TEILCHENPHYSIK F ÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 26. Mai 2006

TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEVorlesung am 26. Mai 2006

Robert Klanner

Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006

TSS/RK SS06: Teilchenphysik II 26.5.2006 - 2

ÜBERBLICK

1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen2. Feynman-Regeln und –Diagramme3. Lagrange-Formalismus und Eichprinzip4. QEDEinschub: Beschleuniger und Experimente5. Starke Wechselwirkung und QCD

5.1 QED als Muster relativistischer Feldtheorien5.2 QCD: die Theorie der starken Wechselwirkung (Farbe, SU(3)-Eichinvarianz, Gell-Mann-Matrizen, Masselosigkeit der Gluonen, Lagrange-Dichte der QCD, Renormierung, “running coupling”, asymptotische Freiheit und Confinement5.3 Nicht-perturbative QCD: Jets, Fragmentation, Entdeckung/Messung des Gluonspins5.4 Perturbative QCD

(Einschub: Wie sieht eine QCD-Analyse bei ZEUS aus?) 5.5 Hadronen in der QCD 5.5.1 Entdeckung schwerer Quarks, Quarkonia und das Potential der QCD 5.5.2 Die Massen der Quarks 5.5.3 Gruppentheorie und Aufbau der Hadronen aus Quarks

6. Schwache Wechselwirkung


Entdeckung des J/ (P5!)- Seit den 60ern waren Quarks als theoretische Bausteine der Hadronen anerkannt.- Der Anstieg erreichbarer Schwerpunktsenergien erlaubte Erzeugung neuer Teilchen. Sichtbar z.B. als Resonanzen auf dem ½-Kontinuum in e+e—

Annihilationen:

- November 1974: Neues Teilchen J/ wird an zwei (drei) Experimenten gleichzeitig entdeckt: - BNL: ppe+e-X … 28.5-GeV-Protonen aus dem AGS: Resonanz bei m=3.1 GeV, - SLAC: e+e- Hadronen, e+e-, +- mit SPEAR bei sqrt(s)=2.5-7.5 GeV (in 200-MeV Schritten): m=3.105 GeV, ~90keV! Detektor Mark1 Prototyp moderner Experimente!- Frascati (ADONE) wenige Tage danach!)Die geringe Breite war eine grosse Überraschung – naiv hatte man eine Breite von 1 GeV erwartet!Zwei Wochen später wurden auch angeregte Zustände beobachtet: ’.

5.5 EINLEITUNG

Experimentelle Situation:- > 100 Mesonen, > 130 Baryonen – sind die alle “elementar”? Oder gibt es ein Bauprinzip? - 1932: Heisenberg: mp=938.28MeV, mn=939.57MeV pn? Isospin-Multipletts. - 1947: Rochester/Butler: seltsame Teilchen (s-Quark)- 1964: Gell-Mann/Zweig: Quarks als mathematische Konstrukte Ordnungsschema (“eightfold way”)- 1968: SLAC: e-Nukleon-Streuung Nukleonen haben punktförmige Bestandteile (Partonen=Quarks?)- 1974: Richter/Ting: Entdeckung des J/ und Charmonium-Spektroskopie Quarks als physikalische Teilchen akzeptiert. - 1977: FNAL: b-Quarks, Bottonium-Spektroskopie- 1995: FNAL: Entdeckung des Top-Quarks.

Aus 6 Quarks lassen sich Hadronen aufbauen.

Zwei Themen in dieser Vorlesung:

– Schwere Quarks und ihre Spektroskopie, das Potential der QCD,Quark- und Hadronmassen– Aufbau der Hadronen aus (leichten) Quarks, Gruppentheorie.

4)(

4~ 22

2

sM


5.5.1 J/ UND CHARM

Mark1-Detektor (Richter, SLAC)

Ting, BNL

Rekonstruktion derinvarianten e+e—-Masseaus den Impulsen:Resonanz bei 3.1 GeV!

Richters J mit Hadronen, Elektronen und Myonen im Endzustand


5.5.1 ERZEUGUNG/ZERFALL DES J/ IN MARK1


5.5.1 J/ UND CHARMONIUM

Erklärung der geringen Breite: - Neuer Baustein “charm”, der stabilisierend wirkt.- Direkter Zerfall in charm-Mesonen (D) kinematisch nicht erlaubt: m(J/)<2*m(D)!- Zerfall in andere Mesonen unterdrückt, da Vernichtung der schweren Quarks in starker WW schwierig!

- Erster möglicher hadronischer Zerfall: via 3 Gluonen ~S

3(mqc2) unterdrückt!

Damit Erklärung der hohen Lebensdauer vpn 10-20s! Diese Lebensdauer ist genug, um stabile cc-Systeme(“Atome”) zu bilden Analogie zu Positronium:

In e+e-—Reaktionen wurde das cc-Spektrum vermessen:

Es zeigt sich ein Spektrum, dass dem des Positroniums sehr ähnlich ist ():

Mithilfe des Termschemas kann man Aufschluss über daszugrundeliegende Potential gewinnen. Dazu wird iterativ die stationäre Schrödinger-Gleichung nicht-relativistischer schwerer Quarks gelöst. Es ergibt sich ein Potential:

Charmonium

“Crystal Ball”

rfr

rV S03

4)(

– f0=0.9 GeV/fm 15t!– f0-Term verhindert freie Quarks– Coulomb-Term: 1-Gluon-Austausch!

Erlaubt, aber klein (20%)

Verboten (Farbe)

Erlaubt, aber:~S

3(mqc2) unterdrückt!


5.5.1 “CRYSTAL BALL”-DETEKTOR


5.5.1 CHARMONIUM-SPEKTRUM

Termschemata von Charmonium und Positronium: Die Niveaus mit grossen Hauptquantenzahlen n sindsensitiv auf das Potential bei größeren Abständen r – hiermit kann man also den linearen Term abschätzen:


5.5.1 DAS UND BOTTONIUM

1977 wiederholte sich das Spiel: L. Ledermann entdeckt in pCu+-+X eine Resonanz bei m ~ 3460 MeV mit mit ebenfalls sehr schmaler Breit von ca. 50 keV.

Erklärung: Neues Bauteilchen “bottom” – das 5. Quark!

Die Spektroskopie des (gebundener bb-Zustand) vor allem am DESY (ARGUS bei DORIS 1978) ergab ein demCharmonium vergleichbares Termschema zusätzlicher Input zu Bestimmungen des QCD-Potentials!


5.5.2 DIE MASSEN DER QUARKS

1977


Eine reduzible Darstellung kann durch eine Transformation M blockweise diagonalisiert werden:

Jedes (i) ist selber Darstellung der Gruppe!Irreduzible Darstellung: wenn die (i) nicht weiter reduzierbar sind. Beispiel: Gruppe “S3”:

Darstellung ist reduzibel:- (x+y+z) bleibt invariant Wahl neuer Achsen X,Y,Z, Z Ebene (x+y+z=const) Z invariant- neue Trafo-Matrizen

- Darstellungen dieser Drehgruppe: entartete Multipletts mit Drehimpuls J: (z.B. J=1/2, Dimension 2, Pauli- Matrizen).

5.5.3 GRUPPENTHEORIE

Oft Symmetrieprinzipien zugrundegelegt, also Invarianz von Systemen unter Transformationen (z.B. Raumdrehungen).

Menge möglicher Transformationen: Gruppe! Gruppe Menge von Elementen R mit Operation “*” mit: – Abgeschlossenheit: Ri*Rj G – Existenz des 1-Elements: Ri*1 = Ri

– Existenz des Inversen: R*R-1 = 1 – Assoziativität: Ri*(Rj*Rk) = (Ri*Rj)*Rk.

- Gruppe heisst nicht-abelsch, falls: Ri*Rj Rj*Ri.

- Diskrete Gruppen: z.B. Gruppe der Permutationen dreier Objekte “S3” mit 6 Elementen.

- kontinuierliche (Lie-)Gruppe: z.B. kann jede Rotation kann durch Produkt vieler infinitesimaler Rotationen beschrieben werden, z.B. drei Euler-Winkel. Transformationen hängen ab von d Parametern (d=Ordnung der Gruppe).- Darstellung einer Gruppe: Wenn es eine isomorphe Abbildung zwischen den Gruppenelementen Ri und einer Menge von nn-Matrizen gibt mit (R1)(R2)=(R1R2) dann ist Gruppe der Matrizen Darstellung der Gruppe. n=Dimension der Darstellung. Beispiel: 3D-Drehgruppe ist isomorph zu Gruppe orthonormaler 33-Matrizen mit det=1 (Gruppe SO(3)).

21 :

13 :

32 :

Vertausch. antizykl. :b

ngVertauschu zykl. :a

)123()123( :1

e

d

c

...00

0)(0

00)(

)( )2(

)1(

1 R

R

MMR

100

0......

0......

Zerlegung 3=21!


Jz nennt man den Generator der Drehung. Viele infinitesimale Drehungen hintereinander:

… und ebenso für die x,y-Achsen. Dabei gilt die Lie-Algebra:

Anmerkungen: - die Lie-Algebra beschreibt die Struktur der Gruppe.

- die klm sind die Strukturkonstanten der Gruppe; sie alleine legen die physikalischen Konsequenzen fest!- im Falle der Dimension n gibt es n2-1 Generatoren.- Dimensionen der Matrizen J hängen vom physikalischen System ab: Spin-1/2 D=2. - Multiplett: Invarianter Vektorraum entarteter Eigenfunktionen einer Symmetriegruppe.- Jedem diagonalisierbaren Generator entspricht eine additive Quantenzahl. - Anzahl gleichzeitig diagonalisierbarer Generatoren: Rang r. Es gibt r unabhängige (Casimir-)Operatoren, mit gleichen Eigenwerte für alle Multiplett-Zustände.

5.5.3 BEISPIEL RAUMDREHUNG

U sei die Transformation, die eine Drehung R des Systems z.B. um Achse z bewirkt (Gruppe SO(3)):

Damit ergibt sich:

)),,((),,(),,( 1 zyxRzyxUzyx

y

x

x’

y’

(x,y),(x’,y’)

Drehung umWinkel

xyydy

xyy

yxxdx

yxx

~

),,(1

),,()(1

),,(

),,(

),,(),,(

zyxJi

zyxypxpi

yx

xyzyx

ydy

xdxzyx

zdyydxxzyxU

z

zy

xipx

zJi

n

n

zn eJ

niUU

1)()(

mklmlk JiJJ ,Drehung R des phys.Systems entspricht

Drehung R-1 desKoordinatensystems.


Auf/Absteige-(Schiebe-)Operatoren

Anwendung auf andere als Isospin-1/2-Systeme: – Isospin-0: |0,0>, I3=I+=I-=0 langweilig!

– Isospin-1: |1,-1> |1,0> |1,1>

Anwendung auf Systeme wie +0-, +0-, etc.

Kombination von Darstellungen (Teilchen): - Bis jetzt immer nur ein Teilchen betrachtet – langweilig! Um Systeme mehrerer Teilchen zu verstehen Rückgriff auf Quantenmechanik: Addition von Drehimpulsen: Teilchen 1 und 2 mit

Drehimpulsen J1, J2, dritten Komponenten m1, m2:

Verschiedene J-Werte denkbar, mit verschiedenen Gewichten (Clebsch-Gordan-Koeffizienten) realisiert:

5.5.3 INNERE SYMMETRIEN, SU(2)-ISOSPIN

Bis jetzt räumliche Drehungen; jetzt Übertrag auf innere Symmetrien: Symmetrie bzgl. eines abstrakten Raumes, von dessen Koordinaten die Wellenfunktion nicht explizit abhängt. Beispiele: - SU(2)-Isospin (Heisenberg, entspricht Flavour-SU(2)):

- SU(2) schwacher Isospin: Dubletts/ Tripletts:

- SU(3)-Flavour:

- SU(3)-Colour:

SU(2)-Isospin: Von Heisenberg 1932 zur Beschreibung von n,p in einer Darstellung entwickelt: Generatoren sind hier die Pauli-Spin-Matrizen JiIi=1/2i; es gilt z.B.:

nnIppI2

1

1

0

10

01

2

1 ,

2

1

0

1

10

01

2

133

d

u

n

p

l

du

W

W

W3

s

d

u

b

g

r

pnIiI

0

1

1

0

00

10 ,

00

10

2

121

020

002

000

,

000

200

020

,

100

000

001

3 III

21

2121 ||||

mmm

JJJJJ

mJmmmJmmC

mmmJmmmJmm

,,),,,(

,,,,

2121

,2121

21


5.5.3 CLEBSCH-GORDAN-KOEFFIZIENTEN

- Elemente einer unitären Matrix des Rangs (2J1+1)(2J2+1).

- Explizit berechenbar; tabelliert.


Addition zweier Spin-1/2-Teilchen:

Also: |1,1>=1|m1=+1/2,m2=+1/2>|1,0>=1/sqrt(2)|m1=+1/2,m2=-1/2>

+ 1/sqrt(2)|m1=-1/2,m2=+1/2>

|1,-1>=1|m1=-1/2,m2=-1/2>

|0,0>=1/sqrt(2)|m1=+1/2,m2=-1/2> -

1/sqrt(2)|m1=-1/2,m2=+1/2>

Es ergeben sich also aus der Kombination von 2 Dubletts 4 Zustände, drei in einem Triplett und einer in einem Singlett. Symbolisch:

5.5.3 CGK: BEISPIEL, ANWENDUNG

Physikalische Anwendung auf Isospin I und die Kombination von n,p zu Systemen:

Erweitere Definition der Auf/Absteige-Operatoren etc. für Kombinationen von Teilchen, z.B.:

Erster Summand wirkt nur auf “erstes” Teilchen etc.

Erweiterung auf Antiteilchen:

Anwendung auf u,d-Quarks statt n,p trivial. Daher gleich der komplexere Fall SU(3)-Flavour: u,d,s!

m1m2

J1J2

Jm

0121

21

1322

)(2

1)(

2

100

)(2

1)(

2

1

1

0

1

1

3

3

3

3

nppnII

nn

nppn

pp

I

I

I

I

)2()1(

)2(3

)1(33

III

IIIges

ges

...)()())(()( )2(3

)1(3

)2(3

)1(33 pInpnInpIInpI

n

p

p

niiiI

2

1

2

1 333 III ges

“-”-Zeichen, weil Ladungskonjugationund Isospin-Rotation nicht unabhängig voneinadner!


Erweiterung auf SU(3)-Flavour:Hier sind die Generatoren die 8 Gell-Mann-Matrizen, die auf die Flavour-Tripletts (u,d,s) wirken:

Formal betrachtet man hier Drehungen im Flavour-Raum

mit 8 “Winkeln” (Parametern) i ( Ordnung 8).

– Es gibt 2 Casimir-Operatoren (Rang 2), z.B.:

– 3, 8 sind diagonal 2 additive Quantenzahlen, Eigenwerte von:

5.5.3 SU(3)-FLAVOUR

Gell-Mann-Nishijima: (Y=B+S)

Schiebeoperatoren, die u in d transformieren und den Isospin abfragen:

Es gilt:

Strangeness-Operator: Man kann auch Schiebeoperatoren us und sd definieren (mithilfe der Matrizen 4-7), z.B.:

Mit all dem und den Antitripletts/Anti-Generatoren (Umkehrung aller additiven Quantenzahlen)

… Werkzeug, um Quark-Antiquark-Systeme zu bauen.

s

d

u

)exp( i

iiiU

kijk

jiijki

i fCC 8

1

4

12

8

1

21

gHyperladun 3

1

Isospin 21

8

33

Y

I

1

0

0

0

1

0

0

0

1

sdu*

33

jjBB

SSII

332121 2

1

2

1

2

1 IiIiI

021

21

0

333

sIudIuuI

sIuIudI

31

38 S

22 33

YI

SBIQ

(Gleiches Werkzeug wie im Fallen von SU(3)-Colour)

u

i

i

isi

0

0

1

1

0

0

000

000

200

1

0

0

00

000

00

001

000

100

2

1

2

154


Darstellungsdiagramme erlauben eine leichte Übersicht der erreichbaren Kombinationen: Z.B. Kombination von Triplett mit Antitriplett (“Vektoraddition”):

Ja nach Spinzustand ergeben sich Pseudoskalare Mesonen (JP=0-) oder Vektormesonen (1-):

5.5.3 DARSTELLUNGS-DIAGRAMME

Anwendung von Schiebeoperatoren zeigt:

(Erinnerung SU(2): )Die Mesonen gliedern sich also in ein Oktett und ein Singlett (gebildet durch das ‘-Teilchen).Die Teilchen auf dem Rand der Pseudoskalare sind gut bekannt. Von den drei I3=S=0-Zuständen fallen 2 ins Oktett, eins ins Singlett; sie sind Mischungen:

Analog kann man Baryonen konstruieren. Es zeigt sich:

Struktur erklärbar durch Forderung, dass gesamte Wellenfunktion (Raum, Spin, Flavour, Farbe) antisymmetrisch unter der Vertauschung zweier Teilchen sein muss.- Ortswellenfunktion im Grundzustand symmetrisch.- Spin: 3 Spin-1/2 ergeben Spin 3/2 oder ½; WF

kann (anti)symmetrisch sein. 3/2 ist symmetrisch.- Flavour: Je nach Multiplett verschiedene Symmetrie.

1833

18810333

ssdduudduu

ssdduussdduudduu

000

0

)(2

1)(

2

1

)(3

1)2(

6

1)(

2

1

Anmerkung: Unter Einschlussvon c,b wird es viel komplexer!

1322

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