Seminar Mathematische Modelle in den Natur- und ... · Institut fur Angewandte und¨ Numerische Mathematik Seminar ” Mathematische Modelle in den Natur- und Ingenieurwissenschaften“

Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik

Seminar

”Mathematische Modelle in den Natur- undIngenieurwissenschaften“

Prof. Dr. Willy DorflerJProf. Dr. Tobias Jahnke

Institut fur Angewandte und Numerische Mathematik

14. Februar 2008


Formales

I Ort und Zeit: Dienstags um 14:00 Uhr, S11I Zielgruppe:

I Studierende im HauptstudiumI Studierende des Lehramts

I Einzelarbeit


Das sollen Sie lernen

I Einige mathematische ModelleI Umgang mit wissenschaftlichen TextenI Halten eines (wissenschaftlichen) VortragsI Mathematik erklaren


Das sollten Sie mitbringen

I Interesse an mathematischer ModellierungI Kenntnisse aus Analysis IIII Interesse an Physik oder ChemieI Kein Angst vor komplizierten Formeln


Was wir von Ihnen erwarten

I Einarbeitung (min 4 Wochen)I Vortrag (60 Minuten)

I TafelI Beamer

I Diskussion der VortrageI Ausarbeitung (5 Seiten)


Das konnen Sie mitnehmen

I VortragserfahrungI Information uber aktuelle ForschungsgebieteI Kontakt zu Mitarbeitern unseres Instituts

(Examensarbeit, Diplomarbeit)I Seminarschein


Themengebiet 1:Optische Eigenschaften photonischer Kristalle

Betreuer:Markus Richter


Die Maxwell-Gleichungen

Und Gott sprach...

∇× H =∂D∂t

+ J,

∇× E = −∂B∂t,

∇ · B = 0,

∇ · D = %

... und es wurde Licht.


Vortrag 1.1Die Maxwell-Gleichungen

I Wie interpretiert man die einzelnen Großen?I Was beschreiben die einzelnen Gleichungen?I Was sind die zugrunde liegenden physikalischen

Phanomene?I Was sind die zugrunde liegenden mathematischen

Satze?I Welche Wechselwirkungen bestehen zwischen Licht und

Materie?


Vortrag 1.2Weiterer Vortrag uber die Maxwell-Gleichungen

I Inhalte werden noch bekannt gegeben...


Vortrag 1.3Vereinfachungen und Anwendungen

I Was sind zeitharmonische Wellen?I Wie gelangt man zu Eigenwertproblemen?I Was sind Moden?I Kann Licht durch eine Rohrleitung ”fließen“?


Vortrag 1.4Die schwache Formulierung

I Was sind schwache Formulierungen?I Warum benotigt man eine schwache Formulierung bei

photonischen Kristallen?I Was ist der Raum H(curl)?I Welches Eigenwertproblem beschreibt einen

photonischen Kristall?


Themengebiet 2:Faser- und Partikelsedimentation

Betreuer:

Markus FeistFlorian Keller



Navier–Stokes Gleichungen

Newtonsches und inkompressibles Fluid:

ρf

(∂u∂t

(x , t)+u(x , t) · ∇u(x , t))

= −∇p(x) + µf ∆u(x , t) + ρf g∇ · u(x , t)= 0

fur alle (x , t) ∈ R3\B(t)× R+

g = (gx1 ,gx2 ,gx3)T Erdbeschleunigungx = (x1, x2, x3) Ortsvektort Zeitvariable


Vortrag 2.1Herleitung der Navier–Stokes Gleichungen

I Welche Vereinfachungen werden gemacht?I Welche Auswirkungen haben diese Vereinfachungen?I Beispiele Erklarungen?I Koordinatentransformation mit den Navier-Stokes

Gleichungen?


Vortrag 2.2Weiterer Vortrag uber die Navier–StokesGleichungen



Vortrag 2.3Weitere Stromungsformen

I Entdimensionierung der Navier–Stokes Gleichungen?I Langsame Umstromung einer Kugel?I Umstromung eines schlanken Korpers?I Turbulente Stromungen?


Sedimentation eines geladenen Partikels ineinem Elektrolyt

Navier-Stokes

Maxwell/Poisson

Nernst-Planck

Kraft/Moment


Sedimentation eines geladenen Partikels ineinem Elektrolyt

GesamtmodellGesuchte Groessen: v F, pF, vi , ni , ψ, zα.

ρF ∂v F

∂t+ v F · ∇v F +∇pF − µF∆v F − ρFg − ρe∇ψ = 0,

∇ · v F = 0;

−∆ψ − ρe

ε0εr= 0,

∂ni

∂t+ Di∆ni + v F · ∇ni − Di

ekBT∇ · (zini∇ψ) = 0,

vi − v F +zieλi∇ψ +

kBTλi∇ln(ni) = 0.


Vortrag 2.4Sedimentation eines geladenen Partikels ineinem Elektrolyt

I Herleitung der Poissongleichung und derNernst-Planck-Gleichung

I Sternschicht-TheorieI RandbedingungenI Entdimensionierung des GesamtsystemsI Vereinfachung der GleichungenI Existenz und Eindeutigkeit der LosungI Analytische Losungen fur SpezialfalleI Losung von Oshima


DLVO-TheorieUntersuchung der Stabilitaet von Suspensionen

UT

h

Bornsche Abstoßung

v. d. Waals Anziehung

Elektrostatische Abstoßung

Gesamtwechselwirkung


Vortrag 2.5DLVO-Theorie

I Druck zwischen zwei Flachen in einem ElektrolytI van der Waals-KrafteI Bornsche AbstoßungI Hamaker-TheorieI Abhangigkeit der Stabiltitat von der IonenkonzentrationI Erweiterung der DLVO-TheorieI Stabilisierung von Suspensionen


Themengebiet 3:Nonlinear Dispersive Waves in the NonlinearSchroedinger Approximation

Betreuer:Tomas Dohnal


Nonlinear Schroedinger Equation

iut +4u + γ|u|2u = 0, u = u(x , t) ∈ C, x ∈ Rd , t ≥ 0

Applications:I optical pulses (e.g. from a laser) in cubically nonlinear

media (e.g. silica)I photonic fibers (⇒ 1D NLS)I slab waveguides (⇒ 2D NLS)I bulk media (⇒ 3D NLS)

I wavepackets of surface waves on deep water (1D or 2DNLS)

I plasma wavesI in general: wavepackets in weakly nonlinear, dispersive

and conservative systems



Derivation for pulses in optical fibers with a cubicnonlinearity:Maxwell’s equations reduce to4~E − n2

0c2 ∂

2t~E − 1

c2∂2t

(χ(3)|~E |2~E

)= 0, n0 = n0(x2 + y2)

Assuming a slowly varying envelope ansatz~E = (U(x , y , ω0),0,0)T A(Z ,T1,T2)ei(k0z−ω0t)+c.c.,Z = ε z,T1 = ε t ,T2 = ε2 tUsing multiple scales expansion obtain the 1D NLS

i∂T2A + α∂2ξA + β|A|2A = 0.



Derivation for pulses in optical fibers with a cubicnonlinearity:Maxwell’s equations reduce to4~E − n2

0c2 ∂

2t~E − 1

c2∂2t

(χ(3)|~E |2~E

)= 0, n0 = n0(x2 + y2)

Assuming a slowly varying envelope ansatz~E = (U(x , y , ω0),0,0)T A(Z ,T1,T2)ei(k0z−ω0t)+c.c.,Z = ε z,T1 = ε t ,T2 = ε2 tUsing multiple scales expansion obtain the 1D NLS

i∂T2A + α∂2ξA + β|A|2A = 0.



Properties of the NLS:I dispersiveI Hamiltonian (infinite dimensional)I completely integrable via the inverse scattering transformI explicit pulse-like solutions known in 1D: solitons


Vortrag 3.1Nonlinear Schroedinger Equation

Project Tasks:I overview of the applications of NLSI derivation of the NLS for pulses in optical fibers with

instantaneous cubic nonlinearity from the nonlin. Maxwellequation under the divergence free condition ∇ · ~E = 0

I abstract derivation for envelopes of wavepackets inweakly nonlinear dispersive systems

I soliton solutions


Gross-Pitaevsky Equation/Periodic NLS

iut +u+xx−V (x)u+γ|u|2u = 0, V (x+d) = V (x), t ≥ 0, x ∈ R, γ ∈ R,d > 0

Applications:I Gross-Pitaevsky: density distribution of an elongated

Bose-Einstein Condensate (supercooled Rb, He, ...)loaded on an optical lattice

I Periodic NLS: optical beam in a periodic slab waveguideDerivation in the optics setting:- cubically nonlinear dielectric medium- refractive index n0 = n0(y)V (x), V (x + d) = V (x)- slowly modulated beam in the z−direction

~E =

U(y , ω0)00

A(Z , x)ei(k0z−ω0t) + c.c., Z = ε z

⇒ obtain the asymptotic model

iAZ + Axx − k2A− V (x)A + Γ|A|2A = 0


Gross-Pitaevsky Equation/Periodic NLSProperties of the periodic NLS:

I dispersiveI Hamiltonian (infinite dimensional)I NOT completely integrable via the inverse scattering

transformI spectrum of the linear oprator ∂xx − k2 − V (x) is

continuous with gapsI in the spectral gaps exist stationary solitary waves: Gap

Solitons


Vortrag 3.2Gross-Pitaevsky Equation/Periodic NLS

Project Tasks:I detailed derivation of the periodic NLS either for optics or

BECs and a brief derivation for the other caseI computation of σ(∂xx − k2 − V (x)) using Floquet theoryI overview of known results on existence and linear

stability fo gap solitons


Themengebiet 4:Stochastische Reaktionskinetik

Betreuer:Tobias Jahnke


Traditionelle ReaktionskinetikReaktionen zwischen verschiedenen Stoffen S1,S2, . . .

Beispiel: S1 + S2c1−→ S3

S3 + S4c2−→ 2S4

. . . . . . . . .

Annahmen: konstante Temperaturkonstantes Volumenhomogene Verteilung im Raum

Traditionelle Beschreibung:System von ODEs (−→ Konzentrationen)

Schlechtes Modell fur Reaktionen in Zellen!Kleine Teilchenzahlen, kritische Fluktuationen


Traditionelle ReaktionskinetikReaktionen zwischen verschiedenen Stoffen S1,S2, . . .

Beispiel: S1 + S2c1−→ S3

S3 + S4c2−→ 2S4

. . . . . . . . .

Annahmen: konstante Temperaturkonstantes Volumenhomogene Verteilung im Raum

Traditionelle Beschreibung:System von ODEs (−→ Konzentrationen)

Schlechtes Modell fur Reaktionen in Zellen!Kleine Teilchenzahlen, kritische Fluktuationen


Vortrag 4.1Der stochastische SimulationsalgorithmusBetrachte diskrete Teilchenzahlen statt Konzentrationen

Zufallsvariable X (t) =

X1(t)...

Xd (t)

∈ Nd

Markov-Sprungprozess im Zustandsraum Nd .

Stochastic simulation algorithm (Gillespie 1976):Erzeuge Realisierungen von X (t).


Vortrag 4.1Der stochastische SimulationsalgorithmusBetrachte diskrete Teilchenzahlen statt Konzentrationen

Zufallsvariable X (t) =

X1(t)...

Xd (t)

∈ Nd

Markov-Sprungprozess im Zustandsraum Nd .

Stochastic simulation algorithm (Gillespie 1976):Erzeuge Realisierungen von X (t).


Vortrag 4.2: Die chemische MastergleichungWahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen

p(t , x) = P(

xk Exemplare von Sk zur Zeit t), x =

x1...

xd

∈ Nd

Chemische Mastergleichung (CME)

∂

∂tp(t , x) =

m∑j=1

(αj(x − νj)p(t , x − νj) − αj(x)p(t , x)

)Propensity functions αj(x)Stoichiometrischer Vektor νj ∈ Zd



p(t , x) = P(


x1...

xd

∈ Nd


∂

∂tp(t , x) =

m∑j=1



Chemische Mastergleichung = System von ODEs



p(t , x) = P(


x1...

xd

∈ Nd


∂

∂tp(t , x) =

m∑j=1




Problem: Eine ODE pro Zustand!Zu viele ODEs fur traditionelle Verfahren!



p(t , x) = P(


x1...

xd

∈ Nd


∂

∂tp(t , x) =

m∑j=1




Beispiel: Drei Stoffe mit je bis zu 100 Kopien−→ CME = 1003 ODEs !



p(t , x) = P(


x1...

xd

∈ Nd


∂

∂tp(t , x) =

m∑j=1



Chemische Mastergleichung = “diskrete PDE”



p(t , x) = P(


x1...

xd

∈ Nd


∂

∂tp(t , x) =

m∑j=1


)


Vortrag 4.3Weiterer Vortrag uber die chemischeMastergleichung



Das wars...

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