Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 01Teil II: Kp. 22/1 Grundmodelle

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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerische Methoden, SS 01 Teil II: Kp. 2

Grundmodelle technischer Vorgänge

Basismodell Erhaltungsgleichungen für Masse, Energie und Impuls in komponentenspezifischer Formulierung

Grundform zeitliche Änderung einer Systemgröße y = Differenz aus Quellen und Senken

Simulationsmodelle erfordern mathematische Modelle und darauf abgestimmte Daten Datenmodelle müssen Semantik des Weltausschnittes und der Modellierung seines Verhaltens

enthalten (Ontologie) Mathematische Modelle

a) differentielle Betrachtungsweise

Das ist gewöhnliche Differentialgleichung am Ort x i

b) Integrale Betrachtungsweise an Zeitpunkten tn und tn+1

Das ist eine Integralgleichung

c) Systeme von Differentialgleichungen erhält man, wenn

- mehrere Systemgrößen und

- mehrere Ortspunkte zu berücksichtigen sind.

y,tftyStyQdt

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Eigenschaften von Modellen

ŸModelle

- beschreiben Ausschnitt der Welt

- haben beschränkte Gültigkeit

- unterliegen vielen Fehlerquellen

ŸModelle sind

- nicht wahr, aber brauchbar

- nicht verifizierbar, aber validierbar

- nicht richtig, aber nützlich

ŸModellergebnisse benötigen

- Interpretation

- Validierung

- Daten

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Numerische Methoden

Teil II: Rechner als endliche Maschine

Kap. 2: Modellieren auf endlichen Maschinen

Inhalt: Endlichkeit von Rechnern Vom Problem zum Programm Bessere Rechner via bessere Verfahren

Übung: Matlab-Kurs 2

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Simulation mit Hilfe von Rechnern

Das Rechnen auf dem Computer ist - im Gegensatz zu Algebra - ein Rechnen mit Zahlen auf einer endlichen Maschine. Die Zahlen werden durch Rechenvorschriften - Algorithmen - generiert. Die Rechenvorschriften sind über Attribute, die konkrete Werte annehmen müssen (z.B. Geometriedaten oder Materialdaten) mit der Wirklichkeit verknüpft; unter Umständen müssen die Attribute selbst über Rechenvorschriften bestimmt werden. Daraus ergeben sich für den Einsatz von Rechnern zur Lösung von technischen Problemen eine Reihe von Konsequenzen und Fehlermöglichkeiten:

Probleme müssen so aufbereitet (modelliert) werden, daß sie durch Zahlen und Operationen auf Zahlen beschreibbar sind,

Zahlen und Operationen auf Zahlen sind auf endlichen Maschinen zu verarbeiten, die Attribute müssen so aufbereitet sein, daß sie die Realität auf das

Rechenmodell abbilden.

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Lösung von Problemen

Methoden zurBeschreibung

DatenstrukturAlgorithmen

Modell

Reduktion

System

AbstrakteDatentyp-Module

Methoden zur Lösung (Beschreibung des Verhaltens)

Simulationsprogramm(Modul)

Reduktion Komplexität

Komplexität

Funktions-Module

Problem

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Datenstruktur -1

Definition Zusammenfassung von Daten verschiedenen Typs zur Beschreibung eines Problems

Realisierung eines Abstrakten Datentyps auf Rechner

Datentypen Beschreibt Menge der möglichen Werte,

zulässige Operationen der Variablen eines Typs.

Abstrakter Datentyp Datenstruktur + darauf definierten Operationen

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Datenstruktur -2

Implementierung einer Datenstruktur

bestimmt Effizienz der darauf definierten Operationen

Erfahrung Falsch gewählte Datenstrukturen können Lösung eines Problems unmöglich machen.

Schlußfolgerung Es müssen verschiedene Sichten auf Daten eines Problems möglich sein.

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Algorithmen -1

Definition Verfahren zur Lösung von Problemen

Eigenschaften Korrektheit - durch Testen kann man Anwesenheit von Fehlern nachweisen

Effizienz - Speicherbedarf

Rechenzeitbedarf je als Funktion der Problemgröße

Implementierung Abbildung eines Verfahrens auf Grundoperationen

- einer konkreten Programmiersprache

- eines konkreten Rechners

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Algorithmen -2

Grundoperationen Methoden abstrakter Datentypen (Algorithmen können so formuliert werden, daß sie nur auf Datentypen und ihre Methoden zurückgreifen).

Erfahrung Es sind in der Regel konkurrierende Verfahren, konkurrierende Implementierungen, konkurrierende Datentypen

möglich.

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Modul

Faßt man die Operationen zur Lösung einer Aufgabe unter einer Schnittstelle zusammen, so erhält man einen Modul.

Beschreibung Funktion

Interface

Validierung

Typen Funktionsmodul: Eingabe Daten - aus Eingabe folgt eindeutige Ausgabe in Form neuer Daten

Abstrakter Datentyp-Modul

Eingabe Methode - aus Eingabe folgt Zustandsveränderung.

Realisierung Unterprogramm

Prozedur

Hierarchische Strukturierung des Kontrollflusses

Hierarchische funktionale Zerlegung durch schrittweise Verfeinerung (HIPO)

Modularisierungskonzepte betreffen sowohl den Entwurf, die Spezifikation als auch die Programmierung.

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Beispiel Modul zur Beschreibung des Wärmetransportes in einem Rohr

Prinzip: Input - Prozeß - Output

IN P U T

O U T P U T

Te i n

Te m b

Te x

m

.

m

.Q.

PA R A M E T E R

L , D , , c

h o r iso n ta le o d e r

v e rtik a le R o h re

p

T Y P E 7 0

R o hrle itu ng

T Y P E -IN P U T S :T ein E in tri t ts te m p e ra tu r d e s H e iz w a ss e rm a ss e n flu s se i [G ra d C e ls iu s ]m H e iz w a ss e rm a s se n flu ß [k g /s ]T am b U m g e b u n g s te m p e ra tu r [G ra d C e ls iu s ]

T Y P E -P A R A M E T E R .L R o h rlä n g e l [m ]D R o h rd u rc h m e ss e r [m ] E m is s io n s z a h l fü r d ie ä u ß e re R o h ro b e r flä c h e [ .]c p s p e z if isc h e W ä rm e k a p a z ite t d e s F lu id s [ J /k g K ]

> o d e r = 0 v e rt ik a le s o d e r h o riz o n ta le s R o h r [ .]T Y P E -O U T P U T S :

T ex A u s tri t ts te m p e ra tu r d e s H e iz w a s se rm a ss e n f lu ss e s [G ra d C e ls iu s ]m H e iz w a ss e rm a s se n flu ß [k g /s ]

Q a b g e g e b e n e W ä rm e s tro m [W ]

Durchführung:

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Integration von Modulen im System

Schritt 1: Verbinden der Schnittstellen (Semantik)

Regelung

Wärme-Erzeuger

Wärme-Verteiler

Wärme-ÜbergabeRaum 2

Wärme-ÜbergabeRaum 1

Nutzer 1

Nutzer 2

Nutzer 3Wärme-

ÜbergabeRaum 3

T,M T

Schritt 2: Steuerung des Ablaufes

Schritt 3: Verfeinerung einzelner Teilaufgaben

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endlich viele Stellen - Rundungsfehler endlich viele Werte - Diskretisierungsfehler endlich viele Schritte - Abbruchfehler endlich viele Rechnerkomponenten - Rechenergebnisse von Anlage

abhängig Problem gut konditioniert - Rundungsfehler spielen keine Rolle Problem konsistent - alle Diskretisierungsfehler gleiche

Ordnung Problem konvergent - alle Abbruchfehler gleiche Ordnung

Ziel: Verfahren und Implementierungen so gestalten, dass Qualität der Lösung aus Qualität

des Modelles und seiner Daten (Simulation) bestimmt werden.

Rechnen auf endlichen Maschinen

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Moderne Rechner erlauben• feinere Diskretisierung

• Verbesserung der Konvergenz

• realitätsnähere Modellierung

Detaillierte Modellierung erfordert• Detaillierung der Beschreibung

• Integration neuer Effekte

• verläßlichere Materialdaten

• zuverlässigere Experimente

• exaktere Randbedingungen

• Integration von Erfahrungen aus Nachbardisziplinen

Das alles führt zu Computer Aided Engineering (CAE).

Simulation mit modernen Rechnern

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Moderne numerische Verfahren erlauben• weniger Einfluss der Rundungsfehler

• gröbere Diskretisierung bei geringeren Diskretisierungsfehlern

• Verbesserung der Konvergenz

• realitätsnähere Modellierung durch heterogene Modelle

• stabile und fehlertolerante Algorithmen

Moderne numerische Verfahren müssen von modernen Software Engineering Konzepten begleited werden

• Datenmodelle zur Beschreibung von Produkten

• Workflows zur Beschreibung von Abläufen

• Komponenten zur Erbringung von Berechnungsdiensten

• Kommunikation und Kooperation zur Unterstützung derZusammenarbeit

Das alles führt zu verteilten CAE - Systemen.

Simulation mit modernen Verfahren

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Effektivitätssteigerung durch numerischer Verfahren

Beschleunigung

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1,0E+04

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Gauß-Elimination

Gauß-Seidel

SOR

PCG

Mehrgitter

Adaptivität

Entwicklungen im Bereich der Verfahren zur effektiveren Lösung von Gleichungssystemen

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Effektivitätssteigerung durch verbesserte Rechner

Beschleunigung

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1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

CDC 7600

Cray X-MP

IBM SP-2

Parallelrechner

Vektorsupercomputer

Beschleunigung der Lösung von Gleichungssystemen durch schnellere Rechner

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