WIPF SCHE FORMELSAMMLUNG - Lernen Interaktiv: … · Substanzmenge um 1 Kelvin oder 1°C zu erwärmen. ... (converging/konvex) ... Bewegung vertikal und setzt die untenstehende Gleichung

Seite 1

WIPF‘SCHE FORMELSAMMLUNG

Verfasser: Wipf Mario

Fachbereich: Maschinen-Ingenieurwesen

Fach: Physik

Umfang: Grundstudium

Fassung vom: 04.10.13

Seite 2

Physik

Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:

3 04.10.13 Seite

Schallgeschwindigkeit (bezogen auf ruhende Luft)

Wärmekapazität C

Schmelzwärme Qs

Verdampfungswärme Qv

Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich: Physik Wärmelehre

][.:

][:][:

KkgkJitätWärmekapazspezc

kJWärmemengeQkgMassem

⋅mcQ ⋅Δ⋅= ϑ

mcQC ⋅=Δ

=ϑ

mqQ siedev ⋅=][.:

][:][:

kgkJgwärmeVerdampfunspezq

kJgswärmeVerdampfunQkgMassem

v

mschmelzschmelzs cnmqQ ,⋅=⋅=

meSchmelzwärmolareckgkJmeSchmelzwärspezq

kJmeSchmelzwärQkgMassem

s

:

][.:

][:][:

Wärmemenge Q

( )KTKsm

smv 15,2736,06,3310 −⋅

⋅+= T: Temperatur der Luft

v0: effektive Schallgeschwindigkeit

Merke: Bezogen auf das Trägermedium Luft ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schall konstant, das heisst unabhängig von Sender und Empfänger.

Die Schallgeschwindigkeit ist kaum druck- und feuchtigkeitsabhängig

Merke: Wärmekapazität ist die Wärmemenge, die erforderlich ist, um die vorliegende Substanzmenge um 1 Kelvin oder 1°C zu erwärmen.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡KkJitätWärmekapazC :


4 04.10.13 Seite


dtdQI =

]WK[standWärmewider:

][differenzTemperatur:][Längeendedurchdringzu:

][Fläche:

][eitleitfähigkspez.Wärme:

][];[Wärmestrom:

2

λ

ϑ

λ

R

Kmx

mAKmW

WsJQI

ΔΔ

⋅

=

totRTI Δ=

AxR⋅Δ=λλ

nparallelG RRRR1...111

21

+++=

nSeriellG RRRR +++= ...21

Wärmeleitung und Konvektion

A

xΔ

ϑΔ)( 21 TT

xA

dxTdA −⋅

Δ⋅=⋅⋅= λλ

Serie-/Parallelschaltungen von Wärmewiderständen

Der Wärmestrom I ist gesucht

Konzept:

1.  Einzelwiderstände R1, R2, ... Rn berechnen gemäss folgender Formel:

2.  Nun ist der Gesamtwiderstand der Wärmewiderstände zu ermitteln dabei wird unterschieden in: Serieschaltung und Parallelschaltung:

3.  Nun ist die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Grenzflächen zu ermitteln um dann gemäss unten stehender Formel den Wärmestrom berechnen zu können:

4.  Da der Wärmestrom im stationären Zustand konstant geworden ist, lässt sich über diesen zusammen mit einem der beiden bzw. der n Wärmewiderstände die Temperatur an der, bzw. den Grenzfläche(n) bestimmen:

AxR⋅Δ=λλ

nSeriellG RRRR +++= ...21

nparallelG RRRR1...111

21

+++=

tottot RTT

RTI 12 −=Δ=

einzelRIT ⋅=Δ

Kältebad (T1)

Wärmebad (T2)

1R2R

Wärmestrom I

Merke: Der Wärmestrom verkörpert Energie, welche pro Zeiteinheit fliesst (Im Normalfall pro Sekunde)

Material l : W/(m*K)

Aluminium 237

Beton 0.19-1.3

Blei 353

Eis 0.592

Eisen 80.4

Glas 0.7-0.9

Gold 318

Holz (Eiche) 0.15

Holz (Kiefer) 0.11

Kupfer 401

Luft (27°C) 0.026

Silber 429

Stahl 46

Wasser (26°C) 0.609


5 04.10.13 Seite


QdtdQI ==

]JsK[];

WK[tandangswidersWärmeüberg:

][differenzTemperatur:][Fläche:

][ientanskoeffizWärmeüberg:

][];[Wärmestrom:

2

2

⋅Δ

⋅

=

α

α

R

KTmA

KmW

WsJQI

Wärmeübergang

TkARTTAQK

K Δ⋅⋅=Δ=Δ⋅⋅=α

ARK ⋅

=α1

Wärmedurchgang (Wärmeleitung und Wärmeübergang in Serie)

Kältebad (T1)

Wärmebad (T2)

innenkRα

Wärmestrom I

aussenkRα

übergangRλ

Wärmestrom I

aussenαinnenαübergangλ

Der Wärmestrom I ist gesucht

Konzept:

1.  Die Berechnung für den Wärmestrom erfolgt nach dem selben Schema, wie diejenige aus der Wärmekonvektion

2.  Besonderheit des Wärmedurchgang ist die Handhabung der Teilwiderstände so gilt:

3.  Es ist üblich diese Beziehung zu in folgender Weise zu notieren

4.  Wenn diese Gesamtwiderstände nun wieder Teilelemente eines ganzen Systems sind, so gilt wiederum:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅=++= aussen

kinnenk

aussenk

innenktot

lA

RRRRαλαλ111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⋅==

aussenk

innenk

totl

kmitkA

R

αλα11

111

ntottottotSeriellG RRRR +++= ...21

ntottottotparallelG RRRR1...111

21

+++=

Merke: Wärmeübergang von in Serie geschalteten Elementen wird bei der Berechnung vernachlässigt. Es wird nur derjenige vom vordersten und hintersten Wärmewiderstand an das Umfeld berücksichtigt


6 04.10.13 Seite

Verhalten von Wasser bei Erwärmung

Wärmelehre

KkgkJDampfkapWspezc

kgkJgswVerdampfunQ

KkgkJWasserkapWspezc

kgkJmeSchmelzwärQ

KkgkJEisWärmekapspezc

v

s

⋅=

=

⋅=

=

⋅=

1395..:

2257.:

18,4..:

5,333:

09,2..:

3

2

1

JcalWsNmJEnergieW 1868,41111: ==== 321 cQcQc vs

CC

C

°−°

°

200

100

Physik

Ideale Gasgleichung

TkNVp ⋅⋅=⋅

TRnVp ⋅⋅=⋅

23

23

,

)(281003,61

mN

mJPa

StickstoffgMolekühleMol

=

=⋅=

]103807,1[:

]31441,8[.:

][:][.:

][:][:

:

23

3

KJonstBoltzmannck

KmolJGasconstuniversR

KifferenzTemperaurdTmolMolekühleAnzn

paDruckpmVolumenVhlMolekühlzaN

−⋅

⋅

Wärmestrahlung 4TAePe ⋅⋅⋅= σ

][:106703,5

tan:)10(:

][:][:

][:

][];[:

][];[:

][];[:

max

428

0

2

nmMaximumsdeseWellenlängKmW

teKonsBoltzmannStefanundzwischenradEmissionsge

KemperaturUmgebungstTKTemperaturAbsoluteT

mOberflächeAsJWleistungStrahlungsnettoP

sJWleistungStrahlungseabsorbiertP

sJWleistungStrahlungsemittierteP

Netto

a

e

λσ

σ−−− ⋅⋅⋅=

−−Hinweis: Ein Körper, der die gesamte auftreffende Strahlung absorbiert, nennt man schwarzen Körper. Er ist gleichzeitig ein idealer Strahler (Emissionsgrad=1)

40TAePa ⋅⋅⋅= σ

)( 40

4 TTAePNetto −⋅⋅⋅= σ

TKmm )(898,2

max⋅=λ

Merke: Ist Eis vorhanden, das geschmolzen wird, muss erst überprüft werden, ob die Wärmeenergie ausreicht, um das gesamte Eis zu schmelzen.


7 04.10.13 Seite

Totalreflexion

Hohe Brechzahl zu tiefer Brechzahl => Brechung vom Lot weg

Licht / Optik

Wellenlänge des Licht‘s in best. Materie

nλλ =' Brechzahln

nmeWellenläng=

][:λ

Brechung

1

2sinnn

k =θ

2211 sinsin θθ ⋅=⋅ nn BrechzahlnnLotvonWinkel

:,:,

21

21 θθ

12: nnwennmöglichnur <

Physik

Anmerkung: Wellenlänge > 780nm (infrarot), WL<380nm (ultraviolett)

Substanz Brechzahl n

Festkörper

Diamant (C) 2.417

Eis (H2O) 1.309

Kochsalz (NaCl) 1.544

Quarz (SiO2) 1.544

Zirkon (ZrSiO4) 1.923

Gläser (typische Werte)

Borat-Flintglas 1.565

Quarzglas 1.458

Silicat-Flintglas 1.612

Silicat-Kronglas 1.503

Substanz Brechzahl n

Flüssigkeiten bei 20°C

Benzol 1.501

Ethanol (C2H5OH) 1.36

Glyzerin 1.473

Wasser (H2O) 1.333

Gase (atomosphärendruck und 0°C)

Wasserstoff 1.0001

Luft 1.0003

Kohledioxid (CO2) 1.0005

Brechzahlen einiger Substanzen, bezogen auf gelbes Natriumlicht ( l = 589 nm)


8 04.10.13 Seite

Vorzeichenkonvention

o + reeller Gegenstand vor der brechenden Fläche (Einfallsseite)

- virtueller Gegenstand hinter der brechenden Fläche (Transmissionsseite)

i + reelles Bild hinter der brechenden Fläche (Transmissionsseite)

- virtuelles Bild vor der brechenden Fläche (Einfallsseite)

f,r + Krümmungsmittelpunkt auf der Transmissionsseite (converging/konvex)

- Krümmungsmittelpunkt auf Einfallsseite (diverging/konkav)

Bild und Objekthöhe sind positiv oberhalb der optischen Achse und negativ

unterhalb der optischen Achse

Licht / Optik

fio111 =+

Linsen

ioiof+⋅=

fifio

−⋅=

fofoi

−⋅=

masstabAbbildungsmmdistimageimdistobjectomlenghtfocalf

:][.:][.:][:

oim −= fmi ⋅−= )1(

1+=mif

Wenn m negativ, ist Bild umgekehrt

Physik

12 . iabsto −=

2 Linsen hintereinander

2 dicht hintereinander gestellte Linsen

21

111fff

+=21 DDD +=

Brechkraft

]1[:m

BrechkraftD

fD 1=

]1[;][:m

dptBrechkraftD

Zerstreuungslinse: Brennweite negativ => Brechkraft negativ


9 04.10.13 Seite

Kinematik

2-Dimensionale Bewegung

xva ==][...:

][.:

][.:

][:

][:

0

0

2

mStartptvonDistxsmEndgeschwv

smchwAnfangsgesv

sZeittsmgungBeschleunia

end

002

2)( xtvtatx +⋅+⋅=

Wenn a=const

tavvend ⋅+= 0

V(t)

t

x(t)

tv(t)

ta(t)

t

Fallende Körper im v(t)-Diagramm stets mit negativer Steigung

V0=0

Physik

Der schiefe Wurf α

0=y

ay −=

1x0x

( ) ( )α

αα cos

sincos2 0

0220

2

⋅⋅⋅+

⋅⋅−=

vxv

vxgy

Konzept (auf herkömmliche Weise):

1.  Es wird die Fallzeit des Körpers bestimmt. Hierfür betrachtet man nur die Bewegung vertikal und setzt die untenstehende Gleichung an:

2.  Nun wird angenommen, dass sich der Körper in horizontaler Richtung mit einem konstanten Geschwindigkeitsbetrag bewegt.Darum wird die zuvor ermittelte Fallzeit in die Formel unten (Bewegung horizontal) eingesetzt:

3.  Das Ergebnis ist nun die horizontale Distanz bezüglich der Abwurf stelle x0

002 sin

2)( xtvtatx +⋅⋅+⋅= α

tvtx ⋅⋅= αcos)( 0

Konzept (mit Formel für schiefen Wurf)

1.  Für das illustrierte Beispiel (siehe Bild) werden folgende Werte in die Grundformel übernommen:

2.  Dieser Ausdruck muss nun nach x1 aufgelöst und berechnet werden. Ergebnis ist ebenfalls, wie in der herkömmlichen Lösungsweise, die horizontale Distanz, welche der Körper zurückgelegt hat.

( ) ( )α

αα cos

sincos2

81.9

0

1022

0

21

⋅⋅⋅+

⋅⋅−=−

vxv

vxa


10 04.10.13 Seite

Kräfte Physik

Schiefe Ebene

rF

GF

NF

aftReibungskr:

tNormalkraf:

aftGewichtskr:

rF

F

F

N

G

Kräftegleichgewicht orthogonal zur Bewegunsgrichtung:

0.........Re

=⋅=−+=

amF s

Kräftebilanz in Bewegunsgrichtung:

amF s

⋅=−+= .........Re

Der Körper hebt weder ab, noch versinkt er in der Ebene

Merke: Ist zu Berechnen, wie viel Energie durch die Reibungskraft über eine bestimmte Strecke in Wärmeenergie umgewandelt worden ist, so ist es von Vorteil den Satz der Energieerhaltung anzuwenden

Kräfteberechungen

αsin⋅= zvertikal FFαcos⋅= zhorizontal FF

zF

horizontalF

α vertikalF

NF

GF

RF

FR: Reibungskraft [N]

FN: Normalkraft[N]

FG: Gewichtskraft [N]

FZ: Zugkraft[N]

µ⋅= NR FF

Kräftegleichgewicht vertikal:

0Re

=⋅=−−=

amFFFF vertikalNGs

Kräftebilanz in Bewegunsgrichtung:

amFFFFF NZRhorizontals

⋅=⋅−⋅=−= µαcosRe

αsin⋅−⋅=−=⇒ zvertikalGN FgmFFF

)sin(cos αµα ⋅−⋅−⋅=⋅ zZ FgmFam

)sin(cosm

Fgm

Fa zZ αµα ⋅−−⋅=

Achtung:Dringend zu berücksichtigen ist, dass die Zugkraft orthogonal zur Bewegungsrichtung eine Komponente Fvertikal hat, die in der vertikalen Kräftebilanz miteinkalkuliert werden muss ! !


11 04.10.13 Seite

Kinematik Physik

Impuls

vmp ⋅=

[ ]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

smkgpulsp

smgkeitGeschwindiv

kgMassem

Im:

:

:

Impulserhaltungsgesetz

'' 22112211 vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅

Energieerhaltungsgesetz

( ) ( ) ( ) ( )2222

112

222

11 '

2'

222vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅⇒

'pp =

'EE =

Energie

2

2vmEkinetisch ⋅= hgmEpotentiell ⋅⋅= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ 2

2

:smkgEnergieE

2211 kinPotkinPotkinPotmech EEEEEEE +=+⇒+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

smkungWechselwirnachGeschwvv

smkungWechselwirvorGeschwvv

.:','

.:,

21

21

Nur gültig wenn: keine Reibung vorhanden ist

Wechselwirkung nicht auf schiefer Ebene stattfindet

inelastischer Stoss

Hinreichende Bedingung: ''' 21 vvv ==

21

221121 '''

mmvmvmvvv

+⋅+⋅===

Es gilt das nur Gesetz der Impulserhaltung 22

221

1

22vmvmEkin ⋅+⋅=

( )2

21

221121221

2'

2' ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+⋅⋅+=⋅+=mmvmvmmmvmmEkin

kinkinkin EEE −=Δ '

elastischer Stoss Es gilt das Gesetz der Impulserhaltung

Es gilt ebenso das Gesetz der Energieerhaltung 'pp = 'EE =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )212

112

22

22 '' vvmvvm −⋅=−⋅22

221

1

22vmvmEkin ⋅+⋅=

Merke: Aus Sicht der Endgeschwindigkeit, geht ein Teil der Energie verloren


12 04.10.13 Seite

Kinematik Physik

Kraftstoss (Impulsänderung)

( ) ( )

ptFttF

tPtPdtFp

ss

t

ts

Δ=Δ⋅=−

−==Δ ∫

Re12Re

12Re

)(

2

1

vmdtd

dtdpF s ⋅==Re

Arbeit und Kraft einer Feder

∫=Δ −

2

1

)(21

x

x

dxxFW

∫ ⋅=Δ −

2

1

21

x

x

dxxDW

Ideale Feder ][:,

tan:

][:

21 mPositionenxxmNteFederkonsD

NZugkraftF

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Arbeit

dxamdxFxFdxxFW x

x

xx ⋅Θ⋅⋅=⋅=Δ⋅Θ⋅==Δ ∫ coscos)(

2

1

22

21

21

aekinges mvmvEW −=Δ=

][: 2

2

smkgArbeitW ⋅

Leistung allgemein

vFdtdWP ⋅==

],,[: 3

2

smkg

sJWLeistungP ⋅

dtFpt

ts∫=Δ

2

1

Re

DxFxF ⋅Δ+= 0)(

( ) ( )

tmvmvF

tF

mvmvtPtPdtFpt

ts

Δ⋅−⋅=

Δ⋅=

⋅−⋅=−==Δ ∫

1122

112212Re

2

1

Wechselwirkung Kugel fällt auf Platte:

F

s s2 s1

F2

F1

2

21 xDE FederPotentiell ⋅⋅=


13 04.10.13 Seite

Kinematik Physik

Gleichförmige Kreisbewegung

amFres ⋅=

( ) ( ) rnrT

rfrrva ⋅⋅⋅=⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⋅⋅⋅=⋅== 2

222

2

222 πππω

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sDrehzahln

sUmlaufeinenfürUmlaufzeitTs

Frequenzf

sradkeiteschwindigWinke

1:

][:

1:

lg:ω

Newton‘sches Gravitationsgesetz

212

21

rmmGF ⋅⋅=

[ ][ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ −

2

211

12

21

1067,6..:

tan::,

kgNmnsconGravitatiounivG

mdMassenabsrkgMassenmm

2

2

rmRgF sE ⋅⋅=

Spezialfall: Ist eine Masse die Erde so gilt:

Trägheitsmoment 2ii rmJ ⋅= ][:

][tan:][: 2

kgMassemmDrehachsezurdAbsr

mkgomentTrägheitsmJ ⋅

Zweites Newton‘sches Axiom der Drehbewegung

α⋅= JM amF ⋅=⇒][:

][:

]1,[:

2

22

NmDrehmomentMmkgomentTrägheitsmJ

ssradhleungiungWinkelbesc

⋅

α

Θ⋅= dMdW

Θ⋅=Θ⋅=== MdtdMW

dtdWP ω⋅=M

Leistung der Drehbewegung

2amJJ SPZ ⋅+=

ϕωα⋅

=2

2


14 04.10.13 Seite

Konzept (herkömmlich):

1.  Kinetische Energie der Bewegung des Körpers auf der Kreisbahn beträgt:

2.  Die kinetische Energie durch die Rotation um die Achse, welche durch den Schwerpunkt des Körpers verläuft beträgt:

3.  Demnach lautet die gesamte kinetische Energie:

Kinematik Physik

Kinetische Energie der Drehbewegung

2

22

. 21

21

rvJJE SpSpSpkin ⋅⋅=⋅= ω

r

Ekin sp

Ekin rel

2

21 vmE Kreisbahnkin ⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⋅⋅+⋅=+= 2

2

2

22

. 221

21

rJ

mvrvJvmEEE Sp

SpSpkinKreisbahnkintotalkin

Konzept (komplett über Massenträgheitsmoment):

1.  Das Massenträgheitsmoment des Körpers bezüglich seiner Rotationsachse durch des Massenschwerpunkt ist für diverse geometrische Formen tabelliert und wird für Folgende Erläuterungen bezeichnet als:

2.  Gemäss Satz von Steiner kann das Massenträgheitsmoment eines Körpers, der nicht um die, durch den Schwerpunkt verlaufende Achse, rotiert wie folgt berechnet werden:

3.  Nun lässt sich wiederum die kinetische Energie dieses Gebildes errechnen gemäss untenstehender Beziehung:

4.  Wird nun die Beziehung von Punkt Zwei im Ergebnis von Punkt Drei angewendet, so erhält man folgendes:

SpJ

2rmJJ SpZ ⋅+=

2

22

21

21

rvJJEkin ⋅=⋅= ω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⋅+⋅

⋅=⋅⋅= m

rJvrmJ

rvJ

rvE Sp

SpZkin 2

22

2

2

2

2

2221

222

21

21

iiiikin rmvmE ω== 2

21 ω⋅= J

][:][tan:][: 2

kgMassemmDrehachsezurdAbsr

mkgomentTrägheitsmJ ⋅


15 04.10.13 Seite

Kinematik Physik

Massenträgheitsmomente

( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++==

+=

−−

−

222

22

31

41

21

lrrmJJ

rrmJ

iazzyy

iaxx

z

z

x

x

y

y arir

l

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +==

⋅=

−−

−

22

2

312

41 lrmJJ

rmJ

zzyy

xx

Hohlzylinder

dünnwandiger

Hohlzylinder

z

z

x

x

y

y ar

l

Vollzylinder

22

2

121

41

21

lmrmJJ

rmJ

zzyy

xx

⋅+⋅==

⋅=

−−

−

dünne Scheibe (l<<r)

2

2

41

21

rmJJ

rmJ

zzyy

xx

⋅==

⋅=

−−

−

Dünner Stab (l>>r) unabhängig von der Form des Querschnitts

2

2

121

21

lmJJ

rmJ

zzyy

xx

⋅==

⋅=

−−

−

z

z

x

x

y

y

l b

h

Quader

( )

( )

( )22

22

22

121121121

blmJ

hlmJ

hbmJ

zz

yy

xx

+=

+=

+=

−

−

−

z

z

x

x

y

y

r Kugel, massiv 2

52 rmJJJ zzyyxx ⋅=== −−−

dünne Kugelschale 2

32 rmJJJ zzyyxx ⋅=== −−−


16 04.10.13 Seite

Kinematik/Hydrostatik Physik

Vergleich zwischen linearer Bewegung und Drehbewegung

Verschiebung Drehw inkel

Geschw indigkeit Winkelgeschw indigkeit

Beschleunigung Winkelbeschleunigung

Gleichungen für den Fall konstanter Beschleunigung

Gleichungen für den Fall konstanter Winkelbeschleunigung

Masse m Trägheitsmoment JImpuls DrehimpulsKraft F Drehmoment M

kinetische Energie kinetische EnergieLeistung Leistung

2. New tonsches Axiom 2. New tonsches Axiom

lineare Bew egung Drehbew egung

xdtdxv == θθω ==

dtd

θΔxΔ

xdtxdv

dtdva ==== 2

2

θθωωα ==== 2

2

tdd

dtd

200

0

21 tatvxx

tavv

⋅+⋅+=

⋅+=

200

0

21 tt

t

⋅+⋅+=

⋅+=

αωθθ

αωω

vmp ⋅= ω⋅= JL

2

21 vmEkin ⋅= 2

21 ω⋅= JEkin

vFP ⋅= ω⋅=MP

amdtdpF ⋅== α⋅== J

dtdLM

Druck

ApF

⋅=]/[],[)(:

][:

][:

2

2

mNPAskalarDruckpmheBezugsfläcA

NFlächeaufFluidsdesKraftF

kPainchsquareperpoundpsimbarPahPaPabar 895,6)(1;1101;101 25 ≈===

Schweredruck in Flüssigkeiten (Zunahme mit steigender Tiefe) gdhAhFhhF ⋅⋅⋅+=Δ+ ρ)()(

0

0

)(:)(

?)(

phghpAFhgAhF

hFgAdhdF

+⋅⋅=+⋅⋅⋅=

=⋅⋅=

ρρ

ρ

0)( phghp +⋅⋅= ρ

Auftrieb

Spezialfall: Ein Körper schwimmt, wenn:

gVF FlA ⋅⋅= ρ

sg FF Re=

Merke: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit

MediumsnverdrängtedesDichteMediumsnverdrängtedesVolumenV

raftAuftriebskF

Fl

A

:::

ρ

Hinweis: AFp =

Merke: Flüssigkeiten haben keine Formelastizität (ihr Schubmodul ist gleich Null), daher können sie Behälter beliebiger Formen ausfüllen

hp(h)

p0

seine Dichte kleiner oder gleich derjenigen des ihn umgebenden Mediums ist


17 04.10.13 Seite

Ideale Gase Physik

Zustandsänderungen idealer Gase

WQU Δ+Δ=ΔArbeitemechanischeverrichtetSystemamWieWärmeenergzugeführteSystemdemQ

EnergieinnerenderÄnderungU

:::

ΔΔΔ

Merke: Wenn dem System mechanische Arbeit entzogen wird, ist die zugeführte mechanische Arbeit negativ.

Verschiebearbeit

dVpdspAdsFsdFdW ⋅−=⋅⋅=⋅=⋅= Für unendlich kleine Verschiebungen gilt (da die Kraft nicht konstant bleibt)

Für grosse Verschiebung um die Strecke s

∫∫∫ ⋅⋅⋅−=⋅−=⋅−=2

1

2

1

2

1

)(),,(V

V

V

V

V

V

dVVVTRndVnVtpdVpW

Isotherme Zustandsänderung VconstpconstTRnVp =⇒=⋅⋅=⋅

21ln

12ln)1ln2(ln

)12

(ln12

1

2

1

ppTRn

VVTRnVVTRn

VV

VTRndVV

TRndVVTRnW

V

V

V

V

⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−=−⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅−= ∫∫

V

p

Merke: da T(V), fällt die Verschiebearbeit je nach Randbedingung anders aus

Vconst

Hyperbel

Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à 21ln

12ln

ppTRn

VVTRn ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−

Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à 21ln

12ln

ppTRn

VVTRn ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

p

V

Isobare Zustandsänderung

VpVVpdVpdVnVTpWV

V

V

V

Δ⋅−=−⋅−=⋅−== ∫∫ )12(),,(2

1

2

1

Dem Gas zugeführte mechanische Arbeit à

Dem Gas zugeführte Wärmeenergie à

( )12 VVp −−

( )12 TTcn p −⋅

constp =

Rcc vp +=

DruckconstbeikapWämolarecmVolumenVKTemperaturT

PaDruckpKmol

JGasconstuniversR

p ...:][:][:

][:

]31441,8[.:

3

⋅

V1 < V2

Qauf

V1àV2

Wab

V1àV2

Wab

V1àV2

Qauf

V1àV2


18 04.10.13 Seite

Ideale Gase Physik

Adiabatische Zustandsänderung (adiabatisch = ohne Wärmeaustausch)

VdVTRndVpdWdQdWdU ⋅⋅−=⋅−==+=

adiabatisch : dQ = 0

Isochore Zustandsänderung



0

( )12 TTcn v −⋅

cv: molare Wä.kap. bei konstantem Volumen

T: Temperatur [K]

V

p



( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−−=

−−

−

1111

1

2

111121122

χ

χχχ VVVpTTnRVpVp

0

constpV =χ

constV =

== Rfcv 2

][:][:exp:3

PaDruckpmVolumenV

onentIsentropenχ

v

p

cc

=χ

Merke: wird eine isochore Zustandsänderung durchgeführt von einem höheren Druckpotential p1 zu einem niedrigeren p2 (p2<p1), so wird Wärmeenergie an die Umgebung abgegeben. Von p2 nach p1 wir jedoch Wärmeenergie aufgenommen

Wirkungsgrad (nach Carnot)

auf

ab

PP=η

Pab: netto geleistete mechanische Arbeit

Pauf: !!!aufgenommene!!! Wärmeenergie

TK: Temp.kaltes Niveau [K],[J]

TH: Temp. heisses/warmes Niveau [K],[J]

Merke: Es ist korrekt, dass die Abwärme nicht berücksichtigt wird, da sie als ein „Abfallprodukt“ für den Prozess verloren ist

Leistungszahl

WQ

cL =

Hinweis: Die Leistungszahl ist im Allgemeinen grösser als 1. Je grösser die Leistungszahl ist, desto effizienter arbeitet die Kältemaschine

W: netto zugeführte mechanische Arbeit

Qk: Wärmeenergie von Tk aufgenommen

Qh: Wärmeenergie an TW abgegeben

Wärmeres Reservoir mit Th

kälteres Reservoir mit TK

Qh

QK

W Wärmekraft-maschine

Wärmeres Reservoir mit Th

kälteres Reservoir mit TK

Qh

QK

W Kältemaschine

H

K

TT−= 1.maxη

Kältemaschine:

WQ

TTTc h

KH

HL =

−=Wärmepumpe:

WQ

TTTc k

KH

KL =

−=

p

V V1=V2

p1

p2

p1àp2

Qab W= 0

p1àp2

Wab

Q=0


19 04.10.13 Seite

Kraft zwischen Ladungen (siehe auch unter ET)

221

221

41

rreqq

krr

rqqF

⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

=επ

Elektrische Ladung

2

2910988,8tan:CNmteKonsk ⋅

k=04

1πε

eNq ⋅= adungenElementarlAnzahlNWsAsCadungElementarlee

LadungenderRichtunginktorEinheitsveremFitätzkonDielektrizVakuim

mLadungenderdAbsrAsLadungqNKraftF

:][;][];[10602,1:,

:

][1086,83610.:.)(

][tan:][:

][:

19

129

0

−

−−

⋅=−+

⋅===

πεε

Merke: Eine Ladung kommt nur als Vielfaches der Elementarladung e vor

Superpositionsprinzip Allg. Def. siehe Superpositionsprizip (ET)

Wenn n Punktladungen q1...qn vorliegen, berechnet sich die Kraft auf eine weitere Punktladung q0 erfahrungsgemäss als:

∑=

⋅⋅⋅=+++=n

i i

in r

rrqqkFFFF

12021 ...

Elektrisches Feld Definition: Richtung und Betrag des E-Feldes ist gleich Richtung und Betrag der Kraft auf die Probeladung dividiert durch die betragliche Grösse der Probeladung:

0

),,(),,(qzyxFzyxE

=

obeladungqmV

CNFeldEzyxE

Pr:

][];[:),,(

0

−

),,(),,( 0 zyxEqzyxF

⋅=

Das E-Feld einer Punktladung im Ursprung

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

⋅=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅==

zyx

zyx

qk

zyx

rqk

qFzyxE

23

2223

0 )(),,(

21

222 )(: zyxrmerke ++=

Das E-Feld von mehreren Punktladungen

∑∑ ⋅⋅==i i

i

i

i

i

i

rr

rqk

qFzyxE

20

),,(

i

i

i

ii

rr

rqk

qFzyxE

⋅⋅== 20

),,(

Homogenes Feld liegt vor: wenn die elektrische Feldstärke in jedem Punkt des betrachteten Raumbereichs den gleichen Betrag und die gleiche Richtung hat.

Merke: Das E-Feld an einem Punkt (x/y/z) wird mittels Coulombgesetz und dem Superpositionsprinzip ermittelt. Probeladung an Stelle (x/y/z) positionieren und mittels Coulomb die von der ersten, zweiten usw. Ladung ausgeübten Kraft ermitteln

E-Feld auf Erdoberfläche i.A. 100 V/m Durchschlag bei el.Feldstärke von 3*106 V/m

!!! Vorzeichenbehaftet !!!

Physik


20 04.10.13 Seite

Q

Elektrisches Feld zwischen 2 unendlich ausgedehnten, parallelen, ebenen Platten mit der Flächenladungsdichte :

Elektrische Ladung

σ⋅⋅π= k4E

Verschiebearbeit einer Punktladung von A nach B (homogenes Feld)

∫∫ ⋅⋅−=⋅−=B

A

B

AAB sdEqsdFW

0

Elektrische Potenzialdifferenz (Spannung) zwischen A und B

∫ ⋅−==ΔB

A0

ABAB sdE

qWU

Das elektrische Potenzial UB

∫∞

∞ ⋅−==B

0

BB sdE

qWU

][: 2mCungsdichteFlächenladσ

2

2910988,8tan:CNmteKonsk ⋅

sE Δ⋅−=

Q

B

sΔ

xΔ

yΔ

yEq Δ⋅⋅−= 0

F

F

E

ABWs =Δ⋅

Verschiebearbeit im elektrischen Feld einer Punktladung

1P

2P

2r

1r

q

Q

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅=

⋅⋅−=⋅−=−=−= ∫∫∫∫

12

2212

11

1)(2

1

2

1

2

1

2

1

rrkqQ

drr

kqQdrrqQkdrrFdsFW

r

r

r

r

r

r

P

P

Definition: Die elektrische Potentialdifferenz (Spannung) zwischen den Punkten A und B ist die Verschiebearbeit zwischen A und B pro Probeladung.

Anmerkung: Potenzialdifferenz und Arbeit haben entgegengesetzte Vorzeichen.

][];[:CJVifferenzPotentialdU

][];[:mV

CNFeldEE −

Merke: Beim Lösen des Integrals ist das Unendlichzeichen einzusetzen und der entsprechende Term mit einer Grenzwertbetrachtung zu analysieren.

+Qgrossϕ kleinϕB

B

rkQdsF

Q⋅=⋅−= ∫

∞

1

r B: Abstand zwischen Einzelladung und Potentialpunkt

Merke: Elektrische Feldlinien zeigen in Richtung abnehmenden elektrischen Potentials

Merke: Potentiale für Ladungsanordnungen bezüglich eines gemeinsamen Punktes können addiert werden

Merke: Feld homogen und unabhängig vom Plattenabstand

Physik


21 04.10.13 Seite

Plattenkondensator:

Elektrische Ladung / Magnetismus

][: VPlattenzwischenSpannungUΔ∫−==Δ −

−

2

10

2121 dsE

qWU

akdskdsE ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅== ∫∫ σπσπ 44

2

1

2

1

Senkrechter Abstand

][: 2mCungsdichteFlächenladσ

][:

10988,8tan: 2

29

FKapazitätCCNmteKonsk ⋅

Kondensator (allgemein): UCQ Δ⋅=

][:

][,][:

][:

VSpannungUVCFKapazitätC

AsrKondensatoaufLadungQ

Δ

kaA

UQC

⋅⋅⋅=

Δ=

π4

Kugelkondensator:

∫∞

−− ==Δ

R

dsEqWU

0

2121

RQk ⋅== ...

][: msKugelradiuR

kR

UQC =Δ

=][: FKapazitätC

Lorentzkraft:

( )BvqFB

×⋅=

Lorentkraft des B-Feldes auf die bewegte Ladung [N]

Ladung [C] !!!Vorzeichenbehaftet!!!

Geschwindikeit der Ladung

magnetischen Induktion; magn. Flussdichte; Magnetfeld (vergl. E-Feld) [Tesla, T]

:

:::

B

vqFB

B

v

BF

q

Magnetfeld B:

HHB r ⋅⋅=⋅= 0µµµ

Magnetfeld [Tesla, T]

Feldstärke

relative Permeabilität (Materialspez. meist konstant)

Permeabilität des Vakuums = ::::

0µµ r

HB

mAsV

⋅⋅⋅ −7104π

Das

Merke: Die Lorentzkraft verrichtet keine mechanische Arbeit am beschleunigten Teilchen. Es wird daher höchstens die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, nicht aber dessen Betrag geändert

Lorentzkraft auf Stromdurchflossenen Leiter:

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Ladung gewinnt kinetische Energie beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz Das Bild kann nicht angezeigt werden. Dieser Computer verfügt möglicherweise über zu wenig Arbeitsspeicher, um das Bild zu öffnen, oder das Bild ist beschädigt. Starten Sie den Computer neu, und öffnen Sie dann erneut die Datei. Wenn weiterhin das rote x

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Zwischenwinkel B und vq

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Physik


22 04.10.13 Seite

Elektrische Ladung / Magnetismus

B-Feld von einem Leiter erzeugt :

rIrB⋅⋅⋅=

πµ2

)( 0

r: Abstand von der Leiterachse [m]

magn. Feldkonst. = :0µ mAsV

⋅⋅⋅ −7104π

Achtung: Bei dieser B-Feld Bestimmung handelt es sich um den Spezialfall langer, gerader Leiter

Magnetischer Fluss :

∫ ⋅=Φ

FlächeteaufgespannrdurchLeite

mag dAB

][::

][];[];[.: 2

VSpannunginduzierteUmalenFlächennorderVektordA

VsWbmTFlussmagn

ind

mag ⋅ΦBdA

Θ

dtdIL

dtd

U magind −=

Φ−=

Merke: Für die induzierte Spannung ist es nicht von Belang, wie gross der Magnetische Fluss ist, sondern ob er einer zeitlichen Änderung unterliegt.

t

U(t)

t

)(tΦ

Merke: Kann das Integral soweit vereinfacht werden, dass nur noch skalare Grössen vorliegen, so ist der Zwischenwinkel (zwischen dem B-Feld Vektor und der Flächennormalen) zu bestimmen (def. Skalarprodukt). Θ

.

cos

constBwenn

dAB

↑

⋅⋅Θ= ∫

Generator : (Indutkionsschlaufe dreht sich im homogenen Magnetfeld)

x

y

z dA

B

ω

)(tϕ

tt ⋅=ωϕ )(

AtBdAtBdAtBdABLSLSLS

mag ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=Φ ∫∫∫ )(cos)(cos)(cos ϕϕϕ

LS: Leiterschlaufe

ωωω ⋅−⋅⋅=⋅⋅=Φ

= )sin()cos( tABtdtdAB

dtd

U magind

Selbstinduktivität:

ILmag ⋅=ΦL: Selbstinduktions-Koeffizient [Henry]

Wenn der Strom zeitabhängig ist, wird in der Spule eine Spannung induziert:

dtd

U magind

Φ−=

( ) FeldBimLeiterrbewegte

zlvB

−↑

⋅⋅⋅=

Physik


23 04.10.13 Seite

Wechselstromkreise

Spannungsquelle: (Definition einer idealen Spannungsquelle)

)cos()( 0 tUtU ⋅⋅= ω

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= tT

UtnUtfU πππ 2cos)2cos()2cos( 000

U0:Spannungsamplitude

: Kreisfrequenz

f: Frequenz

ω

Merke: hierbei handelt es sich um die übliche Definition, es sind aber auch andere Funktionen denkbar, wie z.B. Dreiecks-,Rechtecks-,Sägezahnfunktion

Widerstand:

IRUR ⋅=UR: Spannung über dem Element

I: Strom durch das Element

R: Propotionalitätsfaktor, „Widerstandsbeiwert“

Merke: Im Unterschied zum Gleichspannungsfall, sind die Spannung über dem Widerstand und der Strom durch den Widerstand zeitabhängig.

tiR eUIRU ⋅⋅⋅=⋅= ω

0

Komplexe Betrachtungsweise: (Widerstand in Serie/ parallel zu einer Spannungsquelle)

tieRUtI ⋅⋅⋅= ω0)( t

RUe

RUtI ti ωω cos)Re()( 00 ⋅=⋅= ⋅⋅Gemeint ist damit:

tieUtU ω⋅= 0)(

Komplexe Betrachtungsweise:

)sinRe(cos)Re()( 00 titUeUtU ti ωωω ⋅+⋅=⋅=Gemeint ist damit:

UR(t)

I(t) ti

R eIRtIRtU ⋅⋅⋅⋅=⋅= ω0)()(

Zeigerdiagramm: Die Projektion der einzelnen Zeiger auf die x-Achse gibt den Momentanwert der Spannung bzw. des Stromes an

Zeigerdiagramme:

Im Folgendem werden die Strom Spannungszusammenhänge in Sogenannten „Zeigerdiagrammen“ in der Gaus‘schen Ebene (Im gegen Re ) visualisiert. Hier wird der Strom-Spannungszusammenhang mittels Vektoren in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dargestellt. In einer Serieschaltung können, ausgehend von einem Stromvektor (Strom in Serieschaltung durch jedes Element identisch), alle Spannungsvektoren, entsprechend den Nachfolgenden RCL-Zusammenhängen, eingetragen werden und so die Gesamtspannung ermittelt werden. Ebenso Kann in einer Parallelschaltung von einem Spannungsvektor ausgegangen werden, mittels dem Rückschlüsse auf die entsprechenden Stromvektoren gezogen werden können.

Physik


24 04.10.13 Seite

Wechselstromkreise

Kondensator (Kapazität):

CUCQ ⋅=Q: Ladung auf der einen Platte des Kondensators

UC: Spannung über dem Kondensator

C: Kapazitätswert

XC,RC: Komplexer Widerstand des Kondensators

Kapazitiver Widerstand

IdtdUC

dtdQ C =⋅=

Merke: Wenn Spannung cosinusförmig von der Zeit abhängt, hängt der Strom ebenfalls cosinusförmig von der Zeit ab und eilt der Spannung um Pi/2 voraus.

Spule (Indutkiviät):

dtdILUL ⋅=

UL: Spannung über der Induktivität

I: Strom durch die Spule

L: Induktivitätswert [H]

XL,RC: Komplexer Widerstand der Induktivität Blindwiderstand

Merke: Wenn Spannung cosinusförmig von der Zeit abhängt, hängt der Strom ebenfalls cosinusförmig von der Zeit ab und hinkt der Spannung um Pi/2 nach.

Komplexe Betrachtungsweise:(Kondensator in Serie / parallel zu einer Spannungsquelle)

)(1)( 00 tUR

eUCiCieUtI titi ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅⋅ ωω ωω

U(t)

Komplexe Betrachtungsweise: (Induktivität in Serie / parallel zu einer Spannungsquelle)

)(111)( 000 tU

ReU

LieU

Liie

LUtI tititi ⋅=⋅⋅

⋅−=⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ωωω

ωωω

UL(t)

I(t)

UC(t)

I(t) )()()( tI

Ci

CitItUC ⋅

⋅−=

⋅⋅=

ωω

)()()( tILidttIdLtUL ⋅⋅⋅=⋅= ω

Merke: Steigende Frequenz erhöht den Widerstand der Induktivität. Bei tiefen Frequenzen wird die Spule (Induktivität zum Kurzschluss) Der Blindwiderstand kann in der Netzwerkberechnung wie gewohnt gehandhabt werden

tItL

UtL

UtI ωπωω

ωω

sin2

cossin)( 000 ⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅

⋅=⋅

⋅=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

2cossin)( 00

πωωωω tUCtUCtI

LLiRX CL ⋅=⋅⋅== ωω

CCi

CiRX Cc ⋅

=⋅

−=⋅⋅

==ωωω11

Nichtimaginärschreibweise

Nichtimaginärschreibweise

Physik


25 04.10.13 Seite

Wechselstromkreise

RCL-Schwingkreise (Serieschaltung von RCL):

CLCL

CL

XX CL

⋅=

⋅=⇒

⋅=⋅

=

11

1

0

00

ω

ωω

LXL ⋅=ω

)(: tIIIIwobeiIRU RCL ===⋅=

XC

I(t)

XL

R

XL-XC Z Z: Impedanz (Scheinwiderstand)

XL: Induktiver Scheinwiderstand

XC: Kapazitiver Scheinwiderstand

R: Ohm‘scher Widerstand

Die Impedanz (Schein- bzw. Gesamtwiderstand) eines Serie RCL-Schwingkreises erreicht ihr Minimum, wenn die betragliche Grösse von XL und XC identisch ist. Es soll nun im Folgendem die Frequenz, bei welcher dieser Sachverhalt gewährleistet ist, eruiert werden:

CXc ⋅

=ω1

Merke: Bei Abweichungen der Frequenz von der optimalen Frequenz hat dies eine Phasenverschiebung der Generatorspannung bezüglich des Stromes zur Folge.

ω 0ω

Physik


26 04.10.13 Seite

Schwingungen

Schwingungsgleichung Feder-Masse-Oszillator (linear, ungedämpft, harmonisch)

αααα vonWertekleinefürsin:Annahme0sin)( ≈=⋅+bgta

mDwobeixx

xmDx

==⋅+

=⋅+

20

20 :0

0

ωω

Aufgrund der Kräftebilanz erhält man folgende DGL:

Die Lösung dieser Differentialgleichung hat folgende Gestalten:

( ) ( )( )00

0201

sincossin)(

ϕωωω

+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=

tAtCtCtx

Pendel (linear, ungedämpft, harmonisch)

( )( )ngZeiturspruhenwillkürlicaufbezogenerenzPhasendiff

PhaseAmplitude:

SchwingungderuerPeriodenda1

SchwingungderenzEigenfrequ2

SchwingungderenzKreisfrequ:

0

00

0

0

ϕϕω

πω

ω

+⋅

=

=

=

tA

fT

f

mD

Aufgrund der Energiebilanz (mechanische Energie=... und Änderung der mech. Energie =0) erhält man für ein Pendel folgende DGL:

Nun werden die einzelen Koeffizienten der DGL adaptiert auf die Variante des Masse-Feder-Oszillators, um die Lösung der DGL direkt anschreiben zu können:

bg

xx

0ω

αα

Die neu zugewiesenen Koeffizienten können nun in die Lösung übertragen werden:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=

+⋅⋅=

0

00

sin

sin)(

ϕ

ϕωα

tbgA

tAt

Physik


27 04.10.13 Seite

Schwingungen

0

20

2

=⋅+⋅+

⋅

xmDx

mbx

ωρ

Schwingungsgleichung Feder-Masse-Oszillator (linear, gedämpft, harmonisch)

Für die Aufstellung der zugehörigen DGL sind folgende Bestandteile miteinzubeziehen:

- Masse m

- Feder mit Federkonstanten k bzw. D

- Dämpfungskraft, welche proportional zur momentanen Geschwindigkeit ist

Kräftebilanz: (welche Kräfte wirken auf die Masse ?)

1.  Gravitationskraft

2.  Federkraft

3.  Reibungskraft

Bewegungsgleichung:

xmam

xbxDGGFt

s

⋅=⋅=

⋅−⋅−+−=aftReibungskrFederkrafnGravitatio

Re

Bewegungsgleichung in Normalform:

0=⋅+⋅+⋅⇒ xDxbxm

Bewegungsgleichung in Normalform:

02 20 =⋅+⋅+ xxx ωρ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅

=

mbmD

ρ

ω

2

20

Charakteristische Gleichung:

02 20

2 =⋅+⋅+ xωλρλ 02 20

2 =⋅+⋅+ xωλρλEs entsteht folgender Lösungsausdruck (über Lösung einer quadratischen Gleichung) :

20

22/1 ωρρλ −±−=

Fallunterscheidung:

1.  Starke Dämpfung

2.  Schwache Dämpfung

3.  Kritische Dämpfung

⎟⎠⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅=⇒

>−⋅−−⋅−⋅− ttt eCeCetx20

220

2

21

20

2

)(

0ωρωρρ

ωρ

( ) ( )( )tCtCetx

wobeiit ⋅Ω⋅+⋅Ω⋅=⇒

−=ΩΩ⋅±−=⇒

<−

⋅− cossin)(

:

0

21

220

22/1

20

2

ρ

ρωρλ

ωρ

( )21

20

2

)( CtCetx t +⋅=⇒

=⋅−ρ

ωρ

Physik


28 04.10.13 Seite

Spezialfälle Physik

Schwingungsgleichung

)()()( tKxxkgmxm +⋅−+⋅−+⋅=⋅ βonStörfunktiäusseretKteonsDämpfungsk

teFederkonsk

:)(tan:

tan:β

mtKg

mxk

mxx )(⋅=⋅+⋅+⇒

β

)(2 20 tFxxx =⋅+⋅+ ωδ

20;2 ωδβ ==

mk

m

Merke: Lösung der DGL hängt ab von den zwei Koeffizienten ersichtlich durch charakteristische Gleichung

20

22/1 ωδδλ −±−=

Fallschirmspringer 2skgmsm ⋅−⋅=⋅

svsvonSubstituti

=⇒=:

12 ⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅−= v

mkgv


29 04.10.13 Seite

Fehlerrechnung

∑=

⋅=N

iixN

x1

1

∑=

−⋅−

=N

iixx

Ns

1

2)(1

1

Nstx ⋅=Δ xumxBereich Δ±

],[ xxxxBereichimplichkeitWahrscheinmitliegt Δ+Δ−µ

nlichkeitswahrscheiSicherheitpParameterabhängigerpundNvont

hungStdtabweicsnumfangStichprobeN

MesswertterixMittelwertx

i

::::::, 1

−µ

nn

xdxdyx

dxdyx

dxdyy Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅=Δ ...2

21

1

Partialfehlersumme

Ableiten nach betreffender Variablen und danach mit deren delta-Wert multiplizieren

yF Δ±= Grösstfehlerabschätzung (sehr pessimistisch)


30 04.10.13 Seite

Fehlerrechnung

Was

sers

toff

H

1

1,0

1

H

eliu

m

He

2

4,0

0

L

ithiu

m

Li

3

6,9

4

Ber

ylliu

m B

e 4

9,0

1

Bor

B

5

10,

81

Koh

lens

toff

C

6

12,

01

Sili

cium

Si

1

4

28,

09

Ger

man

ium

Ge

32

72,

61

A

rsen

A

s 3

3

74,

92

S

elen

Se

3

4

78,

96

Ant

imon

Sb

5

1

121,

76

T

ellu

r Te

5

2

127,

60

A

stat

A

t 8

5

209,

99

Nat

rium

N

a 1

1

22,

99

Mag

nesi

um

Mg

12

24,

31

Alu

min

ium

Al

13

26,

98

K

aliu

m

K

19

39,

10

Cal

cium

C

a 2

0

40,

08

Scan

dium

Sc

2

1

44,

96

Vana

dium

V

2

3

50,

94

C

hrom

C

r 2

4

52,

00

Man

gan

M n 2

5

54,

94

E

isen

Fe

26

55,

84

C

obal

t C

o 2

7

58,

93

N

icke

l N

i 2

8

58,

69

K

upfe

r C

u 2

9

63,

55

Z

ink Zn

30

65,

39

G

alliu

m

Ga

31

69,

72

Rub

idiu

m R

b 3

7

85,

47

T

itan Ti

22

47,

87

Stro

ntiu

m

Sr

38

87,

62

Ytt

rium

Y

3

9

88,

91

Zir

coni

um

Zr

40

91,

22

N

iob Nb

41

92,

91

Mol

ybdä

n

Mo

42

95,

94

Rut

heni

um

R u 4

4

101

,07

Rho

dium

R

h 4

5

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WIPF SCHE FORMELSAMMLUNG - Lernen Interaktiv: … · Substanzmenge um 1 Kelvin oder 1°C zu erwärmen. ... (converging/konvex) ... Bewegung vertikal und setzt die untenstehende Gleichung