Über eine weitere Klasse nichtlinearer Differentialgleichungen im HILBERT-Raum

Uber eine weitere Klasse nichtlinearer Diff erentialgleichungen im HILBERT-Raum

Von HERBERT GAJEWSKI und KLAUS ZACHARIAS in Berlin

(Eingegangen am 27. 1. 1972)

0. Einleitung

Sei H ein reeller separabler HILBERT-Raum, H* der zu H duale Raum und J die Dualitatsabbildung von H auf H * . I n [5 ] wurden Anfangswert- probleme

betrachtet. Dabei sind &e Losung u bzw. &e rechte Seite f * auf dem lrom- pakten (Zeit)-Interval1 [0, TI, T > 0 definierte Funktionen mit Werten in H bzw. H*. Die fur t E [ O , TI erklarten Operatoren D ( t ) sind (moglicherweise) nichtlineare Abbildungen von H in H * . In [S] wurden als Verall- gemeinerung von (0.1) Anfangswertprobleme

mit (moglicherweise) nichtlinearen Operatoren C ( t ) E ( H -+ H * ) unter- sucht.

Die Dualitatsabbildung J ist linear und stetig. Deswegen kann (0.1) auch in der Form

geschrieben werden. Als Verallgemeinerung von (0.1) kann man somit - gleichberechtigt neben (0.2) - auch Anfangswertprobleme

oder

128 Gajen.sl;ijZac.harias. Siclitliiieare Different ialgleichungen

init tineni die ..~~orgescliiehte“ I)eriiclisiclitigreiideii Operator D aiiseheii, fiir den (h) ( t ) iiur voni Yerhalten \-on ini Interrall [O: t ] abhbngt [TI. Prol)le~nen dieses Typs ist die vorliegende -4rl)eit gewidinet, die sic11 als Gegenstiick zur hrbeit [6] verstelit. EY werden Esistenz- urid Einzigkeits- aussagen hewiesen sowie Iterations-, Projektions- und Projektions-Ite- 1.~itioiisverfr~liren zur numerischen Losung \-on ( 0 . 5 ) begiiindet. Benierliens- wert scheint es: did3 die Realisierung diests Programnis fur Gleichungen cier L4rt (0.5) und (0.3) (letztere eljenfalls niit eiiieiri die ,,Vorgeschichte” I,ei.iicI;sichtiqeiideli Operritor D nn der Stelle von D ( t ) ) linter deli gleichen \70raussetzungen iiioglich ist.

Auf Anwendungen gelien wir in dieser Airlieit nicht eiii, da LANGENBACH i n [ 8 ] ein niechanisches Prohlem (clas stationlire Kriecbheu eiiier Plat,te RUS

iiichtlineareni ~~islioel~istisclien (Voigtsclien) Material bei gegebeiier AuBerer Belastung) behandelt hat ~ clas nls Realisierung von (0.4) anzusehen ist. IYir IJetiierken lediylichj da13 die voii uiis erhaltenen Ergebnisse eine Xb- schw&chung der in [8J gestellten Yoraussetzungeii zulassen.

I. Hilfsbetrachtungsii

Sei fj ein reeller separahler HILnERT-Rauin niit dem Sknlerprodukt (. . .) unci cler Sorni ” . ! ’ . Unter tc : t + ~ ( f ) E H versteheii wir eiiie uuf deiii k0lll~J~lkteli (Zeit)-Interv;dl [O. TI. T > 0 definierte Funlition, die TTerte in H annininit. IYir schreibeii dafiir aucli u E ([O. TI -+ H ) .

Definition 1. JVir 1)ezeichnen niit C(0. T : H ) die Klasse der 16 E ([O: TI -+ H ) .

die auf [ ( I . TI stark stetig sind. K t der Soriii

d(, =; mas . 1 L ( f ) f E [ ( I , TI

(1. 1)

ist C(0. T ; H ) eiii B; l s .x~-Rauni . Entsl~reche~id sei C.ll ( I ) , T : fZ) die Klasse derjenigeii Funlitionen

21 E (“4 TI - H ) , die auf [ O : T ] eine stark stetige starke Ableitung 76’ besitzen. Bezuglich cler Y orni

(I . 2 )

ist Cl(0. T ; H ) ein Bas-IcH-Rauni.

Tblic., = 1 1 ~ ~ ~ ’ ~ ’ + : ,u ‘ ;

Definition 2. Sei fur ~c E C(0, T ; H )

u!;c(o,t;H) = ma.x 1,u(.s)ll, t E [ O , TI. IlSSSt

(1. 3)

Gajewski/Zacharias, Nichtlineare Differentidgleichungen 129

Definition 3. Sei X = ( u : u E Ci(0, T ; H ) , ~ ( 0 ) = O}.

Bezuglich der Norm

ist x ein BANAcH-Raum.

Bemerkung 1. Durch die Festsetzung (I. 4) wird eine ganze Klasse von (aquivalenten) Normen in Abhangigkeit von dem Parameter p definiert. Ober p werden wir spater noch verfugen, vorliiufig sei p 2 0.

Lemma 1. Auf dem BANACE-Raum x sind die CI-Norrn (I. 2) und die durch (I. 4) definierte X-Norm ciquivalent.

Beweis. Offenbar gilt fur jedes u E X (I. 5 ) IluIIx 5 I l ~ l l C ~ .

Anderersei ts ist t

u(t) = J u’ (s) as, t E [O, TI 0

(das Integral ist im BoCHNERschen Sinne [9] zu verstehen) und folglich

(1- 6) I 1 4 2 2 T IIu’IIc.

llullg 2 e-PTIIu’IIC undlnit (1. 6) I I ~ I x 2 ~ I I ~ I c ,

Da offensichtlich e-PT

T so folgt bei Addition

Aus (I. 5 ) , (I. 7 . ) ergibt sich die Behauptung. Q . E. D. Sei H* der zu H duale Raum mit der Norm 1 1 . \ I * ; die Klasse c(0, T ; H * )

sei analog zu Definition 1 erklart. Den Wert eines Funktionals I E H* im Element h E H bezeichnen wir mit ( I , h). Es sei J die Dualitatsabbildung von H auf H* [I], R E (H* - H ) der RrEszsche Operator, d. h., fur I E H* gelte

R vermittelt einen linearen Homoomorphismus zwischen H und H*, und es gilt J = R-1.

(RZ, h) = (I, h) V h E H .

Wir betrachten die abstrakte Differentialgleichung

(1. 8 )

mit der Anfangsbedingung (1. 9) ~ ( 0 ) = u ~ E H . 9 Math. Nachr. 1973, Bd. 57, H. 1-6

C ( t ) u’(t) + (Du) (4 = f*(t), t E [O, TI

130 C:ajeaski/Zacharias, Sichtlineare Differentidglcichungen

Hierbei ist t + C ( t ) E ( H - H * ) eine Schar (moglicherweise) iiichtlinearer Operatoren von H i n H * . D ist eiii iiii allgenieinen nichtlinearer Operator, der die .,J'orgeschichte" beriicksichtigt [ 7 ] , iiiit der Eigenschaft

DE (C(0, T ; H ) + C'(0. T ; H " ) ) . Fiir die rechte Seite geltefg E C(0, T: H " ) . Sebeii (I. 8, 9) betrachten wir das Xiifanysn-ert1,rohlei~i (I. 10) -4 ( I ) ~ ' ( f ) + ( B , , PC) ( t ) = f ( t ) , / E [O, TI , (I. 11) u(0) = u,,.

wobei - 4 ( f ) = R C ( f ) E ( H + H ) ,

f ( t ) = Rf*(( t ) . B,, = RD E (C'(0. T ; H ) + C(0, T : H ) ) ,

Lemnia 2. Die Problemc ( I . 8 . 9) und (I. 1 0 , 1 1 ) s ind aquivalent; d . h., j e d e Losung u E Cl(0. T : H ) con (I. 8 , 9) i d auch Losung von (I. 10, 11) u ~ l un)geliehrt .

Be w ei s. Diese Behauptuiig folgt sofort aus der Stetigkeit und Linearitat des RIEszschen Operators R uiid der Dualitatsabbildung J .

ITegen Lemma 2 geniigt es, iiur iioch das Problem (I. 10, 11) oder das nicht speziellere Anfarigs~~ertprol~lem (man vergleiche die nachfolgende Beinerkung 2 ) (I. 12) A ( t ) z c ' ( t ) + (Bu) ( t ) = 0. f E [O, T I , (I. 13) ~ ( 0 ) = 0

zu betrachten. Es ist klar, wie sich Voraussetzungen iiber die Operatoren -4( f ) . B auf c(t), D iibertragen [6].

An die Schar der (moglicherweise) nichtlinearen Operatoren t -+ A ( t ) E ( H -+ H ) , f E [ O , TI,

stelleii wir folgende Forderungeii :

A,. Die Funktion t + ,4 ( t ) IC E H ist fiir jedes 5 E H stetig auf [0, TI. A2. Fur jedes t E [0 , T] ist der Operator A ( t ) E ( H -.+ H ) demistetig [2]. AS. Die Operatoren .z + A ( t ) IC, t E [ O , TI, sind (bezuglich t E [0, TI

gleichmail3ig) stark nioiiotoii; d. h. es gilt ( A ( f ) IC - A ( t ) y, IC - y) 2 )n Ijz - y/I? V 2, y E H

init einer Monotoniekonstanten m'> 0.

Der (evtl. nichtlineare) Operator B sei eiii Operator, der (moglicherweise, vgl. VI) die Vorgeschichte berucksichtigt, d. h., fur den (Bu) ( t ) vom Verhalten von u im Interval1 [ O , t ] abhaiigt [7].

Gajewski/Zacharias, Nichtlineare Differentialgleichungen 131

BI. Die Abbildung B : u( . ) - (Bu) (.) ist erkliirt fur u E C(0, T ; H ) , und es gilt B E (C(0, T ; H ) + C(0, T ; H ) ) .

B,. Die Abbildung B ist in folgendem Sinne LIPScHITz-stetig: Fiir

jedes t E [0, 2'1 gilt mit der LIPsCHITz-Konstanten L > 0:

IlBu - B4lc(o,t ;H) 5 L llu - 4C(O, t , .H) v u, 2, E C(O, T ; H ) *

11. Ein Existenz- und Einzigkeitssatz

Wir zeigen die Existenz einer Losung des Problems (I. 12, 13) durch Reduktion auf eine in [7] betrachtete Klasse von Anfangswertproblenien.

Lemma 3. Die A-l(t) E ( H + H ) existieren fiir jedes t E [0, TI, und es

C,. Die Funktion t + A-l(t) x ist fur jedes x E H stetig auf [0, TI. 1

?n

gilt

C2. lIA-l(t) x - A-l(t) t~lj 5 -- / I x - ~ J / I V X, t~ E H , t E [0, TI.

Diese Behauptungen wurden in [6] bewiesen.

Lemma 4. Der fur u E C(0, T ; H ) definierte Operator s = - A-l(- B ) : u( . ) + - A-l( . ) (- Bu) (.)

yeniigt den Bedingungen B, , B, .

Beweis. a) Sei uC C(0, T ; H ) und (t,} c [0, T ] eine Folge mit

t,, + to E [O, TI, n -+ 00.

Fur die Funktion

t --+ - A-l(t) (- Bu) ( t ) E H , t E [ O , T]

i1A-W (- Bu) (t9J - A - W (-- Bu) OH

5 ~ I1 (Bu) (t,) - (Bu) (to) / I

gilt offenbar

1

m

+ llA-1(4J (- BU) ( t o ) - A-l(t0) (- Bu) Vo) l l . Wegen der Eigenschaften Bl , C1 von B bzw. A (.) strebt die rechte Seite der letzten Ungleichung nach Null fur t , + to; d. h.

S E (C(O, T ; H ) --+ C(O, T ; H ) ) . 9'

132 Gajewskilzacharias, Kichtlineare Differentialgleichuiigen

h) Aus der LrPscHITz-Stetigkeit der Operatoren A-l(t) und der Be- dingung B2 folgt fur 0 5 s 2 t 5 T ; u, v € C(0, T ; H )

l]A-l(s) (- Bu) (s) - A - l ( s ) (- Bv) ( 8 ) I /

und hieraus

Satz 1. Dcrs AnfccngsIc,ertprobleni (I. 12, 13) hat genau eiize Losung u E X.

Beweis. Das Problem (I. 12, 13) ist offenbar aquivalent dem Problem

u ' ( t ) + (SU) ( t ) = 0; u(0) = 0

mit dem die Vorgeschichte berucksichtigenden Operator S = - A- i ( - B). TT'egen Leinnia 4 sind alle Voraussetzungen eines in ['i] bewiesenen Existenz- und Einzigkeitssatzes erfullt. Q. E. D.

Bemerkung 2. Das .,inhomogene" Anfangswertproblem

A ( t ) z.'(t) + (&I v) ( t ) = f V ) , z. (0) = v0, t E [O. TI mit eiiier rechten Seite f € C(0, T ; H ) uiid eineni die Vorgeschichte berucksirhtigeiideii Operator B, liil3t sich durch die Transformationen

z"t) = U ( t ) + vo, (BU) ( t ) = (B& + %)> ( t ) - f V ) auf die Form (I. 12, 13) bringen. Die Eigenschaften BI, R2 voii Bo ubertragen sirh offenbar auf B.

111. Gleichungen init LWSCHITZ -stetigen Operatoreii A ( t )

Wir ersetzen iin folgenden die Bedingung A2 durch die starkere For-

A;. Die Operatoren ZL ---+ A ( t ) 76 E H , t E [O, TI sind (bezuglich t gleich- niaBig) LIPSCHITZ-stetig, d. h. ffir ein geeigiietes M > 0 gilt

derung der LIPScHITz-Stetigkeit.

1 A ( t ) U - A ( t ) vil 5 M 11'24 - Wl/ v U, 2, E H . I n dieseni Falle ist es moglich, mit verhlltnismal3ig elementaren Mitteln

Existenz- uncl Einzigkeitsaussagen zu machen und konstruktive Ntlhe- rungsverfahren aiizugeben. Satz 1 wird bei dieser Gelegenheit nochmals bewiesen.


Satz 2. Unter den Voraussetzungen A,, A;, A, and B, , B, existiert genau

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich aus den nachstehenden Lem-

2m Lemma 6. (BROWDER-PETRYSHYN). Fiir jedes feste q wit 0 < q < --

M2

eine Losung u E X des Anfangsuertproblems (I. 12, 13).

rnata 5-7.

ist der Operator v + v - q A ( t ) V , v E H , t E [O, TI

kontraktiv mit der Kontraktionskonstanten

r = r ( q ) = 1/1 - 2 q m + q2H2 < I .

Dieses Lemma wird z. B. in [3] bewiesen.

Lemma 6. Die auf X durch t

(111. 1)

erklarte Abbildung

(Qu) ( t ) = J ( ~ ' ( 8 ) - p A ( s ) "(8) - q ( B ~ l ) (8)) 6% 0

u - Q u E X

ist f u r p > ___- Lq kontraktiv, d . h. 1 - r ( d

IlQu - Qvllx 5 k llu - V l l g va, 2, E x mit festem 0 < k < 1.

(Das Integral in (111. 1) ist als BOCHNER-Integral zu verstehen.)

Beweis. Wegen der Voraussetzungen A,, A;, A3 bzw. BI, B2 ist die Abbildung Q offenbar fur jedes u E X definiert, und es gilt &u E X . Fur u, v E X ist wegen (111. 1)

( & ~ . ) ' ( t ) - ( Q v ) ' ( ~ ) = ~ ' ( t ) - qA ( t ) ~ ' ( t ) - ( ~ ' ( t ) - q A ( t ) ~ ' ( t ) )

- 4 ( ( B 4 ( t ) - ( B v ) ( t ) ) .

Il(Qu)'(t) - (&V)'(t)ll 5 r lIu'(4 - v"II + Q II(W ( t ) - ( B v ) (411 Abschatzung unter Beachtung von Lemma 5 und der Eigenschaft B2 ergibt

(111. 2) - r Ilu'(t) - v' Wll + Q llBu - -Wlc(o,t;a)

Ilu'(t) - v' Wll + P L llu - 4lc(o,t;a). 5 Nun ist

134 Gajewski/Zacharias, Kichtlineare Differentialgleichungen

Einsetzen in (111. 2) ergiljt

und nach Bildung der X-Korni

Lq 1 - r ( q ) P

, SO genugt k = r ( q ) + - offensichtlich der Wahlt man p > _ _ ~ Lq

Bedingung 0 < k < 1. Q . E. D. Lemma 7. Es existiert g e n u u e i n E l e m e n f u E X mit der F i x p u n k t e i g e n -

schuft u = Qu;

dieseu Elenzent ist L o s u n g des ,4nfuriysu.ert~roblem.s (I. 12, 13).

Beweis . Die erste Behauptuiig folgt wegen Lemma 6 aus dem BANA4CH-

when Fixpunktsatz ; die zweite Behauptung folgt aus der (starken) Differen- zierbarkeit von BOcHsER-Integralen mit stark stetigen Integranden.

Q . E. D.

IT-. Die starke Konvergenz des GALERKTS-Verfahrens

Das GaLERKIN-\.’erfahreii gestttt tet es, 1\’aherungslosungen des Anfangs- wertproblems (I. 12, 13) durch Loseii von Anfangswertproblemen fur gewohnliche (im allgenieinen nichtlineare) Differentialgleichungen zu ge- wiiinen.

Sei { h I . li?. . . .> ein vollstkndiges System linear unabhiingiger Eleniente in H , H,, die lineare Hiille von {hi . . . . . lt,t} und P,, der Projektor von H auf H T L . TTir setzen

A,&(t ) = P,, A ( t ) P,,. t E [ O , TI ; B,, = P,, B P,. Lemma 8. a) D i e Operatoren {A41a(t)) genugen d e n B e d i n g u n g e n A , , A,

( u n d uuch d e n B e d i n g u n g e n , d i e l i ieraus durclt Ersetzen von H durch HI, hervorgehen).

I)) D i e Abbilclung

u + PI, u - 4 A,( t ) U, u E H , f E [0 , TI


2 m ist f u r 0 < q < mit der gleichen Kontraktionskonstanten uiie im

Lemma 5 kontraktiv.

Beweis. Der erste Teil des Lemmas ist trivial, inan beachte

I/P,LIIH47 = 1 -

Der zweite Teil ergibt sich durch geringfugige Abanderung im Beweisgang von BROWDER-PETRYSHYN [3].

Lemma 9. Die Operatoren Bn geniigen den Bedingungen B,, B2 (und auch den Bedingungen, die aus B1, B2 durch Ersetzen von H durch H,, hervor- geh en).

Der Beweis ist trivial, wiederum ist / /P, , l /H+H = 1 zu verwenden.

Definition 4. Wir setzen

X, , = {u: u E Cl(0, T ; H n ) ) u ( O ) 0 } mit der gleichen Normierung wie in Definition 3.

Satz 3. Fur jedes n = 1, 2 , . . . besitzt dns Anfangswertproblem

(IV. 1)

(IV. 2 ) u , , ( O ) = 0

A, ( t ) ub( t ) + (B,a u) ( t ) = 0, t E [ O , TI;

gencru eine Losung u, E X,, c.X. Definition 6. Wir bezeichnen die Gleichungen (IV. 1) als GALERKIN-

Gleichungen, ihre Losungen als GALERKIN-Naherungen des Anfangswert - problems (I. 12, 13).

Beweis v o n S a t z 3. Die Beweisschritte von Satz 2 lassen sich ohne weiteres ubertragen. Aus Lemma 8, 9 folgt insbesondere, daW die Abbildung u + Q,, u, definiert durch

t ( IV. 3) (&nu) ( t ) = J ( P ~ u ’ ( s ) - ~ A ~ ( s ) Z G : , ( S ) - - ~ ( B , , U ) ( S ) ) ~ S , ~ E [ O , TI

0

auf S bezuglich der gleichen Norm von X wie in Lemma 6 mit der gleichen Kontraktionskonstanten E kontraktiv ist.

Bemerkung 3. Beim Projektions-Iterationsverfahren (Abschnitt V) ist es wesentlich, da13 die Kontraktionskoiistanten der Abbildungen (IV. 3) von n unabhangig sind.

Lemma 10. Sei uE X die Losung des Anfangswertproblems (I. 12, 13);

Q . E. D.

?O,,( t ) = p, u ( t ) , t E [O, TI. Dan% gilt

i[w,L - u[lX - 0 fur n ---t 00.

136 Gajewski/Zacharias, Siclitlineare DifferentiaIgleirhungen

Beweis. Analog wie i n [ 5 ] . Aus der Vertauschbarkeit des Projektors P,, mit der starken Ahleitung d dt folgt wegen der Vollstiindigkeit des Systems (A,, I t 2 , . . .}

ilzot:(t) - u ‘ ( t ) l l = ilP,,u’(t) - u’(t)ll + 0 fiir n -+ 00; t E [o , T I .

v t c [ O , TI. Da H,, c H,, r , , so gilt

l l 4 + i ( f ) - 2h’(t)l/ I ‘I6At) - Zb’(t)I l

Der Satz von DIN liefert die Behauptung. Q. E. D.

ursprunglichen L4nfangswertproblenIs (I. 12, 13) konvergiereii. lyir zeigen nun. da13 die GALERKIr-Naherungeii gegen die Losung des

Satz 4. Fur d i e Folge { u , ~ } c s der GA4L~~K1~-Naherungen gilt jlu,, - u Is + 0 fur n 4 00.

Beweis. Wir subtrahieren die Ausgangsgleichungen (I. 12) von den Cr~LERKIS-Gleichungeii (Iv. 1) und bilden das Skalarprodukt init

?A:,(!) - W ; ( q E H,,. Es ergiht sich nach einfacher Uinforiiiung unter Beachtung der Symrnetrie des Projektors PI, (das Arguinent t wird voruhergehend weggelassen)

- du.;, , ZL;, - w,;) + (A24 - Au’, u:, - ?of;) + ((Bu,,) - (BWJ, ?L:, - 2 0 ; ) + ((BWJ - (BU), u:, - 2 0 ; ) = 0 .

lyir schat zen ab unter Beachtung der ScHwARzschen Ungleichung, dm st arken JIonotonie und LIPsCHITz-Stetigkeit von A und erhalten

2 L ; ( t ) - lr,;(t)’l 5 M ~ ~ Z t * ; ( q - u‘(t)il llu;(t) - w;&(t)ll + 1’(%,) 0) - (B%) (011 lIu:,(t) - W m l

+ !I(BU9J ( t ) - (Bu) (t)Il Ilu,M - 4 ( t ) l l *

))1. IuL(t) - w;(t)l \ 5 Jf l lzc:,(t) - U ’ ( f ) l j + L IIzo,, - uIIC(O,t,H) + L ’ u,, - U’,, “I, 1 , H ) ’

Hieraus folgt unter Beachtung von B,

Sach einer irn Beweis voii Leiiiina 6 vorgefuhrten Rechnung ist

und soinit


Bildet man auf beiden Seiten die X-Norm, so folgt

Wahlt man p > 0 so groB, daB (man vergleiche die nachstehende Be- merkung 4)

L m - - > O ,

P so erhalt man

und hieraus mit der Dreiecksungleichung

Wegen der in Lemma 10 bewiesenen Eigenschaft der Folge (w,} ist Satz 4 bewiesen. Q. E . D.

Bemerkung 4. Uber den positiven Parameter p , der in die Definition der X-Norm gemBB (I. 4) eingeht, wurde bisher vorausgesetzt

p > - - Lq (in Lemma 6) 1 - r ( d

und L

b) P > & (im Beweis von Satz 4).

Man kann leicht zeigen, da13 mit a) automatisch b) erfullt ist.

V. Das Projektions-Iterationsverfahren

Die GALERKIN-Gleichungen zum Anfangswertproblem (I. 12, 13) sind im allgemeinen nichtlineare gewohnliche Differentialgleichungen. Wir zeigen, daB man mit Hilfe des Projektions-Iterationsverfahrens Naherungen durch Losen von Anfangswertproblemen fur lineare gewohnliche Differential- gleichungen gewinnen kann.

Es seien Q, &, die durch (111. 1) bzw. (IV. 3) definierten Kontraktionen des BANAcH-Raumes X ; u bzw. u, die zugehorigen Fixpunkte.

Satz 5. Fur die Iteration.sfolge

( V . l ) x , = & , z , - ~ , zoEX, n = l , 2 , . . .

138 Gajewslri!Zacharias, Sicht lineare Differentialgleichungen

gilt 18-4- *I1 --* o fur n + 00.

B e we i s . Dieser Satz folgt sofort aus dem anschlieljenden Lemma 11 und Bemerkung 3.

Lemma 11. S'ei {Ql l ] eine Folge kontrakfizier Operatoren Q,, E ( X 6 X ) wi it den E igenscha f ten

a) Die Folge {u,,} der lJi.rpunkte der Q,, konvergiert stark gegen ein Element

1,) Die ~ontrcrktioiiskonstaizten k,, gcniigen der Bedingung uE s.

O ~ k I , ~ k < l .

Dann konvergiert die Iterritionsfolge

z,, = Q,, Z O E S. 12. = 1, 2 , . . .

der 5

(V. 2

oder

stcrrk gegen u. Fur den Beweis verweiseii wir auf [4]. Uiiz das durch die Vorschrift (V. 1) gegebene Projektions-Iterations-

verfahreri etwas ausfiihrlicher darzustellen, machen wir den Ansatz 11

z , , ( t ) = /y cr,,) ( t ) 11,. t E [0, TI. J = l

Dabei sind die u ? , ~ ( . ) E Cl[O, TI (j = 1, . . . , n) die gesuchten Koeffizienten von z , , (.) beziiglicli der Basis {h , . . . . . hIl) r o n H,, . Aus (V. 1) bekommt m a n nach skalarer Jlultiplikation mit h , . k = 1. . . . , n, wegen (IV. 3) und

p i n e t rie des Pro jekt ors P, ,

das dazii 2iquiralente System gewohnlicher -hea re r Differential- gleichungen

I 1 - I

(Y. 3) 2 ( t ) (hj. 11,) = cu:, - l j ( t ) ( h j , ilk) j = l j = I

- q (.4 ( t ) zb-, ( t ) . I?,) - q ( ( B Z ~ ~ - ~ ) ( t ) , h,)

% j ( O ) = 0

(k = 1, . . . , n)

init der Anfangsbedingung

(j = 1 , . . .: n ) .

Das System (V. 2 ) bzw. (V. 3) hat als Koeffizientenmatrix gerade die GRARrsche Matrix C: der Basis {hi ~ . . . , h , , } :

G' = (gjk), wobei gjk = (hj, he) (j, k = 1, . . ., n) .


Speziell fur eine orthonormierte Basis, d. h. gjH = dj, (KRONECKER-symbol) erhalt man niit der Abkurzung

t

Rj ( t ) = - q J ( A (8) 4 - i (8) + (Bz,-,) (s): hj)

a,,j ( t ) = a,-&) + RjV) ( j = 1, . . * , n - 1)

%WL(t) = R,,(t).

j = 1, . - . , n 0

fur t E [0 , TI

Das Projektions-Iterationsverfahren fuhrt somit die Konstruktion von Naherungslosungen im wesentlichen auf Quadrature11 und die Auflostq linearer Gleichungssysteme zuriick.

VI. Einige Varianten zum Problem (I. 12,13)

Auf die Form des Anfangswertproblems (I. 12, 13) lassen sich ins- hesondere jene Probleme bringen, in denen der Term (Bu) ( t ) gegebeii ist durch

(VI. 1) (Bu) ( t ) = B,(t) u( t ) , t E [0, TI oder, die Vorgeschichte beriicksichtigend,

1

(VI. 2) (Bu) ( t ) = J B , ( s ) u(s) ds. 0

Dabei moge die Schar der Operatoren t + B, ( t ) € ( H -+ H ) den folgenden Bedingungen genugen :

B;. Die Funktion t + Bl(t) u E H ist fur jedes u E H stetig auf [0, TI.

B.;. Fur jedes f E [0, T] gilt mit der LrPSCHrTz-Konstanten L, > 0

j(B1 (C) u - B,(t) ~ 1 1 1 5 L, I / u - ZI / / V U , ZI E H .

Offensichtlich geniigen die durch (VI. I), (VI. 2) definierten Operatoren B den Forderungen B1, B,. Es lassen sich demzufolge alle bisher gemachten Aussagen suf Anfangswertprobleme der Form

A ( t ) U’ ( t ) + B,(t) u( t ) = 0, u(0) = 0

ubertragen.

In [6] wurde das Anfangswertproblem

(VI. 3) ( A ( t ) uW)’ + B(t) w =f.(t) , t E [ O , TI, A (0) u(O) = U g E H

140 Gsje\~slii/Zacharias, Kchtlineare Differentialgleichiingen

init j€ C(0, T ; H ) unter den Voraussetzungen A,, A, (Iszw. A;), A3 und B;, B; an die Operatoren A ( t ) , B( t ) behandelt. Samtliche dort gemachten Aussagen hleiben gultig, wenn man in (VI. 3) den Term B( t ) u(t) durch einen Term (Bu) ( f ) mit eiiieni BI , B2 genugenden, die Vorgeschichte berucksichtigenden Operator B ersetzt. Bei der Ubertraguiig der Beweis- technik ist die Beinerkuiig nutzlich, da13 fur die in [S] verwendete ( C , p ) - Norm, definiert fiir ZL E C(0, T ; H ) durch

j / ~ 1 ! ~ , , , = mnx { P - J " ilu(t)lI}. tt l ' ) , TI

die Beziehung

gilt.

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Über eine weitere Klasse nichtlinearer Differentialgleichungen im HILBERT-Raum