Michael Knorrenschild

Mathematik für Ingenieure 2

Mat

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Inge

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Knorrenschild

www.hanser-fachbuch.de

€ 29,99 [D] | € 30,90 [A]

ISBN 978-3-446-41347-4

Mathematik ist zentrales Grundlagenfach in jedem technischen und naturwissenschaftlichenStudiengang. Ihre Bedeutung ist größer als je zuvor, mathematische Methoden finden Eingangin immer mehr Anwendungsbereiche. Zugleich ändert sich der Charakter der Mathematik -fertigkeiten, die Ingenieure, Naturwissenschaftlicher und andere Anwender benötigen. WenigerRechenfertigkeiten sind erforderlich, für vieles gibt es heute leistungsfähige Computer werk -zeuge. Ein Grundverständnis und mehr Hintergrundwissen sind notwendig, um die Vielzahl der mathematischen Werkzeuge bei Aufgabenbeschreibungen und für Computerlösungen ver -wenden zu können.

Dieses Lehrbuch ist angesichts dieser veränderten Ansprüche entstanden. Es werden wenigerRechentricks vermittelt, dafür wird das Verständnis für mathematische Methoden entwickelt.Viele Beispiele schlagen die Brücke zur Anwendung und verknüpfen unterschiedliche Themenmiteinander. Intuitives Verstehen ohne Abstriche bei Genauigkeit und Gründlichkeit wird ver -mittelt. Vielfalt und auch Grenzen der Anwendungsmöglichkeiten werden dargelegt.

Aufbauend auf den in Band 1 entwickelten Grundbegriffen der Differenzial-, Integral- undVektorrechnung wird hier in die mehrdimensionale Analysis, Differenzialgleichungen, Fourier-und Laplace-Transformationen und in Eigenwerte eingeführt. Diese Techniken werden in derRegel im zweiten bis dritten Semester in Bachelorstudiengängen gelehrt. Begleitend wird inelementarer Weise dargestellt, wie die Methoden auf Computern mithilfe von MATLAB ein -gesetzt werden können.

Die Inhalte werden in direkter Ansprache dem Leser präsentiert, zum Mitdenken und Hinter -fragen motiviert. Der Lernkontrolle dienen kleinere Zwischenfragen und eine Auswahl typischerAufgaben mit Lösungen.

Prof. Dr. rer. nat. MichaelKnorrenschild lehrt seitvielen Jahren Mathematik fürIngenieure und Infor matikeran der Hochschule Bochum.

Michael Knorrenschild

Mathematik für Ingenieure 2Angewandte Analysis im Bachelorstudium

GrundfunktioneninMATLAB

AusdruckinMATLAB

πpi√2sqrt(2)

ln3log(3)

e4

exp(4)

4.2·10−24.2e-2

|3.7|abs(3.7)

cos2◦cosd(2)

cos2(Bogenmaß)cos(2)

10!factorial(10)

a+bj(a,b∈R)a+b*i,a+b*j

z̄(z∈C)conj(z)

arg(z)(Imz≥0)angle(z)

arg(z)(Imz<0)angle(z)+2*pi

LineareAlgebrainMATLAB

AusdruckinMATLAB

a=

1

2

3

a=[1;2;3]

‖a‖(EuklidischeNorm)norm(a)

a·bdot(a,b)

A=

(123

456

)A=[123;456]

dritteSpaltevonAA(:,3)

zweiteZeilevonAA(2,:)

RangvonArank(A)

detAdet(A)

trA(SpurvonA)trace(A)

AT

A'

LösungvonAx=blinsolve(A,b),A\b

char.PolynomvonApoly(A)

EigenwertevonAeig(A)

Eigenvektoren,-wertevonA[V,D]=eig(A)

QR-ZerlegungvonA[Q,R]=qr(A)

Differenzial-undIntegralrechnunginMATLAB

AusdruckinMATLAB

Gittergenerierenmeshgrid(X,Y)

Höhenliniengenerierencontour(X,Y,Z)

Minimumvonf:Rn−→Rbeix0∈R

nsuchenfminsearch(@f,x0)

b1 ∫a1

b2 ∫a2

f(x,y)dy

dxdblquad(@f,a1,b1,a2,b2)

Richtungsfeldgenerierenquiver(X,Y,DX,DY)

y′=f(t,y),y(a)=y0auf[a,b]lösen[tnum,ynum]=ode45(@f,[ab],y0)

Funktionen

f gerade ⇐⇒ f (x) = f (−x) für alle x

f ungerade ⇐⇒ f (x) =− f (−x) für alle x

f T -periodisch ⇐⇒ f (x+T ) = f (x) für alle x

Gradient

∇ f (x) =

∂ f

∂x1(x)

∂ f

∂x2(x)

...

∂ f

∂xn(x)

Hesse-Matrix

Hf (x) =

∂ 2 f

∂x1 ∂x1(x) ∂ 2 f

∂x1 ∂x2(x) · · · ∂ 2 f

∂x1 ∂xn(x)

∂ 2 f

∂x2 ∂x1(x) ∂ 2 f

∂x2 ∂x2(x) · · · ∂ 2 f

∂x2 ∂xn(x)

......

...

∂ 2 f

∂xn ∂x1(x) ∂ 2 f

∂xn ∂x2(x) · · · ∂ 2 f

∂xn ∂xn(x)

Fourier-Reihe

Fourier-Reihe für eine T -periodische Funktion f : R−→ R, wobei ω = 2πT

:

FR(t) =a0

2+

∞

∑k=1

ak cos(kω t)+bk sin(kω t) =∞

∑k=−∞

ck ej kω t

mit den Fourier-Koeffizienten

ak =2

T

T2∫

− T2

f (t) cos(kω t) dt = 2 Reck für k = 0, 1, 2, . . .

bk =2

T

T2∫

− T2

f (t) sin(kω t) dt = −2 Imck für k = 1, 2, . . .

ck =1

T

T2∫

− T2

f (t) e− j kω t dt =

ak − j bk

2falls k > 0

a−k + j b−k

2falls k < 0

, c0 =a0

2

f gerade ⇐⇒ bk = 0 ⇐⇒ ck ∈R

f ungerade ⇐⇒ ak = 0 ⇐⇒ Reck = 0

Transformationen

Fourier−Transformation F(jω) =

∞∫−∞

f (t) e−jω t dt

Laplace−Transformation F(s) =

∞∫0

f (t)e−st dt

z−Transformation F(z) =∞

∑k=0

fk z−k

KorrespondenzenF(s)•−−◦f(t)derLaplace-Transformation

F(s)f(t)

e−st0δ(t−t0),t0>0

1

s1

1

sn(n=1,2,3,...)tn−1

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1

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1

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1

(s−a)(s−b)(a6=b)

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1

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s

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1

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1

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s

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1

(s−a)2+ω2

1

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(s−a)2+ω2eat

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1

s(s2+ω2)

1

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1

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1

ω3(ωt−sinωt)

1

(s2+ω2)2

1

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(s2+ω2)2

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2ω(sinωt+ωtcosωt)

s

(s2+a2)(s2+b2)(a26=b

2)

1

b2−a2(cosat−cosbt)

Korrespondenzen f (t) ◦−−• F(jω) der Fourier-Transformation

f (t) F(jω)

δ(t) 1

1 2πδ(ω)

sgn(t)2

jω

U(t)1

jω+πδ(ω)

recta(t) 2asinc(aω)

tria(t) asinc2

(aω

2

)

sinc(ω0t)π

ω0

rectω0(ω)

ejω0t 2πδ(ω−ω0)

sin(ω0t) jπ(δ(ω+ω0)− δ(ω−ω0)

)cos(ω0t) π(δ

(ω+ω0)+ δ(ω−ω0)

)U(t) · e−αt (α > 0)

1

α+ jω

U(t)

β−α

(e−αt −e−βt

)(α,β > 0,α 6= β)

1

(α+ jω)(β+ jω)

U(t) · e−αt · tn−1

(n− 1)!(α > 0)

1

(α+ jω)n

U(t)sin(ω0t)ω0

ω20 −ω2

+jπ

2

(δ(ω+ω0)− δ(ω−ω0)

)U(t)cos(ω0t)

jω

ω20 −ω2

+π

2

(δ(ω+ω0)+ δ(ω−ω0)

)U(t)e−αt sin(ω0t) (α > 0)

ω0

(α+ jω)2 +ω20

U(t)e−αt cos(ω0t) (α > 0)α+ jω

(α+ jω)2 +ω20

e−α|t| (α > 0)2α

ω2 +α2

t−1 − jπ sgn(ω)

|t| − 2

ω2

NS_03

VS_02

NS_02

VS_0314225696 - Bg 1 Hanser Knorrenschild_Mathematik_2 - Vorsatz

14225696 - Bg 1 Hanser Knorrenschild_Mathematik_2 - Nachsatz

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GrundfunktioneninMATLAB

AusdruckinMATLAB

πpi√2sqrt(2)

ln3log(3)

e4

exp(4)

4.2·10−24.2e-2

|3.7|abs(3.7)

cos2◦cosd(2)

cos2(Bogenmaß)cos(2)

10!factorial(10)

a+bj(a,b∈R)a+b*i,a+b*j

z̄(z∈C)conj(z)

arg(z)(Imz≥0)angle(z)

arg(z)(Imz<0)angle(z)+2*pi

LineareAlgebrainMATLAB

AusdruckinMATLAB

a=

1

2

3

a=[1;2;3]

‖a‖(EuklidischeNorm)norm(a)

a·bdot(a,b)

A=

(123

456

)A=[123;456]

dritteSpaltevonAA(:,3)

zweiteZeilevonAA(2,:)

RangvonArank(A)

detAdet(A)

trA(SpurvonA)trace(A)

AT

A'

LösungvonAx=blinsolve(A,b),A\b

char.PolynomvonApoly(A)

EigenwertevonAeig(A)

Eigenvektoren,-wertevonA[V,D]=eig(A)

QR-ZerlegungvonA[Q,R]=qr(A)

Differenzial-undIntegralrechnunginMATLAB

AusdruckinMATLAB

Gittergenerierenmeshgrid(X,Y)

Höhenliniengenerierencontour(X,Y,Z)

Minimumvonf:Rn−→Rbeix0∈R

nsuchenfminsearch(@f,x0)

b1 ∫a1

b2 ∫a2

f(x,y)dy

dxdblquad(@f,a1,b1,a2,b2)

Richtungsfeldgenerierenquiver(X,Y,DX,DY)

y′=f(t,y),y(a)=y0auf[a,b]lösen[tnum,ynum]=ode45(@f,[ab],y0)

Funktionen

f gerade ⇐⇒ f (x) = f (−x) für alle x

f ungerade ⇐⇒ f (x) =− f (−x) für alle x

f T -periodisch ⇐⇒ f (x+T ) = f (x) für alle x

Gradient

∇ f (x) =

∂ f

∂x1(x)

∂ f

∂x2(x)

...

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∂xn(x)

Hesse-Matrix

Hf (x) =

∂ 2 f

∂x1 ∂x1(x) ∂ 2 f

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Fourier-Reihe

Fourier-Reihe für eine T -periodische Funktion f : R−→ R, wobei ω = 2πT

:

FR(t) =a0

2+

∞

∑k=1

ak cos(kω t)+bk sin(kω t) =∞

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mit den Fourier-Koeffizienten

ak =2

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f (t) cos(kω t) dt = 2 Reck für k = 0, 1, 2, . . .

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2falls k > 0

a−k + j b−k

2falls k < 0

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f gerade ⇐⇒ bk = 0 ⇐⇒ ck ∈R

f ungerade ⇐⇒ ak = 0 ⇐⇒ Reck = 0

Transformationen

Fourier−Transformation F(jω) =

∞∫−∞

f (t) e−jω t dt

Laplace−Transformation F(s) =

∞∫0

f (t)e−st dt

z−Transformation F(z) =∞

∑k=0

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KorrespondenzenF(s)•−−◦f(t)derLaplace-Transformation

F(s)f(t)

e−st0δ(t−t0),t0>0

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(s2+a2)(s2+b2)(a26=b

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1

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Korrespondenzen f (t) ◦−−• F(jω) der Fourier-Transformation

f (t) F(jω)

δ(t) 1

1 2πδ(ω)

sgn(t)2

jω

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jω+πδ(ω)

recta(t) 2asinc(aω)

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sin(ω0t) jπ(δ(ω+ω0)− δ(ω−ω0)

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Michael KnorrenschildMathematik für Ingenieure 2

Mathematik für Ingenieure

Band 1: Grundlagen im BachelorstudiumKomplexe Zahlen – Funktionen – Differenzial- und Integralrechnung – Lineare Algebra – Unendliche Reihen

Band 2: Angewandte Analysis im BachelorstudiumDifferenzial- und Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Vektoranalysis – Differenzialgleichungen – Signale und Systeme – Fourier-Reihen – Fourier-, Laplace- und z-Transformation – Eigenwerte und -vektoren

Michael Knorrenschild

Mathematik für Ingenieure 2

Angewandte Analysis im Bachelorstudium

Mit 127 Abbildungen, 120 durchgerechneten Beispielen, 88 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Fachbuchverlag Leipzigim Carl Hanser Verlag

AutorProf. Dr. rer. nat. Michael KnorrenschildHochschule BochumFB Elektrotechnik und Informatikhttp://www.hs-bochum.de/fbe/mathehttp://homepage.rub.de/Michael.Knorrenschild/michael.knorrenschild@hs-bochum.de

Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN 978-3-446-41347-4 E-Book-ISBN 978-3-446-43269-7

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Un-terrichtsgestaltung – mit Ausnahme der in den §§ 53, 54 URG genannten Sonderfälle –, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag© 2014 Carl Hanser Verlag Münchenhttp://www.hanser-fachbuch.de

Lektorat: Christine FritzschHerstellung: Katrin WulstSatz: Michael Knorrenschild, BochumDruck und Binden: Kösel, KrugzellPrinted in Germany

Vorwort

Es ist einige Zeit seit dem Erscheinen von Band 1 der „Mathematik für Ingenieure“ vergangen, abernun ist es soweit: Band 2 liegt vor Ihnen. Es geht da weiter, wo Band 1 aufgehört hat. Während man-ches in Band 1 bei einer guten Schulbildung nicht neu erscheinen mag, geht es hier nun einer höherenMathematik entgegen, die diesen Namen verdient.

Sie sollten Band 1 gut durchgearbeitet haben, bevor Sie mit Band 2 weiter voranschreiten. Natürlichkönnen Sie auch mit Vorkenntnissen aus einem vergleichbaren Grundlagenbuch eines anderen Autors inBand 2 einsteigen. In dem vorliegenden Band wird jedoch an unzähligen Stellen auf Band 1 verwiesen,sodass das Nachschlagen dort einfacher ist als anderswo. Zudem sind Sie mit den hier verwendetenSchreibweisen und Begriffsbildungen vertraut. So vorbereitet profitieren Sie am besten von diesem Buch.

Auch nach Durcharbeiten dieses Bandes beherrschen Sie noch längst nicht alles, was ein Ingenieur anmathematischem Rüstzeug für das Berufsleben benötigt. Auch wenn das Inhaltsverzeichnis so klingt, alswären viele Themen abgedeckt, so kann an vielen Stellen nicht in die Tiefe gegangen werden. Dazu istvertiefende Literatur nötig. Zu jedem einzelnen Kapitel dieses Buchs gibt es ganze Bände, die sich alleindem jeweiligen Thema widmen. Ziel ist es jedoch mit diesem Band die Grundlage zu legen, dass Sieeinen guten Einstieg in die weiterführende Literatur finden werden.

Besonderen Dank bei der Erstellung dieses Bandes schulde ich Dipl.-Ing. Christof Kaufmann. Er hatgründlich Korrektur gelesen, die Fehlerzahl deutlich gedrückt, und viele hilfreiche Verbesserungsvor-schläge gemacht. Wenn doch noch Fehler und Unklarheiten vorhanden sind, so wird es höchstwahr-scheinlich daran liegen, dass ich hier und da versäumt habe, seine Kommentare vollständig umzusetzen.Auf der Seite des Fachbuchverlags Leipzig bedanke ich mich bei Frau Christine Fritzsch und Frau KatrinWulst für die gewohnt angenehme Zusammenarbeit.

Hinweise und Anregungen aus dem Leserkreis sind weiterhin jederzeit willkommen.

Bochum, im Januar 2014 Michael Knorrenschild

6

Zum Umgang mit diesem Buch

In diesem Band ist die Philosophie aus Band 1 fortgesetzt. Wirrufen sie hier noch einmal in geraffter Form in Erinnerung.

Das Buch ist in einem erzählenden Stil geschrieben, sodass essinnvoll ist, die einzelnen Kapitel beim ersten Kontakt von vornebeginnend zu lesen. Damit der Lesefluss nicht so sehr in Schwungkommt, dass das Verständnis nicht mehr hinterher kommt, sindeinige Maßnahmen getroffen. Dazu dient die Rubrik Festigung:Festigung: Dies sind kleine Aufga-

ben und Zwischenüberlegungen, die

das soeben Gelesene im Verständnis

festigen sollen.

Hier geht es um das spielerische Ausprobieren von Formeln, dieDurchführung einer Probe, das geistige Verknüpfen von Formelnund Bildern und das Nachrechnen einfacher Gleichungen. Dassoll zum Mitdenken anregen, denn erst das ermöglicht den Lern-erfolg.Merkregeln und prägnante Formulierungen von Zusammenhän-Wichtige Regel: Immer mitdenken.gen finden Sie in roten Kästen.Die Erfahrung zeigt, dass gewisse Denkfehler und nahe liegendeTrugschlüsse an bestimmten Stellen immer wieder auftreten. Zu-dem ist in den Gefilden der höheren Mathematik manches nicht soeinheitlich wie in den Grundlagen. Wer mit anderen Büchern ar-

Das Warndreieck weist auf ty-

pische Fehler und mögliche Missver-

ständnisse hin.

beitet, muss damit rechnen, dass unter denselben Begriffen nichtimmer exakt dasselbe verstanden wird. Diese Stellen sind mitWarndreiecken am Rand hervorgehoben.In die Darstellung eingeflochten sind kleine Beispiele, wie Rech-

nungen in MATLAB®. Jeder Ingenieurstudierende wird früherDas Buch kann auch ohne MATLABbenutzt werden – die MATLAB-Teilekönnen ohne Schaden übersprungenwerden.

oder später mit MATLAB1 in Berührung kommen. In diesemBuch verwenden wir nur den Kern von MATLAB; Toolboxes(Zusatzpakete) oder eine aktuelle Version werden nicht benötigt.Sie können anstelle von MATLAB im Prinzip auch kostenloseProgramme wie Scilab2 verwenden, jedoch gibt es kleinere Un-„And as I prepared for bed, I

Asked myself with voice unsteady,

If of all the stuff I read, I

Ever made the slightest use.“

aus A Vision of a Wrangler, of a Uni-

versity, of Pedantry, and of Philosophy

James Clerk Maxwell1831-1879, schottischer Physiker

terschiede in der Syntax der einzelnen Befehle (viele weitere Un-terschiede sind auf dem Niveau dieser Einführung nicht relevant).Fortgeschrittene werden gelegentlich auch auf englischsprachigeLiteratur zugreifen müssen. In diesem Fall mögen die Vokabel-verzeichnisse am Ende des Buches hilfreich sein.

1MATLAB ist eingetragenes Warenzeichen von The Mathworks Inc.2siehe http://www.scilab.org

Inhaltsverzeichnis

1 Differenzialrechnung mehre-rer Veränderlicher

1.1 Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . . . . 15

1.2 Konvergenz und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Partielle Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Tangenten und Tangentialebene . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 Zweite Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Extremwertberechnung mitmehreren Veränderlichen

2.1 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Extremwerte unter Nebenbedingungen . . . . . . . . 59

3 Integralrechnung mehrererVeränderlicher

3.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Die Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Grundlagen der Vektoranaly-sis

4.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3 Das Arbeitsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8 Inhaltsverzeichnis

5 Gewöhnliche Differenzialglei-chungen

5.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2 Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2.2 Stationäre Lösungen . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.3 Differenzialgleichungen mit getrenntenVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2.4 Lineare Differenzialgleichungen . . . . . . . 112

5.2.5 Lineare Differenzialgleichungen zweiterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2.6 Numerische Lösung: Das Euler-Verfahren . . 133

5.3 Systeme von Differenzialgleichungen I . . . . . . . . 136

6 Signale und Systeme 6.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.1.1 Einige Grundsignale . . . . . . . . . . . . . 144

6.1.2 Die Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . 147

6.2 Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2.2 Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2.3 Kausalität – Von Ursache und Wirkung . . . 153

6.2.4 Sprungantwort und Impulsantwort . . . . . . 155

6.3 Die Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.4 Diskrete Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.5 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7 Fourier-Reihen 7.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.1.1 Übertragung auf Funktionen mit beliebigerPeriode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Inhaltsverzeichnis 9

7.1.2 Die komplexe Fourier-Reihe . . . . . . . . . 175

7.2 Hinweise zur praktischen Berechnung . . . . . . . . 178

7.2.1 Reihenfolge der Berechnung der Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.2.2 Periodisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.2.3 Wahlfreiheit bei den Intervallen . . . . . . . 180

7.3 Eigenschaften der Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . 181

7.3.1 Konvergenzeigenschaften der Fourier-Reihe . 181

7.3.2 Eine Minimaleigenschaft der Fourier-Reihen 185

8 Fourier-Transformation 8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.3 Die diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . 206

8.4 Die schnelle Fourier-Transformation . . . . . . . . . 209

9 Laplace-Transformation undz-Transformation

9.1 Definition der Laplace-Transformation . . . . . . . . 214

9.2 Eigenschaften der Laplace-Transformation . . . . . . 216

9.3 Stabilität von Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.4 Definition der z-Transformation . . . . . . . . . . . 233

9.5 Eigenschaften der z-Transformation . . . . . . . . . 234

10 Eigenwerte und -vektoren 10.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

10.2 Wissenswertes über Eigenwerte . . . . . . . . . . . . 240

10.3 Wissenswertes über Eigenvektoren . . . . . . . . . . 251

10.4 Eigenwerte bei ähnlichen Matrizen . . . . . . . . . . 255

10 Inhaltsverzeichnis

10.5 Systeme von Differenzialgleichungen II . . . . . . . 260

10.6 Orthogonale Ähnlichkeitstransformationen . . . . . . 262

10.7 Numerische Berechnung von Eigenwerten . . . . . . 264

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Deutsch – Englisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Englisch – Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Symbolverzeichnis

o Nullvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Band 1, 190

‖x‖ =√

∑x2i , Norm (Länge) von x . . . . . . . . . . . . . . . Band 1, 193

∂ f

∂xi

(x) partielle Ableitung von f nach xi an der Stelle x . . . . . . . . . . . 23

∇ f (x) Gradient von f an der Stelle x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

∂ 2 f

∂x j ∂xi

zweite partielle Ableitung von f (erst nach xi, dann nach x j) . . . . . 37

Hf Hesse-Matrix, Matrix der zweiten partiellen Ableitungen . . . . . . . 38

divv(x) Divergenz von v an der Stelle x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

rotv(x) Rotation von v an der Stelle x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90∫γ

F · ds Arbeitsintegral von F über eine Kurve γ . . . . . . . . . . . . . . . 93

∮γ

F · ds Arbeitsintegral von F über eine geschlossene Kurve γ . . . . . . . . 93

U, sgn, recta, tria Sprungfunktion, Signum-, Rechteck- und Dreieckssignal . . . . . . 144f

f (t) ◦−−• F(jω) f (t) hat die Fourier-Transformierte F(jω) . . . . . . . . . . . . . . 190

F = F ( f ) F ist die Fourier-Transformierte von f . . . . . . . . . . . . . . . . 190

f (t) ◦−−• F(s) f (t) hat die Laplace-Transformierte F(s) . . . . . . . . . . . . . . . 214

F = L ( f ) F ist die Laplace-Transformierte von f . . . . . . . . . . . . . . . . 214

( fk) ◦−−• F(z) ( fk) hat die z-Transformierte F(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Liste der Anwendungen

Höhenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Physik: Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Idee des Gradientenverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Mechanik: Massen, Momente, Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Physik: Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Elektrotechnik: Magnetfeld im stromdurchflossenen Leiter . . . . . . . . . . . . . . 88

Physik: Abkühlung à la Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Elektrotechnik: Tiefpassfilter I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Mechanik: Lineares Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Elektrotechnik: Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Elektrotechnik: Resonanz im Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Elektrotechnik: Frequenzselektive Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Elektrotechnik: Tiefpassfilter II: Ideal und Realität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Elektrotechnik: Tiefpassfilter III: Die Übertragungsfunktion direkt aus derDifferenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Elektrotechnik: Laplace-Transformation und Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . 230

Elektrotechnik: Stabilität des Schwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Elektrotechnik: Eigenwert des Schwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253