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Teil 1Mathematik I (WS2011/2012)
KAPITEL 1MengenDefinition 1.1. Eine Menge ist eine Ansammlung von diskreten oder ni htdiskreten Elementen. ab de f g M:MengeAbbildung1.0.1. Euler-Venn-DiagrammEine Menge kann endli h oder un-endli h sein.Mengen werden mit Groÿbu h-staben (z.B. M,A,B) bes hrieben.
a ∈ M : �a in M�b /∈ M : �b ni ht in M�1.1. MengenoperationenDefinition 1.2. MengenoperationenS hnittmenge: a ∩B = (x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}Teilmenge: D ⊂ A ⇔ D = {x|(x ∈ A)(∀x ∈ D)}Vereinigungsmenge: A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}Di�erenzmenge: A\B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}Beispiel 1.1. MengenoperationenZ ganze Zahlen (. . . ,−3,−2− 1, 0, 1, 2, 3 . . . )N natürli he Zahlen (1, 2, 3, 4, 5...)R reelle Zahlen (z.B π)Q rationale Zahlen (Beispiel: 3, 7̄)C komplexe ZahlenR\Q irrationale Zahlen efAa b B dg hFigure 1.1.1. Zwei Mengen2
1.1. MENGENOPERATIONEN 3es gilt: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ CDefinition 1.3. Eine Menge A heiÿt wohlgeordnet, falls gilt:(a < b)oder(a = b)oder(a > b)
∀a, b ∈ ASatz 1.1. R (und damit au h Q,Z,N) sind wohlgeordnet.Die Gesetze, na h denen Elemente wohlgeordnete Mengen operieren sind dieGruppen- und Körperaxiome.Definition 1.4. Eine wohlgeordnete Menge A mit einer Operation ◦ (A, ◦) heiÿtGruppe, wenn gilt:(1) a ◦ b ∈ A∀a, b ∈ A (Vollständigkeit)(2) (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (Assoziativgesetz)(3) a ◦ n = a (Gesetz vom Neutralelement)(4) a ◦ a−1 = nGilt auÿerdem:(5) a ◦ b = b ◦ a (Kommutativgesetz),so heiÿt die Gruppe Abels he Gruppe.Beispiel 1.2. Operation MatrixmultiplikationH =
(1 35 7
)
I =
(1 62 9
)
H · I =
(1 35 7
)
·(
1 62 9
)
=
(7 3319 93
)
I ·H =
(1 62 9
)(1 35 7
)
=
(31 4547 69
)In der Menge der Matrizen vom Typ 2× 2 gilt in der Regel das Kommutativ-gesetz ni ht!Definition 1.5. Eine wohlgeordnete Menge A mit zwei Operationen (A, ◦, ⋆) heiÿeKörper falls gilt:(1) A ist vollständig sowohl ◦ als au h unter ⋆(2) (A, ◦) ist eine abels he Gruppe(3) (A\{n◦}, ⋆) ist eine abels he Gruppe(4) Es gilt das Distributivgesetz: a ⋆ (b ◦ c) = a ⋆ b ◦ a ⋆ c
1.1. MENGENOPERATIONEN 4Beispiel 1.3. Körper(1) Ist (R,+, ·) ein Körper? 1(2) Ist (Q+, ·) ein Körper? 2(3) Ist (Z,+, ·) ein Körper? 3Beispiel 1.4. MatrizenmultiplikationH ·N = H
(1 35 7
)
·(
1 00 1
)
︸ ︷︷ ︸
E
=
(1 35 7
)
1-Ja.2-Ja.3Nein.
KAPITEL 2FunktionenDefinition 2.1. Eine Funktion y = f(x) ist eine Abbildung, mit den Eigens haf-ten:∀x ∈ D∃ genau ein y ∈ W mit y = f(x)(D =De�nitionsberei h, W =Werteberei h)Beispiel 2.1. Sind diese Abbildungen Funktionen?(1) f(x) =
√4− x2 D = R1(2) f(x) =
√4− x2 − 2 ≤ x ≤ 22(3) f(x) =
√4− x2 32.1. Darstellung von Funktionen
• Funktionsglei hungDefinition 2.2. Funktionsglei hung(1) y = f(x) explizite Darstellung(2) g(y) + f(x) = 0 implizite DarstellungBeispiel 2.2. Funktionsglei hungen (explizit und implizit)y = 2 sinx+ 5 explizit
x2 + y2 = 16 implizite Darstellung1Keine Funktion2Ist eine Funktion, da gilt: ∀x ∈ D abgebildet werden3Identis h mit (2), ist also eine Funktion. 5
2.2. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 6• Skizze y xKreisfunktionSägezahnfunktion"normale"FunktionAbbildung 2.1.1. Diverse Funktionen• Wertetabelle x 2 6 4 . . .y 3 8 10 . . .Tabelle 2.1.1. Beispiel einer Wertetabelle• Parameterabhängige Darstellung
x = x(t)
y = y(t)
a ≤ t ≤ b2.2. Eigens haften von Funktionen• Grenzwerte (waagre hte und senkre hte Asymptoten)• Maxima, Minima } Extremwerte• Nullstellen• Stetigkeit• Wendepunkte• In�mum• Symmetrie• Sattelpunkte2.2.1. Nullstellen. Definition 2.3. Eine Funktion y = f(x) besitzt in x0 eine Nullstelle, wenn gilt:
f(x0) = 0Beispiel. Polynome
2.2. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 7f(x) = x2 − x− 6
0 = x2 − x− 6
x1 = −2
x2 = 3(gelöst mit pq-Formel!)Ist f(x) = x2+px+q sind x1 und x2 Nullstelle, dann ist f(x) = (x−x1)(x−x2)Im Beispiel:f(x) = (x+ 2)(x− 3)Beispiel. f(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 6
x3 − 2x2 − 5x+ 6 = 0
x1 = 1
(x− 1)(ax2 + bx+ c) = 0
x3 − 2x2 − 5x+ 6 = 0
ax2 + bx+ c =x3 − 2x2 − 5x+ 6
x− 1Polynomdivision.x3 −2x2 −5x +6 ÷ (x− 1) = −x2 − x− 6
−(x3 −x2)
0 −x2 −5x0 −(−x2 +x)0 −6x +6
−(−6x +6)− −
2.2.EIGENSCHAFTENVONFUNKTIONEN8
(5x6 +0x5 +2x4 +x3 −2x2 +x −4) ÷(x2 + 2x+ 3) = 5x4 − 10x3 + 7x2 + 17x+ 15−(5x6 +10x5 +15x4)
−10x5 −13x4 +x3
−(−10x5 −20x4 −30x3)7x4 +31x3 −2x2
−(7x4 +14x3 +21x2)−17x3 −23x2 +x−(−17x −34x2 −51x)
15x2 +52x −4−(15x2 +30x +45)
22x −49
2.2. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 9Beispiel 2.3. Trigonometris he Funktionen (Nullstellen)(1) f(x) = sinx(2) f(x) = cosx =√
1− sin2 x(3) f(x) = tanx = sin xcosx(4) f(x) = cotx = cos xsin x(1) Nullstellen von f() = sinx xn = nπ n ∈ ZAlle trigonometris hen Funktionen haben unendli h viele Nullstellen(2) Nullstellen von f(x) = cosx xn = 1+2n
2 π n ∈ Z(3) Nullstellen von f(x) = tanx xn = nπ(4) Nullstellen von f(x) = cotx xn = 1+2n2 π n ∈ Z2.2.2. Monotonie von Funktionen
.Definition 2.4. MonotonieSeien x1 und x2 zwei Werte aus D mit x1 < x2Dann heiÿt f(x)monoton wa hsend, falls f(x1) ≤ f(x2)∀x1, x2streng monoton wa hsend, falls f(x1) < f(x2)∀x1, x2monoton fallend, falls f(x1) ≥ f(x2)∀x1, x2monoton fallend, falls f(x1) > f(x2)∀x1, x2y x
Abbildung 2.2.1. grün: streng monotone Funktion, rot: monoto-ne FunktionBeispiel 2.4. Monotone Funktionen:f(x) = x ist streng monoton wa hsend.fn(x) = x(2n−1) ist streng monoton wa hsend.f2(x) = x2 D = R+ ist streng monoton wa hsend (R+positve reelleZahlen)fc(x) = c c ∈ R ist sowohl monoton wa hsend als au h monoton fallend.f(x) = sinxDefinition 2.5. Fakultätn! = 1 · 2 · 3 · 4 · · · · · n n ∈ N
0!def= 1Definition 2.6. Binomialkoe�zienten( n
k
)
2.2. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 10(a+ b)0 = 1
(a+ b)1 = 1ab0 + 1ba0
(a+ b)2 = 1a2b0 + 2ab+ 1b2a0
(a+ b)3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1b3a0
(a+ b)4 = 1a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4a1b3 + 1b4
(nk
)
= n!k!(n−k)!Beispiel 2.5. (
53
)
= 5!3!(5−3)! =
5!3!·2! =
12012 = 10Alternativer Lösungsweg: 5!
3!·2! =1·2·3·4·51·2·3·1·2 = 4·5
1·2 = 2 · 5 = 10
a =
(106
)
= 10!6!(10−6)! =
10!6!·4! =
7·8·9·101·2·3·4 = 7 · 5 · 3 · 2 = 6 · 35 = 210
(00
)
= 0!0!(0−0)! = 1
(n0
)
= n!0!(n−0)! =
n!n! = 1
(n1
)
= n!1!(n−1)! =
n!(n−1)! = n
(44
)= 4!
4!(4−4)! = 1(43
)= 4!
3!(4−3)! =43! = 4
(42
)= 6
(41
)= 4!
1!(4−1)! = 4(40
)= 1
(60
)= 1
(61
)= 6
(62
)= 6!
2!(6−2)! =6!
2!·4! = 5 ∗ 3 = 15(63
)= 6!
3!(6−3)! =6!
3!·3! = 2 ∗ 5 ∗ 2 = 20(64
)= 6!
4!(6−2)! = 15(65
)= 6!
5!(6−5)! = 6(66
)= 1
(a+ b)6 = 1a6 + 6a5b+ 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6Definition 2.7. Das Summenzei hen∑
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1x+ 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 =
5∑
n=1
nxn
2.3. PERIODIZITÄT 11Beispiel 2.6.3∑
n=−3
2n = 2−3 + 2−2 + 2−1 + 20 + 2 + 22 + 23
3∑
n=−3
2n =1
8+
2
8+
4
8+ 1 + 2 + 4 + 8
3∑
n=−3
2n = 157
8=
127
8=
3 · 5 · 72 · 2 · 2Aufgabe 2.1. Übungsblatt 1 Aufgabe 3(1)
ex ≈ 1 + x+x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+
x5
5!+
x6
6!+
x7
7!+
x8
8!+
x9
9!
ex ≈9∑
n=0(2)cosx ≈ 1− x2
2!+
x4
4!− x6
6!+
x8
8!− x10
10!+
x12
12!− x14
14!+
x16
16!
cosx ≈8∑
n=0
(−1)nx(2n)
(2n)!(3)sinx ≈ x− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+
x9
9!− x11
11!+
x13
13!− x15
15!+
x17
17!
sinx ≈8∑
n=0
(−1)nx(2n+1)
(2n+ 1)!2.3. PeriodizitätDefinition 2.8. Eine Funktion y = f(x) heiÿt periodis h mit der Periode(nlänge)T , falls gilt:
f(x) = f(x+ nt) n ∈ Z
T = onst.Beispiel 2.7. Periodis he Funktionenf(x) = sinx T = 2πf(x) = cosx T = 2πf(x) = tanx T = πf(x) = cotx T = πBeispiel 2.8. Sägezahnfunktion
2.4. SYMMETRIE 12f(x) = 1
2x für 0 ≤ x < 2 T = 2 x ∈ RBeispiel 2.9. (−1)[x]Re hte kfunktionf(x) =
{
1 für 0 ≤ x < 1
−1 für 1 ≤ x < 2periodis h mit T = 22.4. SymmetrieDefinition 2.9. Eine Funktion y = f(x) heiÿt
• A hsensymmetris h falls gilt:f(−x) = f(x) ∀x ∈ D
• Punktsymmetris h falls gilt:f(−x) = −f(x)Beispiel 2.10. Symmetris he Funktionen
f(x) = tanx ist punktsymmetris h.f(x) = cotx ist punktsymmetris hf(x) = sinx ist punktsymmetris h ⇒sin(−x) = − sin(x)f(x) = cosx ist A hsensymmetris h⇒ cos(−x) = cos(x)f(x) = tanx = sin x
cosx
f(x) = tan(−x) = sin(−x)cos(−x) = − sin x
cosx = − sinxcosx = − tanx⇒tan x ist punktsym-metris h.
f(x) = cotx = cosxsin x
f(x) = cot(−x) = cos xsin x
= · · · = − cot(x) ⇒ cotx ist punktsymmetris hBeispiel 2.11. f(x) = x2 · sinx
f(−x) = (−x)2 · sin(−x)
f(−x) = x2 · (−1) · sin(x)f(−x) = −(x2 sinx)
f(−x) = −f(x)
⇒ f(x) ist Punktsymmetris hSatz 2.1. Verknüpfung von Punktsymmetis h und A hsensymmetris hWerden diese beiden mittels mal oder geteilt verknüft, resultiert daraus einePunktsymmetris he Funktion.Beispiel 2.12. f(x) = x3 sinx
f(−x) = (−x)3 sinx
f(−x) = −(x3)− sinx
f(−x) = x3 sinx
f(−x) = f(x)
⇒ f(x) ist A hsensymmetris h
2.4. SYMMETRIE 13Beispiel 2.13. Zeigen sie: f(x) = ex ist ni ht symmetris hf(−x) = e−x
f(−x) =1
exAnnahme: A hsensymmetrieEs müsste gelten: f(x) = f(−x)∀x ∈ R. Setze x = 1 ⇒ f(1) = f(−1) ⇒ e = 1e.Dies ist nur der Fall wenn e2 = 1. Dem ist ni ht so! Also keine A hsensymmetrie.Annahme: PunktsymmetrieEs müsste gelten:f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R. Setze x = 1 ⇒= −(f(1)) =
f(−1) ⇒ −e = 1e. Dies ist nur der Fall, wenn −e2 = 1. Dem ist ni ht so, alsokeine Punktsymmetrie.Beispiel 2.14. f(x) = ex−e−x
2
f(−x) =e−x − ex
2
f(−x) = (−1) · ex − e−x
2f(−x) = −(f(x))
⇒ f(x) ist Punktsymmetris h.• UmkehrbarkeitDefinition 2.10. Eine Funktion y = f(x) heiÿt umkehrbar, wenn ihre Umkehrung
f−1(x) wieder eine Funktion ist.� geometris h:� analytis h: 2 S hritte:(1) x und y vertaus hen(2) au�ösen na h yBeispiel 2.15. y = x2 D = R+
f−1(x) = y =√xSatz 2.2. Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion istumkehrbar.Beispiel 2.16. y = ex W = R+ D = R(1) Analytis h
x = ey
lnx = ln(ex)
y = lnx W = R D = R+Satz 2.3. Wird eine Funktion y = f(x) umgekehrt, so vertaus hensi h Werte- und Defenitionsberei h.(2) Geometris h
2.4. SYMMETRIE 14f(x) f−1(x)
ex x ∈ R lnx x ∈ R+
sinx − π2 ≤ x ≤ π
2 arcsinx x ∈ [−1, 1]cosx 0 ≤ x ≤ π arccosx x ∈ [−1, 1]
tanx − π2 < x < π
2 arctanx x ∈ R
cotx ar otx x ∈ RTabelle 2.4.1. Funktionen und Umkehrfunktionen
CHAPTER 3Koordinatensysteme3.1. PolarkoordinatensystemKoordinatentransformation:x, y → r, ϕTransformationsglei hungen:
x = r cosϕ
y = r sinϕ
r =√
x2 + y2
ϕ = arctany
xBeispiel 3.1. Gradmaÿ und Bogenmaÿϕ: Grad [ °℄ϕ Bogenmaÿ (Radiant rad)
360° =̂ 2π
10° =̂π
18
P (x0, y0) = P (3, 4)kart. = P (5, 0.9273)polar
P (x1, y1) = P (5, 1.5)polar = P (0.3437, 4.9875)kart.Funktionen:• im kartes. Koordinatensystem: y = f(x)• im Polarkoordinatensystem: r = f(ϕ)Beispiel 3.2. r(ϕ) = ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π15
3.1. POLARKOORDINATENSYSTEM 16
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
Abbildung 3.1.1. r(ϕ) = ϕ
ϕ ∈ R
r ≥ 0Beispiel 3.3. r(ϕ) = |sin(2ϕ)|
3.1. POLARKOORDINATENSYSTEM 17
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
abs(sin(2*t))
Figure 3.1.2. r(ϕ) = |sin(2ϕ)|
Beispiel 3.4. r(ϕ) = | tan(ϕ) + 1|
3.1. POLARKOORDINATENSYSTEM 18
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
abs(tan(t)+1)
Figure 3.1.3. r(ϕ) = | tan(ϕ) + 1|
Beispiel 3.5. r(ϕ) = 42−3 cosϕ
3.1. POLARKOORDINATENSYSTEM 19ϕ = arctan
x
y
r =√
x2 + y2
√
x2 + y2 =4
2− 3 · x√x2+y2
√
x2 + y2 =4
2− 3x√x2+y2
√
x2 + y2 =4
2√
x2+y2−3x√
x2+y2
√
x2 + y2 =4√
x2 + y2
2√
x2 + y2 − 3x
1 =4
2√
x2 + y2 − 3x
2√
x2 + y2 − 3x = 4√
x2 + y2 =4 + 3x
2
x2 + y2 =16 + 24x+ 9x2
4
−5x2 − 24x− 16 + 4y2 = 0
5x2 + 24x+ 16− 4y2 = 0
25x2 + 120x+ 144− 128− 4y2 = 0
(5x+ 12)2 − 4y2 − 128 = 0
KAPITEL 4Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen4.1. Reelle ZahlenfolgenDefinition 4.1. Unter einer reellen Zahlenfolge verstet man eine geordnete Mengereeller zahlen.< an >= a1, a2, a3, . . . , an, . . . n ∈ NAlle Zahen a1, a2, . . . heiÿen Glieder der Folge. an ist das n-te Glied der Folge.Beispiel 4.1. − 1
2 ,− 14 ,− 1
6 , · · · ≡< an >= − 12nBeispiel 4.2. 1, 8, 27, 64 · · · ≡< bn >= n3Beispiel 4.3. 0, 12 ,
23 ,
34 , · · · ≡< cn >= n−1
n= 1− 1
nVerans hauli hung:Definition 4.2. Eine Zahl g ∈ R heiÿt Grenzwert einer Folge, wenn in einerbeliebigen ǫ-Umgebung von g unendli h viele Folgenglieder liegen.Definition 4.3. Eine Folge konvergiert, wenn sie genau einen Grenzwert g hat.limn→∞
an = gDann ist für ein n > n0
|an − g| < ǫBeispiel 4.4.< cn > = 1− 1
nǫ = 0, 001
n0 = 1000
|an − g| < ǫ
|1− 1
n− 1| <
1
10001
n<
1
1000n > 1000
⇒ n0 = 100020
4.1. REELLE ZAHLENFOLGEN 21Beispiel 4.5.limn→∞
(
1 +1
n
)n
= e (zu zeigen)(a+ b)n =
(n
0
)
an +
(n
1
)
an−1b+ · · ·+(
n
n− 1
)
a1bn−1 +
(n
n
)
a0bn
(a+ b)n =
n∑
j=0
(n
j
)
an−j · bj
(
1 +1
n
)n
=
n∑
j=0
(n
j
)
1n−j ·(1
n
)j
=
n∑
j=0
(n
j
)
n−j
=
(n
0
)
n−0
︸ ︷︷ ︸
1
+
(n
1
)
︸︷︷︸
n
n−1
︸ ︷︷ ︸
1
+
(n
2
)
n−2 + · · ·+(
n
n− 1
)
n−(n−1) ++
(n
n
)
n−n
Eine untere Grenze: 2 ≤ (1 + 1n)nBestimmen einer oberen Grenze:
(n
k
)
=n!
k!(n− k)!
=1 · 2 · 3 · · · · · (n− k) · (n− k + 1) · · · · · n
k! · 1 · 2 · 3 · 4 · · · · · (n− k)(n
k
)
=(n− k + 1) · (n− k2 + 2) · · · · · n
k!
(1 +1
n)n =
n∑
k=0
(n
k
)
· 1
nk
Nehme von einem Folgenglied ein Summenglied
4.1. REELLE ZAHLENFOLGEN 22(n
k
)
· 1
nn=
(n− k + 1) (n− k + 2) · · · · · (n− 1) (n)
k!· nk
(n
k
)1
nk=
(n−k+1)n
(n−k+2)n
· · · · · (n−1)n
· nn
k!(n
k
)1
nk=
1
k!· nn· n− 1
n· · · · · (n− k + 2)
n· (n− k + 1)
n
=1
k!· 1 ·
(
1− 1
n
)
︸ ︷︷ ︸
<1
·(
1− 2
n
)
︸ ︷︷ ︸
<1
·(
1− 3
n
)
︸ ︷︷ ︸
<1
· · · · ·(
1− k − 2
n
)
︸ ︷︷ ︸
<1
·
(n
k
)1
nk<
1
k!
(1 +1
n)n =
n∑
k=0
(n
k
)1
nk
︸ ︷︷ ︸
< 1
k!Für jedes Folgeglied:an = 1 + 1 +
1
1 · 2(1−1
n) +
1
1 · 2 · 3(1 −1
n)(1 − 2
n) + · · ·+ 1
1 · 2 · · · · · k (1 −1
n) · (1− 2
n) · · · · · (1− k − 1
n1
1 · 2 · 3 · · · · · n (1 −1
n)(1 − 2
n) . . . (1 − n− 1
n)
an < 2 +1
1 · 2 +1
1 · 2 · 3 + · · ·+ 1
1 · 2 · 3 · · · · · k + · · ·+ 1
1 · 2 · 3 · · · · · n︸ ︷︷ ︸
<2+ 1
2+ 1
2·2+ 1
2·2·2+···+ 1
2k+···+ 1
2n
an < 2 +1
2+
1
4+
1
8+
1
16+
1
2nDefinition 4.4. Summenformel der geomtris hen Reihesn = a0
1− qn
1− q
a0 : Anfangsglied: 12
q: Quotient: 12
⇒ an < 2 +1
2· 1− (12 )
n
1− 12
= 3− 2−n
limn→∞
an < 3− 2−∞
︸︷︷︸
0
limn→∞
an < 3Beispiel 4.6.(5
2
)
=5!
2!(5− 2)!=
4 · 52!
4.1. REELLE ZAHLENFOLGEN 23Beispiel 4.7. (7
3
)
=7!
3!(7− 3)!=
5 · 6 · 73!Beispiel 4.8.
〈an〉 =2
3,3
4,4
5,5
6, . . .
limn→∞
= 1Beispiel 4.9.〈bn〉 =
(
1 +1
n
)n
= 2,9
4,64
27,625
256
〈bn〉 = e
〈an〉+ 〈bn〉 =2
3+ 2,
3
4+
9
4,4
5+
64
27, . . .
limn→∞
(〈an〉+ 〈bn〉) = limn→∞
〈an〉+ limn→∞
〈bn〉Beispiel 4.10.limn→∞
[
(
1 +1
n
)n
+ (1− 1
n)] = e+ 1Beispiel 4.11.
limn→∞
(3− 3
n) = lim
n→∞
3 ·(
1− 1
n
)
= 3 limn→∞
(
1− 1
n
)
= 3
limn→∞
c · 〈an〉 = c · limn→∞
〈an〉Beispiel 4.12.limn→∞
(〈an〉 · 〈bn〉) =4
3,27
16,256
135,3125
1536, . . . , e · 1
limn→∞
〈an · bn〉 = limn→∞
〈an〉 · limn→∞
〈bn〉
limn→∞
〈an〉〈bn〉
= ? Vorraussetzung: 〈bn〉 ist keine Nullfolgelimn→∞
⟨anbn
⟩
=limn→∞ 〈an〉limn→∞ 〈bn〉Eigens haften von Grenzwerten und Folgen:
• Seien 〈an〉 , 〈bn〉 , 〈cn〉 Folgen mitan → gabn → gbcn → gcdann gilt:(1) 〈an〉+ 〈bn〉 = 〈cn〉 dan ist gc = ga + gb(2) c 〈bn〉 = 〈cn〉 dan ist gc = c · gb
4.2. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 24(3) 〈an〉 · 〈bn〉 = 〈cn〉 dan ist gc = ga · gb(4) 〈an〉 ÷ 〈bn〉 = 〈cn〉 dan ist gc = ga ÷ gb falls gb 6= 0(5) 〈arn〉 = 〈cn〉 dann ist gc = gr r ∈ R\{0}Beispiel 4.13.limn→∞
(1 +1
n)n = e
limn→∞
(1 +1
n)2n = e2
(
limn→∞
(1 +1
n)n)2
= limn→∞
(1 +1
n)2nBeispiel 4.14.
limm→∞
(1 +1
m)m = e
limm→∞
(1 +m)1
m = e subst:m =1
n4.2. Grenzwerte von FunktionenBeispiel 4.15.f(x) =
x− 3
x+ 2Definition 4.5. Eine Funktion y = f(x) sei in einer Umgebung von x0 de�niert.Gilt dann für jedeim De�nitionsberei h der Funktion liegende und gegen die Stellex0 konvergierende Zahlenfolge〈xn〉 (x1 6= x0) gilt dafür stets: limn→∞ f(xn) = gso heiÿt g Grenzwert der Funktion f(x) für x → x0. Wir s hreiben: limx→x0
f(x) =g.Beispiel 4.16. Ni ht-existente Grenzwerte•
limx→π
2
tanx
•limx→∞
x
•limx→π
cotx
•limx→0
lnxBeispiel 4.17. Grenzwerte existieren
4.2. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 25(1)f(x) =
x2 − 1
x− 1linksseitiger Grenzwert limx→1
x2 − 1
x− 1
limn→∞
(1− 1n)2 − 1
(1− 1n)− 1
limn→∞
1− 2n+ 1
n2 − 1
− 1n
1n2 − 2
n
− 1n
− 1n+ 2
1
2− 1
n