Topologische Absehatzungsmethoden fur Losungen partieller komplexer Differentialgleichungen

Von WOLFQANQ TUTSCHKE in Halle / Berlin

(Eingegangen am 18. 12. 1972)

Bezeichnet W die Menge der Losungen w = (w,, . . ., wm) in G des Systems

bzw. eines vollstandigen Systems

und bezeichnet 3C die Menge der in (vgl. [Z, 3]), so gilt:

stetigen und in G holomorphen m-Tupel

Als Teilmengeiz eines topologischen RaumescR sind W u n d X topologisch equivalent. Diese topologisclie Abbildung von 3e auf W litl3t sich zu einer topologischen

Abbildung von 32 auf sich fortsetzen. Durch Untersuchung dieser topologischen Abbildung bzw. ihrer Fortsetzung 11 erhalt man, wie in der vorliegenden Arbeit gezeigt werden soll, eine Reihe von Abschatzungen der Losungen der betrachteten Differentialgleichungssysteme. Da man die Abschittzungen durch Heranziehung einer topologischen Abbildung erlialt, wird die A bschatzungsmethodik als topo- logisch bezei cli net.

I . Abstmd von Liisiingen und erzeugender holomorpher Funktion

In1 Gebiet G der z-Ebene werdeii wie in [Z] Systenie der Form (1) betrachtet, wobei die f, stetig sein sollen und bezuglich der Variablen u+, . . . , wn, eine in G gleichmafiige LlPscHITz-Bedingung mit der LrrsCHITz-Koiistanten L erfullen sollen. Die f, seien dahei fur alle Werte der w,, . . . , w,?, definiert und durch

1,eschranlit. Der Durchmesser von G sei durch die in [Z] angegebenen Schranken IJeschrankt , so ds13 der zugehorige, durch ( 5 = 5 + iq)

lf,l S K

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definierte Integraloperator kontrahierend ist. Dieser Operator, bei dem Qj in (7 stetige und in Q holomorphe Funktionen sind, bildet den durch die Supremums- norm normierten Raum 3 aller auf G definierten stetigen komplexwertigen rn-Tupel w = (wl, . . ., w,) in sich ab.

Die Losungen w von (1) sind Fixpunkte des Operators (3), also gilt

woraus folgt

1 wj(z) - Qj(z) 1 5 dr dpl = 2 K diam (a), 7d

0

wobei r, Polarkoordinaten mit einem in Q gelegenen Zentrum sind. Wegen

d ( w , @) = 1) w - Q, 11 = maxsup I wj(z) - Qj(z) I j a

ergibt sich hieraus

Satz 1. Die won der Funktion Q, E 3e erzeugte Ltisung w E W des partiellen kmplexen Differentialgleichungssystem (1) hat von @ in der Metrik von 3 den Abstand

d ( w , 0) 2 Kdiam (a). Dieser Satz zeigt, dal3 die der holomorphen Funktion Q, entsprechende Ltisung

w in der Metrik von 3 von der Funktion Q, urn so weniger entfernt sind, je kleiner die Schranke K der rechten Seiten von (1) ist.

2. Fortsetzung des LSsungshomSomorphismus

Der durch (3) definierte Operator stellt bei jeder Wahl der Funktion

Q, = (Q,,, . . .,@,) EX eine Abbildung von 3 in sich dar. In Verallgemeinerung von (3) wird bei Wahl einer Funktion Y = (!PI, . . . , Y,) E 3 die Abbildung

von 3 auf sich betrachtet. Da das auf der rechten Seite von ( 6 ) stehende Integral einen kontrahierenden Operator definiert, gibt es bei jeder Wahl von Y genau einen Fixpunkt des Operators ( 5 ) . Ordnet man jedem Y diesenFixpunkt w zu, so erhdt man eine Abbildung A von 3 auf sich. Urbild Y und Bild w hBngen durch die Gleichung

Tutschke, Topologische Abschatzungsmethoden 91

zusammen. Aus (6) liest man unmittelbar ab, da13 A eine Abbildung von 32 auf 32 i8t. Die Eineindeutigkeit von A folgt ebenfalls aus (6), da zu jedem w E 32 das zugehorige Urbild Y durch (6) explizit gegeben wird.

1 s t Y ein weiteres Element von 32 und ti, = A Y, so lBBt sich die metrische Ungleichung

(7) 1 1

l + o : 1 - u d (Y, Y ) 5 d (w, &) 5 - d (Y, $1

zeigen, wobei 0: der Kontraktionsfaktor des Operators (4) ist. Die Ungleichung (7) ist fur Funktionen Y, Y € X in [ 2 ] bewiesen worden. Dieser Beweis bleibt un- veritndert gultig, wenn Y, !@ beliebig in A gewithlt werden.

Aus (7) folgt, da13 A eine topologische Selbstabbildung von 32 auf sich ist. Aus (6) folgt

I3as bedeutet : Schrankt man A a u f X ein, so sind die zugehorigen Bilder w = A Y Losungen des partiellen komplexen Differentialgleichungssystems ( 1) . 1st um- gekehrt w = A Y Losung von ( l ) , so mu13 nach (8) daa Urbild !P holomorphsein. Damit ist gezeigt :

Satz 2 . Es gibt eine topologische Selbstabbildung A v o n 3 auf sich, d i e X in W iiberfiihrt :

w = A ( 3 e ) .

Diese Aussage gilt auch fur die in [3] entwickelte Theorie des Losungshornoo- inorphismus vollstandiger partieller Differentialgleichungssysteme der Form (2). In diesem Fall ist X die Menge der m-Tupel in (7 stetiger Funktionen, die als lpunktion von zi , . . . , z9 in G holomorph sind. Die topologische Abbildung von 7e auf W 1813t sich dann ebenfalls entsprechend Satz 2 zu einer topologischen Selbstabbildung von 32 auf sich fortsetzen.

3. A priori-Abschltzungen

Es sei w die zu @ gehorende Losung des Systems (1) . Wegen

I Wj(4 I 5 I Wj(4 - @ j M I + I @ j ( 4 I 2 d(w, @I + I I @ I I

wgibt sich bei Verwendung von Satz 1 die Abschatzung

(9) II w II 5 2 K diam (a) + I I @ II *

I f & , 0,: . ., 0) I 5 KO Andererseits sei KO so gewahlt, da13

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in (;r gilt. Dann kann also KO stets so gewkhlt werden, daB

KO 5 K ist. Nun betrachte man die in 2. definierte Fortsetzung A des Usungshomoo- morphismus. Es sei

yo = ( Y o 1 9 . . ., Yon) daajenige Element von 3, daa durch A in das Nullelement 0 = (0, . . . , 0) uber- gefuhrt wird. Aus (6) ergibt sich dann

und damit nach Definition von KO in ganz G Abschatzung

1 !Poj(z) 1 5 2 KO diam (G), also auch

(10)

Nach dem zweiten Teil der metrischen Abschatzung (7 ) gilt 1) YO I( 5 2 KO diam (a).

1

l - a d ( w , 0) _I - a(@, Yo) 9

also folgt unter Verwendung der Dreiecksungleichung

1

l - a I I w I I I __ ( I 1 @ II + II P O 1 1 ) ’ ( 1 1 )

Aus (9), (10) und ( 1 1 ) folgt

Abschatzung Satz 3. I s t w die zu Q, E 3f gehorende Losung des Systems ( l ) , so gi l t die a priori-

4. Metrische Abschatzungen bei veranderlichen Differentialgleichungssystemen

Die Moglichkeit, den Abstand zweier Losungen w und t2 durch den Abstand der erzeugenden holoniorphen Funktionen Q, und $ und umgekehrt abzuschatzen - eine solche Abschatzung gilt nach [3] auch im Fall der Systeme (2) -, ist eine zentrale Aussage uber den Losungshomoomorphismus. Beispielsweise ge- stattet sie sofort die obertragung des WEIERsTRASSsChen Konvergenzsatzes aUf Liisungen von (1) und (2): Konvergiert eine Folge von Losungen gleichmaJig, so ist auch die Brenzfunktion eine Losung. Denn konvergieren die w ( ~ ) gleichmkBig,

Tutachke, Topologische Abschatzungsmethoden 93

NO auch die zugehorigen @(a). Nach dem klaasischen WEIERSTRAssschen Kon- vergenzsatz ist die Grenzfunktion @ der @(") holomorph. Dann ist aber die der JTunktion @ entsprechende Losung w auch die Grenzfunktion der w'"). Die Gleich- mliI3igkeit der Konvergenz der gemischten Ableitungen der w ( ~ ' bezuglich z , , . . . , zp im Fall der Systeme (2) mit p > 1 folgt aus dem Differentialgleichungs- tiystem (8) selbst und aus den vorausgesetzten LIPsoHITz-Bedingungen. Denn beispielsweise ist

(es sind nur Ableitungen bis zur Ordnung p - 1 zu betrachten).

Pall ausgedehn t werden, dal3 2i, einer abgelinderten Differentialgleichung Im folgenden sol1 nun die Abschlitzung des Abstandes von w und 6 auf den

azi, . -2 = j j ( Z , ? i l l , . , ., ?iJm), j = 1, . . . ) 112, az*

geniigen 6011. Die rechten Seiten von (1) und (12) sollen sich fur alle z aus G und alle w l , . . . , w, hochstens urn E unterscheiden :

(13) ~ f i ( z , wi, . ., wm) - / j (Z, ~ 1 , * * -, w,) I 5 E .

Es genugt iibrigens, daI3 diese AbschLtzung fur alle (wl , . . ., w,) gilt, die als Losungs-nz-Tupel fur (1) bzw. (12) in Frage kommen.

1st w zu @ gehorende %sung von (1) und 6 zu b gehorende Losung von (12), HO gilt neben (3) die Integralgleichung

(14) ? i j (Z ) - Gj(Z) =

Weiter sei 6 Losung von

(16) tzj ( 2 ) - Qj ( 2 ) =

Weiter gilt dann nach (7)

( I ) , die zu 6 gehort:

1 1 - a

d (w, a) 5 - a(@, 6). (16)

Aus (14) und (16) folgt q z ) - g ( z )

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Den absoluten Betrag des ersten Summanden kann man mittels (13) , den des zweiten Integranden mittels der vorausgesetzten LIPSOHrTz-Bedingung ab- schittzen. Es folgt

(17) wenn man 2 L diam (G) = a beachtet (man vgl. dazu [2]). Wegen

d ( 6 , ti) 5 2 E diam (G) + a d ( 6 , 8) ,

d(w, 6) 5 d(w, 6) + d ( 6 , 8)

folgt bei Beachtung vcn (16) und (17)

abgehderten Differentialgleichungssystems ( 12), so gilt unter der Voraussetzung Satz 4. 1st w zu @ gehiirende Lijgung iron (1) und zit zu & geh6ren.de Dsung des

I f , 4 l l& die Abschhtzung

1 1 - a

d (w, 8) j - (2 E diam (G) + d (0, 0)).

Sowohl die Liisungen w von ( 1 ) als auch die Losungen w von (12) entsprechen eineindeutig den holomorphen Funktionen aus X, wobei A die Menge X topolo- gisch auf die Menge W der Losungen von (1) und analog d die Menge X auf die zu (12) gehorende Menge W abbildet. Dann wird W durch A A-1 topologisch auf W abgebildet. Unter der Voraussetzung, da13 zu (1) und (12) dieselben Kon- stanten R, L und a gehoren, hat man nach (7) fur die @)EX, j = 1, 2, ent- sprechenden Losungen w\j) bzw. G ( f ) gleichzeitig die Abschittzungen

Kombiniert man diese Ungleichungen, so folgt

Satz 6. Fiir einander entsprechende Liisungen von ( 1 ) und (12) gilt

AbschlieSend sei bemerkt, da13 die Sittze 1, 3, 4 und 5, die nur fur eine kom- plexe Variable formuliert worden sind, auch fur vollstiindige Systeme (2) mit mehreren wesentlichen komplexen Variablen der Gestalt (2) gelten. Dazu braucht man lediglich an Stelle von ( 5 ) die in [3] betrachteten Integro-Differentid- operatoren abzuschiitzen. Dabei Bind neben Schrankon fur die auf den rechten Seiten von (2) stehenden Funktionen fji auch solche fur die gemischten Ab- leitungen der fi.. beziiglich zi . . . , z,, bis zur Ordnung p - 1 zu betrachten. Davon abgesehen, bleiben aber die genannten Sittze unveritndert gultig.

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Literatur

[l] H. H. BEKya, O6064e~~are aHanwrmecmie @ ~ E K I J H H . MocKsa 1969. 121 W. TUTSCJTKE, fher Fixpunktmethoden in der Theorie partieller komplexer Differential-

gleichungen (in J. N u s , Beitrage zur komplexen Analysis und deren differentialgeometrischen Anwendungen. Berlin 1974).

[3] -, Uber die Urnwandlung (auch niohtlinemer) partieller komplexer Differentialgleichungs- systeme mit mehreren komplexen Veriablen in Integro-Differentialgleichungesysteme und deren Lijsung durch funktionalanalytische Methoden. Diem Nechr. 68, 87-536 (1973).