TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Die starke Wechselwirkung und Quantenchromodynamik Robert Klanner Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh

TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEDie starke Wechselwirkung und Quantenchromodynamik

Robert KlannerThomas Schörner-Sadenius

Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006

RK/TSS SS06: Teilchenphysik II 2

ÜBERBLICK

1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen2. Feynman-Regeln und –Diagramme3. Lagrange-Formalismus und Eichprinzip4. QEDEinschub: Beschleuniger und Experimente5. Starke Wechselwirkung und QCD

5.1 QED als Muster relativistischer Feldtheorien5.2 QCD: die Theorie der starken Wechselwirkung (Farbe, SU(3)-Eichinvarianz, Gell-Mann-Matrizen, Masselosigkeit der Gluonen, Lagrange-Dichte der QCD, Renormierung, “running coupling”, asymptotische Freiheit und Confinement5.3 Nicht-perturbative QCD: Jets, Fragmentation, Entdeckung/Messung des Gluonspins5.4 Perturbative QCD

(Einschub: Wie sieht eine QCD-Analyse bei ZEUS aus?) 5.5 Hadronen in der QCD


5.1 QED: Muster für Quantenfeldtheorie

Wiederholung QED:

- Beschreibung geladener Leptonen durch Dirac-Spinoren

- Wirkungsquerschnitt: |Matrixel.|2 x (1/Flussfaktor) x Phasenraum

- Struktur der WW - Eichboson (masseloses, neutrales Photon) koppelt an em. Ladung A folgt aus lokaler Eichinvarianz (Gruppe U(1): exp(i·q·χ(x))

- Berechnung der Matrixelemente mit Hilfe der Feynman-Regeln (z.B. aus Lagrangedichte ab-leitbar)

- Renormierung (renormailsation):

Diagramme höherer Ordnung divergieren ! „behoben“ durch:

- Ladungs-Renormierung laufendes (ersetze „nackte“ durch „renormierte“ Ladung und lasse Schleifendiagramme weg)

- Massen-Renormierung laufendes m (wie in Festkörperphysik „effektive Massen; in QED durch WW mit den Vakuumfluktuationen)

2q

gi

)( 134 qppie )( 24

4 qppie

)( 1pu )( 2pu

)( 3pu )( 4pu

e–

e–

–

–

)()()()( 242132 pupu

q

gpupuieM

ein

f

j

EMd

)(

2

http://www.itkp.uni-bonn.de/~hammer/HadronSemWS0506/gross_talk.pdf


5.2 Farbe (Colour) – Ladung der starken WW

Experiment: e+ e- Hadronen (~ e+ e- Quark + Antiquark)

~ Ladung Q

QuarksiiColour

outin

QNee

HadroneneeR

sonanzenZQQs

2

0222

)(

)(

Re3

4

Σ über Quarks mit m > √s/2

Charmschwelle 3.7 GeV R= 4/3 = 3x(2/3)2 NC=3, QCharm=2/3

Beautyschw. 10.5 GeV R= 1/3 = 3x(1/3)2 NC=3, QBeauty=1/3

NColour=3

(außerdem Resonanzen bei Schwellen + Z0)


5.2 Farbe (Colour) – Ladung der starken WW

Weitere Experimente zu Anzahl Farben:

Zerfall des -Leptons:

- W-Boson koppelt mit gleicher Stärke an Fermiondubletts

Zerfallsrate des 0:

stimmt mit Erwartung für NC=3 überein

- historisch (1964 - 1 Jahr nach der Aufstellung des Quark-Modells) kam die erste Evidenz, dass es eine Farbladungszahl geben muss von der Symmetrie der Wellenfunktion der Quarks im ++ (uuu) Baryon, die (ohne Farbquantenzahl) symmetrisch unter Vertauschung zweier Quarks wäre Widerspruch zum Pauli-Prinzip

- außerdem „Dreiecks-Anomalie“ im SM: ΣQ(Quarks)+ΣQ(Leptonen)=0; 3x(2/3-1/3)-1=0

0006.01784.0:.exp

- Unterschied: Korrekturen höherer Ordnung

2.02

1

)(

)(

)'(

)(

)()(

C

e

e

NX

e

ud

eX

sNQQe

M Cdu1722

2

2

10)6.04.8(,)(4


5.2 QCD: SU(3)-Eichinvarianz

Nach dem Erfolg der QED (und EW) + Realität von Quarks Theorie der starken WW auf Basis einer Eichtheorie, die invariant unter lokalen Transformationen im Farbraum ist

QCD = Quanten-Chromo-Dynamik

masselose Feldquanten, die an Farbladungen koppeln und als Farb-Antifarb-Zustände farb-geladen sind 8 Gluonen

- einfachheitshalber nur ein Quark q:

DGl. freies Quark

Wellenfunktion

mit:

Eichtransf.:

gS … Kopplungskonstante der starken WW

Invarianz nur wenn mR = mG = mB =m

1… 8: 8 unabhängige Transformationswinkel,

1… 8: Gell-Mann Matrizen der SU(3) Analogon zu den Pauli-Matrizen der SU(2): U = exp(i·j·j/2) “Drehung” um Winkel j

Vertauschungsrel.

Struktur QCD sehr komplex, „nicht-Abelsche“ Eicht., da j nicht vertauschen

2/1

2/3,1

637516345257246147

678458123

ffffff

fff

200

010

001

3

1

00

100

000

010

100

000

00

000

00

001

000

100

000

010

001

000

00

00

000

001

010

87

654

121

i

i

i

i

i

Farbex

mi

)(

0)(

,

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

bGR

8

1

)()2/(exp'

jjjjj

jjS xgi

ljkljkkjkj fi 2],[

antisymm. Strukturkonst.


5.2 QCD: SU(3)-Eichinvarianz + Lagrangedichte

Insgesamt gibt es 9-1=8 Gluonfelder Gj

(eine Kombination ist farbneutral *) !)

kovariante Ableitung**)

Invarianz ist gewährleistet wenn (Übung):

Zusatzterm (Konsequenz der Nicht-Vertauschbar-keit der SU(3)-Transformation ~gS gleiche Kopplung für alle Quarksorten u,d,s,c,b,t und alle Farbladungen R,G,B [em.: verschiedene Kopplungen (1/3, 2/3, 1, Z)·e !]

Feldstärketensor und Lagrangedichte:

für > 1 Quark: 1terTerm Σ Quarksorten

Feynmanregeln – analog zur QED:

Quark-Gluon-V.

3-Gluon-Vertex

4-Gluon-Vertex

iqADQED

GgiD jj

S

:

2

AAA

iqQED

GfgGGG

xgi

lkjklSjjjj

jjS

'

)exp(':

'

)()2/(exp'

*) farbneutrales Gluon würde Kernkräfte mit Reichweite ∞ zur Folge haben; Gruppe SU(3) hat nur acht -Matrizen

**) j … Farbindex – … Lorentz-index

FFmDiL

AAFQED

FFmDiL

GGfgGGF

jj

lkjklSjjj

4/1)(

:

4/1)( ,

2sgi

])()(

)([

3132

21

qqgqqg

qqgfg jklS

Dreh. im 3-dFarbraum

tkomplizier


5.2 QCD: Renormierung und laufende Kopplung

Wie in der QED divergieren Schleifendiagramme und die ∞-en Werte werden in den Massen und Kopplungen „absorbiert“.

Quarkschleifen:

Summe über Nf Quark-Anti-Quark-Paare

Abschirmung der „Ladung“ bei wachsendem Abstand durch Farbdipole (wie bei der QED)

QED:

Gluonschleifen (wegen Selbstkopplung):

+ – Verstärkung „Ladung“ mit Abstand

Addition und Summierung über alle Ordnungen:

QCD:

mit:

(Nf … Flavours mit 2mq < |Q|)

SSg 42

)ln()(

61)()(

20

220

20

2

Q

QQ

NQQ S

fSqqS

)ln()(

4

111)()(

20

220

20

2

Q

QQQQ SSggS

)/ln(12

)()233(1

)()(

20

220

202

QQQN

QQ

Sf

SS

)/ln()233(

12)(

222

QNQ

fS

))()233/((12exp( 20

20

2 QNQ Sf

)/ln(3

)(1

)()(

20

220

202

QQQ

QQ

eeem


5.2 QCD: Laufende Kopplung – perturbative QCD

für Q2 (» 2) ∞ S 0: Asymptotische Freiheit

(1972 - D.Green, D.Politzer, F.Wilczek Nobelpreis 2004)

da r = ℏc/|Q| entspricht großes Q kleinen Abständen

„perturbative QCD“ – Störungstheorie anwendbar, (ein Gluon-Austausch mit mg=0 „Coulomb“ V~1/r)

Präzisionstests der starken Kraft möglich (mehr später)

)/ln()233(

12)(

222

QNQ

fS

S Messung in e+e—WW: ≈0.2 GeV

≈ 0.2 GeV


5.2 QCD: Laufende Kopplung – nicht-pert. QCD

für Q2 (< 1 GeV2) 2: S groß

Multi-Gluonenaustausch

„nicht-perturbativer“ Bereich, Rechnungen mit Gittereichtheorie oder phänomenologische Modelle (z.B- Kernphysik)

Selbstwechselwirkung der Gluonen (farb-magnetische Anziehung) analog zu „Expander“ bildet sich „String“ aus

Confinement (keine freien Quarks/Gluonen),

Kernkräfte = QCD-RestWW (van der Waals)

komplexe (z.Zt. nicht berechenbar) Struktur der Hadronen

sobald (z.B. in hochenergetischer WW) Ab-stand Quark-Antiquark > 1 fm bilden sich neue Quark-Antiquark-Paare Quarks und Gluonen fragmentieren Teilchenbündel „Jets“

nicht-pert. Problem tritt immer bei Hadronen auf

fmGeVmitrr

rV eff /9.03

4)(

QED QCD

QCD-Potential ausGitterrechnungen


5.3 Nicht-perturbative QCD: Jets

Wie sehen Detektoren Quarks und Gluonen?

- werden Quarks/Gluonen getrennt Abstrahlung von QCD-Feldquanten mit kleinen (~ =0.2 GeV) Transversalimpulsen

für hohe Transversalimpulse enges Teilchenbündel (Jet), aus dem sich im Detektor des Quarks/Gluon rekonstruieren lässt

- „Fragmentieren“ ein statistischer Prozess mit großen Fluktuationen in Anzahl und Art der Teilchen (±, 0, K±, K0, … p, n, …)

Nachweis durch Spurdetektor und Kalorimeter

qqg

p


5.3 Jets

-

Jet

pe+

p


5.3 Jets – Entdeckung der Gluonen - 1979

DESY-PETRA: Wichtiger experimenteller Schritt auf dem Weg zur QCD:

3-Jet Ereignisse „Nachweis“ der Gluonen

JADE Experiment am DESY

In ~ S [~10%] der Ereignisse wird ein Gluon abgestrahlt

Bestätigung der QCD-Vorhersage, Möglichkeit S zu bestimmen


5.3 Spin und Farbladung der Gluonen

Spin der Gluonen:

- abgestrahltes Gluon (statistisch) hat kleineren Impuls als die beiden Quarks

- Winkel des höchst-energetischen Jets zur Achse der beiden anderen Jets empfindlich auf Gluon-Spin (Berechnung im Rahmen der QCD) – bereits bei den PETRA-Experimenten gezeigt

Farbladung der Gluonen:

-Resonanz hat JPC=1– – -Zerfall wegen C-Paritätserhaltung in der starken WW verboten

- für Farb-neutrale Gluonen wäre der Zerfall erlaubt

- kann durch Ergebnisse PLUTO-Experiment (DESY 1979) ausgeschlossen werden

Spin der Gluonen: 1

)( bb

qqg

gg

Trust: Maß für Isotropie der erzeugten Teilchen:

T = 0.5 … isotrop T = 1.0 … 2 entgegengesetzt fliegende Teilchen

(Kontinuum: ~90% 2 Jets, 10% > 2 Jets)


5.3 Farbladung der Gluonen + Zusammenfassung

Zusammenfassung:

- QCD: Eichinvariante Quantenfeldtheorie nach dem Muster der QED (Drehung im 1-dim Ladungsraum Drehung im 3-dim Farbraum = nicht Abelsche Eichtheorie – SU(3))

- Schleifendiagramme: Gluonenbeiträge > Quark-beiträge Kopplungskonstante nimmt bei kleinen Abständen (Impulsüberträge groß) ab

asymptotische Freiheit ( perturbative QCD) Confinement ( nicht-perturbative QCD)

(komplexe Struktur des Vakuums dank Quanten-fluktuationen)

- Experimente bestätigen QCD (davon mehr)

Farbladung der Gluonen (cont.):

Außerdem wurde in zahlreichen Studien zu den Winkelverteilungen in 3- und 4-Jet-Ereignissen bei z.B. e+e- (LEP) und ep (HERA) die Stärke der 3. und 4-Gluonenkopplung wie vorher-gesagt gemessen.


5.4.0 SKALENABHÄNGIGKEIT VON S

Theorie (erste Ordnung, MZ = 91.2 GeV):

Entweder wird Kopplung bei Skala Q2 MZ2

gemessen und dann (zwecks Vergleichbarkeit) mithilfe obiger Gleichung zur Skala MZ

2 “evolviert”.

2

22

22

ln)(12

2331

)()(

ZZS

f

ZSS

MQ

Mn

MQ

Oder Messungen werden bei “ihrer” Skala dargestellt und

mit theoretischer Vorhersage für S(Q2) für gegebenes S(MZ

2)

(z.B. Weltmittelwert) verglichen.

S(MZ)=0.1187(20) [PDG]S(MZ)=0.1182(27) [Bethke]

S(MZ)=0.1186± 0.0011(exp)±0.0050(th)

AktuellesWeltmittel

HERA(NLO)

Der Weltmittelwert hat einen deutlich kleineren(theoretischen) Fehler als der HERA-Wert – hier fliessen theoretisch besser verstandene Resultateein (HERA: nur nächstführende Ordnung QCD – “next-t-leading order”, NLO).

Im Folgenden Diskussion verschiedener exp. Bestimmungen der starken Kopplung S: – 3/4-Jet-Raten in e+e–-Kollisionen (LEP)– Skalenverletzungen in DIS (HERA)– Jet-Physik in ep-Streuung (Tevatron ähnlich)(nicht erwähnt: -Zerfall, Z-Zerfall, interne Strukturvon Jets, Gittereichtheorie, -Zerfall, …)


5.4.0 S AUS JETS IN e+e- (PETRA, LEP)

Erinnerung: 3-Jet-Ereignisse bei PETRA Sensitivität auf starke Kopplung S:

3-Jet-Rate naiv in nächstführender Ordnung QCD:

Relevante Energieskala: =s.

Praktisch leicht anderes Vorgehen: Bestimme für verschiedene sqrt(s) die Abhängigkeit von einer bestimmten Variable, typisch ycut:– Definiere “Abstand” zweier Teilchen i,j: yij, für alle Teilchen im Ereignis:

– Falls ein yij < ycut, mit ycut vordefiniert, dann kombiniere Teilchen i,j zu neuem Teilchen ij:

– Neues Clustering mit den “Teilchen” ij. Clustering endet, falls alle yij > ycut. Die dann verbleibenden “Teilchen” sind Jets.– Damit hängt aber Anzahl der Jets von ycut ab: – ycut klein Jets werden nicht lange geclustert eher mehr Jets. – ycut gross eher weniger Jets.

Betrachte R3 (oder R4) als Funktion von ycut ()

in R4 höhere Sensitivität für Kopplung als in R3!

S

Jet-Algorithmusclustert Detektor-Objekte zu Jets.

)(1

)(2

33 ssR S

S

SS

total

ijjiij s

EEy cos1

,min2 22

jiij ppp

324 )()()( ScutScutcut yByAyR

“Je

t-A

lgori

thm

us”


5.4.0 S AUS JETS IN e+e- (PETRA, LEP)

Ergebnisse JADE (PETRA): R4 als Funktion von ycut für verschiedene sqrt(s).

Theorie (Kurven) hängen von S ab Anpassung (Fit) der Theorie an Daten in bestimmten Messbereichen durch Variation von S ().

Ergebnis: Kopplung als Funktion der Schwerpunktsenergie!

Kombination vonPETRA und LEP!!!Alte JADE-Datenneu belebt!!!!


5.4.1 TIEFUNELASTISCHE ep-STREUUNG

Normalerweise “historischer” Weg: – Rutherford mit Spin-1/2-Geschossen (elastisch)– Spin des Targets ( Mott-WQS)– Ausdehnung des Targets ( Formfaktoren, Rosenbluth-Formel)– Übertragung auf den inelastischen Fall

Jetzt anders: – Das Proton hat (punktförmige) Konstituenten!– inelastische ep-Streuung = elastische Streuung an einem der Konstituenten.– grosser Energieübertrag des Elektrons E-E’,

entspricht kurzer Zeitdauer der Wechselwirkung inkohärente Streuung an einzelnen “Partonen”.– Annahme: Partonen haben Spin-1/2 Anwendung der Erfahrung aus e-Streuung:

Von diesem Ausdruck ausgehend soll jetzt der WQS der ep-Streuung abgeleitet werden.

Plausibilität der Annahme von Konstituenten (Anleihe bei Atom/Kern-Physik):

Streuung von Elektronen an Atomen:

Streuung von Elektronen an Kernen:

Inelastische Streuung an ausgedehntem Objekt = elastische Streuung an Bestandteil + Fermi-Verschmierung!

2

42

22

2

2 ~2

1~1

4

s

Q

s

Q

QdQ

d 2

2~ ,

4 Mss

e

Elastische Streuung an einzelnen Kernbestand-

teilen (p,n)

Elastische Streuung an einzelnen

Hüllenelektronen



Anwendung auf ep-Streuung (4.9-GeV-Elektronen auf Wasserstoff-Target):

Es gibt (punktförmige) Konstituenten im Proton! Modifikation des e-Bildes (P=Impuls des Protons):

Historische (aus der Hadronspektroskopie motivierte) Annahme: - Es gibt drei Konstituenten mit Spin-1/2 (Valenzquarks u,u,d).- Ladungen: Qu=2/3, Qd=-1/3. - Diese tragen Bruchteile xi, i=1,2,3, 0<xi<1, des Protonimpulses.

Modifikation des e-WQS:

Da die Streuung aufgrund kurzer Zeitdauer der WW inkohärent erfolgt:

Problem: Was ist sq?

Also gilt:

Definiere W’keit, Quark i im Impulsintervall x, x+dx zu finden, mit fi(x)dx (“Partonverteilung”) WQS

e(k’)

e(k)(q)

WeiterePartonen

gestreutesParton

q(xP)

2

2

42

22

2

2 ~2

1~1

4q

qqeq

Qs

Q

s

Q

QdQ

d

i

eqep i

kPkPPkPks

xkPxkPPxkxPkpks qq

22)(

22)()(~

222

22222

xssq ~



Definition der Inelastizität y:

Es gilt:

Damit folgt:

Definiere(*): Strukturfunktionen F1,2:

Dann:

Anmerkungen:(*) Wenn man den Wirkungsquerschnitt der elastischen ep-Streuung mit den Formfaktoren W1,2 betrachtet, dann kann man Formgleichheit zwischen elastischer und inelastischer Streuung mit diesen Definitionen erreichen. Dabei entsprechen W1,2 den Termen der elektrischen und magnetischen WW. Das sieht man schon im Elektron-Myon-WQS:

– Die Bedingung heisst Callan-Gross- Beziehung. Sie gilt nur für Spin-1/2-Partonen. Im Falle von Spin-0- Teilchen wäre F1=0 (keine Spin-Spin-WW).

– Es gilt:

F2 beschreibt also “nur” die elektrische Struktur des Protons. In voller Rechnung mit schwacher WW und Interferenzen treten weitere Strukturfunktionen auf (F3), die auch schwache Anteile beschreiben.

– Prozess vollständig beschrieben durch x,y,Q2 (s,t,u). F2

hängt aber nur von x ab (“Scaling” – Skalenverhalten – auf jeder Größenskala sieht Struktur gleich aus – Struktur hängt nur von dimensionsloser Variable x ab). F2 unabhängig von Auflösungsvermögen der Photonsonde Q2. Grund: Es gibt nur drei Quarks im Proton.

3

1

22

42

22

2

3

1

222

2

)(~2

1~1

4

)(

iiq

qq

iiq

eqep

xfQs

Q

s

Q

Q

xfQdQ

d

dxdQ

d

i

i

i

qs

Q

Pk

Pqy ~

2

22~ ~

1

dQ

ds

dy

d

sdQ

dyq

q

3

1

2222

2

3

1

2222

22

)(2

11

4

)(~2

11

4

iiq

iiqq

ep

xfQxsyyQ

xfQsyyQdydx

d

i

i

)(2)(

)()(

12

22

xxFxF

xfQxxFi

ii

)()(14

12

222

22

xFxyxFysQdydx

d

ep

2tan

21 2

2

2 M

Q

)(2)( 12 xxFxF

i

iQxF 22 )(


5.4.1 SCALING VON F2=F2(x)

Anmerkung: W2~F2.

Für diese frühen Messungen der Strukturfunktion in fixed-target-Experimenten zeigte sich also wirklich das Skalenverhalten im Bereich x=0.25!

Erklärung: Unabhängig von Auflösung (Wellenlänge des Photons ~1/Q)

Beide Male genau 3 Quarks!

Hohe Auflösung Niedrige Auflösung

Proton = F2(x) =

1 Teilchen

x

F2(x)

1

x

F2(x)3 freie Quarks

1/3

x

F2(x)3 wwirkende Q.

1/3

x

F2(x) Gluonen!

1/3

Valenzquarks

Seequarks


5.4.1 SCALING VON F2=F2(x)


5.4.1 SKALENVERLETZUNG UND QCD

Falls hohes Q2, gute Auflösung, auch kleine Raum/Zeit-Strukturen auflösbar:

1. Das Photon koppelt auch an das Gluon! 2. Die Kopplung an das Quark erfolgt bei einem anderen x-Wert z<x:

Salopp: F2(x) sinkt falls Q2 steigt!F2(z<x) steigt, falls Q2 steigt!

F2=F2(x,Q2)!!! Skalenverletzungen!

Die Existenz von Gluonen im Proton liefert Abhängigkeit von F2 von Q2: F2=F2(x,Q2)!

Laut Heisenberg sind virtuelle Prozesse (mit Gluonen) auf kleinen zeitlichen/räumlichen Skalen erlaubt:

– gqqg

– gggg

Falls kleines Q2, schlechte Auflösung, nur grosse Strukturen sichtbar:

das Photon “sieht” nur das ursprüngliche Quark! Struktur von Valenzquarks bestimmt!

quarkinduziertgluoninduziert

Keine WW!

WW!




5.4.1 F2 HEUTE (HERA)

– Mehrere hundert Datenpunkte mit Genauigkeit 2%. Wunderbar von Theorie beschrieben!

– Klare Beobachtung von Skalenverletzungen bei grossen und kleinen x! – grosse x: Valenzquarks q(x) strahlen Gluonen ab, die wiederum in qq-Paare (q’(z<x)) zer- fallen. Von diesen Paaren sieht man mit

steigendem Q2 mehr falls Q2 steigt, sinkt der Anteil der Quarks mit grossem x! – kleine x: Abgestrahlte Gluonen strahlen weitere Gluonen ab, und alle Gluonen zer- fallen in Quark-Paare mit sehr kleinen x, von denen man mit steigendem Q2 mehr und mehr sieht F2 bei kleinen x steigt mit Q2 an.

– Die frühen fixed-target-Experimente haben zufällig bei den x-Werten gemessen, bei denen F2 flach in Q2 ist.




Zur Kinematik der ep-Streeung …

… kriegen Sie eine kleine Aufgabe …

5.4.1 F2: VORGEHEN; SKALENVERLETZUNGEN– Unterteile x-Q2-Ebene in “vernünftige” Bins:

– Merke, dass bei kleinen y:

– Also:

),(2

2222

2

2

2

QxFQxdxdQ

d

dxdQ

d

QxQxF

2

21

22

22

2

2 ),(

Zählen!x,Q2 gemessen!

),(2

2

)(

2222

2

2

2

2

22

QxFQxdxdQ

d

Pk

Qx

kkQPk

Pqy

e(k’)

e(k)(q)

gestreutesParton

q(xP)

WeiterePartonen


5.4.1 F2: SKALENVERLETZUNGEN

– Unter der Annahme von nur u,d-Quarks (ist einfacher) und mit

folgt für F2:

Man kann zwei Grenzfälle isolieren: – große x: Gluondichte g(z) für z>x verschwindet

– kleine x: Gluondichte dominiert das Proton

),(d9

1),d(

9

1),(u

9

4),u(

9

4x

),(),(

2222

2222

QxQxQxQx

QxfQxQxFi

ii

1222

2

2

2

22

),()(2),()(

2

)(

ln

),(

x iiqgqq

S

QQzgz

xzPQzF

z

xP

z

x

z

dz

Q

Q

QxF

1

22

2

2

22 ),()(

2

)(

ln

),(

x

qqS QzF

z

xPz

x

z

dzQ

Q

QxF

1

222

2

22 ),()(2

2

)(

ln

),(

x iiqg

S QQzgz

xzP

z

x

z

dzQ

Q

QxF

)()()(

)()()(

xzuxuzg

xzgxuzu

1

x z

dz

1222

22 ln),()(),()(

2

)(),(

x

qgqqS QQzg

z

xPQzu

z

xP

z

dzQQxu

KopplungSplitting-Funktionen(pQCD): W’keit, dassParton mit z anderesParton mit x abstrahlt. Änderung von u bei x

proportional zur Dichteder Quarks/Gluonen, die

abstrahlen können.

Verhalten von F2 mit Q2 (halb)quantitativ:

- Betrachte Änderung der Dichte von Quarks q(x,Q2) mit Impulsbruchteil x bei kleiner Änderung von Q2Q2+dQ2. (z>x)). Man sieht etwas mehr von Prozessen wie

- z kann Werte zwischen x und 1 haben:

- Damit kann man zeigen, dass:


Ergebnis (Beispiel):

– Unterschiede durch verschiedene Datensätze und verschiedene Parametrisierungen.– Verschiedene Gruppen: CTEQ, MRST, Alekhin, H1, ZEUS– Unsicherheiten von wenigen Prozent (u bei moderaten x) bis 100% (g bei hohen x) Problem für LHC!

Typische Parametrisierungen der Abhängigkeit von F2 von den Partonverteilungen fi(x,Q2):

Durch Variation der Parameter kann die Vorhersage von F2 an die Daten angepasst werden. Der optimale Parametersatz liefert dann die Partonverteilungen (PDFs) des Protons.

(Anmerkung: Der theoretische Ansatz verlangt, dass die PDFs bei einer kleinen Startskala Q0

2 angenommen und dann mithilfe der Evolutionsgleichungen zu hohen Skalen Q2>Q0

2 entwickelt werden.)

Probleme: – Anzahl der Parameter gross!– Auswahl der Datensätze (fixed-target, Neutrino, Myon, HERA, Drell-Yan etc.).– Abschätzung der Unsicherheiten.– …

5.4.1 PARTONVERTEILUNGEN AUS F2

)1()1(

)1()1(32 JxIxHxxxEq

DxxxAqGF

s

CBv


Zur Unsicherheit der Gluondichte:

Relevanz für z.B. Higgs-Produktion bei LHC?

“Ehrlichere” Darstellung: Man beachte das starke Ansteigen des Sees und der Gluonen zu kleinen x hin!

5.4.1 PARTONVERTEILUNGEN AUS F2


5.4.1 S IN SKALENVERLETZUNGEN VON F2

Erinnerung: Strukturfunktion F2: Wiederholung Theorie:

Bei bekannter Strukturfunktion F2 (und ihrer Ableitung), bekannter Gluondichte g und bekannten Splitting-Funktionen P kann S(Q2) extrahiert werden(beachte: Q2 ist einzige harte Skala im Prozess).

2222

22 ,,ln

,QxgPQxFP

Qd

QxdFgqSqgS

qqi

iiep qQxfxQxF,

2222 ,,

Ergibt einen sehrgenauen Wert für

die starke Kopplung!


Umbenennung: u(x)dx, d(x)dx etc. ist Wahrscheinlichkeit, ein u,d-Quark mit Impulsanteil x zu finden.Wir unterscheiden Valenzquarks uud und Seequarks aus Fluktuationen: uu, dd, ss, … Damit und den als bekannt angenommenen Quarkladungen kann man die Strukturfunktion des Protons F2

ep schreiben als:

Annahme von Isospin-Invarianz ergibt beim Übergang zum Neutron:

Also:

Integration über x ergibt einige “Summenregeln”:

Addition/Subtraktion dieser beiden Gleichungen:

Da das Proton die Strangeness 0 hat muss gelten:

Interessant: Impulssummenregel:

Laut QPM sollte 0 sein. Vernachlässigung von s:

Experimentell: Wert des Integrals ca. 0.5! Den restlichen Impuls tragen die Gluonen! Da sie elektrisch neutral sind, tragen sie nicht zur EM-Struktur (also zu F2) bei.

5.4.1 QPM UND SUMMENREGELN

)()()()(

9

1)()(

9

4)(2 xsxsxdxdxuxuxxF ep

)()()( ),()()( xuxuxdxdxdxu pnpn

)()()( xsxsxs pn

)()()()(

9

1)()(

9

4)(2 xsxsxuxuxdxdxxF ep

(n) 0)()(3

1)()(

3

2

(p) 1)()(3

1)()(

3

2

1

0

1

0

xuxuxdxddx

xdxdxuxudx

1)()( 2)()(1

0

1

0

xdxddxxuxudx

0)()(1

0

xsxsdx

-1)()()()()()(1

0

xsxsxdxdxuxuxdx

1

0

2

222

1)(5

18

)()()()(18

5

2

1

dxxF

xdxdxuxuxFFF

eN

enepeN


5.4.2 S AUS JETS IN DIS

Wir betrachten folgende Pozesse in ep-Streuung

… und die Korrekturen höherer Ordnungen:

“Uninteressant” hingegen ist:

Wirkungsquerschnitt: Reihenentwicklung in S:

Vier wichtige Fragen: 1.Was ist die relevante Skala für S?2.Wie kann man die Prozesse der Ordnung S

0 ausschliessen (wenn man will)?

3.Was sind die Koeffizienten Cn (später)?4.Wie sehen solche Ereignisse im Detektor

aus?

Zu 1.) Relevante Skala: Wähle hohe Energieskala, bei der der harte Prozess abläuft.

QCD-Compton Boson-Gluon-Fusion

S

S

Reell, brauchen auch virtuelle(Schleifen-)Korrekturen …

1S

2S

0S Quark-Parton-Modell-

(QPM)-ProzessRelevant für Struktur-

funktionen.

22

11

1

CCC SSn

NLO

nnS

Beitrag n=0 liefertkein S. Experimentell:Breit-Bezugssystem!

Koeffizienten Cn

berechenbar (später)

NLO=niedrigste(nullte)+erste

Ordnungen

Q2

(transversale) Jet-Energie ET,Jet

Möglichkeiten: Q2, ET2

Ambiguität – theo. Fehler!


Zu 2.) Warum betrachtet man bei Hadron-Collidern wie HERA oder Tevatron immer die transversale Energie ET?– Im Anfangszustand ist die Summe der Transversalenergien =0:

– Nach der Wechselwirkung gibt es Impulse senkrecht zur z-Achse (z.B. gestreutes Elektron) – diese charakterisieren also die Wechselwirkung!

– Aber man weiss nicht, welcher Bruchteil der (rein longitudinalen) Protonenergie in die Wechselwirkung floss (Quark-Bild!) – die Schwerpunktsenergie ist letztlich unbekannt!

Noch zu 2.) Wie unterdrücke ich experimentell die Anteile der Ordnung S

0?

QPM-Ereignis im Labor-System:

das Quark (= der Jet) hat Transversalimpuls!

Jetzt Lorentz-Boost so, dass Photon und Quark auf der z’-Achse liegen:

Breit-Bezugssystem (“brickwall system”):

QPM-Ereignisse geben KEINEN hadronischen (Jet)-Transversalimpuls relativ zu z’ ET-Cut selektiert also “QCD”-Ereignisse (QCDC, BGF), denn:

5.4.2 S AUS JETS IN DIS: ET, BREIT-SYSTEM

+zElektron Proton

+z

Elektron

HadronischesSystem

ElektronProton

+zPhoton

Quark

Quark

+z

+z‘

Photon Quark +z‘

Quark

02 qPx

+z‘

Photon Quark

+z‘Quark 1

Quark 2


Zu 4.) Wie sehen solche Ereignisse im Detektor aus?

5.4.2 S AUS JETS IN DIS: EREIGNISSE

QPM


Zu 4.) Wie sehen solche Ereignisse im Detektor aus?

5.4.2 S AUS JETS IN DIS: EREIGNISSE

??????


Salopp gesagt: Man kann beweisen (Faktorisierungstheoreme), dass man nur- ME berechnen muss (leicht in pQCD, hängt von einlaufendem Impuls x ab)

- PDFs kennen muss (z.B. aus F2)

- und dann beides “zusammenkleben” kann, um zum WQS zu kommen.

Die Faktorisierungseigenschaft ist sehr fundamental und keineswegs selbstverständlich!

Zu 3.) Was sind die Koeffizienten Cn?

Faltung der “weichen” Anteile (PDF) und der harten (ME) Prinzip der Faktorisierung!

5.4.2 S AUS JETS IN DIS

11 n

nS

nn

nS MEPDFC

Partonverteilungen Faltung Matrixelement(WQS) der Parton-

Parton-Steuung

PDF fi/p,nicht-perturbativ

ME, hohe Skalen(Q2, ET)

1,/

1,/

11

n i

nipinS

n inipi

nS

n

nS

nn

nS

dxff

MEPDFC


Ergebnisse solcher Analysen bei HERA:

Detektor:

Wie wird nun die starke Kopplung gemessen? Einfachste Methode:– Berechne den Wirkungsquerschnitt i für jede Observable i als Funktion von S(MZ).

– Interpoliere die quadratische Funktion in S(MZ):

– Bestimme das zum gemessenen idata

gehörende S(MZ).– Kombiniere ggf. verschiedene S(MZ)-Werte.– Oder evolviere zur “richtigen” Skala 2.

5.4.2 S AUS JETS IN DIS: EXTRAKTION

22

22

12

222

21

2

ZsZsZstheoi

RsRsRstheoi

MCMCM

CC

2

22

22

ln)(12

2331

)()(

ZZS

f

ZSS

MQ

Mn

MQ

Gemessener Wirkungsquerschnittfür Produktion von 1+ Jets in einembestimmten kinematischen Bereich.

Daten verglichen mit QCD-Rechnungin nächstführender Ordnung, NLO.

Unten: Verhältnis (Daten-NLO)/NLOMass für Qualität der Beschreibung

der Daten durch Theorie.

+z‘Quark 2

Quark 1

+z‘

Jet 2

Jet 1+z‘

Jet 2

Jet 1

pT


Man sieht also: 1. Die Werte verschiedener HERA-

Messungen stimmen gut miteinander überein (Uffff!)

2. Die Energieabhängigkeit wird gut von der Theorie (QCD in NLO) beschrieben:

Resultierende S(MZ)-Werte und ihre Kombination:

Evolviert zur Skala ET:

5.4.2 S AUS JETS IN DIS: EXTRAKTION

2

2

2

2

20

1

2

2

0

2

ln

lnln2

1

ln

4)(

QCD

QCD

QCD

S Q

Q

QQ

FührendeOrdnung (LO)

0=11-2/3nf, 1=51-19/3nf

(Renormierungsgruppengleichung)


5.4.2 S AT HERA


Paradigmatische Bestimmung der starken Kopplung in der Elektron-Positron-Vernichtung in 4 Jets:

Tiefunelastische Streeung: Aus der Hadron-spektroskopie motivierte Annahmen: - Es gibt drei Konstituenten mit Spin-1/2 (Valenzquarks u,u,d).- Ladungen: Qu=2/3, Qd=-1/3. - Diese tragen Bruchteile xi, i=1,2,3, 0<xi<1, des Protonimpulses.

Modifikation des e-WQS:

WIEDERHOLUNG

324 )()()( ScutScutcut yByAyR

2

2

42

22

2

2 ~2

1~1

4q

qqeq

Qs

Q

s

Q

QdQ

d

i

eqep i

)(2)(

)()(

12

22

xxFxF

xfQxxFi

ii

)()(14

12

222

22

xFxyxFysQdydx

d

ep

Mit Definition der kinematischen Variablen x, y, Q2 und der Strukturfunktionen F2 etc.:

F2 unabhängig von Q2 – Skalenverhalten!


WIEDERHOLUNG

Durch Gluonen und Quantenfluktuationen kommt es zu Skalenverletzungen. Grund: Bei verändertem Auflösungsvermögen Q2 sieht man mehr/weniger Strukturen auf kleinen Skalen.

Aktuelle präzise Messungen von F2 von HERA sehr gut mit QCD-Theorie verträglich!


Die Struktur des Jet-Wirkungsquerschnitts (bei HERA):

Der Wirkungsquerschnitt wird geschrieben/berechnet als Reihenentwicklung (bis nächstführende Ordnung) mit dem Parameter S. Die Koeffizienten sind Faltungen der PDFs mit den partonischen Wirkungsquerschnitten.

Die Messung solcher Daten und der Vergleich mit der theoretischen Vorhersage erlaubt also folgende Tests:

– Unterliegende Eichgruppe (ist es wirklich SU(3)C?) (Spins, Farbfaktoren – siehe Paper auf Webseite).– Starke Kopplung.– PDFs und ihre Universalität.– Faktorisierung.– Konzept der perturbativen QCD– Abhängigkeit vom Boson (neutral/geladen).– “Partondynamik im Proton”– Spin von Quarks und Gluonen

H1-Ergebnisse zu 1/2/3-Jet-Wirkungsquerschnitten:

5.4.3 PRÄZISIONSTESTS DER QCD

2

1 ,,

),,/(ˆ),()(m gqqa

frBjfarms xf


Der Spin von Quarks und Gluonen wurde sowohl bei LEP als auch bei HERA in 2-Jet-Ereignissen gemessen.

Idee: Der Spin des Propagators wirkt sich auf die Winkelverteilung der beiden Jets aus:

Trennung der beiden Ereignisklassen über Variable x: Bruchteil der Photon-Energie, die an harter Streuung teilnimmt, aus Jets berechenbar.

Ergebnis von ZEUS (analog z.B. von OPAL):

Die beiden Beiträge zeigen deutlich verschiedenes Winkelverhalten und gute Beschreibung durch die Theorie.

Quarks haben Spin ½, Gluonen Spin 1! Ein weiteres Feature der QCD bestätigt!

5.4.3 PRÄZISIONSTESTS: GLUON-SPIN

Quark-Propagatormit Spin ½: (1-|cos*|)-1

Gluon-Propagatormit Spin 1:(1-|cos*|)-2


D*-Massenpeak:

F2cc-Beschreibung mit

g(x,Q2) aus F2:

5.4.4 UNIVERSALITÄT DER PDFS

Charm-Strukturfunktion F2cc (parametrisiert

den Anteil der Proton-Struktur aus c-Quarks).

– Charm im Proton nur aus gcc-Fluktuationen. F2

cc sensitiv auf Gluondichte g(x,Q2).

– Gluondichte aus PDF-Fits an F2.– Charm-Ereignisse aus D*-Analyse:

c

c

D*

s+

+K-

D0

Das Gluon ist universell!


EINSCHUB: ANALYSE BEI ZEUS

HERA stellt 24/7 ep-Kollisionen zur Verfügung:









Rate der Teilchenbegegnungen: 10 MHzRate von Strahl-Gas- und Strahl- wand-Wwirkungen: 100 kHzTotaler Photoproduktions-WQS: 154 b Rate bei 1031cm-2s-1: 0.1 HzTypischer Jet-Rate (DIS): Hz-mHz

Man muss die “richtigen” Ereignisse herausfiltern.

Aber: Ereignisse sind gross (~200kB, 1M elektron.Kanäle) man kann nicht alle “guten” aufheben weitere Auswahl nötig!

Trigger muss helfen! – 1. Stufe (FLT): - “Pipelined”,

- s Entscheidungszeit - Kalorimeter, Vertex-Info, … - 100kHz 1kHz

– 2. Stufe (SLT): - Millisekunden - Ausgangsrate ca. 70Hz

– 3. Stufe (TLT): - nach “Eventbuilder” - Sekunden - Ausgangsrate 10Hz Band - PC-Farm



- Rohdaten auf Band – Kalorimeter: ADC-Signale der Photomultiplier. – Spurkammer: Hits auf den Draehten, Zeit – Trigger-Bits von FLT, SLT, TLT – etc. – das alles in kryptischem Format …

- Dann Rekonstruktion: – Umwandlung der PMT-ADC-Signale in Energien der Kalorimeterzellen. – Rekonstruktion von Spuren in der Spurkammer – Aufbereitung der Informationen der anderen Detektorkomponenten. – Abspeichern als DST (“Data Summary Tape”, die wesentlichen Infos stehen im ADAMO-Tabellen).

- Dann im Prinzip Analyse der Daten und Publikation: Aber viele Probleme noch da: Kalibrationen, Luminositaet, Untergrund, …



Daten auf Band(Kalorimeter-Zellen, Spuren,

Trigger-Bits, etc.)

“Anfassen” der Daten(Info in ADAMO-Tabellen, Tage)

Standard-Tasks sind in derPhantom-Bibliothek gesammelt,

z.B. Elektron-Finder, Myon-Finder, …

User-Code enthaelt spezifischeAnforderung zur Datenreduktion,Vorselektion (z.B. Trigger-Bits und

Auswahl interessanter Daten)

Das Ntuple enthaelt fuer michrelevante Info der fuer mich

interessanten Ereignisse

Finale Analyse mit in Ntuplegespeicherten Ereignissen

(z.B. Jet-Finding, Jet-Selektionnach ET, , Q2) (Stunden)

Ergebnisse



Datadetektor

akzeptance, efficiency

Comparison

NLO

QEDrunning, radiation

Z0 exchange

hadroni-sation

QCD-Rechnung umfasst nur Partonen

Detektor verfaelscht die Physik Korrektur notwendig.

Partonen Hadronen mit Simulationen

Z0-Korrektur mit Simulationen

Vertex-Korrektur mit Simulationen

Detektor-Korrektur mit Simulationen

partonsMCi

hadronsMCi

noZhadronsMCi

ZhadronsMCiNLO

itheoryi

QEDhadronsMCi

noQEDhadronsMCi

ectorMCi

hadronsMCidata

imeasuredi

,

,

0,,

0,,

,,

,,

det,

,



Vergleich Daten-Simulation, Korrekturen



Abschaetzung experimenteller und theoretischer Unsicherheiten



Vergleich erste/zweite Analyse



Ergebnis:


Entdeckung des J/:

- Seit den 60ern waren Quarks als theoretische Bausteine der Hadronen anerkannt um den „Teilchenzoo“ zu ordnen.

- November 1974: Neues Teilchen J/ wird an zwei Experimenten gleichzeitig entdeckt:

- BNL: ppe+e- X … 28.5-GeV-Protonen (AGS):

Resonanz bei m=3.1 GeV,

- SLAC: e+e- Hadronen, e+e-, +- mit SPEAR bei scan ECM =2.5-7.5 GeV (in 200-MeV Schritten):

m=3.105 GeV, ~90keV!Detektor Mark-I Prototyp eines moderne Speicher-ring-Experiments,

- Bestätigung nach wenigen Tagen: Frascati (ADONE

4tes Quark Charm entdeckt

Die geringe Breite war eine große Überraschung – bei m=3.1 GeV wird für eine Resonsnz, die über die starke WW zerfällt eine Breite von 1 GeV erwartet!

Zwei Wochen nach der Entdeckung des J/ wurde der erste angeregte Zustand ’ mit dem Mark-I-Detektor beobachtet:

5.5 EINLEITUNG: Hadronen und QuarkmodellExperimentelle Situation – der Teilchenzoo:

- > 100 Mesonen, > 130 Baryonen – sind die alle “elementar”? oder gibt es ein Bauprinzip?

- 1932: Heisenberg: mp=938.28 MeV, mn=939.57 MeV p n gleiche Eigenschaften Relativ zur starken WW ? Isospin-Multipletts (ebenso ,…)

- 1947: Rochester/Butler: seltsame Teilchen (s-Quark)

- 1964: Gell-Mann/Zweig: Quarks als mathematische Konstrukte Ordnungsschema (“eightfold way”)

- 1968: SLAC: e-Nukleon-Streuung Nukleonen haben punktförmige Bestandteile (Partonen=Quarks?)

- 1974: Richter/Ting: Entdeckung des J/ und Charmonium-Spektroskopie Quarks als physikali- sche Teilchen akzeptiert.

- 1977: FNAL: b-Quark entdeckt, Spektroskopie

- 1995: FNAL: Entdeckung des Top-Quarks. Aus 6 Quarks lassen sich Hadronen

aufbauen.

Zwei Themen in dieser Vorlesung:

– Schwere Quarks und ihre Spektroskopie, das Potential der QCD,

– Aufbau der Hadronen aus (leichten) Quarks, Gruppentheorie.

)( cc

bb


5.5 Übersicht: Eigenschaften der Quarks

Quarks: Spin: ½, A (Barionenzahl): +1/3, Parität: P = +1

Antiquarks: Spin: ½, A (Barionenzahl): -1/3, Parität: P = -1

Quark*) d u s c b t

Ladung/e -1/3 +2/3 -1/3 +2/3 -1/3 +2/3

I3 -1/2 +1/2 0 0 0 0

Seltsam. 0 0 -1 0 0 0

Charm(Ch)

0 0 0 +1 0 0

Bottom 0 0 0 0 -1 0

Top (To) 0 0 0 0 0 +1

„nackte“ Masse**)

~.008 GeV

~.004 GeV

~0.15 GeV

~1.1 GeV

~4.2 GeV

~175 GeV

Masse im Hadron**)

~.344 GeV

~0.340 GeV

~0.51 GeV

~1.5 GeV

~4.7 GeV

***)

*) additive Quantenzahlen ändern das Vorzeichen Quarks Antiquarks**) modellabhängig***) Lebensdauer so kurz (schwacher Zerfall!), dass es keine gebundenen Zustände gibt


5.5.1 J/ UND CHARM

Mark-I-Detektor (Richter et al., SLAC)

Rekonstruktion derinvarianten e+e--Masseaus den Impulsen: J-Resonanz bei 3.1 GeV!

Richters ψ mit Hadronen, Elektronen und Myonen im Endzustand – ECM

des e+e--Speicherrings


5.5.1 ERZEUGUNG/ZERFALL DES J/ IN MARK I

Eigenschaften des J/ψ:

- koppelt direkt an das Photon JPC=1-- l=0, S=1 -Meson

- Ladung c-Quark: +2/3 aus der Stufe 3x(2/3)2 in R

- Warum ist Zerfallsbreite so klein ?

cc


5.5.1 Eigenschaften des J/ und Charmonium- „Charmquantenzahl“ in starker WW

erhalten

- J/ψ fast reiner -Zustand (kein u, d, s Anteil)

- Direkter Zerfall in Charm-Mesonen (D) nicht erlaubt da m(J/) < 2* m(D)!

- Zerfall in andere Hadronen unterdrückt, da:

1 Photon: erlaubt, aber klein da e.m. WW

1 Gluon: verboten (Farbe)

2 Gluonen: verboten, da C(J/ψ)=-1 C(2g)=+1,

3 Gluonen: erlaubt, aber ~S

3(mc2)

unterdrückt

)( cc

Hadronischer Zerfall nur via 3 Gluonen unterdrückt ~S

3(mc2) große Lebensdauer

In e+e- wurde eine Anzahl weiterer -Anregung-zustände gefunden mit denen das -Potential untersucht werden konnte:

- außer den JPC=1---Zuständen, wurden in

am SLAC und am DESY auch die Zustände mit J=0, 1, 2, C=+ und P=+ genau vermessen

cccc

],[)3686( PCXee


5.5.1 “CRYSTAL BALL”-DETEKTOR (SLAC/DESY)


5.5.1 Charmonium-Spektroskopie

Photonspektrum vom ψ‘(3686)-Zerfall [P.Partridge et al., PRL 45 (1980)1150]

rfr

rV effS 0,

3

4)(

– f0=0.9 GeV/fm 15t!– f0-Term keine freien Quarks,

Masse Hadronen vor allem Bindungse.– “Coulomb”-Term: 1-Gluon-Austausch!

- Charmoniumspektrum ähnlich zum Positroniumspektrum (wegen hoher Quark-Masse nicht-relativistisch!)

- Aufspaltung des 1S-Niveaus durch Spin-Spin-WW: 10-4 e+e-, 0.03 für

(Nomenklatur: N =N+1 !)

cc

- Aus Termschema Potential (durch iteratives Lösen der nicht-relativist. stationären Schrödingergleichung:


5.5.1 Potential der starken WW

Potential der starken WW:- In letzter Zeit Berechnung im Rahmen der

Gittereichtheorie auf GFlops Rechner

- Bisher noch kein direkter „Beweis“ des Confinements


5.5.1 UND BOTTONIUM

1977: L. Ledermann et al. am FNAL entdeckt in pCu+-+X eine Resonanz bei m ~ 3460 MeV mit ebenfalls sehr schmaler Breit von ca. 50 keV.

Neues Bauteilchen “bottom” – das 5. Quark!

Die Spektroskopie des (gebundener bb-Zustand) vor allem am DESY (ARGUS bei DORIS 1978) dem Charmonium vergleichbares Termschema zusätzliche Information zur Bestimmungen des QCD-Potentials!

Entdeckung in p-Cu WW.

-Zuständein e+e- WW.


Darstellung reduzibel wenn durch Transformation M blockweise diagonalisiert werden kann:

Jedes (i) ist auch eine Darstellung der Gruppe!- Irreduzible Darstellung: wenn die (i) nicht weiter reduzierbar. Beispiel: Gruppe “S3”:

Darstellung ist reduzibel:- (x+y+z) bleibt invariant Wahl neuer Achsen X,Y,Z, Z Ebene (x+y+z=const) Z invariant- neue Trafo-Matrizen

- Darstellungen der Drehgruppe: z.B. Dimension 2 Pauli-Matrizen Multipletts mit Drehimpuls J=1/2).

-

5.5.2 GRUPPENTHEORIESymmetrieprinzip: Invarianz eines

physikalischen Systems unter Transformationen (z.B. Translation).

- Menge der möglichen Transformationen: Gruppe Gruppe Menge G der Elementen Ri verknüpft mit Operation “*” wenn gilt: – Abgeschlossenheit: Ri, Rj G Ri*Rj G – Existenz des 1-Elements: Ri*1 = Ri

– Existenz des Inversen: R*R-1 = 1 – Assoziativität: Ri*(Rj*Rk) = (Ri*Rj)*Rk.

- Gruppe heisst nicht-abelsch, falls: Ri*Rj Rj*Ri.

- Diskrete Gruppen: z.B. Gruppe der Permutationen dreier Objekte “S3” mit 6 Elementen.

- Kontinuierliche (Lie-)Gruppe: abzählbar unendliche Zahl von Elementen, die von d Parametern ab-hängen (d=Ordnung der Gruppe). z.B. räumliche Rotation mit d=3 Parametern (3 Euler-Winkel)

- Darstellung einer Gruppe: Wenn es eine isomorphe Abbildung zwischen den Gruppenelementen Ri und einer Menge von nn-Matrizen gibt mit (R1)(R2)=(R1R2) dann Gruppe der Matrizen Darstellung der Gruppe (mit Dimension = n)

(z.B. 3dim-Drehgruppe ist isomorph zur Gruppe SO(3) orthonormaler 33-Matrizen mit det=1)

21 :

13 :

32 :

Vertausch. antizykl. :b

ngVertauschu zykl. :a

)123()123( :1

e

d

c

...00

0)(0

00)(

)( )2(

)1(

1 R

R

MMR

100

0......

0......

Zerlegung 3=21


Jz nennt man den Generator der Drehung. Viele infinitesimale Drehungen hintereinander:

… und ebenso für die x,y-Achsen. Dabei gilt die Lie-Algebra: Anmerkungen: - die Lie-Algebra beschreibt die Struktur der Gruppe.

- die klm sind die Strukturkonstanten der Gruppe; sie alleine legen die physikalischen Konsequenzen fest!- Dimensionen der Matrizen J hängen vom physikalischen System ab: e.g. Spin-1/2 n=2. - im Falle der Dimension n gibt es n2-1 Generatoren.- Generatoren sind hermitisch mit Spur=0.- jeder diagonalisierbarer Generator additive

Quantenzahl. - Multiplett: Invarianter Vektorraum entarteter Eigen- funktionen einer Symmetriegruppe.- Anzahl gleichzeitig diagonalisierbarer Generatoren: Rang r r unabhängige (Casimir-)Operatoren mit gleichen Eigenwerten für alle Multiplett-Zustände

5.5.2 BEISPIEL: RAUMDREHUNG FÜR SKALAR

U sei die Transformation, die eine Drehung R des Systems z.B. um Achse z bewirkt (Gruppe SO(3)):

infinitesimaleDrehung :

Damit ergibt sich:

)),,((),,(),,( 1 zyxRzyxUzyx

y

x

x’

y’

(x,y),(x’,y’)

Drehung umWinkel

xyydy

xyy

yxxdx

yxx

~

),,(1

),,()(1

),,(

),,(

),,(),,(

zyxJi

zyxypxpi

yx

xyzyx

ydy

xdxzyx

zdyydxxzyxU

z

zy

xipx

zJi

n

n

zn eJ

niUU

1)()(

mklmlk JiJJ ,Drehung R des phys.Systems entspricht

Drehung R-1 desKoordinatensystems.

Unitär: U-1=U+ (herm.konjugiert) … U(n) Speziell: unitär mit det=1 … SU(n) Orthogonal: reelle unitär; SO speziell unitär … e.g. SO(3)


Auf/Absteige-(Schiebe-)Operatoren

Anwendung auf andere als Isospin-1/2-Systeme:

– Isospin-0: |0,0>, I3=I+=I-=0 “trivial”

– Isospin-1: |1,-1> |1,0> |1,1>

Anwendung auf Systeme wie +0-, +0-, etc. ( Übungsaufgabe)

Kombination von Darstellungen (Teilchen):

bisher nur ein Teilchen betrachtet – Systeme mit mehrerer Teilchen Rückgriff auf Addition von Drehimpulsen aus der Quantenmechanik:

Teilchen 1 und 2 mit Drehimpulsen J1, J2 und dritten Komponenten m1, m2:

Clebsch-Gordan Koeffizienten geben an, wie sich Zustand |J M> aus |J1 m1> und |J2 m2> zusammen setzt:

5.5.2 INNERE SYMMETRIEN, SU(2)-ISOSPIN

Bis jetzt räumliche Drehungen; jetzt innere Symmetrien:

Symmetrie bzgl. eines abstrakten Raumes, von dessen Koordinaten die Wellenfunktion nicht explizit abhängt. Beispiele:

- SU(2)-Isospin (Heisenberg, entspricht Flavour-SU(2)):

- SU(2) schwacher Isospin: Dubletts/ Tripletts:

-SU(3)-Flavour:

- SU(3)-Colour:

SU(2)-Isospin: Von Heisenberg 1932 zur Beschreibung von n,p in einer Darstellung entwickelt: Generatoren sind hier die Pauli-Spin-Matrizen JiIi=1/2i; es gilt z.B.:

nnIppI2

1

1

0

10

01

2

1 ,

2

1

0

1

10

01

2

133

d

u

1

0

0

1: nundp

n

p

l

du

W

W

W3

s

d

u

b

g

r

pnIiI

0

1

1

0

00

10 ,

00

10

2

121

020

002

000

,

000

200

020

,

100

000

001

3 III

21

2121 ||||

mmm

JJJJJ

mJmmmJmmC

mmmJmmmJmm

,,),,,(

,,,,

2121

,2121

21


5.5.2 CLEBSCH-GORDAN-KOEFFIZIENTEN

- Elemente einer unitären Matrix des Rangs (2J1+1)(2J2+1).

- Explizit berechenbar; tabelliert.


Addition zweier Spin-1/2-Teilchen:

Also: |1,1>=1|m1=+1/2,m2=+1/2>|1,0>=1/√2|m1=+1/2,m2=-1/2> + 1/√2|m1=-1/2,m2=+1/2>

|1,-1>=1|m1=-1/2,m2=-1/2>

|0,0>= 1/√2 |m1=+1/2,m2=-1/2> - 1/√2 |m1=-1/2,m2=+1/2>

Es ergeben sich also aus der Kombination von 2 Dubletts 4 Zustände, drei in einem Triplett und einer in einem Singlett. Symbolisch:

5.5.2 CLEBSCH-GORDON-K.: ANWENDUNG

Anwendung auf Isospin I und die Kombination von n,p zu N-N-Systemen (so wie Spin):

Erweitere Definition der Auf/Absteige-Operatoren etc. für Kombinationen von Teilchen, z.B.:

Erster Summand wirkt nur auf “erstes” Teilchen etc.

Erweiterung auf Antiteilchen:

Anwendung auf u,d-Quarks analog zu n, p. Daher gleich der komplexere Fall SU(3)-Flavour: u,d,s!

m1, m2

J1J2

Jm

1322

)(2

1)(

2

100

)(2

1)(

2

1

1

0

1

1

3

3

3

3

nppnII

nn

nppn

pp

I

I

I

I

)2()1(

)2(3

)1(33

III

IIIges

ges

...)()())(()( )2(3

)1(3

)2(3

)1(33 pInpnInpIInpI

n

p

p

niiiI

2

1

2

1 333 III ges

“-”-Zeichen, weil Ladungskonjugation und Isospin-Rotation nicht unabhängig von einander!


Erweiterung auf SU(3)-Flavour:Hier sind die Generatoren die 8 Gell-Mann-Matrizen, die auf die Flavour-Tripletts (u,d,s) wirken:

Formal betrachtet man hier Drehungen im Flavour-Raum

mit 8 “Winkeln” (Parametern) i ( Ordnung d=8).

– Es gibt 2 Casimir-Operatoren (Rang 2), z.B.:

– 3, 8 sind diagonal 2 additive Quantenzahlen, Eigenwerte von:

5.5.2 SU(3)-FLAVOUR

Gell-Mann-Nishijima: (Y=A+S)

Schiebeoperatoren, die u in d transformieren und den Isospin abfragen:

Es gilt:

Strangeness-Operator: Man kann auch Schiebeoperatoren us und sd definieren (mithilfe der Matrizen 4-7), z.B.:

Mit all dem und den Antitripletts/Anti-Generatoren (Umkehrung aller additiven Quantenzahlen)

… Werkzeug, um Quark-Antiquark-Systeme zu bauen.

s

d

u

)exp(i

iiiU

kijk

jiijki

i fCC 8

1

4

12

8

1

21

8

33

)3/1(

)2/1(

Y

I

1

0

0

0

1

0

0

0

1

sdu*

33

jjBB

SSII

332121 2

1

2

1

2

1 IiIiI

021

21

0

333

sIudIuuI

sIuIudI

31

38 S

22 33

YI

SAIQ

(Wie bei SU(3)-Colour)

u

i

i

isi

0

0

1

1

0

0

000

000

200

1

0

0

00

000

00

001

000

100

2

1

2

154

IsospinHyperladung

A…Barionenzahl(häufig auch B)l


Darstellungsdiagramme erlauben eine leichte Übersicht der erreichbaren Kombinationen: Z.B. Kombination von Triplett mit Antitriplett (“Vektoraddition”):

Ja nach Spinzustand ergeben sich Pseudoskalare Mesonen (JP=0-) oder Vektormesonen (1-):

5.5.2 DARSTELLUNGS-DIAGRAMME

Anwendung von Schiebeoperatoren zeigt:

(Erinnerung SU(2): )

Die Mesonen gliedern sich also in ein Oktett und ein Singlett (gebildet durch das ‘-Teilchen).

Die pseudoskalaren Teilchen gut bekannt. Von den drei I3=S=0-Zuständen gehören 2 zum Oktett, eins zum Singlett; Experimentell findet man Mischungen:

Analog ist Aufbau der Barionen. Es zeigt sich:

Struktur erklärbar durch Forderung, dass gesamte Wellenfunktion (Raum, Spin, Flavour, Farbe) antisymmetrisch unter der Vertauschung identischer Teilchen sein muss.- Ortswellenfunktion im Grundzustand symmetrisch.- Spin: 3 Spin-1/2 ergeben Spin 3/2 oder ½; WF

kann (anti)symmetrisch sein. 3/2 ist symmetrisch.

- Flavour: Je nach Multiplett verschiedene Symmetrie.

1833

18810333

ssdduudduu

ssdduussdduudduu

000

0

)(2

1)(

2

1

)(3

1)2(

6

1)(

2

1

Anmerkung: Unter Einschlussvon c,b wird es viel komplexer!

1322


Gruppentheorie:- Idee: Systeme oft invariant unter Transformationen (Rotation). “Ähnliche” Trafos bilden Gruppen (SO(3)).- Anwendung auf innere Symmetrien: Gruppiere Trafos in Räumen von Quantenzahlen (Isospin, Farbe) in Gruppen.- Darstellung: “Matrixrepräsentation” der Trafo. Je nach betrachtetem Objekt gibt es verschiedene Darstellungen (mit verschiedenen Dimensionen): z.B. - Isospin-1: |1,-1> |1,0> |1,1> 33-Matrizen - Isospin-1/2: |1/2,+1/2>, |1/2,-1/2> Pauli-M.- “Reduzibel” (blockweise Daigonalisierung der Darstellung):

Beispiel: 2 Spin-1/2-Teilchen: Statt 4-dim.Matrix für

Trafo so, dass 3-dim+1-dim Matrix!

(Kombination von Drehimpulsen, Clebsch-Gordan-K.!)- Alle Zustände eines Multipletts haben das gleiche

Transformationsverhalten (Symmetrie) und sind entartet r Quantenzahlen der Casimir-Operatoren.

WIEDERHOLUNG

Entdeckung schwerer Quarks (c,b) in den 1970ern in den J/- und -Mesonen (cc, bb):

Quarkonium-Spektroskopie (analog Positronium):

Interessant: schmale Breite der cc/bb-Mesonen von <100keV. Grund:einfachster QCD-Zerfall ~S

3!

rfr

rV S03

4)(

...00

0)(0

00)(

)( )2(

)1(

1 R

R

MMR

21,2

12

1,21

21,2

12

1,21

ponm

lkji

hgfe

dcba

0,0

1,1

0,1

1,1

000

0

0

0

987

654

321

B

AAA

AAA

AAA

QCD-Potential:

1322

Hohe n grosse r Confinement


Addition zweier Spin-1/2-Teilchen:

Also:

Es ergeben sich also aus der Kombination von 2 Dubletts 4 Zustände, drei in einem Triplett und einer in einem Singlett. Symbolisch:

Innerhalb jedes Multipletts gleiches Transformationsverhalten (Symmetrie bzgl. Teilchenvertauschung) und Entartung bzgl. J!

5.5.3 CGK: BEISPIEL, ANWENDUNG

Anwendung auf Isospin I und die Kombination von n,p zu N-N-Systemen (Analogie zum QM-Spin):

Erweitere Definition der Auf/Absteige-Operatoren etc. für Kombinationen von Teilchen, z.B.:

Erster Summand wirkt nur auf “erstes” Teilchen etc.

Erweiterung auf Antiteilchen:

Anwendung auf u,d-Quarks statt n,p trivial. Daher gleich der komplexere Fall SU(3)-Flavour: u,d,s!

m1m2

J1J2

Jm

1322

)(2

1)(

2

100

)(2

1)(

2

1

1

0

1

1

3

3

3

3

nppnII

nn

nppn

pp

I

I

I

I

)2()1(

)2(3

)1(33

III

IIIges

ges

...)()())(()( )2(3

)1(3

)2(3

)1(33 pInpnInpIInpI

n

p

p

niiiI

2

1

2

1 333 III ges

“-”-Zeichen, weil Ladungskonjugationund Isospin-Rotation nicht unabhängig voneinadner!

2

1,

2

1

2

1

2

1,

2

1

2

10,0

2

1,

2

111,1

2

1,

2

1

2

1

2

1,

2

1

2

10,1

2

1,

2

111,1

21

21

mm

mm


Erweiterung auf SU(3)-Flavour:Hier sind die Generatoren die 8 Gell-Mann-Matrizen, die auf die Flavour-Tripletts (u,d,s) wirken:

Formal betrachtet man hier Drehungen im Flavour-Raum

mit 8 “Winkeln” (Parametern) i ( Ordnung d=8).

– Es gibt 2 Casimir-Operatoren (Rang 2), z.B.:

– 3, 8 sind diagonal 2 additive Quantenzahlen, Eigenwerte von:

5.5.3 SU(3)-FLAVOUR

Gell-Mann-Nishijima: (Y=B+S, Baryonzahl B, Strangeness S)

Schiebeoperatoren, die u in d transformieren und den Isospin abfragen:

Es gilt:

Strangeness-Operator: Man kann auch Schiebeoperatoren us und sd definieren (mithilfe der Matrizen 4-7), z.B.:

Mit all dem und den Antitripletts/Anti-Generatoren (Umkehrung aller additiven Quantenzahlen)

… Werkzeug, um Quark-Antiquark-Systeme zu bauen.

s

d

u

)exp(i

iiiU

kijk

jiijki

i fCC 8

1

4

12

8

1

21

8

33

31

21

Y

I

1

0

0

0

1

0

0

0

1

sdu*

33

jjBB

SSII

332121 2

1

2

1

2

1 IiIiI

021

21

0

333

sIudIuuI

sIuIudI

31

38 S

22 33

YI

SBIQ

(Gleiches Werkzeug wie im Fallen von SU(3)-Colour)

usi 542

1

Isospin

Hyperladung


Darstellungsdiagramme erlauben leichte Übersicht der erreichbaren Kombinationen: Z.B. Kombination von Triplett mit Antitriplett (“Vektoraddition”):

Je nach Spinzustand ergeben sich Pseudoskalare Mesonen (JP=0-) oder Vektormesonen (1-):

Anwendung von Schiebeoperatoren zeigt:


Produktvektorraum der Mesonen gliedert sich also in 2 Teilräume: ein Oktett und ein Singlett (gebildet durch das ‘-Teilchen).Die Teilchen auf dem Rand der Pseudoskalare sind gut bekannt. Von den drei I3=S=0-Zuständen fallen 2 ins Oktett, eins ins Singlett; sie sind Mischungen:

Der Mischungscharakter wird experimentell bestimmt; nicht theoretisch vorhersagbar/verstanden.

Analog kann man Baryonen aus drei Quarks u,d,s konstruieren. Es zeigt sich:

- Dekuplett () total symmetrisch in Quark-Flavour, Spins alle parallel (J=3/2).- Oktetts (mit p,n): Symmetrisch bzgl. Vertauschung zweier Quarks inklusive Spins; keine def. Symmetrie bei Betrachtung der von Flavour/Spin alleine.

1833

18810333

ssdduudduu

ssdduussdduudduu

000

0

)(2

1)(

2

1

)(3

1)2(

6

1)(

2

1

Pseudoskalar

Vektor


Übersicht aller Baryonen mit u,d,s,c:


Charm-Mesonen:

c=0

c=0

Quelle: Particle Data Group (http://pdg.lbl.gov)


Massen der Mesonen: Empirische Formel unter Verwendung der (effektiven) Quarkmassen und einer Spin-Spin-WW:

Formel passt auf Niveau weniger Prozent (Warum?) für:

- mu=md=0.310GeV - ms=0.483GeV - A=0.0615GeV2.

Mit dieser Formel werden also effektive Quarkmassen bestimmt – aber unterschiedliche Werte von Mesonen und Baryonen!

Baryonen (Fermionen!) sind komplizierter: 3 Spins, evtl. identische Teilchen Pauli: (1,2)=–(2,1)!Aus dem Symmetrieverhalten der Baryon kamen die ersten Hinweise auf den Farb-Freiheitsgrad: ++, -!- Raumanteil der WF im Grundzustand symmetrisch.- bei ++ mit Spin-3/2 Spins parallel symmetrisch- ++ ist uuu symmetrisch im FlavourWeiterer Freiheitsgrad notwendig, um antisymmetrische WF zu erhalten!

Symmetriebetrachtungen (z.B. Verbot von JPC=1-- bei qq-Mesonen) haben wesentlich zur Akzeptanz des Quarkmodells beigetragen.

5.5.3 ANMERKUNGEN

Im Quarkmodells lassen sich auch magnetische Momente der Hadronen gut beschreiben.

”Glueballs”: QCD sagt Mesonen aus Gluonen voraus – allerdings bisher kein Teilchen eindeutig identifiziert (Kandidaten sind z.B. f0(1370) etc.

Weitere Zustände wie qqqq oder qqqqqq wurden auch vorhergesagt, ebenso Pentaquarks qqqqq – Situation unentschieden.

PDG fasst auf 317 (!) Seiten Eigenschaften der bekannten Mesonen (Baryonen: 134) zusammen; aktives Feld der Forschung an dezidierten Niedrigenergie-Experimenten, aber auch bei Collidern (LEP, HERA).

2121

21 SSmm

AmmM

qqqq

0)(J 4/3

1)(J 4/121SS

Documents

TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Die starke Wechselwirkung und Quantenchromodynamik Robert Klanner Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh