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Uber dem WWixmysquerschnnitt fi.e6er Atomkcerne

Von W. Weuse2

Die Wahrscheinlichkeit der Ionen- bzw. Atombildung beim Zu- sammentreffen von Elektronen und Atomkernen, charakterisiert durch einen Wi!kungsquerschnitt der Kerne , wird allgemein berechnet und fur den Ubergang in den Grundzustand, einige angeregte Zustande und - im Sinne der B o h r sehen Theorie - sehr exzentrische Bahnen auch explizit angegeben. Die allgemeinen Formeln erlauben, den Wirkungs- querschnitt fur sehr groBe Geschwindigkeiten (> etwa 50 Volt) exakt zu bestimmen; die expliziten genugen , rim fur kleine Geschwindigkeiten (bis herunter zu etwa 2 Volt) die Wirksamkeit der verschiedenen Babn- typen zu diskutieren und den Gesamtwert auf etwa 10-20 Proz. fest- zulegen. Ein HauptanlaB fur die Untersuchung ist, aufzukliiren, ob sich dabei Anzeichen fur einen von D a v i s und B a r n e s nenerdings beob- achteten Effekt ergeben. Das ist aber, auBer Fur die Relativgeschwindig- keit Null, nicht der Fall; dieser Effekt wurde vielmehr, wenn er sich bewahrbeitet , die Quantentheorie nichtstationarer Prozesse vor groBe Umwandlungen stellen.

§ 1. Einleitung

Beim Zusammentreffen von Elektronen mit freien Atom- kernen besteht die Moglichkeit eines Ubergangs des Elektrons in eine stationare Bahn unter Aussendung von Strahlung. Die fjbergangswahrscheinlichkeit von einem Zustnnd E nach einem Zustand n. ist nach einem grundlegenden Ansatze der Quanten- mechanilr I)

wobei rEn das dem fjbergange zugeordnete Matrixelement des Radiusvektors, vEfi die Susstrahlungsfrequenz ist. Wenn das Elektron aus einer bestimmten Richtung auf den Kern trifft, kann man auch von einem ,,Wirkungsquerschnitt" 6 des Kerns sprechen, der eine Funktion der Relativgeschwindigkeit der

1) Vgl. z. B. J. F r e n k e l , Wellenmechanik (Berlin 1929), S. 167.

612 W. Wessel

beiden Partner ist. Betragt die Elektronenstromdichte N Teil- chen pro Sekunde und Quadratzentimeter, so ist

n

Dieser Wirkungsyuerschnitt, eine offenbar fundamentale Funktion des Einelektronenproblems, ist fur den gbergang in den Grundzustand schon von O p p e n h e i m e r angegeben.’) Die allgemeinen Matrixelemente sind natiirlich langer bekannt [vgl. z. B. die ausfiihrliche Arbeit von Sugiura2)] ; man kann daraus aber nicht unmittelbar die Wirkungscyuerschnitte erkennen, weil in den Anfangszustand eine Reihe von Eigenfunktionen (oder eine spezielle parabolische) eingeht. Nouerdings ist ein Fortschritt in der Praxis dieser Berechnungen durch Gordon 3,

erreicht durch Ausarbeitung gewisser Normalintegrale mit hyper- geometrischen Funktionen, auf die sich alle vorkommenden GroBen zuruckfiihren lassen. Durch den Anschlub an diese Normalintegrale gewinnt man auch den Wirkungsquerschnitt verhaltnismafiig einfach und unmittelbar.

Den AnlaB, dieses Problem neu zu bearbeiten, bildete die von Dav i s und B a r n e s gemachte Entdeckung”), daB beim He+ + die Rekombinationswahrscheinlichkeit fur bestimnite Ge- schwindigkeiten sehr ausgesprochene Maxima annimmt , nam- lich wenn

(3) 2 n e2 Z -- - game Zahl h - v

ist. Uabei ist v die Geschwindigkeit und 2 = 2, und die am- gezeichneten Gesc’hwindigkeiten sind gerade die nach der B o h r - schen Theorie zu berechnenden Bahngeschwindigkeiten in den Kreisbahnen des He+. An dieser Beobachtung war besonders ratselhaft der groBe Bctrag des Wirkungsquerschnittes, der von dem theoretischen nicht entfernt erreicht wurde. Wir haben das, weil die Daten nicht ausreichten und gewisse

1) J. R. O p p e n h e i m e r , Phys. Rev. 31. S. 349. 1928. 2) Y. S u g i u r a , Scient. Pap. Inst. Phys. Chem. Res. Tokio 11. S. 1

3) W. G o r d o n , Ann. d. Phys. [5] 2. S. 1031. 1929. 4) B. Davi s and A. H. Barnes , Phys. Rev. 34. S. 152. 1929.

bis 80. 1929. Nr. 193.

Uber den Wirkungsquerschnitt freier Atomkerne 6 13

Haufungseffekte nicht ganz ausgeschlossen schienen I), zunachst auBer acht gesetzt und auf Qrund eines an anderer Stelle angedeuteten Gedankenganges 2, noch den fjbergang in sehr exzentiische Bahnen itaher untersucht. Ein darauf beziiglicher Grenzprozei3 bei S ugiur a ist nicht richtig. Aber die Quanten- mechanik liefert von den Maximen bis auf das bei der Ge- schwindigkeit Null, auch nicht eine Andeutung. Nach der letzten Publikation von B a r n e s 3, besteht auch ein so undiskutierbarer Unterschied in der GroBenordnung, dab entweder der Effekt nichts mit dem Wirkungsquerschnitt zu tun haben kann oder die quantenmechanische Definition der obergangswahrschein- lichkeit total verkehrt ist. Man berechnet Gmlich quanten- theoretisch einen Wirkungsquerschnitt der GroBenordnung

cm2, wahrend nach B a r n e s der Effekt 100 Proz. er- reicht, wenn der u-Strahl bei lo7 Elektronen pro Kubikzenti- meter einen Weg von nur 0,5 cm zuriicklegt. Das gibt nach den Regeln iiber freie Weglange ungefahr

DaB der theoretische Wirkungsquerschnitt so klein sein muB, auch z. B. nicht gleich der Flache einer Bohrschen Bahn, sondern noch loo ma1 kleiner, versteht man korrespondenz- maBig, wenn man bedenkt, daB ein Elektron auf einer Bohr - schen Bahn (die Geschwindigkeit ist ja hier dieselbe) eine Million Umlaufe machen muB, urn nur ein Lichtquant iin Sichtbaren auszustrahlen, wahrend zum Einfangen in der Grund- bahn bei dem einen Vorbeigang in Iiernnahe die doppelte Ionisierungsenergie abgegeben werden muB.

8 2. Berechnung des quantentheoretischen Wirkungsquerschnitts

Wir versuchen im folgenden durch Heranziehung von W h i t t a c k e r s M-Funktion4), die wohl zuerst von Sug iu ra

1) E. Q. Adams, Phys.Rev.34. S. 537.1929; vgl. jedoch A.H. Bar - nes , Phys. Rev. 34. s. 1229. 1929. - Vgl. auch E. C. Q. Stueckelherg and Phi l ip M. Morse, Phys.Rev. 36. S.116. 1929.

2) W. Wesse l , Phys. Ztschr. 31. S. 357. 1930. 3) A. H .Barnes , Phys. Rev. 36. S. 217. 1930. 4) E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern

analysis. qth Edition, Cambridge 1927. Chapter XVI.

614 W. Wessel

hierfiir benutzt wurde, die Verwendung von Schrod inge r s Umlaufsintegralen einzuschranken und im Text immer das Funktionssymbol zu benutzen. Die M-Funktion ist darstell- bar als

Das geradlinig genommene Integral (4) ist, da m = 0 oder positiv halbzahlig, fur k-Werte niit geniigend kleinem Realteil vorteilhafter als das allgemeinere Kurvenintegral mit seinen lastigen Umlaufsrelationen. Man liest z. B. durch Zeichen- wechsel von u unmittelbar die Beziehung

ab, und besonders der fiir die asymptotische Entwicklung be- notigte Zusammenhang mit der W-Funktionl) ergibt sich fur rein imaginare x recht einfach, wenn man den Integrations- weg, von ico kommend und dahin zuruckkehrend, die Singu- laritaten bei - 1 und + 1 auf Viertelskreisen umlaufen laBt und die Formel 8 16.12 (SchluB) bei W h i t t a k e r benutzt.

Die Ausgangsfunktion, eine im Unendlichen annahernd geradlinig gleichfiirmige Rewegung des Elektrons mit der

(g + m - - k ) n i 1) Ebenda 16, 12 und 16, 41 Example 2. Lies dort e

(f + m + k ) r r i statt e

Uber den Wirkungsquerschnitt freier Atomkerne 6 15

Geschwindigkeit v darstellend, ist in parabolischen Koordi- naten l, ql):

und Dabei ist k = ____ 23cvnv

h 2 n e" Z

h v = .

Dieser Parameter stellt die d e Brogliesche Wellenlange im Verhaltnis zum Umfange der Grundbahn dar a = ____

2 = Kernladungszahl . Es ist il = __. Die Normierung ist SO getroffen, dab im Unendlichen der Teilchenstrom gleich

wird; unter i k 6 ist k 6 e Z T zu verstehen. Der Strom see. cm2

h2 i 4 n ' m e ' Z ' 1 1 k a

. n

senkrecht zu den Fliichen 6 = const, > T I ist

Fur unendlich groBe W-Punktion aus:

driicke man die M-Funktion durch die

e - x A W , (i k 5) - - i & U 2

+ f ( 1 - ii) z - -

und setze fur W die asymptotische Darstellung Wk,,, = e 2 x k . Dann w i d

. k M a~ - - & - ~ +... aE y- v-

1) W. Gordon, Ztschr. f. Phys. 48. S. 180. 1928; W. Wesse l , Jenaer Habilitationsschrift 1928.

616 W . Wessel

und

was zu beweisen war.

wir zu Polarkoordinaten r , 9.: Fur die Berechnung des Wirkungsquerschnittes geheii

6 = r(1 + PFL), .II' = r ( 1 - E L ) , p = cos 6

iiber, weil d a m Haupt- und Neben,,quantenzahl"n und 2 den Rahntypus in vertrauter Weise charakterisieren und eine korre- spondenzmafiige Vorstellung von der Exzenlrixitat der Bahn vermitteln. Wir entwickeln dazu nach Kugelfunktionen:

Zur Ausrechnung von a fiihre man z als Integrationsvednder-

liche ein: p = - - 1 , 71 = 2 r - g; = 2 r 2, integriere par- tiell und benutze ( 6 ) und (5):

- - -i1,0

5

( 2 i k r z ) 1 dl

Ml 1

a, = 2eikrSe- ikrz - - - x"x - l)ZdZ, VSikrz l ! dz' 0

M

v=o

Uber den Wirkungsquerschnitt freier Atomkerne 6 1 7

M ( - 2 i k r ) T(Z + 1 + in, i&Z+

r(1- i l )T(2Z + 2 7 (- 2 i k r ) ' a, = (- 1)' 2'

M (2i k r )

2 i k r

1 l a a Q

- i l , l + T 1 T(Z +1- il) =--- z + + r (1 - i 1) r (2 2 + 1)

Damit wird tpE, wenn wir noch k = - benutzen und 2 = setzen l):

Die Eigenfunktion des Endzustandes ist bekanntlich

Bei derBildung der Matrixelemente von Ir12 = /zj2 + IyI2+ 1 ~ 1 ~ : E

(12) zn, I , = JZ q E tpn Crn d r

usw. wahlt vermoge bekannter Formeln fiir die Ptrn :

(22 + 1) sin 8 Py = ~ 7 : : - P" I - 1 +' (2& + 1) cos 8P; = (Z+ m p y - , + ( I - m + 1) PY+,

(13) [ die Eigenfunktion des Endzustandes aus der Reihe fur tpE die zwei Terme mit 1 - 1 und 1 + 1 aus. Die Summe dieser beiden lal3t sich auf xwei (fur 5, y) und drei Terme (fur z) des mitt- Zeren Index 1 umrechnen. Von den folgenden Rekursions- formeln ist die erste die Verallgemeinerung eines Theorems der Besselfunktionen und an der Reihendarstellung (5) unschwer eu bestatigen; die zweite erbalt man durch geeignete Ver-

1) W. Gordon, a. a. O., A. F. M o t t , Proc. Roy. SOC. (A) 118. 5. 542. 1928.

Annalen der Physik. 6. Folge. 5 . 41

618 W. Wessel 618 W. Wessel

einigung mit der konjugierten und durch Anwendung von (6) verwandelten Form:

Mit Hilfe dieser Beziehungen entledigt man sich aller Poteneen von Q vor der M-Funktion und gelangt unmittelbar zu Gor - dons letzten Integralen. Man braucht die drei folgenden:

Uber den Wirkungsquerschnitt freier Atomkerne 6 19

Damit erhalt man zuerst die Matrixelemente. Es kommen

dem Betrage nach gleich; das erste von ihnen moge fiir alle stehen und ist bei der Bildung des Wirkungsquerschnitts viermal zu nehmen. Wir setzen im folgenden kurz oz2 und oil fur die yon x , " ~ ~ und ~f~~ herriihrenden Beitrage. Dann lauten die Wirfcungsquerschniite:

E E E E E vor Z,l07 Z n l , + 1 7 Zn2,-1, Y,2,+1, Yn2, - l ' Die letzten vier sind

2 m h e e e 1 (n. + I ) ! 1 ( I + 1)

- 4 1 a r c t g n A3 e

1 - , -an1

2 n h e P 1 (n.+Z)! 1

I Z ( Z + l ) + i l ( i 2 - 1 ) i 2 - ? a 12-2 - 2

i -~ I - i 2 ( E n ) *

F ist die gewohnliche hypergeometrische Reihe und enthalt n - 1 Glieder; n ist die ,,Haupt"-, 1 die ,,Nebenquantenzahl" des Endzustandes; A , urn es zu wiederholen, die reduzierte de Brogliesche Wellenlange (8). Der Wirkungsquerschnitt fur den Dbergang in eine n,l-Bahn ist

(17) cn2 = 4czz + & der gesamte

Fur sehr grope Geschwincligkeiten ( A < 1, v > 54 Volt Geschwin- digkeit fiir Z = 2) ist die Summation geschlossen ausfiihrbar. Der Anteil von cz, kann ganz vernachlassigt werden, weil er mit A' beginnt, und von $, braucht man nur die Glieder mit

41 *

620 W. Wessell

1 == 0 beizubehalten, weil die andern ebenfalls von hijherer Potenx in il sind. In (16,) ist

I 1, = 4(1 + A2) sinz

also

Diese Grenzformel wurde schon von Oppenhe imer abgeleitet durch Benutzung der de Brogliewelle eines freien Elektrons an Stelle von (10).

5 3. Explizite Formeln fur d e n ubergang in niedere Bahnen

.Urn einen oberblick iiber die Verhaltnisse bei kleineren Geschwindigkeiten zu bekommen , haben wir den Wirkungs- qnerschnitt fur den fjbergang in die drei ersten Zustande

= 1, 2, 3 nach (16) und (17) ausgerechnet:

ol,, ist in fibereinstimmung mit Oppenheimer. Die folgende Tabelle enthalt die Zahlwerte von cnl fur A = 0 bis it = 5 entsprechend Geschwindigkeiten von 00 bis herunter zu 2,16 Volt

Oiber den Wirkungsguerschnitt freier Atomkerne 621

(fur 2 = 2). Die nach rechts geriickten Zahlen bedeuten die Wirkungsquerschnitte fur den obergang in die einzelnen nl-Bahnen, die nach links geriickten die uber 1 gebildeten Summen, die ganz unten stehenden die vollen Wirkungsquer- schnitte, soweit die Daten dafiir ausreichen.

9,8B 1,47 2,82

4,29

1

0,704 0,0973 0,0564

0,030 0,154

0,020 0,000

0,050 -0,908

18,O 2,64 5,88

8,52

T a b e l l e 1

2

4,02 0,604 0,845

1,45 0,193 0,307 0,112

0,612 > 6,08

3 1 4 5

28,2 4,21

10,05 14,3

1,45 3,86 3,23

8,54

Wahrend fur groBe Geschwindigkeiten der Obergang in die Grundbahn die bei weitem uberwiegende Wahrscheinlichkeit hat (noch etwa 85 Proz. fur 1 = 1, entsprechend 54 Volt Ge- schwindigkeit bei 2 = a), treten fiir kleinere Geschwindigkeiten auch die hoheren Zustande langsam in Wirksamkeit, z. B. fur il = 5 (2,16 Volt) der zweite schon mit iiber 50 Proz. Die Verschiebung erfolgt so, daB allmahlich die Bahntypen ge- ringerer Exzentrizitht bevorzugt werden. Ein Ma8 dafiir ist bekanntlich das Verhaltnis n : k (= n : 2 + 1). In (18) trat uber- haupt nur 1 = 0 (k = 1) auf und noch fur il = 1 ist cz0 > oZ1 und .a3, > oSl > ( T ~ ~ . Spater riickt das Schwergewicht zu groReren 1 ; bei il = 5 ist fast die Umkehrung erreicht: gal 7 0-20 3 ~ 5 2 2 D31 > 630 -

Aus diesem Grunde ist es nicht moglich, ohne ge- schlossene Summation der Reihe (la), der ziemliche analytische Schwierigkeiten im Wege stehen, dns Verhalten von D fur sehr kleine Geschwindigkeit ( A --t 00) genau anzugeben. Man kann nur sagen, daS D wie h2 wiichst, daD also der Wirkungs- querschnitt fiir kleine Relativgeschwindigkeit wie 1 / v 2 unend- lich w i d .

622 W. Wessel

5 4. Stark exzentriache Bahnen

Das letzte Ergebnis des Vorigen lrijnnte dem von Dav i s und B a r n e s gefundenen Maximum der Rekombinationswahr- scheinlichkeit fur = 0 entsprechen. Fur die andern, beinahe ,,quantenmaBig" ausgezeichneten Geschwindigkeitswerte, die bei A = 1 , 2, 3 . . . liegen sollten, ergibt sich aber ein durchaus monotoner Verlauf der theoretischen Kurve, wie man den Formeln (20) in Verbindung mit der Tabelle wohl ohne weiteres ansieht. Wir haben bei diesem sehr beunruhigenden Wider- spruche noch die Ubergange in hoher angeregte Bahnen unter- sucht. Sie nehmen allerdings dem Betrage nach wie l / n 3 , ihre Summe also noch wie l l n 2 ab, was sie in der GroBen- ordnung noch vie1 ungeeigneter macht. Aber bei groBem n liefern kleine 1, also sehr exzentrische Bahnen, den Hauptbeitrag zu der fibergangswahrscheinlichkeit und es schien uns (vgl. a,. a. 0.) anfanglich einiges dafiir zu sprechen, die ,,ganze Zahl" in G1. (3) mit der Nebenquantenzahl in Verbindung zu bringen.

Im lim n --f co wid, fur kleine I,

Dieser Grenziibergang ist nach der letzten Formel (5) voraus- zusehen und la& sich streng beweisen.]) Hiermit wird fur n --fa

1) Man fasse nainlich F als den Koeffizienten von zn-'-l in der

Entwicklung von (1 f z)"" auf. Dieser

hat, mit y = __- s , die Gestalt 4 i l n

Das Integral ist auf einem urn die Nullstelle geschlossenen, die Singu- ,laritat bei - 1 nicht einschlieBenden Wege zu nehmen. Wegen der Unabhangigkeit dieser Wcgfestsetzung von rn kann man den Grenziiber- gang unter dem Integrale vollziehen, das d a m unschwer auf eine der Formen (5 ) zu bringen ist. - S u g i u r a scheint bei diesem Grenziiber- gange versehentlich nur das erste Glied von F beibehalten zu haben;

Ober den Wirkungsquerschnitt freier Atomkerne 623

Z ( 1 f 1) + i l ( i l - 1) 1 ( 4 i h ) [ } . I - i - i a i l + l , l + ;i

Dabei ist yon (6) Gebrauch gemacht. - Wir wollen nur den fjbergang nach I = 0 behandeln:

[mit (6)l. Es kommt offenbar alles auf die M-Funktion an, deren Realteil rechter Hand erscheint. Ihre Reihenentwicklung ist nach (5):

Wir haben zur Auswertung wegen mehrerer Schwierigkeiten folgenden Weg eingeschlagen: die Formel

wurde rechter und linker Hand zweimal xwischen den Grenzen 0 und 4 i x nach der Variablen 4 i x integriert. Daraus erhalt man mit leicht zu erganzenden Faktoren und einer Integration nach u folgende Formel fur J!l, in der dann x = h zu setzen ist:

wenigstens ergibt sich der Ubergang von seiner Formel (46) (a. a. 0.) zu der Grenzformel S. 26 nur unter dieser Voraussetzung. Das ist aber unmaglich und hat z. B. exponentielles Verschwinden von u fur 1 --f ~ 1 3

zur Folge.

624 W. Wessel. Ober den Wirkungsquerschnitt freier Atomkerne

Dies Integral wurde graphisch ausgewertet mit der Substitution

u = Sang v ,

Dadurch wird die Unbestimmtheitsstelle des Integranden ins Unendliche verlegt und zugleich die Verwendung der inhalt- reichen Tafeln von H a y a s h i l) moglich gemacht. Wir haben auf diese Weise einige Werte fiir den Realteil von M und fiir G zwischen il = 1 und h = 2 berechnet.

T a b e l l e 2

Sie verlaufen wieder durchaus monoton. Eine Abschatzung der nbergange nach den nachsten 1 zeigt das gleiche Ver- halten fur diese. Man kann dafiir nach einer Ruckverwand- lung durch (14) ohne weitere Schwierigkeit die Integralform (5) fur die M-Funktion verwenden. Danach darf abschlieI3end gesagt werden, daI3 eine Buffassung von Dav i s und Barnes ’ Effekt als Wirkungsquerschnitt nach den gegenwartig an- genommenen Regeln der Quantenmechanik nicht mijglich ist.2)

J en a , Theoretisch-Physikalisches Seminar der Universitat.

1) K e i i c h i H a y a s h i , Funfstellige Tafeln der Kreis- undHyperbe1- funktionen, Berlin 1928.

2) E. C. G. S t u e c k e l b e r g und P h i l i p M. M o r s e haben, einem kurzen Sitzungsbericht (Phys. Rev. 35. S. 659. 1930) zufolge, inzwischen ebenfalls diese Rechnung durchgefuhrt und sind auch zn diesem Resultat gekommen (Anm. b. d. Korr.).

(Eingegangen 18. April 1930)