S. FALK, .EinschlieSungssatze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare 41

ZAMM 44 (1964) Heft l/!?, s i t e 41-55

Einschlieflungssatze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare*) Von S. FALK

Nil Hilfe Plementarer Siitze aua der Ueonietrie der ebenen Mmampnkthaufen tuerden bekannte Ein- sdlie~ungssatze eon K r y l o f f - B o g o l i u b o v , T e m p l e , Co l la t z u d anderen unter gemeinsaniein Ge- sichtspnkt hergeleitet und aufs Komplexe erweitert. Auch einige new Ergebnisse werden dabei gewonnen.

By meuna of basic pincipka of the plane geometry of particle ckcstere the well known themenu by K r y - loff- Bogol iubov, T e m p l e , Col la t z and others are developed from a viewpoint which is wmmon to all. They are extended to complex numbers, alao some new results are obinined by this procedure.

C noMoubm aneare~~ap~erx TeopcM u3 reoMeTpHw II~OCKIIX miomecTn ToqeqHbix Mace BLI- ~ O ~ R T C I I Teopenm 06 orpamseHua 06nacm a ~ a s e ~ a f t I C p ~ n o e a - B o r o n ~ ) B o ~ a , Tcmnean, K o n s ~ a ~ s a II npyrax c o6meft TOYKH 3pe~wn w ZaeTcH o 6 o r s e ~ ~ e rIa KoMn.rIemiiym oGnacTr,. I Ioaywsm HeIiOTOpbIe iIoBtIe p e s y n i ~ a ~ n .

1. Allgemeines iiber normale Mstrizenpaare Vorgelegt sei die allgemeine Eigenwertaufgabe

(1 -1) 2 l x = I B x mit zwei quadratischen Matrizen (11 und 113 der Ordnung R . Das Matrizenpaar (11; '23 heil3t normal, wenn 113 hermitesch und positiv definit ist und 11 beziiglich '23 unitare Eigenvektoren F, existieren:

(1 -3) (* bedeutet Transposition mit gleichzeitigem Cbergang zunl konjugiert Komplexen.)

paares feststellen an Hand der Beziehung

(1.4) (11* 8-l(11 = (11 B-l%*; Fur die Anwendungen besonders wichtig ist der Fall, da13 aul3er 8 auch damit nnch (1.4) offenbar ngrmal - ist; die EigenwerteA, sind dann alle rcell: (1 -5) (11* = (11; 113* = 113 pos. def.; ;Zi reell; xi komplex . Noch haufiger ist der sogenannte reelle Fall: beide Matrizen sind reellsymmetrisch (und damit normal), dann sind aul3er den Eigenwerten auch noch die Eigenvektoren reell: (1.6) 91' = 9€; '23' = B pos. def.; ;Zi reell; xi reell. Aus der 113-Unitaritat (1.2) folgt die Spektralzerlegung von a:

aus der man zusammen mit (1.1) leicht schliefit, daf3

gilt, das heist, das Matrizenpaar R; 8 hat die C'g ( 1 enwerte

bei beliebigem P zu den Eigenvektoren gf des Paares a; 'B.

(1 3 ~f '23 xk = d i k e

'23* = '23 pos. def.,

Aber auch ohne die Kenntnis der Eigenvektoren 1aI3t sich die Normalitat eines Matrizen-

8* = b pos. def. hermitesch - und

(1.7)

(1.8)

(1 -9)

'iY = Z;Zi (8 xi) ('23 €I)* 9

Q t: = (a - P B)* '23-1 ((11 - P '23) 1: = I;z - P I S % g

1; = 14 - PI2

2. Wertebereich und Massengeometrio

Konstanten a,,, a1 und a,, die sich auf Grund der Entwickelbarkeit Wir wahlen einen beliebigen Vektor 8 und berechnen die drei sogenannten Smwazschen

und der 'B-Unitaritit (1.2) durch die Eigenwerte folgendermaBen amdriicken lassen :

*) Vortrag, gehalten anlaDlich der Tagung ,,Anwendungen der Matrizenrcchnung" des 1nstitut.s fur Angewandto Mathomatik der TH Dresden, Jenuar 1961. Auszugsweisc vorver6ffentlicht in [3].

42 S. FALK, Einschlichngssatzc fur die Eigenwerte normalcr Matrizenpaarc

Hier stehen rechts Gesamtmasse, statisches Moment und Tragheitsmoment eines ebenen Massen- punkthaufens; einen Vektor a wahlen heirjt also, die Eigenwerte Li mit gewissen Massen

(2.3) mi = lcila 2 0 belegen, und Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) und Tragheitsradius dieses Punkthaufens sind nach (2.2):

(2.4) Schwerpunkt R = - - = ** " * (im allgemeinen komplex) , Qo a'Ba

Tragheitsradius 8; = 3 = ** "* '-' * (reel1 und nicht negativ) , a0 6* '$3a-

Es sind dies nichts anderes als die HAYLEraH-Quotienten der beiden Paare 91; '$3 bzw. a* 8 - 1 a; B nach (1.8) mit P = 0. Wie man sich leicht uberlegt, ist R an den sogenannten Wertebereich von Bild 1 gebunden: das ist jener konvexe Bereich, dem man durch Umspannen des Punkt- haufens mit einem straffen Faden erhalt, und fiir den Tragheitsradius So gilt die Ungleichung

L a

Bid 1. Werteberelch der Eigeneertc A( (schrafflertes Polygon) und ihrer FktrSge 1111 (Strecke A B ) .

Das ist der Wertebereich A B von Rild 1. Nun ziehen wir noch den STEINERsChen Satz heran, der die zum Schwerpunkt R und dem beliebigen Punkt P gehorigen Tragheitsradien miteinander verkniipft, :

Fiir den Nullpunkt 0 der komplexen Zahlenebene wird speziell

und die Differenz der beiden letzten Gleichungen gibt noch allgemeiner

Damit haben wir bereits alle fur das Folgende benotigten theoretischen Grundlagen beisammen. Wir bcmerken nur noch, darj man (2.10) nach (1.8), (1.9) aucli so schreiben kann:

cine Formulierung, die allerdings langst nicht so durchsichtig ist wie die Folge (2.8) bis (2.10).

(2.8)

(2.9)

& = 6% + IR - Pl2.

cg = 6% + lRp ,

(2.10) ~3% = 6: - lRt2 + IR - PI2.

(2.1 1) sod; = a* (2 - P Bj* - m ) ~ ,

3. EinschlieSnng eines Eigenwertes mit Hilfe eines Niiherungsvoktors 3 allein Ordnen wir die EigenwerteA nach ihren Abstanden Ii vom beliebigen Punkt P @Id 1):

(3.1) l 1 ~ l 2 ~ ' ' - ~ l n ; l i = P - A , so wird der Tragheitsradius (2.10)

(3.2) in d; = m, 1: + m, $ + - . - + m, 1;

S. FALE, Einschliel3ungssiitze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare 43

und daher wegen (3.1)¶ wenn wir in der Summe (3.2) einmal alle 1; durch l:, dann durch 1, er- setzen,

(3.3) 2: 5 6; 5 1; und das ist bereits der an sich triviale, aber grundlegende

SATZ I: (3.4) In Worten : Innerhalb (auperhalb) oder auf dem Rande des Kreises um den beliebigen Punkt P der komplexen Zahlenebene mil dem Radius 8 p Eiegt mindestens ein Eigenwert I , (Ak).

Nach (2.10) wird der TrtEgheitsradius offenbar am kleinsten fur P = R, namlich

(3.5)

Das ist der Satz von KRYLOFF-BWLIUBOV [7] , den wir nach (3.4) auch mit Hilfe der SCHWARZ- schen Konstanten (2.2) allein formulieren konnen :

(3.6) as a, - [all2 5 la, - Li a,I2. Fur '23 = Fb (Diagonalmatrix) und 8 = ei geht (3.5) in die folgende spezielle Form uber

(3.7) k*i

die besonders bei stark uberwiegender Hauptdiagonale von 91 brauchbar ist, denn dann sind die Einheitsvektoren ei gute Naherungen fur die gesuchten Eigenvektoren xi.

Nun ziehen wir die Gerade durch 0 und P ; sie moge den EinschlieBungskreis in den Punkten S und T schneiden (Bild 2) ; diese beiden Diametralpunkte beschreiben den Einschlies- sungskreis natiirlich ebenso gut wie sein Mittelpunkt P und sein Radius S,, was wir indessen nur fur den hermitesehen Fall ausfuhren wollen. S, P und T , ebenso R, liegen dann auf der reellen Achse, und es folgt aus

/

L

D a s = P - 8 p , T = P + S p Bild 2. Zum Einschliel3ungsaats von TEYPLE.

(3.8) zunachst (3.9) S + T = 2 P , ST=P2-862p ,

und weiter nach dem STErNERsChen Satz (2.10) (3.10) 8; = 8% - ( P - R)2 + R2 = 8% - P2 + 2 P R - R2 + R2

_ - - S T + ( S + T ) R = S ( R - T ) + T R , also

(3.11) @ - R T S = R - T '

oder mit den ScHwAbzschen Konstanten (2.2) nach (2.4), (2.5) (auch a, ist jetzt reell):

(3.12) a, - a, T a, - a, T ' S =

und das ist der Satz v o n T ~ m ~ ~ [Sj: zwischen den Punkten S und T der reellen Zahlengeraden liegt mindestens ein Eigenwert des hermiteschen Matrizenpaares %; 23.

Um noch einen weiteren Satz zu gewinnen, denken wir uns dieMatr ixB zerlegt in das Produkt zweier Matrizen (3.13) B=%*% (zum Beispiel in Dreiecksmatrizen nach CHOLESKY-BANACHIEWICZ) und berechnen eine Diagonal- matrix D = Diag (qi) aus der Forderung (3.14) % a = %* El%& = (%* n%*-1) B ?J oder auch (3.15)

44 S. FALH, EinschlieBungssatze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare

Hier sind die Diagonalelemente qi die Quotienten der einander entsprechenden Komponenten gleicher Nummer der beiden Vektoren %*-la 6 und % 8, also

(3.16)

Mit der Abkiirzung

und auf Grund der Beziehung (3.18)

(3.17) % f = m

(% f)* 23-1(% f) = (a* %* El* 8) (8-1 %*-I) (%* D 8 8) v -- - m* 0: 0: m

werden nun die ScHwARzschen Konstanten (2.2) zu den folgenden Summen: a0 = 6*, 23 a = f * % * % a = m* m - - wi wi = z (w# ,

(3.19) a, = a* % f = a* 8* El % a = m* El m = izf vi = z Iwip, qi , I a, = (a a)* 23-l(% 6) = a* %* D* El % 8 = m* a* D b = 2 Vi u, = 2 Ilui[? - I q r [ 2 . Wieder liegt ein ebener Massenpunkthaufen vor uns; nur sind diesmal die Punkte qa der kom- plexen Zahlenebene mit den Massen mi = 1wiI2 belegt. Wenn fur j < n Quotienten qi die Glei- chung (3.16), namlich (3.20) in der Form

0 (3.21) o * q i = o , d. 11. qi = 5

erscheint, so fehlen in allen drei Summen

die entsprechenden j Summanden, und wir haben nur noch k = n - j Massenpunkte vor uns, die wir ,,definiert" nennen wollen und deren Abstande el, ez, . . . , eL vom Punkt P der GroBe nach geordnet seien : (3.23) e l ~ e 2 S . . . S e e , , k S n . Dann gilt nach der gleichen Schluaweise wie in (3.1) bis (3.3) (3.24) e: 8% 5 g, somit ziisammen mit (3.3)

und das ist bereits der

(3.22) zcwi wi, 2 w i u i , z l ' i v i

(3.25) 1, 5 ek

SATZ I I (Quotientensatz):

tienten qi enthalt, enthalt auch mindestens einen Eigenwert des normalen Matrizenpaares %; 23. Jeder Kreis der komplexen Zahlenebene, der samtliche k 5 n nach (3.16) definierten Quo-

Die Zerlegung (3.13) entfallt, wenn 23 = 5D Diagonalmatrix ist. Dann namlich wird (3.26)

(3.27)

%* = % = s u 2 ,

und (3.14) geht iiber in 8 a = %1/2 0 $ y / Z f = 0 $y/z %,I2 6 = 9 8 , -

weil die drei unterklammerten Matrizen als Diagonalmatrizen vertauschbar sind. Die Quo- tienten qi werden damit

(3.28) i = l , 2 ,..., k. ta alr [% f l i '

qi = -

Im reellen Fall (1.6) ist mit 23 auch % reell, somit sind es bei reell gewahltem Vektor a auch alle Quotienten qi, und Satz I1 geht iiber in

(3.29) I Ia) qmin 5 Ri 5 qmsx *

Das ist der Einschliehngssatz von COLLATZ f2], der sogar noch fur eine gewisse nichtnormale Klasse von Matrizenpaaren 9l; D giiltig ist.

S. FALK, Einschliefiungssiitze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare 45

Alle in diesem hbschnitt aufgefhhrten Satze sind, wenn auch in etwas anderer Forniu- lierung, bereits von WIELANDT [9], [ 101 unter einem geineinsamen Gesichtspunkt betrachtet worden. WIELAXDT zeigt auch, daB diese EinschlieWungen optimal, das heil3t ohne Heranziehung weiterer Informationen nicht zu verbessern sind.

4. EinschlieSung von Eigenwerten mit Hilfe yon n Niiherungevektoreii 31, falls alle EinechlieBungskreise getrennt liegen

Wir wahlen jetzt n beliebige Vektoren &, die weder 8-unitar noch linear unabhangig zu sein brauchen, und berechnen fur jeden von ihnen den Schwerpunkt Ri der zugehorigen Massen- belegung nebst Tragheitsradius 8". Liegen nun alle diese n Schwerpunktskreise getrennt, so enthalt jeder von ihnen nicht nur mindes t ens einen Eigenwertk, was die SatzeI und I1 lediglich aussagen, sondern genau einen; denn es sind insgesamt ja nur n Eigenwerte vorhanden. Nun betrachten wir insbesondere einen Eckpunkt li des Polygons von Bild 1 und denken uns um die iibrigen n - 1 Einschliel3ungskreise einen 1J'aden gespannt; das gibt den konvexen Ue- reich in Bild 3, der den Teilschwerpunkt H" dieser R - 1 Eigenwerte enthalten mu13. Nun ist H i der Schwerpunkt des gesamten Punkthaufens, mu13 also auf einer Geraden mit E u n d &, aul3erdem zwisclien diesen beiden Punkten liegen. Darnit aber ist auf den schraffierten Kreis-

sektor in Bild 3 festgelegt. 1st 21 hermitesch, somit das Spektrum reell, so gibt es nur zwei Eckwerte und fur diese folgt nach l3ild 4

(4.1) 1, 5 R,; R n S i Z , , / / fi o / ' wo jetzt die Eigenwerte von links nach rechts numeriert sind.

/ \

Blld 3. lilnaciilie0ung elncs Eek-Elgen- BUd 4. EinschlleDullg der Uelden Eck-Eigenwcrte Im licrmitesclierl Fall. wertc6 im schraffterteu Krelssektvr mlt

Iiuis der n - 1 Ilbrigen EinschlleBung8krebe.

Als nachstes betrachten wir das schraffierte Dreieck von Bild 5, wo

und nach dem Hohensatz

BUd 5. Konstruktion der Durohscllnlttn drr beldrii Krcisc li, und 1:. Bild 6. Verkleinerulig drr ScliH.rrpuriktarrulien ,LRi nuf Jg mit H u e der Entleriiungen In. falb die Schwerpunkte-

kreise getrennt liegen. in elner feat gewlhlten llichtung P.

46 S. FALK, EiiisohlieDungssLtze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare

/

ist. Hier sind wir mit I' in Richtung a bereits so weit geriickt, daW der zugehorige Einschlie- fiungskreis K , noch gerade von allen iibrigen Einschlieljungskreisen (bzw. -sektoren nach Bild 3) getrennt liegt; daher mu13 sowohl in K , wie in K,, also im Ihisbogenzweieck HQAQ' liegen. Uies in allen moglichen Richtungen u durchgefiihrt, liefert den kleinstmoglichen Ihrchschnitt aller zu gehorigen Einschlie13ungskreise iiberhaupt. Fur eineii Eck-Eigenwert kann man in gewissen Richtungen mit P bis ins 1Jnendliche ziehen und gewinnt dadurch die schon bekanntcn Sektoren des Bildes 3 wieder.

Da nun die exakte Ermittlung des kleinsten Durchschnittes im allgemeinen miihselig ist, bescheiden wir uns mit folgender Einschliel3ung: hi sei cler liadius des groflten Kreises urn Ni , der von den iibrigen n - 1 Kreisen gerade nochgetrennt liegt (Bild 6). Dann walilen wirfiir alle Richtuiigen a die gleiche Entfernung Ri Fi = hi und damit nach (4.3) auch die gleiclien Strek- ken d i ; das heiWt der Durchschnitt ist zum Kreis um H i mit dem Radius

(4.4) di = &{/hi geworden, und es gilt der

SAT% 111:

als Verbesserurig des Satzes I, (3.4). Jetzt gehen wir zur Uestirnmung des Durchschnittes noch grober vor, indem wir alle

Tragheitsradien durch iliren grBBten, alle Schwerpunktabstande aber durch ihren kleiiistcn ersetzen : (4.6) Sg,,, >= fur alle i ,

(4 7) Dann folgt nach Bild 7

(4.5) lili - Ril 5 da,,/h, = di < SZRi

A,,, 5 d z t = / H i - Rkj fur alle i und k .

(4.8) 'ti 2 'Inin = 4 i n - Sinax +

uiid (4.5) geht iiber i n

Amin .1 3

(4.9)

- si

wobei man noch nachpriifen muW, ob die Ungleicliung

erfullt ist, uni sicher zu sein, daB auch wirklich alle n Icreise getrennt liegen; eiii I<riteriuni, &s besonders bei der Programmicrung fur digitale Rechenautomaten von Vorteil ist.

(4.10) /Irnin > 2 d m a x

Ini herniiteschen Yall brauclien wir mit dem Punkt I' nur in den Riclitungeri IS (nacli reclits) und - a (nacli links) zu wandern; (4.3) gibt d a m mit den Bezeichnungen des Bildes 8 die EinschlieBung

(4.10) I I Ib)

Verbessert man hier zunachst alle oberen Schranken Gi in der Reihenfolge GI, G,, . . . , G, sodnnri alle unteren Schranken Fi in der Iieihenfolge F,,, Fn-,, . . . , F,, wo fl = y, = = 00 zu selzen ist, so gewinnt man die opiimale Einschlieaung, die mit R gegebenen Vekloren a i ohne zusatzliche Information iiberhaupt crreichbar ist.

S. PALK, EinschliclJungssatze fiir die Eigcnwerte no rmah b€etrizenpaare 47

5. Simultane EinsehlieSung von k 5 pt Eigonwerten dureh gleiehmilSige Massenbelegung Nicht immer werden die n Schwerpunktkreise von vornherein getrennt liegen - fur mehr-

fache Eigenwerte zum Reispiel ist eine solche Trennung ja uberhaupt unmoglich - und wir sehen uns daher nach Satzen um, die mehrere Eigenwerte gemeinsam einschlieflen. Setzt man in der Entwicklung (2.1) alle c i = 1 und damit nach (2.3) ,such alle mi = 1, so werden die ScHwuzschen Konstanten (2.2)

;io=zI = n = n i ,

a, = 2& a2 =

= s = M a , I : (5.1) Ik12 = S = 8 , .

und die RAYLEIOH-Quotienten (2.4) und (2.5) sind

(5.3)

Die Summe (3.2) ist hier einfach (5.4) n - d $ = 2 ' 1 : . Wir zerlegen sie in zwei Anteile

,.

(5.5)

und verkleincrn die rechte Seite, indem wir im ersten Summanden alle li = 0, im zweiten allc li == lk setzen; dann wird

(5.6) und das ist bereits der

n @ 2 0 + [n - (k - l)] Z i ,

SAT2 I V : Der Kreis um den beliebigen Punkt P der komplexen Zahlenebene mil dem Radius e p k , iuo

(5.7)

enfhaif mindeslens k Eigenwerfe des normalen Mafrizenpaares 9l; B. Nun ist dcr Trigheitsradius B p nach (2.10) und (5.2), (5.3)

(5.8)

Er wird am kleinsten fur I-' = A; auch e p k nimrnt: seinen kleinsten Wert an, niimlich nach (5.7):

Das' ist der Satz von MEImIcn [5], [S], der sogar fur beliebige nichtnormale Matrizenpaare gilt.

(5.10)

Von Interesse ist noch der Fall P = 0, wo

Speziell fur k = n wird ISi2

n e in = ,'j - -?-,

(5.1 1)

speziell (5.12) wird. Die in allen diesen Formeln benotiglen Summen s und S sind leicht zu berechnen, weiin '8 = 6S (Einheitsmatrix) ist:

(5.13) s = Zli = 2 a i i , n

1

(5.14)

48 S. FAIX, Einscl~lie~ungssiitze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaarc

1st 8 dagegen Vollrnatrix, so transforrniert man das gegebeiie Paar %; 8 zunachst init Hilfe einer geeigneten Yj-unitaren Matrix U auf die Form

(5.15) @ = U * P I U ; 5 = 1 t * B 1 1 = Q und kann nun (5.13), (5.14) benutzen. Fur % = Is, ist einfacli (5.16) U = Diag ( d ~ ~ l ~ ) . Wie man aucli ohne die Iiistige Transformation (5.1.5) zu einer brauchbaren Einschliel3ung koinnil, zeigcn wir im Rbschnitt 8.

Die Kreise (5.7) lassen sich einengen, wenn wir wiedcr wie irn Abschnitt 4 rnit dein Punkt I-' in dcr kornplexen Zahlenebene ninherziehen und den kleinstmoglichen Durchschnitt erniitteln.

Ilild 9. Zur Enriittlung des optfmalen Rnrliufi !,in = u.

Da inan abcr im allgomeinen niclit weiB, ob aucli tatsachlich iniiiier die gleichen h- Eigenwerte vorn Durchschnitt erfaflt werden, ist t in solches Vorgehen nur sinnvoll fur k = n, wenii also nach (5.7) (5.17) = n ' dgn

ist. h i l i c h wie in Hild 5 koinmt es nun darauf an, die Strecke

(5.18)

(5.19)

2

]Q - fil = t(x) = o p t & - N = ti. &, - z

in Hild 0 zuin Minimum zu iilachen. Der STEINERsChe Satz (2.8) lautet hier

8, Gfl -i- 111 -- iil = @, -1- 5 2 .

Soniit wird aus (5.18) (5.20)

und cine triviale Hechiiung liefert aus df/dx = 0 den gesucliten Wert

t(x) = 1/11 ( b i n -+ x'> - x + rnin ,

(5.21) f;,,i,* = ( I 2 - 1) . 6Rn "2 =: - - ( s - y ) = @2 n

iiach (5.10). Damit haben wir als Verbesserung von (5.10) den

SATZ IVb) : I m lireis um den Schiuerpiinki k = sin mil dern Rudius 0, wo

(5.22)

liegen siinilliche Eigeniuerte des nomialen Matrizenpaares (II ; '23, Auch cliese Variante findel sich bereits in der zitierten ,Irbeit [5] von IIEINRICH. 1)er Satz IV niit allen seinen Sonderfallen kann naturgemafl iiur recht grobe Scliranken

liefern, da ja in keiner Weise die Nachbarschaft des Ansatzvektors a zu irgendeinem Icigen- vektor benutzl, sonderii irn Gegenteil die Gesamtrnasse gleichmaflig verteilt wurdr. IVeitaus bessere Ergebnisse bekornnien wir daher so : irgend k Kreise mogen nicht getrennt liegen; dann

S. FALK, EinsehlieBungssatee fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare 49

wahlen wir einen Punkt P im Inneren dieses zusammenhiingenden Gebietes und betrachten im folgenden das Matrizenpaar

das nach (1.9) die Eigenwerte

zu den Eigenvektoren des Paares ‘2; 23 besitzt. Die zu den k Schwerpunktskreisen gehorigen Vektoren ji sind demnach auch gute Naherungen fur das hermitesche Paar (5.23); die Linear- kombination

.~

(5.23) ~ ~ ( ~ - ~ 2 3 ) * 2 3 - l ( ~ - P 2 3 ) ; 2 3 ,

(5.24) \Ai - PI2 = I ;

(5.25)

(5.26)

m = a181 + * - - + aka&, (61, - * . ; jd = 8 9

fuhrt auf das k-reihige Matrizenproblem

a* 9 8) a = r“8* 23 8) Q

mit (5.27) a = (al, . . . , a,) , und es gilt (5.28) yi” 2 1; fiir j = l , 2 , . . . , k. Entweder lost man (5.26) exakt auf und findet neben den yi” uber (527), (5.25) k neue Naherungs- vektoren tq, die wesentlich besser sind als die gegebenen jj - das ware das Vorgehen nach RITZ - oder man benutzt den Satz IV mit P = 0 - fur das neue Paar (5.23) ist P der Null- punktl -, wobei noch n durch k und k durch j zu ersetzen ist.

6. Rhhrpsrsmetrige Eigenwertprobleme Wir verallgemeinern die Aufgabe (1.1) auf die Form

wo mindestens eine der Matrizen a,, etwa Ej hermitesch und definit sei, und setzen

so da13 (6.1) ubergeht in (6.2) Gj = 23; k.- 3 - -1,

(6.3) ($, 6,) = 9l F = 123 E *

Falls nun ist zum Beispiel der Fall, wenn (6.4) E: = 0;. (hermitesch); 6 = k, (reell) fur alle I, so gelten auch aile bisher bewiesenen Satze in Abhiingigkeit von diesen Parametern, was wieder- urn eine Reihe praktischer Anwendungen gestattet.

bezuglich 23 normal ist fur alle interessierenden Werte der Parameter k, und das

Betrachten wir daraufhin das Eigenwertproblem

(6.5) (rn wa + 5D 0 + 6) E = O f wo jede der drei Matrizen hermitesch, 9.X auflerdem positiv definit sei (gedampfte Schwingungen). Dann ist

(6.6) e r g - (0; + 0 %) F mit

(6.7) 02 = - 1, w, 1 reell von der gewunschten Form (6.3), (6.4), und die ScHwARzschen Konstanten (2.2) sind

a, = a* m j a, = & * & a + j* 5 D & . O

= M , = C + D * w ,

a, = &* (E + 0 %)* Zm-1(0; + w 58) j = c^+ w ( V + U ) + o z f i .

R hangt hier linear, & - und damit auch 8% und C3$ - quadratisch von o ab; dR selbst stellt somit eine Hyperbel nach Bild 10 dar. Tragt man nun 6,(0) nach beiden Seiten von R(o) ab fur jeden Wert von W , so entsteht ebenfalls eine Hyperbel, in deren Innern mindestens einer der Kurvenaste 1(w) verlaufen mu13. Die Parabel (6.7) schneidet daher aus dieser Hyperbel

4

50 S. FALK, EinschlieBungssatze fur die Eigenworte normaler Matrizenpaare

zwei Gebiete heraus, deren jedes mindestens einen reellen Eigenwert Q enthalt, und das gilt fur jede zu einem fest gewahlten Vektor gehorige Hyperbel. Allerdings gibt es reelle Schnitt- punkte nur fur grol3e Werte von D (starke Dampfung); iiber die praktisch vie1 wichtigeren komplexen Eigenwerte wi erflhrt man somit auf diese Wcise nichts; cine wcnigstens simultane EinschlieI3ung aller 2 11 Eigenwerte findet man jedoch in [4].

t" /

Bild 10. Ychnitt von EIuschlieOun~hyperbeln nilt der Yarabel w' = - ). und dcr Oeradeu i. = w 1111 liermitcschen Fall

7. Unterdrueken von 8-1 mi$ Hilfe des Wertebereiches yon b; E Die Berechnung der ScHwARzschen Konstanten

(7.1) mit

a2 = ('$1 a)* %-l ('lr 8) = ((II 8) (%* %)-I ((II a) = b* b

( 7 4 tl = %*-I ,i!I 6 erfordert die vorherige Zerlegung von 23 nach (3.13), was nicht niir zeitraubend und lastig ist, sondern namentlich bei groI3en Matrizen auch unliebsame und schwer kontrollicrbare Rundungs- fehler hervorruft. Wir formen daher (7.1) etwas um :

(7.3)

mit

und (7.4)

(7.5)

woniit zuniichst nichts gewonnen ist, doch liegt r als RAYLEraH-Quotient des Paares B-'; 6 in einem reellen Wertebereich, der abgeschlossen wird durch die beiden Eigenwerte k;& und k,;: wo die ki die Eigenwerte des Paares 23; e sind, das heiI3t es gilt

1 s r s - , 1 - km*x kmlu

(7.6)

und damit wird nach (2.5) . , (7.7)

S. FALK, EinschlieBungssltze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaarc 51

wo

(7.8) k 5 kmin

cine untere Schranke fur den im allgemeinen ja nicht bekannten kleinsten Eigenwert des her- miteschen Paares '23; (3 ist. Wir befreien uns also von der Zerlegyng (3.13), indem wir die Ein- schlieflungsradien 6, - und damit auch dP fur beliebiges P - in den Satzen I, I11 und IV um ein gewisses Ma13 vergroBern; und zwar ist entscheidend fur den Genauigkeitsverlust der Faktor r j i 2 1. Um diesen Faktor moglichst klein zu halten, empfiehlt sich die vorherige Transfor- mation des Paares Z; 23 mit (7.9) F = $-ll2 g ; ,$ = Diag (bii) auf (7.10) wo nun

(7.11) = J2-1/2 @-1/2. 9 $j = $-W yj $-1!2

(7.12) b;, = 1 ; I&kl < 1 und

ist. Das Ellipsoid a* '23 8 = (1, ist damit auf ein kugelahnlicheres mit der Gleichung a* @ 8 = 6,

zusammengestaucht worden; fur 23 = SD (Diagonalmatrix) wird es exakt zur Kugel, und es ist r = k = 1. Dann aber ist die Transformation (7.10) auch iiberflussig, da die Zerlegung (3.13) trivial ist.

Eine untere Schranke fur den kleinsten Eigenwert des Paares %; (5: bekommen wir nun auf einfachc Weise so: wir zerlegen $3 in die Summe

(7.13) & = ( 3 + $ h

und schlieflen alle Eigenwerte von 8 simultan nach (5.22) ein, wo insbesondere noch s = 0 nach (5.13) ist, denn alle Diagonalelemente f̂ ii von !& sind Null, und sich S nach (5.14) berechnet zu

h

(7.14) s =: Lp Ifikl"

Der Kreis mit dem Radius u um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene mit

(7.15)

enthiilt somit samtliche Eigenwerte der Matrix B; und da nun nach (7.13) die Eigenwerte von @ alle um 1 grol3er. auBerdem reel1 sind, ist

woniit (7.16) 1 - - d 5 k 5 l + u ,

- (7.17) k Z 1 - a als untere Schranke fur die Formel (7.7) gewonnen ist.

keineswegs immer gewahrleistet ist, siehe jedoch (7.28).

indem wir die falschen Quotienten

Allerdings ist (7.17) nur brauchbar, solange -d < 1 bleibt, was fur grol3e Ordnungszahlen n

huch im Quotientensatz I1 (3.25) konnen wir uns leicht von der Zerlegung (3.13) befreien,

(7.18)

berechnen und sie mit den richtigen

(7.19)

nach (3.16) vergleichen. Gehen wir namlich zu den Betragen uber und beachten, daQ fur die Eigenwerte E von %*-l; (3 wegen %* % = 23 die Ungleichung

(7.20)

4*

52 S. FALK, EimschlieBungssiitze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaarc

besteht, so wird

(7.21) Iq+l 5 ',' ' * < lQil . h I I ei '23 a - kmin

Ganz entsprechend folgt fur das Paar !S& = % - P 23; 23 aus (7.18)

(7.22) Q . - = e ; ( 8 - p B 8 ) 8 = Q i - P , e; 23 a

und ebenso aus (7.19)

(7.23)

und das ist zusammen mit (7.21) der Satz von BARTSCH [I]:

SATZ I Ib )

(7.24)

In Worten: Man wahle einen Kreis um den beliebigen Punkt P mit dem Radius r, der samtliche definierten Quotienten Qi enthalf. Dann enthiilf der Kreis um P mit dem Radius

(7.25)

mindestens einen Eigenwert des normalen Matrizenpaares %; B. Auch hier konnen wir nach (7.17)

(7.26)

setzen, solange CT < 1 ist. 1st dies nicht der Fall, so hilft oft die Transformation mit n linear unabhangigen Naherungsvektoren 8 i (7.27) (81, 82, * ' Y an) = 8 9

die normiert seien, auf die Form (7.28)

wo nun die Elemente gik: in (7.12) und damit auch d kleiner geworden sind, wenn die 8; brauch- bare Naherungen waren; ist 8 = X gleich der Modalmatrix der Eigenvektoren &, so wird exakt 6 i k = o fiir alle i, k.

8* 889 =A8* 8 8 g Y

8. Unterdriicken von %- durch Aufspalten yon b Mit Hilfe der Zerlegung (7.13) konnen wir die Aufgabe (1.1) nach (7.10) auch in der Form

(8.1) a g = n B g = A ( & + S ) g schreiben; das heifit es ist

(8.2) mit (8.3) W = A .

Im hermiteschen Fall (1.5) haben wir dann wieder die Hyperbeln des Bildes 10 vor uns, aus denen nun die Gerade (8.3) die gesuchten EinschlieQungsbereiche herausschneidet, falls sie zwei verschiedene k i t e (und nicht zweimal denselben) trifft, wovon man sich durch eine fliichtige Skizze leicht uberzeugt. Urn diese Schnittpunkte zu berechnen, setzen wir die ScHwARzschen Konstanten

6 0 = a* a = E ,

iil = a* Qi 8 - w a* 8 8 = A - W F , i ;;Z = 8* (@ - w $)* (@ - w $) 3 = G - 0) (H + H> + w2 J (8.4)

in (3.6) ein, ersetzen noch A durch (o und das Zeichen 5 durch = und haben damit die qua- dratische Gleichung

(8.5) a,(w) a, - a:(w) = (a,(w) - w ao)2.

S. FAT.K. EinschlieBunnssPtze fur die Eiaenwerh normaler Metrizenpaare 53

Zwischen den beiden reellen Wurzeln w1 und w2 dieser Gleichung liegt dann mindestens ein Eigen- wert des hermiteschen Paares 8; '23: (8.6) 0 1 2 ni r 0,

Hier ist bemerkenswert, da13 w1 = = w, wird bei Wahl von 8 = xi: der Eigenwert & wird exakt getroffen, was bei der Methode (7.7) keineswegs der Fall ist I

Auch alle ubrigen Satze I bis IV mit ihren zahlreichen Varianten lassen sich im hermiteschen Fall durch den einfachen Kunstgriff der Zerlegung auf eine numerisch giinstigere Form bringen; doch mu13 der Ngherungsvektor a relativ gut und die Restmatrix 8 relativ klein sein, wenn die Schranken (8.6) nicht zu grob ausfallen sollen.

1st nun % nicht mehr hermitesch, sondern beliebig normal, so versagt die Methode im allge- meinen, da die Differenzmatrix a - o $ nicht mehr normal sein wird.

9. Ein Beispiel Gegeben sei das normale reelle Matrizenpaar,

a=[-: -3 15 121; 8 % = 8 -12 26

(9.1)

mit den Eigenwerten

1 0 0 0 1 0 0 0 2

(9.2) ; 2 , = 1 5 + 9 i , 2 , = 1 5 - 9 i Y & = - 3

und den Eigenvektoren

(9.3)

Mit den relativ groben Naherungsvektoren

(9.4)

-2 i -1

fuhren wir zunachst die Satze I, I1 und I11 vor; alle benotigten Zahlenwerte findet man in der Tabelle I.

Tebelle I

91 92 P3

7 + 3 i 15 + 1 6 i 17 + 6 i

4 56 + 30;

1168

14 + 7,5i

6,12 289,6

15 2,48

7 - 3 i . 16 - 16 t 1 7 - 6 ;

Set2 I1

4 6

1158 I 186 66 - 30i - 10 (2.2)

I

Sat2 Ia 6,12

l5 2,48 I %2 Set2111

Die Quotienten qi streuen recht erheblich und sind deshalb nicht eingezeichnet. Die Schwer- punktskreise liegen jedoch getrennt; daher lassen sich alle Sa€ze des Abschnittes 4 anwenden. Da hier alle drei Eigenwerte Eckwerte sind, gewinnen wir die grob schraffierten Sektoren des Bildes 11. Dann erst (nicht vorherl) lesen wir die Groi3en & aus der Zeichnung ab (ihre genaue Berechnung ware miihselig und lohnt nicht) und berechnen die kleineren Radien di nach (4.4), aus denen man wiederum die kleineren, eng schraffierten Sektoren des Bildes 11 erhalt. Man konnte jetzt die neuen, etwas groBeren Werte & ablesen und wiederum in (4.4) einsetzen; der Ge- winn ist jedoch minimal.

54 S. FALK, Einschliehngssatze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare

Nun zur simultanen EinschlieBung nach Abschnitt 5. Die Transformation (5.16) ist trivial und ergibt das neue Paar

9 = 27 s = 621 2 = S / l l = 9

ez, = 11,23 @>, = 13,75 ez, = 19,44 CJ = 16,Q

-1 -3 8/@

8/J2 -12/1/2 13

Satz IVa Sat2 IVb

Bild 11. EinsclilleDungskreise und -8ektoren zum Zahlenb~isplel

Damit berechnen wir die Gro13en s und S nach (5.13), (5.14), ferner fi nach k = 1, 2,3 nach (5.9), schlieljlich 0 nach (5.22); Zahlenwerte siehe Tabelle 11.

(5.2) und p f i r fiir

10. Schlullbemerkung Wir haben mit Hilfe elementarer Satze aus der Mechanik des ebenen Massenpunkthaufens

eine Reihe bekannter Einschlieflungssatze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare auf ihren gemeinsamen Ursprung zuruckgefuhrt und dabei auch einige neue Ergebnisse gewonnen. Wir merken nur noch an, da13 man zu schaderen Einschlieljungen gelangt, wenn man auljer den beiden RAYLEIaH-Quotienten (2.4) und (2.5) noch weitere herqnzieht. SchlieBt man zum Beispiel die reellen Eigenwerte des hermiteschen Paares R; 23 (1.8) ein, so hat man die Eigenwerte des gegebenen Paares 3; 23 (1 .l) in Kreisringgebiete eingeschlossen. Allerdings wachst der dafiir

S. FALK, Einschliehngssatze fur die Eigenwerte normaler Matrizenpaare 55

erforderliche Rechenaufwand stark an, und es ist daher ratsamer, bei den hier entwickelten ein- fachen Satzen zu bleiben, dafiir aber im Bedarfsfalle die Naherungsvektoren a i zu verbessern, entweder durch Rotation oder Iteration, zumal diese Vektoren selbst im allgemeinen von Inter- esse sind.

Im zweiten Teil der Arbeit') entwickeln wir auf der gleichen Grundlage der ebenen Massen- geometrie eine Reihe von Satzen zur Einschliehng von Eigenvektoren normaler Matrizenpaare, siehe auch die Arbeit [3].

Literatur [ 11 H. BARTSCH, Ein EinschlieDungssatz fiir die charakteristischen Zahlen allgemainer Metrhn-Eigenwert-

[2] L. ~OUATZ, Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, Leipzig 1963. [3] S. FALK, Einschliehngssiitze fiir Eigenwerte und -vektoren normaler Matrizenpmre, Wiss. Z. T.U. Dres-

[4] S. F m , Klassifikation gediimpfter Schwingungssysteme und Eingrenzung ihrer Eigenwerte, Ing.-Arch. 29,

[5] H. HEINRICH, Zur Eingrenzung der charakteristischen Zahlen einer beliebigen Matrix, Wise. 2. T.U. Dres-

[6] H. HEINRICH, Schrittweim Verbetmrung einer Eingrenzung der Eigenwerte einer Matrix und der Null-

[7] K R ~ ~ o n - B o a o ~ ~ u ~ o v , Bull. Acad. Sci. URSS, Classe phys. math., Leningrad 1929. 181 G. TEMPLE, Roc. Lond. math. Soc. (2) 29, S. 257-280 (1929). [9] H. WIELANDT, Ein EinschlieBungssatz fur die charakteriatischen Zahlen normaler Matrizen, Arch. Math. 1

aufgaben, ZAMM 84 (1953).

den 10, Heft 5 (1961).

Heft 6 (1960).

den 6, Heft 2 (1956/67).

stallen cines Polynom, ZAMM 42 (1962).

( 1948/49). [lo] H. WIELANDT, Die Einschliehng von Eigenwerten normaler Matrizen, Math. Ann. 121 (1949/50).

Manuskripteingang: 27. 12. 1962

Anaclmi/ft: Prof. Dr. S. FALK, Braunschweig, Falledeber Str. 42

I) Erscheint Ende 1964.