FTH3 - Lektion 2

Warmeleitung in ruhenden Stoffen

Dozentin Dr.habil. Nicoleta Herzog

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Uberblick

I Stationare Warmeleitung

I Gesetz von Fourier

I Warmeleitung in einer ebenen Wand

I Warmeleitung in einem Hohlzylinder

I Warmeleitung in einer Hohlkugel

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Stationare Warmeleitung / Gesetz von Fourier

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Warmeleitung in ruhenden Stoffen

I ist in einem Stoff ein Temperaturgradient vorhanden, tritt Warmeleitung auf

I stationare Warmeleitung:I Warmetransport erfolgt unter standiger Aufrechterhaltung eines konstanten

Warmestromes

I zeitlich gesehen sind die Temperaturen an jedem Ort konstant

I instationare Warmeleitung:I Warmestrom andert sich zeitlich: Erwarmung, Kuhlung

I mit der Zeit verandern sich die lokalen Temperaturen

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Stationare Warmeleitung

Gesetz von Fourier

~q = = WarmeleitfahigkeitWarmestromdichte, die bei der Warmeleitung in einem Korper durch Temperaturdifferenzenentsteht ist proportional zur Warmeleitfahigkeit des Stoffes und zum Temperaturgradienten,zu dem sie stets entgegengesetzt gerichtet ist.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830)

I Warmeausbreitung in Festkorpern:Herleitung + Losungsansatz mittels Fourierreihen

I Treibhauseffekt

der Vektor Warmestromdichte ist senkrecht zur isothermen Flache

qn = ddn

Warmestrom, der durch die Querschnittsflache A eines Korpers fliet:

Q =

A

qn dA

I () & A ist Formabhangig

Losung des Integrals sehr kompliziert oder unmoglich fur viele technische Anwendungen wird mit einem Mittelwert als konstant angenommen in Korpern mit einfachen geom. Formen kann der Warmestrom mit Gl. bestimmt werden

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Warmeleitfahigkeit

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Warmeleitung in einer ebenen Wand

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Warmeleitung in einer ebenen Wand

I ebene Wand der Dicke sI Seiten sind thermisch isoliert, adiabatI Warme kann nur in die x-Richtung transportiert

werden 1D-PbQ = A d

dx

I wenn von x und unabhangig

x2x1

Q dx =21

A d

Q = x2 x1

A (1 2) = sA (1 2)

I aus Def.

= s

I bei einem zwischen-x:

(x) = 1 + (x x1) Q A

I in einer ebenen Wand mit konstanter Warmeleitfahigkeit ist der Temperaturverlauf linear

I die Warmeubergangszahl in einer ebenen Wand ist die Warmeleitfahigkeit geteilt durchdie Wanddicke

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Bestimmung der Warmedurchgangszahl

Warmeubertrager: durch eine feste Wand wird vom

warmerem Fluid 1 (f1, f1) zu einem anderen

kalterem Fluid 2 (f2, f2) Warme transferiert

Warmestrom Fl 1 Wand Q = f1 A (f1 1)Warmestrom durch die Wand Q = W A (1 2)Warmestrom Wand Fl 2 Q = f2 A (2 f2)Warmestrom Fl 1 Fl 2 Q = k A (f1 f2)

1k = 1f1 + 1W + 1f2

Kehrwert der Warmedurchgangszahl = Summe der Kehrwerte der Warmeubergangszahlen

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Analogie Warme- vs. elektrischen Widerstand

Ak = Af1 + AW + Af2

I Warmewiderstand = Kehrwerte der Warmeubergangszahlen UbertragungsflacheI Warmewiderstande addieren sich wie in Serie geschaltete elektrische Widerstande

I Transportgesetz: Fluss = Transportkoeffizient Potenzialgefalle Ohmsche Gesetz ~i = Fouriersches Gesetz ~q = I =

U

R= Stromstarke durch elektrische Leitung, R = Widerstand

U = 1 2 = Potenzialdiff.

Q =1 2R

R =1

W A=

s

A = Warmeleitwiderstand

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Warmedurchgangszahl und Temperaturdifferenzen

Warmestrom Fl 1 Wand Q = f1 A (f1 1)Warmestrom durch die Wand Q = W A (1 2)Warmestrom Wand Fl 2 Q = f2 A (2 f2)Warmestrom Fl 1 Fl 2 Q = k A (f1 f2)

1k = 1f1 + 1W + 1f2

f1 1f1 f2 = kf1

1 2f1 f2 = kW

2 f2f1 f2 = kf2

I die Temperaturdifferenzen sind umgekehrt proportional zu den Warmeubergangszahlenbzw. proportional zum Warmewiderstand

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1. Ubung: Bestimmung der Warmeubergangszahl,Warmedurchgangszahl und Wandtemperaturen

Auf der Innenseite einer Wand hat die Luft eine Temperatur von 22C. Die Auentemperaturbetragt 0C. Die Wand hat eine Dicke von 400mm und die Warmeleitfahigkeit von1W/(m K). Die Warmeubergangszahl betragt innen und auen 5W/(m2 K).Bestimmen Sie die Warmeubergangszahl in der Wand, die Warmedurchgangszahl, dieWarmestromdichte und die Wandtemperatur innen und auen.

Annahmen:

I Die Warmeleitfahigkeit in der Wand ist konstant.I Aus der Wand tritt seitlich keine Warme aus.I Die Temperaturen innen und auen an der Wand sind jeweils konstant.

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Warmeleitung durch mehrschichtige ebene Wande

Wi =i

si

1k = 1f1 +

ni=1

1

Wi+

1

f2

f1 1f1 f2 = kf1

i i+1f1 f2 = kWi

2 f2f1 f2 = kf2

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2. Ubung: Warmeleitung durch mehrschichtige Wand

Gegeben ist der Querschnitt der Wand Flache A = 1m2; Mauer s1 = 0.25m,1 = 1W/(m K); Stahl s2 = 3mm, 2 = 50W/(mK); Isolation s3 = 0, 05m,3 = 0, 1W/(mK); Ofen innen = 700C, = 100W/(m2 K); Umgebung = 20C, = 10W/(m2 K).

1. Zeichnen Sie den Temperaturverlauf qualitativ ohne Isolation.

2. Berechnen Sie die Warmeverluste ohne und mit Isolation.

3. Welche Temperatur stellt sich an der Auenseite der Stahlwand ohne und mit Isolation ein?

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3. Ubung: Bestimmung der Isolationsschicht und Wandtemperatur

Die Wand eines Kuhlhauses besteht aus einer aueren Mauer von 200mm Dicke und einerIsolationsschicht mit einer inneren Kunststoffverkleidung von 5mm Dicke. DieWarmeleitfahigkeit der Mauer betragt 1W/(m K), die des Kunststoffes 1.5W/(m K) unddie der Isolation 0.04W/(m K). Im Kuhlhaus herrscht eineTemperatur von 22C. DieWarmeubergangszahl innen ist 8W/(m2 K).Bei einer hohen Auentemperatur von 35C muss vermieden werden, dass zwischenAuenmauer und Isolationsschicht Taubildung stattfindet. Um dieses zu gewahrleisten, darf beieiner aueren Warmeubergangszahl von 5W/(m2 K) die Temperatur an der Innenseite derAuenmauer den Wert von 35C nicht unterschreiten.Wie dick muss die Isolation gewahlt werden?

Annahmen: Die Warmeleitfahigkeit in der Wand ist konstant.Aus der Wand tritt seitlich keine Warme aus.

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Warmeleitung in einem Hohlzylinder

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Warmeleitung in einem Hohlzylinder

I Q durch die Wand des Zylinders ist konstant

I Zylinderflache verandert sich mit dem Radius q andert sich auch

Q = A(r) ddr

= 2pir` ddr

I Separation der Variablen drr

= 2pi`Q d

I = konst., Integration Q = 2pi`ln(r2/r1)

(1 2) = 2 d2 ln(d2/d1)

A2 (1 2)

I auf die Auenflache bezogen:

Wa =2

d2 ln(d2

d1

)I Europa: gebrauchlich, auf die Auenflache zu beziehen

I USA: beide Flachen als Bezug verwendet

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Warmeubergangszahlen im Hohlzylinder

Warmestrom Fl 1 Wand Q = f1 pi`d1 (f1 1)Warmestrom durch die Wand Q = Wa pi`d2 (1 2)Warmestrom Wand Fl 2 Q = f2 pi`d2 (2 f2)Warmestrom Fl 1 Fl 2 Q = k2 pi`d2 (f1 f2)

I auf die Auenflache bezogen

1

ka=d2

d1 1f1

+1

Wa+

1

f2

1ka = d2d1 1f1 + d22 ln

(d2

d1

)+

1

f2

I auf die Innenflache bezogen

1

ki=

1

f1+d1

d2 1Wi

+d1

d2 1f2

1ki

=1

f1+

d1

2 ln(d2

d1

)+d1

d2 1f2

I ka =d1

d2 ki

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Temperaturdifferenzen im Hohlzylinder

Warmestrom Fl 1 Wand Q = f1 pi`d1 (f1 1)Warmestrom durch die Wand Q = Wa pi`d2 (1 2)Warmestrom Wand Fl 2 Q = f2 pi`d2 (2 f2)Warmestrom Fl 1 Fl 2 Q = k2 pi`d2 (f1 f2)

f1 1f1 f2 = d2d1 kaf1

1 2f1 f2 = kaWa

2 f2f1 f2 = kaf2

Wa =2

d2 ln(d2

d1

) bei dunnwandigen Rohren kann die Wand als eben betrachtet Wa

s=

2 d2 d1

aber Fehler!

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4. Ubung: Warmedurchgangszahl im durchstromten Rohr

In dem Rohr eines Hochdruckvorwarmers stromt Wasser, auen am Rohr kondensiert Dampf.Die Warmeubergangszahl innen im Rohr ist 15000W/(m2 K) und auen 13000W/(m2 K).Der Auendurchmesser des Rohres betragt 15mm, die Wandstarke 2.3mm. DieWarmeleitfahigkeit des Rohrmaterials ist 40W/(m K).Bestimmen Sie die Warmeubergangszahl, bezogen auf den Auen- und Innendurchmesser undprufen Sie, welchen Fehler man macht, wenn die Warmeubergangszahl der Rohrwand mit derapproximativen Gleichung bestimmt wird.

Annahmen: Die Warmeleitfahigkeit in der Wand ist konstant.Die Temperaturen innen und auen an der Wand sind jeweils konstant.

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Hohlzylinder mit mehreren Schichten

Rohre (Hohlzylinder) die aus mehreren Schichten bestehen:

I Warmeubertragerrohre mit einem korrosionsbestandigen Innenrohr

I Rohre mit einer Isolation und Schutzhulle

I Rohre mit Verschmutzungen und Oxydschichten innen und auen

bezogen auf die Auenflache der Schicht:

i =2 i

dn+1 ln(di+1

di

)

1k = dn+1d1 1f1 +

ni=1

dn+1

2i ln(di+1

di

)+

1

f2

f1 1f1 f2 = dn+1d1 kf1

i i+1f1 f2 = dn+1di ki

n+1 f2f1 f2 = kf2

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Warmeleitung in einer Hohlkugel

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Warmeleitung in einer Hohlkugel

I Q = A(r) ddr

= 4pir2 ddr

I Separation der Variablen drr2

= 4piQ d

I Q = 4pi1/r1 1/r2

(1 2) = 2 d2 (d2/d1 1)

A2 (1 2)

Wa =2

d2 (d2

d1 1)

I Warmestrom Fl 1 Wand Q = f1 pid21 (f1 1)I Warmestrom durch die Wand Q = Wa pid22 (1 2)I Warmestrom Wand Fl 2 Q = f2 pid22 (2 f2)I Warmestrom Fl 1 Fl 2 Q = k2 pid22 (f1 f2)

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Warmeubergangszahl in einer Hohlkugel

Wa =2

d2 (d2

d1 1)

1k =

(dn+1

d1

)2 1f1

+ni=1

dn+1

2 i(dn+1

di dn+1di+1

)+

1

f2

f1 1f1 f2 =

(dn+1

d1

)2 kf1

i i+1f1 f2 =

(dn+1

di

)2 kWa

n+1 f2f1 f2 = kf224

Grenzfalle

I ebene Platte mit Wandstarke s Q 0

I Hohlzylinder mit d2 Q 0

I Hohlkugel mit d2 Q = lim

d22 pi d22

d2 (d2/d1 1) (1 2) = 2 pi d1 (1 2) 6= 0

I Hohlkugel: limd2

q = 0 und limd2

A = aber limd2

Q 6= 0

solange eine Temperaturdifferenz zur unendlich fernen Umgebung bestehtwird von einer Kugeloberflache an eine unendliche Umgebung immer Warme transferiert

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5. Ubung: Isolierung eines Kugelbehalters

Ein kugelformiger Behalter aus Stahl fur flussiges Kohlendioxid hat den Auendurchmesser von1.5m und die Wandstarke von 20mm. Er soll mit einer Isolation versehen werden. DieTemperatur im Behalter betragt 15C. Die Isolation muss so ausgelegt werden, dass bei einerAuentemperatur von 30C der Warmestrom zum Kohlendioxid kleiner als 300W ist. DieWarmeubergangszahlen im Behalter und auen an der Isolation konnen vernachlassigt werden.Die Warmeleitfahigkeit des Isolatormaterials betragt 0.05W/(m K), die des Stahls47W/(m K). Bestimmen Sie die notwendige Dicke der Isolation.Annahmen: In der Behalterwand und Isolation ist die Warmeleitfahigkeit konstant.

An den Wanden sind die Temperaturen innen und auen jeweils konstant.

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