Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architekturfgt.ieb.kit.edu/downloads/Statik_und_Festigkeitslehre_11_Vorlesung_WS_1011.pdf · KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg

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BiegungVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur

Fachgebiet Bautechnologie

Tragkonstruktionen

2 14.01.2011 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und Festigkeitslehre Biegung

BiegungSpannungsnachweise


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreBiegung

q

x

Der obere Rand wird um denselben Betrag gestaucht wie der untere Rand gedehnt

Mittelachse

ε− Stauchung

ε+ Dehnung

Der Querschnitt bleibt im verformten Zustand eben

Mittelachse krümmt sich und bleibt ungedehnt


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreBiegungspannung

ε−

ε+ = ⎥ε−⎥

d

∆L(1-ε)

∆L(1+ε)

σ−

σ+

Dehnung verhält sich linear über die Höhe des Balkens

x y

z

Querschnitt

b

d

Spannung ist proportional zur Dehnung (Hooke‘sches Gesetz σ = E · ε)

∆L

Dehnung über die Balkenhöhe

Spannung über die Balkenhöhe

Der Querschnitt ist ein Rechteck

lineare Spannungsverteilung über die Höhe des Balkens


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreBiegespannung

d

z

D

Z

σ−

σ+

∆L(1-ε)

∆L(1+ε)

∆L

σ−

σ+

Spannungsverteilung über die Breite b

1Z b d4

+= ⋅ ⋅ ⋅ σ

D Z= −

1 1 1D b d b d2 2 4

− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ σ = ⋅ ⋅ ⋅ σ

Resultierende Druckkraft D aus der Spannungsverteilung

Resultierende Zugkraft Z aus der Spannungsverteilung

Horizontales Gleichgewicht


Tragkonstruktionen



DM 0 2 1 2M D d d b d3 4 3

+

= ⇒

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ σ ⋅ ⋅

∑

d

z

D

Z

σ−

σ+

∆L(1-ε)

∆L(1+ε)

∆L

2 1 2z 2 d d3 2 3

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

Resultierendes Moment M

Drehpunkt Angriffspunkt von D

Innerer Hebelarm z

21 M b d6

+= ⋅ ⋅ ⋅ σ

216

M Mb d W

+ −σ = = = σ⋅ ⋅

W … Widerstandsmoment [cm³]

21W b d6

= ⋅ ⋅


Tragkonstruktionen



2 2 2y

3

1 1W b d 4 cm 20 cm 6 6

= 267 cm

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm

y

z

b

d

Biegung um die y-Achse

2 2 2z

3

1 1W d b 20 cm 4 cm 6 6

= 53 cm

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Biegung um die z-Achse

y

zb

d

y z z267W W 5 W53

= ⋅ = ⋅


Tragkonstruktionen



maxLM P4

4 m 0,75 kN = 0,75 kNm4

= ⋅

= ⋅

y 3y

23

M 0,75 kNmW 267 cm

75 kNcm = 0,28 kN/cm267 cm

σ = ± = ±

= ± ±

Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cm P = 0,75 kN

2,0 m 2,0 m

ML/2 = P ·L/4

BH = 0

z

z 3z

23

M 0,75 kNmW 53 cm

75 kNcm = 1,41 kN/cm53 cm

σ = ± = ±

= ± ±


Tragkonstruktionen




Spannungen Biegung um die y-Achse

Spannungen Biegung um die z-Achse

x

y

z

x

y

z0,28 kN/cm²

-0,28 kN/cm²

1,41 kN/cm²

-1,41 kN/cm²


Tragkonstruktionen




Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreNachweis der Tragfähigkeit

Einwirkungen Werkstoffwiderstand

qML/2 = q·L2/8

L/2 L/2

LastenStat. SystemLagerung

Schnittgrößen N, Q, M, MT

Dehnung ε [%]

Spannung σ[N/mm²]

max. Festigkeit fk

εz

Max. Festigkeiten

Bruchfestigkeiten

εz,u

Bruchfestigkeit fu


Tragkonstruktionen




Ungenauigkeiten in den

• Lastannahmen

Abminderung der max. Festigkeitund Bruchfestigkeit

• Streuung bei den Versuchen

Abminderung durch Einflüsse wie

• Häufigkeit

• Belastungsdauer

• Belastungsgeschwindigkeit

• Feuchtigkeit

• Temperatur, UV-Strahlung

• Korrosion

• Alterung, Ermüdung

Ungenauigkeiten in der Abbildungder statischen Systeme

• Ausmittigkeiten, Imperfektionen

• Ausbildung der Lager (frei verschieblich, nachgiebig, starr)

• Details (gelenkig, biegesteif)

• E-Moduli, z.B. Risse im Beton oder Mauerwerk


Tragkonstruktionen




Berücksichtigung der Ungenauigkeiten in den Lasten durch

Berücksichtigung der Abminderung der Festigkeiten durch

Sicherheitsfaktoren γF Sicherheitsfaktoren γM

Eigenlasten von Baustoffen γF = 1,35

Nutzlasten, Schnee, Wind γF = 1,5

Stahl γM = 1,1

Beton γM = 1,5 Bewehrungsstahl γM = 1,15

Holz γM = 1,3Bei mehr als einer Einwirkung zur Eigenlast sind Lastkombinationen mit Kombinationswerten zu berücksichtigen

Unterscheidung zwischen ständiger, vorübergehender und außergewöhnlicher Situation


Tragkonstruktionen




Bemessungswert Fd einer Einwirkung mit dem charakteristischer Wert der Einwirkung Fk

Fd = γF ⋅ Fk

Bemessungswert Xd einer Baustoffeigenschaft mit dem charakteristischen Wert Xk

Xd = η⋅ Xk/γM

Grenzzustand der Tragfähigkeit Ed < Rd

Bemessungswert Rd des Bauteil-widerstandes / Tragwiderstandes

Rd = R(Xd, ad,…)

η Abminderungsfaktor für Lastdauer, Maßstabseffekt, Temperatur, Feuchtigkeit usw.

Bemessungswert Ed einer Schnitt-größe oder Verzerrung mit demBemessungswerte der Einwirkung

Ed = E(Fd, ad,…)

ad Geometrische Größen wie Spannweiten, Querschnittswerte, …


Tragkonstruktionen



Bemessungswerte der Einwirkungen

Eigenlast gd = 1,35 ⋅ 0,2 m ⋅ 0,04 m ⋅ 5 kN/m³

= 0,054 kN/m

NutzlastPd = 1,5 ⋅ 0,75 kN = 1,125 kN

Maximales Biegemoment, Bemessungswert

ME,d = 0,054 kN/m ⋅ 4² m²/8 + 1,125 kN ⋅ 4m/4= 0,108 kNm + 1,125 kNm = 1,233 kNm

P = 0,75 kN

2,0 m 2,0 m

BH = 0



Tragkonstruktionen



,, ,

,

1E dE d R d

R d

σσ σ

σ≤ ⇒ ≤

Bemessungswerte der Bauteilwiderstände

Charakteristische Festigkeit Nadelholz C 24 Biegung fm,k = 24 N/mm²

Bemessungswert der Bauteilfestigkeit σR,d = η ⋅ fm,k/γM = kmod ⋅ fm,k/γM

Nutzlast kMod = 0,8 σR,d = 0,8 ⋅24 N/mm² /1,3 = 14,77 N/mm²

Beziehung zwischen Spannung σE,d und Biegemoment ME,d

Nachweis der Tragfähigkeit

,,

BiegemomentWiderstandsmoment

E dE d

MW

σ = =


Tragkonstruktionen




y

z

b

dBiegung um die y-Achse

σE,d = ME,d / Wy = 1,233 ⋅ 100 kNcm / 267 cm³

= 0,462 kN/cm² = 4,62 N/mm²

4,62 0,31 1 Ausnutzung 31 %14,77

= ≤ ⇒

,

,

1E d

R d

σσ

≤



Tragkonstruktionen



23,3 1,58 > 114,77

=

Beispiel Bohle d/b = 20 / 4 cmy

zb

d

Biegung um die z-Achse

σE,d,g = ME,d / Wz = 1,233 ⋅ 100 kNcm / 53 cm³

= 2,33 kN/m² = 23,3 N/mm²

⇒ Querschnitt nicht tragfähig !!!!!!!

Tragfähigkeit um 58 % überschritten

,

,

1E d

R d

σσ

≤


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