovarianz der Messung . Groesser = stabilere ,

aber konservativere Schaetzung .22 Qx=1e -6*[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; % Kovarianz des

Systems2324 % Startwerte

80

25 if isempty (zalt)26 zalt = [0 0.5*( p0+pt) 0.5*( p0+pt)];27 end28 if isempty (Palt)29 Palt = 1* eye (3);30 end3132 ua=in (1); % gemessene Servoventilkolbenposition als

Eingangsgroesse33 ymess=in (2); % geschaetzte Ventilposition (von KF)

als Eingangsgroesse34 ystrichmess =in (3); % geschaetzte

Ventilgeschwindigkeit (von KF) als Messwert3536 % Alte Werte einlesen37 ystrich =zalt (1);38 pA=zalt (2);39 pB=zalt (3);4041 % Heavisidefunktion " smooth " approximieren42 faktor =1/ pi*atan (1e9*ua)+1/2;43 faktor2 =1/ pi*atan (-1e9*ua)+1/2;4445 % Nichtlineares Teilmodell per Runge -Kutta 3

diskretisieren46 k1 =[1/ mEV *((pA -pB)*S-bv* ystrich );47 E /(0.1* V+ymess*S)*( faktor *b1*ua* realsqrt (p0 -pA)+

faktor2 *b1*ua* realsqrt (pA -pt)-ystrich *S+CLi *(pA -pB));

48 E /(0.9*V-ymess*S)*(- faktor *b1*ua* realsqrt (pB -pt)-faktor2 *b1*ua* realsqrt (p0 -pB)+ ystrich *S-CLi *(pA -pB))];

49 k2 =[1/ mEV *((( pA+Ts /2* k1 (2)) -(pB+Ts /2* k1 (3)))*S-bv*(ystrich +Ts /2* k1 (1)));

50 E /(0.1* V+ymess*S)*( faktor *b1*ua* realsqrt (p0 -(pA+Ts /2* k1 (2)))+ faktor2 *b1*ua* realsqrt ((pA+Ts /2*k1 (2))-pt) -( ystrich +Ts /2* k1 (1))*S+CLi *(( pA+Ts/2* k1 (2)) -(pB+Ts /2* k1 (3))));

51 E /(0.9*V-ymess*S)*(- faktor *b1*ua* realsqrt ((pB+Ts/2* k1 (3))-pt)-faktor2 *b1*ua* realsqrt (p0 -(pB+Ts/2* k1 (3)))+( ystrich +Ts /2* k1 (1))*S-CLi *(pA -(pB+Ts /2* k1 (3))))];

52 k3 =[1/ mEV *(((pA -Ts*k1 (2) +2* Ts*k2 (2)) -(pB -Ts*k1 (3) +2*Ts*k2 (3)))*S-bv*( ystrich -Ts*k1 (1) +2* Ts*k2 (1)));

81

53 E /(0.1* V+ymess*S)*( faktor *b1*ua* realsqrt (p0 -(pA -Ts*k1 (2) +2* Ts*k2 (2)))+ faktor2 *b1*ua* realsqrt ((pA -Ts*k1 (2) +2* Ts*k2 (2))-pt) -(ystrich -Ts*k1 (1)+2* Ts*k2 (1))*S+CLi *((pA -Ts*k1 (2) +2* Ts*k2 (2)) -(pB -Ts*k1 (3) +2* Ts*k2 (3))));

54 E /(0.9*V-ymess*S)*(- faktor *b1*ua* realsqrt ((pB -Ts*k1 (3) +2* Ts*k2 (3))-pt)-faktor2 *b1*ua* realsqrt (p0 -(pB -Ts*k1 (3) +2* Ts*k2 (3)))+( ystrich -Ts*k1 (1)+2* Ts*k2 (1))*S-CLi *((pA -Ts*k1 (2) +2* Ts*k2 (2)) -(pB -Ts*k1 (3) +2* Ts*k2 (3))))];

5556 % A-priori - Schaetzung der Zustaende57 xstar=zalt '+Ts*(k1 /6+4* k2 /6+ k3 /6);5859 % Saturation implementieren : Die Druecke koennen

nicht hoeher als der60 % Systemdruck und nicht niedriger als der Tankdruck

sein.61 if xstar (2) >1000000062 xstar (2) =10000000;63 end64 if xstar (2) <10000065 xstar (2) =100000;66 end67 if xstar (3) >1000000068 xstar (3) =10000000;69 end70 if xstar (3) <10000071 xstar (3) =100000;72 end7374 % Berechnung der Jacobi - Matrix mit a-priori -

geschaetzten Werten75 ystrich =xstar (1); % nicht genutzt , aber der

Vollstaendigkeit halber76 pA= xstar (2);77 pB= xstar (3);7879 % Jacobi - Matrix ebenfalls mit Runge -Kutta 3

diskretisieren .80 % Heaviside - Approximation wie oben stellte sich hier

als unnoetig heraus , daher if.81 if ua >= 082 m1=[-bv/mEV S/mEV -S/mEV;

82

83 -S*E /(0.1* V+ymess*S) E /(0.1* V+ymess*S)*(CLi-0.5* b1*ua/ realsqrt (p0 -pA)) -CLi*E /(0.1* V+ymess*S);

84 S*E /(0.9*V-ymess*S) -CLi*E /(0.9*V-ymess*S) E/(0.9*V-ymess*S)*(CLi -0.5* b1*ua/ realsqrt (pB -pt))];

85 m2=[-bv/mEV S/mEV -S/mEV;86 -S*E /(0.1* V+ymess*S) E /(0.1* V+ymess*S)*(CLi

-0.5* b1*ua/ realsqrt (p0 -(pA+Ts /2* m1 (2))))-CLi*E /(0.1* V+ymess*S);

87 S*E /(0.9*V-ymess*S) -CLi*E /(0.9*V-ymess*S) E/(0.9*V-ymess*S)*(CLi -0.5* b1*ua/ realsqrt((pB+Ts /2* m1 (3))-pt))];

88 m3=[-bv/mEV S/mEV -S/mEV;89 -S*E /(0.1* V+ymess*S) E /(0.1* V+ymess*S)*(CLi

-0.5* b1*ua/ realsqrt (p0 -(pA -Ts*m1 (2) +2* Ts*m2 (2)))) -CLi*E /(0.1* V+ymess*S);

90 S*E /(0.9*V-ymess*S) -CLi*E /(0.9*V-ymess*S) E/(0.9*V-ymess*S)*(CLi -0.5* b1*ua/ realsqrt((pB -Ts*m1 (3) +2* Ts*m2 (3))-pt))];

91 else92 m1=[-bv/mEV S/mEV -S/mEV;93 -S*E /(0.1* V+ymess*S) E /(0.1* V+ymess*S)*( CLi

+0.5* b1*ua/ realsqrt (pA -pt)) -CLi*E /(0.1* V+ymess*S);

94 S*E /(0.9*V-ymess*S) -CLi*E /(0.9*V-ymess*S) E/(0.9*V-ymess*S)*( CLi +0.5* b1*ua/ realsqrt (p0 -pB))];

95 m2=[-bv/mEV S/mEV -S/mEV;96 -S*E /(0.1* V+ymess*S) E /(0.1* V+ymess*S)*( CLi

+0.5* b1*ua/ realsqrt ((pA+Ts /2* m1 (2))-pt))-CLi*E /(0.1* V+ymess*S);

97 S*E /(0.9*V-ymess*S) -CLi*E /(0.9*V-ymess*S) E/(0.9*V-ymess*S)*( CLi +0.5* b1*ua/ realsqrt (p0 -(pB+Ts /2* m1 (3))))];

98 m3=[-bv/mEV S/mEV -S/mEV;99 -S*E /(0.1* V+ymess*S) E /(0.1* V+ymess*S)*( CLi

+0.5* b1*ua/ realsqrt ((pA -Ts*m1 (2) +2* Ts*m2(2))-pt)) -CLi*E /(0.1* V+ymess*S);

100 S*E /(0.9*V-ymess*S) -CLi*E /(0.9*V-ymess*S) E/(0.9*V-ymess*S)*( CLi +0.5* b1*ua/ realsqrt (p0 -(pB -Ts*m1 (3) +2* Ts*m2 (3))))];

101 end102

83

103 Fcd=I+Ts *(1/6* m1 +4/6* m2 +1/6* m3);104105 % A-priori - Schaetzung der Kovarianz106 pstern =Fcd*Palt*Fcd '+Qx;107108 % Kalman Gain berechnen109 kn= pstern *h '/(h* pstern *h'+Rw);110111 % A-posteriori - Schaetzung der Zustaende112 xn=xstar+kn*( ystrichmess -h*xstar);113114 % A-posteriori - Schaetzung der Kovarianz115 pxn =(I-kn*h)* pstern ;116117 % Werte speichern fuer den naechsten Durchlauf118 Palt=pxn;119 zalt=xn ';120121 out=xn (2:3);

7.2.5 KF in Kapitel 4.3

1 function out=fcn(in)23 % Speichervariablen , die zwischen Funktionsaufrufen

erhalten bleiben .4 % Von denen abgesehen ist die Funktion wirkungsfrei .5 persistent zalt2 Palt2;67 % Konstanten muessen hier definiert werden8 bv =0.1;9 mEV =0.0625;

10 Ts=5e -7;1112 % Startwerte . Hohe Unsicherheit fuer den Zustand

Ventilgeschwindigkeit .13 if isempty (zalt2)14 zalt2 = [0 0];15 end16 if isempty (Palt2)17 Palt2 = [1 0; 0 1e5];18 end1920 ua=in (1); % Eingang : Kraft (pA -pB)*S, mit pA und pB

84

vom EKF geschaetzt21 yn=in (2); % gemessene Ventilposition2223 % System in Euler - diskretisierter

Zustandsraumbeschreibung24 a=[1 Ts;25 0 1-bv*Ts/mEV ];26 b=[0; Ts/mEV ];2728 % was wir messen ( Position )29 h=[1 0];3031 % Kovarianz der Messung32 R=1e3;3334 % Kovarianz des Modells35 Qx =[1 0;0 1e6];3637 % A-priori - Schaetzung der Kovarianz38 pstern =a*Palt2*a '+Qx;3940 % A-priori - Schaetzung der Zustaende41 % Wenn das Ventil schliesst , wird die

Geschwindigkeit auf null gesetzt , sobald es zuist.

42 % Sonst unphysikalisches Verhalten !43 xstern =a*zalt2 '+b*ua;44 if (ua <0) && (abs( xstern (1)) <1e -6) || (abs(zalt2 (1))

>1e -6) && (abs( xstern (1)) <1e -6)45 xstern (2) =0;46 end474849 % Kalman Gain berechnen50 kn= pstern *h '/(h* pstern *h'+R);5152 % A-posteriori - Schaetzung der Zustaende53 xn= xstern +kn*(yn -h* xstern );5455 % A-posteriori - Schaetzung der Kovarianz und alte

Werte speichern56 I=eye (2);57 zalt2=xn ';58 Palt2 =(I-kn*h)* pstern ;

85

5960 out=xn ';

7.2.6 Abbildungen in Kapitel 4 (beispielhaft für alle Plots)

1 close all;2 name=' ventilpositionSMC ';3 figure1 = figure ('Position ' ,[320 50 1250 500]);4 axes1 = axes('Parent ',figure1 ,'FontSize ' ,14);5 xlim(axes1 ,[0.073 0.1]);6 ylim(axes1 ,[ -0.5e-3 10.5e -3]);7 box(axes1 ,'on ');8 grid(axes1 ,'on ');9 hold(axes1 ,'all ');

10 plot1 = plot(eval(name),'Parent ',axes1 ,'LineWidth' ,2);

11 set(plot1 (1) ,'Color ',[1 0 0],' DisplayName ','Sollwert');

12 set(plot1 (2) ,'Color ',[0 0 1],' DisplayName ','Istwert');

13 xlabel ('Zeit in s ','Interpreter ','none ','FontSize' ,14);

14 ylabel (' Ventilposition in m',' Interpreter ','tex ','FontSize ' ,14);

15 title ('');16 legend (axes1 ,'show ','Location ','best ');17 savefig ( strcat (' Bilder /',name ,'.fig '))18 orient landscape19 set(gcf ,' PaperPositionMode ','auto ')20 print( strcat (' Bilder /',name ,'.pdf ') ,'-dpdf ')21 system ( strcat (' pdfcrop --margins 1 Bilder /',name ,'.

pdf Bilder /',name ,'.pdf '));

86