468 Zeitschrift Car nngewnntlto -Mathematik und Mechanik Rand 3

Uber die Hen c k y - Pr a n d t1 schen Kurven. '1 Von C. CARATl&ODORY in. Afhen und ERHARD SCHMIDT in &riln.

encky') und Prandt13) haben die Anfmerkeamkeit auf eine Klasse zweier en ein- ander orthogonaler ebener Kurvenscharen gelenkt , denen in der Mechanik der plastischen Korper eine wichtige Bedeutnng zukommt. Die Rurven lassen sich durch jede der beiden folgenden Eigensahaften definieren: I. Die Tangenten an die Kurven der einen Schar in ihren Schnittpunkten mit je

zw ei festen Kurven der anderen haben einen konetanten Ricbtnngsunterschied; 11. Der Krummungsradius der Karven der einen Schar in ihren Schnittpnnkten

mit einer beliebigen Knrve der anderen nimmt be1 Darchlaufang der letzteren urn die LPnge des dorchlaufenen Bogens ab. Dabei ist das Vorzeiohen des Krummnngsradins dann als positiv festgesetzt, wenn der Krummungsmittelpunkt in der Dnrohlaufungs- richtnng liegt.

Von diesen beiden Eigenechaften I und I1 braucht nur dae Beetehen der einen fiir die eine Schar vorauegesetzt zu werden. Es folgt dann daraae dieselbe Eigenschaft auch fur die andere Schar nnd die anderg Eigenschaftafur beide Soharen.

Prand t l hat ein zeichnerisches Verfahren znr Konstruktion dieeer Knrven an- gegeben und sie in einigen Fllllen anch analytisoh bestimmt.

Im Folgenden sollen alle diese Knrven durch Quadrataren beuimmt werden. 1. Die Differentialgleichungen der Kurvenryrtemr. Es seien u nud v die

Parameter der Kurvenscharen. Die RIchtnng der wachsenden v sei zur Richtnng der wachsenden u 60 orientiert, wie die y-Achse znr x-Achse. 1st dann 4 der Riohtungs- winkel der Tangente an die Karve v F konst. in der Richtang des wachsenden u, no ist 8 + der Richtungswinkel der Tangente an die Kurve u = konst. in der Richtung der waohsenden v. Man setze

H

2

d s ' = d x 2 + d y ' = Uadua+ V*dvl, U>O, V > O . . . . (1). Damit ist

' 3 a : = U o o e t ? . . . . 4 U

_ - a y - V c o s 4 O W , . . Differenziiert man (2) nach v und (4) nach u nnd snbtrahiert, 60 ergibt sich -

~ o s ~ ~ ~ + V ~ ] + s i n ~ [ ~ ~ ~ - U - - i , U i f "I tl = O . . . . . (6).

Ebenso folgt aus (3) und ( 5 )

Aue den beiden letzten Gleioh&gen erhELlt man

Man bezeiohne mit R, bezw. €&, den Eiriimmungsradine der Kurven u = konst. bezw. v = konst., wobei dae positive Vorzeichen zu wvllhlen ist, wenn der Krummungs- mittelpankt in die Richtung der waohsenden u bezw. v fl[Ilt. Dam ist

83 84 189. 1 8.

R. d s v i f u

- -

(Ll), - - - - - - - _ - - - (10) 1 a u 1 8 4 - - _ _ - - - Re d8 U 8U a ' - -

d u d c

wobei in der letzten Gleichnng das negative Vorzeichen gilt, weil die Richtang der wachsenden v zur Riohtnng der waohsenden u entgegengesetzt orientiert ist wie die y-AChSe zw X-Achse.

') D8 dieser Aufsats unmittelbar ark den Marburger Vortrag von Hrn. P r a n d t l anknlipft, fat

') Diese Zeitschrift 3, 1933, 9. 241-251. a) In dem Vortrag auf der Marburger Versrmmlung, der in dein vorliegenden Heft, S. 401 his

or hier mit aufgeoommen worden. Die Sohriftleitung.

I OF ahgedrnckt 1st. T)on Verfnssern lint eln Fahnenahzng dieser VerOtTentlichong vorgelegen.

Heft 6 Carathbodory und Schmidt, Ueber die Hencky-Prandtlschen Kurven 469

AIM (11) folgt W V

Bei Bemfickeiohtigung von (9) ergibt doh

Ebenso erhglt man

. . (12).

Die hllhei entwickelten, natiirlioh bekannten Gleichungen gelten fur alle Scharen

Man betraohte nun die Gleichnngen orthogonaler Kurven.

-

s + d a = O . . (14), s + " = O . . . . am du bv dv (151, && - 0 . - . . (16) 8s 4

und die aus (16) durch Integration folgende Cfleiohung

wobei g und jC willkurliche Funktionen bedeuten. Bei Beriicksiohtigung von (12) und (13) ergibt sioh unmittelbar, dai3 aus jeder

dieser vier Gleiohungen die drei iibrigen folgen. Die Gl. (17) ist der analytische BUS- druck fiir die Eigenechaft I nnd zeigt, dai3 das Erfiilltsein dieser Eigenschaft fur die eine Kurvensohar ihr Bestehen auoh fiir die andere nach sich zieht. Die Cfleichnngen (14) und (15) sind der analytische Ansdruck der Eigensohaft I1 fur jede der beiden Kurven- soharen.

2, Bestimmung der Kurvensystems, wenn von jeder Schar eine Kume vorgetchrieben ftf. Es sei ein Hencky-Prandt lsc4es Kurvensgstem zu bestimmen, dae zwei vorgegebene, einander im Pnnkte 0 rechtwinklig schneidende Kurven enthglt. Die Koordbnden der ehen Kurve seien als Funktionen t h e 6 Parameters u gegeben, die der anderen a l b Funktionen eines Parameters v . Man wahle diem Parameter als Para- meter der Eawvenscharen dergestalt, da6 die gegebenen Kurven die Kurven v = o nnd u = 0 sind. &n kann annehmen, dai3 die Richtungen der x-Achse und der y-Achse mit den Riohtnngmu. der wachsenden u und der wachsenden v im Punkte 0 ubereinstimmen. Dann ist, wenn in der Gl. (17)

gesetat wird, f (u) gleioh dem negativ genommenen Riohtungswinkel der gegebenen Kurve v = 0, g(v) gleich dem urn 5 verminderten Riohtungswinkel der gegebenen Kurve u= 6 . Die Funktionen f(u) nnd S(V) ktnnen also a18 gegeben betraohtet werden. Ebenso sin& die Funktionen U(u,o), V ( o , v) duroh die Gleiohungen

. . . . . . . . . . 8 =g(v) -f(u) (171,

f ( 0 ) = g ( O ) = O . . . . . . . . . . (IS)

a

u (u, 0 ) = (")

L f ( u ) v . . . (20),

V(0,v) = (2) . . * . . (19)

-=g ' (v ) u . . . (21).

du a=O' W = O

gegeben. Die Cfleichungen (8), (9 ) , (lo), (11) lauten jetzt 8 V

8 U Bu &f(u )= - u . . (22), &g'(V) = - v . . . (23).

Unter Anwendung der Riemannsohen Integrationsmethode fiihre man nun die B BE s elsche Funktion J(a) ein duroh die Definitionsgleiohung

Dann ist z-ohet J(o)= 1 9 . .

Zeitschrift far angewandte Mathemetik und Mechanik Bend 3 __- 470

Man setze ferner

Dann ergibt sich aus (20) , (zl), (26), do9 ~ = " f w ) , al = f (u l ) , 8 = g ( v ) , 81 = g ( d . . . . . (27).

b v - - J ( ( a - - d b a @ - t % ) ) d u + v J f ( a - a l ) ( p - & ) } d v

ein vollstlndiges Differential ist. ' Das Integral dieses Difterential k n d8s Rechhak mit den vier Ecken o,oj ul,o; ul,vl ; o,vl ist daher gleich Null. Nun wird Nr v = u1 wegen (27) @ = & und mithin

i ) - J { ( a - a d ( @ - @ l ) } =(P-@I) J ' { ( a - a l ) ( P - B l ) ) =O. Da

Ji(a-a1) (@-@I)) = J(o ) = 1. Ferner ist fur u=u1 wegen (27) a = a l nnd mit.hin wegen ( 2 5 )

Dfe Integration urn das Rechteck ergibt daher bei Berucksichtigung des an8 (18)

v = b ( u ~ , v ) dv- J ( C I Wl -@)I V(o,v) dv +[ :i J{Fl (a1 - a ) } U(u, 0) du.

Ersetzt man im letzten Integranden die Differentiation naoh a duroh Dlfferentiation noch a ] , wobei sich das Vorzeichen nmkehrt, mnltipliziert die ganze Qleichmg mit f'(u1) und fiihrt das erste Integral auf Qrnnd der Gleichung (20) ans, so ergibt FQh

folgenden Versohwindens von a mit u und von @ mit v : ''I

0 0 i 0

F1

rcl

u(uI,vt) = ~ ( u l , o ) + t r ( z t l ) J & JtpI(at - a ) } ~ ( u , o ) czu 0

7'1

+ f ' b , ) / j I u 1 ( B 1 - - ~ } v ( o , v ) r l v . * . * (28). (I

Ebeneo ergibt sich

711

-+- gl(vl)J J tpl (al -a ) ) u(u,o) du . . . (29). 0

Umgekehrt ist bei Beriicksichtipg der Qleichungen (26) (26) leicht qu verifizieren, daB die $durch die Formeln (28) ( 2 9 ) dargestellten Funktionen U(ul,vl), V ( U ~ , V I ) ale Funktionen von nnd VI den Difterentialgleichnngen (20) (21) genugen and !fir VI - 0 resp. u1= 0 in die gegebenen Funktionen V ( U I , o), V ( o , u ~ ) iibegehen. Die Herleitung der Formeln (28) (29) zeigt gleiohzeitig, da3 88 die einzfgen LGsungen der Differential- gleichnngen (20) (21) nnter diesen Glrenzbedingungen sind.

Wtihlt man nun, nm die Formeln en vereinfachen, ale Parameter u nnd v die vom Pankte 0 811s gemessenen Bogenlitngen der gegebenen Kurven V = Q and y = v , 80 wird

U{Zd, 0) = 1, V(0, v) = 1. Man erhllt daher

U l

V(UI,VI)- l + g ' ( v ~ ) ~ J ( % ( ~ l - B ~ } d o + g ' ( ~ ~ ) ~ J { ~ i ( ~ ~ ~ - a ) J d u (31). 0 Q1 0

Die Gleiohungen (20) (21) sind nnter Voraussetzung der Gleichna (17) gleich- bedentend mit: den Gleiohungen (8) nnd (9) und mithin auah mit den (3 f @hungen (6) and (7). Letztere sfnd die Integrabilit2ltebedin~ungen der Gleichungspaare (2) (4) nnd

Heft 6 C.aratheodory und Schmidt. Ueber die Hanckv-Prandtlschen Kurven 4 1 1

(3) (5 ) . Fiihrt man in diese die durch die Gleichungen (30) (31) erhaltenen Werte von U und V ein und fiihrt die Integration aus, so ergibt sich, wenn der Schnittpunkt 0 der gegebenen Kurven u = o nnd v = o ale Koordinatenanfangapunkt gewiihlt wird:

11 C08 (1--1) clt (33). 0 0

Es gelten nllmlich zunSoht die Gleichnngsn

A -Inin

0

(t - -1) 'dt + c- - a) t ) sin (t - al)] d t

Aas d i e m Gleichung folgt wegsn (35)

* ' (391, 82 (241, v1) - -- U ( U l , V , ) COB (lo, - u,) . . . . . at,,

wo U (u1, vl) dun& (30) definiert ist. Ebenso ergeben sich die Gldchungen

u(u , , VI) sin (!I - al) (40) ax (911 U l ) A = - V(U, UI) sin (&-@I) (4 1)

aar bl , el) - -- 8 "1 B V I

-- BY o(1, V l ) - V(ul, 0,) coa (,%-a,) . . . . . . . (42), a 01

wobei V(u,,v1) durch (31) definiert ist. Die letzten Qleicthungen sejgen, datl das dnrch die Formeln (32) (33) dargeetellte

Kurvensystem in der Tat ein Hencky-Prandt lschee ist, w&hrend die Formeln (32) (33) nnmittelbar ablesen lassen, dai3 die Kurven u1 = 0, VI = o die vorgesohriebenen sind.

Sind die KgoFdiaten der beiden gegebsnen Kurven zweimal stetig difterepziierbare Funktionen der Bogenlilnge, so kann das System, wie die Darstellang (32) (33 ) lehrt, nnr an solahen &ellen @ngnlatit%ten --im allpmeinen Spitzen - adweisen, wo eine

4 72 Zeitschrift far angewandte Mathematik und Mechanik Band 3

der durch die Gleicbungen (30) (31) gegebenen Funktionen U(u1, s), V(UI, a) ver- schwindet. Da wegen (30) (31) U resp. V nicht gleiahzeitig mit f’ (UI) resp. g’ (v1) ver- schwinden kann, so verschwindet wegen (22) (23) U resp. V d a m und nur dann, wenn R, resp. R. verschwindet. DaO solche Singularititen in der Tat auftreten miiesen, folgt nnmittelbar aus der Definitionseigens~ha~t I1 der H e n c k y - P r andtlschen Knrven.

Die praktische Ausrechnung betreffend 1st noch hervoreuheben, dal die Reihe (24) fIir die Besselsche Funktion J, da als Argumente nnr Prodnkte der Bichtungsunter- sohiede der gegebenen Kurven in verschiedenen Punkten auftreten, im allgemeinen aderordentlfoh rasch konvergiert.

1st die Knrve u = o eine Gerade, so ist g(v) konstttnt und ewar wegen (18) gleich Null. Also ist wegen (27) (25)

B = 0, a = 0, J i(P1 - B) t l = 1. Endlich ist wegen (34)

Durch Einfiihrnng dieser Gleichungen in die Formeln (32) (33) erhglt man ~ ( u l , v l ) = ~ ( u ~ , o ) - i - v l sin&, v(u1,wlj=y(u1,o)+vl c a e ~ ~ , .

Dae sind die Gleichungen des Orthoganalsysteme, das aus den Normalen der

Reduziert sich die Kurve u = o auf einen Punkt, d. h. sollen alle Kurven der

% (0, bl) = 0, y (0, 01) = vJ *

Kurve w = o und ihren Aequidistantialkurven beeteht.

Schar u = konet. durch den Koordinatenanfangspunkt 0 gehen, so ist V(0, v) f 0

U(u , 0) = 1

Beteen. Man erhPlt, wenn als Parameter u wieder die vom Pnnkte 0 aus gemessene Bogenlhge der Kurve v = o gewshlt wird, so da%

za setzen ist, aus den Gleiahungen (28) (29) dnrah Einfiihrung in die Gleichungen (2) (3) (4) (5) und Integration

z (ul, m)=o (ul, 0) - du J{(a l - a) t ) sin (t - al ) d t 0 0 rP 0 Ti’ y (u1, vd= y (ulr 0) + du J((a1-a) tl cos (+al) dt.

Man sieht aus diesen Formeln, dafl 3c und y von VI nur ale Funktionen von & ab- hllngen. Man kann daher statt v1 als Parameter einfiihren nnd erhglt

*1 w II: ( U I , PI) = 3c (UI, 0) -bup ( ( ~ 1 - a ) t } sin (t-al) d t

*1 Pi y (u17 @I) = y ( ~ 1 ~ 0 ) +buk{(%-a) t } coa ( t - a ~ ) dt.

0 0

0 0

Durch diese Formeln ist die gestellte Aufgabe gel8st. Denn die F’unktion a = f ( u ) ist als negativ genommener Richtnngswinkel der gegebenen Kurve v = o brkannt, wPbrend die durch die Grenebedingungen niaht gegebene Funktion g (v) in der letgten Darstellung nicht vorkommt.

3. Vereinfachung der Differentialgleichun~en. Man betrachte nun sin Gebiet, in welchem

Bind. Das ist wegen (22) (23) gleichbedeutend mit der Annahme, dal die Krammung der Kurven beider Scharen im Gebiete iiberall von Null verschieden ist. Dann k a m man annehmen, dafl die Richtung des wacbsenden Parameters in jeder Kurve von der konkaven in die konvexe Seite der Orthogonalen weist. Das bedeptet gemi6 der bei der Definition der Kriimmungsradien qetroff enen Vorzeichenbesttmmang, daS beide Krbmungsradiea nqa t iv Bind.

f’ (4 ir 0, g’ (v) * 0 . . . . . . . . , . (43)

Wegen (22) (23) ist daher r’(@’>> 0, $’(v) > 0 -T * 7 . . 1 . . . (44).

Heft 6 Carathhodory und Schmid t , Ueber die Hencky-Prandtlscheo Kurven $73

Man wiihle j e t ~ t a= f (4 , P = g (4

als Parameter. Danli stimmt wegen (44) die Richtung der wachsenden cc resp. 6 mit der Richtung der wachsenden u resp. v iiberein. Es bleibt daher

9-=p-a . . . . . . . . , . . (45). Bezeichnen A und B Bie Werte von 17 und Tr bei den neuen Parametern, so

nehmen die Qleichungen (20) (21) (2%) (23) die Qestalt an

(47). 8 A R p = - A , R a = - B (46), _- a p - B , : = A . . . .

Die Qleichungen (49) sind gleichbedeutend mit dern Gleichungspaar

Die Gleiohungen (2) (3) (4) (5) nehmen die Gestalt an

. . . . . (50). I a, '* - A cos (p-a)

2 = d sin @-a)

= - B sin (@-a) G - ag - B 00s (!-a) 6j-

Da die Integrabilitiitsbedingungen der Q1. (50) durch die Ql. (48) (49) gesichert sind, so sehen wir, dai3 bei der gemachten Beschriinknng auf Qebiete, in welchen die

Kriimmungen nirgends versohwinden, j e d e ~ L6sung der (31. (48) rnit positiven A nnd - ein

Heno k y - P r a n d tlsches Kurvensystem entspricht nnd umgekehrt.

4. Spezielle L6sungen. Wiihlen wir als erstes Beispiel

B A

B P

B J A = a J ( a b) + b a (a @) . . . . . . . . (51),

wo a und b Konstanten bedenten. Man erhiilt gemM (49) und (26) 4 J B = u - (a b) + b J ( a 8) . . . . . . . . (52). at4

Duroh Einfiihrung dieser Formeln in (50) nnd Integration ergibt sich

z = u J ( @ t ) 00s ( t - @ d t - b J(a2j sin(t-a)dt . . . . (53), 0 i 0 i

a

g = - ~ . ( @ t ) s i x . . . . (64). n 0

Die Verifikation dieser Formeln ist bei BeFiicksichtigung der Ql. (35) (36) (37) (38) leicht. Die Kurve oc = 0 ist hier ein Kreis mit dem Radius b, die Kurve j3 = 0 ein Kreis rnit dem Radius a. Die 01. (53) (54) stellen daher das Hencky-Prsndt lsche Kurven- system dar, welches welches rwei sich rechtwlnkelig schneidende Kreise mit den Radien a und b enthiilt.

Setat man in 01. (53) (54) b = 0, so erhlllt man ein Hencky-Prandt lsches Km- vensystem, dessen eine Sohar einen Kreis mit dem Radius a enthiilt und mit siimtliohen Kurven dnroh einen Punkt dieses Kreises geht.

Urn zu weiteren Beispielen zu gelangen, machen wir den h s a t z A = f ( P a+ q@),

wobei p und q Konstanten bedenten. Man erhglt aus der Differentialgleichung (48):

wo C und c?Konstanten bedeuten nnd C positiv ist:

wobd C und k positive Konstasten bedeuten.

674 Zeitschrift ftir aneewandte Mathematik und Mechanik Band 3

Die Einfiihrnng der Liisung I in (50) ergibt 1 1

x = c e c a + T @ c o s p - a+y), y = = ~ e C a + ~ ~ s i n ( ~ - a + y ) . . (57), 1 wobei botg y = c, sin y = --- zn seteen ist.

Parameter ein dnroh die Gleichnngen x = T 00s 9 und y = T sin 9 sowie c10gc-y

Ftihrt man Polarkoordinaten und neue 1/1+ ca

p=p - clog c + c2y a = a ‘ - 1 + c 2 ’ 1 + c s ’

1 (58) . r = C e , 9 = p - a : 8=(p--y . . . . ca’+ ;p‘ so ergibt sich

Es handelt sich hier also nm zwei Scharen entgegengesetzt gewnndener logarithmischer Spiralen. Die einen schneiden die Radienvektoren vom Anfangspankt unter dem Wnkel y, die anderen unter m/2 - y. Mit Ansnalime des Anfangspnnktes geht dnrch jeden Pnnkt eine und nur eine Spirale jeder Schar. Dabei entsprscben jeder Spfrale nneadlioh vie1 Werte von a’ bezw. 8, die sich um ganze Vielfauhe von 2n/(1+ca) bezw. von 2nca/ ( l+c3 untersoheiden. Diem Liiaung ist sohon von P rand t l 1. c. angegeben worden.

Dnrch Einfiihrung der LBsung II (56) in (50) erhtllt man fiir k + 1:

x=- 0 sin I [ ( k - l ) a + - @ j k - 1 + k+-l C sin l ( k + l ) a - k k - 1

C C k + l y=-- k - 1 00s ) ( k - l ) a + “ - ’ - P I k + - - o o s { ( k + l ) a - - , - . ? ~ l k + l

Fur k = 1 ergibt sich 0 C

2 z = C (a + @) - a sin 2 (B - a), y = - 00s 2 (p - a ) . . . (60).

Die Ql. (60) stellen zwei Scharen von Cycloiden dar. Diem Liisung ist ebenfalls

5. Hencky-Randflsche Kurvensysteme, welche eine konforme Abbildnng

a’ = a” sin y, 8’ = fr” 00s y, q = e--iY , z = r e ‘ ? , w = u ” + i ~ ” ,

schon von Berm Prand t l 1. o. angegeben worden’).

vermifteln. Setet man in den Ql. (58)

so laesen sich die Ql. (57) in folgender Form schreiben:

wo q eine kcmplexe Konsbante vom absoluten Betrag 1 bedeutet. Die (31. (61) ist nmfassender als die Gl. (58) , da sie f i b q = f 1 oder q = f i

anch den ausgearteten Fall zur Darstellung bringt, daf3 die eine Schar der logarith- mischen Spiralen in eine Schar konzentrisoher Kreise und die andere in die Schar der vom gemeinsamen Mittelpnnkt ansgehendeu Halbstrahlen tibergeht.

Die Konformitlt der dnrch das Hencky-Prandtlsohe Kurvensystem (61) ge- gebenen Abbildung legt die Frage nahe, alle Hencky-Prandtlschen Kurvensysteme zu bestiimen, welohe bei geeigneter Parameterwahl eine konforme Abbildung vermitteln.

Sind u und v die Parameter, welche x nnd y konform entsprechen, so ist U- V, Die Ql. (20) (21) ergeben

z = eq1° . . . . . . . . . . . (611,

1 a o - 1 B u u bv u a , _ _ - f” (u), - - = g‘ (v) und hieraus f ” (u) = 8’’ (v) = 2 1,

wo 2 eine reelle Konstante bedeutet., Die Annahme I = 0 fiihrt eu den durch die Ql. (61) gegebenen Knrvensystemen. Es sei also 1 .fI 0. Dann ist

f’(u) = 2 I u + c,, g’ (v) = 2 E v + cz.

Dnrch die Transformation u’ = u + 5 of = v + 2, bel welcher die entspreohen- den Fnnktionen U nnd V ungegndert bleiben, kann man CI nnd cr zum Versahwinden bringen. Wir kiinnen also, indem wir statt u’, v’ wieder u nnd v schreiben, ohne Beschrau- kmg der Allgemeinheit annebmen, dafl c1 und cs versohwinden.

wo C eine reelle Konatante bedeutet, ferner

2 1 ’ 2 1

Man erhttlt u = v = Ce2lu@,

8 = 9 (v) - f (u) = 2 (v2 - u’) f c8,

l) Hr. F e i g l hat die Verfaaser daraut aufmerksam gemacht, daB die eine Schar au8 Epi-, (lie BUr k < 1 hahen die Rollkreise den Radius a = O/ti + &), d i e festen andere au8 Hypoogkloiden beateht.

Kreise (mit dem Zentrum im Koordinatenanfang) dfe Radlen b - a bezw. b + a, wobet b = 0/(1 - k),

Heft 6 Kleine Mitteilungen 475

wo cs eipe reelle Konstante bedentet. Konstante c3 m m Versahwinden bringen.

Dnroh Wahl der x-Aohsenriehtung Lam man die Wir k6nnen also annehmen

6 = 1 (va - 4. Duroh Einfiihrung dieser Formeln in die GI. (2) (3) (I) (5) ergibt sioh

cfi w i d

i‘ d r - = c*’ & i i l i ’ ” , z = c’ &‘“dt, c’ reel1 . . . . . . (62). d w’

0

DaB durch die letzts Gleichung dargestellte Knrvensystem mit den Parametorn u’ v’, die durch die Q-1. (61) dargestellten Knrvensyeteme mit den Parmetern u v und der triviale Fall zweier Soharen zn einander reohtwinkliger Q-eraden bilden also alle Henoky- Pr andtlachen Kurvensysteme, welche bei geeigneter Wahl der Parameter eine Iconforme Abbildung vermitteln. 370

KLEINE MITTEILUNGEN Die malhemafisrhen Grundla#n der

W@run$stheorie. 1. Die Q u a n t i t g t s - t h e o r i e . Eine Entscheidung uber Wert oder Unwert der verschiedenen national6konomi- schen Geldtheorien soll hier niclit getroffeii werden, es soll vielmehr lediglich diejenige Grundthese der sogenannten vci-edelten Quan- titatstheorie benutzt werden. die auch von sndcren Theorien als richtig anerkannt wird. Es handelt sich um die Behauptung, daB die gesarnte Geldmenge gleich der gesamteu Giiter- menge ist. Dabei soll unter der tieldmenge die Mrnge des a n g e b o tene i i tieldes verstanden werden und unter der Giitermeiige die Menge der a n g e b o t e 11 c n Waren. Ferner SOU die Umlanfsgeschwindiglteit dcs Geldes als lionslant iind zwar - 1 angenornmen werden, so dalS ein einmaliger Besitzwechsel der gesamlen Geldmenge ausreicht, um die zur Verfiiguiig steliriide Giitermenge umzuselzen. 1st d a m 111 die hlcnge Geldes (etwa i n Mark), 9 die Giilerrnenge (etwa in Kilogramrn) und k die Kaufeinheit, d. h. die Menge Mark, die fur ein Kilogramm zu zahlen ist, so gilt die Glei- ch1ung

m = g k . . . . (1). 1 - i8t dann die ,Kaufkraft des Geldes, d. h. Ic

die Menge kg, die fiir 1 1 zu kaufen ist. Aus dieser Gleichung folgt, daD bei konstan-

ler Giitermenge die Kanfkra€t der Geldmenge umgekehrt proportional ist und bei konstanter Geldmenge die Kaufltraft der Produltlion dirckt proportional ist. Dabei sol1 die Bcv6Ikerungs- zahl als konslant angesehen werdeii.

2. D i e u n s t e t i g e I n f l a t i o n . Nehmeu wir die Giitermenge 9 als konstaiit an, uiid sei zu einer gewissen Zeit to die Geldmcnge n z 0 vorhanden, die urn p vermshrt wird, so gel- ten die beiden Gleichungen:

mt, = g . ka und m, = ma -t p == g,k1,

ilus deneii sich

ergibt. Setzen wir ka= 1, so wird:

k , = l + - . P . . . .(.. . . (3). m,

Sobald also bei der Verniehruug mil mo urn p erklkt wird, &I3 an Stelle von mark

a(1 t Mark bezahlt werden massen, ist der Ausgleich wiederhergestellt. Es wiirde also bei jeder Inflation eine hestimmte neue Wihrungseinhcit geschaffen werden miissen. I r v i n g F i s h e r l ) hat das umgekehrte Proh- lem behandelt, bei dem iufolge von Pro- duktiansaiiderungen Schwaukungen des Geld- werts eintreten unrl nun durch Aenderung des Gewichts der Munzen oder durch Aenderuuy der auf ihnen verzeichiieten Eiuheiten das Gleichgewicht wiedsrhergestellt wird. Bei ciner Inflation handelt es sich vornehmlich vm den Pall, daB der Staaf p Einheiten niehr fur seine Zwecke gebraucht. Es folgt aber aus der obigen Gleichung sofort, daD die p Eiii- heiten infolge der Aenderung der Kaufkraft in

Wirklichkeit nur p - p . -E” wert sind. Die

Empianger der p m u t e n also p -?- mehr er- halten. Dadurch wiirde wieder die Inflation Cermehrt werden. Der Ausgleicli wird aber erreicht, wenn die Empfinger der p erhdten:

*O

mo

m0

P P= WO p ( l + - - - + - + .... * .... ) = p ’ - mo mso mo--P

m0

7710 -.p d. h. k.1 wrtre = . . . . . (4)

zu setzen.

I) Dle Kaufkraft des Oeldee, Berlin 1916.