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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 14.11.2006
Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: marklein@uni-kassel.deTel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 2
2.4. Lineare ZweipoleZweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A und B, dies kann ein lineares
passives Bauelement wie ein Widerstand, eine Spule oder ein Kondensator, oder ein lineares aktives Bauelement wie eine Spannungs- oder Stromquelle sein.
R LC
Widerstand Spule Kondensator
Lineare passive Zweipole (Verbraucherzweipol)Verbraucherzählpfeilsystem (VZS):
Bei Verbrauchern U und I im VZS gleichgerichtet!
Lineare aktive Zweipole (Erzeugerzweipol)Verbraucherzählpfeilsystem (VZS)
Bei Quellen U und I im VZS entgegengesetzt!
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
Spannungs-quelle
Batterie Strom-quelle
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
A
B
Passiver
linearer
Zweipol
IU
A
B
Aktiver
linearer
Zweipol
IU„Black Box“
Betrachtung„Black Box“Betrachtung
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 3
2.4. Lineare ZweipoleZweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A
und B,
dies kann auch eine komplexere Schaltung mit nur zwei von außen zugänglichen Anschlüssen, dessen Innenleben nicht bekannt ist, nur ihr lineares Strom- und Spannungsverhalten,
I=I(U) oder U=U(I) muss bekannt sein.
Bild 2.27. Zweipol mit 3 Spannungsquellen und 3 Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 51, 2005])
I
1R
A
B
U
q1U q2U q3U
2R 3R
Zweipol
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 4
2.4.1 Generator- bzw. Erzeugerzählpfeilsystem und Verbraucherzählpfeilsystem
Strom- und Spannungsrichtungen in einem Netzwerk aus Zweipolen können willkürlich eingetragen werden, die Kirchhoffschen Gesetze gelten immer!
U R I Verbraucherzählpfeilsystem (VZS):
( Strom- und Spannungsrichtung gleich!)
Dann 0P U I Aufnahme elektrischer Leistung ( = Verbraucher)
0P U I Dann Abgabe elektrischer Leistung ( = Generator)
Generatorzählpfeilsystem (GZS) bzw. Erzeugerzählpfeilsystem (EZS)
U R I ( Strom- und Spannungsrichtung entgegengesetzt!)
0P U I
0P U I Dann
Dann Aufnahme elektrischer Leistung ( = Verbraucher )
Abgabe elektrischer Leistung ( = Generator )
Bild 2.28. Zählpfeile am Generator- und Verbraucher-Zweipol(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 52, 2005])
I
U UU
I
R
I
Generator /Erzeuger
Verbraucher
Unterschiede liegen in der Beziehung zwischen realer Leistungsflussrichtung und den Vorzeichen von Strom und Spannung!
Verbraucher:
Verbraucher:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 5
2.4.1 Verbraucherzählpfeilsystem und Erzeugerzählpfeilsystem
Verbraucherzählpfeilsystem (VZS):
Erzeugerzählpfeilsystem (EZS) - Generatorzählpfeilsystem (GZS)
A
B
Passiver
linearer
Zweipol
IU
A
B
Aktiver
linearer
Zweipol
IU
A
B
Passiver
linearer
Zweipol
IU
A
B
Aktiver
linearer
Zweipol
IU
A
B
Passiver
linearer
Zweipol
IU
A
B
Aktiver
linearer
Zweipol
IU
A
B
Passiver
linearer
Zweipol
IU
A
B
Aktiver
linearer
Zweipol
IU
Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZS) sind dieStrom- und Spannungsrichtungen am passivenlinearen Zweipol (Verbraucher) gleichgerichtet.
Im Erzeugerzählpfeilsystem (EZS) sind dieStrom- und Spannungsrichtungen am aktivenlinearen Zweipol (Erzeuger) gleichgerichtet.
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 6
2.4.1 Generator- bzw. Erzeugerzählpfeilsystem und Verbraucherzählpfeilsystem
A
B
12 mAI
q
12 V
U 1 kΩ
R 12 VRU
Passiver
linearer
Zweipol
Aktiver
linearer
Zweipol
q 3 3 3R
12 V12 10 A 12 mA; 1 kΩ 12 mA 1 10 Ω 12 10 A 12 V
1 kΩ
UI U R I
R
q q
q
12 V 12 mA
144 mW
P U I
P
R
12 V 12 mA
144 mW
R
R
P U I
P
12 mAI
(VZS) (VZS)
Passiver
linearer
Zweipol
I
A
B
IU„Black Box“
Betrachtung
Aktiver
linearer
Zweipol
Leistungs-berechnung
q R 0P P 1
N
nn
P
Die Summe über alle Leistungen in einem Stromkreis ist Null.
Nebenrechnung:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 7
2.4.2 Spannungsquellen
Wechselspannungsquelle:
► Drehstrom-Generator - wichtigste Spannungsquelle, die den technischen Wechselstrom erzeugen - Gleichspannung erst nach Gleichrichtung
Gleichspannungsquelle:
► Alle Arten von chemischen Spannungsquellen: * Trockenbatterie * Bleiakkumulator (Auto-Batterie) * Photovoltaikanlage (PV-Anlage) - Wechselspannung über Wechselrichtung z. B. Sunny Boy der Firma SMA
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 8
2.4.2 Spannungsquellen
U f I U U I
i q 0U U U
Lineare Näherung für die Funktion
mit Uq = Quellenspannung
Ri = Innenwiderstand nicht real,
nur indirekt messbar
Bild 2.29. Belastung einer Spannungsquelle mit einem Widerstand R (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 52, 2005])
I
UqU iU
iR a
b
1M
liefert der Maschenumlauf M1:
R
Zweipol - Spannungsquelle
q iU U U
y m x b Geradengleichung:
Nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz
1
0N
nn
U
q i( )U I U R I
i iU R I
(2.44)
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 9
2.4.2 Spannungsquellen
Bild 2.30. Abhängigkeit der Klemmenspannung von Belastungsstrom bei einer linearen Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005])
q iconst, const!U R Setzt voraus, dass In Realität aber: -> (siehe nächste Folie)
I
UqU iU
iR a
b
1MR
Zweipol - Spannungsquelle
q i
i
( )U
U I U R I
(2.44)
qU
U
IKI
i iU R I
U R I U f I
i qU R I U
q const.U
0I
0U
Leerlauf Entspricht:
Klemmen a-b offen!
KurzschlussEntsprcht: Klemmen a-b
kurzgeschlossen!
Klemmenspannung als Funktion von Uq, Ri und I:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 10
2.4.2 Spannungsquellen
Bild 2.31. Innenwiderstand Ri= f(I) bei verschiedenen neuwertigen 1,5-V-Trockenbatterien
(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005])
Bild 2.32. Innenwiderstand zweier 12-V-Bleiakkumulatoren (Auto-Batterien) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005])
i
Ω
R
/ AI
i
mΩ
R
/ AI
K. Z.
A. M.
N. C.
g.
n.
K. Z. Kohle-Zink-Element
A. M. Alkali-Mangan-Element
N. C. wider aufladbares
Nickel-Cadmium-Element
g. gebrauchter Akku
n. neuwertiger Akku
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 11
Bild 2.33. Messung des Kurzschlussstromes IK
(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005])
KI I
qUab 0U
iR
2.4.2 Spannungsquellen
qK
i
UI
R
q Li
K K
Leerlaufspannung
Kurzschlussstrom
U UR
I I
Messung des Kurzschlussstrom IKeiner Spannungsquelle
a
b
A
Problem: Der Kurzschluss führt zu unzulässig hohen Strömen!
Bestimmung des Innenwiderstandes Ri einer Spannungsquelle:
M 0R
d.h. Kurzschluss überdas Strommessgerät
(Amperemeter)
Messung der Leerlaufspannung UL
einer Spannungsquelle
L qU U ab q LU U U
0I
qU
Bild 2.34. Messung der Leerlaufspannung Uq
(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 54, 2005])
iR
a
b
V
MR
d.h. Leerlauf überdas Spannungsmessgerät
(Voltmeter)
Kurzschlusss (K) = short circuit (sc)
Leerlauf (L) = open circuit (oc)
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 12
Beispiel 2.13: Bestimmung von Ri und Uq aus zwei Belastungsfällen
Lösung:
q i1 1U U R I
q i 2q i1 2 1
i i1 2
i i2 1
2 1i
U R IU U U R I
R I R I
R I R I
I IR
Da aber real der Kurzschluss zu unzulässig hohen Strömen führt zwei Ersatzmessungen (Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig definiert!):
Differenz der beiden Belastungsfälle bilden:
1 2i
2 1
Spannungsdifferenz
Stromdifferenz
U UR
I I
q i2 2U U R I
Belastungsfall 1:
Belastungsfall 2:
Umgestellt gilt dann für den Innenwiderstand:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 13
2.4.3 Linearität
U R I q iU U R I
Spannungsquelle
1
1
0
0
N
nn
N
nn
I
U
Kirchhoffsche Gesetze
Da in diesen Gleichungen nur Summen bzw. Differenzen von Spannungen oder Strömen, ggf.
multipliziert mit Konstanten wie z. B. Funktionen von Widerstandswerten, und keine Produkte beider oder
z.B. trigonometrischer Funktionen, Exponentialfunktionen oder Potenzen von ihnen auftreten,
sind alle Gleichungen linear, ebenso alle möglichen Kombinationen, die man daraus ableiten kann!
Ohmsches Gesetz
Ein Netz, das nur Ohmsche Widerstände und lineare Quellen enthält, nennt man ein lineares Netz!
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 14
2.4.3 Linearität
I G U
1 1I U G U
2 2I U G U
1 2 1 2
1 2 1 2I U U I U I U
G U G U G U G U
Bei linearen Beziehungen lassen sich Ströme und Spannungen in einem Netzwerk aus mehreren Lastfällen linear kombinieren, d.h. addieren:
1. Lastfall
2. Lastfall
als lineares Bauelement
Widerstand:
1 2 1 2I U I U G U G U
linearesVerhalten
1 2 1 2 1 2I U U G U U G U G U
( )I U
U1U 2U 1 2U U
1( )I U
2( )I U
1 2( )I U U
konst.
IG
U
I
U
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 15
2.4.3 Linearität
TS e 1
U
UI I
1
T1 S e 1
U
UI U I
2
T2 S e 1
U
UI U I
1 2 1 2
T T T TS S
1 2 1 2
e e 1 e e 2U U U U
U U U U
I U U I U I U
I I
Diode:als Beispiel für ein nichtlineares Bauelement
2. Lastfall
1. Lastfall
1 2 1 2
T T T T
1 2 1 2
T T T
1 2 S S S
1 2 S S
e 1 e 1 e e 2
e 1 e e 1
U U U U
U U U U
U U U U
U U U
I U I U I I I
I U U I I
12 6S
T
: Sättigungssperrstrom ( 10 ...10 A)
: Temperaturspannung
I
U
nichtlinearesVerhalten
Dies gilt nicht bei der Verwendung von nichtlinearen Bauelementen, wie z.B. einer Diode!
( )I U
U1U 2U 1 2U U
1( )I U2( )I U
1 2( )I U U
konst.I
U
I
U
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 16
Beispiel 2.14: Lineare Zusammenhänge am Spannungsteiler
1 q q2 3
12 3
11 q q
2 31
2 3
1 1 1 1
1I f U U
R RR
R R
RU f U U
R RR
R R
U f I R I
2 32 q q
1 2 2 3 3 1
2 32 1 1
1 2 3
2 32 1 1
2 3
R RU f U U
R R R R R R
R RU f U U
R R R
R RU f I I
R R
Lösung:
Andere lineare Beziehungen, jetzt zwischen 2 Größen:
21 2 3 3
2
,U
I f U I IR
11 2 3 2 1 3
2
,R
U f U I U R IR
Bild 2.35. Belasteter Spannungsteiler(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 56, 2005])
Gegeben: Belasteter Spannungsteiler in Bild 2.35
Gesucht: Zusammenhänge zwischen Spannungen und Ströme
Allgemein gilt: Durch Umformung und Auflösen von
Gleichungssystemen aus mehreren linearen Gleichungen
entsteht immer wieder lineares Gleichungssystem!
1I
qU
2U
1R
3I
2R 3R
2I
1U
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 17
2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Netzwerkvereinfachungen
q
10 V
U
2
2 Ω
R
1 2 ΩR
3
2 Ω
R
4
4 Ω
R
1U
2U
3U
4U
1I
3I2I
Gegeben:
1U
234U
1I
23I
2 34
2 34
2 34
2
2 Ω Ω
2 Ω Ω
12 Ω
8 Ω3
Ω2
66
R R
R R
R R
234
1,5 Ω
R
1 2 ΩR
qU
2
2 Ω
R
1U
2U
34U
1I
3I2I
34 3 4
2 Ω 4 Ω
Ω6
R R R
34
6 Ω
R
1 2 ΩR
q
10 V
U
1234U1I
1234
1 234
2 Ω 1,5 Ω
3,5 Ω
R
R R
1234 3,5 ΩR
q
10 V
U
1. Schritt:
2. Schritt: 3. Schritt:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 18
2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Netzwerkvereinfachungen
1234U1
20 A
72,86 A
I
q
11234
10 V
3,5 Ω
1 10 A
7
22
10 A7
20 A 2,857 A
7
UI
R
1234 3,5 ΩR
q
10 V
U
1234 1234 1
203,5 Ω A
77 20
Ω A2 710 V
U R I
4. Schritt:
Natürlich gilt für die Spannung U1234
am Widerstand R1234:
234 1 234
1 1 1
22
2
3434
34
3 3 3
4 4 4
4,286 V
5,714 V
2,143 A
0,714 A
1,429 V
2,857 V
U I R
U I R
UI
R
UI
R
U I R
U I R
Durch Rückgängigmachung derSchaltungsvereinfachung ermittelt man
sämtliche Spannungen und Strömet:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 19
2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Netzwerkvereinfachungen
AI
qU
B
iR
AI
qI
B
iGU U
1234U
1234 3,5 ΩR
q
10 V
U
A
B
Klemmenpaareinführen
Hier Spezialfall:Kurzschluss
1
20 A
72,86 A
I
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 20
2.4.4 Quellen-ErsatzzweipoleA
B
IU
Aktiver
linearer
Zweipol
AI
qU
B
iR
AI
qI
B
iGU U
Ersatzspannungs-quelle
Ersatzstrom-quelle
Hermann von Helmholtz1821-1894
Léon Charles Thévenin1857-1926
Hans Ferdinand Mayer1895-1980
Edward Lawry Norton1898-1983
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 21
2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole
AI
qU
B
iR
AI
qI
B
iGU U
Ersatzspannungsquelle[Hermann von Helmholtz, Annalen der Physik und
Chemie, Vol. 89, No. 6, 211-233, 1853] In der deutschen Literatur selten nach Helmholtz benannt!
Thévenin Equivalent Circuit /Equivalent Voltage Source
[Léon Charles Thévenin, Annales Télégraphiques, 1883]In der englischen Literatur so bezeichnet!
Ersatzstromquelle[Hans Ferdinand Mayer, Telegraphen und
Fernsprech-Technik, 1926] In der deutschen Literatur selten nach Mayer benannt!
Equivalent Current Source /Norton Equivalent Circuit
[Edward Lawry Norton, Technical Report, Bell Laboratories, USA, 1926] In der englischen Literatur so bezeichnet!
Hermann von Helmholtz1821-1894
Léon Charles Thévenin1857-1926
Hans Ferdinand Mayer1895-1980
Edward Lawry Norton1898-1983
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 22
2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole
Ersatzspannungsquelle / Equivalent Voltage Source Helmholtz/ Thévenin
Ersatzstromquelle / Equivalent Current Source
Mayer / Norton
Hermann von Helmholtz1821-1894
Léon Charles Thévenin1857-1926
Hans Ferdinand Mayer1895-1980
Edward Lawry Norton1898-1983
Helmholtz, H. v.: Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche. Annalen der Physik und Chemie, 89(6):211–233, 1853.
Thévenin, L. C.: Extension de la loi d’Ohm aux circuits électromoteurs complexes [Erweiterung des Ohmschen Gesetzes auf elektromotorische Schaltungen]. Annales Télégraphiques, 10:222–224, 1883.
Mayer, H. F.: Ueber das Ersatzschema der Verstärkerröhre. Telegraphen- und Fernsprech-Technik, 15:335–337, 1926.
Norton, E. L.: Design of finite networks for uniform frequency characteristic. Technical Report, Bell Laboratories, 1926.
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 23
Ende der Vorlesung
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