H. Schlichting • K. Gersten

Grenzschicht-Theorie

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Herrmann Schlichting • Klaus Gersten

Grenzschicht-Theorie

Unter Mitarbeit von Egon Krause und Herbert Oertel Jr.

9., völlig neubearbeitete und erweiterte Auflage mit 282 Abbildungen und 22 Tabellen

Springer

Professor Dr. phil. Dr.-Ing. E.h. Herrmann Schlichting vormals o. Professor der technischen Hochschule Braunschweig, Direktor der Aerodynami-schen Versuchsanstalt Gottingen und Leiter des Instituts fUr Aerodynamik Braunschweig der Deutschen Forschungs- und Versuchsanstalt fUr Luft- und Raumfahrt, gestorben 1982.

em. Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Klaus Gersten Ruhr-Universităt Bochum Institut fUr Thermo- und Fluidmechanik UniversitătsstraBe 150 44801 Bochum

Die Vorauflagen erschienen im Verlag G. Braun, Karlsruhe

ISBN 978-3-662-07555-5

Die deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Schlichting, Herrmann: Grenzschicht-Theorie: mit 22 Tabellen 1 Herrmann Schlichting; Klaus Gersten.-9.-vollig neubearb. und erw. Aufl./unter Mitarb. von Egon Krause und Herbert Oertel Jr.

ISBN 978-3-662-07555-5 ISBN 978-3-662-07554-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-07554-8

NE: Gersten, Klaus

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@ Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997 Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1997 Softcover reprint of the hardcover 9th edition 1997

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Herstellung: Produserv Springer Produktions-Gesellschaft, Berlin Satz: Formelsatz Steffenhagen, Konigsfeld Umschlaggestaltung: Friedhelm Steinen, Estudio Calamar, Spanien

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Vorwort zur neunten Auftage

Zweifellos gehört die Grenzschicht-Theorie von Hermann Schlichting zu den wichtigsten Büchern auf dem Gebiet der Strömungstechnik der letz-ten Dekaden. Kurz vor seinem Tode hat Hermann Schlichting noch die achte Auflage herausgebracht, die er unter Mitwirkung seines ehemaligen Kollegen und Freundes Friedrich Wilhelm Riegels neu bearbeitet hatte.

Als diese Auflage vergriffen war und der Verlag eine Neuauflage anstrebte, habe ich diese Aufgabe gern übernommen. Während meiner fünfzehnjährigen Tätigkeit am Institut meines hochverehrten Lehrers Her-mann Schlichting war ich bereits bei früheren Auflagen des Buches betei-ligt und hatte einige Kapitel überarbeitet. Erleichternd kam hinzu, daß die Grenzschicht-Theorie im weitesten Sinne seit vielen Jahren mein bevorzug-tes Forschungsgebiet ist.

Es wurde sehr schnell klar, daß eine völlig neue Überarbeitung not-wendig war. Dieses war auch schon Hermann Schlichting bewußt. Im Vor-wort zur achten Auflage schrieb er dazu: "Im Interesse einer Systematik unseres heutigen Wissens wäre es wünschenswert gewesen, die Darstellung völlig zu überarbeiten. Doch hätte ein solches Vorgehen das Erscheinen um einige Jahre hinausgeschoben." Gegenüber der achten Auflage mußte die Literatur der letzten 15 Jahre berücksichtigt werden, und neuere Entwick-lungen, z.B. bei den Turbulenzmodellen, waren zusätzlich aufzunehmen. Um jedoch den Umfang des Buches in etwa zu belassen, mußten manche Er-gebnisse, die bei den heutigen Möglichkeiten des Computereinsatzes nicht mehr so wichtig erscheinen, gekürzt dargestellt oder gänzlich weggelassen werden.

Damit ergab sich die Notwendigkeit, den Text praktisch völlig neu zu schreiben. Die Grundeinteilung des Buches wurde jedoch beibehalten. Es bestehen nach wie vor die vier großen Abschnitte: Grundgesetze der Strömungen von viskosen Fluiden, laminare Grenzschichten, Einsetzen der Turbulenz, turbulente Grenzschichten. Es wurde jedoch ein neuer fünfter Abschnitt über numerische Verfahren der Grenzschicht-Theorie angefügt.

Die Kapiteleinteilung mußte etwas geändert werden, um die Syste-matik in der Darstellung des Stoffes zu verbessern. Wegen der notwendigen

vi Vorwort zur neunten Auflage

Straffung des Stoffes bestand das Bestreben, sich auf die eigentliche Grenz-schichttheorie als die Theorie der Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen zu konzentrieren. So entfiel beispielsweise das Kapitel über "schleichende Bewegungen", also über Strömungen bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen.

Es lag nahe, den Stil und das Niveau der Darstellung mit der gleichen Zielgruppe wie bei Hermann Schlichting anzustreben.

Das ständig wachsende Forschungsgebiet der Grenzschicht-Theorie hat inzwischen eine solchen Umfang angenommen, daß ein einzelner den gesamten Überblick praktisch nicht mehr haben kann, Daher bin ich zwei Kollegen äußerst dankbar, die mich tatkräftig unterstützt haben. Herr Pro-fessor E. Krause schrieb das neu hinzugefügte Kapitel über die numerischen Verfahren der Grenzschicht-Theorie, und Herr Professor H. Oertel Jr. be-sorgte die Neubearbeitung des Abschnittes über das Einsetzen der Turbu-lenz (Stabilitätstheorie ).

Weitere Hilfe wurde mir verschiedentlich zuteil. Den Herren Dr.-Ing. Peter Schäfer und Dr.-Ing. Detlef Vieth verdanke ich zahlreiche neue Beispielrechnungen. Herr Dr. Vieth hat außerdem den gesamten Text kritisch gelesen. Ihm verdanke ich zahlreiche Verbesserungsvorschläge. Frau Renate Götzenleuchter gebührt ganz besonderer Dank für die Anfertigung der Bilder, die bis auf einen kleinen Teil neu erstellt wurden. Bei Frau Ur-sula Beitz möchte ich mich für die sorgfältige und mühevolle Überprüfung des Literatur- und Namensverzeichnisses besonders bedanken. Frau Mari-anne Ferdinand und Herr Eckhard Schmidt haben tüchtig mitgeholfen. Es konnten bei weitem nicht alle Literaturzitate übernommen werden, so daß für spezielle Literaturhinweise zu früheren Arbeiten eventuell auf die achte Auftage zurückgegriffen werden muß.

Die äußerst fruchtbare Zusammenarbeit mit der Satzfirma Jörg Steffenhagen sei besonders lobend erwähnt. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag für die angenehme Zusammenarbeit.

Ich hoffe, wir konnten im Sinne von Hermann Schlichting sein Werk weiterführen.

Bochum, Oktober 1996 Klaus Gersten

Inhaltsverzeichnis

Einleitung XVII

Teil A: Grundlagen der Strömungen mit Reibung

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung 1 1.1 Wirkliche und ideale Fluide 1 1.2 Viskosität . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . 4 1.4 Laminare und turbulente Strömungen 12 1.5 Asymptotisches Verhalten für große Reynolds-Zahlen 13 1.6 Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien

Grenzlösung . . . 14 1.7 Zusammenfassung . . . . . . 26

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie 29 2.1 Grenzschicht-Konzept . . . . 29 2.2 Laminare Grenzschicht an der längsaugeströmten ebenen

Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Turbulente Grenzschicht an der längsaugeströmten ebenen

Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Ausgebildete turbulente Strömung im Rohr 38 2.5 Grenzschicht am Tragflügelprofil 39 2.6 Ablösung der Grenzschicht . . 40 2.7 Übersicht zum folgenden Stoff . 52

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide 53 3.1 Beschreibung von Strömungsfeldern 53 3.2 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Allgemeiner Spannungszustand verformbarer Körper 56 3.5 Allgemeiner Verformungszustand strömender Fluide 60 3.6 Beziehung zwischen Spannungen und

Verformungsgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . 66

viii Inhaltsverzeichnis

3.7 Hypothese von Stokes . . . . . . . . . . . . 69 3.8 Volumenviskosität und thermodynamischer Druck 70 3.9 Navier-Stokes-Gieichungen . . . . . . . . . . 72 3.10 Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.11 Bewegungsgleichungen für beliebige Koordinatensysteme

(Zusammenfassung) . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.12 Bewegungsgleichungen für kartesische Koordinaten in

Index-Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.13 Bewegungsgleichungen in speziellen Koordinatensystemen 85

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen . . . . . 89 4.1 Ähnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Ähnlichkeitsgesetze für Strömungen mit Auftriebskräften

(gemischte erzwungene und natürliche Konvektion) 93 4.3 Ähnlichkeitsgesetze für die natürliche Konvektion 97 4.4 Wirbeltransportgleichung . . . . . . 98 4.5 Grenzfall sehr kleiner Reynolds-Zahlen . . . . . 100 4.6 Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen . . . . . 101 4.7 Mathematisches Beispiel zum Grenzübergang Re -+ oo 104 4.8 Mehrdeutigkeit der Lösungen der

Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . 107

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gieichungen 109 5.1 Stationäre ebene Strömungen . . . . . . 110

5.1.1 Couette-Poiseuille-Strömungen 110 5.1.2 Jeffery-Hamel-Strömungen (ausgebildete Düsen-

und Diffusor-Strömungen) 112 5.1.3 Ebene Staupunktströmung 119 5.1.4 Parabel-Umströmung 125 5.1.5 Kreiszylinder-Umströmung 126

5.2 Stationäre axialsymmetrische Strömungen 126 5.2.1 Kreisrohr-Strömung (Hagen-Poiseuille-Strömung) 126 5.2.2 Strömung zwischen zwei konzentrischen rotierenden

Zylindern . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.3 Axialsymmetrische Staupunktströmung 128 5.2.4 Strömung an einer rotierenden Scheibe 130 5.2.5 Axialsymmetrischer Freistrahl . . . . 135

5.3 Instationäre ebene Strömungen . . . . . . 136 5.3.1 Strömung an einer plötzlich in Gang gesetzten ebe-

nen Wand (Erstes Stokessches Problem) . . . . . 137 5.3.2 Strömung an einer oszillierenden Wand (Zweites

Stokessches Problem) . . . . . . . . 140 5.3.3 Zeitlicher Anlauf der Couette-Strömung ..... 141

Inhaltsverzeichnis IX

5.3.4 Instationäre asymptotische Absaugung 5.3.5 Instationäre ebene Staupunktströmung 5.3.6 Oszillierende Kanalströmung

5.4 Instationäre axialsymmetrische Strömungen 5.4.1 Zeitlicher Wirbelzerfall 5.4.2 Instationäre Rohrströmung

5.5 Zusammenfassung . . . . . . .

Teil 8: Laminare Grenzschichten

6

7

Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht . . . . . . . . . . . . 6.1 Aufstellung der Grenzschichtgleichungen 6.2 Wandreibung, Ablösung und Verdrängung 6.3 Dimensionsbehaftete Darstellung der

Grenzschichtgleichungen 6.4 Reibungswiderstand 6.5 Plattengrenzschicht . .

Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen . . 7.1 Wandbindung ............. . 7.2 Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen

7.2.1 Herleitung der gewöhnlichen Differentialgleichung A. Grenzschichten mit Außenströmungen B. Grenzschichten ohne Außenströmung

7 .2.2 Keilströmungen . . . . . . . . 7 .2.3 Strömung im konvergenten Kanal 7.2.4 Trennungsschicht 7 .2.5 Gezogene Platte 7.2.6 Freistrahl . . . . 7.2.7 Wandstrahl ...

7.3 Transformation der Koordinaten 7.3.1 Görtier-Transformation . 7.3.2 v. Mises-Transformation 7.3.3 Crocco-Transformation .

7.4 Reihenentwicklungen der Lösungen 7.4.1 Blasius-Reihe . . . . . . . 7.4.2 Görtler-Reihe . . . . . . .

7.5 Asymptotisches Verhalten der Lösungen stromabwärts 7.5.1 Nachlauf hinter ebenen Körpern ..... .

142 143 149 151 151 152 153

155 155 160

164 166 167

179 180 181 181 184 187 187 189 190 192 193 195 197 197 198 200 200 200 202 202 203

X Inhaltsverzeichnis

7.5.2 Grenzschicht an einer bewegten Wand 7.6 Integralsätze der Grenzschicht . . .

7.6.1 Impulssatz der Grenzschicht 7.6.2 Energiesatz . . . . . 7.6.3 Impulsmomentensätze

8 Näherungsverfahren zur Lösung der Grenzschichtgleichungen

206 207 207 209 210

für stationäre ebene Strömungen 213 8.1 Integralverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.2 Ablösungskriterium nach Stratford . . . . . . . 220 8.3 Vergleich der Lösungen des Näherungsverfahrens

mit exakten Lösungen . . . . . . . 221 8.3.1 Verzögerte Staupunktströmung 221 8.3.2 Divergenter Kanal (Diffusor) . 223 8.3.3 Kreiszylinder-Strömung 224 8.3.4 Symmetrische Strömung um ein Joukowsky-Profil 227

9 Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld . . . . . 229 9.1 Grenzschichtgleichungen für das Temperaturfeld . . 229 9.2 Erzwungene Konvektion bei konstanten Stoffwerten 232 9.3 Einfluß der Prandtl-Zahl . . . . . . . . . . 235 9.4 Ähnliche Lösungen der Temperaturgrenzschicht-

Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.5 Integralverfahren zur Berechnung des Wärmeüberganges 244 9.6 Einfluß der Dissipation; Verteilung der adiabaten

Wandtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . 247

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld . . . 253 10.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . 253 10.2 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . 254 10.3 Grenzschichten mit mäßigem Wärmeübergang

(ohne Schwerkrafteinfl.uß) . . . . . . . 256 10.3.1 Störungsrechnung . . . . . . . 256 10.3.2 Methode der Stoffwertverhältnisse

(Temperaturverhältnisse) . . . . 259 10.3.3 Methode der Referenztemperatur 263

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfl.uß) 264 10.4.1 Aufgabenstellung und Stoffgesetze . . . . 264 10.4.2 Einfache Lösungen der Energiegleichung 267 10.4.3 Transformation der Grenzschichtgleichungen 269 10.4.4 Ähnliche Lösungen . . . . . . . . . . . 272

Inhaltsverzeichnis XI

10.4.5 Integralverfahren . . . . . . . . . . . 281 10.4.6 Grenzschichten bei Hyperschallströmungen 286

10.5 Natürliche Konvektion . . . . . . . . . . . . 288 10.5.1 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . 288 10.5.2 Transformation der Grenzschicht-Gleichungen 294 10.5.3 Grenzfall großer Prandtl-Zahlen (Tw = const) 295 10.5.4 Ähnliche Lösungen 297 10.5.5 Allgemeine Lösungen 301 10.5.6 Variable Stoffwerte 303 10.5.7 Einfluß der Dissipation 305

10.6 Indirekte natürliche Konvektion 306 10.7 Gemischte Konvektion . . . . 309

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen) 315 11.1 Die verschiedenen Arten der Grenzschichtbeeinflussung 315 11.2 Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen 320

11.2.1 Grundlagen . . . . 320 11.2.2 Massives Absaugen 322 11.2.3 Massives Ausblasen 324 11.2.4 Ähnliche Lösungen 327 11.2.5 Allgemeine Lösungen 332

1. Plattenströmung mit homogenem Absaugen bzw. Ausblasen . . . . . . . . . . . . . 333 2. Tragflügelprofil . . . . . . . . . . 335

11.2.6 Ausblasen und Absaugen bei natürlicher Konvektion . . 336

11.3 Zweistoffgrenzschichten . 337 11.3.1 Überblick 337 11.3.2 Grundgleichungen 338 11.3.3 Analogie zwischen Wärme- und Stoffübertragung 343 11.3.4 Ähnliche Lösungen . . . . . . . . . . 344

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten 347 12.1 Axialsymmetrische Grenzschichten 347

12.1.1 Grenzschichtgleichungen . . . . . 347 12.1.2 Mangier-Transformation . . . . . 349 12.1.3 Grenzschichten an Rotationskörpern

ohne Rotation . . . . . . . . . 351 12.1.4 Grenzschichten an Rotationskörpern

mit Rotation . . . . . . 354 12.1.5 Freistrahlen und Nachlauf 358

12.2 Dreidimensionale Grenzschichten 362 12.2.1 Grenzschichtgleichungen . 362

xii Inhaltsverzeichnis

12.2.2 Grenzschichten am Zylinder . . . . . 12.2.3 Grenzschichten am schiebenden Zylinder 12.2.4 Dreidimensionaler Staupunkt . . . . 12.2.5 Grenzschichten in Symmetrie-Ebenen 12.2.6 Allgemeine Konfigurationen

368 369 371 372 373

13 Instationäre Grenzschichten 377 13.1 Grundlagen . . . . 377

13.1.1 Vorbemerkung 377 13.1.2 Grenzschichtgleichungen 379 13.1.3 Ähnliche und halbähnliche Lösungen 380 13.1.4 Lösungen für kleine Zeiten bzw. große Frequenzen 380 13.1.5 Ablösung instationärer Grenzschichten . 382 13.1.6 Integralsätze und Integralverfahren 383

13.2 Instationäre Bewegung von Körpern in ruhender Umgebung . . . . . . . . . . . . . . . . 383 13.2.1 Anfahrvorgänge . . . . . . . . . . . 383 13.2.2 Oszillation von Körpern in ruhender Umgebung 391

13.3 Instationäre Grenzschichten bei einer stationären Grundströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 13.3.1 Periodische Außenströmung . . . . . . . . . 395 13.3.2 Stationäre Strömung mit schwacher periodischer

Störung . . . . . . . . . . . . . 397 13.3.3 Zeitlicher Übergang zwischen zwei nur wenig

verschiedenen stationären Grenzschichten 399 13.4 Kompressible instationäre Grenzschichten . 400

13.4.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . 400 13.4.2 Grenzschicht hinter einer Stoßwelle . . . 401 13.4.3 Längstangeströmte ebene Platte bei zeitlich

veränderlicher Außengeschwindigkeit und Wandtemperatur . . . . . . . . . . 404

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie 407 14.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . 407 14.2 Grenzschichttheorie höherer Ordnung 409 14.3 Hyperschall-Wechselwirkung 419 14.4 Dreierdeck-Theorie . 423 14.5 Marginale Ablösung 435 14.6 Massive Ablösung 441

Inhaltsverzeichnis xiii

Teil C: Übergang laminar-turbulent

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie) 445 15.1 Einige experimentelle Ergebnisse über den

laminar-turbulenten Übergang . . . . 445 15.1.1 Übergang bei der Rohrströmung 445 15.1.2 Übergang in der Grenzschicht 450

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie 455 15.2.1 Vorbemerkung 455 15.2.2 Grundlagen der primären Stabilitätstheorie 457 15.2.3 Orr-Sommerfeld-Gleichung 460 15.2.4 Berechnung der Indifferenzkurve und der

Indifferenz-Reynolds-Zahl 467 a Plattengrenzschicht 469 b Einfluß des Druckgradienten 479 c Einfluß der Absaugung 493 d Einfluß des Wärmeüberganges 496 e Einfluß der Kompressibilität 499 f Einfluß der Wandrauheit 505 g Weitere Einflüsse 509

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen 510 15.3.1 Vorbemerkung 510 15.3.2 Grundlagen der sekundären Stabilitätstheorie 513 15.3.3 Grenzschichten an gekrümmten Wänden 516 15.3.4 Grenzschicht an der rotierenden Scheibe 522 15.3.5 Dreidimensionale Grenzschichten 524

15.4 Lokale Störungen 529

Teil D: Thrbulente Grenzschichten

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen . . . . . . 533 16.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . 533 16.2 Mittlere Bewegung und Schwankungsbewegung 535 16.3 Grundgleichungen für die mittlere Bewegung turbulenter

Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 16.3.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . 539 16.3.2 Impulsgleichungen (Reynolds-Gleichungen) 539 16.3.3 Gleichung für die kinetische Energie der turbulenten

Schwankungsbewegung (k-Gleichung) 542 16.3.4 Thermische Energiegleichung .......... 544

xiv Inhaltsverzeichnis

16.4 Schließungsproblem 546 16.5 Beschreibung der turbulenten Schwankungsbewegung 547

16.5.1 Korrelationen 547 16.5.2 Spektren und Turbulenzballen 548 16.5.3 Turbulenz der Außenströmung 550 16.5.4 Herandung turbulenter Gebiete und Intermittenz 551

16.6 Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen 553

17 Durchströmungen 557 17.1 Couette-Strömung 557

17.1.1 Zweischichteu-Struktur des Geschwindigkeitsfeldes und logarithmisches Überlappungsgesetz 557

17.1.2 Universelle Wandgesetze 563 17.1.3 Widerstandsgesetz 575 17.1.4 Turbulenz-Modelle 577 17.1.5 Wärmeübertragung 581

17.2 Ausgebildete Durchströmungen (A = const) 583 17.2.1 Kanalströmung 583 17.2.2 Couette-Poiseuille-Strömungen 584 17.2.3 Rohrströmung 590

17.3 Schlankkanal-Theorie 595

18 Turbulente Grenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperatudeld 599 18.1 Turbulenz-Modelle 599

18.1.1 Vorbemerkung 599 18.1.2 Algebraische Turbulenzmodelle 601 18.1.3 Turbulente Energiegleichung 603 18.1.4 Zweigleichungs-Modelle 605 18.1.5 Reynolds-Spannungs-Modelle 607 18.1.6 Modelle für die Wärmeübertragung 611 18.1.7 Niedrig-Reynolds-Zahl-Modelle 613 18.1.8 Grobstruktur-Simulation und direkte Simulation 614

18.2 Anliegende Grenzschichten 616 18.2.1 Schichtenstruktur 616 18.2.2 Grenzschichtgleichungen in Defekt-Formulierung 617 18.2.3 Widerstandsgesetz und Kenngrößen der

Grenzschicht 621 18.2.4 Gleichgewichtsgrenzschichten 624 18.2.5 Grenzschicht an der längsaugeströmten ebenen

Platte 627 18.3 Grenzschichten mit Ablösung 633

18.3.1 Stratford-Strömung 633

Inhaltsverzeichnis

18.3.2 Quasi-Gleichgewichtsgrenzschichten . . . . . . 18.4 Berechnung ebener Grenzschichten mit Integralverfahren

18.4.1 Direktes Verfahren . . . . . . . . . . . . 18.4.2 Inverses Verfahren

18.5 Berechnung ebener Grenzschichten mit Feldverfahren 18.5.1 Anliegende Grenzschichten . . . . . . 18.5.2 Grenzschichten mit Ablösung . . . . . 18.5.3 Niedrig-Reynoldszahl-Turbulenzmodelle 18.5.4 Zusätzliche Einflüsse . . . . .

18.6 Berechnung thermischer Grenzschichten 18.6.1 Grundlagen . . . . . . . . . 18.6.2 Berechnung thermischer Grenzschichten mit

Feldverfahren . . . . . . . . . . . . . .

19 Turbulente Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld 19.1 Grundgleichungen ......... .

19.1.1 Zeitliche Mittelung bei variabler Dichte 19.1.2 Grenzschichtgleichungen ....

19.2 Kompressible turbulente Grenzschichten 19.2.1 Temperaturfeld ....... . 19.2.2 Überlappungsgesetz . . . . . . 19.2.3 Reibungsbeiwert und Nußelt-Zahl 19.2.4 Integralverfahren für adiabate Wände 19.2.5 Feldverfahren . . . . . . . 19.2.6 Stoß-Grenzschicht-Interferenz

19.3 Natürliche Konvektion

20 Axialsymmetrische und dreidimensionale turbulente Grenzschichten . . . . . . . . . . . 20.1 Axialsymmetrische Grenzschichten ....

20.1.1 Grenzschichtgleichungen . . . . . 20.1.2 Grenzschichten ohne Körperrotation 20.1.3 Grenzschichten mit Körperrotation

20.2 Dreidimensionale Grenzschichten 20.2.1 Grenzschichtgleichungen 20.2.2 Berechnungsverfahren 20.2.3 Beispiele . . . . . . .

21 Instationäre turbulente Grenzschichten 21.1 Mittelung und Grenzschichtgleichungen 21.2 Berechnungsverfahren 21.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . .

XV

635 639 639 642 644 644 647 648 649 652 652

655

657 657 657 659 663 663 665 668 670 672 672 674

679 679 679 680 682 685 685 690 691

693 693 697 698

xvi Inhaltsverzeichnis

22 Thrbulente freie Scherströmungen . . . . . . . 22.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . 22.2 Gleichungen für ebene freie Scherschichten 22.3 Ebener Freistrahl

22.3.1 Globale Bilanzen 22.3.2 Fernfeld . . . . 22.3.3 Nahfeld .... 22.3.4 Effekte höherer Ordnung

22.4 Trennungsschicht . . . . . . . 22.5 Ebener Nachlauf . . . . . . . 22.6 Axialsymmetrische freie Scherströmungen

22.6.1 Grundgleichungen 22.6.2 Freistrahl 22.6.3 Nachlauf . . . .

22.7 Auftriebsstrahlen . . . . 22.7.1 Ebener Auftriebsstrahl 22.7.2 Axialsymmetrischer Auftriebsstrahl

22.8 Ebener Wandstrahl . . . . . . . . . . .

Teil E: Numerische Verfahren der Grenzschicht-Theorie

701 701 703 708 708 709 714 715 716 718 721 721 722 724 725 725 727 727

23 Numerische Integration der Grenzschichtgleichungen 731 23.1 Laminare Grenzschichten . . . . . . . . 731

23.1.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . 731 23.1.2 Bemerkungen zu den Grenzschicht-

transformationen . . . . . . . . 733 23.1.3 Explizite und implizite Diskretisierung 734 23.1.4 Lösung der impliziten Differenzengleichungen 738 23.1.5 Integration der Kontinuitätsgleichung 740 23.1.6 Ermittlung des Grenzschichtrandes und der

Wandschubspannung . . . . . . . . . . 740 23.1.7 Integration der transformierten Grenzschicht-

gleichung mit dem Box-Schema 741 23.2 Turbulente Grenzschichten . . . . . . . . . 745

23.2.1 Methode der Wandfunktionen . . . . 745 23.2.2 Niedrig-Reynoldszahl-Turbulenzmodelle 750

23.3 Instationäre Grenzschichten . . . . . . . 751 23.4 Stationäre dreidimensionale Grenzschichten 753

Verzeichnis häufig verwendeter Formelzeichen 759 Literatur- und Namensverzeichnis . . . . . 767 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . 845

Einleitung

Kurze geschichtliche Übersicht

Am Ende des 19. Jahrhunderts war die Strömungsmechanik in zwei Rich-tungen auseinandergefallen, die kaum noch miteinander in Berührung stan-den. Auf der einen Seite war die theoretische Hydrodynamik, die von den Eulerschen Bewegungsgleichungen ausging, zu großer Vollkommenheit ent-wickelt worden. Da jedoch die Ergebnisse dieser sogenannten klassischen Hydrodynamik in vielen Punkten in krassem Widerspruch zur Erfahrung standen - besonders bezüglich der sehr wichtigen Frage des Druckverlustes in Rohren und Kanälen sowie des Widerstandes eines durch ein Fluid be-wegten Körpers -, hatte sie für die Praxis wenig Bedeutung. Aus diesem Grund hatten auf der anderen Seite die Ingenieure, konfrontiert mit prakti-schen Problemen der Strömungsmechanik, ihre eigene stark empirisch aus-gerichtete Wissenschaft, die Hydraulik, entwickelt, die sich auf eine große Menge von Versuchsdaten stützte und sich in den Methoden und den Zielen von der theoretischen Hydrodynamik sehr stark unterschied.

Es ist das große Verdienst von L. Prandtl, zu Anfang dieses Jahrhun-derts den Weg aufgezeigt zu haben, wie diese beiden auseinanderstreben-den Richtungen der Strömungsmechanik wieder zusammengeführt werden konnten, sowie aus der Synthese von Theorie und Experiment eine Ent-wicklung angebahnt zu haben, die in der modernen Strömungsmechanik in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts zu ungeahnten Erfolgen geführt hat. An sich war es schon damals bekannt, daß die starke Diskrepanz zwi-schen den Ergebnissen der klassischen Hydrodynamik und der Wirklichkeit in sehr vielen Fällen von der Vernachlässigung der Reibung in der Theorie herrührt. Darüber hinaus waren auch die vollständigen Bewegungsgleichun-gen der Strömungen mit Reibung (Navier-Stokes-Gleichungen) seit langem bekannt. Wegen der großen mathematischen Schwierigkeiten dieser Glei-chungen hatte man aber (abgesehen von wenigen Einzelfällen) noch keinen Zugang zu der theoretischen Behandlung der Strömungen mit Reibung ge-funden. Für die technisch wichtigen Fluide Wasser und Luft ist jedoch die Viskosität sehr klein, und infolgedessen sind auch die von der Viskosität

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verursachten Reibungskräfte im großen und ganzen recht klein im Ver-gleich zu den übrigen Kräften (Schwerkraft, Druckkraft). Es machte des-halb lange Zeit große begriffliche Schwierigkeiten einzusehen, daß die in der klassischen Theorie vernachlässigten Reibungskräfte einen entscheiden-den Einfluß auf den Ablauf der Bewegung haben sollten.

In seinem Vortrag "Über Flüssigkeitbewegung bei sehr kleiner Rei-bung" auf dem Heidelberger Mathematiker-Kongreß im Jahre 1904 hat L. Prandtl (1904) den Weg gezeigt, wie Strömungen mit Reibung gerade für die praktisch wichtigen Fälle einer theoretischen Behandlung zugeführt wer-den können. Prandtl zeigte durch theoretische Überlegungen zusammen mit einigen einfachen Experimenten, daß man die Strömung in der Umgebung eines Körpers in zwei Gebiete einteilen kann: eine sehr dünne Schicht in der Nähe des Körpers (Grenzschicht), wo die Reibung eine wesentliche Rolle spielt, und das übrige Gebiet außerhalb dieser Schicht, wo die Reibung vernachlässigt werden kann. Mit Hilfe dieses Konzeptes konnte nicht nur eine physikalisch sehr einleuchtende Erklärung für die wichtige Rolle der Viskosität beim Widerstandsproblem gegeben werden, sondern gleichzeitig wurde unter weitgehender Zurückdrängung der mathematischen Schwierig-keiten der Weg für die theoretische Behandlung der Strömung mit Reibung freigelegt. Seine theoretischen Überlegungen stützte Prandtl schon damals durch einige sehr einfache Versuche in einem kleinen, selbst gebauten Was-serkanal. Damit war der Anfang gemacht, die verlorengegangene Verbin-dung zwischen Theorie und Praxis wiederherzustellen. Die Theorie die-ser sogenannten Prandtlschen Grenzschicht oder Reibungsschicht hat sich als außerordentlich fruchtbar erwiesen und der weiteren Entwicklung der Strömungsforschung seit Anfang dieses Jahrhunderts einen entscheidenden Antrieb gegeben. Unter dem Einfluß der damals aufblühenden Flugtechnik hat sich die neue Theorie recht schnell entwickelt und ist bald zusammen mit anderen wichtigen Fortschritten - Tragflügeltheorie, Gasdynamik - zu einem der Grundpfeiler der modernen Strömungsmechanik geworden.

Zu den wichtigsten Anwendungen der Grenzschicht-Theorie gehört die Berechnung des Reibungswiderstandes von umströmten Körpern z.B. des Widerstandes einer längsangeströmten ebenen Platte, des Reibungs-widerstandes eines Schiffes, eines Tragflügelprofils, eines Flugzeugrump-fes oder einer TurbinenschaufeL Eine besondere Eigenschaft der Grenz-schicht ist, daß unter gewissen Umständen in unmittelbarer Wandnähe Rückströmung auftritt. Damit ist dann eine Ablösung der Grenzschicht vom Körper und eine mehr oder minder starke Wirbelbildung auf der Rück-seite des umströmten Körpers verbunden. Dadurch wird eine starke Ände-rung der Druckverteilung auf der Rückseite des umströmten Körpers ver-ursacht. Hieraus resultiert der Druckwiderstand der umströmten Körper, zu dessen Berechnung die Grenzschicht-Theorie somit den Zugang liefert. Die Grenzschicht-Theorie gibt eine Antwort auf die wichtige Frage, welche

Einleitung xix

Form ein umströmter Körper haben muß, damit die schädliche Ablösung vermieden wird. Aber nicht nur bei der Umströmung des Körpers kann Ablösung auftreten, sondern auch bei der Durchströmung eines Kanals. Somit können auch die Strömungsvorgänge in den Schaufelkanälen von Strömungsmaschinen (Pumpen, Turbinen) sowie in Diffusoren und Düsen durch die Grenzschicht-Theorie beschrieben werden. Auch die Vorgänge bei Maximalauftrieb eines Tragflügels, bei denen ebenfalls Ablösungen von Bedeutung sind, lassen sich nur aufgrund der Grenzschicht-Theorie verste-hen. Auch für den Wärmeübergang zwischen einem Körper und dem ihn umsträmenden Fluid spielen die Vorgänge in der Grenzschicht die entschei-dende Rolle.

Zunächst wurde die Grenzschicht-Theorie hauptsächlich für lami-nare Strömungen eines inkompressiblen Fluids entwickelt, für die der An-satz für die Reibungskräfte mit dem Stokessehen Reibungsgesetz bereits vorlag. Dieses Teilgebiet ist später in zahlreichen Arbeiten so weitgehend erforscht worden, daß es heute in seinen wesentlichen Zügen als geklärt gelten kann. Später wurde die Theorie auch auf die praktisch wichtige-ren turbulenten inkompressiblen Grenzschichtströmungen ausgedehnt. Für turbulente Strömungen hatte zwar bereits 0. Reynolds um 1890 den grund-legend wichtigen Begriff der turbulenten Scheinreibung eingeführt, vgl. 0. Reynolds (1894). Dieser gestattete aber noch nicht die theoretische Berechnung der turbulenten Strömungen. Die Einführung des Begriffes des Prandtlschen Mischungsweges, vgl. L. Prandtl (1925), brachte hier we-sentliche Fortschritte und machte zusammen mit systematischen Versuchen auch turbulente Strömungen der theoretischen Behandlung mit Hilfe der Grenzschicht-Theorie zugänglich. Eine rationelle Theorie der ausgebilde-ten turbulenten Strömungen steht auch heute noch aus. Später sind, ver-anlaßt durch das starke Anwachsen der Geschwindigkeit in der Flugtechnik, auch die Grenzschichten bei kompressibler Strömung eingehend untersucht worden. Dabei bildet sich neben der Strömungsgrenzschicht eine Tempe-raturgrenzschicht aus, die für den Wärmeübergang zwischen dem strömen-den Medium und dem umströmten Körper von großer Bedeutung ist. Bei großen Mach-Zahlen tritt infolge innerer Reibung (Dissipation) eine starke Erhitzung der beströmten Körperoberfläche auf, die insbesondere für die Flugtechnik und den Satellitenflug ein schwieriges Problem darstellt ("Hit-zemauer").

Die für die gesamte Strömungsmechanik fundamental wichtige Er-scheinung des Überganges der laminaren Strömungsform in die turbu-lente wurde zuerst von 0. Reynolds in den achtziger Jahren des vori-gen Jahrhunderts bei der Rohrströmung näher untersucht, vgl. 0. Rey-nolds (1883). Im Jahre 1914 konnte Prandtl am Beispiel der Kugelströmung auf experimentellem Wege zeigen, daß auch die Grenzschicht laminar und turbulent strömt und daß der Ablösungsvorgang und damit das ganze

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Widerstandsproblem von diesem Übergang laminar-turbulent beherrscht wird, vgl. L. Prandtl {1914). Die theoretischen Untersuchungen über den Übergang laminar-tw-bulent gehen von der Reynoldsschen Vermutung der Instabilität der Laminarströmung aus. Sie wurden 1921 von Prandtl in An-griff genommen. Nach manchen vergeblichen Versuchen gelang erstmalig W. Tollmien {1929) und H. Schlichting {1933) die theoretische Berech-nung der Indifferenz-Reynolds-Zahl für die längsaugeströmte ebene Platte. Es dauerte jedoch mehr als zehn Jahre, bis die Theorie durch die sehr sorgfältigen Experimente von H.L. Dryden (1946-1948) und seinen Mitar-beitern bestätigt werden konnten. Auch der Einfluß anderer Parameter auf den Übergang (Druckgradient, Absaugung, Mach-Zahl, Wärmeübergang) konnte durch die Stabilitätstheorie der Grenzschicht aufgeklärt werden. Diese Theorie hat u.a. bei den Tragflügelprofilen mit sehr geringem Wi-derstand (Laminarproffie) eine wichtige Anwendung gefunden.

Ein wesentliches Kennzeichen der modernen Strömungsforschung im allgemeinen und auch des Teilgebiets "Grenzschichtforschung" im be-sonderen ist die sehr enge Verbindung von Theorie und Experiment. Die entscheidenden Fortschritte sind meist durch einige wenige Grundlagen-versuche zusammen mit theoretischen Überlegungen erreicht worden. Eine Übersicht über die Entwicklung der Grenzschicht-Theorie unter besonde-rer Betonung der gegenseitigen Befruchtung von Theorie und Experiment hat vor längerer Zeit A. Betz {1949) gegeben. Forschungsarbeiten über Grenzschichten, wie sie von Prandtl 1904 angeregt wurden, waren in den ersten zwanzig Jahren, bis etwa zu Prandtls Wilbur-Wright-Gedächtnisvor-lesung vor der Royal Aeronautkai Society in London, L. Prandtl (1927), fast ausschließlich auf Prandtls Institut in Göttingen beschränkt. Erst seit etwa 1930 haben sich auch andere Forscher, zunächst vor allem in England und Amerika, an dem weiteren Ausbau der Grenzschicht-Theorie beteiligt. Heute ist die Grenzschicht-Theorie über die ganze Welt verbreitet; sie bil-det zusammen mit anderen Teilgebieten einen der wichtigsten Grundpfeiler der modernen Strömungsforschung.

Mitte der fünfziger Jahre wurden die mathematischen Methoden der singulären Störungsrechnung systematisch entwickelt, vgl. S. Kap-lun (1954), S. Kaplun; P.A. Lagerstrom (1957), M. Van Dyke (1964b ), siehe auch W. Schneider (1978). Dabei wurde deutlich, daß die von Prandtl heuristisch entwickelte Grenzschicht-Theorie ein klassisches Bei-spiel zur Lösung eines singulären Störungsproblems darstellt. Danach ist die Grenzschicht-Theorie eine rationale asymptotische Theorie zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichung für große Reynolds-Zahlen. Damit eröffnete sich die Möglichkeit der systematischen Erweiterung zur Grenzschicht-Theorie höherer Ordnung, vgl. M. Van Dyke (1969), K. Gersten (1972), K. Stewartson {1974), K. Gersten; J.F. Gross {1976). Die zunächst für la-minare Strömungen entwickelten asymptotischen Methoden ww-den dann

Einleitung xxi

Anfang der siebziger Jahre auch auf turbulente Strömungen übertragen, vgl. K.S. Yajnik (1970), G.L. Mellor (1972). Literaturübersichten zur asym-ptotischen Theorie turbulenter Strömungen findet man bei K. Gersten (1987, 1989c), A. Kluwick (1989a) und W. Schneider (1991). Die syste-matische Anwendung asymptotischer Methoden (reguläre und singuläre Störungsmethoden) auf die Theorie reibungsbehafteter Strömungen wurde von K. Gersten; H. Herwig (1992) gegeben.

Bei der Turbulenz-Modeliierung führt die von Prandtl (1925) ent-wickelte Mischungsweg-Hypotheseauf ein algebraisches Turbulenz-Modell. Zwanzig Jahre später wurde von L. Prandtl (1945) der Weg gewiesen, wie durch Verwendung von Transportgleichungen für turbulente Größen, wie kinetische Energie der Schwankungsbewegung, Dissipation, Reynoldssche Schubspannungen, Verbesserungen der Turbulenz-Modelle möglich sind. Berechnungsverfahren für turbulente Grenzschichten mit derartig verfei-nerten Turbulenz-Modellen wurden beispielsweise von P. Bradshaw et al. (1967), W.P. Jones; B.E. Launder (1973), K. Hanjalic; B.E. Launder (1976), J. Rotta (1973) entwickelt. Übersichten zu Turbulenz-Modeliierungen wur-den unter anderem von W.C. Reynolds (1976) und V.C. Patel et al. (1985) gegeben. In zwei äußerst bemerkenswerten Veranstaltungen an der Stanford-Universität in den Jahren 1968 und 1980/81 wurden die jeweils bestehenden Berechnungsverfahren für turbulente Grenzschichten unterein-ander verglichen und durch besonders ausgewählte Experimente überprüft, vgl. S. Kline et al. (1968) und S. Kline et al. (1981).

Die rasante Entwicklung im Bereich der Großrechneranlagen (Super-Computer) läßt die Tendenz in der Strömungsmechanik erkennen, in Zukunft verstärkt die Navier-Stokes-Gleichungen ohne jegliche Vereinfa-chung direkt numerisch zu lösen und auch turbulente Strömungen durch di-rekte numerische Simulation (DNS), d.h. ohne Turbulenz-Modelle oder mit Modeliierung nur der hochfrequenten turbulenten Schrankungsbewegungen ("large eddy simulation"), zu berechnen, vgl. D.R. Chapman (1979). Nu-merische Verfahren zur Berechnung von Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen, die in der Praxis überwiegend vorkommen, werden jedoch nur dann effizient sein, wenn sie die besondere "Schichten"-Struktur der Strömung, wie sie sich aus der asymptotischen Theorie ergibt, berücksichtigt, etwa bei der Erstellung eines geeigneten Rechennetzes. Die Grenzschicht-Theorie wird daher auch in Zukunft ihre fundamentale Rolle bei der Berechnung von Strömungen mit hohen Reynolds-Zahlen behalten.

Die erste zusammenfassende Darstellung hat die Grenzschicht-Theorie in zwei kurzen Artikeln von W. Tollmien (1931) im Handbuch der Experimentalphysik erfahren. Einige Jahre später folgte Prandtls umfassen-der Beitrag zu dem von W.F. Durand herausgegebenen Handbuch der Aero-dynamik, L. Prandtl (1935). In den seitdem verflossenen sechs Jahrzehnten hat dieses Forschungsgebiet einen außerordentlich großen Umfang ange-

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nommen, vgl. H. Schlichting (1960) sowie auch I. Tani (1977), A.D. Young (1989) und K. Gersten {1989a). Nach einer von H.L. Dryden (1955) gege-benen Übersicht erschienen im Jahre 1955 etwa 100 Arbeiten über Grenz-schichten, und heute, etwa 40 Jahre später, ist diese Zahl auf etwa 800 Arbeiten pro Jahr angewachsen. Dieses Teilgebiet der Strömungsforschung hat damit, ebenso wie manches andere Gebiet, einen so großen Umfang angenommen, daß es von einem einzelnen Forscher in all seinen Einzel-gebieten kaum noch überblickt werden kann. Es ist aber andererseits ein klarer Hinweis auf die große Bedeutung der Grenzschicht-Theorie.