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TEILCHENPHYSIK F ÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 21. April 2006. Robert Klanner Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006. ÜBERBLICK. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen Feynman-Regeln und –Diagramme 2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED - PowerPoint PPT Presentation
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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEVorlesung am 21. April 2006
Robert Klanner
Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006
TSS SS06: Teilchenphysik II 2
ÜBERBLICK
1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen
2. Feynman-Regeln und –Diagramme2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED2.2 Ableitung der Regeln (1)2.3 Das Matrix-Element der e–-Streuung2.4 Ableitung der Regeln (2)2.5 Fermi’s Goldene Regel und Wirkungsquerschnitte2.6 Kinematik der 22-Streuung (Mandelstam-Variablen)2.7 Wirkungsquerschnitt der 22-Streuung a+bc+d2.8 Berechnung des Matrix-Elements2.9 Crossing und wichtige QED-Prozesse2.10 PETRA und das JADE-Experiment2.11 Helizität und Chiralität2.12 d-Funktionen
TSS SS06: Teilchenphysik II 3
2.6 KINEMATIK DER 22-STREUUNG
Wir betrachten einen 22-Prozess:
Impulserhaltung:
Erinnerung: Vierervektorprodukte sind invariant!
Es gibt 10 mögliche Kombinationen: – aber 4 Massen und– 4 erhaltene Impulskomponenten 2 unabhängige Größen beschreiben Kinematik!
Definition Mandelstam-Variablen:
Es gilt:
Charakterisierung der Größen: p1
p2
p3
p4
4321 pppp
4,3,2,1 ,2 impp iii
414124
21
232
241
313123
21
242
231
212122
21
243
221
22)()(
22)()(
22)()(
ppppppppppu
ppppppppppt
pppppppppps
4
1
2 0i
imuts
p1
p2
p3
p4
p1
p2
p3
p4
p1
p2
p3
p4
s-Kanalz.B. e+e–ff
t-Kanalz.B. ee
u-Kanalz.B. e– e–
TSS SS06: Teilchenphysik II 4
2.6 KINEMATIK DER 22-STREUUNG
Zu den Mandelstam-Variablen: (fixed-target: )
CMS/ Labor/ Collider(*) fixed-target
Collider:
32*2
41
132*2
31
122*
12
21
2 )1(cos2
)(
)(2 )1(cos2
)(
2 )2()(
Ems
ppu
EEms
ppt
EmEpps
222 ,0 mEp
1p
2p
3p
4p
*
TSS SS06: Teilchenphysik II 5
2.7 22-STREUUNG: WIRKUNGSQUERSCHNITT
Für Berechnung des Wirkungsquerschnitts nötig:1.|M|2 – das “Matrixelement”2.Einlaufender Teilchenfluss: 3.Zahl der Targetteilchen (pro Volumeneinheit)4.Dichte der freien Energiezustände5.-Funktion zur Energie/Impulserhaltung
Zu 2. Teilchenfluss:Mit Normierung u+u=2E istTeilchenfluss gegeben durch:
Zu 3. Zahl der Targetteilchen:Mit Normierung u+u=2E und V=1:
Zu 4. Zahl der Endzustände:Wieviele Zustände stehen für Teilchen 3 im Bereich zur Verfügung?
Zur Verfügung: Fermi: Phasenraum pro Teilchen:
Also Zahl der Zustände für Teilchen 3:
Aber: 2E3 Teilchen im betrachteten Testvolumen, also für Teilchen 3 nur erreichbar:
Ein solcher Faktor wird fürr jedes Endzustands-teilchen benötigt. Das Produkt dieser Terme ergibt zusammen mit der -Funktion zur Energie-/Impulserhaltung den invarianten Phasenraum (dLips = “lorentz-invariant phase-space”):
einj
11
1
1 2
2
Ev
EVv
jein
22E
bis 333 pdpp
3pd
333 )2()2( h
33
3
2pd
33
33
22 E
pd
34
43
33
33
214344
22222
E
pd
E
pdppppdLips
TSS SS06: Teilchenphysik II 6
2.7 ZUM FLUSSFAKTOR
Jetzt: Kombination von Targetteilchenzahl und Teilchenfluss zum Flussfaktor F.Targetteilchenzahl*Teilchenfluss:
Behauptung:
Beweis: Rechte Seite lorentz-invariant betrachte fixed-target-Situation:
v ist Relativgeschwindigkeit von Teilchen 1 und 2.Im CMS-System folgt damit:
Also
214 EEvF
22
21
22121 )(44 mmppEEvF
212122111 ),0,( ),,( mEppmppEp
21121121
21
212
22
21
22
21
22
21
221 )(
EEvmEvmp
mEmmmmEmmpp
spEEp
EE
EEpEE
EEpEE
E
p
E
pEE
E
p
E
pEEF
ii
ii
4)(4
411
4
44
21
21
2121
2121
2
1
1
121
2
2
1
121
spF i4
TSS SS06: Teilchenphysik II 7
In der 22-Reaktion legt beibekannten Eingangsimpulsen der Impuls von Teilchen 3 den von Teilchen 4 fest Integration über d3p4 im CMS:
Ausführen der Integration:
mit
Sei nun:
Definiere:
Also
und damit
Damit aber folgt:
Jetzt alles (Flussfaktor und Phasenraum) in die Definition des Wirkungsquerschnitts:
2.7 ZUM PHASENRAUMFAKTOR
43
43
33
21433
432
34
43
33
33
214344
42
1
22222
EE
pdpdppppEEs
E
pd
E
pdppppdLips
43
432
33
43
42EEs
EE
pddLipspd
ddpppdppp fff2
343
24
2
423
2
3 , mpEmpE ff
24
223
2
43 mpmpEEsW ff
4324
223
2
112
2
12
2
1
EEpdp
mp
p
mp
pdpWd ff
f
f
f
ff
WdEE
EE
pdp
ff
43
431
s
dp
WWEE
dp
EE
Wdddppdppd
f
f
fff
4)2(
)()(4)2(
4)2(
2
432
432
2
43
dMp
p
s
s
dp
spM
j
EMd
i
f
f
i
ein
f
2
2
2
2
2
1
64
1
4)2(4
1
)(
TSS SS06: Teilchenphysik II 8
In der e–-Fermion-Streuung (unter Vernachlässigung der Massen) definiert man oft:
ist der Winkel zwischen Teilchen 1 und 3.
Damit folgt:
Das bedeutet für den Wirkungsquerschnitt:
2.7 WEITERE UMFORMUNG
p1 p2
p3 p4
q 22
312 Qppq
)1(cos2)(2
222
113131
3131312
ppEEpp
ppEEppQ
dpp
dpp
dppdQ
ppd
dQ
31
31
312
31
2
)cos(2
cos2
2cos
64
1 22dQM
spd
i
TSS SS06: Teilchenphysik II 9
Wir hatten:
Die gesamte Rechnung umfasst zwei volle Seiten; hier nur die wesentlichen Schritte und Probleme.
Erste Komplikation: Spins!– Anfangszustand: Spins unbekannt Mittelung!– Endzustand: verschiedene Spins möglich mehr Phasenraum Summe über Spineinstellungen. Spingemitteltes Absolut-quadrat von M:
Das Ergebnis lautet:
Wenn man das mit dem Ergebnis für den Wirkungsquerschnitt zusammentut …
… dann folgt das endgültige Ergebnis für den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Elektron-Myon-Streuung:
Mit (im CMS):
2.7 DAS MATRIXELEMENT |M|2
2q
gi
)( 134 qppie )( 24
4 qppie
)( 1pu )( 2pu
)( 3pu )( 4pu
e–
e–
–
–
)()()()( 242132 pupu
q
gpupuieM
21 43, ,
22
4
1
ss ss
MM
2
224
, ,
222
4
1
21 43t
useMM
ss ss
2
2
1
64
1 M
p
p
sd
d
i
f
2
22
2
2 1
32
t
us
p
p
s
e
d
d
i
f
)1(cos2
* su)1(cos
2* s
t
2*
2*
2
2
2)cos1(
2)cos1(1
32
i
f
sp
pe
d
d
TSS SS06: Teilchenphysik II 10
2.7 DAS MATRIXELEMENT |M|2: Teil 1
TSS SS06: Teilchenphysik II 11
2.7 DAS MATRIXELEMENT |M|2: Teil 2
TSS SS06: Teilchenphysik II 12
2.7 DAS MATRIXELEMENT |M|2: Teil 3