Vedische Mathematik - all4brain · Bruchrechnen 160 26.1 Brüche multiplizieren 160 26.2 Brüche dividieren eVideo 38 162 26.3 Brüche addieren und subtrahieren eVideo 39 164 27

Vedische Mathematik

Rechnen und Kopfrechnen für Schüler und Erwachsene

von Gwen Bach und Gregor Staub (Hrsg.)

Bei Rückfragen: +49 173 5155691

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mega memory® MatheVedische MathematikRechnen und Kopfrechnen für Schüler und Erwachsenevon Gwen Bach und Gregor Staub

Herausgeber:mega memory Training AGTristelstr. 34FL-9497 TriesenbergE-Mail: [email protected]

www.gregorstaub.comwww.vedische-mathematik.com

4. Auflage – April 2015, Triesenberg (FL)

ISBN 978-3-00-035514-1

Autorin: Gwen Bach, Rheinfelden (CH)

Gregor Staub mega memory® Gedächtnistraining – CopyrightAlle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und der Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werks darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme gespeichert, verarbeitet oder vervielfältigt werden.

Gregor Staub mega memory® – Handelsmarkemega memory® ist eine in Deutschland, Österreich, der Schweiz, Frankreich und Italienregistrierte Handelsmarke der Staub mega memory® Gedächtnistraining.

Sprecher/Darsteller: Gregor Staub, Gwen BachProduktionsleitung/Redaktion: Karin Burger, www.team-karin-burger.de, München (D)Julia Parker, www.parkerrose.de, München (D)Konzeption: Gwen Bach, Gregor Staub, Karin Burger (CH, D)Web-Realisation: www.co-operation.de (D)Lektorat: twinbooks, München (D)Bildnachweis: Cover, © contrastwerkstatt, © toolklickit, fotolia.com, „Melencolia I“, Albrecht Dürer, istock-photo.com, S. 147

Impressum

Vedische Mathematik

Rechnen und Kopfrechnen für Schüler und Erwachsene

von Gwen Bach und Gregor Staub (Hrsg.)

Allgemeine Einleitung und Intro eLearning Mathematik

Intro Mathematik Einleitung

4

Inhaltsverzeichnis

Vorwort von Gregor Staub: Was ist mega memory® Gedächtnistraining? 8

Einleitung von Gwen Bach eVideo 1 9

Anleitung für dieses Buch 10

Was ist vedische Mathematik? 11

1. Zahlen merken mit mega memory® eLearning 14

eTrack 14

eTrack 16

Diesen Bereich findest du in deinem Onlinekurs unter "100er Liste" und unter "Zahlen merken" eTrack 18

2. Ich kann alles mit 5 multiplizieren! eVideo 2 24

3. Plus (Addition) – Kopfrechnen! eVideo 3 27

3.1 Aufwärmübung 27

3.2 Zweistellige Zahlen addieren? Kein Problem! 28

3.3 Aufgaben mit Übertrag 30

3.4 Dreistellige Zahlen blitzschnell im Kopf addieren 31

4. Minus (Subtraktion) 33

4.1 Minus mit Basiszahl eVideo 4 33

Der Trick mit der Null 34

4.2 Die mehrfache Basiszahl eVideo 5 35

4.3 Komplexe Aufgaben eVideo 6 36

Gemischte Aufgaben 39

5. Das Einmaleins bis 5 eVideo 7 42

5.1 Die 2er-Reihe 42




6. Das Einmaleins bis 9 (Basis und Finger) 47

6.1 Rechnen mit Basis eVideo 8 47

6.2 Mit den Fingern Rechnen: 6er – 9er-Reihe eVideo 9 49

5

Inhaltsverzeichnis

7. Multiplikation: Bildertrick eVideo 10 51


8.1 Über der Basis multiplizieren eVideo 11 55

8.2 Mit den Fingern multiplizieren – von 11 bis 14 eVideo 12 56

9. Multiplizieren von 11 bis 19 eVideo 13 59

9.1 Alles mit 11 multiplizieren 59

9.2 Alles mit 12 multiplizieren 63

9.3 Zahlen mit 13 und aufwärts multiplizieren 65

10. Alles mit 6, 7, 8 und 9 multiplizieren 67

10.1 Alles mit 6 multiplizieren eVideo 14 67




11. Multiplizieren mit Basis unter/uber 100 eVideo 18 75

11.1 „Schwierige“ Zahlen unter der Basis multiplizieren 75

11.2 „Schwierige“ Zahlen über der Basis multiplizieren 79

12. Zahlen uber und unter der Basis multiplizieren eVideo 19 81

13. Multiplizieren mit Arbeitsbasis eVideo 20 84

14. Multiplizieren: Vertikal und kreuzweise eVideo 21 87

14.1 Größere Zahlen mit Rechenmuster multiplizieren 90

15. Division durch 9 93

15.1 Jede beliebige Zahl einfach durch 9 dividieren eVideo 22 93

6

Inhaltsverzeichnis

16. Division unter der Basis 95

16.1 Division unter 10 eVideo 23 95



17. Vinculum-Zahlen 108

17.1 Vinculum-Zahlen in normale Zahlen umwandeln eVideo 26 108

17.2 Normale Zahlen in Vinculum-Zahlen umwandeln eVideo 27 109

18. Division uber der Basis mit Vinculum eVideo 28 110

19. Division durch mehrstellige Zahlen 120

19.1 Direktes Teilen eVideo 29 120

19.2 Direktes Teilen mit Vinculum eVideo 30 126

20. Duplex rechnen 130

20.1 Zahlen zerlegen eVideo 31 130

20.2 Duplex-Zahlen rechnen eVideo 32 131

21. Zahlen quadrieren eVideo 33 132

21.1 Zahlen mit Duplex-Methode quadrieren 132

21.2 Zahlen mit Basis quadrieren 137

22. Die Wurzel aus einer Zahl ziehen 138

22.1 Einfaches Wurzelziehen eVideo 34 138

22.2 Wurzelziehen mit Kommastelle eVideo 35 141

23. Magische Quadrate eVideo 36 147

24. Geburtstage ausrechnen eVideo 37 154

7

Inhaltsverzeichnis

NEU: 25. Teilbarkeit von Zahlen 157

NEU: 26. Bruchrechnen 160

26.1 Brüche multiplizieren 160

26.2 Brüche dividieren eVideo 38 162

26.3 Brüche addieren und subtrahieren eVideo 39 164

27. Übungsaufgaben 167

16 Sutren und Sub-Sutren 169

Autorenteam 171

Produkte von Gregor Staub auf www.gregorstaub.com 172

eLearning – so funktioniert’s: Zugangscode 175

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Vorwort von Gregor Staub

Was ist mega memory® Gedächtnistraining?

Ich arbeite seit 1990 als Gedächtnistrainer und habe 1000fach erlebt, wie hervorragend jedes Gedächtnis funktionieren kann, wenn man dem Menschen, der lernen will, nur die richtigen Wege aufzeigt. Mit dem Erfolg kommt der Spaß und mit dem Spaß noch mehr Erfolg und damit die Lust, dran zu bleiben - wie bei einem gut gemachten Computerspiel!

Für die, die es noch nicht kennen: Meine Methode mega memory® Gedächtnistraining ermög-licht es Ihnen, sich Zahlen, Namen und Fakten schneller, sicherer und länger zu merken. Sie basiert auf der altgriechischen MNEMO-Technik, führt schnell zum Erfolg und macht viel Spaß.

Als Gwen Bach mit ihren Erkenntnissen aus der vedischen Mathematik auf mich zukam, war mir sofort klar, dass die Systematik aus mega memory® mit den vedischen Sutren wertvolle Synergi-en ergeben würde. Wir haben uns im Laufe der Zusammenarbeit dann dazu entschlossen, diesem Mathebuch den Ausschnitt aus meinem Programm voranzustellen, in dem es um das Merken von Zahlen geht.

Das eLearning-Programm ist auf verschiedene Arten nutzbar: Sie können das ganze System von A–Z lernen – die vielen Aha-Erlebnisse und Lernerfolge begleiten Sie dabei als sichere Motivatoren. Sie können sich aber auch ganz gezielt „nur“ die Rechenarten und „Tricks“ heraus-picken, die in Ihrem Leben gerade besonders hilfreich sind – oder die im Leben Ihrer Kinder oder Schüler wieder Lust auf Mathe machen sollen.

Sie werden erleben, wie selbst kleine und große Mathe- und Zahlenverweigerer plötzlich strah-len und wie Sie selbst mit jedem „Trick“ wachsen.

Hier meine Empfehlung: Nehmen Sie sich 4–5 Stunden Zeit, um den Zahlenraum von 1–20 mit der so genannten „Baumliste“ zu lernen und den Zahlenraum von 21–100 mit Hilfe der 100er-Liste. Mit diesem Werkzeug „im Kopf“ wird aus dem Rech-nen ein wunderbares Spiel mit Zahlen.

Gregor Staub, Gedächtnistrainer

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Einleitung von Gwen Bach

Liebe Leserinnen und Leser!

Warum macht Mathematik manchen Leuten Spaß und andere können so gar nichts mit Zahlen anfangen? Diese Frage habe ich mir oft gestellt, als mein Sohn in der Grundschule große Probleme mit Mathe hatte. Ich begab mich auf die Suche nach einem Weg aus seinem Dilemma und fand – durch meine indi-schen Wurzeln – unsere Lösung in Indien:

Es gibt geniale englischsprachige Lehrbücher über die sogenannte vedische Mathematik. Je mehr ich mich mit dieser Methode und den Rechenregeln aus dem alten Indien befasste, desto begeisterter wurde ich. Und mein Sohn verlor mit jedem kleinen Rechenerfolg seine Angst vor Mathe, weil er plötzlich auch mit großen Zahlen spielen und schwierige Aufgaben dank der „Tricks“ lösen konnte. Inzwischen habe ich vielen Schülern und Erwachsenen dabei geholfen, in Mathe gut zu werden und selbstbewusst an das Thema zu gehen – denn eines habe ich erkannt:

Manche Menschen rechnen von Natur aus gut und haben ein Gefühl für Zahlen. Andere hinge-gen brauchen eine Methode oder genaue Anleitung, der sie folgen können. Ich habe erfahren, dass gut rechnen zu können eine Fähigkeit ist, die jeder Mensch erlernen und üben kann. Doch warum ist es überhaupt wichtig, gut und richtig rechnen zu können? Schließ-lich haben wir heute alle Taschenrechner, Smartphones und Computer. Kopfrechnen verbessert die Konzentrations- und Merkfähigkeit und hilft uns, mehrere Gedanken auf einmal im Kopf zu bearbeiten. Es baut unser Selbstbewusstsein auf und stärkt unser Vertrauen in unsere eigenen intellektuellen Fähigkeiten. Zudem fördert es die eigenen Fähigkeiten beim Lösen von Proble-men und beim Finden von alternativen Lösungen – egal ob bei der Arbeit, in der Schule oder im Privatleben.

Jeder kann gut rechnen lernen. Wirklich! Sie werden in diesem Kurs ungewohnte Rechenwege beschreiten – die beim näheren Betrachten genial und einfach sind. Mathematik ist wie Fahr-rad fahren: Man muss nur einmal den Dreh raus haben und ein bisschen üben – dann macht es richtig Spaß, ist logisch nachvollziehbar – und am Ende können Sie und Ihre Familie und Freun-de spielerisch mit sehr hohen Zahlen jonglieren. Sie können bald im Kopf die Wurzel aus 3136 ziehen oder 562 rechnen! Sie können den Wochentag zu jedem beliebigen Datum berechnen und locker 3-stellige Zahlen multiplizieren. Eines kann ich Ihnen versprechen: Mitschüler, Lehrer, Freunde, Arbeitskollegen und Kunden werden Augen machen!

Sehen Sie sich Video 1 „Gregor Staub und Gwen Bach stellen sich vor“ an. Viel Vergnügen! Vorstellung

Gwen Bach, Autorin

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Anleitung für dieses Buch

Dieses Buch ist so strukturiert, dass Sie es entweder wie einen Kurs von vorne bis hinten durch-arbeiten können – oder Sie suchen sich nur einzelne Rechentricks heraus, die Sie lernen möch-ten. Am Anfang eines jeden Kapitels steht eine kurze Erklärung, dann folgt der Hinweis auf das jeweils passende Video. Wenn Sie sich den Film online angeschaut haben, sollten Sie am besten etwas üben und zur Vertiefung das Kapitel im Buch durcharbeiten. Am Ende der Kapitel finden Sie ein paar Übungsaufgaben. Weitere Übungen mit Lösungen sind ganz hinten im Buch.

Anleitung für Eltern

Kinder lernen in der Grundschule Mathematik in Zahlenräume aufgeteilt: in der 1. Klasse bis 20, in der 2. Klasse bis 100, in der 3. Klasse bis 1.000 und ab der 4. Klasse bis 1.000.000. In diesem Kurs werden wir mit Zahlen spielen, die oft größer sind, aber das ist kein Problem.

Wenn wir zum Beispiel eine Zahl wie 5468216 in ihre einzelnen Ziffern zerlegen, bleibt letztendlich auch nur eine 5, eine 4, eine 6, eine 8 und so weiter. Eigentlich liegen so-mit alle Zahlen im Bereich des Zahlenraums der 1. Klasse.

Gut, ich gebe zu, ich spiele hier ein wenig mit der Logik. Aber mit dieser Sichtweise nehmen Sie Ihrem Kind die Angst vor großen Zahlen, schließlich gibt es nur 10 Zif-fern, alle anderen sind Kombinationen der Zahlen 0 bis 9.

Der Textteil ist so geschrieben, dass Sie ihn wie ein Theaterskript verwenden können. Lesen Sie den Text gemeinsam mit Ihrem Kind und folgen Sie den An-weisungen Schritt fur Schritt. Dann sind nicht Sie der Lehrer – sondern das Buch. In der Arbeit mit meinem Sohn hat das sehr viel Entspannung gebracht.

Wichtig für Eltern und Lehrer

Beachten Sie bitte, dass die Schreibweise nicht den üblichen Mathematikrechen-schritten entspricht, sondern die eigenen Gedanken symbolisieren soll. Also so, wie Sie im Kopf rechnen würden – das ist schließlich auch unser Ziel.

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Was ist vedische Mathematik?

Sie ist auf jeden Fall ganz anders als das, was Sie (im deutschsprachigen Raum) in der Schule gelernt haben – oder gerade lernen. Die vedische Mathematik basiert auf 16 Regeln = Sutren und 13 Sub-Sutren, also untergeordneten Regeln. Sutra – bzw. die Mehrzahl Sutren – ist der indi-sche Name für die Regeln. Diese können auf die verschiedenen Rechenarten angewandt werden.

Es ist ein sehr breit angelegtes System, das selbst in komplexen Bereichen der Mathematik wie zum Beispiel der Integralrechnung funktioniert. Wir werden in diesem Kurs allerdings nur fünf dieser Regeln anwenden.

Die Sutren hören sich für die meisten Menschen auf den ersten Blick sehr kryptisch an, bekom-men aber mit ein wenig Übung einen tieferen Sinn. Eine Tabelle mit den 16 Sutren inklusive der Sub-Sutren finden Sie am Ende des Buches.

Die Veden sind uralte indische Texte, die in mehrere Bücher unterteilt sind. Eines dieser Bücher enthält die Regeln, die der indische Mathematiker Bharati Krishna Tirthaji (1884–1960) wieder-entdeckt und gelehrt hat. Mit 20 Jahren hatte er bereits sieben Master Degrees (also höhere Studienabschlüsse) in Philosophie, Mathematik, Geschichte, Wirtschaft und Sanskrit (der alten indischen Sprache). Von 1911 bis 1919 studierte und entschlüsselte er die mathematischen Teile der „Artharva Veda“2. Leider ging sein Gesamtwerk verloren, daher steht uns heute nur einen kleiner Teil davon zur Verfügung. Aber allein dieser ermöglicht es selbst Grundschülern, komple-xe Gleichungen zu lösen. Das Schöne an dieser Methode ist, dass Sie eigentlich nur das kleine Einmaleins bis zur 5 kennen müssen. Und auch für das kleine Einmaleins gibt es eine Methode – und zwar ganz ohne Auswendiglernen3!

In den letzten 20 Jahren fand die vedische Mathematik zunehmend Beachtung an verschiede-nen indischen, amerikanischen und englischen Universitäten. An einigen Eliteuniversitäten lernen Studenten das vedische System. In Amerika und Indien belegen Schüler und Studenten teure vedische Mathematikkurse, damit sie in den Eingangstests der Universitäten schneller und fehlerfrei rechnen, da bei diesen Tests Taschenrechner verboten sind. Einige Privatschulen führten das vedische System mit großem Erfolg als Lehrmethode in ihren Lehrplan ein. Eine englische Schule publizierte 1989 ihr Lehrprogramm der vedischen Mathematik, das an 11- bis 14-jährigen Schülern getestet und für erfolgreich befunden wurde.

2 Der Atharvaveda (Atharvaveda, alternativ Atharwaweda) ist eine der heiligen Textsammlungen des Hinduismus. (Quelle: Wikipedia)

3 Natürlich gibt es auch kritische Stimmen. Manche behaupten, Tirthaji hätte die Sutren gar nicht aus den Veden, da diese Sätze dort nicht vorkommen. Somit sprechen sie der vedischen Mathematik das Vedische ab. Aber selbst wenn Tirthaji die Sutren nicht aus den Veden, sondern „während seiner Meditationen empfangen“ hat wie die alten Rishis, würde sie das genau genommen auch als vedisch qualifizieren. Rishi bezeichnet im Hinduismus einen Seher oder mythischen Weisen. Den Rishis wurden der Legende nach die heiligen hinduistischen Texte, die Veden, offenbart.

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Was ist vedische Mathematik?

So liest man das Sutra Das bedeutet das Sutra auf Deutsch

1 Ekadhikina Purvena Eine mehr als die Vorherige

2 Nikhilam Navatashcaramam Dashatah

Alle von 9 und die Letzte von 10

3 Urdhva-Tiryagbyham Vertikal und kreuzweise

4 Paraavartya Yojayet Verschieben und anwenden

5 Shunyam Saamyasamuccaye Wenn das Samuccaya das Gleiche ist, ist es null

6 Anurupye - Shunyamanyat Wenn Eins im Verhältnis ist, ist die andere null

7 Sankalana - Vyavakalanabhyam Durch Addition und durch Subtraktion

8 Puranapuranabyham Durch die Ergänzung oder Nicht-Ergänzung

9 Chalana - Kalanabyham Differenzen und Ähnlichkeiten

10 Yaavadunam Was auch immer die Größe seines Defizits

11 Vyashtisamanstih Spezifisch und allgemein

12 Shesanyankena Charamena Die Reste bei der letzen Stelle

13 Sopaantyadvayamantyam Die Letzte und zweimal die Vorletzte

14 Ekanyunena Purvena Eins weniger als die Vorherige

15 Gunitasamuchyah Das Produkt der Summe

16 Samuccayagunitah Alle Multiplikatoren

Die 16 Sutren

Wir werden, wie bereits erwähnt, nur wenige Sutren in diesem Kurs benötigen, denn die meisten braucht man für Algebra, Geometrie, Differenzialrechnung und so weiter. Die Regeln, die wir tatsächlich benutzen, sind markiert. Wenn Sie sich diese Regeln jetzt einfach nur durchlesen, ergeben sie keinen Sinn – zumindest noch nicht. Aber keine Sorge: Sobald Sie ein bisschen damit gearbeitet haben, werden Sie sehen, dass sie geniale Werkzeuge sind, die Ihnen und Ihren Schülern und Kindern helfen, viel einfacher, schneller und präziser zu rechnen.

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Buchtipps

Weiterfuhrende Buchtipps

Sie möchten mehr darüber erfahren? Hier sind einige Bücher zum Thema:

Bharati Krsna Tirthaji: Vedic Mathematics, New Delhi 2006, von Motilal Banarsi-dass: Dies ist der klassische Text mit allen Sutras und deren Anwendung.

Williams, Kenneth R.: Discover Vedic Mathematics von Inspiration Books, 2009: ein geniales Buch mit allem drin, mein Lieblingsbuch zum Nachschlagen.

Williams, Kenneth und Gaskett, Marc: The Cosmic Calculator: A Vedic Mathematics for Schools von Inspiration Books, 2005: ein Schulbuchset aus drei Büchern.

Kapoor, Dr. S. K.: Learn and teach Vedic Mathematics von Lotus Press, 2007: Dieses Buch beinhaltet einen Kurs über zehn Wochen für Kinder, die gerade mit Zahlen und dem Zählen anfangen und vermittelt eine sehr solide Basis. Zudem erklärt es jedes Sutra verständlich und gibt dazu eine bildliche Darstellung der Wirkungsweise des Sutras. Man taucht hier tief in die vedische Mathematik ein, aber man sollte auch viel Interesse für hinduistische Philosophie mitbringen.

Cutler, Ann und McShane, Rudolph: The Trachtenberg Speed System of Basic Ma-thematics von Jakow Trachtenberg, Souvenir Press, 1989: Ein wirklich gutes Buch mit einer alternativen Mathematikmethode, die der vedischen sehr ähnlich ist, von Jakow Trachtenberg, der 1950 das Zürcher Institut für Mathematik gegründet hat. In unserem Kapitel über das Multiplizieren von Zahlen mit 6, 7, 8, und 9 haben wir seine Methode verwendet. Auch seine Methode beruht auf verschiedene Regeln und Re-chenweisen für die jeweilige Aufgaben.

Kapitel 224

Kapitel 2

Bei der ersten Methode rechnen wir von links nach rechts, also so è, wie Sie gerade diesen Text lesen. Nehmen wir zum Beispiel 46 • 5. Beim Rechnen nehmen wir eine Ziffer nach der anderen, halbieren sie und hängen ganz hinten eine Null an. Also los: Die Hälfte von 4 ist 2. Dann halbie-ren wir die 6, das ergibt 3, und nun hängen wir noch die 0 hinten an. Das richtige Ergebnis lautet 230. Es stimmt. Aber prüfen Sie es ruhig mit dem Taschenrechner nach, wenn Sie es nicht glau-ben können!

Und jetzt versuchen wir gemeinsam eine größere Zahl mit 5 zu multiplizieren:

8246 • 5 = Die Hälfte von 8 ist 4. Die Hälfte von 2 ist 1. Die Hälfte von 4 ist 2. Die Hälfte von 6 ist 3. Wir hängen eine 0 hinten an. Das Ergebnis ist 41230.

Wunderbar! Sie haben eine ziemlich hohe Zahl mal 5 gerechnet! 8246 • 5 = 41230. Das war doch gar nicht so schwer, oder?

Aber was passiert, wenn ungerade Zahlen dabei sind? Ganz einfach: In diesem Fall halbieren Sie die nächstkleinere Zahl und nehmen eine 1 als Übertrag. Also: Die „Hälfte“ von 5 wäre dann zum Beispiel 2 (weil wir 4 : 2 rechnen) und wir übertragen 1. Wie viel ist dann die „Hälfte“ von 7? Ge-nau, 3. Und wie viel ist die „Hälfte“ von 3? Richtig, 1! Die 1 ist übrigens ein besonderer Fall: Denn hier zählt die „Hälfte“ als 0, und wir übertragen eine 1. Was ist die „Hälfte“ von 9, 13, und 11? Richtig, die Ergebnisse lauten 4, 6 und 5.

Sehen Sie sich nun auf der eLearning- Plattform Video 2 „Alles mal 5“ an. Alles mal 5

2. Ich kann alles mit 5 multiplizieren!

Wir haben als erstes Thema einen Rechenweg ausgesucht, mit dem Sie schnell mit einem Er-folgserlebnis in diesen Kurs einsteigen. Sie werden sehen, dass auch schwierige oder komplexe Aufgaben leicht lösbar sind, wenn Sie nur den richtigen Weg kennen. Ich möchte, dass Sie sich von sich selbst überzeugen!

Ist Ihnen eigentlich bewusst, dass Sie immer und überall den besten aller Taschenrechner bei sich tragen? In Ihrem Kopf – wirklich wahr! Denn jeden Tag, egal ob Sie einen Ball fangen oder eine Straße überqueren, berechnet, misst und schätzt Ihr Gehirn automatisch Distanzen, Höhen und Geschwindigkeiten. Das bedeutet: Sie sind bereits jetzt in der Lage, komplizierte Aufgaben blitzschnell zu berechnen! Aber warum funktioniert das dann oft nicht ganz so gut bei Rechen-aufgaben? Nun, leider trauen wir uns meist einfach selbst viel zu wenig zu. Aber hier kann ich nur Gregor Staub zitieren: „Ihr Gehirn kann viel mehr, als Sie glauben!“ Lassen Sie sich also von Ihren eigenen Fähigkeiten überraschen!

2. Ich kann alles mit 5 multiplizieren! 25

Gut, versuchen wir es mit einer weiteren Aufgabe:

254 • 5 = Die Hälfte von 2 ist 1. Die „Hälfte“ von 5 ist 2, Übertrag 1 (wir setzen also die 1 vor die 4, etwa so: 25

14, so wird aus

der 4 eine 14). Die Hälfte von 14 ist 7. Wir hängen eine 0 an und haben unser Ergebnis: 25

14 • 5 = 1270

Was, wenn nun aber die letzte Zahl auch ungerade ist? Ganz einfach, dann kommt die übertra-gene 1 vor die angehängte 0 und wird zu 10. Das sieht dann so aus: 243

10. Die Hälfte von 10 ist

5, also endet unser Ergebnis dann nicht auf 0, sondern auf 5. Das heißt, wir hängen anstelle der 0 eine 5 hinten an. Ein Beispiel:

347 • 5 = Die „Hälfte“ von 3 ist 1, Übertrag 1. Die Hälfte von 14 ist 7. Die „Hälfte“ von 7 ist 3, Übertrag 1. Die Hälfte von 10 ist 5 bzw. wir hängen eine 5 an und haben unser Ergebnis! 3

147

10 • 5 = 1735

Jetzt nehmen wir eine ganz lange Zahl, die wir mit 5 multiplizieren. Sie werden sehen, dass es Ihnen ganz leichtfallen wird.

Rechnen Sie:

864345268 • 5 = Die Hälfte von 8 ist 4. Die Hälfte von 6 ist 3. Die Hälfte von 4 ist 2. Die „Hälfte“ von 3 ist 1, Übertrag 1. Die Hälfte von 14 ist 7. Die „Hälfte“ von 5 ist 2, Übertrag 1. Die „Hälfte“ von 12 ist 6. Die Hälfte von 6 ist 3. Die Hälfte von 8 ist 4. Wir hängen eine 0 an die Zahl 8643

145

1268 • 5= 4321726340

Genial! Sie haben gerade im Kopf achthundertvierundsechzig Millionen dreihundertfünfundvier-zigtausendzweihundertachtundsechzig mal fünf gerechnet.

Es gibt noch eine kleine Eigenheit bei dieser Regel, wenn die erste Zahl eine 1 ist, also zum Beispiel 12473 • 5. In so einem Fall nehmen wir nicht die Hälfte von 1, sondern die Hälfte von 12, also der ersten beiden Ziffern. Also sieht unsere Rechnung so aus:

12473 • 5 = Die Hälfte von 12 ist 6. Die Hälfte von 4 ist 2. Die „Hälfte“ von 7 ist 3, übertrage 1. Die „Hälfte“ von 13 ist 6, übertrage 1. Die „Hälfte“ von 10 ist 5. Also ist unser Ergebnis 62365.

Kapitel 226

Übungsaufgaben:

648 • 5 =

795862548 • 5 =

572 • 5 =

56827 • 5 =

Die richtigen Ergebnisse sind:

3240, 3979312740, 2860, 284135

Mit etwas Übung können Sie so etwas blitzschnell im Kopf ausrechnen und sind schneller als andere mit dem Taschenrechner. Die zweite Aufgabe kann man mit einem Taschenrechner gar nicht ausrechnen, weil die Zahl für die meisten Displays zu lang ist – und Sie schaffen das jetzt spielend im Kopf!

In diesem Kapitel haben Sie, ohne es zu merken, gleich zwei Tricks gelernt: zum einen natürlich Zahlen mit 5 zu multiplizieren, zum anderen jede noch so große Zahl zu halbieren (also geteilt durch 2 zu rechnen). Das Halbieren war ja immer der erste Schritt in der Rechnung. Denn eigent-lich haben Sie die Zahlen mit 10 multipliziert und durch 2 geteilt. Ist doch super, oder?

Wie können Sie sich diese Rechenmethode am besten für immer merken? Sie könnten nun auf die Methoden aus mega memory® zurückgreifen. Wir nehmen die Baumliste aus dem Kapitel 1.

Ein möglicher mega memory-Merksatz wäre: Die 5 ist die Hand. So wissen Sie, dass es um die Rechenmethode „Alles mal 5 nehmen“ geht. Stellen Sie sich Folgendes vor: Sie schießen mit einer Pistole ein Loch (das Loch steht für das Rechenzeichen, also den Punkt beim Multiplizieren) in einen Baum (Nummer 1 auf unserer Liste mit Regeln) und legen die Hand (also „mal 5“) darauf, Ihre Finger sind halbiert. Unter Ihrer Hand klebt ein roter Knopf („Klebe die 0 an das Ende der Zahl“).

3. Plus (Addition) – Kopfrechnen! 27

Kapitel 3

3. Plus (Addition) – Kopfrechnen!

Kopfrechen! Auch das ist wie Radfahren: Wir brauchen ein bisschen strukturiertes Üben, und dann klappt das sehr bald richtig gut! Daher beginnen wir in diesem Kapitel mit ganz leichten Zahlen. Meist fehlt es wirklich nur an der Struktur, denn selten hat uns jemand beigebracht, wie man kopfrechnet. Naturtalente rechnen automatisch auf diese Weise, doch fällt es ihnen oft schwer, dies anderen zu vermitteln. Genauso wie es einem selbst schwer fällt, jemand anderem zu erklären, wie genau man selbst Fahrrad oder Auto fährt. In diesem Kapitel kommt das Sutra 7 „Durch Addition und durch Subtraktion“ zur Anwendung.

3.1 Aufwärmübung

Ich gehe natürlich davon aus, dass Sie – und auch Ihre Kinder oder Schüler – mit den Zahlen von 1 bis 10 gut rechnen können. Aber wir fangen trotzdem mit ganz einfachen Rechnungen an, damit Sie diesen Schritt auch kleineren Mathematikern leicht beibringen können:

Wir addieren zuerst eine zweistellige Zahl und eine einstellige Zahl: Nehmen wir die 53 und ad-dieren – halt! Lassen Sie uns gleich einen Schritt weiterdenken. Wenn wir Kopfrechnen, rechnen wir etwas anders als auf dem Papier. Wir addieren von links nach rechts, genauso wie man liest. Da ich am Anfang sagte, wir addieren eine einstellige Zahl zu einer anderen, wissen Sie bereits, bevor ich Ihnen die zweite Zahl verrate, dass das Ergebnis über 53, aber unter 63 liegen muss.

So, nun addieren wir 53 und 4. Da 3 + 4 = 7 ist, nehmen wir die 50, addieren 7 und erhalten als Ergebnis 57. Ganz einfach. Als Nächstes rechnen wir 72 plus 6. Wir rechnen zuerst 2 + 6 = 8, dann 70 + 8 = 78.

Lassen Sie uns noch ein paar von diesen Aufgaben üben:

41 + 8 = 76 + 2 = 34 + 3 =

Wenn die Ergebnisse 49, 78 und 37 sind, dann haben Sie (oder Ihr Zögling) richtig gerechnet!

Nun gehen wir einen Schritt weiter und rechnen eine zweistellige Zahl plus eine einstellige Zahl, aber diesmal gehen wir in den nächsten Zehner hinein.

Denken Sie immer daran: Wir versuchen stets, die schwierige, große Aufgabe in mehrere kleine Aufgaben zu teilen. Das versuchen wir einmal gemeinsam bei 45 + 7. Wir wissen, dass 5 + 7 = 12 ist. Deshalb rechnen wir jetzt nur noch 40 + 12, und das ergibt 52. Lösen Sie nun 67 + 7: Sie rechnen blitzschnell aus, dass 7 + 7 = 14 ist, und addieren nun 60 und 14. Das Ergebnis lautet 74. Super!

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 3 „Plus (Addition) – Kopfrechnen“ an. Kopfrechnen

Kapitel 328

Übungsaufgaben:

73 + 8 =

56 + 9 =

34 + 7 =

Wenn Sie 81, 65 und 41 ausgerechnet haben, dann liegen Sie richtig! Super! Wie haben Sie denn die Aufgabe 56 + 9 gerechnet? Zuerst 6 + 9 und das Ergebnis plus 50, so, wie Sie es gerade gelernt und eingeübt haben? Klar, so geht es auch, aber in solchen Fällen gibt es einen weiteren, noch schnelleren Trick: Sie rechnen einfach 56 + 10, das ergibt 66, und davon ziehen Sie 1 ab, macht 65. Denn 9 ist schließlich das Gleiche wie 10 – 1. Versuchen Sie sich einmal an diesen Aufgaben:

44 + 9 =

78 + 9 =

46 + 9 =

Hat das gut geklappt? Dann lauten Ihre Ergebnisse sicher 53, 87 und 55!

3.2 Zweistellige Zahlen addieren? Kein Problem!

Nach dieser kleinen Aufwärmphase wird es Zeit, richtig mit dem Rechnen anzufangen! Jetzt ad-dieren wir zwei zweistellige Zahlen miteinander. Diese Beispiele haben noch keinen Übertrag.

53+ 34 (30 + 4)

Wenn Sie 53 und 34 addieren wollen, vereinfachen Sie die Aufgabe, indem Sie die 34 wie 30 + 4 behandeln. Also rechnen Sie im ersten Schritt 53 + 30, das ergibt 83. Nun addieren Sie noch 4 und erhalten 87. Im Kopf würde das so aussehen:

53 53 83+ 34 (30 + 4) + 30 + 04

83 87

Es ist wichtig, dass Sie diese Tabellen lesen und verstehen können, auch wenn Sie mit dieser Kopfrechenmethode nichts aufzuschreiben brauchen. Denn schließlich wollen wir ja kopfrech-nen! Aber die Tabellen werden Ihnen das Lernen und Üben mit diesem Buch erleichtern.


Nun versuchen Sie es einmal selbst mit folgender Aufgabe: 42 + 56.

42+ 56 (50 + 6)

Gehen wir die Aufgabe Schritt für Schritt durch: Sie nehmen die 42, addieren 50 und erhalten 92. Dann rechnen Sie 92 plus 6 und erhalten 98 als Ergebnis. Das sieht als Tabelle so aus:

42 42 92+ 56 (50 + 6) + 50 + 06

92 98

Übungsaufgaben:

24 75 44 61+ 63 + 21 + 33 + 35

Die richtigen Ergebnisse sind: 87, 96, 77 und 96.

Es ist nicht schlimm, wenn zu Beginn noch nicht alles richtig ist, deshalb üben wir ja. Machen Sie sich also wegen kleiner Anfangsfehler keine Sorgen, denn ohne Fehler würden wir nie etwas lernen: Gregor Staub freut sich beim Lernen über jeden Fehler, den man entdeckt, weil er dann die Chance dazu bekommt, NOCH besser zu werden!

Kapitel 330

3.3 Aufgaben mit Übertrag

Aufgaben mit Übertrag sind auch nicht viel schwieriger zu rechnen als die bisherigen Aufgaben. Lassen Sie uns diese Aufgabe gemeinsam lösen:

66+ 28

Es ist wieder das gleiche Prinzip wie vorhin: Sie rechnen zuerst 66 plus 20. Das ergibt 86. Dann addieren Sie 8 und erhalten 94. Super gemacht! Das Ganze sieht dann so aus:

66 66 86+ 28 (20 + 8) + 20 + 08

86 94

Rechnen Sie nun diese Aufgabe:

25+ 38

Sie addieren zuerst 25 und 30, das ergibt 55. Dann rechnen Sie noch 55 plus 8 und haben das Ergebnis: 63.

Das Ganze sieht so aus:

25 25 55+ 38 (30 + 8) + 30 + 08

55 63

Übungsaufgaben:

54 38 15 38+ 39 + 47 + 58 + 39

Die richtigen Ergebnisse lauten: 93, 85, 73 und 77.


3.4 Dreistellige Zahlen blitzschnell im Kopf addieren

Die folgenden Aufgaben sind ebenfalls ganz leicht zu lösen, denn der Rechenweg ist derselbe wie bei den eben gelösten Aufgaben. Nur kommt hier noch ein Schritt dazu. Nehmen wir als Beispiel 426 + 347. Zuerst addieren Sie die Hunderter, die folgenden beiden Schritte sind dann wieder die gleichen wie bei unseren letzten Aufgaben. Also, zuerst rechnen Sie 426 + 300 = 726, dann 726 + 40 = 766. Und als letzter Schritt bleibt noch 766 + 7 = 773. Das richtige Ergebnis lautet demnach 773.

Das Ganze sieht dann so aus:

426 426 726 766+ 347 (300 + 40 + 7) + 300 + 040 + 007

726 766 773

Das war doch nun wirklich nicht schwer, oder? Lassen Sie uns noch ein wenig üben, denn dieser Rechenweg unterscheidet sich sicher von dem, den Sie bisher benutzt haben. Denn nach dem herkömmlichen Rechenweg addiert man schließlich jede Zahlenspalte von rechts nach links, eine nach der anderen. Für das Rechnen im Heft ist das sicher ein guter Weg, eignet sich aber beim Kopfrechnen nicht sonderlich gut. Warum? Weil Sie sich in dem Fall die Zahlen erst rück-wärts merken und dann die ganze Zahlenreihe im Kopf umdrehen müssten, um das richtige Ergebnis zu erhalten!

Nun versuchen Sie es einmal selbst mit 536 + 357. Sie rechnen zuerst wieder die Hunderter, also 536 plus 300, das macht 836. Als Zweites 836 plus 50, das macht 886. Zuletzt 886 plus 7, das ist dann Ihr Ergebnis: 893. Gut gemacht!

Das Ganze sieht im Kopf dann so aus:

536 536 836 886+ 357 (300 + 50 + 7) + 300 + 050 + 007

836 886 893

Alle Kopfrechenaufgaben lösen Sie spielend, indem Sie die Aufgabe mit jedem Schritt einfacher machen.

Mit etwas Übung fällt Ihnen auch das bald sehr leicht. Denken Sie daran: Übung macht den Meister. Womöglich ist es auch das erste Mal, dass Sie mit System das Kopfrech-nen lernen. Schnelle und gute Rechner haben einfach nur den besseren Rechenweg im Kopf, um die Aufgaben zu lösen – und genau deshalb üben wir hier gemeinsam: damit auch Sie in Zukunft den schnellen Weg kennen und nutzen.

Kapitel 332

Wenn Sie eine Aufgaben wie 357 + 99 rechnen, hilft Ihnen das Sutra 7: „Durch Addition und durch Subtraktion“. Anstatt 357 + 90 = 447 und 447 + 9 = 456 zu rechnen, ist es einfacher 357 + 100 = 457 und 457 – 1 = 456.

Wie rechnen Sie nach diesem Prinzip 638 + 98? Ganz einfach: 638 + 100 – 2 = 736. Und was ergeben diese Aufgaben: 735 + 98 und 635 + 997? Richtig, 833 und 1632! Wie Sie sicher bemerkt haben, funktioniert das Prinzip, ganz gleich wie groß oder klein eine Zahl auch sein mag.

Übungsaufgaben:

456 745 552 378+ 327 + 132 + 347 + 994

Wenn Ihre Ergebnisse 783, 877, 899 und 1372 sind, haben Sie alles richtig gerechnet. Super!

Viel schwieriger als 838 + 654 werden Additionsaufgaben nicht. Versuchen wir diese einmal zu-sammen: 838 plus 600 ist 1438. Diese hohe Zahl lässt sich einfacher im Kopf behalten, wenn Sie „vierzehnhundert“ anstelle von „eintausendvierhundert“ sagen, denn 8 plus 6 ist 14. Nun neh-men wir 1438 und addieren 50, das ergibt 1488. Zuletzt rechnen wir noch 1488 + 4 = 1492. Und damit haben Sie die Lösung. Wunderbar!

Denken Sie daran, dass es sehr wichtig ist, wie und was Sie während des Kopfrech-nens im Geiste mitsprechen. Z. B.: „700 ist 770 ist 783“ ist kein Satz, hilft Ihnen aber, schneller zu rechnen, wenn Sie es so üben.


Kapitel 4

4. Minus (Subtraktion)

Hier kommt das Sutra 2: „Alle von 9 und die Letzte von 10“ zur Anwendung. In diesem Kapitel fangen wir anders an als im letzten, gehen aber dann trotzdem in die gleiche Richtung. Der Grund hierfür ist, dass das Subtrahieren den meisten Menschen schwerer fällt als das Addieren. Ich kann mich erinnern: Wir hatten in der Schule sehr wohl Additionstabellen, aber keine Sub-traktionstabellen. Es wird anscheinend angenommen, wenn Kinder addieren lernen, dass subtrahieren doch das Gleiche ist – nur eben in die andere Richtung. Leider funktioniert das aber nicht so ganz. Gleich ein Hinweis vorneweg: Sollte Ihnen der letzte Teil des Kapitels etwas kompliziert erschei-nen, rechnen Sie die Aufgaben einmal – oder besser mehrmals – in Ruhe durch. Sie werden se-hen: Mit dieser Methode ist es wirklich einfacher, und Sie werden schnell damit zurechtkommen.

4.1 Minus mit Basiszahl

In dieser Lektion fangen wir mit ein paar ganz spannenden Tricks an. Es gibt einen ganz einfachen Weg, mit dem Sie Zahlen von Basiszahlen wie 100, 10000, 1000 abziehen können. Dazu gibt es auch eine Regel in der vedischen Mathematik. Das Sutra Nr. 2 lautet: „Alle von 9 und die Letzte von 10“.

Also, fangen wir an. Wenn wir zum Beispiel 1000 – 376 rechnen wollen, rechnen wir wieder von rechts nach links. Wir nehmen zuerst die 3 und fragen: Wie viel fehlt bis zur 9? Genau, 6. Von der 7 bis zur 9 fehlen 2. Nun kommt schon die letzte Zahl, eine 6, und laut Sutra brauchen wir jetzt noch die Fehlenden bis zur 10, und das sind 4. Demnach lautet das richtige Ergebnis 624.

Sehen Sie sich jetzt Video eKapitel 4 „Minus mit Basiszahl“ an.

Mit der mega-memory®-Methode können Sie sich dieses Sutra zum Beispiel so mer-ken: Auf einer Lampe (Nummer 2 in den Sutren) sitzen lauter Katzen. Die letzte Katze blättert in einer Bibel. Dort sind alle Zahlen von 1 bis 9 drin, aber keine 0.

Minus

Kapitel 434

Wir lösen noch eine Aufgabe zusammen: 10000 – 6387. Von der 6 bis zur 9 fehlen 3. Von der 3 bis zur 9 fehlen 6. Von der 8 bis zur 9 fehlt 1, und von der 7 bis zur 10 fehlen 3. Das Ergebnis ist 3613. So schnell geht das!

Übungsaufgaben:

1000 – 355 = 10000 – 8429 = 1000 – 636 =

100 – 76 = 1000 – 294 =

Die richtigen Ergebnisse sind: 645, 24, 1571, 706 und 364.

Der Trick mit der Null

Was aber, wenn Sie 1000 – 84 rechnen müssen? Ganz einfach: Sie schreiben einfach eine 0 vor die 84, das sieht dann so aus: 1000 – 084. Die Anzahl der Ziffern der zweiten Zahl muss mit der Anzahl der Nullen der ersten Zahl übereinstimmen. Dann lässt es sich auch wieder ganz leicht nach dem Sutra rechnen: Von der 0 bis zur 9 fehlen 9, von der 8 bis zur 9 fehlt 1 und von der 4 bis zur 10 fehlen 6. Das Ergebnis ist 916. Wenn Sie 10000 – 79 rechnen wollen, setzen Sie so viele Nullen vor die 79, bis die Zahl vier Stellen hat, also genauso viele Stellen, wie die 10000 Nullen besitzt. Wie sieht die Aufgabe dann aus? Richtig, 10000 – 0079. Und wie lautet die richtige Lösung? Rechnen Sie: Von 0 bis 9 fehlen 9, von 0 bis 9 fehlen 9, von 7 bis 9 fehlen 2 und von 9 bis 10 fehlt 1. Das macht 9921!

Übungsaufgaben:

1000 – 46 = 1000 – 5 =

10000 – 23 = 10000 – 123 =


Diesen Trick können Sie auch beim Einkaufen gut gebrauchen, um beispielsweise blitzschnell das Wechselgeld auszurechnen. Ein Beispiel: Wenn Sie für 4,65 Euro etwas kaufen und dem Verkäufer 10,00 Euro geben, wie viel Geld bekommen Sie dann von ihm zurück? Rechnen Sie: Von der 4 bis zur 9 fehlen 5, also 5,00 Euro. Von der 6 bis zur 9 fehlen 3 und von der 5 bis zur 10 fehlen 5. Also bekommen Sie 5,35 Euro wieder. Ist doch klasse, oder?


4.2 Die mehrfache Basiszahl

Hier werden die folgenden Sutren verwendet: 2 „Alle von 9 und die Letzte von 10“ und 14 „Eins weniger als die Vorherige“. Wenn Sie eine Zahl von dem Mehrfachen einer Basiszahl wie etwa 400, 2000 oder 50000 abziehen müssen, funktioniert das fast genauso wie das Abziehen von einer Basiszahl. Es ist nur eine kleine Änderung nötig. Zum Beispiel: Wenn wir 2000 – 674 ausrechnen wollen, verringert sich die erste Ziffer, in diesem Fall die 2, um 1, wird also zur 1. Danach geht es genauso weiter wie vorher auch: Von 6 bis 9 fehlen 3, von 7 bis 9 fehlen 2 und von 4 bis 10 fehlen 6. Also ist die richtige Lösung 1326.

So sieht die Aufgabe, die Sie rechnen, dann eigentlich aus: Aus den Nullen werden zwei 9er und eine 10.

9 9 102000

– -16741326

Das heißt, unsere Regel besteht nun aus drei Teilen: • Die erste Ziffer wird –1 gerechnet.• Alle von 9• und die Letzte von 10.

Versuchen Sie es nun einmal selbst mit 4000 – 376. Die 4 verringert sich um 1 auf 3. Von 3 bis 9 fehlen 6, von 7 bis 9 fehlen 2, von 6 bis 10 fehlen 4. Das Ergebnis ist 3624. Klar soweit? Üben Sie das am besten noch an ein paar Aufgaben.

Übungsaufgaben:

20000 – 7396 = 9000 – 835 =

5000 – 184 = 30000 – 3792 =


Sehen Sie sich nun Video eKapitel 5 „Die mehrfache Basiszahl“ an. mehrfache Basiszahl

Kapitel 436

Achtung! Wenn eine Aufgabe zum Beispiel so aussieht: 1000 – 370, also eine Null am Ende der abzuziehenden Zahl steht, verändert sich das Muster. In diesem Fall ist die Zahl vor der Null die letzte Zahl und die Null bleibt unberührt! Also rechnen Sie: Von 3 bis 9 fehlen 6, von 7 bis 10 fehlen 3 und die 0 bleibt stehen. Das Ergebnis ist 630. Versuchen Sie es gleich mit der nächsten Aufgabe: 3000 – 750. Die 3 verringert sich um 1 auf 2, von 7 bis 9 fehlen 2, von 5 bis 10 fehlen 5, die 0 bleibt. Also ist das Ergebnis 2250. Ist doch ganz einfach, oder? Die folgenden Aufgaben lösen Sie doch jetzt sicher spielend allein!

Übungsaufgaben:

1000 – 630 =

3000 – 790 =

20000 – 7940 =

60000 – 5820 =

30000 – 7280 =


4.3 Komplexe Aufgaben

Nun kommen wir zum letzten Teil der Minusaufgaben: Subtraktion mit ganz normalen Zahlen. Hier kommen wieder die Sutren 2 und 14 zur Anwendung. Nehmen wir als Beispiel: 6823 – 4756. Diese Rechenaufgabe würden Sie auf dem üblichen Weg in mehreren Schritten rechnen. Sie wür-den zuerst die beiden Zahlen untereinander schreiben, sodass Sie die Aufgabe schriftlich lösen können:

6823– 4756

Sehen Sie sich zuerst Video 6 eKapitel „Komplexe Aufgaben“ an. Komplexe Aufgaben


Als Nächstes würden Sie hinten, also rechts, beginnen: 3 – 6, da fehlt die 10, diese leihen Sie sich und rechnen 13 – 6 = 7. Sie notieren den Übertrag 1 bei der 5 und rechnen dann 2 – 6 (5 + 1 vom Übertrag). Da das wieder nicht geht, leihen Sie sich wiederum eine 10 und rechnen 12 – 6 = 6 und notieren jetzt eine 1 für den Übertrag neben der 7. Nun rechnen Sie 8 – 8 (7 + 1 vom Über-trag) = 0 und zuletzt 6 – 4 = 2. Als Ergebnis erhalten Sie 2067.

Sie sehen also: Es gibt zwei Arten von Aufgaben, die Sie in solch einer Minusaufgabe lösen müs-sen, nämlich einfache und schwierigere. Die einfachen sind die, bei denen Sie ganz einfach 6 – 4 rechnen können. Schwieriger oder komplizierter wird es, wenn Sie 3 – 6 rechnen müssen.

So, aber nun lernen Sie eine neue Methode kennen! Erinnern Sie sich an das Sutra 2 „Alle von 9 und die Letzte von 10“. Diese können Sie auch für solch komplexe Aufgaben verwenden, indem Sie, wie bei den vorherigen Aufgaben, eine 1 von der ersten Zahl abziehen.

Versuchen wir das Ganze einmal mit dieser Aufgabe: 4567 – 3678.

4567– 3678

1

Wir rechnen jetzt wieder von links nach rechts, also è! Als Erstes 4 – 3 = 1. Wir schreiben die 1 auf.

4567– 3678

11

Als Nächstes rechnen wir 5 – 6 … Ups, das geht ja gar nicht! Daher drehen wir die Zahlen einfach um und rechnen 6 – 5 = 1. Das schreiben wir auf und machen einen Strich über der Zahl, damit wir wissen, welche Aufgaben wir umgedreht haben.

4567– 3678

1111

Das Gleiche passiert mit den nächsten beiden Ziffern: 6 – 7 geht nicht, also drehen wir die Zahlen um und rechnen 7 – 6 = 1 und zuletzt 7 – 8, diese wird zu 8 – 7= 1. Beide Zwischenergebnisse notieren wir wie gerade eben.

Im nächsten Schritt vergessen wir die beiden oberen Zeilen und arbeiten nur noch mit der unteren. Das Ganze sieht dann so aus:

1111-1

Nun rechnen wir wieder mit unserem Sutra „Alle von 9 und die Letzte von 10“ und setzen vorher die –1 unter die erste Ziffer.

1111-1

0889

Als Erstes rechnen wir also 1 – 1 = 0. Jetzt kommen wir zu „Alle von 9“: 9 – 1 = 8 für die nächsten beiden Zahlen. „Die Letzte von 10“ ist 10 – 1 = 9. Das schreiben wir auf und erhalten: 0889.

Also lautet die Lösung: 4567 – 3678 = 889.

Kapitel 438

Mit etwas Übung werden Sie immer schneller und können mit dieser Methode sicher bald solche Aufgaben ganz leicht im Kopf lösen. Aber zuerst üben wir noch einmal gemeinsam Schritt für Schritt. Nehmen wir als Übungsaufgabe 82413 – 48675.

82413– 48675

4

Rechnen Sie 8 – 4 = 4 und schreiben Sie die 4 auf.

82413– 48675

46

Als Nächstes rechnen Sie 2 – 8 … geht nicht, also drehen Sie die Teilrech-nung wieder um und rechnen 8 – 2 = 6. Das Ganze notieren Sie wieder mit der Linie über der Zahl, wenn wir die Rechnung der Ziffern umgedreht haben.

82413– 48675

46262

Diesen Schritt wiederholen Sie nun bei den nächsten drei Teilrechnungen. Alle drei müssen umgedreht werden, über das jeweilige Ergebnis kommt ein Strich, da wir die Aufgaben nicht direkt lösen können, sondern um-drehen müssen (6 – 4 = 2, 7 – 1 = 6 und 5 – 3 = 2).

Nun ignorieren Sie wieder die beiden oberen Zeilen und rechnen mit dem Sutra „Alle von 9 und die Letzte von 10“ und setzen vorher die –1 unter die erste Zahl.

46262-1

33738

Sie beginnen also mit 4 – 1 = 3. Und weiter geht es mit „Alle von 9“: Von 6 bis 9 fehlen 3, von 2 bis 9 fehlen 7, von 6 bis 9 fehlen 3. „Die Letzte von 10“ ist 10 – 2 = 8. Das schreiben Sie auf und erhalten 33738.Also lautet die Lösung der Aufgabe: 82413 – 48675 = 33738.

Versuchen Sie es einmal selbst mit den folgenden Übungsaufgaben. Wenn Sie sich fit fühlen, können Sie auch beide Rechenschritte in einem Rutsch machen. Das geht dann wirklich blitz-schnell!

Übungsaufgaben:

8534 – 6978 =

7241 – 2889 =

2643 – 1968 =

Die richtigen Ergebnisse sind: 1556, 4352 und 675.


Gemischte Aufgaben

Nun gibt es bei Minusaufgaben noch eine weitere Sorte von Rechenaufgaben, die wir noch nicht besprochen haben. Schauen wir uns das am besten an einem Beispiel an:

565482 – 277191 =

565482– 277191

3

Bei dieser Aufgaben sind die Teilrechnungen gemischt, das bedeutet: Manchmal müssen die Zahlen umgedreht werden, manchmal bleiben sie, wie sie sind. In diesem Fall müssen Sie einfach ein bisschen aufpassen, aber Sie werden sehen, es geht trotzdem alles ganz leicht! Es beginnt wie bisher mit der Subtraktion der ersten Zahlen, in diesem Fall 5 – 2 = 3. Also schreiben Sie die 3 wie bisher auf.

565482– 277191

3123

Der nächste Rechenschritt beginnt mit 6 – 7, das drehen Sie um, rechnen also 7 – 6 = 1. Die 1 schreiben Sie wieder mit einem Strich darüber. Genauso verfahren Sie bei 5 – 7, also 7 – 5 = 2. Die nächste Stelle ist 4 – 1 = 3. Da an der Stelle nichts umgedreht werden muss, schreiben Sie das Ergebnis ohne Strich darüber.

565482– 277191

312311

Als Nächstes kommt 8 – 9, das drehen Sie wieder um und rechnen 9 – 8 = 1 und schreiben 1. 2 – 1 = 1, das ist wieder ohne Drehen und wird ganz normal geschrieben.

312311 -1 -1

28

Nun lassen Sie die beiden oberen Zeilen wieder außen vor und rechnen als Erstes 3 – 1 = 2, also die erste Zahl minus 1. Jetzt kommt wieder „Alle von 9“, in diesem Fall 9 – 1 = 8.

312311 -1 -1

288

Da die nächste Zahl die letzte Verbundene in dieser Reihe ist, kommt nun „die Letzte von 10“: 10 – 2 = 8.

Wenn Sie die Aufgabe nicht umdrehen müssen, schreiben Sie das Ergebnis einfach ganz normal auf. Wenn Sie die Aufgabe drehen müssen, kommt wie vorher immer eine Linie über die Ziffer!

!

Kapitel 440

312311 -1 -1

2882

Die nächste Zahl ist demnach wieder eine erste Zahl, deshalb setzen Sie dort wieder ein –1 ein und rechnen 3 – 1 = 2.

312311 -1 -1

28829

Nun wäre der nächste Rechenschritt laut Sutra „Alle von 9“, da Sie aber schon bei der letzten Zahl angekommen sind, rechnen Sie direkt mit der „Letzten von 10“. Also 10 – 1 = 9.

312311 -1 -1

288291

Die letzte Zahl bleibt gleich und Sie übertragen sie einfach nach unten. Die Lösung der Aufgabe 565482 – 277191 lautet 288291.Ich habe diese Aufgabe bewusst in ganz kleine Schritte unterteilt, damit jeder Rechenvorgang ganz klar ist und Sie keine Zahlen ver-wechseln. Wenn Sie das ein paar Mal geübt haben, können Sie bald alle Schritte im Kopf rechnen.

Versuchen wir es nun mit der Subtraktion ganz langer Zahlen – Sie werden sehen, es ist im Grunde ganz einfach zu rechnen!

9234723593735726753746

9 – 3 = 62 – 5 umgedreht: 5 – 2 = 33 – 7 umgedreht: 7 – 3 = 44 – 2 = 27 – 6 = 12 – 7 umgedreht: 7 – 2 = 53 – 5 umgedreht: 5 – 3 = 25 – 3 = 29 – 7 = 23 – 4 umgedreht: 4 – 3 = 17 – 6 = 1

Aufgeschrieben sieht das Ganze so aus:

Nun vergessen wir die beiden oberen Reihen und fügen unsere –1 für die jeweils „ersten Zahlen“ ein.

63421522211-1 0-1 0-10

Jetzt können wir das Sutra „Alle von 9 und die Letzte von 10“ anwen-den.

92347235937– 35726753746

63421522211


63421522211

-1 0-1 0-10

56620482191

So sieht unser Ergebnis dann aus!

Zugegeben: Anfangs muten die einzelnen Schritte, wie bei einigen anderen Aufgaben auch, sehr schwierig oder kompliziert an. Aber mit ein wenig Übung werden Sie merken, dass es so doch einfacher zu rechnen sein kann. Haben Sie einfach Geduld mit sich und lassen Sie die neue Rechenmethode sich erst einmal festigen.

Übungsaufgaben:

853433 – 697278 =

72453 – 28838 =

2643657 – 1962894 =


Kapitel 542

Kapitel 5

5. Das Einmaleins bis 5

Das Einmaleins war für mich als kleines Mädchen schwer zu lernen. Gefühlte Stunden übten wir mit unserer 1•1-Tafel die verschiedenen Reihen rauf und runter. Dabei geht es auch anders – und viel einfacher. Die folgende Methode eignet sich darüber hinaus dazu, Kindern ein Gefühl für Zahlen und Zahlenräume zu vermitteln.

5.1 Die 2er-Reihe

Das kleine Einmaleins ist auch für Kinder nicht so schwer zu lernen, wie Sie vielleicht bisher gedacht haben. Es hat, wie Sie wissen, 10 Reihen – manche sind einfach und manche prägen sich nicht so schnell ein. Die 1er-Reihe können Sie im Schlaf: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10. Total ein-fach! Die 10er-Reihe ist genauso kinderleicht, schließlich hängt man einfach eine 0 an die Zahlen der 1er-Reihe, also: 10, 20, 30, 40, 50 und so weiter. Wenn ich ein Kind in der ersten oder zweiten Klasse frage, wie viel 7 • 10 ist, kommt gleich wie aus der Pistole geschossen: 70! Sehen Sie, zwei von zehn Reihen im kleinen Einmaleins kann auch ein kleines Kind jetzt schon perfekt! Prima, das heißt, wir müssen nur noch acht Reihen zusammen lernen.

Fangen wir doch mit der 2er-Reihe an. Was bedeutet denn 2 • 3? Hier nehmen wir Pflaumen, um diese Frage zu beantworten. Aber fragen wir das Kind zunächst spielerisch: Was bedeutet das? Es bedeutet: Wir haben entweder 3 Gruppen mit je 2 Pflaumen …

Um diese Methode spielerisch einzuüben, empfehle ich ein Kartenspiel mit den Karten Ass (als 1), 2, 3, 4, etc. bis zur 10 – ohne Bube, Dame und König. Dem Set liegt ein Satz Karten bei.

Sehen Sie sich bitte zuerst Video eKapitel 7 „Das Einmaleins bis 5“ an.

Einmaleinsbis 5

5. Das Einmaleins bis 5 43

… oder wir haben 2 Gruppen mit jeweils 3 Pflaumen:

In beiden Fällen sind es insgesamt 6 Pflaumen, nur sind sie unter-schiedlich angeordnet. Das gleiche Prinzip gilt, wenn Sie 5 • 7 Pflau-men haben, dann sind es 5 Gruppen mit je 7 Pflaumen.

Aber zurück zu den 2ern. Wenn Sie 2 • 3 rechnen, rechnen Sie doch eigentlich 3 + 3, das heißt, Sie verdoppeln schlicht und ergreifend die 3. Das Verdoppeln von Zahlen wollen wir nun üben. Verdoppeln Sie bitte so schnell wie möglich folgende Zahlen:

3 7 6 8 2 1 9 4 6 5 3 9 4 2

Nehmen Sie – vor allem für das Üben mit Grundschülern – ein Kartenspiel für Rommé oder Poker und sortieren Sie alle Bildkarten heraus, sodass nur Ass, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10 übrig bleiben. Das Ass ist die Eins. Legen Sie den Kartenstapel verdeckt vor sich. Nun drehen Sie jede Karte einzeln um und verdoppeln die Zahl. Sagen Sie das Ergebnis am besten laut. Wenn Sie also beispielsweise die 3 ziehen, sagen Sie 6; bei der 5 sagen Sie 10 und so weiter. Üben Sie das so lange, bis Sie nicht mehr nachdenken müssen, was das Doppelte der Zahl ist. Stoppen Sie mit, wie lange Sie für den ganzen Stapel brauchen, veranstalten Sie innerhalb der Familie oder im Freundeskreis kleine Wettbewerbe etc. Lassen Sie Ihrer Kreativität freien Lauf. Hauptsache, Sie haben Spaß dabei! Wenn Sie mit Ihren Kindern im Auto unterwegs sind, können Sie zum Beispiel auch die Zahlen auf den Nummernschildern vorbeifahrender Autos verdoppeln. Jede Zahl, die Sie irgendwo sehen, kann verdoppelt werden – und je besser Sie das können, umso besser beherr-schen Sie die 2er-Reihe.

Nehmen Sie nun das Kartenspiel und verdoppeln Sie die Zahlen. (Zeitlimit: 5 Minuten)

Kapitel 544

5.2 Die 3er-Reihe

Die 2er-Reihe können Sie bestimmt schon richtig gut! Befassen wir uns nun mit der 3er-Reihe. Wenn Sie 3 • 4 rechnen, rechnen Sie eigentlich 4 + 4 + 4, also Doppel-4 + 4. Da Sie im Verdoppeln ja mittlerweile richtig fit sind, üben wir jetzt das Verdoppeln plus die entsprechende Zahl. Wenn Sie also eine 4 sehen, sagen Sie in Ihren Gedanken „8 … 12“, statt „Doppel-4 ist 8 plus 4 ist 12“. Warum? Weil es schneller ist und Sie dadurch Rechenzeit sparen. Darüber hinaus üben Sie damit das schnelle Errechnen des kleinen Einmaleins. Das heißt, im Grunde lernen Sie das Einmaleins nicht auswendig, sondern Sie lernen, es einfach ganz fix auszurechnen.

Üben Sie die 3er-Reihe nun mit diesen Zahlen:

5 9 3 2 7 1 6 9 4 5 9 7 2 6 1 3

Ganz wunderbar! Nun nehmen Sie wieder Ihren Kartenstapel und üben das Verdoppeln plus die Zahl, also die 3er-Reihe. Sie werden sehen, mit ein bisschen Übung klappt auch das ganz schnell!

Sprechen Sie gedanklich mit, zum Beispiel bei 3 • 5: „10 … 15“.

Sehen Sie, die 3er-Reihe ist doch gar nicht schwer, oder? So muss man auch nie wieder an den Fingern abzählen, bis man zum Beispiel bei 3 • 6 ist, so wie „6, 12, 18“ Mit dieser Rechenmethode sehen Sie die 6 an und denken fast automatisch: „12 … 18“.

Es ist sehr wichtig, in Gedanken mitzusprechen, vor allem beim Kopfrechnen. Sie müs-sen sich dabei natürlich nicht an meine Vorgaben halten, wenn Sie etwas haben, das für Sie einfacher ist. Finden Sie heraus, was für Sie persönlich am besten funktioniert.

Nehmen Sie nun die Karten und üben Sie die 3er-Reihe. (Zeitlimit: 5 Minuten)

5. Das Einmaleins bis 5 45

5.3 Die 4er-Reihe

Und schon sind wir bei der 4er-Reihe angelangt! Die 4er sind genauso einfach zu rechnen wie die 2er, denn hier verdoppeln Sie lediglich das Doppelte der jeweiligen Zahl. Ein Beispiel: Wenn Sie 4 • 3 rechnen, dann verdoppeln Sie zuerst die 3 und verdoppeln dann das Ergebnis. Wenn Sie also die 3 anschauen, verdoppeln Sie sie auf den ersten Blick und rechnen im Kopf: „Doppel-6 ist 12“ – und haben schon das Ergebnis.

Üben Sie das Verdoppeln des Doppelten nun mit diesen Zahlen:

4 9 2 8 6 1 3 5 7 2 9 4

Gut gemacht! Die schwierigste Aufgabe, die Sie im Einmaleins rechnen werden, haben Sie ge-rade mit 4 • 9 schon gerechnet! Denn Doppel-9 ist 18 und Doppel-18 ist 36. Das mag jetzt noch etwas kompliziert erscheinen, aber mit etwas Übung können Sie das bald, ohne groß nachden-ken zu müssen. Glauben Sie mir: Selbst Aufgaben wie 8 • 7 sind einfacher zu rechnen als 4 • 9.

Nehmen Sie jetzt wieder das Kartenspiel zur Hand und ver doppeln Sie das Doppelte der Zahlen auf den Karten (Zeitlimit: 5 Minuten)

Kapitel 546

5.4 Die 5er-Reihe

Jetzt kommen wir zum letzten Teil dieser Lektion: die 5er-Reihe. Sicher können Sie diese Reihe schon gut: 5, 10, 15, 20, 25 und so weiter. Aber unser Ziel ist es, dass auch Kinder die 5er-Reihe können, ohne sie an den Fingern abzählen zu müssen. Erinnern Sie sich an Lektion 1 „Ich kann alles mit 5 multiplizieren!“. Die gleiche Methode können Sie natürlich auch für das kleine Einmal-eins verwenden, wenn Sie sich damit schon sicher genug fühlen. Schneller geht es bei den kleinen Zahlen im Einmaleins aber, wenn Sie statt „mal 5“ einfach mal 10 rechnen und das Ergebnis dann halbieren. Also, wenn Sie 5 • 8 ausrechnen wollen, ist 10 • 8 gleich 80 und die Hälfte von 80 ist 40. Das geht blitzschnell im Kopf, denn bei „mal 10“ hängen Sie einfach nur eine 0 an die entsprechende Zahl. Wenn Sie eine 8 sehen, denken Sie blitzschnell: „80 … 40“. Bei ungeraden Zahlen halbieren Sie die nächstkleinere Zahl und hängen eine 5 hinten an: 3 • 5: Die Hälfte von 2 ist 1 und eine 5 dahinter ist 15. Üben Sie die 5er-Reihe einmal mit folgenden Zahlen:

8 2 9 6 1 3 7 4 9 5 7 2 6 4

Genial, nun haben wir schon die Hälfte des kleinen Einmaleins ganz einfach geschafft. Gratulation!

Übungsaufgaben:

3 • 7 1 • 8 3 • 5

2 • 8 3 • 4 5 • 8

1 • 3 2 • 7 5 • 3

4 • 9 4 • 2 1 • 9

2 • 4 3 • 3 4 • 7

3 • 8 5 • 6 4 • 3

Nehmen Sie jetzt wieder Ihre Spielkarten und rechnen Sie die Zahlen mal 5. (Zeitlimit: 5 Minuten)


21 8 1516 12 403 14 1536 8 98 9 2824 30 12


Kapitel 6

6. Das Einmaleins bis 9 (Basis und Finger)

Bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, sollten Sie sicher sein, dass Sie die vorherigen Kapitel richtig verstanden haben. Diese Lektion ist wirklich nicht schwer, aber grundlegend für die folgenden Lektionen. Wir arbeiten ab jetzt mit einer „Basis“, die wir später auch in Verbindung mit hohen Zahlen brauchen werden. Danach werden Sie lernen, mit den Fingern nach dem gleichen Prinzip zu rechnen. Das ist gerade für die Schule ein sehr nützliches Werkzeug, wenn die Lösung schnell und richtig sein muss, und funktioniert auch, wenn ein Kind vielleicht etwas nervös ist.

6.1 Rechnen mit Basis

Jetzt kommen wir zu einer ganz spannenden Sache – und bald fangen wir so richtig mit dem Rechnen an. Sie lernen zunächst einen kleinen, einfachen Zwischenschritt kennen, der später sehr hilfreich sein wird. Nun kommt das 2. Sutra zur Anwendung „Alle von 9 und die Letzte von 10“. Wir nutzen dieses Prinzip, um die Differenz von der Basiszahl zu berechnen.

Nehmen wir einmal an, Sie wollen 8 • 9 rechnen. Dazu nehmen Sie die 10 als Basis und überle-gen: Wie viel fehlt von jeder der beiden Zahlen bis zur 10? Klare Sache, bei der 8 fehlen 2 und bei der 9 fehlt 1. Da die beiden Zahlen unter der Basis liegen, müssen wir Minus rechnen (10 – 8) und schreiben daher die Minuszeichen auch vor die beiden Zahlen. So vergessen wir im nächsten Schritt auch nicht, welche Rechenart wir anwenden müssen.

Das sieht dann grafisch so aus:

Basis 10 8 • 9

–2 –1

Als Erstes subtrahieren wir über Kreuz: 8 – 1 oder 9 – 2. Da in beiden Fällen das Gleiche heraus-kommt, dürfen Sie sich das (für Sie) Einfachere aussuchen. Nehmen wir einmal 8 – 1 = 7. Da unsere Basiszahl 10 ist, rechnen wir 7 • 10 (was eine 7 mit einer 0 ist). Also lautet unser Zwischen-ergebnis 70.

Basis 10 8 • 9 = 70

–2 –1

Sehen Sie sich zuerst Video eKapitel 8 „Rechnen mit Basis“ an. Rechnen mit Basis

Kapitel 648

Als Nächstes multiplizieren wir die beiden Komplementärzahlen in der zweiten Zeile (also die fehlende Anzahl zu unserer Basis): 2 • 1 = 2. Das Ergebnis addieren wir zu 70 und erhalten 72.

Basis 10 8 • 9 = 70

–2 –1 2= 72

Sieht kompliziert aus? Ist es aber gar nicht! Mit etwas Übung schaffen Sie das ganz schnell im Kopf! Das Schöne an dieser Methode ist: Sie funktioniert auch bei der Multiplikation viel größerer Zahlen wie zum Beispiel 98 • 97 oder 105 • 104 oder 15 • 12. Daher ist es wichtig, dass Sie diese Methode jetzt gut einüben, damit Sie diese später für die komplexeren Rechenaufgaben bereits im Schlaf beherrschen.

Versuchen wir es einmal mit 7 • 8. Zuerst bestimmen wir unsere Komplementärzahlen, also die, die uns bis zur Basis 10 fehlen: 10 – 7 = 3 und 10 – 8 = 2. Da wir Minus rechnen müssen, schreiben wir ein Minus vor die beiden Zahlen.

Das Ganze sieht dann so aus:

Basis 10 7 • 8

–3 –2

Wissen Sie noch, wie es weitergeht? Genau! Sie rechnen über Kreuz und suchen sich dafür die einfachere Rechnung aus: entweder 7 – 2 oder 8 – 3. Beides ergibt 5, wir hängen eine 0 an, das ergibt unser Zwischenergebnis: 50.

Das sieht dann so aus:

Basis 10 7 • 8 = 50

–3 –2

Nun rechnen wir noch 3 • 2, das macht 6.

Basis 10 7 • 8 = 50

–3 –2 6= 56

Die 6 addieren wir zu unserem Zwischenergebnis, unser Endergebnis ist demnach 56! Das hat doch prima geklappt!


Übungsaufgaben:

9 • 8 =

7 • 6 =

9 • 7 =

8 • 7 =


Denken Sie daran: Wenn es einmal nicht so recht klappen will, ist das gar nicht tragisch, denn aus Fehlern lernen wir, wie etwas nicht funktioniert. Der Erfinder der Glühbirne Thomas Edison hat auch sehr lange gebraucht, um eine funktionierende Glühbirne zu bauen. Ein Reporter fragte ihn, wie er denn mit den ganzen Fehlschlägen klarkomme. Edison sagte so etwas wie: „Wieso Fehlschläge? Ich habe 10000 Methoden gelernt, wie eine Glühbirne nicht funktioniert!“ Üben Sie einfach immer weiter, bleiben Sie am Ball!

6.2 Mit den Fingern rechnen: 6er – 9er-Reihe

Jetzt bringe ich Ihnen einen tollen Rechentrick bei! Es gibt nämlich eine ganz einfache Metho-de, wie Sie das kleine Einmaleins von der 6er- bis zur 9er-Reihe rechnen können – mithilfe Ihrer Finger. Am Anfang ist es vielleicht einfacher für Sie, wenn Sie sich die Zahlen so auf die Finger schreiben:

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 9 „Mit Fingern rechnen“ an. mit Fingern rechnen

Kapitel 650

Jetzt üben wir an folgendem Beispiel: 7 • 8. Strecken Sie Ihre Hände aus und legen Sie einen Fin-ger mit der 7 und einen mit 8 aneinander, so wie in der Zeichnung:

Jetzt berühren sich Ihr linker Ringfinger und Ihr rechter Mittelfinger.Zuerst brauchen wir die Finger, die sich berühren, und diejenigen, die darunter liegen. (Diese sind in der Zeichnung einge-kreist.) An der linken Hand sind es zwei, an der rechten Hand drei Finger. Jetzt addie-ren wir 2 und 3, das macht 5. Wir hängen wieder unsere 0 an und erhalten so 50. Jetzt nehmen wir die Anzahl der Finger, die wir noch nicht verwendet haben. Das sind die, die nicht im Kreis sind, also drei links, zwei rechts. Diese multiplizieren wir: 3 • 2 = 6. Wir addieren 50 + 6 und haben 56, unser Ergebnis!

Rechnen Sie nun mit den Fingern 8 • 9. Legen Sie dazu einen 8er-Finger an den 9er-Finger der anderen Hand und betrach-ten Sie zuerst die Finger, die sich berühren, und die darunter. Diese addieren Sie und erhalten 3 + 4 = 7, hängen die 0 hinten an, also 70. Dann multiplizieren Sie die oberen Finger, das wären 2 • 1 = 2, und addieren diese Zahl zu 70. Das richtige Ergebnis lautet also 72! Ganz einfach, oder? Üben Sie das am besten gleich noch mit ein paar Aufgaben.

Übungsaufgaben:

9 • 7 = 6 • 8 =

8 • 9 = 8 • 8 =

9 • 9 = 6 • 9 =

Die richtigen Ergebnisse lauten: 63, 72, 81, 48, 64 und 54.

Klasse! Mit etwas Übung brauchen Sie für solche Aufgaben die Finger sicher bald nicht mehr! Diese Methode können Schüler prima bei Klassenarbeiten nutzen, denn sie gibt ihnen blitz-schnell das sichere Gefühl, richtig gerechnet zu haben – vor allem, wenn kein Taschenrechner erlaubt ist.

7. Multiplikation: Bildertrick 51

Kapitel 7

7. Multiplikation: Bildertrick

Diese Lektion dient einmal der bildlichen Darstellung der Multiplikation, zeigt aber auch einen einfachen Weg, Zahlen mit kleinen Ziffern zu multiplizieren. Damit lässt sich Multiplikation durch Zählen verstehen. Diesen Trick hat mir eine Bekannte gezeigt, als ich ihr erzählte, dass ich ein Buch über vedische Mathematik schreibe. Der Trick gehört also nicht wirklich zur vedischen Ma-thematik, aber da er dem Verständnis der Hintergründe dient, habe ich ihn trotzdem eingefügt.

Diese „Bilder“ zeige ich gerne meinen Schülern, wenn wir anfangen, größere Zahlen zu multipli-zieren. Gerade jüngere Kinder haben Spaß daran und sind stolz, weil sie so auch größere Zahlen multiplizieren können, obwohl sie eigentlich noch gar nicht multiplizieren gelernt haben.

Ich zeige Ihnen die Methode mit der folgenden Beispielaufgabe: 12 • 32

Für jede Ziffer ziehen Sie eine entsprechende Anzahl an Linien. Diese Linie steht für die 1.

Diese beiden Linien stehen für die 2, und zusammen repräsen-tiert dieses „Bild“ unsere 12.

Im nächsten Schritt fügen Sie noch einmal 3 und einmal 2 Linien hinzu, um das fertige Bild zu bekommen.

Diese beiden Linien stehen für die 2, zusammen repräsentieren sie die 32.

Diese drei Linien stehen für die 3.

Nun haben Sie das fertige Bild, eine Raute aus vielen sich überschneidenden Linien. Jetzt müssen Sie nur noch die Schnittstellen der Linien zählen, um das Ergebnis zu bekommen. In dem Video Nr. 10 ist das alles aber viel besser zu sehen. Also, wenn Sie es sich noch nicht angesehen haben, holen Sie das am besten jetzt nach.

Jetzt zählen Sie zuerst die Schnittpunkte an der rechten Ecke. Es sind 4 Schnittpunkte in diesem Bereich. Schreiben Sie daher eine kleine 4 daneben.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 10 „Multiplikation: ein Bildertrick“ an.

4

Multiplikation

Kapitel 752

Als Nächstes zählen Sie die Schnittstellen oben und unten. Es sind unten 6 plus 2 oben, also insgesamt 8. Schreiben Sie eine kleine 8 darunter.

Zuletzt zählen Sie die Schnittpunkte an der linken Ecke: Hier sind es 3. Wieder schreiben Sie die Zahl klein daneben.

Zum Schluss müssen Sie die drei Ziffern nur noch nebeneinander schreiben, und schon haben Sie das Ergebnis: 384. So einfach ist das! Aber: Dieser Trick funktioniert nur mit kleinen Zahlen. Würde man zum Beispiel versuchen, 74 • 85 so zu zeichnen, sähe das Bild dazu so aus:

Wie Sie sehen, macht es so wirklich keinen Sinn, denn das Zählen kostet mehr Zeit, und natürlich ist die Gefahr, sich zu verzählen, recht hoch. Daher ist es besser, solche Aufgaben mit den Metho-den „Vertikal und kreuzweise“ oder „Multiplizieren mit Basis“ zu lösen. Doch genau diese Möglichkeit, aus mehreren Methoden selbst auswählen zu können, macht die vedische Mathematik zu etwas Besonderem. Sie können so rechnen, wie Sie möchten oder wie es für Sie am einfachsten ist. Ich persönlich nutze diese grafische Methode entweder als Trick zum Vorführen oder um Kindern das Prinzip der Multiplikation bildlich darzustellen. Eine meiner Schülerinnen hat mir einmal erzählt, dass sie einen totalen Blackout bei einer Klassenarbeit hatte und ihre Multiplikationsaufgaben (im Bereich 12 • 13) auf diese Weise gelöst hat.

4

4

8

8

3

7. Multiplikation: Bildertrick 53

Ich zeige Ihnen noch eine Aufgabe, denn manchmal gibt es bei dieser Form auch Überträge, zum Beispiel bei 32 • 23. Wenn wir bei dieser Aufgabe unsere Linien ziehen, sieht das Bild so aus:

Die Schnittpunkte sind in der Abbildung bereits gezählt und eingetragen. Die Schnittpunkte oben und unten ergeben 13, hier ist 1 unser Übertrag, den wir zu 6 addieren müssen. 6+1=7. Unser Ergebnis ist daher 736.

Das Ganze funktioniert natürlich auch bei dreistelligen Zahlen. Etwa bei 231 • 315. Zeichnen wir doch zuerst die 231 und dann in einem zweiten Schritt die 315. Dann zählen wir und schreiben unser Ergebnis nieder.

Nun kommen wir zum nächsten Schritt und fügen die Linien für die 315 hinzu.

6

31

6

Kapitel 754

Wir zählen jetzt die Schnittpunkte in den vertikalen Berei-chen, davon haben wie in dieser Aufgabe fünf.

Im letzten Schritt addieren wir die Zahlen im Übertrag zu den davorstehenden Ziffern: 611

16

165

= 72765. Super! Wenn Sie Lust haben, können Sie diese Methode mit den folgenden Aufgaben weiterüben!

Übungsaufgaben:

33 • 22 =

34 • 21 =

52 • 13 =

123 • 522 =

311 • 215 =


Natürlich funktioniert die Methode auch, wenn Sie eine zweistellige Zahl mit einer dreistelligen multiplizieren möchten – oder auch mit einstelligen Zahlen. Wenn Sie eine Zahl mit einer Null haben, wie bei 30 • 12, dann lassen Sie dort, wo die Linie für die Null (hier grau) hingehören würde, etwas Platz und schreiben am besten eine 0 sofort daneben. Denn wo keine Linie ist, gibt es auch keine Schnittpunkte.

Nun wünsche ich Ihnen viel Spaß beim Experimentieren mit diesem Trick!

6

0

6

3

5

16

16

11


8. Das Einmaleins bis 14 (Basis und Finger)

Dieser Teil ist genauso strukturiert wie das Einmaleins bis 9 (Kapitel 6). Es funktioniert nach dem gleichen Prinzip. Bitte beachten Sie aber, dass die Fingertechnik jetzt etwas anders aussieht als beim kleinen Einmaleins. In dieser Lektion kommt das Sutra Nr. 2 „Alle von 9 und die Letzte von 10“ zur Anwendung. Es basiert auf der gleichen Rechenmethode wie das Multiplizieren der Zah-len von 6 – 9.

8.1 Über der Basis multiplizieren

Nachdem Sie die letzten Lektionen bearbeitet haben, wird dieser Teil ein Kinderspiel für Sie sein. Denn hier machen wir fast genau das Gleiche – nur eben etwas anders. Hier rechnen wir nun im großen Einmaleins, also mit Zahlen von 11 bis 15. Zuerst rechnen wir wieder mit unserer Basis 10, und danach zeige ich Ihnen wieder einen Trick mit den Fingern. Fangen wir einmal mit 12 • 13 an. Wissen Sie noch, wie wir es beim kleinen Ein-maleins gemacht haben? Genau: Wie viel fehlt von der 10 bis zur 12? Klar, 2. Aber da unsere Zahl diesmal uber der Basis liegt, müssen wir nun 2 addieren und schreiben auch ein Pluszeichen zu unseren Zahlen. Von der 10 bis zur 13 fehlen … 3! Das Ganze sieht dann so aus:

Basis 10 12 • 13

+2 +3

Als Nächstes rechnen wir wieder über Kreuz, entweder 12 + 3 oder 13 + 2. Da beides stets das Gleiche ergibt, suchen Sie sich die Rechnung aus, die Ihnen am leichtesten vorkommt. Gut, 15 ist die Lösung, wir hängen eine 0 an (rechnen • 10 wegen unserer Basis) – macht 150.

Bitte denken Sie daran, das Plus oder Minus vor der Differenz ist nur eine Erinnerungs-hilfe für den nächsten Schritt und verwandelt die Zahl nicht in eine Negativzahl.

Kapitel 8

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 11 „Über der Basis multiplizieren“ an.

über der Basismultiplizieren

Kapitel 856

Basis 10 12 • 13 = 150

+2 +3

Im folgenden Schritt multiplizieren wir die beiden unteren Zahlen: 2 • 3 = 6. Die 6 addieren wir zu 150 und erhalten 156.

Basis 10 12 • 13 = 150

+2 +3 6

= 156

Solche Aufgaben lassen sich auch leicht im Kopf rechnen: Wenn ich mir die Zahlen anschaue, in diesem Fall 12 • 13, sage ich in Gedanken: „12 und 3 ist 15 ist 150. 2 • 3 ist 6. Macht 156“ und sage laut die Lösung: „156“!

Übungsaufgaben:

11 • 13 =

14 • 12 =

11 • 12 =

13 • 14 =


8.2 Mit den Fingern multiplizieren – von 11 bis 14

Nun kommen wir wieder zu einer Fingermethode. Zum Üben können Sie sich die Zahlen von 11 bis 14 natürlich wieder auf die Finger schreiben. Die Finger sind wie folgt nummeriert:

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 12 „Mit den Fingern multiplizieren – von 11 bis 14 “ an.

Mit den Fingernmultiplizieren


Nun fügen Sie wieder, entsprechend den beiden Zahlen, die Sie multiplizie-ren möchten, die Finger zusammen. Nehmen wir wieder 12 • 13 zum Üben.

Dieses Mal brauchen wir nur die unteren Finger, also die beiden, die sich berühren und die darunter. Da wir über dem 10er-Bereich rechnen, ist das Ergebnis immer über 100. Daher fangen wir immer mit 100 an. Die Finger, die sich berühren und die darunter – wie viele Finger sind das? Genau, 5! Also ist der erste Teil der Lösung 150. Nun multiplizieren Sie noch die beiden Seiten der unteren Finger. Das sind 3 links, 2 rechts, also 3 • 2 = 6. Die 6 addieren Sie zu 150 und erhalten 156.

Versuchen Sie es einmal mit 12 • 14.

Wichtig

Die Methode für die Multiplikation von 11 bis 14 ist anders als die für 6 bis 10! Natürlich können Sie den Daumen auch noch als 15 nehmen, wenn Sie mögen.

!

Kapitel 858

Verbinden Sie den 12er- mit dem 14er-Finger. Sie haben jetzt 6 Finger mit den Fingern unter den beiden, die sich berühren. Also fängt Ihr Ergebnis mit 160 an. Jetzt multiplizieren Sie noch die beiden Seiten der unteren Finger 2 • 4 = 8, addieren 160 und 8 und erhalten 168. Klasse, oder?

Übungsaufgaben:

13 • 11 =

14 • 12 =

11 • 14 =

12 • 11 =


9. Multiplizieren von 11 bis 19 59

Kapitel 9

9. Multiplizieren von 11 bis 19

Diese Lektion wird Ihnen zeigen, dass wirklich jeder große Zahlen ganz einfach multiplizieren kann. In diesem Kapitel kommt das Sub-Sutra 12 „Durch einfache Beobachtung“ zur Anwendung (diese finden Sie am Ende des Buches). Die folgende Methode ist kein Trick und keine richtige Abkürzung, aber sie bringt drei Rechenschritte in einem unter – und das spart Zeit und kann zudem unnötige Fehler vermeiden.

9.1 Alles mit 11 multiplizieren

Können Sie 23424 • 11 im Kopf ausrechnen? Nein? Am Ende dieser Lektion können Sie es – und zwar ganz fix und ohne viel nachdenken zu müssen. Versprochen!

Fangen wir erst einmal ganz einfach an: mit 23 • 11

23 • 11 3

Wir rechnen dieses Mal von hinten (also von rechts), das heißt, wir beginnen mit der 3. Wir addieren die 3 und ihren rechten Nachbarn. Da sie keinen Nachbarn hat, ist es einfach 3 + 0 = 3. Wir schreiben eine 3 auf.

23 • 11 53

Als Nächstes ist die 2 an der Reihe. Wir addieren sie und ihren rechten Nachbarn: 2 + 3 = 5. Wir schreiben die 5 vor die 3.

23 • 11253

Nun gibt es keine weitere Zahl, aber die 2 ist dennoch ein Nachbar. Also nehmen wir 0 als unsere Zahl, rechnen 0 + 2 = 2 und notieren ganz vorne eine 2. Unser Ergebnis ist 253.

In dieser Rechenaufgabe gibt es gewissermaßen zwei unsichtbare Nullen, eine am Anfang und eine am Ende der Zahl. Bei zweistelligen Ziffern wie in unserem Beispiel bedeutet das, dass Sie einfach die beiden Zahlen als erste und letzte Ziffer Ihres Endergebnisses übernehmen können. Die mittlere Ziffer erhalten Sie, indem Sie die beiden anderen addieren.

2 3 • 11

2 5 3

=

2 + 3

Das sieht dann so aus!

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 13 „Alles mit 11 bis 19 multiplizieren“ an.

Mit 11 bis 19multiplizieren

Kapitel 960

Versuchen Sie einmal, diese Übungsaufgaben selbst zu lösen:

34 • 11 =

41 • 11 =

32 • 11 =

62 • 11 =

81 • 11 =

53 • 11 =

Die richtigen Ergebnisse lauten: 374, 451, 352, 682, 891, 583.

Was passiert aber, wenn wir einen Übertrag haben? Rechnen wir als Beispiel 74 • 11.

74 • 11 4

4 + 0 = 4 (Die 0 ist der unsichtbare Nachbar.)

174 • 11 14

7 + 4 = 11, das heißt, wir schreiben 1 und halten 1 als Übertrag.

174 • 11814

0 + 7 = 7 + 1 (der Übertrag) = 8. Wir schreiben 8 und haben unser Ergebnis von 814.

Rechnen Sie nun einmal 65 • 11. Sie schreiben die 5 auf. Dann addieren Sie 6 + 5 = 11, notieren eine 1 und haben eine 1 als Übertrag. Anschließend addieren Sie 0 + 6 = 6 plus die 1 vom Übertrag und haben die 7. Ihr Ergebnis lautet 715. Ganz einfach, oder?

Üben Sie das Multiplizieren mit Übertrag einmal mit diesen Aufgaben:

84 • 11 =

94 • 11 =

67 • 11 =

77 • 11 =

48 • 11 =

79 • 11 =

Die richtigen Ergebnisse lauten: 924, 1034, 737, 847, 528, 869.


Nun gehen wir zu größeren Zahlen über, die aber genauso leicht zu rechnen sind wie die Aufga-ben mit zweistelligen Zahlen, die Sie gerade schon blitzschnell zu lösen gelernt haben!

Wie wäre es beispielsweise mit der Aufgabe 12345 • 11?

12345 • 115

Sie fangen wieder rechts an, rechnen die letzte Zahl plus ihren rechten Nachbarn: 5 + 0 = 5.

12345 • 11 95

4 + 5 = 9

12345 • 11 795

3 + 4 = 7

12345 • 11 5795

2 + 3 = 5

12345 • 1135795

1 + 2 = 3

12345 • 11135795

0 + 1 = 1

Das Ergebnis ist 135795.

Das war doch supereinfach, oder?

Regel

Um eine beliebige Zahl mit 11 zu multiplizieren, rechnen Sie die Zahl plus ihren rech-ten Nachbarn.

!

Kapitel 962

Rechnen wir nun noch eine Aufgabe mit einer größeren Zahl, bei der die Lösung zum Teil einen Übertrag haben wird: 34562 • 11

34562 • 11 2

Von hinten beginnen, die jeweilige Zahl plus ihren rechten Nachbarn: 2 + 0 = 2

34562 • 11 82

6 + 2 = 8

341562 • 11 182

5 + 6 = 11 (1 schreiben, 1 in den Übertrag)

3141562 • 11 0 182

4 + 5 = 9; 9+ 1 = 10 (0 schreiben, 1 in den Übertrag)

3141562 • 11 8 0 182

3 + 4 = 7; 7 + 1 = 8

3141562 • 1138 0 182

0 + 3 = 3

Das Ergebnis ist: 380182!

Übungsaufgaben:

35624 • 11 =

71563 • 11 =

28721 • 11 =

35942 • 11 =




Nun rechnen wir nach dem gleichen Prinzip, allerdings mit einer kleinen Variation der Regel: Um eine Zahl mit 12 zu multiplizieren, verdoppeln Sie jede einzelne Ziffer und addieren ihren rechten Nachbarn. Bei diesen Aufgaben werden Sie merken, wie sehr es Ihnen hilft, dass Sie das Verdoppeln der Zahlen schon so intensiv geübt haben, dass Sie es im Schlaf beherrschen.

Fangen wir wieder mit einer ganz leichten Aufgabe an: 23 • 12

23 • 12 6

Wir beginnen wieder von hinten, also nehmen wir zuerst die 3. Wir rechnen das Doppelte von 3 plus ihren rechten Nachbarn. Da sie keinen Nachbarn hat, ist es Doppel-3 = 6, also 6 + 0 = 6. Wir schreiben 6 auf.

23 • 1276

Als Nächstes ist die 2 an der Reihe. Wir rechnen das Doppelte von 2 plus ihren rechten Nachbarn: Doppel-2 = 4, also 4 + 3 = 7. Wir notieren 7.

23 • 12 276

Nun gibt es keine weitere Zahl, aber die 2 ist ein Nachbar. Also nehmen wir das Doppelte von 0 = 0 und rechnen 0 + 2 = 2 und notieren eine 2. Unser Ergebnis lautet demnach 276.

Rechnen wir jetzt 74 • 12.

74 • 12 8

Wir verdoppeln automatisch die Zahlen. Also 8 + 0 = 8 (die 0 ist der unsicht-bare Nachbar).

174 • 12 88

14 + 4 = 18, wir schreiben 8 und halten 1 als Übertrag.

174 • 12 888

0 + 7 = 7 + 1 (der Übertrag) = 8. Wir schreiben 8 und haben unser Ergebnis von 888.

Übungsaufgaben:

55 • 12 = 84 • 12 =

63 • 12 = 32 • 12 =

44 • 12 = 76 • 12 =

Die richtigen Ergebnisse sind: 660, 756, 528, 1008, 384 und 912.

Kapitel 964

Jetzt gehen wir einen Schritt weiter und rechnen wieder mit großen Zahlen. Als Beispiel nehmen wir die gleiche Zahl wie bei der Multiplikation mit 11 : 12345 • 12. Versuchen Sie wieder, die Zah-len automatisch im Kopf zu verdoppeln.

123415 • 12 0

Von hinten beginnen, das Doppelte der Zahl plus den Nachbarn: 10 + 0 = 10, schreiben Sie 0 auf und 1 in den Übertrag.

1231415 • 124 0

8 + 5 = 13 + 1 (der Übertrag) = 14 (4 notieren, 1 in den Übertrag)

12131415 • 121 4 0

6 + 4 = 10 + 1 (der Übertrag) = 11 (1 notieren, 1 in den Übertrag)

12131415 • 128 1 4 0

4 + 3 = 7 + 1 (der Übertrag) = 8

12131415 • 12 48 1 4 0

2 + 2 = 4

12131415 • 12148 1 4 0

0 + 1 = 1

Das Ergebnis ist: 148140!

Übungsaufgaben:

35124 • 12 = 28721 • 12 =

23232 • 12 = 35142 • 12 =


Sollte Ihnen das noch Schwierigkeiten bereiten, sollten Sie weiter mit den Spiel karten üben. Es lohnt sich!


Jetzt sind wir fast am Ende dieser Lektion angelangt, und Sie können jetzt sogar gigantische Zahlen mit 11 oder 12 multiplizieren. Glauben Sie nicht? Versuchen Sie sich doch einmal an den folgenden beiden Aufgaben oder erfinden Sie einfach selbst eine riesige Aufgabe, die kein Taschenrechner lösen kann:

2341728153 • 11 =

2341728153 • 12 =


25759009683 und 28100737836

Sehen Sie – Sie selbst sind doch der beste aller Taschenrechner!

9.3 Zahlen mit 13 und aufwärts multiplizieren

Wir haben gerade Zahlen mit 11 und 12 multipliziert. Natürlich geht das auch genauso einfach mit etwas größeren Zahlen wie 13, 14, 15 etc. Dazu müssen wir wieder nach dem gleichen Prin-zip wie bisher vorgehen, nur ändert sich erneut eine Kleinigkeit an unserer Rechenregel: Um eine Zahl mit 13 zu multiplizieren, verdreifachen Sie jede einzelne Ziffer und addieren ihren rechten Nachbarn.

Fällt Ihnen ein Muster auf? Bei der 12 haben wir die Zahlen immer verdoppelt, bei der 13 müssen wir nun verdreifachen. Was glauben Sie machen wir dann bei 14 oder 15? Genau! Wir vervierfa-chen beziehungsweise verfünffachen die Zahlen – und addieren den rechten Nachbarn. Also ei-gentlich rechnen wir immer den Einer von 11, 12, 13, 14, 15, 16 bis 19, multiplizieren die jeweilige Zahl damit und addieren dann ihren rechten Nachbarn.

Damit Sie sich aber nicht neun Merksätze einprägen müssen, gibt es einen, der auf alle diese Aufgaben passt. Hier noch einmal ein Beispiel für einen mega- memory-Merksatz, den Sie nun nutzen können, wenn Sie die Baumliste aus Kapitel 1 gelernt haben. Lassen Sie sich nicht verwirren, denn auch hier gilt: Übung macht den Meister:

In dieser Rechnung haben Sie ganz viele Leute: vom Fußballer (11) bis zum Abendessen (19). Diese haben ein Schlusselloch (multiplizieren). Der Nachbar ist an die Leute gekettet und vergisst den Ersten nicht!

Kapitel 966

Nun rechnen wir ein paar Aufgaben zusammen: 4352 • 13

4352 • 13 6

Beginnen Sie wieder von hinten, das Dreifache der Zahl plus den Nach-barn: 3 • 2 = 6 + 0 = 6

4352 • 13 76

15 (3 • 5) + 2 = 17 (7 aufschreiben, 1 in den Übertrag)

4352 • 13 576

9 + 5 = 14 + 1 (Übertrag) = 15 (5 notieren, 1 in den Übertrag)

4352 • 136576

12 + 3 = 15 + 1 (Übertrag) = 16 (6 aufschreiben, 1 in den Übertrag)

4352 • 1356576

0 + 4 = 4 + 1 (Übertrag) = 5


Nach dem gleichen Prinzip geht das beim Multiplizieren mit den Zahlen 14 bis 19. Mit dem Un-terschied, dass Sie das Vierfache der Zahl plus ihren rechten Nachbarn rechnen (bei der Multipli-kation mit 14), das Siebenfache plus den Nachbarn bei der 17 etc. Üben Sie das einfach an ein paar Beispielen in den Übungsaufgaben.

Übungsaufgaben:

2435 • 14 =

6735 • 15 =

4372 • 16 =

6577 • 17 =

2534 • 18 =

5682 • 19 =


1


Kapitel 10

10. Alles mit 6, 7, 8 und 9 multiplizieren

In diesem Kapitel4 multiplizieren wir große Zahlen mit 6, 7, 8 und 9. Wir rechnen diese Aufgaben wieder von rechts nach links, weil das am Anfang mit den Überträgen einfacher ist. In diesem Kapitel lernen Sie zuerst die notwendigen zwei beziehungsweise drei Schritte, im Anschluss daran rechnen wir zwei Aufgaben gemeinsam. Anschließend folgen wie immer noch ein paar Übungsaufgaben. Bei den Aufgaben „• 8“ und „• 9“ kommt unser Sutra Nr. 2 „Alle von 9 und die Letzte von 10“ wieder zum Einsatz.


Wenn wir Zahlen mit 6 multiplizieren, sind dazu zwei Schritte notwendig:Wir rechnen die Zahl plus die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Wir addieren 5, wenn die Zahl ungerade ist. Wenn der rechte Nachbar ungerade ist, lassen wir alles hinter dem Komma fallen oder nehmen einfach die Hälfte der nächstkleineren Zahl.

Nehmen wir als Beispiel 45678 • 6.

45678 • 68

8 + 0 (die Hälfte des rechten Nachbarn 0 ist 0) = 8

456178 • 668

7 + 5 (plus 5, weil die Zahl ungerade ist) + 4 (die Hälfte des rechten Nach-barn 8 ist 4) = 7 + 5 + 4 = 16. Schreiben Sie eine 6 auf, nehmen Sie eine 1 in den Übertrag.

4516178 • 60 68

6 + 3 (die „Hälfte“ von 7) = 9 + 1 (Übertrag) = 10. Notieren Sie 0, nehmen Sie 1 in den Übertrag.

41516178 • 6 4 0 68

5 + 5 (plus 5, weil die Zahl ungerade ist) + 3 (die Hälfte von 6) + 1 (Über-trag) = 5 + 5 + 3 + 1 = 14. Schreiben Sie eine 4 auf, 1 geht in den Übertrag.

41516178 • 67 4 0 68

4 + 2 (die „Hälfte“ von 5) + 1 (Übertrag) = 4 + 2 + 1 = 7

41516178 • 6274068

0 + 2 (die Hälfte von 4) = 2


Sehen Sie sich nun Video eKapitel 14 „Alles mit 6 multiplizieren!“ an.

4 Leider gibt es kein Buch von Jakow Trachtenberg auf Deutsch. Aus diesem Grund habe ich ein paar seiner genialen Methoden aus folgendem Buch hier mit eingefügt: The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics, translated and adapted by Ann Cutler and Rudolph McShane, London, 1962, S. 28–49

Alles mit 6 multiplizieren

Kapitel 1068

Jetzt rechnen wir noch eine Aufgabe zusammen:

87654 • 6

87654 • 64

4 + 0 (die Hälfte des rechten Nachbarn 0 ist 0) = 4

876154 • 6 24

5 + 5 (weil die Zahl ungerade ist) + 2 (die Hälfte von 4)= 12

876154 • 6 9 24

6 + 2 (die „Hälfte“ von 5) + 1 (vom Übertrag) = 9

8176154 • 659 24

7 + 5 (weil die Zahl ungerade ist) + 3= 15

8176154 • 6 2 59 24

8 + 3 + 1 = 12

18176154 • 652 59 24

0 + 4 + 1= 5


Übungsaufgaben:

47392 • 6 =

91825 • 6 =

72834 • 6 =

Die richtigen Ergebnisse sind 284352, 550950 und 437004.



Wenn wir eine Zahl mit 7 multiplizieren, gelten wieder zwei Regeln:

Verdoppeln Sie die Zahl und addieren Sie 5, wenn die Zahl ungerade ist. Addieren Sie die „Hälfte“ ihres rechten Nachbarn.

Zuerst rechnen wir 45678 • 7: Wir beginnen mit der letzten Ziffer, hier die 8.

456718 • 7 6

16 + 0 (Doppel-8 plus die „Hälfte“ von 0, da neben der 8 keine weitere Ziffer steht) = 16. Schreiben Sie 6 auf, eine 1 geht in den Übertrag.

4562718 • 7 4 6

14 + 5 (Doppel-7 plus 5, weil 7 ungerade ist) + 4 (die Hälfte von 8) + 1 (Übertrag) = 14 + 5 + 4 + 1 = 24. Notieren Sie eine 4, diesmal geht eine 2 in den Übertrag.

45162718 • 7 7 4 6

12 + 3 (Doppel-6 plus die „Hälfte“ von 7) + 2 (Übertrag) = 12 + 3 + 2 = 17. Schreiben Sie 7 auf, nehmen Sie 1 in den Übertrag.

415162718 • 79 7 4 6

10 + 5 (Doppel-5 plus 5, weil die Zahl ungerade ist) + 3 (die Hälfte von 6) + 1 (Übertrag) = 10 + 5 + 3 + 1 = 19. Notieren Sie 9 und nehmen Sie eine 1 in den Übertrag.

1415162718 • 7 1 9 7 4 6

8 + 2 (Doppel-4 und die „Hälfte“ von 5) + 1 (Übertrag) = 8 + 2 + 1 = 11. Schreiben Sie 1 auf, 1 geht in den Übertrag.

1415162718 • 731 9 7 4 6

0 + 2 (Doppel-0 gleich 0 plus die Hälfte von 4) + 1 (Übertrag) = 2 + 1 = 3


Sehen Sie sich nun Video eKapitel 15 „Alles mit 7 multiplizieren“ an.

Alles mit 7 multiplizieren

Kapitel 1070

Eine weitere Aufgabe rechnen wir noch gemeinsam. Sprechen Sie die Schritte bitte in Gedanken mit.

Die Aufgabe lautet: 87654 • 7

87654 • 78

8 (Doppel-4) + 0 (da es keinen Nachbarn gibt) = 8

876154 • 7 78

10 (Doppel-5) + 5 (weil die Zahl ungerade ist) + 2 (die Hälfte von 4) = 17

8716154 • 7 5 78

12 (Doppel-6) + 2 (die „Hälfte“ von 5) + 1 (der Übertrag) = 15

82716154 • 7 3 5 78

14 (Doppel-7) + 5 (weil die Zahl ungerade ist) + 3 (die Hälfte von 6) + 1 (der Übertrag) = 23

82716154 • 71 3 5 78

16 + 3 + 2 = 21

282716154 • 76 1 3 5 78

0 (weil es keine Zahl mehr gibt) + 4 (die Hälfte von 8) + 2 (der Übertrag) = 6

Das Ergebnis lautet 613578.

Übungsaufgaben:

47392 • 7 =

91825 • 7 =

72834 • 7 =




Nun wenden wir das Sutra Nr. 2 an: „ Alle von 9 und die Letzte von 10 “

Wenn wir eine Zahl mit 8 multiplizieren, gelten drei Regeln: Ziehen Sie die letzte Ziffer von 10 ab und verdoppeln Sie das Ergebnis. Ziehen Sie alle weiteren Ziffern von 9 ab, verdoppeln Sie das Ergebnis und addieren den

rechten Nachbarn. Von der ersten Ziffer ziehen Sie 2 ab.

Zuerst rechnen wir 45678 • 8.

45678 • 84

10 – 8 = 2, Doppel-2 = 4.

456178 • 824

9 – 7 = 2, Doppel-2 = 4 + 8 (Nachbar) = 12. Schreiben Sie 2 auf, 1 in den Übertrag.

4516178 • 84 24

9 – 6 = 3, Doppel-3 = 6 + 7 (Nachbar) = 13 + 1 (Übertrag) = 14. Schreiben Sie 4 auf, 1 in den Übertrag.

41516178 • 85 4 24

9 – 5 = 4, Doppel-4 = 8 + 6 (Nachbar) + 1 (Übertrag) = 8 + 6 + 1 = 15. Die 5 notieren, 1 in den Übertrag.

141516178 • 8 6 5 4 24

9 – 4 = 5, Doppel-5 = 10 + 5 (Nachbar) + 1 (Übertrag) = 10 + 5 + 1 = 16. Schreiben Sie 6 auf, 1 in den Übertrag.

141516178 • 836 5 4 24

4 – 2 (die erste Ziffer minus 2) + 1 (Übertrag) = 3



Wichtig für Eltern und Lehrer

Beachten Sie bitte, dass die Schreibweise nicht den üblichen Mathematikrechen-schritten entspricht, sondern die eigenen Gedanken symbolisieren soll. Also so, wie Sie im Kopf rechnen würden – das ist schließlich auch unser Ziel.

!

Alles mit 8multiplizieren

Kapitel 1072

Noch eine weitere Beispielaufgabe, allerdings ohne einzelne Rechenschritte, sondern nur mit den entsprechenden Zahlen.

Berechnen Sie 87654 • 8.

876514 • 82

10 – 4 = 6 è 12

8761514 • 8 3 2

9 – 5 = 4 è 8 + 4 + 1 = 13

87161514 • 8 2 3 2

9 – 6 = 3 è 6 + 5 + 1 = 12

817161514 • 8 1 2 3 2

9 – 7 = 2 è 4 + 6 + 1 = 11

1817161514 • 8 0 1 2 3 2

9 – 8 = 1 è 2 + 7 + 1 = 10

1817161514 • 87 0 1 2 3 2

8 – 2 + 1 = 7


Übungsaufgaben:

47392 • 8 =

91825 • 8 =

72834 • 8 =

Deine Ergebnisse sind: 379136, 734600, 582672.



Auch hier verwenden wir wieder das Sutra 2: „Alle von 9 und die Letzte von 10“

Wenn wir eine Zahl mit 9 multiplizieren wollen, gelten wieder drei Regeln: Ziehen Sie die letzte Zahl von 10 ab. Ziehen Sie die anderen Zahlen von 9 ab und addieren Sie den rechten Nachbarn. Ziehen Sie von der ersten Ziffer der Zahl eine 1 ab.

Zuerst rechnen wir 45678 • 9.

45678 • 92

10 – 8 = 2

456178 • 9 02

9 – 7 = 2 + 8 (Nachbar) = 10. Schreiben Sie die 0 auf, 1 geht in den Übertrag.

4516178 • 9 1 02

9 – 6 = 3 + 7 (Nachbar) = 10 + 1 (Übertrag) = 11. Schreiben Sie 1 auf, 1 geht in den Übertrag.

41516178 • 9 1 1 02

9 – 5 = 4 + 6 (Nachbar) + 1 (Übertrag) = 4 + 6 + 1 = 11. Eine 1 notieren, eine 1 in den Übertrag.

141516178 • 9 1 1 1 02

9 – 4 = 5 + 5 (Nachbar) + 1 (Übertrag) = 5 + 5 + 1 = 11. Eine 1 notieren, eine 1 in den Übertrag.

141516178 • 94 1 1 1 02

4 – 1 + 1 (Übertrag) = 4



Alles mit 9multiplizieren

Kapitel 1074

Bei der nächsten Aufgabe sind nicht mehr alle einzelnen Rechenschritte im Detail, sondern nur die Zahlen angegeben.

Die Aufgabe lautet: 87654 • 9

87654 • 96

10 – 4 = 6

87654 • 986

9 – 5 = 4 + 4 = 8

87654 • 9886

9 – 6 = 3 + 5 = 8

87654 • 9 8886

9 – 7 = 2 + 6 = 8

87654 • 988886

9 – 8 = 1 + 7 = 8

87654 • 9788886

8 – 1 = 7


Übungsaufgaben:

47392 • 9 =

91825 • 9 =

72834 • 9 =


11. Multiplizieren mit Basis unter/über 100 75

Kapitel 11

11. Multiplizieren mit Basis unter/über 100

Dieses Kapitel ist sehr einfach, denn das Prinzip ist das Gleiche wie in Kapitel 9, nur eben mit größeren Zahlen. Dennoch rechnen wir im Grunde wieder nur mit kleinen Zahlen, was der ei-gentliche Clou an dieser Methode ist. Also: Keine Angst vor großen Zahlen! Wie bei den anderen Aufgaben mit Basis, verwenden wir wieder das 2. Sutra: „Alle von 9 und die Letzte von 10“.

11.1 „Schwierige“ Zahlen unter der Basis multiplizieren

Lassen Sie uns zum Beispiel 98 • 99 rechnen. Dazu nehmen wir 100 als Basis. Jetzt ist wieder die Frage: Wie viel fehlt von jeder der beiden Zahlen bis zur 100? Bei 98 fehlen 2 und bei 99 fehlt 1. Weil die beiden Zahlen unter der Basis sind und wir daher Minus rechnen müssen (100 – 98), schreiben wir das Minus auch vor die beiden Zahlen. So vergessen wir im nächsten Schritt auch nicht, welche Rechenart wir verwenden müssen.

Basis 100 98 • 99

–02 –01

Als Nächstes rechnen wir über Kreuz, entweder 98 – 01 oder 99 – 02. Da beides das Gleiche ergibt, können Sie die für Sie leichtere Rechnung wählen. Das bedeutet also: 97 ist der erste Teil der Lösung. Beide Teile der Lösung haben immer so viele Stellen wie die Basis Nullen besitzt. In unserer Aufgabe also jeweils zwei Stellen.

Basis 100 98 • 99 = 97

–02 –01

Im nächsten Schritt multiplizieren wir die beiden unteren Zahlen miteinander: –02 • –01 = 02.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 18 „,Schwierige‘ Zahlen unter und über der Basis multiplizieren“ an.

Wichtig

Die zweite Hälfte des Ergebnisses muss immer genauso viele Stellen haben wie die Basiszahl Nullen hat! Eine Basiszahl ist immer eine Zahl mit einer Eins vorne und Nul-len dahinter, also 10, 100, 1000, 10000 etc.

!

„schwierige“ Zahlenmultiplizieren

Kapitel 1176

In unserem Fall also zwei. Aus diesem Grund hängen wir schon bei der Rechnung jeweils eine Null vor die einstelligen Zahlen.

Basis 100 98 • 99 = 97/02= 9702

–02 –01

9702 ist demnach unser Ergebnis. Die konventionelle Rechenmethode ist sehr viel aufwendiger zu rechnen und birgt viel mehr Fehlerquellen. Sehen Sie selbst:

99 • 9 889

8 1

0 7 972

9171 0 2

Bei der eben gelernten Methode gibt es nie so große Überträge wie beim herkömmlichen Re-chenweg, und meist können Sie in einer Zeile direkt das Ergebnis aufschreiben. Sie müssen sich nur die Regeln merken – und das erleichtern Ihnen die mega-memory-Merksätze!

Rechnen Sie nun diese Aufgabe mit etwas weniger Hilfe: 89 • 97

Die Basiszahl ist wieder 100, also schreiben Sie die Differenzen unter die Aufgabe. Bei einer ein-stelligen Differenz schreiben Sie eine 0 vor das Ergebnis.

Basis 100 89 • 97 = =

–11 –03

Zuerst rechnen Sie über Kreuz: entweder 89 – 03 oder 97 – 11. Nehmen Sie immer die Aufgabe, für die Sie am schnellsten das Ergebnis im Kopf haben. Beide ergeben 86 – das ist die erste Hälfte der Lösung.

Basis 100 89 • 97 = 86/ =

–11 –03

Ein Beispiel für einen solchen Merksatz wäre: Sie haben ein Loch (der Punkt vom Mul-tiplizieren), dieses steht auf dem Boden, das ist die Basis (Basiszahl). Unsere beiden Zahlen: Susanne und Peter streiten, sie haben eine Differenz. Peter nimmt Susannes Differenz (plus oder minus). Zuletzt multiplizieren sich die Differenzen.


Als Nächstes multiplizieren Sie die Differenzen –11 • –03 = 33 und schreiben 33 als zweite Hälfte Ihres Ergebnisses auf.

Basis 100 89 • 97 = 86/33 = 8633

–11 –03

Demnach ist 8633 das richtige Ergebnis!

Das Ganze funktioniert natürlich auch mit größeren Zahlen, solange sie in der Nähe einer Basiszahl (10, 100, 1000 etc.) liegen. Um Ihnen das zu beweisen, rechnen wir folgende Aufgabe: 997 • 996. Beide Zahlen sind unter 1000, daher wird diese nun natürlich unsere Basis. Wir berechnen die Differenz und sparen uns so das Multiplizieren mit den großen Zahlen!

Basis 1000 997 • 996 = =

–003 –004

Wir rechnen wieder über Kreuz: 997 – 004 oder 996 – 003 = 993. Wir schreiben 993 als erste Hälfte unseres Ergebnisses auf.

Basis 1000 997 • 996 = 993/ =

–003 –004

Jetzt multiplizieren wir die beiden Differenzen: –003 • –004 = 012 und notieren dies als zweite Hälfte unseres Ergebnisses.

Basis 1000 997 • 996 = 993/012 = 993012

–003 –004

Das Endergebnis lautet 993012.

Als letztes Beispiel rechnen wir 988 • 998. Wir schreiben die Differenzen unter die Aufgabe, das sind –012 und –002.

Basis 1000 988 • 998 = =

–012 –002

Kapitel 1178

Wir rechnen über Kreuz: 988 – 002 oder 998 – 012, ergibt 986, und wir notieren dies als erste Hälfte unseres Ergebnisses.

Basis 1000 988 • 998 = 986/ =

–012 –002

Nun kommen wir zum letzten Schritt und multiplizieren unsere Differenzen: –012 • –002 = 024.

Basis 1000 988 • 998 = 986/024 = 986024

–012 –002

986024 ist das Ergebnis.

Übungsaufgaben:

88 • 94 =

96 • 99 =

998 • 989 =

9996 • 9988 =



11.2 „Schwierige“ Zahlen über der Basis multiplizieren

Wir rechnen nun wieder nach dem gleichen Prinzip, aber mit Zahlen über der Basis. Wie bei den anderen Aufgaben mit Basis verwenden wir wieder das 2. Sutra: „Alle von 9 und die Letzte von 10“.

Rechnen Sie nun diese Aufgabe mit mir zusammen: 103 • 102 Die Basiszahl ist wieder 100, also schreiben Sie die Differenzen unter die Aufgabe. Bei einer einstelligen Differenz schreiben Sie eine 0 vor das Ergebnis.

Basis 100 103 • 102 = =

+03 +02

Zuerst rechnen Sie über Kreuz: entweder 103 + 02 oder 102 + 03. Beide ergeben 105 – das ist die erste Hälfte der Lösung.

Basis 100 103 • 102 = 105/ =

+03 +02

Als Nächstes multiplizieren Sie die Differenzen +03 • +02 = 06 und schreiben 06 als zweite Hälfte Ihres Ergebnisses auf.

Basis 100 103 • 102 = 105/06 = 105 06

+03 +02

Demnach ist 10506 das richtige Ergebnis!

Das Ganze funktioniert wie bei den Aufgaben unter der Basiszahl auch mit größeren Zahlen, solange sie in der Nähe einer Basiszahl (10, 100, 1000 etc.) liegen. Um Ihnen das zu beweisen, rechnen wir folgende Aufgabe: 1005 • 1003. Beide Zahlen liegen über 1000, daher wird diese natürlich nun unsere Basis.

Basis 1000 1005 • 1003 = =

+005 +003

Wir rechnen wieder über Kreuz: 1005 + 003 oder 1003 + 005 = 1008. Wir schreiben 1008 als erste Hälfte unseres Ergebnisses auf.

Basis 1000 1005 • 1003 =1008/ =

+005 +003

Kapitel 1180

Jetzt multiplizieren wir die beiden Differenzen: +005 • +003 = 015 und notieren dies als zweite Hälfte unseres Ergebnisses.

Basis 1000 1005 • 1003 = 1008/015 = 1008015

+005 +003

Das Endergebnis lautet 1008015.

Als letztes Beispiel rechnen wir 1012 • 1002. Wir schreiben die Differenzen unter die Aufgabe, das sind +012 und +002.

Basis 1000 1012 • 1002 = =

+012 +002

Wir rechnen über Kreuz: 1012 + 002 oder 1002 + 012, ergibt 1014, und wir notieren dies als erste Hälfte unseres Ergebnisses.

Basis 1000 1012 • 1002 = 1014/ =

+012 +002

Nun kommen wir zum letzten Schritt und multiplizieren unsere Differenzen: +012 • +002 = 024.

Basis 1000 1012 • 1002 = 1014/024 = 1014024

+012 +002

1014024 ist das Ergebnis.

Übungsaufgaben:

103 • 111 =

105 • 108 =

1003 • 1011 =

1007 • 1006 =


12. Zahlen über und unter der Basis multiplizieren 81

Kapitel 12

12. Zahlen über und unter der Basis multiplizieren

In diesem Kapitel arbeiten wir zum ersten Mal mit dem vedischen „Vinculum“. Das ist die umge-drehte Zahl, so etwas wie eine negative Zahl, aber doch anders. Mit Vinculum-Zahlen haben Sie eigentlich schon in Kapitel 4 beim Subtrahieren gerechnet. Dort haben Sie auch gelernt, wie Sie diese Zahlen wieder umdrehen: mit dem Sutra 2 „Alle von 9 und die Letzte von 10“. Vinculum bedeutet „Defizienz“ oder „Fehlmenge“ und wird nur im vedischen System verwendet. Als erstes Beispiel rechnen wir gemeinsam folgende Aufgabe: 98 • 103. Zunächst gehen wir ge-nauso vor wie bei den bisherigen Aufgaben und bestimmen unsere Basis: Das ist natürlich 100, da beide Zahlen in der Nähe der 100 sind. Wie Sie auf den ersten Blick erkennen, liegt diesmal eine Zahl unter der Basis und die andere darüber. Als Nächstes errechnen wir die Differenz zur 100 für beide Zahlen. Das ergibt –02 für die 98, da sie unter der 100 liegt, und +03, da 103 über 100 liegt. Schreiben Sie sowohl die Nullen als auch das Plus- oder Minuszeichen vor die Zahlen, das hilft Ihnen beim Rechnen über Kreuz und zeigt Ihnen zudem auf einen Blick an, wann Sie es mit Vinculum-Zahlen zu tun haben und sich der Rechenweg verändert.

Basis 100 98 • 103

–02 +03

Wir rechnen über Kreuz 98 + 03 oder 103 – 02, beides ergibt 101. Somit ist 101 die erste Hälfte unseres Ergebnisses.

Basis 100 98 • 103 = 101/

–02 +03

Jetzt rechnen wir –02 • +03. Das ergibt die Vinculum5-Zahl 06. Diese schreiben wir so auf: 06, mit einem Strich über der Zahl.

Basis 100 98 • 103 = 101/06

–02 +03

Im letzten Schritt lösen wir unsere Zahl auf – erinnern Sie sich noch an die Schritte? Die Ziffer vor der Vinculum-Zahl wird –1 gerechnet und dann folgt „Alle von 9 und die Letzte von 10“. Das heißt, wir rechnen zuerst 101 – 1 = 100.

Basis 100 98 • 103 = 101/06= 100

–02 +03

5 Vinculum-Zahlen sind „Fehlmengen“, also so eine Art Minuszahlen, und einzigartig in der vedischen Mathematik. Wenn Sie jetzt schon mehr darüber erfahren möchten, springen Sie zu Kapitel 17.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 19 „Zahlen über und unter der Basis multiplizieren“ an.

Über und unter der Basis multiplizieren

Kapitel 1282

Von 0 bis 9 fehlen 9 und von 6 bis 10 (die letzte Ziffer) fehlen 4. Also wird die 06 zur 94.

Basis 100 98 • 103 = 101/06= 100/94

–02 +03

Unser Endergebnis lautet also 10094.

Rechnen wir gleich noch einmal eine ähnliche Aufgabe zusammen: 111 • 95. Bestimmen Sie zuerst die Basis und die Differenzen.

Basis 100 111 • 95 = =

+11 –05

Wir rechnen 111 – 05 oder 95 + 11, beides ergibt 106.

Basis 100 111 • 95 = 106/=

+11 –05

Als Nächstes rechnen wir +11 • – 05 = 55.

Basis 100 111 • 95 = 106/55=

+11 –05

Jetzt drehen wir die Vinculum-Zahl um: 106 – 1 = 105, für die zweite Hälfte: 9 – 5 = 4 und 10 – 5 = 5.

Basis 100 111 • 95 = 106/55= 105/45

+11 –05

Unser Ergebnis lautet 10545.

12. Zahlen über und unter der Basis multiplizieren 83

Wie Sie sich bestimmt denken können, macht es für uns spätestens jetzt keinen Unterschied mehr, ob wir mit großen oder kleinen Zahlen rechnen. Rechnen wir einfach so zum Spaß noch 1012 • 997. Diese Aufgabe mit der herkömmlichen Methode zu lösen, dauert sicher eine Weile – mit der vedischen Methode haben Sie im Nu das richtige Ergebnis.

Unsere Basis ist 1000, wir berechnen die Differenzen: +012 und –003.

Basis 1000 1012 • 997 = =

+012 –003

Jetzt wieder über Kreuz: 1012 – 003 oder 997 + 012, beides ergibt 1009. Schon haben wir fast die Hälfte des Ergebnisses.

Basis 1000 1012 • 997 = 1009/=

+012 –003

Wir multiplizieren +012 • –003 = 036, das ist die Vinculum-Zahl.

Basis 1000 1012 • 997 = 1009/036=

+012 –003

Zuletzt drehen wir die Vinculum-Zahl um: 1009 – 1 = 1008. Dann 9 – 0 = 9 sowie 9 – 3 = 6 und 10 – 6 = 4.

Basis 1000 1012 • 997 = 1009/036= 1008/964

+012 -003

Das richtige Ergebnis ist 1008964. Hätten Sie gedacht, dass es Ihnen einmal so leichtfallen würde, solch schwierige Multiplikationsaufgaben in Windeseile zu lösen?

Übungsaufgaben:

122 • 98 =

95 • 107 =

1112 • 999 =

1007 • 993 =


Kapitel 1384

Kapitel 13

13. Multiplizieren mit Arbeitsbasis

Aber was passiert bei Zahlen, die nicht in der Nähe einer Basis liegen? Nun, auch in diesem Fall gibt es natürlich eine Möglichkeit: Man verwendet eine „Arbeitsbasis“ oder „Zwischenbasis“. Das ist eine Zahl, durch welche die Hauptbasis teilbar ist, zum Beispiel 50, 25, 20 etc.

Rechnen wir einfach drauflos, ohne viele Erklärungen vorab. Unsere Aufgabe ist 53 • 48. Beide Zahlen liegen in der Nähe von 50. 50 ist entweder 100 : 2 oder 10 • 5, die Basiszahl ist also entwe-der 100 oder 10. Für diese Rechnung entscheiden wir uns für 10 als Basis und 50 als Arbeitsbasis. Das ist wichtig, denn so wissen wir, wie viele Stellen die rechte Seite unseres Ergebnisses haben muss, in diesem Fall eine Stelle.

Zuerst bestimmen wir die Differenzen: +3 und –2. Da die rechte Seite des Ergebnisses nur eine Stelle haben wird, können wir auf zusätzliche Nullen verzichten. Die unterschiedlichen Vorzei-chen deuten zudem an, dass wir später eine Vinculum-Zahl erhalten, die wir am Ende der Rech-nung noch auflösen müssen.

Basis 50 (10 • 5) 53 • 48 = =

+3 –2

Wir rechnen diagonal 53 – 2 oder 48 + 3, beides ergibt 51. Das notieren wir als Zwischenergebnis.

Basis 50 (10 • 5) 53 • 48 = 51=

+3 –2

Als Nächstes multiplizieren wir die Differenzen: +3 • –2= 6. Auch diese Vinculum-Zahl notieren wir als Zwischenergebnis. Wir sind aber noch nicht fertig!

Basis 50 (10 • 5) 53 • 48 = 51/6=

+3 –2

Die linke Hälfte unseres Ergebnisses (bei diesen Aufgaben mit Arbeitsbasis ist es immer nur die linke Hälfte!) muss nun noch mit 5 multipliziert werden. Warum? Weil wir die Aufgabe so gerech-net haben, als ob die Basis 10 wäre. Um auf die 50 zu kommen, rechnen wir also 51 • 5 = 255. Gut, dass Sie mit der vedischen Methode jede beliebige Zahl ganz leicht mit 5 multiplizieren können! Falls Sie noch einmal spicken müssen, schauen Sie in Kapitel 2 nach.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 20 „Multiplizieren mit Arbeitsbasis“ an.

Multiplizieren mit Arbeitsbasis

13. Multiplizieren mit Arbeitsbasis 85

Basis 50 (10 • 5) 53 • 48 = 51/6= 255/6

+3 –2

Im letzten Schritt lösen wir die Vinculum-Zahl auf. 255 – 1 = 254 und 10 – 6 = 4, da für die 6 schon der Teil „… und die Letzte von 10“ des Sutras Nr. 2 gilt.

Basis 50 (10 • 5) 53 • 48 = 51/6= 255/6

+3 –2 = 254/4

2544 ist das endgültige Ergebnis.

Als Nächstes rechnen wir eine Aufgabe mit 20 als Arbeitsbasis, als Basis legen wir 100 fest, das heißt, wir erhalten unsere Arbeitsbasis durch 100 : 5. Wir bestimmen die Differenzen: +07 und +08.

Basis 20 (100 : 5) 27 • 28 = =

+07 +08

Wir rechnen über Kreuz 27 + 8 oder 28 + 7, beides ergibt 35.

Basis 20 (100 : 5) 27 • 28 = 35/=

+07 +08

Da 100 unsere eigentliche Basis ist, besitzt die zweite Hälfte unseres Ergebnisses zwei Stellen. Wir multiplizieren +07 • +08 = 56.

Basis 20 (100 : 5) 27 • 28 = 35/56=

+07 +08

Zuletzt teilen wir die linke Seite des Zwischenergebnisses durch 5 (35 : 5 = 7), und schon haben wir unsere Lösung.

Basis 20 (100 : 5) 27 • 28 = 35/56= 7/56

+07 +08

Das Ergebnis ist 756. Natürlich können Sie diese Aufgabe auch mit der Arbeitsbasis 20 (10 • 2) rechnen. Hier die gesamte Rechnung im Überblick:

Basis 20 (10 • 2) 27 • 28 = 35/56= 75/6

+7 +8

Zur Erklärung: Wenn Sie mit Basis 10 rechnen, erhalten Sie die 5 von 56 im Übertrag, da die rech-te Seite aufgrund der gewählten Basis nur eine Stelle haben darf. Sie multiplizieren also 35 • 2 = 70 plus 5 (vom Übertrag) und erhalten 75.

Kapitel 1386

Als letztes Beispiel rechnen wir noch eine Aufgabe, deren Arbeitsbasis 250 (1000 : 4) ist: 248 • 246. Wir bestimmen die Differenzen –002 und –004.

Basis 250 (1000 : 4) 248 • 246 = =

–002 –004

Wir rechnen über Kreuz 248 – 4 oder 246 – 2, beides ergibt 244.

Basis 250 (1000 : 4) 248 • 246 = 244/=

–002 –004

–002 • –004 = 008. Somit steht die rechte Seite des Ergebnisses fest.

Basis 250 (1000 : 4) 248 • 246 = 244/008=

–002 –004

Zuletzt teilen wir die linke Seite des Ergebnisses durch 4 und erhalten 61.

Basis 250 (1000 : 4) 248 • 246 = 244/008= 61/008

-002 -004

Jetzt steht unsere Lösung fest: 61008

Übungsaufgaben:

189 • 203 =

55 • 52 =

303 • 311 =

488 • 502 =


14. Multiplizieren: Vertikal und kreuzweise 87

Kapitel 14

14. Multiplizieren: Vertikal und kreuzweise

Dieses Kapitel ist sehr wichtig, da es eine der am meisten gebrauchte Rechenmethoden, das Sut-ra Nr. 3 „Vertikal und kreuzweise“, vorstellt: jede beliebige zweistellige Zahl mit einer anderen be-liebigen zweistelligen Zahl multiplizieren. Das Prinzip funktioniert natürlich auch bei sehr großen Zahlen, allerdings klappt das nur mit einiger Übung. Dennoch ist und bleibt dieser Rechenweg weniger aufwendig als die herkömmliche Methode.

Jetzt kommen wir zu einem Rechentrick, den Sie noch häufiger anwenden werden, denn zwei- und dreistellige Zahlen werden Sie sicher noch oft miteinander multiplizieren. Dieses Mal rechnen wir ganz direkt, ohne Basis oder Arbeitsbasis. Sie werden dabei mehrere Methoden kennenlernen, sodass Sie sich stets diejenige aussuchen können, die Ihnen am leichtesten fällt oder Ihnen am meisten Spaß macht.

Das erste Beispiel lautet 23 • 41. Bei dieser Aufgabe rechnen wir von hinten nach vorne, also von rechts nach links. Sie können natürlich auch andersherum rechnen, wenn Sie etwas geübt sind.Sehen wir uns als Erstes das Muster an, nach dem wir rechnen werden. Behalten Sie im Hinter-kopf: Wir fangen hinten an.

Das Rechenmuster sieht so aus:

Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3

Nun schreiben wir unsere Aufgabe, 23 • 41, noch einmal etwas anders auf:

2 3

4 1

3

Schritt 1 (vertikal): 3 • 1 = 3Wir notieren 3 in die unterste Zeile, das ist unsere Lösungszeile.

2 3

41 1

4 3

Schritt 2 (kreuzweise): 3 • 4 = 12 und 2 • 1 = 2Wir addieren 12 und 2 und erhalten 14. Die 1 landet im Übertrag, die 4 in der Lösungszeile.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 21 „Multiplizieren: Vertikal und kreuzweise“ an.

Multiplizieren vertikal und kreuzweise

Kapitel 1488

2 3

41 1

9 4 3

Schritt 3 (Vertial): 2 • 4 = 8, 8 + 1 (Übertrag) = 9Wir schreiben 9 auf und haben unser Ergebnis: 943

Die nächste Aufgabe versuchen wir nun ohne eingezeichnetes Rechenmuster: 45 • 31

4 5

3 1

5

Schritt 1: 5 • 1 = 5

4 5

31 1

9 5

Schritt 2: 4 • 1 = 4 und 5 • 3 = 15 4 + 15 = 19 (Denken Sie an den Übertrag für die 1)

4 5

31

1

1 3 9 5

Schritt 3: 4 • 3 = 12 + 1 (Übertrag) = 13Das Ergebnis ist 1395!

Mit dieser Methode können Sie auch einstellige Zahlen mit zweistelligen Zahl multiplizieren, wie zum Beispiel 42 • 7. Dazu schreiben Sie einfach eine 0 vor die 7, also 42 • 07 und rechnen wie gehabt nach dem bekannten Rechenmuster:

4 2

0 7

14

Schritt 1: 2 • 7 = 14 (die 1 in den Übertrag!)

4 2

02 7

9 14

Schritt 2: 4 • 7 = 28 und 2 • 0 = 0 + 1 (Übertrag) = 29 (die 2 in den Übertrag!)

4 2

02 7

2 9 14

Schritt 3: 4 • 0 = 0 + 2 (Übertrag) = 2Ihr Ergebnis ist 294!


Natürlich könnten Sie auf diese Weise auch Aufgaben wie 99 • 98 ausrechnen, aber ganz ehrlich: Dafür eignet sich die Methode mit Basiszahl viel besser, weil Sie damit viel schneller und einfa-cher zur Lösung kommen. Üben Sie das Multiplizieren mit diesem Rechenmuster trotzdem noch mit den folgenden Rechenaufgaben.

Übungsaufgaben:

33 • 22 =

43 • 16 =

53 • 34 =

21 • 72 =

44 • 4 =

63 • 24 =


Ein möglicher mega-memory-Merksatz wäre: An Ihrer Hand sind der Mittelfinger und der Ringfinger gekreuzt. So ergibt sich das Muster mit den Vertikalen rechts und links und dem Kreuz in der Mitte.

Kapitel 1490

14.1 Größere Zahlen mit Rechenmuster multiplizieren

Nun kommen wir zur Multiplikation von dreistelligen Zahlen nach unserem Rechenmuster. Dafür sollten Sie jedoch das Multiplizieren und Addieren im Kopf gut eingeübt haben. Sind Sie darin fit, können Sie bald jede beliebige Zahl mit einer anderen multiplizieren.Das Rechenmuster für dreistellige Zahlen ähnelt dem für zweistellige Zahlen, ergänzt um zwei weitere Schritte. Hier kommt wieder das 3. Sutra „Vertikal und kreuzweise“ zum Tragen. Das Re-chenmuster sieht so aus:

Lernen Sie das Muster anhand der folgenden Aufgabe kennen: 435 • 263. Wir beginnen wieder hinten mit dem Rechnen.

4 3 5

2 6 3

15

Schritt 1: 5 • 3 = 15Notieren Sie 5, die 1 geht in den Übertrag.

4 3 5

2 6 3

40 15

Schritt 2: Rechnen Sie über Kreuz. 5 • 6 = 30 und 3 • 3 = 9. Zusammen ergibt das 39, plus 1 vom Übertrag macht 40. Notieren Sie die 0 und schreiben Sie 4 in den Übertrag.

4 3 5

2 6 3

44 15

Schritt 3: Beim Stern rechnen Sie zweimal über Kreuz, einmal von oben nach unten. 5 • 2 = 10 und 4 • 3 = 12 und 3 • 6 = 18. Das macht zusammen 40, plus 4 vom Übertrag ergibt 44. Sie schreiben die 4 auf und nehmen die andere 4 in den Übertrag.

4 3 5

2 6 3

44 15

Schritt 4: Hier rechnen Sie jetzt wieder über Kreuz: 3 • 2 = 6 und 4 • 6 = 24 plus 4 (Übertrag) ist 34. Notieren Sie die 4, die 3 kommt in den Übertrag.

4 3 5

2 6 3

11 44 15

Schritt 5: Zuletzt rechnen Sie 4 • 2 = 8 plus 3 (aus dem Übertrag) ergibt 11. Notieren Sie die 11 in die Lösungs-zeile, und Sie haben das Endergebnis von 114405.

40

4034

4034


War doch gar nicht so schwer, oder? Mit dieser Methode, mit diesen fünf Schritten können Sie jede beliebige dreistellige Zahl mit einer anderen Zahl multiplizieren. Was aber, wenn Sie eine dreistellige Zahl mit einer zweistelligen Zahl multiplizieren wollen? Kein Problem: Notieren Sie vor der zweistelligen Zahl einfach eine 0. Wenn Sie also beispiels-weise 734 • 26 rechnen möchten, rechnen Sie nach dem eben gelernten Muster für dreistellige Zahlen und schreiben 734 • 023.

Versuchen wir uns doch gemeinsam an dieser Aufgabe!

734 • 023 =

7 3 4

0 2 3

12

4 • 3 = 12 Wir schreiben die 2 auf und nehmen die 1 in den Übertrag.

7 3 4

0 2 3

18 12

Wir rechnen über Kreuz: 3 • 3 = 9 und 2 • 4 = 8. Zusammen macht das 17, plus 1 (Übertrag) ist 18. Wir notieren die 8 in die Lösungszeile und nehmen die 1 in den Übertrag.

7 3 4

0 2 3

28 12

Wir rechnen den Stern: 7 • 3 = 21 und 3 • 2 = 6 und 0 • 4 = 0. Das macht zusammen 27, plus 1 ergibt 28. Wir schrei-ben die 8 auf und die 2 nehmen wir in den Übertrag.

7 3 4

0 2 3

16 28 12

Wir rechnen jetzt wieder über Kreuz: 7 • 2 = 14 und 0 • 3 = 0, 14 plus 2 ist 16. Wir schreiben die 6 auf und die 1 kommt in den Übertrag.

7 3 4

0 2 3

1 16 28 12

Zuletzt rechnen wir 7 • 0 = 0 plus 1 ergibt 1. Wir schreiben die 1 auf und erhalten unser Ergebnis: 16882.

Die nächste Aufgabe ist 789 • 654. Versuchen Sie es einmal ohne detaillierte Hilfestellung. Die Zwischenrechnungen und das Rechenmuster sind als Stütze noch in der Lösung eingetragen.

18

18

18

Kapitel 1492

7 8 9

6 5 4

36

9 • 4 = 36

7 8 9

6 5 4

80 36

8 • 4 = 32 9 • 5 = 4532 + 45 = 77 + 3 = 80

7 8 9

6 5 4

130 80 36

9 • 6 = 547 • 4 = 288 • 5 = 4054 + 28 + 40 = 122 + 8 = 130

7 8 9

6 5 4

96 130 80 36

8 • 6 = 48 7 • 5 = 35

48 + 35 = 83 + 13 =96

7 8 9

6 5 4

51 96 130 80 36

7 • 6 = 42 42 + 9 = 51


Übungsaufgaben:

573 • 824 = 248 • 933 =

735 • 648 = 654 • 635 =


15. Division durch 9 93

Kapitel 15

15. Division durch 9

Diese Lektion macht einfach nur Spaß, und Kinder – große wie kleine – finden es einfach toll, mit großen Zahlen jonglieren zu können. Solche Tricks bauen das Selbstbewusstsein auf und zeigen Ihrem Kind, dass es superclever ist. Hier kommt das Sutra Nr. 2 „Alle von 9 und die Letzte von 10“ wieder zum Einsatz, da wir hier eigentlich mit der 10 als Basis rechnen.

15.1 Jede beliebige Zahl einfach durch 9 dividieren

Das wird eine ganz spannende Sache: Eine Rechenmethode, mit der Sie jede beliebige Zahl durch 9 teilen können – ohne dividieren zu müssen. Denn bei diesem Rechentrick wird nur addiert. Das können schon die kleinsten Rechenakrobaten!

Also, fangen wir einfach an. Die Aufgabe lautet 321 : 9. Das schreiben wir dann so auf:

9 3 2 1 Jetzt rechnen wir im Zickzack, das ist für diese Aufgaben unser Rechen-muster. Die letzte Ziffer bestimmt den Rest oder die Zahl hinter dem Komma.

9 3 2 13

Zuerst ziehen wir die 3 herunter.

9 3 2 1

3 5

Als Nächstes addieren wir die 3 in der unteren Zeile und die 2 in der oberen Zeile: 3 + 2 = 5. Also notieren wir die 5 in der Lösungszeile.

Nun addieren wir die 5 und 1. Das ist der Rest, also Rest 6.

9 3 2 13 5 6

Das ist auch schon das Ergebnis! 35,6. Ganz genau wäre das Ergebnis 35,666666666666667). Die Kommazahl entspricht dem Rest, mit dem Grundschüler bei der Division rechnen. Für sie würde das Ergebnis dann lauten: 35 Rest 6.

Lassen Sie uns jetzt eine große Zahl nach dieser Methode durch 9 dividieren – es ist schließlich wirklich nicht schwer, oder?

mega memory® Merksatz: Eine geteilte (Division) Katze (Baumliste für 9) hat ein Zickzack-Muster auf dem Schwanz (der wie eine 9 geringelt ist). Wenn man etwas durch 9 teilt, muss man das Zickzackmuster rechnen! Hilft Ihnen das?

!

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 22 „Alles einfach durch 9 dividieren“ an.

durch 9dividieren

6 Wenn man 18 : 9 rechnet, will man eigentlich wissen, wie oft die 9 als Gruppe in der 18 steckt. Also, aus wie vielen Einheiten 9ern die 18 besteht. Daher erhöht sich das Ergebnis nur um 1 (eine 9er-Einheit), aber vom Übertrag wird 9 abgezogen.

Kapitel 1594

Manche Aufgaben scheinen sehr kompliziert, sind es aber nicht, sobald Sie das dahinterliegende Prinzip verinnerlicht haben. Manche Aufgaben habe ich immer und immer wieder rechnen müs-sen, bevor ich das Ergebnis hatte, und während dieses Prozesses habe ich auch die Aufgaben wirklich verstanden. Machen Sie also weiter und glauben Sie an die vedische Mathematik! Sie funktioniert und gibt Ihnen immer das richtige Ergebnis!

Aufgabe: 24132 : 9

9 2413 22

Denken Sie an die Katze mit dem Zickzackmuster: Als Erstes ziehen wir die 2 herunter, notieren Sie sie in der Lösungszeile.

9 2413 2

267

2 + 4 = 66 + 1 = 7

9 2413 2

2672681

7 + 3 = 10. In diesem Fall haben wir einen Übertrag. Jetzt müssen wir etwas anders vorgehen: Wir nehmen die 9 aus der 10 und haben 1. Dafür erhöht sich die vorherige Zahl um 1(wir rechnen 10 – 9= 1); so wird aus der 7 eine 8.6 Das heißt, wir fügen die 9 als Gruppe (also eine Neunergruppe) als 1 in die Ergebniszahl ein.

9 2413 2

2672681 3

Nun rechnen wir noch den Rest bzw. die Nachkommastelle aus: 1 + 2 = 3. Also lautet das Ergebnis 2681,3 oder 2681 Rest 3.

Übungsaufgaben:

241 : 9 = 2113 : 9 = 512 : 9 = 453 : 9 = 624 : 9 =


26,7 234,7 56,8 50,3 69,3


Kapitel 16

16. Division unter der Basis

Eigentlich haben Sie schon unter der Basis dividiert, denn Sie haben im letzten Kapitel schon Zahlen durch 9 geteilt. Das Gleiche machen wir nun erst mit kleinen Zahlen und anschließend mit großen. Wenn Sie Lust haben, können Sie am Ende selbst gigantische Zahlen dividieren. Hier arbeiten wir mit Sutra Nr. 2 „Alle von 9 und die Letzte von 10“.

16.1 Division unter 10

234 : 8 =

Basis 10 23 4 : 8 =D = 2

Wie immer rechnen wir als Erstes eine ausführliche Beispielaufgabe miteinan-der: 234 : 8. Zuerst ziehen Sie ein paar Hilfslinien, damit Sie wissen, wo der Rest (die Nachkommastelle) anfängt. Die Basis ist 10, weil sie der 8 am nächsten ist. Die Differenz ist 2. Da die Basiszahl eine Nullstelle hat, ziehen Sie den Strich vor der letzten Ziffer der Zahl.

Basis 10 23 4 : 8 =D = 2

2

Im nächsten Schritt ziehen Sie die erste Zahl nach unten in die Lösungszeile, in diesem Fall ist das 2.

Basis 10 23 4 : 8 =4 D = 2

27

Nun multiplizieren Sie 2 mit der Diffe-renz 2, also 2 • 2 = 4. Die 4 schreiben Sie direkt unter die 3. Nun addieren Sie die beiden Zahlen, 3 + 4 = 7. Die 7 kommt in die Lösungszeile.

Basis 10 23 4 : 8 =4 14 D = 2

27 18

Als Nächstes multiplizieren Sie die 7 mit der Differenz: 7 • 2 = 14. Sie schreiben die 14 unter die 4. Nun addieren Sie 4 + 14 und erhalten 18.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 23 „Division unter 10“ an. Division unter 10

Kapitel 1696

Basis 10 23 4 : 8 =4 14 D = 2

27 18

Jetzt haben Sie schon ein Ergebnis: 27 Rest 18 Da aber 18 größer ist als 8, teilen Sie die 18 durch 8, das macht 2 Rest 2.

Basis 10 23 4 : 8 =4 14 D = 2

429 2

Die 27 erhöht sich daher um diese 2 und wir behalten den Rest 2. Wir multiplizieren die 2 mit der Differenz, 2 • 2 = 4 und schreiben diese auf.

Basis 10 23 4 : 8 =4 14 D = 2

429 2 4

Da unsere Zahl hier zu Ende ist, nehmen wir nur die 4 in unsere Ergebniszeile. Wir multipli-zieren die 4 mit der Differenz = 8.

Basis 10 23 4 : 8 =

4 14 D = 2 4 8

29 2 4

Basis 10 23 4 : 8 =

4 14 D = 2 4 8

29 2 5 0

Aus dieser 8 ziehen wir die zu dividierende 8 heraus und haben einen Rest 0. Diese fügen wir in die vorherige Zahl ein, so wird aus der 4 eine 5.

Das Ergebnis ist 29,25!

Das war doch ganz einfach, oder?

Der gleiche Zyklus wiederholt sich stets: Sie ziehen die erste Zahl herunter, multiplizieren sie mit der Differenz. Diese Zahl schreiben Sie unter die nächste Ziffer und addieren diese beiden. Das Ergebnis entspricht der zweiten Ziffer des Ergebnisses. Diese Zahl multiplizieren Sie wieder mit der Differenz und schreiben diese Zahl unter die letzte Ziffer. Sie addieren beide und erhalten den Rest, die Nachkommastelle des Ergebnisses.


Rechnen wir eine weitere Divisionsaufgabe unter der Basis 10, zum Beispiel 573 : 8.

573 : 8 =

Basis 10 57 3 : 8 =D = 2

Die Basis ist wieder 10, wie in der ersten Aufgabe. Auch die Differenz bleibt gleich, da wir wieder durch 8 teilen.

Basis 10 57 3 : 8 =D = 2

5

Im ersten Schritt ziehen Sie die erste Zahl nach unten in die Lösungszeile.

Basis 10 5 7 3 : 8 =10 D = 2

7 1

Nun multiplizieren Sie 5 mit der Differenz: 2 • 5 = 10. Die 10 schreiben Sie unter die 7 und addieren beide Zahlen: 10 + 7 = 17. Die 17 ist höher als 8, also ziehen Sie zwei Mal 8 aus der 17 (teilen also 17 durch 8) und erhalten 2 Rest 1. Die 2 addieren Sie zur 5, das macht 7. Der Rest 1 wird zur nächsten Ziffer unseres Ergebnisses. Er kommt in die Lösungszeile.

Basis 10 5 7 3 : 8 =10 2 D = 2

7 1 5

Als Nächstes multiplizieren Sie die 1 wieder mit der Differenz: 1 • 2 = 2. Sie addieren die 2 zur 3 und haben so den Rest 5 errechnet.

Schwieriger als diese Aufgabe wird das Teilen unter einer Basis nicht! Wenn Sie jetzt weiter rech-nen, kommen Sie auf die genaue Dezimalzahl. Denn bei dieser Aufgabe entspricht der Rest nicht der Dezimalzahl, wie bei den Geteilt-durch-9-Aufgaben.

Basis 10 5 7 3 : 8 =10 2 D = 2

107 1 6 2

Sie multiplizieren die 5 mit der Differenz, 5 • 2 = 10. Sie ziehen die 8 aus der 10, es bleibt 1 Rest 2. Sie fügen die 1 zur vorheri-gen Zahl hinzu. Das Ergebnis ist 71,62! Wie bei der vorherigen Aufgaben können Sie diesen Zyklus immer weiterrechnen, bis Sie alle Kommastellen haben. Das sieht dann so aus:

Kapitel 1698

Basis 10 5 7 3 : 8 =10 2 D = 2

10 47 1 6 2 4

2 • 2 (Differenz) = 4. Die 4 geht direkt ins Ergebnis, da die Zahl, mit der wir teilen, zu Ende ist.

Basis 10 5 7 3 : 8 =10 2 D = 2

10 4 87 1 6 2 4

Wir multiplizieren 4 • 2 = 8. Wir ziehen 8 aus 8, das wir durch 8 teilen, haben einen Rest von 0, zählen 1 zu der 4 und haben 5.

Basis 10 5 7 3 : 8 =10 2 D = 2

10 4 87 1 6 2 5 0

Unser finales Ergebnis ist 71, 625.

Noch ein Beispiel gefällig? Also gut, dann rechnen wir 687 : 7.

687 : 7 =

Basis 10 68 7 : 7 =D = 3

Die Differenz zwischen 7 und 10 ist 3. Wir schreiben diese auf.

Basis 10 6 8 7 : 7 =18 D= 3

6 0

Wir ziehen die 6 herunter in die Lösungs-zeile und multiplizieren sie mit der Differenz: 6 • 3 = 18, und 8 + 18 = 26. Wir teilen 26 durch 7 und erhalten 3 Rest 5.

Basis 10 6 8 7 : 7=18 D= 3

9 5

Wir addieren die 3 zur 6, das macht 9, also ändern wir unsere Lösungszeile entsprechend ab. Wir schreiben auch den Rest 5 in die Ergebniszeile. Nun multiplizieren wir 5 und 3, das Zwischen-ergebnis ist 15.


Basis 10 6 8 7 : 7=

18 15 D= 3

9 8 1

7 + 15 = 22. Dies teilen wir wieder durch 7 und bekommen 3 Rest 1. So wird aus der 5 eine 8 mit einem Rest 1.

Wir können natürlich auch wieder bis zur genauen Dezimalzahl weiterrechnen:

Basis 10 6 8 7 : 7=18 15 D= 3

39 8 1 3

1 • 3 (Differenz) = 3 3 + 0 = 3, wir schreiben die 3 in die Er-gebniszeile.

Basis 10 6 8 7 : 7=18 15 D= 3

3 99 8 1 4 2

3 • 3 (Differenz) = 9. Wir ziehen die 7 aus der 9 und erhalten 1 Rest 2. So wird aus der 3 eine 4 und unser Endergebnis ist: 98,142

Wir hören hier auf zu rechnen. Sie können natürlich immer weiterrechnen oder das Ergebnis auf 98, 143 runden.

Nach diesem Prinzip können Sie auch sehr große Zahlen teilen, denn es macht schließlich kaum einen Unterschied, ob Sie nun 3, 4 oder 6 Zahlen berechnen. Versuchen Sie es doch spaßeshalber einmal mit 123456 : 7! Ergebnis: 17636,5714

Wichtig

Ich habe in den folgenden Kapiteln die Ergebnisse nicht gerundet, sondern meist ein-fach nur bis zur 3. oder 4. Stelle hinter dem Komma gerechnet.

!

Kapitel 16100

Übungsaufgaben:

834 : 7 = 632 : 6 = 3572 : 8 = 575 : 7 =


119,14 446,5 105,33 82,14


Das Rechenprinzip aus dem vorigen Kapitel können Sie auch bei Zahlen unter 100 anwenden. Rechnen wir ein Beispiel zusammen: 734 : 98

734 : 98 =

Basis 100 7 34 : 98 =D = 02

Als Basis nehmen wir diesmal natürlich 100. Da diese zwei Nullen hat, ziehen wir die senkrechte Linie bei unserer Zahl so, dass der hintere Teil zwei Nachkomma-stellen hat. Bei der Basis 100 ist die Diffe-renz 100 – 98 = 02. Schreiben Sie die Dif-ferenz ruhig mit einer zusätzlichen Null davor, damit Sie so noch einmal die An-zahl der Nachkommastellen im Hinter-kopf behalten.

734 : 98 =

Basis 100 7 34 : 98 =D = 02

147

Wir ziehen als Erstes die 7 nach unten und multiplizieren sie mit der Differenz: 7 • 02 = 14. Dieses Mal schreiben wir aber die 14 über zwei Spalten, also unter die 3 und die 4.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 24 „Division unter 100“ an.

Wichtig

Also verändert sich die Regel, denn die Zahlen kommen in ebenso viele Spalten wie die Basis Nullstellen hat. Das ist ähnlich wie beim Multiplizieren mit Basis, wenn die Differenzen 2 oder 3 Stellen haben, je nach dem wie viele Nullen die Basis hat.

!

Division unter 100


734 : 98 =

Basis 100 7 34 : 98 =D = 02

14 08

7 4

Jetzt addieren wir die erste Spalte: 3 + 1 = 4, und notieren die 4 in der Ergebniszeile.Als Nächstes multiplizieren wir 4 • 02 (Differenz) = 08.

Wir könnten nun beim Ergebnis 7 Rest 4 aufhören – oder wir rechnen weiter, um die Dezimalzahl zu bekommen.

734 : 98 =

Basis 100 7 34 : 98 =D = 02

14 08

7 48

Dazu addieren wir die zweite Spalte: 4 + 4 + 0= 8. Wir schreiben die 8 in die Ergebniszeile. So erhalten wir als Ergeb-nis 7,48 und könnten natürlich weitere Stellen hinter dem Komma ausrechnen.

Das Dividieren in der vedischen Mathematik ist leider nicht so einfach zu lernen wie manch ande-rer Rechenweg. Aber mit etwas Übung kommt man, wie ich finde, sehr viel schneller zur Lösung als mit dem herkömmlichen Rechenweg.

Rechnen wir doch gleich noch eine Aufgabe! Zum Beispiel 5862 : 95.

5862 : 95 = D = 05

Basis 100 58 62 : 95 =2 5

5

Zuerst schreiben Sie die Rechenaufgabe so auf, dass Sie die Kommastelle eindeu-tig identifizieren können. Danach ziehen Sie die erste Zahl, die 5, nach unten und multiplizieren sie mit der Differenz 5 • 05 = 25. Diese schreiben Sie wieder über zwei Spalten unter die nächsten beiden Ziffern.

Gregor Staub sagt immer, man muss etwas fünf Mal wiederholen, bevor man es rich-tig im Kopf hat. Deshalb lautet die Devise: Üben, üben, üben, üben, üben.

Kapitel 16102

5862 : 95 = D = 05

Basis 100 58 62 : 95 =2 5

5060

Addieren Sie 8 + 2 = 10. Da die 10 kleiner ist als unser Divisor (95), machen wir hier einen ganz normalen Übertrag. So wird aus der 5 eine 6, und Sie schreiben die 0 in die Ergebniszeile. Jetzt rechnen Sie 10 • 5 (Differenz) = 50. Auch diese schreiben Sie über zwei Spalten.

5862 : 95 = D = 05

Basis 100 58 62 : 95=2 5

50 80

61 6

Jetzt addieren Sie 6 + 5 + 5 = 16. Auch hier erfolgt wieder ein normaler Über-trag: Notieren Sie die 6 in der Ergebnis-zeile, die 1 addieren Sie zur 60.Als Nächstes multiplizieren Sie 16 • 5 (Differenz) = 80. Schreiben Sie die 80 auf.An dieser Stelle können Sie entweder aufhören und haben als Ergebnis 61 Rest 6 – oder Sie rechnen weiter bis zur Dezimalzahl. Wenn Sie weiterrechnen möchten, gehen Sie wie folgt vor:

5862 : 95 = D = 05

Basis 100 58 62 : 95 =2 5

50 80 50

61 70

Sie addieren die nächste Spalte: 2 + 0 + 8 = 10. Sie schreiben die 0 auf, die 1 kommt in den Übertrag und macht daher aus dem Rest 6 eine 7. 10 • 5 (Differenz) = 50. Sie schreiben die 50 auf.

5862 : 95 = D = 05

Basis 100 58 62 : 95=2 5

50 80 50

61 705

Im letzten Schritt addieren Sie auch diese Spalte: 0 + 5 = 5. Jetzt haben Sie als Ergebnis: 61,705.Das ist die schwierigste Art von Aufga-ben, die Sie beim Teilen unter der Basis finden werden!


Übungsaufgaben:

753 : 98 =

2573 : 96 =

234 : 97 =

Die richtigen Ergebnisse sind (bis auf die 2. Kommastelle gerechnet, aber Sie können natürlich gerne weiter rechnen, wenn Sie möchten!):

7,6826,802,41

Kapitel 16104


Jetzt sind wir an einem Punkt angelangt, an dem Sie unweigerlich erkennen werden, warum die-se Art der Division einfacher ist als die herkömmliche Rechenmethode: Wenn die Zahlen größer werden, macht das bei der vedischen Methode keinen Unterschied, da hier mit der Differenz gerechnet wird, nicht mit dem ganzen Divisor. Beim herkömmlichen Rechenweg könnte man bei einem dreistelligen Divisor schon ins Schwitzen kommen.

3526 : 998 = D = 002

Basis 1000 3 526 : 998 =

Nehmen wir als Beispiel 3526 : 998. Bei dieser Aufgabe ist 1000 die Basis, die Differenz 002. Nicht vergessen: Unsere Basis hat drei Nullen, also muss die Differenz drei Stellen haben! Schreiben Sie daher wieder ruhig die zusätzlichen Nullen dazu.

Nun funktioniert alles genauso, wie Sie es mit den kleineren Zahlen gerade geübt haben: Sie holen die 3 nach unten in die Ergebniszeile und multiplizieren sie mit der Differenz: 3 • 002 = 006.

3526 : 998 = D = 002

Basis 1000 3 526 : 998 =006

3

Das Ergebnis schreiben Sie entspre-chend über drei Spalten.

Sie addieren nun 5 + 0 = 5 und schreiben 5 in die Ergebniszeile. Dann multiplizieren Sie die 5 mit 002 und erhalten 010.

3526 : 998 = D = 002

Basis 1000 3 526 : 998 =006 010

3 5

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 25 „Division unter 1000“ an. Division unter 1000


Wenn Sie jetzt aufhören, haben Sie das Ergebnis 3 Rest 5. Aber wie immer können Sie auch hier weiterrechnen. Das machen wir bei dieser Aufgabe bis zur vierten Stelle nach dem Komma.Wir addieren 2 + 0 + 0 = 2 und schreiben 2 in die Ergebniszeile. Dann multiplizieren wir 2 • 002 = 004. Das notieren wir wieder über drei Spalten.

3526 : 998 = D = 002

Basis 1000 3 526 : 998 =006 010 004

3 52

Jetzt addieren wir 6 + 6 + 1 + 0 = 13. Die 1 kommt in den Übertrag, aber in die vorherige Zahl. Dadurch wird die vorherige 2 zu einer 3. Und die andere 3 schreiben wir wie gewohnt in die Ergebniszeile.

3526 : 998 = D = 002

Basis 1000 3 52 6 : 998 =

00 6 0 10 004

3 5213

53 3

Wir addieren 0 + 0= 0 und schreiben die 0 in die Ergebniszeile.

3526 : 998 = D = 002

Basis 1000 3 52 6 : 998 =00 6 0 10 004

3 5213

53 30

Wir haben ein Ergebnis: 3,5330.

Zugegeben, dieser Rechenweg mag gewöhnungsbedürftig erscheinen. Aber wenn Sie sich an das Dividieren mit Basis erst einmal gewöhnt haben, ist es wirklich leicht! Vor allen Dingen erspart Ihnen diese Methode das Schätzen und Raten, denn Sie können alles mit recht kleinen Zahlen ausrechnen.

Kapitel 16106

Damit Sie sich ganz schnell mit der Rechenmethode anfreunden, rechnen wir direkt noch eine Aufgabe zusammen: 67352 : 996, wieder bis zur vierten Stelle nach dem Komma. Wenn Sie wol-len, können Sie natürlich gerne weitere Nachkommastellen ausrechnen. Unsere Basis ist 1000, und somit ist unsere Differenz 004. Zuerst ziehen wir die 6 nach unten und multiplizieren sie mit der Differenz: 6 • 004 = 024.

67352 : 996 = D = 004

Basis 1000 67 352 : 996 =0 24

6

Wir addieren 7 + 0 = 7 und schreiben diese in die Ergebniszeile. Wir multiplizieren die 7 mit der Differenz: 7 • 004 = 028.

67352 : 996 = D = 004

Basis 1000 67 352 : 996 =0 24

028

67

Wir addieren 3 + 2 + 0 = 5 und multiplizieren 5 • 004 = 020. Die 5 notieren wir erst einmal in der Ergebniszeile.

67352 : 996 = D = 004

Basis 1000 67 352 : 996 =0 24

028 020

6767

511

61


Wir addieren 5 + 4 + 2 + 0 = 11. Eine 1 geht in den Übertrag, die vorherige Zahl erhöht sich da-durch um 1 von 5 zu 6. Die andere 1 kommt in die Ergebniszeile. Wir multiplizieren als Nächstes 11 • 004 = 044.

67352: 996 = D = 004

Basis 1000 67 3 52 : 996 =0 2 4

0 28 020 044

6767

511

6 1

Wir addieren 2 + 8 + 2 = 12. Wir schreiben 2 in die Ergebniszeile und die 1 kommt in den Über-trag, wodurch die vorherige Zahl sich um 1 erhöht. Wir multiplizieren anschließend 12 • 004 = 048.

67352 : 996 = D= 004

Basis 1000 67 3 5 2 : 996 =0 2 4

0 2 8 0 2 0 0 44 048

6767

511

12

6 2 2 4

Nun kommen wir zum letzten Schritt, da wir ja nur bis zur vierten Stelle nach dem Komma rechnen wollten: Wir addieren 0 + 4 + 0 = 4 und schreiben die 4 in die Ergebniszeile. Wir haben unser Ergebnis: 67,6224

Übungsaufgaben:

89123 : 989 =

24625 : 996 =

6483 : 997 =


90,114224,72386,5025

Kapitel 17108

Kapitel 17

17. Vinculum-Zahlen

Vinculum-Zahlen kommen nur in der vedischen Mathematik vor. Vinculum bedeutet so viel wie „Fehlmenge“. Wir werden diese Zahlen für einige Rechenformen brauchen – und haben sie in Kapitel 4 und 12 schon ohne große Erläuterung verwendet. Daher soll dieses kurze Kapitel erklä-ren, was Vinculum-Zahlen sind und wie man sie wieder in normale Zahlen umwandeln kann. In Kapitel 4 wurde schon erklärt, wie Sie diese Zahlen umdrehen, aber an dieser Stelle gehen wir ins Detail.

17.1 Vinculum-Zahlen in normale Zahlen umwandeln

Beim Dividieren besteht die Möglichkeit, den Divisor in eine Vinculum-Zahl umzuwandeln, damit man durch eine kleinere Zahl teilt. Nehmen wir beispielsweise 68. Diese Zahl können Sie auch als 72 schreiben, denn 70 – 2 = 68. Wenn Sie die Vinculum-Zahlen „umdrehen“ wollen, folgen Sie dem Sutra „Alle von 9 und die Letzte von 10“, plus dem Zusatz „Die vorherige Zahl verringert sich um 1“.Zur Übung gebe ich Ihnen nun Vinculum-Zahlen vor und wir drehen sie gemeinsam in normale Zahlen um. Die erste Vinculum-Zahl lautet 367. Wie gehen Sie nun vor? Nun, laut Regelzusatz ver-ringert sich die erste Zahl (3) um 1, das macht also 2. Danach gilt „Alle von 9 und die Letzte von 10“: 9 – 6 = 3 und 10 – 7 = 3. Genau genommen rechnen Sie 300 – 67, daher ist 67 die Fehlmenge (das Vinculum) von 300. 367 = 233

Wandeln Sie nun 6257 um. Die 6 verringert sich um 1, das macht 5. 9 – 2 = 7 9 – 5 = 4 10 – 7 = 3 Fügen Sie die Zahlen zusammen, erhalten Sie 5743.

Wenn Sie nun 4467 haben, dann verringert sich die 44 um 1 = 43 und dann folgt die „Alle von 9 und die Letzte von 10“-Regel. 9 – 6 = 3 und 10 – 7 = 3. Also ist die gesuchte Zahl 4333.

Übungsaufgaben:

Wandeln Sie diese Vinculum-Zahlen in normale Zahlen um:

4538 49974 55745 56789


Sehen sie sich nun Video eKapitel 26 „Vinculum-Zahlen in normale Zahlen umwandeln“ an.

Umwandeln in normale Zahlen

17. Vinculum-Zahlen 109

17.2 Normale Zahlen in Vinculum-Zahlen umwandeln

Das Ganze klappt natürlich auch in die andere Richtung. Hier lautet die entsprechende Regel: Die erste Zahl erhöht sich um 1, dann gilt „Alle von 9 und die Letzte von 10“. So können Sie bei-spielsweise die Zahl 463 ganz fix in die Vinculum-Zahl 537 umwandeln. Nehmen wir als nächstes Beispiel 6846:

Die 6 erhöht sich um 1, das macht 7. 9 – 8 = 1 9 – 4 = 5 10 – 6 = 4 Zusammengesetzt ist das 7154.

Noch eine Aufgabe: 9355

9 + 1 = 10 9 – 3 = 6 9 – 5 = 4 10 – 5 = 5 Ergibt zusammengesetzt 10645.

Übungsaufgaben:

Wandeln Sie nun diese Zahlen in Vinculum-Zahlen um.

6389

73043

49882


Sehen Sie sich nun Video eKapitel 27 „Normale Zahlen in Vinculum-Zahlen umwandeln“ an.

Umwandeln in Vinculum-Zahlen

Kapitel 18110

Kapitel 18

18. Division über der Basis mit Vinculum

Jetzt kommen wir zu einer der genialsten Arten, mit dem Vinculum zu rechnen. Ich bin immer wieder überrascht, wie schnell und elegant man auf diese Weise zum Ergebnis kommt. Wie ge-sagt: Es braucht etwas Übung, aber wenn Sie einfach dem Muster folgen, kommen Sie garantiert ans Ziel!

Legen wir wieder einfach los. Die erste Aufgabe ist 7538 : 102. Beachten Sie: Das Defizit ist eine Vinculum-Zahl, also eine Fehlmenge! Diese wird als 02 dargestellt. Manche Zahlen in dieser Auf-gabe werden Vinculum-Zahlen sein, andere nicht. Daher ist es sehr wichtig, die Vinculum-Zahlen mit einem Strich darüber zu markieren, damit Sie den Überblick behalten.

Wie gewohnt ziehen wir zuerst die 7 nach unten in die Ergebniszeile und multiplizieren sie mit dem Defizit 7 • 02 = 14.

7538 : 102 = D = 02

Basis 100 75 38 : 102 =1 4

7

Jetzt kommt der Clou mit der Fehlmenge: Wir rechnen 5 + 1, was das Gleiche ist wie 5 – 1, also 4. Wir schreiben 4 in die Ergebniszeile. Anschließend multiplizieren wir 4 • 02 = 08.

7538 : 102 = D = 02

Basis 100 75 38 : 102 =

1 408

74

Wir rechnen 3 + 4 + 0 = 1 und schreiben die 1 in die Ergebniszeile. Als Nächstes rechnen wir 1 • 02 = 02. Ja, ganz richtig: Vinculum • Vinculum = normale Zahl. Genauso wie beim Rechnen mit Minuszahlen in der Schule: Minus • Minus = Plus.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 28 „Division über der Basis mit Vinculum“ an.

Division über der Basis mit Vinculum

18. Division über der Basis mit Vinculum 111

7538 : 102 = D = 02

Basis 100 75 38 : 102 =

1 408 02

74 1

7538 : 102 =

D = 02

Basis 100 75 38 : 102 =

1 408 02 00

74 10

Wir addieren 8 + 8 + 0 = 0, notieren 0 in der Ergebniszeile und multiplizieren sie mit dem Defizit: 0 • 02= 00. Dies ist wichtig, damit Sie die 0 nicht beim Umdrehen in eine normale Zahl vergessen.

Wir addieren 2 + 0 = 2, schreiben sie in die Ergebniszeile und multiplizieren 2 • 02 = 04.

7538 : 102 = D = 02

Basis 100 75 38 : 102 =

1 408 02 00 04

74 102

Wir addieren 0 + 0 = 0, notieren sie in der Ergebniszeile und multiplizieren wieder mit dem Defizit 0 • 02 = 00.

7538 : 102 = D = 02

Basis 100 75 38 : 102 =1 4

08 02 00 04 00

74 1020

Kapitel 18112

Wir addieren 4 + 0 = 4, diese notieren wir in der Ergebniszeile und multiplizieren 4 • 02 = 08.

7538 : 102 = D = 02

Basis 100 75 38 : 102 =

1 408 02 00 04 00 08

74 10204

Im letzten Schritt wandeln wir die Vinculum-Zahlen in normale Zahlen um. Sie erinnern sich sicher noch an die Regeln:

Alle von 9 und die Letzte von 10. Die Zahl vor dem Vinculum verringert sich jeweils um 1.

Die 74 verringert sich um 1, also 73. Die 1 ist die Letzte, da nach ihr keine weitere Vinculum-Zahl kommt, das bedeutet, wir rechnen 10 – 1 = 9.

7538 : 102 = D = 02

Basis 100 75 38 : 102 =

1 408 02 00 04 00

7473

102049

Die 0 bleibt unverändert. Weil nach der 2 nur noch Vinculum-Zahlen folgen, verringert sich die 2 um 1 auf 1. Die letzten beiden Vinculum-Zahlen ergeben umgewandelt 9 – 0 = 9 und 10 – 4 = 6. Schon haben wir unser Ergebnis, sogar bis zur 5. Stelle nach dem Komma!

7538 : 102 = D = 02

Basis 100 75 38 : 102 =

1 408 02 00 04 00

7473

1020490196

Das Ergebnis ist 73,90196!


Rechnen wir doch noch eine Aufgabe zusammen! Nehmen wir 3513 : 112.Unsere Basis ist wieder 100 und unser Defizit ist 12. Wir ziehen die 3 nach unten in die Ergebnis-zeile und multiplizieren 3 • 12 = 36.

3513 : 112 = D = 12

Basis 100 35 13 : 112 =3 6

3

3513 : 112 = D = 12

Basis 100 35 13 : 112 =

3 624

32

Wir addieren 5 + 3 = 2 (da 5 – 3 = 2), notieren die 2 in der Ergebniszeile und multiplizieren 2 • 12 = 24.

3513 : 112 = D = 12

Basis 100 35 13 : 112 =

3 624 84

32 7

Wir addieren 1 + 6 + 2 = 7, notieren die Zahl in der Ergebniszeile und multiplizie-ren 7 • 12 = 84.

3513 : 112 = D = 12

Basis 100 35 13 : 112 =

3 624 84 84

32 77

Wir addieren 3 + 4 + 8 = 7, notieren die 7 und multiplizieren 7 • 12 = 84.

Kapitel 18114

3513 : 112 =

D = 12

Basis 100 35 13 : 112 =

3 624 84 84 48

32 7740

Wir addieren 4 + 8 = 4, notieren die Zahl und multiplizieren 4 • 12 = 48.

3513 : 112 = D = 12

Basis 100 35 13 : 112 =

3 624 84 84 48 00

32 7740

Wir addieren 4 + 4 = 0, notieren die 0 und multiplizieren 0 • 12 = 00.

So, jetzt lösen wir nur noch die Vinculum-Zahl auf, und schon haben wir unser Ergebnis. Nach der 32 kommt eine Vinculum-Zahl, also verringert sich die 32 um 1 auf 31. Die 7 ist die Letzte, also 10 – 7 = 3.

3513 : 112 = D = 12

Basis 100 35 13 : 112 =3 6

24 84 84 48 00

3231

77403


Nach der nächsten 7 kommt wieder eine Vinculum-Zahl, also verringert sich die vorausgehende Zahl um 1, also 7 – 1 = 6. Die 4 ist die letzte Vinculum-Zahl, also rechnen wir 10 – 4 = 6. Die 0 bleibt unberührt.

3513 : 112 = D = 12

Basis 100 35 13 : 112 =

3 624 84 84 48 00

3231

77403660

Wir haben das Ergebnis: 31,3660!

Zuletzt rechnen wir noch eine Aufgabe, die eine kleine Besonderheit hat. Sehen Sie selbst: 4545 : 121Die Basis ist wieder 100, das Defizit ist 21. Ziehen Sie zuerst die 4 herunter in die Ergebniszeile und multiplizieren Sie diese mit dem Defizit: 4 • 21 = 84.

4545 : 121 = D = 21

Basis 100 45 45 : 121 =8 4

4

Addieren Sie 5 + 8 = 3, schreiben Sie die Zahl in die Ergebniszeile und multiplizieren Sie 3 • 21 = 63.

4545: 121= D= 21

Basis 100 45 45 : 121=

8 463

43

Kapitel 18116

Addieren Sie 4 + 4 + 6 = 6, schreiben Sie die 6 in die Ergebniszeile und multiplizieren Sie 6 • 21 = 126. An dieser Stelle kommen wir zur erwähnten Besonderheit: Wir haben hier nun eine drei-stellige Zahl, können aber nur zwei Stellen einfügen. Was tun? Sie behandeln die ersten beiden Stellen, also die 12, wie eine einzelne Ziffer und die 6 wie die zweite. Also schreiben Sie die 12 unter die 3 und die 6 daneben.

4545 : 121 = D = 21

Basis 100 45 45 : 121 =

8 463 12 6

43 6

Als Nächstes addieren Sie 5 + 3 + 12 = 4, diese Zahl kommt wieder in die Ergebniszeile, und danach multiplizieren Sie 4 • 21 = 84.

4545 : 121 = D = 21

Basis 100 45 45 : 121 =

8 463 12 6 84

43 6 4

Addieren Sie 6 + 8 = 2, die 2 kommt als nächste Zahl ins Ergebnis und Sie multiplizieren 2 • 21 = 42.

4545 : 121 = D = 21

Basis 100 45 45 : 121 =

8 463 12 6 84 42

43 6 4 2


Wir addieren 4 + 4 = 0 und multiplizieren 0 • 21 = 00.

4545 : 121 = D = 21

Basis 100 45 45 : 121 =

8 463 12 6 84 42 00

43 6 4 20

Wir addieren 2 + 0 = 2. Da wir nur bis zur vierten Nachkommastelle rechnen, hören wir an dieser Stelle auf. Es ist wichtig, dass wir bei dieser Aufgabe eine Zahl weitergerechnet haben, um zu sehen, ob unsere 0 eine Vinculum-Zahl ist oder nicht. Wäre die 2 eine 2 gewesen, wäre die 0 eine normale Zahl gewesen. Also orientiert sich die 0 an der nachfolgenden Zahl, ob Vinculum oder nicht.

Es ist entscheidend für die spätere Umwandlung der Zahlen, dass wir an dieser Stelle einen Schritt weiterrechnen. Warum? Nun, der vorige Rechenschritt hat ergeben, dass wir eine 0 haben. Folgt nach der Vinculum-Zahl eine weitere, gilt bei der Umwandlung in normale Zahlen für die 0 „Alle von 9“. Folgt keine Vinculum-Zahl, ist die 0 die Letzte, und daher muss gelten „die Letzte von 10“.

4545 : 121 = D = 21

Basis 100 45 45 : 121 =

8 463 12 6 84 42 00

43 6 4 202

Kapitel 18118

Jetzt müssen Sie nur noch die Vinculum-Zahlen auflösen, um das Endergebnis zu erhalten. Da nach der 4 eine Vinculum-Zahl steht, verringert sich die 4 um 1 auf 3. Die 3 ist die Letzte, also rechnen Sie 10 – 3 = 7.

4545: 121 = D = 21

Basis 100 45 45 : 121 =

8 463 12 6 84 42 00

4337

6 42 02

Die 6 steht vor einer Vinculum-Zahl, also verringert sie sich um 1 auf 5. Die 4 ist die Letzte, dem-nach rechnen Sie 10 – 4 = 6.

4545: 121 = D = 21

Basis 100 45 45 : 121=

8 463 12 6 84 42 00

4337

6 42 025 6

Die 2 steht vor einer Vinculum-Zahl, sie verringert sich um 1 auf 1. Die 0 ist nicht die Letzte, also rechnen wir 9 – 0 = 9.

4545 : 121 = D = 21

Basis 100 45 45 : 121=

8 463 12 6 84 42 00

4337

6 42 025 6 1 9

So haben wir unser Ergebnis errechnet. Es lautet 37,5619.


Übungsaufgaben:

7835 : 111 = 6647 : 105 = 2387 : 121 =


70,585563,304719,7272

Tipp für diese Aufgaben: Rechnen Sie einfach und denken Sie nicht darüber nach, ob nun alles stimmt oder nicht. Wenn Sie zu früh in die Lösung spicken, sind Sie womöglich grundlos frustriert, weil Sie denken, Ihre Lösung könne niemals richtig sein. Aber glauben Sie mir: Wenn Sie alle Vinculum-Zahlen aufgelöst haben, stimmt meist doch alles! Also, haben Sie Geduld mit sich selbst und Vertrauen in die Rechen-methode.

Kapitel 19120

Kapitel 19

19. Division durch mehrstellige Zahlen

Diese Art des Dividierens wird auch „Straight Division“, also „direktes Teilen“ genannt. Wir verwen-den diese Methode bei mehrstelligen Zahlen, die nicht in der Nähe einer Basis sind. Auch hier müssen Sie weder raten noch schätzen, sondern können alles berechnen. Manchmal werden Sie merken, dass die Rechnung im nächsten Schritt nicht aufgeht, und gehen wieder einen Schritt zurück. Aber selbst das finde ich viel einfacher als das traditionelle Dividieren mit mehrstelligen Zahlen. Hier kommt die 3. Sutra „Vertikal und kreuzweise“ zur Anwendung.

19.1 Direktes Teilen

Fangen wir wieder einfach an mit folgendem Beispiel: 5438 : 73

Diesmal sieht das Layout anders aus als beim Dividieren mit Basis. Im Originaltext von Sri Tirthaji spricht dieser von der Zahl „auf der Flagge“. So können Sie sich bei der Zahl 73 die 7 als Flaggen-mast und die 3 als Flagge vorstellen. Also befindet sich die 3 oben rechts und die 7 unten links. Weil nur eine Zahl „auf der Flagge“ ist, ist auch nur eine Ziffer der zu teilenden Zahl durch einen Strich abgetrennt. Dieser markiert die Position des Kommas. So wie in der folgenden Abbildung werden wir die Aufgaben des direkten Teilens aufschreiben.

5438 : 73 =

3 5 4 3 8

7

Los geht’s: Wir nehmen die ersten beiden Zahlen unserer Zahl und teilen sie durch 7. Also 54 : 7 = 7 Rest 5. Die 7 schreiben wir in die Ergebniszeile und die 5 kommt in den Übertrag. Somit wird die nächste zu dividierende Ziffer sehr viel größer: Aus der 3 wird die 53.

5438 : 73 =

3 5 4 53 87

7

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 29 „Direktes Teilen“ an. Direktes Teilen


Im nächsten Schritt multiplizieren wir die 7 vom Ergebnis mit der 3 auf der Flagge = 21. Das zie-hen wir von der 53 ab, also 53 – 21 = 32, und notieren das Ergebnis in die darunterliegende Zeile.

5438 : 73 =

3 5 4 53 87 21

327

Wir teilen die 32 durch 7, das ergibt 4 Rest 4. Wir schreiben die 4 in die Ergebniszeile, und die andere 4 kommt in den Übertrag. Als Nächstes multiplizieren wir 4 (vom Ergebnis) mit 3 (von der Flagge) und erhalten 12. Diese ziehen wir von der 48 ab, das macht 36. Diese Zahl kommt wieder in die darunterliegende Zeile.

5438 : 73 =

3 5 4 53 487 21 12

32 367 4

Wir rechnen 36 : 7 = 5 Rest 1. Lassen Sie uns auch bei dieser Aufgabe bis zur vierten Nachkommastelle rechnen, also fügen wir für die weiteren Schritte noch drei zusätzliche Spalten mit Nullen hinzu. Wir notieren die 5 in der Ergebniszeile und nehmen die 1 in den Übertrag.

5438 : 73 =

3 5 4 53 48 10 0 07 21 12

32 367 4 5

Wenn wir jetzt nach dem Rechenmuster die 5 mit der Flagge, also der 3, multiplizieren (= 15), sehen wir sofort, dass die 10 kleiner ist als die 15. Daraus folgt im Umkehrschluss, dass die 5 zu groß ist, und daher ändern wir die Lösung für 36 : 7 in 4 Rest 8. Wir notieren also eine 4 in die Ergebniszeile und nehmen eine 8 in den Übertrag.

5438 : 73 =

3 5 4 53 48 1 80 0 07 21 12

32 367 4 5

4

Kapitel 19122

Jetzt geht es wieder wie gewohnt weiter: Wir multiplizieren die 4 mit der 3 (Flagge) = 12 und ziehen die 12 von der 80 ab: 80 – 12 = 68. Wir rechnen 68 : 7 = 9 Rest 5. Wir schreiben die 9 in die Lösungszeile und die 5 in den Übertrag.

5438 : 73 =

3 5 4 53 48 1 80 50 07 21 12 12

32 36 687 4 5

49

Wir rechnen 9 • 3 (Flagge) = 27, diese ziehen wir von der 50 ab: 50 – 27 = 23. Die 23 teilen wir durch 7, also 23 : 7 = 3 Rest 2.

5438 : 73 =

3 5 4 53 48 1 80 50 207 21 12 12 27 9

32 36 68 23 117 4 5

49 3

Wir multiplizieren 3 • 3 = 9 und ziehen diese von 20 ab: 20 – 9 = 11. Wir berechnen 11 : 7 = 1 Rest 4. Die 1 kommt in unsere Ergebniszeile.

5438 : 73 =

3 5 4 53 48 1 80 50 207 21 12 12 27 9

32 36 68 23 117 4 5

49 3 1

Unser Ergebnis ist: 74,4931. Ist doch klasse, oder?


Das wollen Sie doch sicher gleich an einer weiteren Aufgabe üben, also rechnen wir 7859 : 55.

Schreiben Sie die Aufgabe nach dem eben gelernten Muster auf. Es steht eine Zahl auf Ihrer Flagge, daher kommt nur die letzte Zahl hinter den Trennstrich. Und schon kann es losgehen: Sie teilen 7 : 5 = 1 Rest 2. Die 1 schreiben Sie in die Ergebniszeile und die 2 kommt in den Übertrag, so wird aus der 8 eine 28.

7859 : 55 =

5 7 28 5 95

1

Sie multiplizieren 1 • 5 = 5 und ziehen die 5 von der 28 ab, das ergibt 23.Nun fangen Sie mit dem Zyklus wieder von vorne an: Sie teilen, multiplizieren, subtrahieren. 23 : 5 = 4 Rest 3. Die 4 kommt in die Ergebniszeile.

7859 : 55 =

5 7 28 35 95 5

231 4

Sie multiplizieren 4 • 5 = 20 und ziehen diese von 35 ab, das ergibt 15.Wir teilen 15 : 5 = 3, kein Rest.

7859 : 55 =

5 7 28 35 95 5 20

23 151 4 3

Als Nächstes würden Sie 3 • 5 = 15 rechnen, aber Sie sehen auf einen Blick, dass 15 größer wäre als die nächste Zahl, die 9. Deshalb verringern Sie in der Ergebniszeile die 3 auf 2 und haben einen Rest 5 (aus der Rechnung 15 : 5 = 2 Rest 5), der in den Übertrag kommt. Fügen Sie nun drei weitere Nullen für die zusätzlichen Nachkommastellen ein, die wir berechnen wollen.

7859 : 55 =

5 7 28 35 59 0 0 05 5 20

23 151 4 3

2

Kapitel 19124

Sie multiplizieren 2 • 5 = 10 und ziehen diese von 59 ab, ergibt 49.Sie teilen 49 : 5 = 9 Rest 4.

7859 : 55 =

5 7 28 35 59 40 0 05 5 20 10

23 15 491 4 3

29

Und wieder sehen Sie sofort: 9 • 5 = 45 und damit größer als 40. Also wird aus der 9 eine 8 und aus der 4 eine 9 (denn 49 : 5 = 8 Rest 9). Nun rechnen Sie ganz normal weiter: 8 • 5 = 40, diese ziehen Sie von 90 ab, macht 50.

7859 : 55 =

5 7 28 35 59 4 90 0 05 5 20 10 40

23 15 49 501 4 3

29 8

50 : 5 = 10 Rest 0. Das geht wieder nicht, daher nehmen Sie 50 : 5 = 9 Rest 5. Anschließend multi-plizieren Sie 9 • 5 = 45, ziehen dies von 50 ab und erhalten 5.

7859 : 55 =

5 7 28 35 59 4 90 50 05 5 20 10 40 45

23 15 49 50 51 4 3

29 8

9

5 : 5 = 1 Rest 0 wäre der nächste Rechenschritt, aber wieder sehen Sie: Das kann nicht sein. Also nehmen Sie stattdessen 0 Rest 5. 0 • 5 = 0 und 50 – 0 = 50.

7859 : 55 =

5 7 28 35 59 4 90 50 505 5 20 10 40 45 0

23 15 49 50 5 501 4 3

298

9 0


Nun käme 50 : 5 = 10 Rest 0, aber – Sie ahnen es – auch das geht wieder nicht, denn 0 – 10 gibt es bei diesen Aufgaben nicht. Also nehmen wir 9 Rest 5 und haben somit unsere vierte Stelle hinter dem Komma ausgerechnet.

7859 : 55 =

5 7 28 35 59 4 90 50 505 5 20 10 40 45 0

23 15 49 50 5 501 4 3

298

9 0 9

Und nun steht auch unser Ergebnis fest: 142,8909.

Übungsaufgaben:

6537 : 43 =

6382 : 62 =

3887 : 54 =

Die richtigen Ergebnisse (bis zur vierten Nachkommastelle berechnet) sind:

152,0232102,935471,9814

Kapitel 19126

19.2 Direktes Teilen mit Vinculum

Jetzt kommen wir zu einer ganz spannenden Aufgabenform! Wenn wir nämlich eine Aufgabe wie 3529 : 48 lösen wollen, können wir uns das Rechnen vereinfachen, indem wir die 48 in eine Vinculum-Zahl umwandeln und die Aufgabe damit lösen. Warum ist das einfacher? Nun, nor-malerweise stünde bei diesem Beispiel die 8 auf der Flagge, und wir müssten demzufolge alle Zahlen mit 8 multiplizieren. So machen wir aus der 48 die entsprechende Vinculum-Zahl 52 und müssen so nur mit 2 multiplizieren. So wird aus der Aufgabe 3529 : 48 die Aufgabe 3529 : 52.

Aber nun zurück zur Methode: Die Aufgabe lautet 3529 : 48. Die 48 wandeln wir in eine Vincu-lum-Zahl um – erinnern Sie sich an Kapitel 17. Die erste Ziffer erhöht sich um 1, und dann gilt das 2. Sutra „Alle von 9 und die Letzte von 10“. Aus der 4 wird also eine 5, und da die 8 an letzter Stelle steht, rechnen wir 10 – 8 = 2. So wird aus der 48 eine 52. Jetzt zeichnen Sie wieder Ihre Flagge und tragen die Trennlinie für die Kommastelle ein.

3529 : 48 =

2 3 5 2 95

Da die 3 nicht durch 5 teilbar ist, nehmen wir die ersten beiden Zahlen, also die 35 : 5 = 7. Wir multiplizieren 7 • 2 = 14. Durch die Vinculum-Zahl addieren wir nun die Zahlen und müssen rech-nen: 2 – (–14) = 2 + 14 = 16. Wir teilen 16 : 5 = 3 Rest 1. Die 3 schreiben wir in die Lösungszeile und die 1 kommt in den Übertrag.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 30 „Direktes Teilen mit Vinculum“ an.

INFO

Ich rechne ja nun schon seit vielen Jahren nach der vedischen Methode. Diese Form des Teilens fand ich – um ehrlich zu sein – nicht so toll, bis ich anfing, dieses Kapitel zu schreiben. Dabei ging mir so richtig ein Licht auf, und nun bin ich total begeistert von dieser Methode! Vor allem, wenn ich daran zurückdenke, wie schwer mir das Teilen mit mehrstelligen Zahlen früher gefallen ist und wie froh ich war, als wir in der Schule Taschenrechner benutzen durften.

!

Direktes Teilenmit Vinculum


3529 : 48 =

2 3 5 2 19

5 1416

7 3

3 • 2 = 6 und wir addieren 19 + 6 = 25.

3529 : 48 =

2 3 5 2 19

5 14 616 25

7 3

Wir teilen 25 : 5 = 5 Rest 0. Jetzt tragen wir die 5 in die Lösungszeile und die Nullen für die Nach-kommastellen ein. Aus der ersten Null wird mit dem Übertrag 0 eine 00. Wir multiplizieren im nächsten Schritt 5 • 2 = 10 und addieren 0 + 10 = 10. Wir teilen 10 : 5 = 2 Rest 0. Die 2 geht in die Lösungszeile, die 0 in den Übertrag.

3529 : 48 =

2 3 5 2 19 00 00 0

5 14 6 1016 25 10

7 3 5 2

Wir multiplizieren 2 • 2 = 4 und addieren 0 + 4 = 4. Wir teilen 4 : 5 = 0 Rest 4

3529 : 48 =

2 3 5 2 19 00 00 40

5 14 6 10 416 25 10 4

7 3 5 2 0

0 • 2 = 0 und wir addieren 40 + 0 = 40. Wir teilen 40 : 5 = 8 Rest 0.

3529 : 48 =

2 3 5 2 19 00 00 40

5 14 6 10 4 016 25 10 4 40

7 3 5 2 0 8 Wir haben unser Ergebnis: 73,5208!

Kapitel 19128

Wir rechnen noch eine Aufgabe dieses Typs zusammen: 55784 : 79. Aus der 79 wird nach der Umwandlung in eine Vinculum-Zahl die 81 – und schon multiplizieren wir nicht in jedem Schritt mit 9, sondern nur mit 1.

55784 : 79 =

1 5 5 7 8 48

Teilen Sie 55 : 8 = 6 Rest 7. Schreiben Sie 6 in die Ergebniszeile und 7 in den Übertrag. Multipli-zieren Sie 6 • 1 = 6. Addieren Sie 77 + 6 = 83. Teilen Sie 83 : 8 = 10 Rest 3. Notieren Sie 10 in der Lösungszeile, 3 geht in den Übertrag. Von der 10 bleibt die 0 in dieser Spalte stehen und die 1 wird zur 6 addiert, macht 7. Das tragen wir dann ganz zum Schluss noch ein – behalten Sie es aber im Hinterkopf.

55784 : 79 =

1 5 5 77 38 4

8 683

6 10

Aber zuerst rechnen Sie 10 • 1 = 10 und addieren 38 + 10 = 48. Sie teilen 48 : 8 = 6 Rest 0. Fügen Sie nun auch die Nullen für die Nachkommastellen ein.

55784 : 79 =

1 5 5 77 38 04 0 0 0

8 6 1083 48

6 10

Als Nächstes multiplizieren Sie 6 • 1 = 6. Sie addieren 04 + 6 = 10 und teilen 10 : 8 = 1 Rest 2. Schreiben Sie 1 in die Ergebniszeile und 2 in den Übertrag. 1 • 1 = 1 und 20 + 1 = 21. Teilen Sie jetzt 21 : 8 = 2 Rest 5. Die 2 geht in die Lösungszeile, die 5 in den Übertrag.

55784 : 79 =

1 5 5 77 38 04 20 50 0

8 6 10 6 1 283 48 10 21 52

6 10 6 1 2


Nun multiplizieren Sie 2 • 1 = 2, addieren 50 + 2 = 52. Teilen Sie 52 : 8 = 6 Rest 4. Die 6 notieren Sie in der Lösungszeile, die 4 geht in den Übertrag.Anschließend rechnen Sie noch 6 • 1 = 6 und addieren 40 + 6 = 46. Teilen Sie 46 : 8 = 5 Rest 6. Zum Schluss bearbeiten Sie noch den Übertrag in der Ergebniszeile: Addieren Sie den Übertrag 1 zu der 6 ganz am Anfang, sie wird zu einer 7.

55784 : 79 =

1 5 5 77 38 04 20 50 40

8 6 10 6 1 2 683 48 10 21 52 46

6 7 1 0 6 1 2 6 5

Jetzt haben wir unser Ergebnis: 706,1265.

Übungsaufgaben:

2468 : 79 =

7356 : 68 =

4466 : 47 =


31,2405108,176495,0212

Kapitel 20130

Kapitel 20

20. Duplex rechnen

Dieses Kapitel zeigt einen Zwischenschritt, den wir für die nachfolgenden Kapitel mit Zahlen im Quadrat und beim Ziehen der Wurzel aus einer Zahl brauchen. Auch hier gibt es wieder ein Rechenmuster, und mit etwas Übung können Sie bald automatisch nach dem Duplex-Muster rechnen.

20.1 Zahlen zerlegen

Hier handelt es sich nicht um ein Bild wie in Kapitel 14, sondern um einen ganz bestimmten Weg, wie wir Zahlen zuerst zerlegen und dann miteinander multiplizieren. Beide Schritte sind not-wendig, um Zahlen zu quadrieren. Zum Ziehen der Wurzel benötigen Sie nur das „Multiplizier-Muster.“

Um das Prinzip zu verdeutlichen, ersetzen Buchstaben die Zahlen. Wenn Sie nun zum Beispiel die Zahl 312 haben, zerlegen Sie sie so: 312 = 3, 31, 312, 12, 2. Setzt man statt der Zahlen Buchstaben ein, sieht das so aus: abc = a, ab, abc, bc, c. Was fällt Ihnen auf? Genau, zuerst werden es mehr Zahlen und dann wieder weniger. Wir reihen sie auf wie Perlen auf einer Kette.

Nehmen Sie nun diese Zahl auseinander: 597Ganz leicht, oder? Die richtige Lösung ist natürlich: 597 = 5, 59, 597, 97, 7

Übungsaufgaben:

456

989

258

673


4, 45, 456, 56, 69, 98, 989, 89, 92, 25, 258, 58, 86, 67, 673, 73, 3

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 31 „Zahlen zerlegen“ an. Zahlen zerlegen

20. Duplex rechnen 131

20.2 Duplex-Zahlen rechnen

Dies ist nur ein Zwischenschritt, den wir hier üben, damit wir ihn in unserem nächsten Kapitel anwenden können. Dort benötigen wir die Ergebnisse der einzeln gerechneten Duplex-Zahlen. Dafür gibt es wieder ein Muster. Setzt man Buchstaben statt Zahlen ein, sieht es so aus: abcda = a2 ab = (a • b) • 2abc = (a • c) • 2 + b2

abcd = (a • d) • 2 + (b • c) • 2

Zur Erläuterung: – Bei einer einzelnen Zahl nehmen Sie die Zahl einfach hoch 2. Wenn die erste Zahl also beispiels-

weise eine 3 ist, müssen Sie 32 rechnen. Was aber bedeutet das? Wir denken: 3 = 32 = 3 • 3 = 9– Haben Sie eine zweistellige Zahl wie etwa 32, dann rechnen Sie:

32 = (2 • 3) • 2 = 6 • 2 = 12– Bei einer dreistelligen Zahl wie zum Beispiel 321 ergibt sich folgende Rechnung:

321 = (3 • 1) • 2 + 22 = 3 • 2 + 22 = 6 + 22 = 6 + 4 = 10– Und schließlich bei einer vierstelligen Zahl, zum Beispiel 3214, rechnen Sie:

3214 = (3 • 4) • 2 + (2 • 1) • 2 = 12 • 2 + 2 • 2 = 24 + 4 = 28

Üben Sie an einem weiteren Beispiel und versuchen Sie dabei so wenig Zwischenschritte wie möglich anzuwenden. Nehmen Sie die Zahl zuerst auseinander und berechnen Sie dann die ein-zelnen Duplexe. Die Zahl lautet 2516. Wie nehmen Sie 2516 auseinander nach unserem Muster? Das fällt Ihnen sicher kinderleicht: 2, 25, 251, 2516, 516, 16, 6

So weit, so gut! Nun nehmen Sie die einzelnen Teile der Zahlen und rechnen nach dem Duplex-Muster weiter:

2 = 22 = 425 = (2 • 5) • 2 = 20251 = (2 • 1) • 2 + 52 = 292516 = (2 • 6) • 2 + (5 • 1) • 2 = 24 + 10 = 34

Übungsaufgaben:

5241 7145 4262


25, 20, 44, 26, 20, 8, 1 49, 14, 57, 78, 26, 40, 25 16, 16, 52, 40, 44, 24, 4

Sehen sie sich nun Video eKapitel 32 „Duplex-Zahlen rechnen“ an.

516 = (5 • 6) • 2 + 12 = 6116 = (1 • 6) • 2 = 126 = 62 = 36

Duplex-Zahlen

Kapitel 21132

Kapitel 21

21. Zahlen quadrieren

Es gibt zwei Wege, um Zahlen zu quadrieren: nach der Duplex-Methode und mit Basis. Hier kommt wieder die Sutra 3 „Vertikal und kreuzweise“ zum Einsatz. Als Erstes zeige ich Ihnen die Duplex-Methode, danach gehe ich kurz auf die Basis-Methode ein. Nur kurz, weil sie so super-einfach ist und weil Sie so im Grunde schon gerechnet haben, als Sie Zahlen mit Basis multipli-ziert haben. Aber dazu später mehr …

21.1 Zahlen mit Duplex-Methode quadrieren

Als erstes Beispiel nehmen wir 362. Wir nehmen die erste Ziffer und die letzte Ziffer einzeln und quadrieren sie, multiplizieren sie also mit sich selbst. Das ist dann 3 • 3 = 32 = 9 und 6 • 6 = 62 = 36. Wir schreiben 9 in das erste Lösungskästchen. Die 36 schreiben wir mit der 6 als Zahl und der 3 im Übertrag in das dritte Lösungskästchen.

362

936

Nun nehmen wir beide Ziffern der Ausgangszahl und multiplizieren sie (3 • 6 = 18). Das Ergebnis verdoppeln wir anschließend, in diesem Fall 18 • 2 = 36. Das Ergebnis schreiben wir in das mittle-re Kästchen: die 6 als Zahl und die 3 im Übertrag. Das ist unsere Rechnung: (3 • 6) • 2 = 36.

362

936

36

Jetzt müssen Sie nur noch die Überträge auflösen, und schon haben Sie das Ergebnis! Dazu ad-dieren Sie den Übertrag zur jeweils vorangegangenen Zahl. In unserem Beispiel: Die 3 aus dem mittleren Kästchen wird zur 9 im ersten Kästchen addiert, ergibt 12. Die 3 vom letzten Kästchen addieren Sie zur 6 im mittleren Kästchen, macht 9.

362

9 + 312

36 + 3

9366

Demnach ist 1296 unser Ergebnis!

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 33 „Zahlen im Quadrat“ an. im Quadrat

21. Zahlen quadrieren 133

So, was haben wir da eigentlich gerade gerechnet? Genau, wir haben die 36 zuerst nach dem Duplex-Muster zerlegt: 3, 36, 6. Die einzelnen Ziffern wurden dann quadriert, bei der zweistelli-gen Zahl haben wir die einzelnen Ziffern miteinander multipliziert und anschließend verdoppelt. Gregor Staub hat aber die geniale und viel einfacher zu verstehende Methode gefunden, die wir hier verwenden.

Also, rechnen wir noch ein Beispiel durch: 832. Nehmen Sie die erste und die letzte Zahl separat im Quadrat und setzen Sie die Ergebnisse in das erste und letzte Kästchen ein: 8 • 8 = 82 = 64 und 3 • 3 = 32 = 9

832

64 9

Als Nächstes multiplizieren Sie die beiden Ziffern der Ausgangszahl miteinander und verdoppeln das Ergebnis. Das sieht als Rechnung so aus: (8 • 3) • 2 = 24 • 2 = 48. Schreiben Sie die 8 in das mittlere Lösungskästchen mit der 4 als Übertrag.

832

6448 9

Im letzten Schritt addieren Sie den Übertrag im mittleren Kästchen zu der Zahl im ersten Käst-chen und haben das Ergebnis.

832

6448 9

68 8 9

Wir haben die Aufgabe gelöst, das Ergebnis lautet 6889 – klasse!

Das Ganze funktioniert natürlich mit größeren Zahlen ebenso gut. Daher quadrieren wir noch eine dreistellige Zahl und dann eine vierstellige Zahl. Damit haben Sie dann das Rüstzeug, um auch 8- oder sogar 12-stellige Zahlen zu quadrieren – und zwar ohne Taschenrechner!

Das nächste Rechenbeispiel ist 5342. Für eine dreistellige Zahl brauchen wir natürlich mehr Käst-chen, insgesamt fünf in der unteren Zeile.

Wie bei den anderen Aufgaben quadrieren Sie zuerst die erste und letzte Zahl, also 5 • 5 = 52 = 25 und 4 • 4 = 42 = 16. Die Ergebnisse kommen in das erste und letzte Kästchen, bei der 16 geht die 1 in den Übertrag.

5342

2516

Kapitel 21134

Jetzt nehmen Sie die ersten beiden Ziffern der Zahl und rechnen nach dem Duplex-Muster für zweistellige Zahlen: (5 • 3) • 2 = 15 • 2 = 30. Die 0 schreiben Sie in das zweite Lösungskästchen, die 3 geht in den Übertrag.

5342

2530

16

Als Nächstes wiederholen Sie das Ganze mit den letzten beiden Zahlen: (3 • 4) • 2 = 12 • 2 = 24. Das Ergebnis kommt in das vierte Kästchen, die 2 geht in den Übertrag.

5342

2530

24

16

Für das mittlere Kästchen machen Sie aus der ersten und der letzten Ziffer eine zweistellige Zahl, die mittlere Ziffer wird als einzelne Zahl behandelt und quadriert. Die Ergebnisse beider Teil-rechnungen werden addiert (das Duplex-Muster für dreistellige Zahlen abc = (a • c) • 2 + b2). Also zuerst rechnen Sie (5 • 4) • 2 = 40 und 3 • 3 = 9. Anschließend addieren Sie 40 + 9 und erhalten 49. Das Ergebnis kommt in das mittlere Lösungskästchen, die 4 geht in den Übertrag.

5342

2530

49

24

16

Zum Schluss lösen Sie die Überträge auf.

5342

2530

49

24

16

28 5 1 5 6

Die richtige Lösung lautet also 285156.


Als Letztes folgt noch eine vierstellige Zahl zu Übungszwecken: 38242. Diese nehmen wir nach der Duplex-Methode auseinander 3, 38, 382, 3824, 824, 24, 4. Wir müssen wieder ein paar zusätz-liche Kästchen einzeichnen, insgesamt brauchen wir sieben.

Der Einfachheit halber rechnen wir erst die beiden einstelligen, dann die beiden zweistelligen, dann die beiden dreistelligen Zahlen aus, wie in den anderen Aufgaben auch und tragen die Er-gebnisse in die entsprechenden Kästchen. Zum Schluss berechnen wir noch die vierstellige Zahl.Also, zuerst quadrieren wir die erste und die letzte Zahl: 3 • 3 = 9 und 4 • 4 = 16. Das erste und letzte Lösungskästchen sind nun gefüllt.

38242

916

Als Nächstes nehmen wir uns die ersten beiden und die letzten beiden Ziffern vor. Die ersten bei-den Ziffern werden miteinander multipliziert und anschließend verdoppelt. Das Gleiche passiert mit den letzten beiden Ziffern: (3 • 8) • 2 = 48 und (2 • 4) • 2 = 16. Die beiden Zahlen kommen in das zweite und sechste Kästchen.

38242

948

16

16

Jetzt nehmen wir die ersten drei und dann die letzten drei Ziffern (also 382 und 824). Wir multi-plizieren jeweils die erste und die letzte Ziffer der dreistelligen Zahl und verdoppeln das Ergeb-nis. Dazu addieren wir das Quadrat der mittleren Ziffer. Für 382 sieht die Rechnung so aus: (3 • 2) • 2 = 12 und 82 = 64, macht zusammen 76. Für 824: (8 • 4) • 2 = 64 und 22 = 4, macht zusammen 68. Da wir von außen nach innen arbeiten, kommen die Zahlen in das dritte und fünfte Kästchen.

38242

948

76

68

16

16

Im nächsten Schritt nehmen wir die beiden äußeren und die beiden inneren Ziffern der Aus-gangszahl als Zahlenpaare (34 und 82), multiplizieren jeweils die einzelnen Ziffern miteinander und verdoppeln das Ergebnis. Dann addieren wir beide Ergebnisse. (3 • 4) • 2 = 24 und (8 • 2) • 2 = 32 macht zusammen 56. Diese Zahl gehört in das noch freie mittlere Kästchen. Denken Sie beim Aufschreiben auch immer an den Übertrag!

38242

948

76

56

68

16

16

Kapitel 21136

Im letzten Schritt lösen wir noch die Überträge auf. Am besten fangen wir hinten an:

38242

948

76

56

68

16

16

14 6 2 2 9 7 6

Wir haben unser Ergebnis: 14622976. Na, das soll Ihnen erst einmal einer nachmachen!

Übungsaufgaben:

462 =

7582 =

24682 =

672 =

7822 =

55632 =


21165745646091024448961152430946969


21.2 Zahlen mit Basis quadrieren

Wir gehen hier kurz auf eine weitere Möglichkeit ein, wie Sie Zahlen in der Nähe einer Basis qua-drieren können. Das ist ganz einfach für Sie, da Sie das Multiplizieren mit Basis ja schon können.Wir rechnen 982, was ja eigentlich 98 • 98 ist. Zuerst bestimmen Sie die Basis, das ist 100, und die Differenz, das ist -02. Sie rechnen 98 – 02 (Differenz) = 96 und haben schon die erste Hälfte gerechnet. Zuletzt rechnen Sie noch 022 = 04. Sie hängen die 04 an die 96 und haben 9604 als Ergebnis.

Rechnen wir 962. 100 ist die Basis und so ist die Differenz -04. Wir rechnen 96 – 04 = 92. Jetzt quadrieren wir die 042 = 16 und hängen diese an die 92. Das Ergebnis ist: 9216

Das funktioniert genauso über der Basis. Wir rechnen 1072. Die Differenz zur Basis ist +07 und so addieren wir 107 + 07 = 114. Im nächsten Schritt rechnen wir die Differenz im Quadrat: 072 = 49. Zusammengesetzt ergibt das 11449! Sollten Ihnen diese Schritte nicht ganz klar sein, rechnen Sie die Aufgabe einmal wie 107 • 107=

Basis 100 107 x 107 = 114/49

= 11449

+07 +07

Übungsaufgaben:

972 =

9892 =

9952 =

1022 =

1052 =

10102 =


940997812199002510404110251020100

Kapitel 22138

Kapitel 22

22. Die Wurzel aus einer Zahl ziehen

Wurzelziehen ist so eine Sache: Man kann das Ergebnis raten/schätzen oder rechnen. Das Rechnen ist kompliziert. Der Rechenweg ist ähnlich dem schriftlichen Dividieren und ziemlich langwierig, insbesondere wenn man darin nicht geübt ist. Wozu gibt es denn schließlich den Taschenrechner? Auch der vedische Rechenweg fällt nicht in die Kategorie „Einfache und schnel-le Rechentricks“. Aber wenn Sie dem Weg Schritt für Schritt folgen, geht Ihnen das Wurzelziehen bald leicht von der Hand – wieder ganz ohne Taschenrechner!

22.1 Einfaches Wurzelziehen

Für das Wurzelziehen ist es am einfachsten, die ganze Aufgabe und Rechnung in eine Tabelle zu schreiben. Fangen wir einfach mit folgender Aufgabe an: √1296. Das Beispiel ist extra so gewählt, dass das Ergebnis aufgeht. Sie sollen sich ja erst einmal mit dem Prinzip vertraut machen, bevor es etwas anspruchsvoller wird. Die Tabelle ist unterteilt, um das Rechnen zu erleichtern. Duplex: Dort kommen die errechneten Duplex-Zahlen der Antwort-Zeile rein. Output: ist für das Zwi-schenergebnis und Antwort, klar, für die Antwort!

Bei einer geraden Anzahl von Ziffern kommen die ersten beiden Ziffern immer zusammen in ein Kästchen. Bei einer ungeraden Anzahl von Ziffern bekommt jede Ziffer ein eigenes Kästchen zu-gewiesen. Pro 2er-Paar an Ziffern haben wir eine Lösungsziffer, also machen wir einen dickeren Strich, damit wir wissen, wo unser Komma bei der Lösung ist (wenn es eine Kommazahl ist).

√1296 12 9 6

Duplex

Output

Antwort

Zuerst müssen wir bestimmen, welches die nächstniedrigere Zahl wäre, die eine perfekte Wurzel bildet. Also eine Quadratzahl unter 12, das ist in diesem Fall √9 = 3. Dabei bleibt ein Rest von 3, die Differenz zwischen 12 und 9. Die 3 von der √9 kommt in das erste Antwort-Kästchen. Den Rest 3 notieren wir als Übertrag vor die 9 in der obersten Zeile, aus der so eine 39 wird. Wir ver-doppeln die 3 aus dem Antwort-Kästchen auf 6. Damit ist 6 unser Divisor.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 34 „Einfaches Wurzelziehen“ an. Wurzelziehen


√1296 1239 6

Duplex

Output

Antwort 3

• 2 = 6Divisor

Als Nächstes teilen wir 39 : 6 = 6 Rest 3. Die 6 kommt in das nächste Lösungskästchen und die 3 als Rest vor die 6 in der oberen Zeile.

√1296 1239

36

Duplex

Output

Antwort 3 6

• 2 = 6Divisor

Jetzt kommt der Teil, bei dem wir mit Duplex rechnen: Alle Zahlen in der Ergebniszeile (außer der ersten, die den Divisor stellt) werden nach dem Duplex-Prinzip gerechnet. Die 6 ist eine einzelne Zahl. Also wird sie quadriert: 62 = 36. Diese schreiben wir in das letzte Kästchen der Duplex-Reihe. Wir subtrahieren in der letzten Spalte 36 – 36 = 0.

√1296 1239

36

Duplex 36

Output 0

Antwort 3 6

• 2 = 6Divisor

Die Lösung lässt sich nun in der Antwort-Zeile ablesen: Das Ergebnis ist 36.

Kapitel 22140

Lösen wir gleich noch eine Aufgabe ohne Kommastelle zusammen, bevor wir uns mit Aufgaben mit Kommastelle beschäftigen: √3249. Im ersten Schritt zeichnen wir unsere Tabelle. Da die Aufgabe aus einer geraden Anzahl von Zif-fern besteht, kommen die ersten zwei Ziffern gemeinsam in das erste Kästchen.

√3249 32 4 9

Duplex

Output

Antwort

Jetzt überlegen wir, welche Zahl die nächstniedrigere perfekte Wurzel hat: √25 = 5, es bleibt ein Rest von 7. Die 5 übertragen wir in das Lösungskästchen, und die 7 kommt vor die 4 als Übertrag.

√3249 3274 9

Duplex

Output

Antwort 5

Nun verdoppeln wir die 5 und haben unseren Divisor 10. Wir teilen 74 : 10 = 7 Rest 4. Die 7 kommt in die Lösungszeile, und die 4 geht in den Übertrag vor die 9.

√3249 3274

49

Duplex

Output

Antwort 5 7

• 2 = 10Divisor

Wir rechnen 72 = 49 und schreiben dies in das letzte Duplex-Kästchen. Nun ziehen wir die 49 vom Duplex von der 49 von der Aufgabe ab und erhalten 0.

√3249 3274

49

Duplex 49

Output 0

Antwort 5 7

• 2 = 10Divisor

Unser Ergebnis ist 57!


Übungsaufgaben:

√2116 =

√3844 =

√1521 =


22.2 Wurzelziehen mit Kommastelle

Derart glatte Ergebnisse beim Wurzelziehen wie bei den vorigen Aufgaben sind ja eher selten. Daher werden Sie jetzt lernen, wie Sie auch ungerade Ergebnisse beim Wurzelziehen souverän berechnen. Wie immer zeige ich Ihnen das Prinzip anhand eines Beispiels. Nehmen wir √4167.Als Erstes ist die Tabelle dran: Die Anzahl der Ziffern ist gerade, also kommen die ersten beiden Ziffern in ein Kästchen. Wir suchen jetzt die nächstniedrigere perfekte Wurzel für die 41: √36 = 6. Wir schreiben die 6 in die Antwort-Zeile und verdoppeln sie für den Divisor. Den Rest 5 schreiben wir vor die 6 in der Aufgabenzeile.

√4167 4156 7

Duplex

Output

Antwort 6

• 2 = 12Divisor

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 35 „Wurzelziehen mit Kommastelle“ an.

Wurzelziehen mit Kommastelle

Kapitel 22142

Wir teilen 56 : 12 = 4 Rest 8. Die 4 kommt in das nächste Antwort-Kästchen und die 8 in den Übertrag.

√4167 4156

87

Duplex

Output

Antwort 6 4

• 2 = 12Divisor

Wir rechnen nun Duplex: 42 = 16 und schreiben dies in das letzte Duplex-Kästchen. Wir ziehen 16 von 87 ab und erhalten 71. Diese Zahl kommt in das letzte Kästchen der Output-Zeile.

√4167 4156

87

Duplex 16

Output 71

Antwort 6 4

• 2 = 12Divisor

Wir hängen zwei weitere Spalten mit Nullen in der Aufgabenzeile an, für weitere Nachkomma-stellen. Sie können natürlich auch mehr Nachkommastellen ausrechnen, wenn Sie mögen. Wir teilen 71 : 12 = 5 Rest 11. Die 5 geht in die Antwort-Zeile, die 11 als Übertrag zur 0.

√4167 4156

87

110 0

Duplex 16

Output 71

Antwort 6 4 5

• 2 = 12Divisor

Jetzt kommen wir wieder zum Duplex-Schritt: Dafür haben wir nun zwei Ziffern in der Antwort-Zeile – die erste, die den Divisor stellt, wird ja nicht mitgezählt. Überlegen Sie: Wie rechnen Sie noch einmal zwei Ziffern Duplex? Genau, Sie multiplizieren sie miteinander und verdoppeln das Ergebnis, also (4 • 5) • 2 = 40. Notieren Sie 40 in das nächste freie Duplex-Kästchen, unter die 110, und rechnen Sie 110 – 40 = 70. Diese Zahl kommt in das nächste freie Output-Kästchen.


√4167 4156

87

110 0

Duplex 16 40

Output 71 70

Antwort 6 4 5

• 2 = 12Divisor

Wir teilen 70 : 12 = 5 Rest 10. Jetzt haben wir drei Duplex-Zahlen zu berechnen, nach dem be-kannten Muster: 455 = (4 • 5) • 2 = 40 und 52 = 25, beides addiert macht 65. Wir schreiben die 65 unter die 100 in das Duplex-Kästchen.

√4167 4156

87

110

100

Duplex 16 40 65

Output 71 70

Antwort 6 4 5 5

• 2 = 12Divisor

In das letzte Output-Kästchen tragen wir das Ergebnis von 100 – 65 = 35 ein. Anschließend teilen wir 35 : 12 = 2 Rest 11. Wir schreiben die 2 in das letzte Antwort-Kästchen.

√4167 4156

87

110

100

Duplex 16 40 60

Output 71 70 35

Antwort 6 4 5 5 2

• 2 = 12Divisor

So, nun haben wir unser Ergebnis: 64,552

Kapitel 22144

Machen wir gleich mit der nächsten Beispielaufgabe weiter: √53862. Dieses Mal haben wir eine ungerade Anzahl an Ziffern, daher bekommt jede Ziffer ein eigenes Kästchen in unserer Tabelle. Da die Zahl aus fünf Ziffern besteht und sie zwei Zweiergruppen und eine einzelne Ziffer hat, wissen wir, dass unsere Antwort aus 3 Ziffern vor dem Komma besteht.

Der erste Schritt (nach dem Zeichnen der Tabelle) ist wieder, zu überlegen, welche Zahl unter 5 eine perfekte Wurzel hat. Das ist √4 = 2, also kommt die 2 in das erste Antwort-Kästchen und wir haben einen Rest 1 im Übertrag. Wir verdoppeln 2 = 4 und erhalten so den Divisor.

√53862 513 8 6 2

Duplex

Output

Antwort 2

• 2 = 4Divisor

Wir teilen 13 : 4 = 3 Rest 1, schreiben die 3 ins Antwort-Kästchen und die 1 in den Übertrag.

√53862 513

18 6 2

Duplex

Output

Antwort 2 3

• 2 = 4Divisor

Wir nehmen die 3 im Duplex, also 32 = 9. Schreiben sie in das dritte Duplex-Kästchen und ziehen sie von der 18 ab = 9. Diese 9 kommt dann in das dritte Output-Kästchen. Wir teilen 9 : 4 = 2 Rest 1, die 2 notieren wir im dritten Antwort-Kästchen, 1 geht in den Übertrag.

√53862 513

18

16 2

Duplex 9

Output 9

Antwort 2 3 2

• 2 = 4Divisor


Wir nehmen nun die 3 und die 2 in der Antwort-Zeile als Duplex: (3 • 2) • 2 = 12. Diese Zahl schrei-ben wir in das nächste freie Duplex-Kästchen. Als Nächstes ziehen wir 12 von 16 ab, das macht 4, und tragen das Ergebnis in das vierte Output-Kästchen ein. Wir teilen 4 : 4 = 1 Rest 0, notieren 1 in der Antwort-Zeile.

√53862 513

18

16

02

Duplex 12

Output 4

Antwort 2 3 2 1

• 2 = 4Divisor

Jetzt rechnen wir 321 im Duplex: (3 • 1) • 2 = 6 und 22 = 4, macht zusammen 10. Nun fällt aber auf, dass die Rechnung so nicht aufgeht, weil die 2 in der Aufgabenzeile kleiner ist als das Ergebnis 10 unserer Duplex-Rechnung. Was tun? Wir gehen einen Schritt zurück, rechnen 4 : 4 = 0 Rest 4. Diese Ergebnisse notieren wir in unserer Tabelle. Dadurch verändert sich die nachfolgende Duplex-Rechnung.

√53862 513

18

16

0 4 2

Duplex 12

Output 4

Antwort 2 3 2 1 0

• 2 = 4Divisor

Wir rechnen jetzt 320 im Duplex : (3 • 0) • 2 = 0 und 22 = 4, macht zusammen 4. Wir schreiben 4 in das letzte Duplex-Kästchen und ziehen sie von 42 ab, das ergibt 38. (Wir fügen noch eine Spalte mit einer Null in der Aufgabenzeile hinzu. Wir hören hier zwar nach der zweiten Kommastelle auf, aber um sicherzugehen, dass wir die richtige Zahl errechnet haben, rechnen wir noch einen Schritt weiter. Wir teilen also 38 : 4 = 9 Rest 2.

√53862 513

18

16

0 4 2

20

Duplex 12 4

Output 4 38

Antwort 2 3 2 1 0 9

• 2 = 4Divisor

Kapitel 22146

Wir rechnen 3209 im Duplex: (3 • 9) • 2 = 54 und (0 • 9) • 2 = 0, macht zusammen 54. Wir sehen wieder, dass 54 größer als 20 ist und reduzieren daher die 9 in der Antwort-Zeile um 1 auf 8.

√53862 513

18

16

0 4 2

20

Duplex 12 4

Output 4 38

Antwort 2 3 2 1 0 9 8

• 2 = 4Divisor

Unser Ergebnis ist 232,08.

Übungsaufgaben:

√4253 =

√4622 =

√568 =

√86523 =


65,215067,985223,8327294,1479

23. Magische Quadrate 147147

23. Magische Quadrate

Magische Quadrate haben die Menschen schon vor über 4000 Jahren fasziniert. Im alten Ägyp-ten wurden sie in Stein gemeißelt oder als Glücksbringer getragen. Man sagte ihnen magische Kräfte nach. In Indien sind die magischen Quadrate mit 3 • 3 Feldern Teil der religiösen Rituale. Es gibt sogar Schmuckstücke die ein magisches Quadrat haben, in jedem der 9 Kästchen befindet sich ein anderer Edelstein. In dem bekannten Tempel in Khajuraho findet man sogar ein magi-sches Quadrat mit 4 • 4 Feldern. Heute finden sie in manchen Assessment-Centern Verwendung, auch Grundschüler bekommen sie oft zum Knobeln. Manch einem erscheinen sie verwirrend, weil sie Sudokus so ähnlich zu sein scheinen – und doch so völlig anders sind.

In dem berühmten Stich „Melencolia I“ hat Albrecht Dürer ein magisches Quadrat mit 4 • 4 Fel-dern gezeichnet. Es sieht so aus:

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Was ist nun das Magische an magi-schen Quadraten? Nun, jede Zeile und jede Spalte ergibt, wenn man die darin enthaltenen Zahlen addiert, die gleiche Summe, in diesem Fall ist es 34. Auch bei diagonaler Addition erhält man 34. Schauen Sie sich auch einmal die linken unteren 4 Kästchen an (9, 6, 4, 15). Fällt Ihnen etwas auf? Nein? Dann addieren Sie die Zahlen einmal! Ergibt auch 34. Verblüffend, oder? Das Gleiche passiert übrigens bei den anderen Vierer-Eck-kästchen. Ist doch genial!Probieren Sie es einmal selbst mit einem magischen Quadrat mit 3 • 3 Kästchen.

Die Aufgabe lautet: Verteilen sie die Zahlen 1 bis 9 auf die neun Felder des Quadrats, und zwar so, dass jede Spalte, Zeile und Diagonale addiert die Summe 15 ergibt. Viel Spaß beim Knobeln! Versuchen Sie erst, die Aufgabe allein zu lösen, bevor Sie in den Lösungsweg spicken.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 36 „Magische Quadrate“ an.

Kapitel 23

Magische Quadrate

Kapitel 23148

Und? Haben Sie es geschafft? Auch für magische Quadrate gibt es einen ganz einfachen Trick, ein Muster: Sie fangen im mittle-ren oberen Kästchen an und springen dann immer ein Feld nach oben und ein Feld nach rechts, um dort die nächste Zahl einzutragen. Stellen Sie sich das Quadrat wie einen Würfel vor, um den Sie einen Faden wickeln. Wenn es in einer Zeile oder Spalte nicht weitergeht, dann machen Sie auf der gegenüberliegenden Seite weiter.

Legen wir einfach los: Die 1 kommt einfach in das mittlere obere Kästchen. Als Nächstes gehen Sie ein Feld nach oben – und sind eigentlich außerhalb der Kästchen, aber, wie eben erklärt, springen Sie einfach wieder unten in die Spalte. Dieser Schritt bringt Sie also in das mittlere unte-re Kästchen. Jetzt gehen Sie ein Feld nach rechts, dort tragen Sie die 2 ein.

1

2

Jetzt geht es weiter: eins nach rechts (wieder einfach über den Rand hinauszählen) und eins nach oben. Hier steht die 3, im linken Kästchen der mittleren Zeile.

1

3

2

Würden wir nun wieder eins nach oben, eins nach rechts gehen, würden wir wieder bei der 1 ankommen. Das geht natürlich nicht, denn in dem Kästchen ist ja schon eine Zahl eingetragen. Daher kommen wir zum zweiten Teil der Regel: Nach jeder 3. Zahl gehen Sie, wenn es nicht mehr weitergeht, einfach ein Feld nach unten. Also tragen Sie die 4 unter der 3 im linken Käst-chen in der letzten Zeile ein.

1

3

4 2


Nun geht es weiter wie vorher: eins nach oben, eins nach rechts. So ermitteln Sie schnell die Position der 5 und der 6.

1 6

3 5

4 2

Jetzt sind wir wieder bei der dritten Zahl, und die nächste Zahl wäre eigentlich an der gleichen Stelle einzutragen, an der bereits die 4 steht. Also gehen Sie laut Regel ein Feld nach unten.

1 6

3 5 7

4 2

Wieder geht es ganz normal weiter für die letzten beiden Zahlen. Und schon ist das magische Quadrat ausgefüllt!

8 1 6 =15

3 5 7 =15

4 9 2 =15

Überprüfen Sie das Ergebnis ruhig noch einmal, indem Sie jede Zeile, Spalte und Diagonale ad-dieren. Die Summe ergibt immer 15.

Sie können für ein solches magisches Quadrat jede Zahl als Wert bestimmen, die durch 3 teilbar ist. Wichtig ist nur, dass Sie beim Ausfüllen des magischen Quadrats im mittleren Kästchen der obersten Zeile beginnen – sonst stimmen die Werte in den Diagonalen nicht.

Regel

Mit welcher Zahl Sie in diesem Kästchen beginnen müssen, errechnen Sie mit einer Formel. Für ein magisches Quadrat mit dem Wert 27 sieht sie so aus: (27 : 3) – 4 = 5. Diese Formel gilt für alle magischen Quadrate mit 3 • 3 Feldern (x : 3 – 4 = Anfangs-zahl). Sie nehmen eine Zahl die durch 3 teilbar ist, teilen sie durch 3 und ziehen 4 ab. Bei den magischen Quadraten mit 3 • 3 Feldern ziehen Sie immer 4 ab. Das magische Quadrat ist demnach mit den Zahlen 5 bis 13 auszufüllen.

!

Kapitel 23150

5

Tragen Sie als Erstes die Ausgangszahl 5 ein. Dann gehen Sie für die 6 und die 7 jeweils nach dem Muster „Eins nach oben, eins nach rechts“ vor.

5

7

6

Bei der nächsten Zahl würde es zu einer Überlappung kommen und es ginge nicht mehr weiter, also schreiben Sie die 8 einfach wieder in das Kästchen im Feld unter der 7. Die Zahlen 9 und 10 sind schnell ermittelt.

5 10

7 9

8 6

Wieder sind Sie bei der dritten Zahl und dürfen für die 11 aufgrund der Überlappung ein Feld nach unten gehen. Jetzt fehlen nur noch die 12 und die 13 – und schon ist auch dieses magische Quadrat gefüllt!

12 5 10

7 9 11

8 13 6

Zur Überprüfung addieren Sie noch die Zahlen in jeder Zeile, Spalte und den Diagonalen, und überzeugen Sie sich, dass die Summen immer 27 ergeben!

Das Prinzip funktioniert bei allen magischen Quadraten, die eine ungerade Anzahl an Kästchen haben: also 5 • 5, 7 • 7, aber auch 21 • 21 oder 333 • 333. Gut, das wäre natür- lich etwas übertrieben groß, aber möglich wäre es und das Prinzip würde funktionieren!


,Befüllen wir ein etwas größeres magisches Quadrat: 5 • 5. Wenn Sie die 1 als Ausgangszahl wäh-len, ergibt die Summe in jeder Zeile, Spalte und den Diagonalen 65. Wenn Sie es im Anschluss mit einer anderen Ausgangszahl probieren wollen, errechnen Sie die Ausgangszahl wie folgt: (x : 5) – 12. Natürlich muss die Summe x durch 5 teilbar sein. Für 65 lautet die Formel also (65 : 5) – 12 = 13 – 12 = 1.

1

5

4

3

2

Der Ausgangspunkt ist wieder das mittlere Kästchen in der obersten Reihe. Außerdem gilt jetzt: Nach jeder 5. Zahl dürfen Sie, wenn es nicht weitergeht, ein Kästchen nach unten gehen. Ansonsten springen Sie immer ein Feld nach oben, ein Feld nach rechts und tragen dort die entsprechen-de Zahl ein.

1 8

5 7

4 6

10 3

2 9

Die ersten fünf Zahlen sind bestimmt kein Problem. Nun würde es bei der 6 eine Überlappung geben, daher dürfen Sie einfach ein Feld nach unten rutschen. Bis zur 10 sollte wieder alles problemlos verlaufen.

1 8 15

5 7 14

4 6 13

10 12 3

11 2 9

Das klappt jetzt sicher schon viel schneller als bei Ihrem ersten magischen Quadrat, nicht wahr? Die 11 kommt unter die 10, die Zahlen 11 bis 15 schreiben Sie, dem Muster folgend, diagonal von unten links nach oben rechts.

Kapitel 23152

17 1 8 15

5 7 14 16

4 6 13 20

10 12 19 3

11 18 2 9

Die 16 darf wieder unter der 15 eingetragen werden, die nächsten fünf Zahlen bis zur 20 folgen wieder dem Muster „Eins nach oben, eins nach rechts“.

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

Klasse! Jetzt haben Sie es schon bald geschafft. Schreiben Sie die 21 unter die 20 und gehen in den letzten Zyklus für die Zahlen 21 bis 25 – fertig!

Übungsaufgaben:

Versuchen Sie nun, diese magischen Quadrate ohne Hilfestellung zu lösen.

Die 3 • 3-Quadrate haben folgende Werte: 21, 75, und 36. Formel: (x : 3) – 4 = Anfangszahl


Die beiden 5 • 5-Quadrate haben den Wert 95 und 125.Formel: (x : 5) – 12 = Anfangszahl

Wenn Sie einmal ein richtig großes magisches Quadrat ausfüllen möchten: Hier ist ein 11 • 11-Quadrat. Fangen Sie einfach mit der 1 an. Wie viel muss die Summe jeder Spalte, Zeile und der Diagonalen ergeben?

Kapitel 24154

Kapitel 24

24. Geburtstage ausrechnen

Für diesen Rechentrick müssen Sie etwas Vorarbeit leisten, bevor Sie Freunde, Bekannte oder Arbeitskollegen damit verblüffen können. Geburtstage ausrechnen ist für mich eine tolle Sache, denn mir war früher nicht bewusst, dass man so etwas wirklich ausrechnen kann.

Wenn ich solche Tricks im Fernsehen gesehen habe, dachte ich immer, diese Leute müssten eine Unmenge an Daten auswendig gelernt haben, um zu wissen, auf welchen Wochentag beispiels-weise der 3. Juni 1954 gefallen ist. Aber das stimmt gar nicht, man braucht nur das passende System.

Diese Codes für die Tage und die Monate müssen Sie sich jedoch unbedingt vorher einprägen.

Nun kommen wir zu den fünf Schritten, die uns ans Ziel bringen, also zur Bestimmung des Wo-chentags eines bestimmten Datums. Nehmen wir den 3. Juni 1954 als Beispiel.

1. Nehmen Sie die letzten beiden Ziffern der Jahreszahl (54) und multiplizieren Sie sie mit 5: 54 • 5 = 270.

2. Teilen Sie das Ergebnis durch 4 (270 : 4 = 67,5), lassen Sie aber die Zahlen nach dem Kom-ma einfach weg.

3. Addieren Sie den Monatscode: 67 + 5 = 72.4. Addieren Sie das Tagesdatum (für den 3. Juni ist das 3): 72 + 3 = 75.5. Teilen Sie das Ergebnis durch 7 = 10,7, eine Nachkommastelle genügt. Diese Zahl nach

dem Komma ist schon die Lösung: 7. Laut Tagescode war der 3. Juni 1954 ein Donnerstag.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 37 „Geburtstage ausrechnen“ an.

Tagescode Wochentag Monatscode Monat

2 Montag 1 Januar

4 Dienstag 4 Februar

5 Mittwoch 4 März

7 Donnerstag 0 April

8 Freitag 2 Mai

Keine Kommastelle Samstag 5 Juni

1 Sonntag 0 Juli

3 August

6 September

1 Oktober

4 November

6 Dezember

Geburtstage

24. Geburtstage ausrechnen 155

Das Datum fällt auf einen Samstag, wenn Sie am Ende keine Nachkommastelle haben, also wenn die Division durch 7 perfekt aufgeht. Die Tabelle mit den Monats- und Tagescodes ist übrigens gültig von 1900 bis 2099.

Schaltjahre

Aber halt – es gibt ja auch Schaltjahre! Kein Problem: Wenn die letzten beiden Ziffern in der Jahreszahl durch 4 teilbar sind, handelt es sich um ein Schaltjahr. Sie müssen das aber nur beach-ten und ausrechnen, wenn der gesuchte Tag im Januar oder Februar liegt.

Und selbst dann ist die richtige Antwort einfach ein Tag früher als der, den Sie nach der obigen Methode errechnet haben. Kommen Sie also auf einen Donnerstag im Februar 1996, dann ist das Datum tatsächlich auf einen Mittwoch gefallen.

Eine weitere Besonderheit gibt es, wenn Sie ein Datum aus dem 2000er-Raum ausrechnen wol-len wie zum Beispiel den 17. Juli 2011. Dann beginnt der erste Schritt etwas anders: Sie addieren in diesem Fall 100 zu den letzten beiden Ziffern der Jahreszahl. Gehen wir das Beispiel doch einfach durch:

Mit unserer „Baumliste“ aus Kapitel 1 lernen Sie diese Liste bestimmt in kurzer Zeit! Die Wochentage und die Monate kennen Sie ja ohnehin schon, Sie brauchen sich also nur die dazugehörigen Zahlen einzuprägen. Es hilft, sich dafür eine lustige Geschich-te auszudenken. Wie immer gilt: Je abstruser die Geschichte, desto besser werden Sie sich diese merken.

Zum Beispiel für die Wochentage: Am Montag machen Sie das Licht (2) aus, damit Sie am Dienstag Ihr Auto (4) finden, um am Mittwoch über Ihre eigene Hand (5) zu fah-ren. Am Donnerstag treffen Sie die 7 Zwerge, die am Freitag mit Ihnen Achterbahn (8) fahren wollen, damit der Schmerz vergeht. Am Samstag sind Sie deshalb so k. o., dass Sie kein Komma sehen. Dafür setzen Sie sich am Sonntag unter einen großen, schattigen Baum (1)!

Also, denken Sie sich einfach selbst eine lustige Geschichte aus. Eigene Geschichten kann man sich immer viel besser merken. Lassen Sie Ihrer Fantasie freien Lauf und haben Sie Spaß dabei!

Das Gleiche machen Sie nun mit der Monatsliste: Hier eine mögliche mega memory-Merkgeschichte:Im Januar liegt so viel Schnee auf dem Baum (1), dass im Februar das Auto nicht anspringt (4), und der Zweitwagen (4) im März auch nicht. Im April fällt ein rohes Ei (0) auf Ihren Kopf, da geht Ihnen ein Licht (2) im Mai auf, dass Sie im Juni an fünf Fingern (5) abzählen können, dass im Juli WIEDER ein Ei (0) auf Ihren Kopf fällt. Um sich zu erholen, setzen Sie sich im August auf einen Hocker (3) und würfeln (6) im September zur Entspannung. Im Oktober fällt Ihr Blick auf den herbstlichen Baum (1), im November liegt wieder so viel Schnee auf dem Auto (4), dass Sie im Dezember nur noch Ihrem Hobby nachgehen können: dem Würfeln (6).

Kapitel 24156

1. Nehmen Sie die letzten beiden Ziffer des Jahres (11 + 100 = 111) und multiplizieren Sie diese mit 5: 111 • 5 = 555.

2. Teilen Sie das Ergebnis durch 4. 555 : 4 = 138,75. Die Stellen nach dem Komma fallen weg.3. Addieren Sie den Monatscode 138 + 0 = 138.4. Addieren Sie das Tagesdatum (für den 17. Juli ist das 17), also 138 + 17 = 155.5. Teilen Sie das Ergebnis durch 7: 155 : 7 = 22,1. Laut Tagescode steht die 1 für Sonntag!

Übungsaufgaben

Versuchen Sie es einmal mit diesen Daten:

15. Mai 1905

24. Dezember 1974

14. Oktober 2000

Das richtige Ergebnis lautet: Montag, Dienstag und Samstag

Sicher kennen Sie noch viel mehr Daten, von Geburtstagen, Jubiläen, besonderen Ereignisse. An welchem Wochentag haben diese wohl stattgefunden? Viel Spaß beim Tage Ausrechnen!

25. Teilbarkeit von Zahlen

Kapitel 25

NEU: 25. Teilbarkeit von Zahlen

Eigentlich sollte dies nur ein Kapitel über Bruchrechnen werden, aber nachdem ich mich einge-hend mit dem Thema beschäftigt hatte, wurde mir schnell klar, dass es sehr viel mehr in sich hat, als anfangs gedacht: Die Multiplikation von Brüchen ist übersichtlich und einfach, zur Division benötigt man dagegen bereits einen kleinen Trick, und Addieren und Subtrahieren sind dann schon richtig Arbeit! Denn die Brüche müssen dazu noch vereinfacht werden. Aus diesem Grund fangen wir mit der Teilbarkeit von Zahlen an!

Es gibt zwei Arten von Zahlen (mit denen wir nun spielen werden), solche, die teilbar sind, wie 4, 12, 155, und solche, die nicht teilbar sind, wie 3, 13, 59. Die Letzteren nennt man Primzahlen. Sie sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. (Die 1 ist kurioserweise keine Primzahl.) Am einfachsten ist es, wenn Sie die Primzahlen bis 101 auswendig lernen. Dafür hat sich Gregor Staub eine wun-derschöne Geschichte erdacht. Lesen Sie diese durch und versuchen Sie, den Bildern zu folgen.

Das Märchen der eitlen Lampe

Eine schön herausgeputzte Lampe (2) mit rosafarbenem Schirm steigt jeden Morgen auf einen Hocker (3) (um sich im Spiegel sehen zu können). Dabei streicht sie sich mit ihrer Hand (5) über den Stoff und denkt: Ich will so hübsch sein wie Schneewittchen (7)!Plötzlich rollt ein Fußball (11) unter dem Stuhl zu einem Fahrstuhl (13), in dem eine Spielkarte (17) liegt. Auf der Spielkarte servieren wir das Abendessen (19). Das Abendessen essen wir auf der Bettdecke (23) und betrachten dabei die Sterne (29). Dann nehmen wir ein Bad (31) und finden im Waschbecken (37) unseren rosafarbenen Schirm. Diesen legen wir auf die Herdplat-ten (41) und waschen ihn dann im Spulbecken (43) mit einem Stück Butter (47). Um zu kont-rollieren, ob er sauber ist, halten wir ihn unter die Wohnzimmerlampe (53) und legen ihn dann unter die Zimmerpflanze (59) zum Trocknen. Hinter dieser sehen wir einen Gartenweg (61), auf dem jemand mit dem Schlauch (67) Wasser spritzt. In dem Garten steht ein Schreibtisch (71). Darauf sehen wir einen Kugelschreiber (73). Damit beschriften wir den Leitzordner (79). Den Ordner legen wir auf einen Scheibenwischer (83) und sehen dahinter ein Handschuhfach (89). Vor Begeisterung klopfen wir uns auf die Schulter (97)!

Somit haben Sie schon die ersten 25 Primzahlen im Kopf!

Wenn wir herausfinden möchten, durch welche Zahlen eine Zahl teilbar ist, gibt es zwei Mög-lichkeiten: Wir können uns verschiedene Regeln merken und/oder wir lernen die Primfaktor-zerlegung. Mir persönlich fällt die Primfaktorzerlegung leichter und sie deckt alle Möglichkeiten ab. Aber fangen wir trotzdem mit den Regeln an:

Sollten Sie die 100er-Liste noch nicht geübt haben, wäre dies nun der ideale Zeitpunkt, sich auf unserer eLearning-Plattform die Audio-Tracks Kapitel 1.3–04–06 anzuhören.

157

Kapitel 25158158

Diesen Regeln folgend, schauen wir uns jetzt an, durch welche Zahlen 414 teilbar ist. 414 ist eine gerade Zahl, also ist sie durch 2 teilbar. Die Quersumme ist 9, das bedeutet, sie ist durch 3 und 9 teilbar. Die letzten beiden Ziffern (14) sind nicht durch 4 teilbar und 414 endet nicht mit 0 oder 5. Aber sie ist durch 2 und 3 teilbar, was bedeutet, dass sie durch 6 teilbar ist. Somit wissen wir: 414 ist durch 2, 3, 6, und 9 teilbar.

Aber wie funktioniert das nun mit der Primfaktorzerlegung? Wir nehmen wieder die 414 als Bei-spiel. Am liebsten mache ich das mit einem „Baum“. Fangen wir gemeinsam an: Wie können wir 414 teilen?

Wir nehmen also 414 und rechnen die Quersumme: 4 + 1 + 4 = 9. Dies bedeutet, dass unsere Zahl durch 9 teilbar ist: 9 • 46 = 414. (Hier können Sie den Trick: „Durch 9 teilen“ anwenden!) Wir wissen, 9 ist durch 3 teilbar: 3 • 3 = 9 und 3 ist eine Primzahl, also geht es an diesem Ast nicht weiter.46 ist eine gerade Zahl und somit durch 2 teilbar: 2 • 23 = 46. Auch 2 und 23 sind Primzahlen und kön-nen nicht weiter geteilt werden.

Es gibt immer mehrere Möglichkeiten, solch einen Baum zu erstellen, wir hätten auch mit 2 oder 207 anfangen können. Auf diesem einfachen Weg haben wir nun weitere Zahlen gefunden, durch die 414 geteilt wer-den kann. Aber wir können noch mehr finden: Wenn wir z. B. 3 • 2 = 6 nehmen, wissen wir, 414 ist auch durch 6 teilbar. Oder 3 • 23 = 69 sagt uns, dass 414 auch durch 69 teilbar ist. Aber eigentlich zeigt uns dieser Baum, aus welchen Primzahlen 414 besteht. Denn Primzahlen gelten als die Bausteine der natürlichen Zahlen. Unser Baum hier sagt uns, dass 3 • 3 • 2 • 23 = 414 ist.

Teilbar durch Regel

2 Letzte Ziffer ist gerade oder 0

3 Die Quersumme ist 3, 6, 9 bzw. durch 3 teilbar

4 Die letzten beiden Ziffern sind durch 4 teilbar

5 Die letzte Ziffer ist 0 oder 5

6 Zahl ist teilbar durch 2 und 3

9 Die Quersumme ist 9

10 Die letzte Ziffer ist 0

15 Zahl ist teilbar durch 3 und 5

414

9

3

46

23 23

25. Teilbarkeit von Zahlen 159159

Lassen Sie uns noch eine Zahl zerlegen – die 45:

Die 45 endet auf 5 und damit wissen wir, dass sie durch 5 teilbar ist. 5 • 9 = 45. Die 5 ist eine Primzahl, aber die 9 lässt sich durch 3 teilen: 3 • 3 = 9. Jetzt haben wir unseren Baum fertig. Wenn wir 5 • 3 = 15 rechnen, wissen wir, dass 45 auch durch 15 teilbar ist!

Auf diese Weise finden wir einfach und ohne große Anstrengung die Zahlen heraus, durch die eine Zahl teilbar ist.

Übungsaufgaben:

Führen Sie die Primfaktorzerlegung für 12, 67, 125 und 423 durch.

Die richtigen Ergebnisse sind (bei mehreren Lösungswegen ist immer nur jeweils ein Lösungs-weg gezeigt):

12

3 4

2 2

125

5 25

5 5

67

1 67

423

9

3

47

3

45

5 9

3 3

47 = Primzahl

67 = Primzahl

Kapitel 26160160

Kapitel 26

NEU: 26. Bruchrechnen

Wir kommen nun zu unserem Kapitel über das Bruchrechnen. In diesem Kapitel verwenden wir zum Dividieren sowie zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen das Sutra „Vertikal und kreuzweise“. Fangen wir mit dem einfachen Multiplizieren an und gehen dann weiter:

26.1 Brüche multiplizieren

Brüche miteinander malzunehmen ist eine sehr geradlinige Angelegenheit. Ich habe hierfür zwar keinen Trick, aber um das Thema vollständig vorzustellen und damit Sie einen kompletten Einblick in das Rechnen mit Brüchen bekommen, wollen wir es kurz behandeln.

Lassen Sie uns mit einem einfachen Beispiel anfangen. Danach können wir uns Schritt für Schritt weiter vorarbeiten. Rechnen wir 2

3 • 54 .

Diese Rechenaufgabe können wir auch anders schreiben:

2 • 53 • 4 =

Sie erkennen sogleich, dass wir zuerst 2 • 5 = 10 multiplizieren und dann 3 • 4 = 12. Schreiben Sie die 10 als unseren Zähler (über dem Bruchstrich) und 12 als den Nenner (unter dem Bruchstrich):

2 • 53 • 4 = 10

12

Jetzt fehlt noch das Kürzen des Bruchs. Dafür können wir die Methoden verwenden, die wir im vorhergehenden Kapitel über die Teilbarkeit von Zahlen verwendet haben. Beide Zahlen, der Zähler und der Nenner, lassen sich durch 2 teilen. So haben wir oben eine 5 und unten eine 6. Die 5 ist eine Primzahl, die sich nicht weiter teilen lässt, und somit haben wir unseren vereinfach-ten Bruch.

1012 = 5

6

Gehen wir jetzt einen Schritt weiter und multiplizieren 812 • 7

5 . Nun gibt es zwei Möglichkeiten vorzugehen: Wir können den ersten Bruch 8

12 kürzen und dann multiplizieren, oder wir multiplizieren zuerst und kürzen danach. Wenn Sie zuerst kürzen, können Sie mit kleineren Zahlen rechnen und so machen Sie es sich damit einfacher. Also wählen Sie lie-ber die erste Variante und kürzen 8

12 zu 23 , da 8 und 12 beide durch 4 teilbar sind. Wenn Sie nicht

sofort erkennen, mit welcher Zahl gekürzt werden kann, ist das nicht weiter schlimm. Rechnen Sie einfach einen Zwischenschritt: Da beide Zahlen im Zähler und Nenner durch 2 teilbar sind, sieht er so aus: 8

12 = 46 . Dieser Bruch ist wieder durch 2 teilbar und so kommen Sie auch auf 2

3 .

Unsere Aufgabe sieht nun so aus: 8 2 • 712 3 • 5 . Wir multiplizieren 2 • 7 = 14 und 3 • 5 = 15 und erhalten

das Ergebnis 8 2 • 712 3 • 5 = 14

15 . Als Nächstes müssen wir schauen, ob wir 1415 weiter kürzen können. Das

machen wir, indem wir prüfen, durch welche Zahlen 14 und 15 teilbar sind. Im vorhergehenden Kapitel über die Teilbarkeit haben wir gelernt, mithilfe der Zerlegung in Primzahlen die Teilbar-keit von Zahlen zu ermitteln. Dieses Werkzeug wenden wir nun bei unserem Bruch 14

15 an. 14 ist 2 • 7, 2 und 7 sind beides Primzahlen und somit ist 14 nicht weiter teilbar. 15 ist 3 • 5, auch dies sind zwei Primzahlen. Wir sehen also, dass 14 und 15 keine gemeinsamen Faktoren haben, und wissen damit, dass 14

15 nicht weiter gekürzt werden kann und dies somit das Endergebnis ist.

26. Bruchrechnen 161161

Übungsaufgaben:

1415 • 8

12 = 711 • 13

20 = 225 • 9

33 = 2125 • 12

15 =

Die richtigen Ergebnisse sind: 2845

91220

65

84125

Schon die alten Ägypter benutzten das Bruchrechnen. Mathematik hat sich oftmals aus logis-tischen und buchhalterischen Problemstellungen heraus entwickelt. In Ägypten wurden zum Beispiel die Arbeiter statt mit Geld mit Lebensmitteln bezahlt, ferner musste auch das Ackerland nach der jährlichen Nilüberflutung neu aufgeteilt und vermessen werden. Der Papyrus-Rhind ist ein altes ägyptisches Dokument, in dem diese frühen ägyptischen Rechenmethoden überliefert sind.

Eine typische ägyptische Matheaufgabe könnte beispielsweise so gelautet haben: Wie teilen Sie 9 Fladenbrote zu gleichen Teilen auf 10 Menschen auf? Die einfachste Lösung wäre wohl, jedes Brot in 10 Teile zu schneiden und jeder erhält von jedem Brot einen Teil. Aber dann hat man ja nur eine Hand voll Brotstückchen. Das ist im wirklichen Leben nicht sehr praktisch. Finden Sie eine andere Lösung? Versuchen Sie es doch einmal! Wie würden Sie 9 Fladenbrote zu gleichen Teilen an 10 Menschen verteilen?

Die Ägypter kamen auf eine sehr elegante Lösung: Die ersten 5 Fladenbrote werden halbiert, die nächsten 4 gedrittelt und 2 der Drittel in jeweils 5 Teile geschnitten. So bekommt jede Person eine Hälfte, ein Drittel und ein Fünfzehntel.

Kapitel 26162162

26.2 Brüche dividieren

Für das Dividieren von Brüchen verwenden wir das Sutra „Vertikal und kreuzweise“.

Wir beginnen wieder mit einer ganz einfachen Aufgabe:

34 : 2

7 = Um diese Aufgabe zu lösen, multiplizieren wir die Zahlen über Kreuz, wir rechnen also 3 • 7 = 21

und 4 • 2 = 8. Die 21 kommt in den Zähler und die 8 in den Nenner des neuen Bruchs.

Was haben wir in dieser Aufgabe gemacht? Wir haben den zweiten Bruch eigentlich umgedreht und dann beide multipliziert. Hierbei haben wir uns zunutze gemacht, dass Multiplikation das Gegenteil von Division bwz. die Umkehr der Division ist. Eigentlich rechnen wir nur über Kreuz und gar nicht vertikal, aber mit diesem Sutra können wir uns kreuzweise zu rechnen gut merken.

Wir rechnen als Nächstes 59 : 3

8 =

Zuerst rechnen wir 5 • 8 = 40 und dann

9 • 3 = 27. Wieder ist es ganz einfach!

Nun rechnen wir in einem Schritt 105 : 35

51 . Denken Sie an „kreuzweise“ oder stellen Sie sich ein Kreuz vor: 10

5 : 3551 .

Rechnen Sie über Kreuz und multiplizieren Sie: 10 • 51 = 510 und 5 • 35 = 175. Das Ganze sieht dann so aus:

Als Nächstes müssen wir uns fragen, ob 510175 gekürzt werden kann. Das bedeutet: Können Sie

den Zähler (die obere Zahl) durch dieselbe Zahl teilen wie den Nenner (das ist die untere Zahl in unserem Bruch)? Aber klar, beide können durch 5 geteilt werden: 510

175 = 10235 . Zum Schluss ziehen

wir die 35 zweimal aus der 102 und erhalten 10235 = 2 32

35 . Woher wissen Sie, dass dies auch das tatsächliche Endergebnis ist? Können Sie weiter kürzen? Dafür nehmen Sie am besten Papier und Bleistift und machen einen Baum für die beiden Zahlen wie im vorherigen Kapitel:

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 38 „Brüche dividieren“ an.

34 : 2

7 = 21

59 : 3

8 = 40

34 : 2

7 = 218

59 : 3

8 = 4027

105 : 35

51 = 510175

Brüche dividieren


Somit wissen wir, dass 32 durch 2, 4, 8, und 16 teilbar ist und 35 durch 5 und 7. Wir haben keine Überschneidungen, also haben wir unser Endergebnis!

Übungsaufgaben:

78 : 3

9 = 59 : 2

11 = 146 : 6

13 = 2425 : 3

12 =


218 55

18 9118 96

25

32 35

8

16 7

4

2

2 5

2

2 2

Kapitel 26164164

26.3 Brüche addieren und subtrahieren

Hier verwenden wir das Sutra „Vertikal und kreuzweise“ und in diesem Fall beweist die vedische Mathematik wieder einmal, wie einfach Rechnen doch sein kann!

Brüche mit gleichem Nenner zu addieren und zu subtrahieren ist eigentlich eine leichte Sache, aber wenn sie unterschiedliche Nenner haben, dann kann so eine Aufgabe recht anstrengend sein. Hierfür haben wir einen ganz einfachen Weg!

Rechnen Sie doch einmal 54 - 3

7 =

Zuerst multiplizieren wir über Kreuz 5 • 7 = 35 und schreiben dies in den Zähler.

Danach multiplizieren wir über Kreuz 4 • 3= 12 und schreiben 12 auch in den Zähler, ergänzen aber noch unser Minuszeichen dazwischen (wenn wir addieren, kommt dort natürlich ein Pluszeichen hin).

Jetzt multiplizieren wir gerade herüber 4 • 7 = 28 und schreiben dies in den Nenner. Somit haben wir schon fast unser Ergebnis.

Wir rechnen 35 – 12 = 23 und schreiben die 23 in den Zähler. Dieses Ergebnis können wir nicht weiter kürzen, also ist es auch unser finales Ergebnis!

Das Prinzip ist für alle Plus- und Minusaufgaben mit Brüchen gleich und wirklich nicht sehr schwierig! Auf geht’s zur nächsten Rechnung! Damit Sie das Prinzip besser erkennen können, nehmen wir die gleiche Aufgabe, nur dass wir die Brüche jetzt miteinander addieren:

Wir multiplizieren über Kreuz 5 • 7 = 35.

Jetzt rechnen wir wieder über Kreuz 4 • 3 = 12, dieses Mal mit einem Pluszei-chen zwischen den Zahlen.

Sehen Sie sich nun Video eKapitel 39 „Brüche addieren und subtrahieren“ an.

54 - 3

7 = 35

54 + 3

7 = 35

54 + 3

7 = 35 + 12

54 - 3

7 = 35 - 12

54 - 3

7 = 35 - 1228

54 - 3

7 = 35 - 1228 = 23

28

Brüche addieren und subtrahieren


Danach multiplizieren wir wieder 4 • 7 = 28.

Wir addieren 35 + 12 = 47. Diesen Bruch können wir nicht weiter ver-einfachen, also ist 47

28 auch unser Endergebnis! Klasse!

Unsere nächste Aufgabe ist: 2877 + 24

64 . Damit diese Aufgabe einfacher wird, schauen wir zuerst, wie wir diese Brüche eventuell kürzen können. Haben 28 und 77 einen gemeinsamen Divisor? Und wie steht es mit 24 und 64?

Den ersten Bruch können wir mit 7 kürzen und den zweiten mit 8 und haben somit viel kleinere Zahlen. Was machen wir jetzt?

Richtig, wir multiplizieren 4 • 8 = 32 und schreiben dies auch wieder in den Zähler.

Danach multiplizieren wir 11 • 3 = 33 und schreiben dies mit dem Pluszeichen ebenfalls in den Zähler, also in die obere Hälfte unseres Bruchs.

Jetzt rechnen wir noch 11 • 8 = 88 und dies kommt in den Nen-ner, also in die untere Hälfte des Bruchs.

Zuletzt addieren wir 32 + 33 = 65 und haben unser Endergebnis:

Zum Abschluss rechnen wir diese Aufgabe noch einmal, setzen aber ein Minus- an die Stelle des Pluszeichens:

Wieder kürzen wir unsere Brüche, um die Aufgabe einfacher zu machen.

Nun multiplizieren wir 4 • 8 = 32 und schreiben dies auch wieder in den Zähler.

Jetzt multiplizieren wir 11 • 3 = 33 und schreiben dies nun mit dem Minuszeichen in den Zähler.

54 + 3

7 = 35 + 1228

28 477 11 + 24 3

64 8 =

28 477 11 - 24 3

64 8 =

28 477 11 + 24 3

64 8 = 32

28 477 11 - 24 3

64 8 = 32

28 477 11 + 24 3

64 8 = 32 + 33

28 477 11 - 24 3

64 8 = 32 - 33

28 477 11 + 24 3

64 8 = 32 + 3388

28 477 11 + 24 3

64 8 = 32 + 3388

28 477 11 + 24 3

64 8 = 6588

54 + 3

7 = 35 + 1228 = 47

28

Kapitel 26166166

Danach rechnen wir noch 11 • 8 = 88.

Wir subtrahieren 32 - 33 = -1 und haben unser Ergebnis:

Übungsaufgaben:

1812 + 21

27 = 89 - 7

12 = 35 + 18

12 = 23 - 1

125 =


418 11

36 2110 247

375

28 477 11 - 24 3

64 8 = 32 - 3388

28 477 11 - 24 3

64 8 = 32 - 3388

28 477 11 - 24 3

64 8 = - 188

Wenn Sie mit einem Kind üben, nehmen Sie am besten Aufgaben aus einem Mathe-buch oder aus Übungsblättern. Somit stellen Sie sicher, dass Ihr Kind auch genau das übt, was in der nächsten Klassenarbeit abgefragt wird.

27. Übungsaufgaben 167167

Kapitel 27

27. Übungsaufgaben

2. Ich kann alles mal 5 rechnen!16842 • 5 = 84210 56398 • 5 = 281990 78563 • 5 = 392815 3. Plus (Addition)352 + 117 = 469 569 + 376 = 945 555 + 666 = 1221 823 + 99 = 922

4. Minus (Subtraktion)735 – 357 = 378 686 – 97 = 589 86259 – 5368 = 80891 4758 – 3869 = 889

5. Das Einmaleins bis 55 • 8 = 40 4 • 3 = 12 2 • 7 = 14 3 • 9 = 27 4 • 8 = 32 2 • 3 = 6

6. Das Einmaleins bis 97 • 7 = 49 6 • 8 = 48 9 • 9 = 81 9 • 6 = 54 8 • 7 = 56 7 • 9 = 63

7. Multiplikation: ein Bildertrick232 • 132 = 30624 41 • 22 = 902 22 • 13 = 286 213 • 33 = 7029

8. Das 1 • 1 bis 1412 • 14 = 168 13 • 14 = 182 11 • 12 = 132 14 • 14 = 196

9. Alles mit 11 – 19 multiplizieren6372 • 11 = 70092 6372 • 12 = 76464 6372 • 14 = 89208 6372 • 17 = 108324

10. Multiplizieren mit 6 – 98427 • 6 = 50562 7382 • 7 = 51674 5588 • 8 = 44704 3514 • 9 = 31626

11. Multiplizieren mit Basis unter/über 10087 • 98 = 8526 93 • 89 = 8277 107 • 110 = 11770 102 • 112 = 11424

12. Zahlen über und unter der Basis107 • 97 = 10379 98 • 104 = 10192 112 • 97 = 10864 1004 • 998 = 1001992

13. Multiplizieren mit Arbeitsbasis55 • 53= 2915 19 • 23= 437 211 • 198=41778 521 • 501= 261021

14. Multiplizieren vertikal und kreuzweise17 • 35= 595 382 • 513= 195966 7128 • 2231=15902568

15. Jede Zahl mit 9 dividieren38 : 9= 4,2 337 : 9= 37,4 8653 : 9= 961,4 44278 : 9= 4919,7

16. Division unter der Basis451 : 7= 64,428 6437 : 98= 65,683 3877 : 8 = 484,625 6973 : 96= 72,635

17. Vinculum-Zahlen247 = 353 888 = 912 753 = 647 962 = 838

Kapitel 27168

18. Division über der Basis783 : 12= 65,25 3352 : 103= 32,54 3277 : 14= 234,07 5247 : 102= 51,44

19. Division durch mehrstellige Zahlen457 : 23= 19,86 553 : 72= 7,68 4351 : 63= 69,06 1284 : 44= 29,18

20. Duplex rechnen23 = 2, 23, 3 = 22 + (2 • 3) • 2 + 32 = 4 + 12 + 9= 25451 = 4, 45, 451, 51, 1 = 42 + (4 • 5) • 2 + (4 • 1) • 2 + 52 + (5 • 1) • 2 + 12 = 16 + 40 + 8 + 25 + 10 + 1= 100

21. Zahlen im Quadrat252 = 625 642 = 4096 3612 = 130321 28172 =7935489

22. Wurzelziehen√5378 = 73,3348 √1572 = 39,6484 √55821 = 236,2646

23. Teilbarkeit von ZahlenPrimfaktorzerlegung für: 183 è 3, 61 425 è5, 5, 17 225 è 3, 3, 5, 5 864 è 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3

24. Bruchrechnen9

14 • 218 = 1

14 2148 : 3

23 = 16148

676 + 7

49 = 4131862 3

33 - 1523 = - 142

253

25. Magische QuadrateZeichne zwei magisches Quadrate (3 • 3): wenn man Reihen, Zeilen und Diagonale addiert ergeben sie 36 und 135.

15 8 13

10 12 14

11 16 9

48 41 46

43 45 47

44 49 42

26. Geburtstage ausrechnen12. Mai 1937 = Mittwoch 09. Juli 2005 = Samstag22. August 1975 = Freitag 07. November 2055 = Sonntag

16 Sutren und Sub-Sutren 169

16 Sutren und Sub-Sutren

Sutra Zusatz (Sub-Sutra)

1 Ekadhikina Purvena Eine mehr als die Vorherige

Anurupyena Proportionalität

2 Nikhilam Navatashcara-mam Dashatah

Alle von 9 und die Letzte von 10

Sisyate Sesasamjnah Der Rest ist konstant

3 Urdhva-Tiryagbyham Vertikal und kreuz weise

Adyamadyenantyama-ntyena

Das Erste mit dem Ersten und das Letzte mit dem Letzten

4 Paraavartya Yojayet Verschieben und an-wenden

Kevalaih Saptakam Gunyat

Für 7 ist der Multipli-kator 143

5 Shunyam Saamyasa-muccaye

Wenn das Samuccaya7 das Gleiche ist, ist es null

Vestanam Durch Oskulation

6 Anurupye-Shunyama-nyat

Wenn Eins im Verhältnis ist, ist die andere null

Yavadunam Tavadunam Verringere um das Defizit

7 Sankalana-Vyavakalan-abhyam

Durch Addition und durch Subtraktion

Yavadunam Tavaduni-kritya Varga Yojayet

Was auch immer das Defizit ist, verringere um diese Zahl und schreibe das Defizit im Quadrat daneben

8 Puranapuranabyham Durch die Ergänzung oder Nicht-Ergänzung

Antyayor Dasakepi Wessen letzte Stellen 10 ergeben und die ers-ten genau gleich sind

9 Chalana-Kalanabyham Differenzen und Ähnlichkeiten

Antyayoreva Nur die letzten Terme

10 Yaavadunam Was auch immer die Größe seines Defizits

Samuccayagunitah Die Summe des Koeffi-zienten in dem Produkt

11 Vyashtisamanstih Spezifisch und allgemein

Lopanasthapanabhyam Durch abwechselndes Entfernen und Beibe-halten

12 Shesanyankena Chara-mena

Die Reste bei der letzten Stelle

Vilokanam Durch einfache Beob-achtung

13 Sopaantyadvayaman-tyam

Die Letzte und zweimal die Vorletzte

Gunitasamuchyah und Samuccayagunitah

Das Produkt der Sum-me des Koeffizienten in den Faktoren ist gleich der Summe des Koeffi-zienten in dem Produkt

14 Ekanyunena Purvena Eins weniger als die Vorherige

15 Gunitasamuchyah Das Produkt der Summe

16 Samuccayagunitah Alle Multiplikatoren

7 Samuccaya: die einfachste (leider nicht vollständige) Bedeutung von Samuccaya ist „jeder gemeinsame Faktor“ wie zum Beispiel 1y + 2y = 3y + 4y. In diesem Fall ist y das Samuccaya.

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Bonusmaterial

Bonusvideo - Das kleine 1x1 erklärt für Eltern und Lehrer

1x1 erklärt für Eltern und Lehrer

Bonusvideo - Die Fibonacci-Zahlen Fibonacci-Zahlen

Bonusvideo - Teilbarkeit Teilbarkeit

Autorenteam 171

Autorenteam

Gwen Bach

Die indisch-stämmige Gwen Bach, geboren 1974 in Kingston, England, beendete 1997 ihren Bachelor-Studiengang in Business-Administrati-on an der renommierten Schiller International University (Tampa, Flo-rida). Während ihres Psychologiestudiums (2008 – heute) begann sie, sich mit den Methoden der vedischen Mathematik zu beschäftigen – als ihr Sohn Schwierigkeiten in der Schule bekam. Nach zwei Jahren des Recherchierens, Lernens und Übens stellte sie fest, dass dieses „magische Mathe“, wie sie es nennt, auch vielen anderen Kindern enorm half. Ihr Erfolg sprach sich herum, und ihre Umwelt ermunterte sie, ein Buch zu schreiben.

Die Methoden aus mega memory® verwendete sie von Anfang an, um ihren Schülern die vedischen Regeln beizubringen – und kam so in Kontakt mit Gregor Staub. „Ich bin Gregor Staub dankbar, dass es Dank seines Engagements nun einen eLearning-Mathekurs auf Deutsch gibt! Wir möchten den Menschen helfen, ihr volles geistiges Potenzial zu entfalten! Die vedische Mathematik hat unser Leben verändert. Ich weiß durch meine Arbeit als Kursleiterin: Nicht nur Kindern, die sich in der Schule schwer tun, hilft diese Art des Rechnens enorm! Es hat wirklich etwas Magisches!”. Gwen Bach lebt und arbeitet in der Schweiz.

Gregor Staub

Gregor Staub, geboren am 3. Juni 1954, machte seinen Abschluss an der höheren Wirtschaftsschule (HVW) in Olten als Betriebsökonom. Von 1979 – 1987 war er im Marketing und Vertrieb bei IBM, HP und Data General. 1988 gründete er mit anderen Visionären die Firma Pacojet – heute einer der führenden Küchengerätehersteller. 1990 startete er mit mega memory® Gedächtnistraining: „Lange Zeit hatte ich selbst Schwierigkeiten, mir Dinge zu merken – und dies als ,naturgege-ben’ hingenommen. Als ich dann eines Tages am Flughafen stundenlang nach meinem Auto suchte – ich war mit dem Zug angereist –, wurde es mir zu bunt. Und so machte ich mich auf die Suche nach einer Lösung …“

Es war tatsächlich seine eigene Vergesslichkeit, die ihn in den USA fündig werden ließ. Seine Lösung hieß: Mnemotechniken. Staub entwickelte gemeinsam mit mehreren Tausend Studenten an der Uni Zürich ein Konzept, das die Teilnehmer mit Freude erleben lässt, wie jeder Mensch mit der richtigen Methode schnell und langfristig seine Gedächtnisleistung markant verbessern kann. Und: dass Lernen Spaß machen kann. Staub arbeitet seit vielen Jahren intensiv mit Schulen und Universitäten zusammen. Bis heute besuchten über eine Million Teilnehmer seine Vorträge und Seminare in Deutschland, Österreich und der Schweiz. Gregor Staub ist Autor vieler Bücher und war bereits zu Gast in unzähligen TV- und Radiosendungen. Als Gedächtnistrainer und „Lern-philosoph“ ist er ein gefragter Referent. Staub ist verheiratet und hat zwei erwachsene Töchter. 2013 wurde Gregor Staub in die "Hall of Fame" der German Speakers Association aufgenommen: Für sein außerordentliches Engagement im Bildungswesen und seine herausragenden Vorträge an Schulen und Universitäten. (www.germanspeakers.org)Sein Motto: „Leben heißt Lernen!“

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mega memory® Gedächtnistraining – MULTIMEDIA eDITION

Arbeitsbuch: “mega memory® Gedächtnistraining” mit Audio- und online-Unterstutzung. Die mega memory®- Lizenz ist unbegrenzt fur Sie und Ihre Familie gultig. Aus Sicherheitsgrunden wird diese alle zwei Jah-re verlängert. Dafur schreiben Sie uns ein kurzes E-Mail, dann verlängern wir umgehend Ihre Lizenz um zwei weitere Jahre.

Verbessern Sie mit diesem Arbeitsbuch Ihre Gedächtnisleistung um ein Vielfaches. Erleben Sie, mit wie viel Spaß Sie in der Schule, im Beruf und im Privatleben nach kürzester Zeit Lern- und Gedächtnisleistungen erbringen, die Sie sich bislang niemals zugetraut hätten. Mit dem mega memory® Gedächtnis training Arbeitsbuch von Gregor Staub bekommen Sie audio- und online-Unterstützung.

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mega memory® Legasthenie-Training

Legasthenie und Rechtschreibschwäche – Machen wir das Beste draus! Von Christine Hager und Gregor Staub.

Erleben Sie, wie Ihr legasthenes Kind mit Spaß seine speziellen geistigen Stärken aktiviert, um deine Rechtschreib- und Leseschwäche zu bewältigen. Von der er-fahrenen Legasthenie- Trainerin Christine Hager u. a. auf Basis der mega memory® Methode entwickelt. Für Eltern und Lehrer von Kindern aller Schulformen in Deutschland, Österreich und der Schweiz – im Alter von 6 bis ca. 14 Jahren.

Mit diesem Set, bestehend aus zwei Lern CDs, einem ausführlichen Einführungs- und Begleitbuch, zahlreichen Übungsblättern (zusätzlich auf CD-ROM) und der CD „Jazz for Kids“ mit Musik zum Aufmuntern und Entspannen von Claude Che-melli, werden Eltern und Lehrer zu Gedächtnis und Rechtschreibtrainern ihrer legasthenen Kindern und Schüler.

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ISBN 978-3-00-035514-1

Loggen Sie sich auf der Mathe-eLearning-Plattform ein: www.vedische-mathematik.comSie üben zunächst die Kapitel 1–14 in diesem Mathe-Buch, unterstützt durch die Audio-Tracks „Zahlen merken mit mega memory®“ im eLearning-Bereich.

Lernen Sie nun mit den Video-Clips so weiter, wie es im Buch beschrieben ist – ganz in Ihrem eigenen Rhythmus.

Viel Spaß und Erfolg!

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Gwen BachAutorin

So funktioniert‘s:

Dieses eLearning-Set aus der mega memory®-Serie ist ein Mathe-Training für Schüler ab der 1. Klasse sowie für Eltern, Lehrer, Studenten und alle Menschen, die ganz einfach gut in Mathe werden wollen. Die genialen Techniken in diesem Buch basieren auf den Regeln der vedischen Mathematik aus Indien. So werden Sie mit viel Spaß und kleinen Tricks schnell besser im Kopfrechnen. Nicht nur das 1x1 sitzt nach kurzer Zeit ganz ohne Auswendiglernen, auch Wurzeln und Potenzen berechnen Sie mühelos ohne Taschenrechner.

Was Sie in diesem Kurs erwartet

Documents

Vedische Mathematik - all4brain · Bruchrechnen 160 26.1 Brüche multiplizieren 160 26.2 Brüche dividieren eVideo 38 162 26.3 Brüche addieren und subtrahieren eVideo 39 164 27