Math. Ann. 220, 137--142 (1976) -- © by Springer-Verlag 1976

Vektorbiindel auf Kurven mit Singularitiiten

Ulrich Stuhler Math. Institut der Universit~it, Bunsenstr. 4--6, D-3400 G6ttingen, Bundesrepublik Deutschland

Einleitung

Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung einiger einfacher Fragen fiber Vektor- raumbfindel auf vollst~indigen algebraischen Kurven mit isolierten Singulari- t~iten.

Im Teil 1 werden die Vektorbfindel auf einer derartigen Kurve in bezug auf die Bfindel fiber ihrer Normalisierung beschrieben. (Ffir den Fall der Linienbfindel siehe dazu [3, p. 99].)

Im Teil 2 wird ffir solche Kurven, die fiber dem K6rper der komplexen Zahlen ¢F definiert sind, untersucht, wann sich ein Vektorbfindel durch konstante Ver- heftungsmatrizen (in der gew6hnlichen Topologie) beschreiben 1N3t. Es ergibt sich eine direkte Reduktion dieses Problems auf ein bekanntes Resultat yon A. Weil [4] fiber die entsprechende Frage ftir Riemannsche Fl~ichen.

Im letzten Teil der Arbeit diskutieren wir den Fall rationaler Kurven mit gew6hnlichen Singularit~iten fiber einem endlichen K6rper im Zusammenhang mit der folgenden wohl sehr viel schwierigeren Frage: Sei X eine reguliire Kurve tiber dem endlichen K6rper k, wie sehen dann die Vektorbfindel E/X aus, die man durch Zurfickziehen auf eine geeignete 6tale Oberlagerung yon X trivialisieren kann? Bekannt und einfach zu zeigen ist [3], dab das jedenfalls far Linienbfindel vom Grade Null stets m6glich ist. Andererseits ist klar, dab das Bfindet zumindest semistabil vom Grade Null sein muB.

1. Sei k ein K6rper, X eine voltst~indige irreduzible algebraische Kurve fiber k mit eventuellen isolierten Singularit~iten, K = k(X) der K6rper der k-rationalen Funktionen, q~:J~--, X die fiber k definierte Normalisierungsabbildung.

Dann ist die Annulatorgarbe I: = Annox (~P, O~/O x) eine koh~irente Idealgarbe aufX und V(I) als das zugeh6rige abgeschlossene Unterschema definiert das sog. Singularit~tenschema yon X, das wir auch mit Sing(X) bezeichnen werden. Die abgeschlossenen Punkte x ~ Sing(X) sind gerade die nichtregul~iren Punkte yon X, ~p induziert eine Isomorphie (2 - ~p- 1 (Sing(X)))~(X- Sing(X)).

Im Anschlul3 an [3, chap. 4] geben wir noch spezielte singul~ire Kurven an, unter die insbesondere die Kurven mit nur gew6hnlichen Singularit~iten fallen werden.

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Der Einfachheit halber sei k=/~ algebraisch abgeschlossen. Sei _D =(D~ .. . . . D~) ein System yon r positiven Divisoren auf der vollst~indigen, regul~iren und

r,

irreduziblen Kurve X/k, D i = ~ nij(xij), ni~ ~ N, xi~ ~ X und m~,, die den Punkten j = l

x~ korrespondierenden maximalen Ideale der jeweiligen lokalen Ringe. Die Kurve X~ wird dann definiert dutch den topologischen Raum X/R, wobei die Aquivalenzrelation R die x~ jeweils zu einem Punkt x~ identifiziert sowie durch die Strukturgarbe Ox~ C q~,(Ox) (~o: X - ~ X ~ die kanonische Abbildung) auf X v, gegeben durch die Halfiae

OxD~:= ~ Ox .... ~ = c m o d m"j,~,c~k , OxD~:=Ox.~Sonst. --" ~ 1 j = l - "

Sei E ein n-dimensionates Bfindel fiber einer Kurve X (wie ganz oben in 1.), E die zugeh6rige lokalfreie Ox-Modulgarbe der Schnitte. Wir erlauben uns im Folgenden einen freien Austausch dieser beiden Konzepte. Ist E K die generische Faser von E, so ergibt sich ftir jeden abgeschlossenen Punkt x e X eine kanonische Einbettung E~-~E K. Die Gesamtheit der E x, (Ex)x~ x, definiert dann ein Gitter in E K. Hierbei verstehen wit unter einem Gitter (_Gx)x~x fiber X in einem K-Vektor- raum V e i n durch die (abgeschlossenen) x ~ X indiziertes System freier Ox,~-

Teilmoduln maximalen Ranges in V, wobei ftir fast alle x e X gilt: Gx = ~ e i Ox.~ mit einer beliebigen fixierten K-Basis (e 1 . . . . . e~) von V. ~= 1

Wohlbekannt und leicht einzusehen sind

Proposition 1. Zu jedem Gitter (G~)~x in einem K-Vektorraum V existiert eine eindeuti 9 bestimmte lokalfreie Ox-Modulgarbe G mit generischem Halm V, die eben dieses Gitter ( G x) x in der angegebenen Weise induziert.

Proposition 2. Jedes Vektorbiindel E iiber einer vollstiindigen Kurve X mit nur isolierten Singularitiiten ist reduzibel.

Beweis. Es genfigt, ein Geradenbfindel L C E zu finden, das lokal ein direkter Summand ist. Hierzu bestimmt man ~ e E~ unter Verwendung schwacher Ap- proximation an den singul~iren Stellen so, dab K~ c~ .E~ ftir alle x s X freier direkter Summand in Ex ist. Das zu (K~ c~E~) geh6rige Linienbfindel leistet das Ver- langte.

Die Klassifizierung der Bfindel auf X kann jetzt leicht zurtickgeffihrt werden auf ihre Klassifizierung fiber der Normalisierung X von X. Ist E ein fixiertes Bfindel fiber X, dann interessieren also die Isomorphiektassen von Btindeln E' fiber X mit q~*E~-q~*E',~o:X~X die Normalisierungsabbildung. Jede dieser Klassen kann man durch wenigstens ein Gitter fiber X repr~isentieren, welches fiber )( gerade gleich dem yon q~*(E) induzierten Gitter mit generischer Faser E K wird. ffir x ¢ Sing (X), E ~. Ox,, = E_;,. O~,, mit {x 1 . . . . . x, } = Sing (X), (p- l(x~) = {xit ..... xi~, } als Mengen.

Ist also 7ieAutr(EK) mit 7i(E~,)=_E~, so ist 7 ~Aut~o.o~,(E~,-(q~.O~)~,) (kano- nisch in Aut~(_EK)enthalten). Andererseits ist ffir 7~, 7'eAut~o.o.~x,(_E~,.(q~.O~?)~,)

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7i(Ex.)=7'i(Ex,) genau, wenn ?i und 7'i in der gleichen Rechtsnebenklasse nach Autox,(_E~) liegen. Wit erhalten also eine wohldefinierte surjektive Abbildung

cc 1-[ Aut(~.o~)~,(E~,. (~o,0~)~,) Auto~ (E~,)= "M . = i = l I t - -

-~ {Isomorphieklassen yon Bfindeln E'/fiber X[~*E ~ ~o*E' fiber )(},

E' E' durch die Zuordnung (71 . . . . ,7~) ~-~ [ ], gegeben durch das Gitter _E~=_E~ ffir x ~ Sing(X), E_'~ =~i(_Ex,) ffir i = 1 .. . . . t. Die offensichtliche Abbildung

t

Auto~(q~*(-E))-~ I ] Aut~,o~i(-E~, ' (~,O~)x) i = 1

definiert eine Operation auf M und man rechnet teicht nach, dab die sich er- gebenden Bahnen gerade die Fasern yon ~ sind.

Insgesamt erhalten wir also

Satz 1. Sei X eine vollstdndige Kurve mit isolierten Singularit~iten {x 1 . . . . . xt}, q~:X-~X ihre Normalisierungsabbildung, E ein VektorbiL~eI iiber X. Dann gibt es eine bijektive Zuordnung zwischen den Doppelktassen

Autox.(q~*_E Aut~,o~)~,(_E~, .(~0.Ox)~,) Autox.(Ex,) i = 1

und den lsomorphieklassen yon Vektorbfindeln fiber X, die bei Zurfickziehen nach 2 zu q~*(E) isomorph werden.

Umgekehrt gibt es zu jedem auf X vorgegebenen Biindel F auch ein Bi~ndel E' i~ber X mit qg*(E') ~- F.

Beweis. Zu zeigen ist nut noch der zweite Teil. Ffir die x ¢ Sing(X) setze man E'~: =_F~. Ffir xge Sing(X) ist (~p,F)~, ein freier Modul fiber dem semilokalen Ring (~o.Oy)~,, ffir den z. B. (e~g .. . . . e,~) eine Basis sei. Dann setze man _E~,=

ejiO~, und das zugeh6rige Bfindel E' zu (E~,) fiber X leistet das Verlangte. i=1

Zwei Beispiele: a) Sei X v eine Serre-Kurve mit einem einfachen Knoten, ~o:X~X D die Normalisierung, also O=(p)+(q) und tp(p)=tp(q)=,~. Ffir die Menge der Isomorphieklassen yon Bfindeln E' fiber Xo, die auf X trivial werden, ergibt sich die Menge der Doppelklassen GL(n, k)\GL(n, Op~Oq)/GL(n, 0~), die man unter Benutzung der Auswertungsabbildung in p und q, GL(n, Opm Oq)~ GL(n, k) x GL(n, k) sofort mit der Menge der Konjugationsklassen von GL(n, k) identifizieren kann.

b) Ist D = 2(p), X D also eine Serre-Kurve mit einer Spitze, so ergibt sich ffir die entsprechende Menge der fiber X trivial werdenden Bfindel die Menge der Klassen yon M(n, k) (=n x n-Matrizen) unter der Operation yon GL(n, k) dutch innere Automorphismen.

2. Wit fixieren in diesem Abschnitt ~' als Grundk6rper und arbeiten in der analytischen Kategorie, wechseln aber, wenn dies gestattet ist (durch Resultate yore Gaga-Typ), auch in die algebraische Situation, ohne dies eigens zu erw~ihnen.

Definition. Ein Bfindel E fiber einem komplexen Raum X heiflt flach [1, p. 96], falls man die E beschreibende Cozykelklasse in H~(X, GL(n, Ox)) durch einen

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Cozykel aus Z 1 (X, GL(n, ~)), der Menge der 1-Cozykel von X bez. der gew6hn- lichen Topologie von X mit Werten in GL (n, ¢), repr~isentieren kann.

Anders ausgedrfickt: E kann dutch konstante Verheftungsmatrizen be- schrieben werden. Die zugeh6rige Klasse in H~(X, GL(n, ~)) zu einem flachen Bfindel ist allerdings nicht eindeutig bestimmt [ 1, § 9].

Wir k6nnen das Hauptresultat dieses Teils formulieren"

Satz 2. Sei X o eine Serre-Kurve mit nur 9ew6hnlichen Singularitdten, q~ : X ~ X o die zugeh6rioe Normalisierunosabbildung, alles definiert fiber tI?. Dann ist ein Vektorbfindel E flach fiber Xo genau, wenn die unzerlegbaren direkten Summanden yon qg* (E) i~ber X alle den Grad Null haben (d. h. also nach dem Weilschen Resultat : Wenn q~* (E) flach fiber X ist.)

Bemerkun 9. Die eine Richtung ist natfirlich trivial, wird aber unten noch einmal mitbewiesen. Es genfigt nicht, nur ffir E selber die Bedingungen an die direkten Summanden zu stellen, wie Beispiele zeigen.

Zum Beweis: Wir ffihren den Satz auf das Resuttat im regul~iren Fall zurfick [1, § 6] und schlieBen uns daher auch an die dort benutzte Notation an.

Sei E ein beliebiges Bfindel fiber XD, gegeben durch den Cozyket (~i~! aus ZI(X~, GL(n, Oxo)), die ~i j~F(Ui~ E~, GL(n, Oxo)) mit einer offenen Uber- deckung (U~)i~ I vofi XO, wobei wir im weiteren h~iufig-die einem Cozykel zugrunde liegende Uberdeckung sowie auch eventuell erforderliche Verfeinerungen dieser Uberdeckung nicht eigens erw~ihnen. (qSij) ist konstanter Cozykel genau, wenn (D(qS0) =(0) ist, wobei D(F)= F-~dF die auf Matrizen verallgemeinerte logarith- mische Differentiation ist.

Dutch Ausnfitzen der Cozykelbedingung ergibt sich sofort

Lemma 1. Ist (4Jij) ein zu E/XD geh6render Cozykel aus ZI(XD, GL(n, Oxo_), dann bildet (D(qS/~)) einen 1-Cozykel aus Z 1 ( X o, q9 . f2~ ® o~o End(E)).

Lemma 2. (qS/j) zu E/Xo reprdsentiert die Klasse eines flachen Cozykels 9enau, wenn der 1-Cozykel (D(qS~j)) die Nullklasse in Hl(Xo_,q~.~2~ ® o ~ End(E)) re- pr dsentiert.

Beweis. a) Ist E flach, so existieren FiEGL(n,F(Ui, Oxe)) ffir i~I , so dab (FidP~jFf~)~ j einen konstanten Cozykel bildet. Damit ergibt sich D(~b0=2 j - Ad(ckij) -~ '~oi, ,~-/: =D(Fi)~ F(Ui, ¢p, t2~ ®ox m(n, Oxo)). Die dutch (D(~Pij)) ~ ~ de- finierte Klasse in H ~ (Xo_ ., ~p, f2~ ®o,,o En~E)) ist also-Null.

b) Sei (D(q~ij)) ~0 in Z~(XD, q~. ~-®o,,~ End(E)), weshalb 2,~r(u,,q),O~ ® o ~ M(n, Oxo)) mit D(~b0=2~-Ad(q~ ~ ~) 2i ~xistieren. Um Lemma 2 zu beweiseff, hat man-lediglich die L6sbarkeit yon Gleichungen der Form D(F)=2 ,2~F (U, ~p.O~ ®o,,o M(n, Ox )) lokal um einen Punkt Xo e U nachzuweisen Man

- ~ • - 1 " ' " ' " n kann Folgendes annehmen: Es zst ~p (U)= ~ Ut eme endhche Veremlgu g t

disjunkter oftener Mengen, die jeweils genau ein x~ mit ~p(x,)= x0 enthalten. Dann ist 2 =(2,),, 2~ ~ F(U~, f2~ ®ox m(n, Ox) ). Sicherlich existieren dann F, ~ F(UI, GL(n, O x)), x, e U't C U~ geeignet verkleinerte Umgebungen, mit D(F t) =2,.

Man kann die F~ noch so ab~indern zu GtF~ mit konstanten invertierbaren Matrizen G~, so dab (GtF,) (xt)= (Gt,Fr) (x~,) ffir alle t, t' ist, und natfirlich weiterhin automatisch D(G~Ft)=2, gilt. Auf Grund der Voraussetzungen fiber die Art der

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Singularit~iten induziert das System (GtFt) eine invertierbare Matrix holomorpher Funktionen F ~ F(U', GL(n, Ox~) ) mit D(F)=2 f'tir hinreichend kleines U' um Xo. Damit ist Lemma 2 bewiesen.

Lemma 3. Die Lerayspektralsequenz induziert eine Isomorphie

H 1 (X o, q~, ~2~ ®oxo End(E)) - , H 1 (X, t2~ ® o,, Endq0* (E))

Beweis. Man hat die fibliche Spektralfolge

Hv(XD_, Rq~o.((2~ ®o~ End~o*(E))~Hv+q( X, C2~x Go,, Endq~*(E)).

Da der Morphismus ~o:X-~XD affin ist, so ist Rqq~.(f2~ Go,, E ndq~*(E))=0 ffir alle q__> 1. Also ist die Spektralfolge degeneriert und ergibt die Isomorphie

HP(XD, ~o,(~2~ Go,, End q~*(E))-~HP(X, ~ ®o~ End~o*(E)).

Schlie[31ich ergibt sich aber aus [EGAIII , chap. 0, 12, 2.3.1] die Isomorphie der Ox~-Modulgarben

~°.( f21 @ox End~0*(E)) -'~0. f2~ ®o~o End(E)

und damit die Behauptung des Lemmas.

Jetzt k6nnen wir den Satz 2 beweisen. E ist nach Lemma 2 flaches Vektor- bfindel fiber X D genau, wenn der 1-Cozykel D((ai) in Ht(X~, q~.(2); Go,,o End(E)) die Nullklasse repr~isentiert. Nach Lemma 3 ist (D(q~))=0 in H a (X_o,~o.~'2~ ®o,,D End(E)) genau, wenn ffir den zu ~p*(E) geh6rigen Cozykel (~bi), der durch Liftun~ aus (~bi) entsteht, gilt: (D(~i)) = 0 in Hi(X, (2~. ®o~ End(q~*(E)).

Nach dem Weilschen Satz ([4] oder [1]) gilt letzteres aber genau, wenn die direkten unzerlegbaren Summanden yon ~o*(E) alle den Grad Null haben. Damit ist Satz 2 bewiesen.

3. In diesem Abschnitt wollen wir noch kurz auf die in der Einleitung ange- schnittene Frage in einem besonders einfachen Fall eingehen.

Sei IP t die projektive Gerade fiber dem Grundk6rper k= lFq, dem algebraischen Abschluf3 des K6rpers IFq aus q Elementen. D=(D 1 ..... D,) sei ein System r positiver k-rationaler Divisoren D~ auf IP 1 mit nut einfachen Multiplizit~iten, IP~ sei die zugeh6rige rationale Serre-Kurve mit nur gew6hnlichen Singularit~iten, ~o. lP ~ - . IP~ die Normalisierungsabbildung, alles fiber k definiert.

Satz 3. Sei E ein Vektorbfindel fiber IpID/k. Dann eibt es eine Otale Oberlagerun~" f : Y-~ IP~, so daft f*(E) fiber Y ein triviales Vektorbfindel ist, genau dann, wenn 9*(E) fiber tP 1 ein triviales Biindel ist.

Beweis. a) Falls ein derartiges btales f : Y--~ IP~ fiber k existiert, so ist der durch Basiserweiterung induzierte Morphismus f : (Yx~,~IP~)-~IP 1 ebenfatls 6tal. (Y x~, A IP 1) zerf~iltt daher notwendig in eine endliche Anzahl disjunkter Exemplare P~, diejeweils durch f i s o m o r p h auf IP t abgebiIdet werden. Da die Zurfickziehung yon E auf (Y x Tpb IP ~) sicher trivial ist, so ist auch q~*(E) auf IP ~ ein triviales Bfindel.

b) Sei jetzt q~*(E) trivial auf IP ~. Bevor wir welter im Beweis gehen, die Definition. Ein Schema Z ~ Spec(k) heil3t ein Graph projektiver Geraden fiber k,

falls Z aus endlich vielen irreduziblen Komponenten Z~ besteht, die Z~ ~- Ip1/k sind

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und Zic~Z j fiir i+j jeweils nur aus endlich vielen k-rationalen Punkten besteht, schlieBlich fiir jeden abgeschlossenen Punkt p e Z der lokale Ring Oz, r isomorph

/ f l (x-~iy), dem tokaten Ring im Punkte (0, 0) eines Ringes der Form k[x, y]/~= 1

~i 4= ~j ffir i 4=L ist. Satz 3 folgt sofort aus den beiden Hilfss~itzen:

Lemma. l . Sei 1P~ eine rationale Serre-Kurve mit nur gew6hnlichen Singulari- tdten. Dann besitzt lplo einen Graph projektiver Geraden als ktale Oberlagerung.

sowie

Lemma.2. Sei Z ein Graph projektiver Geraden, Z~ C Z die irreduziblen Kompo- nenten, E/Z ein Bfindel, so daft die E/Z i atIe triviale BfindeI sind. Dann existiert eine ktale Uberlagerung f : Y ~ Z fiber k, so daft f*(E) ein triviales Vektorbfindel fiber Y ist.

Da die Beweise der Hilfss~itze sehr einfach, die Ausffihrung der Details aber langweilig ist, so soll nur Lemma 2 kurz erl~iutert werden. Sei 2 die universelle Uberlagerung yon Z, d. h. es gibt einen 6talen Morphismus p:Z--*Z mit der fiblichen universellen Abbildungseigenschaft. (2 ist wieder ein Graph projektiver Geraden, allerdings nicht von endlichem Typ fiber k.) Die Gruppe der Deck- transformationen von 2 fiber Z sei nl(Z). Diese Gruppe ist, wie man leicht ein- sieht, endlich erzeugt. Das Hindernis gegen eine Trivialisierung von E tiber ganz Z ergibt sich offenbar in Form einer Darstellung nI(Z)--*GL(n, k). Der Witz ist nun, dat3 das Bild der endlich erzeugten Gruppe nl(Z) dann sicher sogar endlich ist. Dieser endlichen Bildgruppe entspricht ein 6taler Morphismus f : Y ~ Z , Y selber ein Graph projektiver Geraden, so dab f*(E) fiber Y trivial ist.

Literatur

1. Gunning, R.C.: Lectures on vector bundles over Riemann surfaces. Princeton, Princeton Uni- versity Press t967

2. Narasimhan, M.S., Seshadri, C.S.: Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface. Ann. of Math. 82, 540--567 (1965)

3. Serre, J. P.: Groupes algrbriques et corps des classes. Paris: Hermann 1959 4. Weil,A.: Gbnrralisation des fonctions abrliennes. J. Math. pures et appl. IX, 17, 47---87 (1938)

(Angenommen am 10.4. 1975)