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Simultane Ausbreitung von Konvektion und Warme im Sterninnern ( V e r o f f e n t l i c h u n g e n d e r S t e r n w a r t e M i i n c h e n Bd. 4 Nr. 19)

Von F. SCHRIEIDLER, hliinchen (Eingegangen 1955 September 3 *)

Ausgehend von der Tatsache, daD thermisch stabile Schichtung die Ausbildung von Konvektion zwar erschwert, aber nicht vollig unmoglich niacht, wird darauf hingewiesen, daB der Konvektionszustand eine Tendenz zur Ausbreitung hat, die der rlusbreitung der ungeordneten molekularen Warmehewegunq analog ist. Infolgcdessen ist die in instabilen Zonen vorhandene Konvektion bestrebt, auf thermisch stabiles Gebiet uberzugreifen und dort eine adiabatische Tempe- raturschichtung herzustellen. 1)adurcli wird der Widerstand, den die Schichtung der Konvektion entgegensetzt, vcr- riiigert und die weitere Ausbreitung lcann leichter erfolgen. Analytisch I a D t sich diese Koppelung der Ausbreltnng von 1convel;tion und Warme durch zwzi siniultane partielle DiIferentialgleichungen beschreiben. lhrc genaiherte Integration ergibt, daD der in den LuDeren Schichten der Some beobachtete Konvcktionszustand sich nach spatcstens 330 Jahren auf die ganze Sonne ausbreiten n i u D . Man hat daher im Innern cines Sterns, der nur in irgcndeiner Zone thermisch wesontlich instabil ist, mit dnrchgehender Konvektioii inid vollkoinmen adiabatischer Schichtung zu reclinen.

Die physikalisclie Richtigkeit der entwickeltcn Vorstellung uber dic Ausbrei tungstendenz des k'onvelctionszustands wird durch die Erfahrungen in der Erdatmosphare gestiitzt. Eine ansfiihrliche Theorie dcr zeitlichen hde rungen tler atmospharischen Konvektion is t der Inhalt einer an anderer Stelle erscliienenen Arbeit [I] des Verfassers und ergibt gute Ubereinstimmung mit den meteorologischen Beobachtungen.

1. Auftreten und Ausbreitung von Turbulenz Die Energie, die von eineni Fixstern laufend in den Rauni ausgestrahlt wird, mu0 in den inneren

Teilen des Sterns erzeugt und vom Ort der Erzeugung an die Oberflache transportiert werden; durch den ganzen Stem flient standig ein Strom von Energie. Die ubertragung der Energie von Schicht zu Schicht kann durch Strahlung oder durch Konvektion erfolgen ; die zweifellos auch vorhandene moleliulare Leitung ist zahlenma13ig zu klein, um gegeniiber den beiden anderen Moglichkeiten ins Gewicht zu fallen. Die Frage ist, ob Strahlung oder Konvektion den Vorrang ha t ; im letzteren Fall ware der Stern im Innern durchweg adiabatisch aufgebaut, im ersteren wiirde im ganzen Stern Strahlungsgleichgewicht herrschen.

Es ist klar, da13 mindestens in denjenigen Zonen des Sterns, in denen das reine Strahlungsgleich- gewicht uberadiabatische Gradienten bedingen wurde, Konvektion herrschen mu13. Infolgedessen sind haufig Modelle des inneren Aufbaus der Sterne betrachtet worden, bei denen in gewissen Zonen konvektives Gleichgewicht und in den Zwischenzonen Strahlungsgleichgewicht herrsch t . \'or allem ist in den zentralen Partien des Sterns wegen des dort gegebenen hohen Temperaturgradienten eine konvektive Zone zu ver- muten, in den aiuoeren Schichten ist bei der Sonne die Wasserstoff-Konvektionszone aus Theorie und Beobachtung bekannt, fur deren Tiefe die Grooenordnung von 0.1 Sonnenradius angenommen wird.

Fur die Gebiete zwischen den konvektiven Zonen wird meist reines Strahlungsgleichgewicht an- genommen, weil hier die durch den Strahlungstransport der Energie bedingten Temperaturgradienten unterhalb des adiabatischen liegen und infolgedessen kein Grund fur Konvektion vorliegt ; falls solche dennoch auftritt, sol1 sie durch die thermische Stabilitat der Schichtung sofort unterdriickt werden. Vom Verfasser wurde kurzlich [2] darauf hingewiesen, da13 dennoch auch in thermisch stabilen Schichten Turbulenz und durch sie bedingter konvektiver Energietransport stattfinden kann, wenn au13ere Ein- fliisse sie verursachen ; es wurde in diesem Zusammenhang d ynamische Turbulenz als mogliche aunere Ursache erwahnt, die daher ruhrt, daI3 gronraumige Striimungen im Sterninnern hydrodynamisch turbu- lent verlaufen. Diese dynamische Turbulenz wird in den Schichten, in denen thermische Stabilitat vor- liegt, nicht vollkommen unterbunden, sondern in ihrem Betrag vermindert, da bei jeder zufalligen Hebung eines Teilchens adiabatische Abkuhlung unter die Temperatur der Umgebung eintritt und das Teilchen einer dadurch verursachten rucktreibenden Kraft unterliegt. Daher ist die Intensitat der Turbulenz, die durch die zusammenfassende GroI3e A , den Austauschkoeffizienten, gemessen werden kann, eine Funktion desTemperaturgradienten und sie ist fur erheblich unteradiabatischeGradienten sehr klein. Dennoch mu13 man auch in thermisch stabilen Schichten mit einer, wenn auch sehr geringen Konvektion rechnen, wenn au0ere Umstande Turbulenz verursachen.

Es liegen experimentelle hydrodynamische Erfahrungen uber die Moglichkeit von Turbulenz bei thermisch stabiler Schichtung vor, welche ergeben, da13 die nach RICHARDSON benannte Zahl

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*) Urspriingliche Fassung 1953 November 5.

Astron. Nachr. Bd. 283 4

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einen gewissen kritischen Wert nicht uberschreiten darf, wenn eine vorhandene Stromung turbulent ver- laufen SOH; dabei ist in der ublichen Weise g die Schwerebeschleunigung, T die absolute Temperatur und u die Stromungsgeschwindigkeit. Der kritische Wert der Ri-Zahl ist von der GroBenordnung 10-1; wenn dieser Wert uberschritten wird, wird durch die thermische Stabilitat die Beweglichkeit der einzelnen Gaselemente genugend behindert , um Turbulenz uberhaupt zu unterbinden.

Fur die Verhaltnisse in einer freien Atmosphare erscheint dieses Kriterium unzureichend. Nach LETTAU [3] sind in der Erdatmosphare praktisch alle Stromungen turbulent, auch wenn nach dem RICHARD- soNschen Kriterium die thermische Stabilitat laminare Stromung erzwingen muBte. So widerspricht gerade das einzige Beispiel einer freien Atmosphare, die wir in Einzelheiten studieren konnen, dem auf die Ri- Zahl (I) gegrundeten Kriterium in krasser Weise und es liegt nahe, zu vermuten, daB dieses nur im Labora- torium gefundene Kriterium fur die Atmosphare nicht oder nur rnit Einschrankungen gilt. Und selbst wenn man diese Tatsache vollkommen ignorieren wollte, bleibt zu bedenken, daB in allen denjenigen Zonen eines Sterns Konvektion moglich ist, in denen zwar auf Grund des Temperaturgradienten thermisch stabile Schichtung vorliegt, aber der Unterschied gegenuber dem adiabatischen Gradienten nicht groB genug ist, um das auf die Ri-Zahl (I) gegrundete Kriterium zu verletzen. Das legt weiter die Vermutung nahe, daB im Innern der Sterne uberhaupt erhebliche Abweichungen von adiabatischer Schichtung un- moglich sind : denn da schon ein minimaler UberschuB des Temperaturgradienten uber den adiabatischen Wert den gesamten beobachteten Energietransport leisten kann, wozu nach BIERMANN [4] ein UberschuR von ein Promille des adiabatischen Werts genugt, wurde eine ebenso minimale Abweichung nach unten einen nach innen gerichteten Energiestrom vom gleichen Betrag ergeben, was schwer vorstellbar ist . Eine eingehende Prufung dieses Fragenkomplexes ergibt auf dem Weg uber einen neuen Gesichtspunkt die Richtigkeit der erwahnten Vermutung.

Naturgemal3 tritt in Zonen mit unteradiabatischen Gradienten Konvektion, auch wenn sie an sich moglich ist, nicht von selbst auf, wie es in Gebieten mit einer, wenn auch nur geringen thermischen In- stabilitat der Fall ist ; die Konvektion mu13 vielmehr entgegen der stabilisierenden Wirkung der Temperatur- schichtung von auBen her verursacht und laufend aufrechterhalten werden. Auner durch eine rnit dem allgemeinen groBraumigen Stromungsfeld moglicherweise verbundene Turbulenz kann ein solcher Ein- griff von auBen auch durch benachbarte Schichten erfolgen, in denen thermische Instabilitat und infolge- dessen Konvektion herrscht. Der Zustand der Konvektion hat, wie man bei naherer uberlegung erkennt, eine ganz entsprechende Tendenz zur raumlichen Ausbreitung wie die rnit ihm verwandte, nur um einige GroBenordnungen kleinere ungeordnete molekulare Warmebewegung. Ein krasses Beispiel mag das ver- anschaulichen. Wir stellen uns vor, daB im Innern eines Sterns oder irgendeiner geschichteten Gasmasse zwei Zonen aneinandergrenzen, an deren Trennungsschicht sprunghaft die Konvektion einsetzt bzw. auf- hort ; auf der einen Seite sol1 volle Konvektion herrschen, auf der anderen Seite vollkommene Ruhe. Die auf der einen Seite herrschende Konvektion veranlaBt regelmaBig einzelne Teilchen infolge ihrer ungeord- neten Bewegung in das nichtkonvektive Gebiet hinuberzutreten; schon aus Kontinuitatsgrunden allein mussen entsprechende andere Teilchen, die bisher sich in dem nichterregten Gebiet befanden, die Grenze in umgekehrter Richtung uberschreiten. Die aus dem konvektiven Gebiet ubertretenden Teilchen bringen ihre von dort stammende ungeordnete Energie rnit und nach einer gewissen Zeit ist die der Grenzflache unmittelbar benachbarte Schicht des bisher nichtturbulenten Gebiets in den Zustand der Konvektion mit einbezogen, nach einer gewissen weiteren Zeit ist es auch die nachste Schicht und SO geht es fort. Die in dem ursprunglich nichtturbulenten Gebiet etwa vorhandene thermische Stabilitat kann das Auf- treten der Konvektion nur verlangsamen, aber nicht verhindern, um so mehr, als in einer dem instabilen Gebiet nahe benachbarten Zone noch immer ein fast adiabatischer Gradient herrschen muB. Naturlich tritt der geschilderte Vorgang der Ausbreitung des turbulenten Erregungszustandes nicht nur in dem krassen Beispiel einer scharfen Grenze zwischen einem konvektiven und einem nichtkonvektiven Gebiet ein, sondern stets da, wo zwei Zonen aneinander grenzen, in denen die Konvektion eine verschiedene Intensitat hat. Da der Zahlenwert des Austauschkoeffizienten ein Ma13 fur die Intensitat der Turbulenz ist, kann man den Tatbestand so ausdrucken, daB der Austausch selbst ausgetauscht wird.

Die erwahnte Analogie des Austauschs der Konvektion zur molekularen Warmeausbreitung darf nicht allzu wortlich aufgefaBt werden. Der Mikromechanismus der Energieubertragung von Element zu Element ist in den beiden Fallen verschieden. Bei der molekularen Leitung wird die Energie durch StoB von Molekul zu Molekul ubertragen. Die Turbulenzelemente dagegen sind Gebilde von begrenzter Lebens- dauer; aber wahrend der Zeit, da sie sich als einheitliches Element bewegen, verdrangen sie andere Teilchen von ihrem Platz und diese verdrangen infolge der Kontinuitat wieder ihre Nachbarschaft. So entstehen und vergehen Turbulenzelemente dauernd und jedes ubernimmt die Energie von einem vorher da gewesenen. Aber die Tatsache, dan die Ubertragung der Energie durch andere Elementarvorgange erfolgt, andert nichts daran, daB eine Energieubertragung stattfindet und ahnliche Konsequenzen hat wie die Ubertragurig der ungeordneten molekularen Energie.

Dieser Tatbestand der Ausbreitungstendenz des turbulenten Erregungszustandes hat fur die innere Konstitution der Sterne weitere Konsequenzen. Wenn im Sterninnern irgendwo eine konvektive Zone vorhanden ist, wird die dort herrschende Turbulenz allmahlich auch auf die benachbarten, ursprunglich

F. SCHYBIDLER: Simultane Ausbreitung von Konvektion und Warme in1 Sterninnern 51

nichtkonvektiven Zonen iibergreifen, wenn auch infolge der thermischen Stabilitat dieser Schichten in verlangsamter Weise. In dem Ma&, wie sich in einem ursprunglich in thermisch stabilem Gleichgewicht befindlichen Gebiet Konvektion einstellt, trit t dort ein Transport von Warme ein. der nach innen gerichtet und der Differenz des Ternperaturgradienten gegen den adiabatischen Wert proportional ist ; dieser nacli innen gerichtete Warmestrom vergrooert den Temperaturgradienten, strebt also danach, eine Annaherung an adiabatische Schichtung zu bewirken. So ist die Konvektion, wenn sie einnial gegen den Widerstand der thermischen Stabilitat in Gang gesetzt ist, bestrebt, die Stabilitat zu verringern und tragt dadurch selbst dazu bei, den Widerstand gegen den Konvektionsvorgang zu verkleinern. I n dem MaOe, wie das geschieht, kann sich die aus den konvektiven Zonen importierte turbulente Energie noch leichter aus- breiten und dieser ProzeB der gegenseitigen Verstarkung von IJrsache und Wirkung geht so lange vor sich, bis schlieBlich irn ganzen Stern Konvektion und adiabatische Schichtung herrscht. Der tatsachliche V0r- gang ist also der einer simultanen Ausbreitung von Konvektion und adiabatischem Ternpcraturgefalle, wobei beide Ausbreitungsvorgange einander verstarken, bis das Ziel der konvektiven Schichtung im ganzen Stern erreicht ist.

In der Erdatmosphare demonstriert uns die Natur taglich das Schauspiel eines solchen kombi- nierten Ausbreitungsvorgangs im Experiment vor. Bei Sonnenaufgang herrscht in der Atmosphare denk- bar stabile Schichtung ; das Temperaturgefalle ist infolge der nachtlichen Abkuhlung dcs Erdbodens gering, isotherrne Schichtung und selbst Inversionen sind nicht selten. in Bodennahe sogar die Regel. Dennoch ist selbst unter ganz stabilen Verhaltnissen noch eine geringe Turbulenz vorhanden, wie die Tatsache beweist, daB man experirnentell noch einen geringen Massenaustausch messen konnte. Wenn die Sonne aufgeht und holier steigt, wird die unterste Bodeirschicht d a r k erwarmt. bis in einer diinnen Schicht unmittelbar uber der Oberflache uberadiabatisches Temperaturgefalle hc.rrscht und hicr Kon- vektion. in groBein Manstab auslost. Die ubcrtragung der Warme vom festen Erdboden, dcr primar die Sonnenstrahlen aufnirnmt und sich erwarmt, in die unterste Atmospharenschicht geht durch molekulare Leitung vor sich. Wenn aber einmal die Konvektion in einem noch so kleinen Bereich in Gang gesetzt ist, verbreitet sie sich durch den geschilderten Mechanismus von selbst weiter. Einzelne Teilchen der untersten bereits in Konvektion befindlichen Schicht dringen infolge eines zufalligen Anfangsimpulses in die dariiber befindliche Schicht, die nach einer gewissen Zeit ebenfalls in Konvektion gerat und danii adiabatische Temperaturschichtung annirnmt ; nach einer weiteren Zeit wird die nachst hohere Schicht einbezogen und so geht es fort, bis in den Mittagstunden die gesamte Atmosphare sich in lebhafter Kon- vektion befindet und adiabatische Schichtung aufweist. In dem Mane, wie sich abends und nachts die Atmosphare wegen fehlender Sonnenstrahlung wieder abkuhlt, spielt sich der ganze Vorgang in um- gekehrter Richtung ab.

Ein Unterschied besteht zwischen dem stellaren und dem terrestrischen Fall. In der Erdatmosphare wechselt die Sonncnstrahlung im taglichen Rhythmus und der beschriebene Mechanismus der Ausbreitung des Konvektionszustandes wird jeden Tag neu in Gang gesetzt. Im Innern eines Sterns herrscht die Icon- vektion in denjenigen Zonen, wo sie auf Grund des Verteilungsgesetzes der Energiequellen iiberhaupt auftritt, permanent und breitet sich auf die beschriebene Weise allmahlich im ganzen Stern aus. Wenn einmal dieser Ausbreitungsvorgang abgeschlosscn ist, besteht kein Grund, warum er sich wieder zuruck- bilden sollte, und daher bleibt ein Stern, in dem einmal durchweg ein turbuleriter Zustand sich eingestellt hat , immer im konvektiven Gleichgewicht.

2. FormelmaBige Beschreibung der Ausbreitung der Turbulenz Wenn im Innern eines Sterns irgendwo eine konvektive Zone besteht, hat die Konvektion nach

den vorhergehenden Ausfuhrungen die Tendenz sich auszubreiten. Wenn man beweisen kann, daB diese Ausbreitung nach einer kosrnisch kurzen Zeit uber den ganzen Stern erfolgt. ware der Beweis erbracht, daB man im Innern der Sterne durchweg nur niit konvektiver Schichtung und konvektivem Energie- transport zu rechnen hat und daB der Zustand des reinen Strahlungsgleichgewichts nirgends bestehen kann; denn wenn er auch zu irgendeinem Zeitpunkt in irgendeiner Zone bestande, wurde er durch den besprochenen Ausbreitungsvorgang der Konvektion ill kiirzester Zeit zerstort. Tatsachlich 1aRt sich dieser Beweis erbringen, wenn man die im ersten Abschnitt nur in qualitativer Forrnulierung entwickelten An- schauungen iiber den Mechanismus der Ausbreitung der Konvektion durch Formeln ausdriickt. Die Frage nach tler Zeit, die die Ausbreitung eines turbulenteri Erregungszustandes uber den ganzen Stern be- notigt , laBt sich durch Heranziehung der summarischen Austauschlehre erledigen, mit der meteorologische Fragen dieser Art behandelt werden.

Der Turbulenzzustand in einer Gasrnasse kann beschrieben werden durch Angabe einer mit tleren Geschwindigkeit is und des Mischungswegs 2 der einzelnen Turbulenzelemente ; beide GroBen konnen ortlich variieren und dadurch den unterschiedlichen turbulenten Erregungszustand in verschiedenen Zonen des Sterns kennzeichnen. Fur die Ausbreitung beliebiger Eigenschaiten innerhalb der Gasmasse ist der Zahlenwert des Austauschkoeffizienten A = e ti 1 maBgebend. Fur die funktionale Abhangigkeit des Aus- tauschkoeffizienten vom Temperaturgradienten wurde vom Verfasser [23 eine Formel aufgestellt, die aus der Annahme folgt, daB im statistischen Mittel die Turbulenzelemente mit einer Anfangsgeschwindigkeit z)

4'

52 F. ScIihxEIDLER: Simultane Ausbreitung von Konvclction und warme im Sterninnern

aufzusteigen beginnen und eine Verzogerung erfahren, die der Entfernung aus der Anfangslage proportional ist ; wenn man diese Entfernung mit x bezeichnet, ist die Bewcgungsgleichung

x = - u 2 x .

Die CroBe a, die ein MaB der Vcrzogerung darstellt, hangt vom Temperaturgradienten ab. Die Ausfiihrung der Theorie ergab die folgenden Beziehungen

Die Formel (4) gibt an, wie a vom Temperaturgradienten abhangt : die in ihr auftretende Schwerebeschleu- nigung g ist im Innern eines Sterns eine Funktion des Ortes. a0 ist der Betrag. den a annimmt, wenn adiabatische Schichtung herrscht und die Gasteilchen keiner Beschrankung ihrer Beweglichkeit infolge thermischer Stabilitat unterliegen: a0 ist ein Ma13 des Widerstands der Gasmassen gegen von aul3en auf- gepragte Bewcgungen und ist, falls dynamische Turbulenz groflraumiger Stromungen hinzutritt, auch eine Funktion des Stromungsfeldes. Man erkennt aus (4) die bemerkenswerte Konsequenz, daB die thermische Stabilitat der Schichtung im Innern der Sterne die Intensitat des Austauschs um so weniger herabdriickt, je naher dem Mittelpunkt sich eine Schicht befindet ; denn bei Annaherung an das Zentrum des Sterns nimmt g a b und T zu und beide Tatsachen wirken nach (4) in dem Sinn. daB a sich dem durch thermische Stabilitat unbeeinfluI3ten Wert a0 nahert.

Der Austausch bewirkt, daR die ihm unterliegenden Eigenschaften der Gasrnasse einem standigen Mischungsprozen unterliegen. Dabei ist zu beachten, daB nur sogenannte QuantitatsgroBen ausgetauscht werden. d . h. GroBen, die proportional der Menge der betrachteten Gasmasse wachsen. Es werden also z. B. nicht Temperaturen, sondern Warmeinhalte ausgctauscht. Sei s der Gehalt des Gases an irgend- einer GroBc pro Masseneinheit, dann wird durch den Austausch ein standiger Strom G der Eigenschaft .s bewirkt :

Dieser Strom erzielt eine zeitliche Anderung der Grol3e s

6 = - A grad s .

I 1 div = -- div ( A grad s) . _ - - as

at e e _ -

Fur s mu0 der Gehalt des Gases pro Masseneinheit an der Eigenschaft s genommen werden, weil A als Faktor die Dichte enthalt.

Im Innern cines Sterns hat man nur radiale Unterschiede einzelner Eigenschaften zu beruck- sichtigen: im statistischen Mittel ist ein Stern radialsymmetrisch aufgebaut (von den Effekten, die durch Rotation verursacht werden. sol1 hier abgesehen werden) und in den Differentialoperationen in (5) hat man nur die radiale Komponente zu benutzen. So findct man

as I a at - - - (A $)

als allgemeine Differentialgleichung des Austauschs. Die GroBcn, die irn Hinblick auf das vorliegende Problem interessieren, sind der Austausch des turbulenten Erregungszustandes und dcr Warme. Als Man der turbulenten Energie pro Masseneinheit ist die GroBe

zu nehmen und daher besteht die Gleichung E = * 3 (7 1

Die durch den Austausch transportierte Warmemenge ist proporiioflal der Differenz zwischen dem hcrr- schenden Temperaturgradienten und dem adiabatischen Wert, denn bei adiabatischer Schichtung wird durch Austausch iiberhaupt keine Warme transportiert . Als die dem Austausch unterliegende GroBe kann man daher

ansehen und hat die Austauschgleichung FV = c,(T - Tacl) = cP U

Die beiden Differentialgleichungen (8) und (9) konnen nicht einzeln integritrt werden, weil A nach (3) und (4) sowohl von E als auch von U abhangt; dann driickt sich analytisch die im ersten Abschriitt

F. SCHMEIDLER: Simultaiie Ausbreitung von Konvektion und Warme im Sterninnern 63

geschilderte Tatsache aus, dal3 die Ausbreitung von Konvektion und Temperatur in simultaner Weise gekoppelt ist und beide Austauschvorgange sich gegenscitig verstarken. Unter Benutzung der Definition (7) von E iindet man aus (3) und (1)

Dieser Ausdruck fur A ist in die Differentialgleichungen (8) und (9) einzusetzen; dann hat man fur die beiden Unbekann ten E und, U zwei simultane partielle Diiferentialgleichungen, deren Losung den be- schriebenen Ausbreitungsvorgang formelmanig wiedergibt. Das System der zu Iosenden Gleichungen lautet

(11)

cP T O ; ar

Beide Gleichungen sind nicht linear, auf den rechten Seiten treten die Unbekannten in nicht h e a r e r Form auf.

Da es zweifelhaft erscheinen konnte, ob die Obertragung der fur die molekulare Warmeausbreitung ublichen Begriffsbildung auf die Turbulenz erlaubt ist, sol1 die Ausbreituiigsgleichung (S) der turbulenten Energie auch aus den hydrod.ynamischen Gleichungen unabhangig abgeleitet werden. Diese lauten bei Abwcsenheit von aul3eren Kraftcn

a b at

@ - + p (b grad) b - ,u d D 3- grad fi = o , div b = o

Skalare Multiplikation mit b ergibt, wenn die molekularc Reibung vernachlassigt und von auI3eren I h c k - gradienten abgesehen, also grad j5 == o gesetzt wird, im Mittel

pz(,) + e b ( b g r a d ) b = o . _____ a 6 2

Der zweite Term dieser Gleichung kann umgefornit werden. Wegen der allgemeinen Beziehungen V 2

(U grad) b = grad ;- - [b rot b] und b [U rot b] = o - erhalt man die Umformung

212 b(b grad) b = bgrad - .

2

V 2 Wegen div b = o kann das Glied - div b hinzugefugt werden und man erhalt

2

Wenn keine systematische Striiniung vorliegt, bzw. die Betrachtung in einem mit der Fliissigkeit be- wegten Koordinatensystem angestellt wird, ist der Mittelwert 4 p b v2 gleich dem Strom der turbulenten Energie und kann durch --A grad E dargestellt werden: unter der Voraussetzung e = const erhalt man damit die GI. (5) fur s == E.

Bei der Aufstellung der zweiten Gleichung (II), die den Austausch der Warme beschreibt, sind Ver- nachlassigungen vorgenommen. Auf der rechten Seite ist nur der konvektive Warmestrom berucksichtigt und der stets aul3erdeni vorhandene Strahlungsstrom der Energie vernachlassigt ; es ist damit die Voraus- setzung gemacht, dal3 der konvektive Energiestrom, falls uberhaupt vorhanden, weit grol3er als der Strahlungsstrom cler Energie ist. Auf Grund der hohen Dichte der Materie im Innern der Sonne erscheint diese Voraussetzung gerechtfertigt. Es mu13 aber betont werden, daI3 die vorgenommene Vernach- lassigung in den aul3ersten Schichten der Soniie wegen der dort vorliegenden geringen Dichte nicht mehr zulassig ware.

AuBerdem ist in Gleichung (11) vorausgesetzt, dal3 alle Turbulenzelemente ihren Zustand genau adiabatisch andern. Da die aufsteigenden I’artikel infolge ihrer ubertemperatur Warme an ihre Umgebung abstrahlen, verhalten sie sich nicht in Strenge adiabatisch und die vorgenommene Vernach- lassigung ist gleichbedeutend niit der Annahnie, daB der Warmeverlust an die Umgebung vernachlassigbar gering ist. Von H. ERTEL [5] ist kurzlich hervorgehoben worden, daD infolge des Warmeaustauschs speziell der kleinsten Turbulenzelemente niit der Umgebung in der Erdatmosphare der Temperaturgradient der aufsteigenden Elemente nicht genau adiabatisch ist.

Von E. VITENSE [6] wurde der gleiche Effekt fur. die Sonnenatmosphare naher studiert. Nach den gefundenen Resultaten ist die Abweichung cles mittleren Teniperaturgradienten der Turbulenzelemente

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54 F. S C H M E I D L E R : Simultane Ausbreitung von Konvektion nnd \\'Brine irn Sterninnern

vom acliabatischen Wert in den hoheren Schichten der Sonnenatmosphare noch merklich, aber in groBerer Tiefe verschwindet der Unterschied gegenuber dem adiabatischen Wert praktisch vollstandig. Das steht im Einklang mit der am Ende der vorliegenden Arbeit (s. Abschnitt 3) hervorgehobenen und fur ander- weitige SchluBfolgerungen benutzten Tatsache, daB das Kriterium fur die Adiabasie aufsteigender Tur- bulenzelemente immer besser erfiillt ist, je tiefere Schichten im Sonneninnern man betrachtet. Da die fol- genden Untersuchungen ausschlieBlich das eigentliche Innere der Sonne zum Gegenstand haben, erscheint auch diese Vernachlassigung gerechtfertigt.

Die aufgeworfene Frage, wie lange Zeit die simultane Ausbreitung von Koiivektion und Warme infolge von Massenaustausch in einem Stern erfordert, 1aBt sich aus den Differentialgleichungen (I I) n.ach Einfiihrung von Vereinfachungen beantworten. Alle Verehfachungen sollen dabei so getroffen werden, daS die notwendigen Hypothesen dem AusbreitungsprozeB moglichst ungunstig sind. Fur die auf den rechten Seiten in (11) auftretende Wurzel wird ein konstanter, maximaler Wert benutzt, der sich aus folgender uberlegung ergibt. Fur g wird der griiI3te im Stern vorkommende Wert, fur T der kleinste genommen, fur beide GroSen also die an der Oberflache gultigen Werte go und To; die Differenz zwischen dem Temperaturgradienten und seinem adiabatischen Wert wird clurch den im Mit tel im ganzen Stern herrschenden Temperaturgradienten selbst ersetzt, also den Quotienten aus Mittelpunktstemperatur und Radius R. Dann kann man, unter T, die Mittelpunktstemperatur verstanden, abschatzen

In (11) wird die rechts auftretende Wurzel durch diese obere Grenze ihres Wertes ersetzt, dann erhalt man die dem Ausbreitungsvorgang ungunstigste Abschatzung. Damit wird die erste GI. (11)

Im zweiten Glied auf der rechteri Seite wird der Gradient von g proportional zu e selbst gleich A Q gesetzt ; das entspricht der einigermaljen plausiblen Annahme, daB die Dichte im Sterninnern wie eAr variiert. Fuhrt man die Abkiirzung

Z E 2 kor, = u

ein, so hat man die Differentialgleichung fur u in der vereinfachten Form

Ein Vergleich mit dem Vorgang der molekularen Leitung Iegt einen Ansatz fur die Liisung der G1. (13) nahe. Gesucht ist diejenige Losung, die die Ausbreitung der zu irgendeinem Anfangszeitpunkt t = o vor- handenen Konvektion wiedergibt, die an irgendeinem Punkt im Sterninnern herrscht. Man kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit annehmen, daB der Ort dieser Punktquelle im Mittelpunkt ist, denn der Ausbreitungsvorgang als solcher bleibt davor! unberiihrt ; die vereinfachte Difierentialg1eichun.g (13) ist gegen eine Verschiebung des Anfangspunkts der Zahlung der Koordinate Y invariant.

Lage statt (13) die Difierentialgleichung der molekularen Leitung

vor, in der p eine Konstante ist, dann ware diejenige Losung, die der Ausbreitung einer am Ort Y = o vom Zeitpunkt t = o an wirksamen Punktquelle entspricht, gegeben durch

T l

I -- U=--e 4 p t .

1/43 Als Funktion von Y betrachtet ist das eine GAusssche Fehlerfunktion mit einem zeitlich variablen Streu- ungsparameter u, der rnit der Quadratwurzel der Zeit wachst. Die gesuchte Losung von (13), die auch einer Punktquelle en tspricht, hat naturgemaI3 nicht diese einfache Bauart, 1aSt sich aber als im Unend- lichen verschwindende Funktion. in eine allgemeine A-Reihe entwickeln

u = A& + A,P;'II + A,P;'V + I?

I -- 2 + (14) mit p = --=e

U1/2 7c

Die Konstanten dieser Entwicklung sind Funktionen der Zeit und mussen unter Zuhilfenahme der Dif- ferentialgleichung (13) bestimmt werden. Dabei ist als Bedingung zu beachten, daI3 die Streuung zum Zeitpunkt i? = o verschwinden muI3, denn die Wiikung der Quelle sol1 zu dieser Zeit einsetzen.

Is. SCHMEIDLER: Simultane Ausbreitung von Konvektion und W l r m e im Sterninnern 55

Zur Bestimmung der Konstanten des Ansatzes (14) benotigt man die Momente der Funktion u im

/ L ; = J Y ~ U ( Y ) d r ; -0s

nach bekannten Formeln sind dann die Werte der Konstanten gegeben durch

und en tsprechende Formeln fur die hoheren Koeffizienten. Fur das vorliegende Problem interessiert in erster Link die Streuung cr, die als Funktion der Zeit bestimmt werden mu& Unter Benutzung von (13) findet man leicht, daR p, zeitlich konstant ist :

Each (15) ist also auch der Koeffizient A , der Entwicklung (14) zeitlich konstant. Aus der zweiten G1. (15) findet man ietzt fur (T

Ersetzung von p, durch A , und partielle Integration ergibt

Hier ist unter den1 Integral der aus (14) folgen.de Ausdruck u2 =z A/tAvl?J(P)p(l,)

P , v

einzusetzen. Da es fur die folgenden Erwagungen nur auf die GroRenordnung der Streuung ankommt, genugt es, von der Entwicklung fur u2 nur das erste Glied zu berucksichtigen und damit folgt

das ist die Differentialgleichung, die (T als Funktion der Zeit festlegt. Integration unter Berucksichtigung der erwahnten Anfangsbedingung (T = o fur t = o liefert

und damit ist das Gesetz gefunden, wie in erster Naherung der Streuparameter der Entwicklung (14) niit der Zeit variiert.

Diese Formeln konnen benutzt werden, um zu berechnen, wie lange es z. B. dauert, bis die in der Sonnenatmosphare beobachtete Konvektion sich durch die garize Sonne ausgebreitet hat ; das wird zu dem Zeitpunkt der Fall sein, da die nach (17) berechnete Streuung von der GroReoordnung des Sonnen- radius ist. Wir nehmen an, darj am Sonnenrand (Y = R) eine Punktquelle turbulenter Erregung von einem gewissen Zeitpunkt 1 = o an wirkt. Die an der Sonnenoberflache beobachtete Konvektion wird durch folgende Zahlenwerte gekennzeichnct

daraus V

V = 105 cm sec-1, I = 108 cm, E = -A V 2 = 0.5.10~0 cm2 sec-?, a, 'Y (x = - = I O - ~ sec-l. 1

Ferner haben die in dem Ausdruck (12) auftretenden GroOen die Werte go = 3 . 104 cm sec-2, T , = 2 - 10' grad , To = 6 . 103 grad , R = 7 IO*O cm

und daher findet sich

(IS)

Dieser am Quellpunkt bestehende Wert u, ist nach (14) bei Beschrankung auf das erste Reihenglied gegeben durch

und man findet aus (17) unter Vernachlassigung des Zahlenfaktors, der von der Grofienordnung I ist, _ _ 3-. 3 __

G = V A , ~ = ~ ~ u , u t , folglicli G = f2.5 u,t .

56 F. SCHMEIDLER: Simultane Ausbreitung von Konvektion und Warme irn Sterninnern

Gesucht ist die Zeit, nach der CT an GroI3e dem Sonnenradius H vergleichbar ist ; setzt man also o = R und fur u,den Wert (18) ein, dann findet sich

t = rol0 sec = 300 Jahre . So besteht das Resultat: Wenn zu irgendeinern Zeitpunkt irgendeine Schicht in der Sonne, etwa die Wasserstoffkonvektionszone, sich in Turbulenz befindet, breitet sich der Konvektionszustand nach einern Zeitraurn von der GroBenordnung von 300 Jahren auf die ganze Sonne aus; diese rnuB sich daher in ihrern ganzen Innnern irn Zustand der Konvektion befinden. Da das Resultat aus der GI. (13) gewonnen ist , die gegenuber der strengen GI. (11) durch mehrere dern Ausbreitungsvorgang ungiinstige Hypothesen vereinfacht ist, wurde sich wahrscheinlich bei genauer Rechnung die fur die Ausbreitung des Konvektions- zustands notwendige Zeit wesentlich kurzer ergeben. Auf der anderen Seite ist die Rotation nicht beriick- sichtigt worden, die meist eine stabilisierende Wirkung gegenuber Konvektionsvorgangen hat : aber der Spielraum des fur den Ausbreitungsvorgang gefundenen Zeitraums von maximal 300 Jahren gegeniiber dern Alter der Sterne crscheint groI3 genug, um die Richtigkeit des gezogenen Schlusses auch bei rotieren- den Sternen anzunehmen.

Eine zusatzliche Bernerkung uber die Energiebilanz des Konvektionszustands irn ganzen Innern der Soniie ist notwendig. Die ubliche hydrodynamische Turbulenz ist in stationarer Form nur bei dauern- tler Energiezufuhr moglich, da durch die Reibung standig Energie in Warme verwandelt wird. Wesentlich griiner ist aber im Innern der Sonne der Energieverbrauch infolge der thermisch stabilen Schichtung. In denjenigen Zonen, i n denen das reine Strahlungsgleichgewicht unteradiabatische Gradien ten bedingen wiirde, kann die Konvektion nur durch laufende Zufuhr turbulenter kinetischer Energie aufrechterhalten wcrden. Durch den hier betrachteten Ausbreitungsvorgang der turbulenten Energie wird der notwendige I3ctrag aus dern therrnisch instabilen Gebiet in das thermisch stabile Gebiet transportiert. Letzten Endes starnrnt diese Energie naturlich aus der irn Zentrurn der Sonne erzeugten Strahlung. die bei ihrem Durch- f luU durch die Randzonen der Sonne die als Wasserstoffkonvektionszofie bekannte Instabilitat erzcugt.

NaturgemaB kann das f u r die Sonne gefundene Resultat rnit grofler Wahrscheinlichkeit fur alle Fixsterne verallgemeinert werden. Wenn irgcndwo irn Innern eines Sterns Konvektion in groI3erem AusmaI3 durch die physikalischen Bedingungen hervorgerufen wird, breitet sie sich in relativ kurzer Zeit uber den ganzen Stern aus. Daher rnuI3 bei der Betrachtung dcs inneren Aufbaus der Sterne der kon- vektive Energietransport neben dern Strahlungstransport der Energie rnit berucksichtigt werden ; in der Sonne ist er sogar mit Ausnahme der auBersten Schichten, die im Strahlungsgleichgewicht stehen. iiberall wesentlich grofler als der Energietransport durch Strahlung, d . 11 es ist irn ganzen Innern der Sonne durchweg rnit konvektiver Schichtung zu rechnen.

3. Der EinfluB der Energiedissipation Rei der hier entwickelten Theorie der Ausbreitung der Konvektion ist der EinfluB der Reibung

vernachlassigt, durch die standig kinetische Energie dissipiert, d. h. in Warme verwandelt wird. Erfah- rungsgemaB ist der Energieverlust durch Keibung bei der Bewegung von Turbulenzelementen im Fall therniischer Konvcktiori vernachlassigbar gering. Dieser Auffassung widerspricht indes die aus dc r stati- stischen Turbulenztheorie [T] folgende Abscliatzungsformel, nach welcher der Retrag der pro Zeiteinheit und pro Massencinheit in Warme verwandeltcn Energie grgeben ist durch

danach ist die Energiedissipation von der gleichen GroBenordnung wie der in (11) allein beriicksichtigte Ausbreit ungsterm.

Die Abschatzung (19) beruht aber wesentlich auf Voraussetzungen, die irn vorliegenden Problem nicht erfiillt sind. Ihre Ableitung folgt aus der Vorstellung, daB die gesarnte kinetische Eneree eines Turbulenzelcmeiits durch Turbulenzreibung in kleinere Elemente ubergeht, von diesen in noch kleinere und schlie0lich in rnolekulare Bewegung, also in Warme. Dann folgt der Ausdruck (19) aus der einfachen Gleichgewichtsbetrachtung, daB der den gro13ten Elcnienten pro Zeiteinheit zugefiihrte Energiebetrag gleich dem Energieverlust durch Keibung sein muR. Diesc Gleichsetzung ist indes kein allgemeingiiltiges Xaturgesetz, sondern nur die mathematischc Formulierung des Tatbestandes, daB die Energie der Turbu- lcnzelemente ausschlieBlich durch Reibung verbraucht wird.

Wenn die Turbulenzelemente auBcr durch Reibung auch Energie infolge thermischer Widerstands- ltrafte verlieren, sind die Voraussetzungen der Abschatzung (19) nicht mehr erfiillt. Wenn man sie den- noch anwendet und aus ihr schlieBt, daB auch in diesem Fall die gesamte zugefiihrte Turbulenzenergie in irnmer kleinere Wirbel und schlieI3lich in Warine iibergeht, begeht man effektiv einen logischen Zirkel.

Tatsachlich fiihrt die Anwendung des Ausdrucks (19) fur die Energiedissipation bei Anwendung auf die Erdatmosphare zu widersinnigen Resultaten. Hier setzt die Konvektion kurz nach Sonnenaufgang ein und erreicht urn Mittag ihren Maximalwert, der durch die Zahlenwerte V = zo2 cm sec-1 und 1 x 10 cm gekennzeichnet ist ; da 6 Stunden gleich = 2 . 104 sec sind, erhalt man eine mittlere Zufuhr turbulenter

F. SCHMEIDLER : Simultane Ausbreitung yon Konvektion und Warnle in1 Sterninnern 57

Energie pro Volumen- und Zeiteinheit von I O - ~ g cm-1 ~ e c - ~ . Dagegen ist der Energieverlust durch Dissi- pation, wenn man ihn nach (19) berechnet, sogar FOB, namlich gleich I. I n Wirklichkeit mu13 also die Energiedissipation uni mehrere GroWenordnungen kleiner als (19) sein. Ahnlich widersinnige Behaup- tungen erhalt inan aus (19) uber das Abklingen der thermischen Turbulenz in den Abendstunden. Rereits vor Sonnenuntergang verschwindet die instabile Schichtung der bodennahen Luftschicht und die zu diesem Zeitpunkt vorhandene Konvektion niuljte, wenn der Energieverlust durch (19) gegeben ware, innerhalb eines Zeitraums von der GroBenordnung 10 sec absterben. Die meteorologischen Messungeii ergeben im Gegensatz dam, daD die Turbulenz nach Sonnenuntergang ein sekundares Naxinium erreicht und erst nach vielen Stunden wirklich aufhort. Daher erscheint die Vernachlassigung der Energiedissi- pation durch die Erfahrung gerechtfertigt.

Tatsachlich 1aWt sich auch in Strenge zeigen, daW bei thermischer Stabilitat die Energie der Turbu- lenzelemente nur zum geringsten Teil dissipiert wird. Dieser Beweis erfordert die Betrachtung des Spektral- gesetzes der Turbulenz im Fall des Vorhandenseins thermischer Iirafte. Wahrend bisher unter V und L einfach die mittlere Geschwindigkeit und GroBe der grooten Turbulenzelemente verstanden wurden, sollen nun beliebige Eleniente hetrachtet und die zu den Elementen der GrijBe 1 gehorige mittlere Geschwin- diglteit v gesucht werden. Die zu den groBten Elementen gehorigen Werte von V und 1 sollen in diesem Abschnitt durch den Index o gekennzeichnet werden. Dann lautet das aus der statistischen Turbulenz- theorie folgende hydrodynamische Spektralgesetz

$ z$

1 1" (4 -. - - = const

und besagt, da13 die mittlere Gescliwindigkeit der Turbulenzelemente mit der dritten Wurzel aus ilirem Durchmesser abnimmt. Es la& sicli zeigen, daR bei zusatzlicher Wirkung einer thermischen Widerstancls- ltraft dieses Gesetz nicht mehr gilt und durch ein allgemeineres zu ersetzen ist, das durch eine Ver- allgemeinerung derjenigen Betrachtungen gewonnen werden kann, durch welche C. F. VON WEIZSACKER [81 clas Spektralgesetz (20) gefunden hat.

Es werden verschiedene Klassen von Turbulenzelementen mit den Durchniessern I,, I , , I,, . . . , l,,, . . . betrachtet; von Klasse zu Klasse soll cler Durchmesser um einen Faktor 6 < I abnehmen. Die Aufgabe besteht darin, die rnittlere Geschwindigkeit v der Turbulenzelemente der Klasse n zu bestimmen. Fur die Elemente jeder Klasse wirken die kleineren Eleniente wie eine Reibungskraft, die ihre Energie verzehrt. Der Betrag dieses Energieverlusts pro Masseneinheit ist von der GroBenordnung

v3

wenii v und 1 die mittlere Geschwindigkeit und die GroBe der die Turbulenzreibung verursachenden Elemente sind. Man kann zur Vereinfachung voraussetzen, daR die Elemente jeder Klasse nur einer Turbulenzreibung durch die Elemente der jeweils nachst niedrigeren Klasse unterliegen ; zwar tragen auch die noch kleineren Elemente zum Energieverlust durch Reibung bei, doch nur inwesentlich geringerein MaBe und, wie v. WEIZSACKER gezeigt hat, in einer Weise, die nur den ohneliin unbestimmten Zahlen- faktor der nachfolgenden Betrachtung andert.

Es soll jetzt die Energiebilanz der Elemente der Klasse )z betrachtet werden. Sie gewinnen pro Zeit- einheit eine gewisse Energiemenge dadurch, daB sie fur die groReren Turbulenzelemente als Reibungs- ursache wirken und diesen Energie entziehen; nach (21) ist der Betrag der auf diese Weise pro Zeit- und Masseneinheit zugefiihrten Energie gleich z i i 1;'. Diesem Energiegeivinn steht ein standiger Energieverlust aus zwei verschiedenen Ursaclien gegeniiber. Einmal verliereii die Eleniente der Klasse 72 standig Energie infolge der Turbulenzreibung durch die kleineren Elemente, im wesentlichen diejeriigen der Klasse n + I ; tlieser Betrag ist wjeder durch (21) gegeben, wenn man den GroRen z' und 1 darin den Index qz $- I beilegt. AuBerdem erleiden die Elemente der Klasse gz einen standigen Energiewrlust infolge der thermischen Wiclerstandskraft ; der Betrag dieses Energieverlustes ist von der GroWenordnung

-

~ 1 ' (21)

Setzt man unter Voraussetzung von Stationaritat Gewinn und Verlust an Energie gleich, dann erhalt man

Diese Beziehung (22) mu13 fur jedes beliebige 12 gelten, solange man nicht zu kleine Elemente betrachtet; die untere Giiltigkeitsgrenze wird noch naher diskutiert werden. Man kann aus ihr unmittelbar das Spek- tralgesetz (20) ini Fall tliermischer Indifferenz (G = o), ablesen; dann lautet (22 ) namlich

7): - d+l 1, 19% f 1 ' -- -~

und da das fur jedes beliebige n gelten muB, erhalt man unmittelbar den Ausdruck (20).

58 F. SCHrviEIDLER: Siniultane Ausbreitung von Konvektion und Warnme in1 Sterninnern

Um das aus (22) folgende Spektralgesetz bei tliermisch stabiler Schichtung abzuleiten, versuchen wir den formalen Ansatz eines Potenzgesetzes

mit vorlaufig unbestimmteni Exponenten 4. Naturlich muB, wenn der Ansatz einen Sinn habeii soll, x von n unabhangig sein. Wird dann (23 ) in (22 ) eingesetzt und auBerdem noch l n + l durch 61,, ersetzt, dann erhalt man

v,, = x 1," (23)

(24) g J y - - %3 #" - I 1, 3q-1 + Gxl;".

Diese Gleichung kann fur jedes beliebige n nur dann identisch erfullt sein, wenn alle Terme die gleiche Potenz von I, bedeuten; es mu0 also 3 q -- I = 4 + I und daher q = I sein. Damit ergibt sich aus (23) das Spektralgesetz der Turbulenz bei thermisch stabiler Schichtung

v 2'0 v, = x I,, oder allgemein - = -- = const. ( 2 5 ) 1 l o

Man kann noch einmal aus (24) verifizieren, daB im Fall des Fehlens thermischer Krafte (G = 0) das hydro- dynamische Spektralgesetz (20) folgt. Dann lautet Gleichung (24) namlich

6 3 y - 1 = I

I und wegen 6 < I folgt daraus notwendig 4 = - ,

Das gefundene Spektralgesetz (25) , nach welchem die mittlere Geschwindigkeit proportional zum Durchmesser der Turbulenzelemente abnimmt, gilt nicht bis zu beliebig kleinen Elementen herunter. Zunachst andert sich das Aussehen des Spektrums auf jeden Fall bei Elementen solcher GriiBe, daB die turbulente Reibung mit der molekularen vergleichbar wird. Diese Einschrankung gilt auch fur die hydro- dynamische Turbulenz. AuBerdem gibt es eine untere GrenzgroBe der Elemente, bei welcher die thermischen Krafte sich nicht mehr bemerklich machen. Kleine Turbulenzelemente passen ihre Temperatur mehr oder minder augenblicklich der Umgebung an und folgen nicht dem Gesetz der adiabatischen Zu- standsanderung. Wenn der Warmeinhalt eines Teilchens so klein ist, daB ihm gegenuber diejenige Warme- menge nicht mehr vernachlassigt werden kann, die es aus dem stets vorhandenen Strahlungsstrom der Energie heraus absorbiert, wird seine Temperatur durch das Strahlungsgleichgewicht und nicht durch die adiabatische Zustandsanderung bestimmt.

Das aus dieser uberlegung folgende Kriterium fur die Adiabasie der Zustandsanderung eines Ele- ments wurde von COWLING [g] aufgestellt und spater von BIERMANN [IO] neu formuliert. Danach andert ein Element seinen Zustand in guter Naherung adiabatisch, wenn die dimensionslose Zahl

3

(26) cp p T en __ __ , wo H s der Strahlungsstrom der Energie ist,

HS wesentlich grol3er als I ist. Fur genugend' kleine Elemente wird diese Zahl kleiner als I und fur solche Elemente spielen die durch die adiabatische Zustandsanderung verursachten thermischen Krafte keine Roue mehr. Fur Elemente dieser GroBe, die in der Regel noch imnier pol3 genug sein sollten, um nicht durch molekulare Reibung unmittelbar in ihrer Bewegung wesentlich beeinflufit zu werden, ist in (22) der Term mit G auf der rechten Seite zu streichen und statt des Spektralgesetzes ( 2 5 ) das ubliche hydro- dynamische Spektralgesetz (20) zu verwenden.

Man kann in grober Weise beide Faille zusammenfassen. Man hat als die beiden Grenzfalle

fur die groI3en Eleniente nach (25),

213 . _. = const = B 1

fur die kleinen Elemente nach (20) ,

Durch einfache additive Zusammensetzung der beiden Ausdriicke erhalt man den Ausdruck

der die beiden Grenzfalle richtig wiedergbt und auch im obergangsgebiet noch einigermaoen richtig sein sollte. Der obergang ist bei Elementen derjenigen GroBe zu erwarten, fur welche die dimensionslose Zahl (26) den Wert I hat.

Die Konstante B in der Formel (27) hat einen anschaulichen Sinn, sie ist gleich dem Betrag der pro Massen- und Zeiteinheit dissipierten Energie. Diese ist bei beliebigeni Spektralgesetz gegeben durch

v 3 = limI , S

Q 1-0 -

I:. SCll\IEII)LRR : Siniultane Ausbrcitung yon Konvel;ti(in und \\7Srn1c in1 Strrninnern 59

da die Verwandlung kinetischer Energie in Warnie fast ausschliclllich in den kleinstcn Elementen erfolgt. Cenau genomnien hat man fiir 1 nicht den Grcnzwert Null zii nehnicn, sondern cine kleine Zahl yon der GroI3e derjcnigen Elenicnte, deren Bewegung durcli rnolekulare Reibung unmittelbar becin- fluat wird. Diese Elementc sind sehr klein gegenuber den groLlcn uiid unmittelbarcn Elementen, dcnn an- dernfalls ware die REvsoLussche Zahl fur die durch die grol)cw Elcniente reprasentierte ,,Stromung" nicht groB und diese konnte gar nicht turbulent sein.

Erst fur Elementdurchmesser, fur welche die Zahl (26) ungefahr gleich I wird, ist die Konstante B auf der rechten Seite von (27) mit dem ersten Term vergleichbar. Wenn diese 'Teilchen klcin gegen die griiI3ten vorkommcnden Elementc sind, ist die Energiedissipation wcsentlich kleincr als der Ausdruck (IS) und kann fur die Energiebilanz vernachlaissigt wcrden. Man kann den Tatbestand auch so ausdrucken, dal3 stets dann die Energiedissipation klein ist, wenii die groI3ten 'lurbulenzelemente sich in guter Kahe- rung adiabatisch vcrhalten.

Bezuglich der Verhaltnissc in tler Some findet man unter Ecnutzung dcr nach I ~ I E R M A S S [I I: in etwa 500 km Tiefe untcr der Photosphare giiltigcn Zahlenwerte

cp p z z * 103 erg cn1-3 grad- ' , T = 104 grad, 2, = 2 . 105 cni sec 1

und unter Gleichsetzung voii Hs niit Clem gesaniten Energiestrom in der Sonnc. H .= 6 . 1010 erg cni-* sec- fur die dimensionslose Zahl (2h) den Retrag - 70. Die groBten Elementc bewtgen sich also in sehr gutcr Naherung adiabatisch. In grijLlerer 'I'iefe werdcn die Verlialtnisse noch gunstiger, weil die 'Tcmperatur nach innen rasch zunimmt und H s infolgc der immer grijueren Bedeutung dcs konvektivcn Energiestroms abnimmt; bcide Effekte bewirken, daI3 die %ah1 (26) nach inneii zunimmt und die Adiabasic der Turbulcnz- clemente noch besser erfullt wird. Damit erscheint die Vcrnachlassigung der Energiedissipation voll gerechtfcrtigt.

Es sei noch auf eiii zusatzliches Argument hingewiesen, durch das die VernachlSssigung der Energie- dissipation fur das vorhegcnde Problem gestutzt wird. Selbst unter Verlialtnissen, unter dcnen die Energic- dissipatios in vollcm Betrag zur Auswirkung kommt, kijnnen turbulcnte Stdrungen sich uber Strecken von zwei bis drci Schichtdicken ausbreiten, ehe ihre Encrgie verbraucht ist. .41s Schichtdickc hat man in einer Casmassc ohne iiatiirliche geometrische Begrenzung die Aquivalentliohe

g ,u (liier ist 3 die Gaskonstante unct p das Molckulargewicht) anzusehcn. Der Hetrag voii H nimmt nach dem Inncrn der Sonne erheblich zu. Nimmt man an der unteren Grenzc dcr Wasserstoffkonvektionszone als plausible Werte T = xo6 grad und g =. : 2 . 104 cm sec- an, dann erhalt man II = 1o1O cm = IOOOOO kni. Das ~-3fache dieser Strecke ist cine Gr613e, die sich \'om Sonnenradius selbst nur noch uni einen Faktor 3 unterscheidct. Allcin aus diescm Grund mull das konvcktivc Gebiet wesentlich tiefcr in das Innere dcr Sonne reichen als die eigentliche thermisch instabile Zone.

SchlieBlich indge noch hervorgchoben werden, daI3 die Vernachlassigbarkeit dcr Encrgiedissipation auch durch die tageszcitliche Variation der Turbulcnz in cler Erdatmosphare gcstiitzt wird. Einc Anwen- dung dcr liier entwickelten Theorie auf dicses Problem [I- crgibt gute Ubereinstimmung niit den Beobacli- tungen, wahrend die .4bsch8tzung (19) fur die Energiedissipation zu den schon oben erwahnten Wider- spruchen fuhrt.

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