Jacobson-Gymnasium Seesen
Facharbeit im Seminarfach
2. Schulhalbjahr 2008/09
Beugung an kleinenOffnungen
vorgelegt von:
Daniel Edler
Schuler der Jahrgangsstrufe 12am Jacobson Gymnasium Seesen
Thema der Facharbeit: Beugung an kleinen Offnungen
Seminarfachleiter: Herr Wacker
Kursthema: Anleitung zum wissenschaflichen Arbeiten (2)
Verfasser: Daniel Edler
Mentor: Herr Wacker
Ausgabetermin: 14. Januar 2009
Abgabetermin: 27. Februar 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Beugung an kleinen Offnungen 11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Koharenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Bedingungen an die Lichtquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Der Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5.1 Lage der Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Das optische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6.1 Lage der Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Der Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7.1 Lage der Maxima und Minima . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8 Intensitatsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8.1 Beispiel am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8.2 Berechnung beim optischen Gitter . . . . . . . . . . . . . . 111.8.3 Berechnung beim Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8.4 Realer Intensitatsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Schlusswort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Quellenverzeichnis 162.1 Bucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Internetadressen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Bildquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Versicherung 18
4 Anhang - Versuchsprotokoll I
-1-
1 Beugung an kleinen Offnungen
1.1 Einleitung
Nach der geometrischen Optik besteht Licht aus feinen Lichtbundeln, die gradli-
nig verlaufen. Aber es gibt Phanomene, in denen dieses Modell nicht angewendet
werden kann:5
Ein von einem Laser ausgesandter Lichtstrahl wird, wie im Kapitel 4 naher be-
schrieben, uber eine Blende auf einen Schirm projiziert. Nach der geometrischen
Optik erwartet man eine unbeeinflusste gradlinige Ausbreitung der Lichtstrahlen,
wonach das Bild einen Punkt ergibt. Dies ist auch auf dem Schirm zu sehen, so-
lange das Verhaltnis von der Blendenoffnung und der Wellenlange einen gewissen10
Wert hat. Verringert man jedoch die Blendenoffnung, so wird das Licht gebeugt
und es ist ein sogenanntes Interferenzmuster mit unterschiedlich hellen Streifen
zu erkennen.
Um so ein Muster zu erklaren, ist eine Erweiterung der geometrischen Optik er-
forderlich: die Wellenoptik entsteht. Diese sieht Licht als eine Welle an. Durch15
Anwendung eines Wellenmodells lassen sich auch Phanomene der Beugung er-
klaren, die bei dem oben beschriebenen Versuch auftreten.
1.2 Huygenssches Prinzip
Um das im einleitenden Text beschriebene Phanomen der Beugung zu verste-
hen, ist es von noten ein weiteres Modell, welches erklart, was mit dem Licht20
nach der Blende passiert, einzufuhren. Wie bei jeder Welle geht man hier vom
Huygensschen-Prinzip aus.
Es besagt, dass jeder Punkt auf einer Wellenfront wieder der Sender einer neuen
Elementarwelle sein kann1. Als Wellenfront bezeichnet man hierbei alle Punk-
te, die zur gleichen Zeit vom Sender der Wellen ausgesandt worden sind. Eine25
Wellenfront verlauft somit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, wobei bei Ele-
mentarwellen sich diese in konzentrischen Kreisen vom Sender entfernen. Die
1vgl. 〈1〉, S. 182
-2-
Frequenz wird dadurch nicht beeintrachtigt.
Abbildung 1: An je-dem gelben Punktentsteht eine Elemen-tarwelle
Treffen nun die parallelen Wellenfronten des Laserslichtes
auf die Blende, kann das Huygenssche Prinzip angewendet
werden. Durch die Entstehung von Elementarwellen errei-
chen die Lichtwellen Stellen, die durch die geometrische5
Optik nicht erklarbar sind, den sogenannten geometrischen
Schattenraum 2 (vgl. Ausbreitungsrichtung der Pfeile in
Abb.(1)). Wenn dies nicht durch ein Mediumswechsel, wie
bei der Brechung oder Reflexion, sondern an Kanten oder
Spalten geschieht, spricht man von Beugung (engl. dif-10
fraction).
Voraussetzung fur die Anwendung des Huygensschen Prin-
zips ist, dass ein Wellensystem vorliegend ist. Deshalb ist
es sowohl bei Lichtwellen als auch bei Wasserwellen anwendbar.
1.3 Interferenz15
φ = π/2
φ = π/4
Welle 1
Welle 2
Interferenz
φ=(3π)/8
Abbildung 2: Interferenz zweierWellen
Zur besseren Veranschaulichung wird der ein-
leitend beschriebene Versuchsaufbau auf das
Wassermodell ubertragen. Es ist zu beob-
achten, dass es einen Bereich gibt, in de-
nen die Wellenfronten, wie in Abb. (1) dar-20
gestellt, wieder nahezu parallel verlaufen. Die
an der Offnung entstandenen Elementarwellen
uberlagern sich gegenseitig – sie interferieren.
Im Folgenden habe eine Welle die Phase 0 <
ϕ < π (positive Auslenkung) und fallt auf ei-25
ne zweite Welle ebenfalls mit der Phase 0 <
ϕ < π. Um herauszufinden, in welcher Phase (also auch mit welcher Auslenkung)
sich die resultierende Welle zur selben Zeit befindet wird das Superpositionsprin-
2vgl. 〈a1〉
-3-
zip angewendet. Dies bedeutet eine additive Uberlagerung der Auslenkungen der
Wellenzuge3.
Es ist zu beachten, dass sich durch Superposition die resultierende Amplitude
verstarkt hat. Dies nennt man dann eine konstruktive Interferenz. Wenn zwei
Wellen in der gleichen Phase ϕ = 12π (Amplitude einer Welle) oder ϕ = 3
2π (Am-5
plitude mit negativen Vorzeichen) und derselben Amplitude interferieren nennt
man diesen speziellen Fall eine vollstandige konstruktive Interferenz. Die Ampli-
tude hat sich verdoppelt.
Analog dazu hat eine destruktive Interferenz eine abschwachende Wirkung. Auch
hier gibt es einen Spezialfall: die vollstandige destruktive Interferenz, bei der die10
Amplitude der resultierenden Welle vollstandig ausgeloscht wird. Dabei mussen
beide Wellen um die Halfte ihrer Wellenlange verschoben sein. Die Phasendiffe-
renz muss also ∆ϕ = π ergeben.
1.3.1 Koharenz
Verandert sich die Beziehung der Phasen zweier bzw. mehrerer Wellen in ei-15
nem bestimmten Zeitraum ∆t um nicht mehr als ϕ = 2π, so sind sie koharent4
(lat. cohaerere: zusammenhangen). Ist dieser Wert großer wird von Inkoharenz
gesprochen. Koharent sind z.B. Wellen, die die gleiche Wellenlange aufweisen.
Dabei wird zwischen einer raumlichen und zeitlichen Koharenz unterschieden.
Bei der zeitlichen Koharenz, betrachtet man den Zeitraum ∆t, indem die Wel-20
len ein feste Phasenbeziehung aufweisen. Diese maximale Zeit der zeitlichen
Koharenz nennt man Koharenzzeit ∆tc.
Analog dazu, betrachtet man bei der raumlichen Koharenz die Strecke ∆s. Die
wahrend der gesamten Koharenzzeit zuruckgelegten Strecke wird als Koharenz-
lange ∆sc bezeichnet.25
3vgl. 〈a2〉4vgl. 〈2〉, S.295f.
-4-
1.4 Bedingungen an die Lichtquelle
Voraussetzung fur Beugungsversuche ist das bereits erwahnte koharente Licht.
Die am besten dafur geeignete Lichtquelle ist ein Laser, weil dieser ausschließlich
Licht mit nur einer bestimmmten Wellenlange λ ausstrahlt. Hingegen strahlt ei-
ne”normale“ Lichtquelle ein ganzes Spektrum von Wellen mit unterschiedlichen5
Wellenlangen aus. Folge ist, dass inkoharente Wellenzuge interferieren und eine
sogenannte Schwebung erzeugen. Dabei andert sich im Laufe der Zeit periodisch
die Amplitude des resultierenden Wellenzuges. Das bedeutet, dass nichts uber
die Lichtintensitatsverteilung auf dem Schirm gesagt werden kann. Neben der
Wellenlange sollte auch die Amplitude jeder Welle gleich groß sein, um die Be-10
rechnung der Intensitatsverteilung in Kapitel 1.8 zu vereinfachen.
Ebenfalls sollte die Lichtquelle ein hohe Koharenzlange besitzen, da der Abstand
der Blende, aus Grunden, die im folgenden Kapitel naher erlautert werden, zur
Schirm moglichst groß sein sollte. Allenfalls kann sich das Interferenzmuster auf
dem Schirm verfalschen. Desweiteren sei gesagt, dass die Große der Spaltoffnung15
in Hinblick zur Wellenlange des Lichtes moglichst klein sein sollte, um das In-
terferenzmuster deutlicher erkennbar und leichter auswertbar zu machen. Nahere
grunde dafur finden sich im Kapitel 1.7 zum Einfachspalt.
1.5 Der Doppelspalt
Wie bereits geschrieben, entstehen an der Offnung des Einzelspaltes aus dem ein-20
leitenden Text unendlich viele Elementarwellen. Wie man gleich sehen wird, ist es
jedoch zunachst einfacher die Beugung an einem Doppelspalt zu verinnerlichen.
Thomas Young (*1773 †1829) fuhrte diesen Veruch 1802 erstmals durch5.
Dabei fallt auf eine Ebene mit zwei kleinen Offnungen A und B koharentes Licht.
Zur Berechnung des Interferenzmusters wird zunachst nur eine Elementarwelle25
pro Offnung berucksichtigt. Diese breiten sich in alle Richtungen aus, wodurch es
naheliegend ist, dass sich zwei Wellen im Punkt P auf dem Schirm treffen werden.
5vgl. 〈3〉, S.225
-5-
αα'
a
d
gM
P
C
M'
A
B δ
Abbildung 3: Wellen aus A und B tref-fen sich in P
Fallt P auf den Mittelpunkt M des
Schirm, so sind die Wegstrecken der
zwei Wellen gleich lang. M bildet gleich-
zeitig den Mittelpunkt des Interferenz-
musters, da fur alle anderen Falle sich5
nach Abb. (3) ein sogenannter Gang-
unterschied δ bildet. Fur diesen gilt:
δ = |AP −BP |. Der Winkel α im Drei-
eck ABC kann ausgedruckt werden in:
sin(α) =δ
g
Ebenfalls gilt fur das Dreieck M ′MP :10
tan(α′) =d
a
Allgemein muss fur den Versuch der Abstand a der Blende zum Schirm viel
großer, als der Abstand g zwischen den Offnungen sein. Es gilt also a � g,
wodurch der Winkel α′ sehr klein wird und beide Strahlen zu P nahrungsweise
parallel zueinander sind. Fur diesen Winkel gilt deshalb die Kleinwinkelnahrung:
sin(α) ≈ tan(α′)
δ
g≈ d
a
Nach der Nahrung lasst sich der Gangunterschied δ mit leichter ablesbaren Wer-15
ten beschreiben:
δ =d · ga
(1)
1.5.1 Lage der Maxima und Minima
Ist der Gangunterschied δ ein ganzes Vielfaches k der Wellenlange λ, d.h. δ = k·λ,
so fallen auf den Punkt PMax zwei gleichphasige Wellen. Somit findet dort eine
vollstandige konstruktive Interferenz statt und stellt ein Helligkeitsmaximum dar.20
-6-
Um den Abstand d von M zu PMax zu bestimmen, muss die Gleichung (1) nach d
umgestellt und δ = k ·λ eingesetzt werden. Somit ergibt sich fur das k-te Maxium
(auch Maximum der k-ten Ordnung genannt) mit k ∈ N0 und k < gλ, weil der
Gangunterschied niemals großer, als der Spaltabstand werden kann:
dk =kλ · ag
(2)
Es ergibt sich das Minimum PMin, wenn die zwei Wellen vollstandig destruktiv5
interferieren. Also gilt fur das k-te Minimum:
dk =λ(k + 1
2) · a
g(3)
Fur ein gut erkennbares Interfernzmuster ist es notig, dass der Abstand eines
Maxiumums bzw. Minimums dk zum Mittelpunkt moglichst groß ist. Aus der
Gleichung (2) und (3) ist abzulesen, dass ein großer Abstand von der Blende bis
zum Schirm a bei gleichzeitig geringen Abstand der Offnungen g den Wert dk10
vergroßern kann.
1.6 Das optische Gitter
δ
α
a
d
g
MM'
P
Δs
l
Abbildung 4: Wellen aus den sechsOffnungen treffen in P
Nun wird die Zahl der Offnungen auf
N erhoht und statt des Doppelspaltes
ein Mehrfachspalt, ein sogenanntes op-15
tisches Gitter, verwendet. Dabei ist der
Abstand von einer Offnung zur benach-
barten konstant. Dieser Wert heißt Git-
terkonstante g und ist definiert uber den
Quotienten aus der Lange l der Blende,20
und der Anzahl, der sich dort befinde-
nen Offnungen N . Folglich gilt fur Git-
terkonstante:
g =l
N(4)
Unter der Bedingung a � g verlaufen die Lichtstrahlen nahrungsweise parallel.
Dadurch ist der Gangunterschied ∆s von den Wellen aus einer Offnung zu den25
Wellen aus der benachbarten Offnung immer gleich groß.
-7-
1.6.1 Lage der Maxima und Minima
Aus der Gleichung dk = kλ·ag
erkennt man, dass die Lage der Hauptmaxima
unabhangig von der Anzahl der Spalte ist. Betrachtet man allerdings die Inten-
sitat des Maximums, fallt auf, dass diese beim Mehrfachspalt großer ist als beim
Doppelspalt. Zur genaueren Bestimmung der Intensitat ist zu wissen, dass die In-5
tensitat I uber das Quadrat der Amplitude A der Welle mal der Geschwindigkeit
des Lichtes c mal der elektrischen Feldkonstante ε0 definiert ist6: I = A2 · c · ε0.
Folglich ist die Intensitat proportional zum Quadrat der Amplitude: I ∼ A2. Bei
einem Mehrfachspalt von N Offnungen gilt also fur die Intensitat eines Haupt-
maximums:10
I ∼ (NA)2 = N2A2 ∼ N2 (5)
Das bedeutet, dass ein Gitter in den Hauptmaxima eine viel großere Intensitat
aufweist, als bei einem vergleichbaren Doppelspalt.
An der Stelle des Minmums des Doppelspaltes betragt die Phasendiffernz ∆ϕ =
π. Es loschen sich alle zwei benachbarten Wellenzuge durch vollstandige destruk-
tive Interferenz aus. Wenn allerdings eine ungrade Anzahl an Offnungen vor-15
liegt, bleibt das Licht einer Offnung als Resthelligkeit uber. Folglich ist an jener
Stelle auf dem Schirm kein Helligkeitsminimum zu sehen. Stattdessen bildet die
Resthelligkeit ein Nebenmaxima7. Bei einem Dreifachspalt ergeben sich zwei Mi-
nima jeweils zwischen dem Haupt- und Nebenmaxima.
Zur Bestimmung der Lage dieser Minima wird zunachst speziell auf einen Mehr-20
fachspalt mit N = 6 (wie in Abb. (4)) eingegangen. Fur die vollstandige de-
struktive Interferenz muss der Phasenunterschied von der Wellen aus der ersten
Offnung zur der vierten ∆ϕ = π betragen. Das bedeutet fur den Gangunter-
schied, der zwischen diesen beiden Offnungen drei mal so groß ist, wie zwischen
zwei benachbarten: 3 · ∆s = λ(k + 12). Gleiches gilt fur die zweite und funfte25
bzw. fur die dritte und sechste Offnung. Daraus folgt fur den Sechsfachspalt mit
k ∈ N0 und k < gλ:
6〈2〉, S.2987vgl. 〈a3〉
-8-
dk =λ(k + 1
6) · a
g
Allgemein ergibt sich daraus fur die Lage des 1. Minimums fur N Offnungen:
dk =λ(k + 1
N) · a
g(6)
Je mehr Offnungen das Gitter besitzt, desto zahlreicher sind die Minima. Genauer
gibt es bei N Spalte N − 1 Minima.
1.7 Der Einfachspalt
α
a
d
l M
I
II
δ
P
III
Abbildung 5: Zone I und II interferienvollstandig destruktiv
Bislang wurden bei den Modellen der5
Spaltversuche nur eine Elementarwelle
pro Offnung berucksichtigt. Nach dem
Huygenssches Prinzip enstehen aller-
dings an jeder Offnung unendlich viele
Elementarwellen.10
Im Folgenden wird der eingangs dar-
gestellte Versuch des Einfachspalts mit
der Spaltgroße l genauer betrachtet. Da-
zu gilt weiterhin die Bedingung: a� g,
damit alle Wellen, die auf den Punkt P auf dem Schirm auftreffen nahrungsweise15
parallel sind. Analog zum Doppelspalt ist der Gangunterschied beim Einfachspalt
definiert durch:
δ =d · la
1.7.1 Lage der Maxima und Minima
Ist der Gangunterschied gleich der Wellenlange λ so werden die Elementarwellen
im Modell in zwei Bundel zusammengefasst. Das Bundel I mit dem Gangunter-20
schied 0 ≤ δ < λ2
interferiert dabei vollstandig destruktiv mit dem Bundel II
mit dem Gangunterschied λ2≤ δ < λ. Treffen diese auf P ist ein Helligkeitsmi-
nimum zu sehen. Steigt der Gangunterschied auf δ = 32λ, so sendet das Bundel
-9-
III Resthelligkeit aus, die nur noch 13
der ursprunglichen gesammten Menge der
Elementarwellen betragt. Diese ist dafur zustandig, dass auf dem Schirm ein Ne-
benmaxium zu sehen ist. Steigt δ weiter an, ist bei δ = 2λ wieder ein neues
Miniumum zu sehen.
Bei den folgenden Nebenmaxima nimmt die Resthelligkeit immer weiter ab. Folge5
ist, dass die Intensitat der Nebenmaxima bei steigenden dk immer weiter fallt.
Allgemein ergibt sich fur die Minima mit k ∈ N und k < lλ:
dk =kλ · al
(7)
Dabei kann diesmal k = 0 nicht in der Definitionsmenge enthalten sein, weil sonst
der Gangunterschied ebenfalls null wird und P auf das Hauptmaximum fallt.
Die Nebenmaxima sollten sich theoretisch immer genau zwischen den Dunkelstel-10
len befinden. In der Realitat weicht dies jedoch geringfugig ab, wie spater in der
Intensitatsverteilung zu sehen ist, sodass sich das Maximum nur nahrungsweise
dort befindet. Der Gangunterschied muss demnach ungefahr die Halfte der Wel-
lenlange λ sein. Allgemein beudeutet das:
dk ≈ λ(k + 1
2) · a
l
Fur den Fall, dass die Spaltgroße l gleich der Wellenlange λ ist, heißt das fur das15
erste Minimum, dass es einen Gangunterschied der Wellenlange haben muss. Da
der Spalt bereits so groß, wie die Wellenlange ist, beudetet das fur den Winkel
α ≈ 90◦. Die Kleinwinkelnahrung ist nicht mehr anwendbar und die Lage des
Minimums betruge: dmin = tan(90◦) · a
Ist der Spalt aber sehr viel großer als die Wellenlange, liegen die Maxima zu dicht20
aneinander, sodass sie nicht mehr erkennbar sind.
1.8 Intensitatsverteilung
Zum besseren Verstandnis der Verteilung der Intensitat kann man das Modell des
Zeigerformalismus einfuhren. Dabei wird die Amplitude einer Welle als Zeiger
(auch als Phasor oder Amplitudenvektor bezeichnet) dargestellt. Je langer der25
Zeiger ist, desto großer ist die Amplitude (vgl. Abb. (2)). Zusatzlich wird die
-10-
momentane Phase der Welle verarbeitet, indem der Zeiger um den entsprechenden
Phasenwinkel auf einer Kreiseben rotiert8. Als Phasenwinkel wird lediglich die
Phasendifferenz zwischen Wellen bezeichnet.
Es ist zu beachten, dass bei einem Gangunterschied von δ = λ die Phasendifferenz
∆ϕ = 2π betragt. Dieser Zusammenhang lasst sich ausdrucken in:5
∆ϕ = 2π · δλ
(8)
1.8.1 Beispiel am Doppelspalt
Δφ=(5π)/6
A1
Ares
A2
Abbildung 6: Die resultie-rende Amplitude Ares beiδ = 5
12λ
Die einfachste Anwendung findet man wieder beim
Doppelspalt, da man das Modell auf zwei Wellenzuge
vereinfachen kann. Als Beispiel wird der Fall mit
dem Gangunterschied von δ = 512λ in Abb. (6) dar-10
gestellt. Es sind die beiden Zeiger der Amplituden
A1, A2 und die durch Interferenz resultierende Am-
plitude Ares zu sehen.
Dabei ist der Anfang des zweiten Phasors am Ende des ersten gelegt. Nach der
Gleichung (8) betragt dann der Phasenwinkel ∆ϕ = 56π, der ebenfalls der Winkel15
zwischen den beiden Zeigern ist. Nach der Hintereinanderlegung ergibt sich der
resultierende Phasor Ares. Nach dem Kosinussatz folgt fur Ares:
Ares =
√A1
2 + A22 − 2A1A2 · cos(π −∆ϕ) (9)
Bei Spaltversuchen wurde die Voraussetzung gesetzt, dass die Amplitude jeder
Elementarwelle gleich groß ist. Das bedeutet, dass A0 = A1 = A2 ist, wodurch
die Gleichung (9) vereinfacht werden kann zu:20
I = cε0Ares2 = 2cε0A0
2 − 2cε0A02 · cos(π −∆ϕ)
= 2cε0A02(1− cos(π −∆ϕ))
= 2cε0A02(1 + cos(∆ϕ)) (10)
8vgl. 〈a4〉
-11-
Es kann allerdings nicht die Phasendifferenz gemessen werden, sodass dieser Wert
mit dem Gangunterschied der benachbarten Offnungen ∆s ausgedruckt wird. Es
gilt:
∆ϕ = 2π · ∆s
λ(11)
∆s =d · ga
(12)
Gleichung (11) und (12) in (10) eingesetzt und die Intensitat in Abhangigkeit
zum Abstand zum Mittelpunkt d gestellt ergibt:5
I(d) = cε02A02
[1 + cos
(2πd · ga · λ
)]Dies erscheint auch mit den voherigen Uberlegungen plausibel, da fur d = 0 die
erwartete Intensitat I(0) = cε0 · 4A02 folgt (vgl. Gleichung (5)).
1.8.2 Berechnung beim optischen Gitter
Im folgenden soll die Anzahl der Spalte von zwei auf eine beliebig, endlich große
Zahl anwachesen. Folglich entsteht wieder das optische Gitter, welches eine Vor-10
stufe im Verstandnis zur Intensitatsverteilung des Einfachspaltes bildet.
Δφ
Δφ
Δφ
Δφ
Δφ
Δφ
Ares
r
B
U
VM
(NΔφ)/2
ΔφNΔφ
Δφ/2
A
Abbildung 7: Addition der Amplitu-denvektoren
Wie im voherigen Abschnitt (1.8.1) wird
dabei der Zeigerformalismus zu Hilfe ge-
nommen. Nur statt zwei werden N Ampli-
tudenvektoren unter Berucksichtigung ih-15
res Phasenwinkels in das Modell wie in
Abb.(7) eingetragen. Diese Vektoren wer-
den als Sehnen eines Kreises mit dem Ra-
dius r und dem Mittelpunkt M angesehen.
Der Mittelpunktswinkel jeder Sehne ist im-20
mer gleich dem Phasenwinkel ∆ϕ.
Daraus ergibt sich fur das Dreieck AMU :
sin
(N∆ϕ
2
)=
12Ares
r=Ares2r
(13)
-12-
Dadurch ware es ohne weiteres moglich die resultierende Amplitude Ares zu be-
rechnen, wenn der Radius r des gedachten Kreises im Modell bekannt ware.
Deshalb wird nach einem zweiten Dreieck gesucht, welches ebenfalls diesen Pa-
rameter enthalt, um schließlich r zu eleminieren. Fur das Dreieck BMV gilt:
sin
(∆ϕ
2
)=
12A0
r=A0
2r
→ r =A0
2 sin(
∆ϕ2
) (14)
Nach einsetzten von r aus Gleichung (14) in Gleichung (13) ergibt dann sich nach5
Ares aufgelost:
sin
(N∆ϕ
2
)=
Ares
2 A0
2 sin(∆ϕ2 )
=Ares · 2 sin
(∆ϕ2
)2 · A0
→ Ares = A0 ·sin(N∆ϕ
2
)sin(
∆ϕ2
)Das Quadrat aus Ares ergibt die gesuchte Intensitat I. Es wird die Phasendif-
ferenz ∆ϕ aus Gleichung (11) und der Gangunterschied ∆s aus Gleichung (12)
eingesetzt. Nach der in Abhangigkeit setzen der Strecke d ergibt sich dann fur
die Intensitat:10
I(d) = cε0Ares2 = I0 ·
sin2(Nπ·d·gλ·a
)sin2
(π·d·gλ·a
) (15)
I
d
Abbildung 8: rot: N = 2; blau: N = 4
Somit lasst sich der Graph fur die
Intensitat in Abhangigkeit der
Strecke d ermitteln. In Abb. (8)
ist dies in blau fur vier und in
rot fur zwei Spalte dargestellt. Es15
ist deutlich zu sehen, dass sowohl
die Intensitat in den Hauptmaxi-
ma zunimmt, also auch die Mini-
ma naher an das Hauptmaxima rucken. Dadurch grenzt sich das Maxima starker
ab und es ist auf dem Schirm deutlicher zu erkennen.20
-13-
1.8.3 Berechnung beim Einfachspalt
Fur die Berechnung der Intensitatsverteilung des Einfachspaltes muss man im
Prinzip nur die Menge der Offnungen N des optischen Gitters gegen unendlich
streben lassen. Allerdings ist die Gitterkonstante nicht mehr durch einen Wert
anzugeben, weshalb sie im folgenden durch ihre Definition aus Gleichung (4)5
ersetzt wird.
Weil die Intensitat I0 proportional zum Quadrat aus der Summe samtlicher Wel-
len, die aus einer Elementarwelle an der Offnung enstehen, ist, gilt: I0 ∼ A2 =
(N · A0)2. Da gesagt wurde, dass N gegen Unendlich strebt, kann hierbei nicht
die absolute Intensitat angegeben werden. Deswegen wird fur die relative Inten-10
sitatsverteilung I0 durch I0N2 ersetzt. Nach Integration dieser Erkenntnisse in die
Gleichung (15) ergibt sich:
I(d) =I0
N2·
sin2(Nπ·d· l
N
λ·a
)sin2
(π·d· l
N
λ·a
) =I0
N2·
sin2(π·d·lλ·a
)sin2
(1N· π·d·lλ·a
)Nachdem die Anzahl der Offnung gegen Unendlich strebt ergibt sich die Inten-
sitatsverteilung des Einfachspaltes:
I(d) =I0 · sin2
(π·d·lλ·a
)limN→∞
[N2
(sin
(1
N· π · d · lλ · a
))2] (16)
Fur kleine Winkel gilt nahrungsweise sinϕ = ϕ. Da 1N
= 0 fur N →∞ ist, folgt:15
limN→∞
sin1
N= lim
N→∞
1
N
Auf Gleichung (16) ubertragen folgt:
I(d) =I0 · sin2
(π·d·lλ·a
)limN→∞
[N2
(1
N· π · d · lλ · a
)2]
=I0 · sin2
(π·d·lλ·a
)(π·d·lλ·a
)2
Nach Integration der Gleichung ist festzustellen, dass im Hauptmaximum etwa
90% der Gesamtintensitat enthalten ist9.
9vgl. 〈2〉, S.316
-14-
1.8.4 Realer Intensitatsverlauf
Bislang wurde im Modell bei der Berechnung des Intensitatsverlaufs eines Mehr-
fachspaltes mit N > 1 angenommen, dass aus jeder Offnung nur eine Elementar-
welle fur das Interferenzmuster zustandig ist. Nachdem allerdings die Verteilung
des Einfachspaltes bekannt ist kann man den Mehrfachspalt um diese Erkenntnis5
erweitern.
Dazu wird zunachst der Einfachspalt und deren Intensitat in Richtung ϕ be-
trachtet. Dazu uberlagert sich dann die ergebene Intensitat eines Mehrfachspaltes
unter gleichen Bedingungen, wie die der Richtung und Große der Spaltoffnung.
Daraus ergibt sich fur die Intensitatsverteilung eines Mehrfachspaltes, wenn die10
Einfachspaltbeugung berucksichtigt wird:
I(d) = I0 ·sin2
(π·d·lλ·a
)(π·d·lλ·a
)2 ·sin2
(Nπ·d·gλ·a
)sin2
(π·d·gλ·a
) (17)
I
d
1
Abbildung 9: grun: N = 1; blau: N = 3; oran-ge: N = 3
Dabei konnen neue Minima ent-
stehen, wenn der Faktor des Ein-
fachspaltes null ergibt.
In Abb. (9) ist der relative Inten-15
sitatsverlauf eines Einfachspaltes
mit einer Spaltgroße von l =
0,41mm in grun skizziert. Außer-
dem ist in blau und orange der relative Intensitatsverlauf eines Dreifachspal-
tes mit einem Spaltabstand von g = 0, 6mm einmal ohne und einmal mit20
Berucksichtigung der Einfachspaltbeugung dargestellt. Dabei ubersteigt die rela-
tive Intensitat des Mehrfachspaltes nie die des Einfachspaltes.
1.9 Schlusswort
Alle vorangegangenen Uberlegungen und Berechnungen basieren auf der Grund-
lage der Welleneigenschaft des Lichtes. Ob Licht wirklich eine Welle oder doch ein25
Teilchen ist, diskutierten 1689 Isaac Newton (*1642 †1727) und Chritian Huygens
(*1629 †1695).
-15-
Nach der Erklarung der Interferenzerscheinungen in den Spaltversuchen, die sich
offensichtlich nur erklaren lassen, wenn man Licht als Welle ansieht, scheint es
hinfallig sich Licht als Teilchen vorzustellen, da es schwer vorstellbar erscheint,
dass bei Teilchen ebenfalls Beugungserscheinungen eintreten konnen. Das Licht
jedoch auch einen Teilchencharakter besitzt, zeigt folgender Versuch: Bei einem5
Doppelspaltversuch wird statt eines Schirmes eine Fotoplatte verwendet und un-
ter geringer Lichtintensitat in einem Raum ohne weitere Lichtquelle durchgefuhrt.
Nach der Entwicklung, sind auf dieser viele kleine, stochastisch verteilte Punkte
zu sehen. Jeder Punkt ist ein Hinweis darauf, dass ein Lichtteilchen (auch Licht-
portion/Photon genannt) an der Stelle auf die Fotoplatte getroffen ist.10
Nach einer ausreichend langen Belichtung ist eine ahnliche Interferenzstruktur
der Punkte, wie bei der Intensitatsverteilung der vorangegangenen Spaltversu-
che, zu sehen. D.h., dass die Fotoplatte aufgrund der Photonen an Stellen sich
verfarbt hat, an der man nach der Vorstellung eines Teilchens es nie erwartet
hatte.15
Dieses Phanomen lasst sich durch spatere Erkenntnisse aus der Quantenphysik
erklaren (Welle – Teilchen – Dualismus).
-16-
2 Quellenverzeichnis
2.1 Bucher
〈1〉 Bader, Franz (Hrsg.); Dorn, Friedrich: Physik 12/13 – Gymnasium Sek II.
Schroedel Verlag im Bildungshaus Schroedel Diesterweg Bildungsmedien
GmbH & CoKG, Hannover 2000.5
〈2〉 Demtroder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 – Elektrizitat und Optik. 3.Auf-
lage. Springer-Verlag, Berlin 2004
〈3〉 Bader, Franz (Hrsg.); Dorn, Friedrich (Hrsg.): Physik – Oberstufe Gesamt-
band 12/13. Schroedel Schulbuchverlag GmbH, Hannover 1986.
〈4〉 Jung, Walter (Hrsg.): Fischer Kolleg Abiturwissen – Physik. Aktualisierte10
und uberarbeitete Neuausgabe. S. Fischer GmbH Frankfurt am Main, 2002
〈5〉 Meyer, Lothar (Hrsg.); Schmidt, Gerd-Dietrich (Hrsg.): Basiswissen Schu-
le – Physik Abitur. PAETEC Gesellschaft fur Bildung und Technik mgH,
Berlin und Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim
200315
2.2 Internetadressen
〈a〉 http://www.chemgapedia.de
〈a1〉 /vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/huygens.vlu/
Page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/huygens2.vscml.html
〈a2〉 /vsengine/popup/vsc/de/glossar/s/su/superposition.glos.html20
〈a3〉 /vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/
interferenz a.vlu/Page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellenoptik/
mehrfachspalt.vscml.html
〈a4〉 /vsengine/popup/vsc/de/glossar/z/ze/zeigerformalismus.glos.html
〈b〉 http://de.wikipedia.org25
-17-
〈b1〉 /wiki/Koharenz (Physik)
〈b2〉 /wiki/Interferenz (Physik)
2.3 Bildquellen
• Abb. 1: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Refraction on an
aperture - Huygens-Fresnel principle.svg;5
erstellt von: Arne Nordmann
• Abb. 2, 3, 4, 5, 8 und 9: selbst erstellet mit Geogebra 3 und Inkscape 0.46
• Abb. 6, 7 und 10: selbst erstellt mit Inkscape 0.46
• Abb. 11(a) und 11(b): selbst fotografiert und bearbeitet mit Paint.NET
3.3610
• Abb. 12: selbst erstellt mit OpenOffice.org 3.0.1
Diese Facharbeit wurde gesetzt mit LATEX2ε am 26. Februar 2009.
-18-
3 Versicherung
Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbststandig angefertigt habe, keine
anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit,
die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen
wurden, mit genauer Quellenangabe kenntlich gemacht habe. Verwendete Infor-5
mationen aus dem Internet liegen vollstandig (CD im Anhang) vor.
Hiermit erklare ich, dass ich einverstanden bin, wenn die von mir verfasste Fach-
arbeit der schulinternen Offentlichkeit zuganglich gemacht wird.
Ort und Datum Unterschrift
-I-
4 Anhang - Versuchsprotokoll
Materialliste
• Helium-Neon-Laser
• Blenden
1. individuell verstellbare Spaltgroße5
2. Dia, mit verschiendenen Spalten:
(a) l = 0, 1mm; N = 1
(b) l = 0, 1mm; N = 3; g = 0, 3mm
(c) l = 0, 2mm; N = 3; g = 0, 3mm
(d) l = 0, 2mm; N = 110
• Projektionsschirm
• Halterungen
Aufbau und Durchfuhrung
Laser
Schirm
Blende
0,01m 1,42m
Abbildung 10: Versuchsaufbau
Der Laser wird so ausgerichtet, dass das Laserlicht senkrecht durch die Blen-
de und auf den Schirm fallt. Dabei wird erst die Große der Spaltoffnung und15
spater zusatzlich der Abstand zweier Spalte variiert und das Verhalten, des auf
den Schirm geworfenen Bildes, beobachtet. Desweiteren wird der Abstand eines
Helligkeitsmaximus zum Mittelpunkt gemessen. Der Mittelpunkt bezeichnet den
Punkt, der auf einer Linie mit dem Laser und Blende steht.
-II-
Auswertung
Die folgenden Fotos zeigen die Ergebnisse, die auf dem Schirm zu sehen waren:
(a) Spaltgroße des Einfachspalts verkleinert
sich
(b) verschiedene Doppel- und Einfachspalte
Abbildung 11: Bilder der Spaltversuche
Abb. (11(a)) zeigt den Versuch, bei dem nach und nach die Spaltgroße verkleinert
wurde. Am Anfang ist nur ein heller Punkt vom Laser zu erkennen. Je kleiner
die Blende gestellt wurde, desto eher konnte man rechts und links vom schwacher5
werdenen Punkt Licht auf dem Schirm erkennen. Kurz bevor der Spalt geschlossen
ist, kann man deutlich Helligkeitsstreifen feststellen. Ein heller wechselt sich mit
einem dunklen Streifen ab.
In Abb. (11(b)) sieht man das Interfernzmuster eines Spaltes mit l = 0, 1mm
bzw. l = 0, 2mm. Zusatzlich ist jeweils unterhalb dessen das Muster eines Dop-10
pelspaltes mit dem Spaltabstand g = 0, 3mm abgebildet. Jedoch war es mir nicht
moglich, den Abstand eines Helligkeitsmaximum zum nachsten zu ermitteln. Dies
lag am zu geringen Abstand. Eine alternative Messung, die ich ausprobierte, war,
die Nebenmaxima zu ignorieren und lediglich den Abstand eines Hauptmaximas
zum nachsten zu bestimmen. Dabei ließ sich besonders beim Doppelspalt mit ei-15
ner Spaltgroße von jeweils 0,2mm sehr schlecht ein Neben- vom Hauptmaximum
unterscheiden.
Fur den Einfachspaltversuch mit den Spaltbreiten von l = 0, 1mm und l =
0, 2mm ergab sich folgendes:
-III-
l = 0, 1mm l = 0, 2mmAnzahl Abstand [mm] Anzahl Abstand [mm]
1 9 1 62 9 2 4,53 9 3 44 9,5 4 55 8 5 46 8,8 6 4,57 9 7 4,9
Mittelwert 8,9 Mittelwert 4,7
Nachdem die Werte in ein Ordnungszahl-der-Maxima – Abstand-zum-benachbarten-
Maximum Diagramm aufgetragen wurden ergibt sich:
1 2 3 4 5 6 70
2
4
6
8
10
Einfachspaltversuch
l=0,1mml=0,2mm
Maximum k-ter Ordnung
Abs
tand
zum
näc
hste
n in
mm
Abbildung 12: In ein Diagramm aufgetragene Versuchsergebnisse
Anhand der Tabelle und des Graphens lasst sich erkennen, dass der Abstand der
Helligkeitsstreifen zum benachbarten mehr oder wenig konstant ist und dadurch5
dieser unabhangig voneinander ist. Aus der Gleichung (7) nach λ umgestellt und
in Abhangigkeit von d gesetzt ergibt sich fur k = 1:
λ(d) =d · la
Fur d = 8, 9mm bzw. d = 4, 7mm ergibt sich fur die Wellenlange des Lasers:
λ(8, 9mm) ≈ 0, 627µm = 627nm
λ(4, 7mm) ≈ 0, 662µm = 662nm10
-IV-
Ergebnisbetrachtung
Der Beschreibung des Lasers nach betragt die ausgesandte Wellenlange λ =
632, 8nm. Die Abweichung zum gemessenen Wert betragt bei l = 0, 1mm le-
diglich 5, 8nm und beim großeren Spalt 29, 2nm.
Die mogliche Ursache der Abweichung konnte die Spaltgroße sein. Schon ein5
Spalt, der 0, 046mm großer ist ergabe die tatsachliche Wellenlange des Lasers.
Desweiteren ist der abgelesene Abstand auf dem Schirm recht gering, wodurch
Messungenauigkeiten enstehen konnen. Um diese Werte zu vergroßern und damit
die Fehlerquelle zu vermindern musste man den Abstand von der Blende zum
Schirm weiter vergroßern. Gleichzeitig muss man darauf achten, dass der Abstand10
nicht die Koharenzlange ∆sc uberschreitet.