Lambacher Schweizer G9 NRW. Gut gelöst. - asset.klett.de · 2 I Brüche – das Ganze und seine Teile 4 Erkundungen 6 1 Bruch und Anteil 8 2 Kürzen und erweitern 13 3 Brüche vergleichen

Service-Paket Klasse 6Unterstützung für den Wechsel von G8 zu G9.

Lambacher Schweizer G9 NRW. Gut gelöst.

www.klett.de/nrw/lambacher-schweizer

6Mathematik für Gymnasien – G9

Lambacher Schweizer

Nordrhein-Westfalen

Ernst Klett VerlagStuttgart ∙ Leipzig

erarbeitet von

Anke BraunInga GiersemehlMatthias GroscheThomas JörgensThorsten Jürgensen-EnglJudith LohmannWolfgang RiemerHeike Spielmans

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2

I Brüche – das Ganze und seine Teile 4

Erkundungen 6

1 Bruch und Anteil 8 2 Kürzen und erweitern 13 3 Brüche vergleichen 18 4 Prozente 22 5 Brüche als Quotienten 26 6 Brüche auf dem Zahlenstrahl 29 Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen 32 Rückblick 36 Test 37 Exkursion: Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

und größter gemeinsamer Teiler (ggT) 38

II Brüche in Dezimalschreibweise 40

Erkundungen 42

1 Dezimalschreibweise 44 2 Dezimalzahlen vergleichen und runden 48 3 Abbrechende und periodische Dezimalzahlen 52 4 Dezimalschreibweise bei Größen 56 Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen 61 Rückblick 64 Test 65 Exkursion: Periodische Dezimalzahlen 66

III Zahlen addieren und subtrahieren 68

Erkundungen 70

1 Brüche addieren und subtrahieren 72 2 Dezimalzahlen addieren und subtrahieren 77 3 Geschicktes Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen 82 4 Addieren und Subtrahieren von Größen 86 Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen 90 Rückblick 94 Test 95 Exkursion: Musik und Bruchrechnung 96

IV Muster und Figuren 98

Erkundungen 100

1 Negative Zahlen – erweitertes Koordinatensystem 102 2 Verschiebungen 106 3 Kreise und Kreisfiguren 109 4 Winkel 114 5 Winkel mit dem Geodreieck messen und zeichnen 119 6 Drehungen 124 Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen 128 Rückblick 132 Test 133 Exkursion: Parkettierungen verstehen und gestalten 134

Check-in

Check-in

Check-in

Check-in

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3

V Zahlen multiplizieren und dividieren 136

Erkundungen 138

1 Brüche vervielfachen und teilen 140 2 Brüche multiplizieren 144 3 Durch Brüche dividieren 148 4 Kommaverschiebung 153 5 Dezimalzahlen multiplizieren 156 6 Dezimalzahlen dividieren 160 7 Rechengesetze – Vorteile beim Rechnen 164 Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen 168 Rückblick 172 Test 173 Exkursion: Besondere Maßeinheiten 174

VI Daten 176 Erkundungen 178

1 Relative Häufigkeiten und Diagramme 180 2 Median und arithmetisches Mittel 185 3 Boxplots 190 4 Untersuchungen planen und auswerten 194 Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen 198 Rückblick 202 Test 203 Exkursion: Gummibärenforschung 204

VII Beziehungen zwischen Zahlen 206

Erkundungen 208

1 Strukturen erkennen und fortsetzen 210 2 Abhängigkeiten mit Termen beschreiben 214 3 Rechnen mit dem Dreisatz 218 4 Abhängigkeiten grafisch darstellen 222 Wiederholen – Vertiefen – Vernetzen 227 Rückblick 230 Test 231 Exkursion: Fibonacci 232

anhang Nachschlagen und Überprüfen Exkursion EXTRA: Nachgehakt und quergedacht 234 Grundwissen 236 Lösungen zu den Kapiteln 244 Lösungen zum Grundwissen 292 Register 298 Text- und Bildquellenverzeichnis 300 Mathematische Begriffe und Bezeichnungen

Gesamtübersicht aller Codes im Buch mg7np5

Check-in

Check-in

Check-in

*Dieses Kapitel wird auch in Band 5 angeboten und kann je nach Zeit und Schulcurriculum in Klasse 5 oder 6 behandelt werden.

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102

Lucy hält einen Spiegel an die y-Achse und freut sich: „Guck mal, Anton! Die x-Achse geht ja links weiter!“„Mensch, Lucy“, entgegnet Anton, „man kann die x-Achse doch nicht auf beiden Seiten der y-Achse gleich beschriften! Außerdem sind die Zahlen dort spiegel-verkehrt.“Was ist deine Einschätzung? Kannst du den beiden einen Rat geben?

Bisher wurden Spiegelungen an einer beliebigen Geraden häufig auf einem ganz weißen Papier vorgenommen. Jetzt werden Spiegelungen im Koordinatensystem durchgeführt und insbesondere die Koordinatenachsen als Spiegelachsen verwendet.

1 Negative Zahlen – erweitertes Koordinatensystem

Wenn man an den Koordinatenachsen spiegeln möchte, muss man das Koordina-tensystem erweitern. Das Dreieck aus Fig. 1 wird an der y-Achse und an der x-Achse ge-spiegelt. Dazu verlängert man die x-Achse nach links und die y-Achse nach unten (vgl. Fig. 2).

Man trägt vom Koordinatenursprung (0 | 0) aus die negativen Zahlen − 1, − 2, − 3, … spiegelbildlich zu den bereits bekannten positiven Zahlen + 1, + 2, + 3, … ab. „+“ und „–“ heißen Vorzeichen der Zahlen.Häufig lässt man das + weg, wenn man positive Zahlen schreibt. Es wird meist verwendet, um den Unterschied zu den negativen Zahlen zu verdeutlichen.

+ 1 und − 1, aber auch + 5 und − 5 usw. nennt man Gegenzahlen. Sie unterschei-den sich nur durch ihr Vorzeichen. Auf der Koordinaten achse haben sie den gleichen Abstand zum Ursprung (0 | 0).

Den Punkt A’ (− 1 | 1) findet man so:Gehe vom Ursprung um eine Einheit nach links und um eine Einheit nach oben.Den Punkt A’ 1 (1 | − 1) findet man so:Gehe vom Ursprung um eine Einheit nach rechts und um eine Einheit nach unten.

x

y3

2

1

– 1

– 2

– 3

321O– 1– 2– 3

A’ (– 1 | 1)

A’1 (1 | – 1)

A (1 | 1)

Fig. 2

x

y2

1

– 1

321O– 1– 2– 3

A’ (– 1 | 1)

– 1 11

A’1 (1 | – 1)

– 1

Fig. 3

Fig. 1

x

y3

2

1

321O

A (1 | 1)

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103

IV Muster und Figuren


Erweiterung des Koordinatensystems

Man kann die Achsen im Koordina ten-system erweitern. Hierzu wird die x-Achse nach links und die y-Achse nach unten fortgesetzt.Die verlängerten Achsen beschriftet man mit den negativen Zahlen − 1, − 2, − 3, … Sie werden vom Koordinatenursprung (0 | 0) aus spiegelbildlich zu den positi-ven Zahlen +1, +2, +3, … abgetragen.

Beispiel 1 Punkte im Koordinatensystem darstellena) Lies die Koordinaten der Punkte A, B, C,

D und E in der Abbildung ab.b) Zeichne die Punkte F ( + 3 | − 1) ,

G ( − 3 | + 2) , H ( + 3 | + 4) und I ( − 3 | − 2) in das Koordinatensystem ein.

c) Ein Quadrat hat die Eckpunkte I, E, H und K. Bestimme die Koordinaten von K.

Lösunga) A ( − 3 | − 1) , B ( − 2 | + 3) , C ( − 2 | + 1) ,

D ( + 4 | + 1) , E ( + 3 | − 2) b) Siehe Abbildung rechts.c) K ( − 3 | + 4)

Beispiel 2 Punktspiegelung im Koordinatensystema) Zeichne das Koordinatensystem mit

dem Dreieck in dein Heft. Spiegle das Dreieck am Punkt Z.

b) Lies die Koordinaten der Punkte A, B und C sowie die der Bildpunkte A’, B’ und C’ ab.

c) Formuliere, was dir auffällt.Lösunga) Man legt das Geodreieck so an, dass

eine gedachte Linie durch B und Z verläuft. Nun legt man den Spiegelpunkt B’ so auf der Linie fest, dass er vom Punkt Z den gleichen Abstand hat wie Punkt B. Die Kästchen dienen als Orientierungs-hilfe. Mit den anderen Punkten verfährt man entsprechend.

b) A (1 | 1), B (2 | 1), C (1 | 2) und A’ (− 1 | − 1), B’ (− 2 | − 1), C’ (− 1 | − 2).

c) Die Koordinaten der Bildpunkte A’, B’ und C’ sind jeweils die Gegenzahlen der Koordinaten der Punkte A, B und C.

F

G

K H

I

2

1

1 2 3

x

y

O– 1– 2– 3

– 1

C

BA

Z

Beim Spiegeln einer Figur erhält man ihr Spiegelbild. Daher spricht man bei den Spiegelpunkten auch von Bildpunkten.

2

1

1 2 3x

y

O– 1– 2– 3– 1

– 2

C

BA

C '

B'A'

Z

2

1

1 2 3

x

y

O– 1– 2– 3

– 1

– 2

C’

C’1

A’

A’1

B’ (– 2 | 1)

C

A B (2 | 1)

B’1 (2 | – 1)

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104

Aufgaben

Trage die Punkte in ein Koordinatensystem (1 cm = 1 Längeneinheit) ein und verbinde sie der Reihe nach. Benenne jeweils die Figur.a) A (− 2 | − 1), B (− 1 | 0), C (− 2 | 1), D (− 3 | 0). Verbinde zusätzlich die Punkte A und D.b) A (1 | − 1), B (3 | − 1), C (4 | − 3), D (2 | − 4), E (0 | − 3). Verbinde zusätzlich die Punkte A und E.c) A (− 4 | 1,5), B (− 3 | 0,5), C (− 2 | 1,5), D (0 | 1,5), E (1 | 1), F (2 | 0), G (1 | − 1,5), H (0 | − 2),

I (− 2 | − 2), J (− 3 | − 1), K (− 4 | − 2). Verbinde zusätzlich die Punkte A und K.

a) Lies die Koordinaten der Punkte A bis I ab und zeichne die Figur in ein Koordi-natensystem.

b) Spiegle die Figur an der x-Achse und gib die Koordinaten der Bildpunkte A’ bis I’ an.

a) Lies die Koordinaten der Punkte A bis E ab und zeichne die Figur in ein Koordi-naten system.

b) Spiegle die Figur am Punkt Z und gib die Koordinaten der Bildpunkte A’ bis E’ an.

a) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A (− 3 | − 1,5), B (− 1,5 | 0), C (− 3 | 1,5) und D (− 4,5 | 0). Verbinde sie der Reihenfolge nach. Verbinde zusätzlich die Punkte A und D. Gib an, welche Figur du erhältst.

b) Spiegle die Figur aus Teilaufgabe a) jeweils an der x- und an der y-Achse. Gib die Koordinaten der Bildpunkte an.

c) Spiegle die Figur aus Teilaufgabe a) am Koordinatenursprung. Gib die Koordinaten der Bildpunkte an.

a) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A (1 | 1), B (4,5 | 1), C (5,5 | 2,5) und D (2 | 2,5). Verbinde sie der Reihenfolge nach. Verbinde zusätzlich A und D. Gib an, welche Figur du erhältst.

b) Spiegle die Figur jeweils an der x- und an der y-Achse. Gib die Koordinaten der Bild-punkte an.

c) Spiegle die Figur am Koordinatenursprung. Gib die Koordinaten der Bildpunkte an.

Finde den Fehler!Prüfe mit dem Geodreieck, ob die Punkte richtig an der Geraden g gespiegelt wurden. Beschreibe, was falsch gemacht wurde. Verwende Fachbegriffe. Die Begriffe auf dem Rand können helfen.

10

20 Lerntipp Seite 103, Beispiel 1

1

1 2 3 4 5 6

x

y

O

C D

EF H

I

G

BA

Üben 0 Seite 128, Aufgabe 1

Lerntipp Seite 103, Beispiel 2

x

y

3

2

1

3 421O– 1– 2– 3– 4

A

E

D

C

BZ

30

40

Teste dich! Lösungen, Seite 260

50

6$

C

C´A´

B´

AB g

1 2- 2 - 1- 3

2

1

y

xO

- 1

- 2

a)

A B

D C

A´ B´

C´ D´ g

1 2- 2 - 1- 3

2

1

y

xO

- 1

- 2

b) Q Q´

P P´g

1 2 3- 2 - 1

2

1

y

xO

- 1

c)

Die Aufgaben 1 – 5 können auch mit einem Geometrieprogramm bearbeitet werden.

Wortliste

• die Figur• die Spiegelachse• die Gerade• der Bildpunkt• der Abstand• die Koordinate

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105



Finde den Schatz!1. Zeichne ein Koordinatensystem, das mindestens 6 Längeneinheiten in jede Richtung

angibt. Trage dort folgende Punkte ein: A (1,5 | 3), B (1,5 | 2), C (4 | 2), D (4 | 1,5), E (5,5 | 2,5), F (4 | 3,5) und G (4 | 3). Verbinde sie der Reihenfolge nach. Verbinde auch G und A.

2. Zeichne eine Gerade g durch die Punkte H (0 | 2) und I (2 | 0).3. Spiegle die Figur aus Schritt 1 an der Geraden g und bezeichne die Bildpunkte mit A’, B’,

C’, D’, E’, F’ und G’.4. Zeichne eine Parallele h zur x-Achse durch den Punkt J (0 | 1).5. Spiegle die in Schritt 3 erhaltene Figur an h und bezeichne die Bildpunkte mit A’’, B’’, C’’,

D’’, E’’, F’’ und G’’.6. Bei Punkt E’’ findest du den Schatz. Gib die Koordinaten von E’’ an.

Johanna beschreibt, wie sich die Koordina-ten eines Punktes ändern, wenn man ihn an der Geraden g spiegelt: „Wenn man einen Punkt an der Geraden g spiegelt, vertauscht man dessen x- und y-Koordinate und erhält die Koordinaten des Bildpunktes.“Beschreibe in ähnlicher Form, wie sich die Koordinaten eines Punktes ändern, wenn man ihna) an der y-Achse spiegelt,b) an der y-Achse spiegelt,c) am Koordinatenursprung spiegelt.

Eddie behauptet: „Wenn man eine Figur erst an der x-Achse und dann an der y-Achse spiegelt, dann erhält man das gleiche Ergebnis wie bei einer Punktspiegelung dieser Figur am Punkt (0 | 0).“Entscheide, ob Eddies Behauptung stimmt und begründe ggf. mit einer Zeichnung.

a) Zeichne ein Fünfeck mit den Eckpunkten A (1 | 1), B (2 | 1), C (2,5 | 2), D (1,5 | 3) und E (0,5 | 2) in ein Koordinatensystem. Wähle für die y-Achse mindestens 3 Längen ein-heiten in beide Richtungen. Spiegle das Fünfeck an der x-Achse.

b) Gib an, was sich ändern würde, wenn man das Fünfeck aus Teilaufgabe a) nicht an der x-Achse, sondern am Punkt P (1,5 | 0) spiegeln würde.

c) Spiegle das Fünfeck aus Teilaufgabe a) am Punkt Z (2 | 0).

Übertrage die Figur in dein Heft. Zeichne jeweils zwei Spiegelachsen ein, sodass das eine F in das andere überführt wird.

Kürzen und Erweitern von Brüchen

Ergänze die richtige Zahl und gib an, mit welcher Zahl erweitert bzw. gekürzt wurde.

a) ■ _ 4 = 2 _ 8 b) 5 _ 9 = ■ _ 27 c) 4 _ ■ = 1 _ 6 d) 10 _ 35 = 2 _ ■

7$

8$

x

y

2

1

– 1

– 2

321O– 1– 2– 3

Q

Q’

P

P’

g

9$


10$

11.

a) b)

Teste dein Grundwissen! Grundwissen, Seite 13 Lösungen, Seite 261

12G

Die Aufgaben 7, 9, 10 und 11 können auch mit einem Geometrieprogramm bearbeitet werden.

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106

Immer wiederkehrende Muster kann man durch Ausschneiden und Nachzeichnen herstellen.Schneide selbst eine Figur aus, mit der du ein immer wiederkehrendes Muster zeichnest. Notiere anschließend, worauf du beim Zeichnen geachtet hast.

Muster werden häufig nach bestimmten Regeln gebildet. Um sie zu zeichnen, werden unter anderem Verschiebungen genutzt. Diese werden jetzt erklärt.

Bei einer Verschiebung werden alle Punkte gleich weit und in die gleiche Richtung verschoben.

Man beschreibt diese Verschiebung durch einen Verschiebungspfeil, der durch seine Länge und Richtung die Verschiebung festlegt.

aC B

A

C’ B’

A’

a’

Figuren verschiebenBei einer Verschiebung verschiebt man alle Punkte gleich weit und in die gleiche Richtung. Der Verschiebungspfeil legt durch seine Länge und Richtung die Verschiebung fest.

Auch bei Verschiebungen nennt man die Punkte, die durch die Verschiebung entstehen, Bildpunkte.

Beispiel 1 Eine Figur verschiebenÜbertrage das Dreieck ABC in dein Heft und verschiebe es, wie es der Verschie-bungspfeil u angibt.

LösungZeichne die Parallelen zum Verschie-bungspfeil u durch die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks. Trage auf den Paralle-len die Länge des Verschiebungspfeils ab. Zeichne dann das Bilddreieck A’B’C’.

B

Au

C

2 Verschiebungen

Verschiebungspfeil

P ’P

B

A

u

C

B´

A´

C´

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107


2 Verschiebungen

Beispiel 2 Æ Verschieben mit einem Geometrieprogramma) Füge ein beliebiges Bild wie in Fig. 1 in

dein Geometrieprogramm ein. b) Zeichne die Verschiebungsvektoren u,

v und w. Verschiebe das Bild (Bild 1)um den Vektor u und du erhältst Bild 2. Verschiebe nun Bild 2 um den Vektor v und du erhältst Bild 3. Verschiebe nun Bild 1 um den Vektor w. Formuliere eine Entdeckung.

Lösung a) Wähle ggf. die Grafik aus dem Online-

Code.b) Der Fisch 1 wurde erst um den Vektor

u verschoben, danach der verschobene Fisch 2 um den Vektor v. Dadurch erhält man Fisch 3. Durch Verschieben von Fisch 1 um den Vektor w erhält man ebenfalls Fisch 3 (vgl. Fig. 2). Wenn man eine Figur erst um den Vek-tor u und anschließend um den Vektor v verschiebt, erhält man dasselbe Ergeb-nis, als würde man direkt um den Vektor w verschieben.

Aufgaben

Übertrage die Figur mit dem Verschie-bungsfeil u in dein Heft. Verschiebe wie durch den Pfeil angegeben.

a)

Ordne zu, welcher der Pfeile v 1 bis v 4 zu Ornament (I) bzw. Ornament (II) gehört.

Zeichne das Muster in dein Heft und setze es fort. Zeichne den Verschiebungspfeil ein.

Fig. 1

Fig. 2

10

Lerntipp Seite 106, Beispiel 1u

a)

u

b)

20

30 Üben 0 Seite 128, Aufgabe 2 a)a) b)

Der Verschiebungspfeil wird in Geometrieprogrammen auch als Verschiebungsvektor bezeichnet.

Vertiefen $ Seite 129, Aufgabe 9

Vorlage Grafik zu Beispiel 2 mg7np5

Die Aufgaben 1 und 3 können auch mit einem Geometrieprogramm bearbeitet werden.

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108

Übertrage die Figur mit dem Verschie-bungspfeil in dein Heft. Verschiebe wie durch den Pfeil angegeben.

Wähle eine Figur aus Aufgabe 1 oder 4 und gestalte ein Muster wie in Aufgabe 3.

Zeichne das Dreieck ABC mit A ( − 4 | − 3 ) , B ( 2 | − 2 ) und C ( − 4 | 2 ) . Zeichne das Bilddreieck bei einer Verschiebung, die die folgenden Punkte aufeinander abbildet.a) A auf B b) B auf A c) C auf A d) C auf D ( 9 | 6 ) Æ Zeichne einen Fischschwarm durch Verschiebung der gegebenen Figur mit verschiedenen Vektoren.

Das Muster ist durch Achsen- und Punktspiegelungen sowie durch Verschiebung ent-standen. Schreibe eine Anleitung zum Nachzeichnen. Die Begriffe auf dem Rand können helfen.

Das große Dreieck ist aus acht Dreiecken aufgebaut. Welche dieser Dreiecke entste-hen aus Dreieck 1 a) durch Verschiebung,b) durch Achsenspiegelung?Gib jeweils die Verschiebungspfeile bzw. die Spiegelachsen an.

Gilt immer – gilt nie – es kommt darauf anÜberprüfe, ob die folgenden Aussagen immer gelten, nie stimmen oder nur in bestimm-ten Fällen richtig sind. Begründe deine Entscheidung gegebenenfalls mit einer Zeichnung oder mit hilfe eines Geometrieprogramms.a) Eine doppelte Achsenspiegelung bewirkt dasselbe wie eine Verschiebung.b) Eine doppelte Punktspiegelung bewirkt dasselbe wie eine Verschiebung.

Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen

Überschlage zunächst, wie groß das Ergebnis ungefähr ist. Berechne anschließend.a) 18,04 + 7,84 b) 0,89 + 0,228 c) 12,59 − 6,721 d) 0,169 − 0,021


40 ua) ub)

50

Die Aufgaben 4 bis 10 können auch mit einem Geometrieprogramm bearbeitet werden.

6$

7$ Anwenden $ Seite 129, Aufgabe 9

8$ Lerntipp Seite 107, Beispiel 2

Wortliste

• die Figur• die Koordinaten• verschieben um

… Einheiten• spiegeln an• die Spiegelachse• das Spiegelzen

trum

x

y321

5 731 6 842 13 15119 14 16 17 181210O

a)

x

y321

5 731 6 842 13 15119 14 16 17 181210O

b)

x

y321

5 731 6 842 13 15119 14 16 17 181210O

c)

x

y321

5 731 6 842 13 15119 14 16 17 181210O

d)


9$

x

y

456

321

5 731 6 842 13 15119 14 16 17 181210O

1 2 5 63 4

7 8

10.

Grundwissen, Seite 77 Lösungen, Seite 261

Teste dein Grundwissen!

11G

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124

6 Drehungen

Viele Städte, wie z. B. Hong Kong in China und Perleberg in Brandenburg, haben ihr eigenes Wappen. Auch wenn sich die beiden Wappen vom Aussehen unterschei-den, gibt es bei der Gestaltung auffallende Ähnlichkeiten.Beschreibe und erkläre sie.

Bisher wurden Muster durch Verschieben und Spiegeln von Figuren erzeugt. Im Fol-genden werden auch Winkel genutzt, um Muster durch Drehungen um einen Punkt zu gestalten und um diese zu untersuchen.

Eine Drehung beschreibt man durch das Drehzentrum und den Drehwinkel.

Rechts wird das Dreieck ABC um das Dreh-zentrum Z und mit einem Drehwinkel von α = 30° entgegen dem Uhrzeigersinn, also linksherum, gedreht. Dabei werden alle drei Punkte A, B und C um das Drehzentrum Z mit demselben Drehwinkel α = 30° gedreht. Verbindet man die Bildpunkte A’, B’ und C’ miteinan-der, erhält man das Bilddreieck A’B’C’.

Drehzentrum Z

αA

A’

B’

C’

C

B

Drehwinkel

Drehungen

Bei einer Drehung um ein Drehzentrum Z mit einem Drehwinkel α erhält man zu jedem Punkt P einen Bildpunkt P’.Dabei haben die Punkte P und P’ densel-ben Abstand von Z.

Z α

P

P ’

Beispiel 1 Einen Drehwinkel bestimmenDas grüne Dreieck in Fig. 1 ist durch Drehung des gelben Dreiecks um Z mit dem Winkel α entstanden. Bestimme den Drehwinkel α.LösungMan zeichnet die beiden Schenkel von Z aus durch A bzw. A’ und misst den Winkel (vgl. Fig. 2). Falls es zum Ablesen nötig ist, verlängert man die Schenkel. Der Drehwinkel α beträgt 45°.

Fig. 2

ZA

C

BA'

C'

B'

Fig. 1

Z

A

C

BAʹ

Cʹ

Bʹ

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125


6 Drehungen

Beispiel 2 Eine Figur drehenDrehe das Dreieck PQR mit den Koordinaten P (3 | − 1), Q (6 | − 1) und R (6 | 4) um den Punkt Z (0 | 5) mit dem Drehwinkel α = 90°. Gib die Koordinaten der Bildpunkte P’, Q’ und R’ an.Lösung1. Trage die Punkte P, Q, R und Z in ein Koordinatensystem ein und verbinde P, Q, und R. 2. Zeichne den 1. Schenkel von α von Z aus durch P und den 2. Schenkel von α mit Scheitel-

punkt Z.3. Zeichne einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt Z durch den Punkt P. Der Schnittpunkt

des Kreisbogens mit dem 2. Schenkel von α ist der Bildpunkt P’.4. Verfahre mit den Punkten Q und R ebenso. Verbinde die Bildpunkte miteinander. So

erhältst du das Bilddreieck P’Q’R’. Lies anschließend die Koordinaten der Bildpunkte ab. Die Koordinaten der Bildpunkte sind P’ (6 | 8), Q’ (6 | 11) und R’ (1 | 11).

12

10

8

6

4

2

– 2

O

y

8

12

10

8

6

4

2

– 2

O

y

8

12

10

8

6

4

2

– 2

O

y

8

Z Z 90° Z

P Q

R

P

P'P'

Q

R

P Q

Q'

R

R'

x x x

1. 4.2. und 3.

Beispiel 3 Æ Drehen und Verschieben mit einem Geometrieprogramm a) Füge ein beliebiges Bild (Bild 1) in ein Geometrieprogramm ein und verschiebe es so,

dass ein markanter Punkt des Bildes im Punkt A (1 | 0) liegt.b) Drehe Bild 1 aus Teilaufgabe a) mit dem Winkel α = 130° um den Punkt Z (− 1 | 0) und

du erhältst Bild 2. Drehe Bild 1 mit demselben Winkel α = 130° um den Punkt A (1 | 0) und du erhältst Bild 3.

c) Zeichne einen Verschiebungspfeil ein, mit dem Bild 2 auf Bild 3 verschoben werden kann, und führe die Verschiebung zur Kontrolle durch.

Lösunga) Man zeichnet den Punkt A in das Koordinatensystem. Man wählt eine Grafik, z. B. aus

dem Online-Code und platziert sie im Geometrieprogramm (vgl. Fig. 1).b) Siehe Fig. 2.c) Man legt einen Pfeil u fest, der in diesem Beispiel von einem Bienenbein von Bild 2 zum

entsprechenden Punkt von Bild 3 zeigt. Wenn man Bild 2 um diesen Pfeil verschiebt, erhält man Bild 3.

Vorlage Grafik zu Beispiel 3 mg7np5

Fig. 1 Fig. 2

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126

Aufgaben

Das Dreieck ABC wurde um den Punkt Z gedreht. Miss den Drehwinkel.a) b) c)

Bei einer Drehung um das Zentrum Z wird der Punkt A auf A’ abgebildet. Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und bestimme den Drehwinkel.a) Z (0 | 0), A (5 | 1), A’ (1 | 5) b) Z (4 | 2), A (7 | 1), A’ (5 | 5) c) Z (1 | 6), A (2 | 3), A’ (− 2 | 5)

Die gelbe Figur ist durch eine Drehung der grünen Figur um den Punkt Z entstanden. Bestimme den Drehwinkel.

Zeichne in ein Koordinatensystem das Dreieck ABC mit den Punkten A (− 1 | 0), B (4 | 0) und C (− 1 | 3). Konstruiere das Bilddreieck A’B’C’, indem dua) das Dreieck ABC um den Punkt A mit dem Drehwinkel α = 45° drehst,b) das Dreieck ABC um den Punkt B mit dem Drehwinkel β = 225° drehst.

Zeichne die Punkte A (2 | 2), B (4 | 0), C (7 | 3) und D (5 | 5) in ein Koordinatensystem und verbinde sie zu einem Rechteck. Drehe das Rechteck um den Punkt Z (0 | 0) mit dem Winkel α = 65°.

Das gelbe Dreieck ist durch eine Drehung des grünen Dreiecks um den Punkt Z ent-standen. Miss den Drehwinkel.

Zeichne das Dreieck ABC mit den Punkten A (1 | 1), B (4,5 | − 0,5) und C (3 | 3) in dein Heft. Konstruiere das Bilddreieck A’B’C’, indem dua) das Dreieck ABC um den Punkt Z (0 | 0) mit dem Drehwinkel α = 135° drehst, b) das Dreieck ABC um den Punkt A mit dem Drehwinkel α = 50° drehst.


BB’

C

C’ A

A’

ZC

C’

BB’

A

A’

Z

C

C’

B

B’

A

A’ Z

20

30


50


60

BB’

C

C’

A

A’

Z

a) C

C’AA’ B

B’

Z

b)

70

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127


6 Drehungen

Æ Zeichne mithilfe eines Geometrieprogramms zwei Geraden g und h, die sich in einem Winkel von 45° schneiden. a) Spiegle ein beliebiges Dreieck ABC an g, um das Bilddreieck A’B’C’ zu erzeugen.

Spiegle das Dreieck A’B’C’ an der Geraden h, um das Dreieck A’’B’’C’’ zu erhalten.b) Formuliere eine Entdeckung. Untersuche, ob deine Vermutung weiterhin gültig ist,

wenn du die Lage von g und h veränderst, den Schnittwinkel von g und h aber nicht.

Æ Zeichne das Parallelogramm mit deinem Geometrieprogramm.a) Zeichne ein Windrad durch mehrfaches

Drehen der Figur um den Punkt Z mit dem Drehwinkel α = 72°.

b) Gib weitere Drehwinkel an, mit denen man ein regelmäßiges Windrad zeich-nen kann, ohne dass die Flügel sich überlappen. Überprüfe dein Ergebnis mit dem Geometrieprogramm.

Lina sagt zu ihrer Freundin Amina: „Wir zeichnen einen Verschiebungspfeil, ein Dreieck ABC und ein Drehzentrum Z. Einen Drehwinkel α legen wir auch fest. Ich drehe zuerst und verschiebe dann. Du verschiebst zuerst und drehst dann. Wegen des Kommutativgesetzes müssen wir am Ende das gleiche Bilddreieck A’’B’’C’’ erhalten.“Untersuche Linas Vermutung durch Zeichnen und formuliere ein Forschungsergebnis.

Eine Gerade g verläuft durch die Punkte A (3 | 1) und B (3 | 3). Durch Drehung von g ent-steht die Bildgerade g’. Zeichne und gib die Koordinaten eines möglichen Drehzentrums und den Drehwinkel an, sodassa) g’ parallel zu g ist, b) g’ senkrecht zu g ist, c) g’ auf g liegt.

Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Punkten A (2 | 1), B (4 | 2) und C (0 | 5). Durch Dre-hung des Punktes C um den Punkt A mit dem Winkel α erhält man den Punkt C’ (− 2 | 3).a) Bestimme den Drehwinkel α. b) Bestimme den Bildpunkt B’.

Æ Erzeuge durch geeignete Drehungen des Eichhörnchens ein farbiges Parkett-muster wie in M. C. Eschers Schmetterlings-parkett.

Das Dreieck ABC mit den Punkten A (2 | − 3), B (6 | 2) und C (3 | 2) wurde um den Punkt Z gedreht. Das Bilddreieck A’B’C’ besitzt die Koordinaten A’ (− 4 | 1), B’ (1 | − 3) und C’ (1 | 0). Bestimme das Drehzentrum Z und den Drehwinkel α.

Mit Einheiten rechnen

Jonas hat eingekauft: In seiner Tasche sind 1 kg Mehl, 250 g Butter, ein 175-g-Becher Frisch-käse und 1 _ 2 kg Trauben. Gib an, wie schwer der Einkauf ist.

8$Die Aufgaben 11, 12

und 14 können auch mit einem Geometrieprogramm bearbeitet werden.

9$

x

2

1

1O 2 3 4 5 6

Z

y

10$

Zur Erinnerung.commutare (lat.): vertauschen

Lerntipp Seite 125, Beispiel 3


11$

12$

13. Lerntipp Seite 125, Beispiel 3

14.

Teste dein Grundwissen! Grundwissen, Seite 239 Lösungen, Seite 263

15G

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190

3 Boxplots

Die Diagramme enthalten Informationen über die Spannweite der Arme von 93 Mädchen und 80 Jungen. Erläutere, welche Informationen du den Grafiken entnehmen kannst.

Wenn man wissen möchte, wie groß Kinder in Klasse 7 etwa sind, misst man die Größe vieler Kinder „in einer großen Stichprobe“ und gibt als Antwort den Median oder das arithmetische Mittel an. Oft interessiert zusätzlich, wie sich die Daten um den Median verteilen, insbesondere zwischen welchen Werten die mittlere Hälfte der Daten liegt. Um diese Frage zu beant-worten, sortiert man die Urliste, also die Liste aller Daten, der Größe nach wie in Fig. 1 und zerlegt sie anschließend in vier Teile mit (möglichst) gleich vielen Daten. Dann liest man ab, zwischen welchen Werten das untere Viertel (in Fig. 1 blau markiert), die mittlere Hälfte (rot) und das obere Viertel (blau) liegt und stellt das Ergebnis in einem Boxplot wie in Fig. 2 maßstabsgetreu dar. So liegen bei den 16 Körpergrößen ein Viertel der Daten zwischen 138 cm und 147,5 cm in der „unteren Antenne“,die Hälfte der Daten zwischen 157,5 cm und 160,5 cm in der „Box“, ein Viertel der Daten zwischen 160,5 cm und 170 cm in der „oberen Antenne“.

138; 142; 143; 146; 149; 150; 153; 155; 156; 157; 158; 159; 162; 166; 169; 170

Körpergrößen in cm vom 16 Kindern aufsteigend sortiert. Der Median (155,5 cm) teilt die Urliste in der Mitte.

Man geht nach dem Sortieren der Daten wie folgt vor: – Man bestimmt den Median (155,5), der die Daten in einen oberen und einen unteren

Teil zerlegt. – Man bestimmt den Median des unteren Teils (147,5 cm) und des oberen Teils

(160,5 cm). Diese Mediane begrenzen die Box. Man nennt sie unteres Quartil bzw. oberes Quartil.

– Die Box wird in beiden Richtungen durch Antennen bis zum kleinsten Wert (Minimum, 138 cm) und bis zum größten Wert (Maximum, 170 cm) verlängert.

Boxplots zeichnet man auch, wenn die Anzahl der Daten nicht durch 4 teilbar ist und auch, wenn Daten mehrfach vorkommen. Dann werden die Anteile 1 _ 4 und 1 _ 2 nur ungefähr eingehalten (vgl. Seite 191, Beispiel 1).

Erinnerung: Zur Bestimmung des Medians sortiert man die Daten und nimmt − den Wert in der Mitte,

falls die Datenanzahl ungerade ist,

− das arithmetische Mit tel der beiden mittleren Daten, falls die Datenanzahl gerade ist.

147,5 155,5 160,5

Fig. 1„Quartil“ bedeutet Viertel. Die Länge der Box nennt man Quartil-abstand. Statistiker nutzen ihn als „Streumaß“, um mitzuteilen, wie sehr die Daten um den Median streuen. Fig. 2

Wenn der Median bei ungerader Datenan-zahl zur Urliste gehört, zählt man ihn weder zum unteren noch zum oberen Teil.

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191

VI Daten

3 Boxplots

Ein Boxplot veranschaulicht, wie Daten um den Median verteilt sind. Er besteht aus einer Box und zwei Antennen. Die Box wird begrenzt durch die Quartile. Sie enthält etwa die Hälfte der Daten. Die Antennen reichen von den Rändern der Box bis zum Minimum bzw. Maximum. Sie enthalten je etwa ein Viertel der Daten.Den Abstand zwischen Minimum und Maximum nennt man Spannweite.

Beispiel 1 Boxplot und Säulendiagramm vergleichenBeim Sponsorenlauf wurden von 23 Schülern folgende Beträge (in €) eingenommen:18 17 19 12 15 15 16 17 23 17 18 18 18 23 18 19 20 21 21 15 21 17 13a) Stelle die Einnahmen als Boxplot und als Säulendiagramm dar.b) Vergleiche die Darstellungen.Lösunga) Man sortiert die Daten nach der Größe und liest den Median 18 an der zwölften Po-

sition ab. Links und rechts davon enthält die Liste je elf Daten. Der Wert des unteren Quartils (16) steht an sechster Position, der des oberen Quartils (20) an achtzehnter Position. Die Box wird maßstabsgerecht zwischen 16 und 20 gezeichnet und durch die Antennen verlängert.

12; 13; 15; 15; 15

Minimum

16 17; 17; 17; 17; 18 18 18; 18; 18; 19; 19 20 21; 21; 21; 23; 23

MaximumUm das Säulendiagramm zeichnen zu können, braucht man nicht sortieren. Man zählt aus, wie oft jeder einzelne Betrag vorkommt.

b) Das Säulendiagramm enthält detailliertere Informationen. Zum Beispiel erkennt man, welche Beträge besonders häufig und welche gar nicht eingenommen wurden. Am Boxplot liest man ab, in welchem Bereich um den Median ca. die Hälfte der Einnah-men liegt. Hier liegen 11 von 23 (≈ 47,8 %) der Daten im Inneren der Box.

Beispiel 2 Mit Boxplots vergleichen Mark testet seine Reaktionszeit. Wenn aus seinem Computer ein Signal ertönt, muss er auf „Stopp“ klicken. Die benötigte Zeit (in Millisekunden) wird gestoppt. Fig. 2 zeigt die Boxplots der ersten und der letz-ten 20 Reaktionszeiten. Deute die Boxplots im Vergleich.LösungDer Median der Reaktionszeiten hat sich am Ende des Versuchs von etwa 645 auf 590 Millisekunden verkleinert. Mark reagiert also am Ende schneller. Außerdem ist die Box kürzer geworden, die Reaktionszeiten konzentrieren sich am Ende des Versuchs näher um den Median. Mark hat einen deut lichen Trainingserfolg erzielt.

unteres Quartil Median oberes Quartil

Säulendiagramm und Boxplot zu den Einnahmen beim Sponsorenlauf von 23 SchülernFig. 1

Wir vereinbaren: Die Ränder der Box gehören zu den Antennen.

Fig. 2

Experimentieren Reaktions-programm mg7np5

Mit dem Reaktionspro-gramm kann man selbst experimentieren.

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192

Aufgaben

Untersuche, welche der Listen durch einen der nebenstehenden Boxplots veranschau-licht werden. Begründe deine Antwort.A: 1 4 5 5 5 6 8 10B: 1 3 3 4 6 7 8 10C: 1 2 3 3 7 7 9 10

Die Boxplots veranschaulichen die Zeiten in Minuten, die von den männlichen und weib-lichen Teilnehmern eines Marathons der Altersklasse 20 −25 Jahre gelaufen wurden.

a) Lies jeweils den Median, das Minimum, das Maximum und die Quartile ab.b) Ergänze die Sätze jeweils für die männlichen und die weiblichen Teilnehmer im Heft:

(1) Ungefähr die Hälfte der Läufer brauchte weniger als ■ Minuten.(2) Ungefähr die Hälfte der Läufer brauchte zwischen ■ und ■ Minuten.(3) Ungefähr 25 % der Läufer brauchte weniger als ■ Minuten.(4) Ungefähr 75 % der Läufer brauchte weniger als ■ Minuten. (5) Der Median der Männer war ■ Minuten schneller als der der Frauen.(6) Der schnellste Mann brauchte ■ Minuten weniger als die schnellste Frau.

a) Beim 75-m-Lauf erreichten 10 Schüler folgende Zeiten 12,4 s; 11,3 s; 10,9 s; 13,8 s; 14,1 s; 9,8 s; 11,4 s; 10,9 s; 12,1 s; 12,8 s. Sortiere die Daten und bestimme den Median, die Quar-tile, das Minimum und das Maximum. Zeichne dann mithilfe dieser Werte den Boxplot.

b) Prüfe, ob etwa die Hälfte der Daten in der Box und jeweils etwa ein Viertel der Daten in den Antennen liegt.

Die Mitglieder dreier Mannschaften sam- melten in einem Wettkampf Punkte, die rechts als Boxplots veranschaulicht wurden. a) Lies ab,

(1) in welcher Gruppe der Median am größten ist,(2) in welcher Gruppe der beste bzw. der schlechteste Teilnehmer war, (3) die Leistungsunterschiede am größten bzw. am kleinsten waren,(4) die Leistungen des Mittelfeldes besonders nahe beieinanderlagen.

b) Nimm Stellung zur Aussage: „Der zweitbeste war in Gruppe B, der drittbeste in A“.

Die Abbildung rechts zeigt, wie viel Geld auf Euro gerundet 28 Schüler bei einer Exkursion dabei hatten.a) Erläutere, wie man die Tabellenspalten

und die Achsen im Diagramm beschrif-ten müsste. Formuliere Aussagen, die du den Diagrammen entnehmen kannst.

b) Prüfe: Das Säulendiagramm und der Boxplot passen zur Tabelle. Erläutere, wie du dabei vorgehst.

10


Üben 0 Seite 198, Aufgabe 6

Vertiefen $ Seite 199, Aufgabe 11



40

5$ Tipp: Überlege, an wel cher Stelle bzw. zwischen welchen Po sitionen bei 28 Daten der Median und die Quartile liegen.

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193

VI Daten

3 Boxplots

Ordne jedem Säulendiagramm den passenden Boxplot vom Rand zu. Begründe.

Gilt immer − gilt nie − es kommt darauf an Entscheide, ob die folgenden Aussagen immer richtig sind, nie richtig sind oder nur in bestimmten Fällen richtig sind. Begründe deine Antwort.a) Der Median liegt in der Box.b) Das arithmetische Mittel liegt in der Box.c) Um einen Boxplot zeichnen zu können, braucht man fünf oder mehr Daten.d) Es gibt Boxplots, bei denen die Box die Länge 0 hat.

Es soll untersucht werden, ob ein neues Medikament gegen Bluthochdruck besser wirkt als das alte. Bei 10 Patienten wird ge messen, um wie viel das alte Medika-ment den Blutdruck senkt. Bei 11 weiteren Patienten wird das neue Medikament getes-tet. Zeichne für beide Medikamente einen Boxplot. Beschreibe, wie sich die Medika-mente in der Wirksamkeit unterscheiden.

Die Firma „Deinmüsli“ testet 4 Maschinen zur Verpackung von 500 g-Müsli-Packungen. Das Sollgewicht in einer Packung darf um 3 % unterschritten werden. Die Stichprobe wurde in Boxplots veranschaulicht. Beur-teile die Maschinen aus Sicht von „Dein-müsli“, von Müslikäufern und des Herstel-lers der Maschinen.

a) Gib eine Liste mit fünf Daten an, die durch den Boxplot veranschaulicht wird. b) Füge der Liste sechs Daten so hinzu, dass der Boxplot sich dadurch nicht ändert.

Notiere drei verschiedene Möglichkeiten. c) Ergänze die Liste aus Teilaufgabe a) so,

dass man einen Boxplot ohne Antennen erhält.

Volumeneinheiten umrechnen

Gib in der in Klammer angegebenen Einheit an.a) 20 c m 3 (m m 3 ) b) 3 m 3 (c m 3 ) c) 4 000 000 c m 3 ( m 3 )d) 3 l (c m 3 ) e) 12 m 3 (l) f) 50 000 m m 3 (ml)

6$

7$


8$ 1 mm Hg gibt an, wie stark eine Quecksilber-säule der Höhe 1 mm nach unten drückt. Es handelt sich um eine alte Maßeinheit für Druck.

Gewicht (in g)

485 490 495 500 505 510 515 520 525

IV

III

II

I9.

10.



11G

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218

3 Rechnen mit dem Dreisatz

Bei einem Schulfest soll Saftschorle ver-kauft werden. Im letzten Jahr waren 500 Besucher auf dem Fest und es wurden 300 Liter Saftschorle verkauft. In diesem Jahr rechnet man mit 700 Besuchern. Wie viel Saft und wie viel Mineralwasser sollte man kaufen?

Bisher wurden Muster und Abhängigkeiten untersucht. Diese wurden mit Worten und, falls möglich, mithilfe von Termen beschrieben. Bei bestimmten Abhängigkeiten genügt es, ein Paar zusammengehöriger Größenangaben zu kennen, um weitere Werte berechnen zu können. Hierfür kann man ein Rechenverfahren verwenden, das man Dreisatz nennt.

Je-mehr-desto-mehr-Dreisatz Wenn man weiß, dass 500 g Kirschen in einem Geschäft 1,80 € kosten, kann man ausrech-nen, wie viel z. B. 400 g Kirschen kosten. Bei einem Dreisatz rechnet man zunächst ein Zwischenergebnis aus, das sich leicht berechnen lässt und für die Lösung der Aufgabe hilfreich ist. In diesem Fall kann man z. B. zunächst ausrechnen, was 100 g Kirschen kosten.

Gewicht Preis

500 g 1,80 € 500 g Kirschen kosten 1,80 €.



Je-mehr-desto-weniger-DreisatzWenn man weiß, dass bei einer Aufteilung einer Flasche Saft auf vier Gläser in jedem Glas 250 ml Inhalt sind, kann man ausrechnen, wie viel Saft man pro Glas bei Aufteilung auf fünf Gläser abfüllen kann. Man kann hierbei zunächst als Zwischenergebnis ausrechnen, wie viel Saft man in ein einziges Glas füllen könnte.

Gläser Volumen

4 250 ml Bei vier Gläsern sind 250 ml in einem Glas.

1 1000 ml In der Flasche sind 1000 ml.

5 200 ml Bei fünf Gläsern sind 200 ml in einem Glas.

Je-mehr-desto-mehr-Dreisatz Je-mehr-desto-weniger-DreisatzWenn dem Doppelten, Dreifachen, … der ersten Größe jeweils das Doppelte, Dreifa-che, … der zweiten Größe zugeordnet wird, kann man wie folgt rechnen:

Wenn dem Doppelten, Dreifachen, … der ersten Größe jeweils die Hälfte, ein Drittel, … der zweiten Größe zugeordnet wird, kann man wie folgt rechnen:

Gewicht des Obstes

zu zahlender Preis

Personen, die sich einen Kuchen teilen

Kuchenmenge pro Person

3 kg 6 € 4 500 g

1 kg 2 € 1 2000 g

4 kg 8 € 10 200 g

Der Preis lässt sich auf diese Weise berech-nen, weil man davon ausgeht, dass doppelt so viele, dreimal so viele usw. Kirschen immer das Doppelte, das Drei-fache usw. kosten.

: 5· 4

: 5· 4

Die Rechnung kann auf diese Weise durchge-führt werden, weil man davon ausgeht, dass alle Gläser genau mit der gleichen Menge Saft befüllt werden.

: 4· 5

· 4: 5

: 3· 4

: 3· 4

: 4· 10

· 4: 10

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219

VII Beziehungen zwischen Zahlen


Bevor man mit einem Dreisatz rechnet, muss man stets prüfen, ob diese Rechnung sinn-voll ist. Wenn man z. B. weiß, dass ein Kind mit 6 Jahren 1,20 m groß ist, dann lässt sich die zu erwartende Größe des Kindes mit 8 Jahren nicht mit einem Dreisatz berechnen. Hierfür müsste sich bei Verdopplung des Alters auch die Körpergröße verdoppeln. Dies ist offensichtlich nicht der Fall, denn das Kind wäre dann mit 12 Jahren 2,40 m groß.

Beispiel Dreisatz anwendenGib an, welche Voraussetzung erfüllt sein muss, damit ein Dreisatz anwendbar ist. Berech-ne unter dieser Voraussetzung die gesuchten Werte mithilfe des passenden Dreisatzes.a) Für ein Konzert wurden 250 Tickets ver-

kauft. Die Einnahmen hierfür betragen 3750 €. Ermittle, wie hoch die Einnah-men bei 300 verkauften Tickets wären.

b) Drei Fensterputzer benötigen zum Putzen der Scheiben eines Gebäudes 12 Stunden. Bestimme, wie lang zwei Fensterputzer dafür brauchen.

Lösunga) Voraussetzung: Alle Karten kosten gleich

viel. Unter dieser Voraussetzung kann man die Aufgabe mit einem Je-mehr-desto-mehr-Dreisatz lösen.

b) Voraussetzung: Alle Arbeiter putzen gleich schnell. Unter dieser Vorausset-zung kann man die Aufgabe mit einem Je-mehr-desto-weniger-Dreisatz lösen.

verkaufte Karten Einnahmen Anzahl der Arbeiter benötigte Zeit

250 3750 € 3 12 h

50 750 € 1 36 h

300 4500 € 2 18 h

Unter der Voraussetzung, dass alle Tickets gleich viel kosten, hätte man bei 300 ver-kauften Karten 4500 € eingenommen.

Unter der Voraussetzung, dass alle Fenster-putzer gleich schnell arbeiten, brauchen zwei Fensterputzer 18 Stunden.

Aufgaben

Übertrage die Tabelle in dein Heft und bestimme die fehlenden Größen mithilfe eines Je-mehr-desto-mehr-Dreisatzes. Ergänze auch die Rechenschritte neben der Tabelle. a) b) c)

Übertrage die Tabellen in dein Heft und bestimme die fehlenden Größen mithilfe eines Je-mehr-desto-weniger-Dreisatzes. Ergänze auch die Rechenschritte neben der Tabelle.a) b) c)

Berechne mithilfe eines Je-mehr-desto-mehr-Dreisatzes.a) Sieben Brötchen kosten 2,10 €. Wie viel kosten acht Brötchen?b) Fünf Wasserflaschen wiegen 7,5 kg. Wie viel wiegen vier dieser Flaschen? c) Ein Eimer mit 30 Litern Farbe reicht für 50 m2. Wie viel benötigt man für 120 m2?

: 5· 6

: 5· 6

: 3· 2

· 3: 2

10

20

30

Den Je-mehr-desto-mehr-Dreisatz könnte man auch Je-weniger-desto-weniger-Dreisatz nennen.

Den Je-mehr-desto-weniger-Dreisatz könnte man auch Je-weniger-desto-mehr-Dreisatz nennen.

Gewicht Preis

50 g 1,50 €

10 g

30 g

■■

■■

Weg Zeit

5 km 20 min

3 km

■■

■■

Anzahl Gewicht

4 200 g

15

■■

■■

Volumen pro Becher

Becher-zahl

0,3 l 150

0,1 l

0,2 l

■■

■■

Arbeiter benötigte Zeit

3 30 h

2

■■

■■

Geschwin-digkeit

benötigte Zeit

20 km/h 3 h

15 km/h

■■

■■

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220

Berechne mithilfe eines Je-mehr-desto-weniger-Dreisatzes.a) Für den Schulweg braucht Pia 15 min bei einer Geschwindigkeit von 5 km/h. Wie lang

braucht sie bei einer Geschwindigkeit von 6 km/h? b) Eine Bäckerei stellt aus einer Lieferung Teig 1000 Brötchen mit einem Gewicht von

jeweils 40 g her. Wie viele 50 g schwere Brötchen könnte man backen?c) Ein achtseitiger Text enthält pro Seite 2500 Zeichen. Wie viele Seiten bräuchte man, um

den Text abzudrucken, wenn auf einer Seite 2000 Zeichen stehen sollen?

Berechne mithilfe eines Dreisatzes.a) Aus einem Wasserhahn fließen in 40 Se-

kunden 12 Liter Wasser. Wie viel Wasser fließt in 50 Sekunden aus dem Hahn?

b) Aus einer Regentonne lässt sich eine Gießkanne mit je 10 Litern Inhalt 30-mal befüllen. Wie oft könnte man mit die-sem Wasser eine Kanne mit 15 Litern Inhalt befüllen?

Berechne mithilfe eines Dreisatzes.a) 100 g Marmelade enthalten 58 g Zucker. Wie viel Zucker enthalten 150 g der Marmelade? b) Wenn man ein Brot in 8 mm dicke Scheiben schneidet, erhält man 30 Scheiben. Wie

viele Scheiben erhält man, wenn diese 10 mm dick sind?

Gib an, welche Voraussetzung erfüllt sein muss, damit ein Dreisatz anwendbar ist. Berech-ne unter dieser Voraussetzung die gesuchten Werte mithilfe des passenden Drei satzes.a) Tim schält in 30 Sekunden drei Kartoffeln. Wie lange braucht er für 20 Kartoffeln?b) Der Futtervorrat für zwei Kaninchen reicht für 6 Tage. Wie lange würde der Vorrat rei-

chen, wenn man drei Kaninchen hätte?c) Jasmin braucht bei einer Fahrradtour 3 Stunden für 45 km. Wie lang braucht sie für eine

Tour, die 75 km lang ist?

Amy meint: „Beim Dreisatz kann ich als Zwischenschritt immer über die 1 gehen, aber oft sind andere Zwischenschritte besser.“ Erläutere Amys Überlegung anhand von Beispielen.

Zwei Fliesenleger brauchen für das Verlegen der Fliesen in einem Badezimmer zusammen acht Stunden. Fritzi behauptet: „Also brauchen acht Fliesenleger für die gleiche Arbeit zwei Stunden.“ Antonia ist nicht einverstanden. Erläutere, wie sie argumentieren könnte.

Finde den Fehler!Beschreibe, was falsch gemacht wurde. Bestimme anschließend die richtige Lösung.a) b) c)

40

50


60

7$ Lerntipp Seite 219, Beispiel

8$

9$

10$Wortliste

• dividieren• multiplizieren • Voraussetzung• Zusammenhang• anwenden

Gegeben: Auf dem Marktkauft Herr Bio 3 KilogrammKartoffeln für 4,50 Euro. Gewicht Preis 3 kg 4,50 Euro 1 kg 1,50 Euro 7 kg 9,50 EuroAntwort: Herr Bio muss für7 kg Kartoffeln 9,50 Eurobezahlen.

Gegeben: Bei einer Ge-schwindigkeit von 6 km/hbraucht Tim 12 Minuten fürseinen Schulweg. Geschwindigkeit Dauer 6 km/h 12 Minuten 1 km/h 2 Minuten 8 km/h 16 MinutenMit 8 km/h braucht Tim16 Minuten.

Gegeben: 20 Musikerbrauchen für ein Musik-stück ungefähr 15 Minuten. Musiker Dauer 20 15 Minuten 10 30 Minuten 30 10 MinutenAntwort: 30 Musikerbrauchen für das Stück10 Minuten.

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221

VII Beziehungen zwischen Zahlen


2 kg Erdbeeren kosten 7 €. Alessia behauptet: „Um auszurechnen, was 3 kg, 4 kg, 5 kg und 6 kg Erdbeeren kosten, muss ich viermal eine Dreisatzrechnung durchführen“.Yuna meint: „Es reicht, den Dreisatz einmal durchzuführen und auszurechnen, was x kg kosten. Man erhält dann eine Formel, mit der man alle Preise ausrechnen kann.“Bestimme eine solche Formel und berech-ne die gesuchten Preise.

Erfinde zu den abgebildeten Rechenverfahren eine passende Sachaufgabe und gib die Lösung zu deiner Aufgabe an.a) b) c)

Gib an, welche Voraussetzung erfüllt sein muss, damit ein Dreisatz anwendbar ist. Berech-ne unter dieser Voraussetzung die gesuchten Werte mithilfe des passenden Dreisatzes.a) Yusuf löst in 15 Minuten 5 Matheaufgaben. Wie lange braucht er für 13 Aufgaben?b) Um ein Schwimmbecken leer zu pumpen, benötigen 2 Pumpen 6 Stunden. Wie lange

braucht man, wenn 3 Pumpen zur Verfügung stehen?

Schreiner Hobel rechnet: „Wenn 4000 Nägel 52 € kosten, kostet ein Nagel 52 € : 4000 = 0,013 €. Ich müsste für einen Nagel 1 Cent bezahlen. Dann kosten 5000 Nägel 50 €. Moment mal, dann wäre die Packung mit 5000 Nägeln ja billiger als die mit 4000?“ Was stimmt hier nicht? Erkläre.

Ein Vater möchte für seinen Sohn ein Planschbecken mit einer Grundfläche von 160 dm 2 mit Eimern 21 cm hoch füllen. Die Eimer haben eine Grundfläche von 700 cm 2 und wurden 30 cm hoch gefüllt.a) Ermittle, wie oft der Vater mit zwei

Eimern in der Hand laufen muss.b) Nachdem der Vater 2-mal gelaufen ist,

half der größere Bruder mit, trug jedoch nur einen Eimer. Ermittle, wie oft sie noch laufen müssen.

Arithmetrisches Mittel und Median berechnen

a) Berechne das arithmetrische Mittel und den Median der Zahlenliste.b) Wie ändern sich die Werte aus Teilaufgabe a), wenn man den Wert 10,2 durch 11,0 er-

setzt? Erläutere deine Antwort.

1,8 2,4 2,6 3,0 5,0 6,2 8,8 10,2

11$

12$

1. Größe 2. Größe

7 ■1 ■ _

7

3 ■ _ 7 ⋅ 3


3 8

1 8 _ 3

■ 8 _ 3 ⋅ ■


■ 7

1 7 _ ■

8 7 _ ■ ⋅ 8


13$

14.

15.



16G

Gewicht (in kg) Preis 2 7 Euro x

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Lösungen

4a) Überschlag: 0,6 m 3 − 0,4 m 3 + 0,7 m 3 = 0,9 m 3 2 _ 3 des Tanks entsprechen 1 m 3 , also ist der Tank nicht zu

mehr als 2 _ 3 gefüllt.b) Im Tank: 576,6 l − 340 l + 689 l = 925,6 l Es ist sinnvoll, auf 10 l zu runden: ≈ 930 l Es passen noch ca. 1,5 m 3 − 0,93 m 3 = 0,57 m 3 = 570 l Was-

ser in den Tank.

5Die Geschwister erhalten: 1 _ 3 + 1 _ 4 + 1 _ 8 = 8 _ 24 + 6 _ 24 + 3 _ 24 = 17 _ 24

Sie spenden also 24 _ 24 − 17 _ 24 = 7 _ 24 des Gewinns.

1 _ 24 entspricht 10 €, also beträgt der Gewinn 10 € ⋅ 24 = 240 €.


Seite 99

Check-in

1a) j ∥ k, h ∥ mb) j ⊥ m, k ⊥ m, h ⊥ j, h ⊥ kc) Abstand der Punkte P und Q: 3,5 cmd) Abstand P zu g: 2 cm; Abstand P zu k: 2,5 cm

2a), b), d), e)

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11y

x

R(1 |9)h

l

g

k

U(7 |8)

Q(10 |6)

T(7 |3)

S(6 |4)

P(4 |3)

V(5 |0)

c) Die beiden Geraden g und h schneiden sich im Schnitt-punkt S (6 | 4).

3

4

Z

Seite 104

5

A B

D C

1

– 1

– 2

– 3

1– 1– 2– 3– 4– 5 2 3 4 5

2

3

y

xA''B''

D''C''

A*B*

D*C*

A' B'

D' C'c)

a)b)

a) Es entsteht ein Parallelogramm.b) Spiegelung an der x-Achse: A’ (1 | − 1), B’ (4,5 | − 1),

C’ (5,5 | − 2,5), D’ (2 | − 2,5); Spiegelung an der y-Achse: A’’ (− 1 | 1), B’’ (− 4,5 | 1), C’’ (− 5,5 | 2,5), D’’ (− 2 | 2,5).

c) Spiegelung am Koordinatenursprung: A* (− 1 | − 1), B* (− 4,5 | − 1), C* (− 5,5 | − 2,5), D* (− 2 | − 2,5)

260

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Lösungen

Seite 105

10a) und c)

1

– 1

– 2

– 3

1– 1– 2– 3– 4 2 3 4

2

3

y

xA B

D

CE

A' B'

D'

C'E'

B'' A''

D''

E''C''

Z

c)

a)

b) Eine Spiegelung am Punkt P (1,5 | 0) würde dieselbe Figur liefern wie die Spiegelung an der x-Achse, allerdings wären die Punkte A’ und B’ sowie C’ und E’ vertauscht.

12

a) 1 _ 4 = 2 _ 8 , es wurde mit 2 erweitert

b) 5 _ 9 = 15 _ 27 , es wurde mit 3 erweitert

c) 4 _ 24 = 1 _ 6 , es wurde mit 4 gekürzt

d) 10 _ 35 = 2 _ 7 , es wurde mit 5 gekürzt

Seite 108

4a) b)

uu

5 individuelle Lösung

G

9a) Durch Verschiebung von Dreieck 1 entstehen Dreieck 5

(Pfeil u) und Dreieck 7 (Pfeil v).b) Durch Achsenspiegelung von Dreieck 1 entstehen Drei-

eck 2 (Achse g), 6 (Achse h) und 7 (Achse k).

x

y4

3

2

1

5 64321O 7

1 2 5 63 4

7 8

8

v

u

gh

k

11a) Überschlag: 18 + 8 = 26; exakt: 25,88b) Überschlag: 0,9 + 0,2 = 1,1; exakt: 1,118c) Überschlag: 13 − 7 = 6; exakt: 5,869d) Überschlag: 0,17 − 0,02 = 0,15; exakt: 0,148

Seite 111

8a) und b)

– 2

– 2

– 1– 1

1

1O 2 3 4

A B

T (4 | –0,5)

S (4 | 2,5)

5 6 7

2

3

4y

x

c) S (4 | 2,5) und T (4 | –0,5)d) Die beiden Schnittpunkte liegen 3 cm voneinander ent-

fernt.

9Die Kreismuster sind aus dem Buch ins Heft zu übernehmen.

G

261

DO01_3-12-733861_K10_244_297_Loes.indd 261 30.07.2019 14:23:50

Lösungen

15a) Die beiden Sprünge von Thomas Morgenstern unterschie-

den sich um 4,38 m. b) Die beiden besten Sprünge von Thomas Morgenstern und

Kamil Stoch unterschieden sich um 1,93 m.c) Der erste Sprung von Simon Ammann war 143,72 m weit.

Seite 121

8a) α ist ein spitzer Winkel, dessen Größe ungefähr 1 _ 3 eines

rechten Winkels entspricht, also ca. 30° beträgt. β ist ein stumpfer Winkel, der ungefähr so groß ist wie ein rechter Winkel, zu dem α addiert wird. Also ist β ungefähr 120° groß. γ ist ein spitzer Winkel, der halb so groß ist wie ein rech-ter Winkel, also ist γ ungefähr 45° groß. δ ist ein überstumpfer Winkel. Wenn man von einem Voll-winkel γ abzieht, erhält man δ, also ist δ ungefähr 315° groß.

b) α = 27°, β = 123°, γ = 49°, δ = 318°

9

281°

74°

Seite 123

14a)

b) α = 16°, β = 60°, γ = 51°, δ = 69°, ε = 78°, φ = 51°c) ε 1 = 282°; α 1 = 67°

17a) Halim und Safiye erhalten 2,1 l des Cocktails „Coconut

Kiss“. b) Nach dem Probieren bleiben Halim und Safiye noch 1,775 l

des Cocktails.

G

G

Seite 126

6a) 60° b) 130°

7

1

135°

50°

– 11– 1– 2– 3– 4 2 3 4

2

3

4y

xA

B

CB'

C' A'

B''

A''

C''

Z

a)

b)b)

Seite 127

11a) Egal, welchen Punkt Z man außerhalb der Geraden g

wählt, sofern man g um 180° dreht, liegt die Bildgerade g’ parallel zu g

b) Egal, welchen Punkt Z man wählt, dreht man g um 90°, so liegt g’ senkrecht zu g.

c) Man kann als Drehzentrum einen beliebigen Punkt Z auf g wählen und um 180° drehen, dann ist g’ identisch mit g.

12a) α = 37° b) B’ (3 | 3)

151 kg + 250 g + 175 g + 1 _ 2 kg = 1000 g + 250 g + 175 g + 500 g = 1925 gJonas Einkauf wiegt 1,925 kg.

Seite 128

1a) A (1 | 2), B (1,5 | 2,5), C (2 | 2), D (2,5 | 2,5), E (2,5 | 1), F (1 | 1)b) A’ (1 | 2), B’ (1,5 | 2,5), C’ (0 | 2), D’ (− 0,5 | 2,5), E’ (− 0,5 | 1),

F’ (1 | 1)

G

263

DO01_3-12-733861_K10_244_297_Loes.indd 263 30.07.2019 14:23:50

Lösungen

Seite 184

16a) Es fuhren 3 Lkw, 7 Transporter und 11 Pkw zu schnell.b)

zu schnell Gesamtanzahl relative Häufigkeit

Lkw 3 20 15 %

Transporter 7 25 28 %

Pkw 11 55 20 %

c) Gesamtanzahl der „Temposünder“: 3 + 7 + 11 = 21 Anteil der Lkw: 3 _ 21 , Mittelpunktswinkel: 3 _ 21 ⋅ 360° ≈ 51,5°,

Transporter: 7 _ 21 , Mittelpunktswinkel: 7 _ 21 ⋅ 360° = 120°, Pkw: 11 _ 21 , Mittelpunktswinkel: 11 _ 21 ⋅ 360° ≈ 188,5°

Lkw

PkwTransporter

Temposünder

19a) Kantenlänge l = 4 ⋅ 4 cm + 4 ⋅ 2 cm + 4 ⋅ 3 cm = 36 cm

Oberflächeninhalt O = 2 ⋅ 4 cm ⋅ 3 cm + 2 ⋅ 2 cm ⋅ 3 cm + 2 ⋅ 4 cm ⋅ 2 cm = 24 c m 2 + 12 c m 2 + 16 c m 2 = 52 c m 2 Volumen V = 2 cm ⋅ 3 cm ⋅ 4 cm = 24 c m 3

b) Die Gesamtkantenlänge verdoppelt sich ebenfalls. Der Oberflächeninhalt vervierfacht sich und das Volumen verachtfacht sich.

Seite 188

8a) A: Sortierte Liste: 0 1 3 3 3 5 6 Der Median ist 3.

0 + 1 + 3 + 3 + 3 + 5 + 6 ____ 7 = 21 _ 7 Der Mittelwert ist 3.

B: Median: 1,50 €

Mittelwert: 2,20 € + 1,50 € + 0,80 €

____ 3 = 4,50 €

_ 3 = 1,50 €

C: Sortierte Liste: 2,4 kg 3 kg 6,5 kg 26 kg

Median: 3 kg + 6,5 kg

_ 2 = 9,5 kg

_ 2 = 4,75 kg

Mittelwert: 2,4 kg + 3 kg + 6,5 kg + 26 kg

____ 4 = 9,475 kg

b) (1) Der Median ändert sich in keinem der Fälle. Das arithmetische Mittel vergrößert sich in

A: um 1 _ 7 auf 22 _ 7 = 3 1 _ 7

B: um 1 _ 3 auf 5,50 €

_ 3 ≈ 1,83 €

C: um 1 _ 4 auf 9,725 kg.

(2) Der Median ändert sich in keinem der Fälle. Das arithmetische Mittel

G

A: aus 21 _ 7 = 3 wird 27 _ 9 = 3

B: aus 4,50 €

_ 3 = 1,50 € wird 7,50 €

_ 5 = 2,50 €

C: aus 37,9 kg

_ 4 = 9,25 kg wird 66,3 kg

_ 6 = 11,05 kg

9a) Mittelwert 63 _ 20 = 3,15b) Median 3, da in einer sortierten Liste der zehnte und der

elfte Wert jeweils 3 wäre.

Seite 189

18a) individuelle Lösung, zum Beispiel: 155, 155, 155, 155 Median: 155 100, 145, 165, 210 Median: 155 120, 120, 140, 240 Median: 130b) Wenn man drei Werte sehr klein wählt und den vierten

Wert sehr groß, bleibt der Median klein. Im Extremfall [0, 0, 0, 620] ist der Median 0, das arithmetische Mittel 155.

21a) 20 ⋅ 30 c m 2 = 600 c m 2 DIN-A4-Blatt 5 ⋅ 15 c m 2 = 75 c m 2 Handfläche Eine Handfläche passt ca. 10-mal auf ein DIN-A4-Blatt.b) 5 ⋅ 20 = 100; 3 ⋅ 30 ≈ 100, also passen ca. 5 ⋅ 3 = 15 Blätter

in einen Quadratmeter. Also ist ein Blatt ca. 1 _ 15 m 2 , eine Hand ca. 1 _ 150 m 2 .

Seite 192

4a) (1) Der Median von Gruppe B ist am größten. (2) Der beste Teilnehmer war in Gruppe A, der schlechtes-

te in Gruppe C. (3) Die Leistungsunterschiede entsprechen der Strecke

zwischen den Enden der Antennen. Sie sind in Gruppe B am kleinsten, in Gruppe C am größten.

(4) Die Länge der Box ist bei Gruppe A am kleinsten, deswegen lagen die Leistungen des Mittelfeldes hier besonders nah beieinander.

b) Die Aussage muss nicht richtig sein, es kann in Gruppe A auch 2 Personen geben, die besser sind als der beste von Gruppe C und der beste von Gruppe B.

Seite 193

8Altes Medikament: Geordnete Liste: 4; 7; 8; 10; 11; 15; 15; 19; 25; 31Median: 13; Mittelwert: 14,5; unteres Quartil: 8; oberes Quartil: 19; Quartilsabstand: 11

Neues Medikament: Geordnete Liste: 4; 9; 11; 14; 16; 25; 26; 36; 36; 40; 48Median: 25; Mittelwert: ca. 24,1; unteres Quartil: 11; oberes Quartil: 36; Quartilsabstand: 25

G

280

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Lösungen

Altes Medik.

Neues Medik.Senkung in mm Hg

10 20 30 40 50 60

Vergleich: Median und Mittelwert sind beim neuen Medika-ment höher, es hilft im Mittel mehr.Allerdings ist auch die Streuung (Quartilsabstand) höher. Das neue Medikament wirkt also nicht immer. Insgesamt ist die Stichprobe zu gering für eine zuverlässige Aussage.

11a) 20 c m 3 = 20 000 m m 3 b) 3 m 3 = 3 000 000 c m 3 c) 4 000 000 c m 3 = 4 m 3 d) 3 l = 3 d m 3 = 3 000 c m 3 e) 12 m 3 = 12 000 d m 3 = 12 000 l f) 50 000 m m 3

= 50 m 3 = 50 ml

Seite 196

4

Gewicht (in g)

2

2000 –2500

2500 –3000

3000 –3500

3500 –4000

4000 –4500

2000 2500 3000 3500 4000

4

6

8

10Anzahl Kinder

Gewicht(in g)

Seite 197

8a) Bei Messungen über zu kurze Zeitintervalle ist die Unge-

nauigkeit zu groß, bei 1 s könnte es sein, dass man auch keinen Pulsschlag fühlt, das Multiplizieren mit 60 führt dann zum Puls „0“, bei zu langer Messzeit, beruhigt sich der Puls während der Messung.

b) Zähle jeweils 15 Sek. und diktiere einem Partner die Pulsschlagzahl, zähle aber gleich weiter, von 1 beginnend. Wiederhole das so lange, bis der Puls genau in der Mitte zwischen Ruhepuls und Belastungspuls liegt. Wer dafür weniger 15-Sek.-Intervalle gebraucht hat, gilt als trainier-ter.

G

10a) 90 c m 3 b) 2400 c m 3 c) 1400 c m 3

Seite 198

1a) arithmetisches Mittel: 29 _ 18 = 1 11 _ 18 Median: 1 + 2 _ 2 = 1,5

b) Ergebnis Relative Häufigkeit

Bruch Prozent

0 1 _ 9 11,1 %

1 7 _ 18 38,9 %

2 1 _ 3 33,3 %

3 1 _ 9 11,1 %

4 1 _ 18 5,6 %

c)

04

3

2 1

Der Vollwinkel 360° lässt sich ohne Rest durch 18 teilen: 360° ∶ 18 = 20°.

Alle Winkel, die für das Kreisdiagramm benötigt werden, sind Vielfache von 20°.

2a) arithmetisches Mittel: 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 1 + 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 3 ______ 18 = 3 + 4 + 15 + 4 + 20 + 18 ____ 18 = 64 _ 18 ≈ 3,55 Median: Er liegt in der sortierten Liste in der Mitte zwi-

schen dem 8. und 9. Element, ist also 3.

1 1 1 2 2 3 33

3 3 3 4 5 5 5 5 6 6 6Median

b) Augenzahl 1 2 3

rel. Häufigkeit 3 _ 18 ≈ 16,7 % 2 _ 18 ≈ 11,1 % 5 _ 18 ≈ 27,8 %

Augenzahl 4 5 6

rel. Häufigkeit 1 _ 18 ≈ 5,6 % 4 _ 18 ≈ 22,2 % 3 _ 18 ≈ 16,7 %

c) Der Vollwinkel 360° lässt sich ohne Rest durch 18 teilen: 360° ∶ 18 = 20°.

Alle Winkel, die für das Kreisdiagramm benötigt werden, sind Vielfache von 20°.

G

281

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Lösungen

c)

x 10 ⋅ x − 10

1 0

2 10

5 40

10 90

20 190

50 490

100 990

d)

x 3 + 3 ⋅ x

1 6

2 9

5 18

10 33

20 63

50 153

100 303

5a) Der Term beschreibt die Zahlenfolge richtig. b) Der Term liefert schon für die eingesetzte 1 einen fal-

schen Wert.

Seite 217

11a) n ⋅ 3 + 2 182 gehört zur Zahlenfolge, da 60 ⋅ 3 + 2 = 182.b) n ⋅ 4 + 2 182 gehört zur Zahlenfolge, da 45 ⋅ 4 + 2 = 182.

12a) n beschreibt die Länge des Musters: n ⋅ 3 + 2b) Man braucht also 100 ⋅ 3 + 2 = 302 Streichhölzer, um das

Muster der Länge 100 zu legen.

15Lea trifft mit einer Quote von 15 _ 24 , Tim mit 22

_ 33 = 2 _ 3 .

Da 16 _ 24 einer Quote von 2 _ 3 entsprechen würden, liegt Leas

Treffer quote etwas niedriger als Tims.

Seite 220

6a) 100 g der Marmelade enthalten 58 g Zucker. Also ent-

halten 50 g Marmelade 29 g Zucker. In 150 g Marmelade sind 3 ⋅ 29 g = 87 g Zucker enthalten.

b) Man erhält 30 Scheiben mit 8 mm Dicke. Man bekäme also 120 Scheiben mit 2 mm Dicke oder 24 Scheiben mit 10 mm Dicke.

Seite 221

13a) Wenn Yusuf für alle Aufgaben gleich lang braucht, dann

lässt sich ein Je-mehr-desto-mehr-Dreisatz anwenden: In 15 Minuten 5 Matheaufgaben, in 3 Minuten 1 Aufgabe, in 39 Minuten 13 Aufgaben. Unter der Voraussetzung, dass Yusuf für alle Aufgaben gleich lang braucht, könnte er die 13 Aufgaben in 39 Minuten lösen.

G

b) Wenn alle Pumpen gleich stark sind, kann man einen Je-mehr-desto-weniger-Dreisatz anwenden: 2 Pumpen brau-chen 6 Stunden. 1 Pumpe würde 12 Stunden brauchen, also brauchen 3 Pumpen 4 Stunden. Unter der Voraussetzung, dass alle Pumpen gleich stark sind, wäre das Becken mit drei Pumpen in vier Stunden leer.

16a) arithmetisches Mittel: (1,8 + 2,4 + 2,6 + 3,0 + 5,0 + 6,2 + 8,8 + 10,2) ÷ 8

= 40 ÷ 8 = 5 Median: 4,0

b) Der Median ändert sich nicht, wenn man den größten Wert ändert. Das arithmetische Mittel wird größer: (1,8 + 2,4 + 2,6 + 3,0 + 5,0 + 6,2 + 8,8 + 11) ÷ 8 = 40,8 ÷ 8 = 5,1

Seite 224

4

Zeit (in h) 0 1 2 3 5

Temperatur (in °C) 100 60 40 30 20

Seite 226

11a) Bei 110 km/h verbraucht der Wagen durchschnittlich

4 l/100 km.b) individuelle Lösung, zum Beispiel:

Bei niedrigen Geschwindigkeiten ist der Verbrauch recht hoch, zum Beispiel verbraucht der Wagen bei 20 km/h 6 l auf 100 km. Bei mittleren Geschwindigkeiten ist der Verbrauch geringer, bei 60 km/h nur 3 l auf 100 km. Bei höheren Geschwindigkeiten steigt der Verbrauch wieder, bei 140 km/h liegt er schon wieder bei 5 l auf 100 km.

G

288

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Lambacher Schweizer G9 NRW. Gut gelöst. - asset.klett.de · 2 I Brüche – das Ganze und seine Teile 4 Erkundungen 6 1 Bruch und Anteil 8 2 Kürzen und erweitern 13 3 Brüche vergleichen