{~ber d i e K o e f f i z i e n t e n r e z i p r o k e r P o t e n z r e i h e n .

V o n

Th. Kaluza in Kfnigsbergl

w

Die Potenzreihe

1) ~ ( z ) = ~ 3,,z" (/~o---- 1) ~ , = 0

habe einen yon Null verschiedenen Konvergenzradius; dann 1/il~t sioh - - 1 . bekanntlieh auch ~-(~ m eine Potenzreihe

(2) ~(z) .~ ~,, = = z n (% - 1) ~;----0

mit nichtverschwindendem Konvergenzradius entwickeln. Die beiden Potenz- reihen ~(z) und ~ ( z ) , die also zueinander in der Beziehung

(3) ~ ( ~ ) ~ ( z ) = - I

stehen, mSgen hier kurz,,reziproke Potenzreihen" heiflen. Mit Riicksicht auf das Weitere setzen wit noch

(4) 1 -+- ~(z) =- ~ a,z" = p (z). t t = l

Fiir die Koeffizienten yon ~(z) bzw. p(z) und ~(z) folgen dutch ~auchysche Multiplikation nach (3) die Relationen

(5) ~, = / h - ~3 ~, - & ~.. - A .3 �9 �9 ~ ~

n - - 1

M a t h e m a t i s e h e Z e i t s c h r i I t . X X V I I L 1 1

162 Th. Kahza.

aus denen man bei gegebenen fin die a, rekursorisch ermitteln kann. Sind umgekehrt die a, vorgelegt, so ergibt (5) dutch einfache UmsteUung

Pl = "1

(6) & = ~, +,~, fl~ § a .L + a l l �9 ~ . , -

�9 ~ ~ .

n - - I

~. = a. + 27 a , , - . $

zur rekursorisehen Bereelmung der fin. Aus~ (6) entspringt sofort der triviale

8atz 1. Sind alle Koe//izienten van p (z) positiv, so gilt dies auch 1 /iir die Koe//izienten yon ~(z)----1-a(z)"

x 1 - x mit Beispiel . a,----1, d .h . p ( z ) = l - : - ~ ergibt ~ ( Z ) = l _ ~ x fl,~--2 ~-1 (n = 1, 2, 3, . . . ) .

Umgekehrt brauehen bei positivem fl, die a n nieht gleiehfalls positiv

zu sein, wie sehon das einfaehe Beispiel: ~ ( z ) ~ (l_z)~.,1 p(z)----- 2z --z"

lehrt. Es liegt nun die Frage nahe, unter welchen Zusatzbedingungen dies doch wiederumder Fall ist.

Zttr heuristisehen Vorbereitung des diese Frage beantwortenden Satz 3 beweisen wit zun~ehst den spezidlen

Satz 2. Die Koe//izienten der Potenzreihe

(7) 2 a , , z":---1 z 1 n = 1 l o g ] _ z

sind sdmtlieh positiv. Beweis. Es handelt sieh bei (7) qffenbar um die zu

| z'* I 1 ~(Z) = ~ - 4 - i = ~ log ,f_ z

n = O

gehSrige Potenzreihe p(z)' ffir deren Koeffizien~en naeh (5) neben a~ = 1 die Rekursion gilt:

n - 1 1 eev (8) a " = n + l Z n - - r + ] ( n = 2 , 3 , 4 . . . . );

eine Stufe zuriickgeschoben lautet sie

(91

~ber die Koeffizienten reziproker Potenzreihen. 1fi3

biultipliziert, Addition

~1o)

oder (11)

1 bzw. ( - - 1 ~-+-i)' so folgt nach man (8) bzw. (9) mit~-

t~-x (( 1 I- ) n n+ 1)(n--~,) n ( n - , + l )

n - 1 v ~v

r =- ~ ' ( n + i) ( n - , ) ( n - , + 1)'

mithin eine andere Rekursionsformel, die lediglich ~ositive Kodfizienten autweist, also ~mit te lbar den Satz bestiitigt~).

Nach diesem Vorbilde beweisen wit nunmehr

Satz 3. Die Koe]/izienten %, yon ~ (z) sind sdmtlich n ich tnegat iv , ]alls f~ir jene yon ~ ( z ) gilt:

(12) p , > 0 und [P.-a P,, [ ~ 0 ( n = 1 , 2 , 3 . . . . . ) & & + i -

[ -1 / i i l l t ) .

Beweis . Zuniiehst hat die ~weite Formulierung des Satzes stets einen Sinn; denn aus /~o = 1, /~x > 0 folgt wegen / ~ o P ~ - / ~ aueh/~ > 0, wegen /~ ~8 ~ / ~ wiedemm /~s > 0 ud., so dal~ fiir alle n = 1,2, 3 . / ~ .>0 gilt. Da Po--'--1, hat man ferner gemiil~ (5) fiir dieselben n

(13 i 0 -----/~.. ~_]/~._.a.;

dazu, um eine Stufe erh~ht

(14) a + : = p .+, -- ~ tq,_,+~ a,.

Multipliziert man(13) mit (--/~,+~), (14)mit/~. und addiert, so entsteht

(15) /~.~.+: ----._i l/~.-.+x P,+i a..

Hier sind det Voraussetzung

~o > ~ > ~1 >

1) Solche mir yon Herrn K. Knopp vorgelegte Sonderf~lle (vgl. auch K. Knopp, Uber Polynomentwickdungen im Mittag. Lefflerschen Stern dutch Anwendun 9 tier Eulers~en Rei~entransformalion, Acta math. 47 (1925), S. 331, sowie iihnliche Frage- stellungen der Herren G. P61ya und G. Szeg~ (vgl. G. P61ya, ~Poer eine Aufgabe der Waltrsdteinlidtkeitsrechnung betre[fend die Irrfahrt im Stragennetz, Math~ Ann. 84 (1921), S. 160 und G. Szeg~, Bvmerkungen zu einer Arbeit yon Herrn Fej6r fiber die Legendresohen Polynome, Math. Zeitschr. 25 (1926), S. 172 gaben den Anstoll zu vorliegender Arbeit.

11"

164 Th. Kaluza.

gemiif die Determinanten rechts niemals negativ, so daf (15) wegen. fl,, ~ 0 zusammen mit a 1 ----fl~ eine lineare Formel zur rekursorisehen Ermittelung der a n mit lauter nicht negativen 'Koeffizienten darstellt, den Satz also sofort beweist. (Falls in (1.2) iiberall , , ~ " anstat t ,_~" gesetzt wird, werden die a, sogar s~mtlich wesentlich po, sitiv.)

Bemerkt sei noch, daft stets a, ~ f l , (n -~ 1, 2, 3, .. ) ausfiillt, wo- fern nut -- z. B. unter den Bedingungen des soeben bewiesenen Satzes -- siimtliche ft, und a, nicht negativ sind, wie man sogleieh aus dem Rekursionssystem (5) abliest. Insbesondere haben dann ~ ( z ) bzw. ~ (z) mindestens den gleiehen Konvergenzradius wie ~ (z ) ; daher gilt

Satz 4. Damit f ( z ) - - -~ - - ~ anzn (a,~ reell, a o d= O) eine N u l l s t e l l e n----O

im Inneren des Konvergenzbreises babe, ist n o t w e n d i g , daft /iir wen ig- stens ein k ~ 1

(16) a~ > a,-1 a~+l

ist. Beweis. Es sei im Gegenteil ffir alle k ~ l a ~ a ~ _ l a k + t ; falls

al----0, wfirde daraus auch am~-0 Ifir m = 2, 3, 4 , . . . folgen, f ( z ) w~ire also eine von Null verschiedene Konstante. Ist hingegen a~ =b 0, so setze

I f'z" man, je naehdem aoa~0 bzw. a~-<O,ao ~ ( ' ) bzw. f ( - - z ) fiir ~ ( z ) in Satz 3 ein; die oben fiber den Konvergenzradius yon ~ (z) gemachte Bemerkung stiinde dann dem Vorhandensein einer Nullstelle entgegen.

Man kann jetzt weiter nach versehdrflen Bedingungen fragen, unter denen die a,, nicht nur positiv sind, sondern fiberdies monoton fallen"). Eine Antwort gibt --wenigstens t heo re t i s ch -

Satz 5. 1st mit ~ = flo = l und o~ = flo -4- fl~ ~ l ~- a~ /iir n - - 2 , 3 , 4 . . . .

(17) % f l " ' " ~i fl,, ~ O,

dazu /fir dieselben n und aUe o----1, 2, 3 . . . . . n -

(18) Oo al

so ist /i~r aUe m ~ 1, 2, 3 . . . . ]dlIt m o n o t o n .

A am -~ t ~ -- ren,-gx ~- O, d.h. die Folge (a,,)

~) Vgl. P 5 l~v a, 1. c. S. 160.

~3ber die Koefffzienten reziproker Potenzreihen. 165

Beweis. Aus der Rekursion (5)

findet man fiir die z l a sofort die andere t t -1

p o Z l ~ . = - s

(n = 2, 3 , 4 . . . . )

wegen der Zeichenvoraussetzungen flit die Determinanten links und rechts

ergibt sich sonaeh zusammen mit Aal-=----I % fill rekursorisch die Be- hauptung. ~ fi~

F~llt insbesondere die Folge (p.) selbst monoton, und ist fil > 0, so ist wegen

(22) 10o fin-: o, ft. =fl.-(1+p,)fl._,<fl.-fl._,<o

die Bedingung (17) stets erfiillt, und es bleibt nur noch ,lie Voraus- setzung (18):

(l+fl,) ~n-1 ~. ~n+l I "

Es zeigt sieh jedoch, dal~ der soeben bewiesene Satz praktisch kaum verwertbar ist: Schon bei verh~ltnismiillig einfaehen Folgen (fl.)l:~l~t sieh (18) aus teehnischen Griinden nieht best:itigen oder ist gar nicht erfiillt (die Bedingung (18) ist ja keineswegs notwendig!), obwohl die (%) monoton fallen; a fortiori gilt dies flit die nach demselben Beweissehema

oder in der Bezeichnung des Satzes n--I

~=1 (;1 ~n-#l

Eine Stufe zuriick ergibt sich

( 2 0 ) o = - .

9~I ~n

:~Iultipliziert man (19):nit ( - - t ~176 P"-'l)'fl. (20)mit i z~ fl"fi*+l i' so folgt

nach Addition, da rio = 1:

- o , p . Oo / ~ - , fin / I . . _ ; :

(n = 2, 3, 4 . . . . );

166 Th. Kaluza.

zu gewinnenden Siitze fiber mehr[ache Monotonie der Folge (%). Immer- bin aber deutet das Auftreten mehrreihiger Determinanten yore I-Iankel- schen Typus auf einen Zusammenhang mit der St ie l t jesschen Theorie

'bin und leitet weiter zu der durch numerische Durchrechnung konkreter Beispiele noeh welter gestiitzten Vermutung, da~ vielleieht die Vollmono- tonie der Koeffizienten flo, ill, fi~, . . . die Vollmonotonie der a~, %, r "'" im Gefolge haben kSnnte. Dies wird sieh in der Tat im folgenden be- stiitigen.

w

Um in der soeben angedeu~eten Riehtung zu einem erschdp/enden Satze zu gelangen, erweist es sich aber als n6tig, iiber den Begri// der vollmonotonen Folge noch hinau~zugehen.

Zu diesem Zweoke ersetzen wir das bekannte ,,Di//erenzenschema" einer Folge (%) dutch ein (in gewissem, weitl~ufigem Sinne analog ge- bautes) sog. ,, Kri~mmungssehema ", und zwar so, da~ wir an Stelle der , k - t e n Di//erenz"

k

(23) A~a ,= ~ (--1)" (k) a,+, x-----0

(fie ,,(r -~ 1)-to Kri~mmung"

ca-r ca-r+l . . . r

( 2 4 ) K ' + ! % = ~n-r+i Cn-r+2 ..- ~n ~n+l

6#--1 Cn . . . ~ n + r - 2 ~ n §

einfiihren, also diejenige ( r~- l ) - re ih ige Hankelsche Determinante, die in der Nebendiagonale stets das Glied r aufweis~. Diese Kriimmungen sind durch (24) zuniichst nut fiir r ~ n erkl~irt; unter anderer Bezeich- nung fanden sie bereits -- nicht nut in der St iel t jesschen Theor ie- - vielfach Verwendung s). Fib unser Ziel b t es abet yon wesentl~cher Wich- tigkeR, Kriimmungen K r+l auch fiir alle ganzen r ~> n zu definieren; ~n wir benutzen dazu (24) mlt der Maflgabe, dab aUe darin au/tretenden a,~ mit negativem Index gleich Null gesetzt werden:

(25) a n = 0 fiir m - - - - - - 1 , - - 2 , - - 3 , . . .

Setzt man schliel3|ich noch zur Abrundung des Ganzen fiir a l l e n = 0, 1, 2, . . .

(26) K~162 = 1

s) Vgl. etwa G. P51ya und G. SzegS, Aufgabra und Lehrs~tzr aus der Analysis, Berlin, Julius Springer, 1925, Bd. 2, S. 102-105; ebenda So 305 u. 306 weitere Litvratur.

Uber die Koeffizienten reziproker Potenzreihen. i67

und versteht unter KI•. sinngemiill % selbst, so hat man es schliefllich mit einer nach rechts und n a c h unten bin unendlichen Matrix ((Kka,,)) (k----0, 1, 2 . . . . ; n : 0, 1 , 2 , .. :) zu tun, die die , ,volletdndige

K r i i m m u n g s m a t r i x " der Folge (a , ) heiBen soll. In dieser Matrix gilt die auf Grund behannter Determinantens~itze

leicht zu beweisende 4) Rela t ion

,o <,. (: : ) , , r + l .K n--1 = 1, 2, 3, ; (27) K ' - l a . r, ~" = Kra. [<'a,~+l =: 1 , 2 , 3, '

die, falls Kr-1% ~= 0, zur rekursorischen Berechnung der Kriimmungen benutzt werden kann, wenn man noch beaehtet, dab Kkao sich nach der oben gegebenen Vorschrift auf das Produkt der Nebendiagonalelemente % zusammenzieht; also

[ ] k

(28) Kkao = (-- 1)[-~-J ao~ (k----0, 1 , 2 . . . . )

ist. Zur Veransehaulichung einer vollst~ndigen Kriimmungsmatrix diene

1 ein numerisches Beisp ie l , ec, ~ n + 1 :

1 1 1 1 1 1 - . -

1 1 1 1 1 1 ~ ~ - ~ - ~- ~ - - . .

1 1 1 1 1 -- l 1-2 7-2 24--0 600 1260 " " "

1 1 1 - - 1 �9 �9 �9 24 2160 43200 (29)

--19 --11 . �9 . 720 129600

3 1 16--6 " " "

- -1 - - .

Hierin kann man nach (27) der Reihe nach die einzelnen Zeilen er- mitteln, wenn die beiden ersten, sowie die erste Spalte vorliegen; da sich zudem (27) umschreiben l~llt:

~--1" I" ( ) (30) v.~a K' K % K a, I r = 1 , 2 , 3 . . . . ;

__ K r n t # r + l ~ . r~ a ,I \ n = l o , 3 ,

') Vgl. etwa KowMewski, Einfahrung in die Determinantentheorie, S.80 u. 109.

168 Th. Kaluza.

so kann man die Kriimmungen auch spaltenweiee erhalten, falls die beiden ersten Spalten und die erste Zeile bekannt sin&

Wir setzen nun flit die Koeffizientenf01gen ( a . )bzw . ( r . ) zweier reziproker Potenzreihen ~ (z) und C~(z) (vgl. (3)) die beiden vollst~ndigen Kriimmungsmatrizen ((Kka.))bzw. ((K~r.)) an und beweisen tiir sie den weiterhin /undamentalen

Hil f s sa tz . Bedeuten (a,) bzw. (r,,) die Koe//izienten zweier rezi- proker Potenzreihen, so gilt allgemein

, ( k = o , 1 , 2 , . . . ; (31) K k a , = ( - - 1 ) - K r~ n = 0 , 1 , 2, . : . ) ; insbesondere ist /iir n = O, 1, 2, . . .

(32) K ' a , = K" r , und K"~,+I -- K"+lrn.

Der Satz besag$ etwa, dab bis au/ Zeichendnderungenl die naeh ,:Sehriigstreifen yon der Breite Zwei" vor sieh gehen, die Kriimmungs- matrix fiir ~ ( z ) aus der flit ~ ( z ) dureh :,Umstiirzen" der Matrix um die Hauptdiagonale entsteht.

Beweis : Der Satz ist bei k = 0 und k = 1 fiir a l len richtig: nach (28)

i s t ja wegen r io= 1 Kr 'f lo=( - 1)[ ~], so dal3 gem~il] ( 3 1 ) i n der Tat K~ ----- 1 wird; ferner ergibt die AuflSsung der ersten n linearen Gleichungen des Systems (5)

(33) a, ----- K1 a, = ( - - 1 ) [ ~ ] K" fll ( n = 1, 2, 3 , , . . ) ,

dazu noeh a o ~ Kx% ----- -- 1 = -- K~ Ist welter die Behauptung fiir aUe n und k = 1, 2, 3, . . . , r riehtig, so folgt ihre Geltung fiir k = r-{- 1 in folgender Art: Fiihrt man gem,S (31) in (27), soweit mSglich, die Kriimmungen von (ft,) ein, so entsteht

( - - ! K" - ' r , . ( - - 1 -7- K fl,. [,-,+1] (34) ( - - 1) L ~ JW,~,q v r + , [n-r+l 1

( - - 1 ) [ ~ ] K"fl,. (-- 1 ) [ ~ J K"+lfl, oder, unter Beachtung der Vorzeiehen a) innerhalb der Determinante rechts, gem/il~ (30)

["-'+Zl -- K" - IB Karl" I (85) ( _ l ) t 2 J K"fl,_, K"+' a, =. " =_K" f l , . _ ,K " f l , . + , K"r, K"+'r,.l

und daraus die Identit~it (31) fiir k = r A-1.

8) Es soheint nich~ m~glich zu sein, dureh Anderung der Bezeiohnung die l~stigen Vorzeiehen abzusehiittelnj ohne dafiir an anderen SteUen Sehweff~lligkeiten herein- zubekommen.

Uber die Koeffizienten reziproker Potenzreihem 169

Um den so gewonnenen Hilfssatz fiir unsere Zwecke auszuwerten, setzen wit lest:

Def in i t ion : Bine reeUe Folge (7,) hdfle , ,vollkonvex" bzw. , ,wesent- l ich vol lkonvex" , wenn /fir alle n ~ O, 1, 9

(36) K n T n ~ 0 und K n T n + l > 0 bzw. K n T n > 0 und K n r n + t > 0

ist. (Z. B. ist ffir die LSsbarkeit des sog. ,,Momentenproblema!' notwendig

und hinreichend, dab die vorgelegte Folge vollkonvex ist, wie man aus (24) unmitteIbar erkennt.)

Jetzt ergibt sieh mfihelos der umfassende

Haup t sa t z . Da/iir, daft die Koe//izienten/olge ~1,%, %, . - . yon p (z) ~ 1 "4- ~ ( z ) vollkonvex bzw. wesentlich voUkonvex sei, ist no twend ig und h inre ivhend , daft die Folge der Koe//izienten rio, ill, ~g . . . . yon ~ ( z ) selbst vollkonvex bzw. wesenaieh vollkonvex ia (~(z) und ~ ( z ) reziprok gedacht ).

Beweis. Unter Beaehtung der Tatsaehe, dal~ die erste der im Satz genannten Folgen mit dem Index Bins beginnt, erkennt man aus der speziellen Behauptung (32) des obigen Hilfssatzes unmittelbar, dab die ~ flit die Vollkonvexit~t charakteristischen Paare yon ,,Sehr~igfolgen" (36.) aus den beiden Kriimmungsmatrizen von (a~+l)bzw.'(fln) yon der Reihen- folge abgesehen miteinander identisch sind, also nur gleiehzeitig nicht negativ bzw. wesentlich positi v sein kSnnen.

Es bleibt nun noeh die Frage zu behandeln, inwieweit sich unser Hauptsatz auf voUmonotone (anstatt vollkonvexe) Koeffizientenfolgen ~ibertragen l~i~t. Daft dies ,nieht in vollem Umfange mSglieh ist, lehrt schon das Beispiel ~ ( z ) = 1 -- 2z, wo zwar (un+~), nieht aber (fl, ,)~ (2 , ) vollmonoton ist.

Hier kann man zuniiehst zeigen:

Satz 6. Hat ~ ( z ) den Konvergenzradius Ein~s und streben ihre Koef/izienten ft. vollmonoton zu Null , so gilt /i~r die Koef/izienten u,~+t yon p(z) das gleiche.

Beweis. Aus der Vollmonotonie yon (ft,) folgt bekanntliehe) die Darstelhng

1

(37) p. = f u " d z ( u ) (n = O, 1, 2 , . . . ) o

dureh ein St iel t jessehes Integral fiber eine im abgesehlossenen Inter- vail [0,1] monoton wachsende Funktion X(u), die bier insbesondere un-

~) Vgl. P. HanBdorff, Summationsmethodcn und Momtntfolgett I., Math. Zeitschr. 9 (1921), S. 83--109.

170 Th. Kaluza. Uber die Koeffizienten reziproker Potenzeihen.

endlich viele Wachstumsstellen aufweist. LKge n~imlich bei nur endlich vielen Wachstums- (also: Sprung-) Stellen der letzte Sprung bei Eins, so w~ire (fin) keine Nullfolge; l~ige er welter links, so w~ire der Konvergenz- radius grS~er als Eins. Der unendlich vielen Waehstumsstellen wegen ist nun (fin) wesentlich vol!konvex, mithin nach dem Hauptsatz auch (~+I) . Aueh fiir diese Folge ist daher das Momentenproblem dutch eine mo~loton. wachsende Funktion ~o(u) 15sbar:

cc

(38) ~ . + , = f u " d ~ ( u ) (n = O, 1 ,2 . . . . ). o.

Rechts yon Eins kann nun q~(u)keine Wachstumsstelle mehr besitzen, da soast (e~+~) monoton wachsen wiirde, w~ihrend doeh r zu Null strebt, da (fin)"als vollmonotone Folge die Bedingungen yon Satz (3)erfiillt, so- mit der dort gemaehten Bemerkung g e m ~ stets 0 ~ r ~ fin gilt. Man hat also sogar

1

(39) , ,+1 = f u ~ d ~ ( u ) (n = 0, 1, 2, . . .) : 0

(a.+l) ist also tats/ichlich 6) aueh vollmonoton. (Mit etwas mehr Rechnung l~l]t sich der Beweis auch rein algebraisch,

ohne Benutzung der S t i e I t j esschen Theorie fiihren.) Zu erledigen ist nun noch tier Fall, daft Z(u) in (37) nut endlieh

viele Wachstumsstellen besitzt. Dann ist abet ~ (z) eine rationale Funktion yon z, und es tretep dann die u. a. bei 3) einzusehenden S~tze in Kraft, aus denen sich ganz direkt ebenfalls die Vollmonotonie yon (an+l), auch ohne die einsehr~inkenden Zusatzbedingungen yon Satz 6 ergibt. Somit gilt sehlechthin

S~tz 7. Fi~r die Vollmonotonie der Koe//izienten an+l yon p(z) ist hinreichend die Vollmonotonie der Koe//izienten fl, yon ~ ( z ) .

Eine Umkehrung des Satzes ist allerdings, wie nochmals betont sei, nut unter gewissen zus~itzlichen Voraussetzungen (z. B. ein/ache Monotonie der fin oder /ihnliches) mSg!ich, doch biete~ dies weniger Interesse, da es in konkreten F~llen meist leieht zu erkennen ist, ob Vollmonotonie oder nur Vollkonvexit~it vorliegt.

(Eingegangen am 15. Februar 1926.)