Portfoliomanagement bis 2012.12.18 - uni-kassel.de€¦ · Portfolio-Begriff II Ergänzungen: 1. Die einzelnen Assets in einem Portfolio unterscheiden sich untereinander sowie vom

VorlesungPortfoliomanagement

Priv.-Doz. Dr. Dr. Aurelio J. F. Vincenti

VertretungsprofessurBWL, Unternehmensfinanzierung

Fachbereich WirtschaftswissenschaftenUniversität Kassel

Wintersemester 2012/13

Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 1

Kapitel 01 – Grundlagen:Kapitalmarkttheoretische Einordnung des

Portfoliomanagements I4 Grundkonzepte der Kapitalmarkttheorie:


Kapitalmarkttheoriefür einen

vollkommenen Marktunter Sicherheit


vollkommenen Marktunter Unsicherheit


unvollkommenen Marktunter Sicherheit


unvollkommenen Marktunter Unsicherheit


Portfoliomanagements II1. Vollkommenheit des Kapitalmarktes:

Merkmale:• Einheitlicher fester Marktzins i für Kapitalanlage und

Kapitalaufnahme (Sollzins = Habenzins).• Beliebige Verfügbarkeit von Kapital zum Zinssatz i (keine

Anlage- und Kreditlimits bzw. Liquiditätsprobleme).• Keine Steuern, Transaktionskosten,

Informationsunterschiede der Akteure.⇔Unvollkommene Märkte als Gegenteil.

2. Unsicherheit in Kapitalmarktmodellen:• Zukunft wird als sicher und planbar vorausgesetzt.• Zukunft ist unsicher in Form von (be)rechenbaren Risiken

(Wahrscheinlichkeiten).



Portfoliomanagements IIIReale Finanz- und Kapitalmärkte:

• Teilweise erhebliche Marktunvollkommenheiten:– Informationsdifferenzen der Marktteilnehmer.– Liquiditätsprobleme und Kapitalrestriktionen.– Transaktionskosten.

• Marktunsicherheit: Zukunft ist risikobehaftet (berechenbare Entwicklung mit

Wahrscheinlichkeitsannahmen). Zukunft ist ungewiss (True Uncertainty in Form nicht

berechenbarer und nicht vorhersehbarer Entwicklungen).

Nutzbare portfoliotheoretische Modelle als Hilfsmittel des Portfoliomanagements können und müssen sich mit Marktunvollkommenheiten und Zukunftsrisiken befassen!


Kapitel 01 – Grundlagen:Ziele der Vermögensanlage I

Wichtige Zielkriterien bei der Geld/Vermögensanlage:

1. Rendite / Rentabilität einer Vermögensanlage:

Ergebnis: Periodenendkapital + ev. Zwischenzahlungszuflüsse.Maximierung• des Vermögens bei gegebenem Einkommen (Entnahmen)• oder eines Entnahmestromes (Periodenentnahmen) bei

gegebenem Vermögen.⇔Aspekt der Wiederanlage (Ausschüttung, Wertsteigerung).


Kapitel 01 – Grundlagen:Ziele der Vermögensanlage II

Wichtige Zielkriterien (Fortsetzung):2. Sicherheit / Unsicherheit der Anlage:

Sicherheitsstreben als Grundsatzannahme ⇔• Risiko als berechenbare Unsicherheitsform.

Kursschwankungen. Konjunkturabhängigkeit und Währungsschwankungen. Bonität des Vertragspartners (Totalverlust).

• Nicht berechenbare Unsicherheitsform.3. Liquidität der Anlage:

Handelbarkeit (Kauf / Verkauf) der Vermögensanlage z.B. auf einem Sekundärmarkt (Börse).

4. ( Weitere persönliche Nutzenziele, z.B Unabhängigkeit.)


Kapitel 01 – Grundlagen:Formen der Vermögensanlage I

Wichtige Anlageklassen (Assetklassen):Zusammenfassung von Assets zu Klassen anhand

vergleichbarer Strukturen bei Rendite, Sicherheit, Liquidität:1. Festverzinsliche Instrumente:

(Anleihen bzw. Bondsund Geldmarktinstrument bzw. Cash):I.d.R. geringes Risiko / geringe Unsicherheit.

Geringe Kursschwankungen. Allerdings Konjunkturabhängigkeit und ev. auch Währungs-

schwankungen. Allerdings Bonitätsrisiko

(Teil- oder Totalverlust).


Kapitel 01 – Grundlagen:Formen der Vermögensanlage II

Wichtige Anlageklassen (Fortsetzung):2. Immobilien:

I.d.R. höheres Risiko im Vergleich zu festverzinslichen Anlagen aufgrund von konjunktur- / zinsbedingten Preisschwankungen.Liquiditätsprobleme bei gewissen Immobilienanlagen.• Direkte Anlage in Immobilien.• Indirekte Anlage in Immobilien:

Immobilienfonds. Immobilienaktien

(Real Estate Investment Trusts – REITs).


Kapitel 01 – Grundlagen:Formen der Vermögensanlage III

Wichtige Anlageklassen (Fortsetzung):3. Aktien (handelbare Unternehmensanteile):

• Nicht börsennotierte Aktien (⇔ eingeschränkte Liquidität).• Börsennotierte Aktien (⇔ i.d.R. hohe Liquidität):

Direkte Anlage in bestimmten Aktien. Indirekte Anlage in Aktienfonds.

I.d.R. noch höheres Risiko aufgrund von Kursschwankungen an der Börse. Abhängigkeit von: Unternehmens- und Branchenentwicklung. Konjunktur- / zinsbedingte Kursschwankungen.


Kapitel 01 – Grundlagen:Formen der Vermögensanlage IV

Wichtige Anlageklassen (Fortsetzung):4. Rohstoffe:

• Industrielle Verbraucher: Direkte Nutzung.• Nichtindustrielle Anleger eher als Termingeschäft:

I.d.R. sehr hohes Risiko aufgrund von starken Kursschwankungen an der Börse. Abhängigkeit von: Starke konjunkturbedingte Kursschwankungen. Spekulationsobjekt.

5. Handelbare Rechte (i.d.R. Termingeschäfte):Optionen, Futures, Forwards, Swaps, derivative Finanzinstrumente⇔ sehr hohes Risiko (da zeitlich befristete Rechte).


Kapitel 01 – Grundlagen:Wert/Preisverhältnis Einführung IZusammenhang zwischen dem Wert und

dem Preis einer Vermögensanlage:1. Verschiedene Wertekonzepte:

• Subjektiver Wert: Individueller Nutzen/Wert für ein Wirtschaftssubjekt.

• Objektiver Wert: Intersubjektiver allgemeiner Wert einer Anlage für alle Wirtschaftssubjekte.

2. Verschiedene Begrifflichkeiten:• Fundamentaler, intrinsischer, innerer, fairer Wert als

objektive Wertekonzept.• Marktwert als Bezeichnung für den Marktpreis / Kurs.


Kapitel 01 – Grundlagen:Wert/Preisverhältnis Einführung II

Das Verhältnis zwischen dem Preis und dem Wert eines Assets – Preisbildungsprozess:

• Subjektive Wertschätzungen bilden die Grundlage.• Erst in einem weiteren Schritt gehen dann aus den

Werten auf dem Markt Preise hervor.• Werte sind daher potentielle Preise.• Dies bedeutet allerdings nicht, dass Wert und Preis in

ihrer Höhe übereinstimmen müssen.• Preis sind immer (zeitpunktabhängig) objektiv fassbar⇔ für Werte hängt dies von der jeweiligen wirtschaftstheoretischen Sicht ab.


Kapitel 01 – Grundlagen:Wert/Preisverhältnis Einführung III

Verschiedene Wert-Preis-Relationen denkbar:1. Im Rahmen eines subjektiven Wertekonzeptes:

• Ausnahmefall: Preis und subjektiver Wert eines Assets stimmen überein ⇨keine Handlungsnotwendigkeit.

• Normalfall: Preis und subjektiver Wert weichen voneinander ab:

Subjektive Bewertung eines Assets höher als der aktuelle Marktpreis ⇨Kaufanreiz.

(Subjektive Bewertung eines Assets niedriger als der aktuelle Marktpreis ⇨Verkaufanreiz ⇔ auf einem funktionsfähigen „normalen“ Markt erhält der Verkäufer jedoch den Marktpreis.)


Kapitel 01 – Grundlagen:Wert/Preisverhältnis Einführung IV

Wert-Preis-Relationen (Fortsetzung):2. Im Rahmen eines objektiven Wertekonzeptes:

• Normalfall: Preis und objektiver Wert eines Assets stimmen überein ⇨keine Handlungsnotwendigkeit:

Auf einem effizienten Markt. In einem Marktgleichgewicht: Preis = Wert.

• Ausnahmefall: Preis und objektiver Wert weichen voneinander ab:

Aktueller Marktpreis höher als der fundamentale Assetwert⇔ vorübergehende Marktstörung, z.B Spekulationsblase.

Aktueller Marktpreis niedriger als der fundamentale Assetwert⇔ vorübergehende Marktstörung, z.B. Liquiditätsprobleme.


Kapitel 01 – Grundlagen:Ergebnis der Vorüberlegungen

1. Es gibt eine Vielzahl von verschiedenen Anlageformen aus denen bei der Bildung eines Portfolios ausgewählt werden kann.

2. Die verschiedenen Ziele einer Vermögensanlage stehen dabei zueinander im Widerspruch:⇨Eine per se ideale Kapitalanlage mit hoher Rendite bei zugleich möglichst hoher Sicherheit und zugleich möglichst großer Liquidität findet sich nicht!

3. Aufgabe des Portfoliomanagements ist es daher nicht, ein ganz bestimmtes Einzelasset zu suchen.

4. Entsprechend dem Zielsystem der jeweiligen Anleger soll vielmehr ein diversifizierter Anlage-Mix d.h. ein Portfolioaus verschiedenen Assetklassen, gefunden werden.


Kapitel 01 – Grundlagen:Portfolio-Begriff I

Definition:Ein Portfolio (Portefeuille) ist die

Zusammenfassung aller Vermögensbestandteile (Assets) eines Wirtschaftssubjektes mit dem

Zweck der Beschreibung und Überprüfung dieses Portfolios in Hinblick auf seine

finanzwirtschaftlichen Eigenschaften. Dies betrifft vor allem die Aspekte Rendite, Sicherheit,

Liquidität, bezüglich derer das Portfolio als ganzes den Präferenzen des Wirtschaftssubjektes

entspricht.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 16

Kapitel 01 – Grundlagen:Portfolio-Begriff II

Ergänzungen:1. Die einzelnen Assets in einem Portfolio unterscheiden

sich untereinander sowie vom (Gesamt-)Portfolio bezüglich ihrer Rendite, Sicherheit, Liquidität.

2. Maßgeblich in Hinblick auf die finanzwirtschaftlichen Eigenschaften ist stets das komplette Portfolio im Sinn einer Simultan- und Gesamtbetrachtung aller Vermögensbestandteile.

3. Eine Veränderung (Investition) bei einem einzelnen Assets ist daher nicht isoliert, sondern immer in Hinblick auf die Veränderung des Gesamtportfolios zu beurteilen.


Kapitel 01 – Grundlagen:Portfolio-Begriff III

Ergänzungen (Fortsetzung):4. Aufgabe des Portfoliomanagements ist es folglich, die

Zusammenstellung bzw. den Mix der verschiedenen Vermögensanlagen (Assetallokation) im Portfolio eines Wirtschaftssubjektes entsprechend den o.g. Grundsätzen zu gestalten.

5. Hilfestellung (vor allem bei der Rendite-Risiko-Gestaltung) leistet dabei die Portfoliotheorie als Teil der Kapitalmarkttheorie. Wichtige Grundprinzipien sind:

• Prinzipielle Risikoaversion der Wirtschaftssubjekte.• Diversifikation der Vermögensanlage.


Kapitel 01 – Grundlagen:Assetallokation I

Assetallokation sowohl als Prozess als auch als Ergebnis der Portfoliobildung.

• Top: Assetallokation auf Ebene der Assetklassen.• Bottom: Assetallokation auf Ebene der einzelnen

Assets.⇨Zwei grundsätzliche Methoden bei der Asset-Auswahl:1. Top-Down: Zusammenstellung des Portfolios zunächst

auf der Top-Ebene, anschließend Auswahl der Einzelanlagen (professionelle Vermögensverwaltung).

2. Bottom-Up: Ausgangspunkt ist die Selektion einzelner Assets (z.B. Empfehlungen – von Anlegern bevorzugt).


Kapitel 01 – Grundlagen:Assetallokation II

Beispiel einer vereinfachten Assetallokation mit (nur) 3 (2) Assetklassen:

1. Cash bzw. Liquidität (Geldmarktinstrumente).2. Aktien (an der Börse gehandelt).3. Bonds (Festverzinsliche Anleihen).⇨Assetselektion (Top-Down) nach folgenden Prinzipien:1. Cashquote wird bestimmt durch Flexibilitätsbedarf

(geplanter und ungeplanter Bedarf an Geld).2. Aktienquote wird bestimmt durch objektive

Unsicherheitstragfähigkeit und subjektive Unsicherheitspräferenz des Anlegers.

3. Rest des Vermögens in Bonds.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 20

Kapitel 01 – Grundlagen:Assetallokation III

UnterscheidungUnsicherheits- bzw. Risikotragfähigkeit (1) vs.

Unsicherheits- bzw. Risikopräferenz (2).Zu (1): Die Tragfähigkeit beschreibt die finanzielle Situation des Wirtschaftssubjektes (Privatperson, aber auch institutioneller Anleger) und ist insofern objektiv. Sie hängt ab von:

• Finanzielle Einkünfte und vorhandenes Vermögen.• Finanzielle Verpflichtungen und Schulden.• Finanzplanung für die Zukunft.

Zu (2): Die Präferenz beschreibt die jeweilige Einstellung des Wirtschaftssubjektes zur Unsicherheit und zum (Verlust-)Risiko und ist insofern stets subjektiv. Das Ausmaß der internen Risikotoleranz ist persönlichkeitsabhängig.


Kapitel 01 – Grundlagen:Assetallokation IV

Weitere Unterteilung in zusätzliche Unterklassen möglich

(Fortsetzung des Beispiels mit 3 (2) Assetklassen):• Generelle Unterscheidung zwischen

Inlandsanlage vs. Auslandsanlage(Währungsschwankungen).

• Bei Bonds:– Differenzierung nach Laufzeiten:

Kurz vs. mittel vs. lang vs. sehr lang.(Je länger die Laufzeit, desto größere Zinsempfindlichkeit.)

– Nominalausschüttung (Zero Coupon Bond).– Bonität des Emittenten:

Staatsanleihe vs. Unternehmensanleihe.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 22

Kapitel 01 – Grundlagen:Assetallokation V

Weitere Unterteilung (Fortsetzung)(Beispiel mit 3 (2) Assetklassen):

• Bei Aktien (an der Börse gehandelt): Differenzierung nach Branchen (ev. Währungsräumen). Differenzierung nach Growth vs. Value Stock.

a) Growth Stock: Niedrigere Dividende – Stärkeres Wachstum –Niedrigeres Book-to-Market Ratio.b) Value Stock: Höhere Dividende – Geringeres Wachstum –Höheres Book-to-Market Ratio.

Book-to-Market Ratio: des Unternehmens: I.d.R. < 1.

mit Buchwert: Bilanzielles Eigenkapital.mit Marktwert (Marktkapitalisierung): Börsenpreis x Aktienzahl.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Anlagestil I

Nach der anfänglichen Assetallokation und den ersten Transaktionen fallen im Zeitablauf (ständig) weitere

Anlageentscheidungen an:Dieser Sachverhalt betont den Aspekt der

Prozesshaftigkeit im Portfoliomanagement!Unterscheidung verschiedener Anlagestile:

Begriff: Der Anlagestil beschreibt das Verfahren, durch das ein vorhandenes Portfolio im Zeitverlauf und/oder aufgrund neuer Informationen den sich ändernden Gegebenheiten angepasst wird. Im Ergebnis kommt es dadurch zu einer veränderten Assetallokation.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Anlagestil II

Strategische vs. taktische Assetallokation• Strategische Assetallokation:

– Längerfristige Strukturierung des Portfolios aufgrund längerfristiger d.h. fundamentaler Charakteristika der ausgewählten Asset(sklassen).

– Keine Anpassung an kurzfristige Entwicklungen des Kapitalmarktes.

⇨Geringe Änderungen des Portfolios im Zeitverlauf.• Taktische Assetallokation:

– Anpassung des Portfolios an kurzfristige Entwicklungen wie z.B. neue Informationen, Trends, Marktstimmung.

⇨Häufige Änderungen des Portfolios im Zeitverlauf.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 25

Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Anlagestil III

1. Buy-and-Hold als passiver Anlagestil:Anwendung einer strategischen Assetallokation, d.h.keine kurzfristigen Käufe und Verkäufe von Assets.Beispiele sind „naive“ (oder ad-hoc) Diversifikation(Diversifikation anhand von Daumenregeln der Praxis) oder Marktkapitalisierungs-Methode (z.B. Anteile der Assets im Portfolio entsprechend einem Index).

Vorteile von Buy-and-Hold: Geringe (Transaktions)kosten: Informationsbeschaffungs-

und Durchführungskosten. Alles in allem gute Resultate derartiger Portfolios (gerade

auch im Vergleich mit anderen Anlagestilen).Auch bei passivem Anlagestil werden die Portfolios im Zeitverlauf angepasst – Re-Balancing.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Anlagestil IV

1. Buy-and-Hold (Fortsetzung):Buy-and-Hold bezieht sich auf das Management von Assets nach der erstmaligen Assetallokation.Empirisches zum Erfolg dieser Strategie:• Es gibt immer (einige) Portfolios mit einem aktiven Management,

die bessere Ergebnisse als der Markt bzw. passiv geführte Portfolios zeigen.

• Aber: Im Durchschnitt sind die Ergebnisse aktiv geführter Portfolios schlechter als ein Index / passiver Anlagestil.

(Kleinere) Privatanleger haben im Gegensatz zu professionellen Akteuren i.d.R. stets einen Informations- und Kostennachteil.⇨Gerade auf nicht informationseffizienten Märkten können aktive Anlagestile daher für solche Privatinvestoren problematisch sein.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Anlagestil V

2. Timing als aktiver Anlagestil:Der Zeitpunkt des Kaufs bzw. Verkaufs von Assets bzw. Assetklassen wird festgelegt:verschiedene Assets bzw. Assetklassen werden anhand einer Kennzahl miteinander verglichen. Sobald ein gewisser Wert dieser Kennzahl über- bzw. unterschritten wird, führt dies zu Kaufs- und Verkaufshandlungen, zum Wechsel von Assets bzw. Assetklassen.Beispiel: Fed-Modell (Auswahl zwischen Aktien und Bonds):• ⇨ Wechsel von Aktien zu Bonds.

• ⇨ Wechsel von Bonds zu Aktien.

(Mit dem KGV als dem Kursgewinnverhältnis eines Aktienindexes und dem Zins z.B. 10-jähriger Staatsanleihen.)


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Anlagestil VI

3. (Stock-)Picking als aktiver Anlagestil:Selektion einzelner Assets (i.d.R. Aktien) oder ganzer Assetklassen nach gewissen Kriterien:Entweder im Portfolio stärker gewichtet (Bezugspunkt strategische Allokation) oder ausschließlich gekauft.⇔Nicht selektierte Assets „untergewichtet“ oder nicht im Portfolio vertreten.Mögliche Kriterien für das Stock-Picking:• Branchen – Länder – Growth vs. Value.• Einzelne Kennzahlen wie etwa das KGV (Price-Earnings-Ratio):

ö ä öß

.

• Komplexe Modelle mit verschiedenen Kriterien.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Anlagestil VII

4. Zyklisches Investment als aktiver Anlagestil:• Prozyklisches Investment:Selektion von Assets (i.d.R. Aktien) gemäß der Kursentwicklung der jüngeren Vergangenheit: Entscheidungen z.B. anhand von Durchschnittslinien der Kursverläufe (Marktentwicklung):Sinkende Kurse ⇨ Verkaufen – Steigende Kurse ⇨Kaufen.⇨Prozyklisches Investment als Art von „Portfolio-Versicherung“.⇔Probleme: Zeitverzögerung, Erkennen der Marktentwicklung.Ergebnisse dieses Anlagestils: Zugleich Chancen- und Schutzfunktion auf Kosten einer niedrigeren Rendite.• Momentum-Strategie (ähnlich): Nutzung von Trends und des ihnen innewohnenden Schwungs.• Antizyklisches Investment (konträr):Sinkende Kurse ⇨ Kaufen – Steigende Kurse ⇨Verkaufen.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Anlagestil VIII

5. Long-Short-Investment als aktiver Anlagestil:Grundstil von Hedge-Fonds (Funds): Gleichzeitiges Eingehen von Long- und Short-Positionen auf Wertpapiermärkten.• Long-Position: Erwartung steigender Kurse

⇨Kauf eines Wertpapieres.• Short-Position: Erwartung fallender Kurse

⇨Verkauf eines Wertpapieres.Ein Aktienkauf auf Kredit (Leverage-Effekt) ist eine Long-Short-Position (Long bei der Aktie, Short auf dem Geldmarkt).Short-Positionen in Wertpapieren durch:• Gedeckter Leerverkauf (Regel): Verkauf eines geliehenen

Wertpapiers (gegen Leihgebühren und Sicherheiten) – später Deckungskauf.

• Ungedeckter Leerverkauf (i.d.R. verboten): Verkauf ohne Besitz.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Anlagestil Überblick

Strategische Assetallokation(passive Anlagestile)

Taktische Assetallokation(aktive Anlagestile)

Buy-and-Hold• „naive“ Diversifikation • Marktkapitalisierungs-

Methode

Timing

(Stock-)Picking

Zyklisches Investment• Antizyklisches Investment• Momentum-Strategie• Prozyklisches Investment

Long-Short-Investment


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Technische Analyse

Markttechnik bzw. technische Aktienanalyse:Bekanntes Hilfsmittel im Rahmen eines aktiven Anlagestils, vor allem im Rahmen zyklischer Anlagestrategien.

Grundidee:Marktteilnehmer reagieren auf Veränderungen ihrer Informationen zumeist in ähnlichen (kollektiv vorhandenen) Verhaltensmustern. Dies führt zu psychologisch begründbaren Kollektiv-Phänomenen des Verhaltens wie Herdentrieb, Marktstimmungen (z.B. Hot oder Cold Markets).⇨Aggregiert betrachtet lässt sich dieses Kollektiv-Verhalten der Marktteilnehmer anhand von Kursmustern an den Börsen erkennen und in gewisser Weise vorhersagen: Prognose von Trends!Markttechnik differenziert nicht zwischen „rationalen“ und „irrationalen“ Marktteilnehmern!


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Fundamentalanalyse I

Fundamentalanalyse im Rahmen von Value Investing (nach Benjamin Graham):

Bekanntes Hilfsmittel im Rahmen eines aktiven Anlagestils, vor allem bei einer Stock-Picking-Strategie.

Grundidee:• Mittels einer Unternehmensbewertung wird zunächst ein

fundamental gerechtfertigter Wert für ein börsennotiertes Unternehmen ermittelt.

• Diese Größe wird mit dem aktuellen Börsenkurs als Marktwert verglichen.⇨Wenn der fundamentale Wert höher als der Marktwert ist, bedeutet dies eine Kaufempfehlung!


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Fundamentalanalyse II

Fundamentalanalyse (Fortsetzung):Unternehmenswert:Theoretisch einfach bestimmbar:Aus moderner finanzierungstheoretischer Sicht entspricht der Wert eines Unternehmens allen zukünftigen Zahlungszuflüssen aus dem Unternehmen an den Eigner, abgezinst auf die Gegenwart:⇨Damit ist der Unternehmenswert der Kapitalwert eines zukünftigen Zahlungsstroms auf einem unvollkommenen Markt unter Unsicherheit.Es handelt sich dabei um eine Prognose für mehrere unsichere Größen:• Unsichere, zukünftige (!) Cash Flows.• Unsicherer Diskontierungszins.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Fundamentalanalyse III

Fundamentalanalyse (Fortsetzung):Unternehmenswert:

Grundformel (entspricht der Kapitalwertformel):

bzw.

.Mit: UW = Unternehmenswert.

CFt = Zahlungsstrom (Cash Flow) aus dem Unternehmen an den Eigentümer in der Periode t.

i = Kalkulationszins.t = Periodenindexn = Planungszeitraum.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Fundamentalanalyse IV

Fundamentalanalyse (Fortsetzung):Die Vorgehensweise (damit auch das Problem) bei der Unternehmensbewertung besteht aus folgenden Schritten:1. Festlegung eines geeigneten Planungshorizontes.2. Schätzung der (unsicheren) Cash Flows für jede Periode.3. Bestimmung des relevanten (unsicheren) Kalkulationszinses

(der periodenspezifisch unterschiedlich sein kann).Zwei Folgerungen:• Jede Unternehmensbewertung (und deshalb auch jede

Fundamentalanalyse von Aktien) stößt besonders bei der Prognose der Zahlungsströme, aber auch bei der Festlegung eines geeigneten Kalkulationszinses auf Schwierigkeiten!

• Gerade die Cash-Flow-Bestimmung hängt stark von den verfügbaren Informationen des jeweiligen Bewerters ab!


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Fundamentalanalyse V


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Fundamentalanalyse VI

Fundamentalanalyse (Fortsetzung):Festlegung des Diskontierungszinses:Hier unterscheiden sich die verschiedenen (wissenschaftlich fundierten) Methoden der Unternehmensbewertung:

• Kapitalmarkttheoretische Unternehmensbewertung:Nutzung eines („objektiven“) Marktzinses i (aus einer finanzierungstheoretischen Gleichgewichtsbetrachtung abgeleitet):Gesamte Zukunftsunsicherheit durch einen „marktgemäßen“ Risikozuschlag in i berücksichtigt.

• Investitionstheoretische Unternehmensbewertung:Nutzung eines individuellen, subjektiven Zinses i:Unvollkommener Kapitalmarkt ohne Fisher-Separation (Dilemma der Lenkpreistheorie) erfordert eigentlich Totalmodell. Zukunftsunsicherheit häufig als subjektiver Risikozuschlag in i.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Fundamentalanalyse VII

Fundamentalanalyse (Fortsetzung):In der Literatur wird der im Rahmen einer individuellen Fundamentalanalyse bestimmte „fundamentale“ Unternehmenswert, der vom aktuellen Marktwert abweicht, oft als der eigentliche „wahre“ und damit als objektiver Unternehmenswert bezeichnet, denn er beruhe ja auf objektiven Fundamentalgrößen des Unternehmens.

Aufgrund der bisherigen Ausführungen gilt (aus theoretischer Sicht):1. Ein durch eine investitionstheoretische Bewertung ermittelter

Unternehmenswert ist definitionsgemäß stets subjektiv.2. Ein durch eine kapitalmarkttheoretische Bewertung ermittelter

Unternehmenswert beruht implizit auf der Annahme eines Marktgleichgewichts. Das Value Investing begründet sich jedoch aus der Annahme eines aktuell fehlenden Gleichgewichts.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Fundamentalanalyse VIII

Fundamentalanalyse (Fortsetzung):Aufgrund der bisherigen Ausführungen gilt (aus praktischer Sicht):• Eine ordnungsgemäße Unternehmensbewertung erfordert neben

methodischen Kenntnissen stets ein vertieftes Wissen sowohl um die spezifische wirtschaftliche Situation des Unternehmens (als Objekt der Bewertung) als auch der zugehörigen Branche etc.

• Unternehmensbewertungen werden i.d.R. von fachlich qualifizierten Spezialisten durchgeführt, bei börsennotierten Unternehmen von speziellen Analysten (bzw. „Staranalysten“):– Unabhängige Analysten.– Analysten von Investmentbanken („Analyst Coverage“ als Teil

des Gesamtdienstleistungsangebotes dieser Investmentbanken).• Privatanleger haben i.d.R. keine Möglichkeit für eine eigenständige

Unternehmensbewertung und damit eigene Fundamentalanalyse.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Portfoliotheorie – Vorbemerkung I

Klassische Portfoliotheorie bzw. KPT(nach Markowitz)

Teilweise auch als „Moderne Portfoliotheorie“ bezeichnet:Grundkonzept:• Traditionelle taktische Anlagestile (wie Stock-Picking,

zyklisches Investment oder Timing) ohne Bedeutung.• Technische sowie Fundamentalanalyse ebenfalls

ohne Relevanz.⇔Anlagenentscheidungen werden anhand eines formalmathematisch fundierten, quantitativen Modells getroffen.


Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Portfoliotheorie – Vorbemerkung II

KPT (Fortsetzung):Problemstellung:

Bei der Maximierung des Geldvermögens für den Anleger als plausible zentrale Zielgröße handelt es sich jedoch stets um eine per se unsichere Größe.Es ist also (zunächst einmal) nicht möglich, verschiedene Wertpapierportfolios anhand ihrer Renditen einfach miteinander zu vergleichen! Dazu müssen vereinfachende (!) Modellannahmen gesetzt werden.


Fernere ZukunftHeutet=0 t=1

Unsicherheit

Kapitel 02 – Portfoliomanagement:Portfoliotheorie – Vorbemerkung IIIKPT (Fortsetzung):

Merkmale der KPT:1. Zukunftsunsicherheit der verschiedenen Wertpapiere in Form

von Risiko ⇨Renditen als normalverteilte Zufallsgrößen.2. Rational handelnde risikoaverse Anleger. Aus 1. und 2.:Zielsystem der Vermögensanlage (Präferenzen der Anleger) ist ausschließlich anhand finanzieller Ziele beschreibbar:• Relevant sind Erwartungswert und Standardabweichung als

Ausdruck für Rendite und Risiko der jeweiligen Anlage:⇨Streben nach hohen Erwartungswerten bei zugleich niedriger Standardabweichung der Anlagerendite als Ziel.

• Liquidität als drittes Anlageziel sowie etwaige weitere Nebenziele werden nicht berücksichtigt.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell I

Grundmodellder normativen (formalen) Entscheidungstheorie:• Endliche Menge einander ausschließender Handlungsalternativen:

ai (mit i = 1, 2, …, m).• Endliche Menge von ai unabhängiger und einander ausschließender

Umweltzustände: sj (mit j = 1, 2, …, n).• In Abhängigkeit von der gewählten Handlungsalternative ai sowie

der Umweltentwicklung sj ergeben sich n m spezifische Ergebnisvektoren eij , die in einer entsprechenden Ergebnismatrix, dem Entscheidungsfeld, zusammengefasst werden.

Zur Vereinfachung gilt außerdem, dass alle Kombinationen von ai mit sjjeweils durch einen einzigen Vektor eij eindeutig beschrieben werden und eine monetäre Größe darstellen.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell II

Grundmodell (Fortsetzung): Entscheidungsfeld.


S:

A:s1 ••• sj ••• sn

a1 e11 ••• e1j ••• e1n

••••••

••••••

ai ei1 ••• eij • •• ein

••••••

••••••

am em1 ••• emj ••• emn

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell III

Unsicherheitskonzepte in der Entscheidungstheorie:


Unsicherheit

Spiel Risiko Ungewissheit

Unsicherheit i. e. S.

mit objektiverWahrscheinlichkeit

mit subjektiverWahrscheinlichkeit Ambiguität Fundamentale

Ungewissheit

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell IV

Unsicherheitskonzepte (Fortsetzung):• Entscheidungen unter Sicherheit (d.h. ai mit i = 1 und sj mit j = 1 und

damit nur einem möglichen Ergebnis e11) werden in der Entscheidungstheorie nicht betrachtet.

• Spielsituationen (Spieltheorie): Die jeweiligen Realisationen von sjhängen von den Handlungen eines rationalen Gegenspielers ab.

• Unsicherheit i.e.S.: Die jeweiligen Realisationen von sj werden durch die zufällige Entwicklung der Umwelt bestimmt.– Fundamentale Ungewissheit: Es gibt keine vollständige Liste

aller zukünftig möglichen Aktionen ai und Umweltzustände sj ; d.h. nicht alle Elemente des offenen Entscheidungsfeldes sind bekannt. Unerwartete Überraschungen können auftreten. ⇒Fundamentale Ungewissheit ist nicht berechenbar im Sinn einer rationalen Gewinnmaximierung.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell V

Unsicherheitskonzepte (Fortsetzung):– Ambiguität: Alle möglichen zukünftigen Ereignisse eij (und damit

das vollständige Entscheidungsfeld) sind grundsätzlich bekannt, wenn auch ohne Wissen von Eintrittswahrscheinlichkeiten dafür. Insofern ist die Zukunft hinsichtlich ihres Entwicklungspotentials determiniert. ⇒Ambiguität ist nur eingeschränkt berechenbar im Sinn einer rationalen Gewinnmaximierung.

– Risikosituationen: Zusätzlich zur vollständigen Kenntnis des Entscheidungsfeldes (mit allen ai, sj und eij) sind noch die Eintrittswahrscheinlichkeiten p(sj) (mit j = 1, 2, …, n sowie mit 0 p s 1und p ⋃ s 1) für alle sj bekannt. Diese p(sj) können entweder objektiver oder zumindest subjektiver Art sein. ⇒Risikosituationen sind berechenbar im Sinn einer rationalen Gewinnmaximierung.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell VI

Grundmodell (Fortsetzung): Entscheidungsfeld für Risiko.


S:

A:

s1mit

p(s1)•••

sjmit

p(sj)•••

snmit

p(sn)

a1 e11 ••• e1j ••• e1n

••••••

••••••

ai ei1 ••• eij • •• ein

••••••

••••••

am em1 ••• emj ••• emn

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell VII

Formalstruktur für Entscheidungsmodelle:Präferenzwert und Präferenzfunktion:Problemstellung:Entscheidungen sollen nur bezüglich einer Zielgröße, d.h. ohne Zielkonflikt, jedoch unter der Annahme risikobehafteter Erwartungen, getroffen werden:Jeder Handlungsalternative ai wird mittels einer Präferenzfunktion Φein Präferenzwert Φ(ai) zugeordnet (Φist hierbei die „Rechenregel“, während Φ(ai) das dadurch ermittelte „Rechenergebnis“ für ai bildet).Folgende Zuordnungen gelten:

Φ(ai) > Φ(ak) ⇔ ai ≻ ak ≻„wird vorgezogen“).

Φ(ai) = Φ(ak) ⇔ ai ∼ ak ∼ „ist gleichwertig“).Φ(ai) < Φ(ak) ⇔ ai≺ak ≺ „wird schlechter gesehen“).


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell VIII

Entscheidungsregeln:Um eine gesuchte (optimale) Handlungsalternative ai zu finden, muss zunächst festgelegt werden, nach welchen Merkmalen diese optimale Handlungsalternative ermittelt wird. Dies erfolgt durch die Bestimmung einer Entscheidungsregel.Eine zentrale Entscheidungsregel in den Wirtschaftswissenschaften:Gesucht ist als (Optimal-)Alternative die Alternative, die den höchsten Präferenzwert Φ(ai) besitzt. Es gilt dabei:

: Φ .(Zielfunktion als formal-mathematische Darstellung dieser Regel).

Verbale Interpretation: Gesucht ist die Handlungsalternative ai mit dem höchsten, d.h. dem maximalen Präferenzwert Φ(ai) für das Subjekt (im Sinne individueller Nutzenmaximierung).


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell IX

Entscheidungsregeln (Fortsetzung):Beispiel (aus dem Portfoliomanagement) für eine Regel, die auf dem Prinzip der Maximierung (einer gewählten Zielvariablen) beruht:Maximierung der Rendite (Rendite dabei als einzige relevante Größe).

Allgemein gibt es drei verschiedene Typen von Entscheidungsregeln:• Extremierungsregeln:

Möglichst großer oder kleiner Wert für die Zielvariable gewünscht:max: y oder min: y (z.B. Rendite eines Wertpapiers).

• Satisfizierungsregeln:Zielvariable soll nicht unter oder über einem gewissen Wert liegen:

y ≥ ymin oder y ≤ ymax (z.B. Bonität eines Wertpapiers; auchMindestrendite eines Wertpapiers).

• Fixierungsregeln:Zielvariable soll einen bestimmten Wert annehmen:

y = yfix (z.B. Wertpapier in bestimmter Währung ).Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 53

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell X

Entscheidungsregeln (Fortsetzung):Bei mehreren Zielvariablen können diese gewichtet und zu einem einzigen Präferenzwert zusammengefasst (amalgamiert) werden.Ebenso ist es möglich, Extremierungs-, Satifizierungs- und Fixierungsregeln gleichzeitig anzuwenden (z.B. Optimierung einer Variablen unter Nebenbedingungen für andere Variablen).

Kennzahlen:Um die vorhandenen Handlungsalternativen ai eines (Entscheidungs-)modells durch Bildung der jeweiligen Präferenzwerte Φ(ai) ordnen zu können, wird stets ein geeignetes System von Kennzahlen benötigt, aus denen die Präferenzfunktion Φ ermittelt wird:

Kennzahlen sind ein Mittel zum Beschreiben und Vergleichen von verschiedenen Ergebnisverteilungen!


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XI

Kennzahlen (Fortsetzung):Präferenzwerte ai sind als Funktionen von Kennzahlen bestimmbar.

Einteilung von Kennzahlen nach ihrer Informationsbasis:

• Typ I: Der Wert der Kennzahl ist direkt anhand der möglichen Ergebnisse für die jeweilige Handlungsalternative ai bestimmbar (z.B. Maximal- max e oder Minimalergebnis min e von ai).

• Typ II: Zur Berechnung der Kennzahl werden zusätzlich die Ergebnisse anderer Handlungsalternativen berücksichtigt(z.B. maximales Bedauern beim Savage-Niehans-Kriterium: max max e e ).

• Typ III (für Risikosituationen): Zu Berechnung der Kennzahl sind die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände heranzuziehen.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XII

Kennzahlen (Fortsetzung): Beispiel für Typ I (Ambiguität):

• Mini-Max-Prinzip (Pessimismus): max:Φ a min e :Alternative mit dem besten „schlechtestmöglichen“ Wert bevorzugt.

• Maxi-Max-Prinzip (Optimismus): max:Φ a max e :Alternative mit dem besten „bestmöglichen“ Wert bevorzugt.


s1 s2 s3 s4 s5

a1 0 0 10 0 120 120 0

a2 20 30 20 20 20 30 20

a3 2 6 80 50 10 80 2

a4 40 10 10 15 15 40 10

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XIII

Kennzahlen (Fortsetzung): Beispiel für Typ II (Ambiguität):

Savage-Niehans-Kriterium: min:Φ a max max e e .

Bedauernsmatrix: Das maximale Bedauern wird minimiert, d.h. die Alternative gewählt, bei der der entgangene Gewinn im „schlechtestmöglichen“ Fall am geringsten ausfällt (Mini-Max-Regret-Prinzip).


s1 s2 s3 s4 s5 s1 s2 s3 s4 s5

mit k,i = 1, 2, …, m

a1 0 0 10 0 120 40 30 70 50 0 70

a2 20 30 20 20 20 20 0 60 30 100 100

a3 2 6 80 50 10 38 24 0 0 110 110

a4 40 10 10 15 15 0 20 70 35 105 105

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XIV

Kennzahlen (Fortsetzung):Mögliche Anwendung von Typ I und Typ II Kennzahlen bei einer Vermögensanlage, wenn Wahrscheinlichkeiten fehlen (Ambiguität):• Typ I: Mini-Max-Prinzip: Bei hohem Sicherheitsbedürfnis (geringe

Risikotragfähigkeit und geringe Risikopräferenz) werden bevorzugt Assets ausgewählt, bei denen die Rendite auch bei denkbar ungünstiger Entwicklung möglichst hoch ist. Relevant ist also stets die Minimalrendite einer Anlage ⇔Tendenz zu Cash und Bonds.

• Typ II: Savage-Niehans-Kriterium (Mini-Max-Regret-Prinzip):Grundsätzlich ebenfalls bei der Wertpapieranlage denkbar. Im Gegensatz zum eigentlichen Mini-Max-Prinzip steht hier jedoch die subjektive Einstellung zu entgangenen Gewinnen im Vordergrund. Dies führt zu anderen Anlageergebnissen, die nicht zwingend mit einem risikoarmen Wertpapierportfolio vereinbar sind ⇔Tendenz zu einem eher antizyklischen Anlagestil.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XV

Kennzahlen (Fortsetzung):Einteilung von Kennzahlen nach ihrem Informationsinhalt:• Zentralmaße (für Typ III Kennzahlen):

Kennzahlen, die sich auf einen mittleren, für die Ergebnisverteilung gleichsam „repräsentativen“ Wert beziehen: z. B. mathematischer Erwartungswert , Modus oder Median.

• Extremmaße (für Typ I bis III Kennzahlen):Kennzahlen, die sich auf gewisse extreme (besonders gute oder schlechte) Ergebniswerte beziehen: z. B. bestmögliches bzw. schlechtestmögliches Ergebnis, maximales Bedauern oder Fraktile.

• Streuungsmaße (für Typ I bis III Kennzahlen):Kennzahlen, die sich auf die Schwankungsbreite der möglichen Ergebniswerte beziehen: z. B. Variationsbreite, Varianz, Standardabweichung.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XVI

Kennzahlen (Fortsetzung) Zentralmaße:• Mathematischer Erwartungswert μ („Durchschnittswert“):

Arithmetischer Mittelwert einer Ergebnisverteilung mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten als Gewichtungsfaktoren:

e ∙ p e ∙ p ⋯ e ∙ p ∙ mitp s 1.

Beispiel Zentralmaße:

Es gilt: 0 ∙ 0,25 30 ∙ 0,2 40 ∙ 0,15 60 ∙ 0,3 150 ∙ 0,1 .


sj mitp(sj)

s1 mitp(s1)=0,25

s2 mitp(s2)=0,20

s3 mitp(s3)=0,15

s4 mitp(s4)=0,3

s5 mitp(s5)=0,10

a1 0 30 40 60 150

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XVII

Kennzahlen (Fortsetzung) Zentralmaße:• Median: Höchster Ergebniswert, für den die Wahrscheinlichkeit,

mindestens erreicht zu werden, nicht unter 0,5 beträgt.Beispiel Zentralmaße: Der Median liegt hier bei 40.

• Modus: Wahrscheinlichster Wert.Beispiel Zentralmaße: Der Modus liegt hier bei 60.

• Spezialfall:Es existieren keine bzw. gleiche Wahrscheinlichkeiten für alle sj:

– Erwartungswert μ: ∙ ∑ . Beispiel Zentralmaße: μ 56.

– Median: Höchster Ergebniswert, der in mindestens der Hälfte aller sj nicht unterschritten wird. Beispiel Zentralmaße: Median 40.

– Modus: Häufigster Wert.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XVIII

Kennzahlen (Fortsetzung) Extremmaße:• Bestmöglicher Ergebniswert emax:

.

Beispiel Zentralmaße: e 150.

• Schlechtestmöglicher Ergebniswert emin: .

Beispiel Zentralmaße: e 0.

• Fraktilswert fP:Höchster Ergebniswert, für den die Wahrscheinlichkeit mindestens erreicht zu werden, nicht unter einer kritischen Schwelle p liegt.Der Median ist der Fraktilswert f0,5 für die Schwelle p = 0,5.Beispiel Zentralmaße: f0,8 = 0 und f0,2 = 60.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XIX

Kennzahlen (Fortsetzung) Streuungsmaße:• Variationsbreite:

Differenz zwischen maximalem emax und minimalem Ergebnis emin : .

Beispiel Zentralmaße: Die Variationsbreite beträgt 150.• Mittlere absolute Abweichung vom Erwartungswert μi:

∙ .

Absolute Abweichungen aller Einzelwerte vom Erwartungswert werden mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichtet und addiert.Beispiel Zentralmaße:Mittlere absolute Abweichung 0 45 ∙ 0,25 30 45 ∙ 0,240 45 ∙ 0,15 60 45 ∙ 0,3 150 45 ∙ 0,1 30.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XX

Kennzahlen (Fortsetzung) Streuungsmaße:• Varianz : Quadratische Abweichung vom Erwartungswert μi:

∙ .

Beispiel Zentralmaße:σ 0 45 ∙ 0,25 30 45 ∙ 0,2 40 45 ∙ 0,15 60 45 ∙0,3 150 45 ∙ 0,1 1725.

• Spezialfall: bei gleichen Wahrscheinlichkeiten für alle sj:

∙ .

Beispiel Zentralmaße (mit der Annahme von Gleichwahrscheinlichkeiten):σ 0 56 30 56 40 56 60 56 150 562584.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XXI

Kennzahlen (Fortsetzung) Streuungsmaße:• Standardabweichung bzw. Schwankungsbreite oder Streuung:

Wurzel der quadratischen Abweichung vom Erwartungswert μi:

∙ .

Beispiel Zentralmaße: σ σ 1725 41,5.• Spezialfall: bei gleichen Wahrscheinlichkeiten für alle sj:

∙ .

Beispiel Zentralmaße: σ σ 2584 50,8.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Grundmodell XXII

Kennzahlen (Fortsetzung) für stetige Zufallsgrößen:Gegeben ist X als stetig verteilte Zufallsgröße, wobei ihre Wahrscheinlichkeitsdichte f durch die zugehörige Dichtefunktion f(x) beschrieben werden kann:• Erwartungswert E[X] bzw. μX:

∙ .

• Varianz Var[X] bzw. :

∙ ∙ .

• Standardabweichung bzw. :Wurzel der Varianz.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: Grundbegriffe I

Sicherheitsäquivalent:Das Sicherheitsäquivalent für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Ei, welche die finanziellen Konsequenzen der Alternative ai (unter Risiko) beschreibt, entspricht dem sicheren Einkommensbetrag S(ai), den der Entscheidungsträger subjektiv als äquivalent zur risikobehafteten Alternative ai und ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung Ei ansieht.Formal gilt deshalb für eine gegebene PräferenzfunktionΦ:

Φ Φ .Beide Präferenzwert (von und von ) müssen gleich sein.Außerdem: .

als die Differenz zwischen dem Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von ai und dem zugehörigen Sicherheitsäquivalent heißt Risikoprämie.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: Grundbegriffe II

Sicherheitsäquivalent (Fortsetzung):Zwei Deutungen des Sicherheitsäquivalents als subjektive Wertgröße:• Positive Sicht der risikobehafteten Alternative als Mindestbetrag:

Minimaler Preis, für den der Entscheidungsträger bereit ist, auf die Durchführung dieser Alternative zu verzichten bzw. bereit ist, diese Alternative und ihren risikobehafteten Zahlungsstrom zu verkaufen.

• Negative Sicht der risikobehafteten Alternative als Höchstbetrag: Maximale Versicherungsprämie, die der Entscheidungsträger bereit ist zu zahlen, um sich von den möglichen negativen Konsequenzen einer Alternative freizukaufen.

Maximaleinsatz M(ai) als Gegenstück zum Sicherheitsäquivalent:Maximaler Betrag, den der Entscheidungsträger bereit ist, zu zahlen, um eine bestimmte Alternative ai mit ihrem risikobehafteten Zahlungsstrom Ei durchführen zu können.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: Grundbegriffe III

Sicherheitsäquivalent (Fortsetzung):• Beispiel a1 (Beispiel Zentralmaße) für S(a1) als Minimalpreis

(positive Sicht):

Angenommen S a 35 ⇒ π a 45 35 10.• Beispiel a2 für S(a2) als maximale Versicherungsprämie (negative

Sicht bzw. subjektiv als unangenehm bewertete Alternative):

μ2 30.Angenommen S a 35. ⇒ π a 30 35 5.


sj mitp(sj)

s1 mitp(s1)=0,25

s2 mitp(s2)=0,20

s3 mitp(s3)=0,15

s4 mitp(s4)=0,3

s5 mitp(s5)=0,10

a1 0 30 40 60 150

sj mitp(sj)

s1 mitp(s1)=0,50

s2 mitp(s2)=0,25

s3 mitp(s3)=0,10

s4 mitp(s4)=0,10

s5 mitp(s5)=0,05

a2 0 10 20 30 450

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: Grundbegriffe IV

Sicherheitsäquivalent (Fortsetzung):Unterscheidung Sicherheitsäquivalent und Maximaleinsatz:• Sicherheitsäquivalent: Subjektives Entscheidungsproblem, wenn

man eine Alternative ai mit ihrem risikobehafteten Zahlungsstrom Eibereits besitzt und den festen Betrag dazu sucht, für den man auf diesen Besitz verzichten würde.

• Maximaleinsatz: Subjektives Entscheidungsproblem, wenn man eine Alternative ai mit ihrem risikobehafteten Zahlungsstrom Ei nichtbesitzt und den festen Betrag dazu sucht, für den man diesen Besitz erwerben würde.

• Formal gilt deshalb hinsichtlich der PräferenzfunktionenΦ:Sicherheitsäquivalent: Φ Φ .Maximaleinsatz: Φ Φ .


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: Grundbegriffe V

Sicherheitsäquivalent (Fortsetzung):Unterscheidung Sicherheitsäquivalent und Maximaleinsatz:


0

EiAusgangsposition

Sicherheitsäquivalent[Besitz Ei]

AusgangspositionMaximaleinsatz

[Besitz 0]

EndpositionMaximaleinsatz

[Besitz Ei - M(ai)]

EndpositionSicherheitsäquivalent

[Besitz 0 + S(ai)]

S(ai)

M(ai)

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip I

μ-Prinzip bzw. Erwartungswertprinzip:Eindimensionale Entscheidungsregel unter Risiko, welche

verschiedene risikobehaftete Alternativen und damit verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen allein anhand ihrer jeweiligen

Erwartungswerte beurteilt. Es findet also eine Informationsverdichtung (bei gleichzeitigem Informationsverlust) auf eine einzige Größe, d.h.

den zugehörigen Erwartungswert μ statt ⇒μ-Prinzip.• Formal gilt für die Präferenzfunktion Φ beim μ-Prinzip:

Φ ∙ .

• Optimierungskriterium ist dann i.d.R. die Maximierung (manchmal auch die Minimierung):

: Φ .


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip II

μ-Prinzip (Fortsetzung):Sicherheitsäquivalent und Maximaleinsatz (μ-Prinzip):

• Sicherheitsäquivalent:Hier gilt wegen Φ 0 S a Φ Emit Φ E ∑ e ∙ p μsowie Φ 0 S a Φ S a S adann: ∑ e ∙ p .

• Maximaleinsatz:Hier gilt wegen Φ 0 Φ E M amit Φ E M a ∑ e M a ∙ p μ M asowie Φ 0 0dann: ∑ e ∙ p .

Im Rahmen des μ-Prinzips fallen S(ai) und M(ai) also zusammen.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip III

μ-Prinzip (Fortsetzung) - Wiederholungsfall:Wenn das μ-Prinzip auf Entscheidungssituationen angewandt wird, die sich (oftmals) wiederholen, gewinnen• das Gesetz der großen Zahlen (je mehr unabhängige

Beobachtungen stattfinden, desto stärker erfolgt eine Annäherung der Ergebnisse an die tatsächlichen - objektiven Wahrscheinlichkeiten für das beobachtete Ereignis) sowie

• der zentrale Grenzwertsatz (Summen von unabhängigen Zufallsgrößen eines Ereignisses sind approximativ normalverteilt)

an Bedeutung. Es gilt also:Mit einer zunehmenden Zahl an Wiederholungen steigt zugleich die Wahrscheinlichkeit, dass das tatsächlich eintretende Gesamtergebnis in der Nähe seines Erwartungswertes liegt. ⇒Das μ-Prinzip bildet hier grundsätzlich ein sinnvolles Entscheidungskriterium.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 74

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip IV

μ-Prinzip (Fortsetzung) – Portfoliomanagement:Bei der Übertragung des μ-Prinzips auf das Portfoliomanagement käme es zu einer Situation, in der die Entscheidungen zur Assetallokation in einem Portfolio hauptsächlich (oder ausschließlich) eindimensional anhand der Renditen der (risikobehafteten) Wertpapiere getroffen würden, während die Renditeschwankungen unbeachtet blieben!Für die Rendite Ri eines Wertpapiers i pro Periode gilt bekanntlich:

Periodenergebnis AnfangskapitalAnfangskapital

PeriodenergebnisAnfangskapital 1

mit dem Periodenergebnis als Summe aus dem Periodenendkapital und eventuellen Zwischen-Cash-Flows (z.B. Dividenden, Zinsen).Daraus folgt:

Periodenergebnis Anfangskapital ∙ 1 R .


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip V

μ-Prinzip (Fortsetzung) – Portfoliomanagement:Die Rendite RP des Gesamtportfolios P berechnet sich dann als das mit dem jeweiligen relativen Wertpapieranteil xi im Portfolio gewichtete arithmetische Mittel aus den Einzelrenditen Ri der Wertpapiere.Es gilt deshalb:

R ∙ x R ∙ x ⋯ R ∙ x ∙ .

Dabei ist die (relative) Größe xi als Quotient aus dem absoluten Anteil Xieines Assets (in GE) und dem Gesamtportfolio XP (ebenfalls in GE) jeweils zum Periodenanfang definiert. Dies bedeutet:

x 1undxXX .


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip VI

μ-Prinzip (Fortsetzung) – Portfoliomanagement:Beispiel für die Berechnung der Gesamtrendite eines Portfolios:Gegeben sind zu Jahresanfang: Gesamtportfolio = 420; Aktienanteil = 150; Bondanteil = 200; Termingeldanteil = 70. Während des Jahres kam es zu folgenden Renditen: Aktien = 14% (= 21; davon 16 Kursgewinn und 5 Dividende); Bonds = 6% (= 12; davon 2 Kursgewinn und 10 Zinsen); Termingeld = 4% (=2,8). Gesucht ist RP als Gesamtrendite.Es gilt:

R R ∙ x .

0,14 ∙150420 0,06 ∙

200420 0,04 ∙

70420 , 8,52% .

(Alternativ: R 21 12 2,8 420 ,⁄ bei, wie in diesem Beispiel, vorab bekannten Einzelgeldbeträgen.)Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 77

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip VII

μ-Prinzip (Fortsetzung) – Portfoliomanagement:Die (künftige) Rendite eines Wertpapieres lässt sich als zufällige Ziehung einer konkreten Rendite aus einer (stetig verteilten) Grundmenge möglicher Renditerealisationen mit zugehörigen spezifischen Eintrittswahrscheinlichkeiten sehen. Nimmt man zusätzlich an, dass eine solche Ziehung ein unabhängiges Ereignis darstellt, sollte die tatsächlich künftig realisierte Rendite eines Assets normalverteilt um ihren (realen) Erwartungswert herum angeordnet sein.Einer Interpretation der Gesamtrendite eines Portfolios als Anwendung desμ-Prinzips im Wiederholungsfall, etwa indem möglichst viele Assets in dieses Portfolio aufgenommen werden, steht jedoch folgendes Problem entgegen: Eine große Zahl von Assets mit unterschiedlichen Einzelrenditen im Portfolio würde nur dann gemäß dem Gesetz der großen Zahlen zu einem quasi automatischen Ausgleich der Gesamtrenditeschwankungen im Portfolio führen, wenn die Renditen der Wertpapiere unabhängig voneinander sind. Dies ist jedoch nicht notwendigerweise der Fall! Um hier Aussagen treffen zu können, benötigt man Wissen um die Beziehungen zwischen den Einzelrenditen!


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip VIII

μ-Prinzip (Fortsetzung) - Einzelentscheidung:Die Anwendung des μ-Prinzips auf Entscheidungssituationen, die nicht oftmals wiederholt werden können, ist problembehaftet.Beispiel Petersburger Paradoxon: Eine Münze (mit „Kopf“ und „Zahl“ als mögliche Ergebnisse) wird solange geworfen, bis „Kopf“ erscheint. Erfolgt dies beim ersten Wurf, beträgt der Gewinn 2 €, beim zweiten Wurf dann 4 €, beim dritten Wurf 8 € etc.Es gelten:Der Gewinn ist (stets) 2K für das Ergebnis „Kopf“ im K-ten Wurf.Die Zahl der möglichen Wurfrunden (und Ergebnisse) ist unendlich.


p(Kopf) 2 2 2 … 2 ...

Gewinn 2 2 4 2 8 2 … 2 …

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip IX

μ-Prinzip (Fortsetzung) - Einzelentscheidung:Petersburger Paradoxon:Erwartungswert:

e ∙ k?

2 ∙12 4 ∙

14 8 ∙

18 … 2 ∙ 2 1 ∞.

Daraus folgtwegen S a M a μ beim μ−Prinzip:

PetersburgerParadoxon PetersburgerParadoxon ∞.Bei Nutzung des μ-Prinzips müssten daher folgende Aussagen gelten: • Bei einem Maximaleinsatz von ∞ (Ausgangslage Spieler) sollte jeder

bereit sein, für seine Teilnahme als Spieler unendlich viel zu zahlen!• Bei einem Sicherheitsäquivalent von ∞ (Ausgangslage Bank) sollte

keiner bereit sein, auch für hohe Geldbeträge die Bank zu halten! Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 80

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-Prinzip X

μ-Prinzip (Fortsetzung) – Zusammenfassung:Das eindimensionale μ-Prinzip als Entscheidungsregel für (Einzel-) Situationen, die nicht häufig genug wiederholbar sind, kann zu Schwierigkeiten führen. Dies zeigen sowohl das Petersburger Paradoxon als auch die Realität, etwa durch:• Teilnahmen an Glückspielen: Die (Maximal-)einsätze sind hier höher als die

Erwartungswerte der Gewinne.• Abschluss/Existenz von Versicherungen: Die Sicherheitsäquivalente sind

höher als die zu erwartenden Zahlungsströme (Gebühren etc.).Für oftmals wiederholbare Entscheidungssituationen dagegen kann die Verwendung des Erwartungswertes (Blickwinkel von Spielbanken, Versicherungsunternehmen) dagegen durchaus eine sinnvolle Regelung sein.Allerdings haben die Überlegungen zur Nutzung der erwarteten Rendite als einzig verwendete Regel im Portfoliomanagement gezeigt, dass zusätzliche, ergänzende Kriterien, welche die Renditeschwankungen einzelner Wertpapiere in die Betrachtung mit einbeziehen, auch hier wünschenswert sind.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip I

μ-σ-Prinzip als zentralemehrdimensionale Entscheidungsregel:

Grundidee:Mehrdimensionale Entscheidungsregel unter Risiko, welche

verschiedene risikobehaftete Alternativen und damit verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen sowohl anhand ihrer jeweiligen

Erwartungswerte als auch ihrer jeweiligen Standardabweichungen als Schwankungsmaß beurteilt. Es findet also eine Informationsverdichtung

(bei gleichzeitigem Informationsverlust) auf zwei Größen, d.h. den zugehörigen Erwartungswert μ (Zentralmaß) und die zugehörige

Standardabweichung σ (Streuungsmaß) statt ⇒μ-σ-Prinzip.Formal gilt für die Präferenzfunktion Φ beim μ-σ-Prinzip:

Φ Φ ; .


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip II

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Grundidee:Optimierungskriterium ist dann i.d.R. die Maximierung: : Φ .Hinsichtlich der Abhängigkeit der Präferenzfunktion Φ von μ erscheint folgende Annahme plausibel:

Φ ;.

Hinsichtlich der Abhängigkeit der Präferenzfunktion Φ von σ hingegen sind mehrere sinnvolle Annahmen denkbar:

Φ ;entspricht .

Φ ;entspricht .

Φ ;entspricht ä μ−Prinzip .


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip III

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Grundidee:In einer Isoquantendarstellung entspricht Risikoscheu steigenden Indifferenzlinien, während im Gegensatz dazu Risikofreude durch fallende Indifferenzlinien gekennzeichnet ist:


σ

Φ3

Φ1Φ2

Es gilt Φ1 > Φ2 > Φ3.

σ

μμ

Φ1Φ2

Φ3

AB CD

0 0

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip IV

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Grundidee:In einer Isoquantendarstellung entspricht Risikoneutralität μ−Prinzipsenkrecht verlaufenden Indifferenzlinien:


σ


μ

Φ3

0

Φ2 Φ1

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip V

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Sicherheitsäquivalent:Da das Sicherheitsäquivalent S a zu einer (unsicheren) Alternative aidefinitionsgemäß den gleichen Präferenzwert wie diese Handlung besitzt (formal: Φ 0 S a Φ E bzw. Φ S a Φ E ), muss S a deswegen auf der gleichen Φ-Isoquante (Indifferenzlinie) liegen. Konkret ist dies wegen σS a 0 stets der Schnittpunkt der Isoquante mit der x-Achse!

Im Gegensatz zum „einfachen“ μ-Prinzip lassen sich mit dem μ-σ-Prinzip sowohl die Versicherungsbereitschaft für negative Ereignisse als auch die Teilnahme an Glückspielen (positive Ereignisse) begründen:Beispiel:• Versicherungsereignis a1 mit folgenden (erwarteten) Cash Flows:

μ a 200undσ a 660 bei Risikoscheu: Φ ; .

• Glückspiel a2 mit folgenden (erwarteten) Cash Flows:μ a 5undσ a 53 bei Risikofreude: Φ ; .


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip VI

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Sicherheitsäquivalent:Beispiel - Isoquantendarstellung:• Versicherung a1 (mit μ a 200; σ a 660) ⇒ .• Glückspiel a2 (mit μ a 5; σ a 53) ⇒ .


σ σ

μμ

Φ a

0 0-200-400

300

600 Φ a

-10

40

20

20 40

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip VII

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Formen:Mögliche Präferenzfunktionen Φ μ; σ für das μ-σ-Prinzip:1 Φ ; ∙ . (Isoquanten hier als Geraden).2 Φ ; ∙ .

Mit a als Parameter für die individuelle Risikopräferenz. Dazu gilt:• Für a > 0 Risikoscheu: ; a für1. bzw. 2 ∙ a ∙ σ für2. .

• Für a < 0 Risikofreude: ; a für1. bzw. 2 ∙ a ∙ σ für2. .

In der Praxis findet sich häufig eine Vorgehensweise nach 1. oder 2., indem für risikobehaftete Kapitalanlagen ein (subjektiver) Risikozuschlag auf die erwartete Rendite μder Investition erfolgt, z.B. Equity Premium von Aktien im Vergleich zu Bonds. Je risikobehafteter die Anlage, desto höher ist dabei der Risikozuschlag (besonders hoch z.B. im Bereich des Venture Capital ~ 30%).

3 Φ ; ∙ mit a < 0 Risikoscheu; a > 0 -freude.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip VIII

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Formen:Logische Probleme der beiden (praktisch plausiblen) Präferenzfunktionen:Φ ; ∙ und Φ ; ∙ :Beispiel:

Allgemein gilt: ∑ ∙ und ∑ ∙ .0 ∙ 0,25 30 ∙ 0,2 40 ∙ 0,15 60 ∙ 0,3 150 ∙ 0,1 .0 45 ∙ 0,25 30 45 ∙ 0,2 40 45 ∙ 0,15 60 45 ∙ 0,3

150 45 ∙ 0,1 ⇒ 1725 , .0 ∙ 0,25 30 ∙ 0,2 40 ∙ 0,15 60 ∙ 0,3 100 ∙ 0,1 .0 40 ∙ 0,25 30 40 ∙ 0,2 40 40 ∙ 0,15 60 40 ∙ 0,3

100 40 ∙ 0,1 ⇒ 900 .Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 89

sj mitp(sj)

s1 mitp(s1)=0,25

s2 mitp(s2)=0,20

s3 mitp(s3)=0,15

s4 mitp(s4)=0,3

s5 mitp(s5)=0,10

a1 0 30 40 60 150a3 0 30 40 60 100

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip IX

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Formen:Beispiel: Verstoß gegen Dominanzüberlegungen:(1) Präferenzfunktion Φ ; ∙ :

Für a1 gilt: Φ a1 45 a ∙ 41,5.Für a3 gilt: Φ a3 40 a ∙ 30.Φ a1 = Φ a3 für 45 a ∙ 41,5 40 a ∙ 30 ⇒ ⁄ .Φ a1 > Φ a3 für 45 a ∙ 41,5 40 a ∙ 30 ⇒ ⁄ .Φ a1 < Φ a3 für 45 a ∙ 41,5 40 a ∙ 30 ⇒ ⁄ .

(2) Präferenzfunktion Φ ; ∙ :Für a1 gilt: Φ a1 45 a ∙ 1725.Für a3 gilt: Φ a3 40 a ∙ 900.Φ a1 = Φ a3 für 45 a ∙ 1725 40 a ∙ 900 ⇒ ⁄ .Φ a1 > Φ a3 für ⇒ ⁄ und Φ a1 < Φ a3 für ⁄ .

Nur für a 10 23⁄ bzw a 1 165⁄ wäre gemäß (1) und (2) Alternative a1 besser als a3. Betrachtet man beide Zahlungsreihen, dominiert a1 bei allen möglichen Entwicklungen a3 (Zustandsdominanz). Damit ist a1 prinzipiell a3 vorzuziehen!Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 90

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip X

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Formen: Sicherheitsäquivalent:Beispiel: Sicherheitsäquivalent für Zahlungsreihe a1 und a = 0,005:Allgemein: Φ bzw. Φ Φ bzw. Φ .

Für gilt definitionsgemäß: und .(1)Präferenzfunktion Φ ; ∙ :Für a1 gilt: Φ a1 Φ μ ; σ 45 0,005 ∙ 41,5 45 0,2075 44,7925.Für gilt: Φ S a Φ μ ; σ S a a ∙ σ S a ∙ 0

≝ , .(2)Präferenzfunktion Φ ; ∙ :Für a1 gilt: Φ a1 Φ μ ; σ 45 0,005 ∙ 1725 45 8,625

36,375.Für gilt: Φ S a Φ μ ; σ S a a ∙ σ

S a ∙ 0 ≝ , .Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 91

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip XI

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Formen: Sicherheitsäquivalent: Beispiel: Sicherheitsäquivalent für Zahlungsreihe a1 und a = 0,005:Allgemein: Φ bzw. Φ Φ bzw. Φ .

Für gilt definitionsgemäß: und .

(3)Präferenzfunktion Φ ; ∙ :Für a1 gilt: Φ a1 Φ μ ; σ 45 0,005 ∙ 2025 1725

45 1,5 43,5.Für gilt: Φ S a Φ μ ; σ

S a 0,005 ∙ S a σS 0,005 ∙ S ≝ 43,5 .

⇒ S 200 ∙ S 8700 0 ⇒ S , .

⇒ S(1) = 63,94 als die plausible Größe (nicht S(2) = 136,06).


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip XII

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Formen: Maximaleinsatz:Beispiel: Maximaleinsatz für Zahlungsreihe a1 und a = 0,005:Allgemein: Φ Φ bzw.Φ .

ist deshalb der Betrag, für den nachstehende risikoreiche Zahlungsreihe die gleiche Präferenz wie das sichere Nulleinkommen 0 besitzt.

Für μ* und σ* dieser Reihe gilt: ∗ und ∗ .Außerdem: und sowie Φ 0 Φ ; .(1)Präferenzfunktion Φ ; ∙ : Für gilt:Φ a M a Φ μ M a ; σ 45 M a 0,005 ∙ 41,5 ≝ 0.

⇒ 45 0,2075 , .


sj mitp(sj)

s1 mitp(s1)=0,25

s2 mitp(s2)=0,20

s3 mitp(s3)=0,15

s4 mitp(s4)=0,3

s5 mitp(s5)=0,10

0 M a 30 M a 40 M a 60 M a 150 M a

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip XIII

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Formen: Maximaleinsatz:Beispiel: Maximaleinsatz für Zahlungsreihe a1 und a = 0,005:(2)Präferenzfunktion Φ ; ∙ : Für gilt:Φ a M a Φ μ M a ; σ 45 M a 0,005 ∙ 1725 ≝ 0.⇒ 45 8,625 , .(3)Präferenzfunktion Φ ; ∙ : Für gilt:Φ a M a Φ μ M a ; σ

45 M a 0,005 ∙ 45 M a 172545 M a 0,005 ∙ M a 90 ∙ M a 300

43,5 0,55 ∙ M a 0,005 ∙ M a ≝ 0.⇒ M a 110 ∙ M a 8700 0.

⇒ M a , .⇒ (1) = 53,28 als die plausible Größe (nicht M a (2) = -163,28).

Für (1) und (2): . Für (3) dagegen: .


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: μ-σ-Prinzip XIV

μ-σ-Prinzip (Fortsetzung) – Zwischenfazit:Das μ-σ-Prinzip repräsentiert eine zweidimensionale Entscheidungsregel, welche neben dem Erwartungswert einer risikobehafteten Zahlungsreihe auch deren Streuung in Form der Standardabweichung σ bzw. der Varianz σ2 sowie die subjektiven Vorlieben des jeweiligen Akteurs im Sinne risikoscheuen oder risikofreudigen Verhaltens berücksichtigt.Wohl zeigt eine genauere Betrachtung, dass manche Präferenzfunktionen als konkrete Realisationen dieses Prinzips unter gewissen Annahmen zu entscheidungslogischen Problemen führen können. Dennoch erscheint seine Nutzung insbesondere für Einzelentscheidungen intuitiv vernünftiger und auf jeden Fall von deutlich höherer Aussagekraft als z.B. eine eindimensionale Entscheidungsregel wie etwa die reine Erwartungswertmaximierung.Da gerade im Portfoliomanagement Rendite und Sicherheit einer Wertpapieranlage unter der Zusatzannahme risikoscheuer Anleger zentrale Kriterien bilden, liegt es daher nahe, speziell im Portfoliomanagement (bzw. ihrer Theorie) ein wichtiges Anwendungsfeld für das μ-σ-Prinzip zu sehen.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 95

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: Ergänzungen I

Zweidimensionale Entscheidungsregeln mitExtremmaßen:

Als Alternativen zum μ-σ-Prinzip bieten sich andere zweidimensionale Entscheidungsregeln an, die ebenfalls auf dem Grundsatz beruhen, ein Zentralmaß mit einem Unsicherheitsmaß zu kombinieren. Während als Zentralmaß i.d.R. weiterhin der Erwartungswert μ Verwendung findet, werden anstelle eines Streuungsmaßes Extremmaße verwendet. Ein Beispiel dafür soll nachstehend vorgestellt werden:• μ-emin-Prinzip: Neben μ integriert dieses Prinzip also noch das schlechtestmöglicheErgebnis emin in den Prozess der Entscheidungsbildung. Es lässt sich in zwei unterschiedlichen Ausprägungsformen darstellen, einerseits als ausschließliche Extremierungsregel, andererseits als gemischte Regel mit sowohl Extremierung als auch Satisfizierung als Nebenbedingung.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 96

Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Unter Risiko: Ergänzungen II

Entscheidungsregeln mit Extremmaßen (Fortsetzung):1. μ-emin-Prinzip als Extremierungsregel (Hodges-Lehmann-Regel):

: Φ :Φ ; λ ∙ λ ∙ .Beide Kennzahlen μ und emin finden sich in der zu maximierenden Präferenzfunktion wieder. Zusätzlich beschreibt λ einen subjektiven Gewichtungsparameter, der die Relevanz jeder Kennzahl für den Präferenzwert wiedergibt. Für die beiden Extremfälle λ 1 bzw. λ 0 Prinzip entspricht das Hodges-Lehmann-Prinzip damit dem μ-Prinzip bzw. dem Mini-Max-Prinzip.2. μ-emin-Prinzip als gemischte Regel:

: Φ :Φ und .steht dabei für das minimal unbedingt zu erreichende Ergebnis.

Kritik und mögliche Anwendung: Eine Kritik wird, vergleichbar dem Mini-Max-Prinzip, vor allem die einseitige Ausrichtung am negativen Extremwert betonen. Bei Zahlungsströmen mit einer geringen Variation der Ergebnisse und z.B. einer geringen Risikotragfähigkeit kann die Beachtung dieser Entscheidungsregel jedoch auch im Portofoliomanagement manchmal sinnvoll sein.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 97

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory I

Klassische Portfoliotheorie als Anwendungsfalldes μ-σ-Prinzips – Einführung:

Die hauptsächlich in den 1950-er Jahren durch die Arbeiten von Markowitz geprägte KPT versucht vor allem zwei Problembereiche auf dem Gebiet der Wertpapieranlage bzw. des Portfoliomanagements zu lösen:1. Die KPT möchte eine theoretische Begründung für das empirische

Phänomen geben, dass (risikoscheue) Anleger normalerweise verschiedene Wertpapiere in ihr Portfolio aufnehmen und durch diese Diversifikation eine Risikostreuung erreichen möchten.

2. Die KPT möchte zugleich eine Handlungsempfehlung abgeben, wie ein rational handelnder Anleger einer derartige Diversifikation gestalten, d.h. die (für ihn) optimale Zusammensetzung des Portfolios wählen soll.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory II

KPT – Einführung (Fortsetzung):Vgl. zu den Kennzeichen der KPT auch die Ausführungen in Kapitel 02 – Portfoliomanagement (unter Portfoliotheorie – Vorbemerkung).

Weitere wichtige Merkmale der KPT:1. Der Planungszeitraum ist auf eine Zweizeitzonenbetrachtung

beschränkt. Dies bedeutet, dass nur einmalig die anfängliche Zusammensetzung des Portfolios im ersten Zeitpunkt t = 0 festgelegt wird. Nach dieser Entscheidung wartet der Investor ab, wie sich die Wertpapierrenditen im zweiten Zeitpunkt t = 1 tatsächlich realisieren.

2. Die Renditen der einzelnen Wertpapiere sind sowohl diskret als auch risikobehaftet, wobei ihre Wahrscheinlichkeitsparameter, d.h. die zugehörigen Erwartungswerte und Standardabweichungen der Einzelrenditen bereits anfänglich in t = 0 bekannt sind.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory III

KPT – Einführung (Fortsetzung):3. Die Entscheidung in t = 0 betrifft das Gewicht, d.h. den relativen

Anteil, mit der die einzelnen Wertpapiere in das Portfolio eingehen. Deshalb sind zum Anfangszeitpunkt nicht nur die Renditen der Einzelanlagen Zufallsparameter, sondern auch die Gesamtrendite bildet eine derartige Zufallsgröße.

4. Der Nutzen des Investors wird allein durch die Renditehöhe des Gesamtportfolios in t = 1 bestimmt. Spezielle Präferenzen hinsichtlich einzelner Wertpapiere und damit hinsichtlich der Zusammensetzung des Portfolios bestehen dagegen nicht. Auch die Entwicklung in der Zwischenperiode 0 < t < 1 ist bedeutungslos.

Insgesamt entspricht dieses Portfoliomodell deshalb strukturell einem typischen zweidimensionalen Modell aus der Entscheidungstheorie unter Risiko. Entscheidungstheoretische Überlegungen, die vor allem das μ-σ-Prinzip betreffen, können hier folglich angewendet werden. Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 100

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory IVPortfoliorisiko und Wertpapierrisiko :

Beispiel:Ein Anleger möchte zu Beginn des Jahres t = 0 insgesamt 10000 € in Wertpapieren anlegen. Als Kunde eines Börseninformationsdienstes bevorzugt er (Stock-)Picking als Anlagestil. Infrage kommen dabei die 2 Aktien a1 und a2. Deren Renditen sind diskrete standardnormalverteilte Zufallsgrößen, wobei die tatsächlichen Jahresrenditen der letzten fünf Jahre (t = - 5, - 4, …, -1) als gleichgewichtete Datengrundlage für die reale (und damit auch künftige) Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Einzelrenditen dienen.Dieser Ausgangssituation entspricht folgendes Entscheidungsfeld:


sj mitp(sj)

s1 mitp(s1)=0,2

s2 mitp(s2)=0,2

s3 mitp(s3)=0,2

s4 mitp(s4)=0,2

s5 mitp(s5)=0,2

Periode t t = - 5 t = - 4 t = - 3 t = - 2 t = - 1a1 0 -10 20 5 10a2 45 5 25 15 -15

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory V

Portfoliorisiko (Fortsetzung) - Beispiel:Wertpapierrenditen:

Allgemein gilt hier: ∙ ∑ und ∙ ∑ . Daraus folgt:

a1: ∙ 25 ∙ 5 15 15 0 5 ∙ 500 .

a2: ∙ 75 ∙ 30 10 10 0 30 ∙ 2000 .

Da eine Anlage allein in a2 wohl einen hohen Erwartungswert aber zugleich auch hohe Schwankungen in der Rendite verspricht, soll der Schwerpunkt der Anlage in a1 getätigt werden. Konkret soll der Portfolioanteil von a1 90% betragen, a2 hingegen soll lediglich mit dem Gewichtungsfaktor 10% darin vertreten sein.Gesucht ist folglich die Rendite μP des Gesamtportfolios P sowie die zugehörige Renditeschwankung σP.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory VI

Portfoliorisiko (Fortsetzung):Portfoliorendite allgemein:Mit ePj als der konkreten Portfoliorendite für ein sj (mit j = 1, 2, …, n) sowie μPals Erwartungswert und σP

2 als Varianz davon gilt zunächst:

∙ und ∙ ∙ .

Mit x1 bzw. x2 als den Anteilen von a1 bzw. a2 am Portfolio und e1j bzw e2j als ihren Renditen für ein sj gilt außerdem:

∙ ∙ .Wenn die Portfoliorendite für einen bestimmten Zustand sj dem mit den jeweiligen Anteilen gewichteten Durchschnitt der Einzelrenditen entspricht, muss dies auch für den Erwartungswert der Portfoliorendite μ zutreffen:

∙ ∙ .


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory VII

Portfoliorisiko (Fortsetzung) - Beispiel:Aus den allgemeinen Aussagen zur Portfoliorendite folgt:Wegen e x ∙ e x ∙ e gilt:

Das Gesamtportfolio weist dann nachstehende Merkmale auf:• x ∙ μ x ∙ μ 0,9 ∙ 5 0,1 ∙ 15 .• ∑ e ∙ p μ bzw. ∙ ∑ e μ fürp const.

∙ 4,5 8,5 20,5 6 7,5 6 ∙ 605 36 .⇒ , ( d.h. < als der gewogene Durchschnitt aus den Einzel-σ).P hat, trotz der Beimischung von a2, damit ein höheres μ und zugleich ein niedrigeres σ als a1. Für alle risikoscheuen Anleger gilt gemäß dem μ-σ-Prinzip deshalb Φ Φ a1 unabhängig vom subjektiven Grad der Risikoscheu.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 104

sj mit p(sj) p(s1)=0,2 p(s2)=0,2 p(s3)=0,2 p(s4)=0,2 p(s5)=0,2a1 0 -10 20 5 10a2 45 5 25 15 -15

P (x1 = 0,9; x2 = 0,1) 4,5 - 8,5 20,5 6 7,5

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory VIII

Portfoliorisiko (Fortsetzung) - Korrelation:Das vorhergehende Beispiel hat gezeigt, dass die teilweise Substitution eines risikoarmen Wertpapiers in einem Portfolio durch ein per se risikoreicheres zweites Wertpapier zu einem (neuen) Mischportfolio führen kann, dessen Risiko (bei zugleich höherer Renditeerwartung) sogar kleiner ist als das des ursprünglichen, risikoarmen Wertpapiers.Offensichtlich kommt es unter gewissen Bedingungen im Portfolio zu einer Renditesteigerung und Risikominderung durch den partiellen Austausch eines risikoarmen gegen ein risikoreiches Asset.Die Ursache für diesen Sachverhalt liegt in der Korrelation zwischen den einzelnen Wertpapieren, die durch den Korrelationskoeffizientennach Pearson ρ formal beschrieben werden kann. Diese Größe ρbildet ein auf den Wertebereich 1; 1 standardisiertes Maß dafür, in welchem Umfang zwei unabhängige Zufallsvariablen gleichartig auf Veränderungen der Umweltzustände reagieren.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 105

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory IX

Portfoliorisiko (Fortsetzung) - Korrelation:Der Korrelationskoeffizient nach Pearson beschreibt einen linearen Zusammenhang zwischen intervallskalierten, normalverteilten Größen.Formal gilt für die Korrelation zweier Wertpapiere:

,,

∙

mit , ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ .

Für die Varianz des Portfolios aus diesen Wertpapieren gilt deshalb:

e ∙ p μ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ , .

(Mit e x ∙ e x ∙ e und μ x ∙ μ x ∙ μ eingesetzt.)Beachte dagegen: μ x ∙ μ x ∙ μ ⇒ μ ist unabhängig von ρ , !


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory X

Portfoliorisiko (Fortsetzung) - Korrelation:Beispiel einer vollständig positiven Korrelation mit , :

Es gilt weiterhin für a1 sowie für a2 .

⇒ , e ∙ e ∙ p μ ∙ μ15 ∙ 150 900 75 250 75 .

⇒ ,cov ,σ ∙ σ

20010 ∙ 20 .

⇒Für , und , folgtdaraus:x ∙ σ x ∙ σ 2 ∙ x ∙ x ∙ σ ∙ σ ∙ ρ , 81 4 2 ∙ 0,09 ∙ 200 .

⇒ gewogenerDurchschnittausdenEinzel σund x ∙ μ x ∙ μ unverändert .


p(sj) p(s1)=0,2 p(s2)=0,2 p(s3)=0,2 p(s4)=0,2 p(s5)=0,2a1 0 -10 20 5 10a2 5 -15 45 15 25

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XI

Portfoliorisiko (Fortsetzung) - Korrelation:Beispiel einer vollständig negativen Korrelation mit , :


⇒ , e ∙ e ∙ p μ ∙ μ15 ∙ 450 300 75 50 75 .

⇒ ,cov ,σ ∙ σ

20010 ∙ 20 .

⇒Für , und , folgtdaraus:x ∙ σ x ∙ σ 2 ∙ x ∙ x ∙ σ ∙ σ ∙ ρ , 81 4 2 ∙ 0,09 ∙ 200 .

⇒ und x ∙ μ x ∙ μ unverändert .


p(sj) p(s1)=0,2 p(s2)=0,2 p(s3)=0,2 p(s4)=0,2 p(s5)=0,2a1 0 -10 20 5 10a2 25 45 -15 15 5

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XII

Portfoliorisiko (Fortsetzung) - Korrelation:Beispiel ohne Korrelation mit , (≙ursprüngliches Beispiel):


⇒ , e ∙ e ∙ p μ ∙ μ15 ∙ 50 500 75 150 75 .

⇒ ,cov ,σ ∙ σ

010 ∙ 20 .

⇒Für , und , folgtdaraus:x ∙ σ x ∙ σ 2 ∙ x ∙ x ∙ σ ∙ σ ∙ ρ , 81 4 85.

⇒ , unverändert und x ∙ μ x ∙ μ unverändert .


p(sj) p(s1)=0,2 p(s2)=0,2 p(s3)=0,2 p(s4)=0,2 p(s5)=0,2a1 0 -10 20 5 10a2 45 5 25 15 -15

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XIII

Portfoliorisiko – Bestimmung (anhand der Korrelation):Allgemein gilt bekanntlich für ein beliebiges , :

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ , .1. Für , (vollständig positive Korrelation) folgt:Wegen σ x ∙ σ x ∙ σ 2 ∙ x ∙ x ∙ σ ∙ σ ∙ ergibt sich:

∙ ∙ ⇒ ∙ ∙ .Eine derartige Zusammenfügung positiv korrelierter Einzelrisiken in einem Portfolio wird manchmal Risiko(ak)kumulation genannt.2. Für , (vollständig negative Korrelation) folgt:Wegen σ x ∙ σ x ∙ σ 2 ∙ x ∙ x ∙ σ ∙ σ ∙ ergibt sich:

∙ ∙ ⇒ ∙ ∙ . ∙ ∙ fürx ∙ σ x ∙ σ .

∙ ∙ fürx ∙ σ x ∙ σ .Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 110

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XIV

Portfoliorisiko – Bestimmung (Fortsetzung):Zu 2. , :Die Kombination von zwei Einzelrisiken (Assets) mit einer vollständig negativen Korrelation, so dass bei geeigneter Mischung sich negative und positive Entwicklungen (teil)kompensieren, wird häufig auch als Hedging bezeichnet (gleichzeitiges Eingehen von Long- und Short-Positionen).Beispiel:Ausgangspunkt ist ein Warenexportgeschäft, das zu einer Forderung von z.B. 1 Mio. US $ führt. Diese Forderung wird jedoch erst in 6 Monaten fällig (Long-Position). Durch Verkauf eines gleich hohen Betrages von 1 Mio. US $ als Termingeschäft in ebenfalls 6 Monaten (Short-Position) kann diese Forderung gegen das Risiko einer künftigen Wechselkursschwankung zwischen € und US $ abgesichert werden.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XV

Portfoliorisiko – Bestimmung (Fortsetzung):3. Für , (keinerlei Korrelatation) folgt:Wegen σ x ∙ σ x ∙ σ 2 ∙ x ∙ x ∙ σ ∙ σ ∙ ergibt sich:

∙ ∙ ⇒ ∙ ∙ .Eine derartige Zusammenfügung nicht miteinander korrelierter Einzelrisiken in einem Portfolio wird oftmals Risikodiversifikation bzw. Risikostreuung im engeren Sinn genannt.Allgemein gilt für , und , ∈ ; stets:

x ∙ σ x ∙ σ ∙ ∙ .Außer für die Grenzfälle x1 = 1 bzw. x2 = 1 ist die Risikostreuung des gemischten Portfolios bei ρ , 0immer kleiner als der gewichtete Durchschnitt der wertpapierspezifischen Risikostreuungen.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XVIPortfoliorisiko – Diagramm der Portfoliolinien:

Für das Beispiel eines Zweiwertpapierportfolios mit a1 und a2 kann man den Anteil x1 von a1 sukzessive zwischen 1 und 0 verändern. Analog wegen x2 = 1 - x1 wird gleichzeitig x2 ebenfalls sukzessive zwischen 0 und 1 variiert. Auf diese Weise erhält man eine Folge unterschiedlicher μ-σ-Kombinationen.Diese lassen sich in einem μ-σ-Koordinatensystem (mit μ als der x-Achse und σ als der y-Achse) graphisch darstellen und werden dann Portfoliolinien genannt.Der konkrete Verlauf einer solchen Portfoliolinie hängt dabei nicht nur von den jeweiligen Wertpapiereigenschaften, sondern gleichzeitig auch von ihrer Beziehung zueinander, d.h. vom Korrelationskoeffizient ρ1,2ab. Für jeden Korrelationskoefizienten ρ1,2 zwischen +1 und -1 ergeben sich (bei Konstanz der wertpapiereigenen Parameter μ und σ) folglich unterschiedliche Portfoliolinien. Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 113

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XVII

Portfoliorisiko – Portfoliolinien (Fortsetzung):


σ

μ0 10

20

5

,

15

15

5

10 X

X

Amit

x1 = 1

Bmit

x2 = 1

C(perfektes Hedging)

mitx1 = ⅔ und x2 = ⅓

,X

X

X

X X XX

XX

D(Minimum-Varianz-Portfolio)

mitx1 = 0,8 und x2 = 0,2

X

,

E mit

x1 = 0,9 und x2 = 0,1

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XVIII

Portfoliorisiko – Portfoliolinien (Fortsetzung):• Ergänzung zur Portfoliolinie im Beispiel mit , :Punkt C als perfektes Hedging: μ 8,33undσ 0.Es gilt hier allgemein: σ x ∙ σ x ∙ σ 0.⇒x ∙ σ x ∙ σ bzw.x ∙ σ 1 x ∙ σ wegenx 1 x .⇒ eingesetztσ 10undσ 20⇒ und .

• Ergänzung zur Portfoliolinie im Beispiel mit , :Punkt D als Minimum-Varianz-Portfolio von : μ 7undσ 8,94.Es gilt hier allgemein: σ x ∙ σ x ∙ σ .Gesucht ist das Minimum von σ bzw. σ .⇒ 0mitx 1 x ⇒2 ∙ x ∙ σ 2 ∙ 1 x ∙ σ 0.

⇒ ∙∙ ∙

eingesetztσ 10undσ 20⇒ und .


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XIX

Portfoliorisiko – Portfoliolinien (Fortsetzung):• Für eine Korrelation , gilt allgemein:Wenn in einem Portfolio aus zwei Wertpapieren beide Assets a1 und a2 vollständig positiv miteinander korreliert sind, lässt sich die Rendite μPdieses Portfolios nur erhöhen, wenn zugleich eine korrespondierende Steigerung des Risikos σP im Portfolio gleichen Umfangs akzeptiert wird. Erwartete Rendite und Risiko steigen hier immer proportional, denn sowohl μP als auch σP bilden den mit ihrem jeweiligen Anteil im Portfolio gewichteten Durchschnitt der Einzelrenditen bzw. Durchschnitt der Einzelrisiken.Formal gilt dazu:

∙ ∙ .∙ ∙ .

Die zugehörige Portfoliolinie bildet eine steigende Gerade!


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XX

Portfoliorisiko – Portfoliolinien (Fortsetzung):• Für eine Korrelation , gilt allgemein:Wenn in einem Portfolio aus zwei Wertpapieren beide Assets a1 und a2 vollständig negativ miteinander korreliert sind, kann die erwartete Rendite μP dieses Portfolios zunächst erhöht und zugleich das Risiko σPgesenkt werden, indem a1 sukzessive durch a2 ersetzt wird. Dies lässt sich so lange fortsetzen bis der Punkt C eines perfekten Hedging erreicht ist, bei dem das Portfoliorisiko σP null beträgt. Hier gleichen sich die (gegenläufigen) Schwankungen beider Assets genau vollständig aus, so dass diese Mischung von Wertpapieren völlig risikofrei ist.Nach C ist eine weitere Steigerung von μP nur möglich, wenn zugleich eine überproportionale Steigerung von σP akzeptiert wird.Die zugehörige Portfoliolinie bildet einen Winkel mit einer zunächst fallenden Geraden sowie anschließend einer steigenden Geraden!


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXI

Portfoliorisiko – Portfoliolinien (Fortsetzung):• Für eine Korrelation , ; gilt allgemein:Wenn in einem Portfolio aus zwei Wertpapieren beide Assets a1 und a2 im Bereich von ρ1,2 > - 1 und ρ1,2 < + 1 miteinander korreliert sind, liegt die zugehörige Portfoliolinie stets im Bereich zwischen der oberen Grenzgeraden für ρ , 1sowie dem unteren Grenzwinkel für ρ , 1.Es handelt sich dabei um eine konvex gekrümmte Kurve!Diese Kurve fällt um so „bauchiger“ aus und liegt um so näher am unteren Grenzwinkel, je stärker ρ1,2 sich seinem unteren Grenzwert – 1 annähert. Nähert sich ρ1,2 dagegen seinem oberen Grenzwert + 1 an, führt dies zu einer abnehmenden Krümmung bzw. zu einer Streckung der Portfoliokurve, so dass sie in diesem Fall einer Geraden immer ähnlicher wird.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXII

Mischportfolio mit einer sicheren Anlage:In Abänderung des bisherigen Beispiels soll jetzt das risikobehaftete Wertpapier a2 durch eine vollständig sichere Anlage a3 mit μ3 = 1% und σ3 = 0 (z.B. Sparbuch) ersetzt werden. Betrachtet wird also ein Portfolio aus den beiden Anlagen a1 und a3.Es gelten dabei für Portfoliorendite μP und Portfoliorisiko σP folgende Zusammenhänge:1. ∙ ∙ (unverändert).2. x ∙ σ x ∙ σ 2 ∙ x ∙ x ∙ σ ∙ σ ∙ ρ ,

∙ für .Das Portfoliorisiko wird nur noch durch das Risiko σ1 von Wertpapier a1 sowie seinem relativen Anteil x1 am Portfolio bestimmt.Die zugehörige Portfoliolinie ist eine steigende Gerade!


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXIII

Mischportfolio mit einer sicheren Anlage (Fortsetzung):


σ

μ0 5

10

5

X

X Amit x1 = 1

Bmit x3 = 1

X Portfolio aus

x1 = 0,5 und x3 = 0,5⇒μP 3 und 5

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXIV

Portfolio mit mehr als zwei Wertpapieren:Für ein Portfolio mit m einzelnen Wertpapieren ai (i = 1, 2, …, m) gelten allgemein folgende Regeln für Portfoliorendite μP und Portfoliorisiko σP :

∙ .

(μP bleibt weiterhin der anteilsmäßig gewichtete Durchschnitt der Einzelrenditen.)Mit ρi,j als dem Korrelationskoeffizienten zweier beliebiger Wertpapiere i und j:

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ , .

Zusammengefasst mit ρi,i = 1:

∙ ∙ ∙ ∙ , .


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXV

Portfolio mit mehr als zwei Wertpapieren (Fortsetzung):


σ

μ0

X

X

X

Portfolios aus a1 und a2

a1

a2

Xa3

X

X

X

X

X Portfolios aus a1 und a3

X

XX

Portfolios aus a2 und a3

XX

X

X

VerschiedenePortfolios

aus a1 und a2 und a3

X

X

Minimum-Varianz-Portfolio (MVP)

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXVIEffiziente Portfolios (risikobehafteter) Wertpapiere:

Ein Portfolio P1 mit der Rendite μP1 und dem Risiko σP1 dominiert ein zweites Portfolio P2 mit der Rendite μP2 und dem Risiko σP2:• Wenn P1 bei gleichem oder geringerem Portfoliorisiko eine höhere

Portfoliorendite als P2 aufweist. Es gilt in diesem Fall:und .

• Wenn P1 bei gleicher oder höherer Portfoliorendite ein geringeres Portfoliorisiko aufweist. Es gilt in diesem Fall:

und .Ein Portfolio P1 wird als effizient bezeichnet, wenn es kein anderes Portfolio P2 gibt, das P1 dominiert.Nicht effiziente Portfolios auf der Gegenseite werden stets durch mindestens ein anderes Portfolio dominiert.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXVII

Effiziente Portfolios (Fortsetzung):


σ

μ0

X

X

X

a1

a2

Xa3

X

X

X

X

X

X

XX

XX

X

X

EffizientePortfolios

aus a1 und a2 und a3

X

XNicht effiziente

Portfolios aus a1 und a2 und a3

MVP

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXVIII

Effiziente Portfolios (Fortsetzung):Durch die Einbeziehung der Möglichkeit, ein Portfolio aus mehr als zwei Wertpapieren zu bilden, kann für gewisse Renditeerwartungen ein risikoärmeres (und damit effizienteres) Portfolio hergestellt werden, als dies bei nur zwei Wertpapieren allein machbar ist.Möchte ein Anleger das für seine eigene Präferenzfunktion Φ μ ; σ optimale Portfolio finden, muss er jedoch nicht alle denkbaren Kombinationen an Wertpapieren analysieren. Interessant sind letztlich nur die effizienten Portfolios. Diese liegen auf der Effizienzlinie. Im vorhergehenden Beispiel ist dies der rot umklammerte Bereich steigender Portfoliolinien zwischen dem Minimum-Varianz- Portfolio (MVP) und a2. Portfolios auf der fallenden Linie zwischen a1und MVP gehören nicht dazu, da sich für sie stets Portfolios mit höherer Rendite μP bei gleichem Risiko σP2 im rechten Bereich der Graphik finden lassen.Die Effizienzlinie muss außerdem stets einen mehr oder weniger konvex gekrümmten Verlauf besitzen, d.h. jede Kombination zweier effizienter Portfolios verläuft stets vollständig oberhalb oder maximal auf der Effizienzlinie!


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXIX

Effiziente Portfolios (Fortsetzung):


σ

μ0

X

X

X

X

X

X

X(Konvexe) Effizienzlinie

bzw. Effizienzkurve(als Ort aller effizienten

Portfolios X)

X

X

Nicht effizientedominierte Portfolios(d.h. alle Portfolios links

oberhalb der Effizienzlinie)

MVP

X

Allgemeine Darstellung für eine beliebige Zahl von Wertpapieren im Portfolio

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXX

Effiziente Portfolios mit einer sicheren Anlage:Die Kombination einer sicheren Anlage as (mit σs = 0) mit einem einzigen risikobehafteten Wertpapier (mit σi > 0) ist bereits vorgestellt worden. Sie besitzt bekanntlich eine lineare Portfoliolinie mit konstanter Steigung.Analog dazu kann man sich nun die Kombination eines aus mehreren risikoreichen Wertpapieren bestehenden Mischportfolios ai ebenfalls mit einer solchen sicheren Anlage vorstellen. Auch hier besitzt die zugehörige Portfoliolinie dementsprechend die Form einer steigenden Geraden.Beschränkt man sich bei den Mischportfolios auf den Bereich effizienter Portfolios, die auf der Effizienzlinie bzw. –kurve liegen, zeigt es sich, dass die Kombination einer gegebenen Anlage mit einem derartigen effizienten (risikobehafteten) Portfolio um so günstiger zu bewerten ist, je geringer die Steigung der zugehörigen Portfoliogeraden ausfällt (d.h. je flacher diese Gerade verläuft).Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 127

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXXI

Effiziente Portfolios und sichere Anlage (Fortsetzung):


σ

μ0

X

X X

Effizienzliniebzw. Effizienzkurve

(als Ort aller effizienten risikobehafteten Portfolios ai)

MVP a1

X

Allgemeine Darstellung für eine beliebige Zahl von

risikobehafteten Wertpapieren und einer

sicheren Anlage

Sichere Anlage as

(mit σs = 0)

a2

a2* X

Tangential-portfolio aT

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXXII

Effiziente Portfolios und sichere Anlage (Fortsetzung):Die Abbildung der vorhergehenden Seite zeigt, dass jede Kombination von asmit einem effizienten Portfolio ai links von aT, durch eine Kombination von as und aT dominiert wird. Letzteres Portfolio weist die Portfoliogerade aller möglichen as-ai-Kombinationen mit der geringsten Steigung auf.Aber auch für jede Kombination von as mit einem effizienten Portfolio ai rechts von aT verläuft die zugehörige Portfoliogerade steiler als die Portfoliogerade von as und aT und links von der Effizienzkurve.Es wird daher sichtbar, dass die Kombination der sicheren Anlage as mit einem effizienten (risikobehafteten) Portfolio ai selbst nur dann effizient sein kann, wenn die Portfoliolinie zwischen beiden Anlagen genau eine Tangente an die Effizienzkurve der risikoreichen Wertpapierportfolios ai bildet. Das zugehörige risikobehaftete Portfolio heißt Tangentialportfolio aT!Je höher die Rendite μs der sicheren Anlage as, desto weiter rechts auf der Effizienzkurve liegt dieses jeweilige Tangentialportfolio. Es gilt also:

⇒ und .


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXXIII

Auswahl eines optimalen Portfolios aus der Effizienzlinie:Die Ermittlung effizienter Wertpapierportfolios in Form der Effizienzlinie gibt per se noch keine Antwort auf den zu Beginn dieses Kapitels angesprochenen Problembereich, wie ein rational handelnder Anleger die Diversifikation gestalten sollte. M.a.W. gesucht ist eine Handlungsempfehlung, aus der Fülle effizienter Portfolios, die sich durch die Mischung risikobehafteter Wertpapiere miteinander sowie mit einer sicheren Anlage ergeben, das für seine persönlichen Sicherheitsbedürfnisse optimale Portfolio auszuwählen.Dies geschieht durch Zusammenführung der Effizienzlinien mit den subjektiven Präferenzen (μ-σ-Prinzip) des Anlegers:• Rechnerisch durch Optimierung der Φ μ ; σ Präferenzfunktion unter

Beachtung des Funktionsgesetzes für die Effizienzlinien σ f μ .• Graphisch (nachfolgend) mittels Effizienz- und Indifferenzlinien.


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Portfolio Selection Theory XXXIV

Optimales Portfolio und Effizienzlinie (Fortsetzung):μ-σ-Prinzip bei Risikoscheu (steigende Indifferenzlinien):• Präferenzfunktion Φ ; ∙ (mit a > 0).• Präferenzfunktion Φ ; ∙ (mit a > 0).


σ

μ

Φ2

0

Φ1

Φ3

σ

μ

Φ2

0

Φ1

Φ3


Kapitel 03 – Entscheidungstheorie:Portfolio Selection Theory XXXV

Optimales Portfolio und Effizienzlinie (Fortsetzung):Optimales Portfolio graphisch als Punkt auf der Effizienzlinie, der die Indifferenzlinie mit dem höchsten Präferenzwert (noch) berührt.• Portfolio mit ausschließlich risikobehafteten Wertpapieren:


σ

μ

Φ2

0

Φ1

Φ3

σ

μ

Φ2

0

Φ1

Φ3

X

XMVP

OptimalesPortfolio aopt

EffizienzlinieOptimales

Portfolio aopt

Effizienzlinie

X

XMVP

aoptaopt

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXXVI

Optimales Portfolio und Effizienzlinie (Fortsetzung):• Portfolio mit ausschließlich risikobehafteten Wertpapieren:Unter der Bedingung, dass keine sichere Anlagealternative as für die Portfoliomischung verfügbar ist, gilt: Für eine Präferenzfunktion Φ μ ; σ μ a ∙ σ mit linearen

Indifferenzkurven ermittelt sich stets ein eindeutiges optimales Portfolio aopt. Je steiler die Indifferenzkurven verlaufen (d.h. je kleiner der subjektive Risikoaversionsparameter a ist), desto weiter rechts (höhere μ- und σ-Werte) liegt aopt.

Für eine Präferenzfunktion Φ μ ; σ μ a ∙ σ mit konkav gekrümmten Indifferenzkurven ermittelt sich stets ein eindeutiges optimales Portfolio aopt. Je weniger gekrümmt die Indifferenzkurven verlaufen (d.h. je kleiner der subjektive Risikoaversionsparameter a ist), desto weiter rechts (höhere μ- und σ-Werte) liegt aopt.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXXVII

Optimales Portfolio und Effizienzlinie (Fortsetzung):• Portfolio mit sicherer Anlage und risikobehafteten Wertpapieren:


σ

μ0

X

X

Effizienzlinie

MVP

Sichere Anlage as≙optimales Portfolio aopt

Tangentialportfolio aT

as

aT

X

Φ ; ∙

Φ1 Φ2 Φ3

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXXVIII



σ

μ0

X

X

Effizienzlinie

MVP

X

Sichere Anlage as


as

aT

X

Φ ; ∙

OptimalesPortfolio aopt

aopt

Φ1 Φ2 Φ3

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XXXIX

Optimales Portfolio und Effizienzlinie (Fortsetzung):• Portfolio mit risikobehafteten Wertpapieren und sicherer Anlage:Wenn zusätzlich eine sichere Anlagealternative as verfügbar ist, gilt für eine Präferenzfunktion Φ μ ; σ μ a ∙ σ (lineare Indifferenzkurven): Für steilere Indifferenzgeraden als die Strecke zwischen as und aT

(d.h. für ein sehr kleines Risikoaversionsmaß a) gibt es ein aopt rechts von aT (höhere μ- und σ-Werte). ⇒ Kein Anteil von as ist im Portfolio!

Für flachere Indifferenzgeraden als die Strecke zwischen as und aT(d.h. für ein sehr großes Risikoaversionsmaß a) fällt aopt mit aszusammen. ⇒ Das Portfolio besteht nur aus as!

Für Indifferenzgeraden mit der gleichen Steigung wie die Strecke zwischen as und aT sind alle Linearkombinationen von as und aT(einschließlich der Endpunkte as und aT) gleichermaßen optimal.⇒ Es gibt damit kein eindeutig definiertes optimales Portfolio aopt!


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XL



σ

μ0

X

X

Effizienzlinie

MVP

X

Sichere Anlage as


as

aT

Optimales Portfolio aopt

Φ ; ∙

aoptX

Φ1

Φ2

Φ3

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XLI



σ

μ0

X

X

Effizienzlinie

MVP

X

Sichere Anlage as


as

aT

Optimales Portfolio aopt

Φ ; ∙aoptX

Φ1

Φ2

Φ3

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XLII

Optimales Portfolio und Effizienzlinie (Fortsetzung):• Portfolio mit risikobehafteten Wertpapieren und sicherer Anlage:Wenn zusätzlich eine sichere Anlagealternative as verfügbar ist, gilt für eine Präferenzfunktion Φ μ ; σ μ a ∙ σ (konkav gekrümmte Indifferenzkurven mit senkrechtem Auftreffen auf die x-Achse für σ → 0): Indifferenzkurven mit geringer Krümmung (geringe Risikoscheu)

berühren die Effizienzkurve rechts von aT. ⇒ Es gibt ein eindeutiges aopt rechts von aT ohne Beteiligung der sicheren Anlage as!

Indifferenzkurven mit starker Krümmung (hohe Risikoscheu) berühren die Effizienzkurve im Bereich der Strecke zwischen as und aT. ⇒ Es gibt ein eindeutiges aopt links von aT als Linearkombination aus aT und der sicheren Anlage as!

Auch für extrem hohe Risikoscheu kann die sichere Anlage asniemals allein das optimale Portfolio aopt bilden!


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XLIII



σ

μ0

X

X

Effizienzlinie

MVP

Sichere Anlage as≙optimales Portfolio aopt


as

aT

KonkavePräferenzfunktionenΦ ; ∙

mit Auftreffwinkel auf diex-Achse flacher als die

Strecke zwischen as und aT.⇒ aopt besteht nur aus as.

Φ1

Φ2

Φ3

X

Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XLIV

Optimales Portfolio – Fazit:Allgemein gilt:

• Je geringer die subjektive Risikoscheu des Anlegers ist, ausgedrückt durch ein niedriges a in den zugehörigen Präferenzfunktionen, desto steiler verlaufen die Indifferenzlinien dieser Präferenzfunktionen und desto weiter rechts oben kommt es zur Bildung des Optimalportfoliosdurch Berührung dieser Präferenzfunktionen mit der Effizienzkurve.

⇒Je geringer die subjektive Risikoscheu des Anlegers ist, desto höher fallen sowohl erwartete Rendite als auch Risiko des für ihn optimalen Mischportfolios aus.

Letztere Aussage lässt sich aus beiden betrachteten Formen desμ-σ-Prinzips (Φ μ ; σ μ a ∙ σ sowie Φ μ ; σ μ a ∙ σ ) ableiten und erscheint rational plausibel.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XLV

Optimales Portfolio – Fazit (Fortsetzung):• Wenn es neben risikobehafteten Anlagemöglichkeiten auch ein sicheres

Wertpapier als Alternative gibt, wird diese sichere Anlagealternative im optimalen Portfolio um so eher überhaupt gar nicht vorkommen, je steiler die Indifferenzlinien verlaufen bzw. desto geringer die individuelle

Risikoscheu des Anlegers ist. flacher die Strecke zwischen Tangentialportfolio und sicherer Anlage

verläuft, d.h. je geringer die Rendite (Verzinsung) der sicheren Anlage ist. je höher die erwarteten Renditen der risikobehafteten Assets sind. je geringer die Risiken (als σ) der risikobehafteten Assets sind. je ausgeprägter die Diversifikations- bzw. Hedging-Effekte im

Portfolio sind, d.h. je niedriger die Korrelationskoeffizienten zwischen den einzelnen risikobehafteten Assets ausfallen.

Letztere Aussagen lassen sich ebenfalls aus beiden betrachteten Formen des μ-σ-Prinzips ableiten und erscheinen gleichermaßen rational plausibel.


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XLVI

Optimales Portfolio – Fazit (Fortsetzung):• Gibt es neben risikobehafteten Anlagemöglichkeiten auch ein sicheres

Wertpapier, liegt es nahe, durch welche Faktoren die Anteilsquote der sicheren Anlage im optimalen Portfolio determiniert wird:

Bei Nutzung der Präferenzfunktion Φ μ ; σ μ a ∙ σ ist die sichere Anlage entweder überhaupt gar nicht im optimalen Portfolio vorhanden oder letzteres besteht ausschließlich aus ihr.

Diese für eine Präferenzfunktion mit linearen Indifferenzlinien abgeleitete Aussage führt aus rationaler Sicht zu erheblichen Plausibilitätsproblemen.

Bei Nutzung der Präferenzfunktion Φ μ ; σ μ a ∙ σ dagegen sowie bei allgemein allen Präferenzfunktionen mit konkav gekrümmten, monoton steigenden Indifferenzlinien kann die sichere Anlage durchaus anteilig im optimalen Portfolio vorkommen (bei Φ μ ; σ μ a ∙ σjedoch kann letzteres niemals vollständig ausschließlich aus ihr bestehen).


Kapitel 04 – Portfoliotheorie:Portfolio Selection Theory XLVII

Optimales Portfolio – Fazit (Fortsetzung): Bei Φ μ ; σ μ a ∙ σ (Präferenzfunktionen mit konkav gekrümmten,

monoton steigenden Indifferenzlinien) fällt der prozentuale Anteil der sicheren Anlage im optimalen Portfolio um so höher aus, je höher die Risikoscheu des Anlegers (durch Festlegung des

subjektiven Risikoparameters a) ist. je höher die Rendite (Verzinsung) der sicheren Anlage ist. je geringer die erwarteten Renditen der risikobehafteten Assets sind. je höher die Risiken (als σ) der risikobehafteten Assets sind. je weniger ausgeprägt Diversifikations- bzw. Hedging-Effekte im

Portfolio vorkommen, d.h. je höher die Korrelationskoeffizienten zwischen den einzeln Assets ausfallen.

Diese für Präferenzfunktionen mit konkaven Indifferenzlinien abgeleiteten Aussagen sind rational deutlich plausibler als die vorherigen Ergebnisse für Präferenzfunktionen mit linearen Indifferenzlinien. Damit sind erstere letzteren als Entscheidungskriterien bei der Portfolio Selection vorzuziehen.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip I

Bernoulli-Prinzip – Grundidee:Daniel Bernoulli (1700-1782):Beurteilung von Glückspielen:• Nicht der Erwartungswert der möglichen Gewinne ist wichtig.• Maßgeblich ist vielmehr der Erwartungswert des aus den Gewinnen

sich ergebenden Nutzens.Diese Überlegungen wurden von John von Neumann und Oskar Morgenstern in den 1940-er Jahren wieder aufgegriffen und allgemein auf den Erwartungsnutzen (Expected Utility bzw. Risiko-Nutzen) bei unsicheren (risikobehaften) ökonomischen Entscheidungsfragen übertragen.⇒Das Bernoulli-Prinzip ist eine Entscheidungsregel, die auf der Grundlage einer kardinalen Messbarkeit des Nutzens die subjektive Risikoeinstellung des Entscheidenden berücksichtigt!


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip II

Bernoulli-Prinzip – Grundidee (Fortsetzung):Konkretisierung des Bernoulli-Prinzips:• Allen eij einer Handlungsalternative ai wird durch eine Nutzenfunktion

u(e) ein spezifischer Nutzenwert uij = u(eij) zugewiesen.• Der für die Entscheidung relevante PräferenzwertΦ(ai) einer

Handlungsalternative ai entspricht dem Erwartungswert dieser einzelnen uij = u(eij) Nutzenwerte.

Bevorzugt wird dann die Handlungsalternative ai mit dem höchsten Erwartungswert des Nutzens. Formal gilt dafür:

: Φ ∙ mitp s 1.

Zentrales Element und Unterschied zu den klassischen Regeln ist daher die Transformation von Ergebnisgrößen in Nutzengrößen!


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip III

Bernoulli-Prinzip – Grundidee (Fortsetzung):Beispiel:

Die Nutzenfunktion sei . Damit kann die zur obigen Ergebnisverteilung korrespondierende Nutzenverteilung erstellt werden:

Daraus folgt:Φ a ∑ e ∙ p 2 ∙ 0,1 4 ∙ 0,5 7 ∙ 0,2 3 ∙ 0,2 4,2.Φ a ∑ e ∙ p 9 ∙ 0,1 2 ∙ 0,5 5 ∙ 0,2 6 ∙ 0,2 4,1.Es gilt folglich: Φ(a1) > Φ(a2) ⇔ a1 ≻ a2 (obwohl μ1 = 20 < 22,3 = μ2).


p(sj) p(s1)=0,1 p(s2)=0,5 p(s3)=0,2 p(s4)=0,2e1j (von a1) 4 16 49 9e2j (von a2) 81 4 25 36

p(sj) p(s1)=0,1 p(s2)=0,5 p(s3)=0,2 p(s4)=0,2u(e1j) (von a1) 2 4 7 3u(e2j) (von a2) 9 2 5 6

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip IV

Bernoulli-Prinzip – Grundidee (Fortsetzung):Das im Rahmen des Bernoulli-Prinzips verwendete Nutzenkonzept wird in der Literatur synonym unter folgenden Bezeichnungen thematisiert:

Bernoulli-Nutzen, Neumann-Morgenstern-Nutzen,Erwartungs-Nutzen (Expected Utility), Risiko-Nutzen.

Das Bernoulli-Prinzip selbst bestimmt allerdings noch nicht die jeweilige Risiko-Nutzen-Funktion, die zur Bildung der entscheidungsrelevanten Präferenzwerte benötigt wird. Letztere hängt vielmehr von den subjektiven Risiko- und Präferenzeinstellungen des jeweiligen Entscheidungsträgers ab und bedarf daher einer gesonderten, individuellen Festlegung.Gleichzeitig ist jede Risiko-Nutzen-Funktion (RNF) positiv linear transformierbar, ohne dass dies das Entscheidungsergebnis verändert:Es gilt (ohne Veränderung der Präferenzrelationen): Φ ∙ Φ mitβ 0.⇒Für die Bestimmung einer RNF sind Nullpunkt und Maßeinheit deshalb beliebig wählbar!


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip V

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion:Wahlakt zwischen sicherem Einkommen und einer einfachen Chance:Einfache Chance (e‘; p‘; e‘‘): 2 mögliche Ergebnisse e‘ und e‘‘mit e‘ > e‘‘ sowie p‘ (als der Erfolgswahrscheinlichkeit) und p‘‘ (= 1 – p‘).Beispiel: Glückspiel (10000; 0,001; 0): Gewinn 10000 mit der Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,1% sowie kein Gewinn 0 mit p = 99,9%.Durchführung der Bernoulli-Befragung zur Bestimmung des Risiko-Nutzens einer risikobehafteten Handlung (in 4 Schritten):1. Normierung der RNF: Da bei einer RNF Nullpunkt und Maßeinheit

wegen ihrer positiv linearen Transformierbarkeit beliebig wählbar sind, ist folgendes möglich:– Festgelegt werden zwei Werte e‘‘ und e‘, so dass das Intervall

dazwischen alle möglichen Ergebnisse eij der Handlung umfasst.– Vorgegeben sind dabei: u(e‘‘) = 0 und u(e‘) = 1.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip VI

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):2. Festlegung des Wahlaktes (fiktiv):Anschließend wird die Wahl zwischen der sicheren Alternative ē und einer einfachen Chance (e‘; p‘; e‘‘) für den Befragten definiert.3. Ermittlung der kritischen Erfolgswahrscheinlichkeit p*(ē):Danach erfolgt eine Variation von p‘ bei gegebenem ē bis zu demjenigen kritischen Wert p*(ē), für den die einfache Chance und die sichere Alternative gemäß den subjektiven Präferenzen des Befragten als gleich angesehen werden.Unter diesen Bedingungen besteht dann Indifferenz zwischen ē und (e‘; p‘; e‘‘) mit p‘≙ p*(ē), d.h. es gilt hier:

(e‘; p*(ē); e‘‘) ∼ ē bzw.Φ(e‘; p*(ē); e‘‘) = Φ ē .


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip VII

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):4. Ermittlung des (subjektiven) Risiko-Nutzens:Aus (e‘; p*(ē); e‘‘) ∼ ē bzw. Φ(e‘; p*(ē); e‘‘) = Φ ēgilt wegen max:Φ a ∑ u e ∙ p

folgendes: ē ∗ ē ∙ ∗ ē ∙ .Aufgrund der Normierung der RNF (Schritt 1) mit den beiden Vorgaben u(e‘‘) = 0 und u(e‘) = 1 folgt daraus dann:

ē ∗ ē .Unter diesen Umständen lässt sich die kritische Wahrscheinlichkeit p*(ē) unmittelbar als Nutzenwert u(ē) ansehen. Dies gilt zunächst für die sichere Alternative ē. Wegen der Indifferenzbedingung (Schritt 3) trifft dies aber auch für die einfache Chance (e‘; p‘; e‘‘) zu, so dass letztere auf diese Weise einen (subjektiven) Risiko-Nutzen-Wert erhält.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip VIII

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Beispiel:1. Normierung:

Alle möglichen Ergebniswerte für die Anlage in einem Wertpapier sind dem Intervall [0; 10000] zuordenbar. Es gelten also zunächste‘‘ = 0 und e‘ = 10000 sowie u(e‘‘) = 0 und u(e‘) = 1.

2. Wahlakt:Als sichere Anlagealternative wird ē = 3000 gewählt. Deshalb muss dieses sichere Ergebnis mit der einfachen Chance (10000; p‘; 0) verglichen werden.

3. Kritische Erfolgswahrscheinlichkeit:Betrachtet sei zunächst ein (sehr) niedriger Wert für p‘, z.B. p‘ = 0,1. In einer derartigen Situation werden Entscheidungssubjekte in der Regel das sichere Anlageergebnis 3000 bevorzugen.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip IX

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Beispiel:3. Kritische Erfolgswahrscheinlichkeit (Fortsetzung):

Auf der Gegenseite wird für einen (sehr) hohen Wert für p‘, etwap‘ = 0,9, das Befragungsergebnis umgekehrt ausfallen und Entscheidungssubjekte in der Regel sich für die einfache Chance(10000; 0,9; 0) entscheiden. Auf jeden Fall gibt es im Bereich dazwischen für jedes Entscheidungssubjekt genau einen Wert für p‘, bei dem eine (subjektive) Indifferenz zwischen einfacher Chance und sicherem Ergebnis besteht. Dieser Wert wird durch schrittweise Betrachtung und Einengung des relevanten Intervalls ermittelt. Wenn etwa eine befragte Person die beiden Präferenzaussagen (10000; 0,5; 0) ≺3000 und (10000; 0,7; 0) ≻ 3000 tätigt, lässt sich das Intervall, in dem Indifferenz gegeben ist, noch genauer angeben. Als fiktives Endergebnis sei dann (10000; 0,6; 0) ∼ 3000 angenommen.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip X

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Beispiel:4. Wegen allgemein (e‘; p*(ē); e‘‘) ∼ ē

bzw. speziell (10000; 0,6; 0) ∼ 3000gilt dann mit: p*(3000) = 0,6; u(0) = 0; u(10000) = 1und u ē p∗ ē ∙ u e 1 p∗ ē ∙ u efolgendes:

u 3000 0,6 ∙ u 10000 1 0,6 ∙ u 0 .u 3000 0,6 ∙ 1.

3000 , ; , ; .Der Risiko-(Erwartungs-Bernoulli-)Nutzen des Betrages 3000 beträgt damit 0,6. Er wird durch die Indifferenz dieses Betrages (als fiktives sicheres Einkommen) mit einer einfachen Chance und deren (Erfolgs-)Wahrscheinlichkeit determiniert.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XI

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Eine Fortsetzung der Bernoulli-Befragung mit anderen Beträgen für die sichere Alternative ist jederzeit möglich. Damit lassen sich dann beliebig viele einzelne Risiko-Nutzwerte im jeweils normierten Bereich (hier im Bespiel im Intervall [0; 10000]) bestimmen. ⇒Auf diese Weise erhält man im Endergebnis eine spezifische und subjektbezogene Risiko-Nutzen-(Erwartungsnutzen-)Funktion für den jeweils Befragten. Diese RNF wird i.d.R. nicht linear sein, kann aber vielleicht approximativ durch eine nichtlineare mathematische Funktion (wie etwa die Funktion

) ersetzt werden.

Auf jeden Fall (und dies ist charakteristisch für das Bernoulli-Prinzip) erfolgt die Verknüpfung der individuellen Risiko- und Präferenz-Einstellungen des Entscheidungsträgers mit einer Entscheidungsregel durch die Ermittlung von Indifferenzrelationen. Letztere sind das zentrale Element, die RNF selbst ist nur eine Verdeutlichung davon.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 155

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XII

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Verlauf einer Risiko-Nutzen-Funktion:Grundsätzliche Annahme bei der ausschließlichen Betrachtung positiv bewerteter Handlungsergebnisse eij: Monoton steigender Verlauf mit

.

Drei Formen einer solchen Risiko-Nutzen-Funktion sind denkbar:

1. Linear steigender Verlauf: .

Es gilt hier ∙ . Daraus folgt für die Präferenzfunktion:Φ a ∑ u e ∙ p ∑ α β ∙ e ∙ p α ∙ ∑ p β ∙ ∑ e ∙ p .

Φ ∙ .Eine lineare RNF bedeutet also immer risikoneutrales Verhalten!


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XIII

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Verlauf einer Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):

2. Progressiv steigender bzw. konvexer Verlauf: .


u

e0 ē1 ē3ē2

u(ē1)

u(ē3)

u(ē2)

Es gilt: ē ∙ ē ∙ ē .Aber: ē ∙ ē ∙ ē .

∙ ē ∙ ēNutzendifferenz

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XIV

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Verlauf einer Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):

3. Degressiv steigender bzw. konkaver Verlauf: .


u

0

Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti

u

e0 ē1 ē3ē2

u(ē1)

u(ē3)

u(ē2)

Es gilt: ē ∙ ē ∙ ē .Aber: ē ∙ ē ∙ ē .

∙ ē ∙ ēNutzendifferenz

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XV

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Verlauf einer Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Grundsätzlich gelten für Risiko-Nutzen-Funktionen folgende Annahmen:1. Bei linear steigendem Verlauf der RNF entspricht der Nutzenwert eines

unsicheren Ereignisses mit dem gleichen Erwartungswert wie das Ergebnis einer sicheren Alternative auch dem Nutzen dieser sicheren Alternative ≙Risikoneutralität.

2. Bei progressiv steigendem bzw. konvexem Verlauf der RNF ist der Nutzenwert eines unsicheren Ereignisses mit dem gleichen Erwartungswert wie das Ergebnis einer sicheren Alternative stets höher als der Nutzen dieser sicheren Alternative ≙Risikofreude.

3. Bei degressiv steigendem bzw. konkavem Verlauf der RNF ist der Nutzenwert eines unsicheren Ereignisses mit dem gleichen Erwartungswert wie das Ergebnis einer sicheren Alternative stets niedriger als der Nutzen dieser sicheren Alternative ≙Risikoscheu.

Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 159Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XVI

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Einflussgrößen auf die Gestalt der individuellen Risiko-Nutzen-Funktion:• Geldnutzen (bzw. Höhenpräferenz) als Maßstab für die persönliche

Nutzenvorstellung gegenüber sicheren Geldergebnissen:Er ist Ausdruck des subjektiven Wohlempfindens (in Nutzwerten), welches mit unterschiedlichen sicheren Einkommens- bzw. Vermögenslagen einhergeht ≙ Ausdruck der subjektiven Zufriedenheit (in Nutzwerten) bei alternativen Einkommens- bzw. Vermögenslagen.

• Risikopräferenz als Maßstab für die persönliche Einstellung gegenüber Risikosituationen (bzw. Unsicherheit) bei Einkommens- bzw. Vermögenslagen.

Der Risiko-Nutzen im Rahmen des Bernoulli-Prinzips ist stets simultaner Ausdruck von beiden Einflussgrößen gemeinsam! Selbst wenn Geldnutzen und Risikopräferenz als rein introspektiv definierte Größen einzeln gar nicht sinnvoll empirisch voneinander getrennt werden können, ist die Bestimmung der RNF (wie das Beispiel der Bernoulli-Befragung zeigt) als Gesamtkonzept möglich.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 160Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XVII

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XVIII

Bernoulli-Prinzip – Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Einflussgrößen auf die individuelle Risiko-Nutzen-Funktion (Fortsetzung):Die Abbildung auf der vorausgehenden Seite zeigt, dass Risiko-Nutzen-Funktion und „reine“ Geldnutzenfunktion wegen der zusätzlichen Wirkung der Risikopräferenz in gewissen Bereichen voneinander abweichen können:• Bei niedrigen Geldbeträgen (bis G1) bewirkt eine zunächst stark progressiv

steigende Risikopräferenz, dass die RNF trotz einer stets degressiv steigenden Geldnutzenfunktion in diesen Bereichen leicht progressiv verläuft.

• Bei mittleren Geldbeträgen (im Bereich G1 bis G2) liegt wohl immer noch eine (leicht) progressiv steigende Risikopräferenz vor. Dieser Sachverhalt wird jetzt jedoch durch die degressive Geldnutzenfunktion kompensiert, so dass ab G1 die RNF insgesamt bereits (leicht) degressiv steigt.

• Bei hohen Geldbeträgen (größer als G2) dagegen verlaufen beide Einflussgrößen degressiv und wirken dadurch gleichförmig auf die RNF ein. Diese ist deswegen selbst (stärker) degressiv steigend.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XIX

Bernoulli-Prinzip – Rationalität und Axiome:Um rationale Entscheidungen unter Unsicherheit (bzw. in Risikosituationen) treffen bzw. um Empfehlungen zum rationalen Verhalten unter Unsicherheit für Wirtschaftssubjekte geben zu können, benötigt man ein Axiomensystem zu den Präferenzrelationen.

Aus einem solchen Axiomensystem lässt sichein geschlossenes präskriptives Konzept

im Sinn einer normativen Entscheidungstheorie ableiten.Axiome sind in diesem Kontext a-priori gesetzte Postulate ohne weiteren Beweis bzw. ohne zusätzliche Herleitung, die dennoch einen Anspruch auf Plausibilität und Rationalität besitzen.Nachfolgende vier (fünf) Axiome implizieren das Bernoulli-Prinzip und können insofern als Ausdruck eines vernünftigen bzw. rational begründbaren Entscheidungsverhaltens gesehen werden:


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XX

Bernoulli-Prinzip – Axiome (Fortsetzung):1. Ordinal- bzw. Rangordnungsprinzip:Für alle zur Auswahl stehenden Handlungsalternativen muss eine eindeutige und logisch konsistente (damit zugleich widerspruchsfreie) Rangordnung gefunden werden. Konkret erfordert das Postulat der Ordinalität die Gültigkeit zweier weiterer Prinzipien:• Vergleichbarkeit bzw. Vollständigkeit:Für zwei gegebene Handlungsalternativen a1 und a2 soll der Entscheidende stets eine persönliche Präferenzrelation a1 ≻ a2 (a1 wird a2 vorgezogen) oder a1 ≺a2 (a1 wird schlechter gesehen als a2) oder a1 ∼ a2 (a1 ist gleichwertig zu a2) aufstellen können. Alle vorhandenen Alternativen müssen also (vollständig) miteinander vergleichbar sein; es darf keine „Unklarheit“ diesbezüglich auftreten.• Transitivität:Für drei gegebene Alternativen a1, a2, a3 soll aus a1 ≽ a2 und zugleich a2 ≽ a3stets auch a1 ≽ a3 gefolgert werden.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XXI

Bernoulli-Prinzip – Axiome (Fortsetzung):2. Dominanzprinzip:Liegen zwei gegebene Handlungsalternativen a1 und a2 jeweils in Form einer einfachen Chance mit a1 = (e‘; p‘ = p1; e‘‘) sowie a2 = (e‘; p‘ = p2; e‘‘) vor und es gelten e‘ > e‘‘ sowie p‘‘ = 1 – p‘, soll für p1 > p2 auch stets a1 ≻ a2 gefolgert werden. Dieses Postulat entspricht der Wahrscheinlichkeitsdominanz.Ersetzt man die einfache Chance (e‘; p‘; e‘‘) durch die sichere Alternative ē gelangt man zu einer absoluten Dominanzaussage: Für a1 > a2 gilt a1 ≻ a2.3. Stetigkeitsprinzip:Gegeben seien eine risikobehaftete Handlungsalternative aus zwei alternativen Zukunftslagen e‘ und e‘‘ mit den zugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten p‘ und p‘‘ (= 1 – p‘) sowie eine Handlungsalternative mit einem sicheren Ergebnis ē. Es findet sich nun stets eine kritische Wahrscheinlichkeit p* (0 < p* < 1) für e‘, bei der der Entscheidungsträger die sichere Handlung als gleichwertig zur risikobehafteten Handlungsalternative ansieht. Es gilt: (e‘; p*; e‘‘) ∼ ē.(Dies entspricht übrigens genau Schritt 3 der Bernoulli-Befragung.)Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 165Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XXII

Bernoulli-Prinzip – Axiome (Fortsetzung):4. Substitutions- bzw. Unabhängigkeitsprinzip:Dieses Axiom betrifft zusammengesetzte Wahrscheinlichkeitsverteilungen.Eine bestehende Rangordnung von zwei Verteilungen darf sich nicht ändern, wenn alle beiden Verteilungen mit einer beliebigen dritten Verteilung in gleicher Weise kombiniert werden. Die beiden neuen zusammengesetzten Verteilungen sollten folglich in der gleichen Präferenzbeziehung zueinander stehen.Für zwei Verteilungen E1 und E2 gelten dabei folgende alternativ möglichen Formulierungen:• E1 ≻ E2 ↔ Ê1 ≻ Ê2 oder E1∼ E2 ↔ Ê1∼ Ê2

für Ê1 = (E1; π; E3) und Ê2 = (E2; π; E3)mit π (0 < π < 1) als Mischwahrscheinlichkeitund einer dritten beliebigen Verteilung E3.

• E1 ≻ Ê ≻E2 oder E1 ∼ Ê∼E2

mit Ê = (E1; π; E2) und π (0 < π < 1).


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Bernoulli-Prinzip XXIII

Bernoulli-Prinzip – Axiome (Fortsetzung):5. (Finales Gesamtergebnis – in Abgrenzung zu einer deskriptiven

Entscheidungstheorie manchmal als weiteres Axiom angesehen):Ausgangspunkt der Entscheidung ist die finale Totalposition als Gesamtergebnis und nicht die Veränderung der anfänglichen Position des Entscheidungsträgers, d.h. eine entscheidungsbedingte Vermögensänderung ist nicht relevant.Einige ausgewählte Problembereiche:1. Ordinalprinzip – Transitivität: Erfassbarkeits- und Bewertungsschwellen:Speziell bei sehr großen und sehr kleinen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es erhebliche Probleme, derartige Wahrscheinlichkeiten korrekt einzuordnen.4. Substitutions- bzw. Unabhängigkeitsprinzip:• Synergieeffekte aus der Kombination von Einzelfaktoren sowie etwaige

Komplementaritäten von Faktoren finden hier keine Berücksichtigung.• Framing-Effekt: Die Präferenzen für einzelne Alternativen werden in der

Realität häufig durch unterschiedliche Begleitsachverhalte verändert.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 167Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Rationale Entscheidungsregeln IRationalität von (klassischen) Entscheidungsregeln:

Prinzipiell lässt sich die Rationalität einer Entscheidungsregel an ihrer Vereinbarkeit mit dem Bernoulli-Prinzip und dessen Axiomen messen:1. μ-Prinzip:Es ist bereits gezeigt worden, dass diese Regel wegen

∙bzw.

Φ ∙einer linearen Risiko-Nutzen-Funktion entsprechend dem Bernoulli-Prinzip gleichkommt.Das μ-Prinzip kann daher als rationale Entscheidungsregel betrachtet werden. Ihre Anwendung fordert allerdings stets risikoneutrales Entscheidungsverhalten.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Rationale Entscheidungsregeln II

Rationalität von Entscheidungsregeln (Fortsetzung):2. μ-σ-Prinzip und quadratische Nutzenfunktion:Gegeben sei als RNF die Quadratfunktion ∙ mit a > 0. Es gilt:

Φ ∙ ∙ ∙ e ∙ p a ∙ e ∙ p .

Wegen ∙

und wegen σ e μ ∙ p e ∙ p μ ⇒ ∙

(vgl. dazu Kapitel 04 – Portfoliotheorie) folgt:

Φ ∙ ∙ ∙ .


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Rationale Entscheidungsregeln III

Rationalität von Entscheidungsregeln (Fortsetzung):Bekanntlich handelt es sich bei dem μ-σ-Prinzip um ein intuitiv zunächst überzeugendes Konzept, das sowohl die Rendite als auch das Risiko eines Wertpapiers berücksichtigt.Das μ-σ-Prinzip ist jedoch allein in der Form Φ ; ∙mit rationalem Entscheidungsverhalten gemäß dem Bernoulli-Prinzip vereinbar. Dies bedeutet gleichzeitig zwingend die Verwendung einer quadratischen Risiko-Nutzen-Funktion der Form ∙ (Parabel)!• Für a > 0 impliziert Φ ; ∙ dabei Risikoscheu.• Für a < 0 impliziert Φ ; ∙ dabei Risikofreude.Für andere Ausprägungsformen des μ-σ-Prinzips (z.B. Φ μ ; σ μ a ∙ σoder Φ μ ; σ μ a ∙ σ ) hingegen finden sich keine RNF, so dass ein gemäß diesen Regeln ermitteltes Φ μ ; σ dem Erwartungswert des Nutzens entspricht. Diese μ-σ-Prinzipien entsprechen daher nicht dem Bernoulli-Prinzip. Sie können in gewissen Situationen zu einem den Axiomen dieses Prinzips konträren, nicht rationalem Entscheidungsverhalten führen! Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 170Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Rationale Entscheidungsregeln IV

Rationalität von Entscheidungsregeln (Fortsetzung):Die quadratische Nutzenfunktion selbst führt bei ihrer Verwendung zu zwei Problembereichen:1. Eine zentrale Prämisse für eine Nutzenfunktion ist bekanntlich ihr monoton

steigender Verlauf mit .

Bei Parabeln (und damit allen quadratischen Nutzenfunktionen) ist jedoch jeweils nur ein Ast der Parabel monoton steigend, der andere monoton fallend. ⇒Quadratische Nutzenfunktionen sind daher stets nur für gewisse Ergebniswerte definiert: links (rechts) ihres Maximums (Minimums).

2. Quadratische Nutzenfunktionen als Spezialformen von Nutzenfunktionen des allgemeinen Typs u e α e ß mite αundβ 1 gehen stets von einer zunehmenden Risikoscheu des Entscheidungsträgers aus. Mit wachsendem Reichtum nehmen damit seine Risikoaversion und die Risikoprämien für unsichere Anlagen zu. So würde der Anteil risikobehafteter Assets am optimalen Portfolio z.B. mit wachsendem Reichtum sinken!


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung I

ARA als Maß für die Stärke der Risikoaversion:Die Risikoeinstellung manifestiert sich (graphisch) in der Stärke derKonkavität der RNF.Der Wert der zweiten Ableitung einer RNF allein eignet sich jedoch nichtals Kennzahl für die Stärke der jeweiligen Risikoeinstellung bzw. Risikoaversion (als den für die Portfoliotheorie relevanten Spezialfall).Gemessen wird die absolute Risikoaversion (ARA) deshalb durch den mit -1 multiplizierten Quotienten aus zweiter und erster Ableitung der RNF:

stetspositivwegen und .Gilt für die jeweiligen Risikoaversionen zweier Personen 1 und 2

, dann ist das Sicherheitsäquivalent S(ai) einer risikobehafteten Anlage ai bei Person 1 stets geringer als bei Person 2.Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti 172Portfoliomanagement Aurelio J. F. Vincenti

Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung II

ARA (Fortsetzung):1. Konstante (absolute) Risikoaversion (CARA):

.

Die Risikoprämie für eine risikobehaftete Anlage (vgl. Kapitel 03 – Risiko: Grundbegriffe) als Differenz zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent dieser Anlage ai ist in diesem Fall eine vom Ergebnis der Anlage (Reichtum des Anlegers) unabhängige Konstante.2. Zunehmende (absolute) Risikoaversion:

.

Die Risikoprämie für eine risikobehaftete Anlage als Differenz zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent dieser Anlage ai nimmt in diesem Fall mit steigendem Ergebnis der Anlage (steigendem Reichtum des Anlegers) zu.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung IIIARA (Fortsetzung):3. Abnehmende (absolute) Risikoaversion:

.

Die Risikoprämie für eine risikobehaftete Anlage als Differenz zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent dieser Anlage ai nimmt in diesem Fall mit steigendem Ergebnis der Anlage (steigendem Reichtum des Anlegers) ab.Zu 1. Die einzige Funktion mit konstanter absoluter Risikoaversion (CARA) ist folgende RNF: mitεalsEULERscheZahlundβ 0.Es gilt dabei:

u′ e β ∙ ε undu e β ∙ ε .

⇒u eu e

β ∙ εβ ∙ ε

.

Wegen Φ ∙ Φ Positive lineare Transformierbarkeit) ist αbeliebig.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung IVARA (Fortsetzung):Zu 1. Der Vorteil dieser exponentiellen RNF mit konstanter absoluter Risikoaversion (CARA) liegt in folgender Überlegung:Bei gegebenem sicherem Vermögen eines Anlegers und der zusätzlichen Chance, ein unsicheres (risikobehaftetes) Asset ai mit unterschiedlichen möglichen Erträgen bzw. Gewinnen aus dieser Neuanlage zu erwerben, hängt das Entscheidungsverhalten hier nicht von der Höhe des Anfangsvermögens ab. Vor allem das Sicherheitsäquivalent S(ai), mit dem der Anleger das Asset ai bewertet, ist hiervon unabhängig. Als Nebenbedingung muss allerdings das Anfangsvermögen sicher bzw. risikofrei sein, um Diversifikationseinflüsse entsprechend der Portfoliotheorie auszuschließen.Zu 2. Eine wichtige Funktionsgruppe mit zunehmender absoluter Risikoaversion bildet

ßmit und .Zu dieser Gruppe gehört auch die Quadratfunktion ∙ als häufig verwendeter und mit dem μ-σ-Prinzip vereinbarer Spezialfall.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung VARA (Fortsetzung):Zu 2. Es gilt dabei für u e α e ß:

u e β ∙ α e ß undu e β ∙ ß 1 ∙ α e ß .

⇒u eu e

β ∙ ß 1 ∙ α e ß

β ∙ α e ßß

.

Da β 1und e αdefiniert sind, muss stets positiv sein und wird mit steigendem e selbst größer.Die Probleme bei Nutzung einer RNF mit zunehmender absoluter Risikoaversion sind bereits bekannt. Sie bestehen vor allem aus der Eigenschaft dieser RNF, risikobehaftete Anlagemöglichkeiten bei höherem sicheren Vorvermögen niedriger zu bewerten als bei niedrigerem. Dies manifestiert sich dann in einem kleinerem Sicherheitsäquivalent S(ai) (bzw. höherer Risikoprämie) für das gleiche Asset bei steigenden Ausgangsvermögen des Entscheidungsträgers.Die Plausibilitätsschwierigkeiten einer derartigen Annahme, auch wenn die RNF rational im Sinne des Bernoulli-Prinzips sein kann, sind offensichtlich.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung VIARA (Fortsetzung):Zu 3. Wichtige Funktionsgruppen von Nutzenfunktionen mit abnehmender absoluter Risikoaversion bilden beispielsweise die bereits bekannte RNF

sowie vor allem RNF mit dem natürlichen Logarithmus, wie etwa mit .

Es gilt dabei z.B. für u e ln e α :

u e1

e α undu e1

e α .

⇒u eu e

1e α1

e α

e αe α .

Wegen e α muss stets positiv sein und wird mit steigendem e selbst kleiner.Dies führt dann bei steigendem Ausgangsvermögen zu einem größerem Sicherheitsäquivalent S(ai) (bzw. kleinerer Risikoprämie) für das gleiche Asset.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung VIIARA (Fortsetzung):Zu 3. Im Gegensatz zu den Ergebnissen bei Verwendung einer RNF mit zunehmender absoluter Risikoaversion sind die Folgerungen, die aus der Verwendung einer RNF mit abnehmender absoluter Risikoaversion erhältlich sind insgesamt deutlich plausibler, um das reale Anlegerverhalten zu beschreiben. Damit steigt auch ihre Relevanz für das Portfoliomanagement.Es lassen sich bei Rückgriff auf eine Risiko-Nutzen-Funktion mit abnehmender ARA daher folgende Aussagen treffen:• Mit zunehmendem Wohlstand (größerem sicherem Vorvermögen) eines

Anlegers wird dieser eher eine geringere Risikoscheu in Hinblick auf ein Investment in eine zusätzliche risikobehaftete Wertpapieranlage besitzen.

• Ceteris paribus steigt mit der Höhe des bisherigen Vermögens das Sicherheitsäquivalent für eine zusätzliche risikobehaftete Anlage.

• Damit sinkt auch die Risikoprämie (als Differenz zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent), die der Emittent des Wertpapieres dem Anleger bieten muss, damit dieser es in sein Portfolio aufnimmt.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung VIII

RRA als Maß für die Stärke der Risikoaversion:Neben der absoluten Risikoaversion ARA(e) ist auch eine relative Risikoaversion RRA(e) vorstellbar. Für sie gilt:

∙ ∙ .

Eine wichtige Gruppe von RNF bilden in diesem Zusammenhang die iso-elastischen Risiko-Nutzen-Funktionen. Diese weisen eine konstante relative Risikoaversion CRRA auf, d.h. const.Es ist unmittelbar ersichtlich, dass das Produkt ∙ nur dann konstant sein kann, wenn ARA e für ein steigendes e kompensatorisch sinkt.• : Dies gilt für die RNF mit .

ARA e ⇒ ∙ e .


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung IX

RRA (Fortsetzung):• : Diese konstante relative Risikoaversion findet sich bei der

Potenzfunktion vom Typ ∙ mit als maßgeblicher RNF. Hier gilt:

u e e bzw.ee undu e α 1 ∙ e bzw. α 1 ∙

ee .

⇒u eu e

α 1 ∙ eeee

.

⇒ α 1e ∙ e .

Für α 1 ist RRA negativ. Dies bedeutet Risikofreude und eine konvex gekrümmte RNF.

Für α 0 und 0 α 1 ist RRA positiv. Dies bedeutet Risikoscheu und eine konkav gekrümmte RNF.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung X

Vergleich CARA und CRRA:• CARA mit folgender RNF:

fürγ 0d. h. ARA e y 0.fürARA e 0.

• CRRA mit folgender RNF:

∙ fürγ 0d. h. RRA e 1 γ 1.

fürRRA e 1.Im Vergleich zeigt es sich: Bei höherem Ausgangsvermögen für CRRA (gegenüber CARA) fällt

der Nutzengewinn durch einen Vermögenszuwachs geringer aus. Bei geringerem Vorvermögen fällt dagegen der Nutzenrückgang für

CRRA (gegenüber CARA) durch einen Vermögensverlust stärker ins Gewicht.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung XI

Vergleich CARA und CRRA (Fortsetzung):Diese Eigenschaften von CRRA werden auch durch empirische Studien bestätigt:• Wirtschaftssubjekte (bzw.) Anleger besitzen häufig einen

Referenzpunkt.• Auch ein starker Anstieg darüber hinaus bedingt nur geringe

Nutzenverbesserungen.• Auf der Gegenseite führt ein Abfall des Vermögens unter diesen

Referenzpunkt jedoch zu einem starken Nutzenverlust.Weiterhin gilt:• Bei einer CARA-RNF wird in der Tendenz über eine längere Zeit der

Gesamtanlagebetrag in Aktien konstant gehalten; für das variable Restvermögen dann eine sichere(re) Anlageform gewählt.

• Bei einer CRRA-RNF hingegen wird über eine längere Zeit der relative Anteil des Vermögens in Aktien konstant gehalten.


Kapitel 05 – Nutzentheorie:Kennzahlen der Risikoeinstellung XIIVergleich CARA und CRRA (Fortsetzung):Alles in allem geben daher Risiko-Nutzen-Funktionen vom Typ CRRA das realwirtschaftliche Entscheidungsverhalten tatsächlicher Anleger wohl etwas besser wieder als der Typ CARA:• Bei mittlerem Vermögen wird dieses Verhalten gut durch

als RNF approximiert (auch von Bernoulli selbst gewählt).• Bei sehr hohem Vermögen wird das Entscheidungsverhalten dagegen

„vorsichtiger“ und entspricht eher der RNF ⁄ ∙ mit α 0.Zur allgemeinen Verwendbarkeit von Risiko-Nutzen-Funktion:• Bei einer zeitlich kurzfristigen Betrachtung (z.B. Jahresperspektive mit

starken Schwankungen der Ergebnisse) helfen RNF nur wenig.• Bei einer Langfristbetrachtung kann dies anders sein. Hier kommt es

jedoch je nach Wahl der RNF zu erheblichen Ergebnisunterschieden. Zudem besteht hier stets das Problem der Änderung persönlicher Nutzeneinstellungen.


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Portfoliomanagement bis 2012.12.18 - uni-kassel.de€¦ · Portfolio-Begriff II Ergänzungen: 1. Die einzelnen Assets in einem Portfolio unterscheiden sich untereinander sowie vom