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U B E R L A S K E R S C H E R I N G E

von Wolfgang Krull (Bonn)

Betrachtet werden beliebige kommutative Ringe mit oder ohne Einselement.

Der Ring 1R soil Laskersch heissen, wenn jedes Ideal a in 1R als Durchschnitt

yon endlich vielen Prim/iridealen dargestellt werden kann. (Auf Lasker geht der

Satz zurfick, dass in einem Polynomring K[xl, . . . x,] fiber einem K0rper K

diese Bedingung stets erffillt ist). Ist S ein m.a. System aus 1R, also eine

Untermenge von 1R, die gleichzeitig mit a, b stets auch a �9 b enth~ilt, so soll wie

iiblich unter dem i.K.L (isolierten Komponentenideal) a s yon a das Ideal aller

der c E ~ verstanden werden, zu denen ein (i.a. yon c abh~ingiges) sES existiert,

derart class c . sEa . Gilt in 1R fiir jedes a in der Menge aller i.K.k yon a die

Maximal- bzw. Minimalbedingung, so wollen wir sagen, es genlige 1R der Maxi- mal- bzw. Minimalbedingung flit i.K.L Von der Gfiltigkeit tier Qu.-Bedingung flit i.K.L in IR soil gesprochen werden, wenn in 1R ffir ]edes Ideal a zu jedem

i.K.I, a s ein s existiert, derart dass a s ~ a:(s), dass also c dann und nur dann

in as, wenn c . s E a . L~isst sich das s der Qu.-Bedingung ffir jedes a s in S

selbst wahlen, so soil 1R ein Ring mit starker Qu.-Bedingung ffir i.K.I, genannt

werden. Es l~isst sich leicht zeigen:

Gilt in ?R die starke Qu.-Bedingung flit i.K.L, so gilt auch die Maximal- bedingung flit i.K.l. (t).

Hingegen ist es zum mindesten nicht ohne weiteres zu sehen, wie aus der

Qu.-Bedingung schlechtweg auf die Maximalbedingung ffir i.K.l, geschlossen

werden kann. Indessen ist das ein zweitrangiges Problem, das bier beiseite

| 56 WOLFCA~C K R U L L

gelassen werden soil. Wichtig ist ftir uns nur der Zusammenhang der eingeftihrten

Bedingungen mit dem Laskerschen Charakter des betrachteten Ringes. Es gilt,

wie wohlbekannt :

~R ist dann und nur dann ein Laskerscher Ring, wenn ~ der Qu.-Bedingung und der Minimalbedingung ffir i.K.l, geniigt. In einem Laskerschen Ring ist stets auch die Maximalbedingung ffir i.K.l, erf~llt (~).

Ferner sieht man sofort: Es gibt Ringe, auch solche mit Einselement, die

zwar der Maximal-und tier Minimalbedingung fiir i.K.I, gent~gen, die abet nicht

Laskersch sind. Z.B. ist jeder Bewertungsring mit nichtarchimedisch geordneter,

endlichrangiger Wertgruppe ein Ring dieses Typus. - Schwieriger zu beantworten

ist dagegen die Frage, ob nicht etwa jeder Ring mit Qu.-Bedingung (bzw. mit

starker Qu.-Bedingung) for i.K.I. Laskersch ist (3). Da die Untersuchung auf an

sich interessante Beispiele und Folgerungen ff.ihrt, soil hier dieses Problem etwas

genauer analysiert werden. Dart~ber hinaus wird gezeigt, dass in jedem Ring mit

Qu.-Bedingung fur i.K.I, jedes Ideal eine wohigeordnete, unverkUrzbare Prim~r-

komponentenzerlegung besitzt, und es wird anschliessend an diese Bemerkung

der Begriff des Laskerschen Ringes im weiteren Sinne eingeff~hrt.

w 1. NICHT-LASKERSCHE RINOE MIT QU.-BEDINGUNG FIJR i.K.l.

Unser wichtigstes Hilfsmittel ftir die Konstruktion von Beispielringen ist die

Bildung yon unendlichen direkten Ringsummen. Dabei beschr~inken wir uns der

Einfachheit haiber auf abz/ihlbar unendlich viele Komponenten und legen die

folgenden Definitionen zugrunde: Es seien 1Ri, 1R2, 1R3, . . . gegebene, paarweise

teilerfremde Ringe; Ot sei das Nullelement von IRe und e e das Einselement, falls

ein solches vorhanden ist. Unter der unendlichen direkten Summe 1R yon I~1,

1R2, . . . verstehen wir die Menge aller formalen Summen ~ a e (at E'lRt), mit denen I

nach folgenden Regeln gerechnet wird: a) Z a t ~ b t dann und nur dann, wenn 1 1

o o o o o o o o o o o o

a t = b; (i = 1, 2, ...). b) (~: al) -[- (Z bi) = Z (at q- bt). c) (Z ai). (Z be) = Z (ae- bl). 1 1 1 1 1 1

- Das Nullelement yon ~ ist O : ~O~; alas Einselement e ist dann und nut 1

c o

dann vorhanden und zwar gleich Zer wenn jedes 1R,. ein Einselement et besitzt. 1

Der Summand a i heisst die i-te-Komponente von ~ a t . Wir bauen die Ringe "lR t 1

UBER LASKERSCHE RINGE 1 5 7

in ~ ein, indem wir a , E ~ mit der unendlichen Summe identifizieren, bei der

die i-te Komponente gleich a, ist, w~ihrend flar jedes k # i die k-te Komponente

gleich Ok wird (4). _ Die endliche direkte Summe 1R = ~.e~i y o n ' l~ l , 11~2, . . .

ist der Ring aller der Summen, bei denen ftir fast alle k die k-te Komponente

gleich O, ist, oder anders ausgedrtlckt, aller der Summen, die sich auf Grund

unserer ldentifizierung in der Form a, 1 + a, 2 + . . . + a t (it < /2 < . . - < i )

schreiben lassen. Man beachte, dass die endliche direkte Summe yon abz~thlbar

unendlich vielen Ringen niemals ein Einselement enth~ilt. - Bei den n~ichsten

S~itzen bedeutet 1R stets die endliche direkte Summe yon ~1, ~2 , . . . .

Satz 1. Jedem von ~ verschiedenen Primunterideal s yon 1R~ entspricht um-

kehrbar eindeutig ein Primunterideal s ~ 7R yon ~ , ntimlich die endliche direkte

Ringsumme yon ?R e, . . . , ~ - 1 , s 1Ri+I, ~t+2, . . . . Ausser den so erhaltenen

Primidealen und 1R selbst gibt es in ~ keine weiteren Primideale.

Beweis : a) Mit a, 1 + -.. + ae enth~ilt das 1R-Ideal a wegen (a,. 1 + . . . + a~).

a~ = a~,k (k = 1, ... N) auch die Quadrate aller Komponenten. Ein Primideal s in

dem fur jedes i und jedes a,E' l~ ein Element mit der Komponente a, liegt, muss

daher alle Komponentenringe ~1, ~2 , . . . enthalten, und daraus folgt bei der

hier betrachteten endlichen direkten Ringsumme sofort t~ = ~ . - b) Ist fur i ~ k

gleichzeitig a ,~a , a , ~ a , so ist a wegen a,.. a, = O E a kein Primideal. Zu jedem

Primideal s :~ �9 aus 'IR gibt es daher einen Index i, derart dass s zwar nicht

IR~, aber die endliche direkte Summe ~,. aller "IR a (k ~ i) enth~ilt .- c ) J e d e s

Oberideal a yon ~ ist die direkte Ringsumme yon ~ , und a A ~ , und man

sieht sofort, dass a ~_ iRl dann und nur dann Primideal ist, wenn ~i N N~ = s

ein 1RfPrimideal darstellt.

Satz 2. Es sei a ein beliebiges Ideal, S ein m.a. System aus ~ , und es

bedeute a~ bzw. Sg das Ideal bzw. m.a. System aus 1R~, das yon den i-ten Kom-

ponenten aller a E a bzw. s ES gebildet wird. Dann ist a s gleich der endlichen

direkten t?ingsumme ~'e (al)S l der ~ - ldeale ( a ) s , (i = 1, 2, . . . ) .

Beweis : a) a s C__ Z, (a~)s~ ist trivial. - Es sei ferner b,E (a~)s~, und es sei s bzw.

a mit de r / - t en Komponente s~ bzw. a~ in S bzw. a so gew~ihlt, dass b~.s,=a,. Dann

gilt: b i . s ~ b ~ ' s ~ = a , ' s i = a ' s ~ Ea, also biEa s wegen s~ES. Es ist also

(a,)s, C__ a s (i = I, 2, . . . ) ; Z,(a)s~ C a s . Man beachte : Besitzt jedes 11~t ein

Einselement, so gilt a ~ Y~,a,. ftir alle a. Ohne die Annahme der Existenz der et

haben wir aber nur a~Z,a,.~,; deshalb beim Beweis yon Satz 2 (und auch

sp~iter) die e twas umst~indlichen Uberlegungen. - Da jedes s E S nur endlich viele

158 WOL~6~N~ KRULL

yon Oi verschiedene Komponenten hat, enthalten die Sys teme S~ yon Satz 2

fast alle das Nullelement yon ~ t . Daraus folgt:

Korollar zu Satz 2: Fiir jedes a und jedes (nichtleere) S ist TRt C a s flit fast alle i (5).

Der folgende Satz trifft ebenso flir die starke Qu.-Bedingung wie flir die

Qu.-Bedingung schlechthin zu.

Satz 3. In ~ gilt die Qu.-Bedingung flit i.K.I, dann und nur dann, wenn

sie in allen ~ t g ilt.

Beweis : a) ~ Nur dann, , . Es sei at ein 1Rrldeal, also wegen 1Rt .~C_IRt

auch ein ~=ldea l ; S~ sei ein m.a. System aus ~ t . Es sei in 1R ftlr das 1R-Ideal

a = at e twa a : ( a ) = as t u n d a t die i-re Komponente yon a. Dann muss offenbar

a~:(at)-----(at)s t in ~ t gelten. - b) ,, Dann ,,. (Bei s tarker Qu.-Bedingung). Es sei

s = st I + - . . --[-s,. bei gegebenem a und S beliebig aus S. Dann ist jedenfalls

(ak)Se = ~ k C a : ( s ) f~r alle k - ~ i t (I = 1 , . . . N ; Bezeichnung wie bei Satz 2).

Es sei ferner fiir jedes i t (1 = 1 . . . . N ) ein s ' E S mit tier i~-ten Komponente �9 , (t),, S d ) S ( ~ s't'EStt so gew~hlt, class att:~s~t ) = (a~l)s t . Dann wird ftir s* t L ~ - S . . . .

nach analogen IJberlegungen wie bei Satz 2: a :(s*)D_ (at)s,. (i = 1, 2 . . . . ),

a : (s*) = ~:,(a,)s~ = a s . (Beachte a~t:(s~.s",.t " ' " sin's') ~ a , : (si~, ') = (ai,)s~, wegen

s~. s"'~t "'" s'"EStttt (l = 1 . . . . N)) - Gilt in den 1R~ nur die schwache Qu.-Be-

dingung, so ersetze man im vors tehenden Beweis S durch das gr0sste m.a.

System ,~ mit a s = a~.

Satz 4. Sind alle 1Rt nullteilerfreie Noethersche Ringe, so gilt far 1R zwar die

starke Qu.-Bedingung, aber nicht die Minimalbedingung fiir i.K.L.

Beweis : a) Die Giiltigkeit clef starken Qu.-Bedingung folgt aus Satz 3, da

diese Bedingung ftir alle Noetherschen Ringe erflillt ist. b) Wegen der voraus-

gesetzten Nullteilerfreiheit ist in jedem 1gt das Nullideal ein Primideal, also

(Or)st = (O,.), falls O~$St. Bedeute t daher a,. (i-----1, 2, . . . ) jeweils ein yon O,.

verschiedenes Element aus ~ l , St das m.a. System aller Potenzen yon at, so

ist (O~)st = (O~) wegen a~' # O~ (n = 1, 2, . . . ) ftir aIIe i. Setzen wir also (l) a '~ '= a~ + . . . + a t u n d S 't' gleich dem m.a. Sys tem aller Potenzen yon a , so

wird (O)s,~, = 7 ~ ~ (O)s,2, = Y'IRt ~ (O)s,S, ~- 7~11~t ~ �9 �9 �9 nach Satz 2. Satz i > 2 1:>3 i > 4

4 zeigt insbesondere : Das einfachste Beispiel eines Ringes mit starker Qu.-Be-

dingung, aber ohne Minimalbedingung for i.K.I, ist die enclliche direkte Summe

"6~E~ L~S,~SC--E m~OE 159

von abz?ihlbar unendlich vielen KOrpern. Nattirlich h~itte Satz 4 leicht noch weiter

versch~irft werden k0nnen, aber das schien tiberfllissig, da der Satz selbst bereits

gen(igend viele Beispielringe l i e fe r t . - Dagegen wird man sofort weiter nach

Beispielringen fragen, die im Gegensatz zu den betrachteten endlichen direkten

Ringsummen ein Einheitselement besitzen. Hierzu tiberlegt man:

Es seien [3~, [32, . . . abz~ihlbar unendlich viele Oberringe des gemeinsamen

Unterk0rpers K, die den folgenden Bedingungen genlagen: 1. [3~ fh [3'2 : K

(i~ ~ /2 ) . 2. Die Menge 1~, aller Nichteinheiten bildet in jedem [3~ das einzige

maximale Primideal. 3. K ist in jedem [3,. ein Repr~isentantenkOrper yon [3~/1R~.

- 1R = ~elg~ sei die endliche direkte Summe aller IR~. Dann kann man einen

Ring [3 mit Einselement, tier zweckm~issig als die endliche direkte Summe der [3, iiber K bezeichnet wird, kurz und anschaulich, aber wohl hinreichend verst~ind-

lich ausgedrtickt, folgendermassen gewinnen: Man bride unter Identifizierung der

Nullelemente yon �9 und K, abet ohne weitere Identifizierungen die Menge 1R q - K

aller Summen r -4 -k (rE~R, kEK), mit denen nach den flir kommutative Ringe

glaltigen Regein gerechnet wird, wobei unter k.r~ (kEK, riE~Ri) in [3 das in [3~

gebildete Produkt von k und I", zu verstehen ist.

Satz 5. a) In der endlichen direkten Summe [3 der [3~ iiber K ist ~ das einzige maximale Primideal. b) Die S~tze 1.-4. kOnnen mit wenigen sinngem~issen

Modifikationen ([3i-ldeale statt TR,-Ideale) auf [3 iibertragen werden, c) Sind alle [3~ Noethersch und nullteilerfrei, so geniigt [3 der Qu.-Bedingung, abet nicht der

Minimalbedingung fiir i.K.l. Beweis: a) Es ist zu zeigen: Ist k ~ O, so ist k q - r (kEK, rE1R) in [ 3

Einheit. Es sei r ~ rq q- . . . -+- r~ (r~,E1R~,; l : - 1, . . . N), ~ alas Einselement

aus K. Dann gelten wegen 2. und 3. in jedem [3,, zwei Gleichungen (k q-r,~).

(k -1 -[- s,,) ---- E, k-' r~, -b ks~, -q- r,,s~ = 0~. Da ferner stets r,t .r~,, = O in [3 (l ~ l'), N N

ergibt sich (k -4 -Zr~) .(k-1-[ - Xse)----e in [3. - b) Die Modifikationen, die bei / = 1 / = 1

der Ubertragung der Satze 1.-4. auf [3 anzubringen sind, lauten: e) Bei Satz 1:

, ~ von [3,,, bzw. , , ~ ' " ~ I R von [3~ bzw. ,g ib t es in [3 , statt , ~ v o n l g , , ,

~ ' " ~ I R von 1R,, ,g ib t es in 1g,, (o). [~) Bei Satz 2: ,,S sei ein m.a.

System aus [3, das keine Einheit und kein s e a enth~ilt. Es ist also a s ~ [3 , .

Ferner �9 aus [3 ,,, ,, aus [3~ ,, ~ [3,-Ideale �9 start �9 aus "IR ,, , aus 1R,,,, , 1R,-ldeale ,,. -

y) Bei Satz 3 und Satz 4: ~13,,, bzw. ~ [ 3 , statt ~IR,, bzw. ,,1R,,. - Bei der

- im tibrigen mtihelosen - [Jbertragung der Beweise ist zu beachten: Man arbeitet

dauernd nicht in [3, sondern in dem maximalen Primideal 1R = ZelRi. Trotzdem

160 WOLrGANG KRULL

hat man es in den einzelnen ~ , nicht mit 1Ri- sondern mit ~ f ldea len zu tun,

weil die Menge der / - ten Komponenten der Elemente eines l)-Ideals ein ~ - Idea l

bildet. - c) Behauptung c) folgt sofort aus b). ('ljbertragung yon Satz 4 auf lP).

Den wohl einfachsten konkreten Beispielring ~* zu Satz 5 erh~ilt man, wenn

man mit u~, u2, . . . yon einander verschiedene Unbestimmte tiber K bezeichnet o o

und ftir ~ den Ring aller formalen Potenzreihen Zk~. u~ w~ihlt. Es wird dann 1R~ l = 0

o o

gleich dem Ring aller Reihen ~k~u~, und es folgt, da in jedem der ~ nur die l ~ 1

beiden Primideale ~i, (O) existieren, aus Satz 1 sofort: In ~* gibt es ausser

dem maximalen Primideal 1R*~-~,1R7 nur die gegenseitig primen Primideale

~'"-----Z, IR~. Vom Standpunkt der allgemeinen ldealtheorie aus ist also der

Beispielring Ib* insofern besonders einfach, als in ihm ausser einem einzigen

nulldimensionalen ~ Primideal nur ,, eindimensionate ,, Primideale auftreten.

Um festzustellen, ob es nicht noch einfachere Beispielringe mit Einselement

gibt, nennen wir wie liblich einen beliebigen Ring P mit Einselement r einartig,

wenn alle P-Primideale nulldimensional, also in P maximal sind (6) und fragen

ob nicht auch einartige Ringe mit Qu.-Bedingung, aber ohne Minimalbedingung

ftir i.K.I, existieren. Zunlichst ist bekannt:

Ist ~ in dem einartigen Ring P Primoberideal yon a, so gehOrt zu ~ stets

eine isolierte Prim~irkomponente q yon a; es ist immer a Durchschnitt seiner

isolierten Prim~irkomponenten. Besitzt also in P jedes Ideal nur endlich viele

minimale Primoberideale, so ist P ein Laskerscher Ring, und es gentigt daher

P nicht nur der Qu.-Bedingung, sondern auch der Minimalbedingung far i .K.l .-

Angesichts dieser Bemerkung zeigt der foigende Satz, class kein einartiger Beispiel-

ring in dem yon uns gewtinschten Sinne existiert:

Satz 6. Gibt es in dem einartigen Ring P unendlich viele Primideale, so

geniigt P niemals der Qu.-Bedingung far i.K.L

Beweis indirekt: Angenommen, es gentige P der Qu.-Bedingung. Dann muss

zu jedem Primideal ~ von P ein c~ existieren, derart dass (O): ( c ~ ) : q~ die

zu 1~ geh~rige isolierte Prim~trkomponente yon (O) wird. Es ist dabei sieher

c , ~ , aber c~El?~ fur jedes Primideal ~ ~ l~. Ist i das kleinste Ideal, das

alle c~ enth~tlt, dann ist i ein eigentliches Ideal, also i r P. Denn w~ire i = P,

so mtasste eine Gleichung ~ = d~,c~a q- - . . -+-d~c~, gelten, und da es unend-

lich viele Primideale gibt, existiert ein ~?~ mit ~?~ ~ l?~t (l = 1 . . . . N). Dann

ist c,~E~o (l = 1 . . . . N), also ~6~?~, was nicht zutrifft. Wegen i ~ P gibt es

~BER LASKZmCUZ m~C~ 161

mindestens ein Primoberideal von i. Das ist aber nicht mC~glich, da i nach

Konstruktion ftir jedes Primideal ~ aus P ein nicht in ~ liegendes Element

enth~ilt. - Etwas allgemeiner und positiv formuliert ergibt sich aus dem Beweis

yon Satz 6: Satz 7. Gilt fiir den Ring P mit Einselement die Qu.-Bedingung fi~r i.K.l.,

so hat ein P-Ideal a, dessen si~mtliche Primoberideale nulldimensional sind, immer

nur endlich viele Primoberideale.

Andererseits folgt z.B. aus Satz 6 ohne weitere Rechnung:

Satz 8. Die unendliche direMe Summe 1R yon abziihlbar unendlich vielen

KOrpern ~ l geniigt nicht der Qu.-Bedingung fiir i.K.l.

Denn es hat "IR ein Einselement e, (n~imlich el + e2 + " . . , falls ei jeweils

das Einselement yon "lki), und es ist wohlbekannt, dass ~ einartig ist (7)._ Die

bisher betrachteten Beispielringe mit Qu.-Bedingung, aber ohne Minimalbedingung

ftir i.K.I, enthalten alle Nullteiler. Ob auch nullteilerfreie Beispielringe existieren,

miJssen wir hier often lassen. Die Methode der Bildung yon endlichen direkten

Summen reicht jedenfalls zur Konstruktion nullteilerfreier Beispielringe nicht allein

aus.

w 2. LASKERSCHE RINGE IM WEITEREN SINNE

Es liegt nahe, den Begriff des Laskerschen Ringes dadurch zu verallgemeinern,

dass man fi~r die Ringideale Prim~irzerlegungen mit unendlich vielen Komponen-

ten zul/~sst. Dabei wird man aber von vornherein solche Zerlegungen, die often-

bar aus dem Laskerschen Rahmen heraustallen, wie z.B. eine Durchschnitts-

darstellung eines Primideals durch eine unendliche Menge von echten Prim-

oberidealen, auszuschliessen wtinschen. Man wird also an die zugelassenen Pri-

m~rzerlegungen noch Zusatzforderungen stellen mtissen. Von diesem Standpunkt n

aus definieren wit : Eine Durchschnittsdarstellung a = '~ q~ dutch eine wohlgeord-

nete Menge (8) von Primaridealen q~ soil unverkiirzbar heissen, wenn sie weder

dutch Weglassung einer Komponente oder durch Zusammenziehung zweier Kom-

ponenten verkt~rzt werden kann, wenn also keine Komponente tiberfltissig ist und

wenn ausserdem q~t und q~2 ftir % ~ "c 2 stets zu verschiedenen Primidealen

geh~ren. Der Ring 1R wird Laskerscher Ring i.w.S. (ira weiteren Sinne) genannt,

wenn jedes 1R-Ideal a eine wohlgeordnete, unverktirzbare Prim~irkomponenten-

zerlegung besitzt. Satz 9. Geniigt 1R der Qu.-Bedingung far i.K.L, so ist ~R ein Laskerscher

Ring i.w.S..

162 WOLFGANG KRIJLL

Um den ftir den Beweis n6tigen transfiniten Indukt ionsschluss vorzubereiten,

ftihren wir einige Hilfsbezeichnungen ein: Ist ao irgendein Ideal und % eine

Ordnungszahl, so wollen wit von einer %-Approximation yon ao reden, wenn ftir

jedes ~ ~ % ein Prim~irideal q~ und ein Ideal nl~ gegeben ist, wobei folgende

Bedingungen erftillt s ind: 1. Die q~ sind Prim/irideale, deren zugeht~rige Prim-

ideale ~ paarweise verschieden sind. 2. Es ist nl~ D 111~, ftir -c ~ "~'. Ferner

q~ 2 m~, fur "~ ~ -c', wenn -c eine Limeszahl ist. Kein m~ ist in einem ~ , (-c" ~ z)

enthalten. 3. Es ist ao = (~' - -" ; '~ q~') t~ m~ fur alle -c ~ % und m~_. ~ q~ n m~

f~r alle Nichtlimeszahlen "~ ~ -co. 4. Ist m~ D m~, so ist stets aoC (t, _< t q~,)Ci ln~;

fur eine Limeszahl ": gilt ausserdem immer aoC (~'f-~_< ~q~, )n l t l~ . - Aus den Eigen-

schaften 1.-4. tier -co-Approximationen folgt:

Hilfssatz I. Bei einer "Co-Approximation kann bei keiner der Darstellungen

ao = (~'f~--< �9 q ~ ' ) n m~ (-c ( % ) eine der Komponenten q~, weggelassen werden.

Wir haben n~imlich m~, C q~,, (z" ~ -c'), m~, C m~,, ('~" ~ ~') nach 3., 2..

Also ist ( t" < t ' q~,,) n (t ' < -." _< t q~,,) N m~ D (t" < t ' qe,) Ci m~, ---- i. Ffir eine

Limeszahl -c' ist nun ao C i nach 4. Ftir eine Nichtlimeszahl -c' folgt aber weiter

, ~ ~ - i D (~" <_ ~. -- I q~,,) n nl~,_l = ao wegen m~,_~ = q~, Ci nl~, C m~, und der Maximal-

eigenschaft 4. yon in~,_~. - Aus den gleichen 13"berlegungen folgt noch:

Zusatz zu Hilfssatz I. Aus der %-Approximation ergibt sich in folgenden

F~llen eine unverktirzbare, wohlgeordnete Prim~irkomponentenzerlegung von ao:

a) Ftir eine Limeszahl -co, wenn ao = �9 < ~oq~. - b) Ffir eine Nichtlimeszahl -co,

wenn entweder m~o-~ ~ 1R (ao = t _< to - i q0 , oder wenn nl~o-~ = q~o ein Prim~ir-

ideal C 1R (ao = t _< ":o q0.

Beweis : a) Sei -c ~ %, so gilt ao = (~' <- �9 q~,) n 11~ mit n~ ~ t < t" < to q~,,.

Wegen 4. ist ll.~Clll~, wegen 2. und 3. q~, ,~nl~, also ln~Cn~ und somit nl~ = n ~ .

Nach Hilfssatz 1. ist also t'<~f-~oq~,Dao, b) Trivial.

Hilfssatz 2. Gen[igt 1R der Qu.-Bedingung flit i.K.L, so besitzt jedes nicht-

prim~ire Ideal ao eine 2-Approximation ao = ql Y11111, wobei q, eine isolierte Primiir-

komponente yon ao (9).

Beweis: Ist q, eine isolierte Prim~irkomponente von rio und ao ~ q~, so gibt

es wegen tier Qu.-Bedingung ein s, das nicht in dem zu q~ geh/Srigen Primideal

~1 liegt, und ftir das a : ( s ) ~ - a : ( s 2 ) = q l wird. Man hat also auch a o : m ~ -

ao:(m:Y = q, fur m~ = ao + (s) und daraus folgt ao ~ q~ n nach w 6 der

UBEP,. LASKERSCHE RINGE 163

klassischen Noetherschen Arbeit ,, Idealtheorie in Ringbereichen ~. Schliesslich

zeigen Wohlordnungsbetrachtungen, dass man !11~ in ao = r fq I|1~ durch ein

Oberideal ln~ ersetzen kann, das der Maximalbedingung 4. einer 2-Approximation

genlagt.

Hilfssatz 3. Es sei in dem Ring 1R mit Qu.-Bedingung far i.K.L eine %-Appro-

ximation yon ao gegeben, die nicht nach dem Zusatz von Hilfssatz 1. unmittelbar

zu einer unverkiirzbaren, wohlgeordneten Prim/irzerlegung yon ao fiihrt. Dann kann

aus der to-Approximation durch Anfiigung eines Idealpaares q~o, m~o eine ('c o + 1)-

Approximation gewonnen werden.

Beweis: a) Ist "co keine Limeszahl, so sei Ineo-1 = q,o N into eine 2-Appro-

ximation yon hi,o-1 im Sinne yon Hilfssatz 2. Man verifiziert dann sofort, dass

die Anftigung yon q,o, meo zu der gewtinschten (':o + 1)-Approximation ftihrt. -

b) Es sei % eine Limeszahl und 115o die Summe der echt monoton wachsenden

Idealfolge me ('c < %). Dann ist ao : ( - . ' ~ o q 0 n n~ o. Denn man hat jedenfalls

a o _ C ( : ~ o q 0 n n~o. Ist andererseits aEn~o, so ist auch aEmel ftir ein gewisses

"cl < 'co, und es folgt daher aE(~_<'~q~) f"l m~, : ao aus a E ( ~ o q ~ ) n n~ o. -

Es sei ferner n~o~ n~o so gew~ihlt, dass (~ '~oqe)fqneo=ao, aber (~"~oq~)fq n~'o D ao

ftir jedes n~' oD II-ro. Ist neo ein Prim~irideal, so setze man, um die geforderte

Verl~ingerung zu erhalten, n~o = q~o, into : IR. (Man hat nattirlich in diesem Falle

bereits in Gestalt yon ao : - ~ <'~oq~: eine wohlgeordnete, unverktirzbare Pri-

m~irzerlegung yon ao). Ist aber n~o kein Prim~irideal und la,o : q,onlll~o eine

2-Approximation yon n~o im Sinne yon Hilfssatz 2., so wird, wie soiort zu sehen,

durch Anftigung von q,o und Into die gesuchte ('co -Jr l)-Approximation gewonnen.

(Bei der Verifikation yon 4. beachte man die Maximaleigenschaft yon n,o).

Aus den Hilfss~itzen 2. und 3. ergibt sich mit Hilfe des Zornschen Lemmas

sofort der zu beweisende Satz 9. - Es sei jetzt speziell ao nicht Durchschnitt yon

endlich vielen Prim~iridealen; dann existiert in dem Ring 1R mit Qu.-Bedingung

eine to-Approximation ftir ao und aus den Bedingungen 2. und 4. ergibt sich

sofort q ~ D q l N q 2 D q ~ N q 2 n q 3 D . . . . Da ferner m , ~ ( i : l , . . . n), gibt

es nach einem bekannten Satz stets ein s .Enl , mit s ,~/~ ( i : 1 , . . . n) und

man hat dann q,n . . . f ')q.-----ao:(S.):ao:(S~) wegen a o : q x n ... n q , o l n , ,

(n : 1, 2, . . . ) . D. h.: Ist der Ring 1R mit Qu.-Bedingung kein Laskerscher Ring

im engeren Sinne, so gilt in 1R die Minimalbedingung fur i.K.I, nicht allgemein

(o). Oder anders ausgedrlickt: Ein Ring mit Qu.-Bedingung und Minimalbedingung

ffir i.K.l, ist stets ein Laskerscher Ring im engeren Sinne.

164 WO,.FCANC ,~RULI.

Damit ist das Hauptergebnis der frtiheren Note wiedergewonnen. (Dass jeder

Laskersche Ring im engeren Sinne der Qu.-Bedingung und der Minimalbedingung

ftir i.K.l, gentigt, ist beinahe trivial).

Man k~nnte vermuten, dass auch bei jeder %-Approximation von ao mit

% > co alle Durchschnitte �9 < ~' q~ (.c' ~< -%) i.K.I, yon ao sein miissen. Zur Wider-

legung dieser Vermutung betrachten wir den in w 1 bentitzten Beispielring 13".

Bereits in w 1 wurde festgestellt, dass es in ~* (in der damals benutzten Bezeich-

hung) ausser dem maximalen Primideai m = l~* nut die abz~ihlbar unendlich

vielen eindimensionalen Primideale ~ , i ,= ZelR~ gibt. Daraus folgt insbesondere: k#i

Ein ~*-Ideal a, das in keinem ~,i, liegt, das also fur jedes i ein Element mit

yon O verschiedener i-ter Komponente erh~ilt, ist ein zu nl gehC~riges Prim~irideal.

(Auch leicht direkt zu verifizieren). Ist ferner a kein zu m geh~riges Prim~irideal,

und sind ~?,q,, ~a2,, . . . die eindimensionalen Primoberideale von a, so wird c o

a + Ye it q,o ein zu In gehC~riges Prim~irideal und man hat, wie mfihelos l = 1

einzusehen, a = (~,,1, (h ~'~2' C~ �9 �9 .) C) q,o (i0). In dieser Durchschnittsdarstellung

ist keine Komponente ~'q' t~berfll~ssig und die Komponente qo, nut dann, wenn

qo, = ~ , also kein eigentliches Ideal. Jede andere Prim~irkomponentenzerlegung

yon a entsteht (bei passender Anordnung der Komponenten)aus der angeschrie-

benen dadurch, dass man qo, durch ein zu m geh0riges Prim~irideal der Form

q~, = a + It ( k C ~ , l R t , ) ersetzt. - Die Eindeutigkeitsverh~iltnisse sind also bei l = 1

den Prim~irzerlegungen in ~* genau die gleichen, wie in den Laskerschen Ringen

im engeren Sinne. Aber es ist, falls a unendlich viele Primoberideale ~"~' besitzt,

und yon seinem - K e r n , p, d.h. dem Durchschnitt ~'q'N ~"2'A . . . aller isolierten

Prim~rkomponenten, verschieden ist, der Kern p tcein i.K.I, yon a, (" ) weft, wie

in w 1 gezeigt wurde, jedes i.K.I, i D a yon a nur endlich viele Primoberideale

besitzt.

Will man sich angesichts yon Satz 9. und der einfachen Struktur des

Beispieiringes ~* systematisch mit den Laskerschen Ringen i.w.S, besch~iftigen, n

so liegen folgende Fragen nahe: Es sei a = z q, eine wohigeordnete, unver-

klirzbare Prim~irzerlegung von a und M die Menge der zu den q~ geh0rigen

Primideale ~N. [st dann M unabh~ingig yon der speziellen Darstellung durch a

allein eindeutig bestimmt? Entspricht im allgemeinen Fall genau wie im Fall

einer endlichen Menge.M jeder isolierten Untermenge N yon M, d.h. jeder Unter-

menge N, die gleichzeitig mit ~r auch alle ~ . C ~r aus M enth~ilt, ein yon der

UBER LASKERSCHE R|NGE 1 6 5

speziel len Da r s t e l l ung unabh~ingiges invar ian tes K o m p o n e n t e n i d e a l von a ? Ist

j edes i.K.I, yon a ein inva r i an tes K o m p o n e n t e n i d e a l im eben angedeu t e t en S i n n e ?

( D a s s die U m k e h r u n g s icher nicht a l lgemein richtig ist, zeigt da s soeben b e h a n -

del te Beispiel des Ringes ~*) . Gibt es L a s k e r s c h e Ringe i .w .S . , die n icht der

Q u . - B e d i n g u n g fiir i.K.l, g e n t i g e n ? (Die V e r m u t u n g sche in t ~iusserst p lausibel ,

a b e t es ist zum mindes t en auf den ers ten Blick kein W e g zur Kons t ruk t ion

eines Beisp ie l r inges zu sehen) . Kann m a n gegebenenfa l l s die Ringe mit Qu. -

B e d i n g u n g fur i.K.l, d u t c h e infache Z u s a t z f o r d e r u n g e n in der Menge aller Las -

ke r schen Ringe i .w .S , a u s z e i c h n e n ? Alle d iese P r o b l e m e s ind vermut l i ch nicht

allzu leicht zug~inglich. W i r mt issen uns dahe r hier begnl igen, kurz auf sie

h inzuweisen .

Bonn, August 1958

ANMERKUNGEN

(i) Vgl.: W. Krull, Uber einen Hauptsatz der allgemeinen Idealtheorie, Sitz. Ber. Heidel-

berger Akad. Wiss. Math.-Nat. Klasse 1929, 2. Abhandlung (In Zukunft kurz mit Hs. zitiert),

S. 13. (2) Vgl.: Hs. S. 13 if. Es handelt sich um den ~Hauptsatz,, nach dem die Note betitelt

ist. Zum Beweis vgl. auch w 2 der vorliegenden Arbeit. (a) Ein Beispiel war in Hs. angeklindigt, wurde aber nie verSffentlicht. Anlass zu der

vorliegenden Note gab eine Frage yon Herrn Dieudonn6. (4) Dabei sind die NuIIelemente Oider 1Rl untereinander und mit dem Nullelement yon 1R

zu identifizieren. Weitere Identifizierungen finden nicht statt. (5) Das leere System $ rechnet man bei den Ringen ohne Einselement zweckm/issig zu

den m.a. Systemen, und man setzt a s = a, damit in jedem Ring jedes Ideal a i.K.I, yon sich

selbst. Wit schliessen $ yon der Betrachtung aus. (6) Bei den Ringen mit Einselement rechnen wit den Gesamtring nicht zu den ldealent (~) Dass in "~ jedes Ideal Durchschnitt yon paarweise primen Primidealen ist, ergibt sich

allgemein so wie im Spezialfall einer Booleschen Algebra des yon uns betrachteten Typs (alle

lkl Primk6rper der Charakteristik 2); vgl. G. Birkhoff, Lattice Theory, S. 160. - Es verdient vielleicht hervorgehoben zu werden, class bei einer unendlichen direkten K6rpersumme ~ eine

Modifikation des ldealbegriffs naheliegt, die zu v611ig anderen Ergebnissen fflhrt. Man kann in

1R einen Konvergenzbegriff einftihren, indem man die unendliche Folge a d~, aa" "'" (a~t'----'k~ aaJk )

dann und nur dann konvergent mit dem Grenzwert a----- 2:ak nennt, wenn flir jedes k fast alle k

a~, ~, gleich a,. (Es entspricht das einer oft beniitzten Topologisierung des ~Raumes, 1R) -Ar -

beitet man aber mit diesem Konvergenzbegriff, so liegt es nahe, ein Ideal a bzw. ein m.a.

System S vollstdndig zu nennen, wenn a bzw. S gleichzeitig mit c d~, c a', . . . im Falle tier

166 WOLF~*~ KR~LL

Konvergenz stets auch die Summe c < ~ ' + c ' 2 ~ + . . , bzw. das Produkt c " ' . c a ~ . . . , enthliAt.

Ausserdem ist es zweckm~issig, nut solche m.a. Systeme zuzulassen, die alle Einheiten ent-

halten; denn einerseits kann ein m.a. System S i m m e r unbedenklich dutch Hinzunahme aller

Einheiten vergr~ssert werden und andererseits kann bei passender Wahl der Einheiten ~ci~ das

Produkt (c c1'.6~1~).(c '2 ' . ,~2~). . . . konvergieren, wtihrend c ~ . c ' 2 ' . . . . nicht konvergiert. Bei

Beschr~inkung auf vollst;indige Ideale und vollstiindige zul~issige m.a. Systeme gibt es abet in

an Idealen nur die Primideale ~ = X 1Rk (unendliche direkte Summe t) und ihre Durchschnitte, k#l

es wird jedes Ideal Hauptideal und es enth~ilt jedes m.a. System S ein durch aIle s E S teilbares

s*, so dass stets a s - - a : ( s* ) wird, also die Qu.-Bedingung f a r i .K.L erfiillt ist. Dagegen

gilt diesmal weder die Maximal - noch die MinimalbedinguntT f i ir i .K.L - Natlirlich sind wit

durch die Einflihrung des Vollst~indigkeitsbegriffs v~llig aus dem fiblichen idealtheoretischen

Rahmen herausgetreten, wie schon die Tatsache zeigt, dass jetzt nicht mehr aus der Qu.-

Bedingung auf die Maximalbedingung fur i.K.I, geschlossen werden kann.

(8) Auf wohlgeordnete Mengen kSnnen wit uns beschriinken, weil sparer doch Wohl-

ordnungsschllisse gebraucht werden.

(9) Vgl. Hs. S. 14 bzw. 15. - Der Beweis wird hier der Vollst,'indigkeit halber kurz

wiederholt.

(10) Hat im Spezialfall, (dessen Hervorhebung bier nicht Iohnend schien), a nur endlich

viele, etwa N, Primoberideale, so ware

zu setzen.

(tt) Das Beispiel eines Ideals a, dessen Kern kein i.K.l, van a ist, dfirfte auch ausserhalb

des Rahmens dieser Note van Interesse sein.