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(Zweite Mitteilung.) ~)
Yon
J. G. van der Corput in Groningen (Niederlande).
w
Einleitung. In dieser Arbeit wircl die Summe
b
(1) Z (x, z, a , b) = 2 ' e ~ ' ' + ~ " ~ t ~ = g $
betrachtet, in der x, z, a, b reelle Zahen bezeichnen, x positiv is~, und der S~rich die fotgende Bedeutung hat:
b 1. Falls a < b ist, wird die Summe ~ " erstreekt tiber die ganz-
zahligen n i m Intervall a <~ n ~_ b, wobei das Glied mit n = a bzw. n = b gegebenenfalls nut halb ge~hl t wird;
2. falls a = b ist, ist ~ ' = 0;
b a
3. falls a > b mr, ist ~ " = - - ~ ' . # = a ~ = b
Das Hauptresultat dieser Mitteilung ist eine einf~he Beziehung zwi- schen der Differenz
~g I ~ Z (2) mud dem Integral
~exp (-- ,.~xu" -- 2a:r 1]xYU) --
i) Erste Mi t te ihng : Math. ~ a t o n 87 (1922), S.~66--77. , .. Mathematischr Anualen, 90. I
2 J . G . v a n t i e r C o r p u t .
(y reelI); in dieser Note bezeiehnen iiberstriehene Buehstaben die kon- jugierten Zatrlen, und es ist
h:ri
eh ---~ e 4 ," exp ~ --~ e~; exp o.z ~- e".~; exp~z -- e ~ .
Um die Beziehung zwischen der Differenz D und dem IntegraI zu formulieren, fiihren wir eine Funktion F(x,a, c) der reellen Zahlen x, a, c (x :> 0) ein dutch folgende Definition:
1. Falls keine der Zahlen a u n d c ganz ist, werde gesetzt
In w 2 werde ich zwei Formeln:
1 I a=a--[a] 2' r = c - - [ c ] 2 '
F(x,a,c)~--exp~i(5 @ (a--a)(27+l)--x(a~--a~)) �9 ~(x,a~/x-- ~ ) 2. falls a ganz, cn i ch t ganz ist, sei
1 (F(x,a+,c) --~ F(x,a-,c))" (5) F(x ,a ,c )=~
3. falls c ganz ist, sei
I (6) F(x,a,c)-~-~(F(x,a,c+)-~ F(x,a,c-)).
Aus dieser Definition ergibt sich, da~ F(x, a, c) eine periodisehe Funktion yon c mi~ der Periode 1 und, abgesehen vom Faktor exp z i (-- xa~q - 2at), auch eine periodische Funk~ion yon a mit derselben Periode ist. Wenn keine der Zahlen a u n d c ganz ist, h~ngt F(x,a,c), abgesehen yon einem
elementaren Fak~or, nut yon x und a ) / x r ab. In w 2 werden wir
zeigen: F(x, a, c) ~ O, wenn die Zahlen 2a und 2c beide ganz, abet nicht beide ungerade sin&
Das Hauptergebnis der Mitteitung ist die Beziehung
(7) D(x,z,a,b)---- F(x,b, xb -~z ) - F(x,a, xa-~z). Um die Eigenschaften der Differenz D abzuleiten, braucht ms also
nut das Integral ~r zu betrachten; es liegt auf der Hand, daI~ die Unter- sachung des Integrals leichter ist, da ~ nicht von vier, sondern yon nut zwei Zahlen abh~ngtg und auBerdem noch eine stetige Funktion dieser ZaMen ist.
die Haupteigenschaft ableiten aus den folgenden
( 9 ) , - =
, , ~--- ~ e - - ~ r i y ~
und
Sumraen, die mit v%Funktionen zusammenh~ngen. II. 3
und in w 3 werde ieh aus diesen Formeln zwei Funktionalgteichungen her- leiten, niimlieh
T ( x, y ) = ~/_~ e" (10) und
I exp~ i 5 ~ (11) F ( x , a , c ) - - ~ ~ - xa x
Zwar geben diese Funktionalgleichungen kein man nut die Beziehung
(1 _ 1 D ( x , z , a , b ) = v~x e
finder, die unmittelbar aus der
neues Resultat fiir D, da
x , X a ~ z , x b ~ z
Definition von D folg~, abet sic verein- fachen die Untersuchung der Funktionen T und 2' erheblieh.
Vm eine obere Schranke fiir !D 1 zu erhalten, genagt es I ~(x, Y) I nach 1( oben abzusehiitzen, wobei Y l ~ -ff l /x --r- gesetzt werden darf. In w 4:
werde ieh unte~ dieser Voraussetzung beweisen
11( (12) T ( x ~ y ) t < ~ 1 ~/x]'
also nach der Definition der Funktion F each
F(x,a:c)i ~ 1-Jr - ,
so dal~ aus (7) folgt
t 'D (x , z , a , b ) l~ ~(1--~-ix )
Diese Ungleichung ist sehon bekannt, aber mit einem grSl~eren konstanten Faktor start ~-.11 Wie ich in der 1. Mitteilung gezeigt habe, folgt aus
�9 2 einer Hardy-Littlewoodschen Unglelchung ), dab es eine absolute Kon- stante K gibt mit der Eigenschaft
(13) ID(x , z ,a ,b ) ' ~ K(1 - t - -~ ) ,
und in der 1. Mitteilung habe ich bewiesen, dag K = ~ diese Ungleichung erfiillt.
Mit den Formeln (8) und (9) kann man ~(x ,y ) leicht auswerten,
wenn x = p- ist und p und q kleine positive ganze Zahlen bezeictmen. q
Denn (9) kann in der Gestalt i - - 2 1 - -
�9 2) Hardy, G. H., and Littlewood, J. E.: Some Problems of Diophantine Approxi- mation. II. The trigonometrical series associated with the elliptic v% functions [Acta Mathematic 37a (1914), S. 193--238], Theoreme 2. 128; 2. 1281 und 2. 17.
1"
4 J . G . van der Corput.
gesehrieben werden, und aus (8) bzw. (14) folgt, dab die Zahl
~ ( x , y) ~- (-- 1) ~-~ ~(x,y-~-~/-~) bzw.
e ='y~ ~(x ,y )+( - - 1) q-~ e~(Y+'~f~)~(x,y+V~) "gleich der algebraischen Summe yon p bzw. q bekannten Gliedern ist, so dab man zwei Gleichungen erh~ilt, woraus man ~ ( x , y) bestimmen kann. Man bekommt z .B.
e--Zri(~ +y~) --~ i T ( 1 , y ) = 2 cos~y
also aus Stetiglceitsgriinden,
~ ( 1 , y ) = y,
1 , falls y - - y nicht ganz,
1 faUs y -- "-5 gerade,
"1 falls y -- ~ ungerade.
Da nach der Definition ~ ( x , y) in der Halbebene rechts von der imagin/iren Achse eine reguliire Funktion yon x ist, kann man k~(x, y) im Kreis Ix -- Xol < x o (x o > 0) nach steigenden Potenzen yon x -- x o entwiekeln. Die Koeffizienten dieser Potenzreihe sind nach dem Obigen bekannt, wenn x o rational ist, so dab man auf diese Art W(x, y) fiir jedes x > 0 bestimmen kann. Der Nachteil dieser Methode ist, dal~ man im allgemeinen, um eine schnelI konvergierende Potenzreihe zu erhalten, x - x o klein, also Nenner und Z/ihler yon x o groB w/ihlen muB, and die Berechnung der Koeffizienten dann kompliziert wird. Darum werde ich noch eine andere Methode angeben, die diesen Nachteil nicht besitzt. Wegen der Funktionalgleichung yon ~ ( x , y) kann man bei der Berechnung dieser Funktion ohne Beschr/inkang der Allgemeinheit x ~ 1 voraussetzen; au~er-
dem diirfen wir auch Y t ~ ~ ~ annehmen, da es uns nur am
diejenigen Werte von y zu tun ist, die geschrieben werden kSnnen in der Ge-
t mit !a I -~ 1 1 stalt: y =- r Vx ~/~ = -~ and 171 < y- Wir dtirfen sogar [ Y l <~ ~ -~ ----- 2vx~-
voraussetzen; denn wenn k~(x, y) ffir jedes y in diesem Intervall bekannt ist, finder man aus (9) unmittelbar den Weft dieser Fanktion fiir jedes y,
das absolut ~ g 1/x @ ist. Ubrigens werden wit sehen, dab wir den
Fail < l yl=< y § sehr leicht vermeiden kSnnen. Wegen
~(x, y)= ~(x , - -y ) folgt aus den Formeln (8) und (9) mit y = 0
x, - - 2 v ~ und k~ x, ~/x =--ff ,
so dab man mit Hilfe von (8) und (9) das Integral ~ ( x , y) fiir jedes
Summen, die mit tg-Funktionen zusammenhi4ngen. II. 5
1~ + (~ und q gang) berechnen kann. Kennt man
die Werte der Funktion hU(x, y) flit n versehiedene 8tellen Yx, Y~,--. , Y~ 1 im Intervall 0 <: y ~_ ~ / u dann kann man mit Hilfe der Newtonschen
oder der Lagrangeschen InterpolationsformeI angeniiJaert ihren Wert an 1 1
irgendeiner Stelle y im Intervall 2ff~ ~ < y = < 2~/~ ..... ermitteln, indem man ein
gerades Polynom 2 n-ten Grades in y aufstellt, das flit die n verschiedenen gegebenen Werte yon y die vorgeschriebenen Werte ~ (x , y,), ~V(x, y~ ) , . . . , k~(x, y,) annimmt. Wie in w 4 gezeigt wird, ist der Fehler dann kleiner als
u - I ( v ' - ( v ' - (v ~ v )l 10 n! ~/~-
1 also, wegen l y ~ -- yz t ~ ~-~, kleiner als
11 x* 1 10 4n.n! xn+-~
Diese Zahl nimmt bei waehsendem n sehr sehnell ab, so dab man ~ ( x , y ) mit jeder beliebig vorgesehriebenen Genauigkeit bereehnen kann.
Uber die in (1) definierte Summe S ist bis jetzt noeh wenig bekannt. Wie die Herren Hardy und Littlewood s) gezeigt haben, folgt aus (13) eine obere Sehranke flit t S l, die yon der Kettenbruehentwieklung yon x abh/ing~. Ieh erw/ihne hier nur zwei ihrer Resulta~e:
1. Fiir jedes irrationale x ist
Lira _ 1 S ( x , z , a , a -~- n ) ~ 0 n n~-oQ
gleiehm~il]ig in z und a (natiirlieh nieht gleichm~il]ig in x, da diese Be- ziehung nicht fiir ]edes rationale x gilt).
2. Falls x eine quadratisehe Irrationalit~t ist, gibt es eine nut yon x abh~ingige Zahl /s die fiir n :> 1 die Ungleiehung
S ( x , z, a, a--~-n)i < KI Vn erffillt.
Aul~erdem haben dieselben Verfasser a) aueh noch versehiedene so- genannte ~-Sgtze fiber die Summe S abgeleitet, z.B.
" 1 1. bei unbegrenzt wachsendem n s t r eb~- - -~S(x ,O ,a , a~ ,n ) nicht nach Null;
Vu
2. falls lim ~ ( n ) ~ 0 ist, gibt es wenigstens ein irrationales x mit
der Eigenschaft, dab I n~ (n) S (x, 0, a, a -[- n) bei unbegrenzt wachsendem n
nicht nach Null sttebt.
8) Vgl. die in Fuflnote e) erwiihnte Arbeit, Theoreme 2. 14; 2. 141 ; 2. 22 und 2. 221.
6 J .G . van der Corput.
Bis jetzt ist noch keine ])/Iethode abgeleitet worden, womit man die Summe S (x, z, a, b) numerisch bestimmen kann, wenn I b -- a ! so groB ist, dab die Berechnung aller Glieder praktisch unausfiihrbar ist. Ich werde zeigen, dab die Resultate dieser Mitteilung uns in den Stand setzen, diese Summe auch bei groBem t b - a I mit jeder beliebig vorgeschriebenen Ge- nauigkeit zu berechnen. Hierbei diiffen wit x ~ �89 voraussetzen; denn wenn x ganz ist, ist S die Summe einer geometrischen Reihe, und sonst ist, h ganz vorausgesetzt,
1 S ( x , z , a , b ) = S ( x - - 2 h , z ,a,b) falls 2 h < x s - - 1 ~ S ( 2 h - ~ l - - x , - - z w 2 , a,b ) falls 2h-q - -F<x<2h+l ,
= S ( x - - 2 h - - l , z + ,a ,b) falls 2h+l<x<~2h+- f f , - - 3 - - ~ S ( 2 h @ 2 - - x , - - z , a , b ) falls 2 h + - ~ < x < 2 h - ~ 2 .
•ach (2) ist
x a T z , x b ~ - ~ D ( x , z , a b). S (x , z ,a ,b )= ~/x e "-S x ' x '
Da man das Integral T(x, y) auswerten kann, kann man das SchluB- glied D so genau berechnen wie man will. Die Summe S besitzt hSchstens x (b -- a) -~ 1, d.h. hSchstens ~ ( b -- a) -7- 1 GIieder, also viel weniger als die erste Summe S. Jetzt wiederholt man denselben Ge4ankengang, abet
mitS ~, z' xa + z, xb + zj start S (x, z, a , b) usw.', nach n Schritten
b - a ode~ kleiner bekommt man eine Summe, deren Gliederanzahl ungef~hr 2"
ist. Ziemlich schnell erh~lt man also eine Summe, bei der die Berechnung der Glieder praktisch ausfiihrbar" ist, und dutch Addition bekommt man dann den Weft der Summe S(x, z, a, b). Bei dieser Methode mug man verschiedene Integrale ~ auswerten, die ich ~(x~, y~), ~(x~, y e ) , . . . nennen werde; hierin ist x~ == x. Die Berechnung dieser Integrale ist besonders einfach, wenn x eine quadratische Irrationalit~t ist, da die Zahlen x~, x~_, x:~, . . . dann eine rein oder gemischt periodische Folge bilden, so dab es dann nur eine besehr~nkte Anzahl yon Zahlen $ ~bt , flit die man die Funktion ~ (~ , y) bestimmen mug. Z" ]3. wenn k ganz ~_~ 1,
J~-5 x = ~ / k ~ : ~ 1 bzw. Yk'--:-1 (k =~ 1) ist, braucht man fiir die Berechnung
der Summe S(x, z, a , b) nut die Funktion ~ ( ~ / k ~ - 1 - - k, y) bzw.
~ ( k ~-~/k ~ - 1, y) zu kennen; die Summe, die man nach n Schritten
b - - a Glieder, so dab die Methode uns in diesem erh~ilt, besitzt ungef~ihr (2k)"
Fall sehr schnell zum Ziele fiihrt. 0
Summen, die mi~ z%Funktionen zusammenhgngen. II. 7
In der ersten Mitteilung, die der Leser nich~ zu kennen brauch~, um die zweite zu verstehen, wird zwar die Differenz D (x, z, a, b), aber nicht das Integral T(x, y) betrachtet; wie ich im letzten Paragraphen (w zeigen werde, sind die in den zwei Mitteilungen vorkommenden Funktionen 2' identisch, obgleieh ihre Definitionen verschieden sind.
w
Haupteigenschaft. Zuerst werden wir beweisen: F ( x , a, c) = 0, wenn die Zahlen 2a und
2c beide ganz, abet nicht beide ungerade sind.
1. Es sei 2a ungerade, 2c gerade. Naeh ( 6 ) u n d (4) mit ~ = 0 , 1 ist
2F(x, a, c)= .F(x, a, c+) + .F(x, a, c-)
~- exp~i (5 + 2a -- xae)" ~-t(x, -- 21{x )
2. Es sei 2agerade, 2cungerade. Nach (5) und (4) mit ~ = ~ 1 7 = 0 ist
2 F ( x , a, c) -~- F ( x , a+, c) -F 2'(x, a - , c)
= exp ~i (~-+-
Es sei 2a gerade, 2c gerade.
( ' Vx) ' 2 x ( a ~ . T x , 2
+ exp~ri ( 5 - [ - a 2 x(ae--1)) "k~
a - - x (a ~ 1 ) ) - { ~ ( x , 1 T/x) _ ~ ( x , --
~aoh (6), (5) u~a (4) mit ~ = -T -~,
+ ) } = o.
x(aO-
VE - - ~(x,--~ Hiermit ist die Behauptung bewiesen.
2 l / Y + a-L-} + ' 2v~
.
-- ~ ist 7 ~--~ -t- ~
F(~, a, ~)= ~(~,~+,~+) + F(~, ~-,~+) + F(~,~+, ~-) + ~(~, ~-, ~-)
8 J , G. van de r Corput ,
Beziehung (8) ist klar; d e ~ nach (3) ist
Weiterhin ist
1 e ~ y 2 e, ~ v 2 d v - - - - - e - ~ i y ~ i 2 "
e- ~f~Y ~u( x' Y -- =5 Y
mQo
O0
2 snh ~ ej
exp{--~zx u-i- e 3 ~2g t
1
nach
eiIleI1
ix~ du
,
2 z e 3
dem Cauchyschen Integralsatz,
Pol erster Ordnung mit
1 - u e3 yr-x y (u-i--~ ea) I du
2 snh ~z e a w
da der Integrand im Punkte w = 0
dem Residuum 1 hat. Hiexmit ist auch (9) bewiesen. 2:~e~
Wenn xa ~ z ~ c, xb ~ z ~ d gesetzt wird, kSnnen wir beim Bewe':s der Haupteigenschaft (7) ohne Beschr~inlrang der A1]gemeinheit voraus- setzen:
1. a ~ b; denn beide Seiten yon (7) ~indern nu~ ihr Vorzeichen, wenn a und b vertauscht werden.
2. Keine der ZaMen c und d ist ganz; denn wenn die I-Iaupteigenschaft unter dieser Voraussetztmg bewiesen is~, i s t sie auch allgemein wegen (6) und
1 (D (x, z + a, b) --[- D (x, z - , a, b)). D ( x , z , a , b ) = ~
3. Keine der Zahlen a und b ist ganz; denn wenn die Haupteigen- schaft bewiesen ist unter der Voraussetzang, da~ keine der Zahlen a, b, c, d ganz ist, gilt sie wegen (5) und
D ( x , z , a , b ) 1 (D(x , z , a+ b+ ( x , z , a - , -"-u , ) ~ D b+) + D ( x , z , a + , b - ) + D ( x , z , a - , b - ) )
Summen, die mit O-Funktionen zusa~nmenh/~ngen. II. 9
15)
stets, wenn keine der Zahlen c und d ganz ist, so da$ sie nach 2. allge- mein gilt.
4. x ist rational, z irrational; denn wenn c und d nicht ganz sind, sind beide Seiten yon (7) stetige Funktionen yon x und z.
getzt werden wir zeigen, da$ die I-IaupSeigenschaft alIgemein gilt, wenn sie bewiesen ist in den folgenden drei Spezialls
I. Keines der Intervalle a < u .< b und c < u <: d enth/ilt eine
ganze Zahl,
II . Es sei a ~ y - , b = y +, wobei y ganz, x y ~ z nicht ganz ist.
I I I . Es sei a ~ y - , b -~ y +, wobei y nicht ganz, xy + z ganz ist.
Es sei die Haupteigenschaft fiir diese drei Spezialf~lle bewiesen, und all- gemein zu beweisen. Es bezeichnen Yl, Y:, . - . , Y~ die wachsend geordneten Punkte im Ihtervali a -< u < b mit der Eigenschaft, dal~ wenigstens eine der zwei ZaMen y , und xy,~ ~- z ganz ist. Nut im Speziallfall I ist m ~ 0, so dal~ wit m ~> 1 voraussetzen diirfen. Nach dem Speziallfall I ist
[ D ( x , z , a , y l - ) = F ( x , y ~ - , x y ~ + z - ) - - F ( x , a , x a -~ z)
] D(x ,z ,y .~+,y .~+~-)= F(x ,y ,+~- ,xy~,+l + z - )
m
[ = ,xb + +
Wegen der Rationalit~t yon x und der I r ra t ional i~t yon z sind die Zahlen y~, und xy,, ~ z nicht beide ganz. Wit wenden Speziallfall I I bzw. I I I an, je nachdem y~ oder x y , "4-z ganz ist, und wit 'bekommen
dann das Resultat
(16) D ( x , z , y , - , y , + ) = F(x,y , ,+,xy,~ ~, z+) -- .F(x ,y~- ,xy~, + z - )
Dutch Addition der Beziehungen (15) und (16) erh~lt man rechts F ( x , b, xb-~ z ) - - F ( x , a , xa - l - z ) trod links D ( x , z, a, b) wegen
D (x, z, a, p) --~- D (x, z, p, b)----- D (x, z, a, b).
Es geniigt also den Beweis zu geben fiir die Spezialf~ille I, I I und I I I :
I. Keines der Intervalle a < u < b und c < u < d enth~lt eine ganze
Zahl. Es werde
1 1 1 5 = d - - [d] 1 a = a - - [ a ] - - ~ , f l . - ~ b - - [ b ] - - ~ , 7--=c--[c] 2' ---2
gesetzt. Wegen
ist
b -- fl = a -- r
x ( f l - - r x ( b - - a)-~--d-- c --- 5 - - 7
26 - -xb - -x f l - - - - -27 - -xa - -xa , fl~',/x
(1
10
also
J. G. van der Corput.
= exp z i ( 5 + ( a - - r + 1 - - x a - - x a ) ) . ~ ( x , a } / x - -
s o dab naoh (~) die Zahle. F(x, b, d) und F(x, a, c) gleir Haupteigenschaft gilt also wegen D (x, z, a, b ) ~ - 0 .
II. Es sei a = y - und b - - - y + , wobei y ganz und - - 1 gesetzt wird, ist nach (4) gaaz ist. Falls 7 = c -- [c]
F ( x , b , d ) - - 2 ' ( x , a , c )
= e x p ~ i ( 5 .--' ( a + 1 " ) ( 2 7 + i ) - - x ( a ~ - - l ) ) . ~ ( x , - - - ~ x - - I - - _ _
- - e x p z t i ( 4 - } - ( a - - 2 ) ( 2 7 + 1)--x(a'Z"-- �88 ~ ( x , 1-~l/x "
\4 + 2a (r + : 2 ) -
exp ~ri + 2a 7 + -ff
--- exp zti (2ac - xa ~)
= exp~ i ( xa2+ 2za )= D(x , z, a, b).
III. Es sei a = y - und b = y + , wobei y nicht ganz, 1 gesetzt wird, ist nach (4)" ist. Falls r ---- a -- [a] --
Fix, b, d ) - F(x , a, c)
- - e x p ~zi ( 5 + 2 ( a - r x(a~--au)) . ~ ( x , r 1 6 2
------ exp ~i (5 -- x (ae -- a:)) " { ~ (x, t~ ~/x-~- 2~/~ ) -}- ~ (x, tz ~/x
sin& Die
xy + z nicht
x(a ~-- 1)).~e=ir ~ (x , 1 ~ x r ) L 2
, -
=i (1 -- x) wegen (9),
x y + z ganz
da 2 ( a - ~) ungerade ist,
= e x p ~ r i 5 -- x (a~- - t~ .-~x e - ~ . ~
e 4 " (c-z )~ D ( x , z, a b) ~/-~"exp - - ~ x -~- ' "
Hiermit ist die Haupteigenschaft vollstiindig bewiesen.
wegen (8),
Summen, die mit O-Funktionen zusammenh~ingen. II. 11
w
Falls Funktionalgleichungen.
1 e~i(�88 y) (17) g(x, y)-~ ~(x, y ) - V-~ gesetzt wird, ist
= -- ~/xe "i(-�88 2: (x, y).
(19 also
Aus (17), (8) und (14) folgt
Z x ,y 2
1
so da$ aus (18) folgt
20) e'~i(u- ~1~) Z Y - - e~i(u+�89 (x, y + l l / x ) ~ 0 .
Wenn p und q ganze positive Zahlen bezeichnen, ergibt sich aus (19) und (20)
f (21 ) Z ~x, y
und
( Z t x , Y - -
d . h .
(22) Z (x, y
2p_+l~ (x 2p-t-1~ ~__ 2~/-~)+Z ' Y + 2~/u 0
~- '-~-~) (x~ _~_2q§ 2q-blvr-x)--~-e Z Y ] /x)=O, 2 2
2q+l] /x) = 0 2
Betraehten wir jetzt den Spezialfall
2p+1 also 2p+1 - - ( 2 q -~- 1)l /x ~-~- I/(2p -~- 1) (2q-~- 1). X 2a+1' qx
Wenn diese Quadratwurzel nicht gleich einer ganzen Zahl ist, dann folgt aus (21) und (22), dalli die zwei Zahlen
2v+, g ( x , y + 2 v'~ ]
gleich Null sin& Hiermit ist gezeigt, dal~ Z(x, y) den Wert Null hat, 2p+1 wenn x - - 2q+Y; und V ' ( 2 p - ~ l ) ( 2 q + l ) nicht ganz ist. Oa Z(x ,y )
eine stetige Funktion yon x bezeichnet, ist also 7~ (x, y) identisch gleich Null, womit die Funktionalgleichung der Funktion k~ bewiesen ist.
12 J.G. van der Corput.
Es ist leicht, jetzt die entspreehende Fnnlrtionalgleiehung fdr F ab- zuleiten. Dabei diiffen wir voraussetzen, da~ keine der Zahlen a undc ganz ist; denn wenn die Funlr~ionalgteichung der Funktion ~unter dieser Voraussetzung bewiesen ist, gilt sie wegen (5) und (6) allgemein. -Naeh (4) ist alarm
( 1 , c , a ) exp(-- z i) (5-~- (c 7) (2 ex-]- 1)
also, wegen ~(x, -- y ) = ~(x, y),
u
(23) ~ ( 1 ' a V x - - ~ ) = exp ~ri (4 - f - (c - 7)(2a + 1)-- % r ) . F (x, c,a)"
Aus (4), (10) mit y = a V x - - - - 7 und (23) folg~
1 e x p z i ( - ~ - - ~ / x ) . ~ ( ~ , c , a ) , F ( x , a, c) -.~ ---~
und hierin ist
1 - - c ~ - + (~ - ~)(2r + 1) + (~ - r ) ( 2 . + 1) + 2 . r
also
'~-- - - x a~ -- - c'--~- a ] -]- y
-~- 2 ( [ c ] 2 r - l ~ ( a - - [a])-~- 2 ( a - - [ a ] - - l ) ( c - - [c]
1 1 ~ -- x a ~ - - - c: + 2 a c -~- -if-- 2 [a] [c]
F(x, a, c )= _L exp ~i ( ~ Vu u ~ x a ~ - - ~ , r .
w
Absch~itzungen.
Damit die Quadratwurzel ~/] ~- 2e -e cos Q -~- e -~ (~o ~ O) klein sei, mul3
(24) sin e ~ cos e �9 e-e = 0
sein, und der Weft der Quadratwurzel ist dann 1/-2 ] sin e l- 3~ Gleiehung folgt sin e -~ cos e < 0, also e > T und
so dal] sin e und cos e verschiedenes Vorzeichen
mSglichst
Aus der letzten
sin ~o ~-" cos ~ > -- 1,
haben. Wean sin
Summen, die mit O-Funktionen zusammenh~ngen. IL 13
negativ, 1
- - s i n p >=~ V~, so dab die Quadratwurzel dann grSl]er als 1 ist.
sin 9 positiv ist, ~olgt wegen cos e : - - 1/1 -- sin ~ ~ aus (24)
2 sin e ~-- V 2 -- e -~e -- e -e .
Wegen ,o ~ - ~ - ist e-e < , also
10 2 sin e > V 1,99 -- 0,1 > H V-2,
so dal3 die Quadratwurzel, also auch
e-(1-i)e i 1 + I =-- V1 + 2 e - e c o s e + e -~e
,0 fiir jedes ~o ~ 0 grSBer als H i s t . Fiir jedes u ist dann
(20) 2tcsh~eau[ ----- ]l§
und hieraus iolgt, mit R~cksicht auf (3), wenn I y i < ~ ist,
1, f 1, (26) I ~ ( z , y ) I < n ~ w ( - ~ " ) ' d U = ~ o - - ~ �9
und
also cos ~ p o s i t i v i s t , ist wegen (24) -- sin ~) > cos p, also
Wenn
1 Betrachten wit jetzt den Fall, daI~ x ~ 1 ist und y eine Zahl ~ ~v2~---5=
1 < - - + Vx bezeichnet. Dann ist = 2~/u
: ' Y x < ~ / u 1 2 ( ; =< 2~; = y - = 2--~'
also naoh (26) l I
l ~ ( x ' Y - v ~ ) l < ,0~/--~ Nach (9) ist dann
= ' ~ ( x , y - - I/-x)[ + 1 < - - l ~ ( x , y ) [ <~ 11
+ I . IoVu Wegen kg(x, - - y ) = W(x, y) ist hiermit die Ungleichung
and x _ ( 1 . Die
x :> 1, folgt aus
11(1+[ - 1 )
bewiesen unter den Voraussetzungen t Yl ~ y +
Voraussetzung x ~ 1 ist dabei iiberschiissig; denn wenn der Funktionalgleiehung der Funktion k~
"1~ ~ i t . 1 I
Hiermit ist (12) bewiesen.
14 J . G . v~n der Corput~.
Aus Oo
~ ( ~ ' Y ) = ( - 2~e~v~)~f ex" ( - ~ - 2=e'Czy~) umdu ~ y ~ 2 esh ze~u
1 und (25) folgt, l yl =< 2-~ vorausg~t~t, O~
11 f o
t ~y~ i 16 " ( 2 z V x �9 e x p ( - n x -
= 1--6 m+l = 1 0 2 m ~ ~ ~ ' . 1 ( ~ ) "~ v ~ "
Keaat man die Werte der Funk~ion ~ ( x , y) fiir m verschiedene
Stellen Yl, Y~,- . . , Y~ im Intervall ( 2v/~'1 2 ~ ) ' und ermittelt man mit
Hilfe der Newtonschen oder der Lagrangeschen Interpolationsformel an- gen~ihert ihren Weft an irgendeiner Stelle y in diesem Intervalle, dann folgt bekanntlich aus (27), dab der Fehler kleiner ist aIs
~ - - 1
1 l l . 2 m z ~ F ( m + l ) 1 . l ( y - - y l ) ( y _ y ~ ) (Y-- Ym)' m ! " 1---0 - - ~ " i-- ~ , " ' " ,"
In der Einleitang ist ein Spezialfall erw~hnt, n~mlich m-= 2n; die Zahlen y~, y ~ , . . . , y , sind positiv und < 1 2vj~, and es is$ Yn+h = - Yh
(1 ~ h ~ n). Dann ist der Fehler also kleiner als
1 11 .2~ n _ ~ . ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 3 ) . . . 1 V - ~ . 1 I (2n)!" 1--6 2 n ~--~ (yO~ y~)(yO.__ y~ ) . . . (y~__
11 ~'~ 1 I = ~-~. ~-~- ~ l(y ~ - y~) (y~- v~) . . . ( y ~ - v~),.
DaB diese obere Schranke des Fehlers nur fiir das Intervall 1 1
2~/~ ~ y ~ 2~/--~ abgeleitet ist, schadet nicht, wie wir jetzt zeigen
werden. Das Hauptproblem ist, den Wert der Summe S ( x , z, a, b) zu und b =- ~ ganz voraussetzen. bestimmen, und dabei diirfen wir a - - ~ .~
Wenn x a -~- z = c, xb @ z = d gesetzt wird, braucht man, um D (x, z, a, b) zu kennen, nur die Funktionen $ ' (x , a, c) and $'(x, b, d) zu berechnen. Nach w 2 ist F ( x , a , c) bzw. $ '(x, b ,d ) gleich Null, wenn c bzw. d ganz ist (denn 2a and 2b si~d ungerade). Wir diirfen also annehmen, dab keine der Zahlen c und d ganz ist, und wean dann ~, c - [c] e,
gesetzt wird, braucht man flit die Berechnung yon
F ( x , a, c ) u n d $'(x, b, d ) n u r die Werte der IntegrMe ~ ( x , ~ - / and
Summen, die mit ~-Funktionen zusammenh~ingen. II. 15
w U b e r d i e I . M i t t e i l u n g .
Es bezeichnen x, a, c reelle Zahlen, x :> 0. In der 1. Mitteilung babe ich eine Funktion J ( x , a , c) eingefiihrt dureh die Definition
QO
f dw (28) J ( x , a , c ) = / x e
tel
mit ) l ~ - - - 1, 0 oder q-1, je nachdem c positiv, null oder negativ ist. AuBerdem babe ich dort gezeigt, dab der Grenzwert
Lira ~./ J ( x , a, c - - n )
existiert, und diesen Orenzwert habe ich mit F ( x , a , c) bezeichnet. Ich werde bier dieselbe Bezeichnung benutzen und beweisen, dab diese Funlction F ( x , a, c) identiseh ist mit der dureh (4), (5) mad (6) definierten Fanktion.
Were1 c o ganz ist, dann ist, wie aus der Definition folgt, F ( x , a, c) - - J ( x , a , c - - Co) eine stetige Funktion yon c i m Intervall Co _ 1_ < c < c o --~ 1. wegen
ist
(29)
1 ( J ( x , a , c - - c o -{-) + J ( x , a c - - c o - - ) ) J ( x , a , c - - Co) -~ ~
1 ( . F ( x , a , c . - ~ - ) - l - F ( x , a c - - ) ) . F ( x , a , c ) : - ~
Beim Beweis, dab die zwei Ftmktionen F identisch sind, kSnnen wit ohne Beschr~inkung der Allgemeinheit voraussetzen, dab cn icht ganz ist. Denn wenn die Behauptung unter dieser Voraussetzung bewiesen ist, folgt aus (6) und (29), dab sie aueh fiir jedes ganze c gilt.
Es werde also weiterhin c nicht-ganz vorausgesetzt. Mittels partieller Integration folgt aus (28)
~$ (za_c)2
J ( x , a , c) = e :~i(-~a2+ear _ __;~c . e :~ ~ f de =iw~ 2n~c 4~'2 ~/x w3 '
l r v~
und nach dem zweiten Mittelwertsatz, angewandt auf den reellen und auf den imagin~ren Tefl des letzten Integrals, ist das Schlu~glied hSchstens
1 .2~/2. x 4:r ~ ~cl 3 "
16 J.G. van der Corput.
Wenn 2V
e - - 2 ~ i # a Q(a , c ) : i i m 2 ~ i ( c - n )
2~" = ~ n = - - 2 V
gesetzt wird, ist die Differenz
F ( x , a, c) -- e =i(-xa'+~ac) Q (a, c)
gleich der Summe einer in a gleicbm~iBig konvergenten Reihe, deren Glieder stetige Funktionen von a sind. Diese Differenz ist also eine stetige Funktion yon a, so dab aus
folgt
(30)
1 Q (a, c ) = -ff(Q(a + , c ) + Q ( a - , c ) )
1 ( .F(x,a--~-,c)--~-.F(x a - - c)). .F(x, a, c)-~- ~ , ,
Beim Beweis, dab die zwei Funktionen identisch sind, kSnnen wir ohne "BeschrKnkung der Allgemeinheit voraussetzen, daft a nicht ganz ist. Denn wenn die Behauptung unter dieser Voraussetzung bewiesen ist, folgt aus (5) und (30), dab sie auch fiir jedes ganze a gilt. Es werde also weiterhin vorausgesetzt, daft keine der zwei Zahlen a und c ganz ist.
Wegen I e Z i ( u + i v ) ~ : e _ f t ~ u v
ist fiir jedes positive p
[el_ + p ( l + i )
y x Q:
e'~iw~dwi < e lel o
Der Cauchysche IntegraIsatz,
(u und v reell)
~/u d v =
auf das Dreieek [el I , + P' fc! ( 1 + i )
angewandt, Zeichen wird benutzt, je nachdem c positiv
1 exp ( _ ~ ) (xa _ c)u. J ( x , a , c) = ~ ~--~x
= +
gibt fiir p - * o~ (e h = e ~ , und das obere oder das untere
.(1 1 exp :uz
exp ~ i ( ~ --
oder negativ ist) o~
0
e 1 du
QO
xa~--~ - 2ac . exp(--~u~-{-2z~e, ~ u . du 0
xae--~ - 2ac) . f exp(--axu~ - 2 ~ e a c u ) , d u . 0
Summen, die mit ~-Funktionen zusammeahiingen. II, 17
(31)
ttieraus folgt
F(x,a,c)=expazi({--xa~).Lim] " fe-=~u~As-(u)du+ fe-=~u~Lzc(u)du } 2 ~ = oo ( d ~ d
0 0
mit
(32) uncl
(33)
einem
A v(u)-~ 2 exp2rt(c--n)( ia+eau ) -~<=n<c
(~=>o)
L ~ ( u ) = 2 e ~ p 2 ~ ( ~ - - ~ ) ( ~ + ~ ) ( ~ = < 0 ) .
Fiir positives u strebt A~(u) bei unbegrenzt zunehmenclem N naeh Grenzwerte
(34) A(u) = exp 2"~(c-[c])(ia+eau) exp 2x:,(ia+e~u) l _ e x p 2 g ( i a + e 3 u ) --~ - - e x p x ( i a + e 3 u ) _ e x p ( _ a , ) ( i a + e 3 u ),
gesetzt ist. w o r = c - [ c ] - ~ Fiir negatives u strebt Lzc(u) bei unbeg~enzt zunehmendem N nach
einem Grenzwerte
exp 2z (c - - [c+l] ) ( ia+ezu) exp 2:~7 (ia +eau) (35) L ( u ) = l _ e x p (_ 2~t)(ia +eau ) ---~- e x p g ( i a + e 3 u ) _ o x p ( _ g ) ( i a + e a u ) ,
so da$ wir fiir A (u) (u > 0) mad -- L (u) (u < 0) denselben Ausdruck finden.
1 gesetzt wird, ist 2 ( a - a) ungerade, also Wenn r
exp ~ i (~ - a) = -- exp = i (a -- ~), ~o d ~ ~ s (34) ,rod (3~) folgt
( u > 0 ) A(u ) ~ = e x p { ~ i ( a - - a ) + 2 ~ r ( i a + e a u ) } (36) (u<0) -L(u) ) oxp~(ia+e~u)+oxp(-=)(ia+eau)
( 2 c s h z ( i ~ + e ~ u )
Fiir positives u ist -- (-N'+I)
[ A ( u ) - - A s ( u ) = 2 e x p 2 = ( c - - n ) ( i a + e 3 u ) (37) { -=-~
exp 2z (e + _AT+ 1 ) ( ia + eau ) ( ~ 1 -- exp 2 ~ (ia + eau )
Da a nicht'ganz ist, versehwindet der Nenner flit keinen Weft yon u ~_ 0, so da~ es eine h5ehstens nur. yon a abhgngige positive Zahl z gibt, die kleiner als der Absolutwert des Nenners ist, und aus (37) ergibt sich dann
! A ( u ) - - A N ( u ) l ~ l e x p ( - - ~ / - 2 ~ ) ( c + N + l ) u (u > 0).
Mathematisehe Annalen. 90. 2
18 J.G. van der Corput. Summen, die mit O-Funktionen zusammenh~ngen. II.
Es werde jetzt N so groB gew~hlL dab c + 2r + 1 positiv is~. Oo O~
0 0 1
i f if_< 1 1 (-~)(c+ZC+l)f = Z + Z xv@r + - e x p " e-~'x"'du" 0 1 0
und da die Ietzten zwei Glieder mit tmbegrenz~ waehsendem N naeh Null streben, ist
(38) Lira f e-~':"A~v(u)du= f e - ~ ' a ( u ) d u . 3 7 = ~ 0 0
Auf dieselbe Art beweist man
Dann ist
zrxu ~ - ~/-2~( c+N+l)u) .du
(39)
(~0)
Weft des Ietzten Integrales sich nicht ~indert, wenn - - oc, r dureh -- co + e z a, cx~ + % a ersetzt wird, Integral den Weft
exp 7ei (xrz e -- 2a7) . I exp(-:rxv~- 2~e~xav+ 2~rre3v) dv 2 r z~ es v r
besitzt.
oO
Lira f e-~':~'~L~(u)du: f e-~x"~L(u)du. ~ V = ~ 0 0
Aus (31), (38), (39) und (36) ergibt sich
[ F(x,a,c) o f f
= exp ~ri - - x a ~ - ~ a - - a + 2 a 7 "3 -2--~h-~(i-~T-e-~ du. - - O 0
foIgt aus dem Cauchyschen Integralsatz, dab der Wegen l al < der Integrationsweg so dab das letzte
= e~p n i ( x ~ ~ - 2 ~ r ) . ~ ( x , ~ / x - - - -
Wegen (40) ist dann
.F(x ,a,c)=expni(5 +(a- -a) (2y+ 1)--x(a~--rx:)) " ~ ( x , a ~ / x - - ~ ) ,
so dab diese Funktion identisch ist mit der dutch (4) definierten Funktion.
F r e i b u r g (Schweiz), den 13. 3anuar 1923.
(Eingegangen am 14. 1. 1923.)
