Die globale Definition Taste AltGr

~

z 6= z auch oberhalb der globalen Definition bekannt!

z 5≡ globale Definition

z 5=

z 3:= lokale Redefinition ...

z 3= ... setzt globale Definition außer Kraft!

z 6≡ ... setzt die letzte globale Definition außer Kraft!

z 6=

Definition einer mathematischen Gleichung Taste Strg

+a x⋅ b+ c=

Cursor zu x setzen und ...

... Symbolik / Variable / auflösen liefert:

b c−( )−

a

Einführung in Mathcad 14.0 2011 H. Glavnik

Editieren von Termen

Text schreiben mit Shift "

Löschen mit Shift + Entf

2 x2

⋅4 x⋅

x2

3− x++ x+ Navigation mit Leertaste und Cursor

3 x3

⋅x2 5 a⋅+

sin 2 x⋅( )+

3x+

Arten von Gleichheitszeichen

Definition eines Terms bzw. einer Funktion

Taste

:

x 2:= lokale Variable

y 2 x2

⋅:=

Taste

=Auswertung eines Ausdrucks

Die Berechnung des Arbeitsblattes erfolgt von oben nach untenund von links nach rechtsx 2=

y 8= y kann ausgewertet werden, da x zuvor der Wert2 zugewiesen wurde

Symbolisches Lösen von Gleichungen mit Keyword solve (View/Toolbar/symbolic)

x x:=

a x⋅ b+ c= auflösen x,b c−( )−

a→

Übung: a 2:= b 4:= c 5−:=

a x2

⋅ b x⋅+ c+ 0= Quadratische Gleichung aufgelöst nach x ...

1

2 a⋅( )b− b

24 a⋅ c⋅−( )

1

2

+

⋅

1

2 a⋅( )b− b

24 a⋅ c⋅−( )

1

2

−

⋅

0.871

2.871−

= ... und mit = ausgewertet.

ODER:

x12 a b, c,( ) a x2

⋅ b x⋅+ c+ 0= auflösen x,

1

2 a⋅b− b

24 a⋅ c⋅−( )

1

2

+

⋅

1

2 a⋅b− b

24 a⋅ c⋅−( )

1

2

−

⋅

→:=

x12 a b, c,( )0.871

2.871−

=

Wertebereich einer Variablen

x 1 5..:= .. mit Taste

;

Auswertung ergibt: x

1

2

3

4

5

=

Startwert 1, Endwert 5

Schrittweite ist automatisch 1

x 1 1.2, 2..:= Dezimalzeichen ist ein Punktx

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

=

Schrittweite ist Differenz aus zweiter minus erster Zahl

Matrix einfügen: Strg+M

0 5 100

10

20

Y

X

Y

2

6

9

13

18

:=X

1

3

4

7

9

:=

Darstellung diskreter Daten

f x( )

8

7.22

6.48

5.78

5.12

4.5

3.92

3.38

2.88

2.42

2

1.62

1.28

0.98

0.72

0.5

=

2 1 0 1 210

5

0

5

10

f x( )

g x( )

h x( )

0

x

x 2− 1.9−, 2..:=(Zweite Funktion einfügen durch Beistrich hinter der ersten)

Funktionsgraph (Diagramm)Funktionswerte desWertebereichs von x

h x( ) wenn x 0≤ x 5−, x 5+,( ):=Stückweise definierte Funktion:

f 2( ) 8=g u( ) 47.667=u 5:=g 2( ) 8.667=

Funktionswerte berechnen:

Argumentklammer beachten!g x( ) 2x3

3+ z+:=z 4:=f x( ) 2 x

2⋅:=

Definition von Funktionen

a3

a− faktor a a 1−( )⋅ a 1+( )⋅→Symbolik/Faktorisieren:

a 2 b⋅+( ) a b−( )⋅ a2

+ entwickeln 2 a2

⋅ 3 a⋅ 18−+→Symbolik/Erweitern:

a4

1−

a 1+vereinfachen a

3a2

− a 1−+→Symbolik/Vereinfachen:

a s⋅ t+ v= auflösen a,t− v+

s→Symbolik/Auflösen:

a a:=[STRG] [Umschalt] [.]

Cursor zu x; Symbolik / Variable / auflösen

Symbolische Lösung:b c−( )−

ages: x

Strg +a x⋅ b+ c=geg:

Symbolisches Lösen von einfachen Gleichungen

2 1 0 1 2 3

0

20

40

y x( )

0

x

x a ab a−

N 1−+, b..:=Lösung:

a) Bestimme einen Ausdruck für den Wertebereich von x!b) Zeichne den Graphen und verändere k und d! Fixiere die Grenzen der y-Achse

Gewünschte Anzahl der Punkte im Graphen

N 4:=

Intervall der x-Werte soll zwischen a und b liegenb 3:=a 2−:=

y x( ) k x⋅ d+:=Parameter der Geraden:d 10:=k 4:=

Übung: Die lineare Funktion

a) Welche Kraft ist notwendig, um eine Längenänderung von 8 zu bewirken ?b) Welche Längenänderung wird durch eine Kraft von 30 verursacht ?c) Stelle die Federkennlinie graphisch dar!

F ∆l( ) k ∆l⋅ a ∆l2

⋅+:=k 2.225:=

a 0.023:=a=0 ... linear; a>0 ... progressiv; a<0 .... degerssiv

Beispiel: Die Federkennlinie

Physikalisch sinnvolle Lösung t=13,028 s

v0− v02

2 a⋅ s⋅ 2 a⋅ s0⋅−+

1

2

+

a

v0 v02

2 a⋅ s⋅ 2 a⋅ s0⋅−+

1

2

+

−

a

13.028

23.028−

=

beide Ausdrücke markieren; Symbolik / Vereinfachen ...

1

2 a⋅( )2− v0⋅ 2 v0

22 a⋅ s⋅ 2 a⋅ s0⋅−+

1

2

⋅+

⋅

1

2 a⋅( )2− v0⋅ 2 v0

22 a⋅ s⋅ 2 a⋅ s0⋅−+

1

2

⋅−

⋅

s0 100:=v0 10:=a 2:=Anfangswerte einsetzen:

s 400:=ges: a) Nach welcher Zeit t wird der Weg s zurückgelegt ? b) Zeichne das Weg-Zeit Diagramm und zeichne die gefundene Lösung ein.

Literalindex: v Punkt 0sa

2t2

⋅ v0 t⋅+ s0+=Beschleunigte Bewegung:

Übung:

Kraft Rakete-MondF d dE−( ) γMM m⋅

d dE−( )2⋅=

Kraft Rakete-ErdeF dE( ) γME m⋅

dE2

⋅=

Literalindex: M Punkt . EME MM 81⋅=

Beispiel: Gleichgewicht zwischen Erde und Mond

0 5 10 15 200

20

40

F x( )

30

y

x x, 11.99,

zu c) F ∆l( ) k ∆l⋅ a ∆l2

⋅+:=y 0 40..:=x 0 0.2, 16..:=

Physikalisch sinnvoll ist nur die Lösung ∆l = 11.996 !

1

2 a⋅( )k− k

24 a⋅ F⋅+( )

1

2

+

⋅

1

2 a⋅( )k− k

24 a⋅ F⋅+( )

1

2

−

⋅

11.996

108.735−

=

ges: ∆l

F 30:=mitF k ∆l⋅ a ∆l( )2⋅+=zu b)

F x( ) 19.272=x 8:=zu a)

Lösung:

γMM 81⋅ m⋅

rE2

⋅

γMM m⋅

rM2

⋅

6=

3

26⋅ rM⋅

3−

26⋅ rM⋅

3

26⋅ 3.674=

Verhältnis Erdradius / Mondradius:

Nur die Lösung 9/10.d ist physikalisch sinnvoll !

9

8d⋅

9

10d⋅

Nun nach dE auflösen ....81 γ⋅ MM⋅m

dE2

⋅ γ MM⋅m

d dE−( )2⋅=

γME m⋅

dE2

⋅ γMM m⋅

d dE−( )2⋅=

ME markieren und

Symbolik / Variable / ersetzen ...wählen

in die Zwischenablage kopierenMM 81⋅γME m⋅

dE2

⋅ γMM m⋅

d dE−( )2⋅=

1) Ersetze Me durch 81.Mm

ges: dE

GleichgewichtsbedingungγME m⋅

dE2

⋅ γMM m⋅

d dE−( )2⋅=

Anmerkung: Liegt die Gleichung in der Form f(x) = h(x) vor, so muss sie zuerst auf die Form g(x) = 0 gebracht werden.

Dh. setze g(x) := f(x) - h(x) und löse dann die Gleichung g(x) = 0

Die nummerischen Lösungen hängen von der Wahl des Startwertes ab!

wurzel g x( ) x,( ) 1.532=x 2:=

wurzel g x( ) x,( ) 0.347=x 0:=

wurzel g x( ) x,( ) 1.879−=x 3−:=

Startwerte:

TOL 0.00001:=TOL 1 103−

×=Toleranz:

2) Nummerische Bestimmung der Nullstellen mit der wurzel() Funktion

4 2 0 2 420

0

20

g x( )

0

x

g x( ) x3

3 x⋅− 1+:=x 3− 2.8−, 3..:=

1) Graphische Veranschaulichung:

Gesucht: Lösungen (Nullstellen) der Gleichung

x3

3 x⋅− 1+ 0=Gegeben:

Nummerisches Lösen einer Gleichung - Bestimmung der Nullstellen

wurzel g x( ) x,( ) 201.065−=x 200−:=Startwert:

TOL 0.001:=

TOL 1 105−

×=

2 0 2 4 6100

50

0

50

g x( )

0

x

x 2− 1.98−, 4.4..:=g x( ) 5

2 x⋅ 1+

33x 4−

⋅ 8

x 1+

2−:=

zu 2)

5

2 x⋅ 1+

33x 4−

⋅ 8

x 1+

2=

ln25

144603922678272

ln512

455625

4.327=

zu 1)

Gesucht: 1) Symbolische Lösung 2) Numerische Lösung mit graphischer Veranschaulichung

5

2 x⋅ 1+

33x 4−

⋅ 8

x 1+

2=B3:

1

1 ln 10( )+( )1 ln 10( )+( ) ln 10( )⋅[ ]

1

2

⋅

1−

1 ln 10( )+( )1 ln 10( )+( ) ln 10( )⋅[ ]

1

2

⋅

0.835

0.835−

=

ex2−

10x21−( )

=B2: e 2.718=Eulersche Zahl ist vordefiniert:

2.Lösung

52.x 3−

5=B1:

Exponential- und Logarithmusgleichungen

Übung: Bestimmung des Adiabatenexponenten bei einer adiabatischen Zustandsänderung

Gegeben: V1 1000:= T1 500:=

V2 820:= T2 1000:=

V1

V2

κT2

T1

κ 1−

=

Gesucht: K

V1

V2

κT2

T1

κ 1−

=ln

T2

T1

ln1

V1V2⋅

T2

T1⋅

1.401=

κ

lnT2

T1

ln1

V1V2⋅

T2

T1⋅

:= κ 1.401=

x

0.172

0.246

0.156

=x llösen A c,( ):=

b) Lösen des linearen Gleichungssystems mit Hilfe der Funktion llösen():

x

0.172

0.246

0.156

=x A1−c⋅:=Lösung x mit der inversen Matrix berechnen

A 157.78=Determinante muß <>0 sein!(A ist regulär)

c

1.2

0.3

2.5

:=A

0.5

4

7.5−

0.4

1.2−

9

6.5

0.6−

10.1

:=

gegeben: Gleichungssystem A.x = cgesucht: Vektor x

a) Lösen des linearen Gleichungssystems mit Hilfe der inversen Matrix:

Gesucht: Lösungen für x, y und z

7.5− x⋅ 9.0 y⋅+ 10.1 z⋅+ 2.5=

4 x⋅ 1.2 y⋅− 0.6 z⋅− 0.3=

0.5 x⋅ 0.4 y⋅+ 6.5 z⋅+ 1.2=

Gegeben: Lineares Gleichungssystem

Lösen von linearen Gleichungssystemen

7.5− x⋅ 9.0 y⋅+ 10.1 z⋅+ 2.5=

4.0 x⋅ 1.2 y⋅− 0.6 z⋅− 0.3=

0.5 x2

⋅ 0.4 y⋅+ 6.5 z⋅+ 1.2=

z 0.168=y 0.23=x 0.169=Probe - Lösungen einsetzen:

x

y

z

Suchen x y, z,( )

.16923315084647280666

.22998067193279371418

.16825966177756461608

47.789100182486860527

254.62778222489260311

191.16156323320613604−

→:=

7.5− x⋅ 9.0 y⋅+ 10.1 z⋅+ 2.5=

4 x⋅ 1.2 y⋅− 0.6 z⋅− 0.3=

0.5 x2

⋅ 0.4 y⋅+ 6.5 z⋅+ 1.2=

Das Wort Vorgabe nicht als Text eingeben!Vorgabe

z 0.1:=y 0.1:=x 0.1:=Startwerte:

c) Nummerische Lösung:

xi konvergiert gegen die Wurzel aus a !

a 22.361=xi

1

250.5

126.248

65.104

36.392

25.066

22.507

22.361

22.361

22.361

=

Unterscheide den Vektorindex [ vom Literalindex . !!!

xi 1+

1

2xi

a

xi

+

⋅:=Rekursionsvorschriftzur Berechnung derQuadratwurzel von a

Vektorindex x [ 0

x0

1:=Startwert:

i 0 N..:=Zählervariable (Index)

N 9:=Anzahl der Iterationen

a 500:=Zahl aus der die Wurzelzu ziehen ist:

Aus der Zahl a soll mit Hilfe einer rekursiven Formel ihre Quadratwurzel berechnet werden:

Rekursionen

i von 0 bis NDarstellung als FunktionK i( ) K0

1 p+( )i

⋅:=

K4

1.17 104

×=

Ki

1·10 4

1.04·10 4

1.082·10 4

1.125·10 4

1.17·10 4

=

0 1 2 3 41 .104

1.1 .104

1.2 .104

Ki

i

RekursionvorschriftKi 1+ K

iKip⋅+:=

i 0 N..:=

Lösung:

2) Stellen Sie Ki als Tabelle dar und zeichnen Sie den Graphen Ki als Funktion von i

1) Finden Sie eine geeignete Rekursionsvorschrift für Ki !

N 4:=Einlagedauer:

p 0.04:=Zinsfuß / Jahr:

K0

10000:=Einlagekapital:

Beispiel: Zinsrechnung

Rechnen mit Einheiten

Physikalische Größe = Maßzahl mal Maßeinheit

s 1 s⋅:=Einfügen / Einheit ...

a 10m

s2

⋅:= v0 3m

s⋅:= s0 2 m⋅:= t 0 s⋅ 0.5 s⋅, 10 s⋅..:=

z.B: Beschleunigte Bewegung: s t( )a

2t2

⋅ v0 t⋅+ s0+:=

Zurückgelegter Weg:s t( )

2

4.75

10

17.75

28

40.75

56

73.75

94

m

=

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

100

200

300

400

500

600Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

s t( )

t

x2 x

2⋅ 4−( )d

d

4

8

12

16

→x2 x

2⋅ 4−( )d

d

4

8

12

16

=

mit = ausgewertetx 1 4..:=Wert der Ableitung an mehreren Stellen x :

oder x2 x

2⋅ 4−( )d

d16=

x2 x

2⋅ 4−( )d

d16→

2x

x4d

d

2

192→Strg und Punkt, dann Enter

Symbolische Auswertung mit --> Operator

x 4:=Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle x - sei

f x( ) x2

= xf x( )

d

d2 x⋅=Variable x markieren und

Symbolik / Variable / Differenzieren liefert:

12 x2

⋅Symbolik / Auswerten / symbolisch (shift F9)

2x

x4d

d

2

Strg + Punktrr2d

d2 r⋅→

Symbolik / Vereinfachenx

x2d

d

2 x⋅

Symbolik / Auswerten / symbolisch (shift F9)

2 x⋅xx2d

d

Symbolik / Variable / Differenzieren liefert:

x2 2 x⋅

Ableitung von Funktionen:

1

4π⋅

1−

4π⋅

1

2π⋅

1−

2π⋅

liefert 90° als sinnvolle Lösung !

nach α auflösen ...

0 2 1 tan α( )2+( )⋅ v02

⋅cos α( )2

g⋅ 4 tan α( )⋅ v0

2⋅

cos α( )g

⋅ sin α( )⋅−=

Erste Ableitung null setzen ...

2 1 tan α( )2+( )⋅ v02

⋅cos α( )2

g⋅ 4 tan α( )⋅ v0

2⋅

cos α( )g

⋅ sin α( )⋅−ist gleichαx α( )d

d

nach α differenzieren ...2 tan α( )⋅ v02

⋅cos α( )2

g⋅istx α( )

0

2 tan α( )⋅ v02

⋅cos α( )2

g⋅

x α( )=

nach x auflösen...

Zusammenhang zwischen Wurfweite x und Abschußwinkel α

x tan α( )⋅g x

2⋅

2 v02

⋅ cos α( )2⋅

− 0=

Schiefer Wurf - Unter welchem Winkel muß geworfen werden, damit die Wurfweite maximal ist ?

Beispiel: Extremwertaufgabe

Stg+Punkt

a

b

xx2⌠

⌡

d7

3→

b 2:=a 1:=

Auswerten der Integrationsgrenzen des bestimmten Integrals:

1

3b3

⋅1

3a3

⋅−Symbolik / Auswerten / symbolisch (shift F9)a

b

xx2⌠

⌡

d

Symbolik / Vereinfachena

b

xx2⌠

⌡

d

1

3b3

⋅1

3a3

⋅−

Bestimmtes Integral:

Strg und Punktxx2

⌠⌡

d1

3x3

⋅→

1

4x4

⋅xx3

⌠⌡

dSymbolik / Vereinfachen

Symbolik / Auswerten / symbolisch (shift F9)

xx3

⌠⌡

d

1

4x4

⋅

Symbolik / Variable / integrieren liefert:

x2

1

3x3

⋅

Unbestimmtes Integral:

Integration von Funktionen: