Zusammengestellt von den Fachdezernenten Mathematik der 5 Bezirksregierungen in NRW 1/2

Aufg.-Nr.: 16 Bereich: vektorielle Geometrie Kursart: GK WTR

Tennis Die Abbildung stellt in einem dreidimensionalen Koordinatensystem schematisch das Spielfeld (Einzelfeld) eines Tennisplatzes dar. Das Feld wird in der Mitte durch ein Netz unterteilt, das von den Außenpfosten AB und EF gehalten wird. Die Netzoberkante ist in der Mitte im Punkt D niedriger als außen in den Punkten B und F, aber ansonsten geradlinig gespannt. Die angegebenen Maße des Platzes sind aus Vereinfachungsgründen auf ganze Meter gerundet. Auch die Koordinaten der unten angegebenen Punkte sind in Metern zu verstehen. Die Bälle fliegen in unserem Modell geradlinig, wir vernachlässigen jegliche Spins oder andere Effekte wie auch Erdanziehung oder Luftreibung! Außerdem wird der Tennisball als Punkt aufgefasst. Die angegebenen Punkte des Tennisfelds haben die folgenden Koordinaten: A(0|12|0) B(0|12|1,1) C(4,5|12|0) D(4,5|12|0,9) E(9|12|0) F(9|12|1,1) P(4,5|6|0) Q(9|6|0). Im Punkt G(4|24|0) steht der Aufschläger, der versucht, den Tennisball vom Punkt H(4|24|3) seines Schlägers aus geradlinig in den Eckpunkt P des gegnerischen Aufschlagfeldes ECPQ zu schlagen. a) Geben Sie die Länge und die Breite des dunkel eingefärbten Tennisfeldes an. b) Berechnen Sie, wie viele Sekunden der Ball vom Verlassen des Schlägers im

Punkt H bis zum Aufprall auf den Boden benötigt, wenn der Ball mit einer Geschwindigkeit von 180 km/h den Schläger verlässt und diese Geschwindigkeit auch bis zum Aufprall auf den Boden beibehalten wird.

c) Ermitteln Sie, in welchem Winkel der

Tennisball im Punkt P auf dem Boden auftrifft.

d) Dem Aufschläger gelingt es, seinen Aufschlag genau in dem Punkt P zu platzieren. Von dort aus springt der Ball idealtypisch, wie in der Abbildung rechts dargestellt, ab in Richtung des Gegners, der auf der Grundlinie (der x1-Achse) steht. I Bestimmen Sie denjenigen Punkt S der x1x3-Ebene, in dem der Schläger des Gegners den Ball zum Rückschlag (Return) trifft.

A

x1

x2

x3

B

E F

C D P

Q

H

G

H

P

Querschnitt entlang der Ebene durch H, P und G

Einfallswinkel = Ausfallswinkel

Verlaufsweg des Balls

Die gestrichelten Linien sind mögliche Spiegelachsen

Zusammengestellt von den Fachdezernenten Mathematik der 5 Bezirksregierungen in NRW 2/2

Aufg.-Nr.: 16 Bereich: vektorielle Geometrie Kursart: GK WTR

e) Gültig ist ein Aufschlag genau dann, wenn er innerhalb des Aufschlagfeldes ECPQ landet (einschließlich der Berandungslinie). Beschreiben Sie einen Lösungsweg zur Berechnung der Eckpunkte derjenigen Teilfläche des Aufschlagfeldes, in dem der vom Punkt H aus geradlinig fliegende Ball landen kann. Geben Sie die geometrische Form dieser Teilfläche an. Zeichnen Sie diese Fläche in die Vorlage einschließlich der Konstruktionslinien und der zugehörigen Bezeichnungen ein.

x1

x2

x3

H

© 2007 Sebastian Hoheisel Seite 1 von 3

Lösung a) Die Länge und Breite des Tennisplatzes ergibt sich aus den Koordinaten von Q oder E oder F bzw.

G oder H Länge 24 m; Breite 9 m

b) Definition der Geschwindigkeit

ts

ZeitWeg

v ==

s ist die Länge der Strecke PH , also 26,18)30()246()45,4( 222 ≈−+−+−=d

Sekunden 37,0180

01826,0≈==⇒

hkm

kmvs

t

c) Gesucht ist der Winkel zwischen der Geraden durch P und H und der x1x2-Ebene.

Es gilt un

un

⋅

∗=αsin , wobei PHun =

= und

10

0

o5,925,333

325,3331

036245,44

100

sin ≈⇒=⋅

−−

−∗

= αα

d) Der Spiegelpunkt von H an der x1x2-Ebene ist H’(4|24|-3).

Geradengleichung durch H’ und P:

−⋅+

−=

318

5,0

324

4

tx

Schnitt mit der x1x3-Ebene mit der Gleichung x2 = 0 ergibt:

⇒=⇔=− 1|0|

32

434

01824 Stt

e) Es soll der Teil des Aufschlagfeldes bestimmt werden, der vom Ball bei einem gültigen Aufschlag

getroffen werden kann. Die möglichen Flugbahnen des Tennisballs liegen in den Ebenen E1 durch H, D und B bzw. E2 durch H, D und F. Bestimme die Normalenvektoren 1n und 2n dieser Ebenen.

−=

−×

−−=×=

5435,9

4,2

2,00

5,4

1,212

5,0

1 BDHDn

−=

−

−

×

−−=×=

5455,9

4,2

2,00

5,4

1,212

5,0

2 FDHDn

© 2007 Sebastian Hoheisel Seite 2 von 3

Bestimme die Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2. Diese ist identisch mit der Geraden durch H und D.

−−⋅+

=

1,212

5,0

324

4

: txg

Bestimme den Schnittpunkt S der Schnittgeraden g mit der x1x2-Ebene.

⇒=⇔=−⇔= 0|

748

|7

337

1001,2303 Sttx ; )0|9,6|7,4(S

Bestimme die Schnittgeraden von E1 und E2 mit der x1x2-Ebene. Als Ortsvektor nimmt man s und als Richtungsvektoren jeweils das Vektorprodukt von 1n bzw. 2n mit dem Normalenvektor 3e der x1x2-Ebene.

=

−×

04,2

35,9

5435,9

4,2

10

0

;

−

=

−×

04,2

55,9

5455,9

4,2

10

0

⋅+

=04,235,9

0748733

:1 kxs ;

−⋅+

=04,255,9

0748733

:2 lxs

Die x1 - Koordinate muss wegen der Größe des Aufschlagfeldes die Bedingung 95,4 1 ≤≤ x erfüllen. Die Gerade 1s schneidet die Aufschlagmittellinie, also gilt:

261860

29

100935

733

−=⇔=⋅+ kk )0|8,6|5,4(1SP⇒

Die Gerade 2s schneidet die Aufschlagaußenlinie, also gilt:

1337600

9100955

733

−=⇔=⋅− ll )0|8,5|9(2SP⇒ ; Dieser Punkt liegt allerdings außerhalb des T-

Feldes. Berechne den Schnittpunkt von 2s mit der T-Linie:

145

61024

748

−=⇔=⋅+ ll

Die Gerade 2s schneidet die T-Linie im Punkt )0|6|125,8(3SP SP3 bildet zusammen mit SP1, S und P, die vier Ecken der Landefläche.

© 2007 Sebastian Hoheisel Seite 3 von 3