Schülersprache beim Lösen mathematischer Probleme

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    16-Mar-2017

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<ul><li><p>81 </p><p>Bruno D'Amore/Patricia Sandri </p><p>SchUiersprache beim Losen mathematischer Probleme </p><p>Der folgende Beitrag fafit Beobachtungtsergebnisse aus mehreren Untersuchungen zum Losen mathematischer Probleme durch Schuler (verschiedener Schulstufen) unter ei-nem gemeinsamen Gesichtspunkt zusammen. Sie betreffen eine bestimmte Sprache, derer sich Schuler in ihren Losungsprotokollen zumeist bedienen und die wir allgemein mit dem Begriff 'mathematischer Jargon' kennzeichnen. Dieser Begriff soIl nachfol-gend zuerst kurz in aktuellen Forschungsrichtungen verankert, dann abgegrenzt und anhand von Beispielen aus den erwahnten Forschungsprojekten entfaltet und diskutiert werden. </p><p>1. Die erste Forschungsrichtung, die erwahnt werden soIl, macht unter dem Stichwort 'contrat didactique' eine Reihe von Schiilerantworten, -fehlem und -einstellungen er-klarbar, die anders nicht erklart werden konnten. Namentlich beziehe ich mich hier auf wohlbekannte Arbeiten von G. BROUSSAU zum sog contrat didactique (siehe z. B. [1]). Ais Element dieses 'didaktischen Vertrags' konnten wir in unseren Untersuchungen die Existenz eines "allgemeinen Musters" der Aufgabenerklarung nachweisen. Es aufiert sich in Form von Erwartungen, die die SchUler haben, wenn ihnen der Lehrer (oder der Forscher) einen Aufgabentext vorlegt. Dieses allgemeine Muster leitet sich vom Habitus ab, der sich bei der wiederholten Bearbeitung ahnlicher Texte herausgebildet hat. Die Erwartungen stellen einen wichtigen Bestandteil des contrat didactique dar. Ihnen zu-folge hat das mathematische Problem in knapper, streng logischer Sprache mit minima-len Bedeutungsgehalt dargestellt zu sein. Dariiber hinaus mufi sich die Losung auf moglichst direktem Wege erreichen lassen, wobei aIle gegebenen numerischen Daten und nur diese durch eine oder mehrere Operationcn miteinander zu verknupfen sind. Der Nachweis fur die Existenz eines solches aligemeinen Musters wurde vor aliem in [5] gefuhrt. Die zweite Forschungsrichtung, auf die ich mich beziehe, betrifft Studien zum Problem der Sprachc im Mathematikunterricht. Namentlich erwahne ich die Arbeiten von H. MAIER, z.B. [10] und [11], sowie einige Arbeiten von C. LABORDE, vor all em die Arbei-ten [8] und [9]. In unserem Artikel [4] konnten wir zeigen, wie im Rahmen einer De-kontextualisierung der tiblichen Schtiler-Lehrer-Beziehung in der Klasse SchUler er-mutigt werden konnen, bcim Reden tiber mathematische Sachverhalte ihre nattirliche Sprache zu gebrauchen. Auf der anderen Seite zeigte sich die Neigung von Schtilem -verursacht durch ein anderes Element des contrat didactique -, eine besondere Sprache zu verwenden, die wir in [5] erstmals "mathematischen Jargon" genannt haben. </p><p>2. Urn den Begriff des mathematischen Jargons genauer zu charakterisieren, mochte ich mit einem Beispiel beginnen, das 'der Beweis von Belluno' heiBen soIl. Am 30. Nov. 1991 stellte ein Lehrer der 3. Klasse eines Lehrerbiidungskollegs in Beluno (16-17 Jahre alte Studenten) im Rahmen eines schriftlichen Priifung die folgende Aufgabe: Gegeben seien ein Kreis, eine Sehne Be und zwei Punkte A und E die zum gleichen </p><p>(JMD 17 (96) 2, S, 81-97) </p></li><li><p>82 B. D'Amore/P. Sandri </p><p>Bogen BC gehOren. Beweise, dan die zwei Peripheriewinkel BEC und BAC zueinander kongruent sind. </p><p>Zwei Stunden spater tibergab ein Student seine Arbeit, die ich in folgender Weise zu-sammenfasse (siehe folgende Zeichnung des Studenten): Die Strecken EC und AB schneiden sich im Punkt D. Die 'Scheitelwinkel' BDE und ADC sind kongruent. Be-trachten wir das Dreieck BCD und bilden wir tiber seinen Seiten drei Quadrate, und zwar das Quadrat Ql tiber der Seite BD, das Quadrat Q2 tiber der Seite CD und Q3 tiber der Seite Be. Wortlich heil3t es dann in der Arbeit (bei wortlichen SchOlerproto-kollen istjeweils auch das italienische Originaltext wiedergegeben): </p><p>G </p><p>F v </p><p>Aufgrund des Lehrsatzes von Pythagoras kann ich feststelIen, daB Ql ist:; zu Q2 und Q2 :; Q3, folg-lich auch Q3 :; Q I. Nachdem bewiesen ist, daB die Quadrate untereinander kongruent sind, kann ich sagen, daB die Grundlinie DB des Dreiecks DEB ahnlich ist zur Grundseite BC des Dreiecks EBC, und folglich ( ... ) immer nach dem Lehrsatz von Pythagoras, daB BEPG und ATSC zwei kongruen-te Vierecke sind" ... "Daher sind EB und AC ahn-lich" ... </p><p>s </p><p>N </p><p>"Per il teorema di Pitagora posso dire che Q 1 e :; a Q2 e Q2:; Q3 come Q3 :; Q1. Avendo dimostrato che i qudrati sono congruenti tra loro posso dire che: la base DB del triangolo DEB e simile alIa base BC del triangolo EBC e quindi ( ... ) sempre per il teorema di Pitagora BEPG e A TSC sono due quadrilateri congruenti" ... "quindi EB e AC sono simili" </p></li><li><p>SchOlersprache 83 </p><p>Der Student kommt mit einem immer strenger werdenden Formalismus und einer sehr gewahlten mathematischen Terminologie, in der verschiedene Winkel an unbekannten Parallelen sowie rechte Winkel vorkommen - die bei B und E sind die herausragendsten unter ihnen - zu einer Schlufifolgerung, wobei er sich plotzlich erinnert, tiber die Win-kel mit den Scheiteln E und A sprechen zu mtissen. Ohne jeden Zusammenhang erklart er dann plOtzlich, daB der in der Aufgabe formulierte Satz wahr sei. Analysieren wir diesen Beweis - nicht zu dem Zweck, den Studenten anzuklagen und sich mit dem Lehrer zu solidarisieren. Untersuchen wir vielmehr die Bemtihungen, die er im Sinne einer erfolgreichen Aufgabenlosung unternommen hat. Es gibt zwei Ele-mente, die in die Augen springen: - Die verwendete Sprache in ihrem semantischen und syntaktischen Charakter: der </p><p>Gebrauch von Bezeichnungen, von bekannten Lehrsatzen und eines spezifischen Symbolismus. Sie bedient sich wohlvertrauter Bezeichnungen aus der mathemati-schen Fachterminologie, die aber aus logischer Sicht vOllig beziehungslos nebenein-anderstehen oder in nur lokal korrekten, logisch unverbundenen Satzen enthalten sind. </p><p>- Die angenommene Haltung bzw. das eingenommene Verhalten, das offensichtlich unkritisch ist und vielleicht eine yom Lehrer unbewufit, implizit tibermittelte Bot-schaft befolgt. Jedenfalls bemtihte sich der Student, so zu argumentieren, als ob es sich urn einen Beweis handeln wtirde; er nahm sich dabei offenbar den Lehrer als Vorbild und versuchte, sich seinem Reden und Verhalten anzupassen, ohne dazu wirklich fahig zu sein. </p><p>Vor einiger Zeit nannten wir, zunachst eher scherzweise, dieses Paar (S; E) von Spra-che und Einstellung "mathematischen Jargon" (siehe [5] und [6]). Mit diesem Aus-druck soIl also ein die Sprache von Losungsprotokollen einerseits und handlungsleiten-de Einstellungen andererseits betreffender Wirkzusammenhang bezeichnet werden, der das Verhalten von Schtilern vor allem in Situationen kennzeichnet, die fur sie unange-nehm sind. Welche Mathematik unser Student auch gelernt haben mag - und wir konnen nicht wissen, urn welche Art von Mathematik es sich dabei handelt und wieviel er davon tatsachlich weiB - konfrontiert mit dem Impuls, den die ihm gegebene Aufgabe fur ihn darstellt, tibermittelt er uns dicses aufiere Modell von seinem Wissen und Verstehen. An der Realisierung dieses Modells mtissen wohl verschiedenste Fahigkeiten beteiligt sein, ohne daB wir diese im einzelnen kennen wtirden. Was wir kennen und analysieren konnen, ist nur der gcschriebene Text. Ihn mtissen wir zu Ie sen lemen, und zwar so, daB wir ihn - tiber bloBe PIiifung als unbeteiligte Beobachter hinaus - verstehen. Der Student hat sozusagen ein Indiz fur mathematischen Jargon geliefert. 1m Grunde geschieht hier dasselbe, als wenn jemand vorgabe, eine fremde Sprache sprechen zu konnen, obgleich er nur wenige Worter kennt (und auch diese nicht in ihrer vollen Bedeutung), und zum Beweis die Aussprache sowie typische Verhaltens-muster von nativc speakers nachahmen wtirde. Das Ergebnis ware Nonsens, der vage an eine bestimmte Art des Sprechcns erinnerte. Wahrend aber ein solcher Sprecher diesen Trick benutzt, obwohl er genau weiB, was er eigentlich tut, dtirfte sich unser Student dessen weit weniger bewuBt sein. Er spricht und schreibt im mathematischen Jargon, d. h. er zitiert den Lchrsatz des Pythagoras, er venvendet die Bezeichnungen </p></li><li><p>84 B. D'Amore/P. Sandri </p><p>"Wechselwinkel" und "ahnlich", allerdings vollkommen bedeutungsleer. Er verwendet Symbole wie =; aber wer weifi, welche Bedeutung er ihnen zuschreibt. Er sieht die Figuren an und stellt wider jegliche Vernunft fest, daB zwei sehr verschiedene Quadrate kongruent sind. (Dies ware nun ein Fall, wo mit Bezug auf die Figur ein gutes 'Sei vorsichtig!' nach Art der Inder oder Araber hilfreieh sein konnte.) Man kann sagen, die 'Ingredienzien' der Terminologie sind zwar vorhanden und ebenso das Verhalten. Was fehlt, ist der Sinn. Wahrend also die Komponente S des flir den mathematischen Jargon charakteristischen Paars gelernt und die Komponente E durch Nachahmung realisiert sein mag, erkennen wir, daB es beim Ubergang vom mathematischen Jargon zur Ma-thematik einer weiteren Komponente bedarf, die hier unterwegs verlorengegangen zu sein scheint. Denkt man an den Studenten selbst, so mochte man, tiber alle wahrnehmbaren Aufie-rungen hinaus, noch dariiber nachdenken, wie verwirrt er wohl war und wie er gelitten haben mag: Der Lehrer sprieht im Unterricht eine Sprache, die er nur teilweise ver-steht. Es mag schon eine Zeit her sein, daB er den Kontakt zu ihr verloren hat. Er mufi sieh fuhlen wie ein Fremder in einer Klasse, der die dort gesprochene Sprache nieht kennt. </p><p>3. Der mathematische Jargon scheint im unterriehtlichen Kontext von den Schtilern hau-fig, ja beinahe durchgangig gebraucht zu werden. Wie laBt sich das erklaren? Nehmen wir an, der Lehrer eines Schtilers (von beliebiger Schulstufe), den wir Pieri no nennen, habe im Unterricht etwa ein Thema in ausreichender Weise behandelt. Sein methodisches Vorgehen sei effektiv, wohltiberlegt,. sorgf:Utig ausgewahlt gewesen, und Pieri no - er und nieht die ganze Klasse - habe erfolgreieh aile Begriffe gelernt. (Wir gehen davon aus, daB es keinen 'durchschnittlichen Schuler', sondern nur verschiede-nen Individuen gibt.) M. a. W.: Es wird angenommen, daB fur den Schuler Pierino der Lernprozefi gut verlaufen ist. Darf man damit alle didaktischen Probleme als gelost betrachten? 1m traditionellen Schulunterrieht taucht genau an dieser Stelle ein Problem auf, das nieht nur unseren Pierino beunruhigen dtirfte. Er wird in irgendeiner Weise angemes-sene Rechenschaft dariiber geben mtissen, was er gelernt hat. In dieser Situation ist eine ganze Reihe von Faktoren zu beachten, von denen einige offen zutage liegen, andere eher im Verborgenen bzw. implizit bestehen: - Pierino wird eine Reihe von Bezeichnungen gebrauchen mtissen, die der Lehrer als </p><p>zulassig oder unzulassig beurteilt. - Er wird eine dem Fach angemessene Syntax verwenden mtissen, und der Lehrer </p><p>wird der einzige Beurteiler ihrer Riehtigkeit sein. - Er wird eine Menge von Normen zu befolgen haben, tiber die im contrat didactique </p><p>mehr oder weniger explizit Konsens besteht. - Man wird erwarten, daB er prazise, dem jeweiligen Gegenstand entsprechende Be-</p><p>griffsbedeutungen heranzieht: Man wird ihm dabei nur wenige oder keine Abwei-chungen gestatten (wie sie in anderen Wissensbereichen nieht nur erlaubt sind, son-dern positiv aufgenommen, ja sogar angeregt werden). </p><p>Zu weit verbreitet ist die Meinung - sie ist oft auch unter Lehrern anzutreffen -, daB das Spreehen tiber Mathematik eine besondere Sprache erfordere, wie sie sich auch haufig </p></li><li><p>Schulersprache 85 </p><p>in Unterriehtswerken zeigt bzw. dort bestatigt wird (siehe auch [10)). Nun hat in der Tat die Mathematik eine besondere Fachsprache entwickelt, die in Teilen nach und nach auch von den Schiilern erlernt werden muB. Aber diese Sprache ist nur ein mogli-ches Mittel zur Darstellung mathematischer Sachverhalte, und ihre Verwendung ist weder in allen Elementen zwingend noch darf sie sich vom Inhaltlichen losen und in formaler Weise zum eigentlichen Lerngegenstand verselbstandigen, iiber dessen An-eignung die SchUler in erster Linie Rechenschaft zu geben hatten. Es handelt sich hier zunachst urn ein sprachliches Problem, das sich aber rasch in ein durchaus wichtiges, wenn nicht gar grundlegendes didaktisches Problem verwandeln kann. Eine Regel, iiber die im contrat didactique explizit Ubereinstimmung besteht, ist die Feststellung, dafi das Vortragen eines Gediehts eine wohl ausgewogene, an die Bedeutung gekniipfte und sehr ausdrucksvolle Intonation verlangt. Wenn jedoch Ma-thematik 'rezitiert' wird, kommt es recht oft vor, dafi ein Schiiler nur mittels Imitation sprachliche Formen hervorzubringen lernt, die der Lehrer - der einzige 'Richter' - dann als linguistisch sinnvoll, korrekt und angemessen ansehen mag. Dariiber hinaus kommt noch eine Reihe moglicher Nebenbedingungen in Spiel: - Schiichternheit oder Befangenheit gegeniiber dem Reden vor der Klasse, Hemmnis-</p><p>se, sein Wissen zu zeigen (beides besonders im Fall von Teenagern); - der Wunsch, sieh in eine Gruppe einzuordnen, die dem Fach oder dem Lemen all-</p><p>gemein gegeniiber eine Verweigerungshaltung einnimmt (die freilich oft nur vorge-tauscht wird); </p><p>- bei Theaterauffiihrungen gibt es einen Souftleur. Wir aIle wissen das, und es hindert uns nieht daran, einen Schau spieler als gut einzuschatzen. Wenn im Mathematikun-terricht geprUft wird, ist kein Souftleur erlaubt; </p><p>- in vielen Bereichen des Sprechens darf man sich auf Evidenz berufen oder diese beiziehen; bei einem mathematischen Beweis ist dies nicht moglich. Bei den Indern und Arabern war es erlaubt, einen mathematischer Beweis anhand einer speziellen Figur bzw. Zeichnung durchzufiihren, unter die man zu schreiben pflegte "Siehe!" oder "Beachte!" Wenn heutzutage ein SchUler eine Figur zeichnet, die eine be-stimmte geometrische Eigenschaft deutlich aufzeigt, und - wie es fur die 4. Jahr-gangsstufe der Sekundarschule bezeichnend ist - sagen wiirde "Es ist deutlich zu se-hen, dafi ... ", macht man ihm Vorwiirfe. '" </p><p>Besonders augenfallig wird das Problem dort, wo es sich nicht urn miindliche Prtifung, sondern urn eine schriftliche Schularbeit handelt. 1m Miindlichen kann man sich einen Fehler leisten, und er wird vergeben oder iibersehen. Wer prUft in einem miindliehen Examen schon pedantisch syntaktische und semantische Zusammenhange? Bei einer schriftliehen Prtifung indes entsteht ein fixiertes Papier, das immer und immer wieder angesehen und analysiert werden kann, und dessen Beurteilung fur den SchUler von besonderem Gewicht ist. </p><p>4. Aile Versuche, die Schiiler im Kontext des schulischen Unterriehts zum Gebrauch der Alltagssprache anzuhalten, erweisen sich als nahezu fruchtlos. Urn die Probleme zu verstehen, die mit miindlichen und schriftlichen Prtifungen im Fach Mathematik ver-bunden sind, muB man etwas in die Tiefe bohren, urn die 'internen Modelle' an die </p></li><li><p>86 B. D'Amore/P. Sandri </p><p>OberfHiche zu bringen. Wir sind uns voll der Tatsache bewufit, stets nur deren 'Ubersetzung' in etwas ganz Aufierliches erfassen zu konnen. Dennoch gelang es uns in den beiden oben erwahnten Untersuchungen, durch einige ganz besond...</p></li></ul>