81

Bruno D'Amore/Patricia Sandri

SchUiersprache beim Losen mathematischer Probleme

Der folgende Beitrag fafit Beobachtungtsergebnisse aus mehreren Untersuchungen zum Losen mathematischer Probleme durch Schuler (verschiedener Schulstufen) unter ei­nem gemeinsamen Gesichtspunkt zusammen. Sie betreffen eine bestimmte Sprache, derer sich Schuler in ihren Losungsprotokollen zumeist bedienen und die wir allgemein mit dem Begriff 'mathematischer Jargon' kennzeichnen. Dieser Begriff soIl nachfol­gend zuerst kurz in aktuellen Forschungsrichtungen verankert, dann abgegrenzt und anhand von Beispielen aus den erwahnten Forschungsprojekten entfaltet und diskutiert werden.

1. Die erste Forschungsrichtung, die erwahnt werden soIl, macht unter dem Stichwort 'contrat didactique' eine Reihe von Schiilerantworten, -fehlem und -einstellungen er­klarbar, die anders nicht erklart werden konnten. Namentlich beziehe ich mich hier auf wohlbekannte Arbeiten von G. BROUSSAU zum sog contrat didactique (siehe z. B. [1]). Ais Element dieses 'didaktischen Vertrags' konnten wir in unseren Untersuchungen die Existenz eines "allgemeinen Musters" der Aufgabenerklarung nachweisen. Es aufiert sich in Form von Erwartungen, die die SchUler haben, wenn ihnen der Lehrer (oder der Forscher) einen Aufgabentext vorlegt. Dieses allgemeine Muster leitet sich vom Habitus ab, der sich bei der wiederholten Bearbeitung ahnlicher Texte herausgebildet hat. Die Erwartungen stellen einen wichtigen Bestandteil des contrat didactique dar. Ihnen zu­folge hat das mathematische Problem in knapper, streng logischer Sprache mit minima­len Bedeutungsgehalt dargestellt zu sein. Dariiber hinaus mufi sich die Losung auf moglichst direktem Wege erreichen lassen, wobei aIle gegebenen numerischen Daten und nur diese durch eine oder mehrere Operationcn miteinander zu verknupfen sind. Der Nachweis fur die Existenz eines solches aligemeinen Musters wurde vor aliem in [5] gefuhrt. Die zweite Forschungsrichtung, auf die ich mich beziehe, betrifft Studien zum Problem der Sprachc im Mathematikunterricht. Namentlich erwahne ich die Arbeiten von H. MAIER, z.B. [10] und [11], sowie einige Arbeiten von C. LABORDE, vor all em die Arbei­ten [8] und [9]. In unserem Artikel [4] konnten wir zeigen, wie im Rahmen einer De­kontextualisierung· der tiblichen Schtiler-Lehrer-Beziehung in der Klasse SchUler er­mutigt werden konnen, bcim Reden tiber mathematische Sachverhalte ihre nattirliche Sprache zu gebrauchen. Auf der anderen Seite zeigte sich die Neigung von Schtilem -verursacht durch ein anderes Element des contrat didactique -, eine besondere Sprache zu verwenden, die wir in [5] erstmals "mathematischen Jargon" genannt haben.

2. Urn den Begriff des mathematischen Jargons genauer zu charakterisieren, mochte ich mit einem Beispiel beginnen, das 'der Beweis von Belluno' heiBen soIl. Am 30. Nov. 1991 stellte ein Lehrer der 3. Klasse eines Lehrerbiidungskollegs in Beluno (16-17 Jahre alte Studenten) im Rahmen eines schriftlichen Priifung die folgende Aufgabe: Gegeben seien ein Kreis, eine Sehne Be und zwei Punkte A und E die zum gleichen

(JMD 17 (96) 2, S, 81-97)

82 B. D'Amore/P. Sandri

Bogen BC gehOren. Beweise, dan die zwei Peripheriewinkel BEC und BAC zueinander kongruent sind.

Zwei Stunden spater tibergab ein Student seine Arbeit, die ich in folgender Weise zu­sammenfasse (siehe folgende Zeichnung des Studenten): Die Strecken EC und AB schneiden sich im Punkt D. Die 'Scheitelwinkel' BDE und ADC sind kongruent. Be­trachten wir das Dreieck BCD und bilden wir tiber seinen Seiten drei Quadrate, und zwar das Quadrat Ql tiber der Seite BD, das Quadrat Q2 tiber der Seite CD und Q3 tiber der Seite Be. Wortlich heil3t es dann in der Arbeit (bei wortlichen SchOlerproto­kollen istjeweils auch das italienische Originaltext wiedergegeben):

G

F v

Aufgrund des Lehrsatzes von Pythagoras kann ich feststelIen, daB Ql ist:; zu Q2 und Q2 :; Q3, folg­lich auch Q3 :; Q I. Nachdem bewiesen ist, daB die Quadrate untereinander kongruent sind, kann ich sagen, daB die Grundlinie DB des Dreiecks DEB ahnlich ist zur Grundseite BC des Dreiecks EBC, und folglich ( ... ) immer nach dem Lehrsatz von Pythagoras, daB BEPG und ATSC zwei kongruen­te Vierecke sind" ... "Daher sind EB und AC ahn­lich" ...

s

N

"Per il teorema di Pitagora posso dire che Q 1 e :; a Q2 e Q2:; Q3 come Q3 :; Q1. Avendo dimostrato che i qudrati sono congruenti tra loro posso dire che: la base DB del triangolo DEB e simile alIa base BC del triangolo EBC e quindi ( ... ) sempre per il teorema di Pitagora BEPG e A TSC sono due quadrilateri congruenti" ... "quindi EB e AC sono simili"

SchOlersprache 83

Der Student kommt mit einem immer strenger werdenden Formalismus und einer sehr gewahlten mathematischen Terminologie, in der verschiedene Winkel an unbekannten Parallelen sowie rechte Winkel vorkommen - die bei B und E sind die herausragendsten unter ihnen - zu einer Schlufifolgerung, wobei er sich plotzlich erinnert, tiber die Win­kel mit den Scheiteln E und A sprechen zu mtissen. Ohne jeden Zusammenhang erklart er dann plOtzlich, daB der in der Aufgabe formulierte Satz wahr sei. Analysieren wir diesen Beweis - nicht zu dem Zweck, den Studenten anzuklagen und sich mit dem Lehrer zu solidarisieren. Untersuchen wir vielmehr die Bemtihungen, die er im Sinne einer erfolgreichen Aufgabenlosung unternommen hat. Es gibt zwei Ele­mente, die in die Augen springen: - Die verwendete Sprache in ihrem semantischen und syntaktischen Charakter: der

Gebrauch von Bezeichnungen, von bekannten Lehrsatzen und eines spezifischen Symbolismus. Sie bedient sich wohlvertrauter Bezeichnungen aus der mathemati­schen Fachterminologie, die aber aus logischer Sicht vOllig beziehungslos nebenein­anderstehen oder in nur lokal korrekten, logisch unverbundenen Satzen enthalten sind.

- Die angenommene Haltung bzw. das eingenommene Verhalten, das offensichtlich unkritisch ist und vielleicht eine yom Lehrer unbewufit, implizit tibermittelte Bot­schaft befolgt. Jedenfalls bemtihte sich der Student, so zu argumentieren, als ob es sich urn einen Beweis handeln wtirde; er nahm sich dabei offenbar den Lehrer als Vorbild und versuchte, sich seinem Reden und Verhalten anzupassen, ohne dazu wirklich fahig zu sein.

Vor einiger Zeit nannten wir, zunachst eher scherzweise, dieses Paar (S; E) von Spra­che und Einstellung "mathematischen Jargon" (siehe [5] und [6]). Mit diesem Aus­druck soIl also ein die Sprache von Losungsprotokollen einerseits und handlungsleiten­de Einstellungen andererseits betreffender Wirkzusammenhang bezeichnet werden, der das Verhalten von Schtilern vor allem in Situationen kennzeichnet, die fur sie unange­nehm sind. Welche Mathematik unser Student auch gelernt haben mag - und wir konnen nicht wissen, urn welche Art von Mathematik es sich dabei handelt und wieviel er davon tatsachlich weiB - konfrontiert mit dem Impuls, den die ihm gegebene Aufgabe fur ihn darstellt, tibermittelt er uns dicses aufiere Modell von seinem Wissen und Verstehen. An der Realisierung dieses Modells mtissen wohl verschiedenste Fahigkeiten beteiligt sein, ohne daB wir diese im einzelnen kennen wtirden. Was wir kennen und analysieren konnen, ist nur der gcschriebene Text. Ihn mtissen wir zu Ie sen lemen, und zwar so, daB wir ihn - tiber bloBe PIiifung als unbeteiligte Beobachter hinaus - verstehen. Der Student hat sozusagen ein Indiz fur mathematischen Jargon geliefert. 1m Grunde geschieht hier dasselbe, als wenn jemand vorgabe, eine fremde Sprache sprechen zu konnen, obgleich er nur wenige Worter kennt (und auch diese nicht in ihrer vollen Bedeutung), und zum Beweis die Aussprache sowie typische Verhaltens­muster von nativc speakers nachahmen wtirde. Das Ergebnis ware Nonsens, der vage an eine bestimmte Art des Sprechcns erinnerte. Wahrend aber ein solcher Sprecher diesen Trick benutzt, obwohl er genau weiB, was er eigentlich tut, dtirfte sich unser Student dessen weit weniger bewuBt sein. Er spricht und schreibt im mathematischen Jargon, d. h. er zitiert den Lchrsatz des Pythagoras, er venvendet die Bezeichnungen

84 B. D'Amore/P. Sandri

"Wechselwinkel" und "ahnlich", allerdings vollkommen bedeutungsleer. Er verwendet Symbole wie =; aber wer weifi, welche Bedeutung er ihnen zuschreibt. Er sieht die Figuren an und stellt wider jegliche Vernunft fest, daB zwei sehr verschiedene Quadrate kongruent sind. (Dies ware nun ein Fall, wo mit Bezug auf die Figur ein gutes 'Sei vorsichtig!' nach Art der Inder oder Araber hilfreieh sein konnte.) Man kann sagen, die 'Ingredienzien' der Terminologie sind zwar vorhanden und ebenso das Verhalten. Was fehlt, ist der Sinn. Wahrend also die Komponente S des flir den mathematischen Jargon charakteristischen Paars gelernt und die Komponente E durch Nachahmung realisiert sein mag, erkennen wir, daB es beim Ubergang vom mathematischen Jargon zur Ma­thematik einer weiteren Komponente bedarf, die hier unterwegs verlorengegangen zu sein scheint. Denkt man an den Studenten selbst, so mochte man, tiber alle wahrnehmbaren Aufie­rungen hinaus, noch dariiber nachdenken, wie verwirrt er wohl war und wie er gelitten haben mag: Der Lehrer sprieht im Unterricht eine Sprache, die er nur teilweise ver­steht. Es mag schon eine Zeit her sein, daB er den Kontakt zu ihr verloren hat. Er mufi sieh fuhlen wie ein Fremder in einer Klasse, der die dort gesprochene Sprache nieht kennt.

3. Der mathematische Jargon scheint im unterriehtlichen Kontext von den Schtilern hau­fig, ja beinahe durchgangig gebraucht zu werden. Wie laBt sich das erklaren? Nehmen wir an, der Lehrer eines Schtilers (von beliebiger Schulstufe), den wir Pieri no nennen, habe im Unterricht etwa ein Thema in ausreichender Weise behandelt. Sein methodisches Vorgehen sei effektiv, wohltiberlegt,. sorgf:Utig ausgewahlt gewesen, und Pieri no - er und nieht die ganze Klasse - habe erfolgreieh aile Begriffe gelernt. (Wir gehen davon aus, daB es keinen 'durchschnittlichen Schuler', sondern nur verschiede­nen Individuen gibt.) M. a. W.: Es wird angenommen, daB fur den Schuler Pierino der Lernprozefi gut verlaufen ist. Darf man damit alle didaktischen Probleme als gelost betrachten? 1m traditionellen Schulunterrieht taucht genau an dieser Stelle ein Problem auf, das nieht nur unseren Pierino beunruhigen dtirfte. Er wird in irgendeiner Weise angemes­sene Rechenschaft dariiber geben mtissen, was er gelernt hat. In dieser Situation ist eine ganze Reihe von Faktoren zu beachten, von denen einige offen zutage liegen, andere eher im Verborgenen bzw. implizit bestehen: - Pierino wird eine Reihe von Bezeichnungen gebrauchen mtissen, die der Lehrer als

zulassig oder unzulassig beurteilt. - Er wird eine dem Fach angemessene Syntax verwenden mtissen, und der Lehrer

wird der einzige Beurteiler ihrer Riehtigkeit sein. - Er wird eine Menge von Normen zu befolgen haben, tiber die im contrat didactique

mehr oder weniger explizit Konsens besteht. - Man wird erwarten, daB er prazise, dem jeweiligen Gegenstand entsprechende Be­

griffsbedeutungen heranzieht: Man wird ihm dabei nur wenige oder keine Abwei­chungen gestatten (wie sie in anderen Wissensbereichen nieht nur erlaubt sind, son­dern positiv aufgenommen, ja sogar angeregt werden).

Zu weit verbreitet ist die Meinung - sie ist oft auch unter Lehrern anzutreffen -, daB das Spreehen tiber Mathematik eine besondere Sprache erfordere, wie sie sich auch haufig

Schulersprache 85

in Unterriehtswerken zeigt bzw. dort bestatigt wird (siehe auch [10)). Nun hat in der Tat die Mathematik eine besondere Fachsprache entwickelt, die in Teilen nach und nach auch von den Schiilern erlernt werden muB. Aber diese Sprache ist nur ein mogli­ches Mittel zur Darstellung mathematischer Sachverhalte, und ihre Verwendung ist weder in allen Elementen zwingend noch darf sie sich vom Inhaltlichen losen und in formaler Weise zum eigentlichen Lerngegenstand verselbstandigen, iiber dessen An­eignung die SchUler in erster Linie Rechenschaft zu geben hatten. Es handelt sich hier zunachst urn ein sprachliches Problem, das sich aber rasch in ein durchaus wichtiges, wenn nicht gar grundlegendes didaktisches Problem verwandeln kann. Eine Regel, iiber die im contrat didactique explizit Ubereinstimmung besteht, ist die Feststellung, dafi das Vortragen eines Gediehts eine wohl ausgewogene, an die Bedeutung gekniipfte und sehr ausdrucksvolle Intonation verlangt. Wenn jedoch Ma­thematik 'rezitiert' wird, kommt es recht oft vor, dafi ein Schiiler nur mittels Imitation sprachliche Formen hervorzubringen lernt, die der Lehrer - der einzige 'Richter' - dann als linguistisch sinnvoll, korrekt und angemessen ansehen mag. Dariiber hinaus kommt noch eine Reihe moglicher Nebenbedingungen in Spiel: - Schiichternheit oder Befangenheit gegeniiber dem Reden vor der Klasse, Hemmnis­

se, sein Wissen zu zeigen (beides besonders im Fall von Teenagern); - der Wunsch, sieh in eine Gruppe einzuordnen, die dem Fach oder dem Lemen all­

gemein gegeniiber eine Verweigerungshaltung einnimmt (die freilich oft nur vorge­tauscht wird);

- bei Theaterauffiihrungen gibt es einen Souftleur. Wir aIle wissen das, und es hindert uns nieht daran, einen Schau spieler als gut einzuschatzen. Wenn im Mathematikun­terricht geprUft wird, ist kein Souftleur erlaubt;

- in vielen Bereichen des Sprechens darf man sich auf Evidenz berufen oder diese beiziehen; bei einem mathematischen Beweis ist dies nicht moglich. Bei den Indern und Arabern war es erlaubt, einen mathematischer Beweis anhand einer speziellen Figur bzw. Zeichnung durchzufiihren, unter die man zu schreiben pflegte "Siehe!" oder "Beachte!" Wenn heutzutage ein SchUler eine Figur zeichnet, die eine be­stimmte geometrische Eigenschaft deutlich aufzeigt, und - wie es fur die 4. Jahr­gangsstufe der Sekundarschule bezeichnend ist - sagen wiirde "Es ist deutlich zu se­hen, dafi ... ", macht man ihm Vorwiirfe. '"

Besonders augenfallig wird das Problem dort, wo es sich nicht urn miindliche Prtifung, sondern urn eine schriftliche Schularbeit handelt. 1m Miindlichen kann man sich einen Fehler leisten, und er wird vergeben oder iibersehen. Wer prUft in einem miindliehen Examen schon pedantisch syntaktische und semantische Zusammenhange? Bei einer schriftliehen Prtifung indes entsteht ein fixiertes Papier, das immer und immer wieder angesehen und analysiert werden kann, und dessen Beurteilung fur den SchUler von besonderem Gewicht ist.

4. Aile Versuche, die Schiiler im Kontext des schulischen Unterriehts zum Gebrauch der Alltagssprache anzuhalten, erweisen sich als nahezu fruchtlos. Urn die Probleme zu verstehen, die mit miindlichen und schriftlichen Prtifungen im Fach Mathematik ver­bunden sind, muB man etwas in die Tiefe bohren, urn die 'internen Modelle' an die

86 B. D'Amore/P. Sandri

OberfHiche zu bringen. Wir sind uns voll der Tatsache bewufit, stets nur deren 'Ubersetzung' in etwas ganz Aufierliches erfassen zu konnen. Dennoch gelang es uns in den beiden oben erwahnten Untersuchungen, durch einige ganz besondere didaktische Arrangements ein paar interessante individuelle VerhaItensweisen ans Tageslicht zu bringen. In zwei Projekten wurde grundsatzlich dieselbe Methode angewendet; sie ist in [4] und [5] ausflihrlich beschrieben, solI jedoch hier noch einmal skizziert werden. Den SchU­lern werden Sachaufgaben gesteIlt, deren Angaben unvollstandig sind. Zwei Forscher arbeiteten zur gleiehen Zeit mit der Halfte einer Schulklasse (ungefahr 10 bis 12 SchU­lern), und zwar in Abwesenheit des Klassenlehrers. Sie klaren die SchUler ausdriicklich dariiber auf, • dafi es sich urn eine Untersuchung handeIt, • dafi ihre Arbeit keine Auswirkung auf die Leistungsbewertung haben wird, • dafi der Lehrer nieht erfahren wird, was sie schreiben, • dafi es jedem Schuler freisteht, auf das Blatt seinen Namen zu schreiben oder nieht, • dafi jeder SchUler eine Aufgabe zur Bearbeitung auswahlen moge, hOchstens aber

zwei, • dafi als Gesamtzeit flir die Bearbeitung hOchstens 40 Minuten verfUgbar sind und • dafi die Ergebnisse dazu dienen soIlen, zu verstehen, was SchUler tiber Mathematik

denken, und dafi es aus diesem Grunde besser sei, uber eine Aufgabe bzw. Frage soviel wie moglich zu schreiben, als kurz zu antworten und eine zweite Aufgabe in Angriff zu nehmen.

Jeder SchUler erhielt eine kariertes Blatt im Format DIN A4, auf das der Aufgabentext bereits sorgfaltig aufgedruckt war. (ABe Aufgabentexte werden in den folgenden Ab­schnitten vorgestellt). Diese Texte waren stets recht kurz, so dafi den SchUl ern ·genu­gend Platz blieb, ihre Antwort bzw. ihre Aufierung niederzuschreiben. Da an Bewer­tung oder Benotung nicht gedacht war, wurden die SchUler gebeten, ihre Klassenkame­raden wahrend der Arbeit nicht zu beeinflussen. Sie waren aufgefordert, in vollstandi­ger Stille zu arbeiten. Da es sich jeweils nur urn die Halfte der Klasse handeIte, safien die SchUler weit genug voneinander entfernt. Da aufierdem vier verschiedene Textvari­anten zur Verrugung standen, war es sehr unwahrscheinlich, dafi relativ nahe beisam­mensitzende SchUler zur gleichen Zeit den gleichen Text bearbeiteten. Abschlie6end wurde mit jedem SchUlern ein Interview gefiihrt und protokolliert. Zur Auswertung steht also flir jeden SchUler neben seiner Aufgabenlosung ein schriftliches Interviewpro­tokoB zur Verrugung. Die in [5] beschriebene Untersuchung wurde bei SchUlern der dritten Jahrgangsstufe Grundschule durchgeflihrt (d. h. in Italien bei 8- bis 9jahrigen) und bei SchUlern im zweiten Jahr der scuola media (das sind in Italien 12 bis 13 Jahre aIte SchUler). Ich werde nachfolgend keinerlei absolute Zahlen oder Prozentsatze nennen, denn es kommt mir in dieser Arbeit nur darauf an, beispielhaft einige "FaIle" vorzustellen. In [4] und [5] sind aBe numerischen Daten ubersichtlich und vollstandig wiedergegeben. Betrachten wir hier zuerst die folgende Aufgabe:

Pl. Giovanna und Paola gehen einkaufen. Giovanna gibt 10000 Lire aus und Paola 20 000. Wer von den beiden hat schlieJ3lich mehr Geld in der Geldborse. Giovanna oder Paola?

SchOlersprache 87 --_.- ----- .-~~--------

Nachfolgend die wortlich wiedergegebene Antwort von Stefania (Altersgruppe 8 bis 9 in einer dritten Grundschulklasse): In Giovannas Borse bleibt mehr Geld. 30 - 10 = 20 10 x 10 = 100

Nel borsellino rimane pill soldi giovanna. 30 - 10 = 20 10 x 10 = 100

Sie demonstriert ein sinnloses Bemiihen, das ebenfalls auf den mathematischen Jargon zuruckgefUhrt werden kann.

Eine andere Aufgabe lautete so: P2. Tante Giovanna besucht ihren NejJen Aida und ihre Nichte Bruna. Nachdem sie ihnen 'Gruft Gatt' gesagt und sie UlIlarmt hat, steckt sie 3000 Lire in Aldos Sparbuchse und 5000 Lire in Brunas Sparbiichse. In wessen Sparbuchse ist deiner Meinung nach mehr Geld, in der von Aida oder in der von Bruna?

Nachfolgend wortlich Lucas Anwort (3. Klasse Grundschule): Die Tante gibt Bruna 2000 Lire mehr als La zia da 2000 lire a Bruna i pill di Aldo. Aldo. Die Tante gibt Aldo 2000 Lire weniger als Bruna. Die Tante liebt ihren Neffen und ihre Nichte. Die Tante gibt Bruna mehr Geld. Die Tante ist zu ihrem Neffen und zu ihrer Nichte sehr groBzugig. Ich meine, daB in Brunas Sparbiichse mehr Geld ist. Die Tante besuchte ihren Neffen und ihre Nichte Aldo und Bruna. Der Name der Tante ist Giovanna. Aldo und Bruna sind Neffe und Nichte der Tante.

La zia da 2000 lire a Aldo in meno di Bruna. La zia vuole bene ai suoi nipotini.

La zia da pili soldi a Bruna. La zia ce molto generosa con i suoi nipo­tini. Secondo me ci sono pill soldi nel sal­vadanaio di Bruno. La zia e andata a trovare i suioi nipotini Aldo e Bruna. La zia si chiama Giovanna. Aldo e Bruna so no i nipotini della zia.

Aldo und Bruna haben Sparbiichsen, urn Aido e Bruna hanno il salvadanaio per ihr Geld hineinzutun. metterci i soldi.

Uber diesen Text Hillt sich eine Menge sagen. Luca dachte sogleich an die richtige Antwort: Es ist mehr Geld in Brunas Sparbiichse, da ihr doch die Tante mehr Geld schenkte. Aber die Antwort hat wenig Ahnlichkeit mit der iiblichen mathematischen Fachsprache. Dnd wie steht es mit dem Verhalten? Nun, dieses ist ebenso weit davon entfernt, angemessen zu sein: Es gilt, eine 'korrekte' Antwort zu finden; und dieses Bemiihen erklart den Triumpf des mathematischen Jargons. Daruber hinaus begegnen wir hier einer Norm, die in Primar- und Sekundarschulen sehr verbreitet ist und - natiirlich in guter Absicht - zumeist von den Lehrern selbst aufgestellt wird: Erstelle vor dem Losen einer Aufgabe stets eine vollstandige Liste aller Daten und dann erst denke iiber sie nacho So sehr ich das Motiv fUr dieses so weit ver­breitete Vorgehen und das mit ihm verfolgte Ziel verstehen kann, so mochte ich ihm dennoch widersprechen. Es entbehrt jeglichen Bezugs zur Intuition, einem durchaus nieht banalen Weg des ProblemlOsens. Aile Daten aufzulisten liefert keine Gewahr fUr

88 B. D'Amore/P. Sandri

den Erfolg. Die kleine Luca z.B. mu6te in unserem Beispiel wahre Wunder vollbringen, urn eine beachtlich lange Liste zusammenzustellen. Das wirklich SchOne daran ist, daB sie zwischen die gegebenen Daten ihre personliehen intuitiven Anworten eingeschoben hat, gerade so, als wollte sie sie darin verstecken.

Nachfolgend noch eine dritte Aufgabe, die sich als besonders aufschlu6reich erwiesen hat:

P3. Antonio lernt his 5 Uhr nachmittags und Giovanni lernt his 6 Uhr nachmittags. Welcher von heiden lernt longer?

Die Antwort von Gionata (3. Klasse Grundschule) lautet wortlich so: Antonio arbeitet 60 Uhr Minuten weniger Antonio fa 60 Minuti di orologio in meno und Giovanni 60 Uhr Minuten mehr. e 'Giovanni 60 Minuti di orologio in pill. Antonio war eifriger als Giovanni. Antonio e stato pill furho di Giovanni. Giovanni war weniger eifrig als Antonio. Giovanni e stao meno furho di Antonio. Antonio lernte weniger und Giovanni Antionia ha studiato di meno e Giovanni mehr. Giovanni lernte eine Stunde langer di pill. Giovanni ha studiato un'ora in pill und Antonio eine Stunde weniger lang e Antonio un' ora in meno Giovanni ha Giovanni arbeitete eine Stunde, die sieh fatto un' ora composta di 4 quarti 0 due aus vier Vierteln oder zwei Halben oder mezzi 0 intera cioe un ora intera. einem Ganzen zusammensetzt, das ist eine ganze Stunde.

Erneut konnen wir hier das BemOhen erkennen, ein Verhalten an den Tag zu legen, das nieht Teil des Individuums selbst ist. Sie fuhrt zur Erklarung der Tatsache, daB sieh eine Stunde aus vier Vierteln zusammensetzt, da zu der Angelegenheit sonst weiter nichts 'Mathematisches' zu sagen ist.

Die interessantesten Ergebnisse erhielten wir zur vierten Aufgabe, die wie folgt lautet: P4. Carlo braucht for seine Hausaufgabe am Nachmittag J 0 Stunden, Carla 45 Minu­ten. Der Zeichentrickjilm am Fernsehen beginnt um 5 Uhr. Wer von beiden wird ihn sehen k6nnen?

1m Rahmen des hier interessierenden· Zusammenhangs halte ich u. a.die folgenden Texte fur bedeutsam. Auch sie werden aIle wortlich wiedergegeben. Nicola (3. Klasse Grundschule):

145 1 8 {] 45 + 17 = 62

Carla wird sie sehen konnen. I Potra vederli Carla.

Maria Rosaria (3. Klasse Grundschule):

145 1 8 {~J 45 + 17 = 28

Schulersprache 89

Ich finde, daB beide den Zeichentrickfilm Trovo chi dei due potnt vedere i cartoni. sehen kOnnen. Carlo schaut den Zeichentrickfilm an. I cartoni Ii vede Carlo.

Man beachte die Symmetrie zwischen den zwei Positionen aufgrund des banalen Feh­lers im schriftlichen Rechnen in der zweiten Operation (plus anstelle von minus) und auch hier das Hervortreten des mathematischen Jargons.

Die genannten Aufgaben wurde auch in der zweiten Klasse einer Gesamtschule (Scuola media) gestellt (12 bis13 Jahre alte SchUler).

Betrachten wir die Losung von Sylvia zur Aufgabe PI: Meiner Meinung nach hat Giovanna Secondo me, chi ha piu soldi nel borselli-mehr Geld in ihre GeldbOrse bekom- no* e Giovanna. perch<! Giovanna spende men*, denn Giovanna gibt 10 000 aus, 10.000 mentre Paola spende 20.000. wahrend Paolo 20 000 ausgibt. 10000 20000 10.000 20.00 Giovanna Paola Giovanna Paola 20000-10 000=10000 (Giovannas Geld) 20.000-10.000=10.000 (soldi di Giovanna) 10000+ 10000= 20000 (Paolas Geld) 10.000 + 10.000 = 20.000 (soldi di Paola),

* In diesem Satz ist Giovanna durchgestrichen und durch Paola ersetzt, was sehr klar einen Zustand der Unsicherheit und der Verwirrung offenbart.

Ein solcher Text bedarf keines ausdrticklichen Kommentars. Desgleichen zwei Texte aus der zweften Klasse der scuola media, die mir mehr als jede andere Schulart das dominierende Feld des mathematischen Jargons zu sein scheint. Nachfolgend zwei Protokolle zur Aufgabe P3: Massimo: 18:17=9:5* 18:17=9:5* 18 x 9 = 172 Minuten 17 x 8,5 = 144,5 Minuten Giovanni lernt langer.

* anschlie6end durchgestrichen

Massimiliano (2. Klasse der scuola media):

18 x 9 = 172 minuti 17 x 8,5 = 144,5 minuti studia di piu Giovanni

17= Antonio lernt bis 17 = Antiono studia fino 18 = Giovanni lernt bis 18 = Giovanni studi fino 24 - 17 = 7 (als Antonio anfing) 24 - 17 = 7 (quanto ha iniziato antonio) 24 - 18 = 6 (als Giovanni anfing) 24 - 18 = 6 (quanto ha iniziato giovanni) 17 - 7 = 10 (wie lange Antonio lernte) 17 -7 = 10 (quanto ha studiato antonio) 18 - 6 = l2 (wie lange Giovanni lernte) 18 - 6 = 12 (quanto ha studiato giovanni) Giovanni hat langer gelernt. Giovanni ha studiato per piu tempo.

Offensichtlich hat Massimo schon im vorhinein entschieden, daB 'Giovanni' die richti­ge Antwort ist; aber er wei6 nicht, wie er dies mathematisch begrtinden solI. Daher verwendet er den mathematischen Jargon, der hier dartiberhinaus noch mit einem un­kritischen Gebrauch von Formalismen verbunden ist. Der Fall von Massimiliano ist auf den ersten Blick analog zu betrachten. Auch er hat entschieden, daB 'Giovanni' die richtige Antwort ist, aber er arbeitet auf andere Weise. Er mochte eine Liste von Daten

90 B. D'Amore/P. Sandri

zusammenstellen; jedoch erscheint ihm die Alltagssprache nicht geeignet, urn die bana­Ie Tatsache auszudriicken, dafi Antonio bis funf Uhr nachmittags gelernt hat. Daher verwendet er ein Kernsttick des mathematischen Jargons, in welchem die beiden Kom­ponenten S und E sehr gut erkennbar sind: ,,17 = Antonio studiert bis". (Wenn Aufga­ben von der Zeit handeln, sind die Texte stets von groBem Interesse, und dies nicht nur bezuglich des mathematischen Jargons, sondern auch wegen der Losungsstrategien und des Formalismus. Rier ist leider nicht der Ort urn diese Frage genauer zu analysieren.)

Freilich gibt es auch eine ganze Reihe von Fallen, in denen der Versuch, mit den SchUlern eine spezielle, yom ublichen contrat didactique abweichende Ubereinkunft zu treffen, erfolgreich war. Die SchUler offenbarten sich dann weit mehr, indem sie den mathematischen Jargon als verpflichtendes Ausdrucksmittel aufgaben. Beispiele: Wortliche Wiedergabe des Protokolls von Marco (3. Kl. Grundschule) zur Aufgabe P2: In Brunas Sparhtichse ist mehr Geld, weil Ci sono pili soldi nel salvadanaio di Bru­Tante Giovanna mehr Geld in sie hin- na perche la zia Giovanna ne ha messi di einsteckt als in die von Aldo. Weil Chi- pili di quelli di Aldo. Perche Chiara era ara sehr bray war und Aldo ein biBchen molto gentile e Aldo un po' pili male-unanstandiger ducato

Diese Losung scheint sich nicht so sehr auf dem mathematischen Apparat zu beziehen, vielmehr auf den erzahlerischen bzw. 'realen Gehalt des Problems. Es kommt ein star­kes emotionales Element an die Oberflache, das auch durch den Austausch eines Na­mens angezeigt wird. Chiara ist vielleicht mit einem personlichen Modell verknupft und eine Art 'Rechtfertigung' fur die Geschichte.

Von derselben Art sind die drei folgenden Protokolle: Micheles Antwort zur Aufgabe P2 (gleiche Klassenstufe): Die Tante steckte mehr Geld in Brunas La zia mette di pili soldi nel salvadanaio Sparbuchse, denn ich denke Aldo ist di Bruna, perche a me pare che aldo e pili noch kleiner. piccolo.

Marco, ein fleiBiger Schuler der 3. Grundschulklasse, schreibt zur Aufgabe P4: Beide kOnnen den Zeichentrickfilm an- I cartoni il potranno vedere tutti e due schauen, denn beide werden vorher fertig perchC tutti e due finiscono prima - que-- das ist der Trick. sto e il trabocchetto

Stefania, eine Moralistin, meint zur gleichen Aufgabe: Meiner Meinung nach ist Carlo besser, Carlo secondo me e pili bravo Carlo weil er lernt, auch Carla ist gut, aber sie perche studia, anche Carla e brava pen) sollte mehr Zeit auf ihre Hausarbeit ver- deve stare un pO pili Ii col compito. wenden.

Zur Aufgabe PI trafen wir in der 2. Klasse der scuola media auf einen Versuch zu er­klaren, dafi die Antwort wegen fehlender Angaben nicht gegeben werden kann, Elena: Es ist mehr Geld in der GeldbOrse desje- Rimangono pili soldi nel borsellino chi nigen, der vor dem Einkauf mehr Geld aveva piiI soldi all'inizio della spesa. gehabt hat.

Schulersprache 91 ----- ~-~~- - ---------------- -----

Zur Aufgabe P4 versuchte ein SchUler der 2. Klasse scuola media, die Sympathie des erwachsenen Leser zu erobem. Die Schiilerin mOchte namlich beweisen, daB sie die im Text verborgene Botschaft verstanden hat. Azadeia: Carlo ist derjenige von beiden, der eifri­ger lemt und dem Lemen 90 Minuten widmet. Daher kann er den Zei­chentrickfilm ansehen. Carla widmet dem Lemen nur 45 Minuten; daher kann sie den Zeichentrickfilm nicht anschauen. Meiner Ansicht nach sind Zeichentrick-filme nicht niitzlich, weil sie den Geist von Kindem mit unwirklichen Dingen fullen, daher meine ich, daB Carlo es richtig macht und ich wiirde seiner Art zu lemen folgen.

Carlo e colui che s'impegna di pill nello studio e vi dedica 90 minuti, quindi non riesce a vedere i cartoni. Carla invece dedica allo studio solo 45 minuti, quindi non riesce a vedere i Car­toni Animati.

Sedondo me i Cartoni non servono pro­prio a niente perche riempiono la memo­ria dei ragazzi di cose spesso fantastiche, quindi darei ragione a Carlo e io seguirei il suo metodo di studio.

Vorlaufige SchluBfolgerung: Mit der Meinung, daB die SchUler den logischen, pro­blemhaften, arithmetischen oder rechnerischen Aspekt der Aufgaben aufgefaBt haben konnten, wiirde sich der Lehrer selbst betriigen. Die Schuler scheinen, ganz im Gegen­teil, ihre besondere Aufmerksamkeit auf ganz andere Dinge zu richten. Ihr Hauptbe­muhen liegt darin, dem Lehrer das zu !iefem, wonach er verlangt, und zwar in einer Art impliziter Komplizenschaft. Auf diese Weises gewinnt der mathematische Jargon die Oberhand.

5. Die Erfahrung lehrte uns folgendes: Je mehr eine Aufgabe die inneren, an reale Fakten und Gefuhle gebundenen Modelle eines Schiilers wachruft, desto mehr ist dieser ge­neigt, besondere didaktische Ubereinkiinfte zu akzeptieren, den verpflichtenden Ge­brauch des mathematischen Jargons aufzugeben und in seiner Alltagssprache dariiber zu reden, wie er die Dinge wirklich sieht, und nicht wie er meint, daD der Lehrer sie ihn zu sehen wiinscht. In einer Untersuchung, die wir "Stelle dir vor, .... " nannten, und in der scuola media durchfuhrten (siehe [4] ), konnten wir oft mit verschiedenen Impulsep recht weit in die Tiefe gelangen. Unter anderen (insgesamt funf) Impulsen erwiesen sich die folgenden zwei als besonders erfolgreich:

S2. Stelle dir vor, du bist ein Grundschullehrer/eine Grundschullehrerin. Du m6chtest deinen acht Jahre alten Schiilern erklaren, daft man den Flacheninhalt eines Rechtecks durch Grundlinie mal Hohe findet.

S5. Stelle dir vor, du bist ein Vaterleine Mutter. Deinem sieben Jahre alten Kind wurde gesagt, daft jedes Dreieck drei H6hen hat und es fragt dich: "Vater/Mutter), was be­deutet das.?" Nichts ist schlimmer, als die Fragen kleiner Kinder nicht zu beantworten; daher entschlieftt du dich zu folgender Antwort: ...

1m Fall von S2 erhielten wir eine gro6e Anzahl banaler Antworten, die mit einem un­sinnigen Formalismus verknupft waren. Die Bezeichnungen "Dreieck" und "Rechteck"

92 B. D'Amore/P. Sandri

fiber die Bezeichnung von Strecken einen horizontalen Strich machen mfisse, und sie taten dies auf eine Weise, aIs sei es grundlegend fUr das Verstandnis dessen, worum es sich handelt und wie der FlacheninhaIt des Rechtecks zu berechnen ist. Auch dies ist wiederum ein offensichtIiches Zeichen der fibergrofien Aufmerksameit fUr formale und in keiner Weise geistig durchdrungene SachverhaIte. Viele Schiller beachten streng die Konvention, daIl an die Ecken des Rechtecks Buchstaben geschrieben werden mfissen. Ein Schiller versucht, seinem Sohn zu erklaren, daIl flir einen normaIen Menschen die Hohe eines Rechtecks ABCD eine vertikaIe Strecke im Inoeren der Figur ist, die er H nenol.

D C

A B

1m Gegensatz dazu wenden Lehrer im Unterricht diese Bezeichnung auf die vertikalen Seiten BC und AD an. Tatsachlich findet man aber, wenn man H nach beiden Richtun­gen verschiebt, daIl es schliefilich doch dasselbe isl. Die folgende Figur demonstriert die Uberlegung des Schiilers:

D L....-H---L...-d -.1...--6 _H Ie A B

In der Aufgaben, in der die Schiller fiber die drei Hohen im Dceieck schreiben solI ten, wurden aIle moglichen Gruppen von drei Objekten, die in dec Geometrie auftauchen, als richtig betrachtel. Jeweils mi'ndestens einmal tauchten die folgenden auf:

drei Bogen drei Verliingerungen Mittelpunkt des In­kreises, Hohenschnittpunkt, Mittelpunkt des Um­kreises

Was den Ausdruck "FlacheninhaIt" betriffi, so wurde er in verschiedener Weise umbe­nanot: "Weite", "innerer Teil", usw. Aufierdem findet man "die Hingste Seite" flir "Hohe", "definieren" flir "messen", usw.

SchOlersprache 93

Was den Ausdruck "FHicheninhalt" betrifft, so wurde er in verschiedener Weise umbe­nannt: "Weite", "innerer Teil", usw. Aufierdem findet man "die Hingste Seite" fur "Hohe", "definieren" fur "messen", usw.

Ich komme nun zu zwei 'Beweisen', die in den nachfolgend zitierten Protokollen wie­dergegeben werden: Das Rechteck besteht aus zwei recht­winkligen Dreiecken. Sie werden so ge­nannt, weil sie einen 90° Winkel haben. Teilen wir das Rechteck diagonal in zwei gleich gro6e Teile. Da die Summe der inneren Winkel eines Dreiecks 1800 be­tragt, miissen wir Grundlinie und Hohe nehmen, urn den Flacheninhalt des Rechtecks zu finden.

Zum ersten wird diese geometrische Fi­gur so genannt, weil alle ihre Winkel 90° haben oder weil sie, mit anderen Worten, rechtwinklig ist. Ihre Seiten sind 2 zu 2 gleich: AB und CD und AD und S'C. Daher mussen wir, urn den Flacheninhalt zu finden, Grundlinie mal Hohe rechnen.

II rettangolo e formato da due triangoli rettangoli. Si chiamano cosi perche hano un'angolo di 90°. Dividiamo il rettangolo con una diagonale in 2 parti uguali. Sic­come la somma degli angoli interni di un triangolo e di 180°, per trovare l'area del rettangolo si fa base per altezza

Prima di tutto per iniziare questa figure is so called because all ist angles are of 90° cioe retti. I suoi lati sono a 2 a 2 uguali AB e CD e AD e Bc. Quindi per trovare l'area si fa base per altezza.

Hier laBt sich der Trend zum mathematischen Jargon wieder sehr gut erkennen. Die Sprache (S) weist einige sehr starke syntaktische und semantische Komponenten auf; vor allem aber haben alle Schuler bereits die Einstellung E angenommen und versuchen sie zu realisieren. Verwunderlich ist jedoch, daB es zum zweiten Protokoll keine Zeich­nung gibt. (Der Schuler kann sie nicht auf ein anderes Blatt gezeichnet haben, denn er besaB nur das unsrige, und er kann sie auch nicht ausradiert haben, denn er hatte nur Bleistift und Papier zur Verfiigung.) Sein mentales Modell des Rechtecks mufi also mit Buchstaben am rechten Ort bereits komplett sein. Das "daher" zu Beginn des letzten Satzes fuhrt ihn, vielleicht unvermeidlich, in den mathematischen Jargon.

Nigel, ein anderer Schuler aus der 2. Klasse der scuola media, exemplifiziert seinem Sohn die Angelegenheit anhand eines Rechtecks der Seitenlangen zwei und drei. (Nach der gewahlten MaBeinheit fragt man besser nicht. Es gibt kaum ScMler, die sie benut­zen. Wenn sie es dennoch tun, dann, weil der Lehrer es von ihnen verlangt und nicht weil sie es wirklich verstanden haben, wie sie formal zu behandeln sind und wozu sie dienen.) Dies scheint, aus didaktischer Sicht, eine sehr gute, konkrete Idee zu sein. Aber Nigel behauptet, daB die GroBe der Flache 62 sei, wobei der Exponent 2 gemaB der eigenen Aussage des Schulers "Hohe und Lange" reprasentiert. Offenbar sind die Teile, in denen der SchUler sinnvoll uber MaBeinheiten spricht, kleiner als Null. 1m formalen Gebrauch der MaBeinheiten regiert der mathematische Jargon uber alles. Wie ich fmher bereits festgestellt habe, haben glucklicherweise einige SchUler durchaus den Mut, sich nicht hinter dem mathematischen Jargon zumckzuziehen, sondern sich etwas naturlicher zu geben. Sic wissen, daB ihrc Textc nur von den Forschern, nicht

94 B. D'Amore/P. Sandri

aber von ihrem Lehrer gelesen werden. Sie wissen, dafi sie keinen Einflufi auf die Lei­stungsbewertung haben, und sie lassen sich auf das Spiel ein. Das Ergebnis ist korrekter Gebrauch der Alltagssprache, und diesem vertrauen sie. Nachfolgend drei sehr interes­sante Texte, aIle aus der zweiten Jahrgangsstufe der scuola media: Ich glaube ich kann mir nieht vorstellen, 10 non credo di essere in grado di fare ein Grundschullehrer zu sein, aber ieh finta di essere un maestro delle elemen­kann es versuchen: Es gibt immer ein tari, comunque posso sempre provare: c'e erstes Mal. Wenn ieh wirklich ein Lehrer sempre una prima volta. sein miillte, wiirde ich zu allererst einmal Innanzituttose dovessi proprio essere un sehr unkompliziert und nett sein, so dafi insegnante, sarei molto spontanea e sim­das Gesprach mit meinen Schiilern ein- patiea, in modo da rendere il dialogo con fach und direkt ware. Ich Mtte sehr gerne i miei alunni, semplice e diretto. Mi eine angenehme und freundliche Bezie- piacerebbe avere un rapporto di amicizia, hung zu ihnen. Wenn ieh ihnen nun divertente, infatti se dovessi spiegare erklaren miillte, wie die Flache des come si trova l'area del rettangolo, data Rechtecks berechnet werden kann, wiirde la miagolosita in fatto di dolci, immagi­ich, da ich Siilligkeiten liebe, mir das nerei il rettangolo come una fetta di cioc­Rechteck als ein Stiick Schokolade vor- colato. Ci ho provato; rna non ci sono stellen. Ich habe es versucht, aber ohne riuscita non sono in grado di spiegare che Erfolg. Ich kann nicht erklaren, dafi die l'area di un trangolo si trova moltiplican­Flache eines Dreiecks durch Multiplika- do base per altezza. tion von Grundlinie mal Hohe berechnet werden kann.

Du darfst nieht alles glauben, was man dir erzahlt.

Mein Sohn, du verstehst nichts von Geo­metrie; aber ieh mOchte dir erklaren, was Hohe bedeutet. Wie Du haben dein Vater und ich eine Rohe, die von unserem Kopf bis zu unseren Fiillen gemessen wird. Die Dreiecke haben auch eine Hohe, aber sie wird gemessen von der Ecke, die ein kleiner Punkt ist, zur Grundlinie, die unseren Fiillen entsprieht. Aber, da es drei kleine Punkte (Ecken) gibt, haben sie drei Hohen, denn sie haben drei Fiillepaa­reo Und weil wir nur einen Kopf haben und ein paar Fiille, so haben wir auch nur eine Hohe.

Non devi credere a tutto quel che t si dice.

Figlio mio, la geometria tu non la conosci pero voglio spiegarti che cosa vuol dire altezza. Come te, io, e papa la loro si misura dal vertice che e un puntino fino alia base che sono come i nostri piedi. Pero dato che loro hanno 3 puntini (vertici), hanno tre altezze perche hanno i nostri 3 paia di piedi. E dato che noi abbiamo uno sola atesta e un sol paio di piedi, abbiamo solo un'altezza.

Wir haben es hier mit dem Fall aufiergewohnlicher Protokolle zu tun. Das erste enthiillt gro6e Aufmerksarnkeit fur didaktische und padagogische Angelegenheiten. Das zweite mit der Beschreibung, dafi das Dreieck drei Hohen hat, kann man spontan als einzigar-

SchOlersprache 95

tig bezeichnen. Und das dritte enthiillt, welches "wirkliche" innere mentale Modell von DreieckshOhe eine 12 bis 13 Jahre alte Schiilerin (Simona) hat. Es mag naiv klingen, aber es ist das einzig brauchbare. Es beschreibt irgendentwas wie "senkrechte Strecke gezeiehnet von blabla ... ". Warum solI man die Dinge nicht in iiblieher, sondern in kiinstlicher Sprache sagen? Natiirlich mufi friiher oder spater die Fiihigkeit reifen, auch von einer Fachsprache Gebrauch zu machen. Aber bei wem, bei wie vielen Schiilern? Was wird Simona einmal sein, wenn sie erwachsen ist. Welche Sprache solI sie dann verwenden? Welches mathematisches Wissen? Dariiber mufi nachgedacht werden.

6. Ich habe mich immer gefragt, warum eine Aufgabe, die nun in unserer Forschungs­gruppe klassisch geworden ist und "Aufgabe der kleinen Ameise auf dem Quadrat" genannt wird, so schrecklich schwierig ist. Vermutlich deshalb, weil sie Raum und Zeit gleiehzeitig ins Spiel bringt, wie uns jemand gesagt hat. Vielleieht, weil es keine iibli­chen Algorithmen zu ihrer Losung gibt, wie uns jemand anderes versieherte. Tatsache ist, daJl die Aufgabe in der 5. Klasse (Altersgruppe 10 bis 11 der Primarschule) wie in der 2. und 3. Jahrgangsstufe der scuola media (Altersgruppe 12 bis13 bzw. 13 bis 14) und im 1. Jahr der Oberschule (Altersgruppe 14 bis 15) sehr niedrige Prozentsatze richtiger Losungen aufweist. In der Grundschule ist er nahezu Null und steigt anschlie­Bend auch nieht wesentlich. Warum ist das so? Sehen wir uns das Problem an, dessen Bearbeitung schon anderenorts beschrieben wur­de? (in [3] und [6]). Wie bei vielen anderen unserer Aufgaben wurde der Text aus frii­heren Ausarbeitungen entnommen, die mit den Schiilern zusammen erstellt wurden: Eine k/eine Ameise m6chte einen quadratischen Weg einschlagen, der bei A beginnt und uber B, C und D zUrUckJuhrt zu A.

D C

D A B

Die Seite des Quadrats ist 200 m lang. Tagsuber legt die Ameise genau 200 m zuruck; aber wahrend der Nacht blaj)t sie ein starker Wind die halbe Strecke, die sie wahrend des Tages zuruckgelegt hat, wieder zurUck. Wenn sie am Montag Morgen losgeht und den ganzen Tag marschiert, erreicht sie am Abend B. Wahrend der Nacht wird sie die halbe Seitenlange zuruckgeworJen. Am Dienstag Morgen bricht sie erneut auf, usw. Wenn sie den ganzen Weg zuruckgelegt hat, wird sie wieder in A ankommen. Wann wird das sein? Sehr viele SchOler halten 'acht Tage' fur die richtige Losung (zwei Tage fur jede Seite) und geben Antworten wie die folgenden:"In acht Tagen" oder "nachsten Montag". Sehr wenige sagen "am Sonntag". Aber meinen sie Sonntag Abend, was die richtige Antwort ware, oder etwas anderes? Grundschiiler sind bereit, einer sicheren Gewinn­strategie zu folgen: Sie fahren die Bewegungen mit dem Finger auf der Zeichnung nach

96 B. D'Amore/P. Sandri

und geben in dieser Altersgruppe, wenn sie sich nicht verwirren lassen, die wenigen riehtigen Antworten. Die alteren SchUler aus der scuola media wollen alles mit Hilfe von Rechnungen (algorithmisch) losen. Aber mit welchen? Sie konnen die Aufgabe nicht bewaltigen und lief ern nur wenige sinnvolle Antworten abo An diesem Beispiel kann man den Triumpf des mathematischen Jargons auf seinem Hohepunkt erkennen. Man stelle sich beispielsweise nur vor, daB fast alle Studenten den Umfang des Recht­ecks ausrechnen, beinahe so, als ware es ein unwiderstehlicher Ruf, ein faszinierender Sirenengesang ...

7. Ais Konsequenz aus unseren Uberlegungen kommen wir dazu, das Gescheh@n der Auf­gabenlosung in einer Folge wichtiger Schritte zusammenzufassen, auf die auch die mathematikdidaktische Forschung zunehmend ihre Aufmerksamkeit zu richten scheint. Ich wiirde diese Schritte, die nieht von der Schulstufe abhangen, auf folgende Weise zusammenfassen: I. Der Text der Aufgabe wird dargeboten. II. Der Text wird gelesen. III. Der Bedeutungsgehalt des Textes erzeugt ein mentales Modell. IV. Das mentale Modell wir in etwas Sichtbares tibersetzt. V. Ein externes Modell wird hervorgebracht. Unsere Aufmerksamkeit hat sieh sehr stark auf den Dbergang von Stufe III zu Stufe IV konzentriert, und wir haben dabei verschiedene Faktoren untersucht: - Die Schwierigkeit, das verborgene Wissen zu untersuchen; - den Wunsch der SchUler, den Erwartungen gerecht zu werden; - das Fehlen einer adaquaten Sprache; - die Unterschiedlichkeit und Komplexitat der angesprochenen Felder; - die Kraft des mathematischen Jargons als einer verpflichtenden Ausdrucksform.

Beim Ubergang von Stufe IV zu Stufe V gibt es noch ein enormes Problem, tiber das Lehrer nachdenken sollen: Das mtindliche und schriftliche Prillen im Fach Mathematik ist, wie immer gelehrt und gelernt worden sein mag, nicht nur ein linguistisches, son­dern auch ein padagogisches und didaktisches Problem. Dabei mufi zugestanden wer­den, daB die SchUler nun einmal etwas lernen und auch in der Lage sein mtissen, dar­tiber Rechenschaft zu geben.

Literatur: [1] BROUSSEAU, B: Fondements et methodes de la didactique des mathematiques. In:

"Recherches en Didactique des Mathematiques" 712 (1986) 33-115. [2] CHINI ARTUSI, L. (ed): Numeri e operazioni nella scuola di base. Bologna: Zani­

chelli-UMI 1985. [3] D' AMORE, B. und SANDRI, P.: II problema nella pratica matematica educativa.

In: L'Educatore 11/1 (1993), I-X. [4] D' AMORE, B. und SANDRI, P .. Imagine you are ... Investigation about the exter­

nal represenations of problems. 1m Druck

SchOlersprache 97

[5] D'AMORE, B. und SANDRI, P.: Reponses des eleves a problemes de type scolaire standard avec une donnee manquante. 1m Druck

[6] D' AMORE, B.: Problemi. Progetto MaSE Band Xa, Milano: Angeli 1992. [7] FISCHBEIN, E. und VERGNAUD, G.: Matematica a scuola: teorie ed esperienze,

Bologna: Pitagora 1992. [8] LABORDE, c.: Langue naturelle et ecriture symbolique: deux codes en interaction

dans l'enseignement mathematique, Diss. Univ. Grenoble 1982. [9] LABORDE, c.: Occorre apprendere a leggere e scrivere in Matematica? In: Jan­

namorelli, B.: Lingue e linguaggi nella pritica didattica. Atti del II Seminario Internazionale di Didattica della Matematica di Sulmona. Sulmona: Qualevita Ed. 1995.

[10] MAIER, H.: Problemi di lingua e di comunicazioni durante Ie ore di matematica. In: La Matematica e la sua didattica 1 (1993) 69-80

[11] MAIER, H.: Conflit entre langue mathematique et langue quotidienne pour les eleves. "Cahiers de didactique des mathematiques" 3 (1993) 86-118

Professor Dr. Bruno D' Amore Universita Degli studi di Bologna Dipartemento di matematica Piazza di Porta S. Donato 5 1-40127 Bologna

Patricia Sandri Universita Degli studi di Bologna Dipartemento di matematica Piazza di Porta S. Donato 5 1-40127 Bologna