Wie man Wurzelgleichungen löst

Unter einer Wurzelgleichung versteht man eine Gleichung, bei der die Variable unter einer Quadratwurzelsteht (und möglicherweise zusätzlich auch außerhalb der Wurzel). Im folgenden verwende ich immer x als Variable.

Beispiele für Wurzelgleichungen:

(a) 17x1x2 −=+ (b) 1391

7x5²xx5 −=

−−−

(c) 6x21x =−++ (d) 11x4x21x8 −=++

Beispiele für Gleichungen, die keine Wurzelgleichungen sind, obwohl sie Wurzeln enthalten:

(d) ( )1x2x5xx33 +⋅−⋅=+ (e) ( ) 2

2 a5ax

1a4x −=−

+−

In der Gleichung (e) kommt zwar unter der Wurzel 1a4 + mit a eine Unbekannte vor, doch es handelt sichdabei nicht um die Variable x, sondern um einen sogenannten Parameter, der irgendeine Zahl repräsentiert,die man später konkret für a einsetzen kann.

Beim Lösen von Gleichungen versucht man ja stets, die Variable auf die eine Seite zu bringen und die Zahlenauf die andere. Dazu muß die Variable oftmals zuerst „befreit“ werden, z. B. aus Klammern, aus Produkten,aus Summen, aus Brüchen oder eben auch aus Wurzeln. Man schafft das, indem man auf die Gleichungschrittweise immer das „Gegenteil“ dessen anwendet, was das x gerade „fesselt“.Bei Wurzelgleichungen ist dieses „Gegenteil“ der Wurzel, unter der das x gefangen ist, natürlich das Qua-drieren. Allerdings muß man beim Quadrieren vorsichtig sein: Es handelt sich nämlich nicht um eine Äquiva-lenzumformung. Ein einfaches Beispiel zeigt das:Die Gleichung x – 1 = 2 hat die Lösungsmenge L={3}. x=3 ist die einzige Lösung. Wenn man sie quadriert:(x – 1)² = 4, ist x = 3 zwar noch eine Lösung, wie Einsetzen und Nachrechnen zeigt, denn (3 – 1)² = 4 ist of-fensichtlich korrekt. Man erhält aber als zusätzliche Lösung noch x = –1. Denn (–1 – 1)² = 4 ist auch korrekt.Der wunde Punkt liegt offensichtlich darin, daß man beim Quadrieren die Information über die Vorzeichenverliert, denn das Quadrieren macht alles positiv. Anders formuliert: Es ist dem Quadrat egal, ob das, was esquadriert, vorher positiv oder negativ war.Man bekommt also durch das Quadrieren u. U. neue Lösungen hinzu, die die ursprüngliche Gleichung nichthatte. Hingegen gehen keine Lösungen verloren. Damit ist das Quadrieren zwar keine Äquivalenz-umfor-mung, aber dennoch ein geeignetes Mittel, um Wurzelgleichungen zu knacken. Allerdings muß man amSchluß alle Lösungen überprüfen, und zwar durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung, also durch diegewöhnliche Probe.

Versuchen wir also, die Gleichung (a) durch Quadrieren zu lösen.

17x1x2 −=+ | quadrieren

2x + 1 = ( x – 17 )2 | Binom ausmultiplizieren 2x + 1 = x² – 34x + 289 | – 2x – 10 = x² – 36x + 288 | pq-Formel anwenden:

q2p

2px

2

2,1 −

±−=

6183618

28832418

288236

236x

2

2,1

±=±=

−±=

−

−±−−=

x = 12 oder x = 24

Das ist die pq-Formel. p ist der Faktor vor x (mit Vorzeichen), hier also –36, q ist die einzelne Zahl (mit Vorzeichen), hier also +288

Kleiner Tip: –p ÷ 2 gleich ausrechnen [hier 18 = –(–36) ÷ 2] und in die Wurzel als erstes das Quadrat davon schreiben [324 = 18² ].

x=12 bzw. x=24 sind die Lösungen der Gleichung 2x + 1 = ( x – 17 )2. Das ist aber nicht die Gleichung,die gelöst werden soll, sondern deren quadrierte Fassung. Die Lösungen müssen noch an der ursprünglichenGleichung durch Einsetzen überprüft werden.

Die Probe in der Ursprungsgleichung ergibt, daß x=12 keine Lösung ist, denn

!falschist55

525

17121122

−=−=

−=+⋅

x=24 ist eine Lösung, denn:

.wahrist77749

17241242

==

−=+⋅

Die Lösungsmenge der Gleichung 17x1x2 −=+ ist damit L = {24}.

Auch bei Gleichung (b) führt das Quadrieren sofort dazu, daß die Wurzeln verschwinden:

1391

7x5²xx5 −=

−−− | quadrieren

( )16991

7x5²xx5 2

=−−

− | links Binom auflösen, rechts mit 13 kürzen

137

7x5²xxx1025 2

=−−+−

( ) ( )7x5²x7xx102513 2 −−=+− | Klammern ausmultiplizieren

49x35x7x13x130325 22 −−=+− | alles nach links bringen (-7x², +35x, +49)

0374x95²x6 =+− | : 6

03

187x695²x =+− | pq-Formel anwenden: p=

695− q=

3187

3187

1449025

1295x −±=

1448976

1449025

1295x −±=

14449

1295x ±=

127

1295x ±=

322

1288x == oder

217

12102x ==

Das Überprüfen gestaltet sich hier leider „etwas“ schwierig, muß aber sein (siehe nächste Seite).

mit den Nennern multiplizieren,  um die Brüche zu beseitigen

Überprüfung für 3

22x = für 217x =

1391

73225

322

3225

2−=

−⋅−

−

1391

73

1109

484322

315

−=−−

−

1391

963

9330

9484

322

315

−=−−

−

1391

99137

−=−

1391

39137

−=−

1391

917 −=−

9191137 −=⋅−

9191 −=−

1391

72175

217

2175

2−=

−⋅−

−

1391

72

854

2892

172

10

−=−−

−

1391

428

4170

4289

27

−=−−

−

1391

49127

−=−

1391

29127

−=−

1391

917 −=−

9191137 −=⋅−

9191 −=−

Beide Lösungen stimmen! L = { }217

322 ;

(Das hat damit zu tun, daß auf der rechten Seite der Gleichung kein x steht und diese Seite negativ ist.)

Gleichung (c) sieht nicht so schwierig aus, stellt uns aber vor neue Probleme:

6x21x =−++ | quadrieren

( ) ( ) 226x21x =−++ | links das Binon, rechts die quadrierte Wurzel auflösen

( ) ( ) 6x2x21x21x =−+−⋅+⋅++ | Plus-Klammern auflösen (einfach weglassen)

6x2x21x21x =−+−⋅+⋅++ | zusammenfassen

63x21x2 =+−⋅+⋅Hier verschwinden die Wurzeln durch das Quadrieren offensichtlich nicht.Nun muß man die Wurzel auf einer Seite der Gleichung isolieren und nochmal quadrieren.

63x21x2 =+−⋅+⋅ | – 3

3x21x2 =−⋅+⋅ | : 2

5,1x21x =−⋅+ | quadrieren

25,2)x2)(1x( =−+ | ausmultiplizieren25,22x²x =++− | – 2,25025,0x²x =−+− | · (–1)

025,0x²x =+− | pq-Formel

25,025,05,0x −±= ⇒ 5,0x =

Probe:65,0215,0 =−++

65,15,1 =+

5,145,12 ⋅=

5,125,12 = stimmt. Damit ist L = { 0,5 }

Die Gleichung (d):

11x4x21x8 −=++ | Zuerst mit –2x die Wurzel isolieren

11x21x8 −=+ | Nun quadrieren

( ) 211x21x8 −=+ | Das Binom ausmultiplizieren

121x44²x41x8 +−=+ | Zusammenfassen120x52²x40 +−= | Durch 4 dividieren und die Seiten tauschen030x13²x =+− | pq-Formel anwenden

5,35,625,125,63025,425,6x ±=±=−±=

x = 3 oder x = 10

Proben:x = 3

1111625

11126124

==+

−=++x = 10

2929292081

114020180

==+

−=++

x = 10 ist die einzige Lösung, L = { 10 }.

Zusammenfassung

Bei Wurzelgleichungen steht die Variable immer unter einer Wurzel, u.U. zusätzlich auch außerhalb.Lösungsverfahren:

(1)die Wurzel wird (die Wurzeln werden) auf einer Seite der Gleichung isoliert(2)die Gleichung wird quadriert(3) ist jetzt noch eine Wurzel, unter der die Variable steht, enthalten, ab (1) wiederholen(4)die Gleichung nach x auflösen, bzw. nach bekannten Verfahren lösen (z.B. pq-Formel anwenden)(5) alle erhaltenen Lösungen an der ursprünglichen Gleichung prüfen, da durch Schritt (2) zusätzliche,

„falsche“ Lösungen entstehen können.

Wurzelgleichungen können keine, eine oder auch mehrere Lösungen haben.

© Arndt Brünner, 2005